From AutoCAD Drawing "/sparc56/home/pieper/getb/kapitel2

Elektrostatik
5
Seite 77
Elektrostatik
5.1 Vereinfachung der Grundgesetze für die Elektrostatik
Was heißt „Elektro-statik“?
„Elektro-“Wir wollen uns zunächst nur mit elektrischen Feldern,
den darin auftretenden Kräften und deren Wirkungen beschäftigen, nicht mit magnetischen Feldern und Kräften
„statik“:Wir wollen uns nicht mit zeitlich veränderlichen Feldern
befassen.
Nur elektrische Felder heißt: B = 0
und dann wird aus ( 2 )
( 2′ )
°∫Γ E ⋅ ds
°∫Γ E ⋅ ds
∂
= – ---- ∫ B ⋅ d A die Gleichung
∂t A
= 0
Ähnlich wird aus ( 5 ) F = q ⋅ ( E + υ × B ) die Gleichung
( 5′ ) F = q ⋅ E
Die Gleichung ( 3 )
°∫A B ⋅ d A
= 0 beschreibt nur B und entfällt.
Nur „statische“ elektrische Felder heißt ∂E ⁄ ∂t = 0
1
Dann beschreibt ( 4 ) ----- ∫ B ⋅ ds =
°
µ0 Γ
∂
 ⋅ dA
∫A  S + ε0 ⋅ ∂----E
t 
nur B -Felder und entfällt für die Elektrostatik.
Damit gelten folgende vereinfachte Gesetze der Elektrostatik
(1)
°∫A E ⋅ d A
( 2′ )
°∫Γ E ⋅ ds
= q ⁄ ε0
= 0
( 5′ ) F = q ⋅ E
- Nur noch zwei Gleichungen zur Beschreibung der Felder (davon 2‘ stark vereinfacht).
- Eine vereinfachte Gleichung zur Beschreibung der Kräfte.
Seite 78
GET-Skript
Welchen Sinn hat diese Vereinfachung?
- Es gibt genügend elektrotechnische Aufgabenstellungen, die
damit gelöst werden können.
- Die mit diesen Vereinfachungen gefundenen Formeln gelten
dann aber nur für elektrostatische Probleme .
Gehört es noch zur Elektrostatik, wenn Kräfte auf Ladungen berechnet werden, die sich im elektrostatischen Feld bewegen also
ein Magnetfeld erzeugen?
Ja, denn es war vereinbart, die Felder der betrachteten Ladungen
nicht in die Kraftberechnung einzubeziehen (vgl. 1.3).
5.2 Berechnung symmetrischer Felder
5.2.1 Das E -Feld einer Punktladung
Die richtige Wahl der Koordinaten-Systems vereinfacht oft die
Lösung. Hier: kugelsymmetrisches Problem, also Berechnung bequemer in Kugelkoordinaten.
ϕ
r
E(r 0, ϑ 0, ϕ 0)
 E r(r 0, ϑ 0, ϕ 0) 


E(r 0, ϑ 0, ϕ 0) =  E ϑ(r 0, ϑ 0, ϕ 0)


 E ϕ(r 0, ϑ 0, ϕ 0)
ϑ
Am betrachteten Punkt (r,ϑ, ϕ) hat E eine radiale Komponente
E r = E r ( r, ϑ, ϕ ) sowie die beiden tangentialen Komponenten
E ϑ = E ϑ ( r, ϑ, ϕ ) und E ϕ = E ϕ ( r, ϑ, ϕ ), wobei E r ⊥E ϑ ⊥E ϕ .
E wird also beschrieben durch den Vektor
 E r (r,ϑ, ϕ)

E ( r, ϑ, ϕ ) =  E ϑ (r, ϑ,ϕ)

 E ϕ (r, ϑ,ϕ)





Elektrostatik
Seite 79
Wegen der Kugelsymmetrie gibt es auf der Kugeloberfläche keine
Vorzugsrichtung, d.h. die tangentialen Komponenten sind Null
und E ( r, ϑ, ϕ ) = ( E r ( r, ϑ, ϕ ), 0, 0 ) .
Ebenfalls wegen der Kugelsymmetrie hängt die radiale Komponente nur vom Abstand r, nicht aber von ϑ oder ϕ ab, also
E ( r, ϑ, ϕ ) = ( E r ( r ), 0, 0 ) = E r ( r ) ⋅ e r
wobei e r ein Einheitsvektor in radialer Richtung ist.
Für dieses E-Feld läßt sich aber die Gl (1) auswerten und es ist
(1)
°∫A E ⋅ d A
=
°∫A E r ( r ) ⋅ er ⋅ d A
°∫A E r ( r ) ⋅ dA =
=
= E r ( r ) ⋅ ∫ d A = E r ( r ) ⋅ 4π ⋅ r = q ⁄ ε 0
°A
2
(Beachte: A ist eine Kugeloberfläche, also r = konstant. E ist somit auf dem gesamten Integrationsgebiet konstant und parallel
zum Flächenvektor, also Spezialfall 1).
2
2
Aus E r ( r ) ⋅ 4π ⋅ r = q ⁄ ε 0 ergibt sich E r ( r ) = q ⁄ ( 4πε 0 ⋅ r ) ,
also die gesuchte Abhängigkeit der Komponente E r von r.
Feld einer Punktladung
q
E = --------------------2- ⋅ e r
4πε 0 ⋅ r
Weil e r ein Einheitsvektor mit dem Betrag 1 und der Richtung r
ist, ist e r = r ⁄ r und man kann auch schreiben
q
E = --------------------3- ⋅ r
4πε 0 ⋅ r
Beachte: die tangentialen Komponenten von E sind nicht nur aus
Symmetriegründen Null. Tangentiale Komponenten würden auch
( 2′ ) ∫ E ⋅ ds = 0 widersprechen.
°Γ
Seite 80
GET-Skript
Beispiel: Kraftwirkung zwischen zwei Punktladungen
(Coulumb‘sches Gesetz)
Kraft F 1 auf q1 im Feld E 2 von q2
r12
F1
+ q1
E2(1)
+ q2
e 12
Nach Gl. (5‘) ist F = q ⋅ E .
Wir bezeichnen
F 1 = F auf q 1
E 2 ( 1 ) = E von Ladung 2 am Ort der Ladung 1,
wobei ( 1 ) = ( r 1, ϑ 1, ϕ 1 ) = ( x 1, y 1, z 1 ) eine abgekürzte Schreibweise für die Koordinaten der Ladung 1 ist
und e 12 der Einheitsvektor nach q1 von q2.
Dann lautet (5‘)
q2
- ⋅ e 12
F 1 = q 1 ⋅ E 2 ( 1 ) = q 1 ⋅ ----------------------2
4πε 0 ⋅ r 12
Entsprechend ist Kraft F 2 auf q2 im Feld E 1 von q1
q1
- ⋅ e 21 und weil e 21 = -e 12
F 2 = q 2 ⋅ E 1 ( 2 ) = q 2 ⋅ ----------------------2
4πε 0 ⋅ r 21
kann man schreiben
q1 ⋅ q2
F 1 = ------------------------⋅ e 12 = – F 2 Coulomb‘sches Gesetz
2
4πε 0 ⋅ r 12
Während die alte Schreibweise des Coulomb‘schen Gesetzes nur
die Größe der Kraft beschrieb, führt die Darstellung anhand des
elektrischen Feldes auch zum richtigen Vorzeichen für F und berücksichtigt das Vorzeichen von q.
Elektrostatik
Seite 81
Die Proportionalitätskonstante ε 0 hat im MKSA-System den Wert
ε 0 = 8.854 ⋅ 10
-12
2
As
-12 ( As )
-------- = 8.854 ⋅ 10 ------------2
Vm
Nm
bzw.
2
1
9 Vm
9 Nm
------------ ≈ 9 ⋅ 10 -------- = 9 ⋅ 10 -------------2
4πε 0
As
( As )
also q in As oder C (Coulomb), r in m (Meter),
F in N (Newton) = m kg/ s2.
5.2.2 Feld einer „Linienladung“
λ = Ladung / Länge heißt Linienladung
Er
Ez
(Eϕ)=Et
r
(r, z, ϕ)
Linienladung
z
Ladung
λ = -----------------Länge
ϕ
0
Hier: Berechnung in Zylinderkoordinaten vorteilhaft
Am betrachteten Punkt (r,z, ϕ) hat E eine radiale Komponente
E r = E r (r,z, ϕ) sowie die beiden tangentialen Komponenten
E z = E z (r,z, ϕ) und E ϕ = E ϕ (r,z, ϕ) , wobei E r ⊥E z ⊥E ϕ .
E wird also beschrieben durch den Vektor
 E r (r,z, ϕ)

