Algorithmische Grundlagen des Internets 2003

Vorlesung Sommersemester 2003
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
EIM ‒ Institut für Informatik
Algorithmische Grundlagen
des Internets
XIII
Christian Schindelhauer
[email protected]
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik
Institut für Informatik
AG Theoretische Informatik
Algorithmen, Komplexitätstheorie, Paralleles Rechnen
Algorithm. Grundlagen des Internets
Christian Schindelhauer
1
28. Juli 2003
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
EIM ‒ Institut für Informatik
ACHTUNG
1. Raumänderung: Übung findet heute in Raum F1.310 zur gewohnten Zeit statt
2. Vorstellung Projektgruppen
Parallel zur Übung hier in Raum F0.530 statt. Wir empfehlen
1. Mobile Ad-Hoc Networks based on W-LAN, Böttcher, Rammig Schindelhauer
2. P2P-Netzwerke für Dynamische Szenarien, Meyer auf der Heide
3. Studienarbeiten, Diplomarbeiten bitte bei Schindelhauer und Volbert anfragen
o
Mobile Ad-Hoc Netzwerke
o
TCP-Bandweitenallokation
o
P2P-Netzwerke
4. Studentische Hilfskraft für Buchprojekt “Die Algorithmen des Internets” gesucht
5. Veranstaltungen im Winter 2003/2003:
o
Seminar “Advanced Topics of Computational Complexity”
o
PG “Mobile Ad-Hoc Networks based on W-LAN”
o
o
Vorbesprechung xx.10.2003, 18 Uhr F1.110
Vorlesung “Average-Komplexitätstheorie und Average-Case Algorithmen”
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28. Juli 2003
2
Christian Schindelhauer
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Lastanforderungen
o Einige Web-Server haben immer
hohe Lastanforderungen
www.google.com
 Z.B. Nachrichten-Sites,
Suchmaschinen, Webverzeichnisse
 Für permanente
Anforderungen müssen
Server entsprechen
ausgelegt werden
o Andere leiden unter hohen
Fluktuationen, z.B.
Montag
 Z.B. Web-Site des Tages,
NASA, Turniere
www.viaduktaltenbeken.de
Dienstag
www.viaduktaltenbeken.de
Mittwoch
www.viaduktaltenbeken.de
 Server-Erweiterung nicht
sinnvoll
 Bedienung der Anfragen
aber erwünscht
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Christian Schindelhauer
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Web-Caching
o Leighton, Lewin, et al. STOC 97
 Consistent Hashing and Random
Trees: Distributed Caching
Protocols for Relieving Hot Spots
on the World Wide Web
 Passen bestehende Verfahren für
dynamische Hash-Funktionen an
WWW-Anforderungen an
o Leighton und Lewin (MIT) gründen
Akamai 97
www.altenbekenviadukt.de
Web-Cache
o Akaimai 2003:
 15.000 Server in 60 Ländern
verbunden mit 1.100 lokalen
Netzwerken
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Christian Schindelhauer
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Proxy Caching
o
Jede Web-Seite wird auf einige (wenige)
Web-Cache verteilt
o
Nur Startanfrage erreicht Web-Server
o
Links referenzieren auf Seiten im WebCache
o
Dann surft der Web-Client nur noch auf
den Web-Cache
o
Vorteil:
Webseiten
Web-Server
Web-Cache
 Kein Bottleneck
o
Nachteil:
 Lastbalancierung nur implizit
möglich
 Hohe Anforderung an CachingAlgorithmus
Web-Clients
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5
Christian Schindelhauer
Anforderungen an Caching-Algorithmus
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2. Dynamik
Effizientes Einfügen/Löschen
von neuen Web-Cache-Servern
1. Balance
Gleichmäßige Verteilung der
Seiten
3. Views
Web-Clients „sehen“
unterschiedliche Menge von
Web-Caches
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Christian Schindelhauer
Ranged Hash-Funktionen
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o Gegeben:
 Elemente (Items) I, Anzahl: I = |I|
 Caches (Buckets) B
 Views
V ⊆ 2B
o Ranged Hash-Funktion:

