Aufgaben Wahrscheinlichkeit II-2 - NEU

Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer
Oberstufe
Übungsaufgaben II
Schuljahr 2016/2017
(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer
Oberstufe
Übungsaufgaben II
Schuljahr 2016/2017
(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 1 richtige Antworten
Aufgabe 1
Ein Multiple-Choise-Test besteht aus 10 Fragen, für die jeweils 4 Antworten
ankreuzt?
angegeben werden. Für jede Frage ist genau eine Antwort richtig. Ein völlig
P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − 0,0563 = 0,9437
unvorbereiteter Testteilnehmer kreuzt bei allen Fragen „rein zufällig“ eine Antwort an.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 5 richtige Antworten
g) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 2 richtige Antworten
ankreuzt?
ankreuzt?
10 
P ( X = 5) =   ⋅ 0,25 5 ⋅ (1 − 0,25)10 − 5 = 252 ⋅ 0,25 5 ⋅ 0,75 5 ≈ 0,0584
5
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) =
0,5256 (siehe Tabelle)
h) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 2 richtige Antworten
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 1 richtige Antworten
ankreuzt?
ankreuzt?
P ( X ≥ 2) = 1 − P ( X ≤ 1) = 1 − 0,244 = 0,756
10 
P ( X = 1) =   ⋅ 0,251 ⋅ (1 − 0,25)10 −1 = 10 ⋅ 0,251 ⋅ 0,759 ≈ 0,1877
 1
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er keine richtige Antworten ankreuzt?
Aufgabe 2
Im Marienhospital befinden sich 6 Patienten mit der gleichen Krankheit. Sie werden
10 
P ( X = 0) =   ⋅ 0,250 ⋅ (1 − 0,25)10 −0 = 1⋅ 1⋅ 0,7510 ≈ 0,0563
0
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nur richtige Antworten ankreuzt?
10 
P ( X = 10) =   ⋅ 0,2510 ⋅ (1 − 0,25)10 −10 = 1⋅ 0,2510 ⋅ 0,750 ≈ 0,000000653
10 
mit einem Medikament
behandelt,
bei
dem
erfahrungsgemäß
mit
einer
Wahrscheinlichkeit von 70 % eine vollständige Heilung der Patienten erfolgt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 1 Patient geheilt wird?
6
P ( X = 1) =   ⋅ 0,71 ⋅ (1 − 0,7)6 −1 = 6 ⋅ 0,71 ⋅ 0,35 ≈ 0,0102
 1
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Patienten geheilt werden?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 1 richtige Antworten
ankreuzt?
P ( X ≤ 1) = P ( X = 0) + P ( X = 1) = 0,0563 + 0,1877 = 0,244
6
P ( X = 2) =   ⋅ 0,72 ⋅ (1 − 0,7)6 − 2 = 15 ⋅ 0,72 ⋅ 0,3 4 ≈ 0,0595
2
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Patient geheilt wird?
6
P ( X = 0) =   ⋅ 0,73 ⋅ (1 − 0,7)6 −0 = 1⋅ 1⋅ 0,36 ≈ 0,00073
0
1
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d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Patienten geheilt werden?
6
P ( X = 6) =   ⋅ 0,76 ⋅ (1 − 0,7)6 − 6 = 1⋅ 1⋅ 0,76 ≈ 0,1176
6
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Patient geheilt wird?
P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − 0,00073 = 0,99927
f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Patienten geheilt werden?
P ( X ≥ 3) = 1 − P ( X ≤ 3) = 1 − 0,9894 = 0,0106
(siehe Tabelle)
Aufgabe 3
Eine Firma stellt preiswerte Lampen her. Erfahrungswerte haben ergeben, dass mit
einer Wahrscheinlkichkeit von 10 % eine der Lampen defekt ist. Die Firma verkauft die
Lampen in Kisten mit je 10 Lampen an die Händler. Die Firma überprüft eine der
Kisten und untersucht alle 10 Lampen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
dabei …
a) genau zwei Lampen defekt sind?
d)
b) höchstens 3 Lampen defekt sind?
c) mindestens 2 Lampen defekt sind?
Ein Händler hat beschlossen, eine gelieferte Kiste dann zurückzuschicken, wenn mehr
e)
als 2 Lampen defekt sind.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Kiste nicht zurückschickt?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 100 Kisten mindestens eine
zurückschickt?
Lösung:
3
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Aufgabe 4
Eine Gärtnerin kauft 100 Blumensamen und sät sie aus. Ihr wurde beim Kauf
versichert, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Samenkorn nicht aufgeht 10 %
beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass …
a) genau 8 Samenkörner nicht aufgehen?
b) höchstens 8 Samenkörner nicht aufgehen?
c) mindestens 12 Samenkörner nicht aufgehen?
d) zwischen 8 und 12 Samenkörner nicht aufgehen?
f) Wenn mehr als 14 Samenkörner nicht aufgehen, will sich die Gärtnerin
