Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Die ganzen Gauß’schen Zahlen“
Das wesentliche Anliegen hierbei ist es, mit Hilfe der Normabbildung
Z[i] −→
N0
N:
x + iy 7→ x2 + y 2
einen Beweis für den Zwei-Quadraten-Satz von Fermat zu erbringen. Zu diesem Zweck
müssen wir zusätzlich noch die „Primzahlen“ in Z[i] und deren Eigenschaften genauer
untersuchen.
II.3 Die ganzen Gaußschen Zahlen
In II.1 und II.2 haben wir den euklidischen Ring G behandelt, dessenElemente
-b
*it a,b eZ sind. Hätte marl d, ö e IR zugelasMatrizen a". por* |/ ?
a /)
\o
sen, so hätte sich dei KörperÜ'iler komplezenZahlen ergeben.DessenElemente
schreibt man üblicherweisein der Form a*bi. Übersetzt man die Rechenregeln
für Matrizen in diese neue Schreibweise, so ergeben sich die üblichen Gesetze
für d,asRechnen inc. Insbesondererechnet man mit der ,,imaginären Einheit" i
-I zu setzenist. Wir
nach den üblichen Regeln der Arithmetik, wobei aber i2 :
wollen die Elemente aus G ktinftig ebenfalls in der Form a * bi schreiben. Da
Geuss den Körper der komplexen Zahlen erstmals einwandfrei definiert hat,
nennt marr ihm zu Ehren die Elemente aus G ganze GnUSSscäe Zahlen' Fijt
b : 0 ergeben sich die reellen Zahlen als spezielle komplexe Zahlen bzw. die
Zählen als spezielle ganze Geusssche Zahlen. Statt ,,irreduzibles Elega.,'ze1_
Primzahl"; denn in einem
Lent von G" sagen wir nun auch kürzer ,,GAUSSsche
Hauptidealrrrrrg-f.U"n die Begriffe ,,irreduzibles Element" und ,,Primelement"
zusa-mmen(vgl. II.2). Wir erinnern an die Definition der Norm N einer ganzen
Glussschen Zahl, welche als Gradfunktion im euklidischen Ring G diente:
Fürc:a*bi
ist
lf(o) :a2+b2.
Die komplexen Zahle1-d : a* bi und d : a - üi heißen konjugiert. Sie sind die
Löstrngender quadratischen Gleichung ,' - (o *d)t * aa: 0 bzw- x2 2ax +
oz 1 b; :0. Es gilt N(a) : Q . Q. Daraus folgt, daß jede SarrzeGeusssche zahl
ihre Norm teilt.
Aus der Tatsache, daß die Determinante des Produktes zweier Matrizen
gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Matrizen ist, haben wir
in IL1 die Beziehung
lü(o' g): N(") 'N(B) füra' 0 e C
hergeleitet.Dies ergibi sich natürlich auch sofort aus den bekanntenRegelnfür
das Rechnenmit klmplexen Zahlen:a0 ';0 : ad 'pp' oie Einheiten von G'
a l s od i e E l e men t ee mi t N ( e) - 1 , si n d 1 ,- 1 , i, - i.
Aus alB folgt also lV(c)ltf(B), die Umkehrunghiervon gilt aber nicht. Ob
r * yi im Fall (*, + yt)l(", + b,) tatsächlichein Teiler der ganzenGnussschen
ZahI a * iö ist, prüft man durch Berechnungdes Quotienten
a-fbi
r*ai
(o+äi)(r -ai)
(r+iy)(x-ia)
ax*by,bx-ay..
,' + v'
+
,z *zx;
also ist x * yi genau dann ein Teiler von a * bi, wenn 12 + y2 ein Teiler von
ggT(ac * bA,br - ay) isi.
