AlgPFunk-02-49 (PowerPoint)

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Algorithmische Probleme in
Funknetzwerken
IX
Christian Schindelhauer
[email protected]
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fachbereich Mathematik/Informatik
Radio Broadcasting
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
• Broadcasting
– Ein Sender möchte eine Nachricht an alle n Stationen übermitteln
• Radio Broadcasting
– Ungerichteter Graph G=(V,E) beschreibt mögliche Verbindungen
• Wenn Kante {u,v} existiert, kann u nach v senden und umgekehrt
• Wenn keine Kante, dann kein Empfang und keine Störung
– Eine Frequenz, Funkstationen sind gleichgetaktet
– Senden zwei benachbarte Stationen gleichzeitig, wird kein Signal
empfangen (noch nicht einmal ein Störungssignal)
• Hauptproblem:
– Graph G=(V,E) ist den Teilnehmern unbekannt
– Verteilter Algorithmus zur Vermeidung von Konflikten
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Radio Broadcasting
ohne ID
•
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Theorem
Es gibt keinen deterministischen Broadcasting-Algorithmus für das
Radio-Broadcasting-Problem (ohne ID)
•
Beweis:
Betrachte folgenden Graphen:
1. Blauer Knoten sendet (irgendwann)
Nachricht an die Nachbarknoten
2. Sobald sie informiert sind, verhalten sie sich
synchron (weil sie den gleichen Algorithmus
abarbeiten) und senden (oder senden nicht)
immer gleichzeitig
3. Roter Knoten erhält keine Nachricht.
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Simple-Random (I)
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
• Jede Station führt folgenden Algorithmus aus:
• Simple-Random(t)
begin
if Nachricht m vorhanden then
for i ← 1 to t do
r ← Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils W‘keit 1/2)
if r = 1 then
Sende m an alle Nachbarn
fi
od
fi
end
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Simple-Random (II)
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
• D: Durchmesser des Graphen
• Δ: Grad
Lemma
Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit ≥ Δ 2Δ informiert,
falls mindestens ein Nachbar informiert ist.
Beweis:
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer von m ≤ Δ informierten Nachbarknoten
ungestört sendet, ist:
W‘keit, dass
ein Nachbarn
sendet
W‘keit, dass
m1 Nachbarn
nicht senden
Christian Schindelhauer
11.12.2002
# Möglichkeiten
Sender
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
HEINZ NIXDORF INSTITUT
Universität Paderborn
Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Ein probabilistisches
Verfahren
Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit
p ≥ Δ 2Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist.
– Betrachte bel. Knoten mit Abstand D zur Quelle
– Sei (u,u1,u2,..,uD) ein Pfad von der Quelle u zu diesem Knoten
– Wir unterschätzen den wirklichen Informationsfluß und betrachten nur
den Informationsfluß auf diesen Pfad
p
p
1p
Christian Schindelhauer
11.12.2002
1p
p
p
1p
1p
6
p
1p
1
Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Der Markov-Prozess der
Informationsausbreitung
Weg
Lemma
Für jedes α>1 und β ≥ 0 gilt:
Wenn auf einem Pfad der Länge D eine
Nachricht mit unabhängiger W‘keit p
voranschreitet und mit W‘keit 1p stehen bleibt,
dann ist die W‘keit, dass die Information nach
spätestens t Schritten mit
p
1p
1p
p 1p
p
1p
1p
p
p 1p
p
Zeit
1p
p
Christian Schindelhauer
11.12.2002
HEINZ NIXDORF INSTITUT
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Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
1
1
nicht durchgelaufen ist, höchstens
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Laufzeit von SimpleRandom
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Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Lemma
Für geeignetes c>1 gilt: Simple-Random informiert das
gesamte Netzwerk mit Wahrscheinlichkeit von
mindestens 12nk in Zeit c 2Δ/Δ (D+ log n), wenn alle
Stationen bis zum Ende aktiv bleiben.
Beweis:
–
–
–
–
Betrachte Knoten und Pfad der Länge ≤ D
Betrachte Informationsfluss auf den Pfad: p ≥ Δ 2Δ
Setze α=2 und β = (k+1) log n
Damit folgt das Lemma
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
Modellerweiterung
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Informatik und Mathematik
• Modell bis jetzt zu restriktiv
• Deterministisches Modell:
– Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer
(ID) aus dem Bereich {1,..,n}
• Probabilistisches Modell:
– Die Anzahl n der Spieler ist bekannt
– Der maximale Grad Δ ist bekannt
– Aber keine ID vorhanden
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
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Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Decay (I)
•
Idee: Randomisierte Ausdünnung der Teilnehmber
Decay(k,m)
begin
j ← 1
repeat
j ← j + 1
Sende Nachricht m an alle Nachbarn
r ← Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils W‘keit 1/2)
until r=0 oder j > k
end
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
HEINZ NIXDORF INSTITUT
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Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Decay (II)
• d Nachbarknoten informiert
• Alle d Nachbarknoten starten gleichzeitig Decay(k,m)
• P(k,d): W‘keit, dass Nachricht wird von d Nachbarn in
≤ k Runden erhalten
Lemma
Für d≥2 gilt:
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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Algorithmische Probleme
in Funknetzwerken IX
BGI-Broadcast
[Bar-Yehuda, Goldreich, Itai 1987]
•
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Fakultät für Elektrotechnik,
Informatik und Mathematik
Alle Informierten haben synchronisierten Rundenzähler
– D.h. Time wird mit Nachricht weiter gegeben
– Und in jeder Runde inkrementiert
BGI-Broadcast(Δ,)
begin
k ← 2 log Δ
t ← 2 log (N/)
wait until Nachricht kommt an
for i ← 1 to t do
wait until (Time mod k) = 0
Decay(k,m)
od
end
Christian Schindelhauer
11.12.2002
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