Jenseits des Unendlichen - Dierck

Jenseits des Unendlichen
Dierck-E.Liebscher
www.aip.de/People/deliebscher
Zwei Geraden der Ebene, die sich in keinem
Punkt der Ebene schneiden, nennen wir Parallelen. Wir sagen locker, Parallelen schneiden
sich im Unendlichen. Was sind Geraden? Was
ist das Unendliche? Gibt es das: Geraden, die
sich auch im Unendlichen nicht schneiden? Jawohl, und wir wollen es sehen. Dabei finden wir
etwas wirklich Merkwürdiges: Jenseits des Unendlichen ist ein Umweg kürzer als der direkte.
Die Abbildungen erläutern die speziellen Konstruktionen. Wer nur den roten Faden verfolgen
will, kann sie übergehen.
Abbildung 1: Die Projektion auf das Gesichtsfeld und
der Horizont als Bild des Unendlichen
Worum es geht
aber jetzt unsere Aufmerksamkeit nicht ablenken sollen. Projektive Abbilder werden durch
Verkettung von Zentralprojektionen erzeugt. Es
ist einfach zu sehen, dass Geraden immer auf
Geraden abgebildet werden. Eine Gerade der
Ausgangsebene spannt nämlich mit dem Projektionszentrum eine Ebene auf, deren Schnitt
mit der Gesichtsfeldebene eben wieder eine Gerade ist. Die benutzten Projektionen nennen wir
daher geradentreu. Andere Projektionen, wie
man sie etwa aus der allgemeinen Kartendarstellung
kennt, interessieren hier nicht.
Sehen wir von der Krümmung und den Unebenheiten der Erdoberfläche ab, erscheint das
Unendliche im Gesichtfeld ebenfalls als eine Gerade, der Horizont (Abb. 1). Das abgebildete Unendliche ist daher im weiteren Sinne eine Gerade, die Ferngerade heißt. Die Erfahrung mit der Geometrie der euklidischen Ebene zeigt, dass sich parallele Geraden auf dieser Ferngeraden schneiden. In der Projektion
wird das zum Anschauen sichtbar. Stellt man
das ebene Bild eines dreidimensionalen Körpers
her, sieht man, dass sich parallele waagerechte
Geraden auf dem Horizont schneiden. Die Entdeckung dieses Zusammenhangs ermöglichte es
Brunelleschi im 15. Jahrhundert, die Gesetze
der Perspektive zu finden und zu demonstrieren. Nun können wir auf so einer Gesichtsfeldebene – der Projektion unserer Ausgangsebe-
Nichteuklidische Geometrie ist nicht so schwierig und verständnisfern, wie oft vorgetäuscht
wird. Es gibt vieles, was mit den Strategien der
gewohnten Geometrie erschlossen werden kann.
Hier sollen einige einfache Zusammenhänge behandelt werden. Wir stoßen dabei nicht nur auf
verblüffende Feststellungen, sondern auch auf
tieferliegende Probleme, die gewöhnlich nicht
berührt werden. Ein wenig soll auch die Einsicht befördert werden, dass Hypothesen nicht
bewiesen werden können oder müssen, dass sie
ihre Güte ausschließlich in der Fruchtbarkeit der
aus ihnen gezogenen Folgerungen nachweisen,
und dass gerade deshalb die Folgerungen und
deren Gerüst die Farbe der Unabweisbarkeit erhalten. Dies heißt auch, dass alles was eine Zeichnung nahelegt, auch bewiesen werden muss.
Die Abbildung ist nicht immer Wegweiser, sondern gelegentlich auch Fallensteller. Deshalb ist
es eigentlich gar nicht ratsam, Abbildungen zu
genau zu zeichnen, wenn man an Beweisen interessiert ist. Euklid hat seine Zeichnungen in
den Sand gemalt, berichtet die Anekdote.
Etwas Projektion
Es sind die Projektionen, die dem Unendlichen Gestalt und Anschaulichkeit verleihen. Wir
meinen Projektionen der Ebene. Im Höherdimensionalen kommen andere Dinge dazu, die
1
Abbildung 2: Schnitte eines Kreiskegels
Ebene Schnitte eines Kreiskegels sind je nach Lage
der Schnittebene Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln.
Geht die Schnittebene durch die Kegelspitze, entarten diese zu einem Punkt, einer Geraden oder einem
Geradenpaar.
Abbildung 3: Euklidische Konstruktion der Spiegelung
Zwei Mal (in B und C) muss der Zirkel eingestochen,
eingestellt und gedreht werden, um das Spiegelbild
von A an BC zu erhalten.
gen betrachten müssen, stellen wir zunächst die
Eigenschaften der Spiegelung fest, die wir von
der Ausgangsebene kennen und die nun auf die
Gesichtfeldebene übertragen werden:
ne – nicht mehr mit dem Lineal wie gewohnt
Längen übertragen, auch können wir den gewohnten Kreis nicht mehr als geometrischen
Ort der Punkte fester Entfernung von einem
Mittelpunkt ansehen. Das projizierte Bild eines
richtigen Kreises in der Ausgangsebene ist ja
nun in der Gesichtfeldebene ganz allgemein ein
Kegelschnitt (Abb. 2). Auch ist das projizierte Bild einer Drehung in der Ausgangsebene
keine gewöhnliche Drehung der Gesichtsfeldebene mehr. Vielmehr müssen Drehungen und
Verschiebungen jetzt als Ergebnis zweier hintereinander ausgeführter Spiegelungen konstruiert werden. Das kennen wir. Die Spiegelung
ist schon in der gewohnten Geometrie der Ausgangsebene die gemeinsame Wurzel von Drehungen und Verschiebungen (Klassenstufe 6).