E (r,z, ϕ) =  E z (r,z, ϕ)

 E ϕ (r,z, ϕ)





Auf der Zylinderoberfläche gibt es keine bevorzugte Längsrichtung und keinen bevorzugten Umlaufsinn, d.h. die tangentialen
Komponenten sind Null und
E (r,z, ϕ) = ( E r (r,z, ϕ), 0, 0 ) .
Seite 82
GET-Skript
Aus den genannten Symmetriegründen hängt die radiale Komponente nur vom Abstand r, nicht aber von z oder ϕ ab, also
E (r,z, ϕ) = ( E r ( r ), 0, 0 ) = E r ( r ) ⋅ e r
wobei e r ein Einheitsvektor in radialer Richtung ist.
Für dieses E-Feld läßt sich aber die Gl (1) auswerten wobei das Integrationsgebiet ein Zylinder der Länge l mit Radius r ist. Es ist
Oberfläche A = Oberfläche Mantel + 2 Oberflächen Deckel:
°∫A E ⋅ d A
=
∫Mantel E ⋅ d A + 2 ∫Deckel E ⋅ d A
Weil E r ⊥d A bei der Deckelfläche, ist
alfall 2) und
°∫A E ⋅ d A
=
=
∫Deckel E ⋅ d A = 0 (Spezi-
∫Mantel E ⋅ d A = ∫Mantel E r ( r ) ⋅ er ⋅ d A =
∫Mantel E r ( r ) ⋅ d A = E r ( r ) ⋅ ∫Mantel d A = E r ( r ) ⋅ 2πr ⋅ l
(Beachte: A ist ein Zylindermantel, also r = konstant. E ist somit
auf dem gesamten Integrationsgebiet konstant und parallel zum
Flächenvektor, also Spezialfall 1).
λ = Ladung / Länge, also eingeschlossene Ladung q = λ ⋅ l und
°∫A E ⋅ d A = E r ( r ) ⋅ 2πr ⋅ l = q ⁄ ε0 = λ ⋅ l ⁄ ε0
Aus E r ( r ) ⋅ 2πr ⋅ l = λ ⋅ l ⁄ ε 0 ergibt sich E r ( r ) = λ ⁄ ( 2πε 0 ⋅ r ) ,
also die gesuchte Abhängigkeit der Komponente E r von r. Somit:
Feld einer Linienladung
λ
E ( r ) = ------------------- ⋅ e r
2πε 0 ⋅ r
Weil e r ein Einheitsvektor mit dem Betrag 1 und der Richtung r
ist, ist e r = r ⁄ r und man kann auch schreiben
λ
E ( r ) = --------------------2- ⋅ r
2πε 0 ⋅ r
Elektrostatik
Seite 83
5.2.3 Feld einer gleichförmigen Flächenladung σ
σ = Ladung/Fläche heißt Flächenladung
gleichförmig
geladene Fläche
b
l
E ( x, y, z )
x
y
z
x
Hier: Berechnung in kartesischen Koordinaten vorteilhaft.
 E x ( x, y, z )

E ( x, y, z ) =  E y ( x, y, z )

 E z ( x, y, z )





