Stochastik - von Andreas Zeh

Skript
Stochastik
Beschreibende Statistik,
Wahrscheinlichkeitsrechnung,
Schlieÿende Statistik
Andreas Zeh-Marschke
Version 6.0 - 019
Dipl.-Mathematiker
Andreas Zeh-Marschke
M.Sc. Praktische Informatik
Tauberring 16 b, 76344 Eggenstein-Leopoldshafen
E-Mail Andreas(at)Zeh-Marschke.de
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(Version:
Layout und Satz:
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- 2017
6.0 - 019 - 24.06.2017)
Andreas Zeh-Marschke
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dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz- Gesetzgebung als frei
zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen.
2
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Inhaltsverzeichnis
1.
Grundlagen
13
1.1.
Einführung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Datenuntersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.3.
Merkmale
18
1.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
I. Beschreibende Statistik
31
2.
33
3.
4.
Univariate Daten
2.1.
Darstellung univariater Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.2.
Mittelwerte
40
2.3.
Streuungsmaÿe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bivariate Daten
61
3.1.
Darstellungen bivariater Daten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.
Zusammenhangsanalyse
61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.3.
Regressionsrechnung
3.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Zeitreihen
83
4.1.
Zeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2.
Bestandsanalyse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.3.
Indexzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
II. Wahrscheinlichkeitsrechnung
5.
Kombinatorik
101
103
5.1.
Permutationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.
Kombinationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
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3
Inhaltsverzeichnis
6.
7.
8.
5.3.
Binomialkoezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.1.
Zufallsexperiment und Ereignis
6.2.
Zusammen gesetzte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Zufallsvariablen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
135
7.1.
Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2.
Parameter von Zufallsvariablen
7.3.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.4.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Spezielle Verteilungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
147
8.1.
Diskrete Gleichverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2.
Stetige Gleichverteilung
8.3.
Binomialverteilung
8.4.
Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.5.
Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.6.
Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.7.
Exponentialverteilung
8.8.
Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.9.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.10. Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
III. Schlieÿende Statistik
9.
115
167
Schlieÿende Statistik
169
9.1.
Parameterschätzung
9.2.
Intervallschätzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3.
Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.4.
Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.5.
Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A. Tabellen
175
A.1. Basisdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.2. Tabelle der Normalverteilung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Namensliste
179
Abkürzungen
181
4
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Inhaltsverzeichnis
Literatur
183
Index
185
Version 6.0 - 019 24.06.2017
5
Abbildungsverzeichnis
1.1.
Beispiel ordinal messbares Merkmal - Noten bei einer Klausur . . . . . . .
23
2.1.
Beispiel: nominal messbares Merkmal - Kreisdiagramm . . . . . . . . . . .
36
2.2.
Beispiel: ordinal messbares Merkmal - Alter
. . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3.
Beispiel: Notenverteilung - grasche Darstellung . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.4.
Beispiel: Summenhäugkeit - Alter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.1.
Bestandsentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.1.
Zwei Komponenten hintereinander
6.2.
Mehrere Komponenten hintereinander
6.3.
Zwei Komponenten parallel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4.
Drei Komponenten parallel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.5.
Mehrere Komponenten parallel
6.6.
Aggregat aus drei Komponenten
6.7.
Bauplan Radio
7.1.
Verteilung Zeitbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Version 6.0 - 019 24.06.2017
7
Tabellenverzeichnis
1.1.
Beispieldaten: Noten einer Klausur
1.2.
Beispiel nominal messbarer Merkamle
1.3.
Beispiel: ordinal messbares Merkmal - Noten bei einer Klausur
. . . . . .
23
1.4.
Beispiel ordinal messbares Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5.
Beispiel kardinal messbare Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.6.
Klassen bei Körpergröÿe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.
Eigenschaften absolute und relative Häugkeiten
. . . . . . . . . . . . . .
34
2.2.
Beispiel: Häugkeitsverteilung Alter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.
Beispiel: Tabelle Familienstand
2.4.
Beispiel: Notenverteilung - tabellarische Darstellung
. . . . . . . . . . . .
36
2.5.
Häugkeitstabelle - horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.6.
Häugkeitstabelle - vertikal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.7.
Beispiel: Körpergröÿe gruppiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.8.
Beispiel: Summen- und Resthhäugkeit Alter
. . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.9.
Beispielsrechnung geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.1.
Zwei-dimensionale Häugkeitstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.2.
Beispiel: Körpergröÿe-Gewicht-Tabelle
63
3.3.
Beispiel Häugkeitsverteilung
3.4.
Bedingte Verteilung von
3.5.
Beispiel Häugkeitsverteilung
3.6.
Bedingte Verteilung von
. . . .
66
3.7.
Beispiel zwei-dimensionale Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.8.
Tabelle für Beispiel 3.3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.9.
Aufgabe zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung
. . . . . . . . . . . . . .
76
3.10. Aufgabe zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung
. . . . . . . . . . . . . .
76
4.1.
Beispiel: gleitender Durchschnitt 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.
Beispiel: Gleitender Durchschnitt 4. Ordnung
85
4.3.
Bestandsveränderungen
4.4.
Bestandsverlauf Produkt A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.
Bestandsverlauf Produkt B
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.6.
Energiepreisentwicklung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.7.
Energiemengenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.8.
Verfügbares Einkommen private Haushalte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
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Y
Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(links) beziehungsweise von
X
22
35
65
. . . .
66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
(links) beziehungsweise von
X
(rechts)
13
(rechts)
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
90
9
Tabellenverzeichnis
4.9.
Bestandsveränderung Vorrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.10. Umsatz- und Preisentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.1.
Einführungsbeispiel Kombinatorik
5.2.
Zusammenfassung Permutationen und Kombinationen
6.1.
Beispiel 6.1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.
Wahrscheinlichkeit bei zwei Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.
Beispiel 6.1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4.
Verfügbarkeiten Komponenten vom Radio
7.1.
diskrete, endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
8.1.
Beispiel
8.2.
Beispiel: Fahrzeugzählung
8.3.
Beispiel: Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.4.
Beispiel: Brenndauer Glühbirnen
9.1.
Untersuchungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2.
Parameter in Abhängigkeit von der Güte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.3.
Beispiel: Stichprobenexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.4.
Fehler 1. und 2. Art
B(4; 0, 5)-Verteilung
A.1. Basisdatensatz
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
. . . . . . . . . . . 109
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Tabellenverzeichnis
Vorwort
Die
Stochastik ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Häugkeiten und Wahr-
scheinlichkeiten befasst. Zur Stochastik gehören die Teilbereiche beschreibende Statistik,
Kombinatorik (wobei die Kombinatorik im Grunde zu den mathematischen Grundlagen
gehört), Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlieÿende Statistik.
Dieses Skript entstand aus Vorlesungen zum Thema Statistik, welche ich seit 2001 an der
Dualen Hochschule Baden-Württemberg Karlsruhe (ehemalige Berufsakademie Karlsruhe) und an der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft (ehemalige Fachhochschule Karlsruhe) in verschiedenen Studiengängen halte. Der Umfang der Vorlesung (inklusive
Übungen) umfasst dabei etwa 30 Stunden. Dies zeigt, dass nur ein kleiner Umfang der
Stochastik behandelt werden kann. Insbesondere die schlieÿende Statistik wird nur sehr
kurz behandelt.
Mit jedem neuen Kurs zur Statistik gibt es neue Anregungen und Änderungen, die ich
in das Skript einarbeite. Ab und an steht auch gröÿere Überarbeitung an.
Ursprüngliche Basis der Vorlesung stellten die Bücher von Schwarze dar (siehe Schwarze
2001, Schwarze 1997, Schwarze 1999). Inzwischen habe ich auch weitere Bücher herangezogen, die mir interessante Anregungen gegeben haben. Dies sind insbesondere Fahrmeir
2003b, Fahrmeir 2003a, Fischer 2005 und Henze 2003. Weitere Bücher die den Umfang
sehr gut abdecken sind Wewel 2011 und Röÿler und Ungerer 2011. Neben dieses speziellen Fachbüchern sind auch umfassendere Werke sehr anregend: Eichholz und Vilkner
2002 und insbesondere das sehr umfassende Werk Arens u. a. 2008.
Statistiken müssen stets kritisch betrachtet werden, da es leicht zu falschen Interpretation
führen kann. Hier nde ich das Buch Lügen mit Zahlen (Bosbach und Kor 2011) sehr
lesenswert.
Ich befürchte, dass das Skript nicht frei von Fehlern und Unklarheiten ist. Daher bin
ich dankbar für jede Anregung und Hinweis, damit ich in einer nächsten Version das
Skript hoentlich verbessern kann. Auch gibt es ausreichend viele Stellen, die aus- oder
umgebaut werden sollten. Die Arbeit wird mir nicht ausgehen.
Ich danke der aufregenden, reizvollen, interessanten Aufgabe und allen, die mich unterstützt haben.
Andreas Zeh-Marschke
Eggenstein-Leopoldshafen, 24.06.2017
Version 6.0 - 019 24.06.2017
11
Kapitel 1.
Grundlagen
Zuerst (Abschnitt 1.1) wird anhand einiger Beispiele Fragestellungen und Anwendungsmöglichkeiten der Stochastik erläutert. Einige Beispiele, leider nicht alle, werden im
Rahmen dieses Skripts weiter behandelt. Danach (Abschnitt 1.2) wird der Ablauf einer statistischen Untersuchung erläutert. Dabei werden auch verschiedene Quellen von
Daten dargelegt. Anschlieÿend (Abschnitt 1.3) werden einige statistische Grundbegrie
eingeführt, die in allen Abschnitten benötigt werden. Speziell der Begri Merkmal wird
präzisiert.
1.1. Einführung
Die
Stochastik umfasst die Teilbereiche mathematische Statistik, Kombinatorik, Wahr-
scheinlichkeitsrechnung und schlieÿende Statistik. Dazu zuerst einige Beispiele, welche
verschiedene Anwendungsmöglichkeiten verdeutlichen.
Beispiele von Anwendungsmöglichkeiten
1.1.1 Beispiel (Noten einer Klausur).
Die tabellarische Verteilung der Noten einer
Klausur (siehe Tabelle 1.1) beschreibt das Ergebnis in einer Klausur.
Note
sehr gut
gut
befriedigend
ausreichend
mangelhaft
Anzahl
2
10
11
3
3
Tabelle 1.1.: Beispieldaten: Noten einer Klausur
Es sind die Daten für ein Beispiel der beschreibenden Statistik. Dabei sind auch weitere Daten, die daraus gewonnen werden von Interesse. Welchen Mittelwert haben die
Ergebnisse? Wie sind die Daten gestreut?
Version 6.0 - 019 24.06.2017
13
1.1. Einführung
1.1.2 Beispiel (Bevölkerungsstatistik).
Die Verteilung der Bevölkerung nach Alters-
jahrgängen und getrennt nach Männern und Frauen ist die berühmte Bevölkerungspyramide, die schon längst, bei uns in Deutschland, ein Pilz ist. Die Frage nach dem durchschnittlichen Alter von Männer oder Frauen gehört zur beschreibenden Statistik, die
Frage der Lebenserwartung von Männern oder Frauen eines bestimmten Jahrgangs gehört zur schlieÿenden Statistik und ist für Lebensversicherungen von Bedeutung.
Die grasche Darstellung der Bevölkerungspyramide für Deutschland kann auf den Seiten
des Statistisches Bundesamt (http://www.destatis.de) nachgesehen werden.
Durch Volkszählungen werden verschiedene Merkmale für die Einwohner, nicht nur Alter und Geschlecht, gesammelt. Aus diesen Angaben können Informationen gewonnen
werden, die für Planungen und Entscheidungen als Basis dienen.
1.1.3 Beispiel (Umsatz).
Die Statistik für den Umsatz einer Unternehmung enthält
die Umsätze einzelner Artikel oder Gruppen von Artikeln, aufgegliedert nach Perioden.
Dieser Teil der beschreibenden Statistik ist Basis für Entscheidungen in Unternehmen.
1.1.4 Beispiel (Auslastung von Mitarbeitern).
Die Statistik für die Auslastung ei-
ner Abteilung enthält die verbuchten Stunden der Mitarbeiter je Projekt. Hierzu können
dann vielfältige Auswertungen erfolgen, die dann wiederum Basis für operative Entscheidungen sind.
1.1.5 Beispiel (Zahlenkombinationen).
Wie viele möglichen Zahlenkombinationen
gibt es bei der Ziehungen der Lottozahlen (6 aus 49)? Dies ist eine Frage der Kombinatorik. Die Frage, wie wahrscheinlich ein Sechser im Lotto ist, führt direkt zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
1.1.6 Beispiel (Aktienkurs).
Der Verlauf der Aktienkurse über einen längeren Zeit-
raum ist ein Beispiel für eine Zeitreihe, ein Beispiel einer bivariaten beschreibenden Statistik. Mittels verschiedener statistischer Kennzahlen, werden dann Prognosen für den
zukünftigen Kursverlauf erstellt, was zur schlieÿenden Statistik (manchmal wohl auch
etwas zur Spekulation) gehört.
1.1.7 Beispiel (Verkehrszählung).
Durch eine Zählung des Verkehrs werden Aussa-
gen zur Dichte des Verkehrs und der dadurch bedingten Belastung beispielsweise eines
Verkehrsknotenpunktes erfasst. Damit erhalten Verkehrsplaner wertvolle Informationen,
um Entscheidungen zu treen.
1.1.8 Beispiel (Sonntagsfrage).
Bei der
Sonntagsfrage
wird eine Prognose für das
Wahlverhalten und damit für das Wahlergebnis erstellt. Aus einer Stichprobe (die befragten Wähler) wird eine Aussage über den Wahlausgang erstellt. Manchmal stimmt die
Prognose, aber nicht immer.
Es gibt dazu den passenden Spruch Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die
Zukunft betreen.. Dieser Spruch oder Zitat wird mehreren Personen zugesprochen. Das
heiÿt, es ist unklar, wer diese zutreende Bemerkung erstellt hat.
14
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 1. Grundlagen
1.1.9 Beispiel (Versuchsauswertung).
Bei einem physikalischen Experiment wird
der Zusammenhang zweier Messgröÿen erfasst. Es soll der Zusammenhang zwischen den
Messgröÿen beschrieben werden. Dies führt zur Regressionsrechnung, einem Teil der beschreibenden Statistik.
1.1.10 Anmerkung.
Diese Beispiele zeigen, dass die Statistik an vielen Stellen auf-
tritt. Zum Teil werden vorhandene Daten verdichtet, komprimiert dargestellt, damit der
Überblick bewahrt bleibt. In anderen Bereichen werden Daten als Entscheidungsgrundlage aufbereitet oder Prognosen erstellt.
Probleme mit Statistiken
1.1.11 Anmerkung.
Im Volksmund gibt es drei Formen der Lüge: die Notlüge, die ge-
meine Lüge und die Statistik. Manchmal sagt man auch
Traue keiner Statistik, die du
nicht selber gefälscht hast. Dies zeigt deutlich, dass das Vertrauen in die Statistik nicht
das Beste ist. Es zeugt jedoch auch davon, dass beim Lesen und der Interpretation von
Statistiken viele Fehler gemacht werden können. Das Lesen und das Interpretieren von
Statistiken ist daher stets sorgsam durchzuführen. An einigen Stellen werden solche Beispiele angeführt. Daher müsste der obige Spruch korrekter lauten:
bei der du nicht die Rahmenbedingungen kennst.
Traue keiner Statistik,
Lesenswert für die Beleuchtung der Möglichkeiten der Manipulation mit Statistiken ist
das Buch Bosbach und Kor 2011. Hier sind viele Beispiele aufgeführt, die teilweise lustig
sind, aber in der Regel nachdenklich machen.
1.2. Datenuntersuchung
In diesem Abschnitt wird beleuchtet, wie man zu Daten kommt. Dazu werden zuerst (Abschnitt 1.2) der Prozess zur Erfassung von Daten erläutert. Anschlieÿend (Abschnitt 1.2)
wird die Erhebung von Daten und Probleme bei der Erhebung von Daten beschrieben.
Anschlieÿend (Abschnitt 1.2) werden einige Quellen von Daten aufgeführt.
Datenerfassungsprozess
1.2.1 Anmerkung.
Eine statistische Untersuchung gliedert sich idealtypisch in fünf
Phasen.
1. In der Phase
Planung wird der Untersuchungsgegenstand klar und eindeutig de-
niert. Es ist zu klären, welche Informationen erhoben werden sollen, um ein Entscheidungsproblem zu lösen.
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15
1.2. Datenuntersuchung
statistische Masse oder Grundgesamtheit
ist. Dann ist zu klären, welche Merkmale (für eine Klärung des Begries Merk-
Hierbei ist festzulegen, welches die
mal, siehe Abschnitt 1.3) erhoben werden sollen. Darüber hinaus ist zu klären, mit
welchem
bung
Erhebungsverfahren die Daten erhoben werden. Wird eine VollerheStichprobe. In dieser Planungsphase werden auch
gemacht oder nur eine
die organisatorischen und technischen Fragen geklärt.
Datenerhebung werden nach einer sorgfältigen Vorbereitung die
Primärerhebung werden die Daten unmittelbar durch
Experiment, Beobachtung oder Befragung erfasst. Bei einer Sekundärerhebung
greift man auf bereits vorhandene Daten zurück. Hierbei können auf amtliche oder
nicht-amtliche Daten zurückgegrien werden.
2. In der Phase
Daten erfasst. Bei einer
Werden die Daten durch eine Befragung von Personen erfasst, so ist die Wahl
der Fragestellung sehr sorgfältig zu wählen, um nicht durch die Fragestellung die
Antworten zu beeinussen und somit das Ergebnis zu beeinussen.
3. In der Phase
Datenaufbereitung werden die gewonnenen Daten aufbereitet. Hier-
zu gehört auch die Prüfung der Daten, das Erkennen unplausibler Daten, die gegebenenfalls aus der weiteren Untersuchung ausgeschlossen werden. Zur Datenaufbereitung gehören auch Darstellungen von Daten, zum Beispiel in tabellarischer Form
oder als Häugkeitsverteilungen. Auch grasche Darstellungen der Daten gehören
zur Datenaufbereitung.
4. In der Phase
Datenauswertung oder auch statistische Analyse werden mittels
mathematischer Verfahren Analysen der Daten durchgeführt. Hierbei werden Kenndaten, wie beispielsweise der Mittelwert, ermittelt, welche die Daten charakterisieren. In dieser Phase helfen oftmals Tabellenkalkulationsprogramme oder spezielle
und mächtige statistische Programme.
5. In der Phase
Interpretation und Dokumentation werden die gewonnenen Daten
im Kontext der Anwendung interpretiert und beurteilt. Ebenso wird die Datenuntersuchung dokumentiert, damit die Ergebnisse nachvollziehbar sind und für spätere
Untersuchungen noch zur Verfügung stehen.
Datenerhebung
1.2.2 Anmerkung.
Bei der Datenerhebung kann es verschiedene Herausforderungen
Vollerhebung durchgeführt werden oder kann nur eine Stichprobe, das heiÿt ein Ausschnitt aus
geben. Können alle Elemente der Grundgesamtheit erfasst werden, also eine
der Grundgesamtheit erhoben werden. Wenn nur eine Stichprobe erhoben werden kann,
wie können oder müssen die Elemente der Stichprobe ausgewählt werden, damit wirklich
auch Aussagen für die Grundgesamtheit gewonnen werden können. Wie kann aus dem
Daten der Stichprobe, die mittels der
16
beschreibenden Statistik
gewonnen werden,
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Kapitel 1. Grundlagen
auf Daten der Grundgesamtheit geschlossen werden. Dies ist Aufgabe der
Statistik .
schlieÿenden
Für die Datenerhebung gibt es auch noch weitere Fragestellungen. Es ist leider nicht
immer möglich, oder nicht immer sinnvoll oder wirtschaftlich, alle Daten für die Untersuchung heranzuziehen.
1.2.3 Beispiel (Lebensdauer von Glühbirnen).
In einer Fabrik, in der Glühbirnen
hergestellt werden, soll statistisch untersucht werden, wie lange die Glühbirnen halten.
Dazu können beispielsweise die Glühbirnen betrieben werden, bis sie kaputt sind. Nach
dieser Untersuchung ist eine Verwendung der Glühbirnen nicht mehr möglich. Daher soll
durch Untersuchung nur eines Teils der Produktion auf die Qualität gefolgert werden.
Aus der Untersuchung eines Teiles der Produktion wird somit auf die gesamte Produktion
geschlossen.
1.2.4 Beispiel (Gewicht von Mehltüten).
In einer Fabrik wird Mehl in 1kg-Beutel
verpackt. Um die Genauigkeit der Füllmengen zu überprüfen, wird nur ein Teil der verpackten Beutel gewogen. Durch die Messung wird das Produkt nicht zerstört, es wäre
jedoch nicht wirtschaftlich, alle Packungen zu wiegen. Aus den Daten der untersuchten
Packungen wird auf die Genauigkeit der Füllmengen geschlossen.
1.2.5 Beispiel (Sendeplatz).
Für viele Entscheidungen auch in Unternehmen werden
vielfältige statistische Daten benötigt. Soll im Marketing der Sendeplatz für einen Werbespot ermittelt werden, so ist wichtig zu wissen, welche Personen zu welchen Zeiten welche
Sendungen ansehen! Dazu werden Daten von ausgewählten Haushaltungen untersucht.
1.2.6 Anmerkung.
Bei diesen Beispielen wird aus der Untersuchung auf einer Stich-
probe Aussagen über die Gesamtheit gemacht. Dies ist ein Teil der schlieÿenden Statistik, die weiter später betrachtet wird. Für Aussagen zur schlieÿenden Statistik wird die
Wahrscheinlichkeitsrechnung benötigt, die hierzu eingeführt wird.
In vielen Fällen werden die Daten für die Statistik selber erhoben. Hierzu gibt es viele, fast
unzählige Beispiele für Sachverhalte, die von Interesse sind, über die Aussagen getroen
werden:
•
Kunden einer Firma,
•
Qualität der Produktion
•
Qualität von Dienstleistungen (zum Beispiel die Pünktlichkeit bei Zügen)
•
Kaufverhalten der Kunden
•
Durchschnitt der Noten bei einer Klausur
•
Studiendauer an einer Universität
• ...
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17
1.3. Merkmale
Neben diesen Statistiken, welche durch Firmen oder Institutionen selber erstellt werden,
gibt es auch ozielle Statistiken. Bekannte Vertreter für statistische Daten sind hierfür:
•
Inationsrate
•
Arbeitslosigkeit und Beschäftigung
•
Daten zu Wirtschaft und Ausbildung
•
Bevölkerung
•
Wahlergebnisse
• ...
Datenquellen
1.2.7 Anmerkung.
Es gibt viele amtliche und nicht-amtliche Stellen, welche Daten be-
reitstellen. Diese oziellen Statistiken werden beispielsweise vom Statistischen Amt der
EU (http://epp.eurostat.ec.europa.eu), vom Statistischen Bundesamt in Deutsch-
land (http://www.destatis.de) oder auch von den Landesämtern für Statistik der einzelnen Bundesländer (beispielsweise
http://www.statiatik-bw.de)
geführt. Daneben
gibt es ozielle Statistiken von Institutionen für spezielle Fragestellungen, wie beispielsweise die statistischen Daten der Deutschen Bundesbank (http://www.bundesbank.de)
oder Daten der Bundesagentur für Arbeit (http://www.arbeitsagentur.de).
Daneben gibt es auch nicht-amtliche Statistiken, auf deren Basis weitere Auswertungen durchgeführt werden können. So gibt es Statistiken von Wirtschaftsforschungsinstitute, wie beispielsweise vom Deutsches Institut für Wirtschaftsforschung Berlin (DIW) (http://www.diw.de) oder das Institut für Weltwirtschaft (IfW) in Kiel
(http://www.uni-kiel.de/IfW/), von Markt- und Meinungsforschungsinstituten (bei-
spielsweise Institut für Demoskopie Allensbach (IfD) (http://www.ifd-allensbach.de)
oder der Gesellschaft für Konsum-, Markt- und Absatzforschung (GfK) aus Nürnberg
(http://www.gfk.com) oder von Wirtschaftsverbänden (Beispiel Deutsche Industrieund Handelskammern (http://www.ihk.de) oder vom Deutsche Gewerkschaftsbund
(http://www.dgb.de).
Dies sind nur einige wenige Beispiele für Quellen von Daten.
1.3. Merkmale
In diesem Abschnitt wird genauer untersucht, welche Gegenstände in der Statistik untersucht werden. Zuerst wird die statische Masse betrachtet. Dann werden die einzelnen
18
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Kapitel 1. Grundlagen
Einheiten der Untersuchungen beleuchtet. Was für unterschiedliche Typen von Untersuchungsgegenständen gibt es? Abschlieÿend werden einzelne Daten zu Klassen zusammengefasst.
Massen und Einheiten
1.3.1 Anmerkung.
Bei statistischen Untersuchungen werden bestimmte Objekte be-
trachtet. Dies können
•
Personen (Einwohner, Studierende, Beschäftigte, Kunden,
•
Gegenstände (Lagerpositionen, Produkte, Konten, Wohnungen,
•
Ereignisse (Unfall, Geburt, Kauf,
•
Einheiten (Unternehmen, Haushalte, Familien, Verwaltungsbezirke.
. . .)
. . .),
. . .),
oder
. . .)
sein.
1.3.2 Beispiel.
Bei einer Volkszählung werden alle Einwohner befragt. Jeder Einzel-
ne ist aufgefordert, Daten über sich herauszugeben: Alter, Familienstand, höchster Abschluss in der Schule, Beruf, Entfernung zur Arbeitsstätte, Einkommen, Anzahl der Kinder,
...
und viele weitere Daten. Die gesamte Bevölkerung wird hierbei gefragt. Jeder
einzelne Einwohner ist eine Einheit der Untersuchung. Die Daten der einzelnen Einwohner werden aggregiert. Es werden Informationen für die gesamte Bevölkerung gesammelt,
um daraus Aussagen über die Bevölkerung als Ganzes zu treen.
1.3.3 Denition (Einheit, Merkmal, Masse). Ein einzelnes Objekt einer statistischen Untersuchung heiÿt eine statistische Einheit. Sie ist Trägerin der Informationen,
der Eigenschaften, der statistischen Merkmale, für die man sich bei der Untersuchung
interessiert.
Die Gesamtheit der statistischen Einheiten, welche für die Untersuchung von Bedeutung
sind, heiÿt
statistische Masse. Sie ist im Hinblick auf das Ziel der Untersuchung durch
sachliche, räumliche und zeitliche Kriterien identiziert beziehungsweise abgegrenzt.
Hierzu einige weitere Beispiele für statistische Massen und statistische Einheiten und
Daten, welche erhoben werden können.
1.3.4 Beispiel.
Bei der Untersuchung der Projekte in einer Abteilung für Softwareent-
wicklung ist jedes einzelne Projekt eine statistische Einheit, die Gesamtzahl der Projekte
der Entwicklungsabteilung ist die statistische Masse. Daten, welche untersucht werden
können sein: Anzahl Mitarbeiter, Budget, Ist-Kosten, Ist-Stunden, Rest-Stunden, Datum
Auslieferung,
. . ..
Bei diesem Beispiel kann man sich bezüglich der untersuchten Projekte genauer Fragen,
welche Projekte untersucht werden. Alle derzeit aktiven Projekte, alle Projekte, welche
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19
1.3. Merkmale
im aktuellen Jahr aktiv waren? Zur Identikation der statistischen Einheiten, zur Entscheidung, ob sie zur statistischen Masse gehören sind sachliche, räumliche und zeitliche
Kriterien entscheidend.
1.3.5 Beispiel.
Bei der Untersuchung des Produktionsvolumen in einer Station zur Ab-
füllung von Getränken in Flaschen kann jede einzelne Flasche eine statistische Einheit
sein, wenn untersucht wird, welches Getränk in welcher Füllmenge in jeder einzelnen
Flasche ist.
1.3.6 Beispiel.
Bei der Untersuchung der Studierenden einer Hochschule sind die ein-
zelnen Studierenden, welche zu einem bestimmten Zeitpunkt an der Hochschule sind die
statistischen Einheiten. Die Gesamtzahl der Studierenden zum untersuchten Zeitpunkt
sind die statistische Masse. Untersuchte Daten können sein: Studiengang, Semester, Alter, Herkunftsland,
1.3.7 Beispiel.
. . ..
Bei der Produktion eines Produktes oder bei der Anlieferung eines Pro-
duktes ist jedes einzelne Produkt eine statistische Einheit. Die Gesamtmenge der Produktion oder Anlieferungen sind die statistische Masse. Hierbei ist eine zeitliche Abgrenzung
sicherlich wichtig: die Produktion / Anlieferung an einem Tag, in einer Woche,
. . ..
Un-
tersucht werden kann hier die Qualität des Produktes, ist sie in Ordnung oder nicht.
Bei diesem Beispiel, welches in der Qualitätssicherung in einem Unternehmen gebraucht
wird, ist es in der Regel so, dass nicht die Gesamtheit der Produktion oder Anlieferung
überprüft wird, sondern nur ein kleiner Teil. Auch bei der Volkszählung in Deutschland
im Jahr 2011 wird nur ein Teil (circa 10%) der gesamten Bevölkerung befragt.
