Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für
Studierende der Informatik
PD Dr. U. Ludwig
Vorlesung 1
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Ein Glücksspiel
Ein Teilnehmer einer Fernsehshow erhält die Gelegenheit, ein Auto
zu gewinnen. Dazu sind auf der Bühne drei geschlossene Türen
aufgebaut. Hinter einer dieser Türen bendet sich ein Auto, hinter
den beiden anderen eine Ziege. Der Kandidat wählt nun eine der
Türen aus, die aber zunächst verschlossen bleibt. Der Spielleiter,
zeigt dem Kandidaten durch das Önen einer der beiden anderen
Türen eine Ziege. Daraufhin erhält der Kandidat die Möglichkeit,
bei seiner Wahl zu bleiben oder aber die andere noch verschlossene
Tür zu wählen.
Soll der Kandidat umwählen oder nicht?
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Wahlprognose
Es werden 1000 Wähler befragt. Von diesen haben 400 Partei A
gewählt, 350 die Partei B und 60 die Partei C . Das
Umfrageinstitut erstellt die folgende Prognose:
Partei A = 40% Partei B = 35% Partei C = 6%.
Der kluge Statistiker formuliert, um sich abzusichern, die folgende
Aussage
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% weicht meine Voraussage um
weniger als 1% vom echten Endergebnis ab.
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Vorlesung, Sprechstunde, Homepage, Klausurtermin
Vorlesung:
Mo: 16.00-17:30h, Raum LX 1203
Homepage der Vorlesung: (mit Skript und Vorlesungsfolien)
https://www.uni-due.de/∼hm0213/wt.html
Email: [email protected]
Sprechstunde: Mo 14:30-15:30h, LE 435
Klausurtermin: 18.02.2016 um 14h (Klausurdauer: 90 Minuten)
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Übungen
Die Übungszettel nden Sie unter MOODLE. Abgabe der
Übungen ist immer Mittwoch vor 10h in den dafür
vorgesehenen Kästen (LE 4. Etage).
Abgabe der Übungen wird sehr empfohlen
(BONUS-System)!
Übung
Termin 1: Do: 16:00-16:45h, Raum SG 135
W.Hümbs Termin 2: Do: 16:45-17:30h, Raum SG 135
Beginn der Übungen: 22.10
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Tutorien (diese Woche)
Zeit
Di 11:00-11:45
Mi 16:15-17:00h
Mi 17:00-17:45h
Do 8:15-9:00h
Do 9:00-9:45 h
Fr 10:15 -11:00h
Fr 11:00-11:45
Fr 12:15-13:00
Fr 14:15 -15:00h
Fr 15:00-15:45
Raum
SG 135
MB 244
MB 244
LB 117
LB 117
LE 102
LE 102
MC 231
LE 102
LE 102
Ab nächster Woche: weitere Termine (siehe Aushang auf der
Homepage).
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§ 1 Grundbegrie der
Wahrscheinlichkeitstheorie
§ 1.1. Grundlegende Begrie
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Ideales Zufallsexperiment und Ergebnismenge
Bei den Experimenten (eines Stochastikers) kennt man in der Regel
die Menge aller möglichen Ereignisse, kann aber nicht vorhersagen,
welches konkrete Ereignis bei einem konkreten Versuch eintritt.
Solche Experimente wollen wir Zufallsexperimente nennen.
Die Menge aller möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments
nennen wir Ergebnismenge (oder auch Ergebnisraum,
Grundraum oder Raum der Elementarereignisse.). Eine
Ergebnismenge wird meist mit dem griechischen Buchstaben Ω
bezeichnet.
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Beispiele von Zufallsexperimenten und Ergebnisräumen
Experiment
Ergebnisraum
Würfeln
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Münzwurf
Ω = {Kopf, Zahl}
Lotto
Ω = Menge der 6-Tupel verschiedener Elemente
aus der Menge {1, 2, . . . , 49}
Wählerbefragung
Ω = {SPD, CDU/CSU, Grüne, FDP, Linke, ...}
Temperaturmessung Ω = R (in Grad Celsius)
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Basics: Mengenlehre
Wir verstehen unter einer Menge M die Zusammenfassung
gewisser wohlunterschiedener Objekte x unserer Anschauung
zu einem Ganzen.