Parallel zur geladenen Fläche gibt es keine Vorzugsrichtung, d.h.
die tangentialen Komponenten Ey und Ez sind Null und
E ( x, y, z ) = ( E x ( x, y, z ), 0, 0 )
Aus Symmetriegründen hängt E nicht von y und nicht von z ab.
D. h. auf einer zur geladenen Fläche parallelen Fläche im Abstand
x ist
E ( x, y, z ) = ( E x ( x ), 0, 0 ) = E x ( x ) ⋅ e n
wobei e n ein Normalvektor, also ein Einheitsvektor in Richtung
der Flächennormalen ist. Für x>0 zeigt also e n = x ⁄ x in Richtung der x-Achse, für x<0 in entgegengesetzte Richtung. Für dieses E-Feld läßt sich aber Gl (1) auswerten, wobei das Integrationsgebiet ein Kasten der Höhe 2x mit Länge l und Breite b ist. Dieser
Kasten hat die Oberfläche A = vordere Fläche + hintere Fläche +
4 Seitenflächen. Die eingeschl. Ladung ist q = σ ⋅ l ⋅ b . Dann ist
°∫A Ed A = ∫vorne E x ( x ) ⋅ en d A + ∫hinten E x ( x ) ⋅ en d A + 4 ⋅ ∫Seite
Seite 84
GET-Skript
Weil e n parallel zu den Seitenflächen verläuft, liefern liefern die
vier Integrale keine Beiträg (Spezialfall 2), also
°∫A Ed A
=
∫vorne E x ( x ) ⋅ en d A + ∫hinten E x ( x ) ⋅ en d A
Weil auf beiden Deckflächen e n || d A und Ex(x) konstant und
gleich groß ist, liefern beide Integrale gleiche Beiträge und es gilt
Spezialfall 1. Also
°∫A Ed A
= 2⋅∫
E x ( x ) ⋅ e n d A + 2E x ( x ) ⋅ ∫
vorne
vorne
en d A
= 2 ⋅ E x ( x ) ⋅ l ⋅ b = σ ⋅ l ⋅ b ⁄ ε0
σ
Damit ist E x ( x ) = -------- = E x unabhänigig von x
2ε 0
σ
und E ( x, y, z ) = -------- ⋅ e n Feld einer Flächenladung
2ε 0
5.3 Berechnung beliebiger Felder mit bekannter Ladungsverteilung
5.3.1 Superposition der E -Felder aller Einzelladungen
(a) Diskrete Ladungsverteilung
q3
q4
qi
q2
r14
r1i
(1)=(x1,y1,z1)
E(1)
Die Beiträge der einzelnen Ladungen qi zum E-Feld sind
qi
1
- ⋅ e 1i und addieren sich zu E ( 1 ) =
E i ( 1 ) = ------------ ⋅ ----2
4πε 0 r 1i
also
1
E ( 1 ) = -----------4πε 0
qi
∑ ----r2
i
1i
⋅ e 1i
∑ Ei(1)
i
Elektrostatik
Seite 85
(b) Verteilung mit räumlicher Ladungsdichte ρ ( x, y, z )
E(1)
dV2
(1)=(x1,y1,z1)
r12
ρ(x,y,z)
(2)=(x2,y2,z2)
ρ ( 2 ) = ρ (x 2, y 2,z 2) = dq 2 ⁄ dV 2 also dq 2 = ρ ( 2 ) ⋅ dV 2 und
1
E ( 1 ) = -----------4πε 0
ρ ( 2 )e 12 dV 2
---------------------------∫
2
r 12
gesamten Raum
Vorsicht! Sieht nur so harmlos aus. Integration über drei Komponenten und den gesamten Raum. Deshalb ist die später eingeführte
Lösung besser, bei der zunächst das skalare Potential und daraus
E berechnet wird.
5.3.2 Superposition der Potentiale aller Einzelladungen
Für die praktische Berechnung von Feldern benutzt man nicht die
Formeln aus 5.3.1, sondern einfachere Summen bzw. Integrale, die
keine Vektoren enthalten sondern eine skalare Größe, das Potential ϕ (siehe 2.4). Dann gilt
q
1
ϕ ( 1 ) = ------------ ∑ -----i- bzw.
4πε 0 i r 1i
1 ρ ( 2 )dV
ϕ ( 1 ) = ------------ ∫ ---------------------2
4πε 0
r 12
mit
∂ϕ ( 1 ) ∂ϕ ( 1 ) ∂ϕ ( 1 )
E ( 1 ) = –  --------------- , ---------------, ---------------
 ∂x
∂y
∂z 
(Begründung in 5.4.4)
Seite 86
GET-Skript
5.4 Das elektrostatische Potential
5.4.1 Arbeit einer im E -Feld bewegten Ladung
In Kapitel 2.4 war die Arbeit einer von a → b bewegten Ladung,
die hier q0 genannt werden soll zu
b
– W ( a → b ) = q 0 ⋅ [ ϕ ( a ) – ϕ ( b ) ] = q 0 ⋅ U ab = q 0 ⋅ ∫ E ds
a
berechnet worden. Dabei war nicht bewiesen worden, daß die Arbeit nur von den Punkten a und b, nicht aber vom Weg abhängt.
Weiterhin war angenommen worden, daß sich die potentielle Energie der Ladung an Punkt a bzw. b beschreiben läßt durch
W ( a ) = q0 ⋅ ϕ ( a ) ; W ( b ) = q0 ⋅ ϕ ( b )
Mit dem Grundgesetz Gl (2‘) ergibt sich die Unabhängigkeit vom
Weg. Mit
(2‘)
°∫Γ Eds
q 0 ∫ Eds =
°Γ
= 0 ist auch
°∫Γ q0 Eds
=
°∫Γ Fds
= W Umlauf = 0
Das ist sehr anschaulich, weil man durch Bewegen einer Ladung
auf einem geschlossenen Weg keine Energie gewinnen kann. Insbesondere gilt für einen Weg von a nach b und zurück
b
a
a
b
q 0 ∫ Eds = q 0 ∫ Eds + q 0 ∫ Eds = W ( a → b ) + W ( b → a ) = 0
°
b
a
q0
ds
F
Hält man nun z.B. den Rückweg und damit W ( b → a ) fest, so
muß W ( a → b ) = - W ( b → a ) für alle Hinwege gleich sein.
Ähnliche Überlegungen führen zur Kirchhoff‘schen Maschenregel
°∫ Eds
=
b
c
∫a Eds + ∫b Eds + ...
= U ab + U bc + ... = 0
d.h. die Summe der Spannungen beim Umlauf um eine Masche ist
Null.
Elektrostatik
Seite 87
5.4.2 Potential einer Punktladung
Ladung q 0 wird von Ort a nach Ort b im Feld der Punktladung q
gebracht.
b
a‘
q
a
Weil die Arbeit W ( a → b ) unabhängig vom Weg ist, wählen wir
den Weg a → a' → b . Auf dem tangentialen Teilweg ist E ⊥ ds
und es gilt Fall 2, auf dem radialen Teilweg ist E || ds und es gilt
Fall 1.
a'
b
b
a
a'
a'
W ( a → b ) = – q 0 ∫ E ds – q 0 ∫ E ds = 0 – q 0 ∫ E ds
q ⋅ e r ⋅ ds
1
- = –q0 ⋅
= – q 0 ⋅ ∫ ------------ ⋅ --------------------2
a' 4πε 0
r
b
r=b
∫
r = a'
q
dr
------------ ⋅ ----24πε 0 r
q
q
1 1
1 1
= – q 0 ⋅ ------------ ⋅  ----- – ---- = – q 0 ⋅ ------------ ⋅  ---- – ----
4πε 0  r a' r b
4πε 0  r a r b
Wahl eines Bezugspunktes
Von einem festen Bezugspunkt P aus läßt sich die Arbeit beim
Transport der Probeladung q0 zu jedem beliebigen Ort im E-Feld
ausdrücken, z.B. durch W ( P → a ) und W ( P → b ) . Ebenso wie
die Kraft ist diese Arbeit proportional zu q0 und hängt bei festem
P nur von a bzw. b ab. Deshalb darf man schreiben
W ( P → a ) = q 0 ⋅ ϕ ( a ) und W ( P → b ) = q 0 ⋅ ϕ ( b ) ,
wobei die skalare Funktion ϕ ausschließlich vom Ort abhängt,
also ein skalares Feld, das elektrostatische Potential, beschreibt.
a
b
p
Seite 88
GET-Skript
Mit der potentiellen Energie am Ort a bzw. b bezüglich P läßt sich
auch die Energiedifferenz für den Transport der Probeladung q0
zwischen a und b beschreiben.
W (P → a) + W (a → b) + W (b → P)
= W ( P → a ) + W ( a → b ) – W ( P → b ) = 0 , also
W (a → b) = W (P → b) – W (P → a)
Damit gilt die bereits in 4.2 genannte Beziehung
b
W ( a → b ) = q 0 ⋅ [ ϕ ( b ) – ϕ ( a ) ] = – q 0 ⋅ ∫ E ds
a
Im E-Feld der Punktladung ist
q 1 1
W ( P → a ) = q 0 ⋅ ϕ ( a ) = q 0 ⋅ ------------  ---- – -----
4πε 0  r a r P
q
q
1 1
1 1
also ϕ ( a ) = ------------ ⋅  ---- – ----- und ϕ ( b ) = ------------ ⋅  ---- – -----
4πε 0  r a r P
4πε 0  r b r P
q
1 1
also [ ϕ ( b ) – ϕ ( a ) ] = ------------ ⋅  ---- – ----
4πε 0  r b r a
Der Bezugspunkt P kommt im Ergebnis nicht vor, er kann also irgendwo liegen. Mit der Vereinbarung P liegt im Unendlichen. vereinfacht sich das Potential einer Punktladung mit 1 ⁄ r P → 0 zu
1
q
1
q
ϕ ( a ) = ------------ ⋅ ---- bzw. ϕ ( b ) = ------------ ⋅ ---4πε 0 r b
4πε 0 r a
oder allgemein
q
1
ϕ ( r ) = ------------ ⋅ --4πε 0 r
Man kann also für jeden Punkt ( r, ϑ, ϕ ) im Feld einer Punktladung q eine skalare Größe ϕ ( r, ϑ, ϕ ) ausrechnen und diese ist nur
vom Abstand r abhängig.
ϕ(x,y,z)
r
q
Elektrostatik
Seite 89
5.4.3 Potential beliebiger, bekannter Ladungsverteilungen
Wir haben bisher nur das Potential einer Punktladung betrachtet.
Wie erhält man das Potential ϕ einer beliebigen, bekannten Ladungsverteilung?
Wegen des Superpositionsprinzips ist am Ort (1)
E(1) =
∑ Ei(1)
i
wobei E i das Feld der Teilladung q i ist (vgl. 5.3.1)
Dann ist
1
1
ϕ ( 1 ) = – ∫ E ⋅ ds = – ∫  ∑ E i ⋅ ds =


