Leseprobe zum Titel: Mathematik üben mit Erfolg - 7

Beuthan/Nordmeier
Mathematik üben
mit Erfolg
7. Schuljahr Gymnasium
MANZ VERLAG
3055_Titelei.indd 1
15.11.2006 15:19:50
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Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine
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Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.
Manz Verlag
© Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2007
Alle Rechte vorbehalten
Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig
Herstellung: S.M.P Oehler, Remseck
Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg
Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg
Druck: Finidr s.r.o., Český Těšín
ISBN: 978-3-7863-3055-4
www.manz-verlag.de
3055_Titelei.indd 2
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Tipps zum Training mit diesem Buch
Dieses Buch enthält alle Inhalte, die üblicherweise im Mathematik-Unterricht der
7. Klasse behandelt werden.
Damit du dich besser zurechtfindest, sind die Abschnitte einheitlich aufgebaut:
Jedes Thema beginnt mit einem farbig unterlegten Kasten, der das für das
jeweilige Kapitel benötigte Wissen kurz zusammenfasst.
Daran schließt sich ein ausführlich vorgerechnetes Beispiel – manchmal auch
mehrere – mit einer typischen Aufgabenstellung für dieses Thema an.
Es folgen verschiedene Aufgaben, die in ihrem Schwierigkeitsgrad anwachsen. Aufgaben von höherem Schwierigkeitsgrad sind mit einem kleinen
Dreieck ▲ gekennzeichnet.
An vielen Stellen findest du Tipps mit Lösungs- und Merkhilfen.
Im Kapitel „Grundlagen“ sind die mathematischen Inhalte zusammengefasst,
die du für die Arbeit in der 7. Klasse immer wieder benötigst.
Zu den Themen „Prozent- und Zinsrechnung“, „Terme“, „Gleichungen und
Ungleichungen“ und „Dreiecke und Vierecke“ findest du jeweils am Ende des
Kapitels Tests. Mit ihrer Hilfe kannst du feststellen, ob du in diesen Themen
schon fit bist oder dich auf Klassen- und Schularbeiten vorbereiten.
Mithilfe der Lösungen ab Seite 88 kannst du überprüfen, ob du richtig gerechnet hast.
Das ausführliche Stichwortverzeichnis auf den Seiten 132 bis 134 hilft dir
neben dem Inhaltsverzeichnis, dich gut und schnell im Buch zurechtzufinden.
Dazu findest du auf der Seite 131 auch noch eine Übersicht der verwendeten
mathematischen Zeichen.
3055_Buch.indb 3
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Inhalt
A
Grundlagen
1
2
3
4
5
6
7
8
B
Grundkonstruktionen
Winkel an geschnittenen Geraden und Parallelen
Winkelsummen
16
20
22
Prozent- und Zinsrechnung
1
2
3
4
5
6
7
D
6
8
9
11
12
13
14
15
Geometrie 1
1
2
3
C
Zuordnungen
Dreisatzrechnung
Achsen- und Punktsymmetrie
Flächen- und Rauminhalte
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
Rechnen mit rationalen Zahlen
Rechenregeln und Rechenvorteile
Taschenrechner – ein nützliches Hilfsmittel
Die Grundaufgaben der Prozentrechnung
Prozentuale Veränderungen
Anwendungen der Prozentrechnung
Einfache Zinsrechnung
Zinsen für längere Zinszeiten
Vermischte Aufgaben zur Zinsrechnung
Test: Prozent- und Zinsrechnung
24
28
30
31
33
34
35
Terme und Termumformungen
1
2
3
4
5
6
Terme mit einer Variablen
Rechenregeln bei Termen
Terme aufstellen
Gleichwertige Terme
Terme umformen und vereinfachen
Kannst du mit Termen umgehen?
