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Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Christian Schindelhauer [email protected] HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Zellulare Netze HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Ursprüngliche Problemstellung: – Starres Frequenzmultiplexing für gegebene Menge von Basisstationen • Gegeben: – Positionen der Basisstationen • Gesucht: – Frequenzzuteilung, welche die Interferenzen minimiert • Wie modelliert man zulässige Frequenzzuteilungen? Christian Schindelhauer 20.11.2002 2 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Frequenzzuweisung (I) HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Gegeben: – Punktemenge VIR2 von n Basisstationen B1, …,Bn – Jede Basisstation sendet mit einer festen Reichweite ri, i {1..n} • Gesucht: – Funktion f:VIN, die einer Basisstation eine Übertragungsfrequenz zuordnet unter Berücksichtigung von Frequenz- und Abstandsbedingungen • Beispiele für Bedingungen: – Minimiere die Anzahl der vergebenen Frequenzen – Minimiere die Breite des Frequenzspektrums – Minimiere die Anzahl der Wellenüberlagerungen (Interferenzen) Christian Schindelhauer 20.11.2002 3 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Frequenzzuweisung (II) Modellierung HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Interferenz-Graph GInt: – Knoten sind die Basisstationen – Kanten kennzeichnen Interferenzen zwischen den Basisstationen • Wann interferieren Basisstationen? – 1. Variante: • Sei U(B1) der Umkreis um B1 mit Radius r1 • Zwei Basisstationen B1 und B2 interferieren, falls U(B1) U(B2) GInt r1 B1 Graph-Färbungsproblem Christian Schindelhauer 20.11.2002 4 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Allgemeine Graph-Färbung HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Sei G=(V,E) ein ungerichteter Graph. Eine Abbildung f:VF heißt k-Knotenfärbung, falls f(u)f(v) für {u,v}E und FIN, |F|=k. • Chromatische Zahl (G) ist die kleinste Zahl k, für die es in G eine k-Knotenfärbung gibt. • Clique Zahl (G) ist die größte Zahl von Knoten, die in G einen vollständigen Teilgraph bilden. • Zusammenhang ((G) Grad von G): (G) (G) (G) + 1 Beweis: Übung Christian Schindelhauer 20.11.2002 5 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Komplexität Beweis: • COLOR NP – rate eine k-Knotenfärbung und teste, ob sie zulässig ist. • 3SAT p COLOR: – Knoten: v1, …, vn, v1, …, vn, x1, …, xn, C1, ..., Cr – Kanten: {vi, vi} v3 {xi, xj}, {vi, xj}, {vi, xj} für i j x2 {vi, Ck}, {vi, Ck} für Literale nicht in Ck v1 Christian Schindelhauer 20.11.2002 v2 v3 6 false x1 t1 t2 t3 v2 x3 v1 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI COLOR ist NP-vollständig HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • 3SAT p COLOR: „“ Ann. Belegung, die die Klauseln C1, ..., Cr wahr macht. Färbe jedes erfüllte Literal mit dem entsprechenden ti und das Komplement mit false. Betrachte Cj: Ein Literal wurde mit einer true-Farbe (ti) gefärbt, da die Klausel erfüllbar ist. D.h. Cj kann mit ti gefärbt werden. „“ Ann. keine Belegung, die die Klauseln C1, ..., Cr wahr macht. Dann ex. Cj: Alle Literale wurden mit false (n+1. Farbe) gefärbt. D.h. Cj ist mit Knoten aller true-Farben verbunden und mit min. einem Knoten, dem die false-Farbe zugeordnet ist. Der Graph kann also nicht mit n+1 Farben gefärbt werden. Christian Schindelhauer 20.11.2002 7 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmen HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Sei P(I) die Lösung eines Optimierungsproblems für eine Instanz I – Hier: I = G – P(I) = (G) [gegebener ungerichteter Graph] [Färbungszahl von G] • Definition: – P ist mit absoluter Güte f(n) approximierbar, wenn es Polynomialzeitalgorithmus A gibt, so dass für alle Instanzen I der Größe n gilt: | P(I) A(I) | f(n) – P läßt sich mit relativer Güte g(n) approximieren, wenn es einen Polynomialzeitalgorithmus A gibt, so dass für alle I der Größe n gilt: Christian Schindelhauer 20.11.2002 8 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Resultate zur Graph-Färbung HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Allgemeine Graph-Färbung ist nicht nur NP-vollständig, sondern auch nicht approximierbar mit Faktor besser als n für >0 unter der Ann. NPP. • „Besitzt der planare Graph eine 3-Knotenfärbung?“ ist auch NP-vollständig • Aber: – Jeder planare Graph kann in Polynomzeit mit 4 Farben knotengefärbt werden (Vier-Farben-Satz, ca. 633 Fälle!) – Jeder Graph kann in Polynomzeit auf 2-Knotenfärbbarkeit überprüft werden – Es gibt einen Approximationsalgorithmen der Güte O(n/log n) für das allgemeine Färbungsproblem Christian Schindelhauer 20.11.2002 9 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (I) • Independent Set Problem (NP-vollständig): – Sei G=(V,E) ein Graph, UV. U heißt unabhängig, falls: {u,v} E für alle u,v U – Independent Set: bestimme möglichst große unabhängige Menge (Beweis: Übung) Christian Schindelhauer 20.11.2002 10 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (II) • Algorithmus GreedyIS: U=, G=(V,E) while V nicht leer do Erzeuge zugehörigen Graph G zu V Wähle Knoten u mit minimalem Grad Lösche u und alle Nachbarn von u in G aus V Füge u zu U hinzu od Ausgabe U • GreedyIS – berechnet eine nichterweiterbare unabhängige Knotenmenge – Laufzeit: O(|V|+|E|) Christian Schindelhauer 20.11.2002 11 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (III) Christian Schindelhauer 20.11.2002 12 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (IV) HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik • Algorithmus GreedyCol: G=(V,E), Farbe=1; while V nicht leer do Erzeuge G aus V und bestimme U mit GreedyIS(G) Färbe alle Knoten in U mit Farbe Entferne U aus V und erhöhe Farbe um 1 od Ausgabe Knotenfärbung • Wie „gut“ ist der Algorithmus GreedyCol bei Eingabe eines Graphen, der eine k-Knotenfärbung zuläßt? Christian Schindelhauer 20.11.2002 13 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI Approximationsalgorithmus für Knotenfärbung (V) Christian Schindelhauer 20.11.2002 14 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Modellierung von FAP (I) • Färbungsmodell – Benachbarte Felder müssen verschiedene Frequenzen besitzen – Reduziert sich auf Knotenfärbung des Interferenzgraphen • Vorteil – Einfach beschreibbares, anschauliches Modell • Nachteile – Das Färbungsproblem ist algorithmisch nicht effizient lösbar/approximierbar, wenn nicht P=NP – Modelliert die Praxis schlecht, da Zusammenhang zwischen hoher Sendeenergie und Beeinflußung benachbarter Frequenzräume besteht Christian Schindelhauer 20.11.2002 15 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VI
