Höhere Mathematik I

Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
1. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 1.
Berechnen Sie
11
(a) x1 =
5
10
10
11
−
−
(b) x2 =
5
4
5
n
X
n
(c) x3 =
k
k=0
Hinweis zu (c): Nutzen Sie den binomischen Lehrsatz,
den Sie in der Vorlesung gelernt haben.
n
Alternativ können Sie sich auch überlegen, dass k angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt
n Elemente so auf zwei Kästchen zu verteilen, dass im ersten Kästchen k Elemente und im
zweiten n − k Elemente sind.
Aufgabe P 2. Tennis-Grand-Slam
Bei Tennis-Turnieren ist die Teilnehmerzahl in der Regel eine Zweierpotenz 2n (n = 7 bei
einem Grand-Slam). Geht man davon aus, dass in jeder Partie ein Teilnehmer aus dem Turnier
ausscheidet (K.-o.-System), beträgt die Anzahl der insgesamt gespielten Partien 2n − 1. Zeigen
Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass dies für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt.
Aufgabe P 3. Formeln und Sprache
Übersetzen Sie den folgenden Ausdruck in natürliche Sprache:
∀x ∈ Z ∃y ∈ Z ∃z ∈ Z : (x < y) ∧ (x > z) .
Übersetzen Sie folgende Aussage in eine Formel:
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere.“
”
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
1. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 1.
√
Gegeben sind folgenden komplexen Zahlen: z1 = 1 + 2i, z2 = 6 − 2i, z3 = (2 + 3)i − 5 und
z4 = 3 + 6i. Berechnen Sie dazu die unten aufgeführten Terme und geben Sie die Ergebnisse
sowohl in klassischer (a + bi) als auch in Vektorschreibweise (als Paar (a, b)) an.
(a) z10 = z2 + z3
(b) z20 = z2 · z1
z1
(c) z30 =
z4
Aufgabe H 2.
Zeigen mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N
gilt:
n
X
n2 (n + 1)2
j3 =
4
j=1
Geben Sie eine Interpretation dieser Gleichung in eigenen Worten an.
Aufgabe H 3. binomischer Lehrsatz für komplexe Zahlen
Es seien x = a + b i und y = c + d i zwei komplexe Zahlen (mit a, b, c, d ∈ R) und n ∈ N
eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass gilt:
(a + b i) + (c + d i)
n
=
n X
n
j=0
j
(a + b i)n−j (c + d i)j .
Schreiben Sie diese Formel für n = 4 explizit aus. Verwenden Sie dabei für die Binomialkoeffizienten das Pascalsche Dreieck.
Hinweis: In der Vorlesung haben wir den binomischen Lehrsatz für reelle Zahlen schon bewiesen.
Orientieren Sie sich an diesem Beweis.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
2. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 4.
Entscheiden Sie für die folgenden Abbildungen, ob sie injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
(a) f1 : {Menge der Studenten} → N :
(b) f2 : R → R : x 7→ x2
Student 7→ Matrikelnummer des Studenten
(c) f3 : R → R : x 7→ min(x, x2 )
Aufgabe P 5. komplexe Zahlen
Bestimmen Sie jeweils Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der komplexen Zahlen z1 :=
z2 := (1 − 2 i)4 und der (einzigen) Lösung w der Gleichung
2−i
,
1+i
z 2 + 2 (1 − i) z = 2 i .
Skizzieren Sie das Gebiet D := {z ∈ C | | Im(z)| + | Re(z)| 5 1 } in der Gaußschen Zahlenebene.
Aufgabe P 6. Polarkoordinaten und Elementargeometrie
Berechnen Sie die Polarkoordinatendarstellung der folgenden komplexen Zahlen. Verwenden Sie
keine Näherungen, sondern geben Sie die Argumente exakt an.
√
z3 := 2 + 2 3 i
√
√
2
2
z4 :=
−
i
2 √ 2
z5 := 1 + 3 i
Aufgabe P 7. affine Transformationen
Wir betrachten die Menge A := {fa,b | a, b ∈ R} der durch fa,b (x) = a x + b definierten
Abbildungen fa,b : R → R. Diese Abbildungen kann man nacheinander ausführen und erhält
jeweils wieder eine Abbildung von R nach R. Wir schreiben g ◦ f , wenn wir zuerst f und
dann g anwenden wollen.
(a) Berechnen Sie f3,2 ◦ f2,−5 und f2,−5 ◦ f3,2 .
(b) Zeigen Sie: Für beliebige f, g ∈ A gilt f ◦ g ∈ A.
(c) Für welche Werte von a, b ∈ R ist die Abbildung fa,b : R → R injektiv bzw. surjektiv?
Zusatz: A ist keine Gruppe, denn die Nullabbildung f0,0 : R → R : x 7→ 0 hat keine Inverse.
Finden Sie eine möglichst große Teilmenge von A derart, dass diese bezüglich der Komposition
von Abbildungen eine Gruppe bildet.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
2. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 4. Eigenschaften von Abbildungen
Geben Sie Beispiele von Abbildungen f : X → Y mit den folgenden Eigenschaften an:
(a) f ist surjektiv, aber nicht injektiv.
(b) f ist injektiv, aber nicht surjektiv.
(c) f ist nicht surjektiv und nicht injektiv.
(d) f ist bijektiv.
(e) f ist konstant.
(f) Das Bild
f (X) = {z ∈ Y | ∃ x ∈ X : z = f (x)}
besteht aus genau zwei Elementen.
Zeichnen Sie möglichst zu jeder Abbildung den zugehörigen Graphen.
Aufgabe H 5. Rechnen mit komplexen Zahlen
Gegeben sind im Folgenden je zwei komplexe Zahlen x und y in Polarkoordinatendarstellung.
Addieren Sie die beiden Zahlen und geben Sie das Ergebnis x + y in Polarkoordinaten an.
y = 3 cos(− π6 ) + i sin(− π6 )
(a) x = 2 cos( π6 ) + i sin( π6 )
y = 5 cos( 68π ) + i sin( 68π )
(b) x = 4 cos( π4 ) + i sin( π4 )
y = 7 cos( π2 + α) + i sin( π2 + α)
(c) x = 6 cos( π2 − α) + i sin( π2 − α)
Aufgabe H 6. Wurzelziehen
Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung (z − i)8 = 1 mit z ∈ C.
Hinweis: Es ist (z − i)8 = 1 genau dann, wenn (z − i)4 = ±1. Reduzieren Sie nun genauso
zu Gleichungen für (z − i)2 und lösen Sie dann mit dem Ansatz z = x + i y .
Aufgabe H 7.
Drehgruppe, räumliche Anschauung
In dieser Aufgabe betrachten wir die Drehungen eines Tetraeders, die den Tetraeder als Ganzes fest lassen und nur Ecken,
Kanten und Flächen vertauschen.
(a) Was erhält man, wenn man zuerst den Tetraeder um die
Achse durch A und die gegenüberliegende Flächenmitte
um 120◦ dreht und dann um die Achse durch D und
PSfrag replacements
die gegenüberliegende Flächenmitte um 240◦ dreht?
In
beiden Fällen drehen wir gegen den Uhrzeigersinn, wenn
wir die Achse vom Eckpunkt zur Fläche hin betrachten.
D
C
A
B
(b) Beschreiben Sie alle Drehungen, die den Tetraeder als Ganzes fest lassen.
Hinweis: Sie müssen auf 12 verschiedene Drehungen kommen (einschließlich der Drehung
um 0◦ ).
(c) Begründen Sie kurz, warum diese 12 Drehungen bezüglich der Hintereinanderausführung
eine Gruppe bilden.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
3. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 8. Formale Mengenschreibweise
Geben Sie die folgenden Mengen in formaler Schreibweise an:
(a) Die Menge der rationalen Zahlen zwischen −1 und 2.
(b) Die Menge bestehend aus den Zahlen 0,2,4 und π .
(c) Die Menge aller nicht-rationalen komplexen Zahlen.
Aufgabe P 9. Ungleichungen
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen in R. Geben Sie diese Lösungsmengen in formaler Mengenschreibweise an.
(a) x2 − 5x 5 0
(b) x2 = 4 − 3x
(c) x3 − x < 0
Aufgabe P 10. Nullstellen von Polynomen
Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Polynomgleichungen. Raten Sie zunächst eine
Lösung und führen Sie dann eine Polynomdivision durch.
(a) − 18 u3 + 43 u2 − 4 = 0
(b) x4 + 2x2 − 3 = 0
(c) x3 − 7x − 6 = 0
(d)
1 3
x
4
− 38 x2 − 32 x −
7
8
=0
Aufgabe P 11. Menge von Mengen
Als Potenzmenge bezeichnet man die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.
Zu einer Menge M = {a, b, c} ist die Potenzmenge P(M ) gegeben durch
P(M ) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Zeigen Sie: Hat eine Menge M die Mächtigkeit |M | = n (das heißt: enthält sie genau n
Elemente), so hat ihre Potenzmenge die Mächtigkeit |P(M )| = 2n .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
3. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 8. Faktorisierung von Polynomen
Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden komplexen Polynomgleichungen. Verwenden Sie
die angegebene Lösung für den ersten Schritt der Polynomdivision.
(a) z 3 + (1 − i)z 2 + (1 − i)z − i = 0 ;
z1 = i
(b) z 5 + z 4 − 13z 3 + 19z 2 − 68z + 60 = 0 ;
z1 = −5
Aufgabe H 9. Ungleichungen
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen in R2 . Geben Sie die jeweiligen
Lösungsmengen in formaler Schreibweise an und stellen Sie diese auch graphisch dar.
(a) xy 5 2
(b) x3 + y 3 = xy(x + y)
Aufgabe H 10. Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung
Es sei n = 2. Beweisen Sie: Sind die reellen Zahlen x1 , ..., xn alle positiv oder alle negativ,
aber immer größer als −1, so ist
(1 + x1 )(1 + x2 )(1 + x3 ) · · · (1 + xn ) > 1 + x1 + x2 + x3 + · · · + xn .
Inwiefern ist dies eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung?
Aufgabe H 11. Dreiecksungleichung
Beweisen Sie die folgende Ungleichung für x1 , x2 ∈ R:
|x1 + x2 | 5 |x1 | + |x2 |.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dipl.-Math. S. Kreitz
Dipl.-Math. M. Pfeil
4. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 12.
Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind.
(a) Die Kreislinie v ∈ R2 |v| = 1 ist ein Untervektorraum von R2 .
o
nP
2
mit v1 = (1, 2, −1) und v2 = (0, 1, −7) ist ein
(b) Die Menge
j=1 αj vj αj ∈ R
Untervektorraum von R3 .
(c) Die Menge (x, y, z) ∈ R3 3 x + 2 y − z = 0 ist ein Untervektorraum von R3 .
(d) Die Menge (x, y, z) ∈ R3 3 x + 2 y − z = 2 ist ein Untervektorraum von R3 .
Aufgabe P 13.
Gegeben seien die folgenden Vektoren in R3 :
 