In der gewohnten Geometrie dieser Ebene ist
das jedoch zunächst von geringer Bedeutung,
weil die Spiegelung an einer Geraden mit dem
Zirkel, also unter Zuhilfenahme von Drehungen,
konstruiert wird (Abb. 3). Jetzt aber können
zum Vergleich von Längen und Winkeln das
gewohnte Maßband, der gewohnte Zirkel und
der gewohnte Winkelmesser nicht mehr benutzt
werden.
Da wir später ohnehin allgemeine Spiegelun-
1. Das Spiegelbild des Spiegelbildes einer Figur ist wieder die Figur selbst.
2. Das Spiegelbild einer Geraden ist wieder
eine Gerade, d.h., Spiegelungen sind geradentreu.
3. Die Spiegelung lässt die Punkte des Spiegels selbst an ihrem Platz.
4. Die Verbindung eines Punktes A mit seinem Spiegelbild s[A] steht auf dem Spiegel s lotrecht, ist also ein Lot auf dem
Spiegel1 . Damit ist definiert, was lotrecht
heißen soll und was ein rechter Winkel ist.
Die Spiegelung lässt die Lote auf dem Spiegel an ihrem Platz.
Wir wollen die Spiegelung benutzen, um Längen
und Winkel zu vergleichen. Also fordern wir
noch:
1 Eckige Klammern hinter einer Bezeichnung schließen Variablen ein, von denen das bezeichnete Objekt abhängt, bzw.
von denen das bezeichnete Objekt abgeleitet ist.
2
5. Stecken oder Winkel, die durch eine Folge
von Spiegelungen zur Deckung gebracht
werden können, erhalten das gleiche Maß,
so daß Spiegelungen längen- und winkeltreu bleiben und den Längen- und Winkelvergleich ermöglichen, der ja mit dem
gewohnten Maßband und dem gewohnten
Winkelmesser nicht mehr erreicht werden
kann. Also:
Jeder Punkt auf dem Spiegel s ist von
einem gespiegelten Punkt A und seinem
Spiegelbild s[A] gleich weit entfernt. Die
Spiegelung lässt das Unendliche an seinem
Platz.
Ob das widerspruchsfrei konstruierbar ist, lassen wir zunächst unbeachtet.
Abbildung 4: Eine Überraschung
Zwischenfrage: Was ist eine Gerade?
nach unsere Vorurteile. Wir versuchen uns an
einer Karte, auf der das Unendliche als Kreis
U und unsere Ebene als das Innere dieses Kreises dargestellt ist, und auf der Geraden noch
das übliche Aussehen haben. Natürlich weichen
die geometrischen Eigenschaften einer solchen
Ebene von denen der gewohnten Ausgangsebene ab: Es gibt nun Geraden, die sich weder im
Innern noch auf dem Kreis, also weder im Endlichen noch im Unendlichen schneiden (Abb. 4).
Ihr Schnittpunkt liegt erst jenseits des Unendlichen. Es gibt zu einer Geraden g und durch
einen Punkt Q abseits der Geraden viele andere Geraden h, die g weder im Endlichen (d.h.
im Innern) noch im Unendlichen (d.h. auf dem
vorgezeichneten Kreis) schneiden. Locker gesprochen, ist die Parallele zu g durch Q nicht
mehr eindeutig. Etwas strenger kann man sagen, dass es zu einem Punkt Q außerhalb g
nun zwei Geraden gibt, die g im Unendlichen
schneiden (Abb. 5).
Wenn wir nun Längen und Winkel vergleichen wollen, müssen wir die Spiegelungen konstruieren können. Eine solche Konstruktion gelingt bereits allein mit den Eigenschaften 1-5
(Abb. 6). Schließlich muss wegen der Längentreue ein Punkt auf dem Unendlichen U bei jeder Spiegelung wieder auf U landen. Auch muss
eine Tangente nach jeder Spiegelung wieder genau einen Punkt auf U enthalten, also wieder
eine Tangente sein.
Dumme Frage. Wir nehmen das Lineal. Eine Kante prüfen wir auch, wenn wir an ihr entlangpeilen. Es hat also den Anschein, als könne
man durch Messung festlegen, was eine Gerade ist. Das ist aber nicht so einfach, wenn
man bedenkt, dass man eigentlich auch von den
Messgeräten nachprüfen muss, ob sie sich bei
Drehung und Verschiebung so verhalten, wie
wir erwarten, und da sind wir in einem Zirkelschluss gefangen. Schon die Geradheit lässt sich
nicht an irgendwelchen Gerätschaften prüfen,
sondern nur an den notwendigen Eigenschaften der Geraden. Die zentrale Eigenschaft ist
die, dass sich zwei Geraden höchstens einmal
schneiden, und dass durch zwei Punkte höchstens
eine Gerade geht. Geraden sind also nicht als
einzelne Kurven bestimmt. Nur eine ganze Familie von Kurven kann als Familie von Geraden
bestimmt sein.
Wenn wir eine stetige Kurve y = f [x] in eine Familie y = mx + n + f [x] einbetten, dann
ist das eine Familie von Geraden. Auf einer Karte mit der Abbildungsvorschrift {ξ = x, η =
y −f [x]} erhält diese Familie auch das gewohnte Aussehen von Geraden.