109
l l . 3 D i e g a n z e nG a u ß s c h eZna h l e n
Beispiel 1: Die EarrzeGausssche ZahI 4 + 7i hat die Norm 65; die posiliven
Teiler von 65 und die ganzen Gaussschen Zahlen mit dieser Norm sind irn
folgenden aufgelistet:
1_02+12
b_12+22
13:22+32
65:12+82
:42+72
-1
i
1-Lr;
-1 -,;
2+ i
2+3i
3+2i
1+8t
8+ i
4+7i
7+4i
-2- i
-2-3i
-3 -2i
-1 -8t
-8* ?,
-4-7i
-7-4i
L
I
J U
-Z
L
- ) J- l - ;
-I+2i
-3+2i
-2+3i
-8+ i
-1 +8t
-7+4i
-4+7i
)-;
l-22
3-2i
2-3i
8- z
1-8t
7-4i
4-7i
In jeder Zeile stehen vier zueinander assoziierteZahlen. also Zahlen, die sich
nur um eine Einheit als Faktor unterscheiden. In der ersten Zeile stehett die
Einheiten. Es gilt
( 1+ 2 i ) I G + 7 i ) , d e n n 5 X g g T ( i 8 , - 1 ) ;
(2+i) | (4+7i), denn 5 | sgT(15,10).
F e r n egr i l t ( 2+ 3 i ) t r e + 7 i ) , ( 3 + 2 i ) l ( 4 + 7 i ) ,( 1 + 8 i ) t r $ + 7 t ) ,( 8+ i ) t r e + 7 i )
und (7 + 4t) tre + 7i). Die Teilervon 4,* 7i sindalsodie Zahlen
L , 2 + i , 3 + 2 i u n d4 + 7 i
Zahlen.Es ist (2 + tX3 + 2i) : 4 * 7i.
und diejeweilsdazuassoziierten
Isl .n{(zr)eine Primzahl aus IN, dann ist zr eine Gnusssche Prinrzahl, weil aus
einer nichttrivialen Zerlegung von zr eine solchevon N(zr) folgen würde. Daß clie
IJmkehrung dieser Aussagenicht gilt, haben wir bereits in IL1 am Beispiel d.er
ganzen G.q,ussschenZahl 3 (: 3 * 0f ) gesehen.Statt ,,Primzahl aus IN" werden
wir künftig einfach,,Primzahl" sagen,oft spricht man hier auch von ,,rationalen
Primzahlen". Wir wollen nun die Menge der Gaussschen Primzahlen näher
beschreiben.
Satz 5: a) Jede GRussschePrimzahl teilt eine Primzahl.
b) Die Norm einer Gnussschen Primzahl ist entweder eine Prinrzahl oder das
Quadrat einer Primzahl.
c) Ist die Primzahl p als Summe von zwei Quadraten ganzerZahlen darstellbar,
dann ist p das Produkt zweier konjugierter G,ttlssscher Primzahlen. Ist p nicht
als Summe von zwei Quadraten Eanzer Zahlen zu schreiben, dann ist p eine
Gnusssche Primzahi.
Beweis: a) Jede ganze Gausssche Zahl teilt ihre Norm. Ist n- eine Gnusssche
Primzahl und N(z') : prpz. . .p,, wobei pt,pz,. . . ,P, Primzahlen sind, dann gilt
also zrlp; für eine dieser Primzahlen p;.
110
ll Integritätsbereiche
b) Es sei zr eine Gnusssche Primzahl und p eine primzahl mit rlp, also p - 7r.^l
mit 7 € G. Dann gilt p2 : /f(p) : lü(") .N(Z). Aiso isi entweder }/(zr) :
N(u ) - p oder N(") - p2 und N(r) : t.
c) Ist p : a2 * b2 (a,ä e IN), so ist p: (a + äi)(a - bi), wobei die Faktoren
Gausssche Primzahlen sind, da sie die Norm p haben. Ist p - aB (o, g e
G), wobei a, B keine Einheiten sind, dann ist p2 : ru(p) : N(o)l/(B), .t.o
N(o) : N(P): p; die Primzahl p ist dann also als summe von zwei
euadraten
darstellbar. ü
Ob eine Primzahl p eine Gausssche Primzahl ist oder nicht, hängt also davon
ab, ob p als Summe von zwei Quadraten darzustellen ist.
