Aufgabe 15 Für die Modellierung des Verlaufs einer Vorlesung

Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
Prof. Dr. Thomas Augustin, Gero Walter
Übungsblatt 5
SoSe 2010
Aufgabe 15
Für die Modellierung des Verlaufs einer Vorlesung werden folgende vier Zustände
unterschieden:
0.8
0.4
0.2
a1 : ruhig, normale Vorlesung
a1
a2
0.3
a2 : leises Getuschel
a3 : lautes Getuschel
1
a4 : Dozent ermahnt Studierende
zur Ruhe
a4
0.5
0.5
0.3
a3
Der Graph rechts stellt dar, welche Übergänge zwischen den Zuständen möglich
sind und mit welcher Wahrscheinlichkeit sie stattfinden.
a) Stellen Sie aus den Angaben im Graphen die Übergangsmatrix auf.
b) Nehmen Sie an, dass eine 45-Minuten-Vorlesung in 5-Minuten-Abschnitte
unterteilt wird, zu denen jeweils ein Zustand gilt. Wie oft muss der Dozent
die Studierenden im ungünstigsten Fall ermahnen, wenn die Vorlesung ruhig
beginnt?
c) Wie groß sind die 2-Schritt-Wahrscheinlichkeiten von a3 auf alle anderen
Zustände?
Aufgabe 16
Mich interessiert folgendes:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht mein Mitbewohner morgen abend aus?
Ich habe bereits folgendes Verhalten meines Mitbewohners beobachtet und
natürlich penibel notiert:
• Wenn er keinen Heuschnupfen hat, geht er in 60% der Fälle aus.
• Wenn er Heuschnupfen hat, geht er nur in 10% der Fälle aus.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er morgen Heuschnupfen hat, liegt bei der momentanen Pollenflug-Situation bei 70%. Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
1
Aufgabe 17
Man betrachtet als Zufallsexperiment den einfachen Würfelwurf mit einem fairen Würfel, d.h. die Augenzahlen 1 bis 6 sind jeweils gleichwahrscheinlich. Das
Experiment werde durch die Zufallsvariable X beschrieben.
a) Wie lautet der Träger der Verteilung von X?
b) Korrigiere folgende falsche Verteilungsfunktion von X:
1
0
1
2
3
4
5
6
c) Wie könnte man die Verteilung von X noch graphisch darstellen?
d) Beschreibe verbal folgende Mengen/Ereignisse und gib auch ihre Wahrscheinlichkeiten an!
• {X ≤ 3} , {X < 3} , {X ≤ 3.5} , {X < 3.5} ,
• {2 ≤ X ≤ 5}
• {X = 2} ∪ {X = 4} ∪ {X = 6}
Aufgabe 18
Ein Zufallsexperiment besteht im Werfen einer Münze mit Ω = { Kopf‘, Zahl‘}.
’
’
Das Experiment wird durch die Zufallsgröße X beschrieben mit
{X = 1} = Kopf‘,
P ({X = 1}) = p ,
’
{X = 0} = Zahl‘,
P ({X = 0}) = 1 − p .
’
Nun werde die Münze unabhängig viermal hintereinander geworfen, wobei der
i-te Wurf durch die Zufallsvariable Xi , i = 1, P
. . . , 4 beschrieben wird.
Die Zufallsvariable Z wird definiert als Z := 4i=1 Xi .
a) Interpretiere die Zufallsvariable Z.
b) Welche Werte kann Z mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten P ({Z = 0}), P ({Z = 1}), P ({Z = 4}).
2