 
 
0
0
1





1 ,
1
1
, v3 =
, v2 =
v1 =
1
0
0

1
v4 =  0  ,
−1


1
v5 =  0  .
1

Bestimmen Sie den Aufspann L (v1 , v2 ).
Sind die Vektoren
(a) v1 , v2 , v3
(b) v1 , . . . , v5
(c) v1 , v5
jeweils linear unabhängig? Bilden sie jeweils ein Erzeugendensystem von R3 ? Bilden sie jeweils
eine Basis von R3 ?
Wählen Sie aus den Vektoren v1 , . . . , v5 mindestens zwei verschiedene Basen von R3 sowie
mindestens zwei davon verschiedene Erzeugendensysteme von R3 .
Aufgabe P 14.
Wir betrachten die Menge R[X] der reellen Polynome. Für p, q ∈ R[X] sei
Z 1
p(x) q(x) d x
hp|qi :=
0
definiert. Zeigen Sie, dass dies für alle p, q, r ∈ R[X] und alle α ∈ R die Eigenschaften
(a) hp|qi = hq|pi
(b) hp|pi ≧ 0 ∧ hp|pi = 0 ⇔ p = 0
(c) hp|q + ri = hp|qi + hp|ri
(d) αhp|qi = hα p|qi = hp|α qi
eines Skalarproduktes besitzt.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
4. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 12.
Wir betrachten einen reellen Vektorraum V mit Skalarprodukt h· | ·i. Zeigen Sie, dass für alle
v, w ∈ V gilt:
(a) |v + w|2 = |v|2 + 2hv|wi + |w|2
(b) |v − w|2 = |v|2 − 2hv|wi + |w|2
(c) |v|2 − |w|2 = hv + w|v − wi
Aufgabe H 13.
Gegeben sind die Punkte A = (5, 1, 0), B = (1, 5, 2) und C = (−1, 1, 6) sowie die Gerade g
mit
 


