AlGInt-S02-W28 - Universität Paderborn

Vorlesung Sommersemester 2002
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fachbereich
Mathematik/Informatik
Algorithmische Grundlagen
des Internets (XI)
Christian Schindelhauer
[email protected]
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Universität Paderborn
Fachbereich Mathematik/Informatik
AG Meyer auf der Heide
Algorithm. Grundlagen des Internets
8. Juli 2002
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Christian Schindelhauer
AG Meyer auf der Heide
Einladung zur Projektgruppe (WS 02/03 – SS 03)
Mobile und drahtlose Netzwerkkommunikation
 Algorithmische Aspekte mobiler und drahtloser Datenkommunikation
 Seminarphase: Bluetooth, WLAN, 802.11b, HIPERLAN, Broadcasting
 Mobile Ad Hoc Netzwerke
 Testen von Kommunikationsverfahren
- Miniroboter Khepera
- Simulationsumgebung SAHNE
- Netzwerksimulator ns/2
 Probleme: Routing, Mobilität, Interferenzen
 Entwicklung verteilter, dynamischer Datenstrukturen
Ansprechpartner:
Christian Schindelhauer ([email protected])
Klaus Volbert ([email protected])
Matthias Grünewald ([email protected])
3. Kapitel
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Mathematik/Informatik
Epidemische
Informationsausbreitung
1. Computerviren
2. Mathematische Modellierung von Epidemien
3. Epidemische Algorithmen
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Mathematik/Informatik
Ausbreitungsverhalten
o Beobachtungen:
 Die meisten Viren kommen in der freien Wildbahn nicht vor
 Andere erreichen einen hohen Ausbreitungsgrad
o Wie schnell breitet sich ein Virus in einem idealisierten Umfeld aus?
o Welchen Anteil der Population infiziert der Virus?
o Probleme:
 Kommunikationsverhalten
• bestimmt Ausbreitung des Virus
• ist i.A. unbekannt, wird bösartig beeinflußt
• verändert sich bei Ausbreitung eines Virus
 Übertragungswahrscheinlichkeit
• unterschiedlich, verändert sich, z.B. durch verändertes Verhalten, AntiVirus-Software
 Virustod
• durch Virusverhalten, z.B. Crash
• durch Benutzerverhalten
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Mathematik/Informatik
Mathematische Modelle
o SI-Modell (rumor spreading)
o Kontinuierliche Modelle
 susceptible  infected
 Deterministisch
 (Stochastisch)
o SIS-Modell
(birthrate/deathrate)
 führt zu
Differentialgleichungen
 susceptible  infected 
susceptible
o Diskrete Modelle
 Graphbasierte Modelle
o SIR-Modell
 Random Call-basiert
 susceptible  infected 
recovered
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 Analyse von MarkovProzesse
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Mathematik/Informatik
Infektionsmodelle
o SI-Modell (rumor spreading)
 susceptible  infected
 Am Anfang ist ein Individuum infiziert
 Bei jedem Kontakt wird ein Individuum unheilbar angesteckt
 In jeder Zeiteinheit finden (erwartet) ß Kontakte statt
o SIS-Modell (birthrate/deathrate)
 susceptible  infected  susceptible
 Wie SI-Modell, aber ein Anteil  aller Infizierten wird geheilt, aber
wieder empfänglich für Virus
 Alternativ: Mit Wahrscheinlichkeit  wird Individuum wieder
empfänglich
o SIR-Modell
 susceptible  infected  recovered
 Wie SIS-Modell, aber einmal geheilte Individuen, sind immun
gegen Virus
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Mathematik/Informatik
Gliederung
I. SI-Modell (rumor spreading)
1.
Deterministisch, kontinuierlich
2.
Zufallsgraph
a) Erwartet konstanter Grad
3.
Anrufmodell (random call)
a) Push
b) Pull
c) Push und Pull
2.
Zufallsgraph
b) Erwarteter Grad mind. polylogarithmisch
II. SIS-Modell (birthrate/deathrate)
1.
Deterministische, kontinuierlich
2.
Zufallsgraph, experimentelle Resultate
III.SIR-Modell
1.
Deterministische, empirisch
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Mathematik/Informatik
SI-Modell: Deterministische Modellierung