Felix Klein und die geradentreue Abbildung der nichteuklidischen Ebene
Nun springen wir mitten hinein in die nichteuklidische Geometrie und diskutieren erst da3
Abbildung 5: Zwei Parallelen
Eine Gerade g schneide das Unendliche in zwei Punkten F1 und F2 . Dann gehen durch Q zwei Geraden
h1 und h2 , die g im Unendlichen schneiden. Alle Geraden durch Q im verschatteten Sektor schneiden g
erst jenseits des Unendlichen.
Abbildung 6: Spiegelung einer Geraden, die das Unendliche erreicht
Gegeben sei der vorgezeichnete Kreis U (das Unendliche), eine Gerade g durch das Innere, deren Spiegelbild gesucht werden soll, und die Spiegelgerade s. g
schneide U in ihren Fernpunkten F1 [g] und F2 [g]. Die
Tangenten t1 [g] und t2 [g] in diesen Punkten schneiden den Spiegel s in den zwei Punkten S1 und S2 .
Die Spiegelbilder der Tangenten t1 [g] und t2 [g] sind
dann die jeweils anderen Tangenten v1 und v2 , die
U in W1 und W2 berühren mögen. Es gibt keine andere Möglichkeit. W1 und W2 sind damit die Spiegelbilder von F1 und F2 . Folglich ist die Verbindung
h = W1 × W2 das Spiegelbild von g.
Können wir eine Gerade spiegeln, wissen wir
auch, wie ein Punkt zu spiegeln ist. Wenn sich
kein anderer Weg findet, stellen wir den Punkt
eben als Schnitt zweier Geraden g1 und g2 dar.
Das Spiegelbild s[A] ist dann der Schnitt der
Spiegelbilder s[g1 ] und s[g2 ] dieser Geraden. Da
jeder Punkt (auch außerhalb U ) als Schnittpunkt zweier Geraden durch das Innere dargestellt werden kann, und jede Gerade außerhalb
U zwei Punkte verbindet, ist mit der Konstruktion von Abbildung 6 die Spiegelung bereits
vollständig bestimmt. Für einen Punkt A außerhalb U geht es auch direkter (Abb. 7).
Nun können wir uns überzeugen, dass der
vorgezeichnete Kreis U tatsächlich das Unendliche darstellt, d.h., dass auf einer Geraden ein
Intervall beliebig oft abgetragen werden kann,
ohne dass die Peripherie von U wirklich erreicht
wird (Abb. 8).
len, gegeben ist. Zwei Tangenten bestimmen
ihren Schnittpunkt P und die Verbindungsgerade p ihrer Berührpunkte. Zwischen beiden gibt
es eine bemerkenswerte Beziehung, die Polarität genannt wird und die harmonische Lage
der Schnittpunkte mit einer beliebigen Geraden
durch P betrifft. Harmonische Teilung, erinnern
wir uns, entsteht als Lage zweier Diagonalen eines Vierecks mit den durch ihren gemeinsamen
Punkt gehenden Seiten oder als Lage zweier
Diagonalpunkte eines Vierseits mit den auf ihrer Verbindung liegenden Ecken (Abb. 9). Doch
zurück zu den Tangenten an den Kegelschnitt.
Schneidet eine Gerade g durch den Schnittpunkt P den Kegelschnitt in zwei Punkten K1
und K2 , so teilen diese beiden Punkte das Intervall von P zum Schnittpunkt g ×p von g mit
p harmonisch (Abb. 10).
Suchen wir die Tangenten an den Kegelschnitt von einem äußeren Punkt P , so kon-
Abstecher zur harmonischen Teilung
Im Eifer des Gefechts ist untergegangen, dass
zur Konstruktion der Tangenten noch angemerkt
werden muss, dass diese mit dem Lineal allein ausgeführt werden kann, wenn der Kegelschnitt, dessen Tangenten gefunden werden sol4
Abbildung 7: Spiegelung eines Punktes jenseits des
Unendlichen
Sei das Unendliche U, der Spiegel s und der Punkt A
gegeben, dessen Spiegelbild gesucht werden soll. Wir
ziehen aus A die Tangenten t11 und t12 an das Unendliche U und suchen die Schnittpunkte S1 bzw. S2 mit
dem Spiegel s. Diese Schnittpunkte bleiben fest, die
Tangenten werden jeweils in die anderen Tangenten
gespiegelt, t11 in t21 und t12 in t22 . Der Schnittpunkt
von t21 und t22 muss das Spiegelbild B von A sein.
Abbildung 8: Spiegelung eines Punktes und
Verlängerung einer Strecke
Auf einer Geraden g sei eine Strecke SA gegeben. Sie
soll über S hinaus abgetragen werden. Das muss mit
einer Spiegelung geschehen, die g auf sich selbst abbildet, die Tangenten in den Schnittpunkten mit U
aufeinender und den Pol G = P [g] (den Schnittpunkt
dieser Tangenten) auf sich selbst. Der erste Spiegel
ist daher die Verbindung GS. Mit der in Abbildung 6
erklärten Konstruktion finden wir B1 A = 2SA, danach B2 A = 4SA und B3 A = 8SA. Die Folge der Ak
kann g mit endlich vielen Schritten nicht erreichen,
die Folge der Bk kann den Schnittpunkt B∞ von g
und U nicht erreichen, obwohl der Abstand von A
jeden Wert übersteigen kann.
struieren wir zunächst die vierten harmonischen
Punkte zu zwei Geraden durch P und finden
die Verbindung p (sie heißt Polare des Punktes P , so wie dieser Pol der Geraden p heißt).