Die Objekte x nennen wir die Elemente der Menge und
schreiben: x ∈ M .
Ist x kein Element der Menge M, so schreiben wir: x 6∈ M .
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Basics: Mengenlehre. Beispiele von Mengen
N = {1, 2, 3, . . .} die natürlichen Zahlen
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} die natürlichen Zahlen mit Null
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} die ganzen Zahlen
Q = {m
n | m ∈ Z, n ∈ N} die rationalen Zahlen
R die reellen Zahlen
∅ leere Menge
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Basics: Mengenlehre. Operationen von Mengen
Sei M eine Menge. Seien A und B Teilmengen von M , also A ⊂ M
und B ⊂ M .
Vereinigung: A ∪ B
Durchschnitt: A ∩ B
Komplement von A in M : A := M \ A
Die Menge aller Teilmengen einer Menge M heiÿt Potenzmenge
und wird mit P(M ) bezeichnet.
Ist M eine endliche Menge, so bezeichnen wir mit |M | die Anzahl
der Elemente in M .
Ist M eine Menge mit n Elementen, so hat die Potenzmenge P(M )
2n Elemente.
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Ereignisalgebra
Denition 1.3.
Ein System A von Teilmengen von Ω heiÿt eine Ereignisalgebra
oder σ -Algebra auf Ω, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(i) Ist A ∈ A, so ist auch A = Ω \ A ∈ A.
(ii) Es ist stets Ω ∈ A.
(iii) Sind A1 , A2 , . . . An ∈ A , so ist auch
n
[
Ak ∈ A. Desgleichen,
k =1
sind A1 , A2 , . . . , Ak , . . . ∈[A für k ∈ N, so ist auch die
unendliche Vereinigung
Ak ∈ A.
k ∈N
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Seien A und B zwei Ereignisse, also A, B ∈ A.
Sprechweisen:
•Ω
• Ā
• A∪B
• A∩B
• A∩B =∅
:
:
:
:
:
das sichere Ereignis.
A tritt nicht ein.
A oder B treten ein.
A und B treten ein.
A und B sind disjunkte (unvereinbare) Ereignisse.
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Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Andrei
Nikolajewitsch Kolmogoro (1903-1987)
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Basics: Funktionen
Gegeben seien zwei nichtleere Mengen M und N . Unter einer
Abbildung oder Funktion f von M nach N verstehen wir eine
(Zuordnungs-) Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein y ∈ N in
eindeutiger Weise zuordnet. Dieses Element y bezeichnen wir auch
mit f (x ) und nennen es den Wert der Funktion f an der Stelle x
oder das Bild von x unter f , während x ein Urbild von f (x ) heiÿt.
M heiÿt Denitionsbereich von f , N Bildbereich von f . Wir
schreiben auch
f
:
M
x
−→
7→
N
f (x ).
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Basics: Funktionen. Beispiele
In der Schule haben sie reelle Funktionen studiert, z.B.
f : R −→ R, x 7→ x 2 .
g : R −→ R, x 7→ e x .
Die Graphen der Funktionen f und g :
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Wahrscheinlichkeitsraum
Denition 1.6.
Es sei A eine Ereignisalgebra auf Ω; eine Abbildung (oder: eine
Mengenfunktion) p : A → [0, 1] heiÿt ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ
oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn p folgende Axiome
erfüllt:
(i) p (Ω) = 1.
(ii) σ -Additivität: Sind A1 , A2 , . . . ∈ A paarweise disjunkte
Ereignisse so gilt
p
[
k
Ak
!
=
X
p(Ak ).
k
Das Tripel (Ω, A, p ) heiÿt Wahrscheinlichkeitsraum.
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