 Voraussetzung:
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Christian Schindelhauer
Anforderungen an Ranged Hash-Funktionen
1. Monotonie
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o Seiten, die im umfassenderen View einem Cache zugewiesen sind,
werden nicht umorganisiert
Seiten
View 1:
Cache
View 2:
Seiten
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Christian Schindelhauer
Anforderungen an Ranged Hash-Funktionen
2. Balance
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Für jeden View V ist die Hash-Funktion fV(i) balanciert
Seiten
View 1:
Cache
View 2:
Seiten
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Christian Schindelhauer
Anforderungen an Ranged Hash-Funktionen
3. Spread
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Die Verbreitung σ(i) (spread) einer Seite i ist die Gesamtanzahl aller
notwendigen Kopien (über alle Views)
View 1:
View 2:
View 3:
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Christian Schindelhauer
Anforderungen an Ranged Hash-Funktionen
4. Load
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Die Last λ(b) (load) eines Caches b ist die Gesamtanzahl aller
notwendigen Kopien (über alle Views)
View 1:
View 2:
View 3:
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Christian Schindelhauer
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Bälle und Körbe
Lemma
Werden m Bälle zufällig in n Körbe geworfen. Dann gilt:
1. Die erwartete Zahl von Bällen pro Korb ist m/n.
2. Die W‘keit, dass k Bälle auf einen bestimmten Korb fallen ist,
Lemma
Werden m=n Bälle zufällig in n Körbe geworfen. Dann gilt:
1. Die W´keit, dass ein (bestimmter) Korb leer bleibt, ist konstant
(konvergiert gegen 1/e). Die erwartete Anzahl leerer Körbe konvergiert
gegen n/e
2. Die W‘keit, dass mehr als k ln n/ln ln n Bälle auf einen bestimmten Korb
fallen, ist höchstens O(n-c) für konstante k und c.
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Christian Schindelhauer
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Bälle und Körbe
Lemma
Werden m= k n log n Bälle zufällig in n Körbe geworfen (für geeignete
Konstante k). Dann gilt:
1. Die W‘keit, dass mehr als c1 log n Bälle auf einen Korb fallen ist
höchstens O(n-c)
2. Die W‘keit, dass ein Korb leer bleibt ist höchstens O(n-c)
Beweis:
Übungsaufgabe!
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Christian Schindelhauer
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Familien von Hash-Funktionen
o Für jede Hash-Funktion existiert eine Worst-Case-Eingabe

Daher betrachtet man grundsätzlich Familien von HashFunktionen

Genauso definieren wir Familie von Ranged-Hash-Funktionen
für geg. Views und Caches
o Wir gehen im folgenden davon aus, dass die Hash-Funktion sich
verhält wie ein perfektes Zufallsereignis

Gleichwahrscheinlich

Unabhängig
o Werden die Elemente wie Bälle in Körbe verteilt.
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Christian Schindelhauer
Konsistentes Hashing




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C: Anzahl aller Caches B
C/t: Mindestanzahl Caches pro View ist C/t
V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)
Theorem
Es gibt eine Familie von ranged-Hash-Funktionen F mit den folgenden
Eigenschaften
1. Jede Funktion fF ist monoton
2. Balance: Für jeden View gilt
3. Spread: Für jede Seite i ist
4. Load: Für jeden Cache b ist
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Christian Schindelhauer
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Die Konstruktion
o 2 Hash-Funktionen auf das reelle Intervall [0,1]
 rB(b,j): für Cache b und Zahl j  {1,.., κ log C}
• κ log C Kopien des Caches b zufällig auf [0,1] ab
 rI(i): bildet Web-Seite i zufällig auf Intervall [0,1] ab
o fV(i) := Cache bV, der für ein j den Abstand |rB(b,j)-rI(i)| minimiert.
Caches
View 1
View 2
1
0
Webseiten
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Christian Schindelhauer
1. Monotonie
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fV(i) := Cache bV, der für ein j den Abstand |rB(b,j)-rI(i)| minimiert.
Beobachtung: Blaues Intervall sowohl in V2 als auch in V1 leer!
Caches
View 1
View 2
1
0
Webseiten
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Christian Schindelhauer
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2. Balance
Balance: Für jeden View gilt

Wähle festen View und eine Web-Seite i

Wende nun die Hash-Funktionen rB(b,j) und rI(i) an.