Die Polare schneidet den Kegelschnitt in den
Berührpunkten der beiden Tangenten aus P .
Suchen wir die Tangente an einen Punkt Q des
Kegelschnitts, wählen wir eine Gerade p durch
Q und auf p zwei äußere Punkte P1 und P2 .
Deren Polaren schneiden sich im Pol P von p.
Die Verbindung P Q ist die gesuchte Tangente.
ren. Die Frage lautet also: Muss das Bild des
Unendlichen ein Kegelschnitt sein? Allerdings.
Das liegt an Eigenschaften, die Spiegelungen
haben müssen, die aber bis jetzt noch nicht
benutzt worden sind, weil sie erst bei Verkettung von Spiegelungen wichtig werden. Wir haben schon festgestellt, dass mit zwei aufeinanderfolgenden Spiegelungen Drehungen und Verschiebungen entstehen sollen. In der gewohnten
Ausgangsebene kann man leicht sehen, dass ein
bestimmtes Ergebnis von der relativen Lage der
beiden Spiegelungen, nicht aber von der Lage
der einzelnen Spiegel abhängt — solange sie
nur durch den gemeinsamen Schnittpunkt gehen (Abb. 12).
Abstecher in die allgemeine metrischprojektive Geometrie
An dieser Stelle spätestens sollten wir uns
wundern, dass das alles so einfach gehen soll.
Warum muss das Bild des Unendlichen denn ein
Kreis sein? Nun, ein Kreis ist hier nur die spezielle Form eines Kegelschnitts, der Einfachheit
halber so gewählt, aber nicht der Notwendigkeit halber. Bei weiter Projektion der Zeichnungen würde er ohnehin seine Kreisgestalt verlie-
6. Drei aufeinander folgende Spiegelungen,
die einen gemeinsamen Fixpunkt haben,
sind einer vierten Spiegelung mit eben diesem Fixpunkt äquivalent.
5
lar zur Transitivität der Gleichheit dargestellt.
Sei M der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
auf AB und BC, dann gilt für die Abstände sowohl MA = MB als auch MB = MC. Dann
muss auch MC = MA sein, M also auch die
Mittelsenkrechte auf CA tragen. Soweit muss
natürlich alles bleiben. Eins aber wird neu sein:
Eine Strecke hat im allgemeinen zwei Mittelsenkrechten (Abb. 15), so wie jeder Winkel im
allgemeinen zwei Winkelhalbierende hat. Wir
sehen das, wenn die Mittelsenkrechte m auf
AB als Spiegel benutzt wird. Der Spiegel steht
senkrecht auf g = AB, geht also durch deren
Pol G = P [g]. Der Pol N = P [m] des Spiegels
m wiederum liegt auf AB. Daraus folgt, dass
die Verbindung n = P [g]P [m] beider Pole auch
auf AB senkrecht steht und bei der Spiegelung
unverändert bleibt. Da die Spiegelung an n mit
der an m identisch ist, sind beide Geraden m
und n Mittelsenkrechten der Strecke AB. Nur
liegt die zweite jenseits des Unendlichen2 .
Diese Eigenschaft wollen wir für alle Spiegelungen generell festhalten. Sie sorgt dafür, dass in
jedem Dreieck der Höhensatz gilt, und dass in
jedem Dreieck durch den Schnittpunkt zweier
Mittelsenkrechten auch eine Mittelsenkrechte
auf der dritten Seite geht. Die Beweise benötigen nur ein wenig Algebra, aber das ist jetzt
nicht unser Ziel. Man kann sie bei F.Bachmann
[1] studieren. In [4] sind sie zitiert.
Es kann nun gezeigt werden, dass das Unendliche U ein Kegelschnitt sein muss. Dabei ist
der Höhensatz wichtig. Er ist eine Verallgemeinerung der Feststellung, dass alle Lote auf einer
gegebenen Geraden (d.h. alle Spiegel, die diese
Gerade an ihrem Platz lassen) durch den Pol
der Geraden, d.h. den Schnittpunkt der beiden
Tangenten gehen müssen. Wenn die Höhen (die
Lote aus den Eckpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten) eines Dreiecks immer durch
einen Punkt gehen, dann müssen alle Lote auf
einer Geraden durch einen Punkt gehen. (Wir
sehen das an Dreiecken, wo der dritte Punkt
auf der Verbindung der beiden anderen liegt.)
Wir nennen ihn Pol P [g] der Geraden g. Wir
haben ihn schon in Abbildung 8 verwendet.
Die Tangenten sind etwas Besonderes. Die
Tangente ist eine Gerade, die ihren eigenen Pol
enthält. Der Pol einer Tangente an das Unendliche ist der Berührpunkt. Alle Lote auf der Tangente müssen also durch diesen Pol, an allen anderen Punkten ist die Tangente auf sich selbst
senkrecht. Nur in ihrem Pol sind andere Geraden lotrecht, dort aber gleich wieder alle. Umgekehrt, Geraden die ihren eigenen Pol enthalten, müssen in diesem das Unendliche berühren,
da nur die Geraden durch den Berührpunkt alle
den gleichen Winkel bilden können (Abb. 13).
Zeichnen wir ein Tangentendreiseit, so sind die
Verbindungen der Ecken mit den gegenüberliegenden Berührpunkten Lote und müssen sich
wegen des Höhensatzes in einem Punkt schneiden. Damit sind Berührpunkte und Tangenten
Elemente eines Kegelschnitts. Man kann nun
von jeder anderen Gerade zeigen, dass sie diesen Kegelschnitt berühren muss, soll sie ihren
Pol enthalten. Der Pol einer vierten Geraden ist
nämlich bestimmt, wenn die Pole eines Dreiecks
anderer Geraden bekannt sind [1, 4].