beschweren. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zu Unrecht
beschwert, d.h. dass die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen trotzdem 10 % beträgt?
e) Wie viele Samenkörner muss man mindestens pflanzen, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein Samen nicht
aufgeht?
Hier gilt: P(„nicht“) = 0,1
5
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g) Sie schenkt ihrer Tochter 5 Samenkörner. Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 5 Samen aufgehen mehr als 10 % beträgt?
NOK
OK
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen beträgt nun nicht mehr p = 0,9 , sondern
muss neu bestimmt werden.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass 5 von 5 Samen aufgehen gilt allgemein:
5
P ( X = 5) =   ⋅ p 5 ⋅ (1 − p )5 − 5 = 1⋅ p 5 ⋅ (1 − p )0 = p 5
5
P ( X = 5 ) ≥ 0,1
Somit erhält man:
⇒
p 5 ≥ 0,1
⇒
p ≥
5
5
0,1 ≈ 0,63
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner muss also mindestens
63 % betragen, damit alle 5 Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10 %
aufgehen.
T+
T−
OK
0,792
0,112
0,904
NOK
0,008
0,088
0,096
0,8
0,2
1
(Sollen die Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % aufgehen, so gilt:
p ≥
5
0,8 ≈ 0,96 )
Die Steuergeräte werden für 65 € verkauft. Die Produktionskosten betragen 36 €
und der Test kostet 4 € pro Gerät. Falls eine Kunde ein defektes Gerät erhält, bekommt er den Kaufpreis zurück und kann das Gerät zurückschicken. Die Porto-
Aufgabe 5
kosten von 12 € übernimmt die Herstellerfirma.
Eine Firma stellt ein Steuergerät für CNC-Fräsmaschinen her. Erfahrungsgemäß
sind 12 % der Geräte defekt. Um die Qualität ihrer Produkte möglichst auf diesem
Niveau zu halten hat sie ein Testverfahren entwickelt das alle Geräte vor der Auslieferung durchlaufen. Dieses Testverfahren erkennt bei 93,3333 % der defekten
b) Welchen Gewinn kann die Firma unter diesen Bedingungen langfristig erwarten.
Folgende Fälle können auftreten (siehe Baumdiagramm):
Geräte diesen Defekt korrekt. Allerdings werden auch 10 % der Geräte ohne Defekt fälschlicherweise als defekt erkannt.
a) Erstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situati-
Das Gerät ist OK und wurde auch OK getestet
65€ − 36€ − 4€ = 25 €
Das Gerät ist OK und wurde defekt getestet
0€ − 36€ − 4€ = − 40 €
Das Gerät ist defekt und wurde defekt getestet
0€ − 36€ − 4€ = − 40 €
on.
Verwenden Sie die Ereignisse
defekt / fehlerfrei
NOK / OK
T − /T +
Test zeigt defekt / Test zeigt in Ordnung
7
Das Gerät ist defekt und wurde aber OK getestet
8
0€ − 36€ − 4€ − 12€ = − 52 €
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xi
+ 25
− 40
− 52
P (X = x i )
0,792
0,2
0,008
Somit gilt: E ( X ) = 25 ⋅ 0,792 − 40 ⋅ 0,2 − 52 ⋅ 0,008 =
11,384
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d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten mindestens 30 als defekt getestet?
P ( X ≥ 30) = 1 − P ( X ≤ 29) = 1 − 0,9888 = 0,0112
e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten mehr
als 60 als defekt getestet?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das ausgeliefert wird
P ( X > 60) = 1 − P ( X ≤ 60) = 1 − 1 ≈
0
(also als einwandfrei getestet wurde), tatsächlich defekt ist?
P T + (NOK ) =
P (T + ∩ NOK ) 0,008
=
≈ 0,01
P (T + )
0,8
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das ausgeliefert wird
(also als einwandfrei getestet wurde), tatsächlich in Ordnung ist?
P (T + ∩ OK ) 0,792
P T + (OK ) =
=
≈ 0,99
P (T + )
0,8
f) Wie viele Geräte müssen getestet werden, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens ein Gerät defektes getestet wird?
Hier müssen alle Pfade erfasst werden, in denen mindestens ein defektes Gerät
auftritt. Das bedeutet, dass lediglich der Pfad in dem kein defektes Gerät vorkommt
nicht erfasst wird. Die Länge n der Bernoulli-Kette ist allerdings nicht bekannt. Sie
wird hier gesucht.
Daher gilt: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) .und
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät als defekt getestet ist?
P (T − ) = 0,2
n
P ( X = 0 ) =   ⋅ 0,20 ⋅ (1 − 0,2)n −0 = 1⋅ 0,20 ⋅ 0,8n = 0,8n .
0
Somit ergibt sich:
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten genau
20 als defekt getestet?
100 
 ⋅ 0,2 20 ⋅ (1 − 0,2)100 − 20 ≈ 5,3598 ⋅ 10 20 ⋅ 0,2 20 ⋅ 0,8 80 ≈ 0,0993
P ( X = 20 ) = 
20


