Mathematik 3 ¨Ubungsblatt 12 - Fakultät Informatik/Mathematik

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Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Wintersemester 2015/16
Mathematik 3
Übungsblatt 12
Aufgabe 1:
Die Funktionsdauer T eines Bauelements mit dem Erwartungswert E(T ) = 177 h genüge einer Exponentialverteilung.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überlebt das Element die ersten 120 h ?
b) In einer Baugruppe sind zwei solcher Elemente in Reihe geschaltet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
die Baugruppe nach 120 h noch funktionsfähig ? (Voraussetzung: Die Funktionsdauern der beiden
Elemente seien unabhängig voneinander.)
Aufgabe 2:
Die Lebensdauer eines elektronischen Bauteils (in Betriebsstunden) unterliege einer Exponentialverteilung.
Es ist bekannt, dass die Hälfte aller Bauteile höchstens 5000 Betriebsstunden übersteht.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Bauteil ausfällt, bevor 7000 Betriebsstunden erreicht
sind?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht ein solches Bauteil eine Lebensdauer von mindestens 2000 Betriebsstunden?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Lebensdauer eines solchen Bauteils zwischen 500 und 15000
Betriebsstunden?
Aufgabe 3:
Die Funktionsdauer T eines Ventilators wird als Weibull-verteilte Zufallsvariable angesehen. Die Parameter
dieser Verteilung seien: α = 2.5 und β = 5650 h.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Funktionsdauer eines solchen Ventilators.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein solcher Ventilator mindestens 4380 h lang ohne Ausfall
arbeitet?
Aufgabe 4:
Die Funktionsdauer T einer Pumpe unterliege einer Weibull-Verteilung. Es ist bekannt, dass α = 2 sowie
E(T ) = 3000 h gilt.
a) Berechnen Sie aus diesen Angaben den Wert des Parameters β der Weibull-Verteilung.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Pumpe nach 3000 Betriebsstunden noch funktionsfähig?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Pumpe zwischen 3000 und 3500 Betriebsstunden aus?
Aufgabe 5:
In der Zuverlässigkeitstheorie spielt die Ausfallrate λ(t) eine wichtige Rolle. Die Ausfallrate gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine im Zeitintervall [0, t] nicht ausgefallene Betrachtungseinheit (z.B. ein Bauteil,
eine Baugruppe oder ein System) im Zeitintervall (t, t + dt] (also kurz nach dem Zeitpunkt t“) ausfällt.
”
Die Ausfallrate λ(t) zum Zeitpunkt t wird nach der Formel
λ(t) =
f (t)
1 − F (t)
berechnet, wobei f (t) die Dichtefunktion und F (t) die Verteilungsfunktion der Lebensdauer der Betrachtungseinheit bezeichnet.
1
weiter siehe S. 2
Fortsetzung zu Aufgabe 5:
a) Die Lebensdauer eines Systems sei exponentialverteilt mit dem Parameter λ.
Berechnen Sie die Ausfallrate zum Zeitpunkt t.
b) Die Lebensdauer eines Systems sei Weibull-verteilt mit den Parametern α und β.
Berechnen Sie die Ausfallrate zum Zeitpunkt t und interpretieren Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von
dem Wert des Parameters α.
c) Für den in Aufgabe 3 betrachteten Ventilator ist die Ausfallrate zum Zeitpunkt t = 5000 h zu berechnen.
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