2. Der Gleichstromkreis

L.Kerbl, HTL 22 – Abteilung R
AET-Gleichstromkreis
Lernbehelf für AET, 1.JG
Letzte Änderung:
23.1.1999; 15:00
D.I. Lothar KERBL, Donaustadtstr 45, 1220 WIEN
2. Der Gleichstromkreis
2.1 Der Widerstand
lineare Widerstände
Messwerttabelle, Grafik (Widerstandskennlinie)
nichtlineare Widerstände (Glühlampe, Diode)
Der elektrische Leitwert
2.2 Abhängigkeiten des Widerstandswertes
2.2.1 Der spezifische Widerstand und der spezifische Leitwert
Der Widerstand ändert sich mit der Form des Widerstandskörpers:
R = ρ*
L
A
ρ
l
A
Länge des Widerstandskörpers in m
Querschnittfläche des Widerstandskörpers in mm²
spezifischer Widerstand des Materials in Ohm*mm²/m
Oft wird anstelle des spezifischen Widerstandes der spezifische Leitwert angegeben.
Es gilt:
σ=1/ρ
σ
spezifischer Leitwertn in Sm/mm²
2.2.2 Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes
Mit Veränderung der Temperatur ändert sich der elektrische Widerstand. Es gilt:
R(T ) = R20 * (1 + α 20 (T − 20°C ))
R(T)
R20
α20
Widerstand bei der Temperatur T (in °C)
Widerstand bei Bezugstemperatur (20°C)
Temperaturkoeffizient; Dimension : 1/K (Kelvin)
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für Cu: α20 = 3,93*10-3K
Für genauere Betrachtungen müsste ein zusätzlicher quadratischer Term berücksichtigt werden.
2.2.3 Thermistoren, Varistoren, LDR, MDR
Verschiedene Materialien zeigen abhängig von verschiedenen physikalischen Größen Änderung in ihren
Widerstandswerten. So gibt es
• Lichtabhängige Widerstände (LDR light depedent resistors)
• Magnetfeldabhängige Widerstände (MDR)
• Widerstände mit einem Wert abhängig von der magnetischen Feldstärke
2.3 Leistung am Widerstand
U*I > 0 Elektrische Energie wird aufgenommen
U*I < 0 Elektrische Energie wird abgegeben
Im Widerstand erfolgt eine Umwandlung von elektrischer Energie in thermische Energie
Andere Energieformen:
Mechanische Energie, Thermische Energie, Licht,...
2.4 Schaltung mehrerer Verbraucher
2.4.1 Gesamtwiderstand von Parallel- und Serienschaltung
Serienschaltung:
Kurzschreibweise : „+“
R1 + R2 + R3
Zur Berechnung des Gesamtwiderstandswertes sind die einzelnen Widerstandswerte zu addieren
R ges = R1 + R 2 + ... + R n
In einer Serienschaltung ist der Gesamtwiderstand immer größer als der größte Einzelwiderstand
Wichtige Sonderfälle von Serienschaltungen
R+0 =R
R+∞ =∞
R + R = 2*R
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Parallelschaltung:
Kurzschreibweise: „ ||“
G
ges
= G1 + G
R1 || R2 || R3
2
+ ... + G
n
Einfach zu berechnen ist der Gesamtleitwert
Da meist mit Widerstandswerten gerechnet wird, muss der Zusammenhang zwischen Widersatndswert und
Leitwert berücksichtigt werden. (Kehrwert !)
In einer Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand immer kleiner als der kleinste Widerstand.
Bei Paralleschaltung von zwei Verbrauchern kann mit folgender Formel gerechnet werden: (Es entfällt der
„Umweg“ über die Berechnung der Leitwerte)
R ges =
R1 * R 2
R1 + R 2
Wichtige Sonderfälle von Parallelschaltungen
R || 0 = 0
R || ∞ = R
R || R = R/2
2.4.2 Spannungsteilerregel
In Serie liegende Widerstände werden von demselben Strom durchflossen.
I1 = I2 =...= In
Die an den einzelnen Widerständen auftretende Spannungen stehen in demselben Verhältnis zueinander wie
die Widerstandswerte.
Diese Regel lässt sich zur Berechnung einer unbekannten Spannung folgendermaßen anschreiben:
(„Berechnen der anliegenden Spannung mit der Spannungsteilerregel“)
U1 =
R1
*U
R ges
ges
U 1 = U 2 = ... = U n
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I
=
ges
G
ges
I
G
1
=
1
I
G
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2
2
= ....