36
37
38
40
41
46
4
3055_Buch.indb 4
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1 Zuordnungen
E
Gleichungen und Ungleichungen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F
48
51
56
57
58
60
62
63
65
Geometrie 2
1
2
3
4
5
6
7
8
G
Grundlagen
Gleichungen rechnerisch lösen
Formeln und Größengleichungen
Proportionale Zuordnungen
Lineare Funktionen
Geradengleichungen
Gleichungen grafisch lösen
Ungleichungen lösen
Test: Gleichungen und Ungleichungen
Kongruente Figuren
Kongruenzsätze – Dreieckskonstruktionen
Besondere Dreiecke und Vierecke
Umkreise und der Satz des Thales
Kreistangenten
Besondere Linien im Dreieck
Anwendungen
Test: Dreiecke und Vierecke
66
69
72
74
76
77
79
80
Daten und Zufall
1
2
3
Vom Umgang mit Daten
Zufallsexperimente
Mehrstufige Zufallsexperimente
Lösungen
81
84
86
88
Mathematische Zeichen
131
Stichwortverzeichnis
132
5
3055_Buch.indb 5
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A Grundlagen
1 Zuordnungen
Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, ... einer Ausgangsgröße
auch das Doppelte, Dreifache, Vierfache der zugeordneten Größe, dann
liegt eine proportionale Zuordnung vor.
Die Größenpaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich.
Stellt man sie im Achsenkreuz dar, dann liegen die Bildpunkte auf einer
Geraden, die durch den Ursprung verläuft.
Bei proportionalen Zuordnungen gilt: „Je mehr – desto mehr“.
Beispiel 1 Ein 720 m2 großes Baugrundstück kostet 43 200 1.
Wie teuer ist das Nachbargrundstück von 810 m2 (gleicher Preis pro m2)?
Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße ¥ Grundstückspreis ist
proportional, weil ein doppelt (dreimal, ...) so großes Grundstück auch das
Doppelte (Dreifache, ...) kostet.
Zuordnungstabelle
Die Rechnungen folgen den Pfeilen:
Grundstücks- Grundstücks2
größe in m
preis in 1
(1) 43 200 1 : 720 = 60 1
(2)
60 1 · 810 = 48 600 1
720
43 200
: 720
: 720
1
60
Antwort: Das Nachbargrundstück
· 810
· 810
810
48 600
mit 810 m2 kostet 48 600 Euro.
Beispiel 2 Der Wagen von Herrn Wagner verbraucht 11,0 Liter Super auf 100 km.
a) Wie weit kommt er mit 55,0 Litern Benzin?
b) Er fährt 620 km. Wie viele Liter Benzin hat er verbraucht?
Vorüberlegung: siehe Beispiel 1.
Zuordnungstabelle
Die Rechnungen folgen den
Fahrstrecke
Benzinin km
menge in ø
Pfeilen:
100
11,0
a) 100 km · 5 = 500 km
·5
·5
b) 11,0 ® · 6,2 = 68,2 ®
500
55,0
· 6,2
· 6,2
620
68,2
Tipp: Wenn dir der direkte Schluss von 100 km auf 620 km nicht gelingt, dann
kannst du auch über 1 km schließen und rechnen: (11,0 ® : 100) · 620.
Antworten: a) Er kommt 500 km weit, b) er verbraucht 68,2 Liter Benzin.
6
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1 Zuordnungen
Gehört zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, ... einer Ausgangsgröße
die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, ... der zugeordneten Größe, dann liegt
eine antiproportionale Zuordnung vor.
Die Größenpaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Stellt man sie im Achsenkreuz dar, dann liegen die Bildpunkte auf
einer gekrümmten fallenden Kurve, auf einer Hyperbel.
Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: „Je mehr – desto weniger“.
Wird das Erdreich bei einer Baustelle mit einem Lkw abtransportiert, der 4 m3
laden kann, dann sind 30 Fahrten notwendig. Wie viele Fahrten werden es, wenn
ein Lkw mit einer Tragfähigkeit von 6 m3 eingesetzt wird?
Vorüberlegung: Die Zuordnung Ladevolumen ¥ Anzahl der Fahrten ist antiproportional, weil ein Lkw mit doppelter (halber) Tragfähigkeit halb so viele (doppelt
so viele) Fahrten durchführen muss.
Zuordnungstabelle
Die Rechnung folgt den Pfeilen:
Ladevolumen
Anzahl der
3
V in m
Fahrten
1. Schritt: 30 Fahrten · 4 = 120 Fahrten
2. Schritt: 120 Fahrten : 6 = 20 Fahrten
4
30
:4
·4
1
120
·6
:6
Antwort: Ein Lkw mit einer Tragfähig6
20
keit von 6 m3 muss 20-mal fahren.
