Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

Statistik I für Betriebswirte
Vorlesung 14
Dr. Andreas Wünsche
TU Bergakademie Freiberg
Institut für Stochastik
13. Juli 2017
Dr. Andreas Wünsche
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14
Version: 8. Juli 2017
1
3.3 Parameterschätzungen: Konfidenzschätzungen
I
Ein Nachteil von Punktschätzungen ist darin zu sehen, dass diese als
Zufallsgrößen mit einer Verteilung mit einer positiven Varianz den
wahren“ Wert des Parameters ϑ nur selten exakt treffen“. Bei
”
”
stetigen Verteilungen, wie z.B. der Normalverteilung, geschieht
dies
sogar nur mit Wahrscheinlichkeit Null, da z.B. P X = µ = 0 gilt.
I
Daher ist es häufig besser, einen ganzen Bereich (ein ganzes
Intervall) als Schätzung anzubieten, dieser Bereich soll dann den
unbekannten tatsächlichen Parameter mit hoher Wahrscheinlichkeit
überdecken.
I
Das Intervall I ist ein Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) oder
allgemeiner eine Konfidenzschätzung für den Parameter ϑ zum
Niveau 1 − α, wenn P(ϑ ∈ I ) ≥ 1 − α gilt.
I
Dabei wird eine Zahl 0 < α < 1 , üblicherweise nahe 0 , vorgegeben.
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der Fehlentscheidungen (der
wahre Parameter wurde nicht überdeckt) akzeptiert werden.
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Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14
Version: 8. Juli 2017
2
Konfidenzintervalle
I
Wenn also für 100 verschiedene Stichproben aus ein und derselben
Grundgesamtheit für ein und denselben Parameter jeweils ein
Konfidenzintervall zum Niveau 1 − α bestimmt werden, werden im
Mittel (1 − α) · 100 Intervalle den unbekannten Parameter
überdecken und α · 100 nicht. Ob das eine konkret berechnete
Intervall den Parameter überdeckt oder nicht, ist aber nicht
entscheidbar.
I
Jeder Parameterwert aus dem Konfidenzintervall I kann als wahrer
Parameterwert akzeptiert werden, allerdings mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von α .
I
Ausgangspunkt zur Konstruktion eines Konfidenzintervalles für einen
Parameter ϑ ist meistens eine Schätzgröße für eine
Punktschätzung ϑ̂ . Dazu muss man jedoch die exakte (oder
asymptotische) Verteilung der Schätzfunktion oder einer geeigneten
abgeleiteten Stichprobenfunktion finden.
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3
Konfidenzintervall für µ falls X ∼ N(µ, σ 2 ), σ 2 bekannt
I
I
I
σ2
X − µ√
X ∼ N µ,
gilt
n ∼ N(0, 1) .
n
σ
Mit dem Quantil z1− α2 zum Niveau 1 − α2 der
α
Standardnormalverteilung d.h. Φ(z1− α2 ) = 1 −
gilt dann
2
X − µ√
n ≤ z1− α2 = 1 − α ,
P −z1− α2 ≤
σ
σ
σ
α
α
√
√
P X−
z1− 2 ≤ µ ≤ X +
z1− 2 = 1 − α .
n
n
Wegen
Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall
I für den Erwartungswert µ der Normalverteilung bei bekannter
Varianz σ 2 zum Konfidenzniveau 1 − α
σ
σ
I = X − √ z1− α2 ; X + √ z1− α2 .
n
n
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4
Zahlenbeispiel
I
Aufgabe: 10 Wägungen eines leichten Objektes (auf einer
Apothekerwaage) ergaben (in mg):
10.3 10.1 10.4 9.9 10.2 9.6 10.0 10.2 10.3 10.0.
Die Waagengenauigkeit sei mit σ = 0.25 bekannt, die Messwerte
können als normalverteilt angenommen werden.
Bestimmen Sie das konkrete Konfidenzintervall für µ zur
Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.05 !
I
Lösung: α = 0.05 ⇒ 1 − α2 = 0.975 ⇒ z0.975 = 1.96,
n = 10, x = 10.1 ⇒
0.25
0.25
I = 10.1 − √ · 1.96 ; 10.1 + √ · 1.96 ,
10
10
I = [9.945 ; 10.255] .