Unter der Annahme, dass diese sich wie zufällige Abbildungen
verhalten,
• wird jeder Cache mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
ausgewählt.
View
1
0
Webseiten
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Christian Schindelhauer
3. Spread (I)
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Die Verbreitung σ(i) (spread) einer Seite i ist die Gesamtanzahl aller
notwendigen Kopien (über alle Views)




C: Anzahl aller Caches B
C/t: Mindestanzahl Caches pro View ist C/t
V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)
Spread: Für jede Seite i ist
Beweis

Betrachte Intervalle der Länge t/C
0
t/C
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1
2t/C
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3. Spread (II)




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C: Anzahl aller Caches B
C/t: Mindestanzahl Caches pro View ist C/t
V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)
Beweis: …

Betrachte Intervalle der Länge t/C

Caches insgesamt: κ C log C zufällig verteilt über C/t Intervalle
• O(n t log n) Bällen in n Körbe mit n = C/t
• Mit W‘keit 1-n-Ω(1) sind höchstens O(t log C) Caches in jedem Intervall
Caches
(alle Views)
0
t/C
1
2t/C
# Caches in benachbarten
Intervallen von ≤ O(t log C)
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Christian Schindelhauer
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3. Spread (III)




C: Anzahl aller Caches B
C/t: Mindestanzahl Caches pro View ist C/t
V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)
Beweis: …

Betrachte Intervalle der Länge t/C

Cache in einem View: κ C/t log C zufällig verteilt über C/t Intervalle
• O(n log n) Bällen in n Körbe mit n = C/t
• Mit W‘keit 1-n-Ω(1) ist mindestens ein Cache in einem Intervall
View V
0
t/C
1
2t/C
In der Nähe von
ist in jedem View ein Cache
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Christian Schindelhauer
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3. Spread (IV)
Beweis: …



Betrachte Intervalle der Länge t/C
Mit W‘keit 1-n-Ω(1) ist mindestens ein Cache in einem Intervall
Also wird die Webseite i immer lokal gespeichert
• D.h. in ihrem Intervall oder im Nachbarintervall gespeichert

Mit W‘keit 1-n-Ω(1) sind höchstens O(t log C) Caches in jedem Intervall

Obere Schranke für Verbreitung: O(t log C)
View 1
View 2
0
t/C
1
2t/C
In der Nähe von
ist in jedem View ein Cache
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Christian Schindelhauer
4. Load (I)
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o Die Last λ(b) (load) eines Caches b ist die Gesamtanzahl aller
notwendigen Kopien (über alle Views)




C: Anzahl aller Caches B
C/t: Mindestanzahl Caches pro View ist C/t
V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)
o Load: Für jeden Cache b ist
o Beweis …
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Christian Schindelhauer
4. Load (II)
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Beweis


Betrachte Intervalle der Länge t/C
Mit W‘keit 1-n-Ω(1) ist für jeden View mindestens ein Cache in jedem Intervall
View V
0
t/C
1
2t/C


V/C (Anzahl Views/Anzahl Caches)konstant
I= C (Anzahl Seiten = Anzahl Caches)

Web-Seiten insgesamt: κ C log C zufällig verteilt über C/t Intervalle
• O(n t log n) Bällen in n Körbe mit n = C/t
• Mit pol. W‘keit sind höchstens O(t log C) Web-Seiten in jedem Intervall
0
t/C
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1
2t/C
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4. Load (III)
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Beweis




Mit W‘keit 1-n-Ω(1) ist für jeden View mindestens ein Cache in jedem Intervall
Also wird die Webseite i immer lokal gespeichert
- D.h. in ihrem Intervall oder im Nachbarintervall gespeichert
Mit W‘keit 1-n-Ω(1) sind höchstens O(t log C) Web-Seiten in jedem Intervall
Jeder Cache hat höchstens O(t log C) Web-Seiten
View 1
View 2
0
t/C
Algorithm. Grundlagen des Internets
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1
2t/C
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Christian Schindelhauer
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Peer-to-peer Netzwerke
o Peer-to-peer Netzwerke sind verteilte
Systeme
 ohne zentrale Kontrolle oder
hierarchische Strukturen
 mit gleicher Software
 mit großer Dynamik, d.h. Knoten
erscheinen und verschwinden
 mit vielen Knoten
 mit geringer Netzwerkinform.
o Netzwerkstruktur wie Internet
 vollständiger Graph
 nur Unicast (kein Broadcast)
o Hauptanwendung: Name-Lookup,
 d.h. verteiltes Wörterbuch
o Lösung:
 konsistentes Hashing (mit nur
einem View)
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Knoten
erscheint
Internet
Knoten
verschwindet
Christian Schindelhauer
Anwendungen Peer-to-peer Netzwerke
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o Verteiltes Caching
 z.B. Web-Caching ohne zentrale Kontrolle
 speichereffizientes Spiegeln im Internet
o Verteiltes Plattenmanagement (Raid-Systeme)
 Statt einer Festplatte werden Daten auf verschiedene Festplatten
verteilt
 Vorteil: Geschwindigkeit durch parallelen Zugriff
o Verteilte Indizierung für Napster/Gnutella File-Sharing Systeme
 Vorteil kein zentraler Server
o Der Internet-Supercomputer
 Koordinierung einer Vielzahl (10>5) per Internet verbundenen
Rechnern
 Verteilung der Teilaufgaben durch konsistentes Hashing
Algorithm. Grundlagen des Internets
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Christian Schindelhauer
Konsistentes Hashing