Beispiel 2: Die Primza,hlenp der Forrn 4n + g sind GnuSSscheprimzahlen,
denn sie sind nicht als Summe von Quadraten darstellbar: Ist p eine ungerade
Primzahl und p : e2 * ö2 mit a,b e IN, dann ist von den Zahlen a, ö eine
gerade und eine ungerade; also läßt a2+b2 bei Division durch 4 den Rest 1. Die
P r i m z a h l e n3 , 7 , 1 1 , 1 9 , 2 3 , 3 1 ,. . . s i n d a l s o a u c h G a u s s s c h ep r i m z a h l e n .F e r n e r
gilt
2 :
J :
13 :
17:
29 :
I2a1z
Ir+2,
2, + J,
12+42
22+ 52
und 2 und b :
und 13 :
und tT:
und 29 :
( 1+ i x l _ ; ) ,
(1+2i)(t_Zi);
(2 + 3i)(2_ gr);
( 1+ 4 r X 1_ a ü ;
(2 + 5i)(2_ 5r)
usw. Die Faktoren sind dabei G.tusssche Primzahlen, denn ihre Norm ist clie
jeweils dargestellte Primzahl. Gausssche primzahlen sind also
dieZahl 7*i;
die Primzahlen der Form 4n * 3;
die Zahlen aIbi, wenn a2 +b2 eine primzahl ist und die jeweils dazu asso_
ziierten Zahlen. (Beachte, daß 1 * i und I - i assoziiert sind.) Die Gnussschen
Primzahlen mit der Norm < 100 sind neben 3 und 7
r + i , r + 2 i , 2 * 3 i , r + 4 i , 2 + . 5 i , 1+ 6 i ,4 * 5 i , 2 + 7 i , 5 + 6 i , 3+ B i , 5+ g i ,4 + g i
und die jeweils dazu assoziiertenZahlen.
Satz 5 c) wirft die Frage auf, welche ungeraden Primzahlen als Summe vo1
zwei Quadraten Sanzer Zahlen darstellbar sind. In IV.5 werden wir beweisen,
daß dies genau für die Primzahlen der Form 4r+l der Fall ist. Wenn wir clieses
Ergebnis voraussetzen,können wir hier nun folgenden Satz beweisen:
Satz 6: Eine natürlicheZahl ist genau dann als Summe vonzwei
Quaclratzahlen darstellbar, r"t'ennin ihrer kanonischenPrimfaktorzerlegung die Prinrzahlerr
der Form 4n + 3 jeweils nur mit geradem Exponent vorkomrnen.
Beweis: Eine natürliche Zal:irN ist genau dann als Surnme zrveier
Quadrate darstellbar (wobei ein Summand auch 02 sein darf), wenn sie Norm einer sanzen
l l . 3 D i e g a n z e nG a u ß s c h eZna h l e n
111
Geussschen Zahl a ist. Nun ist o eindeutig in ein Produkt von Glussschen
Primzahlen zerlegbar,weil G ein ZPE-Ring ist. Es seien a1,o2,...a" die verschiedenen unter den G.t ussschen Primzahlen in dieser Zerlegung, deren Norm
eine Primzatrl ist, ferner Qt, Qzt... , Qt die verschiedenenG.q,ussschenPrimzahlen in dieser Zerlegung, deren Norm das Quadrat einer Primzahl ist. Dann ist
p i g l e i c h 2 o d e r e i n e P r i m z a t r ld e r F o r m 4 n * 1 ( l : 1 , 2 , . . . , s ) ,
N(oi):
während N(p,,) : gf mit einer Primzahl 91 der Form 4, +3 ist (,b : L,2,. . . , t).
Die Primfaktorzerlegung von o ist dann
(1)
a : of'ot". .. o!". a\'ar,. .. al'
m i t a 1 , a z t . - . r a " , , b r r b r r . . . , , b te ] N . D a r a u s f o l g t
(2)
N:
N(a):
p i ' p \ ' . . . p i " ' q ? b ' q | b '. . . q ? b ' .
