Grundpraktikum - Oskar Armbruster

Grundpraktikum
9. Versuch:
Kräfte und Drehmomente
Gruppe: 8; Tröls, Winkler
Protokollführer: Winkler Klemens
Datum: 04.12.2006
Matrikelnr. 0555991
Grundpraktikum
Inhaltsverzeichnis:
Inhaltsverzeichnis: ...................................................................................................................... 2
1. Grundlagen und Anmerkungen .......................................................................................... 3
2. Kräftegleichgewicht ........................................................................................................... 3
Mittelwert und Standartabweichung aus der Messung .......................................................... 3
Berechnung der Winkel .......................................................................................................... 4
Konsistenz der Ergebnisse ..................................................................................................... 4
3. Drehmomentengleichgewicht............................................................................................. 5
Mittelwert und Standartabweichung der Messung ................................................................. 5
Berechnung der Winkel .......................................................................................................... 5
Konsistenz der Messwerte und Berechnungsergebnisse ........................................................ 6
4. Ballistisches Pendel ............................................................................................................ 6
Messung der Geschwindigkeit und Flugweite ....................................................................... 6
Errechnete Flugweite.............................................................................................................. 7
Vergleich der Werte ............................................................................................................... 7
5. Gleichmäßig beschleunige Drehbewegung ........................................................................ 7
Gemessene Werte ................................................................................................................... 7
Aus Messung berechnete Werte für das Trägheitsmoment .................................................... 8
Trägheitsmoment aus Geometrie ........................................................................................... 8
Vergleich der Werte ............................................................................................................... 8
Kräfte&Drehmomente
-2-
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
1. Grundlagen und Anmerkungen
Für die Berechnung der Werte wurden Excel und ein TI-92+ verwendet. Aufgrund
der Komplexität der Formel für die Fehlerfortpflanzung bei 1) und 2) wurde in
diesem Fall numerisch differenziert und der Wert in eine Excel-Tabelle
übertragen, in welcher dann die Fehler ermittelt wurden. Alle Bezeichnungen
wurden wenn möglich nach der Versuchsanleitung gestaltet oder werden explizit
erklärt. Die verwendeten Formeln der Statistik sind dem Statistikskript zu
entnehmen, die theoretischen Grundlagen der Versuchsanleitung.
Als Standartabweichung wird falls nicht anders angegeben die
Standartabweichung des Mittelwerts angenommen und errechnet.
Die Massen sind wie folgt angenommen:
#
geme. [g] korr. [g] m [g]
m1
50,3
55,3
0,5
m2
50,3
55,3
0,5
m3
50,3
25,3
0,5
2. Kräftegleichgewicht
Mittelwert und Standartabweichung aus der Messung
Messung #
1
2
3
4
5
6
Mittelwert [°]
Stdabw [°]
Kräfte&Drehmomente


154
103
153
103
153
104
153,5
103
152
106
153
106
153,1 104,2
0,271 0,601
-3-
  m1 - m2
103  m2 - m3
104  m3 - m1
103
103,5
102
101
102,8
0,443
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
Berechnung der Winkel
Zur Berechnung der einzelnen Winkel wurde der Cosinussatz verwendet, die
Winkel sind wie beim Punkt Messung definiert:
 m 3 ²  m1 ²  m 2 ² 

2.m1.m 2


  ar cos
 m1 ²  m 2 ²  m 3 ² 

2.m 2 .m 3


  ar cos
 m 2 ²  m1 ²  m 3 ² 

2.m1.m 3


  ar cos
Die Formeln für die Fehler sehen wie folgt aus:



.m1² 
.m 2² 
.m3²
m1
m 2
m3
2
 
2
2
Die anderen Formeln sind analog herzuleiten.



