Lösungen zum 7.Aufgabenblatt

Lösungen zum 7.Aufgabenblatt
1. Aufgabe :
aTk y − ck
neue Ecklösung : ȳ = y − Θ bTl
b l ak
Dann gilt für j = m + 1, . . . , n und
Θ=
• j 6= k :
aTj ȳ − cj
=
=
=
→
aTj y − cj − Θ aTj bTl
a T y − ck
aTj y − cj − k
bl a j
b l ak
b l aj T
aTj y − cj −
ak y − c k
b l ak
Rechteckregel
• j=k :
aTl ȳ − cl
=
aTl y − cl −
| {z }
=0 Ecklösung
aTk y − ck
b l ak
= −Θ
→ Rechteckregel
=
aTk y − ck
bl a l
bl ak |{z}
=1
−
2. Aufgabe :
Zuerst wird das obige Problem in Normalform aufgestellt. Dabei kann die additive Konstante in der Zielfunktion bei der Rechnung vernachlässigt werden.
(kann aber auch stehen bleiben). Wir untersuchen das folgende System:
P : z = 2x1 + 3x2
→ min
x1 + x 2 + x 3
−2x1 + x2 + x4
=
=
5
−3
x
>
0
Die dazu duale Aufgabe lautet:
D : z̃ = 5y1 − 3y2
y1 − 2y2
→ max
6 2
y1 + y 2
6
3
y
6
0
Setzt man y1 = y2 = 0, so ist diese Lösung eine Ecklösung, da sie zwei
der obigen Bedingungen als Gleichung erfüllt und zwei als Ungleichung. Wir
erhalten folgende Simplextabelle:
i
3
4
ci
0
0
Lsg
5
−3
0
1
2
1
−2
−2
2
3
1
1
−3
1
Die Koeffizienten im Inneren der Tabelle ergeben sich unmittelbar als Darstellungskoeffizienten der jeweiligen Bed. 1 und 2 durch 3und 4.Die Zahlen
in
5
1
der Spalte Lsg erhält man mit bi · b, i = 3, 4, mit b =
, b3 =
−3
0
0
.
und b4 =
1
i
3
1
ci
0
2
Lsg
4
0
2
3
7
2
3
2
1
2
− 12
3
2
− 21
3 −1 −4
Wir haben eine Optimallösung für D gefunden. In der Spalte “Lösung“haben
wir die optimale Lösung von P :
x1 =
3
7
, x2 = 0, x3 = , x4 = 0.
2
2
Es ist z = 2 · x1 = 3.
Für die ursprüngliche Aufgabe, die die gleiche Optimallösung besitzt, lautet
der Zielfunktionswert 2.
3. Aufgabe :
Das duale Problem lautet :
D : z̃ = 7y1 + 10y2 + y3 + 2y4
3y1 + 2y2 + y3 + y4
3y1 + 4y2 − 3y3 − y4
y1 − y2 − 3y3 − y4
6
6
1
2
y1 , y2 , y3 , −y4
6
0
y = (0, 0, 0, 1)T ist eine Ecklösung.
2
3
7
i ci Lsg
1
2
0
1 1
2 −1 −1 −1
4 0
1
6
4
3
6
1
2
5 0
6
6 0
-1
-2 −2
1
2 −2 −3 −1
l = 6, Θ = 1 für k = 2
6
3
i ci Lsg
0
2
1 1 2.5 −0.5
0
4 0
-2
3
-2
5 0
3
3 −5
2 1 0.5 −0.5
1
3
−1 −1
l = 4, Θ =
1
2
→ max
6 1
7
0
−1.5
6
5
−0.5
−2
für k = 3
2
i
1
3
5
2
ci
1
2
0
1
Lsg
2.5
1
8
-0.5
4
6
0
−0.5
−1.5
−4.5
1
−2.5
4
0
0
−0.5
−2.5
0.5
−0.5
7
0
−1.5
−3
−10
2.5
−5
Das duale Programm ist unbeschränkt. Daher ist das primale Programm nicht
zulässig.
3