grundlagen 3 risikomanagement bei - ETH E

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Research Collection
Doctoral Thesis
IT-gestütztes Risikomanagementmodell für Tunnelbauprojekte
mit Hilfe von Bayes'schen Netzen und Monte-Carlo-Simulationen
Author(s):
Steiger, Markus
Publication Date:
2009
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-005816666
Rights / License:
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DISS. ETH Nr. 18226
IT-gestütztes Risikomanagementmodell für Tunnelbauprojekte mit
Hilfe von Bayes’schen Netzen und Monte-Carlo-Simulationen
ABHANDLUNG
zur Erlangung des Titels
DOKTOR DER WISSENSCHAFTEN
der
ETH ZÜRICH
vorgelegt von
Markus Steiger
Dipl.-Ing, TU-Graz
geboren am
06. Juni 1971
von
St.Veit im Pongau, Österreich
Angenommen auf Antrag von
Prof. Dr. Hans-Rudolf Schalcher
Prof. Dr. Michael H. Faber
Dr. Edward A. Button
2009
VORWORT
Die vorliegende Forschungsarbeit im Bereich Risikomanagement entstand während meiner
wissenschaftlichen Tätigkeit am Institut für Bauplanung und Baubetrieb der ETH Zürich.
Mein aufrichtiger Dank gilt meinem Doktorvater, Herrn Professor Dr. Hans-Rudolf Schalcher. Er
betraute mich mit der Verwirklichung dieser Arbeit, machte mich auf die mögliche Verwendung
von Bayes’schen Netzen im Rahmen des Risikomanagements aufmerksam und warf die Frage
auf, ob diese in Tunnelbauprojekten einzusetzen sind. Weiter danke ich ihm für seinen
fachlichen Rat sowie seine stets motivierende Unterstützung.
Bei Herrn Professor Dr. Michael H. Faber und Herrn Dr. Edward A. Button bedanke ich mich
recht herzlich für die Übernahme des Koreferates und für ihre tatkräftige Unterstützung für das
Gelingen der Doktorarbeit.
Ebenfalls bedanke ich mich bei Herrn Professor Dr. Peter Egger für seine anregenden Tipps
bezüglich des Tunnelbaus und bei Herrn Dipl.-Ing. Karl Fuchs, der mir bezüglich der Kalkulation
von Untertagebauwerken hilfreich zur Seite stand.
Mein grösster Dank geht an meine Familie, die immer für mich da war. Besonders bedanken
möchte ich mich bei meiner Freundin Nicole für das Korrekturlesen meiner Arbeit sowie für ihre
grosse Unterstützung und Geduld.
Zürich, Jänner 2009
Markus Steiger
INHALTSVERZEICHNIS
V
INHALTSVERZEICHNIS
1
2
3
4
5
6
Einleitung .................................................................................................................................. 1
1.1
Problemstellung und Motivation ................................................................................. 1
1.2
Zielsetzung und Vorgehen .......................................................................................... 3
1.3
Gliederung der Forschungsarbeit............................................................................... 4
Stand der Methodik und Verbesserungspotenziale ................................................................ 7
2.1
EHT (Entscheidungshilfen für den Tunnelbau) .......................................................... 7
2.2
Modell nach Isaksson ................................................................................................. 9
2.3
Evaluation der vorgestellten Modelle........................................................................ 12
Risikomanagement bei Tunnelbauprojekten......................................................................... 14
3.1
Risikomanagementspezifische Begriffe ................................................................... 14
3.2
Bauprojektspezifische Begriffe ................................................................................. 21
3.3
Risikoentwicklung während der Projektlebensdauer ............................................... 26
3.4
Risikofelder................................................................................................................ 28
3.5
Ereignisse, Ursachen ................................................................................................ 30
3.6
Der projektbezogene Risikomanagementprozess................................................... 32
3.7
Risikodokumente im Tunnelbau ............................................................................... 40
Statistik und Stochastik .......................................................................................................... 42
4.1
Verteilungstypen von Zufallsvariablen ...................................................................... 42
4.2
Modellierung der Abhängigkeiten von Zufallsvariablen........................................... 45
Bayes’sche Netze................................................................................................................... 60
5.1
Anwendungsmöglichkeiten der Bayes’schen Netze ............................................... 60
5.2
Eigenschaften von Bayes’schen Netzen.................................................................. 61
5.3
Struktur ...................................................................................................................... 62
5.4
Berechnung ............................................................................................................... 63
5.5
Anwendung im IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodell ........ 69
Monte-Carlo-Simulation ......................................................................................................... 70
6.1
Anwendungsmöglichkeiten der Monte-Carlo-Simulation ........................................ 70
6.2
Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation........................................................................ 71
6.3
Zufallszahlen.............................................................................................................. 72
6.4
Simulationsanzahl für eine M-C-S ............................................................................ 80
6.5
Anwendung im IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodell ........ 81
VI
INHALTSVERZEICHNIS
7
IT-gestütztes, projektbezogenes Risikomanagementmodell................................................ 83
7.1
Aufbau ....................................................................................................................... 83
7.2
Betrachtungsfeld ....................................................................................................... 84
7.3
Grundlagen für das PRM im Risikomanagementmodell ......................................... 85
8
Modul 1: Risikomanagementprozess.................................................................................... 88
8.1
Projektrisikomanagementplan, Projektereignisliste, Projektereignisblatt................ 88
8.2
PRM-Vorbereitung..................................................................................................... 90
8.3
Risikoidentifikation..................................................................................................... 92
8.4
Qualitative Risikobewertung ..................................................................................... 93
8.5
Qualitative Risikobeurteilung .................................................................................... 95
8.6
Quantitative Risikobewertung ................................................................................... 96
8.7
Quantitative Risikobeurteilung ................................................................................ 103
8.8
Risikobehandlung ................................................................................................... 104
8.9
Risikocontrolling ...................................................................................................... 105
8.10
Gesamtprojektrisiko ................................................................................................ 106
8.11
Fragestellungen, die das Risikomanagementprozess-Modul beantwortet .......... 112
9
Modul 2: Geologie................................................................................................................ 114
9.1
Modellierung der geologischen Verhältnisse und geologisch bedingten Ereignisse
mit Bayes’schen Netzen ......................................................................................... 114
9.2
Theoretische Aufbau des Bayes’schen Netzes ..................................................... 115
9.3
Beschreibung der Knoten im Bayes’schen Netz ................................................... 119
9.4
Einbezug neuer Informationen in das Bayes’sche Netz ........................................ 133
10
Modul 3: Bauprozess ...................................................................................................... 137
10.1
Unterstützung des Risikomanagementprozess-Moduls (Modul 1)....................... 137
10.2
Deterministische oder probabilistische Ermittlung von Baukosten und Bauzeit .. 137
11
Modul 4: Längenschnitt................................................................................................... 145
11.1
Unterstützung des Risikomanagementprozess-Moduls (Modul 1)....................... 145
11.2
Deterministische oder probabilistische Ermittlung von Baukosten und Bauzeit der
gesamten Tunneltrasse........................................................................................... 146
11.3
Deterministische oder probabilistische Ermittlung der Gesamtbaukosten und der
Gesamtbauzeit ........................................................................................................ 146
11.4
Homogenabschnitte................................................................................................ 148
11.5
Vergleich von PRIMO mit existierenden Modellen ................................................. 149
INHALTSVERZEICHNIS
12
VII
Beispiel – Tunnel San Fedele.......................................................................................... 152
12.1
Ziele ......................................................................................................................... 152
12.2
Projektbeschreibung ............................................................................................... 152
12.3
Geologische Verhältnisse ....................................................................................... 154
12.4
PRM-Vorbereitung................................................................................................... 155
12.5
Risikoidentifikation................................................................................................... 155
12.6
Qualitative Risikobewertung und Risikobeurteilung............................................... 156
12.7
Quantitative Risikobewertung und Risikobehandlung im Geologie-Modul
(Bayes’sche Netz) ................................................................................................... 158
12.8
Berechnung der Baukosten und Bauzeit der Profiltypen je Tunnellaufmeter im
Bauprozess-Modul.................................................................................................. 170
12.9
Quantitative Risikobewertung im Längenschnitt-Modul ........................................ 176
12.10
Quantitative Risikobeurteilung ................................................................................ 177
12.11
Gesamtprojektrisiko ................................................................................................ 178
12.12
Gesamtbaukosten und -bauzeit ............................................................................. 179
12.13
Gesamtbaukosten und -bauzeit auf Grundlage neuer Informationen für das
Bayes’sche Netz ..................................................................................................... 179
13
Kritik und Ausblick ........................................................................................................... 183
VIII
KURZFASSUNG
KURZFASSUNG
Tunnelbauprojekte sind vor allem darum sehr komplex, weil es sich um unterirdische
Linienbaustellen handelt. Problematisch sind in diesem Zusammenhang beispielsweise geringe
geologische Kenntnisse oder beschränkte Arbeitsplatzverhältnisse. Die Folge davon ist in vielen
Fällen eine Überschreitung der veranschlagten Baukosten und Bauzeit. Diese ist jedoch nicht
immer auf die Komplexität der Projekte und die damit verbundenen Ereignisse (z. B.
Bergschläge) zurückzuführen, sondern kann auch von öffentlichen Interessengruppen1 bewusst
verursacht werden. Beispielsweise werden die geplanten Baukosten vor der Realisierung oft
niedrig gehalten, damit das Projekt überhaupt erst umgesetzt werden kann. Auch
Projektänderungen bzw. Projekterweiterungen können zu einer Überschreitung von Baukosten
und Bauzeit führen. Ein Beispiel hierfür ist das Schweizer NEAT-Projekt.
In der vorliegenden Arbeit wurde ein IT-gestütztes, projektbezogenes Risikomanagementmodell
(PRIMO) für den Bauherrn entwickelt, das der Komplexität von Tunnelbauprojekten Rechnung
trägt und ihn dabei unterstützt, auf probabilistischer Basis eine zuverlässige Prognose für
Gesamtbaukosten und -bauzeit des Tunnelrohbaues, einschliesslich Projektrisiken von
Ereignissen, zu erstellen.
Für die Ermittlung der Baukosten und Bauzeit wurden zwei Methoden verwendet, die
Bayes’schen Netze (BN) und die Monte-Carlo-Simulation (M-C-S), welche im Modell kombiniert
werden, um die jeweiligen Vorzüge zu nutzen. Die BN, welche in Forschung und Praxis für die
Baukosten- und Bauzeitermittlung in Tunnelbauprojekten noch nicht berücksichtigt wurden,
gehören zu den Expertensystemen. Sie haben die folgenden Vorteile: Komplexe
Zusammenhänge können mittels bedingter Wahrscheinlichkeiten in einer Anwendungsdomäne
realitätsnah modelliert werden, neue Informationen können auf der Grundlage des Bayes’schen
Theorems in das Netz einbezogen werden, und sie können den Experten bei der
Entscheidungsfindung unterstützen. Diese Vorteile werden in PRIMO genutzt und für die
Modellierung der geologischen Situation entlang der Tunneltrassee verwendet. Mit Hilfe der MC-S können auch Unsicherheiten modelliert werden. Sie verfügen jedoch nicht über die oben
erwähnten Vorteile der BN. In PRIMO wird die M-C-S hauptsächlich verwendet, um die sehr
beschränkte Verwendung von mathematischen Formeln in den BN (z. B. Risikodefinition,
Baubetrieb) auszugleichen.
Das in der Arbeit entwickelte projektbezogene Risikomanagementmodell (PRIMO) besteht aus
vier Modulen (siehe Bild I) (Risikomanagementprozess, Geologie, Bauprozess, Längenschnitt),
die miteinander verknüpft sind und in verschiedenen Programmen (MS-Access2, MS-Excel3,
Hugin4) entwickelt wurden.
1
2
3
4
KASTBJERG SKAMRIS, M., [Large Transport Projects, 1994]
Softwareprodukt von Microsoft Corporation
Softwareprodukt von Microsoft Corporation
Softwareprodukt von Hugin Expert
KURZFASSUNG
IX
IT-gestütztes, projektbezogenes
Risikomanagementmodell (PRIMO)
Modul 1: Risikomanagementprozess
Vorbereitung, Identifikation, Analyse, Behandlung, Controlling
Modul 2: Geologie
Modul 3: Bauprozess
- Proz. Verteilung d. Risikomassnahmen (Profiltyp)
- Risikomassnahmen (Profiltyp)
- Auswirkung von Ereignissen
- Eintrittswahrscheinlichkeit/
Häufigkeit von Ereignissen
Modul 4: Lä
Längenschnitt
Tunnelabschnitte (Homogenbereiche)
Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit des
Tunnelrohbaues
Bild I: Aufbau des IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodells (PRIMO)
Das Modul 1 (Risikomanagementprozess) ist in einer MS-Access-Umgebung programmiert
und ermöglicht das Abspeichern von unendlich vielen Projekten, für die das Risikomanagement
durchgeführt wird. Für jedes Projekt können wiederum zahlreiche Projektrisikomanagementpläne (PRM-Pläne), denen der projektbezogene Risikomanagementprozess
(PRM-Vorbereitung, Risikoidentifikation, Risikoanalyse (Risikobewertung, Risikobeurteilung),
Risikocontrolling) zugrunde liegt, zugeordnet werden. Die PRM-Pläne können sich in
Abhängigkeit des Betrachtungsgegenstandes entweder auf einen Abschnitt oder auf einen
Punkt der Trasse beziehen. Bezüglich der Risikobewertung ist zu erwähnen, dass diese im
Modul 1 qualitativ oder quantitativ (deterministisch, probabilistisch) erfolgen kann, wobei die
probabilistische Bewertung auf der M-C-S beruht. Die Abhängigkeiten von Ereignissen können
mit dem Copulakonzept, bzw. für geologisch bedingte Ereignisse im Modul 2 mittels bedingter
Wahrscheinlichkeiten, berücksichtigt werden. Das Modul wird zudem von Modul 3 für die
Ermittlung der Auswirkungen von Ereignissen und von Modul 4 für die Bestimmung des
Gesamtprojektrisikos unterstützt.
Das Modul 2 (Geologie) ist in Hugin realisiert und umfasst die Bayes’schen Netze, die den
Homogenabschnitten der Tunneltrasse zugeordnet werden. Das Bayes’sche Netz modelliert die
geologische Situation und schliesst dabei von der Gebirgsbeschreibung auf geologisch
bedingte Ereignisse bzw. das Gefährdungsbild. Zudem werden die Eintrittswahrscheinlichkeiten/Häufigkeiten5 der Ereignisse basierend auf der Zuordnung von Risikomassnahmen
(z. B. Profiltyp) ermittelt. Im BN werden ausserdem die prozentualen Verteilungen der
Profiltypen im Homogenabschnitt ermittelt. Weiter besteht die Möglichkeit, neue Informationen
5
Das Risiko eines Ereignisses ist mathematisch als das Produkt aus der Eintrittswahrscheinlichkeiten/Häufigkeit und der Auswirkung definiert.
X
KURZFASSUNG
aufgrund von Beobachtungen (z. B. während dem Vortrieb) einzubeziehen und mittels der
Elemente der Entscheidungstheorie (Entscheidungsknoten, Nutzenknoten) Profiltypvarianten
bzw. Risikomassnahmen zu beurteilen. Die Berechnungsergebnisse aus Modul 3 werden dabei
in den Nutzenknoten eingetragen.
Die Herausforderung bei der Modellierung der geologischen Situation mit BN besteht in der
Identifikation wesentlicher Zufallsvariablen bzw. Knoten und der Angabe ihrer Wahrscheinlichkeitstabellen. Im BN wurde unter anderem das GSI-System verwendet, wodurch schon
zahlreiche Zufallsvariablen vorgegeben sind. Die Angabe der Wahrscheinlichkeiten erfolgt
hauptsächlich aufgrund von Expertenwissen, was für Kind-Knoten mit vielen Eltern-Knoten sehr
zeitintensiv bzw. aufwendig sein kann. Die Wahrscheinlichkeiten können jedoch auch
ausserhalb des BN mittels M-C-S ermittelt werden, wie es beispielsweise für das druckhafte
Gebirgsverhalten praktiziert wurde.
Im Modul 3 (Bauprozess),
), welches in MS-Excel programmiert wurde, werden Baukosten und
Bauzeit der baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen (z. B. Profiltyp6) mittels M-C-S
deterministisch oder probabilistisch bestimmt. Die Arbeitsvorgänge der Massnahmen können
detailliert dargestellt werden (z. B. Bohren, Laden, Sprengen, Schuttern und Sichern für den
Ausbruch) und mögliche Unsicherheiten, beispielsweise für Leistungswerte, Aufwandswerte
oder Materialkosten, mit einer Vielzahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben
werden. Die Bestimmung der Kosten erfolgt nach der Zuschlagskalkulation gemäss dem
Schweizerischen Baumeisterverbandes (SBV), wodurch der Bauherr die Angebotspreise der
Unternehmungen vor Vertragsabschluss gut abschätzen kann. Das Modul wird ebenfalls
verwendet, um die Auswirkungen von Ereignissen im Rahmen der Risikobewertung in Geldoder Zeiteinheiten zu ermitteln.
Im Modul 4 (Längenschnitt),, das ebenfalls in MS-Excel realisiert wurde, werden die
Massnahmen (für Profiltypen entsprechend ihrer prozentualen Verteilung) den einzelnen
Homogenabschnitten zugeordnet und Baukosten und Bauzeit mittels M-C-S über die gesamte
Tunnellänge deterministisch oder probabilistisch ermittelt. Zudem werden die Projektrisiken, die
keine Risikobehandlung erfahren, und die Restprojektrisiken von behandelten Ereignissen
einbezogen, um die gesamten Baukosten und die gesamte Bauzeit des Rohbaues für das
Tunnelbauprojekt zu ermitteln.
6
Umfasst die Ausbruchsicherung, allfällige Bauhilfsmassnahmen und die Verkleidung.
ABSTRACT
XI
ABSTRACT
The IT-assisted, project-related risk management model (PRIMO) is a tool that supports the
client mainly in the probabilistic determination of total construction costs and time of tunnelling
projects, including project risks. The tool is designed for the drill and blast method and realised
based on various programs (MS Access7, MS Excel8, and Hugin9).
PRIMO consists of the four modules shown in the figure below:
IT-assisted, project-based
risk management model (PRIMO)
Modul 1: Risk management process
Preparation, identification, analysis, treatment, controlling
Modul 2: Geology
Modul 3: Construction proc.
proc.
- Perc. distribution of risk
measures (profile type)
- Risk measures (profile typ)
- Outcome of events
- Probability of occurance/
frequency of events
Modul 4: Longitudinal section
Tunnel sections (homogenous sections)
Total construction costs and time for the
tunnelling structural work
Figure I: Setup of the IT-assisted, project-related risk management model (PRIMO)
Module 1 (risk management process) comprises the project-related risk management
process (PRM process) through which events are identified, analysed, treated and
controlled/monitored. The module passes on information to the residual modules and is in
return supported by them.
In module 2 (geology),, the geology-related events (e. g. rock burst) within defined tunnel
sections (homogeneous sections) are modelled realistically and their probability of
occurrence/frequency10 is determined by means of Bayesian networks. Furthermore, the
Bayesian networks are used for the assignment of profile types11 (risk measure) for the
identified events and to determine their distribution on a percentage basis within the
7
8
9
10
11
Software product by Microsoft Corporation
Software product by Microsoft Corporation
Software product by Hugin Expert
The risk of an event is mathematically defined as the product of probability of occurrence/frequency
and impact.
Comprises rock support, possible supporting measures and lining
XII
ABSTRACT EINLEITUNG
homogeneous section.
In module 3 (construction process),, the setup of the constructional measures / risk
measures is presented in detail and the expenditure of time and cost are determined either
deterministically or probabilistically. For example for the excavation, various actions such as
drilling, loading, blasting, airing, mucking and supporting are indicated and the construction
costs and time per tunnel meter are calculated. Furthermore, in module 3 the impact of events
is determined.
In module 4 (longitudinal section),, the expenditure of time and cost for the risk measures are
attributed to the tunnel line / the individual tunnel sections (for profile types based on their
distribution on a percentage basis) and probabilistically integrated for the entire length of the
tunnel. The project risks for which no risk treatment is applied and the residual project risks of
treated events are also taken into account. Subsequently, the total construction costs and time,
including project risks and residual project risks of the structural work, are determined for the
tunnel line by means of Monte Carlo simulation.
TEIL A: EINFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
1
TEIL A: EINFÜHRUNG
1
EINLEITUNG
1.1
PROBLEMSTELLUNG UND MOTIVATION
Tunnelprojekte haben eine lange Tradition. Seit über zweitausend Jahren12 ist der Mensch
bestrebt, mit Hilfe von Tunnels topographische Hindernisse zu überwinden. Im Zeitalter der
Globalisierung gewinnen kurze Reise- und Transportwege an Bedeutung, weshalb immer mehr
Tunnelbauprojekte realisiert werden.
Zu diesen rein logistischen Aspekten kamen in den letzten Jahrzehnten auch ökologische
Faktoren (Landschaftsschutz, Minderung von Emissionen) hinzu, die Tunnelbauprojekte
sinnvoll und erforderlich werden lassen.
Aufgrund ihrer hohen Komplexität ist Tunnelbauprojekten vielfach gemein, dass die
geschätzten und veranschlagten Baukosten und Bauzeiten überschritten werden, obwohl diese
beiden Grössen Voraussetzungen sind, auf deren Basis über eine Projektrealisierung
entschieden wird.13 Ein aktuelles Beispiel dafür ist das Schweizer NEAT-Projekt (Neue
Eisenbahn-Alpentransversale). Gemäss Alpentransit-Finanzierungsbeschluss14 vom 8.
Dezember 1999 beliefen sich die mutmasslichen Endkosten auf 14.7 Mia. Franken15 (Preisstand
1998 nach NTI16). Inzwischen werden diese Kosten auf 16.9 Mia. Franken (Preisstand 1998
nach NTI) prognostiziert. Unter Berücksichtigung des zurzeit bekannten Risikopotenzials liegen
sogar Endkosten zwischen 19 und 20 Mia. Franken (Preisstand 1998 nach NTI) im Bereich des
Möglichen.17 Im Vergleichszeitraum wurde der Inbetriebnahmetermin des Gotthard-Basistunnels
zunächst für 2011 und jener für den Lötschberg-Basistunnel für 2007 prognostiziert. Gemäss
aktuellen Voraussagen ist der Inbetriebnahmetermin für den Gotthard-Basistunnel nun für 2017
geplant.18 Der Lötschberg-Basistunnel wurde Ende 2007 planmässig in Betrieb genommen.
Die weltweite Forschung liefert verschiedene Ursachen für Baukosten- und Bauzeitüberschreitungen. So vertritt beispielsweise KASTBJERG SKAMRIS19 die Ansicht, dass Angaben
12
13
14
15
16
17
18
19
MUIR WOOD, A., [Tunnelling, 2000], S. 9 f.
Beispielsweise im Zuge einer Volksabstimmung
BUNDESVERSAMMLUNG DER SCHWEIZER EIDGENOSSENSCHAFT, [Bundesbeschluss, 1999], S. 146;
SCHWEIZERISCHER BUNDESRAT, [Botschaft zum Bundesbeschluss, 2003], S. 6579
Der ursprüngliche Gesamtkredit belief sich auf 12.6 Mia. Franken, basierend auf dem Zürcher Index
der Wohnbaukosten (ZIW). Dieser erwies sich jedoch im Laufe des Projektes für die Bemessung der
Teuerung bei Tunnelbauwerken als ungeeignet, weshalb er durch den NEAT-Teuerungsindex (NTI)
ersetzt wurde.
NEAT-Teuerungsindex (NTI)
BUNDESAMT FÜR VERKEHR, [Kurzfassung Standbericht Nr. 22, 2007], S. 1
BUNDESAMT FÜR VERKEHR, [Kurzfassung Standbericht Nr. 22, 2007], S. 2
KASTBJERG SKAMRIS, M., [Large Transport Projects, 1994]
2
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
über Baukosten und Bauzeiten vor der Realisierungsphase von Projekten oft bewusst von
öffentlichen Interessengruppen manipuliert werden, damit die Zustimmung der Öffentlichkeit
und somit der Beginn des Bauprojekts gesichert werden können. Dieser Ansatz ordnet die
möglichen Ursachen der Sphäre des Projektumfeldes zu.
Neben Ursachen, die sich der Sphäre der Bauunternehmung zuschreiben lassen, wie z. B.
fehlendes Know-how oder die Wahl eines ungeeigneten Bauverfahrens, können auch
zahlreiche Ursachen für Baukosten- und Bauzeitüberschreitungen der Sphäre des Auftraggebers zugeordnet werden. So sind die Überschreitungen im Falle des NEAT-Projekts
hauptsächlich auf Projektänderungen (infolge Geologie, Projekterweiterungen usw.) zurückzuführen.20
Im Tunnelbau hat vor allem der Baugrund einen massgeblichen Einfluss auf die zwei
Projektanforderungen Baukosten und Bauzeit. Aufgrund der unterirdischen, linienförmigen
Erstreckung von Tunnelbauwerken kann es trotz umfangreicher und sorgfältiger geologischer
und hydrogeologischer Erkundungen zu Ereignissen während des Tunnelvortriebes kommen,
die – kombiniert mit den räumlich begrenzten Arbeitsplatzverhältnissen und den dadurch
eingeschränkten Handlungsmöglichkeiten – einen wesentlich grösseren Einfluss auf die
Baukosten und die Bauzeit haben, als dies bei anderen Bauvorhaben der Fall ist. ISAKSSON21
hat zahlreiche Tunnelbauprojekte aufgeführt, deren vertraglich festgelegte Baukosten und
Bauzeit infolge geologisch bedingter Ereignisse (z. B. Bergschlag) überschritten wurden.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass all diese Ursachen – und zahlreiche weitere –
eine Gefährdung der Rahmenbedingungen eines Projekts bedeuten und sie unter dem Begriff
Projektrisiko subsumiert werden können. Dem Risikomanagement kommt somit bei der
korrekten Ermittlung von Baukosten und Bauzeiten eine grosse Bedeutung zu, da es die
Ursachen der Baukosten- und Bauzeitüberschreitungen identifiziert, bewertet und Massnahmen
zu deren Handhabung festlegt.
Wissenschaft und Praxis beschäftigen sich seit Jahren mit dem Risikomanagement. Es wurde
eine Vielzahl von Verfahren entwickelt, um ein umfassendes Risikomanagement durchzuführen.
Besonders im Tunnelbau sind im Zuge der Risikobewertung Verfahren erforderlich, die
einerseits die komplexen Zusammenhänge von Baugrund, Konstruktion und Baumethode
umfassend und transparent darstellen und andererseits subjektives Wissen (das Bauen unter
Tage beruht vor allem auf Erfahrung) implementieren können. Im Tunnelbau in der Praxis häufig
angewendete Verfahren22 (z. B. Monte-Carlo-Methode, Latin-Hypercube) erfüllen diese
Anforderungen nur bedingt und führen darum gegebenenfalls zu einer ungenauen oder
unvollständigen Einschätzung der Risikosituation.
Als Grundlage dieses Forschungsprojekts dienen deshalb neben der Monte-Carlo-Methode
auch Bayes’sche Netze, wobei beide Methoden miteinander verknüpft werden. Die
Bayes’schen Netze werden zu den Expertensystemen gezählt und haben den grossen Vorteil,
20
21
22
BUNDESAMT FÜR VERKEHR, [Standbericht Nr. 22, 2007], S. 156
ISAKSSON, T., [Estimation of time and cost on tunnel projects, 2002], S. 83-84
BURGER, D., LAUFFER-NEUMANN, D., MUSSGER, K., [Risikoinduzierte Bewertung von Tunnelvortrieben,
2002], S. 65 ff.
TEIL A: EINFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
3
dass sie Ursache-Wirkungs-Ketten von Ereignissen und auch deren Abhängigkeiten zueinander
realitätsnah abbilden können. Weiter eignen sie sich hervorragend zur Verknüpfung objektiver
und subjektiver Wahrscheinlichkeiten. Im Tunnelbau kann in den seltensten Fällen für
verschiedene Einflussparameter wie z. B. der Gebirgsfestigkeit auf die Grundgesamtheit
geschlossen werden. Somit ist es wichtig, die objektiven zur Verfügung stehenden
Informationen mit subjektiven Informationen (Expertenschätzungen, wissensbasiert) geeignet
zu verknüpfen.
1.2
ZIELSETZUNG UND VORGEHEN
Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines aussagekräftigen, IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodells für auf konventionelle Art (Sprengvortrieb) erstellte
Tunnelbauprojekte. Das Modell soll der Komplexität dieser Projekte Rechnung tragen und dem
Bauherrn auf probabilistischer Basis eine zuverlässige Endprognose für die gesamten
Baukosten und die gesamte Bauzeit des Tunnelrohbaues inklusive der Risiken23 von
Ereignissen liefern.
Für die Erreichung dieses Ziels ergeben sich mehrere relevante Fragen, die in der Arbeit
betrachtet werden sollen.
Wie kann der projektbezogene Risikomanagementprozess (PRM-Prozess) für Tunnelbauprojekte effektiv und effizient durchgeführt werden?
Der allgemeine RM-Prozess besteht aus zahlreichen Teilprozessen wie der
Risikoidentifikation, der Risikoanalyse, der Risikobehandlung und dem Risikocontrolling.
In der vorliegenden Arbeit soll eine generelle Vorgehensweise für das projektbezogene
Risikomanagement in Tunnelbauprojekten entwickelt werden, welche die Teilprozesse
sinnvoll miteinander verknüpft.
Wie können die Bayes’schen Netze und die Monte-Carlo-Simulation für die Modellierung der
Geologie und der baulichen Massnahmen eingesetzt werden bzw. sich dabei gegenseitig
ergänzen?
Die in dieser Arbeit vorgestellten Modelle zur Baukosten- und Bauzeitermittlung
modellieren die geologischen Gegebenheiten des Gebirges relativ einfach. Die
Modellierung
erfolgt
anhand
weniger,
isoliert
voneinander
betrachteter
Eingangsparameter. In der Arbeit soll auf Grundlage der Bayes’schen Netze ein Modell
entwickelt werden, das die geologische Situation im Bereich des Tunneltrassees
ganzheitlich und realitätsnah betrachtet. Es sollen zahlreiche Eingangsparameter
verwendet werden, die voneinander abhängig sind und das Gebirge, die Massnahmen
und die geologisch bedingten Ereignisse bzw. Risiken beschreiben.
Die Modellierung der baulichen Massnahmen erfolgt in den existierenden Modellen ohne
Bezug zur Kostenermittlung der Unternehmung, was sich für die Baukosten- und
Bauzeitberechnung nach Vertragsabschluss bzw. im Zuge des Vortriebes als Nachteil
erweist. In der Arbeit sollen deshalb der Zeitbedarf und die Kosten für die baulichen
23
Produkt aus der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der Auswirkung des Ereignisses
4
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
Massnahmen auf Basis der Zuschlagskalkulation detailliert mittels der Monte-CarloSimulation berechnet werden, wodurch die Möglichkeit gegeben ist, die Baukosten
entsprechend der Unternehmer zu ermitteln und in die Prognose einzubeziehen.
Wie können Abhängigkeiten von Ereignissen bzw. Zufallsvariablen berücksichtigt werden?
Die in der Arbeit dargestellten Modelle können keine Abhängigkeiten von Zufallsvariablen
berücksichtigen. Diese Abhängigkeiten sind aber im Rahmen der Risikoaggregation und
im Bauprozess oft von grosser Bedeutung. In der vorliegenden Arbeit sollen deshalb
verschiedene Verfahren aufgezeigt und diskutiert werden und das vorteilhafteste in das
Risikomanagementmodell implementiert werden.
Die Antworten auf diese zentralen Fragen werden in einem IT-gestützten, projektbezogenen
Risikomanagementmodell (PRIMO) umgesetzt, das aus vier Modulen besteht. Für den
generellen Aufbau dieses Risikomanagementmodells wird auf die Kurzfassung zu Beginn der
Forschungsarbeit verwiesen.
Das Modell bringt für den Bauherrn weitere Vorteile:
• Einbezug neuer geologischer Erkenntnisse, die sich im Zuge des Projektfortschrittes
ergeben, in die Baukosten- und Bauzeitprognose
• Überprüfung der Auswirkungen von Entscheidungen (z. B. Änderung der Linienführung oder Wechsel des Ausbruchsicherung) auf die Baukosten und Bauzeit im
Rahmen der verschiedenen Projektphasen
• Bereitstellung eines wirksamen Risikoanalyse- und Risikocontrollinginstrumentes
• Verwendung als Wissensdatenbank, die sich aus den Ergebnissen des Risikomanagements zusammensetzt, für zukünftige Projekte
1.3
GLIEDERUNG DER FORSCHUNGSARBEIT
Die Arbeit gliedert sich in fünf Teile.
Teil A umfasst die Kapitel „Einleitung“ und „Stand der Forschung und Methodik“ und soll den
interessierten Leser in den Forschungsgegenstand einführen.
Teil B beinhaltet die Grundlagen der Methoden, die in das IT-gestützte Risikomanagementmodell implementiert wurden. Im Kapitel „Risikomanagement in Tunnelbauprojekten“ werden
risikomanagementspezifische und bauprojektspezifische Begriffe festgelegt und die einzelnen
Teilphasen des projektbezogenen Risikomanagementprozesses genau erklärt. Das Kapitel
„Statistik und Stochastik“ beschreibt die in dem Modell verwendeten Verteilungstypen und zeigt
Möglichkeiten der Modellierung von Abhängigkeiten von Zufallsvariablen (z. B. Ereignissen) auf.
In den restlichen Kapiteln „Bayes’sche Netze“ und „Monte-Carlo-Simulation“ werden die beiden
wichtigsten Methoden detailliert erläutert und deren Anwendung in dieser Arbeit aufgezeigt.
Im Teil C wird das IT-gestützte Risikomanagementmodell, bestehend aus den vier Modulen
Risikomanagementprozess, Geologie, Bauprozess und Längenschnitt, betrachtet. Jedes
einzelne Modul wird detailliert erläutert und die Verknüpfung miteinander aufgezeigt.
Abgerundet wird dieser Teil durch die Anwendung des Modells an einem Tunnelbauprojekt.
Teil D betrachtet nochmals das entwickelte Risikomanagementmodell und gibt einen Ausblick
TEIL A: EINFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
5
auf weitere mögliche Forschungsunterfangen.
Teil E umfasst den Anhang, in dem verschiedene Verzeichnisse, weitere statistische
Ausführungen, Formulare und Tabellen von PRIMO und Ergebnisse eines Beispiels dargestellt
sind.
In Bild 1.1 werden die Kapitel der einzelnen Teile nochmals dargestellt.
6
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 1. EINLEITUNG
TEIL A: Einführung
Kapitel 1: Einleitung
Kapitel 2: Stand der Methodik und Verbesserungspotenziale
TEIL B: Grundlagen
Kapitel 3: Risikomanagement bei Tunnelbauprojekten
Kapitel 4: Statistik und Stochastik
Kapitel 5: Bayes‘sche Netze
Kapitel 6: Monte-Carlo-Simulation
TEIL C: Risikomanagementmodell
Kapitel 7: IT-gestütztes, projektbezogenes Risikomanagementmodell
Kapitel 8: Modul 1: Risikomanagementprozess
Kapitel 9: Modul 2: Geologie
Kapitel 10: Modul 3: Bauprozess
Kapitel 11: Modul 4: Längenschnitt
Kapitel 12: Beispiel - Tunnel San Fedele
TEIL D: Fazit
Kapitel 14: Kritik und Ausblick
TEIL E: Anhang
Kapitel A: Literaturverzeichnis
Kapitel B: Glossar
Kapitel C: Statistik und Stochastik
Kapitel D: IT-gestütztes, projektbezogenes Risikomanagementmodell
Kapitel E: Beispiel - Tunnel San Fedele
Bild 1.1:
Gliederung der Forschungsarbeit
TEIL A: EINFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
2
7
STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
In diesem Kapitel werden die Methoden für Tunnelbauprojekte nach Einstein et al.24 (DAT
Decision aids for tunnelling bzw. EHT Entscheidungshilfen für den Tunnelbau) und nach
Isaksson25 (Model for estimation of time and cost based on risk evaluation applied on tunnel
projects), welche mit PRIMO vergleichbar sind, vorgestellt. Beide Modelle ermöglichen die
Ermittlung von Baukosten und Bauzeit für Tunnelbauprojekte auf probabilistische Weise mit
Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen.
2.1
EHT (ENTSCHEIDUNGSHILFEN FÜR DEN TUNNELBAU)
Dieses Tool wurde in den 70er-Jahren am MIT (Massachusetts Institute of Technology)
entwickelt und ermöglicht bei der Ermittlung von Baukosten und Bauzeit im Tunnelbau die
Berücksichtigung geologisch/geotechnisch bedingter und baubedingter Unsicherheiten. Das
EHT-Programm wurde in zahlreichen Tunnel-Grossprojekten eingesetzt, unter anderem für den
Gotthard-Basistunnel und für den Lötschberg-Basistunnel.
Das Tool beinhaltet zwei Hauptkomponenten:26
• Die Beschreibung der Geologie
• Die Bausimulation
Die Beschreibung der Geologie erfolgt im EHT mit ein paar wenigen Parametern, die
verschiedene Werte bzw. Bereiche annehmen können. In Tabelle 2.1 sind vier Parameter
(Lithologie, RQD, Verwitterung, Wasser) und ihre möglichen Ausprägungen dargestellt:
Parameter
Gesteinsart
RQD
Verwitterung
Wasser
1
Schiefer
75-100
Leicht
Leicht
2
Metaquarzit
25-75
Stark
Mittel
3
Diorite
0-25
4
Quarzite
Tabelle 2.1:
Hoch
Definition der Parameter27
Die einzelnen Parameter werden im Modell miteinander kombiniert und zu Gebirgsklassen Gi
zusammengefasst, denen unterschiedliche bauliche Massnahmen zugeordnet werden. In
Tabelle 2.2 ist eine mögliche Gebirgsklassifikation nach Einstein dargestellt:
24
25
26
27
EINSTEIN, H. H., INDERMITTE, C. A., SINFIELD, J. V., et al., [The Decision Aids for Tunnelling, 1998]
ISAKSSON, T., [Estimation of time and cost on tunnel projects, 2002]
EINSTEIN, H. H., INDERMITTE, C. A., SINFIELD, J. V., et al., [The Decision Aids for Tunnelling, 1998]
EINSTEIN, H. H., DUDT, J.-P., HALABE, V. B., et al., [Geologic uncertainties in Tunneling, 1996]
8
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
Definition der Gebirgsklassen Gi28
Tabelle 2.2:
Nach Tabelle 2.2 müssen für die Gebirgsklasse G1 die Parameter folgende Ausprägungen
besitzen:
Gesteinsart :
Schiefer, Metaquarzit, Diorite
RQD:
RQD 75–100
Verwitterung:
leicht
Wasser:
leicht, mittel
Die Verteilung der Parameter, welche unabhängig voneinander sind, werden entlang der
Tunneltrasse mittels eines Markov-Prozesses berechnet und die Auftrittswahrscheinlichkeit
einer möglichen Parameterkombination entsprechend Tabelle 2.2 ermittelt. Das Ergebnis der
Berechnung ist die Verteilung der Gebirgsklassen (Gebirgsklassenprofil) entlang der
Tunnelstrecke.29
Bild 2.1:
Gebirgsklassenprofil30
In der früheren Modellentwicklungsphase von EHT wurden für die Berechnung der
Gebirgsklassenprofile Parameterbäume verwendet, die aber aufgrund der komplizierten
Berechnung durch den Markov-Prozess ersetzt wurden. Es werden für einen Tunnelabschnitt
28
29
30
EINSTEIN, H. H., DUDT, J.-P., HALABE, V. B., et al., [Geologic uncertainties in Tunneling, 1996]
Siehe Bild 2.1
EINSTEIN, H. H., DUDT, J.-P., HALABE, V. B., et al., [Geologic uncertainties in Tunneling, 1996]
TEIL A: EINFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
9
alle möglichen Parameterkombinationen betrachtet, wobei die verschiedenen Parameter
voneinander abhängig sein können und somit bedingte Wahrscheinlichkeiten zur Anwendung
kommen. Die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten steigt gegenüber der Methode mit den MarkovProzessen um ein Vielfaches.
Die Bausimulation ermittelt die Baukosten und Bauzeit für das Gebirgsklassenprofil. Hierbei
werden die Gebirgsklassenprofile in Bauklassenprofile umgewandelt und der Bau des Tunnels
durch die Bauklassen simuliert. Die Bauklassen werden durch einen Arbeitszyklus
charakterisiert und Unsicherheiten durch Verteilungen mit Hilfe einer Monte-Carlo-Simulation
modelliert. Die Unsicherheiten werden durch drei Eingabewerte (optimistisch, wahrscheinlich,
pessimistisch) beschrieben, die einer Beta-Verteilung zugeordnet werden. Sie können
beispielsweise bauliche Tätigkeiten (z. B. Bohren), aber auch Aktivitäten wie Wartungsarbeiten
von Maschinen betreffen.
Die Bausimulation ermittelt für jeden Simulationsdurchlauf die Baukosten und die Bauzeit des
Tunnels und stellt das Ergebnis nach Ende der Simulation als Punktdiagramm dar:
Bild 2.2:
2.2
Baukosten-/Bauzeit-Punktdiagramm31
MODELL NACH ISAKSSON
Das Modell32 wurde im Rahmen einer Dissertation an der Königlichen Technischen Universität
in Schweden ausgearbeitet. Ähnlich wie im EHT wird der Tunnel in Abschnitte mit
vergleichbaren geologischen Eigenschaften unterteilt:
31
32
EINSTEIN, H. H., INDERMITTE, C. A., SINFIELD, J. V., et al., [The Decision Aids for Tunnelling, 1998]
ISAKSSON, T., [Estimation of time and cost on tunnel projects, 2002], ISAKSSON, M. T., REILLY, J. J.,
ANDERSON, J. M., [Risk mitigation for tunnel projects, 1999],
10
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
Bild 2.3:
Prinzip des Modells33
Innerhalb jedes Abschnitts werden drei Produktivitätsklassen Pi eingeführt, die sich durch
unterschiedliche Vortriebsleistungen unterscheiden (z. B. geringe, mittlere, hohe
Vortriebsleistung). Die Auftrittswahrscheinlichkeit jeder Produktivitätsklasse wird durch Abwägen
geologischer Faktoren (z. B. Feinanteile), welche einen Einfluss auf die Vortriebsleistung haben,
abgeschätzt. Die probabilistische Verteilung der geologischen Faktoren erfolgt auf Basis von
Erfahrung und/oder geologischen Voruntersuchungen. In Bild 2.4 ist die Bestimmung der
Produktivitätsklasse ausgehend von einem geologischen Faktor dargestellt:
Bild 2.4:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Produktivitätsklasse auf Grundlage eines
geologischen Faktors34
Für jede Produktivitätsklasse innerhalb der Abschnitte werden die Gesamtkosten, bestehend
33
34
ISAKSSON, M. T., REILLY, J. J., ANDERSON, J. M., [Risk mitigation for tunnel projects, 1999]
ISAKSSON, M. T., REILLY, J. J., ANDERSON, J. M., [Risk mitigation for tunnel projects, 1999]
TEIL A: EINFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
11
aus den Normalkosten (z. B. Materialkosten, Kosten ohne unerwünschte Ereignisse) und den
Kosten aus den unerwünschten Ereignissen, ermittelt und entsprechend der Auftrittswahrscheinlichkeit der Produktivitätsklasse in dem Abschnitt gewichtet.
Das Risiko von unerwünschten Ereignissen wird aus dem Produkt Eintrittswahrscheinlichkeit
und Auswirkung ausgedrückt, wobei die Auswirkungen der Ereignisse über Kostenauswirkungsklassen, die als Prozentsätze der Angebotssumme definiert und aus statistischen
Daten ausgeführter Projekte abgeschätzt werden, bestimmt werden. In Tabelle 2.3 ist eine
Definition der Kostenauswirkungsklassen dargestellt:
Tabelle 2.3:
Definition der Kostenauswirkungsklassen35
Das Ergebnis der Berechnung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Baukosten und Bauzeit
des gesamten Tunnels und dient ebenfalls wie im DAT der Entscheidung bezüglich
Vortriebsmethode, Linienführung usw. In Bild 2.5 sind Beispiele von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Gesamtkosten für verschiedene Vortriebsmethoden dargestellt:
Bild 2.5:
35
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
methoden
von
Gesamtkosten
verschiedener
ISAKSSON, M. T., REILLY, J. J., ANDERSON, J. M., [Risk mitigation for tunnel projects, 1999]
Vortriebs-
12
TEIL A: EINFÜHRUNG
INFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
2.3
EVALUATION DER VORGESTELLTEN MODELLE
Für die Evaluation der vorgestellten Modelle werden drei Punkte genauer betrachtet. Die
Modellierung der Geologie, die Modellierung der baulichen Massnahmen und die
Berücksichtigung von Projektrisiken von Ereignissen. Zusätzlich wird die Vorgehensweise in
PRIMO angegeben.
Geologie
Die geologischen Verhältnisse werden im Modell EHT mit einer geringen Anzahl von
Parametern modelliert. Deren Ausprägungen werden miteinander kombiniert, und es
werden Gebirgsklassen bzw. ein Gebirgsklassenprofil für die Tunneltrasse erstellt. Den
Parametern werden keine Ursachen zugeordnet, d. h. es fehlt eine Ursache-Wirkungskette-Modellierung. Als Beispiel sei der Wasseranfall im Hohlraum anzuführen, welcher
eine Abhängigkeit zur Durchlässigkeit und dem Wasserdruck hat, wobei die Ursache der
Durchlässigkeit wiederum abhängig ist von der Struktur und der Trennflächenbeschaffenheit.
Die Modellierung der Geologie im Modell ISAKSSON basiert ebenfalls auf wenigen
Parametern. Hier werden im Gegensatz zum Modell EHT keine Gebirgsklassen, sondern
Vortriebsklassen bestimmt, welche sich durch unterschiedliche Vortriebsleistungen
unterscheiden. Bei genauer Betrachtung des Modells ist ersichtlich, dass der Schritt der
Gebirgsklassenermittlung im Gegensatz zu EHT entfällt und die Vortriebsleistung, die die
Baumassnahmen umfasst, direkt aus den Parametern abgeschätzt wird. Auch in diesem
Modell wird auf eine ganzheitliche Betrachtung der geologischen Situation verzichtet.
In PRIMO soll die Modellierung der Geologie mit Hilfe Bayes’scher Netze ganzheitlicher
bzw. realitätsnaher als in den vorgestellten Modellen erfolgen. Die Bayes’schen Netze
beinhalten wie die Parameterbäume im EHT-Modell bedingte Wahrscheinlichkeiten. Sie
sind aber gegenüber der Methode im EHT-Modell viel flexibler einsetzbar. Es sollen
zahlreiche Parameter in das Modell implementiert werden, die aus der
Gebirgsbeschreibung die Gefährdungsbilder und die zugeordneten Baumassnahmen
modellieren. Durch dieses Vorgehen kann eine weitere Betrachtung betreffend die
Projektrisiken bzw. Restprojektrisiken von geologisch bedingten Ereignissen erfolgen, die
aus den Gefährdungsbilder und den Baumassnahmen abgeleitet werden.
Bauliche Massnahmen
Die Modellierung der Baukosten und Bauzeit der Baumassnahmen erfolgt mit Hilfe der
Monte-Carlo-Simulation (M-C-S). Hier wird, im Gegensatz zum Modell nach ISAKSSON, der
Tunnel Schritt für Schritt entsprechend dem Bauklassenprofil erstellt. D. h. für jeden
Arbeitszyklus im Zuge des Vortriebes werden Baukosten und Bauzeit neu berechnet und
aufintegriert. Für den Sprengvortrieb wird somit jeder Abschlag (Bohren, Laden,
Sprengen, Schuttern, Sichern) entlang der Tunneltrasse neu simuliert.
Im Modell nach ISAKSSON werden die Baukosten und Bauzeit der baulichen Massnahmen
ebenfalls auf probabilistischen Wege mittels M-C-S ermittelt. Es werden aber die
durchschnittlichen Baukosten und die durchschnittliche Bauzeit in Abhängigkeit der
Auftretenswahrscheinlichkeit der jeweiligen Produktivitätsklasse in dem betrachteten
Abschnitt ermittelt. D. h. für den Sprengvortrieb, dass die Abschlagdauer je Laufmeter
TEIL A: EINFÜHRUNG - 2. STAND DER METHODIK UND VERBESSERUNGSPOTENZIALE
ERBESSERUNGSPOTENZIALE
13
Tunnel der jeweiligen Produktivitätsklasse für die gesamte Abschnittslänge identisch ist.
Das EHT-Modell ist hier im Vorteil, da seine Modellierung der Baumassnahmen die
Realität genauer abbildet.
In PRIMO werden die durchschnittlichen Baukosten und die durchschnittliche Bauzeit für
die einzelnen Abschnitte wie im Modell ISAKSSON mit M-C-S ermittelt. Im Gegensatz zu
den vorgestellten Modellen werden die Baukosten auf der Basis der Zuschlagskalkulation
berechnet, die der Unternehmer in der Praxis meist zur Ermittlung seiner Kosten
verwendet. Das bringt dem Bauherrn den Vorteil, dass die Angebotssumme vor
Vertragsabschluss genauer abgeschätzt werden kann und die Ansätze der
Unternehmungen nach Vertragsabschluss im Modell berücksichtigt werden können.
Zusätzlich können Abhängigkeiten von Zufallsvariablen (z. B. bei probabilistischen
Betrachtung von Sprengstoffverbrauch und Abschlagslänge) in der Bausimulation
berücksichtigt werden.
Projektrisiken
Im EHT-Modell können keine Risiken von Ereignissen gemäss dem Produkt von
Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung berücksichtigt werden.
Im Modell von ISAKSSON werden für jeden Tunnelabschnitt Ereignisse identifiziert und
deren Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung probabilistisch bewertet. Die
Aggregation aller Risiken erfolgt mit Hilfe der M-C-S, wobei im Zuge der Simulation keine
Abhängigkeiten von Ereignissen modelliert werden können. Dies ist ein Nachteil, da die
vorliegende Risikosituation unterschätzt werden kann.
In PRIMO werden die geologisch bedingten Ereignisse in der Geologiemodellierung
einbezogen, wodurch Abhängigkeiten zu anderen Ereignissen bzw. zu den Ursachen
modelliert werden. Wie oben erwähnt, ist dadurch eine ganzheitliche Betrachtung der
geologischen Situation gewährleistet, was für Variantenuntersuchungen von baulichen
Massnahmen und beim Informationseinbezug betreffend Geologie äusserst vorteilhaft ist.
Die Aggregation der Risiken der geologisch bedingten und der restlichen Ereignisse
erfolgt mit der M-C-S, wobei zusätzlich Abhängigkeiten berücksichtigt werden können.
Weitere Vor- und Nachteile bzw. Kritikpunkte an PRIMO sind in Kapitel 1.2 und in
Kapitel 13 zu finden.
14
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
TEIL B: GRUNDLAGEN
3
RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Jedes Bauprojekt birgt Risiken. Vergleicht man verschiedene Bauprojektarten, wird man zu der
Erkenntnis kommen, dass im Tunnelbau aufgrund des komplexen und störungsanfälligen
Bauprozesses eine Vielzahl von Risiken auftreten kann. Der Erfolg von Tunnelbauprojekten ist
daher eng mit einem effektiven Risikomanagement verbunden, das nicht nur die
Risikoidentifizierung und -beurteilung beinhaltet, sondern auch die Ermittlung von
Risikomassnahmen.
Im folgenden Kapitel werden risikomanagement- und bauprojektspezifische Begriffe erklärt. Die
anschliessenden Kapitel befassen sich mit den Themen Risikoentwicklung während der
Projektlebensdauer, Risikofelder, Ereignisse, Ursachen, Teilprozesse des projektbezogenen
Risikomanagements und Methoden zum Umgang mit Risiken. Dabei sind die Ausführungen
überwiegend auf den Bauherrn36 fokussiert, sie haben jedoch teilweise auch für seine
Vertragspartner37 Gültigkeit.
3.1
RISIKOMANAGEMENTSPEZIFISCHE BEGRIFFE
3.1.1
DER BEGRIFF „RISIKO“
Die etymologischen Wurzeln des Terminus „Risiko“ gehen laut HERMANN38 auf folgende
Kulturen zurück:
• altgriechisch „riza“; Wurzel
• arabisch „risq“; Lebensunterhalt, der von Gott und Schicksal abhängt,
• lateinisch „risco“; Umschiffen einer Klippe,
• frühitalienisch „risicare“; Gefahr laufen, etwas wagen
Der Begriff „Risiko“ wird damals wie heute auf so vielfältige Weise definiert, dass er im
allgemeinen Sprachgebrauch nicht unbedingt dasselbe bedeutet wie im wissenschaftlichen
Kontext. Hinzu kommt, dass der Bedeutungsinhalt in den verschiedenen wissenschaftlichen
Disziplinen unterschiedlich sein kann. 39
36
37
38
39
Siehe Kapitel 3.2.2
Siehe Kapitel 3.2.2
HERMANN, U., [Herkunftswörterbuch, 1994], S. 110
SEILER, H., [Recht und technische Risiken, 1997], S.38 ff.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
15
3.1.1.1 DER BEGRIFF „RISIKO“ IN DER BAUBETRIEBSWISSENSCHAFT
In der baubetriebswissenschaftlichen Fachliteratur sind zahlreiche Definitionen des Terminus
Risiko vertreten. Risiko wird beispielsweise als eine Gefahr definiert, ein vorgegebenes Ziel40
(z. B. Projektkosten und Bauzeit) aus projektspezifischen Gründen nicht zu erreichen, als eine
drohende Verlustgefahr41 (z. B. Maschinenschaden infolge eines Wassereinbruches während
des Tunnelvortriebes), deren Eintreten mehr oder weniger vom Zufall abhängt, oder als die
Wahrscheinlichkeit, dass die durch eine Entscheidung42 (z. B. Wahl der falschen Baumethode)
ausgelösten Abläufe nicht zum angestrebten Ziel führen. Betrachtet man die Inhalte dieser
einzelnen Begriffsdefinitionen genauer, erkennt man, dass der Begriff Risiko, unabhängig
davon, ob das Risiko ein Ereignis, eine Auswirkung oder eine Wahrscheinlichkeit ist, bei den
zitierten Autoren negativ konnotiert ist.
Eine reine Gefahrenbetrachtung ist nicht immer zielführend, da den Gefahren meist auch
Chancen gegenüberstehen. Zum Beispiel könnten in einem Tunnelbauprojekt die im Zuge des
Vortriebs angetroffenen geologischen und hydrogeologischen Gebirgseigenschaften besser
sein als die aufgrund von Erkundungsbohrungen prognostizierten. Die tatsächlichen
Eigenschaften des Baugrundes könnten somit keine Gefahr einer Erhöhung der Projektkosten
(negative Zielabweichung), sondern eine Chance auf eine Verringerung (positive
Zielabweichung) dieser ergeben. Zahlreiche Autoren (z. B. SCHUBERT, LINK, BUSCH)43 erweitern
deshalb die Begriffsdefinition um eine weitere Komponente. Sie sehen im Risiko, zusätzlich zur
Gefahr einer negativen Zielabweichung, auch die Chance auf eine positive Zielabweichung.
Das Merkblatt 2007 der SIA44,45und die ONR 4900046 des Österreichischen Normungsinstitutes
verwenden ebenfalls diese Erweiterung des Risikobegriffes, während die DIN 6219847 des
Deutschen Institutes für Normung unter dem Begriff Risiko nur Gefahren subsumiert.
In der Literatur48 findet man für diese Dualität des Begriffs Risiko eine weitere Unterteilungsbeschreibung. Es wird einerseits vom Risiko im engeren Sinne oder vom reinen Risiko
gesprochen, das die Gefahr darstellt, dass ein vorgegebenes Ziel negativ beeinflusst wird, und
andererseits vom Risiko im weiteren Sinne oder vom spekulativen Risiko, das zusätzlich zur
Gefahr auch die Chance beinhaltet, dass die Zielvorgabe positiv beeinflusst wird. Die beiden
Begriffe werden hauptsächlich in der Versicherungs- und Finanzwirtschaft verwendet.
40
41
42
43
44
45
46
47
48
CADEZ, I., [Risikowertanalyse, 1998], S. 55; FRANKE, A., [Risikobewusstes Projekt-Controlling, 1991],
S. 55
HABISON, R., [Risikoanalyse im Bauwesen, 1975], S. 24 f.
BAUCH, U., [Risikobewertung von Bauprozessen, 1994], S. 36
SCHUBERT, E., [Risikos der Bauunternehmung, 1971], S.10; LINK, D., [Risikobewertung von
Bauprozessen, 1999], S. 7; BUSCH, T. A., [Risikomanagement-Prozessmodell, 2005], S. 41 ff.
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001], S. 24 ff.
In der Norm spricht man von Risikofaktoren.
ONR 49000, [Risikomanagement, 2004], S. 6 ff.
DIN 62198, [Risikomanagement für Projekte, 2002], S. 8 u. S. 12
SCHIERENBECK, H., [Risk Controlling in der Praxis, 2000], S. 299 f.
16
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Risiko
Risikoim
imengeren
engerenSinne
Sinneoder
oder
reines
reinesRisiko
Risiko
Gefahr
Gefahr
Bild 3.1:
Risiko
Risikoim
imweiteren
weiterenSinne
Sinneoder
oder
spekulatives
spekulativesRisiko
Risiko
Gefahr
Gefahr
Chance
Chance
Risiko, Gefahr und Chance
Der Risikobegriff, der dieser Arbeit zugrunde liegt, wird nachfolgend dargestellt.
3.1.1.2 DIE VERWENDUNG DES BEGRIFFS „RISIKO“ IN DIESER ARBEIT
In dieser Arbeit wird der Begriff Risiko bzw. Projektrisiko in Anlehnung an die mathematische
Definition49 verwendet. Das Projektrisiko ist ein Mass für das Ereignis, welches bei Eintritt aus
Sicht des Bauherrn einen positiven (Chancen) oder negativen (Gefahren) Einfluss auf die
Erfüllung der Projektanforderungen PA50 haben kann. Zur Bestimmung des Projektrisikos wird
das Ereignis in eine Ursache-Wirkungs-Kette51 (Szenario) eingegliedert, welche die Entstehung
des Ereignisses und seine Auswirkung beschreibt.
In Bild 3.2 ist die Ursache-Wirkungs-Kette anhand eines Beispiels dargestellt:
Beispiel:
Ursache-Wirkungs-Kette (Szenario)
Ursache
Ursache-Wirkungs-Kette (Szenario)
Bsp.: Starke Klüftung im Firstbereich
Niederbruch
Ereignis
Auswirkung
offene
Projektanforderungen
Bild 3.2:
feste
Projektanforderungen
Sach- und Personenschaden
Hohe Baustellensicherheit,
Minimale Kosten und Bauzeit
Einhaltung der
Baukosten und Bauzeit
Ursache-Wirkungs-Kette und deren Einfluss auf die Projektanforderungen
In den Schweizer Normen SIA 19952 und SIA 19753 existiert der Begriff Gefährdungsbild, der
eine mögliche kritische Situation oder ein unerwünschtes Ereignis für ein Bauwerk und/oder
dessen Umgebung in der Bauausführungs- und Bewirtschaftungsphase charakterisiert. Unter
diesem Terminus werden somit nur Gefahren subsumiert.
49
50
51
52
53
Siehe Kapitel 3.1.1.3
Siehe Kapitel 3.2.3
FLANAGAN, R., NORMAN, G., [Risk Management, 2000], S. 48
SIA 199, [Erfassen des Gebirges, 1998], S. 5
SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004], S. 9 und S.18
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
UNNELBAUPROJEKTEN
17
3.1.1.3 MATHEMATISCHE DEFINITION DES BEGRIFFS „RISIKO“
Um das Risiko bzw. Projektrisiko eines Ereignisses bestimmen bzw. als mathematische Grösse
erfassen zu können, verwendet man den versicherungs-mathematischen Ansatz54. Dieser wird
als Funktion von Eintrittswahrscheinlichkeit oder Häufigkeit des Ereignisses und dessen
Auswirkung definiert:
R = f (Eintrittswahrscheinlichkeit oder Häufigkeit, Auswirkung)
(3.1)
Als Funktion wird vorwiegend eine Multiplikation gewählt, sodass gilt:
R = W⋅ A
bzw. R = H ⋅ A
(3.2)
R Wert des Risikos (Risikowert)
W Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses
H Häufigkeit eines Ereignisses
A Auswirkung eines Ereignisses
Die Eintrittswahrscheinlichkeit W beschreibt die Erwartung eines möglichen Eintritts eines
Ereignisses, unabhängig davon, wie gross dessen Auswirkung ist. Diese Erwartung kann
entweder qualitativ (z. B. gross, mittel, klein), oder quantitativ (Prozentzahl zwischen 0 und 100)
angegeben werden. Gelegentlich werden Ereignisse auf ein Zeit- oder Längenmass bezogen,
in welchem sie mehrmals auftreten (z. B. Anzahl der Niederbrüche je 1’000 m). In solchen
Fällen spricht man nicht von einer Eintrittswahrscheinlichkeit, sondern von einer Häufigkeit H.
Die Auswirkung A gibt das Ausmass bei Eintritt eines Ereignisses an und kann ebenfalls
qualitativ oder quantitativ (deterministisch oder probabilistisch) – meistens in Geld- oder
Zeiteinheiten – ausgedrückt werden. Wenn die Auswirkung einen Nutzen (z. B. BaukostenBauzeiteinsparung) darstellt, ist das Ereignis eine Chance. Ist die Auswirkung hingegen ein
Schaden, stellt das Ereignis eine Gefahr dar. Der Wert des Risikos R eines Ereignisses ist das
Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit oder Häufigkeit und Auswirkung und gibt die Intensität
des Risikos an.
Für die Bewertung von Katastrophenereignissen findet man in der Literatur sehr oft eine
Aversionsgrösse a > 1, welche zur Folge hat, dass die Auswirkung stärker gewichtet wird als
die Eintrittswahrscheinlichkeit.
R = W ⋅ A a bzw. R = H ⋅ A a
(3.3)
Dieser Exponent ist sehr umstritten und wird deshalb in dieser Arbeit nicht berücksichtigt.55 Die
Bestimmung von Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung eines Ereignisses im
Tunnelbau ist aufgrund fehlenden statistischen Materials sehr oft nicht möglich, sodass auf
Expertenwissen zurückgegriffen werden muss.
54
55
SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit und Zuverlässigkeit, 1996], S. 13
KRÖGER, W., SEILER, H., ADRIAN, G., [Technik, Risiko und Sicherheit, 1996], S. 7
18
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
3.1.1.4 RISIKOMASSE
Das Risiko eines Ereignisses kann wie in Kapitel 3.6.2 dargestellt qualitativ oder quantitativ
(deterministisch mit Erwartungswerten oder probabilistisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen)
ermittelt werden. Bei der probabilistischen Risikoberechnung stellt sich die Frage, welcher
Risikowert betrachtet werden soll. Beispielsweise für den Vergleich der Gesamtrisiken von
verschiedenen zur Auswahl stehenden Tunnellinienführungen oder für die Bestimmung der
Kosten eines Risikos.
Der Mittelwert µ (Erwartungswert)56 des Risikos ist einfach zu berechnen, und das
Gesamtrisiko resultiert aus der Summe aller Mittelwerte der einzelnen Risiken. Dieses
Risikomass ist aber ungenügend, da die Form der Risikoverteilung, wie später57 gezeigt wird,
unberücksichtigt bleibt. Mit der gemeinsamen Betrachtung von Mittelwert und Varianz Var bzw.
Standardabweichung σ58 können Risiken besser beschrieben werden. Dieses Vorgehen ist
jedoch zu Vergleichszwecken schwierig in der Handhabung. Man betrachte hierfür zwei
Kombinationen dieser Risikomasse: Einmal ist der Mittelwert gleich 10’000 und die Standardabweichung gleich 1’000, und ein anderes Mal ist der Mittelwert gleich 9’000 und die
Standardabweichung gleich 2’000. Die Frage ist nun, welches Risiko geringer ist. Hinzu kommt,
dass es weitere statistische Momente59 gibt, die ebenfalls entscheidend sind für die Form der
Risikoverteilung.
Ein Risikomass, das einfach ist in der Ermittlung und die Form der Risikoverteilung
berücksichtigt, ist der Value-at-Risk VaR.. Der VaR wird im Risikomanagement häufig
verwendet, beispielsweise beruht die Höhe des notwendigen Eigenkapitals für Banken nach
Basel II auf diesem Risikomass. Der VaR kann mit dem p-Quantil xp60 verglichen werden und ist
mathematisch folgendermassen definiert:61
VaRp (X) = inf {x ∈ R : P ( X > x ) ≤ 1− p} = inf {x ∈ R : P ( X ≤ x ) ≥ p}
mit 0 < p < 1
(3.4)
Der VaR von X zum Konfidenzniveau p62 charakterisiert den kleinsten Wert x, wobei die
Wahrscheinlichkeit, dass das Risiko X diesen Wert x überschreitet, nicht grösser als 1–p ist.
In Bild 3.3 und Bild 3.4 ist der VaR zum Konfidenzniveau p=80% eines Einzelrisikos dargestellt.
Welcher Prozentsatz für das Konfidenzniveau verwendet wird, muss von den Projektbeteiligten
im Rahmen der PRM-Vorbereitung63 festgelegt werden. Der Autor schlägt den VaR zum
Konfidenzniveau p von 95% vor und orientiert sich an zahlreichen technischen Normen, die
Kennwerte auf die 5%- bzw. 95%-Quantile (-Fraktile) beziehen.
56
57
58
59
60
61
62
63
Siehe Anhang C.4.1
Siehe Kapitel 8.10
Siehe Anhang C.4.2
Siehe Anhang C.4
Siehe Anhang C.5
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 38
Der Begriff stammt eigentlich aus der mathematischen Statistik, hat aber in Bezug auf den VaR eine
andere Bedeutung.
Siehe Kapitel 8.2
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
19
Dieses Risikomass hat im Rahmen der Risikoaggregation64 einen Nachteil: Es gewährleistet
keine Subadditivität. Die Subadditivität besagt, dass der VaR aus der Summe der
Einzelrisiken Xi kleiner oder gleich der Summe der VaR der Einzelrisiken ist.
n
VaRp(
∑
i =1
Xi ) ≤
n
∑ VaRp(Xi ).
(3.5)
i =1
Durch diese Nicht-Subadditivität ist nicht immer gegeben, dass der VaR aus der Summe der
Einzelrisiken Xi maximal wird, wenn abhängige Ereignisse perfekt positiv korreliert sind.65
Beispielsweise kann dies bei der Aggregation von stark schiefen Risikoverteilungen auftreten.
Für elliptische Verteilungen (Normalverteilung, STUDENTS t-Verteilung)66 ist die Subadditivität
stets vorhanden. Eine weitere interessante Ableitung der Nicht-Subadditivität ist, dass die
Aussage der Portfoliotheorie nach MARKOWITZ (z. B. ein Projektportfolio), das Gesamtrisiko
könne durch Diversifikation vermindert werden, bei Anwendung des VaR nicht immer zutrifft. Im
Anhang (Kapitel A.3.3) ist ein Beispiel angeführt, das den Einfluss der Nicht-Subadditivität
aufzeigt.
Ein Risikomass, das die Subadditivität erfüllt, stellt der Conditional Value-at-Risk CVaR (auch
Expected Shortfall ES genannt) dar. Dieses Risikomass ist definiert als:67
(
)
CVaRp (X) = E X I X > VaRp (X)
(3.6)
Der CVaR ist jener Wert, der erwartet werden kann, wenn der VaR zum Konfidenzniveau p
überschritten wird. Im Gegensatz zum VaR, wird ein weiter aussen liegender Bereich der
Risikoverteilung betrachtet.
In Bild 3.3 ist der CVaR zum Konfidenzniveau von p=80% für ein Projektrisiko abgebildet.
Dieser ist grösser oder gleich dem VaR. Die Höhe der Differenz hängt von der Ausbildung der
Risikoverteilung im Randbereich ab.
64
65
66
67
Siehe Kapitel 8.10
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Correlation and dependence, 1999], S. 25
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Correlation and dependence, 1999], S. 25
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 45
20
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Bild 3.3: Wahrscheinlichkeitsfunktion eines Projektrisikos mit Darstellung des Erwartungswertes, des VaRp68 und des CVaRp69
Bild 3.4
Verteilungsfunktion eines Projektrisikos mit Darstellung des VaRp
Der Vorteil gegenüber dem VaR zum Konfidenzniveau p ist, dass der CVarR bei der
Risikoaggregation maximal wird70, unter der Annahme, dass abhängige Ereignisse perfekt
positiv linear korreliert sind. Der Nachteil ist, dass der CVaR bei langschwänzigen Verteilungen
viel grösser (z. B. doppelt so gross) werden kann als der VaR.
Die Wahl des zu verwendenden Risikomasses ist von der Risikoneigung71 des jeweiligen
Entscheidungsträgers abhängig. Es kann durchaus sinnvoll sein, beide Risikomasse zu
verwenden (z. B. als Entscheidungshilfe bei Alternativen).
68
69
70
71
Siehe Kapitel 3.1.1.4
Siehe Kapitel 3.1.1.4
Siehe Kapitel 8.10
Siehe Kapitel 8.2
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
3.1.2
21
DER BEGRIFF „MANAGEMENT“
Management kann sowohl als Funktion als auch als Institution aufgefasst werden.72
Die funktionale Begriffsdefinition, die dieser Arbeit zugrunde liegt, beschreibt die Gesamtheit
aller Aufgaben, deren Inhalt die Planung, Organisation, Führung und Kontrolle von Systemen
zur optimalen Erfüllung vorgegebener Ziele ist. Die Ziele dieser Managementaufgaben können
z. B. als Leistungswerte, Qualitätswerte, Termine und Kosten vorgegeben werden.
Der institutionelle Managementbegriff umfasst jene Personen, denen die Ausführung der
Managementaufgaben obliegt. Das St. Galler Management-Modell73 unterteilt den institutionellen Begriff in drei Ebenen: die normative, die strategische und die operative. Die normative
Ebene beschäftigt sich mit der Unternehmensphilosophie (Zweck, Prinzipien), die strategische
Ebene entwickelt Strategien, die auf die Unternehmensphilosophie ausgerichtet sind, und die
operative Ebene setzt diese Strategien um. Für eine Unternehmung (Stammorganisation) sind
alle drei Ebenen relevant, während bei einer Projektorganisation der strategischen und der
operativen Ebene die grössere Bedeutung zukommt.
3.2
BAUPROJEKTSPEZIFISCHE BEGRIFFE
3.2.1
BAUPROJEKTABLAUF
Der Bauprojektablauf wird in überschaubare Abschnitte gegliedert, so genannte Projektphasen,
die logisch und zeitlich voneinander getrennt sind. In jeder Projektphase wird ein Ziel erreicht,
das als Grundlage für die darauf folgende Phase dient. Die SIA 19774 unterteilt den
Projektablauf – in Anlehnung an die SIA 11275 und SIA 26076 – in drei Projektphasen bzw. in
neun Teil-Projektphasen, deren Terminologie und Leistungsinhalt z. T. in dieser Arbeit
übernommen wird.
72
73
74
75
76
In Anlehnung an STAEHLE, W. H., CONRAD, P., [Management, 1994], S. 69 und BRANDENBERGER, J.,
RUOSCH, E., [Projektmanagement, 1996], S. 12
RÜEGG-STÜRM, J., [St. Galler Management-Modell, 2002], S. 71
SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004]
SIA 112, [Leistungsmodell, 2001]
SIA 260, [Projektierung von Tragwerken, 2003]
22
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Tabelle 3.1:
3.2.2
Projektphasen77
DIE BEGRIFFE „AUFTRAGGEBER“ UND „AUFTRAGNEHMER“
An einem Bauprojekt sind zahlreiche Personen bzw. Organisationen beteiligt. Generell kann
zwischen Auftraggeber und Auftragnehmer unterschieden werden.
In dieser Arbeit ist der Auftraggeber der Bauherr, der das Projekt initiiert und auch realisiert.
D. h., er ist neben dem Projektmanagement im Rahmen der einzelnen Projektphasen auch für
die Festlegung von Projektzielen und für die Finanzierung zuständig. Dies ist insofern wichtig,
als in Tunnelbauprojekten häufig zwischen Besteller und Ersteller78 unterschieden wird.
Während der Besteller die Absicht, ein Projekt zu realisieren, kundtut bzw. dessen Realisierung
veranlasst, übernimmt der Ersteller die Bauherrenfunktion. In dieser Arbeit werden Besteller und
Ersteller jedoch als eine juristische Person bzw. Organisation betrachtet. Dieser Tatsache
kommt speziell im Hinblick auf die Risikoteilung eine grosse Bedeutung zu. Bei einer Aufteilung
dieser beiden Rollen würde beispielsweise das Baugrundrisiko immer dem Besteller, etwaige
Planungsrisiken hingegen dem Ersteller übertragen. Natürlich können Risiken vertraglich
weitergereicht werden, sofern der Vertragspartner gewillt ist, diese zu übernehmen. Von dieser
Möglichkeit sei aber erstmal Abstand genommen.
77
78
In Anlehnung an SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004], S. 14; Teilphase Bauausführung wird
zusätzlich zur SIA 197 eingeführt, wobei die Ausführungsprojekt- und die Bausführungsphase parallel
verlaufen können.
in der Literatur wird auch der Begriff Errichter verwendet, siehe ÖGG, [Kostenermittlung für Projekte,
2005], S. 2
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
23
In der Schweiz wird im Rahmen der NEAT-Projekte79 derzeit der Gotthard-Basistunnel realisiert,
welcher bei Fertigstellung der längste Eisenbahntunnel (57 km) der Welt sein wird. Bei diesem
Projekt ist der Bund der Besteller, der der Alptransit Gotthard AG (ATG), die als Ersteller auftritt,
den Auftrag erteilt hat, den Basistunnel zu projektieren und zu erstellen. Ebenfalls im Auftrag
des Bundes vertrat die ATG, als hundertprozentige Tochter der SBB80 AG, bis 2006 auch die
Betreiberinteressen. Die Hauptaufgaben des Erstellers umfassen Projektmanagementtätigkeiten wie Führung, Koordination, Überwachung des Projektes sowie projektbezogene
Kommunikationsaufgaben.
Als Auftragnehmer werden, sofern deren Leistung nicht vom Auftraggeber selbst erbracht
wird, die Projektingenieure, die Fachleute, die Bauleitung (Oberbauleitung, örtliche Bauleitung)
und die ausführenden Unternehmungen bezeichnet. Die Projektingenieure erbringen
Planleistungen technischer und wirtschaftlicher Natur und werden im Zuge ihrer Tätigkeiten
teilweise von Fachleuten (z. B. Geologen, Vermessern, Experten) unterstützt. Die
Projektingenieure und Fachleute begleiten das Projekt teilweise über alle Projektphasen,
während die Bauleitung insbesondere die Leistungs-, Termin-, Kosten- und Qualitätskontrolle
übernimmt und in der Realisierungsphase (Bauausführung) tätig ist. Die ausführenden
Unternehmungen sind vom Auftraggeber vertraglich verpflichtet, eine Bauleistung zu erbringen
und aufgrund unterschiedlicher Unternehmenseinsatzformen81 in eine oder mehrere
Projektphasen eingebunden. In dieser Arbeit wird die Nahtstelle zwischen Bauherrn und
ausführenden Unternehmungen betrachtet. Die Bezeichnung Auftragnehmer bezieht sich somit
immer auf die ausführenden Unternehmungen.
3.2.3
DIE BEGRIFFE „PROJEKT“, „ZIELE“, „RAHMENBEDINGUNGEN“ UND
„PROJEKTANFORDERUNGEN“
In der Literatur finden sich für den Begriff Projekt zahlreiche Definitionen82, deren Inhalt
grossteils deckungsgleich ist. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ein Projekt
gekennzeichnet ist durch:
79
80
81
82
•
Einmaligkeit der Bedingungen in ihrer Gesamtheit
•
Klare Zielvorgaben
•
Komplexität
•
Zeitliche, finanzielle, personelle oder andere Restriktionen
•
Abgrenzung gegenüber anderen Vorhaben
•
Projektspezifische Organisation
•
Interdisziplinarität (fachübergreifende Zusammenarbeit)
Neue Eisenbahn-Alpentransversale
Schweizerische Bundesbahnen
GÖCKE, B., [Risikomanagement von Bauprojekten, 2002], S. 9 f.
DIN 69901, [Projektmanagement, 1987], S. 1; RINZA, P., [Projektmanagement, 1998], S. 3; PATZAK, G.,
RATTAY, G., [Projektmanagement, 2004], S. 18
24
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Die oben angeführten Projektmerkmale treffen auf die meisten Bauvorhaben zu, die somit
Projektcharakter haben. Man spricht daher von Bauprojekten.
Ziele sind gedanklich angestrebte Soll-Zustände. Erst durch deren Festlegung wird eine
effiziente Projektrealisierung ermöglicht. Die Ziele umfassen Aussagen bezüglich der Erstellung,
der Funktion, des Betriebs und der Erhaltung des zu realisierenden Projektes. Sie steuern die
Lösungssuche innerhalb der Rahmenbedingungen und geben dem Projekt eine Sinnhaftigkeit.
Ziele sollen folgende Kriterien erfüllen:83
•
spezifisch statt allgemein
•
messbar und überprüfbar
•
realistisch und erreichbar
•
lösungsneutral
•
mit den verfügbaren Ressourcen kompatibel
Die Rahmenbedingungen84 bilden die Grenzen des zulässigen Lösungsraumes; sie trennen
die zulässigen und machbaren von den unzulässigen und nicht machbaren Lösungen. Sie
stellen keine Ziele dar, sondern sind lediglich eine Beschränkung der Mittel und Wege zur
Erreichung der produkt- und prozessbezogenen Projektanforderungen. Die Rahmenbedingungen werden meist durch gesetzliche, finanzielle, zeitliche, betriebliche und technische
Aspekte festgelegt.
Die durch den Auftraggeber in allgemeiner Form beschriebenen Ziele werden zusammen mit
den Rahmenbedingungen in so genannte Projektanforderungen konkretisiert.
Die Projektanforderungen85 werden in offene und feste Projektanforderungen unterteilt und
jeweils für das Bauwerk und für den Bauprozess formuliert. Während Rahmenbedingungen
immer zu festen Projektanforderungen führen, können Ziele in offene oder feste
Projektanforderungen konkretisiert werden.
Der Zusammenhang zwischen Rahmenbedingungen, Zielen und Projektanforderungen ist in
Bild 3.5 dargestellt:
83
84
85
In Anlehnung an KERZNER, H., [Projektmanagement, 2003], S. 251 ff.
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001], S. 26
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001], S. 26
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Bild 3.5:
25
Ziele, Rahmenbedingungen und Projektanforderungen86
Die offenen Projektanforderungen geben die Stossrichtung des Projektes vor; sie sollten daher
möglichst weitgehend erfüllt werden. Durch die Angabe ihrer Wichtigkeit (z. B. durch Rangfolge
oder Gewichtung) legt der Auftraggeber die Priorität für deren Erfüllung fest. Dies erleichtert die
Steuerung des Projektes bei konkurrenzierenden Projektanforderungen massgeblich.
Die festen Projektanforderungen werden nicht gewichtet, da alle zu 100% erfüllt werden
müssen.
In Bild 3.6 sind die offenen und festen Projektanforderungen für einen Abschnitt des GotthardBasistunnels dargestellt:
86
SCHALCHER, H. R., [Projektmanagement, 2006], S.26; vgl. auch SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im
Bauwesen, 2001], S. 26
26
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
We r
k
Finanzielle Aspekte
Werke
Achse Gotthard
Anschluss
Ostschweiz
Mittel
Minimaler Ressourceneinsatz
Zeitgemässe, sinnvolle
Informatisierung
Bild 3.6:
Ablauforganisation
Kurze, transparente Entscheidungswege
Gesellschaftliche Aspekte
Minimale / minimaler:
- Umweltbeeinträchtigung
- Ressourcenverbrauch
Aufbauorganisation
Eindeutige:
-Aufgaben / Funktionen
- Kompetenzen / Verantwortung
Effizientes Informationswesen
Flache Organisationsstrukturen
Zielorientiertes Projektcontrolling
sb
ezo
,
Zeitliche Aspekte
Einhaltung der:
- Gesetze und Verordnungen
- Normen
- Sorgfaltspflicht
es
a
Minimale:
- Planungsdauer
- Bewilligungsdauer
- Bauzeit
Vorausgesetzte
Projektanforderungen
oz
ne
Minimale:
- Investitionskosten
- Betriebskosten
- Unterhaltskosten
Einhaltung der:
- Leistungen (Bezugsbasen)
- Standards
- Kosten (Bezugsbasen)
- Termine (Bezugsbasen)
Pr
ge
H
d
Vereinbarte Projektanforderungen
(Vereinbarung Bund-AG)
zo
it
o
Maximale:
- Sicherheit
- Gebrauchstauglichkeit
- Zuverlässignkeit
- Dauerhaftigkeit
s be
n
Funktionale Aspekte
M
Maximale
Flexibilität
Rechtzeitige, umfassende Öffentlichkeitsarbeit
gen
e , o f f en
a
rd
nfo
er
u
e
ng
n
Projektanforderung an den Gotthard-Basistunnel (Achse Gotthard und Anschluss
Ostschweiz).87
Der Bund, der als Besteller bei diesem Projekt auftritt, legte zahlreiche Projektanforderungen
wie z. B. die Einhaltung des Kosten- und Terminziels und der vereinbarten Meilensteinen fest,
die für den Ersteller als feste Projektanforderungen gelten. Der Ersteller wiederum wird auf der
Basis dieser Vorgaben und der vorherrschenden Randbedingungen weitere Projektanforderungen festlegen, die der Ersteller für die Zielerreichung als wichtig erachtet. Diese können
ebenfalls in feste oder offene Projektanforderungen münden.
3.3
RISIKOENTWICKLUNG WÄHREND DER PROJEKTLEBENSDAUER
Die Entwicklung der einzelnen Projektrisiken während der gesamten Projektdauer ist generell
nicht vorhersehbar. Das gesamte Projektrisiko als aggregierte Grösse aller Projektrisiken nimmt
jedoch mit zunehmendem Projektfortschritt ab, da immer mehr Teilleistungen zum Projekt
87
ALPTRANSIT AG, [ATG-Handbuch, 2000], S. 16
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
27
erbracht werden, und sich der Informationsstand bezüglich der technischen, wirtschaftlichen,
organisatorischen und sonstigen Informationen mit zunehmender Projektreife erhöht.88
Bild 3.7:
Zusammenhang zwischen Projektfortschritt, Gesamtprojektrisiko und Informationsstand89
Die Erhöhung des Informationsstandes hängt jedoch nicht ausschliesslich vom Projektfortschritt ab. Vor allem im Tunnelbau kann der Informationsstand bezüglich Angaben über
geologische und geotechnische Eigenschaften mit einem zusätzlichen Kostenaufwand (z. B. für
Erkundungsbohrungen) frühzeitig erhöht werden. Aus Bild 3.8 ist ersichtlich, dass das
Projektrisiko (z. B. geologische Risiken) durch diesen zunehmenden Kosteneinsatz abnehmen
wird; dabei ist aber zu beachten, dass der zusätzliche Informationsgewinn immer geringer wird
und somit auch die erzielte Risikominderung sinkt.
88
89
GUTMANNSTHAL-KRIZANITS, H., [Risikomanagement von Anlagenprojekten, 1994], S. 283
GUTMANNSTHAL-KRIZANITS, H., [Risikomanagement von Anlagenprojekten, 1994], S. 283
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Bild 3.8:
Projektende
Projektrisiko und
Informationsstand
28
Zusammenhang zwischen Kosten, Projektrisiko und Informationsstand90
Im Tunnelbau stellt sich oft die schwierige Frage, welchen Nutzen ein zusätzlicher
Kostenaufwand für das Projekt bringt. Es muss beispielsweise entschieden werden, ob im Zuge
des Vortriebs Kosten und Zeit in Baugrundvorauserkundungen investiert werden sollen oder ob
der aktuelle Informationsstand ausreichend ist. Der projektbezogene RisikomanagementProzess91 dient im Rahmen der Risikoanalyse als Entscheidungshilfe.
3.4
RISIKOFELDER
Ereignisse und somit auch deren Ursachen können den Erfolg eines Projektes auf vielfältige Art
und Weise beeinflussen, sodass im Rahmen einer ganzheitlichen Betrachtung eine
systematische bzw. fokussierende Strukturierung in so genannte Risikofelder zwingend
notwendig ist. Diese Gliederung ist projektphasen- und daher auch zeitraumabhängig und
projektspezifisch. Sie muss daher für jedes Projekt festgelegt werden.
Generell können zwei Arten von Risikofeldern92 angegeben werden: die externen und die
internen Risikofelder. Die externen Risikofelder (z. B. Baugrund, Politik) umfassen Ereignisse
und deren Ursachen, die von den Projektbeteiligten nicht oder nur schwer beeinflusst werden
können, während Ereignisse und Ursachen der internen Risikofelder im Projekt selbst gründen
(z. B. Projektbeteiligte) und dementsprechend leichter beeinflussbar sind.
Eine mögliche Strukturierung der Risikofelder (inkl. Ereignisse und Ursachen) für die
Realisierungsphase eines Tunnelbauprojektes ist in Bild 3.9 ersichtlich.
90
91
92
in Anlehnung an ZETTLER, A. H., POISEL, R., STADLER, G., [Bewertung geologisch-geotechnischer
Risiken, 1996], S. 352
Siehe Kapitel 3.6
in Anlehnung an SCHALCHER, H. R., [Projektmanagement, 2006], S. 104
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Externe Risikofelder
•Baugrund
Geologische, hydrogeologische,
geotechnische Eigenschaften
Bergschlag, Niederbruch, Gas usw.
•Umfeld
Konjunktur
Änderungen von Gesetzen,
Verordnungen, Normen
Stakeholder (Anrainer, Gemeinden usw.)
•Umwelt
Höhere Gewalt (Erdbeben, Lawinen,
Überschwemmungen usw.)
29
Interne Risikofelder
•Bauherr (AG)
Finanzierung
Projektmanagement (Kommunikation,
Organisation usw.)
Planung (Qualität, Fehler, Termine)
Bestellungsänderungen
•Auftragnehmer (AN)
Fehlendes Know-how
Konkurs, Insolvenz, Rücktritt
•Vortrieb
Wahl des falschen Vortriebsverfahrens
Wahl der falschen Ausbruchart
Emissionen (Staub, Lärm usw.)
•Vertrag
Widersprüchliche, fehlende, unvollständige
Vertragsgestaltung
Verschiebung, Abweichung Sicherungsklassen
Mengenänderungen
Bild 3.9:
Risikofelder
(Betrachtungsstandpunkt:
Realisierungsphase)
Bauherr;
Betrachtungszeitraum:
Im Hinblick auf Baukosten- und Bauzeitermittlung muss dem Risikofeld Baugrund bei einem
Tunnelbauwerk besonderes Interesse geschenkt werden, weil daraus während der
Realisierungsphase zahlreiche Gefahren, aber auch Chancen, resultieren können. Aufgrund von
zeitlichen und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen kann im Tunnelbau nie eine vollständige
Baugrunderkundung realisiert werden. Die Folge davon ist oft eine grosse Unkenntnis über die
geologischen, hydrologischen und geotechnischen Eigenschaften, was das Risiko einer
möglichen Abweichung von den tatsächlich angetroffenen Baugrundeigenschaften birgt. Aus
diesen Abweichungen resultiert meist eine Verschiebung der Sicherungsklassen93 bzw. eine
Änderung der Ausbruch- und Sicherungsmassnahmen. Im ungünstigsten Fall treten Ereignisse
auf, die den gesamten Tunnelbauprozess stoppen können.
Die im deutschsprachigen Raum allgemein gültige Rechtsauffassung gliedert das
Baugrundrisiko bei technischen Ausschreibungen (Leistungsverzeichnis) oder funktionalen
Ausschreibungen (Leistungsprogramm) in Zuständigkeitsbereiche für Bauherrn und
Auftragnehmer. Diese Sphärenzuteilung ist in den bekannten deutschsprachigen
Vertragsnormen wie SIA 118, 118/198 (Schweiz), ÖNORM B2110, B2203-1/2 (Österreich), VOB
(Deutschland) nicht immer explizit, sondern in einzelnen Normenparagrafen nur impliziert
vorhanden.
• Der Baugrund gehört grundsätzlich zur Risikosphäre des Bauherrn. Dieser ist für eine
ausreichende Erkundung zuständig und übernimmt die Haftung für die Richtigkeit der
geologischen Beschreibung bzw. Beurteilung. In den Tunnelbauverträgen werden meist
Grenzen angegeben, innerhalb derer sich die Beschaffenheit des Baugrundes ändern darf.
Der Sinn dieser Zuordnung ist darin begründet, dass der Auftragnehmer sein Angebot auf
93
früher Ausbruchklassen. Erst seit SIA 118/198, 2004 in Sicherungsklassen umgeändert.
30
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
der Basis der Baugrundbeschreibung kalkulieren und daher mögliche Risiken erkennen
muss, er den Baugrund aber aus rechtlichen, wirtschaftlichen oder zeitlichen Gründen oft
selbst nicht erkunden kann.94
• Dem Auftragnehmer obliegt die Verantwortung über die sach- bzw. fachgerechte
Behandlung des angetroffenen Baugrundes.95 Er ist somit verpflichtet, seine Kapazitäten
(Baugeräte, Personal, Know-how) so einzusetzen, dass die Erfüllung der Projektanforderungen96 gewährleistet ist.
Bezüglich der Vertragsnormen ist festzuhalten, dass diese nur Gültigkeit haben, wenn sie von
beiden Vertragspartnern als Vertragsbestandteil akzeptiert werden. Sie stellen keine Gesetze97
oder Verordnungen für das Vertragswesen dar, die zwingend eingehalten werden müssen. Die
Normen bilden ein Regelwerk, das ein ausgeglichenes Verhältnis von Rechten und Pflichten
bzw. eine faire Risikoverteilung zwischen den Vertragspartnern gewährleisten soll.
3.5
EREIGNISSE, URSACHEN
Die Unterscheidung zwischen einem Ereignis und einer Ursache ist nicht immer einfach
ersichtlich. Beispielsweise kann das Ereignis Erdbeben auch eine Ursache des Ereignisses
Niederbruch sein. Folglich löst das Ereignis Erdebeben das Folgeereignis Niederbruch aus. Die
Festlegung, ob es sich um eine Ursache oder um ein Ereignis oder sogar um beides handelt,
ist jedoch nicht von zentraler Bedeutung. Viel wichtiger ist, dass die Modellierung der jeweiligen
Ursache-Wirkungs-Ketten schlüssig abgestimmt ist. Beispielsweise kann in der Realisierungsphase das Erdbeben als Ereignis aufgefasst werden, dessen Auswirkung neben zahlreichen
anderen Schäden (z. B. Schäden an der Baustelleneinrichtung) auch Schäden aus dem
Folgeereignis „Niederbruch“ umfasst. Dem Ereignis „Niederbruch“ selbst, das unabhängig vom
Ereignis „Erdbeben“ betrachtet wird, werden nur geologische, hydrogeologische und
geotechnische Ursachen unterstellt und die entsprechenden denkbaren Auswirkungen
zugrunde gelegt.
In Bild 3.10 sind zahlreiche Möglichkeiten dargestellt, wie Ereignisse E und Ursachen U aus
verschiedenen Risikofeldern zusammenhängen und Projektanforderungen PA beeinflussen
können. Ereignisse, die Folgereignisse auslösen, werden dabei als Ursache des Folgeereignisses definiert.
94
95
96
97
In Anlehnung an GIRMSCHEID, G., [Projektabwicklung in der Bauwirtschaft, 2004], S. 226 f
DAUB, [Risikoverteilung in Tunnelbauverträgen, 1998], S. 50
Siehe Kapitel 3.2.3
Beispielsweise in der Schweiz das OGR (Obligationenrecht), in Österreich das ABGB (allgemeines
bürgerliches Gesetzbuch), in Deutschland das BGB (bürgerliches Gesetzbuch)
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Projektphase X
Projektphase Z
Projektphase Y
Externe Risikofelder
U1I
31
Risikofeld 1
EI1
UE3
EE3
E1E
UE5
UE6
EI3
EI5
Legende:
UIi Ursache i (intern)
EIi Ereignis i (intern)
I
U10
Risikofeld 4
UI3
UI8
Risikofeld 2
UE4
Risikofeld 3
UI6
UI7
U1E
UI2
UE2
Interne Risikofelder
EE4
UI9
E
EE5 E 2
UI4
UI5
EI2
EI4
UEi Ursache i (extern)
EEi Ereignis i (extern)
EI6
A Auswirkung
Risikofeld 5
PA Projektanforderung
Auswirkungen
feste Projektanforderungen offene Projektanforderungen
Bild 3.10:
Externe und interne Risikofelder mit zahlreichen Ereignissen und Ursachen
In Bild 3.10 ist ersichtlich, dass Ursachen aus früheren Projektphasen und Ursachen aus
verschiedenen Risikofeldern Ereignisse in der betrachteten Projektphase auslösen können.
Nachfolgend werden für die Realisierungsphase einige Ursache-Wirkungs-Ketten (Szenarien)
des Bildes mit Beispielen versehen.
Szenario 1:
Überlastung des Planungsteams (Kapazitätsengpass)
UI1 (Risikofeld Bauherr)
Fehlendes Know-how in der Planung
UI2 (Risikofeld Bauherr)
Planungsfehler (unzureichende Bewehrung)
E1I (Risikofeld Bauherr)
Innenschale (Verformung stärker als geplant)
A
Gebrauchstauglichkeit , Einhaltung der Baukosten und Bauzeit
PA
Szenario 2:
Zahlungsunfähigkeit des Auftragnehmers
UI3 (Risikofeld AN)
Konkurs des Auftragnehmers
EI2 (Risikofeld AN)
Baustopp
A
Einhaltung der Bauzeit und Baukosten
PA
Szenario 3:
Unzutreffende geologische Verhältnisse
U1E (Risikofeld Baugrund)
Unzweckmässige Bauhilfsmassnahme
UI4 (Risikofeld Vortrieb)
Wassereinbruch im Zuge des Vortriebs
E1E (Risikofeld Baugrund)
Überflutung der Baustelle (Ortsbrust)
A
32
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Baustellensicherheit, Einhaltung der Baukosten und Bauzeit
PA
Szenario 4:
Emissionen
UI5 (Risikofeld Vortrieb)
Auflagen durch Behörden
EE2 (Risikofeld Umfeld)
Verkürzung der Arbeitszeit (Reduzierung der Emissionsbelastung)
A
Einhaltung der Baukosten und Bauzeit
PA
Szenario 5:
Unvollständige, unpräzise Ausschreibung
UI6 (Risikofeld Bauherr)
Bestellungsänderung des Bauherrn/Nutzers
UI7 (Risikofeld Bauherr)
Zusätzliche Leistungen erforderlich
EI3 (Risikofeld Bauherr)
Nachträge durch Auftragnehmer
A
Einhaltung der Baukosten und Bauzeit
PA
3.6
DER PROJEKTBEZOGENE RISIKOMANAGEMENTPROZESS
Die Verknüpfung von Projekt, Risiko und Management liefert das projektbezogene
Risikomanagement (PRM). Dabei handelt es sich um eine Disziplin des Projektmanagements,
die einen systematischen Kreislauf, bestehend aus einzelnen Teilprozessen, darstellt und
projektbegleitend durchgeführt wird. Zweck des PRM-Prozesses ist, Ereignisse auf Projektebene zu identifizieren, zu analysieren (bewerten u. beurteilen), zu behandeln und zu
überwachen bzw. deren Entwicklung zu steuern. Das Hauptziel eines effizienten PRM ist die
pro-aktive und nicht reaktive Begegnung möglicher Ereignisse und die damit verknüpfte
Erfüllung der Projektanforderungen.
Die Durchführung des PRM sollte für alle Projekte, unabhängig von deren Umfang und
Komplexität, so früh als möglich beginnen, spätestens in der Phase der Vorprojektierung. So
können etwaige identifizierte Ereignisse in die Planung bzw. in die Vertragsunterlagen
einbezogen werden. Der PRM-Prozess ist keine einmalige Aktivität, sondern wiederholt sich
innerhalb der Projektlebensdauer periodisch. Beispielsweise aufgrund eines höheren
Informationstandes im Zuge einer neuen Projektphase, bei nicht planmässigem Eintritt von
Ereignissen (z. B. Bergschlag) oder bei Nichtgreifen einer festgelegten Risikomassnahme.
Das PRM sollte nicht von einer einzelnen Person, sondern in einem Team durchgeführt werden.
So kann einerseits ein Pool mit grösserem Erfahrungsschatz generiert werden und andererseits
eine Selbstkontrolle im Risikomanagement sichergestellt werden. Eine gute Kommunikation
und enge Zusammenarbeit im Projektteam sind wichtig, da nur so Ereignisse ganzheitlich
erfasst und im Projektverlauf wirksam behandelt werden können.98
Nachfolgend werden die Teilprozesse des PRM in Anlehnung an SCHALCHER99 erörtert. Die
Methoden bzw. Instrumente der einzelnen Prozessschritte werden ebenfalls aufgezeigt, wobei
98
99
LITKE, H.-D., [Projektmanagement, 2005], S. 582
SCHALCHER, H. R., [Projektmanagement, 2006], S. 112 ff.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
33
bezüglich des genauen Ablaufs der einzelnen Methoden bzw. Instrumente auf zahlreiche
Arbeiten verwiesen wird.
In Bild 3.11 ist die Verknüpfung der einzelnen Prozesse des PRM dargestellt:
Risikoidentifikation
• Ursache
• Ereignisse
(Gefahren u. Chancen)
• Auswirkungen
Risikobehandlung
•Risikostrategie
•Risikomassnahme
Risikocontrolling
Risikoanalyse
• Risikoüberwachung
• Risikosteuerung
• Risikodokumentation
Risikobewertung
• Eintrittswahrsch./
Häufigkeit abschätzen
• Auswirkung abschätzen
Risikobeurteilung
• akzeptierbares Risiko
festlegen
• Klassierung
Bild 3.11:
Projektbezogener Risikomanagementprozess
Der PRM-Prozess weist eine Kreislaufcharakteristik auf und bietet zahlreiche verschiedene
Möglichkeiten, die einzelnen Teilprozesse miteinander zu verbinden. Zur Illustration soll
folgendes Szenario dargestellt werden.
Der PRM-Prozess beginnt immer mit der Risikoidentifikation, der dann die Risikobewertung, die
Risikobeurteilung und die Risikobehandlung nachgeschaltet werden. Das Ereignis wird in
Abhängigkeit mit der Risikomassnahme erneut bewertet und beurteilt. Durch die gewählte
Risikomassnahme, deren Wirksamkeit noch nicht bekannt ist, können neue Ereignisse
entstehen. Der Prozess beginnt somit von neuem. Die Wirksamkeit der Risikomassnahme ist
erst in der Phase des Risikocontrollings ersichtlich. Es lässt sich z. B. beobachten, dass die
Risikomassnahme nicht greift, dass das Ereignis falsch bewertet und daher falsch beurteilt
wurde oder dass neue Ereignisse entstanden sind und somit eine Wiederholung des
Kreislaufes erforderlich ist.
3.6.1
RISIKOIDENTIFIKATION
Die Risikoidentifikation dient der möglichst vollständigen Erfassung von internen und externen
Ereignissen, welche einen Einfluss auf die Projektanforderungen haben können. Zusätzlich zu
den identifizierten Ereignissen sind auch deren Ursachen, Auswirkungen (Ursache-Wirkungs-
34
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Kette100) und Abhängigkeiten untereinander festzuhalten. Die Ursachen, Auswirkungen und
Abhängigkeiten sind im Hinblick auf eine sinnvolle Risikobewertung und für eine wirkungsvolle
Risikomassnahme von grosser Wichtigkeit. Es ist von Vorteil, die Gefahren- und Chancenidentifizierung getrennt voneinander durchzuführen, da sich das Projektteam so konzentriert der
jeweiligen Suchrichtung widmen kann.
Aus Bild 3.2 lassen sich zwei Vorgehensweisen für die Risikoidentifikation ableiten:
• Ursachenbezogen: Es werden alle möglichen Ursachen aufgegriffen und mögliche
Ereignisse und deren Auswirkungen, die die Projektanforderungen beeinflussen können,
daraus abgeleitet. Es kann vorkommen, dass Ursachen verschiedenen Ereignissen
zugeordnet werden können und Ereignisse mehrere Projektanforderungen beeinflussen.101
Dies gilt auch für die nächsten Vorgehensweisen.
• Ereignisbezogen: Es werden alle möglichen Ereignisse festgehalten und deren Ursachen
und Einfluss auf die jeweilige Projektanforderung abgeleitet. Diese Vorgehensweise kommt
in der Praxis am häufigsten zur Anwendung.
Den Projektbeteiligten muss klar sein, dass Ereignisse weitere Ereignisse auslösen und somit
deren Ursache bilden können. Daher müssen verschiedene Szenarien (Ursache-WirkungsKetten102) durchgespielt und dabei mögliche Ereignisse antizipiert werden. Alle identifizierten
Ereignisse müssen, unabhängig von ihrer Risikointensität103, erfasst werden, da sie
Folgeereignisse mit grösserer Intensität verursachen können. Im Zuge einer der Risikobeurteilung wird dann zwischen relevanten und irrelevanten unterschieden.
Ereignisse, die nicht erkannt werden, können auch nicht bewertet und behandelt werden.
Diesem Prozessschritt muss deshalb genügend Zeit gewidmet werden, wobei eine vollständige
Erfassung unmöglich ist. Daher muss die Risikoidentifikation gemeinsam mit anderen
Risikomanagement-Teilprozessen in jeder Projektphase (unterschiedlicher Informationsstand
und eventuell neue Randbedingungen) periodisch durchgeführt werden.
In Bild 3.12 sind mögliche kreative und systematische Methoden der Risikoidentifikation104 im
Tunnelbau dargestellt. Meist werden Methoden aus beiden Gruppen miteinander kombiniert.
Für eine vollständige Betrachtungsweise wird mit einer kreativen Methode begonnen und mit
einer systematischen Methode abgeschlossen.
100
101
102
103
104
Siehe Bild 3.2
Siehe Beispiel in Bild 3.2
Siehe Bild 3.2
Siehe Kapitel 3.1.1.3
Eine sehr gute Beschreibung der Methoden findet sich in GUTMANNSTHAL-KRIZANITS, H.,
[Risikomanagement von Anlagenprojekten, 1994], S. 295 ff.; SCHNORRENBERG, U., GOEBELS, G.,
RASSENBERG, S., [Risikomanagement in Projekten, 1997], S. 25 ff.; BUSCH, T. A., [Risiko in
Generalunternehmen, 2003], S. 77 ff.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Kreative
Methoden
Systematische
Methoden
• Pondering
• Checklisten
• Brainstorming
• Projektdokumenteanalyse
• Brainwriting
• Mind Mapping
35
• Studium ähnlicher Projekte
(Analogieverfahren)
• örtliche Besichtigungen
• Fachliteraturstudium
Bild 3.12:
Methoden der Risikoidentifikation
Die Ergebnisse (Ereignisse, Ursachen, Auswirkungen, Abhängigkeiten) der Risikoidentifikation
bilden die Eingangsdaten für den nächsten Teilprozess des Risikomanagements, die Risikoanalyse.
3.6.2
RISIKOANALYSE (RISIKOBEWERTUNG, RISIKOBEURTEILUNG)
Die Risikoanalyse besteht aus der Risikobewertung und der Risikobeurteilung.
Die Risikobewertung dient der Ermittlung des Risikowertes R bzw. der Bewertung der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der Auswirkung der identifizierten Ereignisse und bildet
gleichzeitig die Grundlage für eine erforderliche Risikomassnahme. Die Bewertung der
Ereignisse erfolgt auf der Basis der identifizierten Ursachen-Wirkungs-Ketten105. Die
Quantifizierung beider Teilkomponenten des Risikos erweist sich aufgrund des
Informationsmangels in frühen Projektphasen, fehlender historischer Daten oder der
Abhängigkeit einzelner Ereignisse als sehr schwierig. Die Quantifizierung von
Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung fordert deshalb von den Projektbeteiligten ein
grosses Know-how und viel Fingerspitzengefühl. Hinzu kommt, dass Auswirkungen von
Ereignissen häufig gar nicht gemessen werden können (z. B. fehlerhaftes Projektmanagement).
Die quantitative Beschreibung der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit erfolgt mit einem
Erwartungswert bzw. einer diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion; die Auswirkungen bei
Ereigniseintritt können ebenfalls deterministisch mit einem Erwartungswert oder probabilistisch
mit einer diskreten bzw. stetigen Verteilung (meistens rechtsschief106) angegeben werden.107
Zu Beginn der Risikobewertung werden mit Hilfe der qualitativen Methoden (beschreibende
Bewertung des Risikos bzw. der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der Auswirkung)
Ereignisse mit grosser Risikointensität identifiziert, die nachfolgend detaillierter betrachtet,
eventuell quantifiziert und behandelt werden. Um das Gesamtrisiko eines Projektes, das sich
aus der Aggregation108 zahlreicher Projektrisiken zusammensetzt und meist in Geld- oder
Zeiteinheiten angegeben wird, zu ermitteln, müssen die relevanten Risiken quantifiziert werden.
105
106
107
108
Siehe Kapitel 3.4
Siehe Anhang C.4.3
Siehe Anhang C.3.1, Anhang C.3.2 und Kapitel 8.6.1
Siehe Kapitel 8.10
36
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT
ISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
Die Risikobewertung wird für Ereignisse, die eine Risikomassnahme erfordern, erneut durchgeführt. Dadurch wird überprüft, ob das Ziel einer ausreichenden Risikobehandlung (unterhalb
der Risikoakzeptanzgrenze) erreicht wurde und der Aufwand der Risikomassnahme in einem
akzeptabeln Verhältnis zum Nutzen steht. Falls das Restrisiko noch immer nicht vertretbar ist,
kann ein Projektverzicht seitens der Projektbeteiligten in Betracht gezogen werden.
Die wichtigsten Methoden109 der Risikobewertung sind in Bild 3.13 ersichtlich, wobei die
Bayes’schen Netze in Kapitel 3 und die Monte-Carlo-Simulation in Kapitel 6 detaillierter erläutert
werden.
Qualitative
Methoden
Quantitative
Methoden
• Delphi-Methode
• Bayes‘sche Netze
• FMEA (Failure Mode
and Effects Analysis)
• Monte-Carlo-Simulation
• Delphi-Methode
• Fehlerbaum-Analyse
• Ereignisbaum-Analyse
• Ursache-Folge-Analyse
Bild 3.13:
Methoden der Risikobewertung
Betreffend die quantitativen Methoden muss beachtet werden, dass die Rechenergebnisse eine
Genauigkeit vortäuschen, die aufgrund der Ungenauigkeit der Eingangsparameter nicht
gegeben sein kann. Diese Tatsache sollte jedem Projektbeteiligten bewusst sein.
Die Risikobeurteilung bildet den Übergang zwischen der Risikobewertung und der
Risikobehandlung und hat zum Ziel, die Erforderlichkeit von Massnahmen für die einzelnen
Ereignisse aufzuzeigen. Die Behandlungsnotwendigkeit der identifizierten Ereignisse wird
massgeblich durch die Risikoneigung des Projektbeteiligten (z. B. Bauherr) bestimmt.110
Generell werden Ereignisse mit geringer Eintrittswahrscheinlichkeit und grosser Auswirkung als
weniger bedrohlich empfunden als Ereignisse mit grosser Eintrittswahrscheinlichkeit und
geringer Auswirkung. Diese Einschätzung ist jedoch gefährlich, denn auch der Eintritt harmlos
erscheinender Ereignisse kann das gesamte Projekt zum Scheitern verurteilen. Durch konsequente Anwendung des versicherungs-mathematischen Ansatzes kann diese Fehleinschätzung
verhindert werden.
Die Literatur kennt zahlreiche Methoden111 der Risikobeurteilung, die in Bild 3.14 dargestellt
sind:
109
110
111
Beschreibung der Methoden finden sich in PATZAK, G., RATTAY, G., [Projektmanagement, 2004], S. 240
ff.; SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit und Zuverlässigkeit, 1996], S. 114 ff.; SCHNORRENBERG,
U., GOEBELS, G., RASSENBERG, S., [Risikomanagement in Projekten, 1997], S. 43 ff.
Siehe Kapitel 8.2
Beschreibung der Methoden finden sich in SCHNORRENBERG, U., GOEBELS, G., RASSENBERG, S.,
[Risikomanagement in Projekten, 1997],S. 113 ff.; SCHALCHER, H. R., [Projektmanagement, 2006], S.
111
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
37
Risikobeurteilung
Methoden
• Risikomatrix
• Risikoportfolio
• ABC-Analyse
• Equi-Risk-Contour
Bild 3.14:
Methoden der Risikobeurteilung
Die Resultate der Risikoanalyse werden dem nächsten Schritt des Kreislaufes, der Risikobehandlung, zugeführt.
3.6.3
RISIKOBEHANDLUNG
Im Zuge der Risikobehandlung wird entschieden, mit welcher Risikostrategie den Ereignissen,
die aufgrund der Risikobeurteilung einer Massnahme bedürfen, begegnet werden soll und
welche Risikomassnahme der gewählten Risikostrategie zugrunde gelegt wird bzw. in wessen
Verantwortungsbereich die Umsetzung der Risikomassnahmen und die Überwachung und
Steuerung der Risiken liegen. Zusätzlich werden Frühwarnindikatoren zur Risikoüberwachung
und -steuerung angegeben, die den Projektbeteiligten vor Eintritt des Ereignisses Handlungsspielraum geben sollen.
Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten der Risikobehandlung: die ursachenbezogene und die
wirkungsbezogene.112
• Die ursachenbezogene bzw. präventive Risikobehandlung soll das Risiko vermeiden oder
verringern. Die Risikovermeidung beinhaltet die Eliminierung des Risikos unter
gleichzeitiger Aufgabe der Nutzung vorhandener Chancen. Mathematisch113 betrachtet wird
die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit bzw. die Auswirkung des Ereignisses auf 0
gebracht. Diese Strategie kommt für den Bauherrn hauptsächlich in frühen Projektphasen
von Tunnelbauprojekten zur Anwendung. Beispielsweise wird durch eine geeignete
Linienführung die Durchquerungen von Störzonen vermieden, während im Zuge der
Realisierungsphase die Vermeidung von Risiken fast unmöglich und meist mit einem hohen
Kosten- bzw. Zeitaufwand verbunden ist. Im schlimmsten Fall kann dies zu einem
Projektabbruch führen. Ist eine Risikovermeidung nicht möglich, wird versucht, die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und oder die Auswirkungen bei Ereigniseintritt mittels
Risikoverminderung zu reduzieren, wobei wiederum der Nutzen der Risikomassnahme
dem Aufwand gegenüberzustellen ist. Die Risikomassnahmen im Zuge der
Projektrealisierung sind meistens baulicher (z. B. Ausbruch- und Sicherungsmassnahmen,
Fluchtstollen), technischer (z. B. Baumethode, Beleuchtungen, Löscheinrichtungen),
organisatorischer (z. B. Qualifikation von Auftragnehmer, geotechnische Messungen) und
personeller Natur (z. B. Schutzausrüstung, Belehrungen).
112
113
GUTMANNSTHAL-KRIZANITS, H., [Risikomanagement von Anlagenprojekten, 1994], S. 356 ff.
Siehe Kapitel 3.1.1.3
38
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
• Bei der wirkungsbezogenen oder korrektiven Risikobehandlung wird der Eintritt des
Ereignisses bewusst in Kauf genommen und die Auswirkungen entweder abgewälzt oder
selbst übernommen. Meist werden die ursachenbezogenen Behandlungsinstrumente den
wirkungsbezogenen vorgeschaltet. Die Risikoüberwälzung erfolgt anhand von Verträgen
auf Versicherer114 (z. B. Bauwesenversicherung, Bauherrenhaftpflichtversicherung) oder auf
am Projekt beteiligte Parteien. Das Risiko kann vollständig oder teilweise auf den
Vertragspartner überwälzt werden. Im Tunnelbau werden sehr häufig Risken teilweise
überwälzt, hier werden Grenzwerte vertraglich festgelegt (z. B für das geologisch bedingte,
nicht vermeidbare Überprofil115), die die Sphärenzuordnung genau regeln. Bei der
vollständigen Überwälzung werden mit dem Risiko verbundene Chancen an den
Vertragspartner zur Gänze abgetreten. Weiter muss berücksichtigt werden, dass die vom
Vertragspartner (z. B. Versicherer, Projektbeteiligte) übernommenen Risiken Mehrkosten für
das Projekt bedeuten können. Zum Beispiel wird ein Auftragnehmer versuchen, die
Auswirkungen eines übernommenen Risikos durch Erhöhung seines Angebotpreises
auszugleichen. Generell kann gesagt werden, dass Vertragspartner jene Risiken
übernehmen sollen, die sie beherrschen können. Die Beherrschbarkeit von Risiken ist
abhängig von der möglichen Risikotragfähigkeit und der Einflussmöglichkeit auf übernommene Risiken. Risiken, die keine Risikobehandlung erfahren bzw. nicht sinnvoll
vermieden, vermindert oder abgewälzt werden können (z. B. Zielverfehlung des Bauwerks,
Überschreitung des Projektbudgets), müssen vom Bauherrn übernommen werden. Dies
kann bewusst oder auch unbewusst durch Eintreten von nicht identifizierten Ereignissen
geschehen.
Bild 3.15 zeigt eine mögliche Kombination einzelner Risikostrategien für den Bauherrn zur
Risikobehandlung auf Projektebene, wobei nach jeder Massnahme das Gesamtrisiko verringert
wird. Das Gesamtrisiko nach der Risikobehandlung ist somit das dem Bauherrn noch
verbleibende bzw. das von ihm übernommene Risiko.
114
115
In LINK, D., [Risikobewertung von Bauprozessen, 1999], S. 43 ff. sind zahlreiche Versicherungsarten
angeführt, ebenso in BRANDENBERGER, J., RUOSCH, E., [Projektmanagement, 1996], S. 205 ff.
SIA 118/198, [Allgemeine Bedingungen für Untertagbau, 2004], S. 28 f.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
39
vermindern
•Änderung
Linienführung
überwälzen
Risiko der identifizierten Ereignisse (ohne Risikomassnahme)
Risiko der nicht identifizierten Ereignisse
Bild 3.15:
übernommen
GESAMTRISIKO
GESAMTRISIKO
(nach
Risikobehandlung)
(nach Risikobehandlung)
• bauliche,
technische,
organisatorische, • auf Bauunternehmer u. Planer
personelle
Massnahmen
• Abschluss von
Versicherungen
(Bauherrenhaftpflicht-, Bauwesenversicherung)
RESTRISIKO
RESTRISIKO
Risikoder
deridentifizierten
identifiziertenEreignisse
Ereignisse
Risiko
(mitRisikomassnahme)
Risikomassnahme)
(mit
GESAMTRISIKO
GESAMTRISIKO
(vorRisikobehandlung)
Risikobehandlung)
(vor
vermeiden
Vorgehensweise bei einer Risikobehandlung116
Für die Wahl der richtigen strategischen Massnahme bzw. die Art ihrer Umsetzung finden sich
in der Literatur117 zahlreiche Methoden, die in Bild 3.16 angeführt werden sollen:
Risikobehandlung
Methoden
• Bayes‘sche Netze
(Entscheidungsanalyse)
• EntscheidungsbaumAnalyse
• Entscheidungstabellen
• Nutzen-KostenUntersuchungen
• Wirtschaftlichkeitsrechnungen
Bild 3.16:
Methoden der Risikobehandlung
Die geplanten Massnahmen, die Verantwortlichkeiten und die Indikatoren für die Risikoüberwachung und -steuerung bilden die Grundlage für das Risikocontrolling.
3.6.4
RISIKOCONTROLLING
Das Risikocontrolling ist die letzte Stufe des PRM-Prozesses und Bestandteil des Projekt-
116
117
In Anlehnung an GLEISSNER, W., ROMEIKE, F., [Risikomanagement, 2005], S. 36
SCHNORRENBERG, U., GOEBELS, G., RASSENBERG, S., [Risikomanagement in Projekten, 1997], S. 134 ff.;
SCHALCHER, H. R., [Systems Engineering, 2006], S 6-1 ff.; SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit
und Zuverlässigkeit, 1996], S. 122 ff.
40
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
controllings. Es vergleicht einerseits die tatsächliche mit der prognostizierten Risikosituation
und schafft andererseits eine Wissensbasis im Risikomanagement für Folgeprojekte. Die
Aufgaben des Controllings können wie folgt zusammengefasst werden:
• Risikoüberwachung: Sie beinhaltet zum einen die Überwachung der im jeweiligen Verantwortungsbereich liegenden, identifizierten Ereignissen und deren Ursachen bzw. der
zugeordneten Massnahmen auf Effektivität und Effizienz. Und zum anderen wird überprüft,
ob alle wesentlichen Ereignisse erkannt wurden. Die Risikoüberwachung spielt vor allem in
der Realisierungsphase eine wichtige Rolle, da die Wirksamkeit der Risikomassnahmen
meist erst in dieser Phase ersichtlich wird. Ein Controllinginstrument, das im Tunnelbau zur
Anwendung kommt, ist die so genannte Beobachtungsmethode118, die die gesamte
Realisierungsphase begleitet. Die Beobachtungsmethode ist eine Kombination aus
erforderlichen geotechnischen Untersuchungen und Berechnungen mit einer laufenden
messtechnischen Kontrolle.119 Dadurch ist eine Anpassung an die vorherrschenden örtlichen
Verhältnisse oder ein Hinweis auf Gefährdungssituationen gewährleistet. Diese Methode ist
aber nur dann zielführend, wenn die Ereignisse zeitlich verzögert eintreten.
• Risikosteuerung: Die Risikosteuerung geht mit der Überwachung einher. Ergeben sich
Abweichungen von der geplanten Risikosituation, müssen diese durch Steuerung korrigiert
werden. Jede Abweichung erfordert eine erneute Durchführung des gesamten Risikoprozesses (Risikoidentifikation, Risikoanalyse, Risikobehandlung) nach Kapitel 3.6.1 bis
Kapitel 3.6.3.
• Risikodokumentation: Für zukünftige Projekte ist das Festhalten von Informationen, die
sich aus der Risikoüberwachung und der Risikosteuerung ergeben, als Wissensgrundlage
unumgänglich. Dabei geht es unter anderem um die Fragen, wie Ereignisse erkannt und
bewertet wurden, welche Massnahmen getroffen wurden und welche Verbesserungen für
den PRM-Prozess anzustreben sind. Ausserdem dient die Risikodokumentation als
Informationsmittel für Projektsitzungen. Sie sollte in einer computergestützten Wissensdatenbank festgehalten werden, um zu gewährleisten, dass Projektinformationen betreffend
das PRM nicht verloren gehen und die Wissensansammlung für weitere Projekte zugänglich
ist.
3.7
RISIKODOKUMENTE IM TUNNELBAU
Die Schweizer Normen kennen für den Tunnelbau zahlreiche Dokumente, denen der
Risikomanagementprozess zugrunde liegt. Nachfolgend werden drei der wichtigsten
angegeben.
Die SIA 199120 spricht vom Begriff Sicherheitsplan. Der Sicherheitsplan enthält Massnahmen zur
Begegnung von unerwünschten Ereignissen (Gefährdungsbilder121), die in der Bauausführungsund Bewirtschaftungsphase eine Gefahr für Bauwerk, Personen, Sachwerte und Umwelt
118
119
120
121
SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004], S. 26
PRINZ, H., STRAUSS, R., [Abriss der Ingenieurgeologie, 2006], S. 502
SIA 199, [Erfassen des Gebirges, 1998], S. 12
Siehe Kapitel 3.1.1.2
TEIL B: GRUNDLAGEN - 3. RISIKOMANAGEMENT BEI TUNNELBAUPROJEKTEN
41
darstellen. Der Begriff Sicherheitsplan entfällt in Zukunft, und sein Inhalt wird unter dem Begriff
Projektbasis neu eingeordnet.122
Der Q-Lenkungsplan (Qualitäts-Lenkungsplan) nach dem Merkblatt 2007123 der SIA wird für
Projekte mit grossen Projektrisiken verwendet. Er dient als Steuerungs- und Arbeitsinstrument
des Bauherrn sowie als Grundlage für die Beauftragung der Auftragnehmer.124 Der QLenkungsplan beinhaltet die Ergebnisse des projektbezogenen Risikomanagementprozesses.
Im QM-Plan (Qualitätsmanagement-Plan), der ebenfalls im Merkblatt 2007 angeführt wird, legt
der Auftragnehmer Massnahmen für Ereignisse dar, für die er nach dem Q-Lenkungsplan die
Verantwortung trägt.125
122
123
124
125
SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004], S. 20; SIA 260, [Projektierung von Tragwerken, 2003], S. 4
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001]
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001], S. 35
SIA MERKBLATT 2007, [Qualität im Bauwesen, 2001], S. 35
42
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK
TATISTIK UND STOCHASTIK
4
STATISTIK UND STOCHASTIK
Die Statistik und die Stochastik haben im IT-gestützten, projektbezogenen
Risikomanagementmodell (PRIMO) eine wichtige Funktion. Anhand Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden im Modell Unsicherheiten beschrieben, die die probabilistische
Risikobewertung von Ereignissen im Rahmen des Risikomanagements und die Kalkulation von
Baukosten und Bauzeit von baubetrieblichen Arbeitsvorgängen betreffen. Hinzu kommt, dass
sich Ereignisse im Risikomanagement in einem gegenseitigen Abhängigkeitsverhältnis
befinden können, das bei der Risikoaggregation berücksichtigt werden muss. Auch im
Bauprozess existieren Abhängigkeiten, so ist beispielsweise der Sprengstoffverbrauch von der
Abschlagslänge abhängig. Um diesen Gegebenheiten Rechnung zu tragen, werden im Modell
verschiedene Methoden verwendet.
In den folgenden Kapiteln werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. Verteilungstypen und
Methoden der Abhängigkeitsmodellierung dargestellt, die im Modell implementiert wurden. Die
Grundlagen der Statistik und der Stochastik werden im Anhang ausführlich erläutert, ebenso
wie der in den folgenden Kapiteln mehrmals verwendete Begriff Zufallsvariable126.
4.1
VERTEILUNGSTYPEN VON ZUFALLSVARIABLEN
In den seltensten Fällen existiert ausreichendes statistisches Datenmaterial, aus dem eine
Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion127 abgeleitet werden kann. Aus diesem Grund werden
existierende Verteilungstypen für die Beschreibung von Projektprozessen (z. B. Bauprozesse)
und im Zuge des Risikomanagements für die probabilistische Risikobewertung angewendet,
deren Eingangsparameter subjektiv von den Projektbeteiligten bzw. von Fachexperten
eingeschätzt werden.
Die in der Praxis häufig verwendeten und in PRIMO implementierten Verteilungstypen werden
nachfolgend beschrieben und die zugehörigen Formeln im Anhang C.7 dargestellt. Alle
angeführten Verteilungstypen können beliebig miteinander kombiniert werden, wodurch
verschiedenartige Verteilungsformen generiert werden können.
4.1.1
RECHTECKSVERTEILUNG
Die Rechtecksverteilung besitzt eine obere und eine untere Schranke. Die dazwischen
liegenden Werte haben alle die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit. Die Rechtecksverteilung ist
bezüglich ihres Mittelwerts ein symmetrischer Verteilungstyp. Sie kommt zur Anwendung, wenn
nur die Grenzwerte der möglichen Realisationen angegeben werden können und keine
Informationen über deren Wahrscheinlichkeit zur Verfügung stehen.
4.1.2
Die
126
127
DREIECKSVERTEILUNG
Dreiecksverteilung wird
Siehe Anhang C.3
Siehe Anhang C.3
durch
drei
Werte
charakterisiert:
den
minimalen,
den
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
43
wahrscheinlichsten und den maximalen. Dieser Verteilungstyp kommt aufgrund seiner Vorteile
oft zur Anwendung. Zum einen ermöglichen die Eingabeparameter die Abbildung einer
symmetrischen und einer asymmetrischen Verteilung, zum anderen gibt der Verteilungstyp dem
Anwender eine gute Vorstellung vom Verlauf der Verteilung.
4.1.3
NORMALVERTEILUNG
Die Normalverteilung wird in der Praxis aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes128 der Statistik
sehr oft angewendet. Es handelt sich dabei um einen symmetrischen Verteilungstyp, bei dem
zwei Eingangsparameter – der Mittelwert µ und die Standardabweichung σ – benötigt werden.
Die Normalverteilung besitzt negative und positive Realisationen, was als Nachteil betrachtet
werden kann. Der Anwender kann sich aber mit Hilfe der σ − Regel einen guten Eindruck
bezüglich der Wahrscheinlichkeit von Realisationen innerhalb eines Intervalls verschaffen. So
verhält sich der Prozentsatz der in einem Bereich liegenden Realisationen wie folgt:
µ±σ
∼ 68,3% der Realisationen
µ ± 2σ
µ ± 3σ
∼ 95,5% der Realisationen
∼ 99,7% der Realisationen
Man schätzt beispielsweise den theoretisch maximalen und minimalen Wert einer Realisation,
die die Grenzen des Intervalls bilden, und ermittelt daraus den Mittelwert und die
Standardabweichung. Beim Intervall µ ± 3σ würde dieser Bereich mit einer Wahrscheinlichkeit
von lediglich 0,15% über- bzw. unterschritten. Die ausserhalb dieser Grenzen liegenden Werte
wären bei einer Simulation aufgrund ihres seltenen Auftretens unbedeutend.
4.1.4
LOG-NORMALVERTEILUNG
Die Log-Normalverteilung ist ebenfalls weit verbreitet. Dies ist – wie schon bei der
Normalverteilung – auf die Ableitung aus dem zentralen Grenzwertsatz zurückzuführen. Bei der
Log-Normalverteilung handelt es sich um einen asymmetrischen Verteilungstyp, mit dem
linksteile Verteilungen gut modelliert werden können. Sie besitzt eine linke Schranke, die auf der
x-Achse beliebig verschoben werden kann. Diese Schranke verhindert somit das Unterschreiten
eines untersten Wertes, während die rechte Flanke – ähnlich wie bei der Normalverteilung – ins
Unendliche reicht. Ist die untere Schranke gleich 0, besitzt die Log-Normalverteilung zwei
Eingabeparameter, wird die untere Schranke angegeben, sind es deren drei. Bei der
dreiparametrigen Log-Normalverteilung bleiben Standardabweichung und Schiefe unbeeinflusst.
4.1.5
BINOMIALVERTEILUNG
Die vorher beschriebenen Verteilungstypen werden zu den stetigen Verteilungen gezählt,
während die Binomialverteilung ein diskreter Verteilungstyp ist. Die Verteilung beschreibt die
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei n-maliger Wiederholung eines Bernoulli-Experiments
128
Siehe Kapitel C.8
44
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
genau x-mal eintritt. Das Bernoulli-Experiment hat zwei unabhängige Ereignisse: Das Ereignis
tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein, und das Ereignis tritt mit der Wahrscheinlichkeit 1–p nicht
ein. Diese Verteilung eignet sich sehr gut, um geologisch bedingte Ereignisse im
Sprengvortrieb zu simulieren. Jeder Abschlag während des Vortriebes stellt eine Durchführung
des Experimentes dar, wobei n die gesamte Anzahl an Abschlägen in einem Tunnelabschnitt ist
und x die Anzahl der Ereignisse (z. B. Niederbruch) mit der Eintrittswahrscheinlichkeit p angibt.
Im Rahmen der Monte-Carlo-Simulation wird x zufällig gewählt und die Wahrscheinlichkeit für x
Eintritte mit der Wahrscheinlichkeit p bei n Abschlägen ermittelt.
4.1.6
POISSONVERTEILUNG
Die Poissonverteilung lässt sich aus einer Grenzwertbetrachtung der Binomialverteilung
ableiten. Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses muss sehr klein (p → 0) sein,
die Anzahl n der wiederholten Experimente sehr gross (n → ∞ ) und der Mittelwert µ = λ = n ⋅ p
gegen einen konstanten Wert streben. Die Näherung für die Binomialverteilung ist hinreichend
gut, wenn n>50, p<0.1 und n·p<5 ist.129
Die Poissonverteilung wird durch einen Parameter λ charakterisiert, der gleichzeitig den
Mittelwert µ und die Varianz Var präsentiert. Im Tunnelbau kann sie für seltene geologische
Ereignisse130 verwendet werden, wobei λ beispielsweise die mittlere Eintrittsanzahl von
Ereignissen innerhalb eines Tunnelabschnittes (Homogenabschnittes) darstellen kann. Der
Parameter wird in der M-C-S durch das Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses
je Tunnellaufmeter und der Länge des Homogenabschnittes gebildet.
4.1.7
DISKRETE VERTEILUNG
Die diskrete Verteilung ermöglicht die explizite Angabe der Wahrscheinlichkeit für bestimmte
Realisationen. Mit ihr können einerseits stetige Verteilungen diskretisiert und andererseits
Verteilungen, denen keine mathematischen Formeln zugrunde liegen, erstellt werden. Sie
ermöglicht somit die Darstellung jeder beliebigen Verteilungsform. Dieser Verteilungstyp wird im
Risikomanagement hauptsächlich für die Simulation der Eintrittswahrscheinlichkeit bzw.
Häufigkeit eines Ereignisses verwendet.
4.1.8
AUSWAHL DES GEEIGNETEN VERTEILUNGSTYPS
Die Wahl des richtigen Verteilungstyps ist aufgrund fehlender Daten oft schwierig. Ihr kommt
jedoch auch keine allzu grosse Bedeutung zu, zumal beispielsweise bei der Ermittlung des
Gesamtrisikos eines Projektes oder bei Kosten- und Terminermittlungen von Projektvorgängen
zahlreiche Zufallsvariablen verwendet werden. Gemäss dem statistischen Zentralsatz strebt die
Summe einer grossen Anzahl beliebig verteilten Zufallsvariablen eine Normalverteilung und
deren Produkt eine Log-Normalverteilung an.131 Mehr Beachtung muss hingegen dem
möglichen Realisationsbereich einerseits und der Form (symmetrisch oder asymmetrisch)
129
130
131
GLEISSNER, W., ROMEIKE, F., [Risikomanagement, 2005], S. 213.
STURK, R., [Engineering geological information, 1998], S. 80 f.
Natürlich dürfen die Zufallsvariablen nicht zu stark voneinander abhängig sein.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
45
geschenkt werden. Bei Bauprozessen kommen eher symmetrische Verteilungen zur
Anwendung; meist soll die Verteilung die Abweichungen von einem Sollwert beschreiben. Im
Risikomanagement werden für die Beschreibung von Auswirkungen vielfach asymmetrische
Verteilungen verwendet.
4.2
MODELLIERUNG DER ABHÄNGIGKEITEN VON ZUFALLSVARIABLEN
Der Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen kann mit einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung132 beschrieben werden. Der Grad des Zusammenhangs der Zufallsvariablen
kann durch die Korrelation (lineare Korrelation und Rangkorrelation) und mittels einer so
genannten Copulafunktion dargestellt werden. Eine weitere Möglichkeit, Zusammenhänge von
Zufallsvariablen darzustellen, sind Bayes’sche Netze, die in einem späteren Kapitel ausführlich
behandelt werden.
4.2.1
DIE LINEARE KORRELATION (KOVARIANZ, KORRELATIONSKOEFFIZIENTEN)
Die lineare Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON wird sehr oft verwendet, da sie leicht zu ermitteln
ist und den Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen einfach durch eine reelle Zahl
darstellen kann. Viele Anwender dieser Methode sind sich aber nicht bewusst, dass dieses
Abhängigkeitsmass auch ihre Tücken hat und theoretisch nicht immer zur Anwendung kommen
darf.
Beginnen wir mit der Kovarianz Cov(X,Y) , die wie folgend definiert ist:133
Cov ( X,Y ) = σXY = E ( ( X − E(X)) ⋅ ( Y − E(Y)) ) = E ( ( X − µ X ) ⋅ ( Y − µ Y ) ) =
= E ( X ⋅ Y ) − E(X) ⋅ E(Y)
(4.1)
Sie ist somit ein Produkt von zwei um 0 zentrierten Zufallsvariablen X und Y und besitzt ein
positives bzw. negatives Vorzeichen. Für diskrete und stetige Zufallsvariablen ergibt sich die
folgende Darstellung:
Cov ( X,Y ) = σXY =
Cov ( X,Y ) = σ XY =
n
n
∑∑ ( xi − µX ) ⋅ ( yj − µ Y ) ⋅ fX,Y (xi,y j )
X,Y sind diskret
(4.2)
X,Y sind stetig
(4.3)
i =1j =1
+∞ +∞
∫ ∫ ( x − µX ) ⋅ ( y − µY ) ⋅ fX,Y (x,y)dxdy
−∞ −∞
Um Kovarianzen untereinander vergleichbar zu machen, werden diese durch das Produkt der
den Zufallsvariablen zugeordneten Standardabweichungen dividiert (normiert), sodass
ausschliesslich Werte zwischen –1 und +1 auftreten können. Das neue Abhängigkeitsmass ist
dimensionslos und wird Korrelationskoeffizient von BRAVAIS-PEARSON genannt.
132
133
Siehe Anhang C.6
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 348
46
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
Cov(X,Y)
σ
= XY
Var(X) ⋅ Var(Y) σ X ⋅ σ Y
Corr(X,Y) = ρ(X,Y) = ρ XY =
−1 ≤ ρ(X,Y) ≤ +1 .
(4.4)
Ein Korrelationskoeffizient von 0 besagt, dass beide Zufallsvariablen unkorreliert sind, bzw.
dass kein linearer Zusammenhang zwischen den Zufallsvariablen besteht. Die Bezeichnung
perfekt positiv korreliert wird verwendet, wenn ρ XY = +1, die Bezeichnung perfekt negativ
korreliert, wenn ρ XY = −1 ist. Ein Wert von –1 oder +1 besagt, dass der Zusammenhang exakt
linear (Y = a X ⋅ X + b X ; a x ≠ 0) ist und dass eine Zufallsvariable durch die andere ausgedrückt
werden kann. Ferner ist zu bemerken, dass der Korrelationskoeffizient nur invariant ist, wenn die
Zufallsvariablen linear transformiert (Xɶ = a X ⋅ X + b X , Yɶ = a Y ⋅ Y + b Y ; a x ,a Y ≠ 0) werden. Bei jeder
anderen Art der Transformation ergeben sich andere Werte für die Korrelationskoeffizienten. Es
ist festzuhalten, dass die mögliche Intervallbreite auch kleiner als [–1.1] sein kann, da sie von
den Zufallsvariablen abhängig ist. Mehr dazu in den folgenden Kapiteln. Folgende Ungleichung
hat immer Gültigkeit:
−1 ≤ ρmin < 0 < ρmax ≤ 1
(4.5)
In Bild 4.1 sind für zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unterschiedlichen
Korrelationskoeffizienten die zugehörigen Datenpaare (xi,yi) dargestellt:
y
y
ρXY > 0
ρ XY < 0
y
x
Bild 4.1:
ρ XY ≈ 1
x
x
y
y
ρXY ≈ 0
ρ XY ≈ 0
x
y
ρ XY ≈ −1
x
x
Punktwolken für verschiedene Korrelationskoeffizienten
Es lässt sich Folgendes feststellen: Bei perfekt positiver Korrelation treten grosse Werte
Zufallsvariablen Y tendenziell mit grossen Werten der Zufallsvariablen X auf, während
perfekt negativer Korrelation grosse Werte der Zufallsvariablen Y mit kleinen Werten
Zufallsvariablen X einher gehen, beziehungsweise kleine Werte der Zufallsvariablen Y
grossen Werten der Zufallsvariablen X.
der
bei
der
mit
Für eine mehrdimensionale Zufallsvariable bzw. einen Zufallsvektor X = ( X1,..., Xn ) ergibt sich
'
die folgende Kovarianzmatrix:
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
 σ11 σ12