Winkel [°] df/dm1 [°/g] df/dm2 [°/g] df/dm3 [°/g] m [g] Winkel [°]
153,553
0,243463
0,243463
1,06431
0,5 0,55930856
103.224
2,32634
2,08288
0,532155
0,5 1,58377996
103.224
2,08288
2,32634
0,532155
0,5 1,58377996
Konsistenz der Ergebnisse
Mit guter Nährung stimmen der gemessen und der errechnete Wert überein, die
1- Umgebungen um die jeweiligen Mittelwerte schneiden sich. Die gemessenen
Werte für den Winkel und die Masse der Gewichte scheint also nicht sehr weit
vom tatsächlichen Wert abzuweichen.
Kräfte&Drehmomente
-4-
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
3. Drehmomentengleichgewicht
Mittelwert und Standartabweichung der Messung
Messung #
1
2
3
4
5
6
Mittelwert [mm od. °]
Stdabw [mm od. °]
l1 [mm] l2 [mm] l3 [mm] 


112
112
141
149
102
109
110
110
146
143,5
107,5
109
112
112
143
153
103
104
112
111,5
142
146
105,5
108,5
112
112
142
146
110
104
110
110
146
142
109
109
111,333 111,25 143,333 146,583 106,167 107,25
0,42164 0,40311 0,88192 1,6146 1,32077 1,03078
l1
l2
l3



m1
m2
m3
m1-m2
m2-m3
m3-m1
Berechnung der Winkel
Als Längen l1 – l3 wurden die gemessenen Längen, als ihre Fehler die gemessenen
Fehler verwendet.
Aufgrund der Ähnlichkeit der Probleme wurde zur Berechnung dieselbe Methode
mittels Cosinussatz verwendet. Der Zusammenhang M=F.l kann zur Berechnung
herangezogen werden, da die gemessene Länge immer orthogonal zu dem Faden
mit der Masse war.
Die Formeln zur Berechnung der Winkel lauten also wie folgt:
 m3.l32  m 2.l22  m1.l12 

  ar cos

2
.
m
1
.
l
1
.
m
2
.
l
2


 m1.l12  m 2.l22  m3.l32 

  ar cos

2.m 2.l2.m3.l3


 m 2.l2 2  m1.l12  m3.l32 

  ar cos

2.m1.l1.m3.l3


Der Fehler wurde mit folgender Formel abgeschätzt:






.m12 
.m2 2
.m32 
.l12 
.l2 2 
.l32
m1
m2
m3
l1
l2
l3
2
 
2
2
2
2
2
Für die anderen beiden Fehler ist die Formel analog zu berechnen.
Kräfte&Drehmomente
-5-
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
Winkel
[°]
df/dm1 [°/g] df/dm2 [°/g]
145,732
0,320799
0,318044
107,065
1,84145
1,52065
107,204
1,52065
1,83869
m
l1
l3
[g]
[mm]
l2 [mm] [mm]
0,5 0,42164 0,403113 0,88192
0,5 0,42164 0,403113 0,88192
0,5 0,42164 0,403113 0,88192
df/dm3
df/dl1
df/dl2
df/dl3
[°/g]
[°/mm]
[°/mm]
[°/mm]
1,39636
0,159343
0,158093
0,246474
0,701193
0,914659
0,755881
0,123769
0,69517
0,755316
0,913974
0,122706
Winkel
[°]
0,770906
1,3424737
1,3390229
Wobei in den Zeilen der Reihe nach die Winkel berechnet werden.
Konsistenz der Messwerte und Berechnungsergebnisse
Die Werte die durch Messung sowie Berechnung bestimmt wurden, passen wie
beim ersten Teil des Versuchs mit guter Nährung zusammen, die Gründe sind wie
oben bereits angegeben.
4. Ballistisches Pendel
Messung der Geschwindigkeit und Flugweite
Korrfakt.
[mm]
L [mm]
m [g]
25,8
248
M [g]
65,3
1085,4
xgem [mm]
h[mm]
v0 [m/s]
x[mm]
59
33,2
2,232304808
3,68786641
59
33,2
2,232304808
3,68786641
58
32,2
2,09928833
3,57630442
58
32,2
2,09928833
3,57630442
57,5
31,7
2,034331664
3,52054024
58
32,2
2,09928833
3,57630442
Mittelwert [m/s]
Stdabw [m/s]
3,60419772
0,02788882
Mit Hilfe dieser Geschwindigkeit wurde eine theoretische Flugweite ermittelt.
Die tatsächliche Flugweite wurde experimentell gemessen.
Als relevante Pendellänge wurde die angegebene Pendellänge gewählt, da der Teil
in den die Kugel geschossen wird immer waagerecht bleibt und so die nicht direkt
zum Ausschwingen beiträgt.
Kräfte&Drehmomente
-6-
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
Höhe [m]
Flugweite [m]
0,8455
1,495
1,475
1,5
1,485
1,485
1,515
Mittelwert [m]
1,4925
Stdabw [m]
0,0057373
Errechnete Flugweite
Für das Berechnen der Flugweite wurde folgende Formel abgeleitet:
2.l
für xtheo wurde ein Wert von 1,49639 errechnet.
g
Der Fehler wurde mit:
x theo  v 0 .
2




