Klassische Risikomodelle

Klassische Risikomodelle
Kathrin Sachernegg
15. Jänner 2008
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Begriffserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2 Individuelles Risikomodell
2.1 Geschlossenes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Allgemeinere Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mehrere Policen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
4
4
3 Kollektives Risikomodell
3.1 Freie Reserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cramer-Lundberg-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Alternative Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
8
2
1
Einführung
In Folge werden ein paar der wichtigsten klassischen Risikomodelle der Versicherungsmathematik vorgestellt und kurz erklärt.
Es handelt sich hierbei um das individuelle Risikomodell, das kollektive Risikomodell, das
Cramér-Lundberg Modell und das Sparre-Andersen Modell. Außerdem werden zusätzlich zu
diesen Modellen die freie Reserve und die Schadenshöhenverteilung noch weiter erläutert.
1.1
Begriffserklärung
Was sind Risiken im versicherungstechnischen Sinn?
Beispiele: Unfall, Krankheit, Todesfall, Feuer, Diebstahl, Hagel, Auto.
Die Versicherungsgesellschaften übernehmen die ”Risiken” ihrer Kunden, also potentielle
Schäden. Für diese Leistung berechnen sie einen Preis, die sogenannte Prämie. Der Vertrag
dazu heißt Police. Wenn man ein Kollektiv von Risiken oder Policen betrachtet, spricht man
von einem Portfolio. [1] Typischerweise sind in einem solchen Portfolio Verträge derselben
Versicherungssparte (z.B. Lebensversicherung, Krankenversicherung, KfZ-Versicherung usw.)
enthalten. [2]
Falls ein Risiko oder ein Kollektiv von Risiken sich als zu groß für eine Versicherungsgesellschaft erweist, so werden Teile davon weiterverkauft an eine oder mehrere andere Versicherungsgesellschaften. Die erste Versicherung heißt Erstversicherung, die zweite heißt Rückversicherung. Rückversicherungsgesellschaften teilen häufig große Risiken untereinander auf, sodass schließlich das ursprüngliche Risiko oder Kollektiv durch ein ganzes Netzwerk von Erstund Rückversicherungsarrangements abgedeckt wird. [1]
Wichtige Größen eines Risikos für die Versicherungsmathematik:
• T : Schadenszeitpunkt
• X : Schadenshöhe
• P : Prämieneinnahmen
2
Individuelles Risikomodell
Im individuellen Risikomodell gibt es ein Portfolio mit n Policen. Die einzelnen zu den Policen
gehörenden Schadenshöhen X1 , ..., Xn sind voneinander unabhängige, nichtnegative Zufallsvariablen. Xi ist also der Schaden, der sich aufgrund des i -ten Versicherungsvertrages (Police)
in dem betrachteten Zeitraum, z.B. ein Jahr, für die Versicherung ergibt. [3]
Definition 2.1: Der Gesamtschaden des Portfolios ist die Zufallsvariable
S=
n
X
i=1
3
Xi
(1)
Die Gesamtsumme die das Versicherungsunternehmen auszahlen muss, ist gleich der Gesamtschaden S. Für diesen Gesamtschaden wird eine geeignete Wahrcheinlichkeitsverteilung gesucht. Dies ist notwendig, da viele wichtige Entscheidungen darauf basieren, wie z.B. Prämienkalkulation, Rücklagen und Rückstellungen.[3]
2.1
Geschlossenes Modell
Bei einem geschlossenem Modell ist die Anzahl der versicherten Einheiten n schon am Anfang
der Periode bekannt und festgelegt. Dieses Modell wird nun Anhand eines Beispiels für eine
Lebensversicherung veranschaulicht.