σ
σ22
Cov( X ) = Σ X =  21
 ⋮
⋮

 σn1 σn2
47
⋯ σ1n 

⋯ σ1n 
⋱ ⋮ 

⋯ σnn 
(4.6)
mit σii = E ( ( Xi − µi )( Xi − µi ) )
für i=1,...,n
mit σij = E ( Xi − µi ) X j − µ j
für i,j=1,...,n
(
(
))
Die Kovarianzmatrix beinhaltet entlang der Diagonalen die Varianzen134 und ober- und unterhalb
der Diagonalen die Kovarianzen135 der mehrdimensionalen Zufallsvariablen. Sind die
Komponenten der mehrdimensionalen Zufallsvariablen (X1,…Xn)’ voneinander unabhängig,
haben alle Kovarianzen den Wert 0 und die Kovarianzmatrix reduziert sich auf eine
Diagonalmatrix136. Die Korrelationsmatrix einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen ist
folgendermassen definiert:
 1 ρ12

ρ
1
Corr( X ) = RX =  21
 ⋮
⋮

 ρn1 ρn2
⋯ ρ1n 

⋯ ρ1n 
⋱ ⋮ 

⋯ 1
mit ρij =
σij
σi ⋅ σ j
(4.7)
Beide Matrizen sind folglich immer symmetrisch ( σij = σ ji und ρij = ρji ) und positiv definit oder
positiv semidefinit. Diese Eigenschaft verhindert, dass beliebige Werte für den
Korrelationskoeffizient in der Matrix angegeben werden können, was bei zahlreich vorhandenen
Zufallsvariablen zu Schwierigkeiten führen kann. Überprüfen lässt sich die definite Eigenschaft
einer symmetrischen Matrix mit den zugehörigen Eigenwerten. Für positiv definite Matrizen
müssen alle Eigenwerte grösser 0 sein und für positiv semidefinite Matrizen grösser oder gleich
0, wobei mindestens ein Eigenwert ungleich 0 sein muss.
Wie eingangs schon erwähnt, gilt es bei der Anwendung der linearen Korrelation Folgendes zu
beachten: Die Korrelationskoeffizienten zeigen einerseits immer nur die Zusammenhänge von
zwei Zufallsvariablen auf und andererseits werden nur lineare Abhängigkeiten dieser beiden
Zufallsvariablen berücksichtigt. Existiert z. B. ein parabolischer Zusammenhang, wird die lineare
Korrelation ihn nicht erkennen ( ρ XY ≈ 0 , siehe Bild 4.1). Daraus lässt sich ableiten, dass für
unabhängige Zufallsvariablen die lineare Korrelation gleich 0 ist, während der Umkehrschluss,
dass die Korrelation gleich 0 ist und auch eine Unabhängigkeit gegeben ist, allgemein nicht
stimmt. Dies ist nur bei einer n-dimensionalen Normalverteilung korrekt.
Gemäss EMBRECHTS ET AL.137,138 sollte bei der Verwendung von linearen Korrelationen neben
134
135
136
137
138
Siehe Anhang C.4.2
Siehe Gleichung (4.4)
Alle Elemente ausserhalb der Diagonalen sind 0.
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Pitfalls and Alternatives, 1999], S. 2 ff.
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Correlation and dependence, 1999], S. 21 ff.
48
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
den vorangegangenen Ausführungen noch Folgendes berücksichtigt werden:
Besitzt eine mehrdimensionale Zufallsvariable elliptische139 Randverteilungen desselben Typs,
kann
bei
einer
gegebenen
Kovarianzmatrix
eine
gemeinsame
elliptische
Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig bestimmt werden. Dabei ist festzuhalten, dass die
gemeinsame Verteilung denselben Typ der Randverteilung aufweisen muss. Wird das nicht
vorausgesetzt, ergeben sich unendlich viele gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In
EMBRECHTS ET AL. findet der interessierte Leser ein Beispiel, dass die angesprochene
Problematik bildlich darstellt. Dabei wird deutlich, dass sich trotz gleicher Randverteilung und
gleicher Kovarianzmatrix eine unterschiedliche Zusammenhangsstruktur ergeben kann.140 Sind
die Randverteilungen beliebig verteilt, existieren bei einer gegebenen Kovarianzmatrix ebenfalls
unendlich viele gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Da im Risikomanagement sehr
oft das p-Quantil xp141 (Value-at-Risk) einer Verteilung betrachtet wird, kann es aufgrund einer
falschen Zusammenhangsstruktur zu einer Fehlinterpretation des Ergebnisses kommen.
EMBRECHTS ET AL. beweisen des Weiteren, dass bei gegebenen, nicht elliptischen
Randverteilungen nicht für jeden Korrelationskoeffizientenwert zwischen –1 und +1 eine
gemeinsame Verteilung existiert. D. h. der zulässige Wertebereich ist geringer, und es kann
somit bei einem betragsmässig kleineren Wert des Korrelationskoeffizienten schon eine
perfekte Abhängigkeit existieren.
4.2.1.1 SCHÄTZWERT FÜR DIE LINEARE KORRELATION NACH BRAVAIS-PEARSON
Sind aufgrund von Beobachtungen oder Experimenten über den Zufallsvariablen X und Y
n zweidimensionale Datensätze der Form (x1,y1),...,(xn,yn) vorhanden, kann ein Schätzwert des
linearen Korrelationskoeffizienten rXY angegeben werden. Dieser ist entsprechend der
Gleichung (4.4) der Quotient aus dem Schätzwert der Kovarianz und dem Produkt der
geschätzten Standardabweichungen:142
r XY =
n
1
⋅ ∑ ( xi − x ) ⋅ ( yi − y )
n − 1 i =1
n
n
1
1
2
2
⋅ ∑ ( xi − x ) ⋅
⋅ ∑ ( yi − y )
n − 1 i =1
n − 1 i =1
Der Schätzwert der Mittelwerte beider Zufallsvariablen ergibt sich aus:
139
140
141
142
gilt auch für sphärische Verteilungen (Höhenschichtlinien sind Kreise bei zweidimensionalen
Verteilungen), z.B. die mehrdimensionale Standardnormalverteilung), die ein Spezialfall der
elliptischen darstellen, hier mutiert die Kovarianzmatrix zur Einheitsmatrix.
Siehe Bild 4.6
Siehe Anhang C.5
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 37
(4.8)
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
x=
1 n
⋅ ∑ xi
n i =1
1 n
y = ⋅ ∑ yi
n i =1
49
(4.9)
Diese Formeln können auch im Zuge der Monte-Carlo-Simulation verwendet werden, um den
Mittelwert, die Standardabweichung und die linearen Korrelationskoeffizienten der simulierten
Zufallsvariablen zu überprüfen.
Wenn Zusammenhänge zwischen Zufallsvariablen aufgezeigt werden sollen, die nicht der
elliptischen Verteilungsfamilie angehören bzw. die Eigenschaften von elliptischen nicht
weitgehend erfüllt sind, lässt sich die Abhängigkeit durch den Rangkorrelationskoeffizienten
nach SPEARMAN beurteilen.
4.2.2
RANGKORRELATION (RANGKORRELATIONSKOEFFIZIENTEN)
Der Rangkorrelationskoeffizienten nach SPEARMAN zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y ist
definiert als die lineare Korrelation zwischen den Verteilungsfunktionen von X und Y:143
ρ(s)(X,Y) = ρ(s)
XY = ρ(FX (x),FY (y))
(4.10)
Verteilungsfunktionen sind monoton wachsend, d. h., dass grösseren Realisationen von X oder
Y grössere Werte der zugehörigen Verteilungsfunktionen zugeordnet sind. Aus diesem Grund
kann der empirisch ermittelte Rangkorrelationskoeffizient nach SPEARMAN auch als die lineare
Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON von rg(x)144 und rg(y) beschrieben werden.
Der Wertebereich des Rangkorrelationskoeffizienten liegt zwischen − 1 ≤ ρ(S)
XY ≤ 1 , nur wird im
Gegensatz zur linearen Korrelation nicht der lineare, sondern ein monoton wachsender
Zusammenhang gemessen. Sind die Werte des Rangkorrelationskoeffizienten in der Nähe der
Grenzen –1 oder +1 und ähnlich dem der linearen Korrelation, entspricht der monotone
Zusammenhang einer linearen Abhängigkeit. Auch hier gilt, wenn die Zufallsvariablen
unabhängig sind, ist der Wert des Rangkorrelationskoeffizienten gleich 0, während der
Umkehrschluss ebenfalls allgemein nicht gültig ist.
Im nächsten Bild sind für die Maximalwerte –1 und +1 des Koeffizienten zwei mögliche streng
monotone Funktionen dargestellt:
143
144
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Pitfalls and Alternatives, 1999], S. 6
rg(x) ist der Rang von x
50
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
y
rg(yi)
4
3
ρ(S)
XY = +1
2
1
x
y
1
2
3
4
rg(xi)
rg(yi)
4
ρ(S)
XY = −1
3
2
1
x
Bild 4.2:
1
2
3
4
rg(xi)
(S)
SPEARMAN-Rangkorrelation mit ρ(S)
XY =+1 und ρ XY =–1
Der BRAVAIS-PEARSON-Korrelationskoeffizient würde für beide Funktionen einen wesentlich
kleineren (oben) bzw. grösseren (unten) Wert ergeben. Dies ist auf die Tatsache
zurückzuführen, dass der BRAVAIS-PEARSON-Korrelationskoeffizient nur lineare Zusammenhänge
erkennen kann.
Für eine mehrdimensionale Zufallsvariable bzw. einen Zufallsvektor X = ( X1,..., Xn ) ergibt sich
'
die folgende Rangkorrelationsmatrix:
Corr(S)( X ) = R(S)
X
 1 ρ(S)
12
 (S)
ρ
1
=  21
 ⋮
⋮
 (S)
(S)
 ρn1 ρn2
(S)

