TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Ferienkurs Analysis 1

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Ferienkurs Analysis 1
WS 08/09
2. Übungsblatt
Elisabeth Brunner
Hannah Jörg
Themen:
• Folgen reeller Zahlen
Eine reellwertige
ist eine Abbildung a : N → R. Bezeichnung: (an )n∈N
Beschränktheit: Eine Folge (an )n∈N heiÿt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls
eine Zahl c ∈ R existiert, so dass: an ≤ c ∀n ∈ N (bzw. an ≥ c ∀n ∈ N)
Monotonie: Eine Folge (an )n∈N heiÿt:
- monoton wachsend, falls an ≤ an+1 ∀n ∈ N
- streng monoton wachsend, falls an < an+1 ∀n ∈ N
- monoton fallend, falls an ≥ an+1 ∀n ∈ N
- streng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ∈ N
Konvergenz: Eine Folge (an )n∈N heiÿt konvergent (gegen eine Zahl c ∈ R), falls
Folge
∀ > 0 ∃N = N () ∈ N : |an − c| < ∀n ≥ N
Sei (an )n∈N eine Folge und n0 < n1 < n2 < n3 ... eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen, dann heiÿt k 7→ ank Teilfolge von (an )n∈N .
Häufungspunkt: Ein Punkt h ∈ R heiÿt Häufungspunkt der Folge (an )n∈N , falls es zu
jedem > 0 unendlich viele n ∈ N gibt mit: |an − h| < Bolzano-Weierstrass: Jede beschränkte Folge (an )n∈N besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge bzw. mindestens einen Häufungspunkt.
Teilfolge:
• Konvergenzkriterien
Monotoniekriterium:
(an )n∈N beschränkt und monoton ⇒ (an )n∈N konvergent.
Einschlieÿungskriterium: Es gebe (bn )n∈N und (cn )n∈N , so dass bn ≤ an ≤ cn ∀n ∈ N.
Dann ist (an )n∈N konvergent und limn→∞ an = limn→∞ bn = limn→∞ cn .
Cauchy-Kriterium: (an )n∈N ist konvergent ⇔ (an )n∈N Cauchyfolge, das heiÿt: Zu jedem
> 0 ∃N = N () ∈ N, so dass |an − am | < ∀n, m ≥ N
Aufgabe 2.1.
(i) Prüfe angegebene Folgen auf: Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz.
Im Fall der Konvergenz gebe den Grenzwert an.
(−1)n
, cn = αn wobei α ∈ R ein Parameter ,
n
nπ 1 n
1 n+1
1000n
dn = 1 +
, en = 1 +
, fn = sin
, gn =
.
n
n
2
n!
an = n, bn =
(ii) Berechne durch Einschränkung mittels konvergenter Folgen den Grenzwert der Folge:
n2 sin 2nπ
+ n ln(n)
7
an =
.
2
(n + 1)(2n − 1)
(iii) Beweise dass die rekursiv denierte Folge (an )n∈N :
a1 = 1,
an+1 =
√
1 + an für n ∈ N,
konvergiert und nde ihren Grenzwert.
Aufgabe 2.2.
Finde Häufungspunkte
und konvergente Teilfolgen der angegebenen Folgen:
nπ
an = sin 6 , n2 +n ln(n)
π ,
bn = (−1)n sin (n+1)(2n−3)
2
1 n
cn = (−1)n 1 + 4n
dn = (−1)n−1 2 + n3
Aufgabe 2.3.
Prüfe auf Konvergenz:
an =
cos(1!) cos(2!)
cos(n!)
+
+ ··· +
1·2
2·3
n · (n + 1)
Aufgabe 2.4.
Konstruiere eine surjektive Abbildung a : N → Q, bzw. eine Folge, die alle rationalen Zahlen
enthält. Was sind die Häufungspunkte dieser Folge?
Aufgabe 2.5.
Es seien a, b ∈ R beliebig und (xn )n∈N die Folge gegeben durch folgende Rekursionsformel:
x1 = a, x2 = b, xn =
(a) Zeige, dass für alle n ≥ 2 gilt:
xn+1 − xn = (b − a) · − 12
n−1
(b) Berechne den Grenzwert von xn
xn−1 +xn−2
2
für n = 3, 4....