Beispiel 1
Ein Baugebiet wird in 12 Bauplätze zu je 800 m2 eingeteilt.
Wie viele Bauplätze zu je 600 m2 hätte man ausweisen können?
Vorüberlegung: Die Zuordnung Grundstücksgröße ¥ Anzahl der Bauplätze ist
antiproportional, weil bei doppelt (halb) so großen Grundstücken halb (doppelt) so
viele Bauplätze entstünden.
Zuordnungstabelle
Die Rechnung folgt den Pfeilen:
GrundstücksAnzahl der
größe in m2
Bauplätze
1. Schritt: 12 Plätze · 8 = 96 Plätze
2. Schritt: 96 Plätze : 6 = 16 Plätze
800
12
:8
·8
100
96
·6
:6
Antwort: Man könnte 16 Bauplätze zu
600
16
je 600 m2 ausweisen.
Beispiel 2
7
3055_Buch.indb 7
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A Grundlagen
2
Dreisatzrechnung
Mithilfe eines Dreisatzes kannst du bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen fehlende Größen berechnen. Dazu müssen ein
Größenpaar (Ausgangsgröße und zugeordnete Größe) und mindestens
eine weitere Größe gegeben sein. Eine Dreisatzrechnung läuft so ab:
• Du prüfst, ob eine proportionale oder eine antiproportionale
Zuordnung vorliegt.
• Du schreibst die Lösung in drei Sätzen auf:
1. Schritt: Das bekannte Größenpaar
2. Schritt: Du schließt (in der Regel) auf die Einheit und rechnest.
3. Schritt: Du schließt auf das Vielfache, rechnest und antwortest.
Lege zunächst eine Zuordnungstabelle an.
Beispiel 1
Eine Strickmaschine stellt in 4 Stunden 15 Pullover her. Wie lange braucht die
Maschine, um 50 Pullover zu stricken?
Vorüberlegungen:
(1) Die Zuordnung Strickzeit ¥ Anzahl fertiger Pullover ist proportional, weil bei
doppelter (halber) Strickzeit doppelt (halb) so viele Pullover fertig werden.
(2) Man sollte von vornherein in Minuten rechnen.
Zuordnungstabelle
Dreisatzrechnung
Du weißt: Für 15 Pullover braucht sie 240 min.
Strickzeit Fertige
in min
Pullover
Du rechnest: Für einen Pullover braucht sie
240 min : 15 = 16 min;
240
15
: 15
: 15
für 50 Pullover braucht sie
1
· 50
· 50
16 min · 50 = 800 min
50
Antwort: Für 50 Pullover werden 13 Stunden
20 Minuten benötigt.
Beispiel 2 5 Bagger heben eine Grube in 6 Stunden aus. Wie lange brauchen 3 Bagger?
Vorüberlegung: Die Zuordnung ist antiproportional, weil die doppelte Anzahl
von Baggern die Grube in der halben Zeit ausheben würden.
Zuordnungstabelle
Dreisatzrechnung
5 Bagger brauchen 6 h.
Anzahl der ArbeitsBagger
zeit in h
1 Bagger braucht 6 h · 5 = 30 h.
5
6
3 Bagger brauchen 30 h : 3 = 10 h.
:5
·5
Antwort: Drei Bagger brauchen
1
·3
:3
10 Stunden.
3
8
3055_Buch.indb 8
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3 Achsen- und Punktsymmetrie
3
Achsen- und Punktsymmetrie
Wichtige Eigenschaften der Achsenspiegelung
(1) Ein Punkt P und sein Spiegelbild P’ liegen auf verschiedenen Seiten
}}
der Achse, sodass die Achse Mittelsenkrechte der Strecke PP’ ist.
Sonderfall: Ein Punkt auf der Achse ist sein eigenes Spiegelbild.
(2) Eine Gerade g, die schräg zur Achse s läuft, und ihr Spiegelbild
g’ schneiden die Achse unter gleichem Winkel. Die Achse ist die
Winkelhalbierende des Winkels zwischen g und g’.
Sonderfall: Eine Senkrechte zur Achse geht in sich selbst über.