⋯ ρ1n
(S) 
⋯ ρ1n 
⋱ ⋮ 

⋯ 1 
(4.11)
Wie bei der linearen Korrelationsmatrix sind auch hier die Elemente entlang der Diagonalen 1,
(S)
und es gilt stets ρ(S)
ij = ρ ji , die Matrix muss ebenfalls positiv definit oder positiv semidefinit sein.
Es ist noch festzuhalten, dass die Rangkorrelationskoeffizienten gegenüber streng monoton
wachsenden Transformationen invariant sind (z. B. Xɶ = e X , Yɶ = e Y ) . EMBRECHTS ET AL.145,146 beweisen, dass im Gegensatz zur linearen Korrelation für jede beliebige Randverteilung und für
jeden Wert zwischen –1 und +1 des Rangkorrelationskoeffizienten eine gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung existiert. Diese gemeinsame Verteilung ist jedoch auch nicht für
beliebige Randverteilungen und Rangkorrelationskoeffizienten eindeutig bestimmt.
145
146
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Pitfalls and Alternatives, 1999], S. 6
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Correlation and dependence, 1999], S. 33
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
TOCHASTIK
51
4.2.2.1 SCHÄTZWERT FÜR DIE RANGKORRELATION NACH SPEARMAN
Ein Schätzwert des Rangkorrelationskoeffizienten r(S)
XY nach SPEARMAN wird ermittelt, indem von
den x- und y-Werten auf deren Ränge übergegangen wird. Der Rang gibt die Position in einer
aufsteigend geordneten Folge von Zahlen (Realisationen bzw. Stichprobenwerte einer
Zufallsvariablen) an. Sind in der Zahlenfolge identische Werte, wird diesen Werten ein Durchschnittsrang147 zugewiesen. Die Rangkorrelation ist wie folgt definiert:148
r(S)
XY =
n
1
⋅ ∑ ( rg(x i ) − rgX ) ⋅ ( rg(y i ) − rgY )
n − 1 i =1
n
n
1
1
2
2
⋅ ∑ ( rg(x i ) − rgX ) ⋅
⋅ ∑ ( rg(yi ) − rgY )
n − 1 i =1
n − 1 i =1
(4.12)
Die Mittelwerte der Ränge sind gegeben durch:
rgX =
1 n
1 n
n+1
⋅ ∑ rg(x i ) = ⋅ ∑ i =
n i =1
n i =1
2
1 n
1 n
n+1
rgY = ⋅ ∑ rg(y i ) = ⋅ ∑ i =
n i =1
n i =1
2
(4.13)
Wenn alle xi und yi paarweise verschieden sind, ergibt sich eine einfachere Berechnungsmöglichkeit
n
6 ⋅ ∑ di2
r(Sp)
XY = 1 −
i =1
(n2 − 1) ⋅ n
,
(4.14)
wobei di die Rangdifferenz angibt
di2 = rg(x i ) − rg(y i ) .
(4.15)
Ferner existieren weitere Zusammenhangsmasse, die allerdings seltener angewendet werden,
wie z. B. die Rangkorrelation von KENDALL. Der interessierte Leser findet in NELSON149 zahlreiche
weitere Abhängigkeitsmasse.
Durch die Ausführungen wird klar, dass der Übergang von der linearen Korrelation zu den
Rangkorrelationen Vorteile birgt. Beiden Abhängigkeitsmassen ist aber weiterhin gemein, dass
sie keine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig bestimmen können. Um dieser
Tatsache entgegenzuwirken, können die Copulafunktionen angewendet werden, die im
nächsten Kapitel erläutert werden und in PRIMO verwendet werden.
147
148
149
Aufsteigende Zahlenfolge {2;5;5;5;9;10;11} , ergibt folgende Ränge {1;3;3;3;5;6;7}
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 140
NELSEN, R. B., [An introduction to copulas, 2006], S. 157 ff.
52
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
4.2.3
COPULAS
Die Grundlage für das Copula-Konzept lieferten HOEFFDING zu Beginn der 40er Jahre und
FRÉCHET im Jahre 1951 unabhängig voneinander in ihren Veröffentlichungen. Zum ersten Mal
verwendet wurde der Terminus Copula jedoch von SKLAR in seiner 1959 verfassten Arbeit150, die
ein Theorem über die Konstruktion von Copulafunktionen beschrieb. Das Theorem von SKLAR
besagt,151 dass für jede n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung (Verteilungsfunktion FX )
mit ihren Randverteilungen (Randverteilungsfunktionen FX1,...,FXn ) eine n-dimensionale Copulafunktion C existiert, sodass Folgendes gilt:
FX1,...,Xn (x1,...,x n ) = P(X1 ≤ x1,...,Xn ≤ x n ) = C(FX1(x1),...,FXn (x n ))
(4.16)
Sind alle Randverteilungen stetig, ist C eindeutig, andernfalls nur im Wertebereich Ran(FX1 ) x ... x Ran(FXn ) 152 eindeutig bestimmbar. Der Umkehrschluss ist ebenfalls
zulässig, dass mit jeder n-dimensionale Copulafunktion und beliebigen Randverteilungen eine
gemeinsame n-dimensionale Verteilungsfunktion erstellt werden kann. Wobei die
Copulafunktion die Abhängigkeitsstruktur der Randverteilungen zueinander darstellt, aber keine
Informationen über die Randverteilungen besitzt. Die Copulafunktion kann als n-dimensionale
Verteilungsfunktion von auf dem Intervall [0,1] n-gleichverteilten Zufallsvariablen interpretiert
werden. Bezüglich Eigenschaften von Copulafunktionen und Beweisen für die Richtigkeit des
Theorems sei auf NELSON153 verwiesen.
In der Folge ist das Copula-Konzept längere Zeit in Vergessenheit geraten und erst in den 90erJahren wieder auf Interesse gestossen.154 Mittlerweile existieren in der Literatur zahlreiche
Papers, die zum grossen Teil aus dem Finanzbereich stammen. Der Terminus „Copula“ stammt
übrigens aus dem Lateinischen und bedeutet „Band, Koppel, Verbindung“.155
4.2.4
COPULAFUNKTIONEN
Als Beispiel soll für eine zweidimensionale Zufallsvariable (Zufallsvektor), deren Komponenten
unabhängige eindimensionale Zufallsvariablen (X, Y) bilden, eine Copulafunktion dargestellt
werden, die infolge der Dimension des Zufallsvektors ebenfalls zweidimensional ist. Die
Zufallsvariablen X und Y besitzen jeweils eine Randverteilungsfunktion FX (x) = P(X ≤ x) = u
bzw. FY (y) = P(Y ≤ y) = v
und eine gemeinsame zweidimensionale Verteilungsfunktion FXY = P(X ≤ x,Y ≤ y) . Aufgrund der Unabhängigkeit ergibt sich die gemeinsame zweidimensionale Verteilungsfunktion als Produkt der Randverteilungsfunktionen der
Randverteilungen.156 Die Funktion, die diese Randverteilungen zu einer gemeinsamen
150
151
152
153
154
155
156
SKLAR, A., [Fonctions de répartition à n dimensions, 1959]
NELSEN, R. B., [An introduction to copulas, 2006], S. 46 f.
Ran=Range, der Bereich
NELSEN, R. B., [An introduction to copulas, 2006]
In Anlehnung an GLAUSER, M., [Messung von Marktrisiken, 2003], S. 57
MENGE, H., GÜTHLING, O., [Grosswörterbuch, 1996], S. 177
Siehe Anhang C.6.2
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
53
Verteilung koppelt, ist in diesem Fall die Produkt-Copula, die wie folgt definiert ist:
C⊥ (u,v) = u ⋅ v
(4.17)
Für das Beispiel ergibt sich somit für die Verteilungsfunktion:
FXY (x,y) = P(X ≤ x,Y ≤ y) = C⊥ (FX (x),FY (y))
(4.18)
Die Funktionswerte der Randverteilungsfunktionen (FX (x), FY (y), FXY (x,y)) liegen definitionsgemäss zwischen 0 und 1 (Intervall I=[0,1]). Durch FX (x) und FY (y) existiert für jedes
Zahlenpaar (x, y) ein Punkt auf der u-v-Ebene (Einheitsquadrat I2 = [0,1]2 ), dem durch die
Copulafunktion ein Funktionswert, der ebenfalls zwischen 0 und 1 liegt, zugeordnet wird und
gleich dem Zahlenwert der gemeinsamen Verteilungsfunktion ist.
 I2 → I
C:
(u,v) ֏ C(u,v)
Nachfolgend wird die Produkt-Copula im Einheitswürfel graphisch dargestellt, wobei die linke
Abbildung den Graphen der Copula und die rechte das Konturdiagramm derselben darstellt:
Bild 4.3:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der ProduktCopula.157
Wenn beide Zufallsvariablen X und Y perfekt positiv bzw. perfekt negativ abhängig sind,
ergeben sich die obere bzw. die untere Schranke (beide Schranken sind für den
zweidimensionalen Fall selbst Copulafunktionen) für den möglichen Wertebereich (FRÉCHETHOEFFDING-Schranken158) der Copula.
C+ (u,v) = min(u,v) ,
157
158
obere Schranke
GLAUSER, M., [Messung von Marktrisiken, 2003], S. 64
NELSEN, R. B., [An introduction to copulas, 2006], S. 11 f.
(4.19)
54
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
bzw.
C− (u,v) = max(u + v − 1, 0) ,
untere Schranke .
(4.20)
Bild 4.4:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der FRÉCHETHOEFFDING-Obergrenze.159
Bild 4.5:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der FRÉCHETHOEFFDING-Untergrenze.160
Diese Aussage bezüglich des Wertebereichs kann auf jede n-dimensionale Copula erweitert
werden, wobei beachtet werden muss, dass C− bei n>2 keine Copulafunktion mehr ist,
dennoch gelten die FRÉCHET-HOEFFDING-Schranken.161 Die Schranken für eine n-dimensionale
Copulafunktion sind somit definiert mit:
C− (u1,...,un ) ≤ C(u1,...,un ) ≤ C+ (u1,...,un )
C+ (u1,...,un ) = min(u1,u2 ,...,un )
159
160
161
(4.21)
obere Schranke
GLAUSER, M., [Messung von Marktrisiken, 2003], S. 64
GLAUSER, M., [Messung von Marktrisiken, 2003], S. 64
NELSEN, R. B., [An introduction to copulas, 2006], S. 47
(4.22)
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
C− (u1,...,un ) = max(u1 + u2 + ... + un − n + 1,0)
55
untere Schranke
(4.23)
Die oben dargestellten Copulafunktionen sind parameterfrei; es existieren aber auch
parametrische Copulafunktionen, deren Parameter z. B. bei Vorhandensein historischer Daten
nach der Maximum-Likelihood-Methode oder der Momentenmethode angegeben bzw.
subjektiv durch Experten geschätzt werden können. Grundsätzlich finden sich in der Literatur
zwei Klassen von parametrischen Copulas. Zu der Klasse der elliptischen Copulas
(symmetrische Zusammenhangsstruktur) zählen die Normal-Copula und die Student t-Copula.
Zur Klasse der archimedischen Copulas (in der Regel asymmetrische Zusammenhangsstruktur)
können die GUMBEL-HOUGAARD-Copula, die CLAYTON-Copula und die FRANK-Copula gezählt
werden. Weitere Funktionen werden in NELSEN angegeben. Im nächsten Bild sind Datenpaare
zweidimensionaler Verteilungen mittels verschiedener Copulafunktionen (Abhängigkeitsstruktur)
aber mit gleichen Randverteilungen (Standardnormalverteilung, Korrelation = 0.7) dargestellt:
Bild 4.6:
Datenpaare von zweidimensionalen Verteilungen mit unterschiedlicher Abhängigkeitsstruktur, aber mit gleichen standardnormalverteilten Randverteilungen und
gleicher Korrelation von 0.7 (jeweils 3’000 Simulationen).162
Das Bild bestätigt übrigens die Ausführungen von Kapitel 4.2.1, dass trotz gleicher
Randverteilung und gleicher Korrelation unterschiedliche Zusammenhangsstrukturen existieren
können.
4.2.5
KONSTRUKTION VON COPULAFUNKTIONEN
Wie aus der Gleichung (4.16) abgeleitet werden kann, wird für die Konstruktion der Copula
neben der gemeinsamen Verteilungsfunktion noch die Umkehrfunktion (Inverse) der
162
LAKE, T., [Modellierung von Abhängigkeiten durch Copulas, 2006], S. 5
56
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
Randverteilungsfunktionen der Randverteilungen benötigt:
(
)
C(u1,...un ) = FX1,...,Xn FX−11(u1),...,FX−n1(un ) ,
(u1,...,un ) = u ∈ [0,1]n
(4.24)
Dieses Vorgehen birgt aber zwei Probleme: Erstens muss die gemeinsame Verteilung angeben
werden. Im zweidimensionalen Fall kann dies möglicherweise noch bewerkstelligt werden, aber
im mehrdimensionalen Fall, wie beispielsweise im Risikomanagement, wo n-Risiken
voneinander abhängig sein können, ist das Vorhaben viel zu komplex bzw. unmöglich
durchführbar. Zweitens existiert für die aus der gemeinsamen Verteilung berechneten
Randverteilungen nur für stetig, streng monoton steigenden Verteilungsfunktionen eine
eindeutige Umkehrfunktion. Deshalb wird meist der umgekehrte Weg eingeschlagen: Der
Anwender gibt einerseits die Randverteilungen und andererseits eine Copula vor und generiert
so die gemeinsame Verteilungsfunktion. Die Copula richtet sich dabei nach der nachzubildenden Abhängigkeitsstruktur (symmetrisch, asymmetrisch, spezielle Flankenausbildung).
In PRIMO kann, basierend auf den elliptischen Copulas, für die Abhängigkeitsstruktur zwischen
der Normal-Copula und der STUDENT t-Copula ausgewählt werden. Die Normal-Copula leitet
sich mit Hilfe einer n-dimensionalen Standardnormalverteilung aus der Gleichung (4.24) ab und
ist wie folgt definiert:163
n
−1
−1
CN
R (u1,...,un ) = ΦR ( Φ (u1),..., Φ (un ))
(4.25)
n
Wobei ΦR
die Verteilungsfunktion der n-dimensionalen Standardnormalverteilung mit linearer
Korrelationsmatrix R und Φ die Verteilungsfunktion der eindimensionalen Standardnormalverteilung ist. Die Normal-Copula kann mittels der Dichtefunktion der n-dimensionalen
Standardnormalverteilung mit Korrelationsmatrix R wie folgt explizit ausgedrückt werden:
N
CR
(u1,...,un ) =
1
(2π)n R
Φ −1(u1 )
⋅
∫
−∞
Φ −1(un )
...
∫
−∞
 x 'R−1x 
exp  −
 dx1...dxn

2 

(4.26)
Die STUDENTS t-Copula kann ebenfalls mittels der n-dimensionalen t-Verteilung aus der
Gleichung (4.24) abgeleitet werden:
CRt ,ν (u1,...,un ) = TRn,ν (Tν −1(u1),...,Tν −1(un ))
(4.27)
TRn,ν bezeichnet die Verteilungsfunktion der n-dimensionalen Students t-Verteilung mit linearer
Korrelationsmatrix R und ν Freiheitsgraden. Tν ist die Verteilungsfunktion der eindimensionalen t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden. Wie bei der Normal-Copula kann die
STUDENTS t-Copula mit ihrer n-dimensionalen Dichtefunktion explizit dargestellt werden, wobei
Γ die Gammafunktion bezeichnet:
163
Verteilungen die zur elliptischen Verteilungsfamilie gehören, besitzen Randverteilungen gleichen Typs.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
57
 ν+n 
 ν +n
−

Γ
Tν−1(u1 ) Tν−1(un ) 

−1   2 
'
xR x
2 

t
 1+

CR,ν (u1,...,un ) =
...
dx1...dxn
⋅

ν 
ν
n
−∞ 
Γ   ( πν ) R −∞

2
∫
∫
(4.28)
Der Vorteil beider Copulas ist, dass die Normal-Copula nur einen Parameter (Korrelationsmatrix
R) und die STUDENTS t-Copula zwei Parameter (Korrelationsmatrix R, Freiheitsgrad ν )
benötigen und relativ einfach zu simulieren sind. Das Generieren von Realisationen beider
Copulas wird in Kapitel 6.3.3 genauer beschrieben. Zwischen beiden Copulafunktionen gibt es
eine Besonderheit bezüglich der Randabhängigkeit (Tail-Abhängigkeit) der generierten
gemeinsamen Verteilung. Während die Normal-Copula keine Randabhängigkeit generiert,
bewirkt die mit der STUDENTS t-Copula erzeugte gemeinsame Verteilung eine asymptotische
Abhängigkeit in ihren Randbereichen. Durch diese Abhängigkeit werden gleichzeitig extreme
Werte der Randverteilungen generiert (siehe Bild 4.7). Die Randabhängigkeit nimmt bei der
Students t-Verteilung mit steigender Korrelation R und fallendem Freiheitsgrad ν zu.164
In Bild 4.7 sind für beide Copulas 3’000 simulierte Datenpaare einer 2-dimensionalen Verteilung
dargestellt, wobei beide Copulafunktionen mit standardnormalverteilten Randverteilungen und
Korrelation von 0.7 gekoppelt sind. Das Bild zeigt sehr deutlich, wie die durch die STUDENTS tCopula generierten Datenpaare in beiden Randbereichen spitzförmig auslaufen:
Bild 4.7:
Unterschiedliche Ausbildung des Randbereiches von zwei 2-dimensionalen
Verteilungen, die mit einer Normal-Copula (Korrelation=0.7) bzw. STUDENTS tCopula (Korrelation=0.7, ν =2) und standardnormalverteilten Randverteilungen
erzeugt wurden
Wird die STUDENTS-t-Copula in der quantitativen Risikobewertung verwendet, ergibt sich eine
konservativere Betrachtung der Risikosituation.
4.2.6
ZUSAMMENFASSUNG DER ABHÄNGIGKEITSMÖGLICHKEITEN
Im Zuge der Ausführungen über die lineare Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON wurde erläutert,
dass das Abhängigkeitsmass unter Nichtberücksichtigung des elliptischen Verteilungstyps
mehrere Schwächen aufweist. Einerseits existieren bei beliebigen nicht elliptisch verteilten
Randverteilungen und einer gegebenen Kovarianzmatrix bzw. Korrelationsmatrix beliebig viele
gemeinsame Verteilungen, anderseits kann es vorkommen, dass für einen angenommenen
164
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 212
58
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
Korrelationswert keine gemeinsame Verteilung existiert. Letzteres kann zwar durch Verwendung
der Rangkorrelation nach SPEARMAN oder KENDAL eliminiert werden, es können aber weiterhin
beliebig viele gemeinsame Verteilungen existieren. Die Verwendung der Rangkorrelation bei
beliebigen Randverteilungen sollte dennoch der linearen Korrelation vorgezogen werden, da bei
diesem Vorgehen die Sicherheit gegeben ist, dass wenigsten eine gemeinsame Verteilung
existiert. Erst durch die Verwendung einer Copulafunktion kann die gemeinsame Verteilung der
Zufallsvariablen eindeutig festgelegt werden.
Die Bestimmung von Korrelationskoeffizienten beider Arten und der Copulafunktion kann sich
sowohl bei fehlenden historischen Daten als auch bei vorhandenen Daten als sehr schwierig
erweisen. Geht man z. B. davon aus, dass die Zufallsvariablen Risiken darstellen, so müssen
einerseits die Risiken gemeinsam in einem früheren Projekt aufgetreten sein und andererseits
müssen die Randbedingungen der historischen Daten mit dem untersuchenden Projekt
identisch sein.
Die Schätzung der Korrelationskoeffizienten durch Expertenwissen ist ebenfalls kompliziert,
wenn zahlreiche Zufallsvariablen (Risiken) vorhanden sind, da die Korrelationsmatrix stets
positiv semidefinit oder positiv definit bleiben muss. Es empfiehlt sich deshalb, als erste
Näherung für abhängige Zufallsvariablen die beiden Grenzfälle der Korrelation (unkorreliert und
perfekt positiv korreliert) zu betrachten.
Das folgende Beispiel zeigt eine nicht zulässige Korrelationsmatrix und beinhaltet drei Risiken
A, B, C, die sich in einer Abhängigkeit zueinander befinden. Risiko A ist mit Risiko B perfekt
positiv korreliert, weiter ist Risiko B mit Risiko C perfekt positiv korreliert. Wenn Risiko A mit
Risiko C perfekt negativ korreliert ist, ergibt sich ein negativer Eigenwert, und die Korrelationsmatrix ist nicht mehr mindestens positiv semidefinit und daher ungültig.
A
A 1
B 1
C −1
B C
1 −1
1 1
1 1
EW
λ1 = −1
λ 2 = +2
λ 3 = +2
Risiko A muss mit Risiko C ebenfalls perfekt positiv korreliert sein, was bei genauerer
Betrachtung der einzelnen Abhängigkeiten der Zufallsvariablen einleuchtend ist. Es ist klar
ersichtlich, dass sich bei einer steigenden Anzahl von Zufallsvariablen bzw. Risiken die
zwingenden Werte für die Matrix nicht mehr einfach angeben lassen.
Die Schätzung der Copulafunktion auf der Grundlage einer Datenbasis ist sehr schwierig; viel
schwieriger noch als die Ermittlung der Korrelationskoeffizienten. Sind keine Daten vorhanden
und muss noch dazu eine mehrdimensionale Copulafunktion geschätzt werden, ist die
Ermittlung der Funktion zu komplex. Deshalb wird bei Anwendungen dieser Art meist auf
bekannte Copulas zurückgegriffen.
Im Bereich des Bauwesens werden Abhängigkeiten trotz nicht elliptischer Verteilungsannahmen
vielfach mit linearen Korrelationen beschrieben. Dies lässt die Vermutung zu, dass sich viele
Anwender der Problematik dieses Abhängigkeitsmasses nicht bewusst sind. Zur Anwendung
TEIL B: GRUNDLAGEN - 4. STATISTIK UND STOCHASTIK
59
von Copulafunktionen wurden gemäss Recherchen des Autors fast keine Papers publiziert. Im
deutschsprachigen Raum existiert lediglich ein Aufsatz165 im Bereich Risikomanagement. Darin
wird die Abhängigkeitsstruktur der Risiken mittels einer FRANK-Copula beschrieben. Die meisten
Papers, die sich mit dem Thema befassen, sind eindeutig im Finanzbereich zu finden. Aufgrund
ihrer Vorteile gegenüber den anderen vorgestellten Abhängigkeitsmassen werden die
elliptischen Copulafunktionen für die Abhängigkeitsmodellierung in PRIMO verwendet.
Die vorgestellten Methoden können nur den Zusammenhang von Zufallsvariablen beschreiben,
sie sagen jedoch nichts darüber aus, in welche Richtung die Beeinflussung der Zufallsvariablen
stattfindet. Des Weiteren kann das Problem auftreten, dass z. B. zwei Zufallsvariablen
Abhängigkeiten aufweisen, diese Abhängigkeit aber durch eine dritte Grösse verursacht wird.
Ändert sich diese dritte Grösse, müssten bezüglich der Abhängigkeiten der beiden anderen
Grössen neue Überlegungen gemacht werden. Das Fehlen dieser Kausalzusammenhänge
(Ursache-Wirkung) kann zu falschen Berechungsergebnissen führen. Aus diesem Grund wird
für die Modellierung von geologisch bedingten Ereignissen die Methode mit Bayes’schen
Netzen bevorzugt, deren Zufallsvariablen bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen besitzen
und kausale Zusammenhänge hervorragend abbilden können. Kapitel 5 widmet sich den
Ausführungen über die Bayes’schen Netze.
165
ÖGG, [Kostenermittlung für Projekte, 2005], S.13
60
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
5
BAYES’SCHE NETZE
Bayes’sche Netze (Bayesian Networks, BNs)166 sind graphische Modelle, die probabilistische
Zusammenhänge darstellen. Sie basieren auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und avancieren
immer mehr zu einem der wichtigsten Werkzeuge zur Verarbeitung und Darstellung unsicheren
Wissens in technischen oder anderen Systemen.167
Bayes’sche Netze werden zu den normativen Expertensystemen (Normative Expert Systems)168
gezählt und stellen eine Alternative zu den regelbasierenden Expertensystemen dar, die eine
Vielzahl an Regeln der Form „if condition then fact“ oder „if condition then action“ beinhalten
und das Ziel haben, den Experten durch ein umfassendes Regelwerk zu ersetzen. Normative
Expertensysteme – insbesondere Bayes’sche Netze – modellieren mit bedingten
Wahrscheinlichkeiten nur die Unsicherheit der Anwendungsdomäne. Im Gegensatz zu den
regelbasierenden Expertensystemen ersetzt das normative Expertensystem den Experten nicht,
sondern unterstützt diesen lediglich bei der Findung der besten Entscheidung und
Argumentation in der Domäne.
5.1
ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN DER BAYES’SCHEN NETZE
Bayes’sche Netze kommen in vielen Anwendungsgebieten erfolgreich zum Einsatz, hauptsächlich aber in der Medizin und in der Informatik. Nachfolgend werden einige interessante
Beispiele aufgeführt.
• Pathfinder-System169: Ein medizinisches Expertensystem, das Ärzte bei der Diagnose von
Lymphdrüsenerkrankungen unterstützt.
• Heart Disease Program170: Ein Programm, das Ärzte bei Therapien auf dem Gebiet der Herzund Gefässkrankheiten unterstützt.
• Trouble Shooting SACSO171: Ein Tool für Hewlett-Packard-Drucker, das dem Call-Center hilft,
dem Kunden aufgrund seiner Problembeschreibung Lösungsvorschläge für Druckerprobleme aufzuzeigen, um so die Reparaturkosten zu verringern.
• Vorhersage von Softwaredefekten172: Ein von Philips entwickeltes Tool zur Beurteilung der
Risiken und Betriebssicherheit ihrer Unterhaltungselektronik, um etwaigen Softwaredefekten
vorzubeugen.
• Spam-Filter (Microsoft): Ein Hilfsmittel zur Filterung von E-Mails mit bestimmtem Textinhalt.
166
167
168
169
170
171
172
Bayes’sche Netze werden auch Causal Probabilistic Networks (CPN), Bayes Nets (BN), Bayesian
Belief Networks (BBN) genannt.
Weitere Einführungen auf dem Gebiet Bayes’scher Netze geben JENSEN, F. V. (1996),
JENSEN, F.V. (2001), PEARL, J. (1998), NEAPOLITAN, H. R. (1990)
JENSEN, F. V., [An introduction to Bayesian Networks, 1996], S. 3 f.
HECKERMAN, D. E., [Probabilistic similarity networks, 1991]
LONG, W. J., [Medical diagnosis, 1989]
JENSEN, F. V., SCAANING, C., KJAERULFF, U., [Printing System Diagnosis, 1998]
FENTON, N., KRAUSE, P., NEIL, M., [Software Measurement, 2001]
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
61
• BayesCredit173: Ein Tool zur Einschätzung von Kreditrisiken (Basel II).
• Tunnelbau174: Das Bayes-Modell simuliert in der Entwurfsphase anhand einer Kombination
von gestalterischen Merkmalen und sicherheitstechnischen Einrichtungen die Ausbreitung
von Hitze bei einem Feuer.
• Tunnelbau:175 Das Netz modelliert Unfälle und deren Auswirkungen in Abhängigkeit der
Tunnel- und der Verkehrscharakteristik.
Im Internet finden sich zahlreiche Seiten, die eine Vielzahl weiterer Anwendungsmöglichkeiten
aufzeigen.176 177
5.2
EIGENSCHAFTEN VON BAYES’SCHEN NETZEN
Repräsentation von Domänen: Mit Bayes’schen Netzen (BN) können auf der Basis von
Expertenwissen die unterschiedlichsten Domänen durch eine Abhängigkeitsmodellierung mit
bedingten Wahrscheinlichkeiten realitätsnah abgebildet werden.
Einbezug von neuem Wissen: Neues Wissen bzw. neue Informationen können sehr gut auf
der Grundlage des Bayes’schen Theorems178 in BN eingebracht werden. Dieses Wissen wird in
Echtzeit durch das gesamte Netz propagiert und der Einfluss in der Domäne aufgezeigt.
Entscheidungshilfe: BN können einfach mit Elementen der Entscheidungstheorie zu
Einflussdiagrammen erweitert werden. So können jene Entscheidungen gefunden werden, die
den grössten Nutzen in der Domäne erzeugen.
Lernen: In BN können mittels verschiedener Algorithmen aus vorhanden Daten
(Trainingsdaten) sowohl die Struktur als auch die Wahrscheinlichkeitsangaben der Netze erlernt
werden. Es existieren vier Lernsituationen, die von den Trainingsdaten und der Struktur
abhängig sind:179
• Vollständige Trainingsdaten, bekannte Struktur
• Vollständige Trainingsdaten, unbekannte Struktur
• Unvollständige Trainingsdaten, bekannte Struktur
• Unvollständige Trainingsdaten, unbekannte Struktur
173
174
175
176
177
178
179
http://www.hugin.com/cases/Finance/Nykredit/BayesCredit-nykredit.pdf/BayesCredit-nykredit.pdf
(10-03-2007)
http://www.hugin.com/cases/Other/TunnelFire/TunnelFire.article (12-03-2007)
http://www.hugin.com/cases/Academic/tunnel_accidents/Analysis%20of%20tunnel%20accidents%20
by%20using%20Bayesian%20networks (12-03-2007)
http://www.hugin.com/cases/ (10-03-2007)
http://www.auai.org/ (10-03-2007)
Siehe Kapitel 5.4.1
WITTIG, F., [Maschinelles Lernen, 2002], S. 93
62
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
5.3
Bild 5.1:
STRUKTUR
Bayes’sches Netz mit 3 Zufallsvariablen und den zugehörigen Wahrscheinlichkeitstabellen bzw. Probability Tables (PTs)
Die von PEARL180 entwickelten Netze sind gerichtete181, azyklische182 Graphen183 DAG, die eine
Domäne mit Unsicherheiten modellieren. Die BN bestehen aus Knoten und Kanten. Die Knoten
bilden die Zufallsvariablen; sie repräsentieren Ursachen bzw. Ereignisse und Wirkungen und
sind mit gerichteten Kanten verbunden, die ihre kausalen Abhängigkeiten zueinander und den
Weg von der Ursache zur Wirkung graphisch aufzeigen. Existiert eine gerichtete Kante
zwischen zwei Knoten (z. B. Bild 5.1 X → Z, X → Y oder Y → Z), so wird der Vorgängerknoten
Eltern-Knoten und der Nachfolgeknoten Kind-Knoten genannt.
Jeder Knoten (Zufallsvariable) besitzt eine Matrix (Wahrscheinlichkeitstabelle, Probability
Table (PT)), die mit Zuständen (Elementarereignissen, Hypothesen) und den Zuständen
zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gefüllt ist. Die Zustände schliessen sich gegenseitig aus,
und die Summe der Wahrscheinlichkeiten über die einzelnen Zustände muss 1 ergeben. In Bild
5.1 sieht man z. B. für Knoten X die Zustände X1 und X2 und die Wahrscheinlichkeiten x1 und x2.
Die Knoten können verschiedene Typen von Zuständen annehmen:
• Abgestufte Zustände: z. B. klein, mittel, gross
• Bezeichnende Zustände: z. B. rot, blau, grün
• Binäre Zustände: z. B. ja und nein oder wahr und falsch
• Diskrete Zustände: z. B. 2, –3, 5
• Kontinuierliche Zustände: z. B. [1–10], [<10–20]; die Bereiche können alle reellen oder auch
nur ganzzahlige Werte annehmen.
180
181
182
183
PEARL, J., [intelligent systems networks, 1988].
gerichtet= Verbindung zweier Knoten unter Berücksichtigung einer Reihenfolge.
azyklisch= es existiert kein gerichteter Pfad, der von einem Knoten startet und bei diesem selben
Knoten endet. Somit sind in diesen Netzen keine Zyklen vorhanden.
Graph = ist ein Gebilde aus Knoten, die mittels Kanten verbunden werden.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
63
Eltern-Knoten, auf die keine gerichteten Kanten zeigen (in Bild 5.1 Variable X), enthalten nichtbedingte Wahrscheinlichkeiten. Für Kind-Knoten wird die Wahrscheinlichkeitsmatrix mit
bedingten Wahrscheinlichkeiten gefüllt. Die Wahrscheinlichkeitsmatrizen spiegeln die Stärke der
Abhängigkeiten der Knoten untereinander wider. Sie können sowohl mit Daten
(Beobachtungen, Experimenten) als auch mit Expertenwissen gefüllt werden und können
normalverteilte stetige Dichtefunktionen oder beliebig diskrete verteilte Wahrscheinlichkeitsfunktionen annehmen. In dieser Arbeit werden nur Knoten (Zufallsvariablen) mit diskreten
Wahrscheinlichkeitsfunktionen verwendet, etwaige vorhandene stetige Zufallsvariablen werden
auf Teilintervalle diskretisiert, die Knotenzustände repräsentieren.
Die Struktur kann, wie oben erwähnt, durch Elemente der Entscheidungstheorie ergänzt
werden. Diese Elemente sind in einem BN die Entscheidungsknoten und die Nutzenknoten. Der
Entscheidungsknoten beinhaltet keine Wahrscheinlichkeiten, sondern gibt mögliche Entscheidungen an, die in der Domäne getroffen werden können. Der Nutzenknoten, der
mindestens einen Entscheidungsknoten als Vorfahren hat, beinhaltet ebenfalls keine
Wahrscheinlichkeiten, sondern drückt beispielsweise den Nutzen in Geld- oder Zeiteinheiten
aus. Sinnvollerweise wird die Entscheidung in der Domäne getroffen, die den grössten Nutzen
birgt.
Bild 5.2:
5.4
Entscheidungsdiagramm
BERECHNUNG
In einem Bayes'schen Netz zu rechnen bedeutet, aufgrund neuen Wissens über Zustände
einiger Zufallsvariablen auf die resultierenden a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten der unbeobachteten Zufallsvariablen zu schliessen. Die Grundlage bildet das Bayes’sche Theorem,
welches nachfolgend dargestellt wird.
5.4.1
BAYES’SCHE THEOREM
Das Bayes’sche Theorem wurde vom englischen Mathematiker und Geistlichen BAYES entwickelt und stützt sich auf die subjektive Wahrscheinlichkeitsdefinition. Das Theorem lässt sich mit
dem Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung für zwei abhängige Ereignisse
einfach herleiten.
Aufgrund der Gleichheit A ∩ B = B ∩ A gilt P(A) ⋅ P(B|A) = P(B) ⋅ P(A|B) . Durch Umformen
erhält man das Bayes’sche Theorem184 in seiner einfachsten Form, das auch aus dem VennDiagramm abgeleitet werden kann.
184
BENJAMIN, J. R., CORNELL, C. A., [Probability, Statistics, and Decision for Civil Engineers, 1970], S. 64
64
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
P(A) ⋅ P(B|A)
P(B)
P(A|B) =
P(B) > 0 .
(5.1)
Das Bayes’sche Theorem berechnet die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, unter
der Bedingung, dass ein Ereignis B schon eingetreten ist. Damit mögliche Erkenntnisse, die
sich durch das Eintreten von Ereignis B ergeben, für Ereignis A nutzbar gemacht werden
können, muss Ereignis A in einem Zusammenhang mit Ereignis B stehen.
Das Theorem kann in der Praxis folgendermassen angewendet werden: 185
Die Wahrscheinlichkeit P(A) bildet die so genannte a-priori-Wahrscheinlichkeit. Diese umfasst
eine erste Abschätzung (z. B. aus Expertenwissen) bezüglich der Eintrittswahrscheinlichkeit von
Ereignis A. Ergeben sich z. B. durch Versuche oder Beobachtungen neue Informationen
(Ereignis B) in Form einer bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) , kann die a-prioriWahrscheinlichkeit P(A) von Ereignis A aktualisiert werden. Der neue Kenntnisstand über
Ereignis A spiegelt die Wahrscheinlichkeit P(A|B) wider, die auch a-posterioriWahrscheinlichkeit genannt wird. Die Wahrscheinlichkeit P(B|A) wird als Likelihood186
bezeichnet. Diese Art der Verarbeitung von zusätzlichen Informationen wird Bayes’sches
Updating genannt; in Bayes’schen Netzen stellt dieser Vorgang einen Inferenzablauf dar.
Existieren statt einem Ereignis A mehrere Ereignisse Ai, so kann die Wahrscheinlichkeit P(B) mit
dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden. Dieser setzt aber voraus, dass sich
die Ereignisse Ai gegenseitig ausschliessen und die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten 1 ergibt.
In einem Bayes’schen Netz repräsentieren diese Ereignisse Ai verschiedene Zustände – so
genannte Hypothesen – eines Knotens:
Ai ∩ A j = 0
(5.2)
∑ P(Ai ) = 1
(5.3)
P(B) =
n
n
i=1
i=1
∑ P(Ai ∩ B) = ∑ P(A i ) ⋅ P(B|Ai )
Das nachfolgende Bild veranschaulicht diese Gleichungen:
Ereignisraum Ω
A1
A2
Bild 5.3:
185
186
A3
A4
A5
Ableitung der totalen Wahrscheinlichkeit
In Anlehnung an SCHEIWILLER, A. P., [Informationsverknüpfung im Bauwesen, 1999], S. 35
Mangels einer geeigneten deutschen Übersetzung wird der englische Begriff in dieser Arbeit
beibehalten.
(5.4)
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
65
Substituiert man in Gleichung (5.1) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P(B) durch die totale
Wahrscheinlichkeit (Gleichung (5.4)), so erhält man das Bayes’sche Theorem187 in seiner
allgemeinen Form, das die Grundlage der Bayes’schen Netze darstellt:
P(A i |B) =
P(A i ) ⋅ P(B|A i )
=
P(B)
P(A i ) ⋅ P(B|A i )
n
∑
i=1
P(A i ) ⋅ P(B|A i )
P(A i |B)
a-posteriori-Wahrscheinlichkeit
P(A i )
a-priori-Wahrscheinlichkeit
P(B|A i )
Likelihood
P(B)
totale Wahrscheinlichkeit
5.4.2
(5.5)
VERBUNDWAHRSCHEINLICHKEIT FÜR BAYES’SCHE NETZE
Die trivialste Möglichkeit in einfachen Netzen (geringe Anzahl von Zufallsvariablen, Zuständen
und Kanten) Berechnungen durchzuführen, kann auf Grundlage der Verbundwahrscheinlichkeit P(X) durchgeführt werden. Sie repräsentiert die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle Zufallsvariablen X = (X1, X2, ...,Xn) eines Bayes’schen
Netzes, von der alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen im Netz abgeleitet
werden können.
P(X) kann mit Hilfe des Multiplikationssatzes und unter Berücksichtigung der zur Struktur
passenden Abhängigkeiten für ein Bayes’sches Netz ermittelt werden, was zu einer einfacheren
Aussage über die bedingten Wahrscheinlichkeiten führt.
Bild 5.4:
Bayes’sches Netz mit 5 Zufallsvariablen
In Bild 5 wird ein Bayes’sches Netz mit 5 Zufallsvariablen (X1,…, X5) aufgezeigt. Jede Variable
besitzt zwei Zustände (Xn1, Xn2) die sich gegenseitig ausschliessen. Die Anwendung des
Multiplikationssatzes für das Netz ergibt:
P(X1,X2,X3,X4,X5) = P(X1∩ X2 ∩ X3 ∩ X4 ∩ X5) =
= P(X5|X1,X2,X3,X4) ⋅ P(X4|X1,X2,X3) ⋅ P(X3|X1,X2) ⋅ P(X2|X1) ⋅ P(X1)
Werden die kausalen Zusammenhänge der Zufallsvariablen im Netz berücksichtigt, z. B. für
Variable X5, die direkt nur von X3 abhängig ist, ergibt sich die faktorisierte Darstellung der
Verbundwahrscheinlichkeit P(X):
187
BENJAMIN, J. R., CORNELL, C. A., [Probability, Statistics, and Decision for Civil Engineers, 1970], S. 65
66
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
P(X1,X2,X3,X4,X5) = P(X1∩ X2 ∩ X3 ∩ X4 ∩ X5) =
= P(X5|X3) ⋅ P(X4|X2,X3) ⋅ P(X3|X1) ⋅ P(X2|X1) ⋅ P(X1)
Jeder Knoten ist somit unabhängig von den Vorgängerknoten bei instanziierten (= Gewissheit
über einen Zustand) Eltern-Knoten.188 Die Verbundwahrscheinlichkeit P(X) kann vereinfacht
angeschrieben werden als:189
P(X) =
n
∏ P(Xi|pa(Xi))
(5.6)
i =1
pa(Xi) sind die Elternknoten von Xi.
Auf der Grundlage der Verbundwahrscheinlichkeit P(X) kann jede Wahrscheinlichkeit des
Netzes ermittelt werden. Beispielsweise ergibt sich die totale Wahrscheinlichkeit für
Zufallsvariable X4 mit dem Zustand X41 zu:
P(X4 = X41) =
∑
X \{X4 = X42 }
P(X) =
n
∑ ∏ P(Xi|pa(Xi))
(5.7)
X\{X4 = X42 } i =1
Ergeben sich im Zuge von Versuchen oder durch Expertenwissen neue Informationen über
Zufallsvariablen, kann auf der Basis des Bayes’schen Theorems die a-posterioriWahrscheinlichkeit der einzelnen Variablen berechnet werden. Somit können bedingte
Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, die zuvor unbekannt waren. Zum Beispiel kann man
die Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariable X2 mit Zustand X21 bei gegebener Zufallsvariable X4
mit Zustand X41 folgendermassen berechnen:
∑
P(X2|X4) =
X \{X2= X22 , X4= X42 }
∑
X \{X4= X42 }
P(X)
n
∏ P(Xi|pa(Xi))
∑
P(X)
=
X \{X2= X22 , X4= X42 } i =1
n
(5.8)
∑ ∏ P(Xi|pa(Xi))
X \{X4= X42 } i =1
Die Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariable X2 (Zustand X21) und Zufallsvariable X3 (Zustand X31)
bei gegebener Zufallsvariable X4 (Zustand X41) kann wie folgt berechnet werden:
∑
P(X2,X3|X4) =
X \{X2= X22 , X3= X32 , X4= X42 }
∑
X \{X4= X42 }
P(X)
∑
P(X)
=
n
∏ P(Xi|pa(Xi))
X \{X2= X22 , X3= X32 , X4 = X42 } i =1
n
∑ ∏ P(Xi|pa(Xi))
(5.9)
X \{X4= X42 } i =1
Für Bayes’sche Netze mit vielen Variablen, vielen Zuständen und vielen Kanten wird die
188
189
HEINSOHN, J., SOCHER-AMBROSIUS, R., [Wissensverarbeitung, 1999], S. 208 f.
JENSEN, F. V., [Bayesian Networks, 2001], S. 36
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
67
Ermittlung der Verbundwahrscheinlichkeiten zu umständlich, sodass diese Vorgehensweise
sehr ineffizient wird und man sich intelligenterer Berechnungsalgorithmen bedienen muss. In
der Literatur findet man zwei Kategorien von Algorithmen, von denen eine zu exakten Lösungen
und die andere zu approximativen Lösungen führt. Nachfolgend werden zur jeweiligen
Kategorie einige bekannte Lösungsmethoden angeführt.
Zur exakten Lösungsfindung gehören:
• Polytree-Algorithmus
• Clustering-Algorithmus (Junction-Tree)
• Variable-Elimination-Algorithmus
Die approximativen Lösungsmethoden werden hauptsächlich in grossen Bayes’schen Netzen
verwendet, weil dadurch einerseits die Anforderung an die Computer bezüglich Prozessor und
Hauptspeicher geringer gehalten werden können und andererseits die Berechnungsdauer
erheblich reduziert werden kann. Die Lösungen weichen nur unwesentlich von den durch exakte
Methoden berechneten ab.
• Markov-Chain-Monte-Carlo- (MCMC-) Algorithmus
• Likelihood-Weighting-Algorithmus
• Adaptive-Importance-Algorithmus
• Self Importance
Abschliessend kann gesagt werden, dass der Clustering Algorithmus (Junction-Tree) für die
meisten Anwendungen effizient genug ist. In Anwendungsdomänen mit komplexer und grosser
Netzstruktur sollte ein approximativer Algorithmus (z. B. MCMC) zur Anwendung kommen.
Informationen bezüglich Funktionsweise sowie Vor- und Nachteile der Algorithmen finden sich
in GÁMEZ190 und JENSEN191. Zudem werden in KORB UND NICHOLSON192 zahlreiche SoftwareProdukte, in denen verschiedene Algorithmen implementiert wurden, in einer Tabelle aufgelistet.
Die Liste gibt auch Aufschluss darüber, welche Programme frei erhältlich sind. In dieser Arbeit
wurde die kostenpflichtige Software Hugin193 verwendet, deren Berechnungsgrundlage der
Junction-Tree-Algorithmus bildet. Von diesem Produkt existiert eine Gratisversion, mit der Netze
mit maximal 50 Knoten modelliert werden können.
5.4.3
INFORMATIONSFLUSS
Der Informationsfluss hat eine wesentliche Bedeutung, einerseits für die Knotenmodellierung
und andererseits für das Schlussfolgerungsverfahren. Im Schlussfolgerungsverfahren werden
ein oder mehrere Knoten durch neues Wissen (Evidenzen) instanziiert. Diese Evidenzen
190
191
192
193
GÁMEZ, J. A., [Advances in Bayesian Networks, 2004], S. 44
JENSEN, F. V., [Bayesian Networks, 2001], S. 109 ff.
KORB, K. B., NICHOLSON, A. E., [Bayesian Artificial Intelligence, 2004], S. 322 f.
http://www.hugin.com (01-01-2007)
68
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
verursachen im initialisierten Gesamtnetz eine Verletzung der Konsistenzbedingungen. Um
wieder ein Gleichgewicht im Netz zu schaffen, werden alle nicht instantiierten Knoten so
angepasst, dass die Konsistenzbedingungen wieder erfüllt sind. Die Grundlage für die
Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes bildet das Bayes’sche Theorem.
Die Wissenspropagierung eines nicht im Gleichgewicht befindlichen Bayes’schen Netzes BN ist
völlig unabhängig von den Richtungen der Kanten. Die Richtung einer Kante sagt nur aus, dass
der Folgeknoten bedingte Wahrscheinlichkeiten besitzt.
In BN können drei Verbindungsarten der Knoten194
unterschiedlichen Abhängigkeiten führen können.
195
dargestellt werden, die zu
5.4.3.1 SERIELLE VERBINDUNG
X1: Wolken
X2: Regen
Bild 5.5:
Serielle Verbindung
X3: Rasen
Informationen von X1 nach X3 oder von X3 nach X1 können nur dann durch diese Verbindung
übermittelt werden, wenn X2 unbekannt (keine Evidenz) ist.
Beispiel:
Wissen wir nicht, ob es regnet, wird die Beobachtung, dass Wolken aufgezogen sind, unsere
Vermutung, dass es regnet, erhöhen, was wiederum unsere Vermutung, dass der Rasen nass
ist, ebenfalls verstärkt. Beobachten wir allerdings, dass es regnet X2, hat die Beobachtung,
dass Wolken X1 aufgezogen sind, keinen Einfluss mehr, um zur Hypothese zu gelangen, dass
der Rasen X3 nass ist. Eine Evidenz von X2 blockiert somit den Informationsfluss zwischen X1
und X3.
5.4.3.2 DIVERGIERENDE VERBINDUNG
X1: Radio
X2: Regen
X3: Rasen
Bild 5.6:
Divergierende Verbindung
Informationen von X1 nach X3 oder X3 nach X1 können nur dann durch diese Verbindung
übermittelt werden, wenn X2 unbekannt (keine Evidenz) ist.
Beispiel:
Wissen wir nicht, ob es regnet, wird eine Regenvorhersage am Radio unsere Vermutung, dass
es regnet, unterstützen, was wiederum unsere Vermutung, dass der Rasen nass ist, verstärkt.
Beobachten wir allerdings erst, dass es regnet X2 und dann, dass der Rasen X3 nass ist, so
194
195
PEARL, J., [intelligent systems networks, 1988]
Beispiele stammen aus der Hilfe von dem Software-Produkt Hugin
TEIL B: GRUNDLAGEN - 5. BAYES’SCHE NETZE
69
lässt das zusätzliche Wissen, dass der Rasen X3 nass ist, keine weiteren Schlüsse über die zu
erwartende Wettervorhersage am Radio X3 zu. D. h. wiederum: Wenn es regnet, hat die
Wettervorhersage keinen Einfluss mehr auf den Rasenzustand. Eine Evidenz von X2 blockiert
somit den Informationsfluss zwischen X1 und X3.
5.4.3.3 KONVERGIERENDE VERBINDUNG
X1: Regen
X2: Rasen
X3: Rasensprenger
Bild 5.7:
Konvergierende Verbindung
Informationen von X1 nach X3 oder von X3 nach X1 können nur dann durch diese Verbindung
übermittelt werden, wenn eine Information (Evidenz) über X2 verfügbar ist.
Beispiel:
Wissen wir nicht, ob der Rasen nass ist, so beeinflusst unsere Beobachtung, dass es regnet,
unsere Vermutung, ob der Rasensprenger aufgedreht war, nicht. Wenn wir allerdings wissen,
dass der Rasen X1 nass ist und dass der Rasensprenger X3 aufgedreht ist, so wird dies unsere
Vermutung über möglichen Regenfall X1 beeinflussen, da wir davon ausgehen, dass der Rasen
vom Rasensprenger und nicht vom Regen benetzt wurde.
Generell kann gesagt werden, dass zwei Zufallsvariablen d-separated (unabhängig) sind, wenn
auf allen Pfaden zwischen ihnen eine instanziierte Zufallsvariable mit zwei seriellen oder zwei
divergierenden Kanten existiert oder wenn zwei konvergierende Kanten existieren und die
dazwischen liegende Zufallsvariable und ihre Kind-Knoten nicht instanziiert sind. Sind zwei
Zufallsvariablen nicht d-separated, dann sind sie d-connected (abhängig).
5.5
ANWENDUNG IM IT-GESTÜTZTEN, PROJEKTBEZOGENEN
RISIKOMANAGEMENTMODELL
In Modul 2 (Geologie) werden die Bayes’schen Netze (BN) für eine realitätsnahe Darstellung
der geologischen Verhältnisse verwendet. Sie sollen die Verteilung der Profiltypen innerhalb des
Homogenbereiches ermitteln und die Eintrittswahrscheinlichkeit der geologisch bedingten
Ereignisse bewerten. Die BN werden für diese Aufgaben verwendet, da sie die UrsacheWirkungs-Kette der Ereignisse bzw. deren Abhängigkeiten durch bedingte Wahrscheinlichkeiten
sehr gut darstellen und zudem neue Informationen über Zustände der Knoten betreffend
Geologie einfach im Netz berücksichtigt werden können.
70
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
6
MONTE-CARLO-SIMULATION
Die Monte-Carlo-Simulation (M-C-S) ist ein numerisches Computer-Simulationsverfahren, das in
der Stochastik zur Anwendung kommt und der Ermittlung von Näherungslösungen bei
mathematischen Problemstellungen dient. Den Kern einer M-C-S stellen so genannte
Pseudozufallszahlen dar, wobei es sich um künstliche bzw. zufällige Stichproben handelt. Diese
Zufallszahlen mussten vor Begin des Computerzeitalters von Hand mit Hilfe eines
Rouletterades ermittelt werden. Von der monegassischen Stadt Monte Carlo mit ihren
zahlreichen Casinos rührt dann auch der Name dieser Methode her.
Die Mathematiker VON NEUMANN, ULAM und FERMI wandten die M-C-S in den 40er-Jahren an
und machten sie so bekannt196. Der Grundgedanke dieser Methode, durch eine Vielzahl von
Stichproben Probleme zu lösen, war zwar damals nicht neu, jedoch aufgrund fehlender
Rechenanlagen für die praktische Anwendung uninteressant.
Heutzutage wird diese Simulationsmethode dank leicht erschwinglicher Personal Computer
(PC) und deren rasanter Weiterentwicklung zu leistungsfähigeren Prozessoren auf vielen
Gebieten zur Lösung komplexer Problemstellungen eingesetzt. So beispielsweise in den
Wirtschafts-, Natur- und Ingenieurwissenschaften.
Im Bauwesen, speziell in den Baubetriebswissenschaften, finden sich ebenfalls zahlreiche
Arbeiten (z. B. ISAKSSON197, BUSCH198, MEINEN199, CADEZ200, LINK201), die die M-C-S in den
unterschiedlichsten Kontexten einsetzen, wie beispielsweise im Kosten-, Termin- und
Risikomanagement).
6.1
ANWENDUNGSMÖGLICHKEITEN DER MONTE-CARLO-SIMULATION
Probleme, die mittels der M-C-S gelöst werden können, lassen sich in zwei Gruppen
unterteilen202, namentlich in Probleme deterministischer und stochastischer Natur.
Probleme deterministischer Natur werden in stochastische Modelle übergeführt, wobei je
nach Anwendungsdomäne Schwierigkeiten auftreten können. Als Beispiele seien hier die
Integration mehrdimensionaler Integrale, die Lösung linearerer Gleichungssysteme und
Extremalprobleme genannt.
Probleme stochastischer Natur sind beispielsweise die Risikobewertung im Risikomanagement, die Kosten und Zeitermittlung in Projekten, die Qualitäts- und Zuverlässigkeitsbestimmung von Produkten, Warteschlangenprobleme vor Bedienungsstellen und mehr.
Weiter wird zudem, ähnlich wie bei den Bayes’schen Netzen, zwischen der statisch und der
dynamisch durchgeführten Simulation unterschieden. Bei der dynamischen Simulation wird die
196
197
198
199
200
201
202
HENGARTNER, W., THEODORESCU, R., [Monte-Carlo-Methode, 1978], S. 17 f
ISAKSSON, T., [Estimation of time and cost on tunnel projects, 2002]
BUSCH, T. A., [Risikomanagement-Prozessmodell, 2005]
MEINEN, H., [Quantitatives Risikomanagement, 2005]
CADEZ, I., [Risikowertanalyse, 1998]
LINK, D., [Risikobewertung von Bauprozessen, 1999]
HENGARTNER, W., THEODORESCU, R., [Monte-Carlo-Methode, 1978], S. 11 f.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
71
zeitliche bzw. räumliche Entwicklung von Vorgängen berücksichtigt. In dieser Arbeit wird die
statische M-C-S mit stetigen und diskreten Zufallsvariablen verwendet.
Für genauere Ausführungen und weitere Beispiele der einzelnen Problembereiche wird dem
interessierten Leser die Literatur von HENGARTNER UND THEODORESCU203 empfohlen.
6.2
ABLAUF EINER MONTE-CARLO-SIMULATION
In Bild 6.1 ist der allgemeine Ablauf einer M-C-S skizziert, deren Schritte in der Folge erläutert
werden:
Pseudozufallszahlen
Pseudozufallszahlenbzw.
bzw.
Stützwerte
Stützwerteder
der
Zufallsvariablen
Zufallsvariablenermitteln
ermitteln
Stochastisches
StochastischesModell
Modellmit
mit
Stützwerten
Stützwertendeterministisch
deterministisch
berechnen
berechnen
Ergebnisse
Ergebnisseje
je
Simulationsdurchgang
Simulationsdurchgang
speichern
speichern
nein
SimulationsSimulationsanzahl
anzahlerreicht?
erreicht?
ja
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Statistische Kenngrössen
•Mittelwert
•Standardabweichung
•Schiefe
•Kurtosis
•Quantile (z. B. 5%)
Verteilungsfunktion
1
Bild 6.1:
203
Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation
HENGARTNER, W., THEODORESCU, R., [Monte-Carlo-Methode, 1978]
72
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
Ein stochastisches Modell besteht aus mindestens einer Zufallsvariablen und beinhaltet
eventuell deterministische Variablen bzw. Konstanten. Aus jeder Zufallsvariablen wird eine
Realisation mittels einer Pseudozufallszahl ermittelt, in das stochastische Modell eingesetzt und
deterministisch durchgerechnet. Nach jedem Simulationsdurchgang (= Neuberechnung des
stochastischen Modells) werden die ermittelten Ergebnisse abgespeichert und anschliessend
der nächste Berechnungsdurchgang gestartet. Dabei werden für jeden Berechungsdurchgang
immer wieder Pseudozufallszahlen bzw. die zugehörigen Stützwerte aus den Zufallsvariablen
ermittelt und dem stochastischen Modell übergeben. Dadurch wird bei einer genügend grossen
Simulationsanzahl die Verteilungsfunktion der einzelnen Zufallsvariablen nachgebildet.
Die Anzahl der Durchläufe bzw. Neuberechnungen hängt von der gewünschten
Berechnungsgenauigkeit ab. Stabile Berechnungsergebnisse ergeben sich schon nach ca.
10’000 Simulationen, mehr dazu in Kapitel 6.4.
Nachdem die geforderte Simulationsanzahl erreicht ist, werden aus den abgespeicherten
Ergebnissen der Simulationsdurchgänge Histogramme bzw. Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktionen204 erstellt und die zugehörigen statistischen Parameter205 (Mittelwert,
Standardabweichung, Quantil usw.) ermittelt. Auf der Basis dieser Parameter kann ein
Verteilungstyp angenähert werden, der bei vielen Zufallsvariablen innerhalb des stochastischen
Modells – aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes206 – meistens eine Normal- bzw. eine LogNormalverteilung ist.
6.3
ZUFALLSZAHLEN
Die Bestimmung von Zufallszahlen bildet, wie eingangs bereits erwähnt, den Kern jeder M-C-S
und soll deshalb in diesem Kapitel näher betrachtet werden. In der Literatur unterscheidet man
prinzipiell zwischen zwei Arten von Zufallszahlen:
• Reine Zufallszahlen
• Pseudozufallszahlen
Reine Zufallszahlen werden aus der Beobachtung von zufälligen Prozessen gewonnen. Als
Beispiel sei der Münzwurf, die Anzahl von radioaktiven Zerfällen innerhalb eines Zeitraumes
oder das Roulettspiel genannt. Durch diese genannten Prozesse kann leider nur eine begrenzte
Anzahl von Zufallszahlen ermittelt werden, da die Ermittlung zeitlich bzw. technisch sehr
aufwändig ist. In der Praxis kommen darum zur Generierung von Zufallszahlen Algorithmen am
Computer zur Anwendung. Da diese Zufallszahlen deterministisch ermittelt werden und somit
nicht wirklich zufällig sind, spricht man von Pseudozufallszahlen. Zur Ermittlung dieser
Pseudozufallszahlen können verschiedene Zufallsgeneratoren bzw. Algorithmen verwendet
werden, die allesamt folgende Kriterien erfüllen:
• Jede Pseudozufallszahl ist auf dem Intervall [0,1] gleichmässig verteilt (entspricht einer
Rechtecksverteilung).
204
205
206
Siehe Anhang C.3.1 und Anhang C.3.2
Siehe Anhang C.4 und Anhang C.5
Siehe Anhang C.8
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
73
• Die Pseudozufallszahlen sind untereinander unabhängig (scheinbar).
• Die Algorithmen können eine grosse periodische Folge von Pseudozufallszahlen ohne
Wiederholungen erzeugen.
• Die periodische Folge von Pseudozufallszahlen ist reproduzierbar.
6.3.1
GLEICHVERTEILTE ZUFALLSZAHLEN
In der Praxis werden häufig lineare Kongruenzgeneratoren angewendet. Diese Generatoren
erzeugen Pseudozufallszahlen nach der folgenden Formel207:
Ij = (a ⋅ Ij−1 + c)mod m
(6.1)
Die neue Pseudozufallszahl Ij wird somit durch die alte Pseudozufallszahl Ij-1 und die drei
Konstanten – den Multiplikator a, den Summanden c und den Modulus208 m – erzeugt. Setzt
man den Summanden c auf 0, so spricht man von einem multiplikativen Kongruenzgenerator.
Gehören alle Eingangsgrössen zu den natürlichen Zahlen (0,1,2,….), ergibt sich durch
Festlegen eines Startwertes I0 eine Folge von nicht negativen ganzen Zahlen mit den Werten
von 0 ≤ Ij < m . Die gesuchten normierten Pseudozufallszahlen für das Intervall [0,1] lassen sich
mit der nachfolgenden Formel209 berechnen:
uj =
Ij
m
(6.2)
Es ist zu beachten, dass die Zahlenfolge periodisch ist, d. h. sie wiederholt sich. Die
Periodenlänge ist abhängig von den Werten der drei genannten Konstanten. Damit eine lange
Periode erzielt werden kann, dürfen diese Konstanten nicht beliebig vorgegeben werden,
vielmehr ist deren Kombination miteinander von Wichtigkeit, wie das nächste Beispiel deutlich
macht:
I0=13 (Startwert); a=19, c=4 und m=16
207
208
209
BLOBEL, V., LOHRMANN, E., [Statistische und numerische Methoden, 1998], S. 155 f.
die Funktion gibt den Rest der Division zweier Zahlen zurück.
z.B. 5 mod 3 = 2; 5/3=1 Rest 2
BLOBEL, V., LOHRMANN, E., [Statistische und numerische Methoden, 1998], S. 155 f.
74
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
j
Ij =(a×Ij-1 +c)mod m
uj=
Ij
1
(19·13+4)mod16=11
m
0.6875
2
(19·11+4)mod16=5
0.3125
3
(19·5+4)mod16=3
0.1875
4
(19·3+4)mod16=13
0.8125
5
(19·13+4)mod16=11
0.6875
6
(19·11+4)mod16=5
0.3125
Tabelle 6.1:
Beispiel Pseudozufallszahlen
Schon bei der fünften Berechnung wiederholt sich bei dieser Konstantenkombination die
Zahlenperiode. Dies ist nicht annähernd ausreichend für Simulationen, die in der Regel 10’000
Durchgänge haben.
Anhand dieses Beispiels ist sehr gut ersichtlich, wie entscheidend die Zahlenwerte dieser
Konstanten sind. Kombinationen für die Konstanten eines linearen Kongruenzgenerators mit
einer Periode von mindestens 105 sind:
Tabelle 6.2:
Kombinationen von Konstanten210
Dieser Algorithmus wird auch für die Ermittlung von Pseudozufallszahlen mit den Konstanten211
a = 9281, c = 0.211327, m = 1 bis und mit Excel 2002 von Microsoft verwendet. Die
Periodenlänge umfasst bis zu einer Million unterschiedlicher Zahlen im Bereich 0 ≤ uj < 1. Der
Startwert kann selbst vorgegeben werden und somit jede Periode von Zufallszahlen
reproduzieren. Die nächst höheren Excel Versionen verwenden den WICHMAN/HILLAlgorithmus212. Dieser zählt zur Gruppe der gemischt linearen Kongruenzgeneratoren. Dabei
werden von mehreren linearen Kongruenzgeneratoren Zufallszahlen erzeugt und anschliessend
eine neue Zufallszahl aus diesen generiert. Der WICHMAN/HILL-Algorithmus verwendet zum
Beispiel drei Generatoren.
Beim Bau-, Längenschnitt- und Risikomodul, die als Excel-Add-In realisiert wurden, und der in
diesen Modulen vorkommenden M-C-S, die die eingebaute Funktion Rnd() für die Generierung
der Zufallszahlen verwendet, hängt die Art der Pseudozufallsgenerierung von der verwendeten
Excel-Version ab. Der WICHMAN/HILL-Algorithmus liefert zwar eine höhere Qualität, die linearen
Kongruenzgeneratoren sind für die Simulation in dieser Arbeit jedoch vollkommen ausreichend.
210
211
212
BLOBEL, V., LOHRMANN, E., [Statistische und numerische Methoden, 1998], S. 157
http://support.microsoft.com/kb/86523/en-us (10-02-2008)
http://support.microsoft.com/kb/828795/en-us (10-02-2008)
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
75
Die Güte bzw. Qualität der Pseudozufallszahlen (insbesondere die gleichmässige Verteilung
und die Unabhängigkeit untereinander) ist für die M-C-S sehr wichtig, da die Ergebnisse
ansonsten falsche Aussagen liefern können. Um diese Güte zu bestimmen, können
verschiedene statistische Tests durchgeführt werden, die nachfolgend nur plakativ angeführt
werden und genauer in BLOBEL/LOHRMANN213 und in LAW/KELTON214 beschrieben sind.
• Mittelwert-Test
• Gleichverteilungs-Tests (Chi-Quadrat-Test, Kolmogorov-Smirnov-Test)
• Korrelations-Test (Gap-Test, Poker-Test, Spektral-Test)
Es gibt noch andere Gruppen von Zufallszahlengeneratoren die qualitativ bessere
Pseudozufallszahlen generieren als die linearen Kongruenzgeneratoren. Nachfolgend sei noch
eine Auswahl an Generatoren angeführt, die in der Literatur von LAW/KELTON215 und
LANDAU/BINDER216 genauer beschrieben werden.
• Nichtlineare Kongruenzgeneratoren (x2 mod n Generatoren, mehrfach rekursive Generatoren)
• Linear rückgekoppelte Schieberegister (binär linear, dual linear)
6.3.2
NICHT GLEICHVERTEILTE ZUFALLSZAHLEN
In einem stochastischen Modell sind nur in den seltensten Fällen ausschliesslich gleichverteilte
Zufallsvariablen enthalten. Um die M-C-S Modellen mit anderen Verteilungstypen (z. B.
Dreiecksverteilung) zugänglich zu machen, wird das Inversionsverfahren verwendet, das auch
der Generierung von Pseudozufallszahlen in dieser Arbeit diente.
Das Verfahren stützt sich auf die in Kapitel 6.3.1 erläuterten gleichverteilten Zufallszahlen für das
Intervall [0,1] und nutzt die Gegebenheit, dass jeder beliebige Verteilungstyp eine
Verteilungsfunktion F(x) besitzt, deren Wertebereich zwischen 0 und 1 liegt. Aus der generierten
gleichverteilten Zufallszahl uj – die bei diesem Verfahren das Quantil217 der
Verteilungsfunktion F(x) darstellt – und der inversen Verteilungsfunktion von F(x) ergibt sich die
neue Zufallszahl xj:
F(x j ) = uj ⇔ x j = F −1(uj )
(6.3)
Der folgende Beweis218 liefert die Gültigkeit dafür, dass mittels einer Transformation von auf
[0,1] gleichverteilten Zufallszahlen u1,..,un , beliebig verteilte Zufallsvariablen ermittelt werden
können. Mit der transformierten Zufallsvariablen U = F(X) gilt:
213
214
215
216
217
218
BLOBEL, V., LOHRMANN, E., [Statistische und numerische Methoden, 1998], S. 161 ff.
LAW, A. M., KELTON, W. D., [Simulation modeling and analysis, 2000], S. 417 ff.
LAW, A. M., KELTON, W. D., [Simulation modeling and analysis, 2000], S. 402 ff.
LANDAU, D. P., BINDER, K., [Monte-Carlo-Simulations, 2005], S.32 ff.
Siehe Anhang C.5
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S.321
76
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
P(U ≤ uj ) = P(F −1(U) ≤ F −1(uj )) = P(X ≤ x j ) = F(X) = uj ,
0 ≤ uj ≤ 1,
j = 1,2,...,n
(6.4)
U muss eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable sein.
Bild 6.2 soll die Inversionsmethode verdeutlichen:
Verteilungsfunktion
FX(x)
1
uj ∈[0,1], gleichverteilte Zufallszahlen
uj
0
xmax
xmin
x
Dichtefunktion
fX(x)
x
xmin
Bild 6.2:
xj
xmax
Bestimmung von Zufallszahlen mit der Inversionsmethode
Es ist zu beachten, dass nicht von allen Verteilungsfunktionen eine inverse Funktion gebildet
werden kann und das Verfahren somit nicht immer angewendet werden kann. Als Beispiel sei
die Normalverteilung genannt. Für diesen Verteilungstyp gibt es andere numerische Verfahren.
Der Vollständigkeit halber sei gesagt, dass in dieser Arbeit für die Generierung von
dreiecksverteilten Zufallszahlen (ZZ) das Inversionsverfahren, für poissonverteilte ZZ das
Verfahren nach KNUT219 und für normal- und log-normalverteilte ZZ die Polarmethode,
zurückzuführen auf BOX, MULLER, MARSAGLIA220, verwendet wird.
219
220
KNUTH, D. E., [Computer Programming, 1997], S. 137
KNUTH, D. E., [Computer Programming, 1997], S. 122 ff.
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
6.3.3
77
KORRELIERTE ZUFALLSZAHLEN
Zufallsvariablen (ZV) können voneinander abhängig sein, d. h. eine Realisation (Stichprobe)
einer ZV gibt die Realisation einer anderen ZV vor. Diese Korrelationen können auch in einer MC-S berücksichtigt werden, dabei werden zunächst unkorrelierte ZV erzeugt und mittels
spezieller Verfahren in korrelierte übergeleitet.
Ein Verfahren zur Erzeugung korrelierter normalverteilter Zufallszahlen ist die CHOLESKYZerlegung. Die Grundlage dieser Methode ist die Gegebenheit, dass sich aus einer linearen
Transformation ( Y = A ⋅ X + b ) eines elliptisch verteilten Zufallsvektors X wieder ein elliptisch
verteilter
Zufallsvektor Y
ergibt,
dessen
Erwartungswertvektor µ Y
und
dessen
Kovarianzmatrix ∑ Y folgendermassen definiert sind:
221
µ Y = µ A ⋅X+b = A ⋅ µ X + b
(6.5)
∑ Y = ∑ A ⋅ X+b = A ⋅ ∑ X ⋅A '
(6.6)
Nehmen wir an, dass der Zufallsvektor X ∼ N(0,I) unabhängige standardnormalverteilte222
Komponenten besitzt, so werden die obigen Gleichungen aufgrund von µ X = 0 und ∑X = I
(Diagonalmatrix mit den Werten 1 entlang der Diagonalen) wie folgt reduziert:
µ Y = µ A ⋅X+b = b
(6.7)
∑ Y = ∑ A ⋅X+b = A ⋅ A '
(6.8)
Jede Kovarianzmatrix ist symmetrisch und positiv definit oder positiv semidefinit223. Die
Voraussetzung für die CHOLESKY-Zerlegung224 ist, dass die Matrix symmetrisch und positiv
definit ist, deshalb kann diese Methode nicht immer angewendet werden.225 Sind die
Voraussetzungen erfüllt, kann eine Matrix durch das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix226
und ihrer Transponierten dargestellt werden. Dem entspricht die Gleichung (6.8). Die
Koeffizienten der unteren Dreiecksmatrix A müssen nun so angepasst werden, dass das
Produkt mit ihren Transponierten die gewünschte Kovarianzmatrix ergibt. Die einzelnen
Koeffizienten der Dreiecksmatrix können spaltenweise aus den nachfolgenden Formeln
berechnet werden:227
221
222
223
224
225
226
227
BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 107
N(0,1), Mittelwert = 0 und Standardabweichung =1
Siehe Kapitel 4.2.1
PREUSS, W., [Numerische Mathematik, 2001], S. 72
Wenn eine Matrix positiv semidefinit ist, können die Methoden der Eigenwertzerlegung und die
Singularwertzerlegung angewendet werden. Die aber wesentlich umfangreicher sind. Vgl. ZANGARI, P.,
[Routines to simulate random variables, 1996], S. 253 f.
Eine obere Dreiecksmatrix ist gekennzeichnet, dass unterhalb der Hauptdiagonalen alle Elemente
gleich 0 sind. Für die untere Dreiecksmatrix gilt die Ausführung sinngemäss.
PREUSS, W., [Numerische Mathematik, 2001], S. 73
78
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
 σ11 σ12
σ
σ22
Σ Y =  21
 ⋮
⋮