1.3.8 Denition (Stichprobe).
Wird bei einer statistischen Untersuchung nur ein Teil
der interessierenden statistischen Masse erfasst, dann heiÿt dieser Teil
1.3.9 Anmerkung.
Stichprobe.
Die Aussagen in der beschreibenden Statistik beziehen sich immer
nur auf den Umfang, der untersucht wird. Eine Übertragung von Ergebnissen auf die
Obermenge ist eine Aufgabe der schlieÿenden Statistik. Gerade wieder bei der Aufgabe
der Qualitätssicherung ist es jedoch wichtig von der untersuchten Stichprobe auf die
gesamte statistische Masse zu schlieÿen. Bei einer groÿen Anlieferung von Waren soll
durch eine Stichprobe entschieden werden, ob die Qualität in Ordnung ist und die gesamte
Anlieferung angenommen wird oder wieder zurück gesendet wird.
1.3.10 Denition (Bestandsmasse, Ereignismasse).
Statistische
Einheiten
einer
statistischen Masse können für einen gewissen Zeitraum permanent zur statistischen
Masse gehören (beispielsweise die Einwohner in einem Ort), andere statistische Einheit
sind Ereignisse (zum Beispiel Geburt oder Tod, Zuzug oder Wegzug). Für die statistische
Masse kann es eine Unterscheidung in Bestandsmasse und Ereignismasse geben.
Eine statistische Masse, deren Einheiten für ein gewisses Zeitintervall zur Masse gehört,
heiÿt
20
Bestandsmasse. Die Anzahl der Einheiten, die zu einer Bestandsmasse zu einem
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Kapitel 1. Grundlagen
Bestand. Ein Ereignis, welche eine Veränderung
zu einem bestimmten Zeitpunkt charakterisiert, heiÿt Ereignis. Eine statistische Masse,
bestimmten Zeitpunkt gehören, heiÿt
deren Einheiten Ereignisse sind, die zu einem bestimmten Zeitpunkt auftreten, heiÿt
Ereignismasse.
Die durchfahrenden Fahrzeuge an einem Messpunkt, die Unfälle an einer Kreuzung, die
Prüfungen an einer Hochschule sind Beispiele für Ereignismassen.
Merkmale und Skalen
1.3.11 Denition (Merkmal, Merkmalsträger, Merkmalsausprägung).
Bei der
Untersuchung der einzelnen Einheiten einer statistischen Untersuchung interessiert man
sich meist nur für einzelne Eigenschaften, für bestimmte Merkmale.
Eine bei einer statistischen Untersuchung interessierende Eigenschaft einer statistischen
Merkmal. Die statistische Einheiten heiÿen auch Merkmalsträger. Die
möglichen Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heiÿen Merkmalsausprägungen.
Einheit heiÿt
Eine bei einer statistischen Untersuchung an einer bestimmten statistischen Einheit festgestellte Merkmalsausprägung heiÿt
tungswert.
1.3.12 Beispiel.
Merkmalswert, Beobachtung
oder
Beobach-
Bei der Statistik über die Bevölkerung, bei der die einzelnen Personen
befragt werden, werden verschiedene Eigenschaften abgefragt.
•
Merkmal: Geschlecht;
Merkmalsausprägungen: männlich, weiblich
•
Merkmal: Familienstand;
Merkmalsausprägungen: ledig, verheiratet, geschieden, getrennt lebend, verwitwet.
•
Merkmal: Anzahl der Kinder;
Merkmalsausprägungen: eine ganze Zahl, gröÿer oder gleich 0.
•
Merkmal: Einkommen;
Merkmalsausprägungen: eine reelle Zahl
1.3.13 Anmerkung.
Es werden jetzt verschiedenen Merkmale genauer untersucht und
betrachtet. Dabei wird insbesondere beleuchtet, welche Merkmalsausprägungen vorkommen können.
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21
1.3. Merkmale
Nominalskala
1.3.14 Denition (Nominalskala, dichotomes Merkmal).
Es gibt Merkmale, bei
denen nur festgestellt werden kann, ob ein Merkmalsträger eine bestimmte Eigenschaft
hat oder nicht, beziehungsweise welche von mehreren Eigenschaften ein Merkmalsträger
hat. Ein Ordnung der Daten kann nicht angegeben werden.
Denition. Eine Skala, deren Skalenwerte nur nach dem Kriterium gleich oder verschieden geordnet werden können, heiÿt Nominalskala. Ein Merkmal, dessen Werte
nur auf einer Nominalskala gemessen werden können, heiÿt nominal messbar, das
Merkmal heiÿt auch qualitatives Merkmal.
Besitzt ein Merkmal nur zwei verschiedene Merkmalsausprägungen, dann ist es ein
chotomes Merkmal.
1.3.15 Beispiel.
di-
In der Tabelle 1.2 sind Beispiele für nominal messbare Merkmale an-
gegeben
Merkmal
Merkmalsausprägungen
Geschlecht
männlich, weiblich
Familienstand
ledig, verheiratet, verwitwet,
getrennt lebend, geschieden
Qualität
okay, nicht okay
Tabelle 1.2.: Beispiel nominal messbarer Merkamle
Für diese Merkmalsausprägungen kann jeweils nur angegeben werden, ob eine Eigenschaft zutrit oder nicht. Die Merkmale Geschlecht und Qualität, mit den gegebenen
Merkmalsausprägungen, sind dichotome Merkmale.
1.3.16 Anmerkung.
Es gibt keine natürliche Ordnung bei den Ausprägungen eines
nominal messbaren Merkmals. Weitere Beispiele hierfür sind unter anderem: Religion,
1
Beruf, Studiengang, Abstammung .
1
Bei der US-amerikanischen Volkszählung im Jahre 2000 wurde bei der Frage nach der Abstammung
keine Vorgaben gegeben. In das Feld konnte jeder Befragte selber eintragen, was er oder sie wollte.
Es wurden somit keinerlei Vorgaben gemacht, die eventuell die Befragten manipuliert hätten. Dies ist
ein Beispiel für die Möglichkeit, eine Antwort der befragten Person nicht bereits durch vorgegebene
Antworten zu leiten! Quelle: http://www.census.gov/prod/2004pubs/c2kbr-35.pdf
22
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Kapitel 1. Grundlagen
Ordinalskala
1.3.17 Denition (Ordinalskala).
Vielfach können die Ausprägungen eines Merkma-
les in eine natürliche Reihenfolge gebracht werden, in eine Ordnung. Ein Beispiel hierfür
sind Klausurnoten, die geordnet werden können. Die Note sehr gut ist besser als gut,
gut ist besser als befriedigend, befriedigend ist besser als ausreichend und ausreichend ist besser als mangelhaft.
Denition. Eine Skala, deren Skalenwerte in einer natürlichen Reihenfolge geordnet
werden können, heiÿt Ordinalskala oder Rangskala. Ein Merkmal, dessen Werte auf
einer Rang- oder Ordinalskala gemessen werden können, heiÿt ordinal messbar, das
Merkmal heiÿt auch intensitätsmäÿiges Merkmal.
1.3.18 Beispiel.
In der Tabelle 1.3 sind die Noten einer Klausur tabellarisch dargestellt.
Die ausgeschriebenen Noten werden hierbei durch den Zahlenwert dargestellt, der hinter
der Note steht.
Note
1
2
3
4
5
Anzahl
2
10
11
3
3
Tabelle 1.3.: Beispiel: ordinal messbares Merkmal - Noten bei einer Klausur
1.3.19 Anmerkung.
Bei einem ordinal messbaren Merkmal werden in der Regel die
Elemente in der natürlichen Ordnung angegeben. In der Abbildung 1.1 über die Noten
bei einer Klausur werden die Daten in der Reihenfolge von der besten zur schlechtesten
Note dargestellt.
Anzahl
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
Note
Abbildung 1.1.: Beispiel ordinal messbares Merkmal - Noten bei einer Klausur
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1.3. Merkmale
1.3.20 Beispiel.
In der Tabelle 1.4 sind einige Beispiele für ordinal messbare Merkmale
aufgeführt.
Merkmal
Merkmalsausprägungen
Zensur
sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, mangelhaft
Güteklasse
A, B, C, D
Tabelle 1.4.: Beispiel ordinal messbares Merkmale
Die Reihenfolge gibt hierbei keine Auskunft über den absoluten Wert der Ausprägung.
Es ist nur eine Reihenfolge ausgedrückt.
Kardinalskala
1.3.21 Denition (Kardinalskala).
Bei den Noten kann nur gesagt werden, dass die
Leistung mit gut besser ist als die Leistung mit befriedigend. Es kann jedoch nicht
gesagt, dass die Leistung doppelt so gut ist. In vielen Fällen sind die Merkmalsausprägungen nicht nur anordenbar, mit den Werten kann auch gerechnet werden. Den Merkmalsausprägungen sind reelle Zahlen zugeordnet.
Denition. Eine Skala, deren Skalenwerte reelle Zahlen sind, heiÿt Kardinalskala oder metrische Skala. Ein Merkmal, dessen Werte auf einer Kardinalskala oder
metrischen Skala gemessen werden können, heiÿt kardinal messbar oder metrisch
messbar, das Merkmal heiÿt quantitatives Merkmal.
Eine metrische Skala, die keinen natürlicher Nullpunkt und keine natürliche Einheit
besitzt, heiÿt Intervallskala.
Eine metrische Skala, die einen natürlicher Nullpunkt, aber keine natürliche Einheit
besitzt, heiÿt Verhältnisskala.
Eine metrische Skala mit einem natürlicher Nullpunkt und einer natürlichen Skala heiÿt
Absolutskala.
Bei einer Intervallskala können Abstände (Intervalle) verglichen werden.
1.3.22 Beispiel (Intervallskala).
Eine Temperatur von 10 Grad Celcius ist 5 Grad
höher als eine Temperatur von 5 Grad Celsius. Die Erhöhung ist genauso groÿ, wie der
Abstand zwischen -10 Grad Celcius und -15 Grad Celsius.
1.3.23 Beispiel (Verhältnisskala).
Bei einer Verhätnisskala können Verhältnisse zwi-
schen Werten verglichen werden.
24
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 1. Grundlagen
Eine Temperatur von 290 Grad Kelvin ist um 3,6 % höher als eine Temperatur von 280
Grad Kelvin.
1.3.24 Beispiel (Absolutskala).
1.3.25 Beispiel.
Anzahl der Packstücke in einer Kiste.
In der Tabelle 1.5 sind einige Beispiele von kardinal messbaren Merk-
malen aufgeführt.
Merkmal
Merkmalsausprägungen
Skala
Körpergröÿe
x cm
Verhältnisskala
Anzahl Kinder
0, 1, 2, 3, ...
Absolutskala
Füllmenge der Flasche
x,xx l
Verhältnisskala
Entfernung
x,xx km
Verhältnisskala
Gröÿe eines Grundstückes
x,xx ar
Verhältnisskala
Temperatur
x Celcius
Intervallskala
Intervallskala
Längengrad
Tabelle 1.5.: Beispiel kardinal messbare Merkmale
Hier lassen sich noch viele weitere Beispiele nden. Bei diesen Beispielen kann es noch
Unterschiede geben, je nachdem ob ein natürlicher Nullpunkt und eine natürliche Einheit
existiert.
•
Für den Längengrad gibt es keinen natürlichen Nullpunkt und auch keine natürliche
Einheit, aber Abstände können miteinander verglichen werden.
•
Entfernungen haben einen natürlichen Nullpunkt, die Länge 0. Es existiert jedoch
keine natürliche Einheit. Es gibt viele Einheiten. Man kann die Entfernung in km,
in m, in cm, in Meilen, . . . angeben. Beim Vergleich zweier Werte bleibt stets das
Verhältnis gleich, egal, in welcher Einheit gemessen wird.
•
Bei einer Stückzahl (zum Beispiel bei einer Stückliste), existiert ein natürlicher
Nullpunkt und eine natürliche Einheit.
Skalentransformation
1.3.26 Denition (Skalentransformation).
Bei der Erfassung und Aufbereitung sta-
tistischer Daten werden die Werte einer Skala manchmal in Werte einer anderen Skala
transformiert. Ein bekanntes Beispiele hierfür ist die Transformation von Temperaturen zwischen Grad Celsius, Grad Fahrenheit und Grad Kelvin. Mit der Transformation
können Berechnungen vereinfacht werden.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
25
1.3. Merkmale
Denition. Die Übertragung von Skalenwerten in die Werte einer anderen Skala, wobei
die Ordnungseigenschaften der Skala erhalten bleiben heiÿt eine Skalentransformation.
1.3.27 Beispiel (Skalentransformation Nominalskala).
Die Werte männlich und
weiblich des Merkmals Geschlecht bei einer Nominalskale, kann transformiert werden
in die Werte 0 und 1. Dies ist eine Verschlüsselung der Daten, die einer Skalentransformation entspricht.
1.3.28 Beispiel (Skalentransformation Ordinalskala).
gut,
. . .,
mangelhaft in die Noten
1, 2, . . . , 5
Die Schulnoten sehr gut,
ist eine Skalentransformation, da die
Ordnungseigenschaft erhalten bleibt.
1.3.29 Beispiel (Skalentransformation Kardinalskala).
Für
eine
Kardinalskala
beziehungsweise metrische Skala ist nur eine lineare Transformation zulässig. Sind
xi
die
Werte einer Kardinalskala, dann können diese nur mit Hilfe einer Gleichung der Form
yi = dxi + e
in die Werte
yi
einer anderen Skala übertragen werden, wobei
Bei einer Verhältnisskale ist dabei
e = 0,
bei einer Absolutskala, ist
d=1
d > 0 gilt.
e = 0.
und
Die Transformation der Temperatur von Grad Fahrenheit in Grad Celsius erfolgt mittels
der linearen Transformation
C =
5
9F
−
160
9 .
1.3.30 Beispiel (Skalentransformation Kardinalskala).
Bei der Untersuchung des
Gewichtes von Packungen mit Mehl mit dem Soll-Gewicht von 1kg interessiert man sich
X (Gewicht der Packung)
Y (Abweichung vom Soll-Gewicht). Es wird hierbei
Y = X − 1kg angewendet.
nur für die Abweichung vom diesem Soll. Statt dem Merkmal
interessiert man sich für das Merkmal
die lineare Transformation
Diskrete und stetige Merkmale
1.3.31 Denition (diskrete und stetige Merkmale).
Die Anzahl der unterschiedli-
chen Merkmalsausprägungen eines quantitativen Merkmals kann sehr hoch sein. Bei der
Körpergröÿe kann jede positive reelle Zahl eine Merkmalsausprägung sein. Bei der Anzahl der Packstücke in einer Kiste jedoch nur die natürlichen Zahlen, inklusive der Null.
Dies führt zur nachfolgenden Denition.
Denition (diskrete und stetige Merkmale). Ein quantitatives Merkmal heiÿt
diskretes Merkmal , wenn es nur endlich viele oder abzählbar unendliche viele Merkmalsausprägungen besitzt.
Ein quantitatives Merkmal heiÿt stetiges Merkmal , wenn es überabzählbar viele Merkmalsausprägungen hat.
26
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Kapitel 1. Grundlagen
Da bei stetigen Merkmalen die Anzahl der Merkmalsausprägungen überabzählbar ist,
führt dies zu einen Einteilung der Merkmalsausprägungen in Klassen, einer Klassierung,
die im nachfolgenden Abschnitt 1.3 genauer erläutert wird.
Klassierung
1.3.32 Anmerkung.
Bei Merkmalen, wie beispielsweise der Körpergröÿe oder dem Ein-
kommen ist die Darstellung jeder einzelnen Merkmalsausprägung nicht sinnvoll oder nicht
machbar. Es gibt zu viele Ausprägungen oder die Darstellung ist zu unübersichtlich.
Daher werden benachbarte Merkmalsausprägungen zu Klassen zusammen gefasst. Eine
Klasse
Kj
und die
obere Klassengrenze
untere Klassengrenze
x∗j−1
∗
xj . Hierbei ist eindeutig festzulegen, welche der Klas-
wird dabei durch zwei Werte charakterisiert. Die
sengrenzen zur Klasse gehört, welche nicht. Es zählt entweder die untere Klassengrenze
zur Klasse von
x∗j−1
bis unter
x∗j oder die obere Klassengrenze über
x∗j−1
bis
x∗j zur
Klasse.
Die
Klassenbreite
ist einfach die Dierenz der Klassengrenzen
x∗j − x∗j−1 .
Manchmal
ist die Klassenbreite bei allen Klassen gleich breit. Dies ist jedoch nicht immer sinnvoll.
Die Anzahl der Klassen sollte dabei nicht zu klein, aber auch nicht zu groÿ sein. Dies
hängt jeweils von der Thematik ab. Wenn beispielsweise das Lebensalter betrachtet wird,
dann wird das Alter in Jahren betrachtet und es wird der untere Wert betrachtet. Für
statistische Untersuchungen wird oftmals die Klassenmitte
(x∗j + x∗j−1 )/2
herangezogen.
Dies basiert auf der Annahme, dass die Daten in der Klasse gleichmäÿig verteilt sind.
Die Randklassen, also die erste Klasse, mit den niedersten Werten, und die letzte Klasse,
mit den höchsten Werten, sind problematisch. Gibt es eine untere beziehungsweise obere
Grenze oder bleiben die Grenzen oen. Bei oenen Grenzen, wie ist dann der Repräsentant der Klasse zu bestimmen?
1.3.33 Beispiel (Körpergröÿe).
Mit den Daten aus dem Basisdatensatz (Tabelle A.1)
ergibt sich mit der Klasseneinteilung mit einer Klassenbreite von 5 cm die Verteilung
(siehe Tabelle 1.6)
1.3.34 Beispiel (Haushaltseinkommen).
Bei der Betrachtung des monatliches Net-
toeinkommens durch das Statistische Bundesamt werden folgende Klassen gebildet:
e
•
unter 1.300
•
von 1.300
e
bis unter 2.600
e
•
von 2.600
e
bis unter 3.600
e
•
von 3.600
e
bis unter 5.000
e
•
von 5.000
e
bis unter 18.000
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e
27
1.4. Aufgaben
von
...
bis unter
...
Anzahl
150 - 155
1
155 - 160
0
160 - 165
2
165 - 170
5
170 - 175
6
175 - 180
7
180 - 185
3
185 - 190
4
190 - 195
1
Tabelle 1.6.: Klassen bei Körpergröÿe
1.4. Aufgaben
1.4.1 Aufgabe (Durchschnittsalter).
hebung
Führen Sie die Phasen
Planung
und
Datener-
für die Bestimmung des Durchschnittsalters der in einem Raum anwesenden
Personen durch?
1.4.2 Aufgabe (Körpergröÿen).
Führen Sie die Phasen
Planung
und
Datenerhebung
für die Bestimmung der durchschnittliche Körpergröÿe in cm der in einem Raum anwesenden Personen durch.
1.4.3 Aufgabe.
Finden Sie weitere Beispiele für statistische Massen, statistische Ein-
heiten und Daten, die erhoben werden.
1.4.4 Aufgabe.
Finden Sie weitere Beispiele für Bestandsmassen und Ereignismassen.
1.4.5 Aufgabe.
Geben Sie zu den folgenden Merkmalen mögliche Merkmalsausprägun-
gen an:
Haarfarbe,
Einkommen,
Note einer Klausur,
Gewicht,
Studiengang und Herkunftsland.
1.4.6 Aufgabe.
Finden Sie weitere Merkmale für statistische Einheiten und dazugehö-
rige Merkmalsausprägungen.
1.4.7 Aufgabe.
Finden Sie weitere nominal messbare Merkmale
1.4.8 Aufgabe.
Finden Sie weitere ordinal messbare Merkmale.
1.4.9 Aufgabe.
Finden Sie weitere metrisch messbare Merkmale, sowohl mit Intervalls-
kala, Verhältnisskala und Absolutskala.
28
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Kapitel 1. Grundlagen
1.5. Lösungen
1.5.1 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.1 -
1.5.2 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.2 -
1.5.3 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.3 -
1.5.4 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.4 -
1.5.5 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.5 -
1.5.6 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.6 -
1.5.7 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.7 -
1.5.8 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.8 -
1.5.9 Lösung.
zu Aufgabe 1.4.9 -
Version 6.0 - 019 24.06.2017
29
Teil I.
Beschreibende Statistik
Der erste Teil befasst sich mit der beschreibenden Statistik. Hier werden, wie der Titel es
besagt, Daten beschrieben. Hierbei werden die Daten auf unterschiedliche Art und Weise beschrieben. Zum einem werden einfache Auistungen und Darstellungen der Daten
wiedergegeben. Bei der Darstellung der Daten stechen natürlich Graken, die heutzutage
mit Leichtigkeit mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogrammes oder mit Hilfe spezieller
statistischer Softwaresysteme erstellt werden können, hervor.
Neben der Darstellung werden statistische Parameter berechnet, welche Informationen
zu den Daten wiedergeben. Lage- und Streuungsmaÿe sind dabei wichtige Kenndaten,
die mit Hilfe weniger Informationen einen Eindruck von den Daten liefern kann. Die
Interpretation der Daten ist jedoch stets mit Vorsicht zu betrachten. Hierbei kann es zu
Fehl- oder sogar Falschinterpretationen kommen.
Im Kapitel 2 werden statistische Untersuchungen bei nur einem einzigen Merkmal behandelt. Danach erfolgt im Kapitel 3 die Betrachtung, wenn zwei Merkmale gemeinsam
betrachtet werden. Dabei ist auch die Untersuchung wichtig, welche Abhängigkeiten es
zwischen den Merkmalen gibt. Auf die Untersuchung von Multivariaten Daten, also wenn
auch mehr als zwei Merkmale betrachtet werden, wird verzichtet, die Betrachtung wird
hierbei nicht einfacher. Im Kapitel 4 werden spezielle bivariate Daten betrachtet, nämlich Daten bei denen das einen Merkmal die Zeit ist, wobei es auch hier nur ein kurzes
Blitzlicht in die reiche Materie ist.
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31
Kapitel 2.
Univariate Daten
In diesem Teil wird die beschreibende Statistik für ein Merkmal erläutert. Es werden
verschiedene Darstellungen gezeigt und wichtige Parameter der beschreibenden Statistik,
Lageparameter oder Mittelwerte und Streuungsparameter eingeführt.
2.1. Darstellung univariater Daten
statistische Reihe
2.1.1 Denition (statistische Reihe).
Die Daten von Beobachtungen bei einer sta-
tistischen Erhebung bilden zuerst eine Reihe von Daten, einen Datenstrom. Dies ist der
Ausgangspunkt für die Untersuchung und Auswertung. Dies kann am Basisdatensatz
(siehe Tabelle A.1) gesehen werden.
Denition. Werden die Werte der Beobachtungen, die für eine statistische Untersu-
chung erhoben sind, nacheinander aufgeschrieben, so erhält man eine statistische Reihe. Werden die Daten geordnet, so heiÿt sie eine geordnete Reihe , ansonsten heiÿt
sie ungeordnete Reihe.
Eine statistische Reihe von Beobachtungen zu einem bestimmten Phänomen, die für
aufeinander folgende Zeitpunkte oder Zeitintervalle erhoben werden, heiÿt Zeitreihe.
2.1.2 Beispiel.
Aus dem Basisdatendatensatz (siehe Tabelle A.1) ergibt sich für das
Alter der Befragten Personen die ungeordnete Reihe: 19, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 23, 25,
20, 20, 22, 23, 20, 20, 20, 21, 20, 23, 21, 20, 21, 19, 19, 21, 22, 18, 25, 54. Daraus ergibt
sich die geordnete Reihe: 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21,
21, 21, 21, 21, 22, 22, 23, 23, 23, 25, 25, 54 der Beobachtungen.
2.1.3 Anmerkung.
spiel ist
X
Es sei
X
ein Merkmal, das untersucht werden soll. Im obigen Bei-
das Merkmal Alter. Wenn
n
werden, so werden die Beobachtungen mit
(i
Beobachtungen zu diesem Merkmal erfasst
x1 , x2 , . . . , xn
bezeichnet, oder kurz mit
xi ,
= 1, . . . , n).
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2.1. Darstellung univariater Daten
Häugkeitstabellen
2.1.4 Denition (absolute und relative Häugkeit).
Beobachtungen mit der sel-
ben Merkmalsausprägung können zusammen gefasst werden.
Denition. Es sei X ein Merkmal mit den Merkmalsausprägungen xj (j = 1, . . . , m).
Die Anzahl der Beobachtungen mit der Merkmalsausprägung xj heiÿt absolute Häugkeit der Merkmalsausprägung und wird mit h(xj ) bezeichnet.
Der relative (prozentuale) Anteil der absoluten Häugkeit h(xj ) einer Merkmalsausprägung xj an der Gesamtanzahl n der Beobachtungen heiÿt relative Häugkeit f (xj ).
Es gilt f (xj ) = h(xj )/n.
Die absolute Häugkeit
h(xj )
j = 1, . . . , m jeder Merkmalsausprägung xj kann in
n der Beobachtungen
gesetzt werden. Die Gesamtanzahl
Pm
h(x
sich durch n =
j ).
j=1
für
Beziehung zu der Gesamtanzahl
n
der Beobachtungen ergibt
2.1.5 Anmerkung.
Für die absoluten und relativen Häugkeiten gelten (bei
n
Beob-
achtungen) die Eigenschaften, die in der Tabelle 2.1 aufgeführt sind.
absolute Häugkeiten
relative Häugkeiten
∀j = 1, . . . , m : h(xj ) ≥ 0
∀j = 1, . . . , m : f (xj ) ≥ 0
Pm
Pm
j=1 h(xj )
= n
j=1 f (xj )
= 1
Tabelle 2.1.: Eigenschaften absolute und relative Häugkeiten
2.1.6 Denition (Häugkeitsverteilung).
Wie können die Dtaen dargestellt wer-
den?
Denition. Die geordneten Merkmalsausprägungen und die zugehörigen (absoluten und
relativen) Häugkeiten ergeben die Verteilung oder Häugkeitsverteilung des betreffenden Merkmales.
Die Häugkeitsverteilung werden oftmals in tabellarischer Form erstellt.
34
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Kapitel 2. Univariate Daten
xj
h(xj )
f (xj )
18
19
20
21
22
23
24
25
54
1
3
11
6
2
3
0
2
1
3,4%
10,3%
37,9%
20,7%
6,9%
10,3%
0,0%
6,9%
3,4%
Tabelle 2.2.: Beispiel: Häugkeitsverteilung Alter
2.1.7 Beispiel.
Die obige Verteilung des Alters (siehe Beispiel 2.1.2) aus der Befragung
von 29 Personen kann auch folgendermaÿen, in tabellarischer Form (siehe Tabelle 2.2)
dargestellt werden.
Hinweis: Einige (mögliche) Merkmalsausprägungen sind nicht aufgeführt, da es keine
Beobachtungen dafür gibt. Einige Merkmalsausprägungen sind aufgeführt, obwohl keine
Beobachtung dafür gibt (Beispiel:
xj = 24). Der Wert 24 ist mit aufgeführt, da somit die
Werte von 18 bis 25 lückenlos aufgeführt sind. Zwischen dem Wert 25 und dem extremen
Wert 54 sind keine Merkmalsausprägungen aufgeführt.
2.1.8 Beispiel.
Für 120 Personen ergibt sich folgende Häugkeitsverteilung für das
Merkmal Familienstand, siehe Tabelle 2.3.
Familienstand
ledig
verheiratet
geschieden
absolute Häugkeit
12
5
3
relative Häugkeit
60%
25%
15%
Tabelle 2.3.: Beispiel: Tabelle Familienstand
Grasche Darstellungen
2.1.9 Anmerkung.
Neben der Darstellung von Daten mit Hilfe von Tabellen gibt es
auch viele Möglichkeiten, die Daten grasch darzustellen. Hierzu gibt es verschiedene
Arten von Diagrammen: Balkendiagramm, Liniendiagramm, Flächendiagramm, Kreisdiagramm und noch weitere Varianten. Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms,
eines speziellen Statistikprogrammes oder aber auch mit Hilfe von Präsentationsprogrammen, kann man derartige Diagramme leicht und automatisiert erhalten.
2.1.10 Beispiel (nominal messbares Merkmal - Geschlecht).
Das Geschlecht der
Personen aus dem Basisdatensatz (siehe A.1) ist ein nominal messbares Merkmal. Es
gibt keine Ordnung der Daten. Diese Daten werden oftmals in einem Kreisdiagramm
dargestellt. In der Abbildung 2.1 sind die Daten aus dem Basisdatensatz für das Merkmal
Geschlecht als Kreisdiagramm grasch dargestellt.
2.1.11 Beispiel (ordinal messbares Merkmal - Alter).
Die Verteilung des Merk-
mals Alter aus dem Basisdatensatz (siehe Tabelle A.1) kann mittels eines Balkendiagramms (siehe Abbildung 2.2) dargestellt werden.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
35
2.1. Darstellung univariater Daten
m
w
Abbildung 2.1.: Beispiel: nominal messbares Merkmal - Kreisdiagramm
Anzahl
12
10
8
6
4
2
18
19
20
21
22
23
24
...
