AlgPFunk-02-49 (PowerPoint)
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Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Christian Schindelhauer [email protected] HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Radio Broadcasting HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik • Broadcasting – Ein Sender möchte eine Nachricht an alle n Stationen übermitteln • Radio Broadcasting – Ungerichteter Graph G=(V,E) beschreibt mögliche Verbindungen • Wenn Kante {u,v} existiert, kann u nach v senden und umgekehrt • Wenn keine Kante, dann kein Empfang und keine Störung – Eine Frequenz, Funkstationen sind gleichgetaktet – Senden zwei benachbarte Stationen gleichzeitig, wird kein Signal empfangen (noch nicht einmal ein Störungssignal) • Hauptproblem: – Graph G=(V,E) ist den Teilnehmern unbekannt – Verteilter Algorithmus zur Vermeidung von Konflikten Christian Schindelhauer 11.12.2002 2 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Radio Broadcasting ohne ID • HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Theorem Es gibt keinen deterministischen Broadcasting-Algorithmus für das Radio-Broadcasting-Problem (ohne ID) • Beweis: Betrachte folgenden Graphen: 1. Blauer Knoten sendet (irgendwann) Nachricht an die Nachbarknoten 2. Sobald sie informiert sind, verhalten sie sich synchron (weil sie den gleichen Algorithmus abarbeiten) und senden (oder senden nicht) immer gleichzeitig 3. Roter Knoten erhält keine Nachricht. Christian Schindelhauer 11.12.2002 3 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Simple-Random (I) HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik • Jede Station führt folgenden Algorithmus aus: • Simple-Random(t) begin if Nachricht m vorhanden then for i ← 1 to t do r ← Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils W‘keit 1/2) if r = 1 then Sende m an alle Nachbarn fi od fi end Christian Schindelhauer 11.12.2002 4 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Simple-Random (II) HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik • D: Durchmesser des Graphen • Δ: Grad Lemma Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit ≥ Δ 2Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. Beweis: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer von m ≤ Δ informierten Nachbarknoten ungestört sendet, ist: W‘keit, dass ein Nachbarn sendet W‘keit, dass m1 Nachbarn nicht senden Christian Schindelhauer 11.12.2002 # Möglichkeiten Sender 5 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Ein probabilistisches Verfahren Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit p ≥ Δ 2Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. – Betrachte bel. Knoten mit Abstand D zur Quelle – Sei (u,u1,u2,..,uD) ein Pfad von der Quelle u zu diesem Knoten – Wir unterschätzen den wirklichen Informationsfluß und betrachten nur den Informationsfluß auf diesen Pfad p p 1p Christian Schindelhauer 11.12.2002 1p p p 1p 1p 6 p 1p 1 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Der Markov-Prozess der Informationsausbreitung Weg Lemma Für jedes α>1 und β ≥ 0 gilt: Wenn auf einem Pfad der Länge D eine Nachricht mit unabhängiger W‘keit p voranschreitet und mit W‘keit 1p stehen bleibt, dann ist die W‘keit, dass die Information nach spätestens t Schritten mit p 1p 1p p 1p p 1p 1p p p 1p p Zeit 1p p Christian Schindelhauer 11.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik 1 1 nicht durchgelaufen ist, höchstens 7 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Laufzeit von SimpleRandom HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Lemma Für geeignetes c>1 gilt: Simple-Random informiert das gesamte Netzwerk mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 12nk in Zeit c 2Δ/Δ (D+ log n), wenn alle Stationen bis zum Ende aktiv bleiben. Beweis: – – – – Betrachte Knoten und Pfad der Länge ≤ D Betrachte Informationsfluss auf den Pfad: p ≥ Δ 2Δ Setze α=2 und β = (k+1) log n Damit folgt das Lemma Christian Schindelhauer 11.12.2002 8 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX Modellerweiterung HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik • Modell bis jetzt zu restriktiv • Deterministisches Modell: – Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer (ID) aus dem Bereich {1,..,n} • Probabilistisches Modell: – Die Anzahl n der Spieler ist bekannt – Der maximale Grad Δ ist bekannt – Aber keine ID vorhanden Christian Schindelhauer 11.12.2002 9 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Decay (I) • Idee: Randomisierte Ausdünnung der Teilnehmber Decay(k,m) begin j ← 1 repeat j ← j + 1 Sende Nachricht m an alle Nachbarn r ← Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils W‘keit 1/2) until r=0 oder j > k end Christian Schindelhauer 11.12.2002 10 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Decay (II) • d Nachbarknoten informiert • Alle d Nachbarknoten starten gleichzeitig Decay(k,m) • P(k,d): W‘keit, dass Nachricht wird von d Nachbarn in ≤ k Runden erhalten Lemma Für d≥2 gilt: Christian Schindelhauer 11.12.2002 11 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX BGI-Broadcast [Bar-Yehuda, Goldreich, Itai 1987] • HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Alle Informierten haben synchronisierten Rundenzähler – D.h. Time wird mit Nachricht weiter gegeben – Und in jeder Runde inkrementiert BGI-Broadcast(Δ,) begin k ← 2 log Δ t ← 2 log (N/) wait until Nachricht kommt an for i ← 1 to t do wait until (Time mod k) = 0 Decay(k,m) od end Christian Schindelhauer 11.12.2002 12 Algorithmische Probleme in Funknetzwerken IX
