Algebra I Aufgabe 26. Es seien p,q Primzahlen. Zeigen Sie, dass

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Prof. Dr. Franz Kalhoff
Marco Sobiech, M. Sc.
WS 2015/2016
Abgabe: 07.01.2016 12:00 Uhr
Algebra I
Übungsblatt 9
Aufgabe 26.
Es seien p, q Primzahlen. Zeigen Sie, dass eine Gruppe der Ordnung pq2 niemals einfach ist.
Aufgabe 27.
Bestimmen Sie alle kommutativen Ringe mit Einselement. . .
a) . . . , in denen jede additive Untergruppe bereits ein Ideal ist.
b) . . . der Ordnung 4.
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die möglichen additiven Gruppen, dann das Einselement und schließlich, welche Möglichkeiten für die Multiplikation bestehen.
Aufgabe 28.
√
√
√
Es sei d ∈ Z. Wir betrachten die Menge
Z[
d]
:=
{a
+
b
d
∈
C
|
a,
b
∈
Z}.
Die
ganze
Zahl
N(a
+
b
d) :=
√
a2 − db2 heißt die Norm von a + b d.
√
a) Zeigen Sie, dass Z[ d] einen Unterring von C ist.
√
b) Zeigen Sie, N(αβ ) = N(α) · N(β ) für alle α, β ∈ Z[ d] gilt.
√
Für den Rest der Aufgabe sei d die imaginäre Zahl i, d.h. wir fixieren d als −1. Der Ring Z[i] heißt dann der
Ring der Gaußschen Zahlen.
c) Bestimmen Sie die Einheiten in Z[i]. Ist Z[i] ein Körper?
d) Bestimmen Sie, welche der Primzahlen 2, 3, . . . , 29 eine nichttriviale Faktorisierung (d.h. kein Faktor ist
Einheit) in Z[i] besitzen.
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