Grundpraktikum - Oskar Armbruster
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Grundpraktikum 9. Versuch: Kräfte und Drehmomente Gruppe: 8; Tröls, Winkler Protokollführer: Winkler Klemens Datum: 04.12.2006 Matrikelnr. 0555991 Grundpraktikum Inhaltsverzeichnis: Inhaltsverzeichnis: ...................................................................................................................... 2 1. Grundlagen und Anmerkungen .......................................................................................... 3 2. Kräftegleichgewicht ........................................................................................................... 3 Mittelwert und Standartabweichung aus der Messung .......................................................... 3 Berechnung der Winkel .......................................................................................................... 4 Konsistenz der Ergebnisse ..................................................................................................... 4 3. Drehmomentengleichgewicht............................................................................................. 5 Mittelwert und Standartabweichung der Messung ................................................................. 5 Berechnung der Winkel .......................................................................................................... 5 Konsistenz der Messwerte und Berechnungsergebnisse ........................................................ 6 4. Ballistisches Pendel ............................................................................................................ 6 Messung der Geschwindigkeit und Flugweite ....................................................................... 6 Errechnete Flugweite.............................................................................................................. 7 Vergleich der Werte ............................................................................................................... 7 5. Gleichmäßig beschleunige Drehbewegung ........................................................................ 7 Gemessene Werte ................................................................................................................... 7 Aus Messung berechnete Werte für das Trägheitsmoment .................................................... 8 Trägheitsmoment aus Geometrie ........................................................................................... 8 Vergleich der Werte ............................................................................................................... 8 Kräfte&Drehmomente -2- Winkler, Tröls Grundpraktikum 1. Grundlagen und Anmerkungen Für die Berechnung der Werte wurden Excel und ein TI-92+ verwendet. Aufgrund der Komplexität der Formel für die Fehlerfortpflanzung bei 1) und 2) wurde in diesem Fall numerisch differenziert und der Wert in eine Excel-Tabelle übertragen, in welcher dann die Fehler ermittelt wurden. Alle Bezeichnungen wurden wenn möglich nach der Versuchsanleitung gestaltet oder werden explizit erklärt. Die verwendeten Formeln der Statistik sind dem Statistikskript zu entnehmen, die theoretischen Grundlagen der Versuchsanleitung. Als Standartabweichung wird falls nicht anders angegeben die Standartabweichung des Mittelwerts angenommen und errechnet. Die Massen sind wie folgt angenommen: # geme. [g] korr. [g] m [g] m1 50,3 55,3 0,5 m2 50,3 55,3 0,5 m3 50,3 25,3 0,5 2. Kräftegleichgewicht Mittelwert und Standartabweichung aus der Messung Messung # 1 2 3 4 5 6 Mittelwert [°] Stdabw [°] Kräfte&Drehmomente 154 103 153 103 153 104 153,5 103 152 106 153 106 153,1 104,2 0,271 0,601 -3- m1 - m2 103 m2 - m3 104 m3 - m1 103 103,5 102 101 102,8 0,443 Winkler, Tröls Grundpraktikum Berechnung der Winkel Zur Berechnung der einzelnen Winkel wurde der Cosinussatz verwendet, die Winkel sind wie beim Punkt Messung definiert: m 3 ² m1 ² m 2 ² 2.m1.m 2 ar cos m1 ² m 2 ² m 3 ² 2.m 2 .m 3 ar cos m 2 ² m1 ² m 3 ² 2.m1.m 3 ar cos Die Formeln für die Fehler sehen wie folgt aus: .m1² .m 2² .m3² m1 m 2 m3 2 2 2 Die anderen Formeln sind analog herzuleiten. Winkel [°] df/dm1 [°/g] df/dm2 [°/g] df/dm3 [°/g] m [g] Winkel [°] 153,553 0,243463 0,243463 1,06431 0,5 0,55930856 103.224 2,32634 2,08288 0,532155 0,5 1,58377996 103.224 2,08288 2,32634 0,532155 0,5 1,58377996 Konsistenz der Ergebnisse Mit guter Nährung stimmen der gemessen und der errechnete Wert überein, die 1- Umgebungen um die jeweiligen Mittelwerte schneiden sich. Die gemessenen Werte für den Winkel und die Masse der Gewichte scheint also nicht sehr weit vom tatsächlichen Wert abzuweichen. Kräfte&Drehmomente -4- Winkler, Tröls Grundpraktikum 3. Drehmomentengleichgewicht Mittelwert und