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5
Notwendiger Stichprobenumfang
I
Aus einer vorgegebenen Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α und
einer vorgegebenen Intervalllänge kann man den dazu notwendigen
Stichprobenumfang ableiten.
I
In dem schon behandelten Fall eines Konfidenzintervalles für den
Erwartungswert µ einer normalverteilten Grundgesamtheit bei
bekannter Varianz σ 2 beträgt die halbe Intervalllänge
z1− α2 2 2
σ
σ .
d = √ z1− α2 , folglich n ≥
d
n
I
Im Wägebeispiel ergibt das für α = 0.05 , d = 0.1 einen Wert von
n = 24 .
I
In anderen Situationen hängen häufig mehrere Größen in der Formel
für die Intervalllänge von n ab, z.B. das vorkommende Quantil.
Dann kann man mit einem iterativen Vorgehen den notwendigen
Stichprobenumfang bestimmen.
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6
Allgemeine Wirkung von α und n
I
Allgemeine Wirkung der Irrtumswahrscheinlichkeit α :
Je kleiner α ist, desto größer ist bei gegebem n das
Konfidenzintervall, d.h. desto unschärfer wird ϑ lokalisiert, desto
größer ist aber auch die Überdeckungswahrscheinlichkeit.
I
Allgemeine Wirkung des Stichprobenumfangs n :
Je größer n ist, desto kleiner wird bei gegebenem α das
Konfidenzintervall, d.h. umso schärfer wird ϑ lokalisiert.
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7
Statistische Prüfverteilungen
I
Zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für Parameter der
Normalverteilung und die später zu behandelnden statistischen Tests
benötigt man Quantile von bestimmten Verteilungen, die mit der
Normalverteilung zusammenhängen und die man statistische
Prüfverteilungen nennt. Dies sind
I
I
I
I
die χ2 -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung),
die t-Verteilung (Student-Verteilung) und
die F -Verteilung (Fisher-Verteilung).
In den nachfolgenden Folien zu den speziellen Prüfverteilungen seien
deshalb X1 , . . . , Xn unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2 jeweils und
n
1X
X =
Xi ,
n
i=1
n
2
1 X
Xi − X .
S =
n−1
2
i=1
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8
Die χ2 -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung) I
I
I
Parameter: m ∈ N ( Anzahl der Freiheitsgrade“).
”
Es seien Z1 , . . . , Zm unabhängige und identisch standardnormalverteilte Zufallsvariable (Zi i.i.d. mit Zi ∼ N(0, 1), i = 1, . . . , m).
Dann ist die Zufallsgröße X mit
X = Z12 + Z22 + . . . Zm2 =
m
X
Zi2
i=1
I
I
χ2 -verteilt mit m-Freiheitsgraden.
Bezeichnung: X ∼ χ2m .
Es ist für Xi ∼ N(µ, σ 2 ), u.i.v. (i.i.d.),
n
1 X
(Xi − µ)2
σ2
χ2 − verteilt mit n Freiheitsgraden und
n
2
1 X
Xi − X
2
σ
χ2 − verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.
i=1
i=1
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9
Die χ2 -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung) II
0.25
Dichtefunktionen: Chi−Quadrat−Verteilung
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
Freiheitsgrade: m = 3
m=5
m=8
0
5
10
15
x
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10
Die t-Verteilung (Student-Verteilung) I
I
I
Parameter: m ∈ N ( Anzahl der Freiheitsgrade“).
”
Es seien Z und X unabhängige Zufallsvariable mit Z ∼ N(0, 1)
(standardnomalverteilt) und X ∼ χ2m (χ2 -verteilt mit m
Freiheitsgraden). Dann ist die Zufallsgröße Y mit
Z
Y =q
X
m
I
I
t-verteilt mit m-Freiheitsgraden.
Bezeichnung: Y ∼ tm .
v
u
n
u 1 X
2
2
Xi − X
Es ist für Xi ∼ N(µ, σ ), u.i.v., S = t
n−1
i=1
√ X −µ
n
S
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t − verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.