Wenn zu einer Strecke nun ein Mittelsenkrechtenpaar gehört, gibt es vier Schnittpunkte von Mittelsenkrechten auf den drei Seiten
und vier Umkreise um die Ecken des Dreiecks.
Liegt das Dreieck im Innern von U , liegt auch
nur einer der Schnittpunkte im Innern und kann
zu einem Umkreis gehören, der ganz im Innern
liegt. Die anderen drei liegen jenseits des Unendlichen und die zu ihnen gehörenden Umkreise berühren das Unendliche3 .
2 In der euklidischen Geometrie und generell bei Gültigkeit
der Parallelenaxioms entartet das Unendliche zu einer Linie,
der Ferngeraden, die die Rolle der zweiten Mittelsenkrechten
für alle Strecken übernimmt.
3 In der euklidischen Geometrie sind die drei zusätzlichen
Mittelpunkte die Pole der Dreieckseiten und die drei zusätzlichen Umkreise entarten zu Parallelenpaaren.
Der Mittelsenkrechtensatz wird in der gewohnten euklidischen Geometrie oft als Corro6
Abbildung 9: Harmonische Lage
Gegeben sei ein Vierseit, d.h. vier Geraden a1 bis
a4 . Es hat 6 Punkte B12 , ..., B34 , weil es 6 verschiedene Geradenpaare gibt. Es gibt drei verschiedene
Punktepaare ohne gemeinsame Geraden ([P12 , P34 ],
[P13 , P24 ] und [P14 , P23 ]), die die drei Diagonalen d1 ,
d2 und d3 bestimmen, das Diagonalendreiseit. Die
Lage zweier Punkte dieses Dreiseits heißt harmonisch
zu den zwei Punkten des Vierseits, die auf der gemeinsamen Diagonalen liegen.
Zwei Punktepaare teilen einander harmonisch, wenn
es eine Kette von Projektionen gibt, die zu nichts
weiter als der Vertauschung der Punkte eines
der Paare führt. In unserem Falle projizieren wir
[B24 , P, B13 , S] aus B12 auf [B23 , F, B14 , S] und dies
aus B34 auf [B13 , P, B24 , S]: die Vertauschung ist erreicht. Die Punkte P und S werden durch die Folge [B24 , P, B13 , S] aus B14 auf [B34 , P, B12 , F ] aus
B24 auf [B14 , S, B23 , F ] aus B34 auf [B24 , S, B13 , P ]
erreicht. Auf jeder Diagonalen teilen die Ecken des
Vierseits die Ecken des Diagonalendreiseits harmonisch.
Abbildung 10: Zwei Tangenten und die Polarität
Gegeben seien zwei Tangenten t1 und t2 mit ihren
Berührpunkten B1 und B2 . Die Tangenten schneiden
sich in P , die Verbindung der Berührpunkte ist p.
Eine Gerade g durch P definiert die Schnittpunkte
F mit p und G und H mit dem Kegelschnitt. Dann
teilen G und H die Punkte P und F harmonisch.
Wir
sehen
das
an
dem
Sechseck
[B1 , B1 , H, B2 , B2 , G]. B1 und B2 sind Doppelpunkte, deren Verbindungen durch die Tangenten t1
bzw. t2 gegeben sind. Dann müssen die Schnittpunkte P = t1 t2 , Q = B2 H × B1 G und R = B1 H × B2 G
auf einer Geraden liegen (Pascalscher Satz). Nun ist
[B1 G, GB2 , B2 H, HB1 ] ein Vierseit. Die Ausgangsgerade g = HG ist eine seiner Diagonalen. F und
P sind Diagonalpunkte auf g und teilen G und H
harmonisch.
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Abbildung 12: Drei Spiegelungen sind eine Spiegelung
Das Produkt der Spiegelungen an drei Geraden, die
einen gemeinsamen Punkt M haben, ist wieder eine
Spiegelung, die M fest lässt.
Sa Sc Sd = Sb .
Abbildung 11: Die Konstruktion von Tangenten
Gegeben sei ein Punkt P . Wir wählen zwei Geraden
g1 und g2 durch P und konstruieren die vierten harmonischen Punkte F1 und F2 zu P bezüglich G1 H1
und G2 H2 . Die Verbindung p = F1 F2 ist die Polare von P und schneidet den Kegelschnitt in den
Berührpunkten B1 und B2 der Tangenten t1 und t2 .
Sind andererseits zwei Punkte B1 und B2 des Kegelschnitts gegeben und die Tangenten gesucht, müssen
wir den Pol P der Verbindungsgeraden p finden. Dazu wählen wir zwei Punkte P1 und P2 außerhalb des
Kegelschnitts. Zu jedem der beiden Punkte konstruieren die Polaren nach dem eben gefundenen Muster.
Sie schneiden sich in P . Die Verbindungen zu B1 und
B2 sind wieder die gesuchten Tangenten.