2
2



−5
+ r 4  , r ∈ R.
g : ~x =
5
−3
(a) Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung und eine Koordinatengleichung der Ebene E ,
die A, B und C enthält. Berechnen Sie außerdem den Schnittpunkt von g und E .
(b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist.
(c) Der Punkt D bilde mit A, B und C ein Quadrat mit dem Mittelpunkt M . Bestimmen
Sie D und M .
Aufgabe H 14.
Gegeben seien die Vektoren v1 = (1, 1, 0, 2), v2 = (0, 2, 1, π), v3 = (2, 1, −1, 2) sowie
v4 = (−1, 0, 1, 0) und v5 = (2, 4, 1, 4 + π) ∈ R4 . Entscheiden Sie in jedem der folgenden
Fälle, ob die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Antwort mit der
entsprechenden Rechnung.
(a) v1 , v3
(b) v1 , v2 , v3
(c) v1 , v2 , v5
(d) v1 , v2 , v3 , v4
Aufgabe H 15.
Ein spurgebundenes Fahrzeug (Eisenbahn, Transrapid, etc.) übt momentan eine
√ Antriebskraft
√
√ vom Betrag 4 aus und bewegt sich dabei auf Schienen, die in Richtung 41 2, 41 2, − 21 3
√
√ √ verlegt sind. Zusätzlich wirkt auf das Fahrzeug die Windkraft 34 2, − 45 2, 21 3 .
Wie groß ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung?
Wie groß ist die vom Wind erzeugte Querkraft auf die Schiene (die Kraft, die senkrecht zur
Schiene in der horizontalen Ebene, die von (1, 0, 0) und (0, 1, 0) aufgespannt wird, wirkt)?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
5. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 15. Geraden und Ebenen
Gegeben sind die Ebene E1 und die Gerade g1 durch:

 


 
4
0

 x1
g1 : ~x =  1  + λ  1  ,
E1 : x2  ∈ R3 7x1 + 4x2 + 4x3 = 4 ,


−8
0
x3
λ ∈ R.
(a) Bestimmen Sie den Schnitt E1 ∩ g1 .
(b) Bestimmen Sie die Ebene E2 , die g1 enthält und zu E1 senkrecht ist.
Aufgabe P 16. Auffüllen einer Basis
Wir betrachten den Untervektorraum
U := {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | 2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 0} j R4 .
Zeigen Sie, dass v1 = (1, 0, 1, 1) und v2 = (0, 1, 1, 0) linear unabhängig sind und in U liegen.
Geben Sie eine Basis von U an, welche v1 und v2 enthält. Welche Dimension hat U ?
Aufgabe P 17.
Vektoren und Koordinaten
o
nP
2
j
der reellen Polynome vom
Wir betrachten den Vektorraum Pol2 R :=
j=0 αj X αj ∈ R
Grad höchstens 2 mit den Basen B = {X 2 , X − 1, X + 1} und C = {1, X, X 2 }.
Geben Sie für das Polynom p(X) := X 2 + 2X + 1 die Koordinatentupel
p bezüglich C an.
C
B
p bezüglich B und
Überprüfen Sie die von Ihnen gefundenen Koordinaten durch eine Probe (Einsetzen).
Aufgabe P 18. Fläche eines Dreiecks
Im dreidimensionalen Raum R3 sind drei Punkte P1 = (1, 2, 2), P2 = (2, 1, −3) und
P3 = (3, 2, −2) gegeben. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten P1 , P2 und P3 .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
5. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 16. Koordinatentupel
Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren v1 = (3, 0, 3), v2 = (6, −12, 0) und v3 =
(3, 30, 90) bezüglich der folgenden Basen.
(b)
(a)
    

1
0

 1






0
1 , 1 ,
B1 =


−1
0
0


   
2
1
2








1
−2 , 2 ,
B2 =


−2
2
1
Hinweis: Benutzen Sie die Definition von Koordinaten(-tupeln) aus der Vorlesung.
Machen Sie eine Probe!
Aufgabe H 17.
Winkel und Spiegelbilder
(a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden und den Winkel zwischen ihnen:
 


 


1
4
1
6







4
2
+ s 0  ; r, s ∈ R .
und g : ~x =
+r 2
f : ~x =
1
−3
2
−2
Überprüfen Sie den ermittelten Schnittpunkt durch eine Probe!
(b) Die Ebene E enthalte die Geraden f und g . Stellen Sie die Hesse-Normalform von E
auf und spiegeln Sie den Punkt Q(1, 1, −3) an E .
Hinweis: Welchen Abstand haben Q und Q0 von E ?
Aufgabe H 18.
Vom Nutzen
Basen
nP verschiedener
o
2
j
Im Vektorraum Pol2 R =
c
X
c
,
c
,
c
∈
R
aller reellen Polynome vom Grad
0 1 2
j=0 j
höchstens 2 bilden die folgenden Elemente eine Basis:
1 2 1
1
1
X − X , p2 (X) := −X 2 + 1 , p3 (X) := X 2 + X .
2
2
2
2
(a) Bestimmen Sie die Werte pj (k) für alle j ∈ {1, 2, 3} und k ∈ {−1, 0, 1}.
(b) Finden Sie f, g ∈ Pol2 R derart, dass gilt:
p1 (X) :=
f (−1) = 1, f (0) = 17, f (1) = −2121,
g(−1) = 8, g(0) = −7, g(1) = 0.
Hinweis: Setzen Sie f und g als Linearkombinationen von p1 , p2 , p3 an.
(c) Warum ist die Basis p1 , p2 , p3 hier besser als die Basis X 0 , X 1 , X 2 ?
Zusatz: In der Aufgabe haben wir angenommen, dass die Polynome p1 , p2 , p3 eine Basis von
Pol2 R bilden. Können Sie den Nachweis erbringen, dass dies tatsächlich wahr ist?
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
6. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 19.
Berechnen Sie für

0 1
A := 1 0
0 1

B :=

3
y := −2
0

4 4 6
40 50 60
folgende Summen und Produkte (sofern das möglich ist):
|
|
(a) A y
(b) Ay
|
(c) B B
(e) A + B
(d) A + B
(f) y y
|
|
Aufgabe P 20.
Heinrich Lohse braucht für sein Büro einen neuen Computer. Um einen Mengenrabatt zu bekommen, bestellt er Radiergummis, Schreibmaschinenpapier und Computer im Wert von insgesamt
300.000,– DM und bekommt dann Radiergummis für 0,10 DM pro Stück, Schreibmaschinenpapier für 2,80 DM pro Packung und Computer für 6000,– DM pro Gerät (zur Erinnerung:
1e∼
= 1,95583 DM). Insgesamt bestellt Herr Lohse 300.000 Artikel beim Großhandel.
Wie viele Radiergummis, wie viele Packungen Schreibmaschinenpapier und wie viele Computer
hat er jeweils bestellt?
Aufgabe P 21.
Wir betrachten die folgenden linearen Gleichungssysteme in R3 .
2 x1 − x3 + 3 x2 =
x1 + x3 =
3 x1 + 3 x2 =
Sind die Gleichungssysteme
(a)
0
(b) 1x1 + 3x2 = −1
0
−2x1 + x2 =
4
0
7x2 + 0x1 =
2
jeweils homogen oder inhomogen?
(c)
2x1 + x2 = −5
x1 + 0x2 =
4
3x2 + x2 =
0
Stellen Sie die erweiterten Koeffizientenmatrizen auf.
Lösen Sie die Gleichungssysteme.
Aufgabe P 22.
(a) Gegeben sei die Matrix A :=
1 α
α 1
∈ R2×2 .
Für welche α ∈ R existiert eine Matrix C =
c11 c12
c21 c22
∈ R2×2 r {0} derart, dass
AC = 0 gilt?
Bestimmen Sie jeweils alle solchen Matrizen C ∈ R2×2 und berechnen Sie dann auch CA.
a b
(b) Gegeben sei die Matrix A :=
∈ R2×2 .
c d
Was muss für a, b, c, d ∈ R gelten, damit es möglich ist, die inverse Matrix A−1 zu A
zu bestimmen (also eine Matrix A−1 ∈ R2×2 mit AA−1 = E2 = A−1 A) ?
Geben Sie die Inverse in diesen Fällen an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
6. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 19.
Berechnen Sie für die