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11
Die t-Verteilung (Student-Verteilung) II
0.4
Dichtefunktionen: t−Verteilung
0.0
0.1
0.2
0.3
Freiheitsgrade: m = 1
m=5
m = 100
−4
−2
0
2
4
x
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12
Die F -Verteilung (Fisher-Verteilung) I
I
I
Parameter: m1 , m2 ∈ N ( Anzahl der Freiheitsgrade“).
”
Es seien X1 und X2 zwei unabhängige χ2 -verteilte Zufallsgrößen mit
m1 und m2 Freiheitsgraden. Dann ist die Zufallsgröße Y mit
Y =
I
I
X1
m1
X2
m2
F -verteilt mit den beiden Freiheitsgraden m1 und m2 .
Bezeichnung: Y ∼ Fm1 ,m2 .
Für zwei unabhängige normalverteilt Stichproben
X1i (X1i ∼ N(µ1 , σ12 )) i = 1, . . . , n1 (σ̂12 = S12 ) und
X2i (X2i ∼ N(µ2 , σ22 )) i = 1, . . . , n2 (σ̂22 = S22 ) ist
S12 /σ12
S22 /σ22
F -verteilt mit den Freiheitsgraden n1 − 1 und n2 − 1.
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13
Die F -Verteilung (Fisher-Verteilung) II
1.5
Dichtefunktionen: F−Verteilung
m1 = 5, m2 = 5
m1 = 5, m2 = 50
m1 = 50, m2 = 50
0.0
0.5
1.0
Freiheitsgrade:
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
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14
Konfidenzintervall für µ falls X ∼ N(µ, σ 2 ), σ 2 unbekannt
I
I
I
Es ist für Xi ∼ N(µ, σ 2 ) , u.i.v., S =
q
1
n−1
Pn
i=1
Xi − X
2
√ X −µ
n
t − verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden.
S
Mit dem Quantil tn−1;1− α2 zum Niveau 1 − α2 der t-Verteilung mit
n − 1 Freiheitsgraden gilt dann
√ X −µ
α
α
≤ tn−1;1− 2 = 1 − α ,
P −tn−1;1− 2 ≤ n
S
S
S
P X − √ tn−1;1− α2 ≤ µ ≤ X + √ tn−1;1− α2 = 1 − α .
n
n
Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall
I für den Erwartungswert µ der Normalverteilung bei unbekannter
Varianz σ 2 zum Konfidenzniveau 1 − α
S
S
Iµ = X − √ tn−1;1− α2 ; X + √ tn−1;1− α2 .
n
n
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15
Beispielaufgabe
I
Aufgabe: In einem Betrieb werden unter anderem grüne Bohnen in
Dosen abgefüllt. Bei einer Stichprobe von 25 Dosen wurden folgende
Abfüllgewichte in g ermittelt:
173 , 176 , 172 , 176 , 175 , 174 , 172 , 173 , 173 ,
178 , 176 , 177 , 175 , 176 , 173 , 172 , 175 ,
174 , 172 , 174 , 173 , 177 , 176 , 174 , 174 .
Es wird angenommen, dass es sich bei den Werten um
Realisierungen einer normalverteilten Zufallsgröße handelt.
1. Bestimmen Sie einen Schätzer für das mittlere Abfüllgewicht µ !
2. Geben Sie ein Konfidenzintervall zum Niveau 0.95 für das
Durchschnittsgewicht an !
I
Größen zur Lösung:
x = 174.4,
n = 25,
Dr. Andreas Wünsche
s = 1.756, s 2 = 3.083,
α
1 − = 0.975, t24;0.975 = 2.064.
2
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16
Konfidenzintervall für σ 2 falls X ∼ N(µ, σ 2 ), µ bekannt
n
I
Es ist für Xi ∼ N(µ, σ 2 ) , u.i.v., S ∗2 =
1X
(Xi − µ)2 ,
n
i=1
n
nS ∗2
1 X
=
(Xi − µ)2
σ2
σ2
χ2 − verteilt mit n Freiheitsgraden.
i=1
I
Mit den Quantilen χ2n; α bzw. χ2n;1− α zu den Niveaus
1−
α
2
2
der
χ2 -Verteilung
P
P
2
nS ∗2
nS ∗2
2
≤
σ
≤
χ2n;1− α
χ2n; α
!