Bei einer Versicherung mit einer einjährigen Laufzeit erklärt sich die Versicherung bereit,
einen bestimmten Betrag b zu zahlen, wenn der Versicherte in diesem Jahr stirbt. Wenn der
Versicherte das Jahr überlebt wird kein Betrag fällig. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden für die Versicherung eintritt - in diesem Beispiel ein Todesfall - wird als q bezeichnet.[4]
Nun betrachten wir die Verteilung der Schadenszufallsvariable X :
Sei I eine Zufallsvariable, die den Wert 0 hat und den Wert 1 annimmt, wenn ein Schaden
eintritt. I wird auch als Indikator bezeichnet. Dann gilt
X = Ib
(2)
Somit gilt
P (I = 0) = 1 − q
P (I = 1) = q
(3)
Weiters gilt
E[I] = q
E[X] = bq
2.2
V ar[I] = q(1 − q)
(4)
V ar[X] = b2 q(1 − q)
(5)
Allgemeinere Modelle
Bei allgemeineren Modellen ist die Summe der Schäden wiederum eine Zufallsvariable und
in einem Zeitraum/Periode können mehrere Schäden vorkommen. Beispiele für allgemeinere
Modelle findet man z.B. bei Gesundheits-, Automobil- und Eigentumsversicherungen. [4]
Hier gilt
X = IB
(6)
X ist hier wieder die Schadenszufallsvariable und B gibt hier die gesamte Schadenshöhe
während einer Periode an. I ist hier ein Indikator dafür, ob ein Schaden eintritt (I = 1) oder
nicht (I = 0). Weiters gilt wieder
P (I = 1) = q
(7)
2.3
Mehrere Policen
Nun wird eine Methode für die Bestimmung der Verteilung der Summe von unabhängigen
Zufallsvariablen anhand eines kurzen Beispiels vorgestellt. Dafür wird die Summe
S =X +Y
4
(8)
zweier unabhängiger Schadenszufallsvariablen betrachtet.
In der folgenden Abbildung wird nun das Ereignis S ≤ s durch die Linie s = X + Y und
durch die darunterliegende Fläche repräsentiert.
Abbildung 1: Ereignis[X + Y ≤ s] ([4], S.32)
Somit ist die Verteilungsfunktion von S gleich
FS (s) = P (S ≤ s) = P (X + Y ≤ s)
(9)
Nun können wir für 2 diskrete, nichtnegative Zufallsvariablen das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit verwenden und bekommen
X
FS (s) =
P (X + Y ≤ s|Y = y)P (Y = y)
(10)
y≤s
=
X
P (X ≤ s − y|Y = y)P (Y = y)
y≤s
Für stetige, nichtnegative Zufallsvariablen gilt
Z s
FS (s) =
P (X ≤ s − y|Y = y)fY (y)dy
(11)
0
Die Funktion aus (11) wird als Faltung bezeichnet. Um die Verteilung einer Summe von mehr
als 2 Zufallsvariablen zu bestimmen, wird dieser Faltungsprozess immer wiederholt.[4]
Sei S der in (1) definierte Gesamtschaden mit den unabhängigen Zufallsvariablen Xi . Fi ist
die Verteilungsfunktion von Xi und F (k) ist die Verteilungsfunktion von X1 + X2 + ... + Xk .
Dann gilt
F (2) = F2 ∗ F (1) = F2 ∗ F1
F (3) = F3 ∗ F (2)
F (4) = F4 ∗ F (3)
...
Fs = F (n) = Fn ∗ F (n−1)
5
Das individuelle Risikomodell ist ein gutes Modell um den Gesamtschaden einer Periode zu
berechnen. Allerdings müssen dafür alle eventuell auftretenden Schäden betrachtet werden,
auch wenn nie welche vorkommen. Des weiteren ist die Faltung bis auf einige Ausnahmen
relativ schwer zu berechnen.
3
Kollektives Risikomodell
Ohne die Annahme identischer Verteilungen, bzw. ähnlicher Verteilungen der Risiken, ist das
individuelle Modell nur schwer zu benützen und es können nur wenige Aussagen getroffen
werden. [3]
Im kollektiven Modell hingegen wird versucht, diese Beschränkung zu vermeiden. Bei diesem
Modellierungsansatz wird nicht beachtet, welches Risiko einen Schaden verursacht, sondern
das gesamte Portfolio wird als Produzent einer zufälligen Anzahl von Schäden einer Beobachtungsperiode betrachtet. [3]
Nun muss man einige Modellannahmen treffen:
Man betrachtet ein Portfolio von Versicherungspolicen über einen fixen Zeitraum t = (0, T ].
Die Zufallsvariable für die Anzahl der Schäden wird als N (t) bezeichnet, der Gesamtschaden
zum Zeitpunkt t als S(t). Der Zeitraum t beginnt hier bei 0, sodass N (0) = 0. Außerdem gilt
wenn N (t) = 0 folgt S(t) = 0.