3 4
4 −1
A := 
2 2
1 5
Matrizen

−2
1

−3
2

4 3
B := 1 2 
7 −5

C :=
1 2 3 4
5 6 7 8
alle Matrizenprodukte aus je zwei Faktoren, soweit diese Produkte definiert sind.
Aufgabe H 20. Kuchen backen
Sie wollen für die Gruppenübung in Höherer Mathematik Kuchen backen. Dafür haben Sie
mehrere Rezepte zur Auswahl: Für einen Napfkuchenteig brauchen Sie 500g Mehl, 250g Zucker,
250g Butter und 5 Eier, für einen großen Rührkuchen 6 Eier, 500g Zucker, 400g Butter und
500g Mehl, und für einen kleinen Strudel 250g Mehl, 50g Butter und 2 Eier. Sie plündern die
WG-Küche und finden 1kg Mehl, 14 kg Zucker, 9 Eier und einige Butterüberreste, die zusammen
350g ergeben. Wieviele Kuchen von welcher Sorte können Sie damit backen, wenn Sie alle
Vorräte aufbrauchen wollen?
Aufgabe H 21.
Lösen Sie das folgende komplexe lineare Gleichungssystem:
(4 − i) z1 + i z2 = 4 i
(4 + i) z1 + z2 = 2
Vergessen Sie die Probe nicht!
Aufgabe H 22.
Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektoren v und w eines K-Vektorraumes V .
(a) Für welche Werte von α ∈ K sind die Vektoren v , v + αw linear abhängig, für welche
sind sie linear unabhängig?
(b) Jetzt sei K = R und V = Rn . Bestimmen Sie α ∈ R so, dass die Vektoren v + αw , w
orthogonal zueinander stehen.
Begründen Sie Ihre Antworten.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
7. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 23.
Lösen Sie das für x ∈ R4 gegebene Gleichungssystem Ax = b mit



0
−2 1
2
1


 2
−4
1 −4 1 
,
b := 
A := 
 0
 2
2 −5 5 
10
6 −5 −4 −2


.

Aufgabe P 24.
Bestimmen Sie die t ∈ R, für welche das lineare Gleichungssystem

   
(t − 1)2 1 t
x1
0
 1




1 0
x2 = 0
2
3 1
x3
t
(a) genau eine Lösung
(b) keine Lösung
(c) unendlich viele Lösungen
besitzt. Geben Sie im Fall (a) und (c) alle Lösungen an.
Aufgabe P 25.
Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen
(a) Beschreiben Sie die lineare Abbildung ϕ : R2 → R2 , die jeden Vektor auf den um π4 gegen
den Uhrzeigersinn gedrehten
Vektor
gleicher Länge abbildet durch eine Matrix bezüglich
0
1
.
, c2 :=
der Basis C : c1 :=
1
0
(b) Gegeben ist die Ebene



1
1
E1 :  2  • ~x = 0.
3
−2
Spiegeln an dieser Ebene ist eine lineare Abbildung,wir nennen sie
 ϕ.Geben Sie
 die

1
2
0
1
Matrizen B ϕB und E ϕE an für die Basis B : b1 :=  2  , b2 := −1 , b3 := 1
3
−2
0
1
und die Standardbasis E des R3 .
Aufgabe P 26. Lineare Abbildungen
Sind die folgenden Abbildungen linear oder nicht? Geben Sie jeweils eine Begründung.


x + 2y
(b) g : R → R : x 7→ 2x + 4
x
(a) f : R2 → R3 :
7→  0 
(c) h : Pol3 R → R : p(X) 7→ p(1)
y
x
(d) k : Pol3 R → Pol3 R : p(X) 7→ p(X+1)
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
7. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 23.
Lösen Sie das für x ∈ R6 gegebene Gleichungssystem Ax = b mit



1 1 1 1 1 2

 1 2 3 4 5 7 




 1 3 6 10 15 16 



,
b
:=
A := 


1
4
10
20
35
30




 2 5 9 14 20 23 
2 5 11 21 36 32
5
15
35
70
50
75




.



Aufgabe H 24.
Lösen Sie
 
 
x
t
1
2
3
−1  1 
x2   
 2 t2 + 3
2t
6
−2 
=
x3 
0
−1 −2 t − 4 1
x4


mit Hilfe des Gaußverfahrens.
Aufgabe H 25.
Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen
(a) Beschreiben Sie die Drehung des R3 um π6 gegen den Uhrzeigersinn um die x-Achse
durch eine Matrix bezüglich der Standardbasis.
(b) Beschreiben Sie die Halbdrehung des dreidimensionalen Raumes R3 um die Gerade
 
1
g1 : ~x = t 1 , t ∈ R durch eine Matrix bezüglich der Standardbasen.
2
Aufgabe H 26. Blockmatrizen
Wir betrachten zwei beliebige 3 × 3-Matrizen A, B . Verifizieren Sie:
E3 A
E3 B
E3 A + B
=
0 E3
0 E3
0
E3
(Zur Erinnerung: E3 ist die 3 × 3-Einheitsmatrix, 0 ist in diesem Fall die 3 × 3-Nullmatrix).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
8. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 27.
Bestimmen Sie den Rang Rg A der folgenden

2
0
A := 
1
−1
reellen Matrix:

1 4 −3
1 2 −1

1 3 −2
2 3 −1
Aufgabe P 28.
Gegeben sind die folgenden reelle Matrizen:




1 2 1
1 −1
A := 0 1 0 
B := −1 1 
1 3 −1
0
1
1 2 1
C :=
2 1 0
(a) Für welche Matrizen gibt es eine Rechtsinverse, eine Linksinverse, eine Inverse?
(b) Berechnen Sie in den Fällen, wo es möglich ist, die Inverse.
Aufgabe P 29.
Gegeben sind zwei Basen B = {b1 , b2 , b3 } und C = {c1 , c2 , c3 } des Vektorraums R3 .
(a) Durch ϕ(b1 ) = 2c1 + c2 , ϕ(b2 ) = −c3 und ϕ(b3 ) = c1 + 2c3 ist eine lineare Abbildung
ϕ : R3 → R3 definiert. Begründen Sie diese Behauptung. Geben Sie die Matrix C ϕB an.
(b) Die Basen B und C stehen in folgender Beziehung:
b1 = c1 − c3 ,
b2 = c1 + c2 ,
b3 = c2 − c3 .
Geben Sie für alle j ∈ {1, 2, 3} die Koordinatentupel B (bj ) und C (bj ) an. Berechnen Sie
die Matrixdarstellungen C idB und B idC .
(c) Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen
B
ϕC und
C
ϕC .
Aufgabe P 30.
Betrachten Sie die Abbildungen
g1 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (2x + 4y + 7z, 5y + z, 3z)
g2 : R3 → R3 : (x, y, z) 7→ (x2 , xyz, z + 3x − 29y)
g3 : R2 → R3 : (x, y) 7→ (5x + 2y, 4y, 4x + 3y)
(a) Welche dieser Abbildungen sind linear?
Geben Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildungen bezüglich der Standardbasis an.
(b) Bestimmen Sie die Kerne der linearen Abbildungen.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
8. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 27.
In Abhängigkeit von dem Parameter t ∈ R ist die folgende Matrix