 σn1 σn2
 a11 0
a
a 22
A =  21
 ⋮
⋮

 a n1 a n2
⋯ σ1n   σ1σ1
⋯ σ1n   σ1σ2ρ12
=
⋱ ⋮   ⋮
 
⋯ σnn   σ1σnρ1n
⋯ 0 
⋯ 0 
⋱ ⋮ 

⋯ a nn 
0

i−1
 σ − a2
ik
 ii ∑
k =1
a ij = 
j−1

σ
−
 ij ∑ a ik ⋅ a jk
k =1

a jj

σ1σ2ρ12
σ2 σ2
⋮
σ2 σnρ2n
⋯ σ1σnρ1n 
⋯ σ2 σnρ2n 

⋱
⋮

⋯ σnσn 
Kovarianzmatrix
untere Dreiecksmatrix
für i < j
für i = j
(6.9)
für i > j
Es soll nun ein unabhängiger standardnormalverteilter Zufallsvektor X ∼ N(0,I) durch eine
lineare Transformation der Form Y = A ⋅ X + µ Y in einen normalverteilten Zufallsvektor Y ∼ N(µ Y , A ⋅ A ' ) umgewandelt werden. Dabei ist µ Y der Erwartungswertvektor der zu
korrelierenden Randverteilungen, und A ⋅ A ' bildet die vorgegebene Kovarianzmatrix. Durch das
Einsetzen der unkorrelierten standardnormalverteilten Zufallszahlen in die Transformationsgleichung werden korreliert normalverteilte Zufallszahlen erzeugt. Verlässt man für die
Randverteilungen den elliptischen Verteilungstyp, kann diese Methode nicht mehr angewendet
werden. Die Gründe sind in Kapitel 4.2.1 erläutert worden.
Eine Möglichkeit für abhängige, beliebig verteilte Zufallsvariablen, Zufallszahlen zu generieren,
stellen die Copulafunktionen dar, die in Kapitel 4.2.3 ausführlich behandelt wurden.
Nachfolgend wird für die Normal-Copula und die STUDENTS t-Copula, die beide im
Risikomanagementmodell (Teil C) implementiert sind, eine Vorgehensweise für die Genierung
von Zufallszahlen skizziert.
Die n-dimensionale Verteilungsfunktion, deren Abhängigkeitsstruktur durch eine Normal-Copula
beschrieben wird, ergibt sich aus der folgenden Gleichung (4.25):
FX1,...,Xn (x1,...,xn ) = ΦnR ( Φ −1(FX1(x1)),...,Φ −1(FXn (xn )))
Wobei
X1,..., Xn
Zufallsvariablen
mit
beliebigen
(6.10)
Randverteilungen
(Randverteilungs-
funktionen FX1,...,FXn ) darstellen und R die lineare Korrelationsmatrix der Copulafunktion ist.
Wenn die Randverteilungen nicht elliptisch verteilt sind und ihre Abhängigkeiten aus
statistischen Daten ermittelt werden, muss die Abhängigkeit mit der Rangkorrelation nach
SPEARMAN beschrieben werden. Die Gründe sind in den Kapiteln 4.2.1 und 4.2.2 dargestellt. Für
die Normal-Copula und die STUDENTS t-Copula existiert eine Beziehung zwischen der
Rangkorrelation nach SPEARMAN und der linearen Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON, die
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
79
ermöglicht, den Eingangsparameter R (lineare Korrelationsmatrix) beider Copulafunktionen
anzugeben. Die Beziehung ist in Gleichung (6.11) dargestellt.
π

ρ(Xi,X j ) = 2 ⋅ sin  ⋅ ρ(S)(Xi ,X j ) 
6

(6.11)
Der Algorithmus zur Simulation von Zufallszahlen der abhängigen Zufallsvariablen X1,..., Xn ist
durch die nachfolgenden Schritte dargestellt:228
1. Berechne die lineare Korrelationsmatrix R mittels der Gleichung (6.11).
2. Bilde mit der CHOLESKY-Zerlegung229 die untere Dreiecksmatrix A, sodass R = A ⋅ A ' gilt.
3. Simuliere unabhängige Zufallszahlen
y = (y1,...,y n )'
einer standardnormalverteilten
Zufallsvariablen Y.
4. Berechne z = A ⋅ y ; z = (z1,...,zn )' .
5. Berechne u = Φ( z ) ; u = (u1,...,un )' .
6. Berechne x = FX−i1(u) ; x = (x1,...,x n )' .
Die Schritte 3 bis 6 werden entsprechend der gewünschten Realisationsanzahl (in der M-C-S
entspricht dies der Simulationsanzahl) wiederholt.
Die durch die STUDENTS t-Copula beschriebene n-dimensionale Verteilungsfunktion ergibt sich
aus der Gleichung (4.27) wie folgt:
FX1,...,Xn (x1,...,xn ) = TRn,ν (Tν −1(FX1(x1)),...,Tν −1(FXn (x n )))
X1,..., Xn
sind
Zufallsvariablen
mit
beliebigen
(6.12)
Randverteilungen
(Randverteilungsfunk-
tionen FX1,...,FXn ). R ist die lineare Korrelationsmatrix und ν ist der Freiheitsgrad der
Copulafunktion.
Der Algorithmus zur Simulation von Zufallszahlen ist ähnlich der Normal-Copula.230
1. Berechne die lineare Korrelationsmatrix R mittels der Gleichung (6.11).
2. Bilde mit der CHOLESKY-Zerlegung231 die untere Dreiecksmatrix A, sodass R = A ⋅ A ' gilt.
3. Simuliere unabhängige Zufallszahlen
y = (y1,...,y n )'
einer standardnormalverteilten
Zufallsvariablen Y.
4. Berechne z = A ⋅ y ; z = (z1,...,zn )' .
228
229
230
231
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 193
Siehe Gleichung (6.9)
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 193
Siehe Gleichung (6.9)
80
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
5. Generiere eine von y unabhängige Zufallszahl s einer χ ν2 -verteilten Zufallsvariablen mit
Freiheitsgrad ν .
6. Berechne w = z ⋅
ν
.
s
7. Berechne u = Tν ( w ) ; u = (u1,...,un )' .
8. Berechne x = FX−i1(u) ; x = (x1,...,x n )' .
Die Schritte 3 bis 6 werden entsprechend der gewünschten Realisationsanzahl (in der M-C-S
entspricht diese der Simulationsanzahl) wiederholt.
6.4
SIMULATIONSANZAHL FÜR EINE M-C-S
Die erforderliche Anzahl an Simulationsdurchgängen kann mittels der Methoden der
Punktschätzung und der Intervallschätzung aus einem Stichprobenumfang abgeleitet werden.
Während die Punktschätzung einen Schätzwert für Parameter der Grundgesamtheit angibt,
liefert die Intervallschätzung die Güte des Schätzwertes (Intervall innerhalb dessen sich der
gesuchte Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit befindet). Es stellt sich nun die
Frage, wie viele Realisationen eine Stichprobe benötigt, damit mit einer bestimmten
Genauigkeit auf die Parameter der Grundgesamtheit geschlossen werden kann. Betrachten wir
eine Zufallsvariable X, die beliebig verteilt sein mag. Aus dieser wird eine Stichprobe vom
Umfang n generiert. Diese Realisationen x1,x 2,...,x n sind zufällig und unabhängig und werden
nicht als Werte einer einzelnen Zufallsvariablen, sondern als einzelne Werte aus n
Zufallsvariablen X1,X 2 ,...,Xn aufgefasst. Die n Zufallsvariablen haben alle die gleiche
Dichtefunktion wie X sowie denselben Mittelwert µ und dieselbe Standardabweichung σ . Die
Standardabweichung wird für das leichtere Verständnis als bekannt vorausgesetzt. Der
Schätzwert x (der durch Einsetzen der einzelnen Realisationen in die Schätzfunktion ermittelt
wird) für den Mittelwert µ der Grundgesamtheit ergibt sich zu232:
X=
1 n
Xi
n i =1
Schätzfunktion
(6.13)
x=
1 n
xi
n i =1
Schätzwert
(6.14)
∑
∑
Aufgrund der obigen Annahme wird klar, dass die Schätzfunktion selbst wieder eine
Zufallsvariable ist und, basierend auf dem zentralen Grenzwertsatz233, normalverteilt ist mit dem
Mittelwert µ und der Standardabweichung s = σ / n 234. Wird X zentriert und normiert, so lässt
sich ein Konfidenzintervall für den Mittelwert µ berechnen, wobei 1− α die Wahrscheinlichkeit
232
233
234
BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 123
Siehe Kapitel C.8
BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 183
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
81
(Konfidenzniveau) angibt, mit der eine Realisation innerhalb des Intervalls liegt und z das
Quantil der Standardnormalverteilung bezeichnet:
σ
σ 

P  X − z1−α 2 ⋅
≤ µ ≤ X + z1−α 2 ⋅
 = 1− α
n
n

(6.15)
Umgeformt ergibt sich die nachfolgende Darstellung:
σ 

P  X − µ ≤ z1−α 2 ⋅
 = 1− α
n

(6.16)
Die Abweichung X − µ wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1− α nicht grösser sein
als z1−α 2 ⋅ σ n und es lässt sich deutlich erkennen, dass die Abweichung mit steigendem n
immer kleiner wird. Möchte man die Abweichung bzw. den Fehler bei gleich bleibender
Wahrscheinlichkeit um eine Dezimalstelle (a = 10) verringern, so sind 100-mal mehr
Realisationen notwendig.
X −µ
a
= z1−α 2 ⋅
σ
a2 ⋅ n
(6.17)
Eingangs haben wir vorausgesetzt, dass die Standardabweichung bekannt sei. Ist das nicht der
Fall, wäre die standardisierte Schätzfunktion X nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt. Die
t-Verteilung ist genau wie die Normalverteilung symmetrisch, hat aber mehr
Wahrscheinlichkeitsmasse an den Flanken. Die Aussagen bezüglich der Realisationsanzahl für
eine höhere Genauigkeit gelten ebenso, nur dass anstatt z das Quantil t für die t-Verteilung und
für die Standardabweichung σ die Standardabweichung s als Schätzung aus den
Realisationen eingesetzt werden muss. Die t-Verteilung kann aber bei n>30 ausreichend genau
durch eine Standardnormalverteilung angepasst werden.235
Abschliessend kann gesagt werden, dass mehrere Tests gezeigt haben, dass 10’000
Realisationen eine ausreichende Genauigkeit für die Ermittlung des Erwartungswertes und der
Standardabweichung der Zufallsvariablen liefern.
6.5
ANWENDUNG IM IT-GESTÜTZTEN, PROJEKTBEZOGENEN
RISIKOMANAGEMENTMODELL
Aufgrund von Einschränkung bei den verfügbaren Algorithmen der Bayes’schen Netze im
Umgang mit mathematischen Formeln wurde in Modul 1 (Risikomanagementprozess), Modul 3
(Bauprozess) und Modul 4 (Längenschnitt) zusätzlich die M-C-S in das IT-gestützte
Risikomanagementmodell implementiert.
Die M-C-S ermöglicht bei einer probabilistischen Betrachtung die Erzeugung von Realisationen
(Zufallszahlen), die in Kombination mit dem Copulakonzept ausserdem in einer Abhängigkeit
235
BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 111
82
TEIL B: GRUNDLAGEN - 6. MONTE-CARLO-SIMULATION
zueinander stehen können, aus verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese können
in der Folge in mathematische Formeln (z. B. Baubetrieb, Geotechnik, Risikodefinition)
einbezogen werden. Die M-C-S dient in dieser Arbeit der probabilistischen Ermittlung des
Gesamtprojektrisikos, der Baukosten und Bauzeit der baulichen Massnahmen bzw.
Risikomassnahmen und deren Summe, der Gesamtbaukosten und der Gesamtbauzeit.
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 7. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
83
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
7
IT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
7.1
AUFBAU
Das IT-gestützte, projektbezogene Risikomanagementmodell (PRIMO) ist ein für den Tunnelbau
aussagekräftiges, umfassendes Risikomanagementwerkzeug und soll dem Bauherrn eine
zuverlässige Endprognose für die Gesamtbaukosten und die Gesamtbauzeit (inklusive
Projektrisiken) des Tunnelrohbaues auf probabilistischer Basis während der Projektierungs- und
Ausführungsphase liefern.
PRIMO umfasst vier Module (Risikomanagementprozess, Geologie, Bauprozess,
Längenschnitt), die die in früheren Kapiteln beschriebenen Verfahren (Risikomanagementprozess) und Methoden (z. B. M-C-S, Bayes’sche Netze) einbeziehen, wobei die Module, die
miteinander verknüpft sind, in verschiedenen Programmen (MS-Access236, MS-Excel237,
Hugin238) entwickelt wurden.
IT-gestütztes, projektbezogenes
Risikomanagementmodell (PRIMO)
Modul 1: Risikomanagementprozess
Vorbereitung, Identifikation, Analyse, Behandlung, Controlling
Modul 2: Geologie
Modul 3: Bauprozess
- Proz. Verteilung d. Risikomassnahmen (Profiltyp)
- Risikomassnahmen (Profiltyp)
- Auswirkung von Ereignissen
- Eintrittswahrscheinlichkeit/
Häufigkeit von Ereignissen
Modul 4: Lä
Längenschnitt
Tunnelabschnitte (Homogenbereiche)
Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit des
Tunnelrohbaues
Bild 7.1:
Aufbau des IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodells (PRIMO)
Der Inhalt der einzelnen Module wird in den folgenden Kapiteln genauer erläutert.
236
237
238
Softwareprodukt von Microsoft Corporation
Softwareprodukt von Microsoft Corporation
Softwareprodukt von Hugin Expert
84
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 7. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
7.2
BETRACHTUNGSFELD
Durch das Betrachtungsfeld wird für die Projektbeteiligten ein System (räumlich, zeitlich)
geschaffen, in dem das Risikomanagement durchgeführt wird. Diese Abgrenzung umfasst vier
Bereiche: Betrachtungsstandpunkt, -gegenstand, -zeitpunkt und -zeitraum. In Bild 7.2 sind
mögliche Inhalte der vier Bereiche dargestellt:
Betrachtungsstandpunkt
• Bauherr
Betrachtungsgegenstand
Nach Fachbereich:
• Auftragnehmer
• Bautechnik
• Bevölkerung usw.
• Bahntechnik
• Vermessung usw.
Betrachtungszeitpunkt
Betrachtungszeitraum
• Ende Teil-Projektphase Vorstudien
• Projektphase
Projektierung und
Ausführung
• Beginn Teil-Projektphase Ausführungsprojekt usw.
Nach Projektstrukturplan:
• Werk
• Abschnitt, Teilabschnitt usw.
Bild 7.2:
• Projektphase
Projektierung
• Projektphase
Ausführung
• ganzer
Lebenszyklus usw.
Inhalte eines Betrachtungsfeldes239
Für die Entwicklung des projektbezogenen Risikomanagementmodells wird folgendes Betrachtungsfeld festgelegt, wobei die verwendeten Bezeichnungen der Projektteilphasen von der SIA
197240 übernommen und der Betrachtungsgegenstand Tunnelrohbau den Ausbruch (Aussenschale) und den Ausbau (Innenschale) umfasst.
239
240
In Anlehnung an ALPTRANSIT AG, [ATG-Handbuch, 2000], S. 10 f.
Siehe Kapitel 3.2.1
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 7. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
Betrachtungsfeld
Betrachtungsstandpunkt:
Betrachtungsgegenstand:
Betrachtungszeitpunkt:
Betrachtungszeitraum:
85
Bauherr
Tunnelrohbau
Variabel, je nach Projektstand
Bauausführung
Projektphasen in Anlehnung
an SIA 197 (2004)
Bild 7.3:
Erhaltung
Bauausführung
Ausführungsprojekt
Ausschreibung
Bauprojekt
Nutzung und Betrieb
Bewirtschaftung
Ausführung
Auflageprojekt
Vorprojekt
Vorstudien
Strategische Planung
Projektierung
Betrachtungsfeld in der Arbeit
Das Risikomanagementmodell kann theoretisch auch auf andere Betrachtungszeiträume und
Betrachtungsgegenstände angewendet werden. Dabei müssen das Bauprozessmodul und das
Längenschnittmodul im Rahmen des PRM nicht unbedingt mit einbezogen werden.
7.3
GRUNDLAGEN FÜR DAS PRM IM RISIKOMANAGEMENTMODELL
Das Betrachtungsfeld gibt ein System vor, innerhalb dessen das PRM durchgeführt wird. Das
eigentliche Risikomanagement (RM) bezieht sich in diesem System auf den Betrachtungsgegenstand, der erst durch seine Planung (Eigenschaften) für das erst RM greifbar wird. Denn
erst dadurch sind die Angabe der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der Auswirkung
eines Ereignisses möglich. Beispielsweise sind in einem Gebirge aggressive Bergwässer zu
erwarten, welche in der Planung durch eine Abdichtung des Betongewölbes berücksichtigt
werden. Das Risiko, dass der Beton durch aggressive Bergwasser zerstört wird, ist viel
geringer, als wenn dies in der Planung nicht berücksichtigt würde. Im zweiten Fall wird man die
Planung aktualisieren, und der Betrachtungsgegenstand besitzt neue Eigenschaften.
Die Planung des Betrachtungsgegenstandes wird von den offenen und festen Projektanforderungen (PA) beeinflusst. Dabei stellen die offenen PA die Wegrichtung (z. B.
Kostenminimierung), meistens von oder zu einer Randbedingung, und die festen PA die
Randbedingungen (Kosteneinhaltung) für die Lösungsfindung dar.241 Im Rahmen des PRM ist
es deshalb sinnvoll, die PA einzubeziehen, da sie bei Eintritt eines in der Planung nicht
berücksichtigten Ereignisses positiv (Chance) oder negativ (Gefahr) beeinflusst werden
241
Siehe Kapitel 3.2.3
86
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 7. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
können.242 Beispielsweise wird ein Ereignis, welches eine Gefahr darstellt, den in der Planung
berücksichtigten Weg (offene PA) in die gegensätzliche Richtung aufnehmen, wobei zusätzlich
die Nichterfüllung einer festen PA eintreten kann. Zu beachten ist, dass das Einhalten von
festen PA (z. B. Einhalten der Gesamtprojektkosten) im PRM sehr oft nur in Kombination mit der
Planung einhergehen kann. Dadurch wird der Bauherr oft gefordert, die festen PA auf Basis der
Ergebnisse des PRM anzupassen (z. B. Erhöhung des Projektbudgets).
Ferner ist zu erwähnen, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit eines Ereignisses im
Betrachtungsfeld auf alle PA gleich bleibt und nur die Auswirkungen auf die unterschiedlichen
PA variieren können.
Eine vernünftige Aussage über das Projektrisiko eines Ereignisses ist oft erst möglich, wenn die
Risikomassnahmen bereits in die Betrachtung einbezogen werden. Im Tunnelbau gilt das vor
allem für geologisch bedingte Ereignisse im Zuge des Vortriebes. Hier ist es angebracht, nicht
das Risiko, sondern nur die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln. Dieses
Vorgehen wird auch bei den Bayes’schen Netzen im Geologie-Modul243 angewendet. Diese
modellieren erst das zu erwartende Ereignis bzw. Gefährdungsbild, und in Kombination mit der
Risikomassnahme wird das Projektrisiko, das genau genommen ein Restprojektrisiko darstellt,
abgeleitet.
Die in der Planung von Tunnelbauprojekten berücksichtigten Risikomassnahmen sind vor allem
bauliche Massnahmen (z. B. Ausbruchsicherung, Bauhilfsmassnahmen). Sie werden in der
Arbeit unter den Begriffen Baukosten und Bauzeit subsumiert. Die Ermittlung der Kosten für
bauliche Massnahmen erfolgt auf Grundlage der Zuschlagskalkulation244, die in der
Bauwirtschaft von den Unternehmern häufig zur Anwendung kommt. Damit ist sichergestellt,
dass die Kosten einerseits realitätsnah durch den Bauherrn ermittelt werden können und
andererseits die vom Bauherrn verwendeten Kosten- und Leistungsansätze nach
Vertragsabschluss einfach anhand jener der Unternehmer angepasst werden können. Die
Baukosten für den Tunnelrohbau ergeben sich aus den baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen (Ausbruch (Aussenschale), Ausbau (Innenschale), Baustelleneinrichtung) und
diversen Risikomassnahmen (organisatorischer, personeller, technischer Natur usw.)245. Die
Bauzeit resultiert aus der Summe der Zeit für die Herstellung der am kritischen Weg liegenden
baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen (Ausbruch (Aussenschale), Ausbau
(Innenschale), Einrichtung und Räumung der Baustelleneinrichtung) und den diversen
Risikomassnahmen. Die Ermittlung der Baukosten und Bauzeit für bauliche Massnahmen wird
im Bauprozess-Modul246 detaillierter erläutert.
Das Gesamtprojektrisiko ergibt sich aus der Aggregation der Projektrisiken von Ereignissen, die
keine Risikomassnahme erfahren haben, und den Restprojektrisiken von Ereignissen, die eine
Risikomassnahme erfahren haben. Die Summe aus den Baukosten bzw. der Bauzeit und der
242
243
244
245
246
Siehe Kapitel 3.1.1.2
Siehe Bild 7.1 und Kapitel 9
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Vorkalkulation, 1996]; DREES, G., PAUL, W., [Kalkulation von
Baupreisen, 2006]
Siehe Kapitel 3.6.3
Siehe Bild 7.1 und Kapitel 10
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 7. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
87
Gesamtprojektrisiken ergibt die Gesamtbaukosten bzw. die Gesamtbauzeit des Tunnelrohbaues.
Die Berechnung der Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit ist in Bild 7.4. schematisch
dargestellt:
Baukosten
Bauzeit
• Kosten des Unternehmers für die
Herstellung der baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen
• Zeit für die Herstellung der baulichen
Massnahmen bzw. Risikomassnahmen
- Kosten für Ausbruch (Aussenschale)
- Zeit für Ausbruch (Aussenschale)
- Kosten für Ausbau (Innenschale)
- Zeit für Ausbau (Innenschale)
- Kosten für Baustelleneinrichtung
- Zeit für Einrichten und Räumen
der Baustelleneinrichtung
• Kosten für diverse Risikomassnahmen
• Zeit für diverse Risikomassnahmen
+
+
Gesamtprojektrisiko (Kosten) der
Ereignisse (nach Risikobehandlung)
Gesamtprojektrisiko (Zeit) der
Ereignisse (nach Risikobehandlung)
• Projektrisiko der Ereignisse
(ohne Risikomassnahme)
• Projektrisiko der Ereignisse
(ohne Risikomassnahme)
• Restprojektrisiko der Ereignisse
(mit Risikomassnahme)
• Restprojektrisiko der Ereignisse
(mit Risikomassnahme)
=
Gesamtbaukosten des Tunnelrohbaues
Bild 7.4:
=
Gesamtbauzeit des Tunnelrohbaues
Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit des Tunnelrohbaues
In den folgenden Kapiteln wird die Ermittlung des Gesamtprojektrisikos, der Baukosten und der
Bauzeit detaillierter erläutert.
88
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
8
MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
Das Modul 1247 wurde in einer MS-Access248-Umgebung (Datenbanksoftware) realisiert und
umfasst folgende Aufgaben:
• Abbildung des projektbezogenen Risikomanagementprozesses (PRM-Vorbereitung,
Risikoidentifikation, Risikobewertung, Risikobeurteilung, Risikobehandlung, Risikocontrolling)
• Ermittlung des Gesamtprojektrisikos
Unterstützend für die Risikobewertung und für die Ermittlung des Gesamtprojektrisikos werden
das Modul 2249 (Geologie), das Modul 3250 (Bauprozess) und das Modul 4251 (Längenschnitt) mit
eingebunden.
Dank der Datenbanksoftware ist das Risikomanagementmodell ausgezeichnet im
Mehrbenutzerbetrieb verwendbar. Es ist in ein Frontend und ein Backend unterteilt. Unter einem
Backend versteht man eine Datenbank, die nur Tabellen enthält, die vom Benutzer
eingegebene Daten speichern. Das Frontend ist ebenfalls eine Datenbank. Sie umfasst die
Formulare (z. B. für die Eingabe der identifizierten Projektereignisse), Berichte (z. B. Projektereignisliste, Projektereignisblatt) und die eingebundenen Tabellen aus dem Backend.
Durch die Datenbankaufteilung ist es problemlos möglich, das Programm in einem Intranet zu
bedienen, wobei das Backend, das die Daten beinhaltet, auf einem Server abgespeichert und
das Frontend lokal beim Benutzer hinterlegt wird. Durch die Server-Client-Lösung lässt sich
einerseits Datenredundanz vermeiden und andererseits ist durch die zentrale Datenspeicherung auf dem Server eine regelmässige Sicherung der Daten einfach möglich. So kann
ein Datenverlust fast gänzlich ausgeschlossen werden. Dies ist ein sehr wichtiger Faktor, wenn
man bedenkt, dass heutzutage die Computer auf vielen Grossbaustellen in ein Intranet
eingegliedert sind.
Für das Risikomanagementprozess-Modul werden drei Begriffe eingeführt, die im nächsten
Kapitel erklärt werden.
8.1
PROJEKTRISIKOMANAGEMENTPLAN, PROJEKTEREIGNISLISTE,
PROJEKTEREIGNISBLATT
Der Projektrisikomanagementplan ist ein elektronisches Dokument, das den projektbezogenen Risikomanagementprozess252 beinhaltet und die Ergebnisse des Prozesses in Form
einer Projektereignisliste mit den dazugehörigen Projektereignisblättern darstellt. Die
247
248
249
250
251
252
Siehe Bild 7.1
Softwareprodukt von Microsoft Corporation
Siehe Bild 7.1 und Kapitel 9
Siehe Bild 7.1 und Kapitel 10
Siehe Bild 7.1 und Kapitel 11
Siehe Kapitel 3.6
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
89
Projektereignisliste253 liefert eine Übersicht über die identifizierten und bewerteten Ereignisse.
Den Ereignissen ist jeweils das Projektereignisblatt zugeordnet. Das Projektereignisblatt254
beinhaltet für das identifizierte Ereignis die Risikobewertung, die Risikomassnahmen vor und
nach Eintritt (Notfallmassnahme) und die Verantwortlichkeiten für die Umsetzung der
Risikomassnahmen und des Risikocontrollings. Die Projektereignisliste bzw. das
Projektereignisblatt wird regelmässig, hauptsächlich im Zuge des Risikocontrollings, überprüft,
aktualisiert und ergänzt.
Im Modul 1 können für ein Projekt beliebig viele Projektrisikomanagementpläne (PRM-Pläne)
erstellt werden. Grundsätzlich kann in Tunnelbauprojekten in Abhängigkeit zum Betrachtungsgegenstand zwischen zwei verschiedenen Arten von PRM-Plänen unterschieden werden. Der
PRM-Plan kann sich entweder auf einen Abschnitt oder auf einen Punkt (geringe
Längsausdehnung) der Tunneltrasse beziehen:
• Abschnittsweise Betrachtung: Der PRM-Plan bezieht sich beispielsweise auf den Ausbruch
(Sprengvortrieb und Ausbruchsicherung) der gesamten Tunneltrasse. Dieser wird ggf. für
eine genauere Untersuchung zusätzlich in Abschnitte mit ähnlichen geologischen,
geotechnischen und hydrogeologischen Eigenschaften (Homogenabschnitte) unterteilt.
• Punktuelle Betrachtung: Zusätzlich zur abschnittsweisen Betrachtung können im Rahmen
des PRM punktuelle Betrachtungen notwendig sein, vor allem bei Betrachtungsgegenständen mit geringer Längsausdehnung. Als Beispiel können die Portalbauwerke des
Tunnels genannt werden.
Die im Tunnelbauprojekt zahlreich erstellten PRM-Pläne, genauer gesagt, die auf ihnen
festgehaltenen identifizierten und quantitativ bewerteten Ereignissen, bilden gemeinsam mit
dem Modul 2 (Geologie, siehe Kapitel 9) und dem Modul 3 (Bauprozess, siehe Kapitel 10) den
Input für das Modul 4 (Längenschnitt, siehe Kapitel 11). Darin werden die Gesamtbaukosten
und die Gesamtbauzeit mittels M-C-S probabilistisch ermittelt.
Nachfolgend wird die generelle Vorgehensweise des PRM im Modul 1 bzw. in den Projektrisikomanagementplänen anhand des Flussdiagramms in Bild 8.1 genauer erläutert. Wobei zu
ergänzen ist, dass die Vorgehensweise durch Überspringen von einzelnen Prozessschritten
abgekürzt werden kann. Beispielsweise kann den identifizierten und weiter zu betrachtenden
Ereignissen durchaus direkt eine Risikobehandlung zugeordnet werden und das Restrisiko
kann erst im Nachhinein überprüft werden.
253
254
Siehe Anhang D.1.1
Siehe Anhang D.1.2
90
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
PRM-Vorbereitung (Kap. 8.2)
Risikoidentifikation (Kap. 8.3)
Qualitative Risikobewertung (Kap. 8.4)
Qualitative Risikobeurteilung (Kap. 8.5)
Risikobehandlung
und/oder
Risikocontrolling
notwendig?
Nein
Ja
PRM für Ereignis beendet
Quantitative Risikobewertung (Kap. 8.6)
Quantitative Risikobeurteilung (Kap. 8.7)
Risikobehandlung
vor Ereigniseintritt
notwendig?
Ja
Nein
Risikobehandlung vor Eintritt (Kap. 8.8)
Quantitative Risikobewertung (Kap. 8.6)
Quantitative Risikobeurteilung (Kap. 8.7)
Restprojektrisiko
und Aufwand zu
Nutzen
akzeptabel?
Ja
Gesamtprojektrisiko nach Risikobehandlung
(Kap. 8.10)
Nein
Gesamtprojektrisiko nach
Risikobehandlung
akzeptabel?
Projektabbruch
Projektabbruch
Ja
Risikobehandlung
nach Ereigniseintritt
Nein
notwendig?
Ja
Nein
Risikobehandlung nach Eintritt (Kap. 8.8)
Risikocontrolling (Kap. 8.9)
Bild 8.1:
8.2
Flussdiagramm des PRM-Prozesses in Modul 1
PRM-VORBEREITUNG
Die PRM-Vorbereitung bildet die Grundlage für ein erfolgreiches Risikomanagement in
Bauprojekten. Im Rahmen dieser Vorbereitung werden die Projektanforderungen,
Vorgehensweisen, Abgrenzungen und Methoden für das PRM vom Projektleiter in einem
elektronischen Formular255 im Projektrisikomanagementplan festgehalten. Dadurch ist einerseits
gewährleistet, dass die Grundlage für den anschliessend folgenden PRM-Prozess durch die
PRM-Vorbereitung klar aufzeigt wird und andererseits, dass sich die im Verlauf des PRMProzesses eingebunden Personen nur noch auf den eigentlichen Risikomanagementprozess
konzentrieren und sich durch die Informationen der PRM-Vorbereitung sensibilisieren lassen.
Die PRM-Vorbereitung umfasst detaillierte Informationen über:
• Problemsituation:
255
Siehe Anhang D.1.3
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
91
Beschreibung der Problemsituation.
• Ziele des Risikomanagements:
Beschreibung der Ziele, die das Risikomanagement erfüllen soll.
• Betrachtungsfeld des Risikomanagements:
Beschreibung der Abgrenzung mit vier Bereichen: Betrachtungsstandpunkt, -gegenstand,
-zeitpunkt und -zeitraum.
• Projektanforderungen:
Beschreibung der für das gewählte Betrachtungsfeld relevanten Projektanforderungen, um
die Projektbeteiligte für das Risikomanagement zu sensibilisieren.
• Beteiligte Personen:
Festlegung der beteiligten Personen (z. B. Projektingenieure, Experten) und deren
Zuständigkeiten.
• Risikofelder:256
Festlegung bzw. Abgrenzung der Risikofelder (z. B. Umfeld, Unternehmer, Baugrund), in
denen Ereignisse und deren Ursachen identifiziert werden müssen.
• Risikoakzeptanzgrenze:
Festlegung der Risikoakzeptanzgrenze. Die Risikoakzeptanzgrenze ist die Grenze, oberhalb
derer das Risiko (entspricht einer Gefahr) nicht mehr vertretbar ist und durch geeignete
Risikomassnahmen verringert werden muss. Sie wird von der Risikoneigung (risikoscheu,
risikoneutral oder risikofreudig) des Betrachtungsstandpunktes (z. B. Bauherr, Auftragnehmer) beeinflusst und sollte grundsätzlich von dessen Risikotragfähigkeit abhängen.
Wenn das Risiko eine Chance darstellt, kann sinngemäss vorgegangen werden. Die
Risikoakzeptanzgrenze wird im Modul 1 durch einen quantitativen Risikowert mit zusätzlicher
Angabe der maximalen Auswirkung festgelegt.257
• Kategoriegruppen und Risikoniveau:
Angabe von Kategoriegruppen für Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung
bezogen auf die verschiedenen Projektanforderungen für die Risikobewertung. Zusätzlich
werden die Risikoniveaus festgelegt.258
• Konfidenzniveau und Risikomass:
Festlegung des Konfidenzniveaus p und des Risikomasses259 (VaR, CVaR) für die
probabilistische Ermittlung des Projektrisikos bzw. Gesamtprojektrisikos.
256
257
258
259
Siehe Kapitel 3.4
Siehe Kapitel 8.7
Siehe Kapitel 8.5
Siehe Kapitel 3.1.1.4
92
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
8.3
RISIKOIDENTIFIKATION
Die Risikoidentifikation260 für ein bestimmtes Betrachtungsfeld dient der vollständigen Erfassung
von internen und externen Ereignissen sowie deren Ursachen, Auswirkungen und
Abhängigkeiten. Das Modul 1 unterstützt die Projektbeteiligten mit elektronischen Checklisten,
deren Inhalt aus vergangenen Projekten generiert wurde. Nach Auswahl einer Checkliste
können die enthaltenden Angaben in den aktuellen Projektrisikomanagementplan importiert und
im Rahmen der Risikoidentifikation an die tatsächliche Risikosituation angepasst werden. Die
Checklisten umfassen vier Ebenen261, wobei die drei ersten für die Risikoidentifikation relevant
sind.
Die Bezeichnung der ersten Ebene wird von den Projektbeteiligten selbst bestimmt. Sie hängt
vom Ziel des Risikomanagements (RM) ab. So lässt sich mit Hilfe des RM beispielsweise der
Einfluss von Ereignissen auf die Projektanforderungen, auf Kostengruppen im Baukostenplan
oder auf Leistungspositionen des Leistungsverzeichnisses ermitteln. In dieser Arbeit beziehen
sich die Ereignisse auf die Projektanforderungen.
Die zweite Ebene umfasst die identifizierten Ereignisse, die in eine Ursache-Wirkungs-Kette262
(Szenario) eingebunden sind, sowie das Risikofeld263, in dem das Ereignis auftritt. Den
Ereignissen zugrunde liegende Szenarien können innerhalb der elektronischen Checkliste
getrennt nach Gefahren oder Chancen angegeben werden, wobei die Ketten möglichst
ausführlich beschrieben werden müssen, damit die Ursachen, Auswirkungen und
Abhängigkeiten so vollständig als möglich abgeleitet werden können.
Die identifizierten Ereignisse können in Tunnelbauprojekten unterschiedlich zugeordnet werden:
• Ereignisse, die die gesamte Tunneltrasse betreffen: Es handelt sich dabei um jene
Ereignisse, die alle abschnittsweisen bzw. punktuellen RM-Betrachtungen betreffen oder den
beiden nicht direkt zugeordnet werden können. Beispiele dafür sind Insolvenz, Konkurs,
fehlendes Know-how eines Unternehmers oder Konjunktur.
• Ereignisse, die einen Abschnitt (z. B. Homogenabschnitt264) bzw. einen Punkt der
Tunneltrasse betreffen: Ereignisse, die einem Abschnitt zugeordnet sind, werden meistens
auf einen Tunnellaufmeter bezogen, da im Modul 4 (Längenschnitt) die Abschnittslängen
probabilistisch betrachtet werden und im Extremfall ein Abschnitt sogar eliminiert werden
kann. Als Beispiel für ein solches Ereignis ist die Anzahl der Niederbrüche je Tunnellaufmeter
zu nennen.
• Ereignisse, die einen Profiltyp betreffen: Da in einem Abschnitt verschiedene Profiltypen zur
Anwendung kommen, können sich Ereignisse auch auf die einzelnen Typen beziehen, wobei
hier zwischen Ortsbrustbereich, ungesichertem Bereich, teilweise gesichertem Bereich und
260
261
262
263
264
Siehe Kapitel 3.6.1
Siehe Anhang D.1.4
Siehe Kapitel 3.1.1.3 und Kapitel 3.5
Siehe Kapitel 3.4
Ein Homogenabschnitt ist ein Bereich entlang der Trasse, dessen Gebirgseigenschaften innerhalb
festgelegter Grenzwerte liegt.
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
93
vollständig gesichertem Bereich unterschieden wird. Die Modellierung der geologisch
bedingten Ereignisse erfolgt mit Hilfe Bayes’scher Netze im Geologie-Modul und ist in
Kapitel 9 genauer erläutert.
Die Zuordnung der Ereignisse zu den angeführten Möglichkeiten kann selbst bestimmt werden
und hängt davon ab, wie genau die PRM-Betrachtung durchgeführt werden soll. Es ist
durchaus denkbar, dass beispielsweise bei einer probabilistischen Risikobewertung für das
Ereignis Niederbruch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Eintritte (z. B. die
Poisson-Verteilung für seltene Ereignisse) verwendet wird, die sich auf die gesamte Tunneltrasse bezieht.
Die dritte Ebene beinhaltet aus dem Szenario abgeleitete Ursachen, Auswirkungen und
Abhängigkeiten, wobei den Ursachen ebenfalls das Risikofeld zugeordnet wird. Durch die
detaillierte Darstellung erleichtert sich die Bewertung des Ereignisses massgeblich.
Die vierte Ebene zeigt die in den vergangenen Projekten gewählten Massnahmen für
Ereignisse auf. Diese können im Rahmen der Risikobehandlung übernommen werden. In
Kapitel 8.8 wird die Risikobehandlung im Modul 1 genauer betrachtet.
8.4
QUALITATIVE RISIKOBEWERTUNG
Im Rahmen der Risikobewertung265 wird für die identifizierten Ereignisse – auf Grundlage der
Informationen (Ursachen, Auswirkungen, Abhängigkeiten) der Risikoidentifikation – das
Projektrisiko bezogen auf die verschieden Projektanforderungen bestimmt. Die Bewertung der
Ereignisse kann im Modul 1 qualitativ und quantitativ (deterministisch, probabilistisch) erfolgen.
Wie aus dem Flussdiagramm in Bild 8.1 abzulesen ist, folgt nach der Risikoidentifikation im
Modul 1 die qualitative Risikobewertung. Diese Bewertungsmethode, unterstützt durch die
Risikobeurteilung, verfolgt das Ziel, aus den zahlreich identifizierten Ereignissen zügig jene
herauszufiltern, die im Rahmen des PRM-Prozesses der Risikobehandlung und/oder dem
Risikocontrolling zugeführt werden müssen. Infolge dieser Reduktion werden im weiteren Ablauf
des PRM-Prozesses nur noch die wesentlichen Ereignisse thematisiert.
Die qualitative Bewertung der Ereignisse erfolgt mittels Kategoriengruppen der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der Auswirkung für die unterschiedlichen Projektanforderungen.
Die Kategoriengruppen besitzen mehrere Kategorien (z. B. drei Kategorien wie gross, mittel
und klein) die zur leichteren Interpretation für die Projektbeteiligten beschrieben bzw. wenn
möglich numerisch abgegrenzt werden. Die Kombinationen der Kategorien von Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit mit jenen der Auswirkung bestimmen unterschiedliche Risikowerte, die
im Rahmen der qualitativen Risikobeurteilung266 einem Risikoniveau – entspricht der Schwere
eines Risikos – zugeordnet werden.
Im Modul 1 können unzählige Kategoriengruppen und Kategorien wie z. B. für Gefahren,
Chancen oder bei Verwendung von unterschiedlichen Einheiten (z. B. der Angabe der
Auswirkung in Geld- und Zeitwerten) angegeben werden. In Tabelle 8.1 sind mögliche
265
266
Siehe Kapitel 3.6.2; Siehe Anhang D.1.5
Siehe Kapitel 8.5
94
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Kategorien einer Kategoriegruppe für die Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen, die eine
Gefahr darstellen, aufgezeigt:
Tabelle 8.1:
Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen267
Vorgeschlagen werden fünf Kategorien je Kategoriegruppe. Diese Anzahl ist leicht
überschaubar und bietet eine gute Abgrenzungsmöglichkeit der einzelnen Kategorien
untereinander. Der Projektleiter muss sich die Abgrenzung der Kategorien im Rahmen der
PRM-Vorbereitung sehr genau und abgestimmt auf das Projekt überlegen. Beispielsweise
können Kategorien der Auswirkung, die in Geld- oder Zeiteinheiten angeben werden, über
Prozentsätze bezogen auf die Projektkosten oder Projektdauer ermittelt werden.
Im Modul 1 werden den Kategorien der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und der
Auswirkung Punkte268 (z. B. bei 5 Kategorien von 1 bis 5) zugeteilt, die auf der Grundlage der
mathematischen Definition269 des Risikos miteinander multipliziert werden, um den Risikowert
zu ermitteln. Wenn die Kategorien numerisch abgegrenzt sind, entspricht dieser Risikowert
genauer betrachtet einem Referenzwert für Zahlenwerte aus beiden Kategorien der
Teilkomponenten, deren Produkt ungefähr gleich gross ist. Wenn die Intervallbreiten der
Kategorien sehr unterschiedlich sind, empfiehlt es sich, die Kategoriegruppe nicht mit Punkten
konstanter Schrittweite (z. B. bei 5 Kategorien von 1 bis 5) zu versehen, da es sonst passieren
kann, dass ein Produkt von Zahlenwerten im Rahmen der qualitativen Risikobeurteilung einem
niedrigeren Risikoniveau zugeteilt wird als jene Kombinationen von Kategorien mit einem
geringeren Produkt. In solchen Fällen erfolgt die Zuordnung der Punkte mit einer Funktion, die
diese unterschiedlichen Intervallbreiten berücksichtigt. Es ist auch denkbar, dass die
Punkteverteilung so angepasst wird, dass bestimmte Kategoriekombinationen bewusst einem
höheren Risikoniveau zugeordnet werden als andere Kombinationen von Kategorien mit
ähnlichen Produkten ihrer Zahlenwerte. Beispielsweise270 dann, wenn die Kombination von
grosser Auswirkung mit geringer Eintrittswahrscheinlichkeit höher bewertet werden soll als
unbedeutende Auswirkung mit hoher Eintrittswahrscheinlichkeit. Am einfachsten können die
einzelnen Kombinationen der Kategorien mit Bezug auf das Risikoniveau in einer Matrix, wie in
Tabelle 8.3 dargestellt, überprüft werden.
267
268
269
270
In Anlehnung an ÖGG, [Kostenermittlung für Projekte, 2005], Anhang Seite 9
Ähnlich den Nutzenpunkten in der Nutzen-Kosten-Untersuchung, in Anlehnung an BUSCH, T. A.,
[Risiko in Generalunternehmen, 2003], S. 93
Siehe Kapitel 3.1.1.3
Zur besseren Verständlichkeit siehe Tabelle 8.3
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
8.5
95
QUALITATIVE RISIKOBEURTEILUNG
Im Rahmen der qualitativen Risikobeurteilung wird im Modul 1 den qualitativ bewerteten
Ereignissen – auf Basis ihres Risikowertes (Referenzwert) – ein Risikoniveau je Projektanforderung zugeordnet. Durch diese Zuordnung der Ereignisse ergibt sich einerseits ein guter
Überblick über die herrschende Risikosituation und andererseits wird bestimmt, welche
Ereignisse im PRM-Prozess weiter berücksichtigt werden müssen. Die Risikoniveaus werden
durch Referenzwertbereiche abgegrenzt, die der Projektleiter im Rahmen der PRM-Vorbereitung
festlegt und die von der Risikoneigung271 des Bauherrn geprägt werden. Im Modul 1 können
unzählige Risikoniveaus mit Referenzbereichen angelegt werden. Vorgeschlagen werden in
diesem Prozessschritt 4 Risikoniveaus, die in Tabelle 8.2 dargestellt werden. Weiter ist in
Tabelle 8.3 eine Matrix ersichtlich, die die einzelnen Kategoriekombinationen darstellt,
einschliesslich Referenzwert und Risikoniveau.
Tabelle 8.2:
Risikoniveaus
Tabelle 8.3:
Matrix der Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung
Bei der Auswahl der Ereignisse, die im Rahmen des PRM-Prozesses weiterhin berücksichtigt
werden, ist Folgendes zu beachten:
271
Siehe Kapitel 8.2
96
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Es müssen auch jene Ereignisse, die sich in einem Abhängigkeitsverhältnis zu anderen
Ereignissen befinden und für die eine weiterführende Betrachtung festgelegt wurde,
berücksichtigt werden. Und das, obwohl diese aufgrund der Risikoniveauzuteilung
ausgeschlossen werden konnten. Dadurch soll gewährleistet werden, dass die quantitative
Risikobewertung realitätsnah durchgeführt werden kann und somit das ausgeschlossene
Ereignis im Zuge der Risikobehandlung und des Risikocontrollings betrachtet werden können.
Ebenso sind Ereignisse, die aufgrund eines geringen Risikoniveaus ausgeschlossen werden
konnten, zu berücksichtigen, wenn sie auf zahlreiche verschiedene Projektanforderungen
Einfluss haben. Im Modul 1 können Kriterien festgelegt werden, wann dies der Fall sein soll.
Beispielsweise kann angegeben werden, dass Ereignisse mit niedrigem Risikoniveau ab einer
bestimmten Anzahl an Einwirkungen auf verschiedene Projektanforderungen ebenfalls
betrachtet werden sollen.
8.6
QUANTITATIVE RISIKOBEWERTUNG
Im Rahmen der qualitativen Risikobeurteilung wurden Ereignisse ausgewählt, die im PRMProzess weiter betrachtet und gemäss dem Flussdiagramm272 in diesem Prozessschritt
quantitativ bewertet werden. Die Bewertung der Risiken der Ereignisse kann im Modul 1
deterministisch und/oder probabilistisch erfolgen, wobei generell zwischen den geologisch
bedingten und den restlichen Ereignissen unterschieden wird.
Die quantitative Risikobewertung erfolgt, wie aus dem Flussdiagramm ersichtlich ist, mehrmals
im PRM-Prozess. Sie wird nach der qualitativen Risikobeurteilung und nach der Wahl der
Risikobehandlung vor Eintritt des Ereignisses durchgeführt, damit im darauf folgenden Schritt
(quantitative Risikobeurteilung) überprüft werden kann, ob die gewählte Massnahme die
gewünschte Risikominderung erzielt hat. Zudem kommt die quantitative Risikobewertung im
Risikocontrolling bei Änderung der im PRM-Prozess festgelegten Risikosituation zur
Anwendung.
Die deterministische Ermittlung des Risikos des jeweiligen Ereignisses erfolgt aus dem Produkt
des Erwartungswertes der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und dem Erwartungswert der
Auswirkung. Die probabilistische Bewertung, die in dieser Arbeit bevorzugt wird, geschieht mit
einer Kombination aus der Monte-Carlo-Simulation (M-C-S) und den Bayes’schen Netzen (BN).
Für Ereignisse, die aus den geologischen Verhältnissen (z. B. strukturbedingte Instabilität, wie
Niederbrüche) abgeleitet werden sollen, werden deren Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit im
Geologie-Modul mit BN273 und die Auswirkung betreffend Bauzeit und Baukosten detaillierter im
Bauprozess-Modul274 mit Hilfe einer M-C-S probabilistisch ermittelt und im Risikomanagementprozess-Modul eingepflegt. Für die restlichen Ereignisse (z. B. Konjunktur, Konkurs eines
Auftragnehmers) soll die Angabe der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung direkt vorgenommen werden. Erfolgt die Angabe der
Komponenten des Risikos je Laufmeter und beziehen sie sich auf einen Homogenabschnitt mit
variabler Längserstreckung, wird das Längenschnitt-Modul für die Risikoermittlung mit
272
273
274
Siehe Bild 8.1
Siehe Kapitel 9
Siehe Kapitel 10
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
97
einbezogen. Das Projektrisiko der Ereignisse ergibt sich aus dem Produkt beider Komponenten
anhand einer M-C-S.
Geologisch bedingte Ereignisse
W/H
A
Restliche Ereignisse
Wahrscheinlichkeitsfunktion
(BN im Geologie-Modul)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Wahrscheinlichkeitsfunktion/
Dichtefunktion
(M-C-S im Bauprozess-Modul)
Wahrscheinlichkeitsfunktion/
Dichtefunktion
Projektrisiko und Restprojektrisiko Projektrisiko und Restprojektrisiko
(M-C-S)
(M-C-S)
Bild 8.2:
Probabilistische Modellierung des Projektrisikos
Anzumerken ist, dass Ereignisse, die in diesem Prozessschritt nicht quantifiziert werden können
(z. B. fehlendes Know-how des Personals), qualitativ bewertet werden sollen. Das betrifft auch
die im nächsten Schritt anzuwendende Risikobeurteilung. Die Durchführung der qualitativen
Risikobewertung erfolgt nach Kapitel 8.4.
Im folgenden Kapitel wird genauer auf die probabilistische Modellierung des Projektrisikos im
Modul 1 eingegangen.
8.6.1
PROBABILISTISCHE MODELLIERUNG DES PROJEKTRISIKOS
Bei komplexen Bauvorhaben, zu denen auch Tunnelbauprojekte zählen, ist der probabilistische
Ansatz zur Berechnung des Gesamtprojektrisikos unumgänglich. Der Berechungsvorgang ist
zwar wesentlich aufwändiger als bei einer deterministischen Betrachtung, aber die Aussage
über die vorhandene Risikosituation kommt der Realität bedeutend näher.
Die Modellierung eines Projektrisikos im Modul 1 wird in den folgenden Kapiteln im Rahmen
einer M-C-S275 und in einem Bayes’schen Netz genauer betrachtet.
8.6.1.1 MONTE-CARLO-SIMULATION (M-C-S)
In Kapitel 3.1.1.3 wurde der Wert des Risikos über das Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit W/Häufigkeit H des Ereignisses und dessen Auswirkung A bestimmt.
Die Eintrittswahrscheinlichkeit W wird in der M-C-S aus einer diskreten Verteilung mit zwei
Realisationen (0 und 1) modelliert, wobei die Realisation 0 das Nichteintreten und die
Realisation 1 das Eintreten eines Ereignisses darstellt. Bei jedem Simulationsdurchgang wird für
die Eintrittswahrscheinlichkeit somit der Wert 0 oder 1 ermittelt. Beispielsweise tritt die
Realisation 1 bei einer Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses von 70% und einer
Simulationsanzahl von 10’000 7’000 Mal (entspricht 70%) und die Realisation 0 3’000 Mal
275
Siehe Kapitel 6.2
98
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
(entspricht 30%) ein. Oder anders formuliert: Bei 10’000 Experimenten bzw. Prozessabläufen ist
das Ereignis 7’000 Mal eingetreten und 3’000 Mal nicht. Durch diese Modellierungstechnik276
wird gewährleistet, dass jeder Simulationsdurchgang ein tatsächlich mögliches Szenario
darstellt, nämlich das Ereignis tritt ein oder es tritt nicht ein.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für dieses Beispiel ist in Bild 8.3 ersichtlich:
fW(w)
p2 =0.7
(Eintritt)
p1 =1-0.7=0.3
(kein Eintritt)
w1=0
Bild 8.3:
w2=1
w
Modellierung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Für mehrmals eintretende Ereignisse wird die Häufigkeit H sinngemäss modelliert. Eine
mögliche Wahrscheinlichkeitsfunktion ist in Bild 8.4 dargestellt. Sie zeigt die Häufigkeit eines
Ereignisses auf, das einmal, zweimal oder dreimal eintreten kann. Die Realisationen je
Simulationsdurchgang betragen somit 1,2 und 3.
fH(h)
p1 =0.6
p2 =0.3
p3 =0.1
h1=1
Bild 8.4:
h2=2
h3=3
h
Modellierung der Häufigkeit eines Ereignisses
Die Art der Modellierung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses hängt von der
jeweiligen Risikosituation ab. Beispielsweise wird für einen im Sprengvortrieb erstellten Tunnel
das Ereignis „Niederbruch im Zuge eines Tunnelabschlages“ mit der ersten Variante modelliert,
während bei der Betrachtung des Ereignisses, bezogen auf einen Tunnelabschnitt, die zweite
Modellierungsart zur Anwendung kommen kann.
Die Auswirkung A kann im Rahmen der M-C-S mit beliebigen stetigen oder diskreten
Verteilungen277 und somit wie die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit probabilistisch modelliert
werden. Dies hat gegenüber der deterministischen Betrachtung den grossen Vorteil, dass ein
Intervall bzw. ein Bereich, innerhalb dessen die Auswirkung variiert, angegeben werden kann.
Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und die
276
277
VOSE, D., [Risk analysis, 2000], S. 201 f.
Siehe Kapitel 4.1
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
99
Auswirkung festgelegt sind, kann der Wert des Risikos R als Produkt der beiden ermittelt
werden. Beispielsweise wird für die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei jedem
Simulationsdurchgang eine Realisation mit dem Wert 0 (kein Eintreten = nein) oder 1
(Eintreten = ja) ermittelt und bei einem Wert von 1 mit einer Realisation aus der Verteilung der
Auswirkung multipliziert (R=1·A). Oder anderes ausgedrückt: Wenn kein Ereignis eintritt,
existiert auch keine Auswirkung (R=0). Wenn das Ereignis bei einem Simulationsdurchgang
aber eintritt, entsteht auch eine Auswirkung. Je Simulationsdurchgang wird dieser Risikowert,
der entweder 0 oder das Produkt aus 1 mal die Realisation aus der Verteilung der Auswirkung
ist, festgehalten. Dieser Vorgang278 wird so lange wiederholt, bis die vorgegebene
Simulationsanzahl erreicht ist. Anschliessend wird aus den Risikowerten die
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion des Risikos erstellt. Es ist zu beachten, dass die
Realisationen der Auswirkung und jenen der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeiten für das
Projektrisiko selbst in der Regel unabhängig279 voneinander sind. Dies betrifft vor allem die
Modellierung von Häufigkeiten eines Ereignisses.
Das Risiko, welches eine Gefahr darstellt, soll für das Ereignis „Niederbruch im Zuge eines
Abschlages“ mit Hilfe einer M-C-S modelliert werden. Die Eintrittswahrscheinlichkeit wird mit
70% angenommen und die Auswirkung auf die Projektanforderung „Minimale Kosten“ als
Normalverteilung280 ( µ = 300’000; σ = 70’000),281 in Geldeinheiten (GE) ausgedrückt. Die
Verteilungen beider Teilkomponenten des Risikos für das Ereignis sind in Bild 8.5 dargestellt:
Bild 8.5:
Verteilungen der Eintrittswahrscheinlichkeit und der Auswirkung des Ereignisses
„Niederbruch“
Das Risiko (Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung), basierend auf der M-C-S,
ist in Bild 8.6 als Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Histogramm dargestellt. Es ist ersichtlich,
dass der Risikowert in 30% der Simulationsdurchgänge gleich 0 und in 70% ungleich 0 ist. Die
Verteilung entspricht für Risikowerte ungleich 0 der Auswirkung (Normalverteilung). Einzige
Abweichung: Die Fläche darunter ist nicht mehr gleich 1282, sondern beträgt 0.7.
278
279
280
281
282
Siehe Bild 6.1
Siehe Kapitel 4.2
Siehe Anhang C.7.3
Für die Ermittlung der Parameter kann die 3σ -Regel verwendet werden. Siehe Kapitel 4.1.3.
Siehe Anhang C.3
100
Bild 8.6:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“ mit Darstellung
des Erwartungswertes, des VaRp283 und des CVaRp284
Die zugehörige Verteilungsfunktion des Risikos ist in Bild 8.7 dargestellt und verdeutlicht das
soeben Erläuterte:
Bild 8.7:
Verteilungsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“ mit Darstellung des
VaRp
Anzumerken ist, dass das Risiko falsch modelliert285 wird, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit
deterministisch betrachtet wird. D. h. für das obige Beispiel, dass der Wert 0,7 für jeden
Simulationsdurchgang mit einer Realisation der Auswirkung multipliziert wird. Der Mittelwert des
Risikos ist zwar identisch zur richtigen Modellierungstechnik, aber die restlichen statistischen
Momente286 sind grundsätzlich falsch. Bild 8.8 zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Risikos
anhand der falschen Modellierungstechnik als Vergleich zu Bild 8.6:
283
284
285
286
Siehe Kapitel 3.1.1.4
Siehe Kapitel 3.1.1.4
Diese falsche Vorgehensweise findet man häufig in der Literatur.
Siehe Anhang C.4
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Bild 8.8:
101
Wahrscheinlichkeitsfunktion des falsch modellierten Risikos des Ereignisses
„Niederbruch“
8.6.1.2 BAYES’SCHE NETZE (BN)
Ergänzend zur M-C-S wird die probabilistische Modellierung des Risikos eines Ereignisses
mittels BN dargestellt, obwohl damit in der vorliegenden Arbeit nur die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit der Ereignisse ermittelt wird.
Die Modellierung des Risikos eines Ereignisses erfolgt ähnlich der M-C-S. Eine Restriktion ist
aber, dass die Knoten nur normalverteilte stetige oder beliebig verteilte diskrete Zufallsvariablen
darstellen können. Möchte man eine von der Normalverteilten abweichende stetige
Zufallsvariable verwenden, muss diese diskretisiert werden. Für die Modellierung der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit ist das irrelevant, denn diese sind immer diskret verteilt, während
die Auswirkung meist mit beliebigen stetigen Verteilungen beschrieben wird und somit
diskretisiert werden muss und deshalb mit einem Zusatzaufwand gegenüber der M-C-S
verbunden ist. Das vorherige Beispiel „Niederbruch“ wird nachfolgend mit einem Bayes’schen
Netz realisiert, wobei die Normalverteilung diskretisiert wird. Der minimale (90’000) und der
maximale Wert (510’000) des für die Diskretisierung relevanten Bereiches wurden unter
Berücksichtigung der 3σ-Regel287 bestimmt. Der Knoten mit der Bezeichnung „Niederbruch“
symbolisiert die Eintrittswahrscheinlich mit den Zuständen ja (=Eintritt) und nein (=kein Eintritt).
Der Knoten „Auswirkung“ beschreibt die Auswirkung bei Eintritt des Ereignisses, wobei die
Zustände des Knotens den Intervallen innerhalb des Diskretisierungsbereiches [9’000, 510’000]
entsprechen. In Bild 8.9 sind das Bayes’sche Netz und seine Wahrscheinlichkeitstabellen
abgebildet:
287
Siehe Kapitel 4.1.3
102
Bild 8.9:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Modellierung des Risikos mit einem Bayes’schen Netz
Beispielsweise zeigt die Wahrscheinlichkeitstabelle für den Knoten „Auswirkung“ die einzelnen
Intervalle (von 90’000–510’000) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten der diskretisierten
Normalverteilung. Die Wahrscheinlichkeiten werden in Abhängigkeit der Zustände des
Ereignisses „Niederbruch“ angegeben. Wenn das Ereignis eintritt, entspricht die Auswirkung
den Funktionswerten der diskretisierten Normalverteilung. Ist das Ereignis nicht eingetreten,
wird den Intervallen der Wert 0 zugeteilt und für Zustand 0 100% angegeben. Das nächste Bild
zeigt die berechneten Ergebnisse, wobei das Risiko aus simulationstechnischen Gründen
durch den Knoten „Auswirkung“ dargestellt wird:
Tabelle 8.4:
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“
Aufgrund der geringeren Anzahl an Intervallen entsprechen die ermittelten Wahrscheinlichkeiten
nicht jenen der M-C-S288. Würde man die gleiche Intervallanzahl und -breite verwenden, wären
beide Wahrscheinlichkeitsfunktionen identisch.
Die Ermittlung des Risikos ist durch die Diskretisierung der Auswirkung aufwändiger als mit der
M-C-S. Der grosse Vorteil der BN ist das Bayes’sche Updating289 und die gute
Modellierungsmöglichkeit der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit des Ereignisses durch
Hinzufügen von weiteren Knoten, die Ursachen darstellen. Bei der M-C-S ist dies mit einem
erheblichen Mehraufwand verbunden. Aus den Ausführungen ist abzulesen, dass die Vorteile
einer Methode immer mit Nachteilen im Rahmen der Modellierung einhergehen. In dieser Arbeit
werden daher beide Methoden miteinander kombiniert. Für die Ermittlung der
Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit von geologisch bedingten Ereignissen werden Bayes’sche
288
289
Siehe Bild 8.6
Siehe Kapitel 5.4.1
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
103
Netze verwendet. Einerseits, da sie eine realitätsnahe Darstellung der Ursache-Wirkungs-Kette
liefern und andererseits, da so in der Ausführungsphase ständig neue Informationen über die
geologischen Verhältnisse berücksichtigt werden können.
Im Geologie-Modul290 soll die Modellierung der geologischen Verhältnisse und der geologisch
bedingten Ereignisse genauer erläutert werden.
8.7
QUANTITATIVE RISIKOBEURTEILUNG
Die qualitative Risikobeurteilung291 ermittelt jene Ereignisse, die im PRM-Prozess weiterer
Aufmerksamkeit bedürfen. In der quantitativen Risikobeurteilung werden im Modul 1 die zu
betrachtenden Ereignisse automatisch von jenen, die einer Risikobehandlung bedürfen, und
jenen, die keine Risikobehandlung benötigen bzw. nur im Rahmen des Risikocontrollings
überwacht bzw. gesteuert werden müssen, unterschieden. Die Unterscheidung erfolgt mittels
einer Risikoakzeptanzgrenze, die durch einen Risikowert, der im Rahmen der PRM-Vorbereitung
vom Projektleiter in Abstimmung mit dem Bauherrn, festgelegt wird. Der festgelegte Risikowert
entspricht einem Wert aus dem Produkt der Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und
Auswirkung. Da dieser Wert eine Konstante darstellt, stehen die Zahlenwerte der
Teilkomponenten, die diese Grenze charakterisieren, in einer Beziehung zueinander, damit ihr
Produkt diesem Risikowert entspricht. Aufgrund der mathematischen Definition des Risikos
kann ein Ereignis mit sehr hoher Auswirkung bei sehr geringer Eintrittswahrscheinlichkeit
bezogen auf die Risikoakzeptanzgrenze keine Risikobehandlung erfahren. Da Ereignisse mit
einer solchen Risikokonstellation sehr wohl behandelt werden sollen, wird im Modul 1 zusätzlich
zum Risikowert eine maximale Auswirkung festgelegt, die gemeinsam die Risikoakzeptanzgrenze292 angeben.
Bei der quantitativen, deterministischen Betrachtung bezieht sich die Risikoakzeptanzgrenze
auf den Erwartungswert des Projektrisikos, während sich die Grenze bei der probabilistischen
Betrachtung auf ein p-Quantil des Projektrisikos beziehen kann.
Im folgenden Bild ist eine Risikoakzeptanzgrenze, inklusive der maximal akzeptablen
Auswirkung, in Geldeinheiten dargestellt:
290
291
292
Siehe Kapitel 9
Siehe Kapitel 8.5
SCHNORRENBERG, U., GOEBELS, G., RASSENBERG, S., [Risikomanagement in Projekten, 1997], S. 116
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Auswirkung [TCHF]
104
Bild 8.10:
Risikoakzeptanzlinie mit maximal akzeptierbarer Auswirkung
Die quantitative Risikobeurteilung wird nach Festlegung einer Risikobehandlung vor
Ereigniseintritt erneut durchgeführt, um einerseits zu überprüfen, ob die gewählte Massnahme
das Risiko (Restprojektrisiko) des Ereignisses unter die Risikoakzeptanzgrenze bringt und ob
andererseits der Aufwand der Risikobehandlung in einem wirtschaftlich vertretbaren Verhältnis
zu deren Nutzen steht. Ist beides nicht gegeben, muss eine andere Risikobehandlung
gefunden oder ein Projektabbruch in Betracht gezogen werden. Ein akzeptables Verhältnis
kann nicht durch eine Zahl, wie in Gleichung (8.1) dargestellt, ausgedrückt werden, da sehr oft
Massnahmen zum Schutz von Menschenleben getroffen werden.
Kosten der Risikobehandlung
≤ 1,
Risiko vor Risikobehandlung - Risiko nach Risikobehandlung
(8.1)
Über die Akzeptanz dieses Verhältnisses müssen somit die Projektverantwortlichen bzw. der
Bauherr je nach Risikosituation entscheiden.
Können Ereignisse nur qualitativ bewertet werden, erfolgt die Risikobeurteilung ebenfalls
qualitativ. Das Vorgehen entspricht dem in Kapitel 8.5 erläuterten, wobei die Notwendigkeit
einer Risikobehandlung anhand eines Referenzwertes festgelegt wird.
8.8
RISIKOBEHANDLUNG
Im Modul 1 wird zwischen der Risikobehandlung vor Ereigniseintritt und der Risikobehandlung
nach Ereigniseintritt unterschieden. Die Möglichkeiten der Behandlung vor dem Eintritt eines
Ereignisses wurden in Kapitel 3.6.3 dargestellt. Die Risikobehandlung nach dem Ereigniseintritt
umfasst Notfallsmassnahmen (z. B. Pumpen, Absperrvorrichtungen bei Wassereinbruch),
anhand derer sofort auf das Ereignis reagiert werden kann, um die Auswirkungen so gering als
möglich zu halten. Notfallmassnahmen werden nicht immer benötigt bzw. es kann auch sein,
dass für Ereignisse generell keine Risikomassnahmen eingeleitet werden können (z. B. bei
Konjunkturschwankungen). Der Kosten- und Zeitaufwand von baulichen Risikomassnahmen
kann detailliert im Modul 3 (Bauprozess) und kombiniert mit Modul 4 (Längenschnitt) anhand
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
105
einer M-C-S probabilistisch ermittelt werden, wenn der Aufwand je Tunnellaufmeter ausgedrückt
wird.
Im Modul 1293 werden für die Risikobehandlung folgende Angaben festgehalten, wobei
zusätzlich zwischen den Vorarbeiten der Risikomassnahme (z. B. Gerätetransport,
Bereitstellung von Plänen usw.) und den eigentlichen Risikomassnahmen unterschieden wird:
• Beschreiben der Risikomassnahme (eventuell Angabe von alternativen Massnahmen bei Unwirksamkeit der Primärmassnahme)
• Kosten- und Zeitaufwand der Risikomassnahme
• Frühwarnindikatoren, die den Eintritt eines Ereignisses frühzeitig anzeigen
• Termin für die Ausführung der Risikomassnahme
• Angabe der Funktionsträger294 betreffend der Risikomassnahme
• Beschreiben der Vorarbeiten zu einer Risikomassnahme
• Frühwarnindikatoren, die eine Verzögerung der Vorarbeiten zu einer Risikomassnahme
anzeigen
• Termin und Zeitaufwand der Vorarbeiten der Risikomassnahme
• Angabe der Funktionsträger betreffend der Vorarbeiten für die Risikomassnahme
• Beschreiben der Notfallmassnahmen
Anzumerken ist, dass für Ereignisse, die vollkommen auf den Vertragspartner überwälzt
werden, auch die von ihm gewählten Risikomassnahmen in das Modul 1 eingepflegt werden
sollen. Damit soll der Projektleiter bzw. der Bauherr eine Übersicht über die gesamten im
Projekt verwendeten Risikomassnahmen erhalten. Zudem unterstützt dieses Vorgehen die
Erstellung eines ganzheitlichen Wissenspools für zukünftige Projekte.
8.9
RISIKOCONTROLLING
Das Risikocontrolling295 ist bei Tunnelbauprojekten eine wichtige Tätigkeit, da sich die Rahmenbedingungen vor allem in der Ausführungsphase ständig ändern können und sich somit
einerseits eine Änderung des Risikos (Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung)
der identifizierten Ereignisse und/oder zusätzliche Ereignisse ergeben können. Die
Verantwortlichen sind verpflichtet, die identifizierten Ereignisse, deren Ursachen, die
zugeordneten Risikomassnahmen und deren Wirksamkeit in ihrem Verantwortungsbereich zu
überprüfen und sie sind für das Identifizieren und Analysieren neuer Ereignisse verantwortlich.
Es sollen auch transferierte Ereignisse berücksichtigt werden, damit die aktuelle Risikosituation
im Projekt jederzeit interpretiert werden kann.
293
294
295
Siehe Anhang D.1.6
Siehe Anhang D.1.1
Siehe Kapitel 3.6.4
106
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Im Rahmen des Risikocontrollings werden im Modul 1296, unterstützt durch die Angaben aus der
Risikobehandlung, nachfolgende Informationen festgehalten, die von den Verantwortlichen in
regelmässigen Abständen aktualisiert werden müssen:
• Angabe der Verantwortlichen für die Überwachung und Steuerung der identifizierten
Ereignisse, deren Ursachen sowie der zugeordneten Risikomassnahme
• Stand des Risikos eines Ereignisses (steigend, gleich bleibend, sinkend)
• Beschreibung der Gründe für die Risikozunahme bzw. -abnahme
• Angabe der Verantwortlichen für die Überwachung und Steuerung der Vorarbeiten der
Risikomassnahme
• Stand der Vorarbeiten der Risikomassnahmen (noch nicht begonnen, in Bearbeitung,
abgeschlossen)
• Beschreibung der Gründe für die Verzögerung der Vorarbeiten der Risikomassnahme
8.10
GESAMTPROJEKTRISIKO
Das Gesamtprojektrisiko berechnet sich durch die Aggregation der quantitativ (deterministisch,
probabilistisch) bzw. qualitativ297 bewerteten Projektrisiken von Ereignissen eines oder mehrerer
Projektrisikomanagementpläne (PRM-Pläne). Das Risiko von Ereignissen, die nicht identifiziert,
und von Ereignissen, die identifiziert, aber im PRM nicht weiter betrachtet werden, kann mittels
eines Zuschlages auf das Gesamtprojektrisiko berücksichtigt werden.
Die Aggregation erfolgt im Modul 1 nach der Risikobehandlung und bezieht sich auf die
jeweilige Projektanforderung (PA), wobei der Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit auf den PA
Baukosten und Bauzeit liegt. Zusätzlich wird für diese beiden PA das Modul 4 (Längenschnitt)
für die Ermittlung des Gesamtprojektrisikos einbezogen, wenn die Teilkomponenten des Risikos
von Ereignissen je Tunnellaufmeter für einen Homogenabschnitt angegeben werden, dessen
Länge probabilistisch betrachtet wird.
Die Risikodefinition in dieser Arbeit298 besagt, dass der Eintritt eines Ereignisses einen positiven
(Chance) bzw. einen negativen (Gefahr) Einfluss auf die Erfüllung einer PA haben kann. Im
Rahmen der Aggregation sollen Chancen und Gefahren von Ereignissen nicht gemeinsam
aggregiert werden, damit die gesamte Risikosituation des Betrachtungsfeldes nicht falsch
eingeschätzt wird. Die Aggregation von Chancen kann bei verschiedenen Lösungsalternativen
(verschiedene Projekte, Bauverfahren usw.) als Entscheidungshilfe dienen, während die
Aggregation von Gefahren ein entscheidendes Kriterium für die Realisierbarkeit beispielsweise
eines Projektes oder eines Bauverfahrens darstellt und darüber hinaus der Berechnung von
Risikozuschlägen (z. B. für Kosten und Zeit) dient.
Durch die Aggregation der quantitativ, deterministisch bzw. qualitativ bewerteten Projektrisiken
der Ereignisse erhält man rasch einen guten Überblick über die vorherrschende Risikosituation
296
297
298
Siehe Anhang D.1.7
Wird nur durchgeführt, wenn das Projektrisiko des Ereignisses nicht quantitativ bewertbar ist.
Siehe Kapitel 3.1.1.2
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
107
im Projekt bzw. über die Beeinflussung der PA durch die Ereignisse. Die Aggregation der
quantitativ bewerteten Projektrisiken erfolgt mittels Addition der Erwartungswerte der
Projektrisiken. Das Gesamtprojektrisiko spiegelt ebenfalls einen Erwartungswert wider, dieser
ist, wie später in Gleichung (8.3) gezeigt wird, unabhängig von möglichen Abhängigkeitsverhältnissen der Projektrisiken und somit durch einfaches Addieren der Erwartungswerte der
Projektrisiken korrekt zu ermitteln. Für qualitativ bewertete Projektrisiken basiert die Aggregation
auf den Referenzwerten.
Das Gesamtprojektrisiko ist am aussagekräftigsten, wenn die Aggregation von quantitativ,
probabilistisch bewerteten Projektrisiken von Ereignissen durchgeführt wird. Dies liegt daran,
dass Abhängigkeiten zwischen Ereignissen modelliert werden können und – durch die
Anwendung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen – eine Unschärfe in die Risikobewertung
eingebracht werden kann. Die Aggregation erfolgt am einfachsten mittels einer Monte-CarloSimulation mit deren Hilfe ein VaR299 oder CVaR zum Konfidenzniveau p ermittelt wird.
Nach der Ermittlung des Gesamtprojektrisikos nach der Risikobehandlung für die identifizierten
Ereignisse müssen die Projektbeteiligten erneut entscheiden, ob das gesamthafte Risiko
akzeptabel ist. Für die Projektanforderung Baukosten kann ein akzeptables Verhältnis des
Gesamtprojektrisikos (in Kosten) zu den Baukosten angegeben werden, wobei dieses
wiederum vom Bauherrn festgelegt werden muss. In Gleichung (8.2) ist das Verhältnis
beispielsweise mit 1:10 angenommen.
Gesamtprojektrisiko nach Risikobehandlung
Baukosten
≤ 0.1 .
(8.2)
Für die Bauzeit kann sinngemäss vorgegangen werden.
8.10.1 BERÜCKSICHTIGUNG VON ABHÄNGIGKEITEN
Oft können identifizierte Ereignisse nicht isoliert betrachtet werden, da sie mit anderen in einem
Abhängigkeitsverhältnis (z. B. Niederbruch und Wassereinbruch) stehen. Betrachtet man die
mathematische Risikodefinition300, kann sich die Abhängigkeit auf die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und/oder auf die Auswirkung beziehen. Würde man diesen Umstand
bei einer Risikoaggregation nicht berücksichtigen, ergäbe sich eine Fehlinterpretation der
gesamten Risikosituation. Um dieser Problematik Rechnung zu tragen, können abhängige
Ereignisse intuitiv vor der Risikoaggregation zusammengefasst und als ein übergeordnetes
Ereignis betrachtet werden, damit die Quantifizierung der Abhängigkeit umgangen werden
kann. Dieses übergeordnete Ereignis kann vielfach sogar leichter quantifiziert werden.
8.10.1.1 KORRELATIONS-, COPULAKONZEPT
Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung eines Verfahrens zur Abhängigkeitsmodellierung.
In Kapitel 4.2 wurden verschiedene vorgestellt und deren Vor- und Nachteile ausführlich
299
300
Siehe Kapitel 3.1.1.4
Siehe Kapitel 3.1.1.3
108
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
erläutert. Allen Verfahren ist gemein, dass die Eingabeparameter (z. B. die linearen
Korrelationskoeffizienten) bei fehlenden statistischen Daten von Experten geschätzt bzw.
subjektiv angegeben werden müssen. Zur Modellierung der Abhängigkeitsstruktur wurden die
Normal-Copula301 und die STUDENTS t-Copula302 in das Modul 1 implementiert, deren
Eingangsparameter die lineare Korrelationsmatrix (Normal-Copula) bzw. die lineare
Korrelationsmatrix und der Freiheitsgrad (STUDENTS t-Copula) sind. Es ist zu beachten, dass die
lineare Korrelationsmatrix der Copulafunktionen nicht mit der linearen Korrelationsmatrix der
generierten Zufallszahlen der Randverteilungen übereinstimmen muss, während die Rangkorrelationsmatrizen aufgrund ihrer invarianten Eigenschaft identisch sind. Deshalb ist es von
Vorteil, die lineare Korrelationsmatrix der Copulafunktionen bei der Auswertung von
statistischen Daten über die Rangkorrelationen zu bestimmen.303 Der Unterschied zwischen den
linearen Korrelationskoeffizienten hängt von der Form der zu korrelierenden Randverteilungen in
Kombination zum gewählten Korrelationskoeffizienten ab.304 Generell kann gesagt werden, je
symmetrischer die Randverteilungen sind, desto geringer ist der Unterschied.
Das Gesamtprojektrisiko RG setzt sich aus der Aggregation der, beispielsweise monetär
bewerteten, Projektrisiken REi (getrennt nach Chancen und Gefahren) von Ereignissen
innerhalb des Betrachtungsfeldes zusammen. Der Erwartungswert E(RG)305 und die
Varianz Var(RG)306 des Gesamtprojektrisikos RG sind durch folgende Formeln charakterisiert,
wobei die Abhängigkeiten durch die lineare Korrelation beschrieben werden:307
E(RG ) = µRG =
n
∑
i =1
E(REi ) =
n
∑ µR
i =1
E
i
(8.3)
E(REi ) Erwartungswert des Projektrisikos von Ereignis Ei
Die Gleichung (8.3) zeigt, dass der Erwartungswert des Gesamtprojektrisikos E(RG) der Summe
der Erwartungswerte E(REi ) der Projektrisiken der Ereignisse entspricht und somit von
möglichen Abhängigkeiten zwischen den Ereignissen unabhängig ist. Das bedeutet, dass für
die Ermittlung des Erwartungswerts des Gesamtprojektrisikos keine Abhängigkeitsanalyse
notwenig ist, was wiederum aufzeigt, dass der Erwartungswert des Gesamtprojektrisikos ein
ungenügendes Risikomass darstellt.308
Die Varianz Var(RG) des Gesamtprojektrisikos RG ist wie folgt definiert:
301
302
303
304
305
306
307
308
Siehe Kapitel 4.2.5
Siehe Kapitel 4.2.5
Siehe Kapitel 6.3.3
Siehe Kapitel 4.2.6
Siehe Anhang C.4.1
Siehe Anhang C.4.2
In Anlehnung an FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 354
Siehe Kapitel 3.1.1.4
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Var(RG ) =
=
n
∑
i=1
n
∑
i=1
=
Var(REi ) + 2 ⋅
n
n
∑ ∑ Cov(RE ,RE ) =
i
i=1 j=i+1
Var(WE i ⋅ AEi ) + 2 ⋅
n
n
j
n
∑ ∑ Cov(WE ⋅ AE ,WE
i
i=1 j=i+1
n
i
n
∑ Var(HE ⋅ AE ) + 2 ⋅ ∑ ∑ Cov(HE ⋅ AE ,HE
i=1
Var(REi )
i
i
109
i=1 j=i+1
i
i
j
j
⋅ A Ej )
(8.4)
⋅ A Ej )
Varianz der Projektrisiken REi
Cov(REi ,REj ) Kovarianz zwischen Projektrisko REi und Projektrisiko REj
WE ,HE ,AE
i
i
i
Eintrittswahrscheinlichkeit, Häufigkeit, Auswirkung des Ereignisses Ei
Im Gegensatz zum Erwartungswert E(RG) wird die Varianz Var(RG) bei vorhandenen Abhängigkeiten nicht nur durch die Summe der Varianzen der einzelnen Projektrisiken ermittelt, sondern
um die Kovarianzen309 ergänzt. Wenn alle abhängigen Ereignisse negativ korreliert sind
(Korrelationskoeffizienten sind negativ)310, werden die Kovarianz-Terme negativ und die
Varianz Var(RG) des Gesamtprojektrisikos geringer als für den unkorrelierten Fall. Denn für den
unkorrelierten Fall sind die Kovarianz-Terme gleich 0 (Korrelationskoeffizienten sind 0). Sind alle
abhängigen Ereignisse positiv korreliert (Korrelationskoeffizienten sind positiv), werden die
Kovarianz-Terme positiv, und es resultiert daraus eine grössere Varianz Var(RG) als für den
unkorrelierten oder negativ korrelierten Fall. Im Anhang (Kapitel A.3.2) findet der interessierte
Leser eine detailliertere Darstellung der Gleichung (8.4) für abhängige Ereignisse.
Wie beeinflussen diese unterschiedlichen Varianzen die Risikomasse VaR und CVaR?
Der VaR und der CVaR der einzelnen Fälle (negativ korreliert, unkorreliert, positiv korreliert),
bezogen auf das gleiche Konfidenzniveau p, ist aufgrund der unterschiedlichen Varianzen
ungleich. Wie bereits in Kapitel 3.1.1.4 erläutert, kann mit dem VaR als Risikomass nicht
unbedingt davon ausgegangen werden, dass der Worst Case betrachtet wird, wenn eine
perfekte positive lineare Korrelation (Varianz wird maximal) vorausgesetzt wird. D. h. weiter,
dass sich für einen geringeren Wert des Korrelationskoeffizienten ein höherer VaR zum
Konfidenzniveau p ergeben kann, obwohl die Varianz kleiner wird.
Für den CVaR ist das Maximum zum Konfidenzniveau p bei perfekter linearer Korrelation
gegeben, und es gilt für die einzelnen Fälle folgende Ungleichung:
kor.
kor.
CVaRneg.
(RG ) ≤ CVaRunkor.
(RG ) ≤ CVaRpos.
(RG )
p
p
p
(8.5)
Existieren für die Ermittlung der Abhängigkeitsmasse keine statistischen Daten, kann es von
Vorteil sein, für eine erste Abschätzung die Grenzfälle der Korrelation zu betrachten, um deren
Einfluss auf das Gesamtprojektrisiko aufzuzeigen. Anhand der Ergebnisse sollte entschieden
309
310
Siehe Kapitel 4.2.1
Angenommen wird, dass ein Ereignis nur mit einem anderen Ereignis in einem Abhängigkeitsverhältnis steht, andernfalls wäre die Korrelationsmatrix nicht mehr zulässig. Siehe Kapitel 4.2.6.
110
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
werden, ob eine genauere Bestimmung des Abhängigkeitsmasses notwenig ist. Anzumerken
ist, wenn Ereignisse nicht nur paarweise abhängig sind (z. B. E1 mit E2; E3 mit E4), sondern
zahlreiche Abhängigkeiten zueinander bestehen (z. B. E1 mit E2 und E3; E2 mit E3), können nicht
alle abhängigen Ereignisse negativ korreliert sein. Dies liegt daran, dass die Korrelationsmatrix
mindestens positiv semidefinit sein muss. In Kapitel 4.2.6 wird dies anhand eines Beispiels
aufgezeigt.
8.10.1.2 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
Neben dem Korrelations- Copulakonzept können Abhängigkeiten von Ereignissen mittels
bedingter311 Wahrscheinlichkeiten im Modul 1 dargestellt werden. Der Ansatz ist mit den
Bayes’schen Netzen zu vergleichen. Die Vorgehensweise soll anhand eines Beispiels kurz
skizziert werden. In Bild 8.11 werden zwei Ereignisse (E1 und E2) in einem Ereignisbaum
dargestellt, wobei die Eintrittswahrscheinlichkeit von E2 (bedingte Wahrscheinlichkeit) in
Abhängigkeit von E1 angegeben wird. Durch Multiplizieren der Eintrittswahrscheinlichkeiten und
des Erwartungswertes der gemeinsamen Auswirkung entlang der Pfade und anschliessendem
Aufsummieren der Ergebnisse ergibt sich das erwartete Gesamtrisiko beider Ereignisse.
wE1
wE2|E1
ja
ja
wE2|E1 = 0.7
A
1
E(A 1E1,E2 )
wE1 = 0.8
nein
1-wE2|E1 = 0.3
ja
nein
wE2|E1 = 0.1
2
E(AE21 )
3
E(A E3 2 )
1-wE1 = 0.2
nein
1-wE2|E1 = 0.9
Bild 8.11:
4
0
Ereignisbaum
Der Erwartungswert des Gesamtprojektrisikos von beiden Ereignissen beträgt:
E(RG ) = 0.8 ⋅ 0.7 ⋅ E(A1E1,E2 ) + 0.8 ⋅ 0.3 ⋅ E(A E21 ) + 0.2 ⋅ 0.1⋅ E(A E32 ) + 0.2 ⋅ 0.9 ⋅ 0
Jeder einzelne Pfad stellt ein mögliches Szenario in der Wirklichkeit dar. Die probabilistische
Berechnung dieses Modells mittels M-C-S erfolgt im Modul 1 folgendermassen und soll für das
oben angegebene Beispiel erklärt werden: Die Berechnung geschieht unter Zuhilfenahme von
logischen Operatoren (Wenn … Dann …). Beginnend mit dem Ereignis 1 (unbedingte
Wahrscheinlichkeit) wird die Eintrittswahrscheinlichkeit wie in Bild 8.3 modelliert. Die Berechnete
311
Siehe Anhang C.2.4
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
111
Realisation 0 (kein Eintritt) oder 1 (Eintritt) schränkt die Anzahl der möglichen Pfade, entlang
derer weitergerechnet werden kann, ein. Im Beispiel ist für eine Realisation gleich 1 (Eintritt) nur
mehr Pfad 1 oder Pfad 2 für den nächsten Berechnungsschritt zulässig. Die Eintrittswahrscheinlichkeit für Ereignis 2 wird gleich modelliert wie vorher unter Berücksichtung der berechneten
Realisation von Ereignis 1. Ergibt die Realisation für Ereignis 2 beispielsweise 1, ist nur noch
Pfad 1 für die Ermittlung der Auswirkung möglich. Bei 10’000 Simulationsdurchgängen wird
Pfad 1 5600-mal realisiert. Im Zuge der M-C-S wird somit für jeden Simulationsdurchgang ein
mögliches Szenario festgelegt und eine diesem Pfad zugehörige Realisation für die Auswirkung
generiert und festgehalten. Am Ende der Simulation wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion des
Gesamtrisikos durch die gespeicherten Realisationen der Auswirkung dargestellt.
Diese Form der Modellierung ist aufwändiger als die Modellierung mittels Korrelationskoeffizienten, hat aber den Vorteil, dass die Methode für den Anwender leichter nachvollziehbar
bzw. die Schätzung der bedingten Wahrscheinlichkeiten einfacher als die der Korrelationskoeffizienten ist. Zudem umgeht man die Probleme, die in Kapitel 4.2 angeführt sind. Bei einer
sehr grossen Anzahl von Pfaden wird die Modellierung mit einer M-C-S sehr aufwändig,
weshalb in solchen Fällen Bayes’sche Netze bevorzugt werden, wobei aber der Mehraufwand
durch die Diskretisierung von stetigen Verteilungen nicht unberücksichtigt bleiben darf.
Das Netz für das obige Beispiel ist im folgenden Bild dargestellt:
Bild 8.12:
Modellierung des Ereignisbaumes in Bild 8.11 mit einem Bayes’schen Netz
Um die Problematik der Diskretisierung zu umgehen, kann für die Ermittlung des Gesamtrisikos
eine Kombination aus Bayes’schen Netzen und M-C-S durchgeführt werden. Dazu wird ein
Hilfsknoten im Netz eingeführt, dessen Zustände312 jeweils ein Pfad darstellt. In diesem Knoten
sind die Ergebnisse der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang jedes Pfades sichtbar.
Im Rahmen einer M-C-S kann das Gesamtprojektrisiko anhand der im Netz generierten
diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung (Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit) und der stetigen
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Auswirkungen ermittelt werden.
312
Siehe Kapitel 5.3
112
Bild 8.13:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
Bayes’sche Netz mit der Wahrscheinlichkeitstabelle und den Pfadwahrscheinlichkeiten
Durch dieses Vorgehen kombiniert man die Vorteile beider Methoden. Einerseits kann im Netz
mit bedingten Wahrscheinlichkeiten gerechnet werden und zusätzlich einfach ein Bayes’sches
Updating313 durchgeführt werden und andererseits können durch die Verwendung einer M-C-S
stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen berücksichtigt werden.
8.11
FRAGESTELLUNGEN, DIE DAS RISIKOMANAGEMENTPROZESSMODUL BEANTWORTET
Im Risikomanagementprozess-Modul können nicht nur die Projektereignisliste und die
Projektereignisblätter generiert werden: Durch Abfragen der Datenbank mittels Spezialfilter
können zudem zahlreiche Fragen beantworten werden, die sowohl für das gesamte Projekt als
auch für den jeweiligen Projektrisikomanagementplan Gültigkeit haben. Nachfolgend sind
einige davon aufgeführt:
• Welche Ereignisse beeinflussen Projektanforderung X?
• Welche Ereignisse verursachen ein grosses Risiko?
• Welche Ereignisse bzw. Ursachen stammen aus Risikofeld X?
• Welche Ereignisse bedürfen Massnahmen?
• Welches Risiko eines Ereignisses zeigt die Tendenz, grösser oder kleiner zu werden?
• Für welche Ereignisse ist der Projektbeteiligte X zuständig?
• Welcher Projektbeteiligte ist für Ereignis X zuständig?
• Welche Massnahmen sind zu einem bestimmten Zeitpunkt noch nicht umgesetzt?
• Welche Massnahmen hätten zu einem bestimmten Zeitpunkt schon umgesetzt werden
müssen?
• Wie ist der Risikoverlauf des Ereignisse X über die Projektlebensdauer?
• Wie hoch ist das aktuelle Gesamtprojektrisiko bezüglich Projektanforderung X?
Abschliessend kann gesagt werden, dass die Projektbeteiligten durch das Modul 1 jederzeit die
313
siehe Kapitel 5.4.1
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 8. MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
ISIKOMANAGEMENTPROZESS
113
Möglichkeit haben, sich einen Überblick über die aktuelle Risikosituation zu verschaffen, ohne
dabei vor Ort sein zu müssen. Immer vorausgesetzt, dass die Datenbank laufend aktualisiert
wird.
114
9
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
MODUL 2: GEOLOGIE
Das Geologie-Modul, das in Hugin entwickelt wurde, umfasst die Bayes’schen Netze, welche
die geologische Situation modellieren. Die Bayes’schen Netze erfüllen mehrere Aufgaben:
•
Berechnung
der
prozentualen
Verteilung
der
baulichen
Massnahmen
bzw.
Risikomassnahmen (Profiltypen)
•
Unterstützung des Risikomanagementprozess-Moduls zur Bestimmung der Teilkomponente Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit von geologisch bedingten Ereignissen
•
9.1
Aktualisieren der geologischen Situation mittels Bayes’schem Theorem
MODELLIERUNG DER GEOLOGISCHEN VERHÄLTNISSE UND
GEOLOGISCH BEDINGTEN EREIGNISSE MIT BAYES’SCHEN NETZEN
Geologisch bedingte Ereignisse bzw. Gefährdungsbilder, die im Risikomanagement-Prozess
identifiziert, qualitativ bewertet und aufgrund der qualitativen Risikobeurteilung weiter verfolgt
werden müssen, werden im Geologie-Modul detaillierter betrachtet bzw. deren UrsacheWirkungs-Kette mit Bayes’schen Netzen (BN) modelliert.314
Die Modellierung mittels BN ähnelt der in der Praxis anerkannten Vorgehensweise315 bei der
Planung von Untertagebauwerken, welche grob dargestellt von der Gebirgsbeschreibung zum
Gefährdungsbild316 bis zur erforderlichen Massnahme bzw. Risikomassnahme (z. B. Profiltyp)
reicht. Ergänzt wird dieses Vorgehen durch die Ermittlung des Restprojektrisikos (mit
Massnahme) und des Projektrisikos (ohne Massnahme), welche beide für die Ermittlung des
Gesamtprojektrisikos bzw. Gesamtbaukosten/Zeiten relevant sind.317
Jedem Homogenabschnitt wird ein BN zugeordnet, das einen Abschnitt entlang der Trasse
beschreibt, dessen Gebirgseigenschaften innerhalb gewisser Grenzwerte liegen.318 Eine
Störzone kann somit ebenfalls durch einen Homogenbereich dargestellt werden. Der Geologe
gibt die Lage der Abschnittsgrenzen der Homogenbereiche basierend auf seinen
geologischen, hydrogeologischen und geotechnischen Berichten vor. Im Längenschnitt-Modul
(Modul 4) kann die Angabe der Lage (Kilometrierung) der Abschnittsgrenzen und davon
abgeleitet die Länge der Homogenbereiche probabilistisch festgelegt werden.
Im BN wird durch die Zustände und die Wahrscheinlichkeiten der Knoten eine Unschärfe bzw.
probabilistische Betrachtungsweise der geologischen Situation ermöglicht. Die verschiedenen
Knoten im BN beinhalten abgestufte, binäre und kontinuierliche Zustände319 und zeigen
denkbare Erscheinungsformen innerhalb des Homogenabschnittes auf.
314
Siehe Bild 8.1
ÖGG, [Richtlinie für die Geomechanische Planung, 2001]; SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004]
316
Siehe Kapitel 3.1.1.2.
317
Siehe Bild 7.4
318
SIA 199, [Erfassen des Gebirges, 1998], S. 5
319
Siehe Kapitel 5.3
315
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
115
Im folgenden Bild 9.1 sind die BN für jeden Homogenabschnitt plakativ dargestellt. Zusätzlich
sind die Verteilungen der Profiltypen und die identifizierten geologischen Ereignisse
angegeben.
Homogenabschnitt HA1
Homogenabschnitt HA2
Homogenabschnitt HA3
BN1
BN2
BN3
Profiltyp I 40%
Profiltyp II 50%
Profiltyp III 10%
Profiltyp II 40%
Profiltyp III 50%
Profiltyp IV 10%
Profiltyp IV 40%
Profiltyp V 60%
Ereignis
Ereignis
Ereignis
Bild 9.1:
9.2
1
2
3
Ereignis
Ereignis
Ereignis
1
2
3
Ereignis
Ereignis
Ereignis
Homogenabschnitt HA4
BN4
1
2
3
Profiltyp I 60%
Profiltyp II 20%
Profiltyp III 20%
Ereignis
Ereignis
Ereignis
1
2
3
Homogenabschnitte
THEORETISCHE AUFBAU DES BAYES’SCHEN NETZES
In diesem Kapitel soll der theoretische Aufbau der Bayes’schen Netze (BN) dargestellt werden,
der für das Beispiel in Kapitel 12 übernommen wird. Die BN umfassen fünf Ebenen, deren
Knoten innerhalb und/oder ebenenübergreifend miteinander verknüpft sind.
Szenario, Experten
Gebirgsbeschreibung
Ereignisse bzw. Gefährdungsbilder
m. Massnahmen
o. Massnahmen
Restprojektrisiko
Projektrisiko
Bild 9.2:
Aufbau des Bayes’schen Netzes
Auf der ersten Ebene im BN befinden sich ein Szenario- und ein Expertenknoten. Im
116
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Szenarioknoten geben die einzelnen Zustände verschiedene Szenarien an (z. B. optimistische,
wahrscheinliche, pessimistische), deren Eintrittswahrscheinlichkeit in der Wahrscheinlichkeitstabelle angegeben wird. Im Expertenknoten stellen die einzelnen Zustände diverse
Expertenmeinungen dar und können durch die Wahrscheinlichkeitsangabe unterschiedlich
zueinander gewichtet sein. Die Gewichtung richtet sich nach der subjektiven Meinung über die
Zuverlässigkeit einer Expertenaussage. In Abhängigkeit beider Knoten können in den
Wahrscheinlichkeitstabellen die Wahrscheinlichkeiten beliebiger Kind-Knoten320, die sich auf
den restlichen Ebenen befinden, eingetragen werden. Die totalen Wahrscheinlichkeiten321 der
Kind-Knoten können durch den Szenario- und Expertenknoten massgebend beeinflusst
werden.
Die zweite Ebene beinhaltet die geologische Beschreibung, wie z. B. die Trennflächen-,
Gesteins-, Gebirgseigenschaften und die hydrogeologischen Gegebenheiten. Zusätzlich
können dieser Ebene weitere Angaben, beispielsweise für Berggasvorkommen, zugeordnet
werden. Die Wahrscheinlichkeiten in den Knoten geben die Verteilung im Homogenabschnitt
an. Für die Ermittlung der Ereignisse bzw. Gefährdungsbilder in Ebene 3 stützt sich die
geologische Beschreibung unter anderem auf den GSI (Geological Strength Index), der von
Hoek322 et al. Mitte der 90er-Jahre publiziert wurde und basierend auf zahlreichen Versuchen
und örtlichen Beobachtungen entwickelt wurde. Der GSI ist ein modernes
Klassifikationssystem, das neben dem RQD323 (Rock Quality Designation Index) und dem
RMR324 (Rock Mass Rating) in Mitteleuropa angewendet wird. Der grosse Vorteil des GSI
gegenüber den anderen Klassifizierungssystemen ist, dass durch die qualitative Beurteilung
des Gebirges (Beschaffenheit der Trennflächen, Struktur des Gebirges) und die quantitative
Beschreibung des intakten Gesteins (einaxiale Druckfestigkeit, Hoek and Brown Konstante mi
und D) auf bestimmte Gebirgskennwerte (z. B. Gebirgsfestigkeit), die für Berechnungen (z. B.
Verformungen) ausserhalb des BN verwendet werden, rückgeschlossen werden kann. Die
qualitative Beschreibung erfordert sehr grosse Erfahrung, weshalb der Expertenknoten eine
gute Möglichkeit darstellt, verschiedene Expertenaussagen miteinander zu vereinen.
Die dritte Ebene beschreibt, abgeleitet von den Knoten aus Ebene 2, die zu erwartenden
Gefährdungsbilder bei der Schaffung des Hohlraumes, wobei betreffend Baugrundstabilität der
endgültige Querschnitt ohne Stützmassnahmen und Querschnittsunterteilung betrachtet wird.
Die Angabe der Zustände und der Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitstabelle325 der
Knoten kann durch Untersuchungen (z. B. analytisch) ausserhalb des BN unterstützt werden.
Hierfür werden die Zustände der Eltern-Knoten miteinander kombiniert, das Verhalten bestimmt
und in das BN eingetragen.
Die Zustände der Knoten auf dieser Ebene umfassen die im Normalfall zu erwartenden
Ereignisse (z. B. Kluftkörper fallen aus dem First), auf welche die Massnahmen abgestimmt
320
321
322
323
324
325
Siehe Kapitel 5.3
Siehe Kapitel 5.4.1 und Kapitel 5.4.2
HOEK, E., KAISER, P. K., BAWDEN, W. F., [Support of underground excavation, 2006]
DEERE, D. U., [Geological consideration, 1968]
BIENIAWSKI, Z. T., [Rock mass classification, 1976]
Siehe Kapitel 5.3
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
117
werden. Die Bewertung der Gefährdungsbilder im BN erfolgt auf dieser Ebene durch die
Eintrittswahrscheinlichkeit, die Beurteilung über eine Massnahmennotwendigkeit erfolgt intuitiv.
Erst auf der fünften Ebene werden in Abhängigkeit der gewählten Massnahme das
Restprojektrisiko und das Projektrisiko von Ereignissen, welche dem Normalfall zugeordnet
werden, und von Extremereignissen (z. B. Verbruch von 50 m3) bewertet und beurteilt.326 Die
Überprüfung, ob die Massnahmen für den Normalfall und auch für Extremereignisse
ausreichen, erfolgt anschliessend im Rahmen der Risikobeurteilung.
Die vierte Ebene beinhaltet die Massnahmen, mit denen den erwarteten Gefährdungsbildern
begegnet werden soll. Diese umfassen hauptsächlich bauliche Tätigkeiten, die unter einem
Profiltyp327 subsumiert werden, wobei das Systemverhalten von Gebirge und Profiltyp durch
externe Berechnungen überprüft werden muss. Zusätzlich werden die Baukosten und Bauzeit je
Tunnellaufmeter je Profiltyp aus dem Bauprozess-Modul einbezogen, um im BN die
durchschnittlichen Baukosten oder die durchschnittliche Bauzeit je Tunnellaufmeter für den
Homogenabschnitt zu ermitteln. Durch dieses Vorgehen ist es möglich, dass verschiedene
Profiltypen für ein bestimmtes Gefährdungsbild untersucht werden und daraus die
kostengünstigste Profiltypvariante, einschliesslich der Projektrisiken der geologisch bedingten
Ereignisse, ermittelt wird.
Die fünfte Ebene umfasst die Modellierung der aus dem Gefährdungsbild und den
zugeordneten Massnahmen abgeleiteten Restprojektrisiken und Projektrisiken. Festzuhalten ist,
dass nicht zwingend ein Gefährdungsbild auf Ebene 3 existieren muss, um ein Risiko zu
simulieren. In Bild 9.3 wird beispielsweise das Risiko von Ereignis Erschütterung infolge
Sprengung ohne Knoten aus Ebene 3 modelliert. Das empfiehlt sich vor allem dann, wenn es
schwierig bzw. nicht sinnvoll ist, das Gefährdungsbild vor einer Massnahme quantitativ
abzuschätzen. Auf Ebene 5 wird primär die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit des
Ereignisses detailliert ermittelt. Die Auswirkung wird abgeschätzt oder im Bauprozess-Modul
ermittelt und im Netz übernommen. Durch das Einbeziehen der Auswirkung der Ereignisse
können die Risiken den Baukosten oder der Bauzeit je Tunnellaufmeter hinzugefügt werden,
wodurch im Netz die Gesamtbaukosten oder Gesamtbauzeit (inkl. geologisch bedingter
Ereignisse) ersichtlich ist. Dies erfolgt bei Änderung bzw. Berücksichtigung von zusätzlichen
Informationen für einen Knoten oder im Rahmen einer Variantenstudie für Profiltypen in Echtzeit
für den Homogenabschnitt.
Die Beurteilung des Projektrisikos der Ereignisse erfolgt mittels der Risikoakzeptanzgrenze328,
welche eventuell zu einer Änderung bzw. Erweiterung der gewählten Massnahme führen kann.
Aufgrund der Untersuchung von Schadensfällen329 von im Sprengvortrieb erstellten Tunnels
können vier Bereiche identifiziert werden, innerhalb deren Ereignisse auftreten können (betrifft
vor allem die Baugrundstabilität).
• Bereich an der Ortsbrust
326
327
328
329
Siehe Kapitel 12
Umfasst die Ausbruchsicherung, allfällige Bauhilfsmassnahmen und die Verkleidung.
Siehe Bild 8.10
HEALTH & SAFETY EXECUTIVE HSE, [Safety of Tunnels, 1996], S. 16 ff.
118
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
EOLOGIE
• Bereich zwischen Ortsbrust und der ersten Sicherung (ungesicherter Bereich)
• Bereich zwischen erster Sicherung bis vollständig hergestellter Sicherung (teilweise
gesicherter Bereich)
• Bereich, der vollständig gesichert ist
Generell kann erwähnt werden, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit
ansteigendem Abstand von der Ortsbrust abnimmt, während die Auswirkung des Ereignisses
zunehmen kann.
Im folgenden Bild sind die Ebenen in einem Netz, das an das Beispiel in Kapitel 12 angelehnt
ist, dargestellt:
Ebene 1
Experte
Szenario
Ebene 2
Lithologie
Wasservorkommen
Trennflächenrauhigkeit
Verwitterung
Struktur/
Blockgrösse
Füllung
Wasserdruck
Gasvorkommen
Durchlässigkeit
Ausgasverhalten
Überflutungsgefahr
Trennflächenbeschaffenheit
GSI
Trennflächenscharen
Gebirgsfestigkeit
Orientierung
massg. Trennfläche
Überlagerungshöhe
Ebene 3
Kosten/Zeit
Je lfm
druckhaftes
Verhalten
strukturbedingtes
Verhalten
sprödes
Verhalten
Wasseranfall
quellfähiges
Verhalten
Ebene 4
Variante
Profiltyp
Kosten/Zeit
Je lfm PT
Gasgefahr
Profiltyp (PT)
Ebene 5
Bild 9.3:
Niederbruch
Versagen
Ausbruchsicherung
Erschütterung
Wassereinbruch
Auswirkung K/Z
Niederbruch
Auswirkung K/Z
Vers. Ausbruch.
Auswirkung K
Erschütterung
Auswirkung K/Z
Wassereinbruch
Bayes’sches Netz
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
9.3
119
BESCHREIBUNG DER KNOTEN IM BAYES’SCHEN NETZ
In den folgenden Kapiteln werden die Knoten des Bayes’schen Netzes der Ebenen 1 bis 5
genauer beschrieben, wobei auf die im Tunnelbau häufig vorkommenden Gefährdungsbilder
wie strukturbedingtes, druckhaftes, sprödes und quellendes Verhalten sowie Wasseranfall und
Gasgefahr fokussiert wird bzw. das Beispiel darauf abgestimmt ist.
9.3.1
DER KNOTEN „SZENARIO“
Der Knoten „Szenario“ beinhaltet als Zustände, wie bereits in Kapitel 9.2 erwähnt, verschiedene
Szenarien. Durch Einführen von hard-evidence330 eines Zustandes (z. B. wahrscheinliches
Szenario) können die Änderungen bezüglich der totalen Wahrscheinlichkeiten diverser Knoten
(z. B. die prozentuale Verteilung der Profiltypen) in Echtzeit festgestellt werden. Für die
Ermittlung der Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit331 werden alle Szenarien entsprechend
ihrer Gewichtung berücksichtigt.
Im BN besitzt der Knoten fünf Kind-Knoten (Lithologie, Trennflächenrauhigkeit, Verwitterung,
Füllung, Struktur/Blockgrösse), die in Abhängigkeit der einzelnen Szenarien in den
Wahrscheinlichkeitstabellen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten erhalten. Der Knoten kann
theoretisch mit beliebig vielen Knoten auf jeder Ebene in einer Abhängigkeit stehen. Dies gilt
auch für seine Zustandsanzahl.
9.3.2
DER KNOTEN „EXPERTEN“
Im Knoten „Experten“ bilden die Zustände verschiedene Expertenaussagen. Die Ausführungen
im Knoten „Szenario“ gelten hier sinngemäss.
9.3.3
DER KNOTEN „LITHOLOGIE“
Der Knoten „Lithologie“ nimmt einen zentralen Standpunkt im BN ein. Dieser Knoten umfasst
die im Homogenabschnitt befindliche Lithologie, bezogen auf den Tunnelquerschnitt. Die
Zustandsanzahl und die Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen des Knotens
sind projektabhängig. Die Wahrscheinlichkeiten geben die prozentuale Verteilung der
„Lithologie“ im Homogenabschnitt wieder und können durch den Szenario- und Expertenknoten
(Eltern-Knoten) verschieden angegeben werden. Jeder Zustand des Knotens „Lithologie“
besitzt Kennwerte (z. B Gesteinsfestigkeit, E-Modul, Raumgewicht), die als Eingabeparameter
für
Berechungen
ausserhalb
des
BN
(z. B.
Verformungen
und
deren
Wahrscheinlichkeitsverteilung) verwendet werden.
Häufig sind innerhalb des Querschnittes mehrere Lithologien anzutreffen. In solchen Fällen
werden entweder die massgebende Lithologie des Querschnittes und die zugehörigen
Kennwerte als Eingabeparameter für Berechnungen verwendet oder der inhomogene
Querschnitt in einen homogenen transferiert, wobei die Kennwerte (z. B einaxiale
Druckfestigkeit) entsprechend angepasst werden.
330
331
Siehe Kapitel 9.4
Siehe Bild 7.4
120
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Der Knoten „Lithologie“ besitzt zahlreiche Kind-Knoten (Trennflächenrauhigkeit, Verwitterung,
Füllung, Struktur/Blockgrösse, Wasservorkommen, Durchlässigkeit, Gebirgsfestigkeit,
Ausgasverhalten, Gasvorkommen, strukturbedingtes, druckhaftes, sprödes und quellfähiges
Verhalten), deren Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen in Abhängigkeit der
„Lithologie“ angegeben werden müssen.
9.3.4
DIE KNOTEN FÜR DAS GSI-SYSTEM
Für die Bestimmung des GSI (Geologic Strength Index), der die Gebirgsqualität beschreibt und
mit dessen Hilfe aus der Festigkeit des intakten Gesteins auf die Gebirgsfestigkeit der
vorhandenen geologischen Verhältnisse rückgeschlossen werden kann, werden im BN sechs
Knoten (Trennflächenrauhigkeit, Verwitterung, Füllung, Beschaffenheit der Trennflächen,
Struktur/Blockgrösse und Wasseranfall) eingeführt.
Die Zustände der Knoten „Trennflächenbeschaffenheit“ und „Struktur/Blockgrösse“ werden aus
dem Diagramm in Bild 9.4 abgeleitet. Das Diagramm spiegelt eine Matrix wider, deren Ordinate
die Struktur/Blockgrösse und deren Abszisse die Beschaffenheit der Trennflächen darstellt. Der
Parameter „Trennflächenbeschaffenheit“ wird im BN durch zusätzliche Knoten (Trennflächenrauhigkeit, Verwitterung, Füllung) beeinflusst.
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Bild 9.4:
121
GSI-Diagramm332
Der Knoten „Trennflächenrauhigkeit“ mit seinen vier Zuständen („sehr rau“, „rau“, „glatt“, „sehr
332
CAI, M., KAISER, P. K., UNO, H., et al., [Jointed hard rock masses, 2004]
122
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
glatt“) beschreibt, der Bezeichnung entsprechend, die Rauhigkeit der Trennflächen.
Der Knoten „Verwitterung“ umfasst ebenfalls vier Zustände („unverwittert“, „leicht verwittert“,
„verwittert“, „stark verwittert“) und gibt den Grad der Verwitterung der Trennflächen an.
Der Knoten „Füllung“ hat drei Zustände („keine“, „Füllung (kompakt, kantig)“, „Füllung (weich,
tonig)“) und zeigt die Art der Füllung der Trennflächen an.
Die drei Knoten (Trennflächenrauhigkeit, Verwitterung, Füllung) sind von den Knoten „Szenario“,
„Experten“ und „Lithologie“ abhängig und beschreiben gemeinsam die Beschaffenheit der
Trennflächen entsprechend dem Diagramm.
Der Knoten „Trennflächenbeschaffenheit“ besitzt fünf Zustände („sehr gut“, „gut“, „mittel“,
„schlecht“, „sehr schlecht“). Im Diagramm sind nicht alle möglichen Zustandskombinationen
einbezogen. Beispielsweise hat die „Trennflächenbeschaffenheit“ mit dem Zustand „sehr gut“
nur die Zustände der Eltern-Knoten „glatt“ und „unverwittert“. Will man nur die im Diagramm
dargestellten Zustandskombination berücksichtigen, können die Wahrscheinlichkeiten direkt im
Knoten „Trennflächenbeschaffenheit“ in Abhängigkeit der Knoten „Szenario“, „Experten“ und
„Lithologie“ angegeben werden und die Kind-Knoten dabei unberücksichtigt bleiben.
Der Knoten „Struktur/Blockgrösse“, der wiederum vom Knoten „Lithologie“ und Knoten
„Experten“ abhängig ist, hat sieben Zustände („massig (>100 cm)“, „blockig (60–100 cm)“,
„blockig (30–60 cm)“, „sehr blockig (20–30 cm)“, „sehr blockig (10–20 cm)“, „blockig gestört
(3–10 cm)“ und „stark zerlegt/schiefrig gestört (< 3 cm)“) und berücksichtigt die Zerlegung des
Gesteins.
Wasser (Knoten „Wasseranfall“) verursacht eine Reduzierung der Scherfestigkeit in den
Trennflächen (z. B. bei Tonfüllungen in den Trennflächen). Im GSI-System wird das Wasser
nicht berücksichtigt, weshalb der GSI-Wert für die Zustände der „Trennflächenbeschaffenheit“
„mittel“, „schlecht“ und „sehr schlecht“ reduziert werden muss.333 Für diese Zustände kann der
GSI-Wert um beispielsweise zehn Punkte verringert werden. Hierbei werden die
Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitstabelle des GSI ohne Wasser übernommen und
die Wahrscheinlichkeitsverteilung um die entsprechende Punktezahl verschoben.
Für den Zustand mit Wasser kann der GSI in Abhängigkeit der „Trennflächenbeschaffenheit“
und der „Struktur/Blockgrösse“ Werte zwischen 0 und 100 annehmen.334 Aufgrund seiner
Sensibilität bei der Ermittlung der Gebirgsfestigkeit werden für den Knoten „GSI“ Zustände
angegeben, die jeweils ein 5-Punkte-Intervall charakterisieren. Der Knoten umfasst somit
maximal 20 Zustände, wenn der gesamte Bereich abgedeckt werden soll. Vielfach reduziert
man die Zustände auf jenen GSI-Bereich, der im Homogenabschnitt möglich ist. Das hat den
Vorteil, dass die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten der Kind-Knoten erheblich reduziert werden
kann.
9.3.4.1 DER KNOTEN „TRENNFLÄCHENSCHAREN“
Für das strukturbedingte Verhalten sind die Trennflächenscharen sehr bedeutend. Jeder
333
334
MARINOS, V., MARINOS, P., HOEK, E., [The geological strength index, 2005]
Siehe Bild 9.4
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
123
Zustand dieses Knotens charakterisiert eine Kombination von Trennflächenscharen, wobei nur
Klüfte, Schichtflächen und Schieferungsflächen berücksichtigt werden sollen. Störzonen werden
als ein Zustand im Knoten der „Lithologie“ (z. B. Gneis wird von Störzonen durchschlagen)
berücksichtigt, welche mit den Trennflächenscharen im Knoten „strukturbedingtes Verhalten“
kombiniert werden.
Ein Zustand im Knoten „Trennflächenscharen“ kann beispielsweise die Kombination von drei
Trennflächen beinhalten, mit dem jeweiligen Streich- Fall- und Reibungswinkel ϕ und der
Kohäsion c (T1 315,80; T2 320,90; T3 123,90 mit jeweils ϕ =30° und c=0). Ein weiterer Zustand
könnte eine Änderung der Orientierung der drei Trennflächen beinhalten. Durch diese
Vorgehensweise kann ein probabilistischer Einfluss in die Modellierung des Homogenabschnittes eingebracht werden. Es ist durchaus möglich, für jede Trennfläche einen eigenen
Knoten anzugeben, dessen Zustände wiederum eine Kombination aus Orientierung und
Trennflächeneigenschaften besitzen. Die verschiedenen Zustände der Trennflächenknoten
werden im Knoten „strukturbedingtes Verhalten“ miteinander kombiniert und deren Verhalten in
diesem Knoten abgeschätzt. Der Nachteil dieser Modellierung ist, dass sich viele
Kombinationsarten ergeben, was wiederum die Anzahl der Wahrscheinlichkeiten in der
Wahrscheinlichkeitstabelle im Knoten „strukturbedingten Verhalten“ rasch erhöht.
9.3.4.2 DER KNOTEN „GEBIRGSFESTIGKEIT“
Die Wahrscheinlichkeiten der vorherigen Knoten wurden aufgrund des geologischen Berichtes
geschätzt oder mittels Diagramm abgeleitet. Die Wahrscheinlichkeiten des Knotens
„Gebirgsfestigkeit“, werden mittels Monte-Carlo-Simulation (M-C-S) auf Grundlage der
Kennwerte335 ausserhalb des BN ermittelt und die Ergebnisse in das BN eingetragen. Der
Knoten ist von den Knoten „GSI“, „Lithologie“ und „Orientierung massgebender Trennfläche
(druckhaftes Verhalten)“ abhängig und besitzt projektbezogen zahlreiche Zustände, welche
beispielsweise jeweils ein 10-MPa-Intervall (z. B. 100–110 MPa) charakterisieren. Der Knoten
hat keine Kind-Knoten und soll im BN vor allem als Update-Knoten fungieren, dessen neue
Informationen mittels konvergierender Verbindungsart336 den anderen abhängigen Knoten
zugeführt wird.
Die Gebirgsfestigkeit ( σcm ) wird anhand der einaxialen Druckfestigkeit (UCS) des intakten
Gesteins mit Hilfe des Hoek-Brown Bruchkriteriums ermittelt.337
σ1' =
335
336
337
σ'3