P ( X ≥ 1) ≥ 0,9
⇒
1 − P ( X = 0) ≥ 0,9
⇒
1 − 0,8 n ≥ 0,9
+ 0,8 n
⇔
1 ≥ 0,9 + 0,8 n
− 0,9
n
⇔
0,1 ≥ 0,8
⇔
ln( 0,1) ≥ n ⋅ ln( 0,8 )
höchstens 20 als defekt getestet?
⇔
ln( 0,1)
≤ n
ln( 0,8 )
P ( X ≤ 20) = 0,5595
⇔
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten
(siehe Tabelle)
⇔
ln ( nat .Logarithmus anwenden )
: ln( 0,8 ) ACHTUNG : ln( 0,8 ) < 0
− 2,3026
≤ n
− 0,2231
10,32 ≤ n
Dies bedeutet, dass mindestens 11 Geräte getestet werden müssen.
9
10
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g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten genau
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k) Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test sein, damit
50 als intakt (OK) getestet?
die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 getesteten Geräte alle als intakt (OK)
getestet werden größer als 20 % ist
Hinweis: Hier gilt nun p=0,8 !!
100 
 ⋅ 0,8 50 ⋅ (1 − 0,8 )100 − 50 ≈ 1,0089 ⋅ 10 29 ⋅ 0,8 50 ⋅ 0,250 ≈ 1,62126 ⋅ 10 −11
P ( X = 50) = 
50


Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test beträgt nun nicht mehr p = 0,8 ,
sie muss neu bestimmt werden.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass 25 von 25 Tests positiv sind gilt allgemein:
h) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten weniger als 75 als intakt (OK) getestet?
P ( X < 75) = P ( X ≤ 74) = 1 − 0,9125 = 0,0875
 25 
P ( X = 25) =   ⋅ p 25 ⋅ (1 − p )25 − 25 = 1⋅ p 25 ⋅ (1 − p )0 = p 25
 25 
Somit erhält man:
P ( X = 25 ) ≥ 0,2
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten mehr
als 30 als intakt (OK) getestet?
P ( X > 30) = 1 − P ( X ≤ 69) = 1 − ( 1 − 0,9939) = 0,9939
⇒
p 25 ≥ 0,2
25
⇒
p ≥ 25 0,2 ≈ 0,938
j) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter 100 getesteten Geräten mehr
als 50 als intakt (OK) getestet?
Die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test muss mindestens 93,8 % betragen, damit
P ( X > 50) = 1 − P ( X ≤ 49) = 1 − ( 1 − 1) =
11
die Wahrscheinlichkeit, dass von 25 getesteten Geräte alle als intakt
1
werden, größer ist als 20 %
12
(OK) getestet
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Aufgabe 6
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Aufgabe 7
Eine zwölfte Klasse veranstaltet auf dem Schulfest am letzten Schultag das folgende
Ein Spieler zahlt 2 €, um an dem folgenden Spiel teilzunehmen. Würfelt er eine gerade
Augenzahl, so muss er den Betrag der Augenzahl in € an die Bank zahlen. Würfelt er
Glückspiel. Gegen einen Einsatz von 1 € darf jeder einmal würfeln. Fällt eine 6, so er-
ein ungerade Augenzahl, so erhält er das Doppelte der Augenzahl von der Bank als
hält er 6 € von der Bank, bei allen anderen Zahlen erhält er nichts. Die Schulleitung
Gewinn. Die Zufallsvariable X=xi gibt den Gewinn bzw. Verlust des Spielers bei der
genehmigt das Spiel, aber im Nachhinein melden die Eltern heulender Fünftklässler
ethische Bedenken an.
Augenzahl xi an.
a) Legen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X an, die die möglichen
a) Stellen Sie eine Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf.
Gewinne oder Verluste nach 5 Durchgängen angibt. Zeigen Sie mit Hilfe des
Augenzahl
1
2
− 2 + 2 ⋅1
= 0
xi
P (X = x i )
1
6
3
−2 − 2
= −4
1
6
4
5
−2 − 4
− 2 + 2⋅3
= 4
− 2 + 2⋅5
= −6
−2 − 6
= 8
1
6
1
6
Erwartungswertes E(X), dass das Spiel auch bei 5 Durchgängen fair bleibt.
6
= −8
1
6
1
6
() ( )
() ( )
()
5
0
5 −0
5
P ( X = 0) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
= 1⋅ 1⋅ 5 ≈ 0,4019
6
6
6
0
 
3
5 −3
5
P ( X = 3) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
≈ 0,0322
6
6
3
 
() ( )
4
5−4
5
P ( X = 4) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
≈ 0,0032
6
 4 6
() ( )
() ( )
5
5 −5
5
P ( X = 5) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
≈ 0,0001
6
6
5
 
1
5 −1
5
P ( X = 1) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
≈ 0,4019
6
 1 6
() ( )
2
5 −2
 5
P ( X = 2) =   ⋅ 1 ⋅ 1 − 1
≈ 0,1608
6
6
2
 
b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
E ( X ) = 1 ⋅ (0 ) + 1 ⋅ (− 4 ) + 1 ⋅ (4 ) + 1 ⋅ (− 6 ) + 1 ⋅ (8 ) + 1 ⋅ (− 8 ) = − 1
6
6
6
6
6
Anzahl der 6
6
0
−5 + 0
= −5
xi
c) Korrigieren Sie den Einsatz so, dass das Spiel fair wird.
P (X = x i )
E (X ) = 0
⇒
⇒
1 ⋅ (− k + 2 ) + 1 ⋅ (− k − 2 ) + 1 ⋅ (− k + 6 ) + 1 ⋅ (− k − 4 )
6
6
6
6
− k + 2 − 2 + 1 − 4 + 10 − 1 = 0
6 6
6
6
⇒
−k + 1 = 0
⇒
1= k
+k
+ 1 ⋅ (− k + 10 ) + 1 ⋅ (− k − 6 ) = 0
6
6
0,4019
1
−5 + 6
= 1
0,4019
2
3
−5 + 2⋅6
−5 + 3⋅6
4
−5 + 4⋅6
5
−5 + 5⋅6
= 7
= 13
= 19
= 25
0,1608
0,0322
0,0032
0,0001
E ( X ) = 0,4019 ⋅ (− 5 ) + 0,4019 ⋅ (1) + 0,1608 ⋅ (7 ) + 0,0322 ⋅ (13 ) + 0,0032 ⋅ (19 ) + 0,0001 ⋅ (25 ) = − 0,0001
Das Ergebnis würde einen durchschnittlichen Verlust von 0,0001 € (also 0,01 Cent)
bedeuten. Man kann somit sagen, dass das Spiel fair ist.
Antwort: ++++
b) Geben Sie das „Pleiterisiko“ in den ersten 5 Spielen für einen Fünftklässler an,
der sein gesamtes Taschengeld von 5 € einsetzt.
Das „Pleiterisiko“ entspricht der Wahrscheinlichkeit bei 5 Versuchen keine 6 zu
würfeln. Es beträgt somit 40,19 % (s.o.).
13
14