Divisorfunktionen, Modulformen und modulare Integrale
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Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Titelseite Divisorfunktionen, Modulformen und modulare Integrale Tobias Mühlenbruch Lehrgebiet Stochastik FernUniversität in Hagen [email protected] 19. Oktober 2015 Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Vortragszusammenfassung in Bildern Adolf Hurwitz ? 26. März 1859 in Hildesheim Ferdinand Gotthold Max Eisenstein ? 16. April 1823 in Berlin † 18. November 1919 in Zürich † 11. Oktober 1852 in Berlin Divisorfunktionen Modulformen Martin Maximilian Emil Eichler ? 29. März 1912 in Pinnow † 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Modulare Integrale Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Elementare zahlentheoretische Funktionen N = {1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Menge der ganzen Zahlen Elementare zahlentheoretische Funktionen Eine elementare zahlentheoretische Funktion ist eine Funktion von den natürlichen Zahlen N in die ganzen Zahlen Z. Beispiele: ( 1 0 n ist gerade sonst 1 gerade(n) = 2 σ0 (n): Anzahl der Teiler einer Zahl n ∈ N. σ0 (p) = 2 für jede Primzahl p testet ob n gerade ist. σ0 (p) = ]{1, p} Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Was ist eine Divisorfunktion Divisorfunktion σk Sei k ∈ Z≥0 . Die Divisorfunktion σk ist definiert durch X σk (n) := dk d|n für alle n ∈ N. Beispiele: 1 σ0 (n) ist die Anzahl aller Teiler von n: σ0 (12) = 10 + 20 + 30 + 40 + 60 + 120 =1+1+1+1+1+1 =6 2 σ1 (n) ist die Summe aller Teiler von n: σ1 (12) = 11 + 21 + 31 + 41 + 61 + 121 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Was ist eine Divisorfunktion σ0 (n) mit n zwischen 1 und 250 σ1 (n) mit n zwischen 1 und 250 Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Eigenschaften der Divisorfunktion Divisorfunktion σk Sei k ∈ Z≥0 . Die Divisorfunktion σk ist definiert durch X σk (n) := dk d|n für alle n ∈ N. Einige Eigenschaften: σk (p) = 1 + p k für jede Primzahl p Für jedes ε > 0 gibt es eine Konstante C > 0 mit 2 ≤ σ0 (n) ≤ C · nε für alle n ≥ 2. Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Eigenschaften der Divisorfunktion Beispiel einer Identität zwischen den Divisorfunktionen σ7 und σ3 : Hurwitz-Identität σ7 (n) = σ3 (n) + 120 X σ3 (k)σ3 (l). k,l∈N k+l=n Beispiel (Fall n = 2): σ7 (2) = 17 + 27 = 1 + 128 = 129 σ3 (2) = 17 + 23 = 1 + 8 = 9 σ3 (1) = 1 P 120 k,l∈N σ3 (k)σ3 (l) k+l=2 = 120 σ3 (1)σ3 (1) = 120 · 1 ! σ7 (2) = 129 = 9 + 120 = σ3 (2) + 120 σ3 (1)σ3 (1) Adolf Hurwitz ? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Eigenschaften der Divisorfunktion Hurwitz-Identität σ7 (n) = σ3 (n) + 120 X σ3 (k)σ3 (l). k,l∈N k+l=n Identitäten dieser Art wurden jeweils individuell gezeigt. Kann man solche Identitäten aus einer abstrakteren Theorie ableiten? Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Was ist eine Eisensteinreihe Eisensteinreihe Für k ∈ 2N, k ≥ 4 definiere die Eisensteinreihe Ek durch ∞ P 2 2πinz σk−1 (n) e Ek (z) = 1 + ζ(1−k) n=1 für alle z ∈ H := {z ∈ C; im(z) > 0}. P∞ ζ(s) = n=1 n−s ist die Riemansche Zetafunktion 2 ζ(1−k) ist eine explizit bekannte Konstante k = 4 E4 (z) = 1 + 240 k = 8 E8 (z) = 1 + 480 P∞ Pn=1 ∞ n=0 σ3 (n) e 2πinz σ7 (n) e 2πinz Ferdinand Gotthold Max Eisenstein ? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Was ist eine Eisensteinreihe Warum betrachten wir nun Eisensteinreihen ∞ Ek (z) = 1 + X 2 σk−1 (n) e 2πinz ζ(1 − k) n=1 ! (z ∈ H) ..................................................................... Eisensteinreihen erfüllen Ek (z + 1) = Ek (z) und Ek −1 z = z k Ek (z). Gibt es noch andere Funktionen die obige Funkionalgleichung erfüllen? Theorie der Modulformen Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Theorie der Modulformen Modulform Eine Modulform f vom Gewicht k ∈ 2Z ist eine holomorphe Funktion f : H → C mit f (z + 1) = f (z) und f −1 = z k f (z) für alle z ∈ H, z f ist meromorph in ∞“ ” Beispiel: Eisensteinreihe Ek ist Modulform vom Gewicht k. Satz f Modulform von Gewicht k, g Modulform von Gewicht l =⇒ f · g Modulform vom Gewicht k + l. Insbesondere gilt E4 · E4 = E8 . Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Theorie der Modulformen E4 (z) · E4 (z) = E8 (z) ..................................................................... Was bedeutet obige Identität für die Koeffizienten von Ek ? E4 (z) · E4 (z) " !# " ∞ X 2 2 2πinz = 1+ σ3 (n) e 1+ ζ(−3) n=1 ζ(−3) ∞ X =1+ n=1 ∞ X !# σ3 (n) e 2πinz n=1 X 2πinz 4 4 σ3 (n) + σ3 (k) σ3 (l) e ζ(−3) ζ(−3) ζ(−3) k,l∈N k+l=n ∞ X 2 σ7 (n) e 2πinz = E8 (z) ζ(−7) n=1 ..................................................................... P 2 4 4 k,l∈N σ3 (k) σ3 (l) ζ(−7) σ7 (n) = ζ(−3) σ3 (n) + ζ(−3) ζ(−3) ! ! =1+ k+l=n Hurwitz-Identität für σ3 und σ7 ! Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Nutzen der Modulformen Nutzen der Modulformen: Ein theoretischer Rahmen, um gemeinsame Eigenschaften gewisser elementare zahlentheoretische Funktionen zu studieren. Findet neue Identitäten zwischen elementare zahlentheoretische Funktionen. Findet neue Beweise bekannter Identitäten Beispiel: Hurwitz-Identität Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Was ist ein modulares Integral 1 Divisorfunktionen σk (n) = 2 d|n dk Modulformen f (z) − f (z + 1) = 0 und f (z) − z −k f 3 P −1 z =0 Modulare Integrale ... Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Was ist ein modulares Integral Modulform f von Gewicht k: f (z) − f (z + 1) = 0 −1 f (z) − z −k f = 0. z und Erste Identität folgt aus Entwicklung X f (z) = an e 2πinz . n Mögliche Verallgemeinerung der zweiten Identität: Erlaube etwas anders als = 0“. ” Führt zum Begriff der modularen Integrale Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Was ist ein modulares Integral Modulares Integral Eine holomorphe Funktion f auf H heisst modulares Integral vom Gewicht k ∈ 2N falls: Es gibt ein Polynom P(z) = a0 + a1 z + . . . + ak z k mit f (z) − f (z + 1) = 0 und f (z) − z k f −1 z = P(z), f ist meromorph in ∞“ ” Martin Maximilian Emil Eichler ? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern † 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Was ist ein modulares Integral Wofür hat Martin Eichler die modularen Integrale betrachtet? ..................................................................... 1 g : H → C holomorph erfüllt = z k g (z) g (z + 1) = g (z) und g −1 z g (z) → 0 für im(z) → ∞ 2 f (z) := R z+i∞ z g (τ ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt. f (z + 1) =f (z) und z k−2 f −1 − f (z) =: P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2) z 3 P(z) = R i∞ 0 g (τ ) (τ − z)k−2 dτ erfüllt P(z) ist Polynom (vom Grad k − 2) z k−2 P −1 − P(z) = 0 und z −1 (z + 1)k−2 P z+1 + z k−2 P −z−1 − P(z) = 0 z ..................................................................... Eichler–Shimura–Theorie: Zusammenhang zwischen g und P Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Modulare Integrale Satz 1 Sei f : H → C eine Modulform von Gewicht k ∈ 2Z<0 (genügend klein) mit einer Fourierentwicklung der Form f (z) = a−M e 2πi(−M)z + . . . + a−1 e −2πiz + ∞ X bn e 2πinz n=0 Es gibt eine explizite Formel Hk (a−M , . . . , a−1 ; n) mit bn = Hk a−M , . . . , a−1 ; n für alle n ∈ Z≥0 . 