σ'
+ σci ⋅  mb ⋅ 3 + s 


σci


a
(9.1)
Siehe Kapitel 9.3.3
Siehe Kapitel 5.4.3.3
HOEK, E., KAISER, P. K., BAWDEN, W. F., [Support of underground excavation, 2006], Kap. Rock mass
properties, S. 1 ff.
124
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
σ1'
maximale effektive Spannung im Bruchzustand
σ'3
minimale effektive Spannung im Bruchzustand
mb
Wert der Hoek-Brown Konstante von mi für das Gebirge
σci
einaxiale Druckfestigkeit (UCS)
s, a
Materialparameter
Für die Berechung der Gebirgsfestigkeit werden zusätzlich folgende Parameter und Formeln
verwendet:338
 GSI-100 
s=exp 

 9-3 ⋅ D 
D
(9.2)
Faktor, der den Einfluss der Sprengung auf das umliegende Gebirge
berücksichtigt. Dieser wird im Beispiel generell mit 0.15 angesetzt, was einer sehr
gut kontrollierten Sprengung entspricht.
1 1 
 GSI 
 20  
a= + ⋅  exp   -exp  −  
2 6 
 15 
 3 
(9.3)
 GSI-100 
mb=mi ⋅ exp 

 28-14 ⋅ D 
(9.4)
mi
Materialkonstante für das intakte Gestein
σcm=σci ⋅
(mb+4 ⋅ s-a ⋅ (mb -8 ⋅ s ) ) ⋅  m4b +s 

2 ⋅ (1+a) ⋅ ( 2+a )
a −1

(9.5)
Die M-C-S wird für jede Zustandskombination der Eltern-Knoten ausgeführt, wobei die GSIWerte innerhalb jedes Intervalls (Zustand) als rechteckverteilt angenommen werden und die
Kennwerte (z. B. einaxiale Gesteinsdruckfestigkeit (UCS)) entsprechend dem Datensatz der
jeweiligen Lithologie verwendet werden. Eine Kombination kann beispielsweise wie folgt lauten:
Zustand Biotitgneis (Knoten „Lithologie“) mit Zustand ungünstig (Knoten „Orientierung“) und
mit Zustand 80 bis 85 (Knoten „GSI“).
Als Ergebnis der M-C-S erhält man die prozentuelle Verteilung für die Zustände der
Gebirgsfestigkeit je Zustandskombination.
9.3.4.3 DER KNOTEN „ORIENTIERUNG MASSGEBENDER TRENNFLÄCHE“
Ähnlich dem Knoten „Trennflächenkombinationen“ für das strukturbedingte Verhalten wird ein
Knoten für das druckhafte und spröde Verhalten eingeführt, welcher die Orientierung der
338
HOEK, E., KAISER, P. K., BAWDEN, W. F., [Support of underground excavation, 2006], Kap. Rock mass
properties, S. 1 ff.
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
125
massgebenden Trennfläche aufzeigt. Diese hat beispielsweise grossen Einfluss auf die
einaxiale Druckfestigkeit (UCS) des intakten Gesteins. Der Knoten kann beispielsweise drei
Zustände wie „günstig“, „mässig“ oder „ungünstig“ besitzen.
9.3.4.4 DER KNOTEN „ÜBERLAGERUNGSHÖHE“
Der Knoten „Überlagerungshöhe“ gibt die Höhe der Gebirgsüberlagerung in Bezug auf den
Tunnelquerschnitt an. Der Knoten wird verwendet, um die insitu-Spannung – das Produkt aus
dem Raumgewicht γ und der Überlagerungshöhe h –, welche für die Berechnung der
Radialverschiebung im Knoten „druckhaftes Verhalten“ und für die Bestimmung der Bruchtiefe
im Knoten „sprödes Verhalten“ benötigt wird, zu ermitteln. Der Knoten besitzt in Abhängigkeit
der im Homogenabschnitt anzutreffenden Topographie eine beliebige Anzahl an Zuständen, die
je ein Intervall (z. B. 30–50 m) für die Überlagerungshöhe beschreiben.
9.3.4.5 DER KNOTEN „STRUKTURBEDINGTES VERHALTEN“
Der Knoten „strukturbedingtes Verhalten“ umfasst Bruchkörper, die in den Hohlraum eintreten
können. Der Knoten besitzt mehrere Zustände, die entsprechend der Geologie festgelegt
werden müssen. Es ist von Vorteil, wenn den einzelnen Zuständen eine mögliche
Baumassnahme (Profiltyp) zugeordnet werden kann, da dadurch in weiterer Folge die Angabe
für die Wahrscheinlichkeitstabelle des Kind-Knotens „Profiltyp“ einfacher durchzuführen ist. Das
gilt auch für die Knoten „druckhaftes, sprödes und quellfähiges Verhalten“.
Der Knoten ist abhängig von den Knoten „Lithologie“, „Trennflächenscharen“,
„Struktur/Blockgrösse“, „Wasseranfall“ und „Wasserdruck“. Die Abhängigkeit zum Knoten
„Lithologie“ wird eingeführt, um eine Zuordnung zu den Zuständen des strukturbedingten
Verhaltens
zu
ermöglichen.
Im
Knoten
„Trennflächenscharen“
werden
die
Trennflächeneigenschaften für die Trennflächenkombinationen direkt berücksichtigt, weshalb
keine Abhängigkeit mit dem Knoten „Trennflächenbeschaffenheit“ in das BN eingeführt wird.
Sind aufgrund geringer Baugrunduntersuchungen keine Trennflächenkombinationen
anzugeben, kann der Knoten eliminiert und eine direkte Abhängigkeit mit dem Knoten
Trennflächenbeschaffenheit hergestellt werden. Durch die Abhängigkeit mit den Knoten
„Wasseranfall“ in den Hohlraum soll eine Ausschwemmung (innere Erosion) der Füllungen der
Trennflächen berücksichtigt werden, was zur Folge hat, dass die Trennflächeneigenschaften
schlechter werden. Der Knoten „Wasserdruck“ soll eine zusätzliche Belastung auf die
Bruchkörper darstellen.
Die Angabe der Wahrscheinlichkeitstabelle und auch der Zustände des Knotens sind sehr
komplex, da eine Vielzahl von verschiedenen Zustandskombinationen der Eltern-Knoten
durchdacht werden muss. Deshalb ist es von Vorteil, ein Felsmechanikprogramm (z. B.
Unwedge339, Pantechnica340) zur Hilfe zu nehmen, um mögliche Zustände (z. B. Fallen von
Kluftkörper aus First) zu identifizieren.
339
340
http://www.rocscience.com/products/Unwedge.asp (12-03-2008)
http://www.pantechnica.com/ (12-03-2008)
126
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
9.3.4.6 DER KNOTEN „DRUCKHAFTES VERHALTEN“
Der Knoten „druckhaftes Verhalten“ soll die Dehnung (Verhältnis der Verschiebung des
Ausbruchrandes und des Ausbruchradius) des Tunnelquerschnittes beschreiben. Der Knoten
kann entsprechend HOEK die folgenden fünf Zustände („>10%“, „5%–10%“, „2.5% –5%“, „1%–
2.5%“ und „<1%“) besitzen, die unterschiedliche Anforderungen an die Ausbruchsicherungen
zur Stützung des Gebirges stellen.
Tabelle 9.1:
Beziehung zwischen der Radialdehnung und dem Grad der Schwierigkeiten im
Rahmen des Vortriebes341
Das druckhafte Verhalten wird durch fünf Eltern-Knoten (Lithologie, GSI, Orientierung der
massgebenden Trennfläche (druckhaftes Verhalten), Wasserdruck und Überlagerungshöhe)
beschrieben. Die Wahrscheinlichkeiten der fünf Zustände des Knotens werden in Abhängigkeit
der Zustände der Eltern-Knoten, wie für die „Gebirgsfestigkeit“, ausserhalb des BN mittels M-CS ermittelt. Wobei diesmal fünf Zustände miteinander kombiniert werden und die Werte für den
341
HOEK, E., MARINOS, P., [Predicting tunnel squeezing problems, 2000], S. 12
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
127
GSI innerhalb der Zustandsintervalle des GSI-Knotens ebenfalls als rechteckverteilt
angenommen werden.
Die Berechnung der Dehnungen bzw. die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände je
Zustandskombination wird näherungsweise an einer runden Querschnittsform durchgeführt, die
einen guten Eindruck vom druckhaften Gebirgsverhalten verschafft. Weiter wird von einem
elastischen, ideal plastischen Material ausgegangen und mit den folgenden Parametern und
Formeln der elastische und der plastische Verschiebungsanteil berechnet:342
Bild 9.5:
Gebirgskennlinie343
Der E-Modul des Gebirges (Em) wird vom E-Modul des intakten Gesteins (Ei) abgeleitet:


D
1−


2

Em = Ei ⋅  0.02 +
 60 + 15 ⋅ D − GSI  

1+ exp 


11



(9.6)
Die radiale Verschiebung in der elastischen Zone ist wie folgt definiert:
uie =
342
343
R ⋅ (1+ ν )
⋅ (p0 − pi )
Em
uie
elastische Verschiebung
R
Ausbruchradius
ν
p0
Querdehnung
insitu-Spannung= γ ⋅ h
pi
Inndendruck (kein Ausbauwiders tand)= 0
(9.7)
HOEK, E., KAISER, P. K., BAWDEN, W. F., [Support of underground excavation, 2006], Kap. Rock mass
properties, S. 11ff.
BARLA, G., [Tunnelling under squeezing rock conditions, 2001], S. 37
128
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Für die Berechnung des plastischen Verschiebungsanteiles sind σ'3max und φ' notwendig.
σ'3max gibt das maximale Intervall an, innerhalb dessen das Hoek-Brown-Bruchkriterium und
das Mohr-Coulomb-Kriterium annähernd identisch sind. Dies ist notwendig, um über das HoekBrown-Bruchkriterium auf den Reibungswinkel φ' des Gebirges schliessen zu können, welcher
für die Berechnung des plastischen Verschiebungsanteils benötigt wird.
σ'3max
σ 
= 0.47 ⋅ σcm ⋅  cm 
 γ ⋅h 
−0.94
(9.8)
φ' ist der Reibungswinkel des Gebirges.
a −1


'


σ
3
max


6 ⋅ a ⋅ mb ⋅  s + mb ⋅




σci 



φ' = arcsin 
a −1
'




σ
 2 ⋅ (1+ a) ⋅ (2 + a) + 6 ⋅ a ⋅ mb ⋅  s + mb ⋅ 3 max  


σci  

 

k=
(9.9)
1+ sin φ'
1− sin φ'
(9.10)
1
 2 ⋅ (p0 ⋅ (k − 1) + σcm )  k −1
=

R  (1+ k) ⋅ ((k − 1) ⋅ pi + σcm 
Rpl
pcr
ist
der
Innendruck,
der
den
(9.11)
Übergang
vom
elastischen
zum
plastischen
Verschiebungsverhalten angibt. Ist der Ausbauwiderstand (Innendruck) der Ausbruchsicherung
grösser als der kritische, ist die Verschiebung linear elastisch.
pcr =
2 ⋅ p0 − σcm
1+ k
(9.12)
Die radiale Verschiebung in der plastischen Zone beträgt:
2

 Rpl 
R ⋅ (1+ ν ) 
uip =
⋅  2 ⋅ (1− ν ) ⋅ (p0 − pcr ) ⋅ 
−
(1
−
2
⋅
ν
)
⋅
(p
−
p
)

0
i 


Em
R 



(9.13)
Die gesamte Verschiebung ist die Summe aus der Verschiebung in der elastischen und der
plastischen Zone:
uges = uie + uip
(9.14)
9.3.4.7 DER KNOTEN „SPRÖDES VERHALTEN“
Der Knoten zeigt das spröde Verhalten bzw. die Bergschlaggefahr des Gebirges auf, welche
vor allem bei massiger Struktur und hoher Gebirgsüberlagerung auftreten. Aufgrund der
Überschreitung der Druckfestigkeit im Gestein entstehen Mikrorisse, die sich zu
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
129
schalenförmigen Bruchflächen ausbilden. Die entstehenden Bruchkörper
explosionsartig und von Knallgeräuschen begleitet vom Ausbruchrand abspringen.
können
Die Gesteinsablösungen werden mit Hilfe der Bruchtiefe für kreisförmige Tunnelquerschnitte am
Ausbruchrand halb-empirisch abgeschätzt:344