2
 2.l 
 2v 0 
x theo    .v 0 ²  
 .l²  0,024683 m
l
 g 
 2. .g 

g 

Wobei für l ein Wert von 1 mm angenommen wurde.
Vergleich der Werte
Die Werte für die theoretische und die gemessene Flugweite stimmen
überraschend exakt überein, sie befinden sich in einer 1- Umgebung. Die
Übereinstimmung überrascht, da sehr viele Faktoren wie der Luftwiderstand oder
die effektive Pendellänge vernachlässigt wurden.
5. Gleichmäßig beschleunige Drehbewegung
Gemessene Werte
N
142
226
310
395
476
Kräfte&Drehmomente
 [s-1]
4,4611
7,1
9,7389
12,409
14,954
[s-2]
N
1,3195
1,3195
1,3352
1,2723
58
142
228
314
398
479
 [s-1] [s-2] 
1,822
15
4,461 1,319 102
7,163 1,351 186
9,865 1,351 272
12,5 1,319 357
15,05 1,272 440
-7-
 [s-1] [s-2]
0,4712
3,2044 1,367
5,8434 1,319
8,5451 1,351
11,215 1,335
13,823 1,304
Winkler, Tröls
Grundpraktikum
Daraus konnten folgende Werte für die Winkelbeschleunigung gewonnen werden:
Mittelwert [s-2]
Stdabw [s-2]
[s-2]
1,319
1,319
1,335
1,272
1,319
1,351
1,351
1,319
1,272
1,367
1,319
1,351
1,335
1,304
1,324
0,011
Aus Messung berechnete Werte für das Trägheitsmoment
Mit Hilfe der Formel aus der Versuchsbeschreibung konnte folgender Wert für das
Trägheitsmoment der Anordnung ermittelt werden:
I
m.g.r  m. .r ²

 9,88.10 4 kgm ²
Der Fehler wurde mittels Fehlerfortpflanzung wie folgt bestimmt:
I 
 r.( .r  g )

2
 g.m.r
.m ² 
. ²  4,62.10 5 kgm ²
²
2
Trägheitsmoment aus Geometrie
Das aus der Geometrie berechnete Trägheitsmoment beträgt:
I=9,50285.10-4 kgm²
Vergleich der Werte
Aus dem Vergleich der Werte kann eine mäßig gute Übereinstimmung festgestellt
werden, und das obwohl 3 Messreihen durchgeführt und der ermittelte Fehler sehr
groß gegenüber dem wahren Wert ist. Vielleicht ist auch die Vereinfachung der
Geometrie unzulässig, da sie nicht adäquate Werte liefert.
Kräfte&Drehmomente
-8-
Winkler, Tröls