Lösungshinweise zu Anhang B

L-144
Lösungshinweise zu Anhang B
zu Selbsttestaufgabe B.18 (triangulierte Graphen) Der Graph (a) ist trianguliert, der Graph (b) nicht, denn hier hat der Zyklus A, B, E, C, A der Länge 4
keine Sehne.
zu Selbsttestaufgabe B.22 (Fill-in) Im Graphen aus Abbildung B.3 sind A
und D nur durch den Weg A, B, C, D verbunden und durch Wege, die den Knoten
E enthalten. Da C < D, A und E < A ist, erfüllt keiner dieser Wege die in der
Definition von F (α) gestellte Anforderung. Daher enthält F (α) nicht die Kante
(A, D).
zu Selbsttestaufgabe B.23 (maximum cardinality search) Ja. Im Graphen
von Abbildung B.3 bekommt der Knoten C die Nummer 1 zugewiesen. Als Nachbarn
von C kommen D und B als Nummer 2 in Frage. Hier entscheiden wir uns willkürlich
für D, B bekommt die Nummer 3 und E die Nummer 4. Nun gibt es zwei noch nicht
nummerierte Knoten, die die Maximalzahl von 2 nummerierten Nachbarn besitzen,
nämlich A und G. Wir weisen zunächst A die Nummer 5 zu, dann G die Nummer
6. F ist nun der einzige Knoten mit zwei nummerierten Nachbarn, wird also der 7.
Knoten. Schließlich erhält H die Nummer 8.
zu Selbsttestaufgabe B.32 (d-Separation)
1. Ja, wie man aus Abbildung B.7(c) sofort sieht: Jeder Weg zwischen A und D
verläuft entweder über B oder über C.
2. Nein. Die minimale Vorfahrenmenge von {A, B, C, E} ist {A, B, C, D, E}, und
der zugehörige morale Graph ist der in Abbildung L.26. Zwischen B und C
gibt es darin sogar zwei verschiedene Wege, die weder A noch E enthalten.
A
B
C
D
E
Abbildung L.26 Der morale Graph zu Selbsttestaufgabe B.32
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L-145
zu Selbsttestaufgabe B.33 (Triangulation)
1. Wir bestimmen eine lineare Ordnung α der Knoten von G nach dem
Maximalzahl-Kriterium wie folgt: Zunächst weisen wir (willkürlich) dem Knoten A die Nummer 1 zu. Die Knoten B und C kommen als Nachbarn von A für
die Nummer 2 in Frage, wir wählen hier B. Die Nummer 3 könnten wir nun
D, E oder C zuweisen, da jeder der drei Knoten einen bereits nummerierten
Nachbarn hat; wir entscheiden uns für C. Jetzt ist E der einzige Knoten, der
die Maximalzahl von zwei nummerierten Nachbarn besitzt, also bekommt E
die Nummer 4. Ebenso ist nun D der einzige Knoten mit zwei nummerierten
Nachbarn, wird folglich Nummer 5. Damit besitzen die Knoten G, H und F
jeweils einen nummerierten Nachbarn, wir wählen G als Nummer 6. Als Nummer 7 kommen die Knoten H und F in Frage, hier entscheiden wir uns für H.
Die beiden noch verbleibenden Knoten I und F haben jeweils einen nummerierten Nachbarknoten, wir weisen I die Nummer 8 und F die Nummer 9 zu.
Somit ergibt sich die folgende Ordnung:
α : A < B < C < E < D < G < H < I < F.
2. Wir bestimmen zunächst den Fill-in F (α) von G (gemäß Definition B.19,
S. 511). Es gilt (B, C) ∈ F(α), da es einen Pfad von B zu C gibt – nämlich
B, E, C – und B, C < E sind. Des Weiteren ist (C, H) ∈ F(α): für die Knoten
F und I auf dem Pfad C, F, I, H gilt C, H < F, I. Ebenso gilt (C, I) ∈ F(α).
Außerdem ist (C, D) ∈ F(α), da es mit dem Weg C, F, I, H, D einen Pfad
gibt, auf dem alle “Zwischenknoten” (F, I, H) den Knoten C, D bzgl. der
Ordnung α nachgeordnet sind. Weitere Kanten enthält F (α) nicht. Damit ist
F (α) = {(B, C), (C, H), (C, I), (C, D)}.