σ
df = a ⋅  1.25 ⋅ max − 0.51
σci


df
Bruchtiefe
a
σmax
Ausbruchradius
maximale Tangentialspannung, σmax =3 ⋅ σ1-σ3 = 3 ⋅ γ ⋅ h − k ⋅ γ ⋅ h
h
γ
Überlagerungshöhe
Raumgewicht
k
σci
Seitendruckbeiwert
einaxiale Druckfestigkeit des intakten Gesteins
Betrachtet man die vorherige Formel, stellt man fest, dass bei einem Verhältnis von
(9.15)
σmax
≤ 0.4
σci
kein Bruch auftritt bzw. df ungefähr 0 ist. Erst ab dem angegeben Verhältnis entstehen
Mikrorisse im Gestein, und die angesprochenen schalenförmigen Bruchkörper manifestieren
sich.
Der Knoten „sprödes Verhalten“ kann mehrere Zustände beinhalten, wobei deren Abgrenzung
durch die Bruchtiefe erfolgt. Die Wahrscheinlichkeiten der Zustände werden wiederum mittels
M-C-S ausserhalb des BN ermittelt.
Am Lötschberg-Basistunnel wurde zum Beispiel folgende Abgrenzung gewählt:
344
KAISER, P. K., [Deep tunnels in brittle rock, 2005]
130
Beschreibung
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Beobachtete Phänomene
Massnahmen
BS1 leichter
Bergschlag
Knallgeräusche, Staubwölkchen,
Abzwicken von kleinen Gesteinsplättchen,
Ausbildung von kleinen Platten am
Parament, beeinträchtigte Tiefe bis zu 25
cm im Gewölbebereich
Aufbringen von
Spritzbeton mit
Stahlfasern
BS2 mittlerer
Bergschlag
Starke Knallgeräusche, Wegschleudern
von Gesteinsstücken, beeinträchtigte Tiefe
bis zu 75 cm im Gewölbebereich
Bergschlagprofil ESA 2a
BS3 starker
Bergschlag
Sehr starke Knallgeräusche,
Wegschleudern von sehr grossen
Gesteinsplatten, beeinträchtigte Tiefe bis
zu 150 cm im Gewölbe- und Brustbereich
Bergschlagprofil ESA 2b
Tabelle 9.2:
Definition Bergschlag345
Im BN besitzt der Knoten fünf Eltern-Knoten: „Lithologie“, „Struktur/Blockgrösse,
„Trennflächenbeschaffenheit“, „Orientierung massgebender Trennflächen“ und „Überlagerungshöhe“. Ein sprödes Verhalten kann nur für die Zustände „massiv“ und „blockig“ (100–
30 cm) des Knotens „Struktur/Blockgrösse“ in Kombination mit den Zuständen „sehr gut“ und
„gut“ des Knotens „Trennflächenbeschaffenheit“ auftreten.
9.3.4.8 DER KNOTEN „QUELLFÄHIGES VERHALTEN“
Das quellfähige Verhalten des Gebirges wird hauptsächlich durch quellfähige Ton- und
anhydrithaltige Gesteine und das Vorhandensein von Wasser verursacht. Durch die
Volumenzunahme können sich Sohlhebungen bzw. bei Behinderung dieser ein Quelldruck auf
das Gewölbe aufbauen und den ganzen Tunnel heben bzw. den Bruch des Sohlgewölbes
verursachen.
Im BN ist der Knoten „quellfähiges Verhalten“ von der „Lithologie“ und dem Knoten
„Wasseranfall“ abhängig. Die Zustände des Knotens können sich beispielsweise auf „nicht
quellfähig“, „leicht quellfähig“ und „stark quellfähig“ beschränken, wobei deren Unterscheidung
durch verschiedene Quelldrücke erfolgen kann.
9.3.4.9 DIE KNOTEN DER HYDROLOGIE
Für die Modellierung der Hydrologie werden vier Knoten („Wasservorkommen“, „Wasserdruck“,
„Durchlässigkeit“ und „Wasseranfall im Hohlraum“) eingeführt.
Der Knoten „Wasservorkommen“ umfasst zwei Zustände („kein Wasservorkommen“ und
„Wasservorkommen“) und gibt in Abhängigkeit der Lithologie die Wahrscheinlichkeit eines
345
In Anlehnung an RITZ, P., BERTHOLET, F., [Gebirgsbedingte Schwierigkeiten, 2003]
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
131
Wasservorkommens an.
Der Knoten „Wasserdruck“ kann mehrere Zustände (Intervalle) umfassen, die den möglichen
Wasserdruck und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens innerhalb des Homogenabschnittes
aufzeigen. Der Knoten ist vom Wasservorkommen abhängig, da nur dann Wasserdruck
existieren kann, wenn in der Lithologie Wasser vorhanden ist.
Die „Durchlässigkeit“, die in Lugeon346 angegeben wird, ist durch den gleichnamigen Knoten im
BN dargestellt. Dieser Knoten ist abhängig von der „Lithologie“, der „Struktur/Blockgrösse“ und
der „Oberflächenbeschaffenheit der Trennflächen“. Der Knoten „Durchlässigkeit“ kann
ebenfalls beliebige Zustände beinhalten, die wiederum Intervalle darstellen.
Die Wahrscheinlichkeiten werden mittels der vorher genannten Knoten in der Wahrscheinlichkeitstabelle des Knotens „Wasseranfall“ im Hohlraum angegeben. Die Zustände des Knotens
umfassen einerseits „kein Wasseranfall“ und zusätzlich noch weitere Zustände mit Angabe der
möglichen Wassereinflussmenge (z. B. Wasseranfall <10 l/sek).
Der Knoten „Kosten/Zeit je lfm“ berücksichtigt die Erschwernisse in Abhängigkeit des Profiltyps
(Knoten „Profiltyp (PT)“), welche sich durch den Wasseranfall ergeben und nicht in der
Profiltypberechnung Baukosten/Bauzeit (Knoten „Kosten/Zeit je lfm PT“ berücksichtigt werden.
9.3.4.10 DIE KNOTEN DES GASES
Um die Gasgefahr im Homogenabschnitt, die durch brennbare Naturgase (z. B. Methan)
ausgelöst wird, zu bestimmen, wird die Modellierung in Anlehnung an die SUVA
(Schweizerische Unfallversicherungsanstalt)347 durchgeführt. Im BN werden die Knoten
„Gasvorkommen“, „Überflutungsgefahr“, „Ausgasverhalten“, welche von der „Lithologie“
abhängig sind, eingeführt, um die „Gasgefahr“ (Knoten „Gasgefahr“) zu ermitteln.
Der Knoten „Gasvorkommen“ mit den beiden Zuständen „nicht gegeben“ und „möglich oder
sicher“ gibt das mögliche Auftreten eines Erdgases im Homogenabschnitt in Abhängigkeit der
„Lithologie“ wieder.
Der Knoten „Überflutungsgefahr“ hat ebenfalls zwei Zustände, „keine Überflutungsgefahr“ und
„Überflutungsgefahr“ und soll das Austreten von Gas in grossen Mengen pro Zeiteinheit aus
dem Gebirge in den Hohlraum angeben, das bei einer Lüftungsgeschwindigkeit von 0.5 m/s zu
einer Überschreitung des Grenzwertes von 1.5 Vol.-% Methan führt.
Der Knoten „Ausgasverhalten“ umfasst die Zustände „während kurzer Zeit“ und „während
langer Zeit“. Unter Ausgasen während kurzer Zeit wird ein Ausgasen verstanden, das rasch
abklingt. Das Ausgasen während langer Zeit ist ein andauerndes Ausgasen auf gleichem
Niveau oder mit nur geringfügigem Abklingen.
Der Knoten „Gasgefahr“ umfasst die in der folgenden Tabelle (Gefahrenstufe) angegebenen
Zustände. Zusätzlich sind die Kombinationen der einzelnen Zustände ersichtlich.
346
In der Einheit Lugeon wird die verpresste Wassermenge in einem Bohrloch angegeben; ein Lugeon ist
ein Liter pro Minute pro 1 m Bohrlochlänge bei einem Druck von 10 bar (150 psi).
347
SUVA, [Brände und Explosionen, 2002]
132
Tabelle 9.3:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
Gasgefahrenstufen nach SUVA
9.3.4.11 DER KNOTEN „PROFILTYP“
Im Knoten „Profiltyp“ bilden die Zustände die einzelnen Profiltypen, die in Abhängigkeit des
Gefährdungsbildes im Homogenabschnitt festgelegt werden. Die Anzahl der Zustände ist somit
wieder abhängig von der Geologie. In der Wahrscheinlichkeitstabelle des Knotens wird jener
Zustand (Profiltyp) ausgewählt, welcher die umfangreichste Baumassnahme eines in der
Zustandskombination der Eltern-Knoten vorkommenden Zustandes erfordert. Der Knoten zeigt
als Ergebnis die prozentuale Verteilung (totale Wahrscheinlichkeiten) der Profiltypen im
Homogenabschnitt an.
9.3.4.12 DIE KNOTEN „VARIANTE PROFILTYP“ UND „KOSTEN/ZEIT JE LFM PT“
Der Knoten „Variante Profiltyp“ ist im BN ein Entscheidungsknoten348. Damit ist es möglich,
verschiedene Profiltypen, die für ein Gefährdungsbild verwendet werden, zu untersuchen und
deren Auswahl auf Grundlage der Kosten einschliesslich der Risiken zu begründen. Jeder
Zustand im Knoten entspricht einem Satz von Profiltypen, wobei für eine Profiltypvariantenstudie
(z. B. wenn das Restprojektrisiko zu hoch ist) nur der zu untersuchende Profiltyp durch seine
Variante ausgetauscht und im Knoten „Profiltyp“ dem Gefährdungsbild zugeordnet wird. Die zu
untersuchenden Profiltypen müssen nicht unterschiedliche Baumassnahmen umfassen,
sondern können sich lediglich durch die Abschlagslänge unterscheiden. Anzumerken ist, dass
der Entscheidungsknoten im BN existieren muss, auch wenn keine Entscheidungsalternativen
zur Auswahl stehen. Die Aussage ist programmtechnisch zu begründen, da sonst die
Nutzenknoten (Kosten/Zeit der Profiltypen, Auswirkungen der Ereignisse) im BN nicht
automatisch addiert würden.
Der Knoten „Kosten/Zeit je lfm PT“ ist ein Nutzenknoten im BN und beinhaltet die Kosten/Zeit
der einzelnen Profiltypen, die im Baumodul berechnet werden. Kosten/Zeit können mit diesem
Knoten im Netz nur deterministisch berücksichtigt werden, weshalb es sich empfiehlt, nicht den
Mittelwert der M-C-S, sondern ein p-Quantil (z. B. bei 95%) zu verwenden. Die
Wahrscheinlichkeitsverteilung (Kosten/Zeit) eines Profiltyps kann aufgrund ihrer Streuung zwar
einen geringeren Mittelwert, aber durchaus ein höheres p-Quantil als eine andere
348
Mit dem Entscheidungsknoten und Nutzenknoten kann das BN zu einem decision graph erweitert
werden. Dadurch können jene Entscheidungen getroffen werden, welche den grössten Nutzen erzeugen. In unserem Fall ist diejenige mit den geringsten Kosten/Zeit heranzuziehen.
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
133
Profiltypvariante besitzen. Der Vorteil der Nutzenknoten ist, dass bei zahlreichen Nutzenknoten
im BN der Gesamtnutzen einer Entscheidung sofort ersichtlich ist.
9.3.4.13 DIE KNOTEN ZUR ERMITTLUNG DER PROJEKT- UND RESTPROJEKTRISIKEN
Im dargestellten Netz werden vier Projektrisiken von Ereignissen modelliert. Wobei sich die
Ereignisse „Niederbruch“, „Erschütterung“ und „Wassereinbruch“ (keine Massnahme) auf den
Bereich Ortsbrust und den ungesicherten Bereich und das Ereignis „Versagen
Ausbruchsicherung“ auf den gesicherten Bereich beziehen. Die Zustände der einzelnen Knoten
können wiederum abgestuft sein. Beispielsweise kann der Knoten „Niederbruch“ die Zustände
„kein Niederbruch“, „geringer Niederbruch (<20 m3)“ und „grosser Niederbruch (<40 m3)“
umfassen. Die Wahrscheinlichkeiten der Knoten stellen die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit
dar und beziehen sich auf einen Tunnellaufmeter. In Abhängigkeit der Zustände der
verschiedenen Ereignisse werden die zugehörigen Auswirkungen (Stillstandkosten/Zeit inklusive
der Kosten für die notwendige Massnahme nach Eintritt des Ereignisses) abgeschätzt. Diese
können wiederum in den Nutzenknoten nur deterministisch berücksichtigt werden, wobei ein pQuantil verwendet werden kann.
Die Simulation des Risikos (Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung)
im Netz wird nur eingeführt, um bei einem Profiltypvariantenvergleich die gesamten
Baukosten/Zeit je Laufmeter (umfassen die baulichen Massnahmen und die Risiken)
abzuschätzen. Die Risikobestimmung für den gesamten Homogenabschnitt bzw. Tunnel erfolgt
ausserhalb mittels einer M-C-S im Längenschnitt-Modul. Sie wird mit Zuhilfenahme der
ermittelten Eintrittswahrscheinlichkeiten/Häufigkeiten der Ereignisse aus dem Netz
durchgeführt.
9.4
EINBEZUG NEUER INFORMATIONEN IN DAS BAYES’SCHE NETZ
Wie bereits mehrmals erwähnt, ist ein grosser Vorteil der BN die Möglichkeit des Bayes’schen
Updating. D. h. neue Informationen können im Netz berücksichtigt und beispielsweise die
Profiltypverteilungen in Echtzeit neu berechnet werden. Das Bayes’sche Updating kann auf zwei
Arten erfolgen: durch Evidenz eines Zustandes (hard-evidence) oder mehrerer Zustände (softevidence) eines Knotens.349 Hard-evidence sagt aus, dass aufgrund von beispielsweise
Beobachtungen in der Ausführungsphase nur ein einziger Zustand eines Knotens Gültigkeit
(Wahrscheinlichkeit des Zustandes ist 1) erlangt und die restlichen ausgeschlossen werden
können. Der Knoten „Gebirgsfestigkeit“ beinhaltet z. B. kontinuierliche Zustände ([5–10],]10–
20],]20–30]), und die Festigkeit liegt aufgrund einer Beobachtung nur noch im Intervall 5 bis 10
MPa (ein Zustand) und nicht mehr zwischen 5 und 30 MPa. Im Rahmen der soft-evidence
können mehrere Zustände des Knotens Gültigkeit erlangen, die mit einer subjektiven oder
objektiven Wahrscheinlichkeit in Relation zueinander gesetzt werden. Beispielsweise [5–10] und
]10–20], während ]20–30] ausgeschlossen werden kann. Die Relation zueinander kann
demnach 0.5:0.5:0 sein und spiegelt die Likelihood350 des Bayes’schen Theorems wider. Für
349
350
Siehe Kapitel 5.3
Siehe Kapitel 5.4.1
134
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
die Modellierung der soft-evidence kann im BN ein Kind-Knoten eingeführt werden, der diese
Relation beinhaltet und der anschliessend hard-evidence erhält. Hard-evidence kann entweder
direkt im Knoten oder wie soft-evidence mittels Kind-Knoten modelliert werden, indem die
Relation zueinander 1:0:0 gesetzt wird.
Im Zuge des Tunnelvortriebes in der Ausführungsphase werden beispielsweise neue
Informationen über Zustände von Knoten verfügbar. Da die Homogenabschnittslänge mehrere
100 m betragen kann, wäre es vermessen zu sagen, dass dieser Informationsgewinn den
gesamten Homogenbereich betrifft. Um diesen Informationsgewinn adäquat zu
berücksichtigen, muss der Homogenbereich weiter unterteilt werden (z. B. in 10–20 m lange
Sub-Homogenbereiche, in denen jeweils das gleiche Netz (Sub-BN) des Homogenbereichs
existiert). Die einzelnen Sub-BN können entweder voneinander unabhängig sein, d. h. es
werden keine Informationen vom zu aktualisierenden Sub-BN 1 in ein anderes Sub-BN 2
übertragen (somit hat man eigentlich nur zwei Sub-BN), oder in einer Abhängigkeit zueinander
stehen. Falls die Subnetze eine Verbindung zueinander haben, ist die Angabe von
Übergangswahrscheinlichkeiten (bedingte Wahrscheinlichkeiten351) erforderlich, ähnlich dem
EHT-Modell (Markov-Prozess), wobei die Knoten im Sub-BN Abhängigkeiten besitzen können.
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes eines Knotens
(Kind-Knoten352), gegeben dass dieser Zustand im abhängigen Knoten (Eltern-Knoten353)
auftritt. Die Angabe der Wahrscheinlichkeit ist sehr subjektiv oder kann eventuell aus früheren
Vortriebsbereichen im Homogenabschnitt abgeleitet werden. Die Länge der SubHomogenbereiche hat ebenfalls einen entscheidenden Einfluss. Es ist anzumerken, dass
Informationen im Homogenbereich nur jeweils an das angrenzende Subnetz weitergegeben
werden, welches diese aber wiederum an das ihr angrenzende Subnetz weiterleitet. Die
Informationsweitergabe an einen anderen, nicht angrenzenden Homogenabschnitt ist
theoretisch auch möglich, aber eher unrealistisch.
Im folgenden Bild sind vier Sub-Bayes’sche Netze eines Homogenbereiches dargestellt:
Homogenabschnitt 1 (HA1)
Sub-HA1 1
Sub-HA1 2
Sub-HA1 3
Sub-HA1 4
Sub-BN1 1
Sub-BN1 2
Sub-BN1 3
Sub-BN1 4
Bild 9.6:
Sub-Bayes’sche Netze (Sub-BN)
Der Einfluss einer Informationszuführung in einem BN soll an einem Beispiel aufgezeigt werden:
351
352
353
Siehe Anhang C.2.4
Siehe Kapitel 5.3
Siehe Kapitel 5.3
TEIL C: RISIKOMANAGE
ISIKOMANAGEMENTMODELL- 9. MODUL 2: GEOLOGIE
135
In einem Homogenabschnitt befinden sich vier Sub-Homogenabschnitte, die alle das gleiche
Sub-BN besitzen. Aus diesem Subnetz soll ein Knoten herausgelöst werden, dessen Zustände
aufgrund von Beobachtungen während des Vortriebs angepasst werden sollen. Der Knoten soll
die „Trennflächenbeschaffenheit“ charakterisieren und der Einfachheit halber zwei Zustände
(„rau“ und „glatt“) besitzen.
Bild 9.7:
Knoten über die „Trennflächenbeschaffenheit“ aus den einzelnen Sub-BN
Vor der Informationsgewinnung hat der Knoten (TFB1) die Wahrscheinlichkeiten „rau“= 70%
und „glatt“=30%, wobei aufgrund einer Ortsbrustuntersuchung bzw. einer Erkundungsbohrung
die „Trennflächenbeschaffenheit“ mit „rau“= 100% angeben werden kann. Die
Übergangswahrscheinlichkeit (TBF2), die in allen nachfolgenden Sub-BN (TFB3, TFB4) gleich
ist, wird folgendermassen definiert:
Tabelle 9.4:
Tabellen von TFB1 und TFB2 (gültig auch für TFB3 und TFB4)
Die Tabelle TFB2 sagt z. B. aus, dass im Knoten TFB2 die Wahrscheinlichkeit (bedingte
Wahrscheinlichkeit) von Zustand „rau“ 90% und auch Zustand „glatt“ mit 10% auftreten kann,
wenn im Knoten TFB1 der Zustand „rau“ eintritt.
Durch die Einführung von hard-evidence in Knoten TFB 1 aktualisiert sich das Netz wie folgt:
Tabelle 9.5
Ergebnisse der Knoten infolge hard-evidence in Knoten TFB 1
Die totale Wahrscheinlichkeit für den Zustand, dass die „Trennflächenbeschaffenheit“ „rau“ ist,
beträgt für den Knoten TFB2 90%, während im Knoten TFB4 nur noch 75.6 % dafür sprechen.
Wenn die Übergangswahrscheinlichkeit von 90%, 10%; 10%, 90% auf 100%, 0%; 0%, 100%
geändert wird, wäre bei hard-evidence in allen TFB Knoten dieselbe Wahrscheinlichkeit,
nämlich 100%, vorhanden und es würde somit die gleiche Situation vorherrschen, wie wenn der
Homogenbereich nicht unterteilt wäre. Durch hard-evidence (gilt auch für soft-evidence) des
Knotens TFB1 werden nicht nur die im selben Subnetz befindlichen Knoten aktualisiert, sondern
136
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 9. MODUL 2: GEOLOGIE
auch die TFB2–TFB4 Knoten und ihre abhängigen Knoten im gleichen Sub-BN, beispielsweise
die Profiltypenverteilung und die verschiedenen Ereignisse bzw. deren Risiken. Der
Informationsfluss zwischen den Knoten wird durch deren Verbindungsart beeinflusst.354
354
Siehe Kapitel 5.4.3
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
10
137
MODUL 3: BAUPROZESS
Das in MS-Excel programmierte Bauprozess-Modul übernimmt mehrere Aufgaben im Risikomanagementmodell, die nachfolgend angeführt sind:
• Unterstützung des Risikomanagementprozess-Moduls (Modul 1) zur deterministischen
oder probabilistischen Bewertung der Teilkomponente Auswirkung – in Geld oder
Zeiteinheiten – des Risikos eines Ereignisses
• Deterministische oder probabilistische Ermittlung von Baukosten355 und Bauzeit der
baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen (z. B. Profiltyp)
10.1
UNTERSTÜTZUNG DES RISIKOMANAGEMENTPROZESS-MODULS
(MODUL 1)
Das Bauprozess-Modul unterstützt das Modul 1 bei der genauen Ermittlung der Teilkomponente Auswirkung des Risikos eines Ereignisses (betrifft vor allem jene Ereignisse, die
den baubetrieblichen Ablauf direkt beeinflussen wie z. B. Niederbruch). Hierbei werden die
einzelnen Arbeitsvorgänge bei Eintritt des Ereignisses deterministisch oder probabilistisch
mittels M-C-S modelliert und in Geld- oder Zeiteinheiten bewertet. Für einen Niederbruch
können beispielsweise die Arbeitsgänge Schuttern, eventuell Ankerung und Füllung des
Hohlraumes erwähnt werden. Die Auswirkung in Geldeinheiten gemessen ergibt sich aus den
Kosten der einzelnen Arbeitsvorgänge, den zeitgebundenen Kosten (z. B. Vorhaltung der
Baustelleneinrichtung) aufgrund der Bauzeitverlängerung und eventuell aus den Lohnkosten
von Vortriebsmannschaften (z. B die Vortriebsmannschaft für den Strossenausbruch), die durch
dieses Ereignis zu einem Arbeitsstillstand gezwungen werden und nicht anderweitig eingesetzt
werden können. Die Auswirkung des Ereignisses in Zeit ausgedrückt entspricht dem
zeitkritischen Weg der Arbeitsvorgänge.
Im nachfolgenden Kapitel wird die genaue Ermittlung der Kosten betreffend die Auswirkung
eines Ereignisses bzw. von baulichen Massnahmen im Bauprozess-Modul mittels Zuschlagskalkulation dargestellt.
10.2
DETERMINISTISCHE ODER PROBABILISTISCHE ERMITTLUNG VON
BAUKOSTEN UND BAUZEIT
Im Modul 3 werden die Kosten und die Zeit für die Herstellung von linienförmig erstreckten
Massnahmen (z. B. für Ausbruchsicherung) je Tunnellaufmeter oder für punktförmige
Massnahmen (geringe Längserstreckung) berechnet. In der Schweiz bilden die Normen SIA
118356,
SIA
118/198357,
die
Publikation
Vorkalkulation
des
Schweizerischen
358
Baumeisterverbandes
und die darauf abgestimmten Leistungsbeschreibungen des
355
356
357
358
Siehe Bild 7.4
SIA 118, [Allgemeine Bedingungen für Bauarbeiten, 1991]
SIA 118/198, [Allgemeine Bedingungen für Untertagbau, 2004]
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Vorkalkulation, 1996]
138
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
Normpositions-Katalog (NPK) der Schweizerischen Zentralstelle für Baurationalisierung (CBR)
die Grundlage für die Preisbildung von Bauleistungen. Im Bauprozess-Modul erfolgt die
Ermittlung der Kosten gemäss der Vorkalkulation des Schweizerischen Baumeisterverbandes
(SBV), die auf einer Zuschlagskalkulation mit vorbestimmten Zuschlagsätzen359 basiert. Der
Bauherr bzw. der von ihm beauftragte Projektingenieur ist somit in der Lage, den Angebotspreis
der Unternehmungen vor Vertragsabschluss abzuschätzen und deren Ansätze bezüglich
Kosten für Teilleistungen (z. B. Bohrungen bis 48 mm für Bohrtiefen bis 3.0 m) und der
Leistungsansätze (z. B. Vortriebsgeschwindigkeit) nach Vertragsabschluss zu übernehmen.
10.2.1 KALKULATION DES ANGEBOTSPREISES DER UNTERNEHMUNG
Aufsicht und Führung
Bild 10.1:
Werkkosten 1
Fremdleistung
(Basiskosten)
(Basiskosten)
Inventar
(Basiskosten)
Material
(Basiskosten)
Lohnnebenkosten
Zuschläge u. Prämien
Zulagen u. Spesen
Lohn
Direkte Kosten
Baustellengemeinkosten
Selbstkosten
Endzuschlag
Verwaltungs- und
Geldkosten
Werkkosten 2 (Herstellkosten)
Indirekte Kosten
Risiko und Gewinn bzw.
Verlust
Angebot ohne Mehrwertsteuer
Die Kalkulation (Vorkalkulation) im Bauprozess-Modul gliedert sich grundsätzlich in direkte und
indirekte Kosten und ist in Bild 10.1 dargestellt:
In Anlehnung an das Schema der Vorkalkulation nach SBV360
Kosten, die direkt (verursachungsgerecht) einer Teilleistung zugeordnet werden können,
werden als direkte Kosten bezeichnet, während die indirekten Kosten jene Kosten sind, für die
das nicht möglich ist. Die Ermittlung der direkten Kosten der Teilleistungen erfolgt über die
Kostenelemente (Kostanarten) Lohn, Material, Inventar und Fremdleistung (Lohnakkordanten
und Subunternehmer). Die indirekten Kosten (Baustellengemeinkosten, Aufsicht und Führung,
Verwaltungs- und Geldkosten), das Risiko und der Gewinn bzw. Verlust werden über Zuschläge
auf die einzelnen Kostenelemente verrechnet.361
Die SIA 118/198 verlangt für die Baustelleneinrichtung (Baustelleninstallationen, die der
Unternehmer für die vertragsgemässe Durchführung seiner Arbeit benötigt wie z. B. Maschinen,
359
360
361
KEIL, W., [Kostenrechnung für Bauingenieure, 2001], S. 47 ff.
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Vorkalkulation, 1996]
Für die genaue Beschreibung einzelner Zuschläge sei auf den SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND,
[Vorkalkulation, 1996], S. 11 ff. verwiesen
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
139
Fahrzeuge, Geräte) eigene Positionen362 im Leistungsverzeichnis des Werkvertrages. Diese
Kosten werden somit nicht über Zuschläge erfasst, sondern wie Kosten einer Teilleistung
behandelt. Im Bauprozess-Modul wird die Baustelleneinrichtung eigenständig berücksichtigt,
wobei hierbei zwischen zeitabhängigen (z. B. Vorhaltekosten von Geräten) und
zeitunabhängigen Kosten (z. B. Einrichten der Baustelleineinrichtung) unterschieden wird.
Das Angebot des Unternehmers resultiert somit aus der Summe der Positionspreise363 der
Baustelleneinrichtung und der Teilleistungen (Leistungspositionen), wobei beiden das
Kalkulationsschema in Bild 10.1 zugrunde liegt:
Baustelleneinrichtung
Baustelleneinrichtung
Teilleistungen
Teilleistungen
Angebot
Angebot des
des Unternehmers
Unternehmers
Bild 10.2:
Aufbau der Preisbildung im Bauprozess-Modul
10.2.1.1 KOSTENELEMENT LOHN
Der Grundlohn364 (Basiskosten) der Arbeitskräfte bildet entsprechend dem SBV-Formular365 die
Basis der Zurechnung der Zuschläge. Meistens wird eine Arbeitsgruppe (z. B.
Vortriebsmannschaft) betrachtet, für die ein durchschnittlicher Grundlohn ermittelt wird. Im
Bauprozess-Modul kann mittels eines elektronischen Formulars366 eine unbegrenzte Anzahl von
Arbeitsgruppen, bestehend aus unterschiedlich qualifizierten Arbeitskräften (Lohnklassen),
zusammengestellt werden, für die jeweils automatisch ein durchschnittlicher Grundlohn
berechnet wird. Dieser wird für die Berechnung der Lohnkosten einer Teilleistung verwendet.
Die Berechnung der Lohnkosten erfolgt über Aufwandswerte (Stundenansatz), die die
Lohnstunden je Leistungseinheit der jeweiligen Teilleistung (z. B. Schalen von Fundamenten
0.8–1.5 Std/m2) angeben.367
Aufwandswert =
Lohnstunden [Std]
Leistungseinheit [z. B. m3 , kg]
(10.1)
Der Aufwandswert multipliziert mit dem durchschnittlichen Grundlohn und der gesamten
Leistungsmenge ergeben die Lohnkosten der Teilleistung. Die Aufwandswerte können aus
Expertenbefragungen, Fachliteratur (z. B. Standard-Analysen368 des SBV) oder durch Nach362
363
364
365
366
367
368
nach SIA 118/198 (2004) Pkt. 9.1.1 muss das Leistungsverzeichnis eine Position für die Baustelleneinrichtung enthalten.
Der Unternehmer spricht von Preisen, welche für den Bauherrn Kosten darstellen.
Der Grundlohn (Mindestlohn) für verschiedene Berufsgruppen ist im Landesmantelvertrag (LVM) des
Schweizerischen Bauhauptgewerbes angegeben.
Siehe Anhang D.2.1
Siehe Anhang D.2.1
In Anlehnung an KEIL, W., [Kostenrechnung für Bauingenieure, 2001], S. 49
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Standard-Analysen, 2007]
140
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
kalkulation von abgeschlossenen Projekten ermittelt werden. Die Lohnkosten können ebenfalls
über so genannte Leistungswerte ermittelt werden, vor allem dann, wenn wie im Tunnelbau die
Arbeitsvorgänge sehr stark von Maschinen und Geräten beeinflusst werden. Der Leistungswert
gibt die Leistung der Maschinen oder Geräte bzw. der Arbeitsgruppe je Zeiteinheit (z. B. Bohren
2 m/min) an:369
Leistungswert =
Leistungsmenge [z. B. m3 , m2, kg]
Zeiteinheit [z. B. d, h, min]
(10.2)
Die gesamte Leistungsmenge dividiert durch den Leistungswert ergibt den Zeitaufwand des
Arbeitsvorganges bzw. der Teilleistung. Unter Einbezug der Zahl der Arbeitskräfte, die an
diesem Arbeitsvorgang beteiligt sind, und des durchschnittlichen Grundlohnes können die
Lohnkosten der Teilleistung berechnet werden. Die Anmerkungen zur Bestimmung des
Leistungswertes gelten sinngemäss für den Aufwandswert. Der Arbeits- oder Leistungswert
kann grossen Streuungen unterliegen, weshalb diese Werte im Bauprozess-Modul
probabilistisch betrachtet werden können (z. B. Dreiecksverteilung, Rechtecksverteilung usw.).
10.2.1.2 KOSTENELEMENT MATERIAL
Die Materialkosten (Basiskosten) enthalten die Preise für Materialen (z. B. Spritzbeton, Anker)
gemäss den Angeboten der Lieferanten. Hinzu kommen die Transportkosten zur Baustelle. Die
Verluste durch Lagerung, Transport, Beschädigung sowie Streu- und Schnittverluste können
direkt zu den Materialkosten oder indirekt anhand von Zuschlägen (Baustellengemeinkosten)
auf das Kostenelement Material berücksichtigt werden. Die Kosten für Abladen,
Zwischentransport und Lagerung werden als Lohnkosten in die betreffende Teilleistung
eingerechnet.
Für die Materialien kann im Bauprozess-Modul eine Materialliste angelegt werden, die die
Kosten je Einheit (z. B. CHF/kg) und bei Bedarf auch Aufwandswerte oder Leistungswerte (z. B.
Einbauen von Ausbaubögen 0.5 to/h) beinhaltet. Diese Kalkulationsgrundlagen können für
Projekte übernommen, ergänzt und adaptiert werden. Anzumerken ist, dass die Betriebsstoffe
(z. B. Diesel, Strom) und Schmiermittel nach SBV nicht dem Kostenelement Material, sondern
dem Kostenelement Inventar zugeordnet werden.
10.2.1.3 KOSTENELEMENT INVENTAR
Als Inventar bezeichnet der SBV die stationären oder mobilen Maschinen und Geräte (z. B.
Zementsilos, Bohrwagen, Tunnelbagger), Betriebsmaterial (z. B. Baracken, Schalungselemente) und Maschinenwerkzeuge (z. B. Bohrgestänge, Drucklufthämmer), die zur Durchführung von Bauleistungen benötigt werden, aber nicht am Bau verbleiben. Die Inventarkosten
(Basiskosten) werden in fixe und variable Kosten unterteilt: 370
• Die fixen Kosten umfassen die Abschreibung, Verzinsung, Versicherung und
369
370
BERNER, F., KOCHENDÖRFER, B., SCHACH, R., [Baubetriebslehre, 2007], S. 123
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Vorkalkulation, 1996], S. 23 ff.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
141
Stationierung sowie etwaige Versicherungen und Gebühren.
• Die variablen Kosten umfassen die Reparatur- und Revisionskosten, Energie und
Schmiermittel. Die Bedienung und Wartung des Inventars wird dem Kostenelement
Lohn und nicht dem Inventar zugeordnet.
Die fixen und die variablen Kosten können im Bauprozess-Modul mittels eines elektronischen
Formulars371 je Monat oder je Stunde automatisch berechnet oder aus den
Inventardokumentationen des SBV (Inventar-Grunddaten (IGD)372 und Betriebsinterne
Verrechnungsansätze (BIV)373) übernommen werden. Kombiniert mit den Leistungswerten und
der Gesamtleistungsmenge ergeben sich die Inventarkosten je Teilleistung. Ebenfalls kann im
Modul eine Inventarliste mit den fixen und variablen Kosten und den Leistungswerten angelegt
werden, deren Inhalt als Kalkulationsgrundlage für Projekte dient. Die Verrechnung der Kosten
des Inventars kann im Rahmen der Kalkulation der Baustelleneinrichtung direkt, den
Teilleistungen oder einer Kombination aus beiden zugeordnet werden. Im Anhang374 sind die
unterschiedlichen Verrechnungsmöglichkeiten dargestellt, die im Bauprozess-Modul umgesetzt
werden können.
10.2.1.4 KOSTENELEMENT FREMDLEISTUNG
Fremdleistungen sind Leistungen, die der Unternehmer nicht selbst erbringt, sondern an Dritte
weitergibt. Die Verantwortung über die Leistung obliegt aber weiterhin der Unternehmung. Die
Angebote (Basiskosten) Dritter werden somit dem Kostenelement Fremdleistung zugeordnet.
Gemäss SBV werden Fremdleistungen definiert als:
• Leistungen der Subunternehmer
• Leistungen von Akkordanten (stellen nur eine Arbeitsleistung zur Verfügung)
• Aufträge wie Leistungen für Monatage und Demontage von Geräten und Einrichtungen
sowie Energieanschlüsse
• Mieten für Inventar, Installationsplätze und Zufahrten
• Honorare für Beratung, Baugrunduntersuchung, Mitarbeit von Ingenieuren und
Architekten, Beizug von Spezialfirmen bei der Terminplanung usw.
• Kosten für Bauwesenversicherung, erweitere Risikoabdeckung
Für den Bauherrn ist die Unterscheidung zwischen Eigen- und Fremdleistung vor
Vertragsabschluss unbedeutend.
371
372
373
374
Siehe Anhang D.2.2
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, TECHNISCH-BETRIEBSWIRTSCHAFTLICHE ABTEILUNG, [InventarGrunddaten 2007]
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, TECHNISCH-BETRIEBSWIRTSCHAFTLICHE ABTEILUNG,
[Betriebsinterne Verrechnungsansätze, 2005]
Siehe Anhang D.2.2
142
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
10.2.1.5 ZUSCHLÄGE
Nach Berechnung der Basiskosten der Kostenelemente Lohn, Material, Inventar und
Fremdleistung werden diesen die indirekten Kosten der Unternehmung (Baustellengemeinkosten, Aufsicht und Führung, Verwaltungs- und Geldkosten), das Risiko und der
Gewinn bzw. Verlust über Zuschläge verrechnet.375 Zusätzlich werden noch lohngebundene
Umlagen (Lohnnebenkosten, Zuschläge und Prämien sowie Zulagen und Spesen) dem
Kostenelement Lohn zugeordnet. Die Basis der Zurechnung der Zuschläge ist unterschiedlich,
ebenso können die Zuschläge sich auf ein oder auf mehrere Kostenelemente beziehen.376
10.2.2 KOSTENGLIEDERUNG (KOSTENBEREICHE) DES TUNNELROHBAUES
Im Bauprozess-Modul richtet sich die Kostengliederung (Kostenbereiche) des Tunnelrohbaues
nach den Kapiteln des Normpositionen-Katalogs (NPK) für Tief- und Untertagbau (z. B.
Baustelleinrichtung, Ausbruchsicherung, Verkleidung usw.).
Die Anwendung des NPK vereint mehrere Vorteile:
•
Die Terminologie und Leistungsbeschreibungen bzw. Vertragsbedingungen orientieren
sich an der SIA 118 und SIA 118/198.
•
Die Gliederung ermöglicht eine Transparenz der Kosten des Tunnelrohbaues.
•
Die Kosten können aufgrund der Gliederung mit anderen Projekten vergleichbar
gemacht werden.
•
Die leistungsorientierte Gliederung kann durch das Zusammenfassen von Leistungen in
eine objektorientierte Gliederung (z. B. für einen Profiltyp) übergeführt werden.
In Bild 10.3 ist eine denkbare Kostengliederung für den Tunnelrohbau dargestellt.
Kostenbereiche, die weniger kostenintensiv sind (z. B. Wasserhaltung), können mittels
Zuschlag auf die ermittelten Kosten berücksichtigt werden.
375
376
Siehe Anhang D.2.1
Siehe Anhang D.2.1; SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, [Vorkalkulation, 1996], S. 33 ff.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
143
Tunnelrohbau
Tunnelrohbau
BaustellenBaustelleneinrichtung
einrichtung
Ausbruch
Ausbruch
(Aussenschale)
(Aussenschale)
Ausbau
Ausbau
(Innenschale)
(Innenschale)
Sprengvortrieb
Sprengvortrieb
Abdichtungen
Abdichtungen
AusbruchAusbruchsicherung
sicherung
Verkleidungen
Verkleidungen
BauhilfsBauhilfsmassnahmen
massnahmen
Wasserhaltung
Wasserhaltung
Bild 10.3:
Kostengliederung für den Tunnelrohbau (orientiert an NPK D/08)
Die Kostenbereiche können in frühen Projektphasen zusammengefasst (z. B. Ausbruch umfasst
die in Bild 10.3 angegebenen Kostenbereiche) und die Kosten mittels Baukostenkennwerte
(z. B. Ausbruchkosten je Tunnellaufmeter) aus ähnlichen Projekten abgeschätzt oder bei
ausreichendem Informationstand über die Teilleistungen (Leistungspositionen) mit der
Kalkulationsmethode bestimmt werden. Das Ziel sollte sein, die Kosten des Tunnelrohbaues
auf Basis der Kalkulationsmethode auch in frühen Projektphasen zu ermitteln, denn dadurch ist
gewährleistet, dass die Kostenermittlung über den gesamten Projektlebenszyklus transparent
bleibt. Einem geringen Planungsstand in frühen Projektphasen kann durch die probabilistische
Betrachtung (z. B. für Leistungswerte) im Rahmen der Kostenermittlung begegnet werden. Je
weiter fortgeschritten die Planung bzw. je höher der Informationsstand ist, desto geringer wird
die Streubreite der verwendeten Verteilungstypen.
Die Bestimmung der Baukosten/Bauzeit für den Tunnelrohbau wird von der Verteilung der
Profiltypen bzw. Sicherungsklassen massgeblich beeinflusst. Die Profiltypenverteilung entlang
der Tunneltrasse bzw. innerhalb der Homogenabschnitte wird durch das Geologie-Modul
bestimmt. Für die Ermittlung der Kosten bzw. Bauzeit der einzelnen Profiltypen wird deren
Herstellung detailliert in die erforderlichen Arbeitsvorgänge unterteilt. Diese umfassen
beispielsweise für den Ausbruch die Arbeitsvorgänge Bohren, Laden, Verdämmen, Sprengen,
Lüften, Schuttern und Sichern. Den Arbeitsvorgängen werden die wichtigsten Teilleistungen
gemäss NPK zugeordnet, und die Baukosten bzw. Bauzeit jedes Profiltyps je Laufmeter werden
auf Basis der Kalkulationsmethode berechnet. Die Berechnung kann deterministisch oder
probabilistisch mittels M-C-S erfolgen. Bei der probabilistischen Berechung können für jeden
Eingangsparameter (z. B. Leistungswerte, Mengenangaben, Abschlagslänge usw.)
verschiedene Verteilungstypen377 verwendet werden. Im Modul werden die Baukosten und die
Bauzeit der Arbeitsphasen für Ausbruch und Ausbau gemäss SIA 118/198378 gesondert
modelliert bzw. behandelt.
377
378
Siehe Kapitel 4.1
SIA 118/198, [Allgemeine Bedingungen für Untertagbau, 2004], Pkt. (8.6.1.4), S. 30
144
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 10.
10. MODUL 3: BAUPROZESS
Im Bauprozess-Modul wird der kritische Weg der Arbeitskette, bestehend aus den einzelnen
Arbeitsvorgängen, durch Gleichzeitigkeitsfaktoren und durch logische Operatoren
(Wenn .… Dann .…) ermittelt. Der Gleichzeitigkeitsfaktor gibt an, zu welchem Prozentsatz die
Dauer eines Arbeitsvorganges parallel mit einem anderen ausgeführt wird (z. B. Bohren und
gleichzeitiges Laden). Die logischen Operatoren werden bei der probabilistischen Betrachtung
mit Hilfe der M-C-S verwendet, da durch die Verwendung von Verteilungstypen der zeitkritische
Weg nicht immer eindeutig ersichtlich ist, z. B. wenn mehrere Arbeitsvorgänge parallel ablaufen
und der anschliessende Arbeitsvorgang vom Ende der vorhergehenden abhängig ist.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
11
145
MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
Im Längenschnitt-Modul, das im Programm MS-Excel programmiert wurde, werden den
definierten Homogenabschnitten deterministisch oder probabilistisch Längen bzw. Abschnittsgrenzen (Kilometrierung) zugewiesen. Das Modul dient der Berechnung folgender Punkte im ITgestützten Risikomanagementmodell:
• Unterstützung des Risikomanagementprozess-Moduls (Modul 1) zur Ermittlung des
quantitativ, deterministisch oder probabilistisch bewerteten Projektrisikos bzw.
Gesamtprojektrisikos betreffend die Projektanforderungen Baukosten und Bauzeit
• Deterministische oder probabilistische Ermittlung von Baukosten379 und Bauzeit der
baulichen Massnahmen bzw. Risikomassnahmen für den gesamten Tunnel
• Deterministische oder probabilistische Ermittlung der Gesamtbaukosten380 und der
Gesamtbauzeit des Tunnelrohbaues
11.1
UNTERSTÜTZUNG DES RISIKOMANAGEMENTPROZESS-MODULS
(MODUL 1)
11.1.1 EREIGNISSE, DIE EINEN ABSCHNITT BETREFFEN
Ereignisse bzw. die Teilkomponenten (Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit, Auswirkung) des
Risikos der Ereignisse können sich auf einen Tunnellaufmeter beziehen (z. B. die Anzahl der
Gasexplosionen je Laufmeter).381 Werden diese nicht auf die gesamte Tunneltrasse, sondern
auf einen Abschnitt (Homogenabschnitt), dessen Abschnittsgrenzen probabilistisch angegeben
werden, bezogen, wird bei jedem Simulationsdurchgang im Rahmen der M-C-S eine Länge für
den Homogenabschnitt bestimmt und das Risiko des Ereignisses für den Abschnitt – bzw. im
Zuge der Aggregation von Projektrisiken das Gesamtprojektrisiko (getrennt nach Gefahren und
Chancen) für einen oder über alle Projektrisikomanagementpläne382 – bezogen auf die
Projektanforderungen Baukosten oder Bauzeit berechnet.
11.1.2 EREIGNISSE, DIE EINEN PROFILTYP BETREFFEN
Die Risiken der Ereignisse, die einem Profiltyp zugeordnet sind und sich auf die
wiederkehrenden Tätigkeiten des Sprengvortriebes je Abschlag beziehen (z. B. Ortsbrustinstabilität nach Sprengung) werden ebenfalls mit Unterstützung des Moduls 4 ermittelt. Hierbei
werden die Teilkomponenten des Risikos im Rahmen einer M-C-S durch die Abschlagslänge,
die deterministisch oder probabilistisch angeben werden kann, dividiert. Die Teilkomponenten
beziehen sich somit wiederum auf einen Tunnellaufmeter. Anschliessend wird, wie in Kapitel
379
380
381
382
Siehe Bild 7.4
Siehe Bild 7.4
Siehe Kapitel 8.3
Siehe Kapitel 8.1
146
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
11.1.1 angeführt, das Risiko des Ereignisses für den Abschnitt bzw. das Gesamtprojektrisiko
bestimmt.
11.2
DETERMINISTISCHE ODER PROBABILISTISCHE ERMITTLUNG VON
BAUKOSTEN UND BAUZEIT DER GESAMTEN TUNNELTRASSE
Die probabilistische Ermittlung von Baukosten und Bauzeit der baulichen Massnahmen bzw.
der Risikomassnahmen erfolgt im Bauprozess-Modul (Modul 3). Im Modul 3 beziehen sich die
Kosten und die Zeit für die Herstellung von linienförmig erstreckten Massnahmen (z. B. für
Profiltypen) auf einen Tunnellaufmeter oder werden gesamthaft bestimmt, wenn die
Massnahme als punktförmig (z. B Portal) betrachtet werden kann. Im Längenschnitt-Modul
werden alle Massnahmen den jeweiligen Homogenabschnitten zugeordnet. Für die Profiltypen
erfolgt die Zuteilung innerhalb des Homogenabschnittes entsprechend ihrer prozentualen
Verteilung, die durch das Geologie-Modul berechnet wird. Anschliessend werden mit Hilfe der
M-C-S die Baukosten und die Bauzeit über die gesamte Tunneltrasse deterministisch oder
probabilistisch berechnet.
Das Längenschnitt-Modul ermöglicht zudem die Simulierung eines Gegenvortriebs und ermittelt
zusätzlich zu den Baukosten und zur Bauzeit den gemeinsamen Durchschlagspunkt beider
Vortriebe, der bei probabilistischer Betrachtung wieder variieren wird. Ausserdem können im
Modul die Kostenänderungen infolge Teuerungen berücksichtigt werden. Durch die getrennte
Berechnung der Kostenelemente bzw. Kostenarten (Lohn, Material, Inventar, Fremdleistungen)
kann die durchschnittliche jährliche Teuerung mit unterschiedlichen Prozentsätzen einbezogen
werden.
11.3
DETERMINISTISCHE ODER PROBABILISTISCHE ERMITTLUNG DER
GESAMTBAUKOSTEN UND DER GESAMTBAUZEIT
Die Summe des Gesamtprojektrisikos – bezogen auf die Projektanforderungen Baukosten oder
Bauzeit – aus allen Projektrisikomanagementplänen und der Baukosten/Bauzeit ergibt die
Gesamtbaukosten/Gesamtbauzeit (getrennt nach Gefahren und Chancen). Die Berechnungen
können deterministisch oder probabilistisch mittels M-C-S durchgeführt werden, wobei die
probabilistische Ermittlung zu bevorzugen ist.
Im folgenden Bild sind als Beispiel die Gesamtbaukosten (alle Eingabedaten, z. B. Längen der
Homogenabschnitte, sind deterministisch angenommen) und als Randbedingung das
Projektbudget (feste Projektanforderung) für eine Tunneltrasse dargestellt:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
RB
RB: Randbedingung (Kosten, Projektbudget)
Linienführung i
Li:
BKi: Baukosten
GRKi: Gesamtprojektrisiko (Gefahren)
GKi: Gesamtbaukosten (Baukosten+Gesamtprojektrisiko)
BK1
GK1
GRK1
Kosten [GE]
147
L1
Bild 11.1:
Linienführung [-]
Gesamtbaukosten einer Tunneltrasse
Aus Bild 11.1 ist ersichtlich, dass die Baukosten das Projektbudget einhalten, während die
Addition mit dem Gesamtprojektrisiko dieses überschreiten lässt. Die Projektverantwortlichen
(Bauherr) werden in diesem Fall entweder das Projektbudget erhöhen oder einen
Projektverzicht erwägen müssen. Werden die Gesamtbaukosten oder die Gesamtbauzeit
probabilistisch ermittelt, wird als Referenzwert ein p-Quantil383 verwendet, wobei die
Wahrscheinlichkeit p (z. B. 95%) durch die Projektverantwortlichen bestimmt werden muss.
Wenn mehrere Varianten (z. B. verschiedene Linienführungen) untersucht werden, sind deren
Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit meist unterschiedlich zueinander. In Bild 11.2 sind
beispielsweise die Gesamtbaukosten (deterministisch) für zwei mögliche Linienführungen
dargestellt:
Kosten [GE]
RB
L1
Bild 11.2:
GRK2
BK2
BK1
GK2
GRK1
GK1
RB: Randbedingung (Kosten, Projektbudget)
Linienführung i
Li:
BKi: Baukosten
GRKi: Gesamtprojektrisiko (Gefahren)
GKi: Gesamtbaukosten (Baukosten+Gesamtprojektrisiko)
L2 Linienführung [-]
Gesamtprojektrisiko von zwei verschiedenen Linienführungen
Sind bei der Wahl der zu realisierenden Variante nur die Gesamtbaukosten (beinhaltet
Gefahren) ausschlaggebend, wird man jene Variante umsetzen, bei der diese am geringsten
sind. Bei ähnlichen Gesamtbaukosten kann die Bewertung der Chancen der Varianten noch
herangezogen werden. Bei der probabilistischen Betrachtung wird wiederum für jede Variante
aus der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Referenzwert (p-Quantil) verwendet
und untereinander verglichen. Dabei ist anzumerken, dass eine Variante trotz geringerem
Mittelwert, aber grösserer Standardabweichung infolge des p-Quantil-Bezuges, ausscheiden
383
Siehe Anhang C.5
148
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
kann.
Sind bei der Wahl einer Variante noch andere Projektanforderungen (PA) zusätzlich zu den
Gesamtbaukosten ausschlaggebend (z. B. die Gesamtbauzeit, Sicherheit), kann man sich der
Kosten-Wirksamkeits-Analyse bedienen. Im Rahmen dieser Methode werden nicht monetäre,
messbare PA in Nutzenpunkte mit zugehöriger Gewichtung umgerechnet und mittels
Quotientenvergleich (Gesamtnutzwert/Gesamtbaukosten) die optimale Variante ermittelt. Für
eine weiterführende Darstellung sei auf SCHALCHER384 und TROST385 verwiesen.
11.4
HOMOGENABSCHNITTE
Das Längenschnitt-Modul ermöglicht, wie bereits mehrmals erwähnt, eine deterministische oder
probabilistische Angabe der Längen bzw. der Abschnittsgrenzen der Homogenabschnitte. Für
die probabilistische Betrachtung können verschiedene Verteilungstypen (z. B. Dreiecksverteilung, Rechtecksverteilung) im Modul ausgewählt werden. Der Streubereich der Angaben
hängt sehr stark von der Güte bzw. vom Umfang der Baugrunduntersuchung ab, welche
wiederum durch die wirtschaftliche und zeitliche Komponente beeinflusst wird.
11.4.1 ABSCHNITTSGRENZEN
Im Rahmen der Modellierung werden die Abschnittsgrenzen deterministisch oder
probabilistisch angegeben. Dies erfolgt durch Angabe der möglichen Kilometrierung für jede
Abschnittsgrenze. Die Differenz der Kilometrierung der Abschnittsgrenzen ergibt die Länge der
einzelnen Homogenabschnitte. Bei einer probabilistischen Betrachtung werden durch die M-CS bei jedem Simulationsdurchlauf verschiedene Längen für die verschiedenen Homogenabschnitte simuliert. Werden die Grenzen deterministisch angegeben, bedeutet das, dass sie
entsprechend ihrer Angabe mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit an dieser Stelle auftreten
werden.
In Bild 11.3 sind vier Homogenabschnitte und für die Abschnittsgrenzen die zugehörigen
Dreiecksverteilungen dargestellt:
384
385
SCHALCHER, H. R., [Systems Engineering, 2006], S 6-1 ff.
TROST, A., [Integrierte Projektsteuerung, 2007]
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
149
AG: Abschnittsgrenze
HA: Homogenabschnitt
K: Kilometrierung
AG 1
HA 1
AG 2
HA 2
AG 3
HA 3
HA 4
a.)
fK(k)
b.)
fK(k)
Bild 11.3:
AG 1
AG 2
AG 3
k
AG 1
AG 2
AG 3
k
Probabilistische Angabe der Abschnittsgrenzen
Das Längenschnitt-Modul erlaubt ausserdem die Angabe von Überschneidungen der
Abschnittsgrenzen386, was zur Folge hat, dass im Rahmen der M-C-S Homogenabschnitte
ausgeschlossen werden.
11.5
VERGLEICH VON PRIMO MIT EXISTIERENDEN MODELLEN
In Kapitel 2 wurden zwei Modelle (EHT und ISAKSSON) vorgestellt, mit Hilfe derer Baukosten und
Bauzeit von Tunnelbauprojekten berechnet werden können. Die wesentlichen Unterschiede zu
PRIMO sind nachfolgend dargestellt.
Den beiden genannten Modellen ist gemein, dass die Modellierung der Geologie des
Gebirges relativ einfach durchgeführt wird. Im Modell EHT werden wenige Einflussparameter
verwendet, die miteinander kombiniert Gebirgsklassen charakterisieren und denen eine
Bauklasse (Baumassnahme) zugeordnet wird. Im Modell von ISAKSSON wird ebenfalls eine
geringe Anzahl von geologischen Faktoren bestimmt, die einen Einfluss auf die
Vortriebsleistung haben. Diese Faktoren können zwischen mehreren festgelegten Grenzwerten
variieren, für die jeweils eine Vortriebsleistung in Abhängigkeit zur Baumassnahme abgeschätzt
wird.
In PRIMO hingegen wird die Geologie wesentlich genauer modelliert. Die Modellierung der
386
Siehe Bild 11.3 b.
150
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
Geologie entspricht der in der Praxis anerkannten Vorgehensweise, die aus der geologischen
Beschreibung die Gefährdungsbilder ableitet und Massnahmen zuordnet, mit denen den
Gefährdungsbildern begegnet wird. In PRIMO werden für die Modellierung der Geologie
zahlreiche Zufallsvariablen bzw. Parameter verwendet und deren kausale Abhängigkeit
zueinander durch Bayes’sche Netze (BN) realitätsnah abgebildet. Weiter werden im Rahmen
der Modellierung Ergebnisse aus geotechnischen Berechnungen einbezogen. Diese UrsacheWirkungs-Modellierung und der Einbezug von Berechnungen unterscheiden sich grundsätzlich
von den beiden anderen Modellen. Durch die Verwendung von Bayes’schen Netzen können im
entwickelten Modell zusätzlich Variantenstudien betreffend verschiedener Massnahmen
durchgeführt und neue Informationen in das Netz einbezogen werden, deren Auswirkung auf
Baukosten und Bauzeit in Echtzeit berechnet wird.
Die Berechnung von Baukosten und Bauzeit der Baumassnahmen erfolgt in PRIMO ähnlich
wie in den Modellen EHT und ISAKSSON. Die Baumassnahmen werden dabei in einzelnen
Arbeitsvorgängen dargestellt und ihre Baukosten und Bauzeit probabilistisch mittels MonteCarlo-Simulation ermittelt. Die Arbeitsvorgänge werden im EHT mit Betaverteilungen und in
ISAKSSON mit Dreiecksverteilungen beschrieben. In PRIMO hingegen können zahlreiche
Verteilungstypen verwendet werden. Wenn statistisches Datenmaterial vorhanden ist, besteht
dadurch die Möglichkeit, den am besten passenden Verteilungstyp auszuwählen bzw. die
Daten durch Verwendung des diskreten Verteilungstyps diskret anzupassen. Die
Kostenermittlung in PRIMO erfolgt, im Gegensatz zu den angegebenen Modellen, auf
Grundlage einer Zuschlagskalkulation. Die Kalkulation entspricht der Vorkalkulation des
Schweizerischen Baumeisterverbandes (SBV). Dies birgt den Vorteil, dass die Angebotssumme
bzw. die Positionspreise, die die Unternehmung vorlegt, vor Vertragsabschluss genauer
abgeschätzt und deren Ansätze für Baukosten- und Bauzeitprognosen nach Vertragsabschluss
übernommen werden können. In PRIMO können im Rahmen der Kosten- und Zeitermittlung
zusätzlich Korrelationen bzw. Abhängigkeiten berücksichtigt werden, was in den anderen
beiden Modellen ebenfalls nicht möglich ist.
Die Bewertung von Risiken von Ereignissen wird als das Produkt aus Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung ausgedrückt. Sie kann im EHT-Modell, im Gegensatz zum
Modell von ISAKSSON, für die Baukosten- und Bauzeitermittlung nicht berücksichtigt werden. Im
Modell von ISAKSSON werden die Risiken von Ereignissen probabilistisch bewertet und mittels
Monte-Carlo-Simulation aggregiert. Die Ereignisse werden im Modell isoliert voneinander
betrachtet. Vorhandene Abhängigkeiten können nicht berücksichtigt werden.
In PRIMO werden geologisch bedingte Ereignisse im Rahmen der geologischen Modellierung
einbezogen. Dieses Vorgehen birgt gegenüber dem Modell von ISAKSSON den Vorteil, dass eine
ganzheitliche Betrachtung der geologischen Situation, einschliesslich der zugeordneten
Massnahmen und geologisch bedingten Ereignissen, gewährleistet ist. Werden Varianten von
Massnahmen diskutiert oder neue Informationen in das geologische Modell integriert, so
werden die Risiken der Ereignisse aufgrund der kausalen Abhängigkeiten bzw. aufgrund der
Ursache-Wirkungs-Darstellung automatisch aktualisiert. Zudem können im Modell
Abhängigkeiten von Ereignissen im Rahmen einer Monte-Carlo-Simulation mittels des
Copulakonzeptes berücksichtigt werden.
In PRIMO wird der gesamte projektbezogene Risikomanagementprozess (PRM-Vorbereitung,
Risikoidentifikation, Risikobewertung, Risikobeurteilung, Risikobehandlung, Risikocontrolling) in
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 11.
11. MODUL 4: LÄNGENSCHNITT
151
einer Datenbank abgebildet, die erlaubt, alle abgespeicherten Informationen abzufragen.
Dadurch ist die Datenbank vor allem für das Controlling im aktuellen Projekt hilfreich;
ausserdem dient sie als Wissensdatenbank für zukünftige Projekte.
152
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
12
BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
12.1
ZIELE
Das Beispiel Tunnel SAN FEDELE verfolgt mehrere Ziele, die nachfolgend aufgezählt und in den
folgenden Kapiteln verfolgt werden:
• Die Modellierung der geologischen Ereignisse mittels eines Bayes’schen Netzes
• Die probabilistische Ermittlung von Baukosten und Bauzeit der Risikomassnahmen
(Profiltypen), wobei für die Profiltypen nur der Sprengvortrieb und die zugehörige
Ausbruchsicherung inklusive der Bauhilfsmassnahmen betrachtet werden
• Die probabilistische Berechnung der Projektrisiken bzw. Restprojektrisiken, welche von
den Risikomassnahmen abgeleitet werden
• Die probabilistische Ermittlung der Gesamtbaukosten und -bauzeit des
Sprengvortriebes und der Ausbruchsicherung, inklusive der Bauhilfsmassnamen und
der Projektrisiken für einen Homogenabschnitt
• Die probabilistische Berechnung der Gesamtbaukosten und -bauzeit auf Grundlage
neuer Informationen für das Bayes’sche Netz
12.2
PROJEKTBESCHREIBUNG
Die Nationalstrasse A 13, die in den 60er-Jahren gebaut wurde, verläuft derzeit mitten durch die
Ortschaft ROVEREDO (Kanton Graubünden, Schweiz). Das Projekt, dessen Baubeginn im März
2009 ist, umfasst eine Umfahrung, die den Ort verkehrlich entlasten soll, und sieht weiter den
Rückbau der bestehenden Trasse und die Neugestaltung des Dorfzentrums vor.
Die Gesamtlänge der Umfahrung beträgt 5’680 m und besteht aus drei Brücken, dem Tunnel
SAN FEDELE mit einer Länge von 2’381 m und dem Sicherheitsstollen.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Bild 12.1:
153
Projektübersicht Umfahrung ROVEREDO387
Der Tunnel SAN FEDELE befindet sich in einem Gneisgebirge, das zahlreiche Störzonen aufweist.
Im Tunnelquerschnitt befindet sich ein Pilotstollen, welcher mit einer TBM aufgefahren wird, die
später für das Auffahren des Sicherheitsstollens verwendet wird. Der Pilotstollen soll die
Erschütterungen und die Lärmemissionen für die nachfolgende Tunnelaufweitung mittels
Sprengvortrieb reduzieren und die geologischen Verhältnisse im Tunnel erkunden.
Das Normalprofil (ca. 100 m2) ist zur besseren Vorstellung bezüglich der Lage des Pilotstollens
(ca. 13 m2) im folgenden Bild im Querschnitt für diesen Homogenabschnitt dargestellt:
Bild 12.2:
387
Normalprofil388
www.toscano.ch/Portals/23/PDF/referenzen/B_UmfahrungRoveredo_vers1.pdf (12-04-2008)
154
12.3
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
GEOLOGISCHE VERHÄLTNISSE
12.3.1 GENERELLE ÜBERSICHT UND DEFINITION DES UNTERSUCHTEN
HOMOGENABSCHNITTES
Die Beschreibung der Geologie für den untersuchtenHomogenabschnitt beruht auf den
geologischen Unterlagen389 für den Tunnel SAN FEDELE.
Im nachfolgenden Bild 12.3 ist die geologische Situation und in Bild 12.4 der
Homogenabschnitt (HA 1) dargestellt:
Bild 12.3:
Geologischer Längenschnitt390
Bild 12.4:
Homogenabschnitt HA1
Der Homogenabschnitt HA1 umfasst eine Abschnittslänge von ca. 330 m, und die
Überlagerungshöhe über First beträgt zwischen 30 m und 70 m.
12.3.2 GEOTECHNISCHE CHARAKTERISIERUNG DES UNTERSUCHTEN
HOMOGENABSCHNITTES
Der Homogenabschnitt HA1 umfasst zahlreiche verschiedene Gneisarten mit geringfügig
unterschiedlichen Eigenschaften. Der Wert des Parameters ν (Querdehnzahl) und die des GSISystems ( mi (Materialkostante), D (Sprengqualität)) sind nicht aus dem Bericht ersichtlich und
wurden deshalb geschätzt. Die geotechnischen Kennwerte der Gneise sind im Anhang E.1
388
389
390
Bildquelle Submissionsunterlagen
GEOTECHNISCHES INSTITUT SPIEZ, [Geologischer Bericht, 2006], GEOTECHNISCHES INSTITUT SPIEZ,
[Erläuterungen des Längenprofils, 2006]
ASTRA-Belinzonna, Geologischer Längenschnitt
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
155
dargestellt. Alle Gneise sind zwischen 0.2 m und 2 m gebankt, fallen steil zwischen 60° und 90°
und streichen subparallel (0°–5°) die Tunnelachse. Die Bankfugen sind geschlossen und
werden durch feine Schieferlagen markiert. Aufgrund der Lage der Bankung zur Tunnelachse
werden näherungsweise die parallelen Werte für die einaxiale Druckfestigkeit (UCS) verwendet.
Die Störzonen in diesem Bereich sind Kataklasite (fein- bis grobkörniges Festgestein). Sie sind
ebenfalls steil und durchschlagen die Gneisbänke schleifend in Abständen von 3 bis 10 m
(unter 5°–30° zur Tunnelachse). Die Bruchzonen sind zentimeter- bis dezimeterbreit. Die
Trennflächen sind immer rau, gewellt oder gestuft und bestehen aus kantigem Felsverbruch.
Die Klüftung fällt flach bis mittelsteil nach N, NW bis W und durchtrennt das Gebirge
hochgradig. Die am stärksten durchtrennenden Kluftscharen fallen mit 15° bis 35° flach nach
NW und bildet dezimeter- bis metergrosse Kluftzonen. Die Kluftflächen sind immer rau, gewellt
und/oder gestuft. Die Klüftung ist meist geschlossen.
Im Homogenabschnitt ist in allen Lithologien mit Bergwasser zu rechnen, wobei der Eintritt in
den Hohlraum erst bei starkem Zerlegungsgrad und schlechter Trennflächenbeschaffenheit des
Gebirges erfolgt. Der Wasserdruck wird generell mit <10 m angegeben, und die Wasserqualität
ist nicht aggressiv.
Erdgas bildet generell keine Gefährdung für den betrachteten Abschnitt.
Der Risikomanagementprozess wird nachfolgend für den definierten Homogenabschnitt in
Anlehnung an das Flussdiagramm (Bild 8.1) durchgeführt.
12.4
PRM-VORBEREITUNG
Die wichtigsten Grundlagen für die Durchführung des Risikomanagementprozesses werden
anschliessend angeführt.
•
Betrachtungsfeld:
Betrachtungsstandpunkt: Bauherr
Betrachtungsgegenstand: Ausbruch und Ausbruchsicherung inkl.
Baumassnahmen im Homogenabschnitt
Betrachtungszeitpunkt: Bauprojekt
Betrachtungszeitraum: Bauausführung
•
Projektanforderungen:
Kosten
Zeit
Sicherheit (Personensicherheit)
•
Risikofeld:
Baugrund
•
Risikoakzeptanzgrenze: Risikowert: 150’000 CHF bezogen auf das Konfidenzniveau
p=95%,
max. Auswirkung 500’000 CHF
•
Kategoriegruppen und Risikoniveau: Diese werden entsprechend Kapitel 8.5 festgelegt.
•
Konfidenzniveau und Risikomass: Für die probabilistischen Berechnungen werden das
Konfidenzniveau p=95% und der VaR als Risikomass verwendet.
12.5
RISIKOIDENTIFIKATION
Im Rahmen der Risikoidentifikation wurden Ereignisse bzw. Gefährdungsbilder identifiziert, die
156
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Diverses
Gesicherter
Bereich
Vortriebsbereich (Ortsbrust- und ungesicherter Bereich)
bei der Schaffung des Hohlraumes auftreten können. Zusätzlich werden ein Ereignis, das nach
Einbau der Ausbruchsicherung auftreten kann, und die Möglichkeit der Verschiebung der
Profiltypverteilung im Homogenabschnitt angegeben. Letztere stellt nicht nur eine Gefahr (G),
sondern auch eine Chance (C) auf eine Verringerung der Kosten/Bauzeit dar.
Tabelle 12.1: Risikoidentifikation
12.6
QUALITATIVE RISIKOBEWERTUNG UND RISIKOBEURTEILUNG
Die qualitative Risikobewertung basiert auf den in Kapitel 8.5 dargestellten Risikowerten (R) und
Risikoniveaus (R-Niv.).
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Gefährdungsbilder
R
Sicherheit
Zeit
Kosten
157
R- R R- R RNiv.
Niv.
Niv.
Strukturbedingtes Verhalten
G
Niederbrüche von Steinen und
Kluftkörpern aus First und
Gewölbe
12
H
12
H
16
H
2
U
2
U
-
-
2
U
2
U
4
N
3
M
3
M
3
N
Druckhaftes Verhalten
G
Unzulässig grosse
Querschnittsverformung
Sprödes Verhalten
G
Bergschlag, Abschalungen
Bergwasser
G
Wassereinbruch
G
Erschütterungen
14
M
-
-
-
-
G
Hoher Quarzgehalt
15
H
10
M
20
H
G
Versagen der Ausbruchsicherung
6
M
6
M
6
M
G
Verschiebung der Profiltypverteilung
12
M
12
M
-
-
C
Verschiebung der Profiltypverteilung
6
M
6
M
-
-
Tabelle 12.2: Qualitative Risikobewertung; Legende: U Unbedeutend, M Mittel, H Hoch
Aufgrund der Risikobeurteilung (Risikoniveau mittel und hoch) müssen strukturbedingtes
Verhalten, Bergwasser, Erschütterungen, hoher Quarzgehalt, Versagen der Ausbruchsicherung
und Verschiebung der Profiltypenverteilung im Homogenabschnitt im RM-Prozess weiter
betrachtet werden. Die unbedeutenden Gefährdungsbilder könnten im Weiteren nicht mehr
berücksichtigt bzw. behandelt werden. Ihr Ablauf der Modellierung soll aber trotzdem
aufgezeigt werden.
Strukturbedingtes Verhalten, Bergwasser, Erschütterung und Versagen der Ausbruchsicherung
sowie Verschiebung der Profiltypenverteilung werden im Bayes’schen Netz (BN) entsprechend
Kapitel 9 modelliert. Die Berücksichtigung der Verschiebung der Profiltypenverteilung erfolgt im
BN durch drei Szenarien (optimistisches, wahrscheinliches, pessimistisches), welche jeweils
unterschiedliche prozentuale Verteilungen im Homogenabschnitt ermitteln und gemeinsam
entsprechend ihrer Gewichtung im Knoten „Szenario“ für die Ermittlung der Baukosten/Bauzeit
verwendet werden.
Das Ereignis bzw. Gefährdungsbild hoher Quarzgehalt wird direkt der Risikobehandlung
zugeführt und ausserhalb des BN betrachtet.391
391
Siehe Kapitel 12.9
158
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Die quantitative Risikobewertung bezieht sich in den folgenden Kapiteln nur noch auf die
Projektanforderungen Kosten und Zeit.
12.7
QUANTITATIVE RISIKOBEWERTUNG UND RISIKOBEHANDLUNG IM
GEOLOGIE-MODUL (BAYES’SCHE NETZ)
In Bild 12.5 ist das verwendete Bayes’sche Netz (BN) für den untersuchten
Homogenabschnitt HA1 nochmals dargestellt. Die genaue Beschreibung der Knoten ist in
Kapitel 9.3 angeführt.
Ebene 1
Experte
Szenario
Ebene 2
Lithologie
Wasservorkommen
Trennflächenrauhigkeit
Verwitterung
Struktur/
Blockgrösse
Füllung
Wasserdruck
Gasvorkommen
Durchlässigkeit
Ausgasverhalten
Überflutungsgefahr
Trennflächenbeschaffenheit
GSI
Trennflächenscharen
Gebirgsfestigkeit
Orientierung
massg. Trennfläche
Überlagerungshöhe
Ebene 3
Kosten/Zeit
Je lfm
druckhaftes
Verhalten
strukturbedingtes
Verhalten
sprödes
Verhalten
Wasseranfall
quellfähiges
Verhalten
Ebene 4
Variante
Profiltyp
Kosten/Zeit
Je lfm PT
Gasgefahr
Profiltyp (PT)
Ebene 5
Bild 12.5:
Niederbruch
Versagen
Ausbruchsicherung
Erschütterung
Wassereinbruch
Auswirkung K/Z
Niederbruch
Auswirkung K/Z
Vers. Ausbruch.
Auswirkung K
Erschütterung
Auswirkung K/Z
Wassereinbruch
Bayes’sche Netz für den Homogenabschnitt HA1
In den folgenden Kapiteln werden die Zustände der verschieden Knoten angegeben, während
die Wahrscheinlichkeiten der Wahrscheinlichkeitstabellen im Anhang nachgelesen werden
können. Die Zustände und die Wahrscheinlichkeiten der Knoten werden zum Grossteil auf
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
159
Grundlage des geologischen Berichtes abgeschätzt, wobei zahlreiche Wahrscheinlichkeiten
auch mittels Monte-Carlo-Simulation ausserhalb des Netzes ermittelt werden.
Zusätzlich werden die Ergebnisse (totale Wahrscheinlichkeiten) der verschiedenen Ereignisse
bzw. Gefährdungsbilder und der Profiltypverteilung für jedes einzelne Szenario und auch
entsprechend ihrer Gewichtung (Knoten „Szenario“) angegeben. Dies gilt ebenfalls für die
Knoten, die die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit für die Ermittlung der Restprojektrisiken
bzw. Projektrisiken angeben.
12.7.1 DER KNOTEN „SZENARIO“
Der Knoten „Szenario“ soll im Beispiel drei Zustände umfassen: das „optimistische“, das
„wahrscheinliche“ und das „pessimistische“ Szenario. Als Eintrittswahrscheinlichkeit der
einzelnen Szenarien werden für das optimistische 20%, für das wahrscheinliche 50% und für
das pessimistische 30% angenommen.
Der Szenarioknoten soll im Beispiel nur einen Einfluss auf die „Lithologie“ haben. Somit könnten
die Kannten zu den restlichen Kind-Knoten theoretisch entfernt werden, was durch Angabe der
gleichen Wahrscheinlichkeit in den Kind-Knoten für jeden Zustand des Szenarioknotens
umgangen werden kann.
12.7.2 DER KNOTEN „EXPERTEN“
Der Knoten „Experten“ beinhaltet nur einen Zustand, d. h. die Wahrscheinlichkeiten der KindKnoten werden von einem Experten angegeben. Dieser Knoten könnte für dieses Beispiel im
BN eliminiert werden, da der Zustand die Gewichtung 1 erhält.
12.7.3 DER KNOTEN „LITHOLOGIE“
Aus dem geologischen Bericht ist keine Angabe zur Verteilung der Lithologie über den
Querschnitt ersichtlich bzw. diese Angabe ist laut Geologen unmöglich. Es ist nur eine Angabe
zur Verteilung der Gneisarten über den gesamten Homogenabschnitt ersichtlich. Diese ist wie
folgt angegeben:
• Biotit-, Glimmergneise: 45%
• Helle Zweiglimmergneise: 30%
• Hornblendegneise: 15%
• Glimmerschiefer und Scherbänder: 10%
Im BN soll deshalb jeder Zustand des Knotens den massgebenden Einfluss im Querschnitt
darstellen. D. h., wenn ein Zustand die Gneisart Biotit-, Glimmergneis hat, prägt dieser Gneis im
Querschnitt das Gebirgsverhalten. Werden im Rahmen des Tunnelvortriebes neue
Beobachtungen bezüglich Verteilung der Gneisarten über den Querschnitt gemacht, kann ein
zusätzlicher Zustand in den Konten eingeführt und dessen Auswirkungen auf die Kind-Knoten
angegeben werden. Zusätzlich werden die Gneisarten von Störzonen durchschlagen. Es
empfiehlt sich somit, einen Zustand für jede Gneisart im Knoten einzuführen, der diese
Störzonen beinhaltet und der das Gebirgsverhalten der Störzonen charakterisiert. Im
160
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
verwendeten BN werden acht Zustände verwendet: vier Zustände für die Gneisarten und vier
Zustände für die Störzonen in den jeweiligen Gneisarten.
Durch die Abhängigkeit mit dem Szenarioknoten werden die Wahrscheinlichkeiten für die
Zustände verändert. Es wird davon ausgegangen, dass der Störzonenanteil im optimistischen
Fall 40%, im wahrscheinlichen Fall 50% und im pessimistischen Fall 60% der oben angegeben
Gneisartenverteilung entspricht.
12.7.4 DIE KNOTEN FÜR DAS GSI-SYSTEM
Im geologischen Bericht ist keine Unterscheidung der Trennflächenrauhigkeit in Abhängigkeit
der Gneisart angeben. Somit sind die Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen
für alle Gneisarten sowie für alle Gneisarten mit Störzonen gleich. Dies gilt auch für die
„Verwitterung“ und die „Füllung“. Die Zustände der Knoten entsprechend den in Kapitel 9.3.4
beschriebenen.
Die Angabe der Wahrscheinlichkeiten für die „Trennflächenbeschaffenheit“ wurde in Anlehnung
an das RMR-System392 durchgeführt. Dieses Gebirgsklassifikationssystem ist dem GSI-System
sehr ähnlich. Es hat aber den Vorteil, dass die Gewichtung der Zustände der Parameter
„Trennflächenrauhigkeit“, „Verwitterung“ und „Füllung“ zueinander dargestellt ist. Die Zustände
im Knoten sind wiederum identisch mit denen in Kapitel 9.3.4.
Der Knoten „Struktur/Blockgrösse“ besitzt ebenfalls die schon besprochenen Zustände. Die
Wahrscheinlichkeiten sind aufgrund der fehlenden Angabe im geologischen Bericht geschätzt
und wurden für die Zustände der verschiedenen Gneisarten und für die Zustände der
Gneisarten mit Störzonen als gleich angenommen.
Der Knoten „GSI“ besitzt im Beispiel einen Wertebereich von 10 bis 100 Punkten, der in 5Punkte-Intervalle aufgeteilt ist, was zu 18 Zuständen im Knoten führt. Die in Abhängigkeit der
Zustandskombinationen der Eltern-Knoten betroffenen GSI-Bereiche werden aus dem
Diagramm
abgelesen
und
deren
Wahrscheinlichkeiten
geschätzt.
Für
die
Zustandskombinationen, in denen der Zustand „Wasseranfall <10 l/sek“ des Knotens „Wasseranfall“ auftritt werden die GSI-Werte aufgrund des geringen Wasseraufkommens nicht
verringert.
12.7.4.1 DER KNOTEN „TRENNFLÄCHENSCHAREN“
Für den Homogenbereich wurden nach dem geologischen Bericht vier Trennflächen
ausgewiesen, welche für den gesamten Abschnitt angenommen werden. Eine Abhängigkeit
zum Knoten „Lithologie“ ist somit nicht erforderlich. Der Knoten soll nur einen Zustand besitzen,
welcher die massgebende Trennflächenkombination für den Homogenabschnitt beinhaltet
T1 (195/85), T2 (15/85), T3 (330/25), T4 (105/75), mit jeweils ϕ = 35° und c=0.
392
BIENIAWSKI, Z. T., [Rock mass classification, 1976]
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
161
12.7.4.2 DER KNOTEN „GEBIRGSFESTIGKEIT“
Der Knoten besitzt aufgrund der Lithologie einen Wertebereich von 0 bis 100 MPa. Dieser
Bereich ist in 10-MPa-Intervalle unterteilt, was zu zehn Zuständen führt. Die Ermittlung der
Wahrscheinlichkeiten der Zustände erfolgt nach den Formeln in Kapitel 9.3.4.2 mittels M-C-S,
wobei die Kennwerte in Kapitel 12.3.2 als Eingangsparameter für jede Lithologieart, die GSIIntervalle und die Orientierung der massgebenden Trennfläche dienen. Bezüglich der
Orientierung ist zu sagen, dass die massgebende Trennfläche (Bankung) im gesamten
Homogenabschnitt annähernd parallel zur Tunnelachse steht und deshalb nur ein Zustand im
Knoten vorhanden ist.
12.7.4.3 DER KNOTEN „ORIENTIERUNG MASSGEBENDER TRENNFLÄCHE“
Der Knoten besitzt aufgrund der Lage der Tunnelachse zur Trennfläche nur einen Zustand
(„sehr ungünstig“). Die Orientierung der Trennfläche hat einen Einfluss auf die einaxiale
Druckfestigkeit (UCS) des intakten Gesteins, weshalb die Berechnung der Gebirgsfestigkeit,
der Verformung und für das spröde Verhalten mit der parallelen Druckfestigkeit durchgeführt
wird.
12.7.4.4 DER KNOTEN „ÜBERLAGERUNGSHÖHE“
Der Knoten besitzt für den Homogenabschnitt zwei Zustände („30–50 m“ und „50–70 m“). Die
Wahrscheinlichkeiten werden aus dem geologischen Längsprofil abgeleitet und die
Intervallmittelwerte (40 m und 60 m) für die Berechnungen im Knoten „druckhaftes Verhalten“
und „sprödes Verhalten“ verwendet.
12.7.4.5 DER KNOTEN „STRUKTURBEDINGTES VERHALTEN“
Für den Knoten werden vier Zustände festgelegt („kein“, „massige Kluftkörper (First)“, „blockige
Kluftkörper (First und Parament)“, „sehr blockige Kluftkörper (First und Parament)“), die
Kluftkörper darstellen, die sich vom Gebirgsverband ablösen können. Im Beispiel soll
angenommen werden, dass der Wasserdruck und das geringe Wasseraufkommen keinen
Einfluss auf das Verhalten haben.
Die totalen Wahrscheinlichkeiten entsprechend der Szenarien (optimistisches, wahrscheinliches, pessimistisches) berechnen sich wie folgt:
162
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Tabelle 12.3: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „strukturbedingtes Verhalten“
Je grösser der Störzonenanteil im Homogenabschnitt ist, desto grösser wird der prozentuale
Anteil der sehr blockigen Kluftkörper, die in den Hohlraum eintreten können.
12.7.4.6 DER KNOTEN „DRUCKHAFTES VERHALTEN“
Der Knoten „druckhaftes Verhalten“ besitzt die in Kapitel 9.3.4.6 dargestellten fünf
Dehnungszustände bzw. Intervalle („>10%“, „5%–10%“, „2.5%–5%“, „1%–2.5%“, „<1%“) und
hat fünf Eltern-Knoten, deren Zustände im Rahmen einer M-C-S kombiniert werden, um die
Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen zu ermitteln. Die Berechnung erfolgt
ebenfalls nach den Formeln des Kapitels 9.3.4.6. Bezüglich des Eltern-Knotens „Wasserdruck“
ist anzumerken, dass aufgrund des geringen Wasserdrucks im Homogenabschnitt dieselben
Wahrscheinlichkeiten für den Zustand „Wasserdruck < 10 m“ verwendet werden wie für den
Zustand „kein Wasserdruck“.
Die Ergebnisse für die drei Szenarien sind im folgenden Bild dargestellt:
Tabelle 12.4: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „druckhaftes Verhalten“
Die Wahrscheinlichkeiten zeigen auf, dass trotz der verschiedenen Szenarien kein druckhaftes
Verhalten zu erwarten ist. Addiert man für das wahrscheinliche Szenario die einzelnen totalen
Wahrscheinlichkeiten der Zustände ungleich < 1% auf (0.54%) und multipliziert diesen Wert mit
der Homogenabschnittslänge von 330 m, so treten diese Dehnungen nur auf ca. 20 cm auf.
Das Gebirgsverhalten erfordert deshalb keine eigenen Profiltypen.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
163
12.7.4.7 DER KNOTEN „SPRÖDES VERHALTEN“
Der Knoten „sprödes Verhalten“ hat vier Zustände („<0 cm“, „<2 cm“, „<75 cm“ und
„>75 cm“), welche die Bruchtiefe angeben. Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für jede
Zustandskombination der Eltern-Knoten erfolgt mittels M-C-S entsprechend der Formel (9.15).
Die totalen Wahrscheinlichkeiten für das optimistische, wahrscheinliche und pessimistische
Szenario des Knotens ergeben sich wie folgt:
Tabelle 12.5: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „sprödes Verhalten“
Das Ergebnis zeigt, dass innerhalb des Homogenabschnittes nur geringfügig mit sprödem
Verhalten zu rechnen ist. Hier gilt die gleiche Überlegung bezüglich eines möglichen Auftretens
innerhalb des Homogenbereiches wie für das druckhafte Verhalten. Für das spröde Verhalten
bzw. den Bergschlag werden deshalb keine eigenen Profiltypen ausgeführt. Weiter ist noch
ersichtlich, dass sich die Bergschlaggefahr durch Zunahme der Störzonen (entspricht den
einzelnen Szenarien) verringert.
12.7.4.8 DER KNOTEN „QUELLFÄHIGES VERHALTEN“
Der Knoten „quellfähiges Verhalten“ hat die drei Zustände: „nicht quellfähig“, „leicht quellfähig“
und „stark quellfähig“. Aufgrund der im geologischen Bericht angegebenen Lithologie bzw.
Mineralogie kann angenommen werden, dass kein quellfähiges Gebirge vorhanden ist und die
Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitstabelle dementsprechend im Knoten
anzugeben sind.
Die Modellierung des quellfähigen Verhaltens ergibt für alle drei Szenarien das folgende
erwartende Ergebnis und erfordert keine spezielle Baumassnahme:
Tabelle 12.6: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „quellfähiges Verhalten“
12.7.4.9 DIE KNOTEN DER HYDROLOGIE
Der Knoten „Wasservorkommen“ umfasst zwei Zustände („kein Wasservorkommen“ und
„Wasservorkommen“), wobei der Zustand „Wasservorkommen“ mit 100% angenommen wird.
Der Knoten „Wasserdruck“ ist abhängig vom „Wasservorkommen“ und hat zwei Zustände
(„kein Wasserdruck“ und „Wasserdruck <10 m“). Da aufgrund der hydrogeologischen Situation
für beide Knoten jeweils nur ein Zustand betrachtet wird, könnte der zweite Zustand der Knoten
theoretisch eliminiert werden.
Der Knoten „Durchlässigkeit“ wird durch zwei Zustände („sehr klein (<1 l/m x min)“ und „klein
164
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
(1–5 l/m x min)“) charakterisiert, die von der „Lithologie“, „Struktur/Blockgrösse“ und
„Trennflächenbeschaffenheit“ beeinflusst werden.
Im Knoten „Wasseranfall“ existieren die Zustände „kein Wasseranfall“ und „Wasseranfall
<10l/sek“. Auch hier wird angenommen, dass nur bestimmte Kombinationen einen bestimmten
Zustand eindeutig erfordern.
Die totalen Wahrscheinlichkeiten im Knoten „Wasseranfall“ im Hohlraum ergeben sich gemäss
den einzelnen Szenarien (optimistisch, wahrscheinlich, pessimistisch) wie folgt:
Tabelle 12.7: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Wasseranfall“
Der Mittelwert (Gewichtung) der Szenarien, welcher für die Berechnung der Erschwernisse
infolge Wasseranfall verwendet wird, ergibt sich zu:
Tabelle 12.8: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Wasseranfall“ für die gewichteten
Szenarien
Der geringe Wasserandrang erfordert keinen eigenen Profiltyp bzw. keine systematischen
Bauhilfsmassnahmen (z. B. Drainagebohrung, Injektionen) im Rahmen des Vortriebes. Durch
den höheren Störzonenanteil (grösserer Zerlegungsgrades des Gesteines) im
Homogenabschnitt erhöht sich die totale Wahrscheinlichkeit eines Wasseranfalles betreffend
die verschiedenen Szenarien.
Der Knoten „Kosten/Zeit je lfm“ berücksichtigt die Erschwernisse in Abhängigkeit des Profiltyps
durch den Wasseranfall. Die Kosten und Zeit hierfür werden durch einen Prozentsatz der
Kosten und Zeit (ohne Rüstzeit für Geräte und Maschinen) für die Herstellung des Profiltyps im
Trockenen berücksichtigt. Für diese Bergwassermenge wird ein Prozentsatz zwischen 10% und
15% angenommen und in der Simulation durch eine Rechtecksverteilung beschrieben.
Tabelle 12.9: Kosten/Zeit infolge Erschwernisse des Wasseranfalles
Wenn Massnahmen betreffend das Bergwasser erforderlich sind, kann die Modellierung wie
folgt erfolgen:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Bild 12.6:
165
Massnahme für Wasseranfall
Durch die Entscheidung, eine Massnahme (z. B. Vorausbohrungen) durchzuführen, wird der
Wasseranfall bei Schaffung des Hohlraumes reduziert, was wiederum die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit eines Wassereinbruches verringert. Zusätzlich werden die
anderen Gefährdungsbilder, welche vom Wasseranfall abhängig sind, beeinflusst. Dies führt
wiederum zu einer anderen Profiltypverteilung im Homogenabschnitt. Im Knoten „Kosten/Zeit je
lfm“ werden einerseits die Kosten/Zeit der Massnahme und zusätzlich noch für die
Erschwernisse während des Vortriebes berücksichtigt.
12.7.4.10
DIE KNOTEN DES GASES
Der Knoten „Gasvorkommen“ hat im BN die beiden Zustände „nicht gegeben“ und „möglich
oder sicher“. Aufgrund des geologischen Berichtes kann davon ausgegangen werden, dass für
die zu erwartende Geologie kein Gasvorkommen zutrifft.
Der Knoten „Überflutungsgefahr“ hat zwei Zustände („keine Überflutungsgefahr“ und
„Überflutungsgefahr“), deren Zustände als gleich wahrscheinlich angenommen werden.
Der Knoten „Ausgasverhalten“ umfasst die Zustände „während kurzer Zeit“ und „während
langer Zeit“. Die Zustände werden aufgrund fehlender Angaben ebenfalls als gleich
wahrscheinlich angegeben. Anzumerken ist, dass die Wahrscheinlichkeitsangabe für beide
Knoten („Überflutungsgefahr“ und „Ausgasverhalten“) irrelevant ist, da kein Gasvorkommen zu
erwarten ist.
Der Knoten „Gasgefahr“ besitzt die von der SUVA vorgeschlagenen fünf Gefahrenstufen, wobei
die Wahrscheinlichkeiten der Zustände in Tabelle 12.10 aufgeführt sind.
Die totalen Wahrscheinlichkeiten im Knoten „Gasgefahr“ sind für die drei Szenarien gleich und
ergeben sich wie folgt:
166
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Tabelle 12.10: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Gasgefahr“
Im Homogenabschnitt ist keine Gasgefahr gegeben, weshalb keine speziellen Massnahmen
wie z. B. spezielle Lüftungskonzeption oder Vorbohrungen notwendig sind und auch keine
Modellierung einer möglichen Gasexplosion sinngemäss dem Wassereinbruch.
12.7.5 DER KNOTEN „PROFILTYP“
Für die ermittelten Gebirgsverhalten werden verschiedene Profiltypen festgelegt, deren
Ausführung unter Zuhilfenahme von geotechnischen Programmen bestimmt wird. Aus den
dargestellten Ergebnissen der Gebirgsverhaltensknoten ist ersichtlich, dass das strukturbedingte Verhalten hauptsächlich für das Design der Profiltypen ausschlaggebend ist. Die
festgelegten Profiltypen sind in der nachfolgenden Tabelle ersichtlich. Die Abschlagslängen
und das arbeitstechnisch bedingte Überprofil, welches sich aufgrund der Sprengung nicht
vermeiden lässt, werden dabei für Baukosten und Bauzeitermittlung probabilistisch
angenommen. Da im gesamten Homogenabschnitt mit strukturbedingtem Verhalten zu rechnen
ist, kommt kein Profiltyp ohne Sicherungsmittel zur Anwendung.
Tabelle 12.11: Profiltypen
Die Verteilung der Profiltypen im Homogenabschnitt wurde für die verschiedenen Szenarien
folgendermassen ermittelt:
Tabelle 12.12: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Profiltyp“
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
167
Die Profiltypverteilung entsprechend der Gewichtung im Szenarioknoten ist in Tabelle 12.13
ersichtlich:
Tabelle 12.13: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Profiltyp“
12.7.6 DIE KNOTEN „VARIANTE PROFILTYP“ UND „KOSTEN/ZEIT JE LFM PT„
Für das Beispiel werden keine Ausführungsvarianten von Profiltypen untersucht. Der Knoten
„Variante Profiltyp“ besitzt somit nur einen Zustand.
Im Knoten „Kosten/Zeit je lfm PT“ werden die Baukosten oder die Bauzeit je Laufmeter, welche
für jeden Profiltyp im Bauprozess-Modul ermittelt werden, angegeben. Wobei anzumerken ist,
dass ein p-Quantilwert (z. B. für p=95%) der Wahrscheinlichkeitsverteilung und nicht der
Mittelwert verwendet werden soll.393 Die Berechungen der einzelnen Profiltypen sind in Kapitel
12.8.5 detailliert dargestellt.
12.7.7 DIE KNOTEN ZUR ERMITTLUNG DER PROJEKT- UND RESTPROJEKTRISIKEN
Im Rahmen der qualitativen Risikobewertung und Risikobeurteilung394 wurde festgelegt, dass
das strukturbedingte Verhalten, das Bergwasser, das Versagen der Ausbruchsicherung und die
Verschiebung der Profiltypen im PRM-Prozess weiter betrachtet bzw. mit einem BN modelliert
werden. Die Ergebnisse für die restlichen Gefährdungsbilder (druckhafte, spröde, quellfähiges
Verhalten, Gas), die zur Illustration ebenfalls einbezogen wurden, bestätigen deren geringes
Auftreten bzw. deren Nichtauftreten. Diese Faktoren werden daher nicht weiter berücksichtigt.
Aus dem strukturbedingten Verhalten werden Niederbrüche und ein mögliches Versagen der
Ausbruchsicherung infolge Auflockerungsdruck ermittelt. Beiden Ereignissen ist eine
Risikomassnahme (Profiltyp) zugeordnet. Das Ereignis Erschütterung infolge Sprengung wird in
Abhängigkeit der Risikomassnahme und der Überlagerungshöhe bestimmt. Aus dem
Bergwasseranfall wird das Ereignis „Wassereinbruch“ ermittelt, wobei hier keine Massnahme
gewählt wurde. Die Verschiebung der Profiltypenverteilung wird durch die gewichteten
Szenarien berücksichtigt.
Die Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen der Knoten geben die Häufigkeit
bzw. Anzahl des Ereignisses je Laufmeter wieder und werden für die Projektrisikobestimmung
einer Poissonverteilung zugeordnet. Die erwartete Anzahl im Homogenabschnitt ist das Produkt
der Häufigkeit und der Länge des Abschnittes, welches ebenfalls der Mittelwert der Verteilung
ist. Die Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten der Knoten sind im Anhang dargestellt.
Die Auswirkungen der Ereignisse in Kosten ausgedrückt setzen sich einerseits aus den direkten
Kosten für die Massnahme (z. B. für das Ereignis „Niederbruch“, das Ankern, Hinterfüllen usw.)
393
394
Siehe Kapitel 9.3.4.12
Siehe Kapitel 12.6
168
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
nach Eintritt (Lohn, Material, Inventar) und etwaigen Schäden am Equipment und andererseits
aus den zeitgebundenen Kosten (gesamte Baustelleneinrichtung und Personalkosten)
zusammen.395 Die Auswirkung in Zeit angegeben ist die Zeit, die benötigt wird, um die
Massnahme nach Eintritt umzusetzen bzw. den Ausgangszustand wiederherzustellen. Die
Bestimmung der Kosten und der Zeit der Massnahmen kann im Bauprozess-Modul analog der
Baukosten- und Bauzeitermittlung der Profiltypen probabilistisch erfolgen.
Der Knoten „Niederbruch“ simuliert mögliche Niederbrüche, mit denen aufgrund des
vorhandenen Gebirges trotz Massnahmen (Profiltyp) noch immer zu rechnen ist. Der Knoten hat
vier Zustände („kein Niederbruch“, „Niederbruch < 10 m3“, „Niederbruch < 20 m3“,
„Niederbruch < 50 m3“).
Die Angabe der Wahrscheinlichkeitstabellen wird einfach abgeschätzt, indem festgelegt wird,
nach wie vielen Abschlägen in Abhängigkeit der Eltern-Knoten das Ereignis im Mittel eintreten
soll. Durch Bildung des Reziprokwertes der Summe der Abschlagslängen ergibt sich die Anzahl
je Tunnellaufmeter.
Die Häufigkeiten des Ereignisses je Tunnellaufmeter ist in der folgenden Tabelle für die
gewichteten Szenarien ersichtlich:
Tabelle 12.14: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Niederbruch“
Die Auswirkung ist durch eine Dreiecksverteilung in Abhängigkeit des Zustandes des Knotens
wie folgt angegeben:
Zustand
Auswirkung; D(a;b;c)
Kosten [CHF]
D(8’100;9’900;13'400)
Zeit [h]
D(2;3;5)
Kosten [CHF]
D(20’700; 22’500;26'100)
Zeit [h]
D(7;8;10)
Kosten [CHF]
D(79’000;92’000;124'800)
Zeit [h]
D(40;50;70)
Niederbruch <10 m3
Niederbruch <20 m3
Niederbruch <50 m3
Tabelle 12.15: Auswirkung des Knotens „Niederbruch“
Der Knoten „Erschütterung“ modelliert Sprengerschütterungen, welche Schäden aufgrund
geringer Überlagerung an Bauwerken an der Oberfläche verursachen können. Die Erschütterungen werden durch eine Beschränkung der Zündstufen der Sprengung berücksichtigt, was zu
395
Personenschäden sollen keinen Einfluss auf die Zeit bzw. Kosten haben.
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
169
einer höheren Bohrlochanzahl und in der Folge zu höheren Kosten und einer längeren Bauzeit
führt. Dies wird wiederum in der Berechnung der Profiltypen berücksichtigt. Der Knoten besitzt
die Zustände „keine Erschütterungen“ und „Erschütterungen“.
Die Häufigkeit je Tunnellaufmeter ergibt sich wie folgt:
Erschütterung
99.975 keine
0.025 Erschütterung
Tabelle 12.16: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Erschütterung“
Die Auswirkung der Erschütterungen wird ebenfalls mit einer Dreiecksverteilung beschrieben.
Zustand
Auswirkung; D(a;b;c)
Kosten [CHF]
D(20’000;30’000;40'000)
Zeit [h]
-
Erschütterung
Tabelle 12.17: Auswirkung des Ereignisses „Erschütterung“
Der Knoten „Versagen Ausbruchsicherung“396 soll ein Versagen der Ausbruchsicherung
berücksichtigen, welches sich aufgrund eines Auflockerungsdruckes ergeben kann. Der Knoten
besitzt die beiden Zustände „kein Versagen“ und „Versagen“. Die Wahrscheinlichkeiten in den
Wahrscheinlichkeitstabellen geben wiederum die Ereignisanzahl je Tunnellaufmeter an.
Die Häufigkeit je Tunnellaufmeter für den Homogenabschnitt wurde für die gewichteten
Szenarien wie folgt berechnet:
Tabelle 12.18: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Versagen Ausbruchsicherung“
Die Auswirkung397 wird durch eine Dreiecksverteilung wie folgt beschrieben:
Zustand
Versagen
(Bereich bis 5 m)
Auswirkung; D(a;b;c)
Kosten [CHF]
D(14’000;19’000;25'000)
Zeit [h]
D(4;6;8)
Tabelle 12.19: Auswirkung des Knotens „Versagen Ausbruchsicherung“
Der Knoten „Wassereinbruch„ modelliert die Möglichkeit, dass ein plötzlicher Wassereinbruch
396
397
Annahme: Die Unternehmung hat die Ausbruchsicherung fachgerecht erstellt.
Es wird angenommen, dass die Auswirkungen unabhängig vom Profiltyp sind.
170
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
im Bereich, in dem Wasser in den Hohlraum (Knoten „Wasseranfall“) fliesst, eintreten kann.
Dieser Knoten besitzt zwei Zustände („kein Wassereinbruch“ und „Wassereinbruch“), deren
Wahrscheinlichkeiten in den Wahrscheinlichkeitstabellen die Anzahl des Ereignisses je
Tunnellaufmeter angeben.
Die Häufigkeit je Tunnellaufmeter für den Homogenabschnitt wurde entsprechend der
Gewichtung der Szenarien wie folgt berechnet:
Tabelle 12.20: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Wassereinbruch“
Die Auswirkung eines möglichen Wassereinbruches wird mit einer Dreiecksverteilung wie folgt
beschrieben:
Zustand
Auswirkung; D(a;b;c)
Kosten [CHF]
D(14’000;19’000;24'000)
Zeit [h]
D(6;8;10)
Wassereinbruch
Tabelle 12.21: Auswirkung des Knotens „Wassereinbruch“
Die Berechnung der Projektrisiken und Restprojektrisiken der Ereignisse erfolgt mittels M-C-S
im Längenschnitt-Modul398. Im BN selbst ist sie nur von Interesse, wenn verschiedene