p
p
i
1
∑ – ∫ E i ⋅ ds = ∑ ϕi ( 1 ) ,
i
p
i
Das Superpositionsprinzip gilt auch für das skalare Feld ϕ .
Also ähnlich 2.4.1.
q2
q3
q4
qi
r14
r1i
ϕ(1)
qi
q
1
1
ϕ i ( 1 ) = ------------ ⋅ ------ und ϕ ( 1 ) = ------------ ∑ -----i4πε 0 i r 1i
4πε 0 r 1i
Ähnlich gilt für das Potential einer kontinuierlichen Verteilung von
Ladungen.
dV2
1
ϕ ( 1 ) = -----------4πε 0
∫
Raum
ϕ(1)
r12
ρ(x,y,z)
ρ ( 2 ) ⋅ dV 2
------------------------r 12
wobei dq 2 = ρ ( 2 ) ⋅ dV 2 die Ladung im Volumenelement dV2 ist.
Seite 90
GET-Skript
Potentiale von Ladungsverteilungen sind einfacher zu berechnen
als E-Felder und erlauben direkt eine Berechnung von Arbeit. Man
kann aber aus dem elektrostatischen Potential auch das E-Feld berechnen und das ist meist viel einfacher als die direkte Berechnung
von E.
5.4.4 Das E -Feld als Gradient des Potentials ϕ
ϕ(x,y,z)
y
z
ϕ(x+dx,y,z)
dx
x
Zur Berechnung von E aus ϕ nehmen wir an, daß die Ladung q0
im Potential ϕ vom Ort x zum Ort ( x + dx ) gebracht wird. Sie ändert dabei ihre Energie W um
∂ϕ
dW = q 0 ⋅ [ ϕ (x + dx,y, z) – ϕ (x,y, z) ] = q 0 ⋅ ------ ⋅ dx
∂x
andererseits ist aber
x + dx
dW = – q 0 ⋅
∫
x + dx
E ds = – q 0 ⋅ E x
x
∫
ds = – q 0 ⋅ E x ⋅ dx
x
Durch Vergleiche folgt
∂ϕ
E x = – -----∂x
Ähnlich findet man
∂ϕ
∂ϕ
E y = – ------ und E z = – -----∂y
∂z
und hat damit alle Komponenten von E , also
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂ ∂ ∂
E = – ( ------ , ------ , ------ ) oder E = – ( ----- , ----- , ----- ) ϕ
∂ x ∂ y ∂z
∂ x ∂ y ∂z
∂ ∂ ∂
Der Vektor ( ----- , ----- , ----- )
∂ x ∂ y ∂z
ist eine Rechenvorschrift, die besagt, daß ϕ nach allen Richtungen
des kartesischen Koordinatensystems differenziert werden soll
und daß die drei Ergebnisse zu einem Vektor zusammengefaßt
werden.
Elektrostatik
Seite 91
Dieser „Vektoroperator“ heißt auch oft „Gradient“, wird abgekürzt mit grad oder ∇ (Nabla). Man schreibt also auch
∂ ∂ ∂
E = – ( ----- , ----- , ----- ) ϕ = – grad ϕ = – ∇ϕ
∂ x ∂ y ∂z
In der Praxis ist es also viel leichter, erst das Potential ϕ und daraus E zu berechnen:
•
Nur ein Integral statt drei weil ϕ skalar ist.
•
1 ⁄ r ist einfacher als r ⁄ r zu integrieren.
•
– ∫ Eds = 0 braucht nicht getrennt überprüft zu werden.
3
°
In einem skalaren Feld kann man alle Punkte mit gleicher Feldgröße verbinden (vgl. Temperaturfeld: Isothermen, Druckfeld: Isobaren). Die Orte gleichen Potentials heißen Äquipotentialflächen.
Feldlinien
E
ϕ=const
Feld und Äquipotentialflächen einer Punktladung
Beachte: Feldlinien sind immer senkrecht zu Äquipotentialflächen
(längs Äquipotentialflächen ist ∇ϕ = 0 !!)
Weiteres Beispiel.
Feldlinien
E
+
−
ϕ=const
Feld und Äquipotentialflächen zweier ungleichnamiger Punktladungen
Seite 92
GET-Skript
5.5 Berechnung von E -Feldern bei unbekannter Ladungsverteilung
Das E -Feld im Inneren eines Leiters
Auf frei bewegliche Elektronen (z. B. in Metall) wirkt F = q ⋅ E
und diese Kraft bewegt die Elektronen solange, bis alle ihren
Gleichgewichtsplatz haben. Die einzige elektrostatische Lösung
ist E = 0 im Inneren des Leiters.
Beachte: Keine Statik sobald Ströme fließen!
Wegen E = 0 → grad ϕ = 0 oder ϕ = const .
Mit E = 0 → ∫ Ed A = q ⁄ ε 0 = 0
°A
→ Keine (Netto-)Ladung im Innern eines Leiters.
Wo sitzen dann die Ladungen eines geladenen Leiters?
Wegen E = 0 im Leiter:
→ alle Ladungen auf der Oberfläche.
→ Et = 0, also Oberfläche ist Äquipotentialfläche und die
Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche
Leerer Hohlraum im Inneren eines Leiters
A
E?
Schließt man den Hohlraum in eine Hüllfläche A ein, so muß wegen E = 0 im Leiter
°∫A Ed A
= 0 sein,
d.h. innerhalb A sind höchstens gleichviele positive und negative
Ladungen. Aber
°∫ Eds
∫
=
Hohlraum
∫
Hohlraum
E ds +
∫
0 ⋅ ds = 0 verlangt, daß auch
Leiter
E ds = 0 wird, für alle möglichen Wege im Hohlraum.
Elektrostatik
Seite 93
→ Auch im leeren Hohlraum eines Leiters ist E = 0
(Faraday-Käfig).
Berechnung der Ladungsverteilungen auf Leiteroberflächen
Allgemeine Lösung:
Ladungsverteilung raten und prüfen, ob Oberfläche Äquipotentialfläche ist. Wenn nicht, Ladungsverteilung geeignet ändern und erneut prüfen. Solange fortsetzen, bis Fehler kleiner als eine
vorgegebene Schranke.
Dieses iterative Verfahren eignet sich für numerische Berechnungen, es gibt dafür geeignete Programme.
Spezielle Lösungen:
Das Problem ist gelöst, wenn eine Ladungsverteilung bekannt ist,
mit Äquipotentialflächen der Form des Leiters.
Beispiel: Positive Punktladung neben leitender Fläche
Ein ungleichnamiges Ladungspaar hat eine ebene Äquipotentialfläche, auf der E senkrecht steht. Bringt man die leitende Fläche
in diese Position und nimmt die negative Ladung weg, so darf sich
rechts der Fläche das Feld nicht ändern. Aus dem dann bekannten
Feld auf der Fläche kann dann die Flächenladung berechnet werden (vgl. 5.2.3).
−
+
+ + + + + + + + + + -P
+E +
ϕ=0+
+
Flächenladung σ(P)
Seite 94
GET-Skript
5.6 Kapazität und Influenzerscheinungen
5.6.1 Definition der Kapazität
Zwei parallele ebene Leiter (Fläche A, Abstand d)mit gleichgroßen
entgegengesetzten Ladungen Q bilden einen Kondensator.
→ Die Ladungen sitzen wegen der gegenseitigen Anziehung
auf den Innenseiten der Platten
→ Die Ladungen sind wegen Symmetrie gleichförmig verteilt,
also konstante Flächenladung +σ, – σ .
Aus 5.2.3 ist E x = σ ⁄ 2ε 0 für eine geladene Fläche bekannt. Bei
Überlagerung (Superposition) der E - Felder beider Platten addieren sich zwischen den Platten die x-Komponenten zu E x = σ ⁄ ε 0
und heben sich außerhalb der Platten gegenseitig auf.
+
+
+
+
Platte 1
und
-
Platte 2
-
Kondensator
ergibt
+
+
+
+
Ex=0
σ
E x = ----ε0
Ex=0
Da die Platten leitfähig sind, hat jede ein konstantes Potential ϕ 1
bzw. ϕ 2 , es ist also eine Spsannung U 12 = ϕ 1 – ϕ 2 vorhanden.
Diese ist aber
U 12 =
x+d
∫x
E ds =
x+d
∫x
σ⋅d
Q⋅d
E x dx = E x ⋅ d = ----------- = ------------ε0
A ⋅ ε0
d. h. die Spannung U ist proportional zur Gesamtladung Q.
Diese Proportionalität gilt nicht nur für den ebenen Plattenkondensator, sondern für beliebige geladene Leiteranordnungen. Es sei
bei einer beliebigen Ladung Q eine Spannung U vorhanden. Mit
doppelter Ladung Q verdoppelt sich an jeder Stelle die Flächenladung σ und damit E . Da die geometrische Anordnung und damit
die Integrationswege gleichbleiben, verdoppelt sich auch U. Damit
Elektrostatik
Seite 95
gilt allgemein:
Q = C⋅U
Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität (Aufnahmefähigkeit). Die Einheit für die Kapazität ist
As
C
[ C ] = ------ = ---- = F = Farad
V
V
Man hat dieser wichtigen Einheit As/V den Namen Farad gegeben. Technische Kondensatoren haben häufig sehr kleine Kapazitäten und es sind folgende Einheiten gebräuchlich:
–3
–6
–9
1mF = 10 F ; 1µF = 10 F ; 1nF = 10 F ; 1 pF = 10
– 12
F
Beispiele für technische Ausführungen: Plattenkondensator, Wikkelkondensator, Zylinderkondensator usw.
Für den idealen Plattenkondensator läßt sich die Kapazität aus der
Beziehung zwischen U und Q berechnen
Q A⋅ε
Q⋅d
U = ------------- → ---- = ------------0U
A ⋅ ε0
d
also
A ⋅ ε0
C ≈ ------------d
Diese Beziehung ist nicht exakt, weil bei realen Kondensatoren mit
endlich großen Platten Streufelder am Rand entstehen.
5.6.2 Schaltungen mit Kondensatoren
Parallelschaltung
+
U
C1
C2
C3
Ci
Für alle Teilkapazitäten ist Q i = C i ⋅ U i , wobei U i = U gleich
Q ges =
∑ Ci ⋅ U i
i
= U ⋅ ∑ C i = U ⋅ C ges
i
mit
C ges =
∑ C i Gesamtkapazität bei Parallelschaltung
i
Seite 96
GET-Skript
Bei Parallelschaltung addieren sich die Kapazitäten der einzelnen
Kondensatoren.
Reihenschaltung
+
C1
C2
C3
Ci
U
Für alle Teilkapazitäten ist U i = Q ⁄ C i , wobei Q i = Q gleich
U =
∑Ui
=
i
∑ Q ⁄ Ci
i
1
1
= Q ⋅ ∑ ----- = Q ⋅ ---------C ges
Ci
i
mit
1
---------- =
C ges
- Gesamtkapazität bei Reihenschaltung
∑ ---Ci
1
i
Bei Reihenschaltung von Kondensatoren addieren sich die Kehrwerte der Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren zum Kehrwert
der Gesamtkapazität.
5.7 Influenz und Verschiebungsdichte D
Die Verschiebung von Ladungen in elektrisch leitfähigen Körpern,
die sich in einem elektrischen Feld befinden, nennt man Influenz.
Beispiel 1:
Metallstab
+
-
+
Negative Ladungen im Stab werden zur positiven Punktladung gezogen, am anderen Ende bleiben positive Ladungen zurück.
Es entsteht Kraftwirkung auf dem Leiter, weil E der Punktladung
2
am positiven und negativen Ende verschieden ( E ∼ 1 ⁄ r ).
Elektrostatik
Seite 97
Beispiel 2:
++++++++++++++++++
------+++++++
a)
-----------------
elektrische
„Löffel“
mit Fläche A
⊥ zu E
im Feld
trennen
++++++++++++++++++
------+++++++
b)
herausziehen und
Ladung messen
----------------Die zwischen den sich berührenden Leitern durch Influenz verschobene Ladung Qinfl verbleibt nach dem Trennen auf den „Löffeln“ und kann gemessen werden. Man hat experimentell festgestellt:
Q infl ∼ E 

