Prädikatenlogik - Centrum für Informations

Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Logik und modelltheoretische Semantik
Prädikatenlogik (PL)
Robert Zangenfeind
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung, LMU München
9.5.2017
Zangenfeind: Prädikatenlogik
1 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Einführendes
baut auf Aussagenlogik auf
wesentlich detaillierter als AL
innere Struktur von Sätzen erkennbar
enthält Ausdrücke, die Namen und Prädikaten der natürlichen
Sprache entsprechen
ebenfalls nur Aussagesätze
Zangenfeind: Prädikatenlogik
3 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Syntax der PL (1)
Namen: ’Paris’, ’Bodensee’, ’Quentin Tarantino’, . . . :
entsprechen in PL Individuenkonstanten (a, b, c, etc.)
Prädikate: ’. . . läuft’, ’. . . ist groß’, ’. . . ist ein Bruder von . . . ’,
’. . . befindet sich zwischen . . . und . . . ’: entsprechen in PL
Prädikatbuchstaben (F1 , G1 , H2 , F3 , etc.)
Satzoperatoren (wie in AL): ¬, ∧, ∨, →, ↔
quantifizierende Ausdrücke:
Alloperator (’alle . . . ’) ∀
Existenzoperator (’es gibt mindestens ein . . . ’) ∃
Hilfszeichen: ( )
Namen und Prädikate: deskriptive Ausdrücke
Satzoperatoren und quantifizierende Ausdrücke: logische
Ausdrücke
Zangenfeind: Prädikatenlogik
4 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Syntax der PL (2)
(i) Atomare Sätze:
Prädikatbuchstabe + Individuenkonstante(n) z.B.: F1 a, G1 b,
H2 ab, F3 aeh
(ii) Komplexe Sätze:
atomare Sätze + Satzoperator(en) z.B.: ¬F1 a, (G1 b ∧ H2 ab)
(iii) Quantifizierende Sätze:
dazu ist Satzfunktion nötig: Ausdruck, bei dem statt
Individuenkonstanten (a, b, c, ...) mindestens eine
Individuenvariable (x, y, z, ...) steht, z.B. F1 x, F2 xb
aus einer Satzfunktion wird ein Satz, wenn (i) Variable
wiederum durch Konstante ersetzt wird oder (ii) ein Quantor
mit Variable vor die Satzfunktion geschrieben wird
Bsp. quantifizierender Satz: ∀xF1 x
Zangenfeind: Prädikatenlogik
5 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Bereich eines Quantors
Bereich eines Quantors ist die Satzfunktion, die unmittelbar
auf den Quantor folgt, z.B.:
∀x∃yF2 xy
->
Bereich des Quantors ‘∀x’ ist ‘∃yF2 xy’
Bereich des Quantors ‘∃y’ ist ‘F2 xy’
Das Vorkommnis einer Variable x in einer Satzfunktion heißt
gebunden, wenn dieses Vorkommnis in einem Quantor oder
im Bereich eines Quantors mit derselben Variablen liegt –
sonst heißt es frei
Zangenfeind: Prädikatenlogik
6 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Semantik der PL (1)
Interpretation I legt (i) die Bedeutung der deskriptiven
Ausdrücke von PL fest und gibt (ii) durch Angabe einer nicht
leeren Menge D den Bereich an, auf den sich die Quantoren
beziehen.
1. Bereich einer Interpretation kann z.B. die Menge aller
Menschen sein oder die Menge der Städte Berlin und
München, also z.B.: D = Menge aller Menschen
2. Bedeutung der Individuenkonstanten wird dadurch
bestimmt, dass I jeder Individuenkonstanten von PL einen
Gegenstand aus D zuordnet; I kann z.B. der
Indididuenkonstanten a Sokrates zuordnen, also: a: Sokrates
Zangenfeind: Prädikatenlogik
7 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Semantik der PL (2)
3. Bedeutung der Prädikatbuchstaben wird dadurch
festgelegt, dass I jedem Prädikatbuchstaben ein Prädikat
zuordnet, d.h. (i) Eigenschaft der Gegenstände von D oder (ii)
Beziehung zwischen den Gegenständen von D; z.B.:
F1 : ... ist ein Philosoph
F2 : ... ist berühmter als ...
Der Satz F1 a ist bezüglich seiner Interpretation I wahr, wenn
der durch a bezeichnete Gegenstand die Eigenschaft F1 hat
Zangenfeind: Prädikatenlogik
8 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Wichtige prädikatenlogische Gesetze
¬∀xF1 x = ∃x¬F1 x bzw.
∀xF1 x = ¬∃x¬F1 x
¬∃xF1 x = ∀x¬F1 x bzw.
∃xF1 x = ¬∀x¬F1 x
-> Existenzoperator kann durch den Alloperator definiert
werden
Zangenfeind: Prädikatenlogik
9 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Übersetzungen sollen möglichst strukturreich sein
Satz A’ (PL) soll in seiner Struktur dem natürlichsprachigen
Satz A möglichst ähnlich sein
Beispiele für atomare Sätze:
(1) Der Eiffelturm ist eine Metallkonstruktion.
D = Menge aller Bauwerke
a: Eiffelturm
F1 : ... ist eine Metallkonstruktion
F1 a
(2) Hans und Karl sind Brüder.
Umformung: (2’) Hans ist ein Bruder von Karl.
D = Menge aller Menschen
a: Hans
b: Karl
F2 : ... ist ein Bruder von ...
F2 ab
Zangenfeind: Prädikatenlogik
11 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Beispiele für komplexe Sätze:
(3) Hans schläft, während Karla Natascha besucht.
D = Menge aller Menschen
a: Hans
b: Karla
c: Natascha
F1 : ... schläft
F2 : ... besucht ...
F1 a ∧ F2 bc
(4) Karla ist zuhause oder bei Hans
D = Menge aller Menschen
a: Karla
b: Hans
F1 : ... ist zuhause
F2 : ... ist bei ...
¬(F1 a ↔ F2 ab)
Zangenfeind: Prädikatenlogik
12 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
Beispiele für quantifizierende Sätze
(5) Alle Lebewesen sind sterblich.
D = Menge aller Lebewesen
F1 : ... ist sterblich.
∀xF1 x
Was bedeuten die folgenden beiden Sätze der PL:
(6) ¬∀xF1 x
(7) ∀x¬F1 x
D = Menge aller Kinder
F1 : ... ist ein Philosoph
-> (6) Nicht alle Kinder sind Philosophen.
-> (7) Kein Kind ist ein Philosoph.
Zangenfeind: Prädikatenlogik
13 / 14
Grundbegriffe, Syntax, Semantik
Übersetzung natürlichsprachiger Sätze in PL
(8) Einige gerade Zahlen sind größer als 17.
Achtung! nicht übersetzbar mit:
D = Menge der geraden Zahlen
a: 17
F2 : ... ist größer als ...
∃xF2 xa -> keine statthafte Übersetzung, weil alle
Individuenkonstanten einem Gegenstand zugeordnet werden
müssen, der zum Bereich D gehört! (a gehört aber nicht zu D)
stattdessen mit Umformung:
(8’) Einige Zahlen, die gerade sind, sind größer als 17.
D = Menge der natürlichen Zahlen
a: 17
F2 : ... ist größer als ...
F1 : ... ist eine gerade Zahl
∃x(F1 x ∧ F2 xa)
Zangenfeind: Prädikatenlogik
14 / 14