Entscheidungen (Profiltypvarianten) untersucht werden sollen.
12.8
BERECHNUNG DER BAUKOSTEN UND BAUZEIT DER PROFILTYPEN
JE TUNNELLAUFMETER IM BAUPROZESS-MODUL
Die Baukosten und Bauzeit je Tunnellaufmeter des Ausbruches (Sprengvortrieb und
Ausbruchsicherung) werden für die drei gewählten Profiltypen im Bauprozess-Modul mittels MC-S probabilistisch ermittelt. Das für die Ermittlung eingesetzte Personal, Material und Inventar
wird in den folgenden Kapiteln beschrieben.
12.8.1 PERSONAL
Aufgrund projektspezifischer Vorgaben können für den Vortrieb von Süd nach Nord
Sprengarbeiten nur zwischen 6.00 und 22.00 Uhr durchgeführt werden, was zur Folge hat, dass
ein 2-Schichtbetrieb zu je acht Stunden, fünf Tage die Woche eingeführt wird. Die gesamte
Arbeitszeit je Woche beträgt somit 80 Arbeitsstunden.
Der Schichtbetrieb ist wie folgt festgelegt:
398
Siehe Kapitel 12.9
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
171
• Schicht 1: Arbeitszeit von 6.00 bis 14.00 Uhr
• Schicht 2: Arbeitszeit von 14.00 bis 22.00 Uhr
Je Schicht wird eine Vortriebsmannschaften mit sieben Mann (ein Vorarbeiter und sechs
Mineure) gewählt. Der Totallohn je produktiver Arbeitskraft wird nach dem SBV-Formular399
ermittelt, wobei nach dieser Berechnungsmethode die Gehalts- bzw. Lohnkosten der Aufsichtund Führungskräfte auf das produktive Personal umgelegt werden.
In Tabelle 12.22 und in Tabelle 12.23 sind die Stundenlöhne für das produktive Personal, das
Aufsichts- und das Führungspersonal angegeben. Sie dienen als Eingabeparameter für die
Berechnung.
Anzahl
Schicht 1
Anzahl
Schicht 2
Bezeichnung/
Berufsgruppe
Grundlohn
Je Stunde [CHF]
1
1
Vorarbeiter
38.-
6
6
Mineure
34.-
Aufgabenbereich
Verantwortlich für
Mineure
Durchführen der
Vortriebsarbeiten
Tabelle 12.22: Vortriebsmannschaft je Schicht
Zu den Aufsichts- und Führungskosten werden zusätzlich die Kosten der Angestellten im
Baubüro, der Mechaniker und der Elektriker addiert. Anzumerken ist, dass der Baustellenchef,
der Bauführer und die Angestellten im Baubüro pro Tag nur während einer Schicht auf der
Baustelle anwesend sind.
Anzahl
Schicht 1
Anzahl
Schicht 2
Bezeichnung/
Berufsgruppe
Werkkosten 1
[CHF]
1
0
Baustellenchef
110.-
1
0
Bauführer
92.-
1
1
Polier
80.-
5
0
Baubüro
65.-
1
1
Leiter Werkst.
80.-
2
2
Mechaniker
55.-
1
1
Elektriker
55.-
Aufgabenbereich
Verantwortlich für
Baustelle
Verantwortlich für
Vortrieb
Verantwortlich für
Vortrieb, Berichtswesen
und Materialbestellung
AVOR, Abrechnung,
Vermessung usw.
Verantwortlich für
Werkstatt
Reparaturen an
Maschinen und Geräten
Reparaturen an elektr.
Maschinen und Geräten
Tabelle 12.23: Aufsicht und Führung
Aus dem angegebenen Personalstand werden im Bauprozess-Modul der Totallohn und die
Kalkulationsfaktoren berechnet, die beide die Zuschläge400 der Unternehmung beinhalten. Die
399
400
Siehe Anhang D.2.1
Siehe Kapitel 10.2.1.5
172
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Umlage der Kosten für Führung und Aufsicht wird auf das Kostenelement Lohn401 durchgeführt
und ist im Anhang402 detailliert dargestellt.
Totallohn: 173.60 CHF
Kalkulationsfaktor M: 1.157
Kalkulationsfaktor I: 1.157
Die Lohnkosten je Profiltyp berechnen sich mittels M-C-S aus der Multiplikation der Bauzeit des
Profiltyps mit der Anzahl des produktiven Personals (Vortriebsmannschaft) und dem Totallohn.
12.8.2 INVENTAR
Für das Bohren der Sprenglöcher wird ein 3-armiger Bohrjumbo (mit Ladekorb) verwendet. Das
Besetzen der Sprenglöcher erfolgt ebenfalls mit dem Bohrjumbo. Nach der Sprengung wird das
Ausbruchmaterial mit einem Radlader auf Grossdumper aufgeladen und zur Deponie gebracht.
Der Tunnelbagger wird für das Nachprofilieren bzw. Beräumen verwendet. Die Ankerlöcher
werden wiederum mit dem Bohrjumbo gebohrt, der auch für das Versetzen der Anker benutzt
wird. Der Spritzbeton wird mit einem Spritzmobil aufgebracht, das einen Schraubenkompressor
benötigt. Für das Verlegen der Baustahlgitter wird eine Teleskophebebühne eingesetzt. Die
Lüftung erfolgt über Ventilatoren durch den Pilotstollen und Bedarf somit keiner Lutten.
Die wichtigsten Geräte und Maschinen für den Vortrieb, die in der Kostenermittlung
berücksichtigt werden, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Tabelle 12.24: Inventar des Vortriebes
Für die Bestimmung der fixen und variablen Kosten je Monat und Stunde wurde die
401
402
Im Untertagebau werden hauptsächlich die Kosten von Aufsicht und Führung auf alle vier Kostenelemente umgelegt. Dies erfordert eine Vorherbestimmung der gesamten Kosten je Kostenelement
(siehe Kapitel 10.2.1), weshalb für den Homogenabschnitt die Kosten von Aufsicht und Führung auf
das Kostenelement Lohn umgelegt werden. Dadurch steigt der Totallohn.
Siehe Anhang E.2
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
173
Dokumentation „Betriebsinterne Verrechungsansätze“ (BIV 2005)403 des SBV verwendet. Die
Kosten des Inventars je Monat und Stunde sind im Anhang aufgeführt.
Die Inventarkosten der verwendeten Profiltypen berechnen sich ähnlich den Lohnkosten. Für
jedes Inventarteil wird die erforderliche Einsatzzeit im Rahmen der Profiltyperstellung ermittelt
und über das Produkt aus der Anzahl der verwendeten Geräte und der Einsatzzeit die
Inventarkosten je Tunnellaufmeter ermittelt. Zusätzlich wird der Zuschlag für das Inventar noch
aufgerechnet (Kalkulationsfaktor I).
Für die Berechnung wird angenommen, dass die gesamten fixen und variablen Inventarkosten
direkt dem Profiltyp und somit nicht teilweise der Baustelleneinrichtung zugeordnet werden.
12.8.3 MATERIAL
Die Ausbruchsicherung für die Herstellung der Profiltypen erfordert verschiedene Materialien. In
der folgenden Tabelle sind die verwendeten Materialien, die in der M-C-S eingesetzt werden,
und deren Kosten pro Einheit dargestellt:
Material
Verschleiss Bohrstange und Bohrkrone
Sprengstoff
Kosten je Einheit
R(1.5 CHF/m;2.0 CHF/m)
5.0 CHF/kg
Zünder
5.0 CHF/Stk.
Spritzbeton
230.0 CHF/m3
Stahlfaserspritzbeton
345.0 CHF/m3
Ankerbolzen L=3 m
32.0 CHF/Stk.
Ankerbolzen L=4 m
35.0 CHF/Stk.
Ankerplatten
4.0 CHF/Stk.
Kunstharzpatrone
6.5 CHF/Stk.
Baustahlgitter
1.5 CHF/kg
Tabelle 12.25: Materialkosten je Einheit
Die angegebenen Materialkosten je Einheit werden mit den für den Profiltyp erforderlichen
Mengen multipliziert und so die Kosten für den jeweiligen Profiltyp ermittelt. Zudem wird der
Kalkulationsfaktor des Materials auf die Kosten aufgeschlagen.
Für die Simulation sollen die Baupreise, mit Ausnahme der Verschleisskosten (Rechtecksverteilung), deterministisch betrachtet werden. Es ist aber durchaus möglich, im
Bauprozess-Modul eine Kostenspanne für jedes Material mittels eines beliebigen
403
SCHWEIZERISCHER BAUMEISTERVERBAND, TECHNISCH-BETRIEBSWIRTSCHAFTLICHE ABTEILUNG,
[Betriebsinterne Verrechnungsansätze, 2005]
174
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Verteilungstyps (z. B. Dreieck, Rechteck usw.) anzugeben.
12.8.4 LEISTUNGSWERTE
Zur Ermittlung des Zeitaufwandes der einzelnen Arbeitsvorgänge (z. B. Bohren) werden
Leistungswerte benötigt. Die genaue Angabe der Leistungswerte ist schwierig, weshalb diese
im Rahmen der M-C-S probabilistisch betrachtet werden sollen. Nachfolgend werden die
Leistungswerte, die auf Erfahrungswerte bzw. Literaturrecherchen404 gründen, für die einzelnen
Arbeitsvorgänge angegeben.
12.8.4.1 BOHREN DER SPRENGLÖCHER
Die Rüstzeit (Anfahren, Einrichten, Abfahren des Gerätes) des 3-armigen Bohrjumbos wird mit
20 min angenommen. Die Bohrgeschwindigkeit für die Lithologie wird zwischen 2 und 3 min pro
Bohrlaufmeter abgeschätzt und mit einer Rechtecksverteilung R(2;3) simuliert. Aufgrund der
möglichen gegenseitigen Behinderung der Bohrlafetten während des Bohrens werden für die
Zeitberechnung nur 2.25 bis 2.75 Lafetten berücksichtigt, die wiederum durch eine
Rechtecksverteilung R(2.25;2.75) beschrieben werden. Die Umsetzzeit von Bohrloch zu
Bohrloch je Lafette wird mit 0.5 Min. angenommen.
12.8.4.2 LADEN DER SPRENGLÖCHER
Das Laden des patronierten Sprengstoffes wird durch den Bohrjumbo (Ladekorb) unterstützt,
wobei die Tätigkeit teilweise mit dem Bohren der Sprenglöcher durchgeführt wird. Im Rahmen
der Simulation wird angenommen, dass die Hälfte der Bohrlöcher während des
Sprenglochbohrens von zwei Mineuren besetzt wird. Die Ladezeit für PT2A und PT2B soll 30 bis
40 min dauern und für PT3 aufgrund geringerer Abschlagtiefe 25 bis 30 min und erneut durch
eine Rechtecksverteilung beschrieben werden.
Die Verbindungszeit der Zünddrähte mit den Nachbarbohrlöcher wird mit 0.15 bis 0.20 min je
Bohrloch (R(0.15;0.20)) geschätzt, und für das Herstellen und Prüfen des Zündkreises werden
für den gesamten Querschnitt 10 bis 15 min (R(10;15)) angenommen.
12.8.4.3 BELÜFTEN
Nach der Sprengung wird der Tunnel belüftet, um die Schadstoffkonzentration zu verringern.
Die Belüftungsdauer wird mit 20 min angenommen.
12.8.4.4 SCHUTTERN DES AUSBRUCHMATERIALS
Die Rüstzeit für den Radlader wird auf 10 min festgelegt. Die Schutterleistung des Radladers
mit 5 m3 Schaufelinhalt wird durch Angabe einer möglichen Spielanzahl pro Stunde
abgeschätzt. Diese wird auf 40 bis 60 (R(40;60)) geschätzt. Mit dem Mittelwert der
Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich eine Nutzleistung des Ladegerätes von 112 fm3/h,
welche in Abhängigkeit des Vortriebsstandes im Tunnel maximal vier Dumper erfordert.
404
MAIDL, B., JODL, H. G., SCHMID, L. R., et al., [Tunnelbau im Sprengvortrieb, 1997]
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
175
12.8.4.5 NACHPROFILIEREN
Das Nachprofilieren bzw. Beräumen erfolgt mit dem Tunnelbagger, dessen Rüstzeit 15 min
beträgt. Die eigentliche Tätigkeit beträgt für den gesamten Ausbruchquerschnitt 15 bis 20 min
(R(15;20)).
12.8.4.6 SPRITZBETON
Die Rüstzeit für das Spritzmobil wird auf 30 min geschätzt. Der Leistungswert der Spritzanlage
wird in Abhängigkeit der aufzubringenden Spritzbetondicken D geschätzt und folgendermassen
festgelegt, wobei der Rückprall des Spritzbetons generell mit 10% bis 15% (R(0.10;0.15))
angenommen wird.
D=3–<5 cm
5–7 m3/h; (R(5;7))
D=5–10 cm
8–10 m3/h; (R(8;10))
12.8.4.7 ANKER, BEWEHRUNGSNETZE
Die Rüstzeit des Bohrjumbos wird mit 10 min angenommen. Die Bohrgeschwindigkeit für die
Herstellung des Ankerbohrloches wird gleich den Sprengbohrlöchern mit R(2;3) verwendet,
wobei der Bohrjumbo mit maximal zwei Lafetten Ankerbohrungen durchführen kann. Für die
Leistungsberechung wird eine mögliche Lafettenanzahl von 1.75 bis 2.0 (R(1.75;2.0))
festgelegt. Die Versetzleistung (ohne Bohren) der Kunzharzmörtelanker wird je Ankerlänge L wie
folgt festgelegt:
L=3 m
4–5 min/Stk.; (R(4;5))
L=4 m
5–6 min/Stk.; (R(5;6))
Die Bewehrungsnetze werden mit Hilfe einer Teleskophebebühne verlegt, deren Rüstzeit mit
10 min festgelegt wird. Die Verlegeleistung bzw. der Leistungswert wird zwischen 0.3 und
0.4 to/h angenommen und durch eine Rechtecksverteilung beschrieben R(0.3;0.4).
12.8.5 BAUKOSTEN UND BAUZEIT DER PROFILTYPEN JE LAUFMETER
Die Baukosten (inkl. der Zuschläge, ohne Wassererschwernisse) und die Bauzeit je
Tunnellaufmeter des Sprengvortriebes und der Ausbruchsicherung, die aus einer M-C-S
resultieren, sind für den Profiltyp PT2A graphisch dargestellt. Im Anhang ist für den Profiltyp
PT2A die detaillierte Berechnung dargestellt, wie sie im Bauprozess-Modul durchgeführt wird.
176
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Mittelwert
Standardabweichung
P-Quantil
(95%)
9'053.3
346.1
9'646.2
Lohnkosten [CHF/lfm]
4'204.4
179.7
Materialkosten [CHF/lfm]
2'113.7
38.8
Inventarkosten [CHF/lfm]
2'735.2
167.8
207.6
8.9
Profiltyp
Baukosten [CHF/lfm]
PT2A
Bauzeit [min/lfm]
222.8
Tabelle 12.26: Baukosten und Bauzeit je Tunnellaufmeter des Profiltyps PT2A
0.06
0.06
0.05
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
Baukosten [CHF/lfm]
Bild 12.7:
239.9
234.8
229.7
224.7
219.6
214.5
209.5
204.4
199.3
194.3
189.2
184.1
0.00
179.1
10'217.9
10'030.5
9'843.0
9'655.6
9'468.2
9'280.7
9'093.3
8'905.9
8'718.4
8'531.0
8'343.6
8'156.1
7'968.7
0.00
Bauzeit [min/lfm]
Baukosten und Bauzeit je Laufmeter für PT2A
Die Baukosten und Bauzeit der restlichen Profiltypen sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
Tabelle 12.27: Baukosten und Bauzeit der Profitypen PT2B und PT3
12.9
QUANTITATIVE RISIKOBEWERTUNG IM LÄNGENSCHNITT-MODUL
Für die im BN modellierten Ereignisse (Niederbrüche, Versagen der Ausbruchsicherung,
Erschütterungen und Wassereinbrüche) und für die Gefährdungsbilder „hoher Quarzanteil im
Gneisgebirge“ und „Verschiebung der prozentualen Profiltypenverteilung“ werden die
Projektrisiken und Restprojektrisiken ermittelt bzw. deren Berücksichtigung angeführt.
Die Verschiebung der prozentualen Verteilung der Profiltypen wird durch den Mittelwert
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
177
(Gewichtung) der einzelnen Szenarien (optimistisch, wahrscheinlich, pessimistisch) im Knoten
„Profityp“ des BN berücksichtigt.405
Der hohe Quarzanteil kann für die Arbeiter eine Gesundheitsgefährdung bedeuten, welche aber
durch das Lüftungssystem im Tunnel ausreichend verringert werden kann. Die hohe Abrasivität
des Gesteins wird durch die Verschleisskosten des Bohrmaterials und die Bohrgeschwindigkeit
je Bohrlochmeter im Zuge der Berechnung der Baukosten/Zeit für die Profiltypen berücksichtigt.
Ein Restprojektrisiko wird nicht simuliert, da die Verschleisskosten und die Bohrgeschwindigkeit
probabilistisch betrachtet werden.406
Die Projektrisiken und Restprojektrisiken der Ereignisse werden für den Homogenabschnitt im
Längenschnitt-Modul ermittelt und sind in der folgenden Tabelle dargestellt:
Ereignis
Kosten [CHF]
Mittelwert
Standardabweichung
VaR95
6'876.5
8'608.0
23'183.3
2.2
2.8
7.8
6'835.4
12'475.0
25'031.0
2.5
4.5
9.4
8'491.6
29'175.1
95'530.3
4.6
15.8
51.4
6345.3
11'202.3
24'031.8
2.0
3.5
7.7
2'411.5
8619.0
28'506.3
-
-
-
3'843.1
8'630.3
20'998.7
1.6
3.68
8.8
Niederbruch < 10 m3
Zeit [h]
Kosten [CHF]
Niederbruch < 20 m3
Zeit [h]
Kosten [CHF]
Niederbruch < 50 m3
Zeit [h]
Versagen der
Ausbruchsicherung
Kosten [CHF]
Zeit [h]
Kosten [CHF]
Erschütterung
Zeit [h]
Kosten [CHF]
Wassereinbruch
Zeit [h]
Tabelle 12.28: Projektrisiko und Restprojektrisiko
12.10 QUANTITATIVE RISIKOBEURTEILUNG
Die Risikobeurteilung erfolgt im Beispiel für die Projektanforderung Kosten und wird durch die
Risikoakzeptanzgrenze von R=150’000 und die maximalen Auswirkung von 500’000 festgelegt.
Alle Ereignisse erfüllen die Bedingung und benötigen somit keine Änderung bzw. Zuordnung
von Massnahmen. Die Überprüfung des Aufwand/Nutzenverhältnisses der Risikobehandlung ist
für die Ereignisse nicht sinnvoll, da die Massnahmen (Profiltypen) als notwendig angesehen
werden müssen.
405
406
Siehe Kapitel 12.7.5
Siehe Kapitel 12.8
178
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
12.11 GESAMTPROJEKTRISIKO
Das Gesamtprojektrisiko, welches sich aus der Aggregation der Projektrisiken und
Restprojektrisiken zusammensetzt, wird mittels einer M-C-S im Längenschnitt-Modul ermittelt.
Die Ereignisse sollen mit dem Copulakonzept (Normal-Copula) unkorreliert und vollständig
positiv korreliert betrachtet werden. Es wird die Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit betrachtet.
Die Abhängigkeiten beabsichtigen nicht, dass beispielsweise ein Ereignis ein anderes
verursacht. Sie sollen lediglich zwei Szenarien für den Homogenabschnitt modellieren. Bei der
vollständigen Korrelation der Ereignisse wird ein Szenario betrachtet, in dem viele Ereignisse im
Homogenabschnitt gleichzeitig eintreten, während dies im unkorrelierten Fall nicht gegeben ist.
In der folgenden Tabelle sind die jeweiligen Ergebnisse dargestellt:
Tabelle 12.29: Gesamtprojektrisiko
Man sieht in der Tabelle sehr gut, dass die Mittelwerte trotz Korrelation fast identisch sind. Die
geringen Abweichungen sind durch die Simulation zu erklären.407 Die VaR sind hingegen sehr
unterschiedlich.
Für den unkorrelierten und den korrelierten Fall ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das in
Kosten berechnete Gesamtprojektrisiko dargestellt:
0.25
0.50
0.20
0.40
0.15
Risiko [CHF] (unkorr.)
Bild 12.8:
741'313.7
680'174.5
619'035.2
557'895.9
496'756.6
435'617.4
374'478.1
313'338.8
252'199.5
191'060.2
129'921.0
7'642.4
376'329.4
345'291.9
314'254.5
283'217.0
252'179.5
221'142.0
190'104.6
159'067.1
96'992.1
128'029.6
65'954.6
0.00
34'917.2
0.10
0.00
3'879.7
0.20
0.05
68'781.7
0.30
0.10
Risiko [CHF] (voll. pos. korr.)
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Gesamtprojektrisikos in Kosten (unkorreliertes und
korreliertes Szenario)
Für die nicht identifizierten Risiken bzw. Ereignisse kann ein prozentualer Zuschlag auf den VaR
angenommen werden. Im Beispiel soll darauf verzichtet werden.
407
Siehe Kapitel 8.10.1.1
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
179
12.12 GESAMTBAUKOSTEN UND -BAUZEIT
Für die Berechnung von Gesamtbaukosten und -bauzeit des Sprengvortriebes und der
Ausbruchsicherung wird die prozentuale Verteilung der Profiltypen408 im Homogenabschnitt aus
dem Geologie-Modul in das Längenschnitt-Modul übernommen, wobei die wöchentliche
Arbeitszeit für die Berechnung berücksichtigt wird. Zusätzlich werden die Erschwernisse infolge
des Wasseranfalls und die Projektrisiken mit einbezogen.
Die Gesamtbaukosten und -bauzeit mit Berücksichtigung der Projektrisiken (vollständig positiv
korreliert) ergibt sich für den Homogenabschnitt zu:409
Tabelle 12.30: Gesamtbaukosten und -bauzeit des Sprengvortriebes und der Ausbruchsicherung
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gesamtbaukosten -bauzeit für den korrelierten Fall ist in
Bild 12.9 dargestellt:
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
Gesamtbaukosten [Mio. CHF]
Bild 12.9:
23.9
23.5
23.1
22.7
22.3
21.9
21.5
21.1
20.7
20.2
19.8
19.4
19.0
4.98
4.91
4.83
4.75
4.67
4.59
4.51
4.43
4.35
4.27
4.19
4.11
4.03
0.01
0.00
Gesamtbauzeit [W o]
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gesamtbaukosten und -bauzeit (Projektrisiken sind
vollständig positiv korreliert)
12.13 GESAMTBAUKOSTEN UND -BAUZEIT AUF GRUNDLAGE NEUER
INFORMATIONEN FÜR DAS BAYES’SCHE NETZ
Für das Beispiel soll der Knoten „Lithologie“ aufgrund neuer Informationen (z. B infolge
Erkundungsbohrungen) aktualisiert werden. Es ist anzumerken, dass im Netz theoretisch
mehrere Knoten gleichzeitig aktualisiert werden können. Die neue Information hat für die ersten
50 m im Homogenabschnitt Gültigkeit, wobei die a-priori-Information mit einbezogen werden
408
409
Siehe Tabelle 12.13
Auf die Darstellung des unkorrelierten Falles wird verzichtet, da sich die die Gesamtbaukosten bauzeit für den Homogenabschnitt nur unwesentlich vom korrelierten Fall unterschieden.
180
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
soll. Der Abschnitt umfasst zwei Sub-Homogenabschnitte mit einer Länge von 50 m respektive
280 m, denen jeweils ein Sub-Bayes’sches Netz zugeordnet wird. Die Netze sollen keine
Verknüpfung erfahren.
Die Likelihood wird für die Zustände „Biotit-, Glimmergneis“ = 80%, „Biotit-, Glimmergneis mit
SZ“ = 10%, und „Heller-, 2 Glimmergneis“ = 10% festgelegt. Die restlichen Zustände werden
mit 0% beurteilt. Ebenso wird der Knoten „Überlagerungshöhe“ aktualisiert. Hier werden die
Wahrscheinlichkeiten direkt in der Wahrscheinlichkeitstabelle des Knotens geändert und keine
Likelihood verwendet.
Die totalen Wahrscheinlichkeiten des Knoten „Lithologie“ vor und nach dem Informationseinbezug sind in Tabelle 12.31 gezeigt. Der Einfluss der Likelihood ist sehr gut erkennbar.
Lithologie
22.050
22.950
14.700
15.300
4.900
5.100
7.350
7.650
Biotit-, Glimmerschiefer
Biotit-, Glimmerschiefer mit SZ
Heller 2-Glimmer-, Augengneis
Heller 2-Glimmer-, Augengneis mit SZ
Glimmerschiefer, Schiefergneise
Glimmerschiefer, Schiefergneise mit SZ
Hornblendegneise
Hornblendegneise mit SZ
82.411
10.722
6.868
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Biotit-, Glimmerschiefer
Biotit-, Glimmerschiefer mit SZ
Heller 2-Glimmer-, Augengneis
Heller 2-Glimmer-, Augengneis mit SZ
Glimmerschiefer, Schiefergneise
Glimmerschiefer, Schiefergneise mit SZ
Hornblendegneise
Hornblendegneise mit SZ
Lithologie
Tabelle 12.31: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Lithologie“
Durch die Informationseingabe in das BN ändern sich nicht nur die Wahrscheinlichkeiten des
Knotens „Lithologie“, sondern auch die jener Knoten, welche direkt bzw. indirekt von ihm
abhängig sind. Nachfolgend werden der Knoten „Profiltypen“ und die Ereignisse, die das Risiko
bestimmen, dargestellt.
Tabelle 12.32: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Profiltyp“
Durch den geringeren Störzonenanteil im Sub-Homogenabschnitt ergibt sich eine wesentlich
geringere Auftretenswahrscheinlichkeit des Profiltyps PT3.
Der Wasseranfall wird ebenfalls reduziert. Seine Wahrscheinlichkeit ist in der nachfolgenden
Tabelle ersichtlich:
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
181
Tabelle 12.33: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Wasseranfall“
Der Knoten „Niederbruch“ ändert sich folgendermassen:
Niederbruch
99.684
0.200
0.090
0.026
kein
Niederbruch < 10 m3
Niederbruch < 20 m3
Niederbruch < 50 m3
Niederbruch
99.713
0.200
0.082
0.005
kein
Niederbruch < 10 m3
Niederbruch < 20 m3
Niederbruch < 50 m3
Tabelle 12.34: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Niederbruch“
Für das Versagen der Ausbruchsicherung ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
Tabelle 12.35: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Versagen Ausbruchsicherung“
Aus dem Bild ist abzulesen, dass dieser Knoten keine Änderung erfährt. Der Grund ist die
identische Wahrscheinlichkeitsannahme in der Wahrscheinlichkeitstabelle (siehe Anhang E.4).
Für das Ereignis Erschütterung wurden die Wahrscheinlichkeiten wie folgt berechnet:
Tabelle 12.36: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Erschütterung“
Der Knoten „Wassereinbruch“ ändert sich wie folgt:
Tabelle 12.37: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Wassereinbruch“
Infolge der Änderung der Wahrscheinlichkeiten der Knoten ändern sich auch die
Gesamtbaukosten und -bauzeit für den gesamten Homogenabschnitt. Diese ergeben sich mit
Berücksichtigung der Projektrisiken (vollständig positiv korreliert) wie folgt:
182
TEIL C: RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL - 12.
12. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Tabelle 12.38: Gesamtbaukosten und -bauzeit des Sprengvortriebes und der Ausbruchsicherung nach Informationseinbezug im Homogenabschnitt
Gesamtbaukosten [Mio. CHF]
23.9
23.5
23.0
22.6
22.1
21.7
4.96
4.88
4.79
4.70
4.62
4.53
4.44
4.36
4.27
4.18
4.10
4.01
3.92
0.00
21.2
0.02
20.8
0.04
20.4
0.06
19.9
0.08
19.5
0.10
19.0
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
18.6
0.12
Gesamtbauzeit [W o]
Bild 12.10: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gesamtbaukosten und -bauzeit (vollständig positiv
korreliert)
Vergleicht man die Ergebnisse mit Bild 12.9, wird ersichtlich, dass die Baukosten und die
Bauzeit für den Homogenabschnitt geringer sind. Der Hauptgrund dafür liegt im geringeren
Anteil an Störzonen, was zu einer geringeren Auftretenswahrscheinlichkeit des Profiltyps PT3
und zu geringeren Risiken der Ereignisse führt.
183
TEIL D: FAZIT – 13.
13. KRITIK UND AUSBLICK
TEIL D: FAZIT
13
KRITIK UND AUSBLICK
Das übergeordnete Ziel dieser Forschungsarbeit ist die Entwicklung eines IT-gestützten,
projektbezogenen Risikomanagementmodells (PRIMO), das dem Bauherrn eine zuverlässige
Prognose der Baukosten und Bauzeit von konventionell erstellten Tunnelbauprojekten liefert. Im
Sinne einer kritischen Würdigung der Ergebnisse dieser Arbeit werden die in Kapitel 1.2
gestellten forschungsleitenden Fragen noch einmal aufgegriffen und wie folgt beantwortet.
Wie kann der projektbezogene Risikomanagementprozess (PRM-Prozess) für Tunnelbauprojekte effektiv und effizient durchgeführt werden?
Der PRM-Prozess wurde in die Teilprozesse PRM-Vorbereitung, Risikoidentifikation,
Risikobewertung,
Risikobeurteilung,
Risikocontrolling
und
Berechnung
des
Gesamtprojektrisikos zerlegt. Der generelle Ablauf ist in einem Flussdiagramm
dargestellt, das die teilweise wiederkehrenden Teilprozesse miteinander verknüpft und
Verzweigungen umfasst, die Abfragen darstellen.
Der Ablauf gestaltet sich grob skizziert so, dass nach der PRM-Vorbereitung und der
Risikoidentifikation jene Risiken mittels der qualitativen Risikobewertung und
Risikobeurteilung herausgefiltert werden, die dem Risikocontrolling und/oder der
Risikobehandlung zugeführt werden müssen. Auf der Grundlage der quantitativen
Risikobewertung und Risikobeurteilung wird für die jeweiligen Risiken bzw. Ereignisse
entschieden, ob eine Risikobehandlung vor und/oder nach Ereigniseintritt notwendig ist.
Zudem werden das Restprojektrisiko und das Verhältnis von Aufwand und Nutzen für die
Risikobehandlung vor Eintritt abgeschätzt. Wird entschieden, das Projekt fortzuführen,
muss das Gesamtprojektrisiko ermittelt werden. Wird das Gesamtprojektrisiko als
akzeptabel beurteilt, so werden die betrachteten Risiken bzw. Ereignisse dem
Risikocontrolling zugeführt.
Mit der Entwicklung des integralen PRM-Prozesses und den zugeordneten Verfahren liegt
eine systematische, effektive und effiziente Vorgehensweise für das projektbezogene
Risikomanagement vor, welche eine positive und umfassende Antwort auf die eingangs
gestellte Frage liefert.
Wie können die Bayes’schen Netze und die Monte-Carlo-Simulation für die Modellierung der
Geologie und der baulichen Massnahmen eingesetzt werden bzw. sich dabei gegenseitig
ergänzen?
Die geologischen Gegebenheiten werden in PRIMO für jeden Homogenabschnitt mit
Bayes’schen Netzen modelliert. Hierfür werden fünf Ebenen eingeführt. Auf Ebene 1
befinden sich der Szenarioknoten, der die Betrachtung von verschiedenen Szenarien
(z. B. optimistische, wahrscheinliche, pessimistische) ermöglicht, und der Expertenknoten, der Expertenaussagen entsprechend ihrer Zuverlässigkeit berücksichtigt. Die
beiden Knoten sind mit den restlichen Ebenen verknüpft. Auf Ebene 2 wird die
geologische Beschreibung (Gesteins-, Gebirgs-, hydrogeologischen Eigenschaften sowie
184
TEIL D: FAZIT - 13.
13. KRITIK UND AUSBLICK
Berggas) mit zahlreichen Zufallsvariablen dargestellt, und auf Ebene 3 werden die davon
abgeleiteten Gefährdungsbilder modelliert. Auf Ebene 4 werden die gewählten
Massnahmen und die Restprojektrisiken bzw. Projektrisiken auf Ebene 5 abgebildet.
Durch die beschriebene Vorgehensweise wird eine ganzheitliche, realitätsnahe
Modellierung der geologischen Situation erreicht.
Die Bayes’schen Netze, die im Geologie-Modul verwendet werden, sind ein sehr gut
geeignetes Instrument, um die Geologie zu modellieren. Es gibt jedoch auch Faktoren,
die ihre Anwendung einschränken. Ein grosser Nachteil ist, dass die existierenden
Berechnungsalgorithmen nur beschränkt mit mathematischen Formeln umgehen können.
Diese sind für die Berechnung von Baukosten und Bauzeit der baulichen Massnahmen
allerdings unabdingbar. Daher wurde an dieser Stelle im Modell die Monte-CarloSimulation eingesetzt.
Ein weiterer Kritikpunkt ist, dass in den Knoten nur die Normalverteilung als stetiger
Verteilungstyp verwendet werden kann. Dies führt dazu, dass beliebig stetige
Verteilungen diskretisiert und somit Intervalle für die Zustände in den Netzknoten
angegeben werden müssen. Beim Einbezug zusätzlicher Informationen sind jedoch oft
andere Intervallverteilungen erwünscht, was eine manuelle Aktualisierung nötig macht.
Hinzu kommt, dass die Angabe der Wahrscheinlichkeiten für einen Kind-Knoten mit vielen
Eltern-Knoten sehr zeitintensiv ist, weshalb die Bayes’schen Netze in der Praxis nur
bedingt eingesetzt werden.
Aus den vorher erwähnten Gründen werden die Baumassnahmen im Bauprozess-Modul
probabilistisch mittels Monte-Carlo-Simulation und nicht mit Bayes’schen Netzen
ermittelt. Im Modul können der Zeitaufwand einer Baumassnahme durch detaillierte
Betrachtung der einzelnen Arbeitsvorgänge unter Berücksichtigung des kritischen Weges
ermittelt und die Kosten auf Grundlage der Zuschlagskalkulation berechnet werden.
Im Bauprozess-Modul werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet, die von der
Geologie beeinflusst werden. Dies betrifft vor allem die Arbeitstätigkeit Bohren und das
Überprofil. Diese Zufallsvariablen haben im entwickelten Modell keine direkte Verbindung
zum Geologie-Modul.
Wie können Abhängigkeiten von Ereignissen bzw. Zufallsvariablen berücksichtigt werden?
In der Arbeit wurden die lineare Korrelation, die Rangkorrelation und das Copulakonzept
erläutert und diskutiert. Das Copulakonzept wurde als das vorteilhafteste erachtet und in
das Risikomanagementmodell für die Risikoaggregation und für die Abhängigkeitsmodellierung im Bauprozess-Modul implementiert. Mit diesem Verfahren kann zur
Ermittlung einer bestimmten gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung jede beliebige
Randverteilung mit einer Copula kombiniert werden. Dies ist bei den beiden anderen
Methoden nicht gewährleistet.
Ein Kritikpunkt des Copulakonzeptes im Risikomanagementmodell ist, dass die Copula
nicht aus Daten ermittelt wird, sondern durch einen ausgewählten Typ vorgegeben wird
und ihre Parameter abgeschätzt werden müssen. In der vorliegenden Arbeit wurden zwei
Typen implementiert: die Normal-Copula und die STUDENTS t-Copula. Die beiden Typen
unterscheiden sich dadurch, dass die STUDENTS t-Copula gleichzeitig extremere
Realisationen der abhängigen Zufallsvariablen generiert als die Normal-Copula und die
TEIL D: FAZIT - 13.
13. KRITIK UND AUSBLICK
185
Risikosituation somit konservativer einschätzt.
Eine weitere Methode der Modellierung von Abhängigkeiten basiert auf den bedingten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese ist den anderen Methoden überlegen, wenn
zahlreiche Ursache-Wirkungs-Ketten modelliert werden sollen. Sie wird deshalb mit Hilfe
von Bayes’schen Netzen im Geologie-Modul umgesetzt.
Generell kann gesagt werden, dass sich die Abhängigkeitsmodellierung in
Tunnelbauprojekten aufgrund fehlender Daten stark auf subjektives Wissen stützt und der
Interpretationsspielraum somit sehr gross sein kann.
Insgesamt haben die Ergebnisse dieser Forschungsarbeit die relativ hochgesteckten
Erwartungen weitgehend erfüllt. Das entwickelte projektbezogene Risikomanagementmodell
PRIMO mit seinen vier Modulen enthält wesentliche Verbesserungen gegenüber den bisherigen
Ansätzen für den Umgang mit Risiken beim Tunnelrohbau. Dies soll anhand eines Vergleichs
von PRIMO mit den beiden in Kapitel 2 vorgestellten, den bisherigen Erkenntnisstand
repräsentierenden Methoden (EHT und ISAKSSON) aufgezeigt werden.
Den beiden genannten Methoden ist gemein, dass die Modellierung der Geologie des
Gebirges relativ einfach durchgeführt wird. Im Modell EHT werden wenige Einflussparameter
verwendet, die miteinander kombiniert Gebirgsklassen charakterisieren und denen eine
Bauklasse (Baumassnahme) zugeordnet wird. Im Modell von ISAKSSON wird ebenfalls eine
geringe Anzahl von geologischen Faktoren bestimmt, die einen Einfluss auf die
Vortriebsleistung haben. Diese Faktoren können zwischen mehreren festgelegten Grenzwerten
variieren, für die jeweils eine Vortriebsleistung in Abhängigkeit zur Baumassnahme abgeschätzt
wird.
In PRIMO hingegen wird die Geologie wesentlich genauer modelliert. Die Modellierung der
Geologie entspricht der in der Praxis anerkannten Vorgehensweise, die aus der geologischen
Beschreibung die Gefährdungsbilder ableitet und Massnahmen zuordnet, mit denen den
Gefährdungsbildern begegnet wird. In PRIMO werden für die Modellierung der Geologie
zahlreiche Zufallsvariablen bzw. Parameter verwendet und deren kausale Abhängigkeit
zueinander durch Bayes’sche Netze realitätsnah abgebildet. Weiter werden im Rahmen der
Modellierung Ergebnisse aus geotechnischen Berechnungen einbezogen. Diese UrsacheWirkungs-Modellierung und der Einbezug von Berechnungen unterscheiden sich grundsätzlich
von den beiden anderen Modellen. Durch die Verwendung von Bayes’schen Netzen können im
entwickelten Modell zusätzlich Variantenstudien betreffend verschiedener Massnahmen
durchgeführt und neue Informationen in das Netz einbezogen werden, deren Auswirkung auf
Baukosten und Bauzeit in Echtzeit berechnet wird.
Die Berechnung von Baukosten und Bauzeit der Baumassnahmen erfolgt in PRIMO ähnlich wie
in den Modellen EHT und ISAKSSON. Die Baumassnahmen werden dabei in einzelnen
Arbeitsvorgängen dargestellt und ihre Baukosten und Bauzeit probabilistisch mittels MonteCarlo-Simulation ermittelt. In PRIMO können zahlreiche Verteilungstypen verwendet werden.
Wenn statistisches Datenmaterial vorhanden ist, besteht dadurch die Möglichkeit, den am
besten passenden Verteilungstyp auszuwählen bzw. die Daten durch Verwendung des
diskreten Verteilungstyps diskret anzupassen. Die Kostenermittlung in PRIMO erfolgt, im
Gegensatz zu den angegebenen Modellen, auf Grundlage einer Zuschlagskalkulation. Die
Kalkulation entspricht der Vorkalkulation des Schweizerischen Baumeisterverbandes (SBV).
186
TEIL D: FAZIT - 13.
13. KRITIK UND AUSBLICK
Dies birgt den Vorteil, dass die Angebotssumme bzw. die Positionspreise, die die
Unternehmung vorlegt, vor Vertragsabschluss genauer abgeschätzt werden kann und deren
Ansätze für Baukosten- und Bauzeitprognosen nach Vertragsabschluss übernommen werden
können. In PRIMO können im Rahmen der Kosten- und Zeitermittlung zusätzlich Korrelationen
bzw. Abhängigkeiten berücksichtigt werden, was in den anderen beiden Modellen ebenfalls
nicht möglich ist.
Die Bewertung von Risiken von Ereignissen wird als das Produkt aus
Eintrittswahrscheinlichkeit/Häufigkeit und Auswirkung ausgedrückt. Sie kann im EHT-Modell, im
Gegensatz zum Modell von ISAKSSON, für die Baukosten- und Bauzeitermittlung nicht
berücksichtigt werden. Im Modell von ISAKSSON werden die Risiken von Ereignissen
probabilistisch bewertet und mittels Monte-Carlo-Simulation aggregiert. Die Ereignisse werden
im Modell isoliert voneinander betrachtet. Vorhandene Abhängigkeiten können nicht
berücksichtigt werden.
In PRIMO werden geologisch bedingte Ereignisse im Rahmen der geologischen Modellierung
einbezogen. Dieses Vorgehen birgt gegenüber dem Modell von ISAKSSON den Vorteil, dass eine
ganzheitliche Betrachtung der geologischen Situation, einschliesslich der zugeordneten
Massnahmen und geologisch bedingten Ereignissen, gewährleistet ist. Werden Varianten von
Massnahmen diskutiert oder neue Informationen in das geologische Modell integriert, so
werden die Risiken der Ereignisse aufgrund der kausalen Abhängigkeiten bzw. aufgrund der
Ursache-Wirkungs-Darstellung automatisch aktualisiert. Zudem können im Modell
Abhängigkeiten von Ereignissen im Rahmen einer Monte-Carlo-Simulation mittels des
Copulakonzeptes berücksichtigt werden.
In PRIMO wird der gesamte projektbezogene Risikomanagementprozess (PRM-Vorbereitung,
Risikoidentifikation, Risikobewertung, Risikobeurteilung, Risikobehandlung, Risikocontrolling) in
einer Datenbank abgebildet, die erlaubt, alle abgespeicherte Information abzufragen. Dadurch
ist die Datenbank vor allem für das Controlling im aktuellen Projekt hilfreich; ausserdem dient
sie als Wissensdatenbank für zukünftige Projekte.
Trotz dieser relativ positiven Bilanz haben die durchgeführten Untersuchungen und
Entwicklungsarbeiten auch weiteren Forschungsbedarf aufgedeckt, der in der Folge kurz
skizziert werden soll.
In Tunnelbauprojekten gibt es, im Gegensatz zu Projekten aus der stationären Industrie, kein
bzw. nur geringes Datenmaterial, das statistisch ausgewertet werden kann. Dies hat zur Folge,
dass sich viele Eingabeparameter im Modell auf Expertenwissen stützen müssen. So
beispielsweise der Typ der Wahrscheinlichkeitsverteilung, der mögliche Realisationsbereich, die
Korrelationskoeffizienten (Copulakonzept), die bedingten Wahrscheinlichkeiten (Bayes’sche
Netze) usw. Ein Hauptproblem ist sicherlich, dass solche komplexen Projekte an sehr
unterschiedlichen Standorten durchgeführt werden und somit unter unterschiedlichen
Randbedingungen abgewickelt werden müssen. Im Rahmen einer Forschungsarbeit könnte
eine Datenbank entwickelt werden, die sämtliche Tunnelbauprojekte unterteilt nach Regionen
umfasst. Die Datenbank sollte diverse Kriterien beinhalten wie Lithologie, Querschnittsgrösse
des Tunnels, Überlagerungshöhe und Struktur des Gebirges, denen verschiedene
Informationen zugeordnet werden. Die Informationen können die Vortriebsgeschwindigkeit,
Ereignisse und deren Auswirkungen und vieles mehr umfassen.
TEIL D: FAZIT - 13.
13. KRITIK UND AUSBLICK
187
Die Verantwortung für die Datensammlung muss dem Bauherrn obliegen, der seine
Auftragnehmer (Unternehmer, Geologe usw.) verpflichtet, für ihn die erforderlichen
Informationen zu sammeln und festzuhalten. Die Verantwortlichkeit des Bauherrn und der
Aufbau der Datensammlung sollten gesetzlich bzw. in Normen verankert werden und die
Informationen aus der Datenbank öffentlich zugänglich sein. Somit wäre die Möglichkeit
gegeben, das Datenmaterial statistisch auszuwerten oder statistische Informationen daraus zu
beziehen.
In PRIMO wurden für die Modellierung der Geologie Bayes’sche Netze verwendet. Das
vorhergehende Kapitel thematisiert mehrere Kritikpunkte zu dieser Methode. Eine
Weiterentwicklung der Berechnungsalgorithmen ist unbedingt erforderlich, damit die Methode
noch vorteilhafter eingesetzt werden kann. Das Softwareprodukt AGENARISK410 versucht, die
Problematik der Diskretisierung von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen und der damit
verbundenen Vorbestimmung der Intervalle zu lösen. Der entwickelte Algorithmus ist derzeit
noch etwas unausgereift. Es kommt zu Programmabstürzen und langen Berechnungszeiten.
Der Algorithmus kann diesbezüglich sicher in naher Zukunft optimiert werden, womit sich die
Kritik auf den eingeschränkten Umgang mit mathematischen Ausdrücken reduziert.
Das Geologie-Modul in PRIMO beinhaltet die Modellierung des Gebirges mit Bayes’schen
Netzen. Das Modul kann nicht nur für den Sprengvortrieb, sondern auch für Projekte, die mit
einer Tunnelbohrmaschine (TBM) aufgefahren werden, eingesetzt werden. Es umfasst
zahlreiche Zufallsvariablen und Abhängigkeiten. Seine Aussagekraft bzw. Praxistauglichkeit wird
erst durch den konkreten Einsatz in Tunnelbauprojekten ersichtlich. Es ist deshalb
erstrebenswert, das Modul vor allem in der Realisierungsphase projektbegleitend zu testen und
anzupassen. Dies gilt generell für PRIMO.
Das Bauprozess-Modul von PRIMO beinhaltet Eingangsparameter (z. B. Vortriebsgeschwindigkeit), die von der Geologie abhängig sind und keine Verknüpfung mit dem Geologie-Modul
erfahren. Hier ist das Modell weiterzuentwickeln, sodass die im Modul verwendeten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Abhängigkeit verschiedener Knoten (z. B. Struktur,
Lithologie, Trennflächenbeschaffenheit) direkt im Geologie-Modul modelliert werden und dem
Bauprozess-Modul als Eingangsparameter (diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung) dienen
können.
Das Modul ist auf den Sprengvortrieb abgestimmt. Es zeichnet sich durch die Modellierung der
Vortriebszyklen (je Abschlag werden wiederkehrende Tätigkeiten ausgeführt) aus. Für den
mechanischen Tunnelvortrieb mit TBM müssen die Berechnungstabellen im Modul angepasst
werden. So kann PRIMO nicht nur für den Sprengvortrieb, sondern auch bei TBM angewendet
werden.
410
http://www.agenarisk.com/ (10-12-2008)
188
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198
A.2
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
BILDVERZEICHNIS
Bild 1.1:
Gliederung der Forschungsarbeit........................................................................... 6
Bild 2.1:
Gebirgsklassenprofil................................................................................................ 8
Bild 2.2:
Baukosten-/Bauzeit-Punktdiagramm...................................................................... 9
Bild 2.3:
Prinzip des Modells ............................................................................................... 10
Bild 2.4:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Produktivitätsklasse auf Grundlage
eines geologischen Faktors.................................................................................. 10
Bild 2.5:
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
von
Gesamtkosten
verschiedener
Vortriebsmethoden ................................................................................................ 11
Bild 3.1:
Risiko, Gefahr und Chance ................................................................................... 16
Bild 3.2:
Ursache-Wirkungs-Kette und deren Einfluss auf die Projektanforderungen....... 16
Bild 3.3:
Wahrscheinlichkeitsfunktion eines Projektrisikos mit Darstellung des Erwartungswertes, des VaRp und des CVaRp ......................................................................... 20
Bild 3.4
Verteilungsfunktion eines Projektrisikos mit Darstellung des VaRp...................... 20
Bild 3.5:
Ziele, Rahmenbedingungen und Projektanforderungen...................................... 25
Bild 3.6:
Projektanforderung an den Gotthard-Basistunnel (Achse Gotthard und
Anschluss Ostschweiz). ........................................................................................ 26
Bild 3.7:
Zusammenhang
zwischen
Projektfortschritt,
Gesamtprojektrisiko
und
Informationsstand.................................................................................................. 27
Bild 3.8:
Zusammenhang zwischen Kosten, Projektrisiko und Informationsstand ........... 28
Bild 3.9:
Risikofelder
(Betrachtungsstandpunkt:
Bauherr;
Betrachtungszeitraum:
Realisierungsphase).............................................................................................. 29
Bild 3.10:
Externe und interne Risikofelder mit zahlreichen Ereignissen und Ursachen ..... 31
Bild 3.11:
Projektbezogener Risikomanagementprozess .................................................... 33
Bild 3.12:
Methoden der Risikoidentifikation......................................................................... 35
Bild 3.13:
Methoden der Risikobewertung............................................................................ 36
Bild 3.14:
Methoden der Risikobeurteilung........................................................................... 37
Bild 3.15:
Vorgehensweise bei einer Risikobehandlung ...................................................... 39
Bild 3.16:
Methoden der Risikobehandlung ......................................................................... 39
Bild 4.1:
Punktwolken für verschiedene Korrelationskoeffizienten..................................... 46
Bild 4.2:
(S)
SPEARMAN-Rangkorrelation mit ρ(S)
XY =+1 und ρ XY =–1...................................... 50
Bild 4.3:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der ProduktCopula. .................................................................................................................. 53
Bild 4.4:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der FRÉCHET-
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
199
HOEFFDING-Obergrenze. ....................................................................................... 54
Bild 4.5:
Dreidimensionaler Graph und zweidimensionales Konturdiagramm der FRÉCHETHOEFFDING-Untergrenze........................................................................................ 54
Bild 4.6:
Datenpaare von zweidimensionalen Verteilungen mit unterschiedlicher
Abhängigkeitsstruktur,
aber
mit
gleichen
standardnormalverteilten
Randverteilungen und gleicher Korrelation von 0.7 (jeweils 3’000 Simulationen).
............................................................................................................................... 55
Bild 4.7:
Unterschiedliche Ausbildung des Randbereiches von zwei 2-dimensionalen
Verteilungen, die mit einer Normal-Copula (Korrelation=0.7) bzw. STUDENTS tCopula (Korrelation=0.7, ν =2) und standardnormalverteilten Randverteilungen
erzeugt wurden...................................................................................................... 57
Bild 5.1:
Bayes’sches Netz mit 3 Zufallsvariablen und den zugehörigen
Wahrscheinlichkeitstabellen bzw. Probability Tables (PTs) ................................. 62
Bild 5.2:
Entscheidungsdiagramm...................................................................................... 63
Bild 5.3:
Ableitung der totalen Wahrscheinlichkeit.............................................................. 64
Bild 5.4:
Bayes’sches Netz mit 5 Zufallsvariablen .............................................................. 65
Bild 5.5:
Serielle Verbindung ............................................................................................... 68
Bild 5.6:
Divergierende Verbindung .................................................................................... 68
Bild 5.7:
Konvergierende Verbindung ................................................................................. 69
Bild 6.1:
Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation.................................................................... 71
Bild 6.2:
Bestimmung von Zufallszahlen mit der Inversionsmethode ................................ 76
Bild 7.1:
Aufbau des IT-gestützten, projektbezogenen Risikomanagementmodells
(PRIMO) ................................................................................................................. 83
Bild 7.2:
Inhalte eines Betrachtungsfeldes.......................................................................... 84
Bild 7.3:
Betrachtungsfeld in der Arbeit .............................................................................. 85
Bild 7.4:
Gesamtbaukosten und Gesamtbauzeit des Tunnelrohbaues............................. 87
Bild 8.1:
Flussdiagramm des PRM-Prozesses in Modul 1 ................................................. 90
Bild 8.2:
Probabilistische Modellierung des Projektrisikos................................................. 97
Bild 8.3:
Modellierung der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses........................... 98
Bild 8.4:
Modellierung der Häufigkeit eines Ereignisses .................................................... 98
Bild 8.5:
Verteilungen der Eintrittswahrscheinlichkeit und der Auswirkung des Ereignisses
„Niederbruch“........................................................................................................ 99
Bild 8.6:
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“ mit
Darstellung des Erwartungswertes, des VaRp und des CVaRp .......................... 100
Bild 8.7:
Verteilungsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“ mit Darstellung des
VaRp ..................................................................................................................... 100
Bild 8.8:
Wahrscheinlichkeitsfunktion des falsch modellierten Risikos des Ereignisses
200
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
„Niederbruch“...................................................................................................... 101
Bild 8.9:
Modellierung des Risikos mit einem Bayes’schen Netz .................................... 102
Bild 8.10:
Risikoakzeptanzlinie mit maximal akzeptierbarer Auswirkung........................... 104
Bild 8.11:
Ereignisbaum....................................................................................................... 110
Bild 8.12:
Modellierung des Ereignisbaumes in Bild 8.11 mit einem Bayes’schen Netz .. 111
Bild 8.13:
Bayes’sche
Netz
mit
der
Wahrscheinlichkeitstabelle
und
den
Pfadwahrscheinlichkeiten.................................................................................... 112
Bild 9.1:
Homogenabschnitte............................................................................................ 115
Bild 9.2:
Aufbau des Bayes’schen Netzes........................................................................ 115
Bild 9.3:
Bayes’sches Netz................................................................................................ 118
Bild 9.4:
GSI-Diagramm..................................................................................................... 121
Bild 9.5:
Gebirgskennlinie.................................................................................................. 127
Bild 9.6:
Sub-Bayes’sche Netze (Sub-BN) ....................................................................... 134
Bild 9.7:
Knoten über die „Trennflächenbeschaffenheit“ aus den einzelnen Sub-BN .... 135
Bild 10.1:
In Anlehnung an das Schema der Vorkalkulation nach SBV ............................. 138
Bild 10.2:
Aufbau der Preisbildung im Bauprozess-Modul ................................................ 139
Bild 10.3:
Kostengliederung für den Tunnelrohbau (orientiert an NPK D/08).................... 143
Bild 11.1:
Gesamtbaukosten einer Tunneltrasse................................................................ 147
Bild 11.2:
Gesamtprojektrisiko von zwei verschiedenen Linienführungen......................... 147
Bild 11.3:
Probabilistische Angabe der Abschnittsgrenzen ............................................... 149
Bild 12.1:
Projektübersicht Umfahrung ROVEREDO ............................................................. 153
Bild 12.2:
Normalprofil ......................................................................................................... 153
Bild 12.3:
Geologischer Längenschnitt ............................................................................... 154
Bild 12.4:
Homogenabschnitt HA1 ...................................................................................... 154
Bild 12.5:
Bayes’sche Netz für den Homogenabschnitt HA1 ............................................. 158
Bild 12.6:
Massnahme für Wasseranfall.............................................................................. 165
Bild 12.7:
Baukosten und Bauzeit je Laufmeter für PT2A................................................... 176
Bild 12.8:
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Gesamtprojektrisikos in Kosten (unkorreliertes
und korreliertes Szenario) ................................................................................... 178
Bild 12.9:
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gesamtbaukosten und -bauzeit (Projektrisiken
sind vollständig positiv korreliert)........................................................................ 179
Bild 12.10:
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gesamtbaukosten und -bauzeit (vollständig
positiv korreliert) .................................................................................................. 182
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
A.3
201
TABELLENVERZEICHNIS
Tabelle 2.1:
Definition der Parameter ......................................................................................... 7
Tabelle 2.2:
Definition der Gebirgsklassen Gi ............................................................................ 8
Tabelle 2.3:
Definition der Kostenauswirkungsklassen............................................................ 11
Tabelle 3.1:
Projektphasen........................................................................................................ 22
Tabelle 6.1:
Beispiel Pseudozufallszahlen................................................................................ 74
Tabelle 6.2:
Kombinationen von Konstanten............................................................................ 74
Tabelle 8.1:
Eintrittswahrscheinlichkeiten von Ereignissen...................................................... 94
Tabelle 8.2:
Risikoniveaus......................................................................................................... 95
Tabelle 8.3:
Matrix der Eintrittswahrscheinlichkeit und Auswirkung ........................................ 95
Tabelle 8.4:
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Risikos von Ereignis „Niederbruch“ .............. 102
Tabelle 9.1:
Beziehung zwischen der Radialdehnung und dem Grad der Schwierigkeiten im
Rahmen des Vortriebes....................................................................................... 126
Tabelle 9.2:
Definition Bergschlag .......................................................................................... 130
Tabelle 9.3:
Gasgefahrenstufen nach SUVA .......................................................................... 132
Tabelle 9.4:
Tabellen von TFB1 und TFB2 (gültig auch für TFB3 und TFB4)........................ 135
Tabelle 9.5
Ergebnisse der Knoten infolge hard-evidence in Knoten TFB 1........................ 135
Tabelle 12.1: Risikoidentifikation............................................................................................... 156
Tabelle 12.2: Qualitative Risikobewertung; Legende: U Unbedeutend, M Mittel, H Hoch ..... 157
Tabelle 12.3: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „strukturbedingtes Verhalten“......... 162
Tabelle 12.4: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „druckhaftes Verhalten“.................. 162
Tabelle 12.5: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „sprödes Verhalten“........................ 163
Tabelle 12.6: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „quellfähiges Verhalten“ ................. 163
Tabelle 12.7: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Wasseranfall“................................. 164
Tabelle 12.8: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Wasseranfall“ für die gewichteten
Szenarien ............................................................................................................. 164
Tabelle 12.9: Kosten/Zeit infolge Erschwernisse des Wasseranfalles..................................... 164
Tabelle 12.10: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Gasgefahr“ .................................... 166
Tabelle 12.11: Profiltypen ............................................................................................................ 166
Tabelle 12.12: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Profiltyp“ ........................................ 166
Tabelle 12.13: Totale Wahrscheinlichkeiten des Knotens „Profiltyp“ ........................................ 167
Tabelle 12.14: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Niederbruch“...................................................................................................... 168
202
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
Tabelle 12.15: Auswirkung des Knotens „Niederbruch“ ............................................................ 168
Tabelle 12.16: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Erschütterung“ ................................................................................................... 169
Tabelle 12.17: Auswirkung des Ereignisses „Erschütterung“.................................................... 169
Tabelle 12.18: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Versagen Ausbruchsicherung“.......................................................................... 169
Tabelle 12.19: Auswirkung des Knotens „Versagen Ausbruchsicherung“................................ 169
Tabelle 12.20: Totale Wahrscheinlichkeiten bzw. Häufigkeiten je Laufmeter des Knotens
„Wassereinbruch“................................................................................................ 170
Tabelle 12.21: Auswirkung des Knotens „Wassereinbruch“...................................................... 170
Tabelle 12.22: Vortriebsmannschaft je Schicht .......................................................................... 171
Tabelle 12.23: Aufsicht und Führung.......................................................................................... 171
Tabelle 12.24: Inventar des Vortriebes ....................................................................................... 172
Tabelle 12.25: Materialkosten je Einheit ..................................................................................... 173
Tabelle 12.26: Baukosten und Bauzeit je Tunnellaufmeter des Profiltyps PT2A ....................... 176
Tabelle 12.27: Baukosten und Bauzeit der Profitypen PT2B und PT3....................................... 176
Tabelle 12.28: Projektrisiko und Restprojektrisiko...................................................................... 177
Tabelle 12.29: Gesamtprojektrisiko ............................................................................................ 178
Tabelle 12.30: Gesamtbaukosten
und
-bauzeit
des
Sprengvortriebes
und
der
Ausbruchsicherung ............................................................................................. 179
Tabelle 12.31: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Lithologie“ .......................................................................................................... 180
Tabelle 12.32: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Profiltyp“ ............................................................................................................. 180
Tabelle 12.33: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Wasseranfall“ ..................................................................................................... 181
Tabelle 12.34: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Niederbruch“...................................................................................................... 181
Tabelle 12.35: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Versagen Ausbruchsicherung“.......................................................................... 181
Tabelle 12.36: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Erschütterung“ ................................................................................................... 181
Tabelle 12.37: Totale Wahrscheinlichkeiten vor und nach Informationseinbezug des Knotens
„Wassereinbruch“................................................................................................ 181
Tabelle 12.38: Gesamtbaukosten
und
-bauzeit
des
Sprengvortriebes
und
der
Ausbruchsicherung nach Informationseinbezug im Homogenabschnitt .......... 182
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
A.4
203
ABKÜRZUNGS- UND FORMELVERZEICHNIS
Stochastik und Statistik
BN
Bayes’sche Netze
Cov(X,Y)
Kovarianz zwischen X und Y
Corr(X,Y)
Korrelation von X und Y
CVaR
Conditional Value-at-Risk
E(X)
Erwartungswert von X
fX (x)
Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete ZV) bzw. Dichtefunktion (stetige ZV) von X
FX (x)
Verteilungsfunktion von X
FX−1(x)
Inverse bzw. Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion von X
M-C-S
Monte-Carlo-Simulation
P(X)
Wahrscheinlichkeit von X
rXY
Schätzwert der linearen Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON
(S)
rXY
Schätzwert der Rangkorrelation nach SPEARMAN
Var(X)
Varianz von X
VaR
Value-at-Risk
x
Schätzwert für Mittelwert
ZV
Zufallsvariablen
ZZ
Zufallszahlen
γ1
Schiefe
γ2
Kurtosis
µX
Erwartungswert bzw. Mittelwert von X
σX
Standardabweichung von X
σX2
Varianz von X
σ XY
Kovarianz zwischen X und Y
ρXY
Lineare Korrelation nach BRAVAIS-PEARSON
ρ(S)
XY
Rangkorrelation nach SPEARMAN
Φ nR
n-dimensionale Normal-Copula mit linearer Korrelationsmatrix R
TR,n ν
n-dimensionale STUDENTS t-Copula mit linearer Korrelationsmatrix R
204
TEIL E: ANHANG - A. VERZEICHNISSE
Risikomanagement
A
Auswirkung des Ereignisses
E
Ereignis
H
Häufigkeit des Eintrittes eines Ereignisses
PRIMO
IT-gestütztes, projektbezogenes Risikomanagementmodell
PRM
Projektbezogenes Risikomanagement
RM
Risikomanagement
R
Risikowert des Ereignisses
U
Ursache des Ereignisses
W
Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses
Bauprojekt
AG
Auftraggeber, Bauherr
AN
Auftragnehmer
PA
Projektanforderungen
TEIL E: ANHANG - B. GLOSSAR
B
GLOSSAR
B.1
DEFINITIONEN AUS STATISTIK UND STOCHASTIK
205
Die Begriffserklärungen für die Statistik und Stochastik wurden grossteils aus THURNER411
entnommen.
Daten:
Durch Experimente oder Beobachtungen gewonnene Werte eines Merkmals.
Dichtefunktion fX (x) :
Siehe Verteilungsdichte.
Elementarereignis ω:
Jedes mögliche Resultat eines Versuches oder einer Beobachtung.
Ereignisraum Ω:
Menge aller Elementarereignisse.
Ereignis A:
Zusammenfassung von gewissen Elementarereignissen.
Grundgesamtheit:
Gesamtheit aller Realisationen von Versuchen oder Beobachtungen unter gleichen
Bedingungen.
Realisation:
Wert, den eine Zufallsvariable für ein bestimmtes Ereignis annimmt.
Stichprobe:
Eine n-elementige Teilmenge der Grundgesamtheit, deren Entnahme zufällig sein muss.
Stichprobenumfang:
Anzahl n der in ihr enthaltenen Elemente.
Verteilung:
Siehe Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Verteilungsdichte fX (x) :
Ableitung der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable X nach x; die Fläche unter der
Verteilungsdichte hat den Wert 1.
Verteilungsfunktion FX ( x ) :
Die Funktion gibt jene Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Zufallsvariable X (stetig, diskret) einen
Wert kleiner oder gleich x annimmt.
Wahrscheinlichkeitsfunktion fX (x) :
Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten pi einer diskreten Zufallsvariablen bilden die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
411
In Anlehnung an THURNER, R., [Probabilistische Untersuchungen, 2001], S 4ff.
206
TEIL E: ANHANG - B. GLOSSAR
Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Wahrscheinlichkeitsverteilungen können durch die Verteilungsdichte (stetige Funktion) bzw.
Wahrscheinlichkeitsfunktion (diskrete Funktion) und die Verteilungsfunktion beschrieben
werden.
Zufallsvariable:
Ist eine Abbildung oder Funktion, die jeder Realisation eines Versuches eine reelle Zahl zuweist.
B.2
DEFINITIONEN AUS DEM RISIKOMANAGEMENT
Auswirkung: Ausmass bei Eintritt eines Ereignisses.
Eintrittswahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses.
Gefährdungsbild: Eine mögliche kritische Situation oder ein unerwünschtes Ereignis.
Risiko: Ist das bewertete Ereignis, welches bei Eintritt einen positiven (Chancen) oder
negativen (Gefahren) Einfluss auf die Erfüllung der Projektanforderungen haben kann.
Risikowert: Ist der Wert des Risikos, der aus dem Produkt von Eintrittswahrscheinlichkeit und
Auswirkung resultiert.
B.3
DEFINITIONEN AUS DEM TUNNELBAU
Übernommen aus ÖGG412, SIA 197413 und SIA 198414.
Ausbruchsicherung:
Massnahme zur Wahrung der Arbeitssicherheit und der Standsicherheit sowie Beschränkung
der Verformungen des Gebirges im Bereich des ausgebrochenen Hohlraums in der Bauphase.
Bauhilfsmassnahmen:
Vorauseilende Massnahme als Teil des Vortriebs zur Wahrung der Arbeitssicherheit und der
Standsicherheit des Hohlraumes. Z. B. Spiesse, Rohrschirme.
Gebirge:
Teile der Erdkruste, zusammengesetzt (Fels) oder Lockergestein (Boden), einschliesslich
Anisotropien, Trennflächen und Hohlräume mit Füllungen aus flüssigen oder gasförmigen
Bestandteilen.
Gebirgsart:
Gebirge mit gleichen Eigenschaften.
Gebirgsverhaltenstyp:
Gebirge mit gleichartigem Verhalten in Bezug auf Ausbruch, auf zeitliche und räumliche
Verformung und auf Versagensformen, ohne Berücksichtigung von Stütz- und
Zusatzmassnahmen und Querschnittsunterteilung.
Gefährdungsbild:
412
413
414
ÖGG, [Richtlinie für die Geomechanische Planung, 2001]
SIA 197, [Projektierung Tunnel, 2004]
SIA 198, [Untertagbau: Ausführung, 2004]
TEIL E: ANHANG - B. GLOSSAR
207
Mögliche kritische Situation oder unerwünschtes Ereignis für ein Bauwerk und/oder seine
Umgebung in der Bau und Nutzungsphase.
Gestein:
Durch natürliche Vorgänge entstandenes Aggregat aus mineralischen Bestandteilen.
Gesteinsart:
Locker- oder Festgestein mit gleichartigen Eigenschaften.
Homogenbereich:
Bereich, in dem Gebirgs- bzw. Baugrundeigenschaften innerhalb festgelegter Grenzen liegen.
Festgestein:
Gemenge aus Mineralien, dessen Eigenschaften durch chemische bzw. physikalische Bindung
bestimmt sind.
Lockergestein:
Anhäufung von anorganischen und verschiedenkörnigen Feststoffen, fallweise auch mit
organischen Beimengungen, deren Eigenschaften vorwiegend durch die Kornzusammensetzung, die Lagerungsdichte und Wassergehalt bestimmt sind.
Profiltyp:
Darstellung des Ausbruchquerschnitts, der Ausbruchsicherung, der allfälligen Bauhilfsmassnahmen und der Verkleidung.
Sicherungsklasse bzw. Ausbruchklasse:
Die einzelnen Klassen berücksichtigen die Behinderung des Vortriebes durch den Einbau der
Ausbruchsicherung.
Trennflächen:
Zweidimensional ausgedehnte im Allgemeinen vollständige Unterbrechungen des
mechanischen Zusammenhanges im Festgestein, hervorgerufen im Zuge der Entstehung
und/oder tektonischer, bruchhafter Überbeanspruchung des Materials. Integrale (potenzielle)
Trennflächen bewirken Modifikation des Zusammenhaltes und mechanische Anisotropien.
Verkleidung:
Massnahmen, als Ergänzung der Ausbruchsicherung oder separat ausgeführt, die dem
Tragwerk (Gewölbe) die erforderlichen Eigenschaften (Tragfähigkeit, Form, Aussehen usw.)
geben.
Vortrieb:
Erforderliche Arbeiten für das Erstellen eines Hohlraumes im Gebirge, umfassend Ausbruch
und Ausbruchsicherung sowie allfällige Bauhilfsmassnahmen.
208
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
C
STATISTIK UND STOCHASTIK
Statistik
Statistik
Deskriptive
DeskriptiveStatistik
Statistik
Bild: C.1:
Stochastik
Stochastik
Mathematische
MathematischeStatistik
Statistik
(schliessende
(schliessendeStatistik)
Statistik)
Wahrscheinlichkeitstheorie
Wahrscheinlichkeitstheorie
(Wahrscheinlichkeitsrechnung)
(Wahrscheinlichkeitsrechnung)
Teilgebiete der Statistik und Stochastik415
In der deskriptiven Statistik werden Daten aus Versuchen oder Beobachtungen durch
graphische Darstellungen (z. B. Histogramme, Summenkurven) und aussagekräftige
Kennzahlen416 wie beispielsweise Mittelwert, Varianz und Korrelationskoeffizient beschrieben;
dies bildet die Grundlage der Stochastik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie417 liefert aus diesen
Daten stochastische Modelle, die die Grundgesamtheit charakterisieren sollen; diese wird meist
in Form eines parametrischen Verteilungstyps ausgedrückt. Zum Beispiel kommen in der
Geotechnik infolge des zentralen Grenzwertsatzes418 meist Normalverteilungen bzw. LogNormalverteilungen zur Anwendung419. Die mathematische Statistik420 basiert auf den
Ergebnissen der deskriptiven Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie und dient der
Bestimmung der im stochastischen Modell verwendeten Parameter.
Die wichtigsten Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitstheorie werden in der Folge
erläutert.
C.1
EREIGNISSE, ELEMENTAREREIGNISSE
Ereignisse (= Zufallsereignisse) sind Sachverhalte, die im Zusammenhang mit Abläufen und
Prozessen in einem technischen oder natürlichen System stehen, und deren Eintreten oder
Nichteintreten im Voraus nicht bekannt ist421. Der Raum, in dem ein Ereignis auftreten kann, wird
als Ereignisraum Ω bezeichnet. Als Beispiel eines Ereignisses im Tunnelbau kann ein
Niederbruch während des Vortriebes angeführt werden. Ereignisse können voneinander
abhängig oder unabhängig sein. Eine Abhängigkeit zwischen Ereignissen ist für den Fall
gegeben, in dem infolge eines Niederbruches (Ereignis A) ein Vortriebsstillstand (Ereignis B)
verursacht würde. Ein Beispiel für voneinander unabhängige Ereignisse ist die Überschreitung
eines Luft-Schadstoffgrenzwertes (Ereignis A) an der Ortsbrust und eine Oberflächensetzung
(Ereignis B) über der Ortsbrust. Abhängigkeiten sind in technischen oder natürlichen Systemen
nicht immer klar ersichtlich, was beispielsweise zu einer Fehleinschätzung der Risikosituation im
415
416
417
418
419
420
421
In Anlehnung an STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 5
Siehe Anhang C.4 und Anhang C.5
In Anlehnung an STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 159
Siehe Anhang C.8
THURNER, R., [Probabilistische Untersuchungen, 2001], S. 44
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 159
KÜNSCH, H., [Einführung in Wahrscheinlichkeiten, 1999], S. 1
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
209
Zuge des Risikomanagements führen kann.
Ereignisse werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie noch weiter unterteilt, in so genannte
Elementarereignisse422 ω . Diese umfassen alle in einem System (Ereignisraum Ω) möglichen Ergebnisse, die zu einem Ereignis führen können:
Ω = {ω1,....,ωn } ,
(C.1)
A = {ω1,ω2 ,ω3 } .
(C.2)
Betrachten wir als Beispiel drei Ereignisse in einem Ereignisraum Ω. Die Elementarereignisse
(= Ergebnisse) werden durch die Felseinbruchmenge dargestellt:
A1 = kein Niederbruch
A 2 = geringer Niederbruch
A 3 = grosser Niederbruch
{ }
= {< 0 ≤ 2 m }
= {> 2 m }
= 0 m3
3
3
Es ist festzuhalten, dass die Elementarereignisse nicht durch Zahlen dargestellt werden,
sondern durch Beschreibungen für die Ergebnisse. Erst durch die Einführung einer
Zufallsvariablen423 werden die Ergebnisse in Zahlen umgewandelt.
C.2
WAHRSCHEINLICHKEITEN
Das Eintreten oder Nichteintreten eines Ereignisses wird durch eine Wahrscheinlichkeit
ausgedrückt, die entweder qualitativ oder quantitativ angegeben werden kann.
Qualitative Wahrscheinlichkeiten werden in jenen Fällen angewendet, in denen aufgrund mangelnder Daten oder Erfahrung keine quantitative Angabe gemacht werden kann. Hierbei werden
Kategorien erstellt, die je nach Anwendungsdomäne einer bestimmten Terminologie folgen. Die
quantitative Angabe ist grundsätzlich dimensionslos und wird zwischen 0 und 1 ausgedrückt.
Wahrscheinlichkeit 1 besagt, dass das Ereignis mit Sicherheit eintritt, während Wahrscheinlichkeit 0 ein sicheres Nichteintreten angibt. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
beziehen sich immer auf den Zustand vor Ablauf des Prozesses und sind deshalb zukunftsbezogen, wobei erst in der Folge ersichtlich ist, ob ein Ereignis eingetreten ist oder nicht.424
In der Fachliteratur findet man drei grundsätzlich verschiedene Arten, den Terminus Wahrscheinlichkeit zu definieren, wobei die beiden letzteren in der Praxis am häufigsten zur
Anwendung kommen.
C.2.1
KLASSISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT
Die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition ging im 17. Jahrhundert aus dem Bestreben, die
422
423
424
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 63
Siehe Anhang C.3
KÜNSCH, H., [Einführung in Wahrscheinlichkeiten, 1999], S. 1
210
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Gewinnchancen in Glückspielen mit Würfeln und Karten vorauszusagen, hervor. Sie beruht auf
den Arbeiten der Mathematiker PASCAL, DE FERMAT und LAPLACE und stellt die älteste Definition
des Begriffes dar. Die klassische Wahrscheinlichkeit wird definiert als Anzahl der Fälle, in denen
ein bestimmtes Ereignis eintritt, dividiert durch die Anzahl aller möglichen Fälle:425
P(A) =
n(A)
ntot
(C.3)
.
P(A)
n(A )
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
Anzahl der Fälle in denen Ereignis A eintritt
ntot
Anzahl aller möglichen Fälle
Diese Definition ist nur sinnvoll, wenn
• alle möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich sind,
• die Menge der Ereignisse endlich ist und
• immer nur ein Ereignis eintreten kann.
Durch diese Restriktionen der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ist sie im Tunnelbau
(Sicherheits- und Risikobereich) nicht anwendbar.
C.2.2
FREQUENTISTISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT
Der frequentistische Wahrscheinlichkeitsansatz – auch objektive Wahrscheinlichkeit genannt –
wurde wesentlich von VON MISES geprägt; sie definiert die Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der
relativen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses bei vielen voneinander unabhängigen
Wiederholungen eines Experimentes oder von Stichproben unter gleichen Bedingungen.426 Die
relative Häufigkeit ist dabei der Quotient aus Anzahl des interessierenden Ereignisses und
Gesamtanzahl der durchgeführten Experimente bzw. Stichproben:
P(A) = lim
n→ ∞
n( A )
n
P(A)
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A
n(A)
die Häufigkeit, mit der Ereignis A in n Experimenten bzw. n Stichproben auftritt
n
Anzahl der Experimente bzw. Stichproben
(C.4)
Der Schwachpunkt dieses Ansatzes ist, dass für die Bestimmung des Grenzwertes umfangreiche Versuchsreihen notwendig sind, und dass er durch eine endliche Anzahl von
Wiederholungen bestimmt wird. Zudem ist nicht klar, was mit unabhängigen Wiederholungen
und gleichen Bedingungen gemeint ist.427 Bei einer begrenzten Anzahl von Wiederholungen
kann die Definition aber trotzdem verwendet werden. Es kann ein so genanntes Ver-
425
426
427
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 89
SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit und Zuverlässigkeit, 1996], S. 35
KÜNSCH, H., [Einführung in Wahrscheinlichkeiten, 1999], S. 3
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
211
trauensintervall um die beobachtete relative Häufigkeit angegeben werden, das die gesuchte
Wahrscheinlichkeit enthält.
Im Unterschied zur klassischen Wahrscheinlichkeit
• müssen die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse nicht gleich gross sein und
• die Experimente bzw. Stichproben können eine beliebig grosse Anzahl von Ereignissen
aufweisen.
C.2.3
SUBJEKTIVE WAHRSCHEINLICHKEIT
Der subjektiven Wahrscheinlichkeit liegt gegenüber den anderen beiden Wahrscheinlichkeitsdefinitionen eine vollkommen andere Interpretation zugrunde; hier werden Wahrscheinlichkeiten
hinsichtlich des Eintretens bzw. des Nichteintretens eines Ereignisses von einer Person
geschätzt. Diese Wahrscheinlichkeit hat keine physikalische oder mathematische Eigenschaft;
Es handelt sich um eine von einer Person abhängige, subjektive Grösse.428
Dabei ist zulässig, dass verschiedene Personen unter gleichen Bedingungen unterschiedliche
Wahrscheinlichkeitsangaben machen. Ausschlaggebend dafür ist das so genannte a-prioriWissen, das Informationen einer Person zusammenfasst. Das a-priori-Wissen umfasst das aktuelle Wissen sowie Erfahrung bezüglich der Einschätzung der jeweiligen Situation. Somit können
subjektive Wahrscheinlichkeiten grundsätzlich mit bedingten429 Wahrscheinlichkeiten verglichen
werden. Die Wahrscheinlichkeiten können aber nicht willkürlich gewählt werden; ihnen müssen
die physikalischen Gesetze und der gesunde Menschenverstand zugrunde liegen.
Zur Bestimmung der subjektiven Wahrscheinlichkeit können die beiden vorher beschriebenen
Wahrscheinlichkeitsdefinitionen als Unterstützung herbeigezogen werden, was beispielsweise
dem klassischen Ansatz bei Anwendung von Symmetrien (Münzwurf, Würfel) und Kombinatorik
oder der frequentistischen Definition bei der Ermittlung von Stichproben entspricht.
Der grosse Nutzen dieses subjektiven Ansatzes besteht in der Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse anzugeben, die nicht durch Versuche bzw. durch Stichproben bestimmt
werden können. Solche Situationen sind im Bauwesen sehr oft anzutreffen, was die Wichtigkeit
dieses Ansatzes gerade in diesem Bereich erklärt.
C.2.4
AXIOME UND RECHENREGELN
Die gesamte Wahrscheinlichkeitstheorie stützt sich auf die Axiome des Mathematikers
KOLMOGOROV. Kolmogorovs Axiome430 sind für alle drei Wahrscheinlichkeitsdefinitionen gültig
und stellen Regeln für die Handhabung von Wahrscheinlichkeiten dar.
1. Axiom:
P(A) ≥ 0 .
428
429
430
In Anlehnung an STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 89
Siehe Gleichung (C.9)
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 64
(C.5)
212
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses sind positiv oder 0.
2. Axiom:
P(Ω ) = 1 .
(C.6)
Das sichere Ereignis Ω hat die Eintrittswahrscheinlichkeit 1.
3. Axiom:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), falls A ∩ B = 0 .
(C.7)
Für paarweise sich gegenseitig ausschliessende Ereignisse ist die Vereinigung beider Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse (Additionssatz für
disjunkte Ereignisse).
Aus den Axiomen lassen sich weitere Folgerungen ableiten, die mit Hilfe des Venn-Diagramms
veranschaulicht werden können. Die wichtigsten werden nachfolgend dargestellt:431
Ereignisraum Ω
Ereignis A
Ereignis B
A ∩B
Bild C.2:
Euler-Venn Diagramm
Additionssatz (A oder B): Ereignis A oder Ereignis B tritt ein, oder es treten beide ein:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(C.8)
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit für Ereignis A, gegeben, dass Ereignis B
schon eingetreten ist:
P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)
P(B) > 0
(C.9)
Multiplikationssatz (A und B):
Ereignis A und Ereignis B treten gemeinsam ein:
P(A ∩ B)=P(A) ⋅ P(B|A)
431
(C.10)
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 64 ff.; SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit
und Zuverlässigkeit, 1996], S. 37
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
213
Erweitert auf drei Ereignisse:
P(A ∩ B ∩ C)=P(A) ⋅ P(B|A) ⋅ P(C|A ∩ B)
(C.11)
Unabhängige Ereignisse: Ereignis A und Ereignis B sind voneinander unabhängig. Das
Eintreten von Ereignis A beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, das Ereignis B eintritt, nicht:
P(A|B) = P(A)
(C.12)
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)
(C.13)
C.3
ZUFALLSVARIABLE, WAHRSCHEINLICHKEITSFUNKTION, DICHTEFUNKTION, VERTEILUNGSFUNKTION
In der Arbeit wird häufig der Begriff Zufallsvariable verwendet. Im mathematischen Sinne ist eine
Zufallsvariable, auch Zufallsgrösse genannt, eine Funktion, die jedem Elementarereignis ω eine
reelle Zahl zuordnet ( X : Ω → ℝ ). Da das Eintreten des Elementarereignisses vom Zufall
abhängig ist, ist auch der Wert der Zufallsvariable zufällig. Daher auch der Name
Zufallsvariable.
Für eine Zufallsvariable X mit mehreren Elementarereignissen ergibt sich somit die folgende
Darstellung:432
ωj ֏ x = X ωj
x
(C.14)
Realisation der Zufallsvariable X zum Elementarereignis ωj
Die Menge aller Realisationen einer Zufallsvariablen X wird als Grundgesamtheit bezeichnet
und die Stichprobe ist die n-fache Realisierung von X.
Für das Beispiel in Anhang C.1 können die Realisationen der einzelnen Ereignisse wie folgt
festgelegt werden:
A1 = kein Niederbruch
A 2 = geringer Niederbruch
A 3 = grosser Niederbruch
{ }
= {< 0 ≤ 2 m }
= {< 2 m }
= 0 m3
3
3
= {ω X1 ω = 0}
= {ω < 0 X 2 ω ≤ 2}
= {ω X 3 ω > 2}
Häufig werden mehrere Zufallsvariablen in einer subsumiert, wenn jedes Elementarereignis in
genau einer Zufallsvariablen enthalten ist. Das vorherige Beispiel stellt einen solchen Fall dar. In
Bayes’schen Netzen433 wird diese Vorgehensweise sehr oft angewendet.
432
433
STAHEL, W. A., [Statistische Datenanalyse, 2002], S. 67
Siehe Kapitel 5
214
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
X=
n
∑ Xi .
(C.15)
i =1
Von Interesse ist meist nicht so sehr die Funktion, die einem Elementarereignis eine reelle Zahl
zuweist, sondern vielmehr die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen selbst. Würde
man für Tunnelabschnitte mit ähnlichen Gebirgsverhältnissen die Anzahl der Eintritte des
jeweiligen Ereignisses Xi festhalten, könnte man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung des
Ereignisses Niederbruchs X erstellen. Die Zufallsvariable X wäre in diesem Fall eine diskrete
Zufallsvariable. Die Charakteristik diskreter und stetiger Zufallsvariablen sollen im nächsten
Kapitel aufgezeigt werden.
C.3.1
DISKRETE ZUFALLSVARIABLE
Eine diskrete Zufallsvariable nimmt nur endlich viele (x1,…,xn) oder abzählbar-unendlich viele
(x1, x2,…) Werte an und besitzt für jeden Wert xi eine bestimmte Wahrscheinlichkeit pi: 434
P(X = xi ) = pi
i = 1, 2, 3, ... n
(C.16)
P(X = x) = 0
für x ≠ xi
(C.17)
Die Wahrscheinlichkeiten pi bilden die Wahrscheinlichkeitsfunktion fX (x) der diskreten
Zufallsvariablen X und geben an, wie wahrscheinlich jede dieser Zahlen xi ist. Weiter gilt, dass
die Summe der Wahrscheinlichkeiten pi 1 ergeben muss:
n
∑
i=1
fX (x i ) =
n
∑
i =1
P(X = xi ) =
n
∑ pi = 1
(C.18)
i =1
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen FX (x) (= Summenkurve) gibt die
Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse mit xi ≤ x an:
FX (x) = P(X ≤ x) =
n
∑
i = 1; x i ≤ x
fX (x i ) =
n
∑
i = 1; x i ≤ x
pi
(C.19)
In Bild C.3 sind die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion für eine diskrete
Zufallsvariable dargestellt:
434
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 225 ff.
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
215
Wahrscheinlichkeitsfunktion
fX(x)
Verteilungsfunktion
FX(x)
1
p4
p3
p2
p4
p1
p2
p3
p1
x
x1 x2 x3 x4
Bild C.3:
C.3.2
x1 x2 x3 x4
x
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
STETIGE ZUFALLSVARIABLE
Eine stetige Zufallsvariable X nimmt alle Werte xi innerhalb eines endlichen oder unendlichen
Intervalls an und besitzt eine Funktion fX (x) ≥ 0 (Dichtefunktion), die innerhalb dieses Intervalls
integrierbar ist.435 Es ist zu beachten, dass der Wert der Funktion fX (x) , im Gegensatz zu den
diskreten Zufallsvariablen, keine Wahrscheinlichkeit angibt. Wahrscheinlichkeiten können erst
durch Flächenermittlung unter der Dichtefunktion fX (x) mittels Integralrechnung bestimmt
werden und geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable in ein bestimmtes
Intervall fällt:
b
∫
P(a ≤ X ≤ b) = fX (x) dx
für jedes Intervall [a,b] (-∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞ )
(C.20)
a
fX
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte von X
Es gilt auch hier, dass der gesamte Flächeninhalt unter der Dichtefunktion 1 ergibt:
∞
∫ fX (x) dx = 1
(C.21)
−∞
Die Verteilungsfunktion FX (x)
gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die stetige
Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der höchstens so gross wie ein bestimmter Wert x ist:
x
FX (x) = P(X ≤ x) =
∫ fX (x) dx
(C.22)
−∞
In Bild C.4 sind die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion für eine stetige Zufallsvariable
435
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 270 ff.
216
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
dargestellt:
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
fX(x)
FX(x)
1
x
xmax
xmin
Bild C.4:
C.4
xmin
xmax
x
Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable
MOMENTE VON DISKRETEN
ZUFALLSVARIABLEN
UND STETIGEN EINDIMENSIONALEN
Die Momente (Parameter) von Zufallsvariablen charakterisieren die Gestalt ihrer
Wahrscheinlichkeitsverteilungen. In den folgenden Kapiteln sind die Formeln der ersten vier
Momente, d. h. Erwartungswert (E(X) = µ X ) , Varianz (Var(X)) bzw. Standardabweichung ( σ X ),
Schiefe γ1 und Kurtosis γ 2 , für diskrete und stetige Zufallsvariablen dargestellt. Die Formeln
sind aus BENNING436 entnommen und teilweise durch den Autor ergänzt worden.
C.4.1
ERWARTUNGSWERT
Der Erwartungswert E(X) = µ X einer Zufallsvariable ist definiert als das arithmetische Mittel aller
Realisationen xi.
Für eine diskrete Zufallsvariable X ergibt sich somit:
E(X) = µ X = x1 ⋅ fX (x1) + ... + x n ⋅ fX (x n )
=
n
∑ xi ⋅ fX (xi )
(C.23)
i =1
fX (x1)
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Für eine stetige Zufallsvariable X kann der Erwartungswert auch als Schwerpunkt der Fläche
unter ihrer Dichtefunktion gedeutet werden:
436
In Anlehnung an BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 62 ff.
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
217
+∞
∫ x ⋅ fX (x) dx
E(X) = µ X =
(C.24)
−∞
fX (x)
C.4.2
Dichtefunktion
VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG
Die Varianz Var(X) = σ X 2 charakterisiert die Streuung der Realisationen einer Zufallsvariablen X
um ihren Erwartungswert E(X) = µ X und ist wie folgt definiert:
(
Var(X) = σX 2 = E ( ( X − µ X )( X − µ X ) ) = E ( X − µ X )
σX = Var(X)
2
) = E(X ) − µ
2
X
2
(C.25)
ist die Standardabweichung und hat die gleiche Dimension wie eine
Realisierung.
Für eine diskrete Zufallsvariable X ergibt sich:
Var(X) = σX 2 = (x1 − µ X )2 ⋅ fX (x1) + ... + (x n − µ X )2 ⋅ fX (xn )
=
n
∑
i =1
(x i − µ X )2 ⋅ fX (xi ) =
n
(C.26)
∑ xi2 ⋅ fX (xi ) − µX 2
i =1
Und für eine stetige Zufallsvariable X:
+∞
Var(X) = σX =
2
∫ (x − µX )
2
+∞
⋅ fX (x) dx =
−∞
C.4.3
∫x
2
⋅ fX (x) dx − µ X 2
(C.27)
−∞
SCHIEFE UND KURTOSIS
Die Schiefe γ1 , das dritte Moment einer Zufallsvariablen, charakterisiert die Asymmetrie ihrer
Verteilung. Diese Kennzahl bezieht sich
Z = (X − µ X )/ σX und ist wie folgt definiert:
( )
γ1 = E Z
3
(
  X − µ 3  E ( X − µ X )
X
= E 
 =
  σX  
σ3X


