Klassische Risikomodelle
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Klassische Risikomodelle
Kathrin Sachernegg
15. Jänner 2008
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Inhalt der Präsentation
1
Einführung
2
Individuelles Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
3
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Kathrin Sachernegg
Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Kathrin Sachernegg
Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Kathrin Sachernegg
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
Rückversicherung
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Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
Rückversicherung
T : Schadenszeitpunkt
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Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
Rückversicherung
T : Schadenszeitpunkt
X : Schadenshöhe
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
Rückversicherung
T : Schadenszeitpunkt
X : Schadenshöhe
P: Prämieneinnahmen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Wichtige Begriffe und Größen
Risiko
Prämie
Police
Portfolio
Erstversicherung
Rückversicherung
T : Schadenszeitpunkt
X : Schadenshöhe
P: Prämieneinnahmen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemein
Portfolio mit n Policen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemein
Portfolio mit n Policen
X1 , ..., Xn voneinander unabhängige, nichtnegative
Zufallsvariablen
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Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemein
Portfolio mit n Policen
X1 , ..., Xn voneinander unabhängige, nichtnegative
Zufallsvariablen
Definition (Gesamtschaden)
S=
n
X
Xi
i=1
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
Versicherung
Versicherung mit einjähriger Laufzeit
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
Versicherung
Versicherung mit einjähriger Laufzeit
Betrag b zu zahlen
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
Versicherung
Versicherung mit einjähriger Laufzeit
Betrag b zu zahlen
q ... Wahrscheinlichkeit, dass Schaden eintritt
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
Versicherung
Versicherung mit einjähriger Laufzeit
Betrag b zu zahlen
q ... Wahrscheinlichkeit, dass Schaden eintritt
X ... Schadenszufallsvariable
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
n schon am Anfang der Periode bekannt und festgelegt
Versicherung
Versicherung mit einjähriger Laufzeit
Betrag b zu zahlen
q ... Wahrscheinlichkeit, dass Schaden eintritt
X ... Schadenszufallsvariable
I ... Indikator
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
Dann gilt
X = Ib
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
Dann gilt
X = Ib
Somit gilt
P(I = 0) = 1 − q
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P(I = 1) = q
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
Dann gilt
X = Ib
Somit gilt
P(I = 0) = 1 − q
E [I ] = q
P(I = 1) = q
Var [I ] = q(1 − q)
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Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Geschlossenes Modell
Dann gilt
X = Ib
Somit gilt
P(I = 0) = 1 − q
E [I ] = q
E [X ] = bq
P(I = 1) = q
Var [I ] = q(1 − q)
Var [X ] = b 2 q(1 − q)
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Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
B ... gesamte Schadenshöhe während einer Periode
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
B ... gesamte Schadenshöhe während einer Periode
I ... Indikator
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Einführung
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
B ... gesamte Schadenshöhe während einer Periode
I ... Indikator
Dann gilt
X = IB
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
B ... gesamte Schadenshöhe während einer Periode
I ... Indikator
Dann gilt
X = IB
P(I = 1) = q
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Allgemeinere Modelle
Summe der Schäden wieder Zufallsvariable
in einer Periode können mehrere Schäden vorkommen
Beispiele in Gesundheits-, Automobil- und
Eigentumsversicherungen
X ... Schadenszufallsvariable
B ... gesamte Schadenshöhe während einer Periode
I ... Indikator
Dann gilt
X = IB
P(I = 1) = q
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Beispiel
Summe S = X + Y
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Beispiel
Summe S = X + Y
Ereignis S ≤ s
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Beispiel
Summe S = X + Y
Ereignis S ≤ s
Linie s = X + Y
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Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Beispiel
Summe S = X + Y
Ereignis S ≤ s
Linie s = X + Y
Abbildung: ([Bowers], S.32)
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Verteilungsfunktion
FS (s) = P(S ≤ s) = P(X + Y ≤ s)
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
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Verteilungsfunktion
FS (s) = P(S ≤ s) = P(X + Y ≤ s)
mit Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
X
FS (s) =
P(X + Y ≤ s|Y = y )P(Y = y )
y ≤s
=
X
P(X ≤ s − y |Y = y )P(Y = y )
y ≤s
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Mehrere Policen
Verteilungsfunktion
FS (s) = P(S ≤ s) = P(X + Y ≤ s)
mit Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit
X
FS (s) =
P(X + Y ≤ s|Y = y )P(Y = y )
y ≤s
=
X
P(X ≤ s − y |Y = y )P(Y = y )
y ≤s
für stetige, nichtnegative Zufallsvariablen
Z s
FS (s) =
P(X ≤ s − y |Y = y )fY (y )dy
0
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Zusammenfassung
Alle eventuell auftretenden Schäden müssen betrachtet werden
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Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Zusammenfassung
Alle eventuell auftretenden Schäden müssen betrachtet werden
Faltung meist schwer zu berechnen
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Einführung
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Kollektives Risikomodell
Geschlossenes Modell
Allgemeinere Modelle
Mehrere Policen
Zusammenfassung
Alle eventuell auftretenden Schäden müssen betrachtet werden
Faltung meist schwer zu berechnen
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
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Einführung
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
N(0) = 0;
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
N(0) = 0; wenn N(t) = 0 folgt S(t) = 0
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Einführung
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
N(0) = 0; wenn N(t) = 0 folgt S(t) = 0
Xi ... Höhe des i-ten Schadens;
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
N(0) = 0; wenn N(t) = 0 folgt S(t) = 0
Xi ... Höhe des i-ten Schadens; Xi identisch verteilt
N(t), Xi voneinander unabhängig
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Einführung
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Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen
Anzahl von Schäden in einer Beobachtungsperiode betrachtet.