1 Jose Gimenez, Wissam Raji, q-Expansions of vector-valued modular forms of negative weight. Ramanujan J. 27, 1–13 (2012) doi:10.1007/s11139-011-9299-9 [A] Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Modulare Integrale Satz 2 Für k ∈ 2N (genügend groß) seien a−M , . . . , a−1 ∈ C beliebige Koeffizienten (M Stück). Dann ist die Funktion f gegeben durch f (z) = a−M e 2πi(−M)z + . . . + a−1 e −2πiz + ∞ X bn e 2πinz n=0 mit bn = Hk (a−M , . . . , a−1 ; n) für alle n ∈ Z≥0 ein modulares Integral vom Gewicht k. Zur Erinnerung: f modulares Integral von Gewicht k = P(z) =⇒ Es gibt ein Polynom P(z) mit f (z) − z k f −1 z 2 Jose Gimenez, TM, Wissam Raji, Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock modular forms. Ramanujan J., Published online 04.10.2014, doi:10.1007/s11139-014-9606-3 [B] Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Modulare Integrale f (z) = a−M e 2πi(−M)z + . . . a−1 e −2πiz + ∞ X bn e 2πinz n=0 mit bn = Hk (a−M , . . . , a−1 ; n) für alle n ∈ Z≥0 ..................................................................... Satz 1 Gegeben Modulform f von negativen Gewicht k =⇒ Koeffizienten a−M , . . . , a−1 bestimmen bn . Satz 2 Gegeben beliebige Koeffizienten a−M , . . . , a−1 und positives Gewicht k =⇒ f ist modulares Integral. Abspann Vorspann Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale Abspann Vortragszusammenfassung in Bildern Adolf Hurwitz ? 26. März 1859 in Hildesheim Ferdinand Gotthold Max Eisenstein ? 16. April 1823 in Berlin † 18. November 1919 in Zürich † 11. Oktober 1852 in Berlin Hurwitz-Identität für Divisorfunktionen Eisensteinreihen Modulformen Martin Maximilian Emil Eichler ? 29. März 1912 in Pinnow † 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Modulare Integrale Konstruktionsformel Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Warum ist Zahlentheorie von Interesse? Zahlentheorie — Warum könnte uns das interessieren? Grundlegene Struktureigenschaften der Zahlen z. B. Primzahlen, Quadratzahlen, Anzahl der Teiler einer Zahl, etc Moderne Anwendungen in der Kryptographie z. B. Public-Key-Verschlüsselung, Protokolle zum Schlüsseltausch im Internet, etc Bekannte Vermutungen z. B. Riemannsche Vermutung (offen), fermatsche Vermutung (1995), etc Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Adolf Hurwitz Adolf Hurwitz [3] 1877 Studium der Mathematik an der Königlich Bayerischen Technischen Hochschule unter Felix Klein 1877–1878 Studium an der Friedrich-Wilhelms-Universität zu Berlin unter Ernst Eduard Kummer, Karl Weierstraß und Leopold Kronecker 1880 Studium in Leipzig 1881 Promotion bei Klein in Leipzig Danach Wechsel an die Georg-August-Universität Göttingen, Habilitation, Privatdozent. 1884 Ruf an die Albertus-Universität Königsberg (lernte David Hilbert kennen) 1892 Ruf an die ETH Zürich. Adolf Hurwitz ? 26. März 1859 in Hildesheim † 18. November 1919 in Zürich Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Ferdinand Gotthold Max Eisenstein Ferdinand Gotthold Max Eisenstein [2] Ab 1840 besuchte er Vorlesungen von Dirichlet an der Universität Berlin. 1842 Umzug (England, Wales, Irland) 1843 Umzug nach Berlin. 1843 Studium in Berlin 1844 erschien in Crelles Journal 25 Arbeiten. 1845 wurde er als Student im dritten Semester Ehrendoktor der Universität Breslau. 1845 vorgeschlagen für den Orden Pour le Mérite. 1847 Habilitation und Privatdozent and der Berliner Universität 1850 für Professur vorgeschlagen – Abgelehnt wegen Zweifell an Lehrbefähigung 1852 stirbt an Blutsturz (Tuberkulose) Ferdinand Gotthold Max Eisenstein ? 16. April 1823 in Berlin † 11. Oktober 1852 in Berlin Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Martin Maximilian Emil Eichler Martin Maximilian Emil Eichler [1] 1930 Studium in Königsberg, Zürich und Halle (Mathematik, Physik, Chemie) 1936 Promotion über Zahlentheorie ” der rationalen Quaternionenalgebren“ 1936 Assistent in Halle 1939 Habilitation in Göttingen Arbeitete in der Heeresversuchsanstalt Peenemünde und an der TU Darmstadt 1947 Versuchsanstalt der Royal Aircraft in Farnborough in England 1949 Professor an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster 1956 Professor in Marburg. Martin Maximilian Emil Eichler ? 