25
54
Alter
Abbildung 2.2.: Beispiel: ordinal messbares Merkmal - Alter
2.1.12 Beispiel.
Für die Statistik über das Ergebnis einer Klausur (siehe A.1) sind die
Noten der einzelnen Klausuren das entscheidende Merkmal. Die erzielten Punkte sind
ein anderes Merkmal, jedoch für diesen Fall jetzt nicht relevant. Es haben insgesamt 28
Personen an der Klausur teilgenommen, die einzelnen Ergebnisse sind (sortiert nach der
Note): 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5 und 5. Diese
können in einer Häugkeitsverteilung tabellarisch dargestellt werden (siehe Tabelle 2.4)
oder auch grasch dargestellt werden (siehe Abbildung 2.3).
Anhand der Tabelle oder auch der Grak kann man sehen, dass zwei Personen eine 1
geschrieben haben, während leider drei Personen die Klausur nicht bestanden haben.
Die Breite die Balken kann frei gewählt werden, es ist nur eine Frage der Anschaulichkeit.
2.1.13 Denition (Häugkeitstabelle).
In der Häugkeitsverteilung sind oftmals
nicht alle möglichen Merkmalsausprägungen enthalten, sondern nur die tatsächlich vor-
Note
1
2
3
4
5
absolute Häugkeit
2
10
11
3
3
Tabelle 2.4.: Beispiel: Notenverteilung - tabellarische Darstellung
36
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Anzahl
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
Note
Abbildung 2.3.: Beispiel: Notenverteilung - grasche Darstellung
kommenden. Die tabellarische Darstellung einer Häugkeitsverteilung erfolgt in einer so
genannten
Häugkeitstabelle.
Dies kann horizontal oder vertikal aufgebaut werden.
Im nachfolgenden ist ein vertikales und horizontales Beispiel aufgeführt.
Es sei
X
ein Merkmal mit den Merkmalsausprägungen
luten Häugkeiten sei gegeben durch
h(xj ).
xj (j = 1, . . . , m).
Die relative Häugkeiten sind
Die abso-
f (xj ).
Die
Häugkeitsverteilung kann horizontal (siehe Tabelle 2.5) oder vertikal (siehe Tabelle 2.6)
dargestellt werden.
Merkmalsausprägung
absolute Häugkeit
relative Häugkeit
x1
h(x1 )
f (x1 )
x2
h(x2 )
f (x2 )
...
...
...
xj
h(xj )
f (xj )
...
...
...
xm
h(xm )
f (xm )
Tabelle 2.5.: Häugkeitstabelle - horizontal
Merkmalsausprägung
absolute Häugkeit
relative Häugkeit
x1
x2
h(x1 )
h(x2 )
f (x1 )
f (x2 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xj
h(xj )
f (xj )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xm
h(xm )
f (xm )
Tabelle 2.6.: Häugkeitstabelle - vertikal
2.1.14 Denition (Skalen).
Für die grasche Darstellung einer Häugkeitsverteilung
gibt es verschiedene Möglichkeiten. Bei einer
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Nominalskala
gibt es keine natürliche
37
2.1. Darstellung univariater Daten
Körper-
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
gröÿe
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cm
154
159
164
169
174
179
184
189
194
199
Anzahl
1
0
2
5
7
6
3
4
0
1
Tabelle 2.7.: Beispiel: Körpergröÿe gruppiert
Ordnung der Merkmalsausprägungen. Für die Darstellung wählt man meistens Kreisoder Flächendiagramme.
Bei einer
Ordinalskala
kann man die Häugkeitsverteilung grasch als Linien- oder
als Balkendiagramm darstellen. Hierbei werden meistens auf der waagrechten Achse die
geordneten Merkmalsausprägungen abgetragen.
Bei einer
Kardinalskala muss zwischen diskreten und stetigen Merkmalen unterschie-
den werden. Häugkeitstabelle und grasche Darstellung der Häugkeitsverteilung eines
diskreten Merkmales können in gleicher Weise erfolgen wie bei einem ordinal messbaren
Merkmal.
2.1.15 Anmerkung.
Bei einem stetigen Merkmal können Klassen gebildet werden. Ab-
solute und relative Häugkeiten sind dann Häugkeiten einer Klasse. Sie werden meist
als rechteckige Flächen über den Klassen der Merkmalsausprägungen grasch dargestellt.
Dabei wird unterstellt, dass die zu einer Klasse gehörigen Beobachtungen gleichmäÿig
über die Klasse verteilt sind. In der graschen Darstellung können die Klassen so gewählt
werden, dass die Breite stets gleich ist. Es kann jedoch auch unterschiedliche Breiten gewählt werden. Für den Vergleich sind dann die Flächen der Balken relevant, nicht jedoch
die Höhen der Balken.
Im Basisdatensatz sind auch Daten für die Körpergröÿe hinterlegt. Eine grasche Darstellung der Daten mit den einzelnen Körpergröÿe ist nicht aussagekräftig. Die Daten
werden jedoch gruppiert. Hier wird die Variante gewählt, dass die Breite der Gruppen
jeweils gleich groÿ sind - jeweils 5 cm. Die erste Gruppe ist im Gröÿenbereich 150 cm 154 cm. Die weiteren Gruppen sind 155 cm - 159 cm, 160 cm - 164 cm, . . . , 194 cm 199 cm. Die Daten werden jetzt auf diese Gruppen aufgeteilt. Dies ist in der Tabelle 2.7
dargestellt.
Jetzt können die Daten wieder grasch dargestellt werden, mit Balken der gleichen Breite.
Summen- und Resthäugkeit
2.1.16 Denition (Summenhäugkeit).
Für viele Fragestellungen ist die Summen
der Beobachtungen bis zu einem bestimmten Wert gesucht. Beispielsweise bei der Unter-
38
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
suchung des bereits geleisteten Aufwands für ein Projekt interessiert in erster Linie die
Summe der bisher geleisteten Stunden.
Denition. Die einer Merkmalsausprägung eines ordinal oder metrisch messbaren
Merkmales zugeordnete Häugkeit aller Beobachtungen, die diese Merkmalsausprägungen nicht überschreiten, heiÿt Summenhäugkeit. Für die absolute Summenhäugkeit gilt:
H(xj ) =
X
h(xk )
(2.1)
f (xk )
(2.2)
xk ≤xj
Für die relative
Summenhäugkeit gilt:
F (xj ) =
X
xk ≤xj
Sind die Merkmalsausprägungen geordnet x1 < x2 < . . . < xm , dann gilt
H(xj ) =
j
X
h(xk )
und
F (xj ) =
f (xk )
(2.3)
k=1
k=1
2.1.17 Beispiel.
j
X
Für die Verteilung des Alters aus dem Basisdatensatz (siehe Tabelle
A.1) sind die absolute und relative Häugkeitsverteilung in der Tabelle 2.8 zu nden.
Eine entsprechende grasche Darstellung ist in Abbildung 2.4 dargestellt.
xj
h(xj )
H(xj )
f (xj )
F (xj )
18
19
20
21
22
23
25
54
1
3
11
6
2
3
2
1
1
4
15
21
23
26
28
29
3,4% 10,3% 37,9% 20,7% 6,9% 10,3% 6,9% 3,4%
3,4% 13,8% 51,7% 72,4% 79,3% 89,7% 96,6% 100%
Tabelle 2.8.: Beispiel: Summen- und Resthhäugkeit Alter
2.1.18 Denition (Restsummenhäugkeit).
Neben
den
Summen
können
auch
Restsummen betrachtet werden.
Denition. Die einer Merkmalsausprägung eines ordinal oder metrisch messbaren
Merkmales zugeordnete Häugkeit aller Beobachtungen, die diese Merkmalsausprägungen überschreiten, heiÿt Restsummenhäugkeit.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
39
2.2. Mittelwerte
Anzahl
28
24
20
16
12
8
4
18
19
20
21
22
23
24
25
...
54
Alter
Abbildung 2.4.: Beispiel: Summenhäugkeit - Alter
Es sei n die Gesamtzahl der Beobachtungspunkte. Für die absolute Restsummenhäugkeit gilt:
HR(xj ) =
X
h(xk ) = n − H(xj )
(2.4)
xk >xj
Für die relative
Restsummenhäugkeit gilt:
F R(xj ) =
X
f (xk ) = 1 − F (xj )
(2.5)
xk >xj
2.2. Mittelwerte
Eine erste wichtige Kenngröÿe für eine statistische Masse sind Lageparameter und Mittelwerte. Es gibt dabei verschiedenen Möglichkeiten der Denition, was unter einem Mittelwert zu verstehen ist.
Modus
2.2.1 Denition (Modus).
Die erste Art von Mittelwert ist der häugste Wert. Dies
ist für alle Merkmale auch für nominal messbare Merkmale möglich.
40
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Denition. Die Merkmalsausprägung, die am häugsten vorkommt, wird häugster
Wert, dichtester Wert, Modalwert oder Modus genannt und wird mit xD bezeich-
net. Es gilt h(xD ) = maxj∈{1,...,n} (h(xj )).
Gibt es mehrere Ausprägungen mit der gröÿten Häugkeit, dann gibt es entsprechend
viele häugste Werte, und es gilt:
xD ∈ {xk | h(xk ) =
2.2.2 Beispiel.
häugste Wert,
2.2.3 Beispiel.
(2.6)
Bei der Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) ist der Modalwert, der
20.
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) ist der Modalwert,
der häugste Wert, die Note
2.2.4 Beispiel.
max (h(xj ))}
j∈{1,...,n}
3.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist der Modalwert,
der häugste Wert, die Gruppe mit der Gröÿe
170cm − 174cm.
Median
2.2.5 Denition (Median).
Für nominal messbare Merkmale ist der häugste Wert
der einzig sinnvolle Mittelwert. Für andere Merkmale können neben dem Modalwert
noch weitere Mittelwerte bestimmt werden.
Denition. Jede Merkmalsausprägung eines wenigstens ordinal messbaren Merkmales,
welches die geordnete Reihe der Beobachtungen in zwei gleich groÿe Teile zerlegt, heiÿt
Zentralwert oder Median und wird mit xZ bezeichnet. Es gilt xZ = xk mit F (xk−1 ) <
0, 5 und F (xk ) ≥ 0, 5.
Gibt es
n
Beobachtungspunkte und ist
n
eine ungerade Zahl, dann gibt es genau einen
mittleren Wert. Dieser hat die Ordnungsnummer
geraden Anzahl von Beobachtungen gilt
n+1
2 und es gilt
xZ = x n2 .
xZ = x n+1 .
2
Bei einer
Median und Modus können übereinstimmen, müssen aber nicht!
2.2.6 Beispiel.
wert
20,
Beim Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) ist der Median, der Zentral-
also gleich dem Modus.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
41
2.2. Mittelwerte
2.2.7 Beispiel.
Note
3,
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) ist der Median die
also ungleich dem Median.
2.2.8 Beispiel.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist der Median die
Gruppe mit der Gröÿe
170cm − 174cm,
auch wieder gleich dem Median.
p-Quantil
2.2.9 Denition (Quantil).
Neben der Zerlegung in zwei Teile, können die Beobach-
tungen auch in mehr Teile zerlegt werden. Diese macht jedoch erst bei gröÿeren Datenmengen einen Sinn.
Denition. Jeder Merkmalswert xp mit 0 < p < 1 einer Verteilung für den mindestens
ein Anteil p der Daten kleiner oder gleich xp und mindestens ein Anteil 1 − p gröÿer
oder gleich xp ist, heiÿt p-Quantil .
2.2.10 Anmerkung. Der Median ist das 50%-Quantil (x0,5 ). Zwei weitere wichtigen
Quantilen sind das untere Quartil x0,25 und das oberes Quartil x0,75 . Bei der Zerlegung einer Datenmenge in Quartilen werden das untere Quartil, der Median und das
obere Quartil angegeben.
Es gibt auch die
Dezile, mit den Quantilen 10%, 20%, . . . 90%. Wichtig (beispielsweise
für die Behandlung von Ausreiÿern) sind die Quantilen bei 5% und 95%.
2.2.11 Beispiel.
Beim Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) gilt
(der Zentralwert) und
2.2.12 Beispiel.
x0,5 = 3
x0,75 = 22.
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) gilt
(der Zentralwert) und
2.2.13 Beispiel.
x0,25 = 20, x0,5 = 20
x0,25 = 2,
x0,75 = 3.
x0,25 = 165cm−
x0,75 = 180cm − 184cm.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) gilt
169cm, x0,5 = 170cm − 174cm
2.2.14 Anmerkung.
(der Zentralwert) und
Bei einer Befragung ist es durchaus möglich, dass nicht jede Ant-
wort korrekt ist. Bewusst oder unwissentlich können Antworten gegeben werden, die Ausreiÿer sind. Bei der Abfrage des Alters kann jemand das Alter nicht in Jahren, sondern
in Tagen angeben. Hier kann eine Bereinigung der Daten hilfreich sein. Hierzu können
die Daten bis zum 0,05-Quantil und die Daten ab dem 0,95-Quantil aus der weiteren
Berechnung eliminiert werden. Damit werden potenziellen Ausreiÿer entfernt.
42
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
arithmetisches Mittel
2.2.15 Denition (arithmetisches Mittel).
Das arithmetische Mittel
häugsten verwendete Mittelwert und der Wert, der landläug mit dem
x
ist der am
Durchschnitt
bezeichnet wird. Die Ermittlung des arithmetischen Mittelwertes ist nur sinnvoll für
Merkmale, die auf einer metrischen Skala gemessen werden können.
Denition. Gegeben sei ein metrisches Merkmal X . Für die n Beobachtungen xi mit
i = 1, . . . , n,
ergibt sich das (einfache)
arithmetische Mittel zu
n
x =
x1 + x2 + · · · + xn
1X
=
xi
n
n
.
(2.7)
i=1
Sind für das Merkmal X die Merkmalsausprägungen xj (j=1,. . . ,m) mit den absoluten
Häugkeiten h(xj ) und den relativen Häugkeiten f (xj ) gegeben, so errechnet sich das
(gewogene) arithmetische Mittel durch
m
x =
x1 h(x1 ) + x2 h(x2 ) + · · · + xm h(xm )
1X
=
xj h(xj )
h(x1 ) + h(x2 ) + · · · + h(xm )
n
(2.8)
j=1
mit n = h(x1 ) + h(x2 ) + · · · + h(xm ), beziehungsweise
x = x1 f (x1 ) + x2 f (x2 ) + · · · + xm f (xm ) =
m
X
xj f (xj )
(2.9)
j=1
Alle drei Mittelwerte stellen den selben Wert dar. Im ersten Fall werden die Beobachtungen einzeln herangezogen, im zweiten Fall werden gleiche Werte zusammengezogen, im
dritten Fall wird bei den zusammen gesetzten Werte die relativen Häugkeiten genommen. Die Division durch
n,
die Anzahl der Beobachtungen, wird im dritten Fall direkt
bei den Beobachtungen durchgeführt, denn es gilt
2.2.16 Beispiel.
Beim Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) gilt
x=
2.2.17 Beispiel.
f (xj ) = h(xj )/n.
1
(1 · 18 + 3 · 19 + . . . + 1 · 54) = 22
29
(2.10)
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) gilt
x=
Version 6.0 - 019 24.06.2017
1
(2 · 1 + 12 · 2 + . . . + 4 · 5) = 2, 66
29
(2.11)
43
2.2. Mittelwerte
2.2.18 Beispiel.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist zuerst zu klären,
wie eine Berechnung überhaupt durchgeführt werden kann, da das Rechnen mit Gruppen
unhandlich ist. Für jede Gruppe wird ein Repräsentant ausgewählt. Bei den Körpergröÿen
kann jeweils die Gruppenmitte ausgewählt werden. Es gilt dann
x=
1
(1 · 152cm + 2 · 162cm + . . . + 1 · 197cm) = 174, 76cm
29
(2.12)
getrimmter Mittelwert
2.2.19 Denition (getrimmter Mittelwert).
Das
arithmetische
Mittel
reagiert
empndlich auf Ausreiÿer und Extremwerte. Der Median ist gegenüber Ausreiÿern
und Extremwerte sehr robust. Daher kann man herangehen und einen Teil der Beobachtungswerte, die extremen Werte, zu eliminieren, also aus der Berechnung zu entfernen.
Mt einem vorgegebenen Werte, beispielsweise
α = 0, 05
werden dann die
α%
Werte, die
am kleinsten beziehungsweise am gröÿten sind aus der Berechnung entfernt.
Denition. Gegeben sei ein metrisches Merkmal X . Für die
tungen xi mit i = 1, . . . , n,
r ≈ n · α zu
xgα =
ergibt sich das α-getrimmte
(sortierten) BeobachMittel (0 ≤ α ≤ 0, 5) mit
n
n−r
X
xr+1 + xr+2 + · · · + xn−r
1
=
xi
n − 2r
n − 2r
.
(2.13)
i=r+1
Für
α = 0
entspricht dies genau dem arithmetischen Mittel (xg0,0
entspricht der Mittelwerte dem Median (xg0,5
2.2.20 Beispiel.
r=1
(damit eigentlich
xg0,05 =
Für
α = 0, 5
= xZ ).
Beim Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) gilt mit
dann mit der Wahl
Wird
= x).
α = 0, 05
und
α = 0, 035).
1
(3 · 19 + . . . + 2 · 25) = 20, 96 .
27
(2.14)
r = 2 (und damit α = 0, 07) gewählt, dann werden nur 25 Werte in die Berechnung
xg0,05 = 20, 88.
einbezogen. Es ergibt sich dann
geometrisches Mittel
2.2.21 Anmerkung.
Hat man es mit zeitlich aufeinander folgenden Zuwächsen, Wachs-
tumsraten oder ähnlichen (multiplikativen) Steigerungen zu tun, dann ist das arithmetische Mittel nicht der sachlich richtige Durchschnittswert, sondern das geometrische
Mittel.
44
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
2.2.22 Beispiel.
Bei einer Sparkasse konnte man bei einer Geldanlage, mit einem jähr-
lich wachsenden Zins lesen: im 1. Jahr 3% Zins, im 2. Jahr 4% Zins, im 3. Jahr 5% Zins
und im 4. Jahr 6% Zins, durchschnittlicher Zins: 4,5%. Ist das auch der eektive Zins,
das heiÿt der konstante Zinssatz mit dem am Ende das selbe nanzielle Ergebnis kommt?
In der folgenden Tabelle 2.9 sind die Wertsteigerung für 3 verschiedene Fälle aufgeführt.
Im ersten Fall ist es die Zinsreihe der Sparkasse, mit jährlich steigendem Zins. Beim Fall
2 ist der Zins jährlich 4,5%, während im Fall 3 der jährliche Zins 4,494% ist.
Jahr
0
1
2
3
4
Fall 1
1000,00
1030,00
1071,20
1124,76
1192,2456
Fall 2
1000,00
1045,00
1092,03
1141,17
1192,5186
Fall 3
1000,00
1044,94
1091,90
1140,97
1192,2447
Tabelle 2.9.: Beispielsrechnung geometrisches Mittel
2.2.23 Denition (geometrisches Mittel).
Das geometrisches Mittel ist ein Mittel-
wert für multiplikative Gröÿen.
Denition. Gegeben sei ein metrisches Merkmal X . Für die n Beobachtungspunkte xi
(i = 1, . . . , n) ergibt sich das einfache
xG =
√
n
geometrische Mittel zu
x1 · x2 · . . . · xn
v
u n
uY
n
= t
xi
(2.15)
i=1
Sind für das Merkmal X die Merkmalsausprägungen xj (j=1,. . . ,m) mit den absoluten
Häugkeiten h(xj ) und den relativen Häugkeiten f (xj ) gegeben, so errechnet sich das
gewogene geometrische Mittel durch
xG
q
n
h(x )
h(x )
h(x )
=
x1 1 · x2 2 · . . . · xm m
v
um
m
m
Y
Y
uY h(xj )
h(xj )/n
f (x )
n
t
=
xj
=
xj
=
xj j
i=1
i=1
(2.16)
i=1
mit n = h(x1 ) + h(x2 ) + · · · + h(xm ).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
45
2.2. Mittelwerte
harmonisches Mittel
2.2.24 Beispiel.
Ein PKW legt von einer Strecke
1
6 mit einer Geschwindigkeit von 100
km 1
km
h , 3 mit einer Geschwindigkeit von 80 h und den Rest mit einer Geschwindigkeit von
km
50
h zurück. Mit welcher (konstanten) Geschwindigkeit würde er die gesamte Strecke
in der gleichen Zeit bewältigen? Diese Frage führt zum harmonische Mittel.
Es gilt:
v=
s
s1 + s2 + s3
=
=
t
t1 + t2 + t3
s
s1
v1
s2
v2
+
+
s3
v3
=
1
s1
sv1
+
s2
sv2
+
(2.17)
s3
sv3
Das Einsetzen der konkreten Zahlen aus dem Beispiel ergibt.
v=
1
1
6·100
+
1
3·80
+
1
2·50
=
1
1
600
+
1
240
+
2.2.25 Denition (harmonisches Mittel).
1
100
=
600
= 63, 16
1 + 2, 5 + 6
(2.18)
Das harmonische Mittel ist der Kehrwert
vom Mittelwert von Kehrwerten.
Denition. Gegeben sei ein metrisches Merkmal X . Für die n Beobachtungspunkte xi
(i = 1, . . . , n) ergibt sich das einfache harmonische Mittel zu
xH =
1
x1
n
+ ··· +
1
xn
n
= Pn
(2.19)
1
i=1 xi
Sind für das Merkmal X die Merkmalsausprägungen xj (j = 1, . . . , m) mit den absoluten
Häugkeiten h(xj ) und den relativen Häugkeiten f (xj ) gegeben, so errechnet sich das
gewogene harmonische Mittel durch
xH = P
m
n
h(xj )
j=1 xj
2.2.26 Beispiel.
1, 4142
und
xH =
x1 = 1 und x2 = 2,
4
= 3 = 1, 3333.
Es seien
2
1+1/2
2.2.27 Anmerkung.
= P
m
1
j=1
(2.20)
f (xj )
xj
dann gelten
x = 1, 5, xG =
√
1·2 =
Für die Durchschnitte von n Beobachtungen gilt allgemein stets
x ≥ xG ≥ xH .
46
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Transformationen
2.2.28 Satz.
Es ergibt sich nun die Frage, wie sich Mittelwerte verhalten, wenn eine
Transformation durchgeführt wird.
Satz. Es sei
X ein metrisch messbares Merkmal mit dem arithmetischen Mittel x.
Durch eine lineare Transformation Y = bX + a wird das Merkmal Y deniert. Dann
gilt für das arithmetische Mittel y des Merkmales Y : y = bx + a.
Das bedeutet, dass das arithmetische Mittel die Transformation mitmacht.
y=
n
n
n
i=1
i=1
i=1
1X
1X
1X
yi =
(bxi + a) = b
xi + a = bx + a
n
n
n
(2.21)
2.3. Streuungsmaÿe
Wenn man die rechte Hand in eine Flüssigkeit mit 100 Grad Celsius steckt und die linke
Hand in eine Flüssigkeit mit -40 Grad Celsius, dann ist dies im Mittel angenehme 30
Grad Celsius. Trotzdem ist dies alles andere als angenehm.
Ein Mittelwert allein ist nicht ausreichend für die Beschreibung von Daten. Denn mit
dem Mittelwert allein kann noch nicht entschieden werden, ob die Beobachtungen eng
oder weit um diesen Mittelwert sind. Daher werden einige weitere Kennzahlen ermittelt,
welche die Streuung der Beobachtungen beschreibt.
Spannweite
2.3.1 Denition (Spannweite).
Die Entfernung zwischen maximalem und minimalem
Wert ist eine erste Orientierung.
Denition. Gegeben seien n Beobachtungen
(i=1,. . . ,n) eines metrisch messbaren
Merkmales X. Die Dierenz zwischen gröÿtem Beobachtungswert und kleinstem Beobachtungswert heiÿt Spannweite w der Verteilung des Merkmales.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
xi
47
2.3. Streuungsmaÿe
2.3.2 Beispiel.
X gegeben:
Es seien folgende Beobachtungen eines metrisch messbaren Merkmales
0, 7; 1, 6; 2, 5; 3, 2; 1, 6; 2, 4; 2, 8. Berechnen Sie für diese Werte die Spannweite.
w = 3, 2 − 0, 7 = 2, 5
2.3.3 Beispiel.
Bei der Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) ist die Spannweite
wird der Extremwert
2.3.4 Beispiel.
(2.22)
54
entfernt, dann ist die Spannweite nur
36,
7.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist die Spannweite
35cm.
Quartilsabstand
2.3.5 Denition (Quartilsabstand).
Die Spannweite gibt die Dierenz zwischen den
extremen Werten wieder. Der Quartilsabstand untersucht einen anderen Abstand.
Denition. Der Abstand zwischen dem 1. Quartil (x0.25 ) und dem 3. Quartil (x0.75 )
ist der Quartilsabstand.
In diesem Bereich sind mindestens 50% der Daten, also die Groÿteil der Daten.
2.3.6 Beispiel.
Beim Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) gilt
(der Zentralwert) und
x0,75 = 22.
x0,25 = 20, x0,5 = 20
Der Quartilsabstand ist 2, von 20 bis 22. Von den
Daten sind 19 der 29 Beobachtungen, also etwa 66% in diesem Bereich.
mittlere absolute Abweichung
2.3.7 Denition (mittlere absolute Abweichung).
Bei der Spannweite werden von
den Beobachtungen nur zwei Werte in die weitere Untersuchung einbezogen, die anderen
Werte bleiben unberücksichtigt. Bei der mittleren absoluten Abweichung werden alle
Beobachtungen in die Berechnung der Streuung mit einbezogen.
Denition. Gegeben seien n Beobachtungen xi (i=1,. . . ,n) eines metrisch messbaren
Merkmales X und der Zentralwert xZ . Das arithmetische Mittel aus den absoluten Abweichungen der Beobachtungen xi vom Zentralwert xZ heiÿt mittlere absolute Abweichung d.
n
1X
d =
|xi − xZ |
n
(2.23)
i=1
48
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Gegeben sei eine Häugkeitsverteilung eines metrisch messbaren Merkmales X, dessen
Ausprägungen xj (j=1,. . . ,m) mit den absoluten Häugkeiten h(xj ) und den relativen
Häugkeiten f (xj ) auftreten. Das gewogene arithmetische Mittel aus den absoluten Abweichungen der Merkmalsausprägungen xj vom Zentralwert xZ heiÿt mittlere absolute
Abweichung d:
d =
m
m
X
1X
|xj − xZ |h(xj ) =
|xj − xZ |f (xj )
n
j=1
(2.24)
j=1
Die mittlere absolute Abweichung wird auch mit MAA abgekürzt.
Statt die mittlere absolute Abweichung vom Zentralwert zu nehmen, kann auch die mittlere absolute Abweichung auf andere Mittelwerte bezogen werden, beispielsweise auf das
arithmetische Mittel.
2.3.8 Beispiel.
Es seien folgende Beobachtungen eines metrisch messbaren Merkmales
0, 7; 1, 6; 2, 5; 3, 2; 1, 6; 2, 4; 2, 7. Für das arithmetische Mittel gilt x = 2, 1. Der
Zentralwert ist gegeben durch xZ = 2, 4. Damit gilt in Bezug auf den Zentralwert
X gegeben:
d=
1, 7 + 0, 8 + 0, 1 + 0, 8 + 0, 8 + 0, 0 + 0, 3
= 0, 6429
7
(2.25)
und in Bezug auf das arithmetische Mittel
d=
2.3.9 Anmerkung.
1, 4 + 0, 5 + 0, 4 + 1, 1 + 0, 5 + 0, 3 + 0, 6
= 0, 6857
7
(2.26)
Die auf den Zentralwert bezogene mittlere absolute Abweichung ist
kleiner als jede auf einen anderen Wert bezogene mittlere absolute Abweichung.
2.3.10 Beispiel.
Abweichung
2, 34
2.3.11 Beispiel.
Bei der Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) ist die mittlere absolute
(mit allen 29 Werten) und
ohne den Extremwert.
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) ist die mittlere
absolute Abweichung
2.3.12 Beispiel.
1, 21
0, 79.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist die mittlere ab-
solute Abweichung
7, 24cm.
mittlere quadratische Abweichung
2.3.13 Denition (mittlere quadratische Abweichung).
Bei der mittleren absolu-
ten Abweichung ist jede Abweichung gleich gewichtet. Kleine Abweichungen sollen weniger gewichtet werden als groÿe Abweichungen. Wie kann die Abweichung gewichtet
Version 6.0 - 019 24.06.2017
49
2.3. Streuungsmaÿe
werden, um diesen Wunsch zu berücksichtigen. Als Gewicht wird der Betrag der Abweichung selbst genommen.