(3) Eine Gerade, die parallel zur Achse verläuft, geht in eine Parallele
g’ auf der anderen Seite der Achse über. Die Achse ist die
Mittelparallele von g und g’.
Sonderfall: Die Achse ist ihr eigenes Spiegelbild.
(4) Spiegelt man ein Dreieck, Viereck, ... ein n-Eck, dann entsteht eine
deckungsgleiche Figur allerdings mit geändertem Umlaufsinn.
Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und
C
C’
eine Gerade s. Gesucht ist das Spiegelbild
des Dreiecks, wenn s die Spiegelachse ist.
Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die
Bildpunkte A’, B’ und C’ und verbinde
A’
A
sie zu einer Pfeilfigur. Das Pfeildreieck
A’B’C’ hat die gleiche Form und die gleiB
B’
che Größe wie das Pfeildreieck ABC, aber
s
einen anderen Umlaufsinn. Folgt man den
Pfeilen, dann geht es im Original linksherum, im Spiegelbild jedoch rechtsherum.
Geht eine Figur F bei der Spiegelung
an der Geraden s in sich selbst
über, dann heißt s Spiegelachse
(Symmetrieachse) von F. Die Figur F
ist achsensymmetrisch.
In achsensymmetrischen Figuren sind
entsprechende Strecken gleich lang
und entsprechende Winkel gleich
groß.
Beispiel
F
s
9
3055_Buch.indb 9
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A Grundlagen
Punktspiegelungen und punktsymmetrische Figuren
Wichtige Eigenschaften der Punktspiegelung
(1) Ein Punkt P und sein Bildpunkt P’ liegen auf einer Geraden durch
das Zentrum M der Punktspiegelung. M ist der Mittelpunkt der
}}
Strecke PP’.
Sonderfall: M geht bei der Punktspiegelung in sich selbst über.
(2) Eine Gerade g und ihr Bild g’ bilden einen Streifen. Seine Mittelparallele geht durch das Zentrum der Punktspiegelung.
Sonderfall: Eine Gerade durch M geht in sich selbst über.
(3) Führt man mit einem Dreieck, Viereck, ... , n-Eck eine Punktspiegelung durch, entsteht ein deckungsgleiches Dreieck, Viereck, ..., n-Eck.
Beispiel
Gegeben sind ein Pfeildreieck ABC und
das Zentrum M einer Punktspiegelung.
Gesucht ist das Abbild des Dreiecks.
Konstruktion: Zeichne der Reihe nach die
Bildpunkte A’, B’ und C’ und verbinde sie
zu einer Pfeilfigur.
A’
B’
C
M
C’
B
A
Geht eine Figur F bei der
Punktspiegelung mit M als Zentrum
F
in sich selbst über, dann heißt M das
M
Symmetriezentrum von F. Die Figur F
ist dann punktsymmetrisch.
In punktsymmetrischen Figuren sind
entsprechende Strecken gleich lang, entsprechende Winkel und entsprechende Teilfiguren gleich groß.
Geht eine Figur F bei der Drehung um
einen Punkt M mit einen Winkel a in sich
selbst über, so heißt sie drehsymmetrisch.
Treten bei drehsymmetrischen Figuren
Drehwinkel von 180° (Sonderfall!), 90°,
60°, 45°, 30°, 22,5°, 20°, 18°, 15°, 12°,
10°, ... auf, dann sind die Figuren auch
punktsymmetrisch.
F
a
M
10
3055_Buch.indb 10
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4 Flächen- und Rauminhalte
4
Flächen- und Rauminhalte
Der Flächeninhalt eines Rechtecks
ist ARechteck = a · b.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist
g·h
ADreieck = }}
.
2
b
h
g
a
Umrechnung von Flächeneinheiten
· 100
km2
· 100
· 100
ha
: 100
· 100
m2
a
: 100
· 100
: 100
· 100
dm2
: 100
cm2
: 100
a) 1 km2 = 1 m2 · 100 · 100 · 100 = 1 000 000 m2
mm2
: 100
b) 1 m2 = 0,000001 km2
Beispiel 2
Der Fußboden einer Küche wird mit quadratischen Fliesen (s = 20 cm) ausgelegt. Die Küche ist
4,20 m lang und 3,60 m breit. Wie viele Fliesen
müssen mindestens bestellt werden?