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n: Anzahl der Knoten im P2P-Netzwerk
k: Anzahl der Schlüssel
Theorem
Es gibt ein konsistentes Hashing für ein Peer-to-peer-Netzwerk mit den
folgenden Eigenschaften
1. Balance&Load: Mit pol. W‘keit (1-n-c) werden in jedem Knoten
höchstens O((k/n) log n) Schlüssel gespeichert
2. Spread: Jeder Schlüssel wird auf genau einem Knoten gespeichert.
3. Dynamik: Tritt ein neuer Knoten bei oder verlässt ein Knoten das
Netzwerk müssen mit pol. W‘keit höchstens O((k/n) log n)
Schlüssel bewegt werden.
Beweis

Verwende konsistentes Web-Caching mit nur einem View und nur
einer Cache-Kopie
Algorithm. Grundlagen des Internets
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Christian Schindelhauer
Verteiltes Konsistentes Hashing
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o Problem:
 Ranged-Hash-Funktion benötigt zentrale Instanz,
um Schlüssel zu verteilen
 Gesucht: verteilte Datenstruktur ohne zentrale Instanz
 Es reicht, nur einen Knoten des Netzwerks zu kenne.
o Lösungen:
 DNS,Freenet, Ohaha, Globe system
o Lösungen mit konsistenten Hashing:
 Ocean store
 PAST,Pastry, Tapestry
 CAN
 Chord: A Scalable Peer-to peer Lookup Service for Internet Applications,
Stoica, Morris, Karger Kaashoek, Balakrishnan, SIGCOMM’01
• wird hier besprochen
Algorithm. Grundlagen des Internets
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Christian Schindelhauer
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Der Aufbau von Chord
rV(b) = b+1 mod 8
o
n: Knotenanzahl, Knotenmenge V
o
k: Anzahl Schlüssel, Schlüsselmenge K
o
m: Hashwertlänge: m >> log max{K,N}
5
6
5
7
3
o 2 Hash-Funktionen bilden auf
{0,..,2m-1} ab


rK(i) = 3i-2 mod 8
rV(b): bildet Knoten/Cache b
zufällig auf {0,..,2m-1} ab
4
rK(i): bildet Schlüssel i zufällig
auf {0,..,2m-1} ab
o fV(i) := arg minb∊V (rB(b)-rI(i)) mod 2m
Algorithm. Grundlagen des Internets
28. Juli 2003
30
Schlüssel
2
2
0
3
6
2
1
0
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Die Datenstruktur von Chord
o Für jeden Knoten b:

successor: Nachfolger

predecessor: Vorgänger

Für i∊{0,..m-1}
• Finger[i] := Der Knoten der
dem Wert rV(b+2i) folgt
predecessor
7
0
finger[2]
4
Lemma
2
Die Anzahl unterschiedlicher FingerEinträge für Knoten b ist mit pol.
W‘keit O(log n)
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finger[0]
finger[1]
Nur unterschiedliche
Fingereinträge werden
gespeichert
Algorithm. Grundlagen des Internets
6
5
o Für kleine i werden die FingerEinträge immer gleich