Denition. Gegeben seien n Beobachtungen xi (i=1,. . . ,n) eines metrisch messbaren
Merkmales X. Das arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen der Beobachtungen xi von ihrem arithmetischen Mittel x heiÿt mittlere quadratische Abweichung oder Varianz s2 des Merkmales X, manchmal auch mit s2X geschrieben.
n
s2 =
1X
(xi − x)2
n
(2.27)
i=1
Gegeben sei eine Häugkeitsverteilung eines metrisch messbaren Merkmales X, dessen
Ausprägungen xj (j=1,. . . ,m) mit den absoluten Häugkeiten h(xj ) und den relativen
Häugkeiten f (xj ) auftreten. Das gewogene arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen der Merkmalsausprägungen vom arithmetischen Mittel x heiÿt Varianz s2
oder s2X :
s2 =
m
m
X
1X
(xj − x)2 h(xj ) =
(xj − x)2 f (xj )
n
j=1
2.3.14 Anmerkung.
(2.28)
j=1
Nach den obigen Formeln kann die Varianz erst berechnet werden,
wenn das arithmetische Mittel berechnet ist, da die Dierenz zwischen Beobachtungswert
und Mittelwert die Gröÿe ist, die zur Berechnung herangezogen wird. Die Formeln können
jedoch leicht umgeformt werden, so dass die Berechnung einfacher wird. Es gilt
n
s2 =
n
1X
1X 2
(xi − x)2 =
(xi − 2xi x + x2 )
n
n
i=1
(2.29)
i=1
n
n
n
1X 2
1X
1X 2
=
xi − 2x
xi + x2 =
xi − x2
n
n
n
i=1
i=1
i=1
Wenn die Beobachtungen sequentiell kommen (zum Beispiel Messwerte einer elektronischen Einheit oder Daten aus einer Datei), so können die Daten sequentiell verarbeitet
werden. Man summiert die Werte, um den Mittelwert zu erhalten und man summiert
die Quadrate der Beobachtungen, um daraus dann die VArianz zu ermitteln. Für Häugkeitsverteilungen gelten analoge Umformungen:
s
2
m
m
X
1X 2
2
=
xj h(xj ) − x =
x2j f (xj ) − x2
n
j=1
2.3.15 Denition (Standardabweichung).
(2.30)
j=1
Die Varianz hat als Einheit das Quadrat
der Einheit der Beobachtungen.
50
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Denition. Die positive Quadratwurzel aus der Varianz heiÿt Standardabweichung.
Die Standardabweichung hat dieselbe Abweichung wie die Beobachtungen.
2.3.16 Denition (Variatonskoezient).
Wenn man mit Einheiten arbeitet, dann
sieht man, dass die Standardabweichung die selbe Einheit hat wie die Merkmale selbst.
Die Varianz hat das Quadrat der Einheit der Merkmale. Für Vergleichszwecke ist die
Varianz nicht aussagekräftig genug. Bei einem Wert von 1 ist eine Varianz von 10 groÿ,
bei einem Wert von 1000 jedoch klein.
Denition. Für ein metrisch messbares Merkmal X mit dem arithmetischen Mittel x
und der Standardabweichung s, heiÿt der Quotient aus s und x der Variationskoezient v, v = xs .
Der Variationskoezient ist ohne Einheit. Der Varianzkoezient gibt eine Beziehung
von der Standardabweichung zum Mittelwert an. Damit können auch Streuungen von
Merkmalen mit verschiedenen Einheiten verglichen werden.
2.3.17 Beispiel.
les
X
gegeben:
Es seien folgende Beobachtungen eines metrisch messbaren Merkma-
0, 7; 1, 6; 2, 5; 3, 2; 1, 6; 2, 4; 2, 7.
Berechnen Sie die mittlere quadratische
Abweichung (Varianz) und die Standardabweichung.
Es ist
x = 2, 1.
Damit gilt
1, 42 + 0, 52 + 0, 42 + 1, 12 + 0, 52 + 0, 32 + 0, 62
= 0, 6114 .
7
s2 =
Weiter ist der Variationskoezient
2.3.18 Beispiel.
6, 58/22 = 0, 30.
v = 0, 3723.
Bei der Beispiel des Alters (siehe Tabelle 2.2) ist die Varianz
die Standardabweichung ist
6, 58[Jahre].
43, 24,
Damit ergibt sich als Variationskoezient
Wird der Extremwert eliminiert, dann sinkt der Mittelwert auf
Die Varianz ist dann
(2.31)
20, 86.
3, 5, die Standardabweichung ist 1, 87[Jahre]. Damit ergibt sich für
1, 87/20, 86 = 0, 09, ein deutlich niedrigerer Wert, die Daten
den Variationskoezient
sind, wenn der Extremwert eliminiert wird, weniger gestreut.
2.3.19 Beispiel.
Beim Beispiel der Klausurnoten (siehe Tabelle 2.4) ist die Varianz
1, 14,
die Standardabweichung
zient
1, 07/2, 66 = 0, 40.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
1, 07.
Da der Mittelwert
2, 66
ist, ist der Variationskoe-
51
2.4. Aufgaben
2.3.20 Beispiel.
Beim Beispiel der Körpergröÿe (siehe Tabelle 2.7) ist die Varianz
93, 10, die Standardabweichung beträgt 9, 65[cm]. Beim gegebenen
174, 76cm ergibt sich als Variationskoezient 9, 65/174, 76 = 0, 06.
2.3.21 Anmerkung.
Mittelwert von
Mittelwert und Standardabweichung sind wichtige Parameter für
Kennzeichen statistischer Gröÿen, jedoch nicht die einzigen. Es gibt weitere Kennzeichen, zum Beispiel die Schiefe, die weitere Aussagen über die Daten machen. Weitere
Kennzeichen werden hier jedoch nicht weiter vertieft.
Transformation
2.3.22 Satz.
Eine lineare Transformation
Y = bX + a
hat die nachfolgende benannten
Auswirkungen auf Streuungsmaÿe.
Satz. Es seien X und Y metrisch messbare Merkmale, die mittels einer linearen Transformation Y = bX + a zusammenhängen. Dann gelten:
Spannweite wY = bwX
mittlere absolute Abweichung dY = bdX
Varianz s2Y = b2 s2X
Standardabweichung sY = bsX
2.4. Aufgaben
2.4.1 Aufgabe.
X gegeben:
Es seien folgende Beobachtungen eines metrisch messbaren Merkmales
0, 7; 1, 6; 2, 4; 3, 2; 1, 6; 2, 4; 2, 8.
Berechnen Sie das arithmetische Mittel, die
mittlere absolute Abweichung und die Standardabweichung.
2.4.2 Aufgabe.
Bei einer Untersuchung der Anzahl der Besucher pro Tag einer Dienst-
stelle ergeben sich bei 120 untersuchten Tagen die folgende absolute Häugkeitsverteilung:
Besucher
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anzahl der Tage
5
4
10
12
20
18
18
12
15
2
4
Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung.
2.4.3 Aufgabe.
Aus der Befragung nach dem Alter der Belegschaft eines Betriebes mit
30 Angestellten ergibt sich folgendes Ergebnis: 24, 24, 40, 22, 32, 51, 63, 22, 42, 43, 44,
51, 23, 32, 34, 64, 19, 23, 22, 50, 50, 33, 60, 18, 20, 50, 42, 30, 20 und 41. Daraus ergibt
sich in nachfolgende Häugkeitsverteilung mit der Bildung von Klassen:
52
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
j
Altersklasse
xj
h(xj )
1
unter 20
18
2
2
20 bis unter 30
25
9
3
30 bis unter 40
35
5
4
40 bis unter 50
45
6
5
50 bis unter 60
55
5
6
60 und mehr
63
3
Berechnen Sie das arithmetische Mittel auf Basis der Beobachtungen und auf Basis der
Tabelle. Vergleichen Sie die beiden Werte.
2.4.4 Aufgabe.
Eine festverzinsliche Kapitalanlage bringt im 1. Jahr 3% Zins, im 2.
Jahr 4% Zins, im 3. Jahr 5% Zins und im 4. Jahr 6% Zins. Berechnen Sie den durchschnittlichen (eektiven) Zinssatz, für diese Anlageform.
2.4.5 Aufgabe.
Eine Aktie bringt innerhalb von 5 Jahren die nachfolgenden jährlichen
Gewinn / Verluste: +25%, -5%, +15%, -20%, -15%. Berechnen Sie die durchschnittlichen
(eektiven) Gewinn oder Verlust für diese Aktie.
2.4.6 Aufgabe.
Der Kurs einer Aktie hat sich die in sind den letzten Jahren folgender-
maÿen entwickelt: +10%, -20%, +15%, +5%, -10%. Wie hoch ist die durchschnittliche
Änderungsrate?
2.4.7 Aufgabe.
Die Bevölkerung in einer Stadt hatte innerhalb einiger Jahre die nach-
folgenden jährlichen Veränderung in Prozent vom Vorjahreswert: +10, -20, +5, +15, -5
und +10. Wie hoch ist das durchschnittliche jährlich Wachstum?
2.4.8 Aufgabe.
Ein Auto hat für typische Verkehrssituationen folgenden Benzinver-
brauch: Stadtverkehr: 10l/100km, konstant 120 km/h: 9l/100km, konstant 90 km/h:
7l/100km. Ein Fahrer weiÿ, der er circa 25% seiner jährlichen Gesamtstrecke in der Stadt
fährt, circa 50% auf der Autobahn mit 120 km/h und circa 25% auf der Landstraÿe mit
90 km/h. Berechnen Sie den voraussichtlichen Durchschnittsverbrauch.
2.4.9 Aufgabe.
Ein Wanderer läuft
1
2
4 einer Strecke mit 7 km/h, 5 mit 6 km/h und
den Rest mit 5 km/h. Mit welcher (konstanten) Geschwindigkeit würde er die gesamte
Strecke in der gleichen Zeit bewältigen?
2.4.10 Aufgabe.
Ein PKW legt 4 Strecken unterschiedlicher Länge mit unterschiedli-
chen Geschwindigkeiten zurück.
Teilstrecke
Länge (in km)
Geschwindigkeit (in
Version 6.0 - 019 24.06.2017
km
h )
1
2
3
4
30
10
40
20
40
50
80
100
53
2.4. Aufgaben
Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit würde die Strecke in der selben Zeit
zurück gelegt werden?
2.4.11 Aufgabe.
Ein PKW legt von einer Strecke 1/6 mit einer Geschwindigkeit von
100 km/h, 1/3 mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h und den Rest mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h zurück. Mit welcher (konstanten) Geschwindigkeit würde er
die gesamte Strecke in der gleichen Zeit bewältigen?
2.4.12 Aufgabe.
Gegeben seien drei verschiedene Verteilungen
X, Y
und
Z,
die durch
die Angabe der relativen Häugkeit deniert sind.
X
4
6
8
10
12
14
16
0,05
0,05
0,15
0,5
0,15
0,05
0,05
0,15
0,2
0,3
0,2
0,15
0,1
0,15
0,25
0,4
0,05
Y
Z
0,05
Bestimmen Sie jeweils das arithmetische Mittel und die Standardabweichung.
2.4.13 Aufgabe.
Für das Gewicht eines Sacks geben sich bei einer Stichprobe folgende
Werte, jeweils in kg: 50,2 ; 49,9 ; 50,4 ; 49,8 ; 50,2 ; 50,3 ; 50,7 ; 49,7 ; 50,0 und 50,5.
Berechnen Sie den Mittelwert, die Spannweite, die mittlere absolute Abweichung und die
Standardabweichung.
2.4.14 Aufgabe.
Eine Zählung von Besuchern pro Tag einer Dienststelle ergab für einen
gewissen Zeitraum die nachfolgende Verteilung:
Besucher
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Anzahl der Tage
3
7
6
14
15
12
7
9
5
3
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die mittlere absolute Abweichung, die Varianz
und die Standardabweichung.
2.4.15 Aufgabe.
Für einen Telefonanschluss verteilen sich die Anzahl der Einheiten für
die Telefongespräche gemäÿ der nachfolgenden Tabelle:
Einheiten
relative Häugkeit
1
2
3
4
5
6
7
8
10%
5%
25%
10%
20%
10%
15%
5%
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die mittlere absolute Abweichung, die Varianz
und die Standardabweichung.
2.4.16 Aufgabe.
Für das Alter einer Gruppe von Studenten ergibt sich folgende Ver-
teilung:
Alter
Anzahl
54
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
4
7
5
12
16
8
9
4
5
3
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
Stellen Sie die Häugkeitsverteilung und die Summenhäugkeitsverteilung grasch dar.
Bestimmen Sie den Zentralwert, den (arithmetischen) Mittelwert, die mittlere absolute
Abweichung und die Standardabweichung.
2.4.17 Aufgabe.
Eine Klausur ergab bei 14 Teilnehmern die Noten 1, 4, 2, 5, 2, 2, 3,
4, 2, 1, 5, 2, 3 und 3.
(a) Bestimmen Sie den Median und die 4-Quantile.
(b) Zeichnen Sie in ein Diagramm die absoluten Häugkeiten und die absoluten Summenhäugkeiten.
(c) Bestimmen sie das arithmetische Mittel.
(d) Bestimmen Sie die mittlere absolute Abweichung und den Standardabweichung.
2.4.18 Aufgabe.
Die Zählung von Gebühren für Gespräche von einem Telefonapparat
ergab die nachfolgende Verteilung von Einheiten:
Anzahl der Einheiten
1
2
3
4
5
6
7
8
Anzahl der Gespräche
5
6
8
12
11
10
7
5
Bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die Varianz und die Standardabweichung für
die Gebühren.
2.5. Lösungen
2.5.1 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.1
1
(0, 7 + 1, 6 + 2, 4 + 3, 2 + 1, 6 + 2, 4 + 2, 8) = 2, 1
7
1
d = (1, 4 + 0, 5 + 0, 3 + 1, 1 + 0, 5 + 0, 3 + 0, 7) = 0, 6857
7
1
2
s =
0, 72 + 1, 62 + 2, 42 + 3, 22 + 1, 62 + 2, 42 + 2, 82 − 2, 12 = 0, 62
7
p
s = 0, 62 = 0, 7874
x=
Die mittlere absolute Abweichung ist auf das arithmetische Mittel bezogen.
2.5.2 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.2
5 · 0 + 4 · 1 + 10 · 2 + 12 · 3 + · · · + 4 · 10
600
=
=5
5 + 4 + 10 + 12 + · · · + 4
120
5 · 02 + 4 · 12 + 10 ·2 +12 · 32 + · · · + 4 · 102
3680
− 52 =
− 52 = 5, 6667
s2 =
5 + 4 + 10 + 12 + · · · + 4
120
s = 2, 3805
x=
Version 6.0 - 019 24.06.2017
55
2.5. Lösungen
2.5.3 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.3 Bei jeder Gruppe wurde ein Repräsentant (xj ) be-
stimmt, der als Wert für die Gruppe genommen wird. Damit errechnet sich
2 · 18 + 9 · 25 + 5 · 35 + 6 · 45 + 5 · 55 + 3 · 63
1170
=
= 39
30
30
x=
Unter Verwendung der exakten Daten erhält man als Mittelwert
2.5.4 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.4
xG =
2.5.5 Lösung.
x = 36, 3.
p
4
1, 03 · 1, 04 · 1, 05 · 1, 06 =
p
4
1, 1922456 = 1, 044940
zu Aufgabe 2.4.5
xG =
p
p
5
1, 25 · 0, 95 · 1, 15 · 0, 80 · 0, 85 = 5 0, 928625 = 0, 9853 .
Dies entspricht einem durchschnittlichen jährlichen Verlust von 1,47%.
2.5.6 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.6
q=
2.5.7 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.7
q=
2.5.8 Lösung.
p
p
5
1, 10 · 0, 80 · 1, 15 · 1, 05 · 0, 90 = 5 0, 95634 = 0, 99111
p
√
6
6
1, 1 · 0, 8 · 1, 05 · 1, 15 · 0, 95 · 1, 1 = 1.110417 = 1, 0176
zu Aufgabe 2.4.8
x = 0, 25 · 10 + 0, 5 · 9 + 0, 25 · 7 = 8, 75
2.5.9 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.9
v=P
3
1
f (vj )
j=1 vj
1
=
1/4
7
+
2/5
6
+
7/20
5
=
1
181
1050
1050
= 5, 80
181
=
Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 5,80 km/h.
2.5.10 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.10
v=
2.5.11 Lösung.
v=
100
+
1
3
80
+
2.5.12 Lösung.
Mittel
56
x = 10
+
10
50
100
40
+ 80
+
20
100
= 60, 61
zu Aufgabe 2.4.11
1
1
6
30
40
1
2
50
km
=
h
1
1
600
+
1
240
+
1
100
km
=
h
1
2+5+12
1200
km
1200 km
km
=
= 63, 16
h
19 h
h
zu Aufgabe 2.4.12 Für alle drei Verteilungen gilt für das arithmetische
und die Standardabweichung
s = 2, 5298.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
2.5.13 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.13 Es wird eine Transformation durchgeführt. Das
Merkmal X sei das Gewicht des Sacks, das Merkmal Y sei die Dierenz des Gewichts
zu 50 kg: Y = X - 50 kg.
yi
|ȳ − yi |
(ȳ − yi )2
yi2
50,2
0,2
0,03
0,0009
0,04
49,9
-0,1
0,27
0,0729
0,01
3
50,4
0,4
0,23
0,0529
0,16
4
49,8
-0,2
0,37
0,1369
0,04
5
50,2
0,2
0,03
0,0009
0,04
6
50,3
0,3
0,13
0,0169
0,09
7
50,7
0,7
0,53
0,2809
0,49
8
49,7
-0,3
0,47
0,2209
0,09
i
xi
1
2
9
50,0
0,0
0,17
0,0289
0,00
10
50,5
0,5
0,33
0,1089
0,25
Σ
501,7
1,7
2,56
0,9210
1,21
ȳ =
Spannweite: wX
Mittelwert:
1,7
10 = 0,17;
x̄
=
ȳ
+ 50 = 50,17
= 50,7 - 49,7 = 1,0
dX = 2,56
10 = 0,256
1,21
0,9210
2
= 0,0921 =
Varianz =
10
10 - 0, 17
√
mittlere absolute Abweichung:
Standardabweichung =
2.5.14 Lösung.
0, 0921
= 0,3035
zu Aufgabe 2.4.14 Zur Vereinfachung:
di
=
x̄ − xi
i
xi
h(xi )
xi h(xi )
|di |
|di |h(xi )
d2i
h(xi )d2i
x2i
h(xi )x2i
1
0
3
0
4,36
13,07
18,99
56,98
0
0
2
1
7
7
3,36
23,51
11,28
78,93
1
7
3
2
6
12
2,36
14,15
5,56
33,36
4
24
4
3
14
42
1,36
19,01
1,84
25,82
9
126
5
4
15
60
0,36
5,37
0,13
1,92
16
240
6
5
12
60
0,64
7,70
0,41
4,95
25
300
7
6
7
42
1,64
11,49
2,70
18,87
36
252
8
7
9
63
2,64
23,78
6,98
62,82
49
441
9
8
5
40
3,64
18,21
13,26
66,32
64
320
10
9
3
27
4,64
13,93
21,55
64,64
81
243
81
353
Σ
150,22
414,62
1953
353
81 = 4,36
150,22
mittlere absolute Abweichung: dX =
= 1,85
81
414,62
1953
353 2
2
Varianz: sX =
= 5,12 =
− ( 81 )
81
√ 81
Standardabweichung sX =
5, 12 = 2,26
arithmetisches Mittel:
2.5.15 Lösung.
x̄
=
zu Aufgabe 2.4.15 Zur Vereinfachung:
Version 6.0 - 019 24.06.2017
di
=
x̄ − xi
57
2.5. Lösungen
i
xi
f (xi )
xi · f (xi )
|di |
|di | · f (xi )
d2i
f (xi ) · d2i
x2i
f (xi ) · x2i
1
1
0,10
0,10
3,40
0,34
11,56
1,16
1
0,10
2
2
0,05
0,10
2,40
0,12
5,76
0,29
4
0,20
3
3
0,25
0,75
1,40
0,35
1,96
0,49
9
2,25
4
4
0,10
0,40
0,40
0,04
0,16
0,02
16
1,60
5
5
0,20
1,00
0,60
0,12
0,36
0,07
25
5,00
6
6
0,10
0,60
1,60
0,16
2,56
0,26
36
3,60
7
7
0,15
1,05
2,60
0,39
6,76
1,01
49
7,35
8
8
0,05
0,40
3,60
0,18
12,96
0,65
64
3,20
1,00
4,40
Σ
Mittelwert:
1,70
3,94
23,30
4, 40
1, 70
2
Varianz = 3, 94 = 23, 30 − 4, 40
√
Standardabweichung =
3, 94 = 1, 98
mittlere absolute Abweichung:
2.5.16 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.16
Mittelwert:
22, 7
mittlere absolute Abweichung:
Varianz =
1, 85
5, 36
Standardabweichung =
2, 32
Graken: Übung!
2.5.17 Lösung.
zu Aufgabe 2.4.17
(a) Die 14 Noten werden zuerst der Gröÿe nach geordnet: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4,
4, 5 und 5. Da es 14 Elemente gibt, ist der Median die Mitte des 7. und 8. Elements,
also 2-3. Die 4-Quantile teilen die beiden 7-elementigen Hälften jeweils in zwei Teile zu
jeweils 3 Teile. Die 4-Quantile sind somit das 4. Element (2), der Median (2-3) und das
11. Element (4).
(b) Übung
(c)
14
x=
1 X
1+4+2+5+2+2+3+4+2+1+5+2+3+3
xi =
14
14
i=1
39
=
= 2, 79
14
(d)
14
1 X 2
131
xi − x2 =
−
s =
14
14
i=1
r
√
313
s = s2 =
= 1, 26
196
2
58
39
14
2
=
313
= 1, 60
196
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 2. Univariate Daten
2.5.18 Lösung.
i,
zu Aufgabe 2.4.18
h(xi )
xi h(xi )
x2i
x2i h(xi )
1
5
5
1
5
2
6
12
4
24
3
8
24
9
72
4
12
48
16
192
5
11
55
25
275
6
10
60
36
360
7
7
49
49
343
64
xi
8
5
40
Summe
64
293
320
1591
8
x=
1X
293
xi h(xi ) =
= 4, 58
n
64
i=1
8
1591
293 2 15975
1X 2
2
−(
) =
= 3, 90
s =
xi h(xi ) − x2 =
n
64
64
4096
i=1
r
√
15975
2
s= s =
= 1, 97
4096
Version 6.0 - 019 24.06.2017
59
Kapitel 3.
Bivariate Daten
Im diesem Teil werden Beziehungen zwischen zwei Merkmalen beschreiben. Wie können
solche Datenmengen dargestellt werden, welche Parameter beschreiben die Daten.
3.1. Darstellungen bivariater Daten
Auch wenn der Schwerpunkt auf bivariate Daten liegt, werden auch multivariate Daten
beispielhaft vorgestellt, denn es gibt oftmals auch mehrere Merkmale, die in eine Beziehung zueinander gebracht werden. Es werden bei vielen statistischen Untersuchungen an
den statistischen Einheiten gleichzeitig mehrere Merkmale erfasst.
Multivariate Daten
3.1.1 Beispiel.
Bei einer Volkszählung werden bei den befragten Personen verschiedene
Daten erhoben: Geschlecht, Alter, Beruf, Religion, . . . .
3.1.2 Beispiel.
Bei einer Untersuchung der Leistungen von Schülern werden die Noten
in Mathematik, Deutsch und Englisch erfasst.
3.1.3 Beispiel.
Für die Untersuchung der Wirksamkeit eines Düngemittels werden bei
einem landwirtschaftlichen Experiment die Daten Einsatz von Dünger (je ha) und Ertrag
(je ha) erfasst.
3.1.4 Beispiel.
Bei der Untersuchung von Personen wird jeweils die Körpergröÿe und
das Gewicht ermittelt.
3.1.5 Anmerkung.
Hier werden jedoch nur zwei-dimensionale, also bivariate Daten,
untersucht. Für weiter gehende Betrachtungen der mehr-dimensionalen also multivariater
Daten kann in der Literatur nachgelesen werden.
3.1.6 Anmerkung.
Bei der Betrachtung von zwei Merkmalen gibt es verschiedene Fra-
gen, die man sich stellen kann:
Version 6.0 - 019 24.06.2017
61
3.1. Darstellungen bivariater Daten
1. Besteht ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen?
Liegt ein Zusammenhang bei metrisch oder ordinal messbaren Merkmalen vor, dann
spricht man von
Kontingenz.
Korrelation, bei nominal messbaren Merkmalen spricht man von
2. Wie ausgeprägt ist der Zusammenhang zwischen den Merkmalen?
Die Stärke des Zusammenhangs wird durch die Berechnung eines
koezienten oder Kontingenzkoezienten ermittelt.
Korrelations-
3. Von welchem Typ ist der Zusammenhang zwischen den Merkmalen? Durch welche
Funktion kann dieser Zusammenhang beschrieben werden?
Hierzu wird in einer
Regressionsrechnung
eine
Regressionsfunktion
ermit-
telt, die den Zusammenhang der Merkmale angibt. Es gibt verschiedene Arten von
Zusammenhängen: linear, quadratisch, polynomial und exponentiell, um nur die
wichtigsten Zusammenhänge zu nennen.
3.1.7 Anmerkung.
Bevor die Berechnungen von statistischen Kenndaten beschrieben
werden, werden zuerst noch einige Begrie und Eigenschaften zwei-dimensionaler Verteilungen betrachtet.
Zwei-dimensionale Häugkeitstabellen
3.1.8 Denition (absolute und relative Häugkeit).
Zuerst werden Häugkeitsta-
bellen, die von den univariaten Daten her bekannt sind auf bivariate Daten übertragen.
Denition. Gegeben seien die Merkmale X mit den Ausprägungen xj (j = 1,. . . ,m)
und Y mit den Ausprägungen yk (k = 1,. . . ,q), die an denselben statistischen Einheiten
erhoben werden. Die Anzahl der Beobachtungen, bei denen die Kombinationen (xj ; yk )
der Ausprägungen auftritt heiÿt absolute Häugkeit h(xj ; yk ). Der Anteil der absoluten Häugkeit an der Gesamtzahl n der Beobachtungen heiÿt relative Häugkeit
f (xj ; yk ) und es gilt f (xj ; yk ) = n1 h(xj ; yk ).
Die Gesamtheit aller Kombinationen von Merkmalsausprägungen mit den dazu gehörenden absoluten oder relativen Häugkeiten heiÿt zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung.
Paare von Beobachtungen werden im allgemeinen mit (xi ; yi ) (i=1,. . . ,n) bezeichnet,
während
(xj ; yk )
die Kombination der Merkmalsausprägungen
xj
und
yk
(j=1,. . . ,m;
k=1,. . . ,q) angibt.
62
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
x1
y1
h(x1 ; y1 )
.
.
.
.
.
.
..
xj
h(xj ; y1 )
.
.
.
.
.
.
xm
h(xm ; y1 )
h(y1 )
...
...
yk
h(x1 ; yk )
...
yq
h(x1 ; yq )
h(x1 )
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
...
h(xj ; yk )
...
h(xj ; yq )
h(xj )
..
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
h(xm ; yk )
h(yk )
...
h(xm ; yq )
h(yq )
h(xm )
n
.
.
...
.
.
...
Tabelle 3.1.: Zwei-dimensionale Häugkeitstabelle
3.1.9 Anmerkung. Die tabellarische Darstellung der Häugkeitsverteilung
Häugkeitstabelle und hat die Form gemäÿ Tabelle 3.1.
heiÿt die
zwei-dimensionale
Am rechten beziehungsweise am unteren Rand sind die
Verteilungen für die Merkmale
X
beziehungsweise
Y,
Randverteilungen. Es sind die
also die Verteilungen, wenn man
sich nur für eines der Merkmale interessiert, nicht jedoch für beide zusammen. Es gelten:
h(xj ) =
q
X
h(xj ; yk )
h(yk ) =
und
h(xj ; yk )
.
(3.1)
j=1
k=1
3.1.10 Beispiel.
q
X
(Körpergröÿe und Gewicht)
Eine Messung von Körpergröÿe und Gewicht bei 200 Personen hat das Ergebnis gemäÿ
Tabelle 3.2 geliefert. Als Summen der Spalten beziehungsweise der Zeilen enthält man
die Randverteilungen für Körpergröÿe beziehungsweise Gewicht.
Körpergröÿe in cm (von ... bis unter ...)
Gewicht in kg
150-160
160-170
50 bis u. 60
3
5
60 bis u. 70
4
25
70 bis u. 80
2
10
80 bis u. 90
1
8
90 bis u. 100
0
10
170-180
180-190
190-200
8
3
1
20
40
10
1
80
20
6
2
40
10
16
5
40
2
2
5
11
20
50
80
40
20
200
Tabelle 3.2.: Beispiel: Körpergröÿe-Gewicht-Tabelle
Version 6.0 - 019 24.06.2017
63
3.1. Darstellungen bivariater Daten
Jede Zeile beziehungsweise Spalte stellt eine ein-dimensionale Häugkeitstabelle für eine bestimmte Gewichtsklasse beziehungsweise Altersgruppe dar. Hier können dann die
Kennzahlen der ein-dimensionalen beschreibenden Statistik ermittelt werden.
3.1.11 Anmerkung. Die Häugkeitstabelle zweier metrisch oder ordinal messbarer
Korrelationstabelle. Die Häugkeitstabelle zweier nur nominal messbarer Merkmale heiÿt Kontingenztabelle.
Merkmale heiÿt
In der Häugkeitstabelle können viele Informationen abgelesen werden. Jede einzelne Zeile oder jede einzelne Spalte stellt eine eigene eindimensionale Verteilung dar, die genauso
betrachtet werden kann.
3.1.12 Denition (bedingte Verteilung).
Ist eine Verteilung eines Merkmals abhän-
gig von einem anderen Merkmal?