Die Primzahlen q* (k : I,2,. .. , t) kommen also in der Primfaktorzerlegung von
N jeweils in gerader Anzahl vor. Sei umgekehrt N von der Gestalt (2), wobei die
P r i m z a h l e n p ig l e i c h 2 o d e r v o n d e r F o r m 4 n * l s i n d ( j : 1 , 2 , . . . , s ) u n d d i e
Primzahlen qßvon der Form 4n*3 sind (fr : I,2,. . . , t). Ist p; : u]+ul, so setze
(j:I,2,,...,s).FernersetzemaJl pk: qk (fr:1,2,...,t).
man di :uj+"ii
Biidet man damit die Zahl a wie in (1), dann ist N : N(n). Also ist n als
Summe von zwei Quadraten darstellbar. ü
Bemerkung:
Die Frage der Darstellbarkeit einer Primzahl als Summe von
zwei Quadraten wurde von FnRuet behandelt; man spricht haher vom FnnMATschen Zwei-Quadrate-Satz. Dies ist einer der interessantestenSätze der
Zahlentheorie und wird uns noch öfter beschdftigen.Die schönstenBeweisedieses Satzesfindet man in [Flath 1989].
Die Darstellung einer Primzahl p der Form 4n * 1 als Summe von zwei
Quadraten ist eindeutig, wie aus dem folgenden Satz hervorgeht.
Satz 7: Es sei /c eine natürliche ZahL, die bei Division durch 4 den Rest 1 läßt.
Genau dann ist ft eine Primzahl, wenn genau ein Paar (a, b) natürlicher Zahlen
mit a > ö > 1, ggT(a,b) - 1 und fr : a2 *b2 existiert.
Beweis: Wir setzen wieder das erst in IV.5 zu beweisende Ergebnis voraus,
daß eine Primzahl der Form 4n * I überhaupt als Summe von zwei Quadraten
zu schreiben ist.
1) Es sei fr : p eine Primzahl, und es seien p : a2 * b2 : c2 * d2 Darstellungen
von p als Summe von zwei Quadraten. Dann ist
p : (a + bi)(a - bi) : (c + di)(c - di),
wobei nach Satz 5 c) die Zahlen a * bi und c L di Ga,usSschePrimzahlen sind.
Dann ist aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung a * bi assoziiert
ztt c * id oder zr c - di, woraus {o, b} : {., d} folgt.
2) Es sei k : a2+b2 mit a > b > 1 und ggT(o, b) : t die einzige Darsteliung von
IT2
ll lntegritätsbereiche
k d i e s e rA r t . I s t l c : e z f u n d / : 9 2 + ä 2 ( v g l . S a t z 6 ) , a l s o , t : ( e g ) z* ( e h ) 2 ,
so ist aufgrund der Eindeutigkeit der Darstellung elggT(a, ö) und somit e : 1.
Die Zahl A ist also quadratfrei, d.h. sie ist durch kein Quadrat außer 1 teilbar.
Ist ,b : r .s nun eine nichttriviale Faktorzerlegung von ,b, dann sind aufgrund
von Satz 6 auch r und s als Summe von zwei Ouadraten zu schreiben:
ö-
u2+u2 :
x2 -f a2 :
(u*iu)(u-ir).,
(n + iy)(r - iy)
mit u, u,x,A € IN. Es folgt
If((ur -ua)*i(ux+"y))
ft : N(u *iu)N(r+ia):
: N(u*iu)N(r
-iy):
N((zr +uy)*i(ax
: (ur-uy)2 *@r
-tuy)',
-uvD - (ur+ua)2 *(uo -uy)2.
Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt
(u, - uy)z : (ux { uy)2 oder
(u, - uy)2 : (u, - ua)2.
Im ersten Fall folgt uarv:
0, was aber nicht sein kann, weil A quadratfrei ist
und r, s t' I gilt. Im zweiten Fall folgt
u 2 x 2+ u ' y 2 : u 2 x 2+ u t y ' , a l s o ( u 2 - u \ @ 2 - y 2 ) : 0 .
Ist u : u, so ist 't!,:'t) : 1 und somit r :2r weil b quadratfrei ist; entsprechend
folgt s : 2 aus x, : U.Wegen 2 /k erylbt sich aus der Annahme, ß sei zusammengesetzt,ein Widerspruch. n
Bemerkungen:
Die in obigem Beweis vorgekommeneFormel
(u' + r')(*' + a\ - (u, - uy)2* @a* rr)t,
nach der man ein Produkt aus zwei Summen zweier Quadrate wieder als Summe
von zwei Quadraten schreibenkann, wird oft Formel uoz FtgotlACCI genannt,
da sie im Liber quadratorzrnvorkommt. Vermutlich war sie schon DIopunxr bekannt, da dieser in Buch II,9 seiner Arithmetica schreibt: ,,Es liegt in der Natur
der Zahl 65, daß sie auf zwei Arten als Summe von zwei Quadraten geschrieben
werden kann, nämlich als 16 * 49 und als 64 * 1; clas liegt daran, daß sie das
Produkt der Zahlen 13 und 5 ist, welche beide Summen von Quadraten sind."