=
I
G
n
n
2.4.3 Stromteilerregel
Parallel liegende Widerstände liegen an derselben Spannung.
Die durch die einzelnen Zweige fließenden Ströme stehen in demselben Verhältnis zueinander wie die
I1 =
G1
* I ges
G ges
Leitwerte der Zweige.
Diese Regel lässt sich zur Berechnung eines unbekannten Teilstromes folgendermaßen anschreiben:
(„Berechnen eines Teilstromes mit der Stromteilerregel“ hier für I1)
Für zwei parallele Zweige gilt der folgende wichtige Sonderfall (Verwendung von Widerstandswerten):
R2
* I ges
R1 + R 2
R1
=
* I ges
R1 + R 2
I1 =
I2
Es geht immer der „gegenüberliegende“ Widerstand in die Berechnung einbezogen.
2.4.4 Die Knotenregel (Erstes Kirchoffsches Gesetz)
An keiner Stelle der Schaltung „entstehen“ oder „versickern“ elektrische Ströme, daher kann das erste
Kirchhoff’sche Gesetz folgendermaßen formuliert werden:
Die Summe der „zufließenden“ Ströme ist gleich der Summe der „abfließenden“ Ströme
U ges
R ges
=
U
U1 U2
=
= .... = n
R1
R2
Rn
I1 + I2 + I3 = I4 + I5
Die Summe aller Ströme in einem Knoten ist gleich Null.
I1+ I2 + I3 – I4 – I5 = 0
„Zufließende“ Ströme und „abfließende“ Ströme müssen durch verschiedene Vorzeichen unterschieden
werden.
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Sollten die Werte der Ströme negativ sein, so muss das zusätzlich beim Einsetzen der Werte für I1... I5
berücksichtigt werden.
Merke:
Strom- und Spannungspfeile müssen vor dem Aufstellen der Gleichungen festgelegt werden und dürfen
während der Berechnungen nicht mehr verändert werden. Auch dann nicht, wenn die Ergebnisse negativ
werden !
Anmerkung:
Der Begriff „Knoten“ kann durch den Begriff „Bereich“ ersetzt werden.
Über das „Innenleben“ (die „Innenschaltung) eines derartigen Bereiches muss nichts Genaueres bekannt sein.
Auch in einem solchen „Bereich“ können keine Ströme entstehen oder versickern, und deshalb gelten die
beiden angeführten Sätze sinngemäß für alle Ströme, die die „Hülle“ dieses Gebietes passieren
Beispiel:
Computer mit Bildschirm: Obwohl sehr viele verschiedene Ströme innerhalb des Computers fließen, werden
die Ströme durch die Anschlussleitungen entgegengesetzt und gleich groß sein.
2.4.5 Die Maschenregel (Zweites Kirchhoffsches Gesetz)
Entlang eines geschlossenen Weges innerhalb einer Schaltung ist die Summe aller Spannungen Null.
Welchen Umlaufsinn (im oder entegen dem Uhrzeiger) man wählt ist gleichgültig, es ist nur zu beachten, dass
alle „gleich“ gerichteten Spannungen positiv, die „dem Weg entegengerichteten“ negativ gezählt werden.
U1 +U2 – U3 + U4 = 0
Sollten die Werte der Spannungen negativ sein, so muss das zusätzlich beim Einsetzen der Werte für U1... U5
berücksichtigt werden.
Vgl. Hinweis zur Festlegung der Pfeile VOR Beginn der Rechnung im vorigen Kapitel !
2.4.6 Stern – Dreieck Transformation
Eine besondere Form, in der Widerstände nicht ohne weiterers zu Parallel oder Serienschaltungen umgeformt
werden können, sind Schaltungen in Stern oder Dreieckform.
Wenn man voraussetzt, dass die Anschlusspunkte nach außen gleich wirksam sein sollen, dann kann man
einen Stern in ein Dreieck und umgekehrt umformen:
Man setzt an : R1 + R2 = R12 || (R23+R31) .....