Denition. Gegeben sei die zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung der Merkmale X
und Y . Die Häugkeitsverteilung des Merkmales X (beziehungsweise Y ), die sich für
eine gegebene Ausprägung yk (beziehungsweise xj ) des Merkmales Y (beziehungsweise
X ) ergibt, heiÿt bedingte Verteilung oder konditionale Verteilung von X (beziehungsweise Y ) für ein gegebenes yk (beziehungsweise xj ). Die Häugkeiten der bedingten Verteilungen bezeichnet man mit h(xj |Y = yk ) oder kurz h(xj |yk ) und entsprechend
f (xj |yk ) (j=1,. . . ,m) (beziehungsweise h(yk |xj ) und f (yk |xj ) (k=1,. . . ,q)).
Die absoluten Häugkeiten der bedingten Verteilung können unmittelbar aus der Häugkeitstabelle abgelesen werden. Es gelten
h(xj |yk ) = h(xj ; yk )
und
h(yk |xj ) = h(xj ; yk )
.
(3.2)
Die bedingten relativen Häugkeiten erhält man, indem die absoluten beziehungsweise
relativen Häugkeiten der entsprechenden Zeile oder Spalte der zweidimensionalen Häugkeitsverteilung durch den zugehörigen Wert der Randverteilung dividiert. Es gelten
also:
f (xj |yk ) =
f (xj ;yk )
f (yk )
=
h(xj ;yk )
h(yk )
(3.3)
beziehungsweise
f (yk |xj ) =
64
f (xj ;yk )
f (xj )
=
h(xj ;yk )
h(xj )
.
(3.4)
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
3.1.13 Beispiel.
In der Tabelle 3.2 können die verschiedenen Verteilungen und beding-
ten Verteilungen ausgewertet werden.
In der Zeile 70 bis u. 80 ist die Personengruppe (mit insgesamt 40 Personen zusammengefasst. In dieser Gruppe gibt es 20 Personen mit einer Körpergröÿe von 170-180. Für
die bedingte Häugkeit gilt daher: die relative Häugkeit der Personen mit der Körpergröÿe 170-180 [cm] , unter der Bedingung, dass sie zur Gruppe der Personen mit dem
Körpergewicht 70 bis 80 [kg] gehört ist 0,5 = (20 / 40).
3.2. Zusammenhangsanalyse
Bei der Betrachtung von zwei Merkmalen ist von Interesse, ob die beiden Merkmale
voneinander abhängig sind oder nicht.
Gleich hier nochmals ein Hinweis oder eine Warnung: Bei der rein zahlenmäÿigen Betrachtung kann es vorkommen, dass zwei Merkmale eine Abhängigkeit zeigen, die es
tatsächlich auf Grund von fachlich-sachlichen Gründen nicht gibt (Beispiel: scheinbare
Abhängigkeit der Population von Störchen und der Anzahl der Geburten). Daher muss
man hierbei stets den Hintergrund betrachten, um zu entscheiden, ob es tatsächlich eine
Abhängigkeit gibt. Wie kann eine Abhängigkeit festgestellt werden.
Abhängigkeit
3.2.1 Anmerkung.
Gegeben sei zunächst die nachfolgende Häugkeitsverteilung (siehe
Tabelle 3.3) für die zwei Merkmale
x1
x2
x3
X
und
Y:
y1
y2
y3
y4
2
4
10
4
20
2
8
24
16
50
6
8
6
10
30
10
20
40
30
100
Tabelle 3.3.: Beispiel Häugkeitsverteilung
Wie hängen die beiden Merkmale voneinander ab? Sind die beiden Merkmale unabhängig
oder abhängig? Dazu wird die
Merkmales
Merkmal
Y
X
für die verschiedenen Ausprägungen von
xj (beziehungsweise yk ) wird die
X ) betrachtet (siehe Tabelle 3.4).
Merkmalsausprägung
Y
bedingte Verteilung der relativen Häugkeiten des
für die verschiedenen Ausprägungen von
(beziehungsweise
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Y
X
und entsprechend die für das
bestimmt, das heiÿt für jede
relative Verteilung von Merkmal
65
3.2. Zusammenhangsanalyse
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
0,1
0,2
0,5
0,2
1,0
0,04
0,16
0,48
0,32
1,0
0,2
0,27
0,2
0,33
1,0
Tabelle 3.4.: Bedingte Verteilung von
x1
x2
x3
Y
y1
y2
y3
y4
0,2
0,2
0,25
0,13
0,2
0,4
0,6
0,54
0,6
0,4
0,15
0,33
1,0
1,0
1,0
1,0
(links) beziehungsweise von
X
(rechts)
Die bedingte Verteilung der relativen Häugkeiten sind verschieden. Die bedingte Verteilung von
X
hängt davon ab, welche Ausprägung das Merkmal
Y
annimmt und um-
gekehrt. Man sagt, die beiden Merkmale hängen voneinander ab, das heiÿt, die relative
Häugkeit von
Y
X
(beziehungsweise
(beziehungsweise
X)
3.2.2 Anmerkung.
Y ) hängt davon ab, welche konkrete Ausprägung von
herangezogen wird.
Sei nun die Tabelle 3.5 gegeben, eine zwei-dimensionale Häug-
keitsverteilung für die zwei Merkmale
x1
x2
x3
X
und
Y.
y1
y2
y3
2
5
3
10
6
15
9
30
4
10
6
20
12
30
18
60
Tabelle 3.5.: Beispiel Häugkeitsverteilung
Die bedingten Verteilungen nach
y1
x1
x2
x3
y2
Y
beziehungsweise
y3
0,2
0,5
0,3
1,0
0,2
0,5
0,3
1,0
0,2
0,5
0,3
1,0
Tabelle 3.6.: Bedingte Verteilung von
sind in den Tabellen 3.6.
x1
x2
x3
Y
y1
y2
y3
0,17
0,17
0,17
0,5
0,5
0,5
0,33
0,33
0,33
1,0
1,0
1,0
(links) beziehungsweise von
X
(rechts)
Y ) hängen nicht davon ab, welche
Ausprägungen das andere Merkmal Y (beziehungsweise X ) annimmt, das heiÿt die relative Häugkeit einer Merkmalsausprägung von xj (beziehungsweise yk ) hängt nicht davon
Die beiden Verteilungen für
66
X
X
(beziehungsweise für
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Kapitel 3. Bivariate Daten
ab, welche konkrete Merkmalsausprägung von
Merkmale
X
und
Y
Y
(beziehungsweise
X)
gewählt wird. Die
sind voneinander unabhängig.
3.2.3 Denition (abhängig, unabhängig).
Bei abhängigen Merkmalen hängen die
bedingten Verteilungen der relativen Häugkeiten eines Merkmales davon ab, welche
Ausprägung das andere Merkmal annimmt. Bei unabhängigen Merkmalen stimmen alle
bedingten Verteilungen der relativen Häugkeiten eines Merkmales überein.
Denition. Gegeben sei die zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung der beiden Merk-
male X und Y. Stimmen alle bedingten Verteilungen der relativen Häugkeiten überein,
das heiÿt es gilt f (xj |yk ) = f (xj |yl ) für alle k,l=1,. . . ,q und für alle j=1,. . . ,m oder
f (yk |xj ) = f (yk |xh ) für alle j,h=1,. . . ,m und für alle k=1,. . . ,q, dann heiÿen X und
Y unabhängig, empirisch unabhängig oder statistisch unabhängig, andernfalls
heiÿen sie empirisch abhängig oder statistisch abhängig.
Für unabhängige Merkmale sind nicht nur alle bedingten Verteilungen eines Merkmales
gleich, sondern sie stimmen mit der entsprechenden Randverteilung überein. Es gelten
somit
f (xj |yk ) = f (xj )
für k=1,. . . ,q und j=1,. . . ,m , sowie
f (yk |xj ) = f (yk )
für
j=1,. . . ,m und k=1,. . . ,q.
3.2.4 Satz.
Aus der Denition der bedingten relativen Häugkeiten
f (xj |yk ) =
f (xj ;yk )
f (yk )
(3.5)
folgt dann
f (xj ) =
f (xj ;yk )
f (yk )
(3.6)
und damit
f (xj )f (yk ) = f (xj ; yk )
.
(3.7)
Satz. Die relative Häugkeit für das gemeinsame Auftreten der Ausprägungen xj und
der Merkmale X und Y stimmt bei unabhängigen Merkmalen mit dem Produkt der
entsprechenden relativen Häugkeiten der Randverteilungen überein:
yk
f (xj ; yk ) = f (xj )f (yk )
(3.8)
Für die absoluten Häugkeiten gilt:
h(xj ; yk ) =
1
n h(xj )h(yk )
(3.9)
Das bedeutet, dass man bei unabhängigen Merkmalen die relativen Häugkeiten der
zwei-dimensionalen Verteilung aus den ein-dimensionalen Verteilungen berechnen kann.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
67
3.2. Zusammenhangsanalyse
Parameter zwei-dimensionaler Verteilungen
3.2.5 Denition (Kovarianz).
Bei einer zwei-dimensionalen Verteilung können für die
Randverteilungen und für die bedingten Verteilungen die Lage- und Streuungsparameter
bestimmt werden. Dies sind jeweils Berechnungen für den ein-dimensionalen Fall. Diese
können problemlos durchgeführt werden. Für die zwei-dimensionale Verteilung gibt es
einen speziellen Parameter, der die beiden Merkmale miteinander verbindet - die Kovarianz. Sie ist die Summe über die Produkte der Dierenzen der Beobachtungen zu den
Mittelwerten.
Denition. Gegeben seien die beiden gemeinsam auftretenden und metrisch messbaren
Merkmale X und Y mit den arithmetischen Mitteln x̄ und ȳ. Die Kovarianz der zweidimensionalen Häugkeitsverteilung ist wie folgt deniert:
a) Für Paare von Beobachtungen (xi ; yi ) (i=1,. . . ,n):
n
sXY =
1X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
n
(3.10)
i=1
b) Für die zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung mit den absoluten Häugkeiten
h(xj ; yk ) beziehungsweise den relativen Häugkeiten f (xj ; yk ) j = 1, . . . , m ; k =
1, . . . , q):
m
sXY =
q
1 XX
(xj − x̄)(yk − ȳ)h(xj ; yk )
n
(3.11)
j=1 k=1
beziehungsweise
sXY =
q
m X
X
(xj − x̄)(yk − ȳ)f (xj ; yk )
.
(3.12)
j=1 k=1
Manchmal wird die Kovarianz auch mit
3.2.6 Beispiel.
Es ist
x̄
= 4 und
3.2.7 Satz.
68
COV (X, Y )
bezeichnet.
Gegeben sei die zwei-dimensionale Verteilung (siehe Tabelle 3.7).
ȳ
= 2. Für die Kovarianz ergibt sich
sXY = −0, 08.
Die Berechnung der Kovarianz lässt sich vereinfachen, denn mit der obigen
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
y1 = 1
y2 = 2
y3 = 3
y4 = 4
3
9
2
1
15
8
7
2
3
20
4
9
1
1
15
15
25
5
5
50
x1 = 2
x2 = 4
x3 = 6
Tabelle 3.7.: Beispiel zwei-dimensionale Verteilung
Formel sind viele Dierenzen zu den Mittelwerten
x
und
y
zu bestimmen:
n
sXY =
1X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
n
(3.13)
i=1
n
1X
=
(xi yi − xi ȳ − x̄yi + x̄ȳ)
n
i=1
n
n
n
1X
1X
1X
xi yi − ȳ
xi − x̄
yi + x̄ȳ
=
n
n
n
i=1
i=1
i=1
n
1X
xi yi − x̄ȳ − x̄ȳ + x̄ȳ
=
n
i=1
n
1X
=
xi yi − x̄ȳ
n
i=1
Satz. Für die Berechnung der Kovarianz bei zwei gemeinsam auftretenden, metrisch
messbaren Merkmalen X und Y mit den arithmetischen Mitteln x̄ und ȳ ergeben sich
folgende vereinfachte Formeln zur Berechnung:
n
sXY =
1X
xi yi − x̄ȳ
n
(3.14)
i=1
beziehungsweise
m
sXY =
q
1 XX
xj yk h(xj ; yk ) − x̄ȳ
n
(3.15)
j=1 k=1
und
sXY =
q
m X
X
xj yk f (xj ; yk ) − x̄ȳ
.
(3.16)
j=1 k=1
Version 6.0 - 019 24.06.2017
69
3.3. Regressionsrechnung
3.2.8 Anmerkung.
Die Varianz ist ein Maÿ für die Streuung oder Variabilität eines
einzelnen, metrisch messbaren Merkmales, die Kovarianz ist ein Maÿ für die gemeinsame
Variabilität zweier Merkmale. Haben zwei Merkmale keine Abhängigkeit, das heiÿt gibt
es keinen Zusammenhang zwischen den Merkmalen
3.2.9 Denition (Korrelationskoezient).
X
und
Y,
dann ist
sXY = 0.
Die Kovarianz ist jedoch nicht normiert.
Durch die Berücksichtigung der Standardabweichungen der Merkmale
sich eine weitere Kennzahl, die nur Werte zwischen
−1
und
1
X
und
Y
ergibt
einnimmt.
Denition. Gegeben sei die gemeinsame Verteilung zweier metrisch messbarer Merkmale X und Y , mit der Kovarianz sXY und den Standardabweichung sX und sY . Der
Wert
rXY =
sXY
sX · sY
(3.17)
heiÿt Korrelationskoezient und ist ein Maÿ für die Ausgeprägtheit des Zusammenhangs von X und Y . Es gilt −1 ≤ rXY ≤ 1. Sind die Merkmale unabhängig, dann gilt
rXY = 0. Liegen alle Beobachtungspunkte auf einer Geraden, das heiÿt haben sie einen
engen Zusammenhang, so gilt rXY = 1 oder rXY = −1.
3.3. Regressionsrechnung
3.3.1 Anmerkung.
Bei der Untersuchung von zwei Merkmalen
X
und
Y,
die von-
einander abhängig sind, ist der weitere Untersuchungsgegenstand die Frage, wie diese
Abhängigkeit aussieht. Dazu wird eine Funktion berechnet, welche die Abhängigkeit der
beiden Merkmale darstellt.
Die Existenz einer statistischen Abhängigkeit ergibt sich aus einem sachlichen Zusammenhang. Ohne eine Kenntnis beziehungsweise Analyse der sachlich-inhaltlichen Hintergründe eines Problems ist es nicht möglich, die Frage des Zusammenhangs von Merkmalen
zu erörtern. Sonst werden Zusammenhänge berechnet, die sachlich nicht gerechtfertigt
sind.
3.3.2 Denition (Regressionsfunktion).
metrisch messbaren Merkmale
X
und
Y
Es wird die gemeinsame Verteilung zweier
betrachtet, die voneinander abhängig sind. Bei
der Regressionsrechnung ist eine Funktion gesucht, die möglichst genau die Beziehung
zwischen
X
und
Y
beschreibt. Dazu wird eine möglichst einfache Funktion
gesucht, die den Zusammenhang beschreibt. Durch
Regressionsfunktion einem beobachteten
achteten
y -Werte
x-Wert
ŷ
ŷ = g(x)
wird dabei symbolisiert, dass die
nicht den oder die zugehörigen beob-
zuordnet, sondern einen auf der Regressionsfunktion liegenden Wert
ŷ .
70
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
Denition. Gegeben sei die zwei-dimensionale Verteilung der metrisch messbaren, statistisch abhängigen Merkmale X und Y . Eine Funktion ŷ = g(x), welche die Tendenz
oder den durchschnittlichen Verlauf der Abhängigkeit des Merkmales Y vom Merkmal
X beschreibt, heiÿt y-x-Regressionsfunktion oder manchmal auch nur kurz Regressionsfunktion genannt.
3.3.3 Anmerkung.
Der Typ der Regressionsfunktion kann verschiedene Formen an-
nehmen. Für die Bestimmung der Regressionsfunktion wird zuerst festgelegt, welche Art
der Zusammenhang ist. Dies legt fest, ob der Zusammenhang zwischen den quantitativen
Merkmalen durch eine
•
Gerade:
•
Parabel:
•
Potenzfunktion:
•
Exponentialfunktion:
•
logistische Funktion:
•
oder eine andere Funktion
y = a + bx
y = a + bx + cx2
y = axb
y = abx
y=
(b > 0)
k
1+ea+bx
(b < 0)
bestimmt ist.
3.3.4 Denition (Methode der kleinsten Quadrate).
Die Bestimmung der Para-
meter der Regressionsfunktion geschieht in den meisten Fällen nach dem Kriterium der
kleinsten Quadrate (KQ-Kriterium).
Denition. Die Koezienten einer Regressionsfunktion ŷ
zur Beschreibung
des Zusammenhangs zwischen den Merkmalen X und Y werden so bestimmt, dass die
Summe der quatrierten Abweichungen der Beobachtungen yi (i = P
1, . . . , n) von den
zugehörigen Werten auf der Regressionsfunktion ŷi = g(xi ), also ni=1 (yi − ŷi )2 , zu
einem Minimum wird.
n
X
(yi − ŷi )2 = min
= g(x)
(3.18)
i=1
Die so bestimmte Regressionsfunktion heiÿt Regressionsfunktion nach der Methode
der kleinsten Quadrate oder kurz KQ-Regressionsfunktion
Hier werden jedoch nur lineare Funktionen berechnet.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
71
3.3. Regressionsrechnung
3.3.5 Anmerkung.
Bei der Berechnung einer linearen y-x-Regressionsfunktion ist der
ŷ = a + bx. Nach der Methode der
a und b so zu bestimmen, dass die Summe der
Quadrate der Abweichungen der y-Koordinaten yi der beobachteten Wertepaare (xi ; yi )
von der durch die Regressionsfunktion bestimmte Koordinaten ŷi = a + bxi ein Minimum wird. Der Abstand der Punkte zur Geraden, das heiÿt parallel zur y-Achse. Bei n
Ausgangspunkt eine Regressionsfunktion der Gestalt
Kleinsten Quadrate sind die Koezienten
Wertepaaren ergibt sich die Funktion
n
n
X
X
2
S(a, b) =
(yi − ŷi ) =
(yi − a − bxi )2
i=1
mit den Unbekannten
a
b für die
S(a, b) ein
und
stimmen, dass die Funktion
(3.19)
i=1
Summe. Die Aufgabe ist nun
a
und
b
so zu be-
Minimum annimmt. Eine notwendige Bedingung
für das Minimum ist das Verschwinden der partiellen Ableitungen erster Ordnung von
S(a, b)
nach
a
und
b.
Für die partiellen Ableitungen ergeben sich:
n
X
∂S(a, b)
=
2(yi − a − bxi )(−1)
∂a
(3.20)
i=1
und
n
X
∂S(a, b)
=
2(yi − a − bxi )(−xi )
∂b
.
(3.21)
i=1
Diese Ableitungen werden Null gesetzt und man erhält die
linearen KQ-Regressionsfunktion
Normalgleichungen einer
ŷ = a + bx:
n
X
1. Normalgleichung:
yi = na + b
i=1
2. Normalgleichung:
n
X
i=1
x i yi = a
n
X
xi
(3.22)
i=1
n
X
i=1
xi + b
n
X
x2i
(3.23)
i=1
Dieses System der Normalgleichungen kann man nach den Regressionskoezienten a und
b auösen, denn die Koordinaten (xi , yi ) sind bekannt, die einzig Unbekannten sind a und
b.
Der so gefundene einzige stationäre Punkt ist ein absolutes Minimum der Funktion. Die
partiellen Ableitungen zweiter Ordnung müssen dazu nicht ausgewertet und überprüft
werden.
72
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
3.3.6 Satz.
Die Lösung des oben gegebenen linearen Gleichungssystem für
a und b ergibt
die Lösung für die Regressionsgerade.
Satz. Für die lineare KQ-Regressionsgerade ŷ
zienten a und b berechnet werden mittels:
Pn
= a + bx
können die Regressionskoef-
Pn
Pn
P
yi −
xi ni=1 xi yi
i=1
i=1
P
P
n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2
2
i=1 xi
a=
b=
(3.24)
P
Pn
Pn
xi ni=1 yi
xi yi −
i=1
i=1
P
P
n ni=1 x2i − ( ni=1 xi )2
n
Aus der 1. Normalgleichung ergibt sich, dass
Regressionsfunktion durch den Punkt
(x̄; ȳ),
ȳ = a + bx̄
(3.25)
ist, dass somit die lineare
die Koordinaten der Mittelwerte, verläuft.
Erweitert man die Quotienten in den Formeln zur Bestimmung der Regressionskoezienten mit
1
, so erhält man für die Koezienten a und
n2
P 2
P
xi
xi yi
ȳ
−
x̄
n
a= n
s2X
b=
3.3.7 Anmerkung.
1
n
P
b:
(3.26)
xi yi − x̄ȳ
COV (X, Y )
=
2
sX
s2X
Durch Vertauschung der Rollen von
x
(3.27)
und
y
erhält man ebenso ei-
ne Regressionsfunktion, eine x-y-Regressionsfunktion nach dem Kriterium der Kleinsten
Quadrate
x̂ = a0 + b0 y .
Hierzu wird eine Funktion
x̂ = a0 + b0 y
untersucht, mit dem Ab-
stand parallel zur x-Achse. Analog zu den Berechnungen für die y-x-Regressionsfunktion
erhält man dann:
Pn
Pn
P
Pn
yi ni=1 xi yi
xi −
i=1
i=1
P
P
n ni=1 yi2 − ( ni=1 yi )2
2
i=1 yi
0
a =
0
b =
n
Pn
Pn
P
xi ni=1 yi
i=1
P
( ni=1 yi )2
xy −
i=1
Pni i 2
n i=1 yi −
(3.28)
(3.29)
Im Regelfall (auÿer wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen), stimmen die y-x- und
die x-y-Regressionsgerade nicht überein. Sie schneiden sich jedoch im Punkt
(x̄ | ȳ).
Es
ist auch zu beachten, dass die x-y-Regressionsfunktion nicht die mathematische Umkehrfunktion der y-x-Regressionsfunktion ist!
Version 6.0 - 019 24.06.2017
73
3.3. Regressionsrechnung
3.3.8 Beispiel.
Gegeben sind die folgenden Beobachtungen
xi
yi
1
2
3
4
4
5
6
7
9
2
3
5
4
6
4
8
7
8
Für die Berechnung der Koezienten werden die benötigten Daten in Form einer Tabelle
zusammen gestellt (siehe Tabelle 3.8).
xi
yi
x2i
xi yi
yi2
1
2
1
2
4
2
3
4
6
9
3
5
9
15
25
4
4
16
16
16
4
6
16
24
36
5
4
25
20
16
6
8
36
48
64
7
7
49
49
49
9
8
81
72
64
41
47
237
252
283
Tabelle 3.8.: Tabelle für Beispiel 3.3.8
Mit den Summen der Spalten ergeben sich die nachfolgenden Werte. Dabei wird teilweise
zur Vereinfachung des Schreibens die Grenzen der Summation bei den Summationszeichen
P
weggelassen. Das heiÿt es steht kurz
P
statt
Pn
i=1 .
n=9
(3.30)
1X
41
xi =
= 4, 5556
x̄ =
n
9
(3.31)
n
i=1
n
s2X =
1X 2
1
41
452
xi − x̄2 = 237 − ( )2 =
= 5, 5802
n
9
9
81
(3.32)
i=1
n
ȳ =
1X
47
yi =
= 5, 2222
n
9
(3.33)
i=1
n
s2Y
1X 2
1
47
338
=
yi − ȳ 2 = 283 − ( )2 =
= 4, 1728
n
9
9
81
(3.34)
i=1
74
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
n
sXY =
1X
xi yi − x̄ȳ
n
(3.35)
i=1
1
41 47
341
= 252 −
·
=
= 4, 2099
9
9 9
81
P
P P
x2i
yi −
x
xy
P 2
Pi 2 i i
a=
n xi − ( xi )
237 · 47 − 41 · 252
807
=
=
= 1, 7854
9 · 237 − 412
452
P
P
P P
xi yi −
x
y
P 2
Pi 2 i
b=
n xi − ( xi )
9 · 252 − 41 · 47
341
=
=
= 0, 7544
9 · 237 − 412
452
n
Die y-x-Regressionsgerade lautet somit
(3.37)
ŷ = 1, 7854 + 0, 7544x.
P
P P
yi2 xi − yi xi yi
P 2
P
n yi − ( yi )2
−241
283 · 41 − 47 · 252
=
= −0, 7130
=
2
9 · 283 − 47
338
a0 =
(3.36)
P
P
P P
xy −
y
xi
Pi i2
Pi
n yi − ( yi ) 2
341
9 · 252 − 41 · 47
=
= 1, 0089
=
2
9 · 283 − 47
338
b0 =
n
(3.38)
(3.39)
x̂ =
y = 0, 7067 + 0, 9912x̂.
Die x-y-Regressionsgerade (Vertauschung der Rollen von x und y) lautet somit
−0, 7130 + 1, 0089y
oder (umgestellt auf die übliche Form)
Für den Korrelationskoezienten gilt
rXY =
sXY
341
√
= √
= 0, 8724
sX · sY
452 338
(3.40)
3.4. Aufgaben
3.4.1 Aufgabe.
Gegeben sei die zwei-dimensionale Häugkeitstabelle, siehe Tabelle 3.9.
Bestimmen Sie, ob die beiden Merkmale abhängig oder unabhängig sind.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
75
3.4. Aufgaben
x1
x2
x3
y1
y2
y3
4
6
10
5
7
8
11
7
2
Tabelle 3.9.: Aufgabe zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y4
20
12
8
4
10
6
4
2
5
3
2
1
Tabelle 3.10.: Aufgabe zwei-dimensionale Häugkeitsverteilung
3.4.2 Aufgabe.
Gegeben sei die zwei-dimensionale Häugkeitstabelle, siehe Tabelle
3.10. Bestimmen Sie, ob die beiden Merkmale abhängig oder unabhängig sind.
3.4.3 Aufgabe.
Gegeben sind die unabhängigen Merkmale
X
und
Y
mit den Vertei-
lungen:
xj
h(xj )
yk
h(yk )
x1
x2
x3
8
40
16
y1
y2
y3
y4
8
32
16
8
Bestimmen Sie die zwei-dimensionale Verteilung der absoluten Häugkeit.
3.4.4 Aufgabe.
Für die Merkmale
xi
yi
X
und
Y
wurden die folgenden Beobachtungen
2
2
4
4
5
6
6
8
5
7
4
6
4,5
3
5
3
ermittelt. Berechnen Sie eine lineare KQ-Regressionsfunktion
ŷ = a + bx.
Zeichnen Sie
die Datenpunkte und die Regressionsgerade in eine gemeinsame Zeichnung. Bestimmen
Sie den Korrelationskoezienten.
3.4.5 Aufgabe.
Gegeben sind die unabhängigen Merkmale
X
und
Y
mit den Vertei-
lungen:
76
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
xj
h(xj )
x1
x2
x3
x4
24
40
72
16
yk
h(yk )
y1
y2
y3
19
76
57
Bestimmen Sie die zwei-dimensionale Verteilung der absoluten Häugkeit.
3.4.6 Aufgabe.
Gegeben sind die folgenden Beobachtungen
xi
yi
1
2
3
4
6
7
8
4
4
3
6
5
9
8
Berechnen Sie die Regressionsgerade. Zeichnen Sie die Punkte und die Gerade in ein
Diagramm. Berechnen Sie den Korrelationskoezienten.
3.4.7 Aufgabe.
Gegeben sind die folgenden Beobachtungen
xi
yi
1
3
5
7
7
6
5
6
6
8
Berechnen Sie die (y-x-)Regressionsgerade. Zeichnen Sie die Punkte und die Gerade in
ein Diagramm. Berechnen Sie den Korrelationskoezienten.
3.4.8 Aufgabe.
Gegeben sind die folgenden Beobachtungen
(xi ; yi ):
(0;0), (1;1), (2;4),
(3;9) und (4;16). Berechnen Sie die Regressionsgerade und den Korrelationskoezienten.
Zeichnen Sie die Punkte und die Regressionsgerade in ein Diagramm.
3.4.9 Aufgabe.
Gegeben seien die folgenden Beobachtungswerte
(xi ; yi ):
(1;3), (2;4),
(3;7), (5;6), (4;6), (6;5), (7;9) und (8;8). Berechnen Sie die Regressionsgerade nach der
Methode der Kleinsten-Quadrate. Zeichnen Sie die Punkte und die Regressionsgerade in
ein Diagramm ein. Bestimmen Sie die Kovarianz
sXY
und den Korrelationskoezienten
rXY .