2
Dr. Andreas Wünsche
bzw.
mit n Freiheitsgraden gilt dann
nS ∗2
≤ 2 ≤ χ2n;1− α
2
σ
χ2n; α
2
α
2
= 1 − α,
= 1 − α.
2
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17
Konfidenzintervall für σ 2 falls X ∼ N(µ, σ 2 ), µ bekannt
I
Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall
I für die Varianz σ 2 der Normalverteilung bei bekanntem
Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 − α
"
#
nS ∗2
nS ∗2
Iσ2 =
;
.
χ2n;1− α χ2n; α
2
I
2
Das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Standardabweichung σ
der Normalverteilung bei bekanntem Erwartungswert µ zum
Konfidenzniveau 1 − α erhält man daraus durch Berechnung der
Quadratwurzeln:
"s
#
s
nS ∗2
nS ∗2
Iσ =
;
.
χ2n;1− α
χ2n; α
2
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2
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18
Konfidenzintervall für σ 2 falls X ∼ N(µ, σ 2 ), µ unbekannt
n−1
I
Es ist für Xi ∼ N(µ, σ 2 ) , u.i.v., S 2 =
2
1 X
Xi − X ,
n−1
i=1
n
(n − 1)S 2
1 X
=
(Xi − X )2
σ2
σ2
χ2 − verteilt mit n − 1
i=1
Freiheitsgraden.
I
Mit den Quantilen χ2n−1; α bzw. χ2n−1;1− α zu den Niveaus
1−
α
2
der
χ2 -Verteilung
2
α
2
bzw.
mit n − 1 Freiheitsgraden gilt dann
(n − 1)S 2
2
α
P χ2n−1; α ≤
≤
χ
= 1 − α,
n−1;1− 2
2
σ2
!
2
(n − 1)S 2
(n
−
1)S
P
≤ σ2 ≤
= 1 − α.
χ2n−1;1− α
χ2n−1; α
2
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2
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2
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19
Konfidenzintervall für σ 2 falls X ∼ N(µ, σ 2 ), µ unbekannt
I
Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall
I für die Varianz σ 2 der Normalverteilung bei unbekanntem
Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 − α
"
#
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
Iσ2 =
;
.
χ2n−1;1− α
χ2n−1; α
2
I
2
Das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Standardabweichung σ
der Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert µ zum
Konfidenzniveau 1 − α erhält man daraus durch Berechnung der
Quadratwurzeln:
"s
#
s
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
Iσ =
;
.
χ2n−1;1− α
χ2n−1; α
2
Dr. Andreas Wünsche
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2
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20
Einseitige Konfidenzintervalle
I
Einseitige Konfidenzintervalle, d.h. nur obere bzw. nur untere
Konfidenzgrenzen, erhält man, indem man bei den zweiseitigen
Konfidenzintervallen die entsprechende Grenze wählt und bei den
Quantilen α2 durch α ersetzt. Die andere Grenze wird dann
entsprechend der möglichen Werte des Parameters gewählt, also
z.B. −∞ als untere Grenze für den Erwartungswert µ oder 0 als
untere Grenze für die Varianz σ 2 oder die Standardabweichung σ.
I
Oft verwendet werden einseitige Konfidenzintervalle mit oberer
Konfidenzgrenze zur Intervallschätzung der Varianz σ 2 einer
Normalverteilung; ist der Erwartungswert µ unbekannt, lautet das
entsprechende Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 − α:
"
#
(n − 1)S 2
.
Iσ2 = 0 ;
χ2n−1;α
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21
Beispiel Konfidenzintervall für σ 2
I
Im Wägebeispiel aus der vorigen Vorlesung waren:
n = 10 , x = 10.1 , s 2 = 0.23572 = 0.0556 ,
die Werte werden als normalverteilt mit unbekanntem
Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 angenommen.