Standartabweichung der Messung Messung # 1 2 3 4 5 6 Mittelwert [mm od. °] Stdabw [mm od. °] l1 [mm] l2 [mm] l3 [mm] 112 112 141 149 102 109 110 110 146 143,5 107,5 109 112 112 143 153 103 104 112 111,5 142 146 105,5 108,5 112 112 142 146 110 104 110 110 146 142 109 109 111,333 111,25 143,333 146,583 106,167 107,25 0,42164 0,40311 0,88192 1,6146 1,32077 1,03078 l1 l2 l3 m1 m2 m3 m1-m2 m2-m3 m3-m1 Berechnung der Winkel Als Längen l1 – l3 wurden die gemessenen Längen, als ihre Fehler die gemessenen Fehler verwendet. Aufgrund der Ähnlichkeit der Probleme wurde zur Berechnung dieselbe Methode mittels Cosinussatz verwendet. Der Zusammenhang M=F.l kann zur Berechnung herangezogen werden, da die gemessene Länge immer orthogonal zu dem Faden mit der Masse war. Die Formeln zur Berechnung der Winkel lauten also wie folgt: m3.l32 m 2.l22 m1.l12 ar cos 2 . m 1 . l 1 . m 2 . l 2 m1.l12 m 2.l22 m3.l32 ar cos 2.m 2.l2.m3.l3 m 2.l2 2 m1.l12 m3.l32 ar cos 2.m1.l1.m3.l3 Der Fehler wurde mit folgender Formel abgeschätzt: .m12 .m2 2 .m32 .l12 .l2 2 .l32 m1 m2 m3 l1 l2 l3 2 2 2 2 2 2 Für die anderen beiden Fehler ist die Formel analog zu berechnen. Kräfte&Drehmomente -5- Winkler, Tröls Grundpraktikum Winkel [°] df/dm1 [°/g] df/dm2 [°/g] 145,732 0,320799 0,318044 107,065 1,84145 1,52065 107,204 1,52065 1,83869 m l1 l3 [g] [mm] l2 [mm] [mm] 0,5 0,42164 0,403113 0,88192 0,5 0,42164 0,403113 0,88192 0,5 0,42164 0,403113 0,88192 df/dm3 df/dl1 df/dl2 df/dl3 [°/g] [°/mm] [°/mm] [°/mm] 1,39636 0,159343 0,158093 0,246474 0,701193 0,914659 0,755881 0,123769 0,69517 0,755316 0,913974 0,122706 Winkel [°] 0,770906 1,3424737 1,3390229 Wobei in den Zeilen der Reihe nach die Winkel berechnet werden. Konsistenz der Messwerte und Berechnungsergebnisse Die Werte die durch Messung sowie Berechnung bestimmt wurden, passen wie beim ersten Teil des Versuchs mit guter Nährung zusammen, die Gründe sind wie oben bereits angegeben. 4. Ballistisches Pendel Messung der Geschwindigkeit und Flugweite Korrfakt. [mm] L [mm] m [g] 25,8 248 M [g] 65,3 1085,4 xgem [mm] h[mm] v0 [m/s] x[mm] 59 33,2 2,232304808 3,68786641 59 33,2 2,232304808 3,68786641 58 32,2 2,09928833 3,57630442 58 32,2 2,09928833 3,57630442 57,5 31,7 2,034331664 3,52054024 58 32,2 2,09928833 3,57630442 Mittelwert [m/s] Stdabw [m/s] 3,60419772 0,02788882 Mit Hilfe dieser Geschwindigkeit wurde eine theoretische Flugweite ermittelt. Die tatsächliche Flugweite wurde experimentell gemessen. Als relevante Pendellänge wurde die angegebene Pendellänge gewählt, da der Teil in den die Kugel geschossen wird immer waagerecht bleibt und so die nicht direkt zum Ausschwingen beiträgt. Kräfte&Drehmomente -6- Winkler, Tröls Grundpraktikum Höhe [m] Flugweite [m] 0,8455 1,495 1,475 1,5 1,485 1,485 1,515 Mittelwert [m] 1,4925 Stdabw [m] 0,0057373 Errechnete Flugweite Für das Berechnen der Flugweite wurde folgende Formel abgeleitet: 2.l für xtheo wurde ein Wert von 1,49639 errechnet. g Der Fehler wurde mit: x theo v 0 . 2 2 2.l 2v 0 x theo .v 0 ² .l² 0,024683 m l g 2. .g g Wobei für l ein Wert von 1 mm angenommen wurde. Vergleich der Werte Die Werte für die theoretische und die gemessene Flugweite stimmen überraschend exakt überein, sie befinden sich in einer 1- Umgebung. Die Übereinstimmung überrascht, da sehr viele Faktoren wie der Luftwiderstand oder die effektive Pendellänge vernachlässigt wurden. 5. Gleichmäßig beschleunige Drehbewegung Gemessene Werte N 142 226 310 395 476 Kräfte&Drehmomente [s-1] 4,4611 7,1 9,7389 12,409 14,954 [s-2] N 1,3195 1,3195 1,3352 1,2723 58 142 228 314 398 479 [s-1] [s-2] 1,822 15 4,461 1,319 102 7,163 1,351 186 9,865 1,351 272 12,5 1,319 357 15,05 1,272 440 -7- [s-1] [s-2] 0,4712 3,2044 1,367 5,8434 1,319 8,5451 1,351 11,215 1,335 13,823 1,304 Winkler, Tröls Grundpraktikum Daraus konnten folgende Werte für die Winkelbeschleunigung gewonnen werden: Mittelwert [s-2] Stdabw [s-2] [s-2] 1,319 1,319 1,335 1,272 1,319 1,351 1,351 1,319 1,272 1,367 1,319 1,351 1,335 1,304 1,324 0,011 Aus Messung berechnete Werte für das Trägheitsmoment Mit Hilfe der Formel aus der Versuchsbeschreibung konnte folgender Wert für das Trägheitsmoment der Anordnung ermittelt werden: I m.g.r m. .r ² 9,88.10 4 kgm ² Der Fehler wurde mittels Fehlerfortpflanzung wie folgt bestimmt: I r.( .r g ) 2 g.m.r .m ² . ² 4,62.10 5 kgm ² ² 2 Trägheitsmoment aus Geometrie Das aus der Geometrie berechnete Trägheitsmoment beträgt: I=9,50285.10-4 kgm² Vergleich der Werte Aus dem Vergleich der Werte kann eine mäßig gute Übereinstimmung festgestellt werden, und das obwohl 3 Messreihen durchgeführt und der ermittelte Fehler sehr groß gegenüber dem wahren Wert ist. Vielleicht ist auch die Vereinfachung der Geometrie unzulässig, da sie nicht adäquate Werte liefert. Kräfte&Drehmomente -8- Winkler, Tröls