Gegenständliche Lösung: Man legt an die
Längsseite der Küche eine Reihe Fliesen, es
sind 21.
Man braucht 18 Reihen, bis der Boden ganz
bedeckt ist. Der Mindestbedarf beträgt also 21 · 18 Fliesen = 378 Fliesen.
Rechnerische Lösung:
Fußbodenfläche : Flächeninhalt einer Fliese = Anzahl der Fliesen
Eingesetzt: (420 cm · 360 cm) : 400 cm2 = 378
Antwort: Es werden 400 Fliesen (mindestens jedoch 378) bestellt.
Der Rauminhalt (das Volumen) eines
Quaders beträgt VQuader = a · b · c,
der eines Würfels VWürfel = a3.
a
a
a
Beispiel 1
c
a
b
Umrechnung von Volumeneinheiten
· 1000
m3
: 1000
· 1000
dm3
: 1000
· 1000
cm3
: 1000
mm3
Weißt du noch?
1 Liter = 1 dm3
= 1000 cm3
1 m® = 1 cm3
11
3055_Buch.indb 11
21.11.2006 13:45:07
A Grundlagen
5
Natürliche, ganze und rationale Zahlen
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Auf der Zahlengeraden liegen die negativen und die positiven Zahlen
spiegelbildlich zur 0. So liegt -3 beispielsweise spiegelbildlich zur 3.
Man sagt: –3 ist die Gegenzahl von 3 und 3 die Gegenzahl von –3.
Die Zahlen 0; 1; 2; 3; … bilden die
Menge N der natürlichen Zahlen.
Die natürlichen Zahlen bilden
zusammen mit ihren Gegenzahlen die Menge Z der ganzen . . . .
Zahlen.
Z = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …}
N = {0; 1; 2; 3; …}
Auch zu positiven Bruchzahlen wie }12 ; 3 }14 ; 1,3 oder 4,7 kann man an der
Zahlengeraden durch Spiegeln an der Null jeweils eine Gegenzahl finden.
rationale Zahlen
Alle positiven Bruchzahlen bilden zusammen
ganze Zahlen
mit ihren Gegenzahlen und mit der Zahl Null
natürliche Zahlen
die Menge Q der rationalen Zahlen.
Beispiel 1
a) Ordnen der Zahlen 4; –5; –2; 7; –10 und 0: –10 < –5 < –2 < 0 < 4 < 7
b) Zahlen auf der Zahlengeraden eintragen:
–10
–5
–2
0
4
7
Beispiel 2 a) Die Gegenzahlen von }12; –3 }14; 1,3 und –4,7 lauten – }12; 3 }14; –1,3 und 4,7.
b) Zahlen ordnen: –4,7 < –3 }14 < –1,3 < – }12 < }12 < 1,3 < 3 }14 < 4,7.
c) Zahlen und ihre Gegenzahlen auf der Zahlengeraden eintragen:
–3 }14
– 4,7
–5
Beispiel 3
–4
Zahl
–3
–7
gehört zu N
gehört zu Z
gehört zu
Q+
gehört zu
Q–
– }12
–1,3
–2
3
–1
–1,5
1
2
0
1
2
3
}
3 }14
1,3
}
2
3
4,7
4
5
}}
– 4,56
x
x
x
x
x
x
x
x
12
3055_Buch.indb 12
21.11.2006 13:45:07
6 Rechnen mit rationalen Zahlen
6
Rechnen mit rationalen Zahlen
Unter dem Betrag (Absolutbetrag) einer Zahl a versteht man die Zahl a
selbst, falls a positiv oder 0 ist, bzw. die Gegenzahl von a, falls a negativ
ist.
Zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem
man ihre Beträge addiert und dem Ergebnis das gemeinsame Vorzeichen
gibt.
Zwei rationale Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man den kleineren vom größeren Betrag subtrahiert und dem Ergebnis das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag gibt.
Man subtrahiert eine rationale Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert.
Man multipliziert (dividiert) zwei rationale Zahlen, indem man ihre
Beträge multipliziert (dividiert) und im Ergebnis das richtige Vorzeichen
setzt. Haben die beiden Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis
positiv, ansonsten ist es negativ. Durch 0 darf man nicht dividieren.