Q infl ∼ A 
Q infl = konst ⋅ E ⋅ A
Die Aussage gilt in jedem beliebigen Feld E , wenn Fläche dA hinreichend klein und dA⊥ Feld ist, also
dQ inf l˙ = konst ⋅ E ⋅ dA
Ist dA nicht senkrecht zum Feld, so stellt man fest, daß
dQ infl = konst ⋅ E ⋅ d A = D ⋅ d A
Der neue Vektor D = konst ⋅ E hat die Richtung von E und die
Größe einer Flächenladung. Steht das elektrische Feld senkrecht
zur Löffelfläche, so ist D = dQinfl / dA. D mißt also die Dichte der
durch Influenz verschobenen Ladungen und heißt Verschiebungsdichte oder Erregung.
Die Konstante zwischen D und E ist ε 0 und damit ist
D = ε0 ⋅ E .
Man kann also Felder messen:
- anhand der Kraftwirkung F = Q ⋅ E und definiert damit das
E -Feld, oder
- anhand von Ladungsmessungen dQ = D ⋅ d A mit elektrischen Löffeln und definiert damit das D -Feld.
Seite 98
GET-Skript
Im Vakuum ( ≈ Luft) ist gleichwertig:
°∫A Ed A
= q ⁄ ε 0 und
°∫A Dd A
= q
5.8 Energie im elektrischen Feld
5.8.1 Die Gesamtenergie elektrostatischer Systeme
Ladungsverteilung
qi
rij
qj
Um die Gesamtenergie der Ladungsverteilung zu berechnen,bringt
man zunächst alle Ladungen unendlich weit voneinander weg.
Dann ist wegen ϕ ( ∞ ) = 0 die Gesamtenergie W = 0
Ladung q1 an ihren Platz 1 bringen
ϕ(1) = 0 ; W 1(∞ → 1) = 0
Ladung q2 an ihren Platz 2 bringen
q2 ⋅ q1
W 2 ( ∞ → 2 ) = q 2 ⋅ ϕ 1 ( 2 ) = -----------------4πε 0 r 12
Ähnlich alle weiteren Ladungen an ihre Plätze bringen
q3 ⋅ q1
q3 ⋅ q2
- + -----------------W 3 ( ∞ → 3 ) = q 3 ⋅ ϕ 1 ( 3 ) + q 3 ⋅ ϕ 2 ( 3 ) = -----------------4πε 0 r 13 4πε 0 r 23
Schließlich Ladung j an ihren Platz bringen
W j ( ∞ → j ) = q j ⋅ ϕ 1 ( j ) + q j ⋅ ϕ 2 ( j ) + .....q j ⋅ ϕ j – 1 ( j )
qj ⋅ qj – 1
q j ⋅ q1
q j ⋅ q2
= ------------------ + ------------------ + ..... --------------------------4πε 0 r j j – 1
4πε 0 r 1 j 4πε 0 r 2 j
Gesamtenergie der Ladungsverteilung mit n Ladungen ist also
Summe der Energien aller Paare:
W ges =
qi ⋅ q j
----------------4πε 0 r ij
alle Paare ( i, j )
∑
Elektrostatik
Seite 99
Etwas „mathematischer“:
n
1
W = --- ∑
2
n
qi q j
∑ ----------------4πε 0 r ij
∀i ≠ j
i=1j=1
Faktor 1/2 weil Paare (i, j) und (j, i) doppelt gezählt werden!
Bei kontinuierlicher Ladungsverteilung ρ erhält man entsprechend:
1
W = --2
∫
∫
Raum Raum
ρ(1) ⋅ ρ(2)
--------------------------- dV 1 dV 2
4πε 0 r 12
q
Beispiel: Energie eines Kondensators u = ---C
Zunächst ungeladen: W = 0. Dann Ladung dq von einer Platte auf
die andere (eine wird +, andere -)
q
dW = [ ϕ ( 1 ) – ϕ ( 2 ) ]dq = u ⋅ dq = ---- ⋅ dq und
C
Q
W Kond =
2
q
1
1
2
1Q
---- dq = --- ------ = --- C ⋅ U = --- Q ⋅ U
C
2
2
2C
∫
q=0
5.8.2 Berechnung von Kräften aus der Gesamtenergie
Beispiel: Kraft zwischen den Platten eines Kondensators aus der
Energie W mit dem Prinzip der „virtuellen Verrückung“. Man vergleicht die mechanische Arbeit beim „gedachten (virtuellen) Verrücken“ der Platten um den kleinen Weg dx mit der Änderung der
elektrischen Energie aufgrund der Kapazitätsänderung:
dW mech = F ⋅ dx wobei zur Vereinfachung d x || F
Die Energie W elektr war
2
W elektr
1Q
= --- -----2C
und weil Q sich beim Verschieben nicht ändert, ist
2 ∂ 1
1
dW elektr = --- ⋅ Q ⋅ ------  ---- ⋅ dx
2
∂x  C
und aus dWelektr = dWmech folgt
2 ∂ 1
1
F = --- ⋅ Q ⋅ ------  ----
2
∂x  C
Das gilt für jede Anordnung von Ladungen. Man muß also zur Be-
Seite 100
GET-Skript
rechnung von F weder die Ladungsverteilung noch das Feld kennen (im Gegensatz zu F = q ⋅ E ).
Beispiel: Plattenkondensator, Fläche A, Abstand x (hier x statt d)
ε0 ⋅ A
∂ 1
1
x
1
C = ------------ oder ---- = ------------- und ------  ---- = ------------- .