Abbildung 13: Schneiden sich zwei Geraden im Unendlichen, hat der von ihnen gebildete Winkel das
Maß Null
Wir wählen in Abbildung 6 einen zweiten Spiegel s∗
durch den Punkt S2 . Dann bleibt W1 unverändert,
nur W2 liegt an anderer Stelle W2∗ . Nun ist der Winkel 6 F2 F1 W1 nicht nur gleich 6 W2 W1 F1 , sondern
auch gleich 6 W2∗ W1 F1 . Der Winkel 6 W2 W1 F2 kann
aber nur dann das gleiche Maß wie eins seiner Vielfachen haben, wenn das Maß Null ist. Die Winkel mit
den Vertices F1 oder W1 sind wie nun alle Winkel
mit dem Vertex auf U Null.
8
Abbildung 15: Zwei Mittelsenkrechten auf einer
Strecke
Gegeben seien zwei Punkte A und M im Innern des
Unendlichen. Wir spiegeln A an M , genauer am Lot
m auf der Geraden g = AM in M . Dieses Lot geht
durch den Pol G der Geraden g. Mit der Methode
von Abbildung 6 finden wir B. Das Lot m ist eine Mittelsenkrechte. Bei der Spiegelung an m bleibt
aber auch der Pol N von m, der auf g liegen muss,
unverändert und mit ihm die Linie n = GN . Auch
diese Linie ist eine Mittelsenkrechte. Das Sechseck
A1 S4 B2 B1 S3 A2 entspricht wie A1 S1 B1 B2 S2 A2 dem
Sechseck F1 S1 W1 W2 S2 F2 von Abbildung 6.
Man sieht unter anderem, dass A1 B1 B2 A2 ein
Viereck ist, dessen drei Diagonalpunkte durch G, M
und N gegeben sind. AG und A1 A2 teilen einander
harmonisch, ebenso wie BG und B1 B2 , ebenso wie
M N und AB.
Ein Punkt A und sein Spiegelbild B teilen den
Schnitt M mit dem Spiegel s und seinen Pol N =
P [s] harmonisch.
Abbildung 14: Höhensatz und Brianchon
Enthalten drei Geraden a, b und c ihren Pol, so sind
diese (P [a], P [b] und P [c]) die Höhenfußpunkte im
gebildeten Dreiseit. Die Verbindungen der Ecken mit
diesen müssen sich deshalb in einem Punkt B schneiden. Dieser Punkt ist nun aber der Brianchon-Punkt
des Sechsecks der drei Geraden, die doppelt gezählt
werden müssen und deren Pole dann die drei noch
fehlenden Ecken sind.
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Abbildung 16: Ein Drachenviereck mit drei rechten
Winkeln
Wir zeichnen ein Viereck mit rechten Winkeln. Die
erste Seite sei g, ihr Pol P [g]. Sollen die zwei Nachbarseiten a und b senkrecht auf g stehen, müssen sie
durch diesen Pol gehen. Der Pol von b sei P [b]. Mit
seiner Hilfe errichten wir in B ∗ das Lot g ∗ . Nun haben wir drei rechte Winkel (bei A, B und B ∗ ). Der
Pol P [g ∗ ] von g ∗ muss nun auch auf b liegen, aber
er muss nicht mehr mit dem Pol P [g] von g zusammenfallen. Liegt er an anderer Stelle, kann a nicht
mehr senkrecht auf g ∗ sein, denn a passiert P [g],
nicht P [g ∗ ]
Abbildung 17: Parkettierung der nichteuklidischen
Ebene mit regelmäßigen Fünfecken
Fassen wir eine bestimmte Gerade ins Auge und konstruieren ihren Pol, sehen wir, dass alle von ihr geschnittenen Geraden des Parketts durch diesen Pol
gehen. Die Geraden des Parketts bilden also ein orthogonales Netz.
die Höhenfußpunkte eines Dreiecks nicht mehr
die Seiten), andere verlieren ihre Entartung (so
gibt es, wie bei den vier Ankreisen eines Dreiecks auch vier richtige Umkreise und nicht nur
einen wie in der euklidischen Geometrie), andere bleiben schlicht wie sie sind (in einem Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten
immer größer als die Länge der dritten Seite).
Es bleibt auch dabei, dass zwei Geraden, die
sich auf U schneiden (in der euklidischen Geometrie sind das die vertrauten Parallelen), einen
Winkel vom Maße Null einschließen (Abb. 13).
Diesseits des Unendlichen
Solange wir Figuren innerhalb des Kreises –
diesseits des Unendlichen – betrachten, finden
wir Formen, die denen der vertrauten Geometrie sehr ähnlich sind und nur ein wenig verzerrt scheinen, weil eben – wie auf einer Karte der Erdkugel – die Maßstäbe ortsabhängig
sind. Nur gibt es nun durch einen Punkt Q außerhalb einer Geraden g mehrere Geraden, die
g im Endlichen nicht schneiden: das Paralellenaxiom ist nicht gültig. Die Winkelsummen
in Vielecken bleiben hinter der euklidischen Erwartung zurück: Im Dreieck sind es weniger als
zwei Rechte, im Viereck weniger als vier Rechte
(Abb. 16). Man kann das Gebiet innerhalb des
Unendlichen etwa mit regelmäßigen Fünfecken
parkettieren, deren Seiten rechtwinklig aufeinander stehen (Abb. 17). Verschiedene Eigenschaften der euklidischen Figuren gehen verloren (z.B. halbiert der Feuerbachkreis durch
Jenseits des Unendlichen
Nun aber soll es um das Gebiet außerhalb
des Unendlichen U gehen. Wir finden natürlich
alles wieder, was schon innerhalb des Unendlichen merkwürdig ist. Eins ist jedoch neu: Aus
jedem Punkt können zwei Tangenten an das
Unendliche gezogen werden. Die Konstruktion
des Spiegelbilds eines Punktes A vereinfacht
sich (Abb. 7). Das Spiegelbild einer Geraden
könnten wir als Verbindung der Spiegelbilder
zweier Punkte der Geraden bestimmen. Schneidet jedoch die Gerade das Unendliche U, können
10
wir auch zuerst das Spiegelbild ihres Pols, der ja
außerhalb U liegen muss, aufsuchen und dann
von ihm die Tangenten an U ziehen und deren
Berührpunkte verbinden.