3 0
0
t
1 2
0
6

At := 
2 −1 t − 1 0
0 1
0
3
gegeben, die die lineare Abbildung αt : R4 → R4 : x 7→ At x beschreibt.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t den Kern Ker (αt ).
Aufgabe H 28.
Gegeben ist die Matrix


1 2 3
A := −3 2 −1 ∈ R3×3 .
−1 0 2
(a) Berechnen Sie A−1 .
(b) Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme A x = bj für die Vektoren
⊺
⊺
⊺
⊺
b1 = (6, 0, 1) , b2 = (3, 0, 4) , b3 = (48, 24, 3) , b4 = (6, 7, −3) .
Hinweis: Benutzen Sie die oben berechnete Inverse.
Aufgabe H 29.
Wir bezeichnen mit E bzw. F die Standardbasis von R4 bzw. R3 . Weiter seien B :=
{b1 , b2 , b3 , b4 } und C := {c1 , c2 , c3 } die Basen von R4 bzw. von R3 , für die gilt:
⊺
B : E (b1 ) = (1, 0, −1, 0) ,
⊺
(b ) = (0, 1, 0, −1) ,
E 2
⊺
C : F (c1 ) = (0, 1, 0) ,
⊺
(b ) = (1, 0, 1, 0) ,
E 3
⊺
(c ) = (1, 0, −1) ,
F 2
(b ) = (0, 2, 0, 1)
E 4
⊺
⊺
(c ) = (2, −1, 2) .
F 3
Gegeben sind nun die linearen Abbildungen ϕ : R4 → R3 und ψ : R3 → R4 durch die Werte
auf den Basen B bzw. C :
 
 
 
 
1
0
2
0







0 , F (ϕ(b2 )) = 1 , F (ϕ(b3 )) = −1 , F (ϕ(b4 )) = 2
(ϕ(b1 )) =
F
−1
0
2
0
 
 
 
2
1
0
−3
0
−1
 

 
(ψ(c1 )) = 
 0  , E (ψ(c2 )) = 1 , E (ψ(c3 )) =  0 
E
−1
0
0
(a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
E
(ψ ◦ ϕ)E .
(b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung
C
(ϕ ◦ ψ)C .
(c) Bestimmen Sie den Kern Ker (ψ ◦ ϕ).
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
9. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 31.
Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrizen:


1 2 3
2 1
A :=
B := 4 5 6
3 2
7 8 9


1 −2 4 3
0 −1 1 0

C := 
4 14 −9 6
7 −34 42 9
Aufgabe P 32.
Gegeben sind die folgenden beiden Matrizen:




−2 −1 2
−3 4t
6
At := −2 t − 1 2
Bt :=  2 −2 2t − 5
−2 −1 1
1
0
−2
(a) Berechnen Sie det(At ) und det(Bt ).
(b) Entscheiden Sie, für welche t ∈ R die Matrizen At und Bt invertierbar sind.
−1
−1
(c) Bestimmen Sie, falls möglich, det(A−1
t ), det(Bt ), det(At Bt ), det(At ) det(At ).
Aufgabe P 33.
Es sei die folgende Abbildung gegeben:




x
−14 x −21
s : R3 → R1 :  y  →
7 det  42 y 56 
z
7 z 63
(a) Zeigen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist.
(b) Berechnen Sie Ker (s). Geben Sie eine Basis davon an.
Aufgabe P 34.
Es seien A, B ∈ Rn×n zwei orthogonale Matrizen. Zeigen Sie, dass AB und A−1 ebenfalls
orthogonal sind.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
9. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 30.
Gegeben ist x ∈ R und die Matrix

1
3

0
At = 
0

0
0
2
4
0
0
0
0
0
0
t
7
0
0

0 0 0
0 0 0

6 0 0

8 0 0

0 9 10
0 11 12
√
Berechnen Sie det(At ), det(At 6 ), det( xAt ) und für die t ∈ R, bei denen die Ausdrücke
−1 6
auch definiert sind, det(A−1
t ), det (At ) .
Aufgabe H 31.
Gegeben sind die Vektoren
v1 = (1, 1, 0, 0)
v2 = (1, 0, 1, 0)
v3 = (1, 0, 0, −1)
v4 = (1, 0, 1, 1)
(a) Konstruieren Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormierungsverfahrens eine Orthonormalbasis W : w1 , w2 , w3, w4 derart, dass L (w1 ) = L (v1 ), L (w1 , w2 ) = L (v1 , v2 ),
L (w1 , w2, w3 ) = L (v1 , v2 , v3 ) und L (w1 , w2 , w3 , w4 ) = L (v1 , v2 , v3 , v4 ).
(b) Zeigen Sie, dass die Matrix A := E w1 E w2 E w3 E w4 orthogonal ist, wobei E die
Standardbasis von R4 bezeichnet.
Aufgabe H 32.
Wir versehen Pol2 R mit der Basis B : X 2 , X − 1, X + 1, der Basis C : X 2 , X 1 , X 0 , der Basis
D : 12 X 2 − 12 X, −X 2 + 1, 12 X 2 + 21 X und der Basis E : X 2 + X + 1, X + 1, 1.
Es ist weiter die Abbildung s : Pol2 R → Pol2 R : aX 2 + bX + c 7→ bX 2 + cX + a gegeben.
(a) Zeigen Sie, dass s eine lineare Abbildung ist.
(b) Berechnen Sie det(B sB ), det(C sC ), det(D sD ), det(E sE ).
(c) Berechnen Sie det(B sE ) und det(C sD ).
Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches neues Jahr
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
10. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 35.
Es sind die affinen Abbildungen α : R3 → R3 : v 7→ Av + t und β : R3 → R3 : v 7→ Bv + r
durch


 


 
1 0
1
2
3 0 −4
0







0
1 
A := 1 −1 −1
t :=
B := 1 2 −1
r :=
0 1
2
1
2 1 0
0
gegeben. Weiter ist
 

 