3.4.10 Aufgabe.
Der jährliche Umsatz einer Firma hat in den letzten Jahren folgende
Entwicklung durchgeführt (Angaben jeweils in Mio. EURO):
Jahr
Umsatz
1997
1998
1999
2000
2001
2002
4,7
5,6
6,2
7,4
7,6
8,9
Die Firmenleitung geht davon aus, dass sich der Trend für den Umsatz in den nächsten
Jahren nicht verändert. Bestimmen Sie die Regressionsgeraden nach der Methode der
Kleinsten-Quadrate. Bestimmen Sie eine Prognose für den Umsatz für die Jahre 2003,
2004 und 2008.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
77
3.5. Lösungen
3.5. Lösungen
3.5.1 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.1 Ermittlung der relativen Häugkeiten des Merkmals
bei xiertem Merkmal
Y
X:
Die relativen Häugkeiten sind unterschiedlich, daher sind die Merkmale
X
und
Y
ab-
hängig.
x1
x2
x3
y1
y2
y3
0,20
0,30
0,50
1,00
0,25
0,35
0,40
1,00
0,55
0,35
0,10
1,00
3.5.2 Lösung.
hungsweise
X
zu Aufgabe 3.4.2 Ermittlung der relativen Häugkeiten von
bei xem
X
beziehungsweise
x1
x2
x3
y2
y3
y4
0,45
0,27
0,18
0,09
1,00
0,45
0,27
0,18
0,09
1,00
0,45
0,27
0,18
0,09
1,00
Die relativen Häugkeiten von
Merkmal von
Y
3.5.3 Lösung.
y1
x1
x2
x3
h(yk )
X
y1
y2
y3
y4
0,57
0,57
0,57
0,57
0,29
0,29
0,29
0,29
0,14
0,14
0,14
0,14
1,00
1,00
1,00
1,00
X
beziehungsweise
Y
sind unabhängig davon, welches
xiert wird. Daher sind die Merkmale
X
und
Y
unabhängig.
zu Aufgabe 3.4.3
y2
y3
y4
h(xj )
1
4
2
1
8
5
20
10
5
40
2
8
4
2
16
8
32
16
8
64
3.5.4 Lösung.
78
oder
bezie-
Y:
y1
x1
x2
x3
Y
zu Aufgabe 3.4.4 Nachfolgend das Tableau für die Berechnung der Werte
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
i
xi
yi
x2i
x i yi
yi2
1
2
5
4
10
25
2
2
7
4
14
49
3
4
4
16
16
16
4
4
6
16
24
36
5
5
4,5
25
22,5
20,25
6
6
3
36
18
9
7
6
5
36
30
25
8
8
3
64
24
9
Σ
37
37,5
201
158,5
189,25
37
= 4, 625
8
201
− 4, 6252 = 3, 7344
=
8
p
= 3, 7344 = 1, 9325
x=
s2X
sX
37, 5
= 4, 6875
8
189, 25
− 4, 68752 = 1, 6836
s2Y =
8
p
sY = 1, 6836 = 1, 2975
y=
158, 5
− 4, 625 · 4, 6875
8
= −1, 8672
−1, 8672
=
= −0.7447
1, 9325 · 1, 2975
sXY =
rXY
ŷ = a + bx
Pn
P
Pn
2
xi ni=1 xi yi
201 · 37, 5 − 37 · 158, 5
i=1
i=1 xi Pi=1 yi −
Pn
=
=7
a=
n
2
2
8 · 201 − 372
n i=1 xi − ( i=1 xi )
Pn
P
P
xi ni=1 yi
n ni=1 xi yi −
8 · 158, 5 − 37 · 37, 5
i=1
Pn
Pn
=
= −0, 5
b=
2
2
8 · 201 − 372
n i=1 xi − ( i=1 xi )
Regressionsgerade
Pn
Regressionsgerade
ŷ = 7 − 0, 5 · x
Version 6.0 - 019 24.06.2017
79
3.5. Lösungen
6
H
q
HH
H
q
HH
H
HH
q
H
q
HH
q
q
H
HH
H
q
HH
q
H
H
H
-
3.5.5 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.5 Es ergibt sich das nachfolgende Tableau
yi \xj
y1
y2
y3
x1
x2
x3
x4
Summe
3
5
9
2
19
12
20
36
8
76
9
15
27
6
57
Summe
24
40
72
16
152
3.5.6 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.6
ŷ = 2, 4623 + 0, 7021 · x
rXY = 0, 8318
3.5.7 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.7
ŷ = 5, 1176 + 0, 2353 · x
rXY = 0, 5601
80
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 3. Bivariate Daten
3.5.8 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.8
i
xi
yi
x2i
x i yi
yi2
1
0
0
0
0
0
2
1
1
1
1
1
3
2
4
4
8
16
4
3
9
9
27
81
5
4
16
16
64
256
Σ
10
30
30
100
354
Regressionsgerade
6
q
ŷ = a + bx
30 · 30 − 10 · 100
= −2
5 · 30 − 102
5 · 100 − 10 · 30
b=
=4
5 · 30 − 102
q
a=
Regressionsgerade
3.5.9 Lösung.
q q
q ŷ = −2 + 4 · x
-
zu Aufgabe 3.4.9
i
xi
yi
x2i
x i yi
1
1
3
1
3
9
2
2
4
4
8
16
3
3
7
9
21
49
4
5
6
25
30
36
5
4
6
16
24
36
6
6
5
36
30
25
7
7
9
49
63
81
8
8
8
64
64
64
Summe
36
48
204
243
316
Version 6.0 - 019 24.06.2017
yi2
81
3.5. Lösungen
1X
36
9
xi =
= = 4, 5
n
8
2
X
1
204
9
s2X =
x2i − x2 =
− ( )2
n
8
2
X
1
316
s2Y =
yi2 − y 2 =
− 62 =
n
8
x=
1X
48
yi =
=6
n
8
r
p
21
21
2
=
= 5, 25 sX = sx =
= 2, 29
4
4
r
q
7
7
= 3, 5 sY = s2Y =
= 1, 87
2
2
y=
P
P P
204 · 48 − 36 · 243
x2i
1044
87
y − x i x i yi
P i2
P
=
=
=
= 3, 11
8 · 204 − 36 · 36
336
28
n xi − ( xi )2
P
P P
8 · 243 − 36 · 48
216
9
n · xi yi − xi yi
P 2
P 2
=
=
=
= 0, 64
b=
8 · 204 − 36 · 36
336
14
n xi − ( xi )
P
a=
Die Regressionsgerade hat die Gleichung
ŷ = 3, 11 + 0, 64 · x.
1X
27
243 9
xi yi − x · y =
− ·6=
= 3, 38
n
8
2
8
sXY
3, 38
=
=
= 0, 79
sX sY
2, 29 · 1, 87
sXY =
rXY
3.5.10 Lösung.
zu Aufgabe 3.4.10
Jahr
ti
xi
t2i
ti xi
1997
1
4,7
1
4,7
1998
2
5,6
4
11,2
1999
3
6,2
9
18,6
2000
4
7,4
16
29,6
2001
5
7,6
25
38,0
2002
6
8,9
36
53,4
Summe
21
40,4
91
155,5
P
P P
91 · 40, 4 − 21 · 155, 5
t2i
x − t i t i xi
P 2i
P
=
= 3, 913
6 · 91 − 21 · 21
n ti − ( ti )2
P
P P
n · ti xi − ti xi
6 · 155, 5 − 21 · 40, 4
P 2
P 2
=
b=
= 0, 806
6 · 91 − 21 · 21
n ti − ( ti )
P
a=
Die Regressionsgerade hat die Gleichung
2003:
2004:
2008:
82
x̂ = 3, 913 + 0, 806 · ti .
x̂ = 3, 913 + 0, 806 · 7 = 9,555.
x̂ = 3, 913 + 0, 806 · 8 = 10,361.
x̂ = 3, 913 + 0, 806 · 12 =13,585 .
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4.
Zeitreihen
In diesem Kapitel werden spezielle bivariate Daten betrachtet. Daten bei der die eine
Variable die Zeit ist. Zuerst (Abschnitt 4.1) werden grundlegende Begrie von Zeitreihen erläutert. Im anschlieÿenden Abschnitt 4.2 wird die Bestandsanalyse beleuchtet. Im
abschlieÿenden Abschnitt 4.3 werden Indexzahlen betrachtet.
4.1. Zeitreihen
4.1.1 Anmerkung.
Die grundlegende Aufgabe der Zeitreihenanalyse ist die Beschrei-
bung des Verlaufs der Beobachtungen eines Merkmales für verschiedene Zeitpunkte beziehungsweise Zeitintervalle. Betrachtet man beispielsweise den monatlichen Verbrauch
von Strom in den letzten Jahren, so kann man zwei Eigenschaften erkennen. Zum einen
gibt es eine periodische Schwankung, im Winter wird mehr Strom benötigt als im Sommer, zum anderen gibt es die langfristige Tendenz eines steigenden Bedarfs an Strom. Es
gibt somit bei diesen Untersuchungen periodische beziehungsweise zyklische Schwankungen und eine langfristige Tendenz einer Zeitreihe, die als Trend bezeichnet wird. Es
werden nun im weiteren untersucht, wie periodische Schwankungen erfasst und eliminiert
können, um den Trend zu ermitteln.
4.1.2 Denition (Gleitender Durchschnitt).
Für die Ermittlung des Trends be-
steht zuerst die Aufgabe, die periodischen Schwankungen auszuschlieÿen. Das einfachste
Verfahren hierzu ist die Bestimmung der
Durchschnitt berechnet man aus jeweils
gleitenden Durchschnitte. Beim gleitenden
k
unmittelbar aufeinander folgenden Werten
der Zeitreihe das arithmetische Mittel und ordnet diesen Wert einem Zeitpunkt zu. Es
werden somit stets
k
Werte für den Durchschnitt benötigt. Mit jedem neuen Wert wird
nachlaufende gleitende Durchschnitte (für den Durchschnitt werden nur zurückliegende
Werte berücksichtigt) betrachtet und nicht zentrierte gleitende Durchschnitte (für
der älteste Wert aus der Ermittlung des Durchschnittes entfernt. Hier werden
den jeweiligen Durchschnitt werden zurückliegende und zeitlich nachfolgende Werte berücksichtigt).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
83
4.1. Zeitreihen
Denition. Gegeben seien T Werte xt
ständen der Zeitpunkte. Der
für t = k, . . . , T durch:
x̄kt =
Für
t = 1, . . . , k − 1
(t = 1, . . . , T )
einer Zeitreihe mit gleichen Ab-
gleitenden Durchschnitt k-ter-Ordnung ist deniert
1
1
(xt−(k−1) + xt−(k−2) + · · · + xt ) =
k
k
t
X
xi .
(4.1)
i=t−(k−1)
gibt es verschiedene Möglichkeiten. Es können keine Durchschnitte
deniert werden oder jeweils
t
x̄kt
1
1X
= (x1 + x2 + · · · + xt ) =
xi .
t
t
(4.2)
i=1
4.1.3 Beispiel (Gleitender Durchschnitt 3. Ordnung).
In der Zeitreihe, die in Ta-
belle 4.1 gegeben ist, sind die gleitende Durchschnitte der 3. Ordnung berechnet. Für die
ersten beiden Perioden ist kein gleitender Durchschnitt 3. Ordnung berechnet worden.
Periode
Wert
1
10
2
8
3
12
4
12
5
10
6
14
7
14
8
12
9
16
gleitender Durchschnitt
10+8+12
30
=
3
3 = 10,0
8+12+12
32
=
3
3 = 10,7
12+12+10
34
=
3
3 = 11,3
12+10+14
36
=
3
3 = 12,0
38
10+14+14
=
3
3 = 12,7
14+14+12
40
=
3
3 = 13,3
14+12+16
42
=
3
3 = 14,0
Tabelle 4.1.: Beispiel: gleitender Durchschnitt 3. Ordnung
Es ist zu sehen, dass die Werte des gleitenden Durchschnittes einen linearen Verlauf
haben.
4.1.4 Beispiel (Gleitender Durchschnitt 4. Ordnung).
In der Zeitreihe, die in Ta-
belle 4.2 deniert ist, sind die gleitenden Durchschnitte der 4. Ordnung berechnet. Für
die ersten drei Perioden wurden keine gleitende Durchschnitte berechnet.
Auch hier haben die gleitende Durchschnitte wieder einen linearen Verlauf.
84
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
Periode
Wert
1
4
2
7
3
5
4
3
5
6
6
9
7
7
8
5
gleitender Durchschnitt
4+7+5+3
4
7+5+3+6
4
5+3+6+9
4
3+6+9+7
4
6+9+7+5
4
=
=
=
=
=
19
4
21
4
23
4
25
4
27
4
= 4,75
= 5,25
= 5,75
= 6,25
= 6,75
Tabelle 4.2.: Beispiel: Gleitender Durchschnitt 4. Ordnung
4.1.5 Anmerkung.
Für die Werte der gleitenden Durchschnitte kann damit eine Re-
gressionsanalyse durchgeführt werden. Die Werte sind in der Regel nicht wie bei den
gegebenen Beispielen mit einem einfachen linearen Zusammenhang gegeben. Damit kann
dann der Trend berechnet werden. Bildet man die Zeitreihe aus den Dierenzen zwischen
den Beobachtungswerten und den gleitenden Durchschnitten zu den entsprechenden Zeitpunkten, dann extrahiert man damit die
saisonalen Schwankungen, die dann ebenfalls
analysiert werden können.
Der gleitende Durchschnitt wird beispielsweise bei Aktienkursen eingesetzt. Dort gibt es
20-Tagen-Linien, 30-Tages-Linien, 50-Tages-Linien, 100-Tages-Linien, 200-Tages-Linien
und ähnliches. Die x-Tages-Linien sind gleitende Durchschnitte der Ordnung x.
4.2. Bestandsanalyse
4.2.1 Anmerkung.
Eine
Bestandsmasse ist eine statistische Masse, deren Einheiten
für ein gewisses Zeitintervall zur Masse gehört. Zu jeder Bestandsmasse gehört eine da-
Ereignismasse, nämlich die Zugänge und die Abgänge. Wird ein
um Zugänge und Abgänge ergänzt, dann spricht man von Fort-
zu korrespondierende
Bestand fortlaufend
schreibung.
Beispiel für Bestände sind:
•
Teile in einem Lager,
•
Anzahl der Lizenzen eines Programmes, die gleichzeitig im Netz aktiv sind.
•
Entwicklung der Bevölkerung einer Gemeinde.
•
Die Anzahl der Tiere auf einem Bauernhof.
•
Konzentration von Stickoxiden in der Atmosphäre.
•
Besucher eines Tages eines Schwimmbad.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
85
4.2. Bestandsanalyse
•
Der Bestand auf einem Konto.
•
Der Bestand auf einem Konto der Bilanz.
4.2.2 Denition (Bestandsmasse).
Die
Bestandsanalyse
bezieht
einen vorgegebenen Zeitraum. Der Anfangszeitpunkt wird mit
wird mit
tE
tA
sich
immer
auf
und der Endzeitpunkt
bezeichnet. Um zu untersuchen, wie sich der Bestand im Laufe der Zeit ver-
ändert, wird der Zeitraum von
tA
bis
tE
in m Zeitintervalle unterteilt. Als Grenzen für
diese Zeitintervalle setzt man die Zeitpunkte
t0 = tA , t1 ,
...,
tm−1 , tm = tE .
In der wei-
teren Betrachtung wird davon ausgegangen, dass die Länge der Zeitintervalle identisch
sind. Somit hat jedes Zeitintervall die (zeitliche) Länge von
∆t =
tE −tA
m . Als
Bestand
bezeichnet man die Anzahl (Häugkeit) der Einheiten zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Der Bestand zum Zeitpunkt
bezeichnet.
B0
heiÿt
t
beziehungsweise
tj
wird mit
Bt
beziehungsweise mit
Anfangsbestand, Bm heiÿt Endbestand.
Bj
Denition (abgeschlossene und oene Bestandsmasse). Gilt für eine Bestandsmasse Bt = 0 für t ≤ t0 und für t ≥ tm , dann handelt es sich um eine im Zeitintervall
(t0 ; tm ) abgeschlossene Bestandsmasse . Gilt Bt 6= 0 für mindestens ein t ≤ t0 oder
t ≥ tm , dann liegt eine im Zeitintervall (t0 ; tm ) oene Bestandsmasse vor.
Die Besucher eines Schwimmbades innerhalb eines Tages ist eine abgeschlossene Bestandsmasse, denn vor der Önung und nach Schluss bendet sich kein Besucher im
Schwimmbad. Die Einwohner einer Gemeinde dagegen ist eine oene Bestandsmasse.
4.2.3 Denition (Verweildauer).
Eine wichtige Kennzahl ist die Dauer, wie lang ein
Teil im Bestand ist.
Denition (Verweilsdauer). Wenn für eine Einheit der Bestandsmasse, der Zeitpunkt des Zugangs tz und der Zeitpunkt des Abgangs ta bekannt sind, dann heiÿt
d = ta − tz die Verweildauer der Einheit.
4.2.4 Denition (Zugang, Abgang).
Auch zu den Zu- und Abgängen können statis-
tische Kennzahlen ermittelt werden.
Denition. Die Anzahl der Einheiten, die zu einem Bestand im Zeitintervall von tj−1
bis tj hinzukommen, heiÿt Zugang zj . Die Anzahl der Einheiten um die ein Bestand
im Zeitintervall von tj−1 bis tj verringert wird, heiÿt Abgang aj .
86
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
Die Summe aller Zugänge zi (i = 1, . . . , j) von t0 bis tj heiÿt Zugangssumme Zj .
Die Summe aller Abgänge ai (i = 1, . . . , j) von t0 bis tj heiÿt Abgangssumme Aj . Es
gelten
Zj =
j
X
zi
und Aj =
i=1
j
X
ai
(4.3)
i=1
Bei einer geschlossenen Bestandsmasse ist die Anzahl der den Bestand
durchlaufenden
Einheiten gleich der Zugangs- oder der Abgangssumme. Diese Gesamtanzahl wird mit
bezeichnet und es gilt
Den Bestand
Bj
Zm
=
Am
=
n
n.
lässt sich mit damit berechnen:
Bj = Bj−1 + zj − aj ,
4.2.5 Anmerkung.
Bj = B0 + Zj − Aj .
(4.4)
Wenn man sich den Lagerbestand betrachtet und die Zeitintervalle
die Tage sind, dann ergibt sich die Frage, wann der Zugang und wann der Abgang durchgeführt wird. Wenn am Anfang 5 Teile vorhanden sind, ein Zugang von 10 Teilen und
ein Abgang von ebenfalls 10 Teilen erfolgt, dann sind am Ende wieder 5 Teile vorhanden. Was ist jedoch, wenn der Abgang am morgen, der Zugang erst am Abend ist, dann
hat man morgens ein Problem, denn der Bestand beträgt nur 5. Hier wird die Variante
betrachtet, dass der Ab- und Zugang erst am Ende einer Periode wirksam ist.
4.2.6 Beispiel.
Bei der Untersuchung der Veränderungen der Vorräte in einem Haushalt
ergeben sich die in der Tabelle 4.3 dargestellten Veränderungen (Zugang und Abgang)
der Bestände an Milchaschen. Die Tage, an denen es keine Bestandsveränderung gibt,
sind nicht aufgeführt, für die Berechnung jedoch von Bedeutung. Der Anfangsbestand
beträgt 10 Flaschen.
Tag
0
3
Zugang
Abgang
Bestand
6
10
11
12
16
40
10
17
22
20
25
27
29
30
40
20
5
8
12
6
7
10
3
11
14
9
17
14
5
37
25
19
12
2
19
8
34
25
8
14
Tabelle 4.3.: Bestandsveränderungen
Es liegt ein oener Bestand vor.
4.2.7 Denition (Zugangsrate, Abgangsrate).
Neben den Informationen zum ge-
samten Zu- und Abgang ist auch der durchschnittliche Zu- und Abgang von Interesse.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
87
4.2. Bestandsanalyse
Denition. Das arithmetische Mittel der Zugänge zj beziehungsweise der Abgänge aj
über alle Perioden hinweg heiÿt Zugangsrate z̄ beziehungsweise Abgangsrate ā:
m
z̄ =
1 X
zi
m
und ā =
i=1
m
1 X
ai
m
(4.5)
i=1
Es ist zu beachten, dass alle Zeitintervalle berücksichtigt werden, auch wenn in diesem
Zeitintervall keine Bestandsveränderung vorkommt.
4.2.8 Beispiel (Fortsetzung Beispiel 4.2.6).
Beim obigen Beispiel der Bestandsfüh-
rung der Milchaschen, gibt es 30 Tage (Zeitintervalle). Somit ist
sich eine Zugangssumme von
z̄ =
120
30
= 4, 00
und
ā =
116
30
m = 30. Es ergibt
= 116. Damit sind
Zm = 120. Die Abgangssumme Am
= 3, 87. Das bedeutet, dass täglich durchschnittlich
4,00
Milchaschen hinzukommen und 3,87 Flaschen wegkommen.
4.2.9 Denition (Durchschnittsbestand).
Der Bestand schwankt je Periode. Wie
sieht der durchschnittliche Bestand aus?
Denition. Werden alle Veränderungen vom Bestand zum Ende des Intervalls berücksichtigt, dann gilt für den Durchschnittsbestand
m−1
1 X
Bj .
B̄ =
m
(4.6)
j=0
Achtung: in dieser Summe ist die letzte Bestandssumme nicht enthalten, da gemäÿ der
Festlegung die Bestandsveränderung erst zum Ende der Periode wirksam wird.
4.2.10 Denition (mittlere Verweildauer).
Wie lange bendet sich ein Teil durch-
schnittlich im Bestand?
Denition. Für die mittlere Verweildauer d¯ gilt bei einer geschlossenen Bestands-
masse, wobei n die Gesamtanzahl der Einheiten, das heiÿt sie Summe der Zugänge
beziehungsweise die Summe der Abgänge, ist
B̄(tm − t0 )
d¯ =
n
(4.7)
und bei einer oenen Bestandsmasse
2B̄(tm − t0 )
d¯ =
Am−1 + Zm−1
88
(4.8)
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
4.2.11 Denition (Umschlagshäugkeit).
Wie oft wird der Bestand umgeschlagen.
Denition. Die Umschlagshäugkeit U eines Bestandes in einem Zeitintervall tm −
entspricht der mittleren Anzahl von Erneuerungen des Bestandes und es gilt für eine
geschlossene Bestandsmasse
t0
U=
n
tm − t0
=
¯
B̄
d
(4.9)
und für eine oene Bestandsmasse
U=
tm − t0
Am−1 + Zm−1
=
¯
2B̄
d
4.2.12 Beispiel (Fortsetzung Beispiel 4.2.6).
Für
den
(4.10)
obigen
Lagerbestand
an
Milchaschen ergibt sich somit
B̄ =
1
532
(10 + 10 + 10 + 5 + . . . + 25 + 25 + 8) =
= 17, 73
30
30
(4.11)
Da festgelegt wurde, dass die Veränderungen des Bestandes erst am Ende der jeweiligen
Zeitintervalle aktiv werden, dann dürfen die Zu- und Abgänge der letzten Periode nicht
berücksichtigt werden. Es gilt dann:
d¯ =
2 532
1064
30 30
=
= 5, 27 ,
100 + 102
202
(4.12)
also eine mittlere Verweildauer von 5,27 Tagen. Für das obige Beispiel der Milchaschen
ergibt sich
U=
100 + 102
= 5, 70 ,
2 532
30
(4.13)
also eine Umschlagshäugkeit von 5,7. Das bedeutet, dass der Bestand 5,7 mal gefüllt
und wieder geleert wird.
Die Parameter Zugangsrate, Abgangsrate, Durchschnittsbestand, mittlere Verweildauer
und Umschlagshäugkeit sind wichtige Kenngröÿen für eine Bestandsanalyse.
4.2.13 Beispiel.
Eine Firma verkauft ein Produkt A. Für einen Zeitraum von 10 Wo-
chen werden die Veränderungen am Bestand untersucht (siehe Tabelle 4.4). Der Anfangsbestand des Produktes ist 150 (Produkt A). Es wird angenommen, dass die Veränderungen jeweils zum Ende des Intervalls wirksam werden.
Für das Produkt A gilt:
B̄ =
1
1370
(150 + 200 + · · · + 70) =
= 137
10
10
Version 6.0 - 019 24.06.2017
(4.14)
89
4.2. Bestandsanalyse
Woche
0
1
Zugang
3
4
5
6
7
8
9
10
150
Abgang
Bestand
2
150
100
10
20
10
30
20
10
10
20
10
200
190
170
160
130
110
100
90
70
60
Tabelle 4.4.: Bestandsverlauf Produkt A
Für die mittlere Verweildauer gilt
2 ∗ 137 ∗ 10
2B̄(tm − t0 )
=
d¯ =
= 7, 21
Am−1 + Zm−1
150 + 230
(4.15)
Das heiÿt, dass ein Teil des Produkts eine mittlere Verweildauer im Lager von 7,21
Wochen hat. Für die Umschlagshäugkeit ergibt sich
Am−1 + Zm−1
150 + 230
=
= 1, 39
2 ∗ 137
2B̄
U=
(4.16)
Das heiÿt, dass das Lager in dem Zeitraum der 10 Wochen 1,39 mal umgeschlagen wird.
4.2.14 Beispiel.
Eine Firma verkauft ein Produkt B. Für einen Zeitraum von 10 Wo-
chen werden die Veränderungen am Bestand untersucht (siehe Tabelle 4.5). Der Anfangsbestand des Produktes ist 30 (Produkt B). Es wird angenommen, dass die Veränderungen
jeweils zum Ende des Intervalls wirksam werden.
Woche
0
Zugang
Abgang
Bestand
30
1
2
80
200
3
4
5
6
7
300
8
9
100
100
10
100
60
70
80
120
50
60
20
110
60
10
150
80
0
180
130
70
150
140
80
Tabelle 4.5.: Bestandsverlauf Produkt B
Für das Produkt B gilt:
B̄ =
1
940
(30 + 10 + · · · + 140) =
= 94
10
10
(4.17)
Für die mittlere Verweildauer gilt
2B̄(tm − t0 )
2 ∗ 94 ∗ 10
d¯ =
=
= 1, 30
Am−1 + Zm−1
780 + 670
(4.18)
Das heiÿt, dass ein Teil des Produkts eine mittlere Verweildauer im Lager von 1,30
Wochen hat. Für die Umschlagshäugkeit ergibt sich
U=
Am−1 + Zm−1
780 + 670
=
= 7, 71
2 ∗ 94
2B̄
(4.19)
Das heiÿt, dass das Lager in dem Zeitraum der 10 Wochen 7,71 mal umgeschlagen wird.
90
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
4.2.15 Anmerkung.
Bei diesem Beispiel ist das Produkt A ein
Langsamdreher, das
heiÿt es gibt nicht so viel Bewegung beim Ersatz des Bestandes. Das Produkt B ist
dagegen ein
Schnelldreher, die Verweildauer im Lager ist nur kurz.
4.3. Indexzahlen
Indexzahlen beschreiben die Entwicklung von Werten, die in Zeitreihen dargestellt sind.
Bekannte Indizes sind der Verbraucherpreisindex (VPI), der die durchschnittliche Preisentwicklung darstellt, und der Aktienindex DAX (Deutschen Aktienindex).
Dieser Abschnitt orientiert sich an Wewel 2011.
Grundbegrie
4.3.1 Anmerkung.
Voraussetzung für eine Indexberechnung ist eine Zeitreihe für die
Daten der Beobachtungen eines Merkmals. Zu einem Zeitreihenwert
yt
zur
Berichtspe-
riode t und einem Zeitreihenwert y0 zur Basisperiode 0 gibt es eine Messzahl
m0t =
yt
,
y0
(4.20)
welche das Verhältnis der Werte zwischen Berichtsperiode und Basisperiode beschreibt.
4.3.2 Beispiel (Energiepreisentwicklung).
Ein Industriebetrieb bezieht Energielie-
ferungen in Form von Öl, Gas und Elektrizität. Die Preise der Produkte für das Basisjahr
0
und für das Berichtsjahr
i
1
t
Energie
Öl
sind in der Tabelle 4.6 dargestellt.
Preis
Preis
Basisjahr
Berichtsjahr
pi0
pit
pit /pi0
0,12 [e/l]
0,30 [e/l]
2,50
0,06 [e/kWh]
0,75
3
0,28 [e/m ]
2
Gas
3
Elektrizität
Preismesszahl
0,08 [e/kWh]
3
0,42 [e/m ]
1,50
Tabelle 4.6.: Energiepreisentwicklung
Die Preismesszahlen bedeuten, dass der Ölpreis zwischen Basisjahr und Berichtsjahr um
den Faktor 2,5, also um 150%, gestiegen ist, der Gaspreis um den Faktor 1,5 (plus 50%).
Der Strompreis hat sich um den Faktor 0,75 verändert, ist also um 25% gesunken.
4.3.3 Denition (Indexzahl). Für die verschiedenen Produkte (i = 1, 2, 3) gibt es die
verschiedenen Preismesszahlen mi0t = pit /p0t .
Version 6.0 - 019 24.06.2017
91
4.3. Indexzahlen
Denition. Eine Indexzahl (oder kurz Index) I0t ist ein gewichteter Mittelwert mit
den Gewichten gi (i = 1, . . . , n) von gleichartigen Messzahlen mi0t , die sich auf verschiedene Güter i (i = 1, . . . , n), aber jeweils auf dieselbe Basisperiode 0 und dieselbe
Berichtsperiode t beziehen
I0t =
n
X
gi mi0t .
(4.21)
i=1
4.3.4 Beispiel (Verbraucherpreisindex).
Der Verbraucherpreisindex (VPI) ist ein
Index für die Preisentwicklung in Deutschland. Hierzu werden die Preisveränderung für
verschiedene Produkte und Dienstleistungen untersucht und ein Index berechnet. Weitere Informationen dazu ndet man bei Statistischen Bundesamt.
