Einschub: §6 Mengen und Abbildungen

Mengen
Abbildungen
Einschub: §6 Mengen und Abbildungen
Britta Späth
Arbeitsgruppe Algebra und Zahlentheorie
BU Wuppertal
15. Mai 2017
Lineare Algebra 1 (AG Algebra und ZT)
Mengen und Abbildungen
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Mengen
Abbildungen
Übersicht
1
Mengen
Definition
Schreibweise
Angabe von Mengen
Potenzmenge
Mengenoperationen
Partition
2
Abbildungen
Abbildungen:
Abbildungen:
Abbildungen:
Abbildungen:
Lineare Algebra 1 (AG Algebra und ZT)
Definition
Vokabeln
Eigenschaften
Verknüpfungen
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Mengen
Abbildungen
Definition
§6.1 Mengen
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M
von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer
Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente
von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Aus Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster
”
Aufsatz)“von Georg Cantor, 1895.
Einige Mengen
W = {alle Einwohner von Wuppertal}
N := {0, 1, 2, . . .} die Menge der natürlichen Zahlen
N>0 := {1, 2, . . .} die Menge der natürlichen Zahlen > 0
Z := {0, 1, −1, 2, −2, . . .} die Menge der ganzen Zahlen
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Mengen
Abbildungen
Schreibweise
Schreibweisen
Seien A und B Mengen.
a∈A
Das Objekt a gehört zu A.
a ist ein Element von A.
A ⊂ B Jedes Element von A ist auch Element von B.
A heißt Teilmenge von B.
A ( B A heißt echte Teilmenge von B, wenn A ⊂ B und
und A 6= B gilt
A=B
A und B haben die gleichen Elemente.
∅
leere Menge, d.h. ∅ ist die Menge, die kein Element enthält.
Konvention: ∅ ⊂ A
Beispiele
GLn (R) ( Mn (R) und Pn ⊂ GLn (R)
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Angabe von Mengen
Angabe von Mengen
durch Aufzählen aller Elemente:
{1, 2, 3, 4}
(Anwendbar nur bei endlichen Mengen, d.h. wenn die Menge
endlich viele verschiedene Elemente hat.)
durch eine definierende Eigenschaft E :
{a | a besitzt Eigenschaft E }
als die Menge bestehend aus allen Elementen einer Menge M, mit
der Eigenschaft E :
{a ∈ M | a besitzt Eigenschaft E }
Beispiele
Mn (R)
GLn (R)
Pn
die Menge der n × n Matrizen mit Einträgen in R
:= {A ∈ Mn (R) | A ist invertierbar}
:= {A ∈ Mn (R) | A ist Permutationsmatrix}
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Potenzmenge
Potenzmenge
Definition
Sei A eine Menge. Die Potenzmenge P(A) von A ist die Menge aller
Teilmengen von A.
Beispiel
P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}
P(∅) = {∅}
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Mengenoperationen
§6.2 Mengenoperationen
Seien A und B zwei Mengen,
A ∩ B = Menge aller Elemente, die in A und auch in B liegen
(Durchschnitt)
A ∪ B = Menge aller Elemente, die in A oder in B (oder in
beiden) liegen (Vereinigung)
A\B
= Menge aller Elemente, die in A aber nicht in B
liegen (Differenz)
A × B = Menge aller angeordneten Paare (a, b) von Elementen von A
und B, d.h.
= {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. (Kartesisches Produkt)
Bemerkung: Gilt A ∩ B = ∅, so nennt man A und B disjunkt.
In A × B gilt (a, b) = (a0 , b 0 ) nur, wenn a = a0 und b = b 0 .
Konventionen: A2 := A × A
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Partition
Partition
Definition (Partition)
Sei M eine Menge und P ⊂ P(M). Man nennt P eine Partition von M,
wenn P eine Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen beschreibt, d.h.:
∅∈
/ P;
sind A, B ∈ P zwei verschiedene Teilmengen von M, dann sind sie
disjunkt, d.h. A ∩ B = ∅;
S
M ist die Vereinigung der Teilmengen in P, d.h. M = A∈P A.
Beispiele
{{1, 2}, {3, 4}} ist eine Partition von {1, 2, 3, 4}
Die Mengen {z ∈ Z| z = 2i für ein i ∈ Z} und
{z ∈ Z| z = 2i + 1 für ein i ∈ Z} bilden eine Partition von Z.
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Abbildungen
Abbildungen: Definition
§6.3 Abbildungen
Definition
Seien X , Y Mengen. Eine Abbildung f : X → Y ist eine Zuordnung, die
jedem Element x ∈ X genau ein Element f (x) ∈ Y zuordnet. Dabei
nennt man f (x) Bild von x unter f , auch genannt der Wert von f an der
Stelle x.
Genauer: Eine Abbildung f : X → Y ist eine Teilmenge f ⊂ X × Y
derart, dass es für jedes x ∈ X genau ein y ∈ Y gibt mit (x, y ) ∈ f .
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Abbildungen
Abbildungen: Vokabeln
Seien f : X → Y eine Abbildung, M ⊂ X , N ⊂ Y und y ∈ Y .
Definitionsbereich von f :
X
Wertebereich von f :
Y
Graph von f :
Γ(f ) = {(x, f (x)) ∈ X × Y | y = f (x)}
Bild von M:
f (M) = {f (m)|m ∈ M} ⊂ Y
Urbild von N:
f −1 (N) = {x ∈ X | f (x) ∈ N} ⊂ X
Faser von f über y :
f −1 ({y }), oft geschrieben als f −1 (y )
Einschränkung von f auf M:
f |M : M → Y mit m 7→ f (m)
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Abbildungen
Abbildungen: Eigenschaften
Definition
Eine Abbildung f : X → Y nennt man
(i) injektiv, falls f (x) = f (x 0 ) nur möglich ist wenn x = x 0 ,
(ii) surjektiv, falls f (X ) = Y ,
(iii) bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist.
Bemerkung:
Für eine bijektive Abbildung f : X → Y ist {(f (x), x) ∈ Y × X | x ∈ X }
der Graph einer Abbildung Y → X . Die zugehörige Abbildung nennen wir
Umkehrabbildung und wird mit f −1 : Y → X bezeichnet.
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Abbildungen: Verknüpfungen
Verknüpfung von Abbildungen
Definition
Seien X , Y , Z Mengen und f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen.
Die Verknüpfung unserer Abbildungen f und g ist eine Abbildung
g ◦ f : X → Z , die durch folgende Vorschrift
g ◦f :X →Z
x 7→ g (f (x))
definiert ist.
Sind g und f bijektiv, so auch g ◦ f . (Übung)
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