Betrag einer rationalen Zahl
a) !�2 ! = 2; – }14 = }14; !�0 ! = 0; !�–1,5 ! = 1,5
!� !
Addieren rationaler Zahlen
a) (–15) + (–8) = –(15 + 8) = –23
c) (–3,3) + (+5) = +(5 – 3,3) = +1,7
Beispiel 1
b)
!�–0,4 ! – !�–4 ! = 0,4 – 4 = –3,6
Beispiel 2
b)
d)
(+23) + (–17) = +(23 – 17) = +6
0 + (–12,5) = –(12,5 – 0) = –12,5
5–4
e) 1 + }23 2 + 1 – }56 2 = 1 + }46 2 + 1 – }56 2 = – 1 }56 – }46 2 = – }}
= – }16
6
Subtrahieren rationaler Zahlen
a) (–7) – (+5) = (–7) + (–5) = –12
c)
Beispiel 3
b)
(–3,4) – (–5) = (–3,4) + (+5) = +1,6
3
5
3
5
2
– +}
= 1+}
+ 1–}
= –}
1 + }15 2 – 1 + }13 2 = 1 + }
15 2 1 15 2
15 2
15 2
15
Beispiel 4
Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen
a) (+5) · (–6) = – (5 · 6) = –30
b) (–1,5) · (+3) = –(1,5 · 3) = –4,5
c) (–8) · (–0,2) = +(8 · 0,2) = 1,6
d)
1 – }23 2 · 1 + }67 2 = – 1 }23 · }67 2 = – }47
e) (+3,5) : (+7) = +(3,5 : 7) = 0,5
f)
(–8) : (+0,2) = –(8 : 0,2) = –40
h)
0 : (–3,25) = 0
g)
1 – }27 2
:
1 – }34 2
=
+ 1 }27
·
4
}2
3
=
8
}
21
13
3055_Buch.indb 13
21.11.2006 13:45:08
A Grundlagen
7
Rechenregeln und Rechenvorteile
Beim Addieren bzw. Multiplizieren rationaler Zahlen darf man die
Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren beliebig verändern
(Kommutativgesetz) und man darf die Abfolge der Rechenschritte
selbst durch Klammern festlegen (Assoziativgesetz).
Ausmultiplizieren: Statt eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren,
kann man auch jeden Summanden mit dieser Zahl multiplizieren und
dann die entstehenden Produkte addieren (Distributivgesetz).
Plusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, so darf man
das Pluszeichen zusammen mit der Klammer einfach weglassen.
Minusklammer-Regel: Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, so darf
man das Minuszeichen zusammen mit der Klammer weglassen, wenn
man dafür alle Vorzeichen in der Klammer ändert.
Beispiel 1
a) 2,4 + 3 + 1,6 = 2,4 + 1,6 + 3 = 4 + 3 = 7
b) 1,2 · 0,4 · 5 = 1,2 · 5 · 0,4 = 6 · 0,4 = 2,4
c) 1,2 · 0,4 · 5 = 1,2 · (0,4 · 5) = 1,2 · 2 = 2,4
Beispiel 2 a) 1 }14 + }15 2 · 40 = }14 · 40 + }15 · 40 = 10 + 8 = 18
Summanden vertauscht
Faktoren vertauscht
Reihenfolge festgelegt
Ausmultiplizieren
b) 1,3 · 7 + 4,7 · 7 = (1,3 + 4,7) · 7 = 6 · 7 = 42 Ausklammern
Beispiel 3 1,1 + (+4,6) – (–4,9) – (+3,6)
= 1,1 + 4,6 + 4,9 – 3,6
= 4,6 – 3,6 + 4,9 + 1,1
= (4,6 – 3,6) + (4,9 + 1,1)
=
1
+
6 =7
Klammern einsparen,
Summanden geeignet tauschen,
Reihenfolge durch Klammern festlegen,
Klammern zuerst ausrechnen,
dann von links nach rechts rechnen.