5
successor
31
3
2
1
0
Christian Schindelhauer
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Eigenschaften der Datenstruktur
Lemma
Der Abstand |rV(b.succ) - rV(b)| ist
1. Im Erwartungswert 2m/n
2. Mit pol. Wahrscheinlichkeit höchstens O((2m/n) log n) und
3. In einem Interall der Länge w/n 2m sind mit pol. W‘keit
a) höchstens O(w) Knoten, falls w=Ω(log n)
b) höchstens O(w log n) Knoten, falls w=O(log n)
Lemma
Die Anzahl der Knoten, die einen Fingerzeiger auf Knoten b besitzen ist
1. im Erwartungswert O(log n)
2. mit pol. Wahrscheinlichkeit höchstens O(log2n)
Algorithm. Grundlagen des Internets
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Christian Schindelhauer
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Suchen in Chord
Theorem
Die Schlüsselsuche kann mit O(log n) Anfragen mit pol. W’keit erfolgen,
d.h. O(log n) Nachrichten für Schlüsseleinfügen/löschen
o
Suchalgorithmus für Schlüssel s:
 Abbruch(b,s):
• Knoten b,b’=b.succ gefunden, mit rK(s)  [rV(b),rV(b‘)|

Hauptroutine: Starte mit irgendeinem Knoten b
while not Abbruch(b,s) do
for i=m downto 0 do
if rK(s)  [rV(b.finger[i]),rV(finger[i+1])] then
b ← b.finger[i]
fi
od
b.finger[m]
b.finger[m-1]
b
c
x
Algorithm. Grundlagen des Internets
28. Juli 2003
sy
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Christian Schindelhauer
Knotendynamik in Chord
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Theorem
O(log2 n) Nachrichten genügen mit pol. W’keit, um Knoten
aufzunehmen/zu entfernen
Beweisidee (für aufnehmen)

Im Erwartungswert müssen höchstens O(log n) (Finger-)Zeiger aktualisiert werden.
 Diese zu suchen kostet jeweils O(log n)
 Der einzutragende Wert ist bekannt (also keine Suche notwendig)
 Führt zur Schranke

Ist das Intervall |rV(b.succ) - rV(b)|, in das ein neuer Knoten eingefügt wird, groß, also
z.B. (2m/n) log n
 Dann gibt es O(log2 n) Zeiger,
 Aber diese sind jeweils in Gruppen von O(log n) benachbart.
 Damit fallen nur O(log n) Suchen a Kosten O(log n) an
 Die Aktualisierung hat jeweils konstante Kosten
Algorithm. Grundlagen des Internets
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34
Christian Schindelhauer
Abschlußveranstaltung/Prüfungen
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1. Öffentliche Prüfung
o
am 07.08.2003, 14 Uhr in Raum
F2.211
o
Zuhörer erwünscht
2. Abschlußbesprechung
o
Grillplatz am Querweg südlich
B64
o
Getränke werden gestellt
(Wünsche?-Teilnehmerzahl?)
o
Essen, Grill, Kohle, etc. bitte
selbst organisieren
3. Prüfungstermine
Algorithm. Grundlagen des Internets
28. Juli 2003
35
o
Do, 07.08.03, 14 Uhr - (nur mit
Zuhörer)
o
Mo, 11.08.03 (opt. Di 12.08.)
o
Mo, 18.08.03 (opt. Di. 19.08.)
o
Mo, 29.09.03 (opt. Di. 30.09)
o
Mo, 06.10.03 (opt. Di. 06.10)
o
weitere Termine auf Anfrage
Christian Schindelhauer
Wie bereite ich mich auf die Prüfung vor?
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1. Möglichst nicht alleine
2. Übungsaufgaben durchrechnen (sind Prüfungsstoff)
3. Skript durcharbeiten, mit eigenen Aufzeichnungen
4. Bei Fragen fragen:
o Kurze Verständnisfrage, Tippfehler im Skript:
o EMAIL an schindel oder kvolbert
o Größeren Problemen:
o Termin vereinbaren für Sprechstunde per EMail
5. Letzter Tipp:
o Prüfung selber mit Mitstudenten durchspielen
o Minivorträge vorbereiten
o
(Ein Q ist ein X als auch ein U, wenn man... Dagegen ist ein P wie das W im R ...
Darüberhinaus haben wir auch das Y kennengelernt..)
6. Allerletzter Tipp:
o Web-Seite mitverfolgen wegen Aktualisierungen des Skripts/Fragenkatalog
7. Viel Erfolg!
Algorithm. Grundlagen des Internets
28. Juli 2003
36
Christian Schindelhauer