(siehe
https://www.destatis.de/DE/Meta/AbisZ/VPI.html)
4.3.5 Denition (Preisindex, Mengenindex, Wertindex, Umsatzindex).
Bezüglich der Art des Index gibt es eine Unterscheidung bezüglich der Veränderungen, die betrachtet werden.
Denition. Ein Preisindex beschreibt die durchschnittliche Preisentwicklung einer
Gütergruppe. Ein Mengenindex beschreibt die durchschnittliche Mengenentwicklung
einer Gütergruppe. Ein Wertindex oder Umsatzindex beschreibt die durchschnittliche
Wert- beziehungsweise Umsatzentwicklung. Er beinhaltet somit Preis- und Mengenkomponenten.
Indizes
4.3.6 Denition (Preisindex).
Warenkorb mit
Ein Preisindex
Basisperiode
0
n Gütern, die
P0t beschreibt
Ein Preisindex basiert in der Regel auf einen festen
mit einer festen Menge im Warenkorb enthalten sind.
die Veränderung des Preises des Warenkorbs zwischen
und Berichtsperiode
t.
Denition. Gegeben seien n Güter mit den festen Gütermengen qi (i = 1, . . . , n) im
Warenkorb. Die Preise sind pi0 für die Basisperiode und pit für die Berichtsperiode für
(i = 1, . . . , n). Daraus ergibt sich der Preisindex mittels der Preisindex-Formel
Pn
pit qi
P
P0t = ni=1
.
i=1 p0t qi
92
(4.22)
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
In der Regel werden sich nicht nur Preise ändern, sondern auch der Warenkorb. Diese
Anpassungen können berücksichtigt werden.
4.3.7 Denition (Preisindex nach Laspeyres und Preisindex nach Paasche).
Preisindizes können verschieden deniert werden. Hier werden der Preisindex nach
Laspeyres
1 und nach Paasche2 vorgestellt.
Denition. Gegeben seien n Güter. Die Gütermenge in der Basisperiode 0 sei qi0 (i =
1, . . . , n). Die Preise sind pi0 für die Basisperiode und pit für die Berichtsperiode für
(i = 1, . . . , n). Daraus ergibt sich der Preisindex nach Laspeyres auf Basis der
Gütermengen zur Basisperiode
L
P0t
Pn
pit qi0
= Pni=1
.
i=1 pi0 qi0
(4.23)
Dies kann auch als gewichteter Mittelwert dargestellt werden
L
P0t
=
n
X
giL
i=1
Der Preisindex
Pn
n
X
pit qi0
pit
pit
p q
Pn i0 i0
.
=
= Pni=1
p
q
p
pi0
p
i=1 i0 i0 i0
i=1 i0 qi0
(4.24)
i=1
nach Paasche basiert auf den Gütermengen zur Berichtsperiode
P
P0t
Pn
pit qit
= Pni=1
.
p
i=1 i0 qit
(4.25)
Dies kann als gewichteter harmonischer Mittelwert dargestellt werden
1
= Pn
P pit
i=1
i=1 gi pi0
P
P0t
= Pn
1
pi0
Pnpit qit
i=1 pit qit pit
Pn
pit qit
= Pni=1
.
p
i=1 i0 qit
4.3.8 Beispiel (Energiepreisentwicklung (Fortsetzung Beispiel 4.3.2)).
(4.26)
In
der
Tabelle 4.7 sind Mengenveränderungen aufgeführt zwischen Basisperiode und Berichtsperiode aufgeführt. Die Preisänderungen sind in der Tabelle 4.6 dargestellt worden.
Damit können die Preisindizes berechnet werden. Es gelten
0, 30 · 70.000 + 0, 42 · 10.000 + 0, 06 · 280.000
0, 12 · 70.000 + 0, 28 · 10.000 + 0, 08 · 280.000
42.000
=
= 1, 25
33.600
L
P0t
=
1
2
(4.27)
Ernst Louis Étienne Laspeyres (1834 - 1913), deutscher Ökonom
Hermann Paasche (1851 - 1925), deutscher Ökonom
Version 6.0 - 019 24.06.2017
93
4.3. Indexzahlen
i
Energie
Menge
Menge
Basisjahr
Berichtsjahr
Mengenmesszahl
qi0
qit
qit /qi0
Öl
70.000 [l]
84.000 [l]
1,20
2
Gas
3
10.000 [m ]
3
24.000 [m ]
2,40
3
Elektrizität
280.000 [kWh]
420.000 [kWh]
1,50
1
Tabelle 4.7.: Energiemengenentwicklung
und
0, 30 · 84.000 + 0, 42 · 24.000 + 0, 06 · 420.000
0, 12 · 84.000 + 0, 28 · 24.000 + 0, 08 · 420.000
60.480
=
= 1, 20 .
50.400
P
P0t
=
(4.28)
Je nach verwendeter Indexvariante sind die Preise für Energie zwischen Basisperiode und
Berichtsperiode um 25% oder 20% gestiegen.
4.3.9 Denition (Mengenindex).
Ein Mengenindex ist ein gewichteter Mittelwerte
von Mengenmesszahlen. Es wird die mengenmäÿige Veränderungen eines Warenkorbs
betrachtet.
Denition. Gegeben seien n Güter mit den festen Preisen pi (i = 1, . . . , n) im Warenkorb. Die Mengen sind qi0 für die Basisperiode und qit für die Berichtsperiode für
i = 1, . . . , n. Daraus ergibt sich der Mengenindex mittels der Mengenindex-Formel
Pn
pi qit
Q0t = Pni=1
.
i=1 pi qi0
(4.29)
4.3.10 Denition (Mengenindex nach Laspeyres und Mengenindex nach Paasche).
In der Regel werden sich nicht nur Preise ändern, sondern auch der Warenkorb. Diese
Anpassungen können berücksichtigt werden.
Denition. Gegeben seien
n Güter. Die Preise in der Basisperiode 0 seien pi0 (i =
Die Mengen sind qi0 für die Basisperiode und qit für die Berichtsperiode (i =
Daraus ergibt sich der Mengenindex nach Laspeyres auf Basis der Preise
zur Basisperiode
1, . . . , n).
1, . . . , n).
QL
0t
94
Pn
pi0 qit
P
.
= ni=1
i=1 pi0 qi0
(4.30)
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
Der Mengenindex
nach Paasche basiert auf den Preisen zur Berichtsperiode
QP0t
Pn
pit qit
.
= Pni=1
i=1 pit qi0
(4.31)
4.3.11 Beispiel (Energiepreisentwicklung (Fortsetzung Beispiel 4.3.2)).
Gemäÿ Tabelle 4.7 und Tabelle 4.6 ergibt sich für den Mengenindex nach Laspeyres
0, 12 · 84.000 + 0, 28 · 24.000 + 0, 08 · 420.000
0, 12 · 70.000 + 0, 28 · 10.000 + 0, 08 · 280.000
50.400
=
= 1, 5 .
33.600
QL
0t =
(4.32)
Für den Mengenindex nach Paasche ergibt sich
0, 30 · 84.000 + 0, 42 · 24.000 + 0, 06 · 420.000
0, 30 · 70.000 + 0, 42 · 10.000 + 0, 06 · 280.000
60.480
=
= 1, 44 .
42.000
QP0t =
4.3.12 Denition (Wertindex).
(4.33)
Bei einem Wert- oder Umsatzindex werden Preis-
und Mengenänderungen berücksichtigt.
Denition. Gegeben seien n Güter mit den Preisen pi0 in der Basisperiode und pit in
der Berichtsperiode (i = 1, . . . , n) im Warenkorb. Die Mengen sind qi0 für die Basisperiode und qit für die Berichtsperiode für i = 1, . . . , n. Daraus ergibt sich der Wertindex
mittels der Wertindex-Formel
Pn
pit qit
W0t = Pni=1
.
i=1 pi0 qi0
(4.34)
4.3.13 Beispiel (Energiepreisentwicklung (Fortsetzung Beispiel 4.3.2)).
Gemäÿ Tabelle 4.7 und Tabelle 4.6 ergibt sich für den Wertindex
0, 30 · 84.000 + 0, 42 · 24.000 + 0, 06 · 420.000
0, 12 · 70.000 + 0, 28 · 10.000 + 0, 08 · 280.000
60.480
=
= 1, 8 .
33.600
W0t =
Version 6.0 - 019 24.06.2017
(4.35)
95
4.4. Aufgaben
Anwendungen
4.3.14 Anmerkung.
Wenn es eine ökonomische Zeitreihe (das heiÿt eine Zeitreihe mit
ökonomischen Werten)
Ytn
nominalen Werten.
gibt, dann ist dies eine Zeitreihe mit
Wenn ein geeigneter Preisindex
P0t
vorhanden ist, dann kann durch die Division
Ytr =
auf den realen Wert im Bezug zum Basisjahr 0 gerechnet werden. Dies ist ein
Deationierung.
Ytn /P0t
4.3.15 Beispiel (reale Einkommensentwicklung).
Das Statistische Bundesamt ver-
öentlicht Werte zur (nominalen) Einkommensenticklung privater Haushalte. Mit dem
Verbraucherpreisindex (VPI) können die Werte auf reale Einkommenswerte deationiert
werden, so dass eine reale Einkommensentwicklung dargestellt wird (siehe Tabelle 4.8).
Ytn
Jahr
[Mrd.e]
Ytr
V P I2005,t
[Mrd.e]
2005
1463,7
100,0
1463,7
2006
1493,3
101,6
1469,8
2007
1517,1
103,9
1460,2
2008
1558,1
106,6
1461,6
2009
1560,6
107,0
1458,5
Tabelle 4.8.: Verfügbares Einkommen private Haushalte
4.4. Aufgaben
4.4.1 Aufgabe.
Berechnen Sie für die folgende Zeitreihe die gleitende Durchschnitte 3.
Ordnung.
t
xt
4.4.2 Aufgabe.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
7
3
8
10
6
11
13
9
14
16
12
Berechnen Sie für die folgende Zeitreihe die gleitenden Durchschnitte
4. Ordnung.
t
xt
4.4.3 Aufgabe.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
6
1
7
8
10
5
11
12
14
9
Bestimmen Sie jeweils den gleitenden Durchschnitt 3. und 4. Ordnung
für die nachfolgenden Umsatzangaben einer Firma:
Jahr
Umsatz
96
1997
1998
1999
2000
2001
2002
4,7
5,6
6,2
7,4
7,6
8,9
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
4.4.4 Aufgabe.
Der Vorrat
Bj
für ein Produkt hat sich im Laufe mehrerer Tage wie
folgt durch Zu- und Abgänge entwickelt (siehe Tabelle 4.9) (jeweils am Ende eines Tages
wirksam!) Der Anfangsbestand betrug 16 Teile.
Tag
1
3
4
5
6
8
9
10
Zugang
40
-
-
-
-
20
-
-
Abgang
10
5
8
22
7
4
12
8
Tabelle 4.9.: Bestandsveränderung Vorrat
Zeichnen Sie die Entwicklung des Bestandes. Berechnen Sie den Durchschnittsbestand,
die mittlere Verweildauer und die Umschlagshäugkeit.
4.4.5 Aufgabe.
Ein Versandhandel führt die Sortimentbereiche Kleidung, Körperpege
und Sportartikel. Die Angaben sind in der Tabelle 4.10 dargestellt.
Sortimentsbereich
Umsatz 2000
[Mio.
Kleidung
e]
Steigerung
Steigerung
Umsatz
Preis
2000 - 2010
2000 - 2010
10,0
64%
4%
Körperpege
5,5
100%
17%
Sportartikel
4,5
180%
41%
Tabelle 4.10.: Umsatz- und Preisentwicklung
Berechnen Sie
(a) den Umsatzindex
(b) den Preisindex
W2000,2010 ,
P2000,2010 nach Laspeyres und Paasche sowie
Q2000,2010 nach Laspeyres und Paasche.
(c) den Mengenindex
4.4.6 Aufgabe.
Ein Unternehmen benötigt zur Herstellung seines Produkts drei Roh-
stoe, welche in den Jahren 2000, 2004 und 2008 zu Preisen (pi,t ) in
(qi,t ) in
t
e/t
und Mengen
beschat, die in der nachfolgenden Tabelle hinterlegt sind.
pi,2000
pi,2004
pi,2008
qi,2000
qi,2004
1
3,20
4,00
4,60
5
4,5
5
2
1,60
2,00
2,40
10
12
15
3
21,00
23,00
24,00
2
1,8
2,2
Rohsto i
qi,2008
Berechnen Sie
(a) die Preisindizes
P2000,2004
Version 6.0 - 019 24.06.2017
und
P2000,2008
nach Laspeyres und Paasche,
97
4.5. Lösungen
Q2000,2004
(b) die Mengenindizes
(c) die Wertinidzes
W2000,2004
Q2000,2008
und
nach Laspeyres und Paasche,
W2000,2008 .
und
4.5. Lösungen
4.5.1 Lösung.
zu Aufgabe 4.4.1 Es ergibt sich der nachfolgende gleitende Durchschnitt
t
xt
x3t
4.5.2 Lösung.
t
xt
x4t
4.5.3 Lösung.
1
2
5
7
-
-
3
4
5
6
7
8
3
8
10
6
11
13
9
5
6
7
8
9
10
11
0
Zugang
Abgang
Bestand
16
11
12
14
16
12
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
6
1
7
8
10
5
11
12
14
9
-
-
-
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
zu Aufgabe 4.4.3 Es ergeben sich nachfolgende gleitende Durchschnitte
1997
1998
1999
2000
2001
2002
4,7
5,6
6,2
7,4
7,6
8,9
U msatz 3
-
-
5,5
6,4
7,1
8,0
U msatz 4
-
-
-
6,0
6,7
7,5
Umsatz
Tag
10
zu Aufgabe 4.4.2 Es ergibt sich der nachfolgende gleitende Durchschnitt
Jahr
4.5.4 Lösung.
9
zu Aufgabe 4.4.4 Nachfolgend die Entwicklung des Bestands
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
40
-
-
-
-
-
-
20
-
-
60
76
10
-
5
8
22
7
-
4
12
8
46
46
41
33
11
4
4
20
8
0
Für den Verlauf der Bestandsentwicklung, siehe Abbildung 4.1.
Durchschnittsbestand
B̄ =
1
10 (16
mittlere Verweildauer
d¯ =
2·22,9·10
68+60
Umschlagshäugkeit
4.5.5 Lösung.
98
U=
10
3,578
+ 46 + 46 + · · · + 20 + 8) =
=
458
128
229
10
= 22, 9
= 3, 578
= 2, 795
zu Aufgabe 4.4.5 Einige Daten für die Berechnung
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 4. Zeitreihen
40
30
20
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Abbildung 4.1.: Bestandsentwicklung
Sortiment
Umsatz
Kleidung
Umsatz
Plus
Plus
Plus
2000
2010
Umsatz
Preis
Menge
[Me]
[Me]
2000-2010
2000-2010
2000-2010
10,0
16,4
64%
4%
57,7 %
Körperpege
5,5
11,0
100%
17%
70,9 %
Sportartikel
4,5
12,6
180%
41%
98,6 %
Summe
20,0
40,0
(a) Umsatzindex
W2000,2010 =
40,0
20,0
= 2.
(b)
L
P2000,2010
P
P2000,2010
P
pi,2010 qi,2000
10, 0 · 1, 04 + 5, 5 · 1, 17 + 4, 5 · 1, 41
=P
=
pi,2000 qi,2000
10, 0 · 1 + 5, 5 · 1 + 4, 5 · 1
23, 18
=
= 1, 159
20, 00
P
pi,2010 qi,2010
16, 4 + 11, 0 + 12, 6
=P
= 16,4 11,0 12,6
pi,2000 qi,2010
1,04 + 1,17 + 1,41
=
40, 00
= 1, 173
34, 11
Version 6.0 - 019 24.06.2017
99
4.5. Lösungen
(c)
QL
2000,2010
=
=
QP2000,2010 =
=
Es gilt
P
16,4
11,0
12,6
p
q
1,04 + 1,17 + 1,41
P i,2000 i,2010 =
10, 0 · 1 + 5, 5 · 1 + 4, 5 · 1
pi,2000 qi,2000
34, 11
= 1, 705
20, 00
P
p
q
16, 4 + 11, 0 + 12, 6
P i,2010 i,2010 =
10, 0 · 1, 04 + 5, 5 · 1, 17 + 4, 5 · 1, 41
pi,2010 qi,2000
40, 00
= 1, 726
23, 18
P L · QP = P P · QL
4.5.6 Lösung.
zu Aufgabe 4.4.6
(a)
L
P2000,2004
=
L
P2000,2008
=
P
P2000,2004
=
P
P2000,2008
=
P
p
q
P i,2004 i,2000
pi,2000 qi,2000
P
p
q
P i,2008 i,2000
pi,2000 qi,2000
P
p
q
P i,2004 i,2004
pi,2000 qi,2004
P
p
q
P i,2008 i,2008
pi,2000 qi,2008
86
4 · 5 + 2 · 10 + 23 · 2
=
= 1, 162
3, 2 · 5 + 1, 6 · 10 + 21, 0 · 2
74
4, 6 · 5 + 2, 4 · 10 + 24 · 2
95
=
=
= 1, 284
74
74
83, 4
4 · 4, 5 + 2 · 12 + 23 · 1, 8
=
= 1, 168
=
3, 2 · 4, 5 + 1, 6 · 12 + 21, 0 · 1, 8
71, 4
111, 8
4, 6 · 5 + 2, 4 · 15 + 24 · 2, 2
=
= 1, 297
=
3, 2 · 5 + 1, 6 · 15 + 21, 0 · 2, 2
86, 2
=
(b)
P
p
q
P i,2000 i,2004
QL
=
2000,2004
pi,2000 qi,2000
P
pi,2000 qi,2008
L
Q2000,2008 = P
pi,2000 qi,2000
P
pi,2004 qi,2004
QP2000,2004 = P
pi,2004 qi,2000
P
pi,2008 qi,2008
P
Q2000,2008 = P
pi,2008 qi,2000
71, 4
= 0, 965
74
86, 2
=
= 1, 165
74
83, 4
=
= 0, 970
86
111, 8
=
= 1, 177
95
=
(c)
W2000,2004
W2000,2008
100
P
pi,2004 qi,2004
83, 4
=P
=
= 1, 127
pi,2000 qi,2000
74
P
pi,2080 qi,2008
111, 8
=P
=
= 1, 511
pi,2000 qi,2000
74
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Teil II.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche im zweiten Teil betrachtet wird, spielt der
Zufall eine Rolle. Hier wird nicht betrachtet, wie die Daten aussehen, sondern wie sie
aussehen können.
Vorbereitend wird im Kapitel 5 die Kombinatorik behandelt, da deren Ergebnisse für viele
Verteilungen wichtig sind. Danach wird im Kapitel 6 die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beleuchtet, so wie sie auch am Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung
stand. Es wird jedoch auch die moderne Denition für die Wahrscheinlichkeit wieder gegeben. Im nachfolgenden Kapitel 7 werden erläutert, was Zufallsvariablen sind und wie
mit Ihnen gerechnet wird. im Kapitel 8 werden einige spezielle Verteilungen, die immer
wieder vorkommen untersucht, wobei dies nur eine Auswahl ist, es gibt noch weitere
Verteilungen, die hier nicht genauer untersucht werden können.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
101
Kapitel 5.
Kombinatorik
Die
Kombinatorik bezeichnet den Zweig der Mathematik und Stochastik, in dem unter-
sucht wird, auf welche und auf wie viele verschiedene Arten gewisse Mengen von Dingen
angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden können.
5.0.1 Beispiel.
Zuerst ein einfaches, überschaubares Beispiel. Auf wie viele Weisen kann
man 2 Elemente aus einer Menge mit 3 Elementen auswählen?
Es sei
M
=
{1, 2, 3}
eine Menge mit drei Elementen. In der Tabelle 5.1 sind die
verschiedenen Möglichkeiten aufgeführt.
mit Zurücklegen
geordnet
ungeordnet
(1,1),(1,2),(1,3)
{1,1},{1,2},{1,3}
(2,1),(2,2),(2,3)
{2,2},{2,3},{3,3}
(3,1),(3,2),(3,3)
ohne Zurücklegen
(1,2),(1,3),(2,1)
{1,2},{1,3},{2,3}
(2,3),(3,1),(3,2)
Tabelle 5.1.: Einführungsbeispiel Kombinatorik
5.0.2 Anmerkung.
Zwei Sachverhalte sind für die Anzahl der Möglichkeiten von Be-
deutung.
•
Werden die Elemente nach der Auswahl wieder zur Menge zurückgelegt, und stehen
sie dadurch wieder für die Auswahl zur Verfügung?
•
Ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung?
Ist die Reihenfolge von Bedeutung, dann spricht man von einer
geordneten Stich-
probe oder Permutation, und die Ergebnisse sind Folgen von Elementen, die in runde
Klammern gesetzt werden. Spielt die Reihenfolge keine Rolle, dann spricht man von einer
ungeordneten Stichprobe oder Kombination, und die Ergebnisse sind Mengen von
Elementen, die in Mengenklammern gesetzt werden. Die Denition von Mengen besagt,
dass jedes Element in einer Menge nur einmal vorkommt. Wie man an den Beispielen
Version 6.0 - 019 24.06.2017
103
5.1. Permutationen
sieht, tauchen dort auch Mengen auf, bei denen Elemente doppelt vorkommen. Derartige
Gebilde heiÿen
Multimengen. Auf Multimengen wird hier jedoch nicht näher eingehen.
Im folgenden wird genauer untersucht, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge
n (unterscheidbaren) Elementen k
stets n ∈ N und k ∈ N0 .
von
Elemente auszuwählen. Dabei gelten im folgenden
5.1. Permutationen
Bei Permutationen ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, wie beispielsweise
bei Kennwörtern. Statt Permutation sagt man manchmal auch Variation.
Permutationen mit Wiederholungen
5.1.1 Denition (Permutation mit Wiederholung).
es
k
Elemente aus einer Menge von
n
Wie viele Möglichkeiten gibt
Elementen auszuwählen, wenn die Elemente nach
der Auswahl wieder zurückgelegt werden und die Reihenfolge von Bedeutung ist.
Denition. Es sei M eine Menge mit n Elementen. Eine k-Permutation mit Wie-
derholung von
1 ≤ i ≤ k.
M
ist eine Folge (x1 , . . . , xk ) von k Elementen mit xi ∈ M für
Mit P ∗ (n, k) wird die Anzahl der k-Permutationen mit Wiederholung bezeichnet, die
aus einer n-elementigen Menge gebildet werden können.
∗
Der hochgestellte Stern ( ) hinter dem
P
drückt aus, dass Wiederholungen der Elemente
möglich sind, das somit die Elemente nach der Auswahl wieder zurück gelegt werden.
5.1.2 Satz.
Für das erste Element gibt es
n
Möglichkeiten. Für das zweite und jedes
weitere Element der Reihe gibt es jeweils auch
n
Möglichkeiten, da das ausgewählte
Element immer wieder zurückgelegt wird. Es gibt somit
Satz. Die Anzahl
P ∗ (n, k)
mit n Elementen ist
nk Möglichkeiten für die Auswahl.
der k-Permutationen mit Wiederholung über einer Menge
P ∗ (n, k) = nk
Für das Beispiel 5.0.1 am Anfang des Kapitels ergibt sich
104
(5.1)
P ∗ (3, 2) = 32 = 9.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 5. Kombinatorik
5.1.3 Beispiel.
Das deutsche Alphabet enthält 26 Buchstaben (ohne Umlaute). Somit
∗
kann man P (26, 4)
= 264 = 456.976
verschiedene Worte der Länge 4 bilden, wobei
Buchstaben mehrfach vorkommen können.
Permutationen ohne Wiederholungen
5.1.4 Denition (Permutation ohne Wiederholung).
Jetzt der Fall, wenn die ge-
wählten Elemente nicht wieder zurück gelegt werden.
eine Menge mit n Elementen und 0 ≤ k ≤ n. Eine kPermutation ohne Wiederholung von M ist eine Folge (x1 , . . . , xk ) mit xi ∈ M
mit xi 6= xj für i 6= j , mit 1 ≤ i, j ≤ k.
Denition. Es sei
M
Mit P (n, k) wird die Anzahl der k-Permutationen ohne Wiederholung bezeichnet, die
aus einer n-elementigen Menge gebildet werden können.
Manchmal wird statt
5.1.5 Satz.
P (n, k)
auch
geschrieben (V wie Variation).
Wenn die ausgewählten Elemente nicht mehr zurückgelegt werden, dann
gibt es bei der ersten Auswahl
(n − 1)
Vkn
n Möglichkeiten. Bei der zweiten Auswahl jedoch nur noch
k -ten Auswahl dann nur noch (n − k + 1)
Möglichkeiten der Auswahl. Bei der
Möglichkeiten ein Element aus der Menge zu wählen. Somit gibt es
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
(5.2)
Möglichkeiten der Auswahl.
Satz. Die Anzahl
P (n, k)
elementigen Menge ist
der k-Permutationen ohne Wiederholung über einer n-
P (n, k) =
k−1
Y
(n − i) =
i=0
n!
(n − k)!
Für das Beispiel 5.0.1 am Anfang des Kapitels ergibt sich
5.1.6 Satz.
Ein Spezialfall sind die
P (3, 2) =
(5.3)
3!
1!
=
6
1
= 6.
n-Permutationen auf einer n-elementigen Menge, das
heiÿt die Permutationen, bei denen jedes der Elemente der Menge in der Permutation
enthalten ist. Davon gibt es
Version 6.0 - 019 24.06.2017
P (n, n) = n!
Möglichkeiten.
105
5.2. Kombinationen
Satz. Es gibt n! Möglichkeiten, eine Menge mit n Elementen anzuordnen.
5.1.7 Beispiel.
kann man
Das deutsche Alphabet enthält 26 Buchstaben (ohne Umlaute). Somit
P (26, 4) = 26 · 25 · 24 · 23 = 358.800
verschiedene Worte der Länge 4 bilden,
wobei Buchstaben nicht mehrfach vorkommen können.
5.1.8 Beispiel.
Es gibt
10! = 3.628.800 ≈ 3, 6 · 106
verschiedene Möglichkeiten, 10-
stellige Zahlen zu bilden, bei denen jede der 10 Ziern genau einmal vorkommt. Zahlen
mit 10 Ziern gibt es
5.1.9 Beispiel.
1010 .
Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen der Länge 4 lassen
sich aus den Buchstaben ABCC gebildet werden. 4 Buchstaben lassen sich auf 4! = 24
verschiedene Arten darstellen. Der Buchstabe C kommt zwei mal vor. Da die C's nicht
unterschieden werden können, kann man diese beiden vertauschen. Es gibt 2! Möglichkeiten für die Vertauschung der Buchstaben C. Damit gibt es nur 4!/2! = 12 Möglichkeiten
der Darstellung.
5.1.10 Satz.
Diese Überlegungen weiter geführt, führt zum nachfolgenden Satz:
Satz. Die Anzahl P (n; n1 , n2 , . . . , nk ) von Permutationen von n Elementen
von denen
P
jeweils n1 , n2 , . . ., nk , 1 ≤ k ≤ n, nicht unterscheidbar sind, so dass
ist
P (n; n1 , n2 , . . . , nk ) = Qk
k
i=1 ni
=n
n!
(5.4)
i=1 (ni !)
Für das obiges Beispiel ergibt sich
5.1.11 Beispiel.
P (4; 1, 1, 2) =
4!
1!1!2!
=
24
2
= 12.
Auf wie viele Arten kann man aus den Buchstaben des Wortes
n = 5, n1 = n2 = 2 und n3 = 1. Daher
5!
gegeben durch P (5; 2, 2, 1) =
2!2!1! = 30.
Worte bilden?. Es ist
verschiedenen Worte
ist,
LOTTO
ist die Anzahl der
5.2. Kombinationen
Bei den Permutationen spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle. Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt, dann spricht man von Kombinationen.
106
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 5. Kombinatorik
Kombination ohne Wiederholungen
5.2.1 Denition (Kombination ohne Wiederholung).
n
gibt es, aus einer Menge von
Elementen Teilmengen von
Wie
k
viele
Möglichkeiten
Elementen auszuwählen.
Auf die Reihenfolge der Auswahl kommt es hierbei nicht an.
Denition. Es sei M eine Menge mit n Elementen. Eine k-Kombination ohne Wie-
derholung über M ist eine Teilmenge von M mit k Elementen ohne Wiederholung.
Mit K(n, k) wird die Anzahl der k-Kombination ohne Wiederholung über M bezeichnet
Manchmal schreibt man statt
5.2.2 Satz.
K(n, k)
auch
Ckn .
Aus den Überlegungen der Permutationen kann die Anzahl der Kombi-
P (n, k) geordnete k-Permutationen über einer nP (k, k) = k! Möglichkeiten, die k gezogenen Elemente an-
nationen ermittelt werden. Es gibt
elementigen Menge. Es gibt
zuordnen. Jede dieser Anordnungen ist für die Kombination gleichwertig. (Nebenbemerkung: Diese bilden eine Äquivalenzrelation!). Damit gilt
Satz. Die Anzahl
K(n, k)
mit n Elementen ist
der Kombinationen ohne Wiederholung über einer Menge
n!