∂x
C
x
C
ε0 ⋅ A
ε0 ⋅ A
Damit ist die Kraft
2
2 ∂ 1
1 Q
1
F = --- ⋅ Q ⋅ ------  ---- = --- ⋅ ------------∂x  C
2 ε0 ⋅ A
2
Zum Vergleich:
Kraft aus F = Q ⋅ E berechnen. Dabei beachten, daß Ladung Q
der einen Platte nicht im Gesamtfeld, sondern im Feld der anderen
Platte Kraftwirkung erfährt.
2
E Platte
1 Q
σ
Q
= -------- = ---------------- und F = Q ⋅ E Platte = --- ⋅ ------------2 ε0 ⋅ A
2ε 0
2ε 0 ⋅ A
Also: gleiches Ergebnis wie bei Berechnung von F aus der Energie
5.8.3 Das E -Feld als Sitz der elektrostatischen Energie
Wir kennen nun die elektrostatische Energie von diskreten und
kontinuierlichen Ladungsverteilungen, z.B. die Energie eines geladenen Kondensators. Wo sitzt diese Energie?
Man kann zeigen, daß die Energie im elektrischen Feld sitzt. Zur
Erinnerung: elektromagnetische Wellen (Licht, Radiowellen, ...)
sind elektromagnetische Felder und transportieren Energie!
Um dies plausibel zu machen, denken wir uns in ein elektrisches
Feld einen Plattenkondensator mit Fläche dA und mit Abstand dx
so in das E-Feld eingebracht, daß die Platten auf Äquipotentialflächen liegen. Dadurch wird das elektrische Feld nicht beeinflußt.
Die Energie dW im Volumen dV = d A ⋅ d x ist 2dW = dQ ⋅ dU
und mit dQ = ε 0 ⋅ E ⋅ d A und dU = E ⋅ d x wird
1
1
1
dW = --- ⋅ dQ ⋅ dU = --- ⋅ ε 0 ⋅ E ⋅ d A ⋅ E ⋅ d x = --- ⋅ D ⋅ E ⋅ dV
2
2
2
Die Gesamtenergie im Feld ist dann
1
W = --- ⋅ ∫
D ⋅ E ⋅ dV
2 Raum
Eine wirkliche Herleitung dieses Ergebnisses muß zunächst zurückgestellt werden.
Elektrostatik
Seite 101
5.9 Der elektrische Dipol
5.9.1 Kräfte und Drehmomente am elektrischen Dipol
E
F
+
d/2
α
−
–F
Ein Dipol ist eine Art „Hantel“ mit Ladung +q um -q an den Enden. Im E -Feld entsteht ein Kräftepaar ± F und jede der Kräfte liefert einen gleichgroßen Beitrag zum Drehmoment T d mit den Beträgen
d
T + = E ⋅ q ⋅ --- ⋅ sin α und
2
d
d
°
T - = E ⋅ ( – q ) ⋅ --- ⋅ sin ( 180 + α ) = E ⋅ q ⋅ --- ⋅ sin α , insgesamt
2
2
T d = T + + T - = E ⋅ q ⋅ d ⋅ sinα (Betrag des Drehmoments)
Schreibt man den Abstand d als Vektor in Richtung von der negativen zur positiven Ladung und definiert man den Vektor p als
p = q ⋅ d , so bildet dieser mit E den Winkel α . Mit dieser
Schreibweise läßt sich das Drehmoment in Größe und Richtung
darstellen:
T d = p × E mit p × E = p ⋅ E ⋅ sinα = E ⋅ q ⋅ d ⋅ sinα
T d steht senkrecht auf p und E . Weil man mit p das Drehmoment des Dipols berechnen kann, heißt p Dipolmoment.
Seite 102
GET-Skript
5.9.2 Potential und E -Feld des Dipols
z
+q
+
r
r2
P
-q
P
r1
−
Das Potential eines Dipols ergibt sich mithilfe der Superposition :
q
1 1
ϕ D = ϕ 1 + ϕ 2 = ------------ ⋅  ---- – ----