o n
Gesamtanzahl Individuen bleibt konstant
o S(t)
Anzahl gesunder Individuen zum Zeitpunkt t
o I(t)
Anzahl Infizierter
o Relativer Anteil:
s(t) := S(t)/n
i(t) := I(t)/n
o In jeder Zeiteinheit kontaktiert jedes Individuum ß Partner
 Annahme: Unter ß Kontaktpartner eines Infizierten sind ß s(t) gesund
 Annahme: Alle I(t) Infizierten verursachen ß s(t) I(t) Infektionen
o Führt zu Rekursionsgleichtungen
Rel. Anteile:
 I(t+1)
= I(t) + ß i(t) S(t)
i(t+1)
= i(t) + ß i(t) s(t)
 S(t+1)
= S(t) – ß i(t) S(t)
s(t+1)
= s(t) – ß i(t) s(t)
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SI-Modell:
Deterministische, kontinuierliche Modellierung
 i(t+1)
= i(t) + ß i(t) s(t)
s(t+1)
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Mathematik/Informatik
= s(t) – ß i(t) s(t)
o Idee:
 i(t) ist kontinuierliche Funktion
 i(t+1)-i(t) entspricht 1. Ableitung
o Lösung der Differentialgleichung:
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SI-Modell: Interpretation der
deterministischen, kontinuierliche Lösung
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Mathematik/Informatik
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SI-Modell: Interpretation der
deterministischen, kontinuierliche Lösung
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Mathematik/Informatik
o Theorem
o Bis n/2 Individuen infiziert sind, wächst die Anzahl der Infizierten
exponentiell
o Dann schrumpft die Anzahl der Gesunden exponentiell
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SI-Epidemien in Graphen
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o Gegeben gerichteter Kontaktgraph G=(V,E)
 n := |V|
 I(t) := infizierte Knotenmenge in Runde t
• I(t) = |I(t)|
• i(t) = I(T)/n
 S(t) := gesunde Knotenmenge in Runde t, d.h. S(t) := V \ I(t)
• S(t) = |S(t)|
• s(t) = S(T)/n
o Infektion:
 Falls u  I(t) und (u,v)  E, dann ist v  I(t+1)
o Graphstruktur bestimmt Epidemie
 Vollständiger Graph: 1 Zeiteinheit bis zur vollständigen Infektion
 Kettengraph: bis n-1 Zeiteinheiten dafür
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SI-Epidemie im Zufallsgraph
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o Zufallsgraph Gn,p
 n Knoten
 Jede gerichtete Kante erscheint mit unabhängiger W’keit p
 Erwarteter Grad:  = p (n1)
o Wie verbreiten sich eine Epidemie in Gn,p, falls  O(1) ?
o Beobachtung für n>2:
 Mit Wahrscheinlichkeit  4 und  e hat ein Knoten
• Eingrad 0, d.h. kann nicht infiziert werden
• Ausgrad 0, d.h. kann nicht infizieren
o Folgerung:
 Selbst wenn I(0) = c n, für c]0,1[, kann die Epidemie
erwartungsgemäß nur einen linearen Anteil der Knoten
infizieren
 Falls I(0) = 1, bricht die Epidemie mit W’keit  4 nicht aus
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Anruf-Model (Random Call)
o Wie Graphmodell, aber in jeder Runde neuer Kontaktgraph Gt=(V,Et):
 Jeder Knoten u in Gt
• hat Ausgrad 1, indem
• wählt zufälligen Knoten v aus V
• dann ist (u,v)  Et
o Infektionsmodelle:
 Push-Modell:
• Falls u I(t) und (u,v)  Et, dann v I(t+1)
 Pull-Modell:
• Falls v I(t) und (u,v)  Et, dann v  I(t+1)
 Push&Pull-Modell: Push & Pull – Infektionen
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Push-Modell
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Push-Modell: Anfangsphase
o 3 Fälle für infizierenden Knoten
1. Er ist der einzige, der neuen Knoten infiziert
2. Er kontaktiert bereits infizierten Knoten
3. Er infiziert mit anderen Knoten zusammen einen neuen Knoten
 Dieser Fall wird bei deterministische Modell vernachlässigt

W’keit für 1. oder 3.: s(t) = 1-i(t)

W’keit für 2.: i(t)

W’keit für 3.:  i(t), da höchstens i(t) infiziert werden
W’keit für Infektion eines neuen Knoten, falls i(t)  s(t)/2: 1 – 2i(t)
 E[i(t+1)]  2 i(t) – 2i(t)2  2 i(t)
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