3
auf
eine
standardisierte437
)
Zufallsvariable
(C.28)
Im Fall γ1 = 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X symmetrisch.
Im Fall γ1 > 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X rechtsschief, ihre rechte Flanke ist flacher
als ihre linke.
437
Die standardisierte Zufallsvariable besitzt die Eigenschaft, dass ihr Erwartungswert = 0 und ihre
Standardabweichung = 1 ist.
218
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Im Fall γ1 < 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X linksschief, ihre linke Flanke ist flacher als
ihre rechte.
Die Kurtosis γ 2 , auch Wölbung oder Exzess genannt, bildet das vierte Moment und ist eine
Grösse, die die Steilheit einer Verteilung angibt. Wie bei der Schiefe bezieht sich die Grösse auf
eine standardisierte Zufallsvariable Z und ist folgendermassen definiert:
( )
γ 2 = E Z4
(
  X − µ 4  E ( X − µ X )
X
= E 
 =
  σX  
σ4X


4
)
(C.29)
Meistens wird die Steilheit mit einer Normalverteilung, deren Kurtosis immer 3 beträgt,
verglichen:
( )
γ2 = E Z
4
(
E ( X − µX )
  X − µ 4 
X

− 3 = E
−
3
=

  σX  
σ4X


4
) −3
(C.30)
Im Fall γ 2 = 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X normalgipfelig.
Im Fall γ 2 > 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X steilgipfelig, sie ist spitzer als die
Normalverteilung.
Im Fall γ 2 < 0 ist die Verteilung der Zufallsvariablen X flachgipfelig, sie ist abgeflachter als die
Normalverteilung.
C.5
WEITERE WICHTIGE KENNGRÖSSEN VON ZUFALLSVARIABLEN
Der Modus x mod ist jener Wert x, für den die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(X) bei diskreten
Zufallsvariablen bzw. die Dichtefunktion f(X) bei stetigen Zufallsvariablen maximal wird. Existiert
nur ein Maximum, so spricht man von einer unimodalen, andernfalls von einer bi- oder
multimodalen Funktion.
Eine weitere Kenngrösse ist das p-Quantil xp oder p-Fraktil. Sie ist für stetige und diskrete
Zufallsvariablen definiert als:438
xp = FX −1(p) = inf {x ∈ R : FX ( x ) = P ( X ≤ x ) ≥ p}
FX −1(p)
mit 0 < p < 1
(C.31)
Inverse der Verteilungsfunktion
Für eine stetige Zufallsvariable gibt das p-Quantil xp jenen Wert an, der die Fläche unter der
Dichtefunktion f(X) in zwei Bereiche teilt, wobei die linke Teilfläche die Grösse p und die rechte
die Grösse 1–p hat. Die stetige Zufallsvariable nimmt somit mit Wahrscheinlichkeit p eine
Realisation, die kleiner oder gleich xp ist, an.
438
MCNEIL, A. J., FREY, R., EMBRECHTS, P., [Quantitative risk management, 2005], S. 39
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
TOCHASTIK
219
Verteilungsfunktion
Dichtefunktion
fX(x)
FX(x)
1
1-p
p
p
0
xmin
Bild C.5:
xp
xmax
x
x
xmin
xp
xmax
p-Quantil einer stetigen Zufallsvariablen
Das Infimum in Gleichung (C.31) ist erforderlich, um für diskrete und auch nicht streng monoton
steigende Verteilungsfunktionen die Quantile eindeutig angeben zu können.
Das p-Quantil xp hat eine wichtige Bedeutung im Risikomanagement, hier wird von einem
Value-at-Risk (VaR) gesprochen, der ein Risikomass darstellt. Ein Value-at-Risk VaR0.95 von
100’000 Franken zum Konfidenzniveau von 95% besagt, dass der Wert (p-Quantil xp) des
Risikos mit 95%iger Wahrscheinlichkeit nicht grösser als 100’000 Franken sein wird.
Der Median x med ist das 50%-Quantil x0.5.
Folgende Beziehung lässt sich zwischen einzelnen Kennwerten definieren:
• Für rechtsschiefe Verteilungen gilt: Modus < Median < Erwartungswert (Mittelwert)
• Für linksschiefe Verteilungen gilt: Modus > Median > Erwartungswert (Mittelwert)
C.6
MEHRDIMENSIONALE ZUFALLSVARIABLE
In den vorangegangen Kapiteln wurde nur von eindimensionalen Zufallsvariablen gesprochen.
In vielen Fällen ist es aber von Bedeutung, Zusammenhänge zwischen mehreren
Zufallsvariablen zu beschreiben. Beispielsweise können verschiedene geologische Risiken
Abhängigkeiten zueinander aufweisen, deren Aggregation nicht ohneweiters durchzuführen ist.
Durch eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung können die Zusammenhänge zwischen
mehreren Zufallsvariablen (in unserem Beispiel die geologischen Risiken) dargestellt werden.439
Zu diesem Zweck wird eine mehrdimensionale Zufallsvariable eingeführt, auch Zufalls'
'
vektor440 X = ( X1,..., Xn ) genannt, deren Komponenten ( X1,..., Xn ) eindimensionale Zufallsvariablen sind.
Auch hier wird wieder zwischen diskreten und stetigen mehrdimensionalen Zufallsvariablen
unterschieden; die Ausführungen für eindimensionale Zufallsvariablen gelten hier sinngemäss,
und die zugehörigen Gleichungen müssen nur durch die Anzahl der eindimensionalen
439
440
BENNING, W., [Statistik, 2002], S. 66 ff.
Vektoren und Matrizen werden in der Arbeit fett dargestellt
220
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Zufallsvariablen ergänzt werden. Beispielsweise ergibt sich durch Zusatz der Gleichung die
Wahrscheinlichkeit für eine zweidimensionale stetige Zufallsvariable Z = (X, Y)' folgendermassen:
bd
P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
∫∫ fX,Y (x,y) dxdy
(C.32)
ac
Eine mögliche Form der gemeinsamen Dichtefunktion f(x,y) , deren Volumen unter ihrer Fläche
immer 1 beträgt, ist in Bild C.12 dargestellt:
Bild C.6:
Form einer zweidimensionalen Dichtefunktion f(x,y) 441
Die zugehörige gemeinsame Verteilungsfunktion der zweidimensionalen Zufallsvariablen ergibt
sich ebenfalls durch Ergänzung der Gleichung (C.22):
xi yi
FX,Y (x,y) = P(X ≤ x i, Y ≤ yi ) =
∫ ∫ fX,Y (x,y) dxdy
(C.33)
−∞ −∞
C.6.1
RANDVERTEILUNGEN
Im Zusammenhang mit mehrdimensionalen Zufallsvariablen nehmen die Randverteilungen bzw.
Marginalverteilungen eine wichtige Stellung ein. Da die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen oft nicht direkt angegeben werden kann, wird versucht,
diese über ihre Randverteilungen zu bestimmen. Jede elliptische442 (z. B. mehrdimensionale
441
442
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 343
Eine elliptische Verteilung zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Höhenschichtlinien (Realisationen besitzen gleiche Funktionswerte) Ellipsoide bilden. Bei zweidimensionalen Verteilungen sind es Ellipsen.
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
221
Normalverteilung, mehrdimensionale t-Verteilung)443 Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch
ihre Randverteilungen – die ebenfalls elliptisch verteilt und vom gleichen Typ sind – und ihre
Kovarianzmatrix eindeutig bestimmt werden.444
Die Randverteilung ist die Verteilung einer Zufallsvariablen (z. B. X1), bei der die anderen
Zufallsvariablen (X2,…,Xn) unberücksichtigt bleiben. Betrachtet man das obige Beispiel
(zweidimensionale Zufallsvariable Z = (X, Y)' ), so ergibt sich die Randdichtefunktion der
Randverteilung der Zufallsvariablen X als Integration über alle Realisationen der
Zufallsvariablen Y der gemeinsamen Dichtefunktion. Graphisch betrachtet wird die
zweidimensionale Dichtefunktion f(x,y) in zahlreiche Ebenen parallel zur z-y-Ebene
geschnitten, und die Fläche unter den einzelnen Kurven ermittelt.
Für stetige zweidimensionale Zufallsvariablen ergeben sich die Randdichtefunktionen
( fX (x) , fY (y) ) und die Randverteilungsfunktionen ( FX (x) , FY (y) ) der Randverteilungen der
Zufallsvariablen X und Y somit wie folgt:445
+∞
fX (x) =
fY (y) =
∫ fX,Y (x,y) dy
FX (x) = P(X ≤ xi ) =
xi
∫ fX (x) dx
−∞
−∞
+∞
yi
∫ fX,Y (x,y) dx
FY (y) = P(Y ≤ yi ) =
−∞
(C.34)
∫ fY (y) dy
(C.35)
−∞
Für diskrete zweidimensionale Zufallsvariablen wird das Integral einfach durch die Summe
ersetzt. Im diskreten Fall spricht man von einer Randwahrscheinlichkeitsfunktion und von einer
Randverteilungsfunktion. Bei mehr als zweidimensionalen stetigen oder diskreten
Zufallsvariablen wird analog vorgegangen.
C.6.2
UNABHÄNGIGKEIT MEHRDIMENSIONALER ZUFALLSVARIABLEN
Die Komponenten einer mehrdimensionalen stetigen Zufallsvariable X = ( X1,..., Xn ) heissen
'
unabhängig, wenn für alle x1,...,x n gilt:446
f(x1,...,x n ) = fX1(x1) ⋅ ... ⋅ fXn (xn ) bzw.
F(x1,...,x n ) = FX1(x1) ⋅ ... ⋅ FXn (xn )
(C.36)
FXi (x i ) ist die Randverteilungsfunktion und fXi (x i ) ist die Randdichtefunktion der Randverteilung
der Zufallsvariablen Xi ( i = 1, 2, 3,... n ). Die Randverteilungen werden multipliziert und das
Ergebnis mit der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung verglichen: Ergibt sich eine
443
444
445
446
In STÜTZLE, E. A., [Prognosekonzept, 2003], S. 91 ff. finden sich zahlreiche weitere Typen bzw. Klassen
von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, auch deren Eigenschaften werden beschrieben.
EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D., [Correlation and dependence, 1999], S. 21 ff.
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 342 ff.
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003], S. 347
222
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Übereinstimmung, so liegt eine Unabhängigkeit vor. Für den diskreten Fall gelten die
Ausführungen sinngemäss.
C.6.3
ERWARTUNGSWERT, VARIANZ, SCHIEFE UND KURTOSIS MEHRDIMENSIONALER ZUFALLSVARIABLEN
Eine mehrdimensionale Zufallsvariable X = ( X1,..., Xn ) besitzt für jede Komponente einen
'
Erwartungswert, der gleich dem Erwartungswert der zugehörigen Randverteilung ist:
E( X ) = µ X = E(X1,...,Xn )' = (E(X1),...,E(Xn ))' = (µ1,...,µn )'
(C.37)
Dieser wird für den diskreten Fall nach Gleichung (C.23) und für den stetigen Fall nach
Gleichung (C.24), also wie für den eindimensionalen Fall, gebildet. Analog dazu können aus
den Randverteilungen weitere Kennwerte447 wie Varianz, Schiefe und Kurtosis gewonnen
werden.
C.7
VERTEILUNGSTYPEN VON ZUFALLSVARIABLEN
In den nachfolgenden Kapiteln werden Formeln für verschiedene Verteilungstypen, die teilweise
aus SCHNEIDER448, FAHRMEIER ET AL.449 und BENNING450 übernommen wurden, dargestellt. Weiter
werden die Berechnungsalgorithmen für die Generierung der den Verteilungstypen zugehörigen
Zufallzahlen angegeben.
C.7.1
fX (x)
RECHTECKSVERTEILUNG R(A;B)
FX (x)
x
Bild C.7:
447
448
449
450
Dichte- und Verteilungsfunktion der Rechtecksverteilung
Siehe Anhang C.4 und Anhang C.5
SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit und Zuverlässigkeit, 1996]
FAHRMEIR, L., KÜNSTLER, R., PIGEOT, I., et al., [Statistik, 2003]
BENNING, W., [Statistik, 2002]
x
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
223
• Dichtefunktion:
 0
 1
fX ( x ) = 
b − a
 0
x<a
a≤x ≤b
(C.38)
b< x
• Verteilungsfunktion:
 0
 x − a
FX ( x ) = 
b − a
 1
x<a
a≤x ≤b
(C.39)
b<x
• Mittelwert:
µX =
a +b
2
−∞ < a < b < +∞
(C.40)
−∞ < a < b < +∞
(C.41)
• Standardabweichung:
σX =
b−a
12
Für die Ermittlung von gleichverteilten Zufallszahlen wird der in MS-Excel implementierte
Zufallsgenerator verwendet.
C.7.2
fX (x)
DREIECKSVERTEILUNG D(A;C;B)
FX (x)
x
Bild C.8:
Dichtefunktion der Dreiecksverteilung
x
224
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
• Dichtefunktion:
0


 2 ⋅( x − a)
 (b − a ) ⋅ ( c − a )
fX ( x ) = 
 2 ⋅ (b − x )
 (b − a ) ⋅ (b − c )

0

x<a
a≤x≤c
(C.42)
m< x ≤b
x >b
• Verteilungsfunktion:
0


2
(x − a)

 (b − a ) ⋅ ( c − a )

FX ( x ) = 
2
x − b)
(

1− (b − a ) ⋅ (b − c )


1
x<a
a≤x≤c
(C.43)
c<x ≤b
x >b
• Mittelwert:
µX =
1
⋅ ( a + c + b)
3
−∞ < a ≤ c ≤ b < +∞
(C.44)
• Standardabweichung:
σX =
1
⋅ ( a 2 + b2 + c 2 − ( a ⋅ b ) − ( a ⋅ c ) − ( b ⋅ c ) )
18
−∞ < a ≤ c ≤ b < +∞
(C.45)
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
C.7.3
225
NORMALVERTEILUNG N( µ;σ )
fX (x)
FX (x)
x
x
Bild C.9:
Dichte- und Verteilungsfunktion einer Normalverteilung: je grösser die Standardabweichung, desto breitgipfeliger die Verteilung.
• Dichtefunktion:
1  x −µ X 

σX 
2
− ⋅
1
2
fX ( x ) =
⋅e 
σX ⋅ 2 ⋅ π
−∞ ≤ x ≤ ∞ und σX > 0
(C.46)
−∞ ≤ x ≤ ∞ und σX > 0
(C.47)
• Verteilungsfunktion:
FX ( x ) =
C.7.4
1  x −µX 
x − 2 ⋅ σ 
 X 
2
1
⋅ e
σ X ⋅ 2 ⋅ π ∫−∞
dx
LOG-NORMALVERTEILUNG LN( λ;ζ;x 0 ); LN( µ;σ;x 0 )
Nachfolgend werden für die dreiparametrige Log-Normalverteilung ( λ, ζ, x 0 ) die zugehörigen
Formeln angegeben. Wenn der dritte Parameter x 0 gleich 0 gesetzt wird, ergeben sich die
Formeln für den zweiparametrigen Typ.
fX (x)
FX (x)
ξ = 10
ξ = 3/2
ξ=1
ξ = 1/ 2
ξ = 1/ 3
ξ = 1/ 8
ξ = 10
ξ = 3/2
ξ=1
ξ = 1/ 2
ξ = 1/ 3
ξ = 1/ 8
x
x
Bild C.10: Dichte- und Verteilungsfunktion der Log-Normalverteilung mit unterschiedlichen ζ
und λ =0. Bei grösser werdenden λ und konstantem ζ verschiebt sich die
226
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
Verteilung nach rechts, und die rechte Flanke wird immer flacher.
• Dichtefunktion:
1  ln( x − x 0 )−λ 

ζ

2
− ⋅
1
fX ( x ) =
⋅e 2 
ζ ⋅ (x − x 0 ) ⋅ 2 ⋅ π
x0 < x < ∞
(C.48)
• Verteilungsfunktion:
1  ln( x − x 0 )−λ 

ζ

x
− ⋅
1
FX ( x ) = ∫
⋅e 2 
0 ζ ⋅ (x − x 0 ) ⋅ 2 ⋅ π
2
dx
(C.49)
• Erwartungswert:
µX = x0 + e
λ+
ζ2
2
(C.50)
• Standardabweichung:
σX = e
C.7.5
λ+
ζ2
2
⋅ eζ − 1
2
(C.51)
BINOMIALVERTEILUNG B(N;P)
fX (x)
FX (x)
x
x
Bild C.11: Dichte- und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung mit unterschiedlichen p und
n.
• Dichtefunktion:
n
fX ( x ) = P(X = x) =   ⋅ px ⋅ (1− p)n− x , x = 0,1,2...,n
x
• Verteilungsfunktion:
(C.52)
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
FX (x) = P(X ≤ x) =
x
∑ fX (x)
227
x = 0,1,2,...,n
(C.53)
i=0
• Erwartungswert:
µx = n ⋅ p
(C.54)
• Standardabweichung:
σ x = n ⋅ p ⋅ (1− p)
C.7.6
(C.55)
POISSONVERTEILUNG P( λ )
fX (x)
FX (x)
x
Bild C.12: Wahrscheinlichkeitsverschiedene λ
und
Verteilungsfunktion
x
der
Poissonverteilung
für
• Wahrscheinlichkeitsfunktion:
n x
(n ⋅ p)x − n⋅p
n− x
fX ( x ) = P(X = x) = lim   ⋅ p ⋅ (1− p) =
⋅e ,
p→ 0
x
x!
n⋅p =const.  
x = 0,1,2...,n
(C.56)
• Verteilungsfunktion:
FX (x) = P(X ≤ x) =
x
∑ fX (x)
x = 0,1,2,...,n
(C.57)
i=0
• Mittelwert:
µx = λ = n ⋅ p
(C.58)
• Standardabweichung:
σx = n ⋅ p
(C.59)
228
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
TOCHASTIK
C.8
ZENTRALER GRENZWERTSATZ
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe bzw. das Produkt von unabhängigen
Ereignissen bestimmte Verteilungsformen anstrebt451. Dieser Satz ist sehr hilfreich, um von
unabhängigen Ereignissen auf die Verteilungsform der gesamten Risikosituation zu schliessen.
•
Die Summe von n unabhängigen Ereignissen strebt, egal welcher Verteilungstyp den
einzelnen Ereignissen zugrunde liegt, eine Normalverteilung an.
•
Das Produkt von n unabhängigen Ereignissen strebt, egal welcher Verteilungstyp den
einzelnen Ereignissen zugrunde liegt, eine Log-Normalverteilung an.
Die Genauigkeit dieser Annäherungen steigt mit der Grösse von n, wobei bei der geringen
Grösse von n = 30 bei unsymmetrischen und von n = 15 bei symmetrischen Verteilungen eine
weitgehende Übereinstimmung festgestellt werden kann. Daher können die Berechnungen
komplizierter Verteilungen bei einer ausreichenden Grösse von n mittels einer Normalverteilung
bzw. Lognormalverteilung angenähert werden.
Der zentrale Grenzwertsatz stellt die Grundlage für die Tatsache dar, dass in der Natur vieles
als Normal- bzw. Log-Normalverteilung in Erscheinung tritt.
C.9
VARIANZ DER SUMME VON N ABHÄNGIGEN PROJEKTRISIKEN
Die gegenseitigen Abhängigkeiten der Risiken beziehen sich sowohl auf die Eintrittswahrscheinlichkeiten als auch auf die Auswirkungen:
Var(RG ) =
=
n
∑
i=1
Var(REi ) + 2 ⋅
n
n
∑ ∑ Cov(RE ,RE ) =
n
n
i
n
i
n
i
n
∑∑
(C.60)
n
i
2
i
i =1
Cov(wE i ⋅ AEi ,wE j ⋅ A Ej ) =
i =1 j = i + 1
i
i=1 j=i+1
∑ Var(wE ⋅ AE ) = ∑  (E(wE ))
n
j
∑ Var(wE ⋅ AE ) + 2 ⋅ ∑ ∑ Cov(wE ⋅ AE ,wE
i=1
i =1
i
i=1 j=i+1
(
j
⋅ A Ej )
)
2
⋅ Var(A Ei ) + E(A E i ) ⋅ Var(wEi ) + Var(wEi ) ⋅ Var(AEi ) 

∑ ∑ (E(wE ⋅ AE ⋅ wE ⋅ AE ) − E(wE ⋅ AE ) ⋅ E(wE
n
n
i =1 j = i + 1
i
E(wE i ⋅ A Ei ⋅ wE j ⋅ A Ej ) = E(wE i ⋅ wE j ) ⋅ E(A E i ⋅ A E j )
(
i
i
j
j
i
i
)(
j
(C.61)
)
⋅ A Ej )
)
= E(wE i ) ⋅ E(wE j ) + Cov(wE i ,wE j ) ⋅ E(AE i ) ⋅ E(A E j ) + Cov(A E i ,A E j )
E(wE i ⋅ AEi ) = E(wE i ) ⋅ E(A Ei )
451
SCHNEIDER, J., SCHLATTER, H. P., [Sicherheit und Zuverlässigkeit, 1996], S. 54
(C.62)
(C.63)
(C.64)
TEIL E: ANHANG - C. STATISTIK UND STOCHASTIK
E(wE j ⋅ AEj ) = E(wE j ) ⋅ E(A Ej )
C.10
229
(C.65)
NICHT-SUBADDITIVITÄT DES VAR
Betrachten wir zwei Risiken R1 und R2, die unabhängig voneinander, diskret verteilt und
folgendermassen verteilt sind:
P(Ri = 1) =
95
5
, P(Ri = 99) =
, i = 1,2
100
100
Beispielsweise könnte das jeweilige Risiko das Gesamtrisiko eines Projektes darstellen und
durch Kosten bewertet sein. Der VaR zum Konfidenzniveau p=95% beträgt für beide Risiken:
VaR0.95 (R1) = VaR0.95 (R2 ) = 1
Die Berechnung des gesamten Risikos RG=R1+R2 kann durch einen Baum, der alle möglichen
Kombinationen aufzeigt, unterstützt werden:
R1
R2
1
1
95
100
95
100
99
5
100
1
99
95
100
5
100
99
5
100
P(RG = 2) =
P
RG
1
9025
10000
2
2
475
10000
100
3
475
10000
100
4
25
10000
198
9025
950
25
, P(RG = 100) =
, P(RG = 198) =
10000
10000
10000
Der VaR zum Konfidenzniveau p=95% des Gesamtrisikos beträgt
VaR0.95 (RG ) = 100
und verletzt somit die Subadditivität, denn es gilt
VaR0.95 (RG ) = 100 > 2 = VaR0.95 (R1) + VaR0.95 (R2 )
Wenn wir davon ausgehen, dass die Portfoliotheorie richtig ist, beweist das, dass der VaR nicht
immer ein optimales Risikomass darstellt.
Bild D.1:
Ereignis
Funktionsträger
UN
Ver: Vermessungsingenieur
PRM-Nr.:
quant., prob
Geo: Geologe
PRM-Plan:
Konfniv.-p
öBL: örtliche Bauleitung
PI: Projektingenieur
M: Mitarbeit/Beratung
I: wird informiert
Projektereignisliste
Abschnitt
PA 5
PA 4
PA 3
PA Zeit:
PA Kosten:
Risikofeld
Nr.
Gefahr
Chance
Chance
Gefahr
Chance
Gefahr
Chance
Gefahr
Chance
Gefahr
R
Gefahr
VaR/CVaR
Chance
Ursache-Wirkungs-Kette
quant., det.
PI
BH OBL öBL Geo
Ver
R-Niv.
Konf- VaR
R-Niv.
niv.-p /CVar
Datum
revidiert von
PROJEKTEREIGNISLISTE
C
R
quant., prob.
D.1.1
G
R-Niv.
quant., det.
MODUL 1: RISIKOMANAGEMENTPROZESS
C
G
C
G
C
G
C
G
R
qualitativ
Risikobewertung nach Risikobehandlung
Gefahr /
Chance
D.1
PA 5
PA 4
PA 3
Zeit
Kosten
Projektanforderung
R: Risikowert
R-Niv.: Risikoniveau
PA: Projektanforderung X
quant., prob.: Quantitativ, probabilistische Bewertung des Risikos
Betrachtungszeitraum:
R
G: Gefahr
Betrachtungszeitpunkt:
qualitativ
quant., det.: Quantitativ, deterministische Bewertung des Risikos
Betrachtungsgegenstand:
Gesamtprojektrisiko nach Risikobehandlung:
C: Chance
Betrachtungsstandpunkt:
Datum:
A: Ausführung
C: Controlling
E: Entscheidung
Abkürzungen Spalten Risikobewertung:
OBL: Oberbauleitung
Projektleiter:
D
PRM-Leiter:
BH: Bauherr
Projekt-Nr.:
Abkürzungen Spalten Funktionsträger (betreffen Massnahmen):
Projekt:
Projektereignisliste
230
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
IT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKO-
MANAGEMENTMODELL
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
D.1.2
231
PROJEKTEREIGNISBLATT
Projektereignisblatt
Projekt:
Projekt-Nr.:
Projektleiter:
PRM-Plan:
PRM-Nr.:
PRM-Leiter:
Datum:
Abschnitt
Risikofeld
Nr.
Ereignis
Ursache-Wirkungs-Kette
Gefahr
Chance
Gefahr
Risikofeld
Bild D.2:
Ursache
Risikofeld
Auswirkung
Risikofeld
Nr.
Ausschnitt aus dem Projektereignisblatt (Ursache-Wirkungs-Kette)
Abhängigkeit
232
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
Risikobewertung
revidiert von:
Datum:
Kosten:
vor Massnahme
W/H
nach Massnahme
A
R
R-Niv.
Qual.
W/H
A
R
R-Niv.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
Qual.
Det.
Det.
Prob.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Prob.
Zeit:
vor Massnahme
W/H
nach Massnahme
Qual.
W/H
Qual.
Det.
Det.
Prob.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Prob.
PA 3:
vor Massnahme
W/H
nach Massnahme
Qual.
W/H
Qual.
Det.
Det.
Prob.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
A
R
R-Niv.
Prob.
PA 4:
vor Massnahme
W/H
nach Massnahme
Qual.
Det.
Prob.
Bild D.3:
W/H
Qual.
Det.
Konf. P
VaR/CVaR
R-Niv.
Prob.
Ausschnitt aus dem Projektereignisblatt (Risikobewertung)
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
233
Risikomassnahme / Vorarbeiten
Funktionsträger (Massnahme)
Nr.
Risikomassnahme
vor Ereigniseintritt
Frühwarnindikatoren
BH OBL öBL
PI
Geo
Ver
Kosten
Termin
Termin
Zeit
UN
Funktionsträger (Vorarbeiten)
Vorarbeiten
für Risikomassanhem
Frühwarnindikatoren
BH OBL öBL
PI
Geo
Ver
UN
Funktionsträger (Massnahme)
Risikomassnahme
nach Ereigniseintritt
Bild D.4:
BH OBL öBL
PI
Geo
Ver
UN
Ausschnitt aus dem Projektereignisblatt (Risikomassnahme)
Zeit
234
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
Risikocontrolling
Risikomassnahme
Risikobewertung
Stand Durchführung
(abgeschlossen, in Bearbeitung,
noch nicht begonnen)
PA
Risiko
Datum
Situation
ausgeführt von
(steigt, gleichbleibend, sinkt)
Kosten
Zeit
PA 3
PA 4
PA 5
Kosten
Zeit
PA 3
PA 4
PA 5
Vorarbeiten
Datum
Stand Vorarbeiten
(abgeschlossen, in Bearbeitung,
noch nicht begonnen)
Bild D.5:
Situation
ausgeführt von
Ausschnitt aus dem Projektereignisblatt (Risikocontrolling)
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
D.1.3
Bild D.6:
EINGABEFORMULAR PRM-VORBEREITUNG
Eingabeformular PRM-Vorbereitung
235
236
D.1.4
Bild D.7:
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
EINGABEFORMULAR RISIKOIDENTIFIKATION
Eingabeformular Risikoidentifikation
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
D.1.5
Bild D.8:
EINGABEFORMULAR RISIKOBEWERTUNG
Eingabeformular bzw. Berechnungsformular Risikobewertung
237
238
D.1.6
Bild D.9:
D.1.7
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
EINGABEFORMULAR RISIKOBEHANDLUNG
Eingabeformular Risikobehandlung (Ausschnitt Gefahren)
EINGABEFORMULAR RISIKOCONTROLLING
Bild D.10: Eingabeformular Risikocontrolling (Ausschnitt Gefahren)
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
D.2
MODUL 3: BAUPROZESS
D.2.1
SCHEMA DER VORKALKULATION
Lohn
Werkkosten
%
L
Grundlohn
Lohnnebenkosten auf Grundlohn
Zuschläge und Prämien
Lohnnebenkosten auf Zuschläge und Prämien
Zulagen und Spesen
-
%
100.00
239
Material
Fr.
%
%
Inventar
%
%
Fremdleistung
%
%
Baustellengemeinkosten BKG Löhne
- Hand-Werkzeuge und persönliche Ausrüstung
- Personaltransporte
- Unterkunft und Kantine
- Personalbeschaffung und -betreuung
- Betriebshaftpflichtversicherung
M
I
Basiskosten
Baustellengemeinkosten BGK Material
- Kosten für Werkhof-Magazin
100.00
- Verluste und Mengenrisiken
- Mehrkosten wegen Kleinmengentransportern
Basiskosten
Baustellengemeinkosten BGK Inventar
- Kosten aus dem Inventarbereich
100.00
F
Basiskosten
100.00
Baustellengemeinkosten BGK Fremdleistungen
- Kosten aus dem Fremdleistungsbereich
WK1 Werkkosten 1
Aufsicht und Führung
Variante A auf Grundlohn:
Variante B auf Werkkosten 1:
WK2 Werkkosten 2
Endzuschläge
SK
Aufsicht
Führung
Aufsicht u. Führung
Zurechnungsbasis = Werkkosten 2
- Verwaltungskosten auf Werkkosten 2
- Geldkosten auf Werkkosten 2
Selbstkosten
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
100.00
Risiko und Gewinn bzw. Verlust in % auf SK
L:
M:
I:
F:
Zwischentotal
- Abzüglich Zurechnungsbasis
EZ Endzuschläge auf Werkkosten 2
Summe Werkkosten + Endzuschläge o. MWST
Kalkulationsfaktor bzw. Totallohn
o. MWST
L/TL
Bild D.11: Schema der Vorkalkulation nach dem SBV
M
I
F
240
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
Bild D.12: Eingabeformular für Arbeitsgruppe Vortriebsmannschaft
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
D.2.2
ZUORDNUNG DER INVENTARKOSTEN
Inventar
Betriebsinterne Ansätze für Maschinen
und Geräte, Betriebsmaterial und Maschinenwerkzeuge
Baustelleneinrichtung
Leistungspositionen
Maschinen und Geräte
(Inventar 1)
Stationäre Maschinen und
Geräte
AVS
Variante 1
RR, ES
AVS, RR
Variante 2
ES
Mobile Maschinen
und Geräte
AVS, R (Revision)
Variante 3
AVS, RR, ES
Variante 4
R (Reparatur), ES
Betriebsmaterial
(Inventar 2)
AVS, RR, Energie
Baracken, Werkstätten
AVS, RR
Ver- und Entsorgung der
Baustelle
AVS, RR, Energie
Abschrankungen und
Einwandungen
Gerüste, Schalungs- und
Spriesselemente
Holz
AVS, RR
AVS, RR (Unterhalt),
Abgang
Maschinenwerkzeuge
(Inventar 3)
Maschinenwerkzeuge
Legende
AVS: Abschreibung, Verzinsung,
Versicherung, Stationierung
RR: Reparatur, Revision
ES: Energie und Schmiermittel
Bild D.13: Zurechnung der Inventarkosten nach SBV
Abgang, Richten,
Schärfen
241
242
TEIL E: ANHANG - D. ITIT-GESTÜTZTES, PROJEKTBEZOGENES RISIKOMANAGEMENTMODELL
ISIKOMANAGEMENTMODELL
Bild D.14: Berechnung der fixen und variablen Kosten je Monat und je Stunde des Inventars
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
243
E
BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
E.1
GEOTECHNISCHE CHARAKTERISIERUNG DES HOMOGENABSCHNITTES (HA 1)
E.1.1
BIOTITGNEISE, GLIMMERGNEISE
Kennwerte des intakten Gesteins
Raumgewicht ( γ )
28 kN/m3
Einaxiale Druckfestigkeit (UCS) parallel
Dreieck (30,50,70) MPa
E-Modul
Dreieck (20,40,60) GPa
ν
0.3
Kennwerte des GSI Systems
mi
28
D
0.15
Tabelle E.1: Kennwerte Biotitgneise
E.1.2
HELLER 2-GLIMMERGNEISE
Kennwerte des intakten Gesteins
Raumgewicht ( γ )
28 kN/m3
Einaxiale Druckfestigkeit (UCS) parallel
Dreieck (25,55,80) MPa
E-Modul
Dreieck (40,60,90) GPa
ν
0.3
Kennwerte des GSI-Systems
mi
28
D
0.15
Tabelle E.2: Kennwerte Heller 2-Glimmer
E.1.3
GLIMMERSCHIEFER, SCHIEFERGNEISE
Kennwerte des intakten Gesteins
Raumgewicht ( γ )
28 kN/m3
Einaxiale Druckfestigkeit (UCS) parallel
Dreieck (1,15,20) MPa
E-Modul
Dreieck (10,20,40) GPa
ν
0.3
244
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
Kennwerte des GSI-Systems
mi
12
D
0.15
Tabelle E.3: Kennwerte Biotitgneise
E.1.4
HORNBLENDEGNEISE
Kennwerte des intakten Gesteins
Raumgewicht ( γ )
29 kN/m3
Einaxiale Druckfestigkeit (UCS) parallel
Dreieck (30,60,90) MPa
E-Modul
Dreieck (40,60,100) GPa
ν
0.3
Kennwerte des GSI-Systems
mi
26
D
0.15
Tabelle E.4: Kennwerte Hornblendegneise
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
E.2
245
TOTALLOHN BZW. KALKULATIONSFAKTOREN
Näherungsweise werden die Lohnkosten von Aufsicht und Führung nur auf das Kostenelement
Lohn und nicht auf alle Kostenelemente umgelegt. Die Zuschlagsätze (gelb) wurden gemäss
dem SBV gewählt.
AUFSICHT / FÜHRUNG BAUSTELLENCHEF
1
Anzahl
der
Schichten
1
110.00 SFr.
durchschn.
Anzahl
je Schicht
0.50
AUFSICHT / FÜHRUNG BAUFÜHRER
AUFSICHT / FÜHRUNG ELEKTRIKER
AUFSICHT / FÜHRUNG LEITER WERKSTATT
1
1
1
1
2
1
92.00 SFr.
55.00 SFr.
80.00 SFr.
0.50
1.00
0.50
46.00 SFr.
55.00 SFr.
40.00 SFr.
AUFSICHT / FÜHRUNG
AUFSICHT / FÜHRUNG
AUFSICHT / FÜHRUNG
MANNSCHAFT
MANNSCHAFT
2
1
5
6
1
2
2
1
2
2
55.00 SFr.
80.00 SFr.
65.00 SFr.
34.00 SFr.
38.00 SFr.
2.00
1.00
2.50
6.00
1.00
110.00 SFr.
80.00 SFr.
162.50 SFr.
204.00 SFr.
38.00 SFr.
PersonalZuordnung
Bezeichnung/
Berufsgruppe
Anzahl
je Schicht
MECHANIKER
POLIERE
BAUBÜRO
MINEUR
VORARBEITER
Lohn pro h
je Schicht
durchschn.
Gesamtlohn
je Schicht
55.00 SFr.
Tabelle E.5: Personalkosten
Lohn
Werkkosten
%
L
Grundlohn
Lohnnebenkosten auf Grundlohn
Zuschläge und Prämien
Lohnnebenkosten auf Zuschläge und Prämien
Zulagen und Spesen
Baustellengemeinkosten BKG Löhne
- Hand-Werkzeuge und persönliche Ausrüstung
- Personaltransporte
- Unterkunft und Kantine
- Personalbeschaffung und -betreuung
- Betriebshaftpflichtversicherung
-
62.13
52.14
Basiskosten
Baustellengemeinkosten BGK Material
- Kosten für Werkhof-Magazin
- Verluste und Mengenrisiken
- Mehrkosten wegen Kleinmengentransportern
I
Basiskosten
Baustellengemeinkosten BGK Inventar
- Kosten aus dem Inventarbereich
F
Basiskosten
Baustellengemeinkosten BGK Fremdleistungen
- Kosten aus dem Fremdleistungsbereich
WK1 Werkkosten 1
Aufsicht und Führung
Variante A auf Grundlohn:
Aufsicht
Führung
Material
%
100.00
62.13
10.99
5.73
12.72
Fr.
34.57
21.48
3.80
1.98
4.40
10.00
1.88
0.00
2.00
2.00
3.46
0.65
0.00
0.69
0.69
%
M
Variante B auf Werkkosten 1:
WK2 Werkkosten 2
Endzuschläge
SK
Aufsicht u. Führung
Zurechnungsbasis = Werkkosten 2
- Verwaltungskosten auf Werkkosten 2
- Geldkosten auf Werkkosten 2
Selbstkosten
Risiko und Gewinn bzw. Verlust in % auf SK
L:
M:
I:
F:
5.00
5.00
5.00
Zwischentotal
- Abzüglich Zurechnungsbasis
EZ
Endzuschläge auf Werkkosten 2
Summe Werkkosten + Endzuschläge o. MWST
Kalkulationsfaktor bzw. Totallohn
o. MWST
Bild E.1:
Werkkosten
Inventar
%
%
Fremdleistung
%
%
%
100.00
0.00
0.00
0.00
100.00
0.00
0.00
100.00
109.26
207.45
71.72
226.65
434.10
78.36
150.08
100.00
0.00
0.00
100.00
100.00
0.00
0.00
100.00
100.00
0.00
100.00
8.15
2.00
110.15
100.00
8.15
2.00
110.15
100.00
8.15
2.00
110.15
100.00
4.05
2.00
106.05
5.51
5.51
5.51
0.00
115.66
100.00
115.66
100.00
115.66
100.00
106.05
100.00
15.66
L/TL
67.97
502.07
5.02
23.50
173.57
173.57
15.66
M
15.66
115.66
1.157
15.66
I
15.66
115.66
1.157
6.05
F
0.00
100.00
6.05
106.05
1.061
246
E.3
Bild E.2:
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
INVENTARKOSTEN
Inventarkosten
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
E.4
247
WAHRSCHEINLICHKEITSTABELLEN DER NETZKNOTEN
Anzumerken ist, dass Wahrscheinlichkeiten von Kind-Knoten, welche aufgrund der Zustandskombination von Eltern-Knoten nicht definiert werden müssen, für die jeweilige Kombination die
Werte 1 erhalten (siehe z. B. Knoten „Struktur bedingtes Verhalten“).
248
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
249
250
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
251
252
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
253
254
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
255
256
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
257
258
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
259
260
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
261
262
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
263
264
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
265
266
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
267
268
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
269
270
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
271
272
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
273
274
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
E.5
PROFILTYPBERECHNUNG
275
276
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
277
278
TEIL E: ANHANG - E. BEISPIEL – TUNNEL SAN FEDELE
279
LEBENSLAUF
EBENSLAUF
Lebenslauf
Person
Name:
Markus Steiger
Dipl.-Ing. Wirtschaftsingenieurwesen-Bauwesen
Geboren:
06.06.1971 in Schwarzach
Nationalität:
Österreich
Familienstand:
Ledig
Werdegang
04/2002 – jetzt
Institut für Bauplanung und Baubetrieb, ETH Zürich
Assistent, wissenschaftlicher Mitarbeiter, Doktorand
10/1990 – 09/2001
Technische Universität, Graz
Diplomstudium Wirtschaftsingenieurwesen-Bauwesen
Abschluss: Dipl.-Ing. Wirtschaftsingenieurwesen-Bauwesen mit
Notendurchschnitt 1,7
10/1997 – 06/2001
Technische Universität, Graz
Systeminstallation und -administration von Servern und Clients für
Linux und Windows
10/1994 – 09/1997
Cafe Cafeteria, Graz
Leiter
07/1990 – 03/2002
Tätigkeiten in Baufirmen, Vermessungsbüro, Ingenieurbüro,
Sportshop
Wehrdienst
03/1998 – 10/1998
Jägerregiment 5, Strass, Steiermark
Melder, Spürer, Schreiber
Weiterbildung
09/2003 – 06/2005
Berufsbegleitender Nachdiplomkurs der ETH Zürich in „Risiko und
Sicherheit von technischen Systemen“
04/2005
Prüfung zum Sicherheitsingenieur gemäss EiV
08/2004
Prüfung zum Sprengmeister (Sprengausweis Typ C)
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