fixer Zeitraum t = [0, T ]
N(t) ... Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden
S(t) ... Gesamtschaden zum Zeitpunkt t
N(0) = 0; wenn N(t) = 0 folgt S(t) = 0
Xi ... Höhe des i-ten Schadens; Xi identisch verteilt
N(t), Xi voneinander unabhängig
Definition (Gesamtschaden des Portfolios)
S(t) = X1 + X2 + ... + XN(t)
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Verteilungsfunktion von S je nach Anzahl der Schäden
F (x) = P(S ≤ x)
∞
X
=
P(S ≤ x|N = n)P(N = n)
n=0
=
∞
X
P(X1 + X2 + ... + Xn ≤ x)P(N = n)
n=0
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Verteilungsfunktion von S je nach Anzahl der Schäden
F (x) = P(S ≤ x)
∞
X
=
P(S ≤ x|N = n)P(N = n)
n=0
=
∞
X
P(X1 + X2 + ... + Xn ≤ x)P(N = n)
n=0
Anwenden der Faltung
P(X1 + X2 + ... + Xn ≤ x) = P ∗ P ∗ ... ∗ P(x) = P ∗n (x)
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Verteilungsfunktion von S je nach Anzahl der Schäden
F (x) = P(S ≤ x)
∞
X
=
P(S ≤ x|N = n)P(N = n)
n=0
=
∞
X
P(X1 + X2 + ... + Xn ≤ x)P(N = n)
n=0
Anwenden der Faltung
P(X1 + X2 + ... + Xn ≤ x) = P ∗ P ∗ ... ∗ P(x) = P ∗n (x)
F (x) =
∞
X
P ∗n (x)P(N = n)
n=0
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
c > 0 ... Prämienrate
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
c > 0 ... Prämienrate
Definition (Freie Reserve zum Zeitpunkt t)
U(t) = u + ct − S(t) t ≥ 0
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
c > 0 ... Prämienrate
Definition (Freie Reserve zum Zeitpunkt t)
U(t) = u + ct − S(t) t ≥ 0
Wenn die freie Reserve zum ersten Mal negativ wird, spricht
man von einem Ruin
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Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
c > 0 ... Prämienrate
Definition (Freie Reserve zum Zeitpunkt t)
U(t) = u + ct − S(t) t ≥ 0
Wenn die freie Reserve zum ersten Mal negativ wird, spricht
man von einem Ruin
Definition (Zeitpunkt des Ruins)
T = min{t : t ≥ 0 und U(t) < 0}
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
freie Reserve = Ausgangskapital + Prämien - Schäden
c > 0 ... Prämienrate
Definition (Freie Reserve zum Zeitpunkt t)
U(t) = u + ct − S(t) t ≥ 0
Wenn die freie Reserve zum ersten Mal negativ wird, spricht
man von einem Ruin
Definition (Zeitpunkt des Ruins)
T = min{t : t ≥ 0 und U(t) < 0}
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
Abbildung: ([Bowers], S.345)
Ti ... Zeitpunkt, and dem der i-te Schaden auftritt
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
Abbildung: ([Bowers], S.345)
Ti ... Zeitpunkt, and dem der i-te Schaden auftritt
Wi ... Zeit Zwischen den Ti
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Freie Reserve
Abbildung: ([Bowers], S.345)
Ti ... Zeitpunkt, and dem der i-te Schaden auftritt
Wi ... Zeit Zwischen den Ti
Wi = Ti − Ti−1 und W1 = T1
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das Cramer-Lundberg-Modell ist ein kollektives Risikomodell
mit folgenden Eigenschaften:
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das Cramer-Lundberg-Modell ist ein kollektives Risikomodell
mit folgenden Eigenschaften:
freie Reserve bzw. Ruin wie bereits definiert
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Allgemein
Das Cramer-Lundberg-Modell ist ein kollektives Risikomodell
mit folgenden Eigenschaften:
freie Reserve bzw. Ruin wie bereits definiert
Verteilung der Anzahl der Schäden (N(t)) meist mit
Poisson-Verteilung
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Poisson-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(N(t) = n) =
(λt)n e −λt
n!
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n = 0, 1, 2, ...
Klassische Risikomodelle
λ>0
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Poisson-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(N(t) = n) =
(λt)n e −λt
n!
n = 0, 1, 2, ...
Erwartungswert und Varianz:
E [N(t)] = Var [N(t)] = λ
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Klassische Risikomodelle
λ>0
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Poisson-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(N(t) = n) =
(λt)n e −λt
n!
n = 0, 1, 2, ...
Erwartungswert und Varianz:
E [N(t)] = Var [N(t)] = λ
S(t) zusammengesetzte Poisson-Verteilung :
E [S(t)] = λtp1 und Var [S(t)] = λtp2
Kathrin Sachernegg
Klassische Risikomodelle
λ>0
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Alternative Modelle
Sparre-Andersen-Modell
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Alternative Modelle
Sparre-Andersen-Modell
Markov-Modelle
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Klassische Risikomodelle
Einführung
Individuelles Risikomodell
Kollektives Risikomodell
Freie Reserve
Cramer-Lundberg-Modell
Alternative Modelle
Alternative Modelle
Sparre-Andersen-Modell
Markov-Modelle
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Klassische Risikomodelle