Daraus lassen sich die Werte R1, R2, R3 berechnen
Stern aus Dreieck:
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R1 =
R12 R31
;
R12 + R23 + R31
R2 =
R12 R23
R12 + R23 + R31
R3 =
R23 R31
R12 + R23 + R31
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Dreieck aus Stern:
R12 = R1 + R2 +
R1 R2
R3 12
R2 R3
R1
RR
R31 = R3 + R1 + 3 1
R2
R23 = R2 + R3 +
2.5 Strom und Spannungsquellen
2.5.1 Ideale Strom und Spannungsquellen
Anstelle von Verbrauchern treten in Netzwerken auch Spannungs und Stromquellen als „Zweipole“ auf.
Bei einer Spannungsquelle ist die Spannung zwischen ihren Klemmen definiert, der Strom stellt sich ein.
Bei einer Stromquelle ist der fließende Strom definiert, die Spannung zwischen den Klemmen stellt sich ein.
Bei idealen Spannungs- und Stromquellen besteht also KEIN Zusammenhang zwischen anliegender Spannung
und fließendem Strom.
(Vergleiche : an Widerständen besteht dieser Zusammenhang über das Ohmsche Gesetz)
Beispiele zur Berechnung von Netzwerken mit Strom und Spannungsquellen.
2.5.2 Reale Strom und Spannungsquellen
reale Spannungsquellen
Würde man an eine ideale Spannungsquelle einen Widerstand mit 0 Ohm anschließen, so würde ein unendlich
großer Strom fließen. Außerdem würde aus der Quelle unendlich viel Leistung entnommen werden.
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Jede Spannungsquelle zeigt eine Veränderung der Klemmenspannung bei Stromentnahme. („reale
Stromquelle“)
Das Verhalten entspricht der Serienschaltung einer idelane Spannungsquelle mit einem Widerstand.
Man kennzeichnet eine Quelle durch „Leerlaufspannung“ und „Kurzschlussstrom“ bzw. durch ihren
„Innenwiderstand“
Innenwiderstand einer Spannungsquelle:
Wie stark ändert sich die Spannung, wenn an den Klemmen der Quelle Strom entnommen wird.
reale Stromquellen
Würde man an eine ideale Stromquelle leerlaufen lassen, so würde eine unendlich hohe Spannung zwischen
ihren Klemmen auftreten. Außerdem würde aus der Quelle unendlich viel Leistung entnommen werden.
Jede Stromquelle zeigt eine Veränderung des Stromes bei Anlegen einer Spannung. („reale Stromquelle“)
Das Verhalten entspricht der Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit einem Widerstand.
Wie ändert sich der Strom, wenn zwischen den Klemmen der Quelle eine Spannung angelegt wird
2.5.3 Leistung, Energie, Wirkungsgrad und Leistungsanpassung
Leistung (P), Energie (W)
Es gilt:
W = P *t
Energie kann nicht erzeugt oder vernichtet werden, sie kann nur von einer Form in eine andere umgewandelt
werden.
Beispiel:
An einem Widerstand mit R= 200 Ohm wird über 6 Sekunden hinweg eine Spannung von 200V angelegt.
Welche Leistung und welche Energiemengen werden dabei umgesetzt ?
Solange die Spannung anliegt wird eine elektrische Leistung von 200Watt von elektrischer in thermische
Leistung umgesetzt.
Während sechs Sekunden wird dabei eine elektrische Energie(menge) von 1200 Ws in eine gleich große
thermische Energie umgesetzt.
Das EVU verrechnet – neben der Grundgebühr - die tatsächlich verbrauchte elektrische Leistung
Wirkungsgrad:
Am ohmschen Widerstand wird erfolgt eine Umwandlung von elektrischer in thermische Energie mit einem
Wirkungsgrad von 100% (vollständig)
Wirkungsgrad:
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η (%) =
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PABGEGEBEN
* 100%
PZUGEFÜHRT
Solarzelle:
Umwandlung von zugeführter Lichtenleistung in el. Lesitung 12%
Batterie:
Umwandlung von gespeicherter chemischer Energie in el. Leistung
Akkumulator:
Umwandlung von el. Leistung in chemische Leistung (beim Laden) – diese zugeführte Leistung ist als
chemische Energie gespeichert; Umwandlung der gespeicherten chem. Energie in el. Leistung (beim
Entladen)
Atomkraft:
Umwandlung von Atomenergie in thermische Leistung und diese wird in kinetische Leistung umgewandelt.
(Turbine) . Der Generator wandelt die kinetische Leistung in el. Leistung um
Leistungsanpassung:
Wie kann aus einer realen elektrischen Spannungs- oder Stromquelle die größtmögliche Leistung entnommen
werden ?