I
Dann sind mit den Quantilen
χ29;0.025 = 2.70 ,
χ29;0.05 = 3.33 ,
χ29;0.975 = 19.0
die Konfidenzintervalle zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.95 :
I
I
I
I
9 · 0.0556 9 · 0.0556
;
= [0.0263 ; 0.1853] ;
zweiseitig für σ 2 : Iσ2 =
2.70
h√ 19.0 √
i
zweiseitig für σ : Iσ =
0.0263 ; 0.1853 = [0.1622 ; 0.4305] ;
9 · 0.0556
= [0 ; 0.1503] ;
einseitig (oben) für σ 2 : Iσ2 = 0 ;
h √ 3.33i
einseitig (oben) für σ : Iσ = 0 ; 0.1503 = [0 ; 0.3877] .
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22
Asymptotische Konfidenzintervalle
I
Die Konfidenzintervalle für den Erwartungswert bzw. die Varianz
können als asymptotische Konfidenzintervalle auch für
nicht-normalverteilte Merkmale (mit endlicher Varianz) genutzt
werden, wenn der Stichprobenumfang n groß genug ist.
I
Dabei genügt bei symmetrischen Verteilungen oft schon eine Anzahl
von n ≈ 15 Stichprobenwerten, während bei schiefen Verteilungen
oft n ≈ 30 noch nicht ausreicht.
I
Auch eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p kann mit Hilfe eines
solchen asymptotischen Konfidenzintervalls geschätzt werden.
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23
Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p
I
I
Aufgabe:
Ereignisses
1,
Xi =
0,
Intervallschätzung der Wahrscheinlichkeit p eines
A, also p = P(A).
A tritt bei Beobachtung i ein,
(i = 1, . . . , n).
A tritt bei Beobachtung i nicht ein,
I
Die Schätzgröße für p ist die relative Häufigkeit p̂ = X , dabei ist
die absolute Häufigkeit X = nX binomialverteilt mit Parametern n
und p.
I
Mit Hilfe des Grenzwertsatzes von Moivre-Laplace kann man ein
asymptotisches Konfidenzintervall I = [Gu ; Go ] zum
Konfidenzniveau 1 − α konstruieren.
I
Dieses kann für große Stichprobenumfänge n genutzt werden, als
Faustregel gelten np̂ > 5 und n(1 − p̂) > 5.
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24
Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p
I
Mit dem Quantil z1− α2 der Standardnormalverteilung zum Niveau
α
erhält man
1−
2
"
#
r
1
1 2
X (n − X ) 1 2
Gu =
+ z1− α ,
X + z1− α − z1− α2
2
2
2
2
n
4
n + z1−
α
2
"
#
r
1
1 2
X (n − X ) 1 2
Go =
X + z1− α + z1− α2
+ z1− α .
2
2
2
2
n
4
n + z1−
α
2
I
Eine einseitige untere Konfidenzgrenze wäre dann z.B. gegeben
durch
"
#
r
1
1 2
X (n − X ) 1 2
Gu =
X + z1−α − z1−α
+ z1−α .
2
2
n
4
n + z1−α
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Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14
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25
Beispiel: Konfidenzintervall für p
I
Aufgabe: Zur Schätzung des Ausschussanteils eines umfangreichen
Lieferpostens werde diesem eine Stichprobe von 200 Teilen
entnommen. Dabei wurden 190 einwandfreie Teile festgestellt.
1. Geben Sie eine Schätzung für den Ausschussanteil an.
2. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Ausschussanteil zum
Konfidenzniveau 1 − α = 0.95.
I
Größen zur Lösung:
n = 200,
1−
α
2
x=
= 0.975,
Dr. Andreas Wünsche
10
200
= 0.05, absolute Häufigkeit x = 10,
z0.975 = 1.96 .
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26
Klausur Statistik I für Betriebswirte
I
I
Termin:
Raum:
I
I
Montag, 31. Juli 2017, 7:30 - 9:30 Uhr .
Alte Mensa
Es muss selbstständig gearbeitet werden. Als Hilfsmittel für die
Prüfung ist außer Notebook und Handy alles zugelassen.
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Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14
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27