29. März 1912 in Pinnow in Pommern 1959 Ruf nach Basel. † 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Zahlentheorie Personen Abstrakt Firoz Kaderali Firoz Kaderali [4] 1969 Diplom an der TH Darmstadt / Theoretische Elektrotechnik Assistent an der TH Darmstadt 1974 Promotion an der TH Darmstadt / Symbolische Netzwerkanalyse Dozent an der TH Darmstadt 1976 Projektleiter SEL-Forschungszentrum Stuttgart 1981 Entwicklungsleiter Großsysteme bei Telenorma Frankfurt 1986 Ruf an die FernUniversität Hagen, Professor für Kommunikationssysteme 2007 Pensionierung Firoz Kaderali3 3 Quellennachweis: [4] https://www.fernuni- hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19- pl- schluss- wein.shtml Referenzen Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Abstrakt Abstrakt Mit zahlentheoretische Fragen beschäftigten sich Gelehrte seit der Existenz von Zahlen. Beispielsweise kannten schon die Babylonier das Konzept der Quadratzahlen. Im antiken Griechenland wurde die Entwicklung der Zahlentheorie systematisch vorangetrieben. Stichwortartig wären hier Euklid und sein berühmtes Werk Elemente“ zu nennen, welches bis ins achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch ” für Geometrie und Zahlentheorie verwendet wurde. Dieser Vortrag setzt etwa in der frühen Neuzeit und dem neunzehnten Jahrhundert an. Zu dieser Zeit wurden viele elementare zahlentheoretische Funktionen gefunden und studiert. Unser dominierendes Beispiel im Vortrag ist die Divisorfunktion und einige ihrer Eigenschaften. Die Frage nach einem abstrakteren Rahmen, um gewisse Eigenschaften von elementaren zahlentheoretischen Funktionen zu beschreiben und zu studieren, führt zum Konzept der Modulformen, welches am Beispiel der Eisensteinreihen erläutert wird. Martin Eichler, dessen Foto Sie auf der Einladung abgebildet sehen, führte für sein Studium der Modulformen den Begriff der modularen Integrale ein. Für die Experten sei hier noch das Stichwort Eichler–Shimura–Theorie“ genannt. Dieses Konzept der ” modularen Integrale aufgreifend stelle ich Ihnen zum Schluss ein Resultat aus meiner Arbeit Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock ” modular forms“ vor. Diese Veröffentlichung wurde mit dem Fakultätspreis 2015 für die beste wissenschaftliche Arbeit ausgezeichnet. Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Referenzen aus dem Web Referenzen aus dem Web: Wikipedia, FernUniversität in Hagen und Bildernachweis Seite Martin Eichler“. ” In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 25. September 2014, 14:54 UTC. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Martin_Eichler&oldid=134350705 Seite Gotthold Eisenstein“. ” In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. Oktober 2014, 17:55 UTC. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gotthold_Eisenstein&oldid=134798801 Seite Adolf Hurwitz“. ” In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 30. März 2015, 13:06 UTC. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Adolf_Hurwitz&oldid=140409247 FernUni PLUS – Schlusspunkt vom 19.10.2012. Weinprobe“. ” https://www.fernuni- hagen.de/arbeiten/newsletter/schlusspunkt/201_19- pl- schluss- wein.shtml Zahlentheorie Personen Abstrakt Sonstige Referenzen Sonstige Referenzen J. Gimenez und W. Raji. q-Expansions of vector-valued modular forms of negative weight. The Ramanujan Jourbal 27 (2012), 1–13. doi:10.1007/s11139-011-9299-9 J. Gimenez, T. Mühlenbruch und W. Raji. Construction of Vector-Valued Modular Integrals and Vector-Valued Mock Modular Forms. The Ramanujan Journal, Online 04. Oktober 2014. doi:10.1007/s11139-014-9606-3 Referenzen