Übung (EXCEL)
U0= Eingabefeld
RI= Eingabefeld
RL = 0....100 Ohm (Eingabevektor)
Pab = Ergebnisvektor
Pquelle = Ergebnisvektor
Eta = Ergebnisvektor
Aus einer realen Quelle ist der Maximalwert der Leistung zu entnehmen, wenn der Lastwiderstand gleich dem
Innenwiderstand ist (Leistungsanpassung).
Das gilt sowohl für Spannungs- als auch für Stromquellen.
2.6 Methoden zur Berechnung elektrischer Netzwerke
2.6.1 Spannungen und Potentiale
Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten in einer elektrischen Schaltung. (in V)
Die Festlegung eines Bezugspotentials ist willkürlich möglich, somit kann jedem Punkt ein Potential
zugeordnet werden.
(Vergleiche Höhenangaben über dem Meer oder über der Stadt)
Neben Strömen in Leitern oder Zweipolen und den Spannungen zwischen einzelnen Knoten können in einer
Schaltung den Knoten Potentiale zugeordnet werden. (ϕ= ....V)
Zuvor ist allerdings die Festlegung eines Punktes mit Bezugspotential (ϕ=0V) notwendig (Symbol!).
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Ohne Angabe eines Bezugspotential für die Schaltung ist die Angabe von Potentialen nicht sinnvoll.
Das Potential eines Punktes der Schaltung ist die Spannung zwischen diesem Punkt und dem Bezugspotential
der Schaltung.
Die Spannung zwischen zwei Punkten der Schaltung ergibt sich durch die Differenz der Potentiale dieser
Punkte. Die Lage des Bezugspotentiales ist für die Ermittlung der Spannung zwischen zwei Punkten ohne
Bedeutung.
Beispiel:
• Zeichne in einer Schaltung Potentiale und Spannungen ein.
• Ermittle aus einer Schaltung mit angegebenen Spannungswerten die Potentiale der Knoten
• Ermittle aus einer Schaltung mit angegebenen Potentialen die Spannungen zwischen verschiedenen
Punkten
Hinweis: Bei vielen Messgeräten ist die Messung von Spannungen zwischen beliebigen Punkten der Schaltung
nicht möglich. In diesem Fall muss die gesuchte Spannung nach der Formel
U AB = ϕ A − ϕ B
Ermittelt werden.
2.6.2 Systematische Aufstellung von Gleichungssystemen
Lineare Gleichungssysteme können gelöst werden, wenn genau soviele Unbekannte vorhanden sind, wie
Gleichungen zur Verfügung stehen.
Bei der Aufstellung der Gleichungen sind die Strom und Spannungswerte (bzw. Potentialwerte) die
Unbekannten, deren Zusammenwirken durch Ohmsches Gesetz und Kirchhoff’sche Regeln beschrieben wird.
So entsteht ein Gleichungssystem, das lösbar ist, wenn mindestens genau so viele Gleichungen gefunden
werden, wie unbekannte Größen vorhanden sind.
Vergleiche: Lösen von Gleichungssystemen mit zwei oder mehr Unbekannten
2.6.3 Überlagerungsprinzip (Helmholtz)
Prinzip: In Schaltungen, in denen mehr als eine Spannungs und/oder Stromquelle wirksam ist, werden
Teilberechnungen durchgeführt, sodass immer nur eine Spannungs- bzw. Stromquelle aktiv ist.
Die „deaktivierten“ Quellen werden durch Kurzschlüsse (Spannungsquellen) bzw. „Leerläufe“ (Stromquellen)
ersetzt.
Am Ende werden gesuchte Ströme bzw. Spannungen durch einfaches Addieren der Teilergebnisse ermittelt.
Wichtig:
Die Bezugspfeile in der Schaltung müssen für alle Teilberechnungen gleich sein, die Ergebnisse sind immer
vorzeichenrichtig zu verwenden.
Übung:
• „Brückenschaltung“ (zwei reale Spannungsquellen)
• „Transistorverstärker“ (reale Strom und Spannungsquelle)
• „Gegentaktendstufe“ (zwei reale Spannungs- und zwei reale Stromquellen)
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* 2.6.4 Methode der Kreisströme
Man kann die Ströme auch zu Kreisen zusammenfassen. In manchen Zweigen können die Ströme mehrerer
Kreise gemeinsam fließen und sich dementsprechend verstärken oder abschwächen.
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