Beispiel 4 a) 6,5 + (2,5 – 1,3) = 6,5 + 2,5 – 1,3 = 9 – 1,3 = 7,7
Plusklammerregel
b) 4,9 – (2,4 – 1,5) = 4,9 –2,4 + 1,5 = 2,5 + 1,5 = 4
Minusklammerregel
c) 31 + (– 46 – 88) – (– 66 – 208) = 31 – 46 – 88 + 66 + 208
= 31 + 66 – 46 + 208 – 88 = 31 + (66 – 46) + (208 – 88)
= 31 + 20 + 120 = 171
14
3055_Buch.indb 14
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8 Taschenrechner – ein nützliches Hilfsmittel
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Taschenrechner – ein nützliches Hilfsmittel
Umfangreiche Rechnungen lassen sich oftmals nur mit viel Mühe im
Kopf oder schriftlich erledigen. In solchen Fällen kann ein Taschenrechner weiterhelfen. Wichtig ist jedoch, dass man den Taschenrechner
richtig bedienen kann.
Aufgabe
Eingabe am Taschenrechner
Ergebnis
a) 14,9 + 23 · 18
¨ybo«©ªp¨nÁ
428,9
Moderne Taschenrechner beachten die Punkt-vor-Strich-Regel selbstständig.
13 · 17 – 19
b) }}}}}
53 – 28
c¨ªp¨m|¨odeczª|©ndÁ
Beispiel 1
8,08
Der Bruchstrich steht für eine Geteilt-Rechnung. Die Rechenausdrücke in
Zähler und Nenner werden jeweils in Klammern zusammengefasst.
c) 1,62 + 2,43
¨b{0«©byZªÁ
16,384
TIPP: Statt Z haben manche Taschenrechner die Taste ,.
5
2
d) }
+ 2}
15
12
HFGBDHFBFGHJ
11
2}
20
Viele Taschenrechner haben eine Taste für die Eingabe von Brüchen.
Ist das Ergebnis der Rechnung wieder ein Bruch, so zeigt der Taschenrechner
es z. B. so an: 21120. Man kann es auch in eine Dezimalzahl umwandeln
lassen und erhält 2,55.
Beispiel 2
Ein Kreis mit dem Radius 4 cm (Durchmesser 8 cm) hat einen Flächeninhalt
A < 3,14 · (4 cm)2 < 50 cm2 und einen Umfang U < 3,14 · 8 cm < 25 cm.
Hat dein Taschenrechner eine .-Taste, so kannst du A bzw. U durch die
Eingaben .8A0J bzw. .8<J noch einfacher berechnen.
Manchmal gibt man beim Rechnen mit dem Taschenrechner aus Versehen
eine falsche Zahl oder ein falsches Rechenzeichen ein. In solch einem Fall
musst du nicht immer die ganze Rechnung von vorne beginnen. Viele
Taschenrechner besitzen eine Taste, mit der man die das zuletzt eingetippte
Zeichen löschen bzw. überschreiben kann. Probiere dies an deinem Taschenrechner einmal aus.
Tipp
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Stichwortverzeichnis
Achsenspiegelung 9
achsensymmetrisch 9, 73
achsensymmetrisches Dreieck 72
allgemein gültig 55
Anfangswert 28
antiproportionale Zuordnung 7
äquivalent 40
Äquivalenzumformungen 51
Assoziativgesetz 14, 42
Ausklammern eines gemeinsamen
Faktors 45
Ausmultiplizieren 14
Baumdiagramm 86
Berechnung
– des Grundwerts 26
– der Jahreszinsen 31
– des Prozentsatzes 25
– des Prozentwerts 24
– von Tageszinsen 32
– des Zinssatzes 31
Betrag (Absolutbetrag) einer
Zahl 13
Daten 81
deckungsgleich 66
Diagramm
– Baumdiagramm 86
– Säulendiagramm 81
– Stabdiagramm 81
Distributivgesetz 14, 42
drehsymmetrisch 10
drehsymmetrische Figuren 10
Dreieck
– achsensymmetrisches 72
– gleichschenkliges 23, 72
– gleichseitiges 72
– rechtwinkliges 74
– spitzwinkliges 74
– stumpfwinkliges 74
Dreieckskonstruktion 69
Dreisatz 8
Endwert 28
Ereignis 85
Ergebnisse 84
Experiment 84
Faktorisieren 45