Wir erhalten den in Abbildung L.27 gezeigten (triangulierten) Fill-in-Graphen
von G bezüglich α.
L-146
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A
1
B
2
D
5
G
6
C
3
E
4
H
7
F
9
I
8
Abbildung L.27 Triangulierter Graph zu Selbsttestaufgabe B.33
zu Selbsttestaufgabe B.34 (d-Separation) Es sei G ein DAG mit der Knotenmenge {A, B, C}. B d-separiert A und C genau dann, wenn B A und C in dem (aus
G entstandenen) moralen Graphen Gm separiert. Es muss also sichergestellt werden,
dass jeder Weg zwischen A und C den Knoten B enthält (s. Definitionen B.26 und
B.30). Dies ist dann der Fall, wenn es
1. in G keine direkte Verbindung zwischen A und C gibt, und wenn
2. A und C nicht gleichzeitig Elternknoten von B sind.
Im 2. Fall müsste der morale Graph Gm die Kante (A, C) enthalten, und wir hätten
einen Weg zwischen A und C, der nicht B enthält. Es bleiben somit die drei in
Abbildung L.28 gezeigten Möglichkeiten für G.
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L-147
A
C
A
B
B
B
C
A
C
Abbildung L.28 Mögliche DAG’s zu Selbsttestaufgabe B.34 (B d-separiert A und C)
zu Selbsttestaufgabe B.36 (running intersection property) Die 7 Cliquen
sind folgendermaßen gegeben:
C1 = {A, B}
C2 = {B, C}
C3 = {C, D} C4 = {D, H}
C5 = {D, E, G} C6 = {E, F, G} C7 = {A, E}
Wir überprüfen die fortlaufende Schnitteigenschaft:
C2 ∩ C1 = {B} ⊆ C1
C3 ∩ (C1 ∪ C2 ) = {C} ⊆ C2
C4 ∩ (C1 ∪ C2 ∪ C3 ) = {D} ⊆ C3
C5 ∩ (C1 ∪ . . . ∪ C4 ) = {D} ⊆ C3
C6 ∩ (C1 ∪ . . . ∪ C5 ) = {E, G} ⊆ C5
Bis hierhin genügt also die Cliquen-Ordnung der running intersection property. Für
die 7. Clique gilt aber
C7 ∩ (C1 ∪ . . . ∪ C6 ) = {A, E} 6⊆ Cj
für alle j ∈ {1, . . . , 6}. Die Cliquen-Ordnung erfüllt also nicht die fortlaufende
Schnitteigenschaft.
L-148
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zu Selbsttestaufgabe B.39 (Cliquenbaum) Im Beispiel B.38 sind andere mögliche Elterncliquen zu C6 die Cliquen C2 und C1 . Abbildung L.29 zeigt einen alternativen Cliquenbaum.
C1 =
{B, C, D}
?
{B, D}
?
C2 =
{B, D, E}
{B, E}
{D, E}
{D}
?
R
C3 =
C4 =
C6 =
{A, B, E}
{D, E, G}
{D, H}
{E, G}
?
C5 =
{E, F, G}
Abbildung L.29 Alternativer Cliquenbaum zu Beispiel B.38(Selbsttestaufgabe B.39)
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L-149
zu Selbsttestaufgabe B.47 (überdeckender Hyperbaum) Die Ordnung A <
B < C < E < D ist eine MCS-Ordnung, die zu der Hyperkanten-Ordnung
E1 = {A, B, C}, E2 = {C, E}, E3 = {B, D, E}, E4 = {D, E}
passt. Im Schnittgraphen Hs aus Abbildung B.11(a) sind damit die Mengen der
kleineren Nachbarn wie folgt:
Knoten
A
B
C
E
D
kleinere Nachbarn
−−−
A
A, B
B, C
B, E
Alle kleineren Nachbarn sind bereits im Schnittgraphen miteinander verbunden, es
müssen also keine Kanten eingefügt werden. Der zugehörige überdeckende Hyperbaum ist damit H′ = hV, {{A, B, C}, {B, C, E}, {B, D, E}}i.