Die Zufallsvariable Xi repräsentiert die Höhe des i-ten Schadens. Man nimmt im allgemeinen an, dass die Xi identisch verteilt sind und dass die Zufallsvariablen N (t) und die Xi
unabhängig sind. [4] [5]
Definition 3.1: Der Gesamtschaden des Portfolios ist die Zufallsvariable
S(t) = X1 + X2 + ... + XN (t)
(12)
Die Verteilungsfunktion von S ist je nach Anzahl der Schäden unterschiedlich. Diese sieht
folgendermaßen aus:
F (x) = P (S ≤ x)
∞
X
=
P (S ≤ x|N = n)P (N = n)
=
n=0
∞
X
(13)
P (X1 + X2 + ... + Xn ≤ x)P (N = n)
n=0
Auch hier kann man die Faltung anwenden. Dann ergibt sich:
P (X1 + X2 + ... + Xn ≤ x) = P ∗ P ∗ ... ∗ P (x) = P ∗n (x)
Daraus folgt
F (x) =
∞
X
P ∗n (x)P (N = n)
n=0
6
(14)
(15)
3.1
Freie Reserve
Die freie Reserve ergibt sich aus dem Ausgangskapital zuzüglich der Prämien abzüglich
aller Schäden in einem Zeitintervall. Die freie Reserve zum Zeitpunkt t wir als U (t) bezeichnet. Zusätzlich wird angenommen, dass die Prämien kontinuierlich mit einer konstanten
Prämienrate (c > 0) eingehen. [4]
Wenn U (0) = u die freie Reserve zum Zeitpunkt 0 ist, dann gilt
U (t) = u + ct − S(t)
t≥0
(16)
Man beachte, dass die freie Reserve linear mit Steigung c wächst, außer zu den Zeitpunkten
an denen Schäden auftreten. Dann verringert sich die freie Reserve um die Höhe des Schadens.
So kann es auch passieren, dass die freie Reserve negativ wird. Wenn dies zum 1. Mal passiert,
spricht man von einem Ruin. Nun definiert man
T = min{t : t ≥ 0 und U (t) < 0}
(17)
als Zeitpunkt des Ruins. [4]
Abbildung 2: Veranschaulichung der freien Reserve ([4], S.345)
Der Zeitpunkt Ti ist jener Zeitpunkt, an dem der i-te Schaden auftritt, wobei zu einem
Zeitpunkt nur ein Schaden auftritt. T1 , T2 , ... sind Zufallsvariablen wobei T1 < T2 < ... gilt.
Die Zeit zwischen den Ti wird als Wi bezeichnet und es gilt
Wi = Ti − Ti−1 und W1 = T1
(18)
In der Praxis tritt ein Ruin so gut wie nie auf. Wenn eine Versicherunsggesellschaft merkt,
dass ihre freie Reserve stark abnimmt, werden die Prämien erhöhen. [2]
3.2
Cramer-Lundberg-Modell
Das Cramer-Lundberg-Modell ist ein kollektives Risikomodell mit folgenden Eigenschaften [6]:
• Die freie Reserve bzw. der Ruin wird wie bereits definiert verwendet.
• Für die Verteilung der Anzahl der Schäden (N (t)) wird meist die Poisson-Verteilung
verwendet.
7
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion sieht hier folgendermaßen aus
P (N (t) = n) =
(λt)n e−λt
n!
n = 0, 1, 2, ...
λ>0
(19)
λ ist hier die Schadensintensität. Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gleichbedeutend damit,
dass die Wi exponential mit λ verteilt sind. Für Erwartungswert und Varianz gilt:
E[N (t)] = V ar[N (t)] = λ
(20)
Mit dieser Verteilung von N (t) ist jetzt S(t) eine zusammengesetzte Poisson-Verteilung:
E[S(t)] = λtp1 und V ar[S(t)] = λtp2
(21)
p1 und p2 sind hier der 1. und 2. Moment der Schadenshöhenverteilung. [4]
Das Cramer-Lundberg-Modell ist das Standardmodell für die Schadensversicherung. Es trennt
und modelliert die 2 wichtigsten Ursachen für große Verluste: häufige Schäden und große
Schäden. [6]
3.3
Alternative Modelle
Natürlich ist das Cramer-Lundberg-Modell nicht das einzige Risikomodell, welches in der Versicherungsmathematik verwendet wird.
Alternative Modelle sind zum Beispiel das Sparre-Andersen-Modell oder der Markov Risikoprozess. [6]
Literatur
[1] C. Klüppelberg. Risikotheorie. Skriptum, TU München, 2004
[2] H. Albrecher. Finanz- und Versicherungsmathematik 1. Skriptum, TU Graz, 2006
[3] M. Riedle. Risikotheorie. Skriptum, Universität Berlin, 2005
[4] N. Bowers. Actuarial Mathematics. The society of Actuaries, 1986
[5] C. Hipp. Risikotheorie 1. Skriptum, TH Karlsruhe, 2001
[6] Back, Bielecki, Hipp, Peng, Schachermayer. Stochastic Methods in Finance. Springer,
Brixen(Italien), 2003
8