Flächeninhalt
– eines Dreiecks 11
– eines Rechtecks 11
Formeln 56
Funktion
– lineare 58
– proportionale 57
ganze Zahlen 12
Gegenereignis 85
Gegenzahl 12
Geradengleichung 60
gleichschenkliges Dreieck 23, 72
gleichseitiges Dreieck 72
Gleichungen 48
– grafisch lösen 62
– lösen 48
– sortieren 54
– vereinfachen 54
gleichwertig 40
gleichwertige Terme 40
Graphen 60
Größengleichungen 56
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3055_Buch.indb 132
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Stichwortverzeichnis
Grundkonstruktionen 16
Grundwert 24
Häufigkeit
Höhe 77
81
Inkreis 77
Innenwinkel 22
Kapital 31
Kehrsatz 75
Klasseneinteilung 82
Kommutativgesetz 14, 42
kongruent 66
Kongruenzabbildungen 66
Kongruenzsätze 69
Laplace-Experiment 85
lineare Funktion 58
lineare Zuordnung 58
Lösung 48
Lösungen einer Gleichung 48
Lösungsmenge 48
Median 81
mehrstufig 86
Minusklammer-Regel 14, 42
Mittelparallele 9
Mittelsenkrechte 9, 74
– konstruieren 17
natürliche Zahlen 12
Nebenwinkel 20
Netto 30
Ortsliniensatz
74, 77
Parallele zeichnen 18
Pfadregel 86
Plusklammer-Regel 14, 42
Potenzschreibweise 43
Probe 49
Probefigur 23
Produkte von Variablen 43
produktgleich 7
Promille 30
proportionale Funktion 57
proportionale Zuordnung 6
Proportionalitätsfaktor 57
Prozentfaktor 28
Prozentsatz 24
prozentuale Veränderung 28
Prozentwert 24
Punktspiegelung 10
punktsymmetrisch 10, 72, 73
punktsymmetrische Figuren 10
quotientengleich 6
Rabatt 30
rationale Zahlen 12
Rauminhalt eines Quaders 11
Rechengesetze 42
Rechenregeln bei Termen 37
rechtwinkliges Dreieck 74
Regeln
– Minusklammer 14, 42
– Pfad 86
– Plusklammer 14, 42
– Summen 85
Relationszeichen 63
Rückwärtsrechnen 48
Satz des Thales 75
Säulendiagramm 81
Scheitelwinkel 20
Schwerelinien 78
Schwerpunkt 78
Seitenhalbierende 78
Senkrechte zeichnen 17
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Stichwortverzeichnis
Skonto 30
Sortieren einer Gleichung 54
Spiegelachse 9, 73
Spiegelbild 9
spitzer Winkel 22
spitzwinkliges Dreieck 74
Stabdiagramm 81
Steigung 60
Steigungsdreieck 60
Strecke halbieren 17
Streifen 10
Stufenwinkel 20
stumpfer Winkel 22
stumpfwinkliges Dreieck 74
Summenregel 85
Symmetrieachse 16
Symmetriezentrum 10
Variablen 36
Vereinfachen einer Gleichung 54
Wahrscheinlichkeit 84
Wechselwinkel 20
Winkel
– Innenwinkel 22
– Nebenwinkel 20
– Scheitelwinkel 20
– spitzer 22
– Stufenwinkel 20
– stumpfer 22
– Wechselwinkel 20
Winkelhalbierende 9, 77
– zeichnen 18
Winkelsummen 22
y-Achsenabschnitt
Tangente 76
Tangentenabschnitte 76
Tara 30
Taschenrechner 15
Terme 36
– umformen 41
Termumformung 51
Thaleskreis 75
Umkreis 74
Umlaufsinn 9, 68
Umrechnung von
– Flächeneinheiten 11
– Volumeneinheiten 11
ungleichsinnig kongruent 68
Ungleichung 63
Ungleichungen lösen 63
unlösbar 55
60
Zahlen
– ganze 12
– natürliche 12
– rationale 12
Zahlengeraden 12
Zinsen 31
Zinseszinsen 33
Zinsfaktoren 33
Zinsformel 32
Zinssatz 31
Zufall 84
Zuordnung
– antiproportionale
– lineare 58
– proportionale 6
Zuordnungstabelle 6
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