4πε 0 r 1 r 2
Bei Dipolen interessiert häufig E bzw. ϕ bei r » d , also sehr weit
entfernt. (Beispiel: Antennen, atomare Dipole, ...)
z
ϑ
+
−
P
r1
r
r2
Dann sind die Vektoren r 1 bzw. r 2 näherungsweise parallel und
ϑ 1 ≈ ϑ 2 . Die Abstände sind
d
r 1 = r – --- ⋅
2
1 1
 ---– ---- =
 r 1 r 2
d
cos ϑ und r 2 = r + --- ⋅ cos ϑ , also
2
r1 – r2
d ⋅ cos ϑ
d ⋅ cos ϑ
- für r » d
--------------- = --------------------------------------2- ≈ ------------------2
r1 ⋅ r2
2 d
r

r – --- ⋅ cos ϑ
2

In die Formel für das Dipol-Potential eingesetzt ergibt dies
q ⋅ d ⋅ cos ϑ
ϕ D = --------------------------2
4πε 0 ⋅ r
Weil ϑ der Winkel zwischen r ⁄ r und d bzw. p ist, gilt auch
q⋅d⋅r
p⋅r
ϕ D = --------------------3- = --------------------3- Potential des Dipols für r » d
4πε 0 ⋅ r
4πε 0 ⋅ r
Elektrostatik
Seite 103
Das E -Feld ist dann
∂ ∂ ∂
ϕ mit
,
E D = -gradϕ D = –  ,
 ∂ x ∂ y ∂ z D
p 3 cos ϑ – 1
p 3 cos ϑ
- , E ⊥ = ------------ --------------- und E =
E z = ------------ --------------------3
3
4πε 0
4πε
0
r
r
2
Ez + E⊥
2
Anschaulich:
z
E⊥
P
Ez
E
3
E fällt also mit 1 ⁄ r ab.
0
Auf der z-Achse, also bei ϑ = 0 ist
p
3–1
2p
E z = ------------ ⋅ ----------=
-------------------3
4πε 0 r 3
4πε 0 ⋅ r
0
In der Äquatorebene, also bei ϑ = 90 ist
p
E z = – --------------------3- , also entgegengesetzt halb so groß.
4πε 0 ⋅ r
5.10 Materie im elektrischen Feld
5.10.1 Dielektrika
Dielektrika sind Isolatoren, also Ladungen (im Gegensatz zu Leitern!) nicht frei beweglich .
Versuch von Faraday:
Bringt man in einen aufgeladenen Kondensator einen Isolator, so
fällt die Spannung U um den Faktor 1 ⁄ ε r , obwohl Q gleich bleibt.
Die Kapazität C = Q/U vergrößert sich also um den Faktor ε r . Der
Faktor ε r hängt nur vom Dielektrikum ab und heißt relative Dielektrizitätskonstante.
Seite 104
GET-Skript
.
+
Dielektrikum
Luft (Vakuum)
Kapazität C
Mit U wird auch
2
∫1 E ds
+
Kapazität εrC
-
= U kleiner, also E kleiner.
σ
E ⊥ = ----- ergab sich aber direkt aus dem Grundgesetz Gl (1).
ε0
Also muß auch σ kleiner geworden sein. Da σ frei = Q frei ⁄ A ,
also die freie Ladung auf den Platten, gleich bleibt ist die einzig
mögliche Folgerung:
Es gibt Oberflächenladung σ Diel˙ auf dem Dielektrikum.
- σ frei hat entgegengesetzte Polarität von σ Diel˙
- σ frei > σ Diel˙ weil Feld nicht verschwindet, nur kleiner wird.
----------------+ + + + + +
Dielektrikum
- - - - - ++++++++++++++++++
σfrei
σDielektrikum
σfrei
Integriert man nun wieder über alle Ladungen in einem Kasten
(vgl. 5.2.3), so ist jetzt σ frei und σ Diel eingeschlossen und es ist
σ frei + σ Diel
E ⊥ = ----------------------------- = E frei + E Diel
ε0
und E ⊥ ist tatsächlich kleiner geworden
Beachte: Bei einem Leiter anstelle des Dielektrums wäre
σ Leiter = -σ frei (Platte) und E ⊥ = ( σ Platte + σ Leiter ) ⁄ ε o = 0 ,
d.h. das Innere des Leiters ist feldfrei.
Warum treten diese Oberflächenladungen ohne bewegliche Ladung im Dielektrikum auf?
Elektrostatik
Seite 105
5.10.2 Die Polarisation
In gewissen Grenzen ist die negative Atomhülle gegen den positiven Atomkern elastisch verschiebbar. Im Feld bekommt das Atom,
dessen Hüllenschwerpunkt mit Ladung - q sich um s gegen den
Kern mit Ladung + q verschiebt, ein Dipolmoment p = q ⋅ s .
- - - - - - - - - - - +- - - - - - - - - - - - - - - - - -
E
- - - - - - - - s -- -- -- +-- -- -- -- - - - - - - - -
+ p
-
Bei N Atomen im Volumen V ergibt sich eine Atomdichte n = N/
V und ein Dipolmoment/Volumen P = n ⋅ q ⋅ s , das Polarisation
genannt wird
Damit läßt sich nun die Entstehung der Oberflächenladungen des
Dielektrikums im E-Feld erklären.
E frei
s
+ + + + + +
P
E pol
- - - - - Oberfläche A
- Alle negativen Ladungen rücken um nach s unten.
- Alle positiven Ladungen bleiben am Platz.
Im Inneren keine Nettoladung durch P . Auf den Oberflächen Ladungsdichte σ Diel
Man nennt σ Diel = σ Polarisation die Polarisationsladungen.
In der Oberflächenschicht mit Volumen s ⋅ A ist Gesamtladung
Q pol = ( n ⋅ q ) ⋅ ( s ⋅ A ) = ( n ⋅ q ⋅ s ) ⋅ A ,
wobei ( n ⋅ q ) = ( N ⋅ q ) ⁄ V = ( Q pol ⁄ V ) = Ladungsdichte
( s ⋅ A ) = V = V olumen
und ( n ⋅ q ⋅ s ) = P = Polarisation
Damit läßt sich nun zunächst der Betrag der Polarisation P berechnen; denn aus σ pol = Q pol ⁄ A
erhält man P = n ⋅ q ⋅ s = σ pol
Seite 106
GET-Skript
Die Richtung von P ist der von E Diel bzw. E pol entgegengesetzt
weil P zu den positiven Ladungen hin, E von den positiven Ladungen weg läuft. Damit darf man für das E -Feld mit Dielektrikum schreiben:
σ frei + σ pol
σ frei – P
E = --------------------------- = E frei + E pol = -------------------ε0
ε0