Dies kann man folgendermaßen interpretieren:
6 5- 1 3 . 5 :
( 3 ' + 2 ' ) ( 2 ' +1 ' ) : ( 6 - z ) ' + ( r + + ) 2 : 4 2 - r 7 2
(2"+3')(2' + 1') : (4 -3)' + (2+ 6)' : 12+ 82.
In Abschnitt IV.5 werden wir einen weiteren Beweis für Satz 7 darstellen.
l l . 3 D i e g a n z e nG a u ß s c h eZna h l e n
i13
Beispiel 3: Als Anwendung von Satz 7 wollen wir zeigen, daß 44021eine Primzahl ist (vgl. das Beispiel von FtrRtvtATzur Faktorzerlegung in L3; bzgl. 44021
vgl. Aufgabe 9). Diese Zahl lzißt bei Division durch 4 den Rest 1, so daß Satz 7
anwendbar ist.
1) Wegen tJ+4,on1:209 ist in der Darstellung 4402I:a2 * b2 nur0 < a,ö <
2I0 zu untersuchen. Die Summe der 100er-Restevon a2 und ä2 muß 21 oder
121 ergeben. Anhand der Tabelle in I.3 erkennt man, daß dies (abgesehenvon
der Reihenfolge), nur möglich ist, wenn gilt
(i)
a2 hat den 100er-Rest00 und b2 den 100er-Rest21
oder
(ii)
a2 hat den 100er-Rest25 und ä2 den 100er-Rest96.
Im Fall (i) endet a arrf 0 und b auf 1 oder 9.
Endet ö auf 11, dann hat b2 denselben 100er-Restwie 20x * 1, so daß ö auf
11 oder 61 enden muß. Für ä kommen also nur die Zahlen 11,61, 111' 161
in Frage. Für 44021 - b2 ergeben sich dann die Werte 43900, 40300, 31700,
1E100.Da keine der Zahlen 439, 403, 317, 181 Quadratzahl ist, ergibt sich keine
Darstellung von 4402I als Summe von zwei Quadraten.
Endet ö auf 19, dann hat ö2 denselbenlOOer-Restwie 802 * 81, so daß Öauf
39 oder 89 enden muß. Für b kommen also nur die Zahlen 39, 89, 139' 169 in
Frage. Für 44021 - 62 ergeben sich dann die Werte 4250A,36100,24700,8300.
Von diesen ist nur 36100 : 1902ein Quadrat, womit si'chfolgende l)arstellung
ergibt:
44021.: 1902+ 892
Im Fall (ii) endet o auf 5 und ä auf 4 oder 6.
Endet ö a1f 14, dann hat b2 denselben l$Qer-Rest wie 802 * 16, so daß ö
auf 14 oder 64 enden muß. Für ö kommen also nur die Zahlen 14, 64, II4,
164 in Frage. Für 44021 - 02 ergeben sich dann die Werte 43825, 39925, 31025,
L71,25.Division durch 2S ergibt die Zahlen 1753, 1597,1241,685; dies sind keine
Quadrate. Es ergibt sich also keine Darstellunlg von 4402I als Summe von zwei
Quadraten.
Endet ä auf 16, dann hat ö2 denselben l00er-Rest wie 20x * 36, so daß b
auf 36 oder 86 enden muß. Für b kommen also nur die Zahlen 36, 86, 136, 186
in Frage. Für 44021 - ö2 ergeben sich dann die Werte 42725, 36625, 25525,
9425.Division durch 25 ergibt die Zahlen 1709,1465,1021,377;dies sind keine
Quadrate. Es ergibt sich also keine Darstellung von 4402I als Summe von zwei
Quadraten.
Es gibt also (abgesehen von der Reihenfolge der Summanden) nur eine Darstellung von 4402I als Summe von zwei Quadraten. Diese Zahl ist daher eine
Primzahl.