1
3 





2
−2 λ ∈ R
g := λ
+


−1
0 eine Gerade.
(a) Bestimmen Sie α(g) und β(g). Sind das Geraden?
(b) Berechnen Sie den linearen Anteil und den Translationsanteil von α ◦ β und β ◦ α.
Aufgabe P 36. Scherung
Eine Scherung ist eine affine Abbildung der Ebene R2 auf sich selbst. Dabei bleibt eine Gerade
punktweise fest (genannt Scherungsachse) und alle Punkte außerhalb dieser Geraden werden
parallel zur Scherungsachse verschoben. Gegeben ist nun eine Scherung α mit der x-Achse als
Scherungsachse bei der der Punkt P := (1, 1) auf den Punkt P ′ = α(P ) := (2, 1) abgebildet
wird. Außerdem ist Q := (1, 2).
(a) Bestimmen Sie α(Q) durch eine geometrische Konstruktion.
(b) Stellen Sie die zu α gehörige Matrix E αE auf, wobei E das Standardkoordinatensystem
bezeichnet.
(c) Prüfen Sie ihr Ergebnis aus (a) rechnerisch nach.
Aufgabe P 37. Koordinatenwechsel
Es ist E = (~0; e1 , e2 , e3 ) das in R3 gegebene Standardkoordinatensystem. Durch den Punkt
⊺
⊺
⊺
P := (−1, 12 , 4) und die Vektoren f1 := (1, 2, 0) , f2 := (−2, −3, 1) , f3 := (3, −1, 1) ist ein
weiteres affines Koordinatensystem F := (P ; f1 , f2 , f3 ) bestimmt.
(a) Ist F ein kartesisches Koordinatensystem?
(b) Berechnen Sie die Koordinaten F~0, F e1 , F e2 , F e3 .
(c) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation E κF .
(d) Bestimmen Sie die Koordinatentransformation F κE .
Überprüfen Sie damit Ihr Ergebnis für F~0, F e1 , F e2 , F e3 .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
10. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 33. Drehung: Winkel und Achse
Zeigen Sie, dass die folgende Matrix A eine Drehmatrix ist:

1
2

A = − 12
√1
2

− 21 − √12
1
− √12 
.
2
1
√
0
2
Bestimmen Sie ferner den Drehwinkel ϕ und die Drehachse von A und geben Sie eine Basis
B des R3 so an, dass gilt:


cos ϕ − sin ϕ 0
A =  sin ϕ cos ϕ 0 .
B B
0
0
1
Hinweis: Nehmen Sie die Drehachse als dritte Koordinatenachse.
Aufgabe H 34. Scherung
Gegeben ist die Scherung α durch:
2
α: R →R
2
1 1 1
1 1
: x 7→
x+
2 −1 3
2 1
(a) Geben Sie das Bild des Dreiecks P QR mit P := (1, 0), Q := (2, 3), R := (3, 1) unter
der Abbildung α an. Machen Sie eine Zeichnung.
(b) Zeigen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks durch die Abbildung nicht ändert.
(c) Bestimmen Sie die Scherungsachse von α und skizzieren Sie das Bild des Einheitskreises
unter der Scherung α (durch Konstruktion/Berechnung hinreichend vieler Bildpunkte).
Aufgabe H 35. Koordinatenwechsel
Gegeben sind die Punkte P := (1, −2, −1), F1 := (0, −1, 1), F2 := (0, 0, 1) und F3 :=
(−1, −3, 2) sowie die Punkte Q := (−1, 0, 1), G1 := (0, 0, 0), G2 := (−1, 1, 3) und G3 :=
(−2, 1, 3).
(a) Zeigen Sie, dass durch die Punkte
P und Fj bzw. die Punkte Q und Gj jeweils ein affi
−→ −→ −→
−−→ −−→ −−→ nes Koordinatensystem F = P ; P F1 , P F2 , P F3 bzw. G := Q; QG1 , QG2 , QG3
gegeben ist. Sind dies auch kartesische Koordinatensysteme?
(b) Sei nun noch das Standardkoordinatensystem E gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformationen F κE , E κF , G κE , E κG , G κF und F κG .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
11. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 38. Eigenwerte und Eigenräume
Gegeben sind die folgenden Matrizen:
−11 −7
4 1
A :=
B :=
14 10
−4 0
C :=
3
2
−5 −3
(a) Bestimmen Sie alle reellen Eigenwerte der Matrizen A, B, C sowie die zugehörigen Eigenräume.
(b) Bestimmen Sie alle komplexen Eigenwerte der Matrizen A, B, C sowie die zugehörigen
Eigenräume.
Aufgabe P 39. affine Koordinatentransformation
In R3 sind die Punkte P0 := (5, −2, 1), P1 := (6, 1, 4), P2 := (3, −1, 3), P3 := (5, −1, 2)
gegeben.
Bestimmen Sie ein Koordinatensystem F so, dass F P0 = ~0, F P1 = e1 , F P2 = e2 , F P3 = e3 .
Dabei ist E = {e1 , e2 , e3 } die Standardbasis des Vektorraums R3 und E das Standardkoordinatensystem.
Geben Sie die Koordinatentransformationen F κE und E κF an.
Berechnen Sie die Koordinaten E P4 des Punktes F P4 = (2, 1, −3).
Aufgabe P 40.
Gegeben ist die Matrix:

0
 1
A=
 0
0
1
0
0
0
1
0
1
1

0
1 
.
0 
1
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
Aufgabe P 41. Involutionen
Gegeben sei ein R-Vektorraum V und eine lineare Abbildung ϕ : V → V mit der Eigenschaft,
dass ϕ ◦ ϕ = idV . (Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt Involution.)
Welche Eigenwerte kann ϕ besitzen?
Zusatz: Zeigen Sie, dass jeder Vektor entweder ein Eigenvektor von ϕ oder die Summe von
zwei Eigenvektoren von ϕ ist.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
11. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 36.
Gegeben sei die Abbildung α : R5 → R5 : x 7→ Ax, die durch folgende Matrix A beschrieben
wird:


−3 0
0 0 0
 −1 −3 1 2 1 



2 0 0
A := −10 0
 ∈ R5×5 .
 −7
7
7
7
0
 2
4
4
4
7
2
0
− 74
1
4
1
4
(a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom χA (λ) für A.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A. Wählen Sie die
Nummerierung der Eigenwerte so, dass λ1 der negative Eigenwert ist.
(c) Konstruieren Sie nun eine Basis: Wählen Sie einen Eigenvektor f1 ∈ V (λ1 ) zum negativen
Eigenwert λ1 . Wählen Sie nun einen Vektor f2 so, dass (A − λ1 E5 )f2 = f1 . Ergänzen
Sie die so gewonnenen Vektoren zu einer Basis von R5 , indem Sie aus den verbleibenden
Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren f3 , f4 , f5 wählen.
(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix F αF bezüglich der Basis F := {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 }.
Aufgabe H 37.
Es sei A ∈ Kn×n eine Matrix und n eine natürliche Zahl.
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Ist λ ein Eigenwert von A zum Eigenvektor v ,
dann ist λn ein Eigenwert von An zum Eigenvektor v .
√
(b) Widerlegen Sie die folgende Behauptung: Ist λ ein Eigenwert von An , dann ist n λ ein
Eigenwert von A.
Hinweis: In kleinen“ Räumen lassen sich für kleine n schöne Gegenbeispiele finden.
”
Aufgabe H 38.
i
Gegeben sei die Abbildung ϕ : C2 → C2 : x 7→ Ax, wobei A := ( 1i −1
).
(a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von A.
(b) Wählen Sie einen Eigenwert λ von A und einen zugehörigen Eigenvektor f1 . Konstruieren
Sie eine Basis F : f1 , f2 , indem Sie einen Vektor f2 so wählen, dass (A − λE2 )f2 = f1 .
Bestimmen Sie die Matrixdarstellung F ϕF .
Aufgabe H 39. Normalformenproblem für Affinitäten
Geben Sie eine Klassifikation aller Affinitäten von R2 nach R2 , welche eine Fixpunktgerade
besitzen.
Hinweis: Es gibt drei wesentlich verschiedene Formen solcher Affinitäten.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Inf. S. Klenk
Dipl.-Math. S. Kreitz
12. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 42.
Gegeben ist die symmetrische Matrix:


1 2 1
A= 2 0 2 .
1 2 1
Berechnen Sie die Eigenwerte von A. Geben Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren an
und diagonalisieren Sie A.
Aufgabe P 43.
|
|
|
In R2 sind die Vektoren v1 := (2, −1) , v2 := (−3, 2) , v3 := (−2, 2) sowie die folgenden
Matrizen gegeben:
10 18
−5 −8
A :=
B :=
−6 −11
4
7
(a) Überprüfen Sie, ob v1 , v2 , v3 Eigenvektoren von A beziehungsweise B sind und geben
Sie gegebenenfalls die zugehörigen Eigenwerte an.
(b) Diagonalisieren Sie die Matrizen A und B : Bestimmen Sie jeweils eine Diagonalmatrix,
zu der die entsprechende Matrix konjugiert ist, und die zugehörige Transformationsmatrix.
Aufgabe P 44.
Gegeben ist die Quadrik
o
n
|
2
2
2
3
Q := x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R 6x1 + 6x2 − x3 − 4x1 x2 + 4x1 − 4x2 − 1 = 0
(a) Geben Sie den quadratischen Teil q , den linearen Teil 2 f und den konstanten Teil c der
Quadrik Q an.
(b) Bestimmen Sie eine symmetrische Matrix A und einen Spaltenvektor a so, dass
o
n
|
3 |
Q = x ∈ R x Ax + 2a x + c = 0
(c) Berechnen Sie die Schnitte von Q mit den Koordinatenebenen. Welche Form könnte Q
daher haben?
Aufgabe P 45.
Berechnen Sie für die Matrix


1 + 4α 2α
0
1+α
0 ,
B =  2α
0
0
1−α
α∈R
die Eigenwerte in Abhängigkeit von α, und bestimmen Sie eine orthogonale Matrix Q so, daß
D = Q−1 B Q eine Diagonalmatrix ist. Geben Sie D an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
12. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 40.
(a) Es sei A ∈ Kn×n eine Matrix mit den Eigenwerten
λ1 , . . . , λk . Weiter sei v ein Vektor, der
P
sich folgendermaßen zerlegen lässt: v = kj=1 vj , wobei vj ∈ V (λj ) für i ∈ {1, . . . , k}.
P
Zeigen Sie: A v = kj=1 λj vj .
(b) Gegeben sei nun

√
√ 
−4 + 2 64
− 2

√
√ 
1
1
A := 
2
4
−
2 
 8

8
√
√
2
64 −4 − 2
√
√ |
|
Überprüfen Sie, dass die Vektoren v1 = (8, 1, 8) und v2 = (2 2, 0, 2 2) Eigenvektoren von A sind und geben Sie die zugehörigen Eigenwerte an. Berechnen Sie für
√ |
v = √202 , √12 , 10 2 den Vektor A v . Verwenden Sie dazu (a), indem Sie v = w1 + w2
zerlegen mit w1 ∈ L (v1 ) und w2 ∈ L (v2 ). (Hinweis: Finger weg vom Taschenrechner!)
Aufgabe H 41.
Diagonalisieren Sie die in Aufgabe H 40 gegebene Matrix A: Bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D , zu der A konjugiert ist, und die Transformationsmatrix T , für die D = T −1 A T
gilt.
Hinweis: Der Eigenraum V (λ) zum negativen Eigenwert λ ist 2-dimensional.
Aufgabe H 42.


−1
0
2+i
−1 1 − 2i ∈ C3×3 .
Gegeben ist die hermitesche Matrix A :=  0
2 − i 1 + 2i
2
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A und die entsprechenden Eigenräume.
(b) Diagonalisieren Sie die Matrix A und geben Sie die Diagonalmatrix D und die Transfor|
mationsmatrix T an, so dass T AT = D gilt.
Aufgabe H 43.
Gegeben ist die Quadrik Q := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 3x21 − 2x22 − x23 − 1 = 0 .
(a)
(b)
(c)
(d)
Geben Sie den quadratischen, den linearen und den konstanten Teil der Quadrik an.
Geben Sie die Matrixbeschreibung der Quadrik Q an.
Entscheiden Sie, ob Q eine kegelige, eine parabolische oder eine Mittelpunktsquadrik ist.
Skizzieren Sie die Quadrik.
Hinweis: Gehen Sie analog zur Vorlesung vor und schneiden Sie die Quadrik mit Ebenen,
die senkrecht zu Koordinatenachsen liegen.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Kreitz
Dipl.-Math. M. Pfeil
13. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 46.
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:
26
12
|
2
2 2
x +
x −7=0 .
Q := (x1 , x2 ) ∈ R x1 + x1 x2 + 3 x2 x1 + 4 x2 +
5 1
5 2
Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu
gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.
Aufgabe P 47.
Für welche c ∈ R ist die Quadrik
n
o
|
3 2
2
2
Q := (x1 , x2 , x3 ) ∈ R x1 + x2 + cx3 + 4cx2 x3 + 2c(c − 1)x3 + c(c − 1) = 0
eine kegelige Quadrik, eine Mittelpunktsquadrik oder eine parabolische Quadrik?
Aufgabe P 48.
Um welche Quadriken könnte es sich bei den folgenden Bildern handeln? Geben Sie jeweils den
Typ der Quadrik und eine mögliche euklidische Normalform an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
13. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 44.
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:
Q : x21 + 20x23 + 12x1 x2 + 12x1 x3 + 24x2 x3 − 14x2 + 7x3 − 7 = 0 .
Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu
gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.
Aufgabe H 45.
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der folgenden Quadrik:

 
√
√

 x1
5
2
2
1
5
3
x1 x2 + x1 x3 +
x2 x3 + 4x2 + 4x3 + 10 = 0 .
Q := x2  ∈ R3 x21 + x22 + x23 −