Punkte und Figuren innerhalb U bleiben auch
bei Spiegelungen innerhalb, Punkte und Figuren außerhalb U bleiben auch bei Spiegelungen
außerhalb. Das haben wir eigentlich nicht anders erwartet. Für das Außengebiet bedeutet
dies jedoch, dass die Geraden in drei Klassen
zerfallen, je nachdem, ob sie das Unendliche
U schneiden, berühren oder meiden. Für jede
dieser drei Klassen gilt, dass Spiegelbilder wieder zur gleichen Klasse gehören. Das Spiegelbild einer Geraden, die U meidet, kann U weder berühren noch schneiden, und so fort. Diese
Existenz von drei Klassen von Geraden unterscheidet die Geometrie im Gebiet jenseits des
Unendlichen in vieler Hinsicht von den bisher
gefundenen geometrischen Verhältnissen. Man
muss sich erst einmal daran gewöhnen, dass es
Geraden gibt, die nur jenseits des Unendlichen
verlaufen und dass es Geraden gibt die das Unendliche nur berühren, sonst aber auch nicht zu
bemerken sind.
Abbildung 18: Auf einer Tangente an das Unendliche
haben alle Strecken das Maß Null
Wir wählen in Abbildung 7 einen zweiten Spiegel
s∗ durch den Punkt S2 . Es ergibt sich ein zweites
Spiegelbild B ∗ . Nun hat S2 A die gleiche Länge wie
das Spiegelbild S2 B und die gleiche wie das Spiegelbild S2 B ∗ . Das geht nur, wenn die Maße aller drei
Strecken Null sind.
Im Dreieck S2 BS1 hat der Weg von S1 nach S2 über
B das Maß Null. Er ist also kürzer als der direkte
Weg S1 S2 .
Wechseln wir also die Seiten. Das Stück der
Karte außerhalb des Kreises wird dann unser
Diesseits, und die Frage ist, was beim Vergleich
von Längen und Winkeln geschieht.
de physikalische Anwendung, nämlich die Vermessung der Spuren auf einem Registrierstreifen. Im Kleinen finden wir wieder, was wir auf
den in der Relativitätstheorie benutzten OrtsZeit-Diagrammen gelegentlich schon gesehen
haben. Die Geraden, die das Unendliche U schneiden, heißen zeitartig und sind die Spuren inertialer Bewegungen. Die Geraden, die U berühren,
heißen lichtartig und sind die Spuren von Lichtsignalen (genauer der Bewegung mit der absoluten Geschwindigkeit), und die Geraden die
das Unendliche meiden, heißen raumartig.
Die erste und verblüffende Beobachtung ist,
dass es jetzt Strecken der Länge Null gibt, deren Endpunkte nicht zusammenfallen. Es sind
dies die Strecken auf den Tangenten an das
Unendliche (Abb. 18). Wenn wir mit irgendeiner Strecke und zwei Tangenten ein Dreieck
zeichnen, hat der Umweg über die Tangenten
schlicht die Länge Null. Da man mit Tangentenstücken polygonale Verbindungen zwischen
irgend zwei Punkten herstellen kann, gibt es
zwischen allen Punkten Verbindungen der Länge
Null (die aber im allgemeinen keine geraden
Verbindungen sind). Umwege können nicht mehr
generell länger sein als der direkte. Im Gegenteil, im Außenraum sind Umwege generell kürzer
als die direkten (Abb. 19).
Das Tangentenviereck, das in Abbildung 7
zur Konstruktion der Spiegelung benutzt wurde, ist das Lichteck, das in den MinkowskiDiagrammen der (speziellen) Relativitätstheorie als Konstruktionsstrategie benutzt wird. Die
hier benutzte Vorschrift, Tangenten an U wieder in solche Tangenten zu spiegeln, entspricht
dem Einsteinschen Axiom der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (Konstanz heißt hier Unabhängigkeit von der Geschwindigkeit des Spiegels).
So ungewohnt, ja absurd eine solche Situation scheint: Gerade sie hat eine grundlegen11
Abbildung 19: Jenseits des Unendlichen sind Umwege kürzer als der direkte
Wir betrachten ein Dreieck ABC aus Geraden, die
alle das Unendliche erreichen. Kennen wir die Spiegel
SA und SB , die AC bzw. BC auf AB spiegeln, finden
wir BSB [C] als Spiegelbild von BC und ASA [C] als
Spiegelbild von AC. Der Weg ACB ist somit kürzer
als AB:
AC + CB = ASA [C] + SB [C]B < AB.
Wenn wir die physikalische Interpretation der Geraden AB, AC und CA als zeitartige Strecken (d.h.
deren abstrakte Länge die zwischen den Endereignissen verstreichende Zeit ist) akzeptieren, ist dies
gerade die Aussage des Zwillingsparadoxons.