Die Verschiebung der negativen Ladung um s wird in gewissen
Grenzen proportional zu E sein und damit auch die Polarisation
P = N ⋅ q ⋅ s ∼ E , d. h. man setzt
P = χ ⋅ ε0 ⋅ E
und nennt χ die elektrische Suszeptibilität des Dielektrikums. Damit erhält man eine neue Schreibweise für E, nämlich
σ frei – χ ⋅ ε 0 ⋅ E
σ frei
σ frei
E = -------------------------------------= ---------- – χ ⋅ E oder E ⋅ ( 1 + χ ) = ---------ε0
ε0
ε0
und nach E aufgelöst
σ frei
1
E = ----------- ⋅ ----------------ε0 ( 1 + χ )
Häufig benutzt man die relative Dielektrizitätskonstante
ε r = 1 + χ und schreibt damit
σ frei 1
1
E = ----------- ⋅ ---- = E frei ⋅ ---ε0 εr
εr
Dies ist der Faktor ε r um den sich U beim Einbringen des Dielektrikums ins Feld geändert hatte.
5.10.3 E -Feld und Verschiebungsdichte D im Dielektrikum
Es wurde in 5.7 die Verschiebungsdichte D definiert und das
Grundgesetz Gl(1) lautete dann
°A∫ Dd A
= q
Zu diesem Zeitpunkt waren alle Betrachtungen ohne Dielektrika
angestellt worden, sodaß eine Unterscheidung zwischen freien Ladungen und Polarisationsladungen keine Rolle spielte. Deshalb
muß hier erwähnt werden, daß D definitionsgemäß nur von freien Ladungen ausgeht, daß also
Elektrostatik
°A∫ Dd A
Seite 107
= q frei
Definition von D !
Diese Definition ist zwar nicht einleuchtend, weil auch Polarisationsladungen Kräfte ausüben. Sie erspart aber die ständige Kennzeichnung der Ladungen durch die Indizes frei bzw. Polarisation.
Mit dieser Festlegung erhält man für das Feld des Plattenkondensators
D = σ frei oder D = σ frei ⋅ n
σ frei – P
Dann schreibt sich E = -------------------- bzw. ε 0 ⋅ E + P = σ frei
ε0
auch als
D = ε 0 ⋅ E + P bzw. D = ε 0 ⋅ E + P
oder mit χ bzw. ε = ε 0 ⋅ ε r
D = ε0 ⋅ E + χ ⋅ ε0 ⋅ E = ( 1 + χ ) ⋅ ε0 ⋅ E = ε0 ⋅ εr ⋅ E = ε ⋅ E
Diese Darstellung ist in der Elektrotechnik üblich, denn man kann
ohne Verständnis des „Inneren“ im Dielektrikum , also ohne die
Polarisationsmechanismen zu kennen,
- aus σ frei die Verschiebungsdichte D = σ frei ⋅ n bestimmen
( σ frei , die Ladung auf Platten ist ja unabhängig vom Dielektrikum bekannt)
- und aus D dann mit den Materialkonstanten χ oder ε r oder ε :
das E -Feld finden.
Auch die „Grundgesetze“ der Elektrostatik werden in der Elektrotechnik deshalb praktisch immer unter Benutzung von D wie folgt
formuliert:
(1)
°∫A D d A
(2‘)
°∫Γ Eds
= q frei und
= 0,
In dieser Schreibweise braucht man zur Lösung aber noch die Beziehung zwischen D und E
D = ( 1 + χ ) ⋅ ε 0 ⋅ E sog. Materialgleichung
Seite 108
GET-Skript
Dieser Versuch, die Eigenschaften der Materie durch χ zu beschreiben ist für die Praxis sehr nützlich. Allerdings ist χ nur näherungsweise konstant und bei anisotropen Materialien ein Tensor,
der die dann unterschiedliche Richtung zwischen D und E beschreibt.
5.10.4 Felder an Grenzflächen von Dielektrika
Durch die Polarisationsladungen an den Oberflächen von Dielektrika wird im Dielektrikum ein zusätzliches E -Feld erzeugt. Damit
ändert sich das gesamte E -Feld an den Grenzen von Dielektrika
sprunghaft.
Bisher galt stets die Einschränkung:
- E steht senkrecht auf dem Dielektrikum und
- außerhalb des Dielektrikums ist Luft (Vakuum)
Jetzt gilt:
- E verläuft im beliebigen Winkel zur Oberfläche des Dielektrikums und
- Grenzflächen zwischen Dielektrika mit unterschiedlichen Dielektrizitätskonstanten ε r1 und ε r2 werden betrachtet
Auch hier gilt:
ε r1
ε r2
3
Et E
2
En
d
Γ
1
4
h→0
°∫Γ Eds = 0
=
=
2
3
4
1
∫1
E ds + ∫ E ds + ∫ E ds + ∫ E ds
2
4
2
3
3
4
1
∫ E t1 ds + ∫ E n ds + ∫ E t2 ds + ∫ E n ds
1
2
3
4
= E t1 ⋅ d – E t2 ⋅ d = 0
oder E t1 = E t2
Tangentialkomponenten von E sind stetig.
Elektrostatik
Seite 109
ε r1
ε r2
A
Dn1
Dn2
Weiter gilt: Weil auf Oberfläche der Dielektrika keine freien Ladungen, ist
∫ Dd A
°
Kasten
∫ Dd A
°
Kasten
= q frei = 0
=
∫
∫
D1 d A +
Deckel A
D2 d A +
Deckel A
∫
DdA = 0
Seiten
und weil bei Höhe des Kastens → 0 das Integral über die Seitenfläche → 0 geht, bleibt
–
∫
∫
D n1 ⋅ dA +
Deckel A
oder D n1 = D n2
D n2 ⋅ dA = – D n1 ⋅ A + D n2 ⋅ A = 0
Deckel A
Normalkomponenten von D sind stetig
und
D n1 = ε r1 ⋅ ε 0 ⋅ E n1 ; D n2 = ε r2 ⋅ ε 0 ⋅ E n2
Damit läßt sich ein „Brechungsgesetz“ für die E -Feldlinien bestimmen.
ε r1
ε r2
E t2
E t1
α1
E1
E n1
E2
α2
E n2
Seite 110
GET-Skript
E t1
E t1 ⋅ ε r1 ⋅ ε 0
tan α 1 = -------= ---------------------------D n1
E n1
E t1 ⋅ ε r2 ⋅ ε
E t2
E t2 ⋅ ε r2 ⋅ ε 0
tan α 2 = -------= ---------------------------- = ----------------------------0D n2
E n2
D n1
und zusammengefaßt
tan α
ε r1
-------------1- = -----tan α 2
ε r2
Brechungsgesetz der elektrischen Feldlinien