2
4
2
2
2
4
x3
Geben Sie für jeden Transformationsschritt und für die Gesamttransformation jeweils das neu
gewählte Koordinatensystem und die Koordinatentransformation an. Skizzieren Sie die Quadrik.
Aufgabe H 46.
Um welche Quadriken könnte es sich bei den folgenden Bildern handeln? Geben Sie jeweils den
Typ der Quadrik und eine mögliche euklidische Normalform an.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Kreitz
Dipl.-Math. M. Pfeil
14. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 49.
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit. Geben Sie im Falle der Beschränktheit konkrete obere und untere Schranken an.
(a) n + sin(2 π n) n∈N
(b) n sin( π2 n) n∈N
(c) n1 sin(2 π n + n) n∈N
(d) sin(2 π n − n1 ) n∈N
(e) sin(π n − n1 ) n∈N
Aufgabe P 50. Häufungspunkte
Berechnen Sie die Häufungspunkte der folgenden Folgen:
(a) an =
(−1)n
n2
(b) an = 5 · (−1)n
1 n
3
n für n gerade
(c) an =
für n ungerade
1 + n1
(d) an = cos nπ
3
Aufgabe P 51. rekursive Folgen
Berechnen Sie die ersten fünf Folgenglieder der rekursiv definierten Folge
an+1 = an + 8 (n − 1)
mit a1 = 1 .
Zeigen Sie mit Induktion, dass für diese Folge auch
an = 4n2 − 12n + 9
gilt.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
14. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 47. Monotonie und Beschränkheit
Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit:
n(n + 1)
(a)
n2
n∈N
n n(n + 1)
(b) (−1)
n2
n∈N
(c) 2 n + cos(n) n∈N
(d) 2 π n + n cos(n) n∈N
Aufgabe H 48. Häufungspunkte
Geben Sie alle Häufungspunkte der Folgen an:
1
π
(a)
+ sin(n )
n
2 n∈N
(−1)n+1
√
+ 3 cos(nπ)
(b)
n
n∈N
n+1
(c)
(−1)n+1
n
n∈N
r
π
n
2
(d) (−1) + 1 − cos ( + nπ)
2
n∈N
Aufgabe H 49. rekursive Folge von Matrizen, Fibonacci-Zahlen
Wir starten mit der Matrix
0 1
.
A :=
1 1
Damit definieren wir die Folge (an )n∈N durch ai ist der Eintrag rechts oben in der Matrix Ai .
Weiter ist die Folge der Fibonacci-Zahlen rekursiv definiert durch f1 = 1, f2 = 1, fn+1 =
fn + fn−1 für n ≧ 2.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die Folgen (an ) und (fn ) gleich sind.
(b) Zeigen Sie, dass für eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare Matrix T gilt:
(T −1 DT )k = T −1 D k T
∀k∈N
(c) Benutzen Sie die beiden vorigen Aufgabenteile, um eine explizite (nicht-rekursive) Beschreibung der Fibonacci-Zahlen zu geben.
Hinweis: Lassen Sie sich nicht von ein paar Wurzeln schrecken.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
Dr. B. Ackermann
Dipl.-Math. S. Kreitz
Dipl.-Math. M. Pfeil
15. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Stroppel
Höhere Mathematik I
Winter 2006/07
Aufgabe P 52.
Geben Sie für alle Folgen an, ob sie beschränkt oder monoton sind. Welche der Folgen sind
Cauchy-Folgen?
an =
n2 + 2
n2 + 1
bn = (−1)n
cn = n −
Aufgabe P 53.
Geben Sie für die Folge
an = sin
en
4n + 5
1
n
nπ n + 2
2
2n
,
n ∈ N,
lim an , lim an (vgl. 1.4.1, S. 26 im Skript) und alle Häufungspunkte an.
n→∞
n→∞
Aufgabe P 54.
Entscheiden Sie, ob die Folgen konvergent sind:
4
4
4
4
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
4n − 3n + 1
,
,
,
.
n5
n4
n3
n2
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
Hinweis: Vielleicht hilft es, eine Identität der Form
Konvergenzsätze zu benutzen.
4 n4 −3 n+1
N
=
4 n4
N
+
−3 n
N
+
1
N
und dann
Aufgabe P 55.
Es sei (an )n∈N eine konvergente Folge positiver Zahlen und a := lim an ebenfalls positiv.
n→∞
√
√
√ Zeigen Sie, dass
an n∈N konvergiert und dass lim an = a gilt.
n→∞
√
√ Hinweis: Zeigen Sie: Für alle ε > 0 existiert ein nε ∈ N so, dass an − a < ε für alle
n = nε gilt. Verwenden Sie hierzu lim an = a sowie
n→∞
√
√ an − a |an − a|
an − a = √
a n + √a 5 √ a
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/
15. Gruppenübung
Höhere Mathematik I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 50.
√
Es ist die Folge (an )n∈N definiert durch a1 = 4 und an+1 = 2an + 1.
(a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt: an = 2.
(b) Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Monotonie und Beschränktheit.
(c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N , falls diese konvergent ist.
Hinweis: P 55 √
hilft. Damit kann man begründen, dass man den Grenzwert a durch die
Gleichung a = 2a + 1 bestimmen kann.
Aufgabe H 51.
Gegeben sind die Folgen
(an )n∈N = (2 n)n∈N
2 n3 + 2 n 2 + n
(cn )n∈N =
n2 + 1
n∈N
2
−6 n + 42 n − 72
(en )n∈N =
−3 (n + 1)
n∈N
1
(bn )n∈N =
n n∈N
2 n4
(dn )n∈Nr{2} =
−2 n2 + 8 n∈Nr{2}
1
2
(fn )n∈N = n n∈N (gn )n∈N =
(−1)n n2 n∈N
(a) Untersuchen Sie diese Folgen auf Konvergenz, Divergenz und bestimmte Divergenz.
(b) Führen Sie diese Untersuchung ebenfalls durch für die Folgen
(an bn )n∈N
(an gn )n∈N
(dn bn )n∈Nr{2}
(fn gn )n∈N
gn
bn
(an − cn )n∈N
(an − dn )n∈Nr{2}
(an − en )n∈N
gn n∈N
bn n∈N
Begründen Sie mit Hilfe dieser Erkenntnisse, warum es nicht möglich ist, Ausdrücken wie
“ oder 00 “ einen vernünftigen Wert zuzuordnen.
0 · ∞“, ∞ − ∞“, ∞
”
”
”
”∞
Aufgabe H 52.
Ein etwas komplizierterer Grenzwert
(a) Zeigen Sie, dass
(n+1)e
ne
< e falls n = 3.
(b) Zeigen mit Hilfe vollständiger Induktion und dem Ergebnis aus (a), dass ne < en für alle
natürlichen Zahlen n = 3 gilt.
(c) Benutzen Sie obige Ergebnisse und den Sandwich-Satz, um den Grenzwert
√
lim n ne + en
n→∞
zu bestimmen.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-0607/