Abbildung 20: Konstruktion des Pols einer vierten
Geraden
Gegeben sind drei Geraden g1 , g2 und g3 mit ihren Polen P1 , P2 und P3 (volle Kreise). (Sind zwei
Pole gegeben, muss der dritte auf einer Linie liegen, die aus den anderen Stücken über den Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC bereits konstruiert werden kann.) Nun soll der Pol einer vierten Geraden g4 konstruiert werden. Die Gerade g4 erzeugt
die Schnittpunkte D, E und F . Zu den drei so entstehenden Dreiecken BDE, CDF und AEF findet
man die Höhenschnittpunkte (leere Kreise) HCDF ,
HBDE usw., weil jeweils zwei Höhen konstruiert werden können. Die dritten Höhen der drei Dreiecke
(CHCDF , BHBDE usw.) schneiden sich im Pol P4
von g4 .
Auch im Außenraum (den wir nun RaumZeit nennen können) gilt, dass sich kein Viereck
mit vier rechten Winkeln konstruieren lässt: Die
Raum-Zeit ist hier gekrümmt. Wenn wir nur
ganz kleine Figuren betrachten oder den Kegelschnitt U über eine hauchdünne Ellipse zu
einer Strecke zusammendrücken, verschwindet
die Krümmung und das Außengebiet wird zur
Minkowski-Ebene.
entartet und die Konstruktion der Pole nicht
mehr auf Tangenten zurückgreifen kann. Lassen wir also den reellen Kegelschnitt, erlauben
wir das Unendliche als imaginäre Figur. Festhalten wollen wir dagegen am Höhensatz, speziell
an der Eigenschaft der Lote auf einer Geraden,
alle durch einen gemeinsamen Punkt, den Pol
der Geraden zu gehen.
Zur Konstruktion des Pols einer Geraden kann
der nun imaginäre Kegelschnitt nicht mehr benutzt werden. An seiner Stelle geben wir drei
nicht konkurrente Geraden und ihre Pole vor.
Der dritte Pol kann dabei schon nicht mehr
ganz frei gewählt werden: Schließlich soll auch
in diesem Dreiseit der Höhensatz gelten. Dann
ist für jede weitere Gerade der Pol bestimmt
(Abb. 20).
Zur Konstruktion des Spiegelbildes benut-
Geht es noch allgemeiner?
Es geht immer allgemeiner, man muss nur
(explizite) Voraussetzungen oder (implizite) Vorurteile fallen lassen. Wenn man an der Geradentreue der Karten festhalten will, kann man immer noch auf den reellen Kegelschnitt verzichten. Wir wissen ja schon, dass er im gewohnten
Fall der euklidischen Ebene zu einer Geraden
12
te generische Fall ist das projektive Bild der
sphärischen Geometrie. Er ergibt sich, wenn die
Kugel aus ihrem Mittelpunkt auf eine Ebene
projiziert wird (Azimutalprojektion des Globus).
Entartungsfälle gibt es fünf. Einer von ihnen ist
die euklidische Geometrie, ein anderer die OrtsZeit-Ebene der Relativitätstheorie. Das wird aber
ein neues Thema.
Literatur
[1] F.Bachmann (1959): Der Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Heidelberg.
[2] I.M.Jaglom (1969): Princip otnositelnosti
Galileja i neevklidova geometrija, Izd. Nauka, Moskva.
Abbildung 21: Spiegelung und harmonische Teilung
Gegeben sei ein Punkt A, die Spiegelgerade s (strichpunktiert) und ihr Pol N = P [s]. Dann muss das
Spiegelbild S = s[A] auf der Verbindung AN liegen.
Es ergibt sich der Schnittpunkt M . Das Spiegelbild
B muss zusammen mit A die Punkte M N harmonisch teilen. Wir müssen also ein Viereck konstruieren, dessen eine Seite M N und dessen Diagonalpunkt
auf dieser Seite A ist. Dann geht die A gegenüberliegende Diagonale durch den gesuchten Punkt B.
Wir können s als Seite des Vierecks wählen, eine
andere muss aber A passieren. Sie schneide s in Q,
dem dritten Punkt des Vierecks, und geht auch noch
durch den vierten, den wir in R wählen. Nun konstruieren wir die beiden anderen Diagonalpunkte: B
als Schnitt von M Q mit N R und C als Schnitt der
Seiten N Q und M R. Die dem Diagonalpunkt A gegenüber liegende Diagonale BC schneidet AN im gesuchten Punkt S.
[3] B.Klotzek, E.Quaisser (1978): Nichteuklidische Geometrie, Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin
[4] D.-E.Liebscher (1999): Einsteins Relativitätstheorie und die Geometrien der Ebene, J.A.Barth, Leipzig
[5] H.Struve, R.Struve (1988): Zum Begriff der projektiv-metrischen Ebene, ZS
f.math.Logik u. Grundlagen d.Mathematik
34, 79-88.
zen wir die harmonische Lage der Seitenmitten, wie wir sie in Abbildung 15 kennengelernt
haben (Abb. 21).
Es gibt zunächst einmal zwei generische Fälle.
Den einen haben wir untersucht. Es ist der Fall,
dass es Geraden gibt, die ihren Pole enthalten, und dass diese Geraden einen nicht entarteten Kegelschnitt einhüllen. Im Innern des
Kegelschnitts finden wir die klassische nichteuklidische Geometrie. Die Verhältnisse im Außenraum gehören der deSitter-Geometrie der
Ebene. Die Erweiterung auf die vierdimensionale Raum-Zeit kann auf zwei Arten geschehen,
je nachdem, ob die den Kegelschnitt schneidenden Geraden oder gerade die anderen als
zeitartige Linien behandelt werden. Der zwei13