K(n, k) =
=
k!(n − k)!
Für das Beispiel am Anfang des Kapitels ergibt sich
5.2.3 Anmerkung.
P (n, k)/P (k, k) = K(n, k)
Das Symbol
der Schreibweise und heiÿt auch
n
k
n
k
K(3, 2) =
(5.5)
3!
2!1!
=
6
2
= 3.
(ausgesprochen n über k ist eine Vereinfachung
Binominalkoezient, was später (siehe Abschnitt 5.3)
noch beleuchtet wird.
5.2.4 Beispiel.
Beim Lotto 6 aus 49 spielt die Reihenfolge der gezogenen Kugeln keine
Rolle. Somit ist es eine Kombination. Es gibt keine Wiederholungen, da die Kugeln nicht
wieder zurückgelegt werden. Es gibt
K(49, 6) =
49!
= 13.983.816
6!43!
(5.6)
verschiedene Möglichkeiten 6 der 49 Kugeln zu ziehen.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
107
5.2. Kombinationen
Kombination mit Wiederholungen
5.2.5 Denition (Kombination mit Wiederholung).
Wenn Wiederholungen zuläs-
sig sind, dann wird es etwas komplizierter.
Denition. Es sei
ne k-Kombination
Elementen.
M
eine Menge mit n Elementen und für k gilt: 0 ≤ k ≤ n. Ei-
mit Wiederholung über M ist eine Multimenge von M mit k
Mit K ∗ (n, k) wird die Anzahl der k-Kombination mit Wiederholung über M bezeichnet
5.2.6 Satz.
K ∗ (n, k) der k -Kombinationen mit Wiederholung über einer
n-elementigen Menge zu bestimmen, werden bereits am Anfang die (k − 1) Elemente, die
Um die Anzahl
im Laufe des Prozesses zurück gelegt werden, zur Menge hinzugefügt. Somit ergibt sich
eine
k -Kombination
ohne Zurücklegen auf einer
(n + k − 1)-elementigen
Menge. Diese
Anzahl der Kombinationen wurde bereits berechnet.
Satz. Die Anzahl
K ∗ (n, k)
elementigen Menge ist
von k-Kombinationen mit Wiederholung über einer n-
(n + k − 1)!
=
K (n, k) = K(n + k − 1, k) =
k!(n − 1)!
∗
Für das Beispiel 5.0.1 am Anfang des Kapitels ergibt sich
5.2.7 Beispiel.
n+k−1
k
K ∗ (3, 2) =
4!
2!2!
(5.7)
=
24
4
= 6.
Wie viele Kombinationen kann man mit 4 Würfeln würfeln? Jeder Wür-
fel hat die Zahlen 1 bis 6. Statt einmal mit 4 Würfeln zu Würfeln kann man auch mit
einem Würfel 4 mal hinter einander würfeln. Es ist somit eine 4-Kombination mit Wiederholung über einer 6-elementigen Menge. Die Anzahl ist somit
9!
4!5!
K ∗ (6, 4) =
(6+4−1)!
4!(6−1)!
=
= 126.
Zusammenfassung Permutationen und Kombinationen
5.2.8 Anmerkung.
Die Zusammenfassung für Permutationen und Kombinationen gibt
die Tabelle 5.2.
108
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 5. Kombinatorik
Kombination
geordnet
ungeordnet
P ∗ (n, k)
mit Zurücklegen
ohne Zurücklegen
Permutation
P (n, k) =
=
n!
(n−k)!
K ∗ (n, k)
nk
n
= k!
k
=
(n+k−1)!
k!(n−1)!
K(n, k) =
=
n!
k!(n−k)!
n+k−1
k
n
=
k
Tabelle 5.2.: Zusammenfassung Permutationen und Kombinationen
5.3. Binomialkoezienten
5.3.1 Anmerkung. In diesem Abschnitt werden einige
für die Binomialkoezienten zusammengefasst.
5.3.2 Denition (Binomialkoezient).
Die
Eigenschaften und Ergebnisse
Denition
des
Binomialkoezienten
oder genauer eine Denition der Binomialkoezienten lautet:
n
n!
=
k
k! · (n − k)!
(5.8)
Wenn dieser Ausdruck auf der rechten Seite betrachtet wird, und einige Zahlen gekürzt
werden, dann ergibt sich:
n
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
k
1 · 2 · ... · k
(5.9)
An dieser Form der Denition kann man erkennen, dass die Binomialkoezienten stets
ganze Zahlen sind!
5.3.3 Bemerkung.
Einige grundlegende Eigenschaften für die Binomialkoezienten
können unmittelbar aus der Denition des Binomialkoezienten abgelesen werden. Es
gelten:
n
n
=
=1
0
n
Version 6.0 - 019 24.06.2017
(5.10)
109
5.3. Binomialkoezienten
5.3.4 Satz.
n
n
=
=n
1
n−1
(5.11)
n
n
=
k
n−k
(5.12)
Für die Berechnung des Binomialkoezienten gibt es eine rekursive Formel
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k
k−1
(5.13)
1
Dies führt zum so genannten Pascalschen Dreieck . Für die maschinelle Berechnung ist
diese Formel jedoch nicht ideal!
Hier ist nun der Beginn des Pascalschen Dreieck dargestellt:
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
1
2
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Die Rekursionsformel kann schnell und direkt nachgewiesen werden:
Satz. Ist k 6= 0 und k 6= n (n ∈ N und k ∈ N0 mit k < n), dann gilt:
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
(5.14)
Beweis
n−1
n−1
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
+
k
k−1
k!(n − k − 1)! (k − 1)!(n − k)!
(n − 1)!
1
1
=
·
+
(k − 1)!(n − k − 1)!
k n−k
(n − 1)!
n
·
=
(k − 1)!(n − k − 1)!
k · (n − k)
n!
n
=
=
k!(n − k)!
k
1
(5.15)
Blaise Pascal, französischer Philosoph, Mathematiker und Physiker, 1623 - 1662
110
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 5. Kombinatorik
5.3.5 Anmerkung.
Für das Produkt
(a + b)n
n
(a + b) =
ergibt sich
n X
n
k=0
k
an−k bk .
(5.16)
Dies ist die verallgemeinerte binomische Formel. Daher haben die Koezienten auch
ihren Namen. Daraus wiederum ergeben sich:
n
(1 + x) =
n X
n
k
k=0
xk
(5.17)
und
n
2 =
n X
n
k=0
k
(5.18)
und
n
X
n
k
0=
(−1) ·
k
(5.19)
k=0
Die beiden letzten Eigenschaften können am obigen Pascalschen Dreieck für kleine
n
einfach nachgerechnet werden.
5.3.6 Anmerkung.
Weiter wird auf die Binomialkoezienten nicht eingegangen.
5.4. Aufgaben
5.4.1 Aufgabe.
Bestimmen Sie alle Möglichkeiten die Elemente einer Menge mit
n = 2, n = 3
n=4
und
5.4.2 Aufgabe.
n = 1,
anzuordnen.
Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen der Länge 9 lassen
sich mit den Buchstaben des Wortes STATISTIK bilden?
5.4.3 Aufgabe.
Wie viele verschiedene Buchstabenkombinationen der Länge 11 lassen
sich aus den Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI bilden?
5.4.4 Aufgabe.
Ein Passwort besteht aus zwei (von 26 möglichen) Buchstaben gefolgt
von vier Ziern, wobei Ziern, aber nicht Buchstaben mehrfach auftreten dürfen. Wie
viele verschiedene Passwörter sind möglich?
5.4.5 Aufgabe.
Bei 5 Personen, wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich eine Mehrheit
(aus 5, 4 oder 3 Personen) bildet?
Version 6.0 - 019 24.06.2017
111
5.5. Lösungen
5.4.6 Aufgabe.
{0, 1}
Wie viele 8-stellige Worte können mit den Elementen der Menge
A=
gebildet werden.
5.4.7 Aufgabe.
Wie viele Zahlenkombinationen kann man mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Wür-
feln würfeln?
5.4.8 Aufgabe.
Ein Passwort ist 7 Zeichen lang. Es besteht aus Buchstaben (26 mögli-
che Buchstaben) und Ziern. In den ersten drei Zeichen dürfen nur Buchstaben stehen,
die sich nicht wiederholen. Die restlichen 4 Stellen sind beliebige Buchstaben oder Ziern,
wobei auch die Buchstaben aus den ersten 3 Stellen wiederholt werden dürfen. Wie viele
verschiedene Passwörter sind möglich?
5.4.9 Aufgabe.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es beim Spiel "6 aus 45"6
Kugeln zu ziehen?
5.4.10 Aufgabe.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass Sie n-mal hintereinan-
der die selbe Zahl würfeln.
5.5. Lösungen
5.5.1 Lösung.
n
n!
zu Aufgabe 5.4.1
1
2
3
4
5
1
2
6
24
120
5.5.2 Lösung.
zu Aufgabe 5.4.2
Die Anzahl der Möglichkeiten
P (9; 3, 2, 2, 1, 1) =
5.5.3 Lösung.
9!
= 15.120
3!2!2!1!1!
zu Aufgabe 5.4.3
Die Anzahl der Möglichkeiten
11!
= 34.650
1! · 4! · 4! · 2!
5.5.4 Lösung.
zu Aufgabe 5.4.4
Auswahl der Buchstaben ist eine 2-Permutation ohne Wiederholung auf einer 26elementigen Menge. Die Auswahl der Ziern ist eine 4-Permutation mit Wiederholung
auf einer 10-elementigen Menge.
P (26, 2) · P ∗ (10, 4) = 26 · 25 · 104 = 6.500.000
112
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 5. Kombinatorik
5.5.5 Lösung.
zu Aufgabe 5.4.5
Eine Mehrheit kann durch 3, 4 oder 5 Personen gebildet werden. Es ist dann jeweils eine
i-Kombination ohne Wiederholung über einer 5-stelligen Menge. Für die Gesamtanzahl
ergibt sich somit
5
5
5
K(5, 3) + K(5, 4) + K(5, 5) =
+
+
= 10 + 5 + 1 = 16
3
4
5
5.5.6 Lösung.
zu Aufgabe 5.4.6
8-Permutation mit Wiederholung über einer 2-elementigen Menge!
P ∗ (2, 8) = 28 = 256
5.5.7 Lösung.
Wenn man mit
zu Aufgabe 5.4.7
i
Würfeln würfelt, dann hat man eine i-Kombination mit Wiederholung
über einer 6-stelligen Menge.
1 Würfel:
6
K (6, 1) =
=6
1
∗
2 Würfel:
7
K (6, 2) =
= 21
2
∗
3 Würfel:
8
K (6, 3) =
= 56
3
∗
4 Würfel:
9
K (6, 4) =
= 126
4
∗
5 Würfel:
10
K (6, 5) =
= 252
5
∗
6 Würfel:
K ∗ (6, 6) =
5.5.8 Lösung.
11
= 462
6
zu Aufgabe 5.4.8
Für die ersten drei Stellen ist es eine (geordnete) Permutation von 3 aus 26 Elementen
ohne Zurücklegen. Für die hinteren 4 Stellen ist es eine (geordnete) Permutation von 4
aus 36 Elementen mit Zurücklegen.
Anzahl der Möglichkeiten:
26.202.009.600 ≈ 2.6 ·
1010
P (26, 3) · P ∗ (36, 4) =
26!
4
23! 36
= 26 · 25 · 24 · 364 =
Es sind 26.202.009.600 verschiedene Passwörter möglich.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
113
5.5. Lösungen
5.5.9 Lösung.
zu Aufgabe 5.4.9
Die Anzahl ist gegeben durch
5.5.10 Lösung.
45
= 8.145.060.
6
zu Aufgabe 5.4.10
Die Wahrscheinlichkeit 1-mal hintereinander die selbe Zahl zu würfeln ist 1. Die Wahrscheinlichkeit, 2-mal hintereinander die selbe Zahl zu würfeln ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass man im 2. Wurf die Zahl vom 1. Wurf wieder würfelt, also
1
6 . Die Wahr-
scheinlichkeit n-mal hintereinander die selbe Zahl zu würfeln ist die Wahrscheinlichkeit,
im 2., 3.,
. . .,
(n-1). Wurf jeweils die Zahl vom 1. Wurf zu würfeln, also jeweils
1
6 . Somit
beträgt die Wahrscheinlichkeit, n-mal hintereinander die selbe Zahl zu würfeln, somit
( 61 )n−1 .
114
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6.
Grundlagen der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bringt den Zufall und zufällige Ereignisse mit in die
Betrachtung. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit zufälligen Ereignissen. Ihre Ergebnisse werden in vielen Bereichen auÿerhalb der Mathematik abgewendet.
Prognose für eine Wahl, Qualitätssicherung und Bestimmung von Schätzungen sind nur
einige dieser Themen.
6.1. Zufallsexperiment und Ereignis
6.1.1 Denition (Zufallsexperiment, Elementarereignis, Ergebnisraum).
Zuerst einige grundlegende Begrie
Denition. Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer
Vorgang mit mindestens zwei möglichen Ergebnissen, bei dem im voraus nicht eindeutig
bestimmbar ist, welches Ergebnis eintreten wird. Ein mögliches Ergebnis eines Zufallsexperiments heiÿt Ereignis.
Die einzelnen, nicht mehr zerlegbaren und sich gegenseitig ausschlieÿenden Ereignisse eines Zufallsexperiments heiÿen Elementarereignis. Sie werden mit ω1 , ω2 ,
. . . bezeichnet. Die Menge Ω aller zu einem Zufallsexperiment gehörenden Elementarereignisse heiÿt Ergebnisraum:
Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }
6.1.2 Beispiel.
Der Wurf einer Münze, mit den Seiten
fallsexperiment. Es gibt die zwei Elementarereignisse
6.1.3 Beispiel.
ω1
(6.1)
Zahl und Wappen, ist ein
Zahl und ω2 = Wappen.
Zu-
=
Das Würfeln ist ein Zufallsexperiment. Der Ergebnisraum sind die 6
verschiedenen Möglichkeiten für das Ergebnis:
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Ω
=
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
115
6.1. Zufallsexperiment und Ereignis
6.1.4 Denition (zusammengesetzte Ereignisse, Durchschnitt).
Wie
können
mehrere Ereignisse verbunden werden.
Denition. Es seien A und B zwei Ereignisse in einem Ergebnisraum Ω.
Unter dem zusammengesetzten Ereignis A∪B oder A or B der Ereignisse A und B
versteht man das Ereignis, das dann eintritt, wenn wenigstens eine der beiden Ereignisse
A und B eintritt.
Unter dem Durchschnitt A ∩ B oder A and B der Ereignisse A und B versteht man
das Ergebnis, das Eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt, wenn also A und B
gemeinsam eintreten.
6.1.5 Beispiel.
Beim Würfeln sei A das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird.
A = {2, 4, 6}. B sei das Ereignis, dass die
{1, 2, 3}. Damit ist das zusammengesetzte
Somit ist
ist
B
=
gewürfelte Zahl kleiner 4 ist. Somit
Ereignis
der Würfel eine gerade Zahl oder ein Zahl kleiner 4 anzeigt:
A ∪ B das Ereignis, wenn
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}. Der
Durchschnitt der Ereignisse ist das Ereignis, wenn die gewürfelte Zahl gerade und kleiner
4 ist:
A∩B
=
{2}.
6.1.6 Denition (komplementäre, sichere, unmögliche, disjunkte Ereignisse).
Nun einige spezielle Ereignisse.
Denition. Es sei A ein Ereignis. Das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A nicht
eintritt, heiÿt das zu A komplementäre Ereignis oder Komplementärereignis von
A und wird mit Ā bezeichnet. Ein Ereignis, das immer eintritt, heiÿt sicheres Ereignis
und wird mit Ω bezeichnet. Ein Ereignis, das nie eintritt, heiÿt unmögliches Ereignis
und wird mit ∅ bezeichnet. Gilt für zwei Ereignisse A und B , dass deren Durchschnitt
das unmögliche Ereignis ist (A ∩ B = ∅), so heiÿen A und B disjunkte Ereignisse
6.1.7 Beispiel.
wird und
B
Beim Würfeln seien
A
das Ereignis, dass eine gerade Zahl gewürfelt
das Ereignis, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird. Die beiden Ereignisse
sind komplementär zueinander. Es gilt somit
Ereignis
A∪B
ist das sichere Ereignis
oder ungerade. Der Durchschnitt
A∩B
Ω,
Ā = B
und
B̄ = A.
Das zusammengesetzte
denn die gewürfelte Zahl ist entweder gerade
der beiden Ereignisse A und B ist das unmögliche
Ereignis, da das Ergebnis beim Würfel nicht gleichzeitig gerade und ungerade sein kann.
Somit sind A und B auch disjunkte Ereignisse.
6.1.8 Denition (Wahrscheinlichkeit).
Nach
diesen
grundlegenden
Denitionen
wird nun der Begri der Wahrscheinlichkeit deniert. Es gibt dabei viele verschiedenen
Varianten für die Denition. Die Denition geht auf Laplace
1
1 zurück.
Pierre Simon Laplace (1749-1827), französischer Naturwissenschaftler
116
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Denition. Gegeben seien ein Ereignis A eines Zufallsexperiments, die Anzahl der für
das Eintreen von A günstigen Fälle (beziehungsweise der zu A gehörenden Elementarereignisse) und die Anzahl aller möglichen Fälle. Für die Wahrscheinlichkeit P (A)
für das Eintreten des Ereignissen A gilt dann:
P (A) =
6.1.9 Beispiel.
kommt ist
Anzahl der f ür das Ereignis A günstigen F älle
Anzahl aller möglichen F älle
(6.2)
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen einer Münze die Seite
1
2 oder 50% oder
6.1.10 Beispiel.
Zahl
0, 50.
Beim Würfeln ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
1
1
1
P(gerade) = , P({1}) = , P(ungerade und kleiner 4) = .
2
6
3
6.1.11 Denition (Wahrscheinlichkeitmaÿ).
Die Erkenntnisse aus den Beispielen
wird nun allgemeiner formuliert und die Wahrscheinlichkeit genauer deniert. Dies wurde erstmals vom Kolmogorov
2 formuliert. Es seien
Ω
ein Ereignisraum und
Z(Ω)
das
Ereignissystem, das bedeutet, die Menge der möglichen Ereignisse im Ereignisraum
Z(Ω) = {A | A ⊆ Ω}.
Ein
(6.3)
Wahrscheinlichkeitsmaÿ ist eine Abbildung
P : Z(Ω) → R
(6.4)
mit den nachfolgenden Eigenschaften:
•
Axiom 1 (Nicht-Negativität) Die Wahrscheinlichkeit ist nicht-negativ:
∀A ∈ Z(Ω) : P (A) ≥ 0
•
(6.5)
Axiom 2 (Normierung): Die Wahrscheinlichkeit ist normiert:
P (Ω) = 1
•
Axiom 3 (Additivität)
Für zwei disjunkte Ereignisse
(6.6)
A
und
B
ist die Wahr-
scheinlichkeit additiv:
∀A, B ∈ Z(Ω), A ∩ B = ∅ : P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
6.1.12 Anmerkung.
(6.7)
Aus diesen Axiomen ergeben sich direkt einige Konsequenzen, die
auf Basis der Axiome bewiesen werden können.
2
Andrej Nikolajevich Kolmogorov (1903 - 1987), russischer Mathematiker
Version 6.0 - 019 24.06.2017
117
6.1. Zufallsexperiment und Ereignis
•
Satz zur
Wahrscheinlichkeit Komplementärereignis
∀A ∈ Z(Ω) : P (A) = 1 − P (A)
•
Folgerung
(6.8)
Wahrscheinlichkeit der leeren Menge
P (∅) = 0
•
Satz zur
(6.9)
Wahrscheinlichkeit der Dierenz
∀A, B ∈ Z(Ω) : P (A\B) = P (A) − P (A ∩ B)
•
(6.10)
Additionssatz für zwei beliebige Ereignisse
∀A, B ∈ Z(Ω) : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
•
Satz über die
Wahrscheinlichkeit von Teilereignissen
∀A, B ∈ Z(Ω) : A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B)
•
(6.11)
(6.12)
Additionsgesetz für disjunkte Ereignisse :
∀Ai ∈ Z(Ω), paarweise disjunkt : P (
n
[
Ai ) =
i=1
6.1.13 Denition (Wahrscheinlichkeitsraum).
n
X
P (Ai )
(6.13)
i=1
Die obigen Axiome und Regeln füh-
ren zur folgenden Denition.
Denition. Eine Menge
Ω
Wahrscheinlichkeitsraum.
6.1.14 Anmerkung.
mit einer Funktion P mit den obigen Regeln heiÿt ein
Bei manchen Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung be-
trachtet man das Eintreten von Ereignissen in Abhängigkeit von anderen Ereignissen.
6.1.15 Beispiel.
Aus einer Urne mit 5 roten und 3 grünen Kugeln werden nacheinan-
der zwei Kugeln zufällig entnommen. R1, R2, G1 und G2 bezeichnen die Ereignisse, dass
Rot beziehungsweise Grün beim ersten beziehungsweise zweiten Zug erscheint. Nach der
Denition der Wahrscheinlichkeit ergibt sich
P (R1) =
5
8 und
P (G1) =
3
8.
Nach dem ersten Zug benden sich noch 7 Kugeln in der Urne. Die Wahrscheinlichkeit
beim zweiten Zug eine grüne Kugel zu ziehen, hängt nun von der Farbe der zuerst gezogenen Kugel ab. Die Wahrscheinlichkeit für G2 unter der Bedingung R1 ergibt sich zu
P (G2|R1) = 73 .
P (G2|G1) = 72 .
118
Die Wahrscheinlichkeit für G2 unter der Bedingung G1 ergibt sich zu
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.1.16 Denition (bedingte Wahrscheinlichkeit).
Wie hängen zwei Ereignisse von-
einander ab?
Denition. Die bedingte Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit von B unter
der Bedingung A) P (B|A) ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses
B unter der Voraussetzung, dass das Ereignis A bereits eingetreten ist. Es gilt:
P (B|A) =
Sie heiÿt auch konditionale
P (A ∩ B)
P (A)
für P (A) > 0
(6.14)
Wahrscheinlichkeit
6.1.17 Denition (unabhängig).
Zwei Ereignisse A und B sind voneinander unab-
hängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von A nicht vom Ereignis B abhängt. Entsprechend sind die Ereignisse abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten des Ereignisses B davon abhängt, ob das Ereignis A eingetreten ist oder nicht.
Denition (stochastisch unabhängig, stochastisch abhängig). Die Ereignisse
A und B sind genau dann stochastisch unabhängig , wenn gilt P (B|A) = P (B|Ā)
oder P (A|B) = P (A|B̄). Gilt jedoch P (B|A) 6= P (B|Ā) oder P (A|B) 6= P (A|B̄), so
sind die Ereignisse stochastisch abhängig .
6.1.18 Beispiel.
In einer Urne benden sich 20 rote und 30 grüne Kugeln. 5 rote und
10 grüne Kugel sind mit einer 1 beschriftet. Mit R, G beziehungsweise E werden die
Ereignisse
rote Kugel, grüne Kugel
beziehungsweise
Kugel mit 1
bezeichnet. Es ergibt
sich die in der Tabelle 6.1 aufgezeigte Verteilung:
E
Ē
R
5
15
20
G
10
20
30
gesamt
15
35
50
Tabelle 6.1.: Beispiel 6.1.18
Nach der Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit gilt:
1
4 und
P (E|R̄) =
P (E∩R̄)
P (R̄)
=
10/50
30/50
=
P (E|R) =
P (E∩R)
P (R)
=
5/50
20/50
=
1
3 . Daraus ergibt sich, dass die beiden Ereignisse E
und R stochastisch abhängig sind.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
119
6.1. Zufallsexperiment und Ereignis
In der Tabelle 6.1 im Beispiel 6.1.18 sind die Absolutzahlen angegeben. Wird durch die
Gesamtanzahl dividiert, dann erhält man die Wahrscheinlichkeiten (siehe Tabelle 6.2).
A
Ā
B
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (B)
B
P (A ∩ B)
P (Ā ∩ B̄)
P (B)
P (A)
P (A)
1
Tabelle 6.2.: Wahrscheinlichkeit bei zwei Ereignissen
6.1.19 Beispiel.
Ein Student besteht die Klausur in Statistik (Ereignis S) mit der Wahr-
scheinlichkeit 0,7 und in Finanzmathematik (Ereignis M) mit der Wahrscheinlichkeit 0,8.
Die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen beiden Klausuren beträgt 0,6.
Es gelten
P (S|M ) =
P (S ∩ M )
0, 6
=
= 0, 75
P (M )
0, 8
(6.15)
P (S|M̄ ) =
P (S ∩ M )
0, 1
=
= 0, 5.
0, 2
P (M )
(6.16)
und
Da
P (S|M ) 6= P (S|M ) gilt, sind S
und
M
abhängig. Die Wahrscheinlichkeit, wenigstens
eine Klausur zu bestehen, ist
P (S ∪ M ) = P (S) + P (M ) − P (S ∩ M ) = 0, 7 + 0, 8 − 0, 6 = 0, 9
6.1.20 Satz.
(6.17)
Aus der Denition für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich:
Satz. Für zwei Ereignisse A und B (mit P (A) > 0 und P (B) > 0) gelten
P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) = P (B) · P (A|B).
M
M̄
S
0,6
0,1
0,7
S̄
0,2
0,1
0,3
0,8
0,2
1,0
(6.18)
Tabelle 6.3.: Beispiel 6.1.19
120
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Insbesondere gilt für zwei unabhängige Ereignisse
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
(6.19)
6.2. Zusammen gesetzte Aufgaben
6.2.1 Anmerkung.
Im folgenden werden zusammen gesetzte Aufgaben betrachtet, bei
denen sowohl Durchschnitt und Vereinigung von Ereignissen vorkommen. Für die Visualisierung der Beispiele werden Komponenten verwendet, die eine bestimmte Verfügbarkeit
haben. Diese Komponenten werden auf verschiedene Art und Weise zu einem Aggregat zusammen gesetzt, wobei die Komponenten sowohl hintereinander oder parallel sein
können.
6.2.2 Anmerkung.
(K1 und
K2 )
Gegeben sei nun ein Aggregat (A), welches aus 2 Komponenten
besteht, die hintereinander geschaltet sind (siehe Abbildung 6.1).
A
K1
K2
Abbildung 6.1.: Zwei Komponenten hintereinander
Die beiden Komponenten
K1
und
K2
haben die Wahrscheinlichkeiten
P (Ki ) = pi
(i
= 1,2), dass die Komponente funktioniert, wobei die Funktionalität einer Komponente
nicht von der Funktionalität der anderen Komponente abhängt. Das bedeutet, dass die
Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander sind. Wie sieht nun die Wahrscheinlichkeit
p = P (A)
aus, dass das Aggregat funktioniert. Die Hintereinanderschaltung bedeutet,
dass das Aggregat nur funktioniert, wenn beide Komponenten funktionieren. Es gilt
p = P (A) = P (K1 and K2 ) = P (K1 ) · P (K2 ) = p1 · p2
6.2.3 Beispiel.
jeweiligen
(6.20)
A besteht aus zwei Komponenten K1 und K2 mit den
Wahrscheinlichkeiten P (Ki ) = pi = 0, 9 (i = 1,2), dass die Komponenten
Ein Aggregat
funktioniert. Das Aggregat funktioniert nur, wenn beide Komponenten funktionieren
(K1
and K2 ).
Damit gilt
p = P (A) = P (K1 ) · P (K2 ) = p1 · p2 = 0, 9 · 0, 9 = 0, 81 .
(6.21)
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für das Funktionieren des Aggregates bei 0,81
ist.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
121
6.2. Zusammen gesetzte Aufgaben
6.2.4 Beispiel.
E
A
zu einem Endpunkt
transportiert werden. Die gesamte Strecke ist durch einen Zwischenpunkt
AZ
Teilstrecken
in
Eine Nachricht muss von einem Ausgangspunkt
A
und
ZE
aufgegeben wird in
Z
ankommt beträgt
P (AZ) = 0, 7.
Z aufgegeben
Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht, die in
Wahrscheinlichkeit beträgt
E
dass eine Nachricht
P (ZE) = 0, 6.
E
ankommt, diese
Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit,
erreicht, wenn sie in
Nun wird ein Aggregat
K1 , K2 , . . ., Kn ,
in zwei
Davon unabhängig ist die
wird in
A
los gesendet wird zu
P (AE) = P (AZ and ZE) = P (AZ) · P (ZE) = 0, 7 · 0, 6 = 0, 42
6.2.5 Satz.
Z
geteilt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Nachricht, die
(6.22)
A betrachtet, das aus n unabhängigen Komponenten
die hintereinander geschaltet sind (siehe Abbildung 6.2), besteht. Das
Aggregat funktioniert also nur, wenn
alle Komponenten funktionieren.
A
K1
K2
Kn
Abbildung 6.2.: Mehrere Komponenten hintereinander
Es seien
Ki
P (Ki ) = pi
für (i =
1, 2, . . . , n)
die Wahrscheinlichkeiten, dass die Komponente
funktioniert. Es gilt dann
p = P (A) = P (K1 and K2 and . . . and Kn )
(6.23)
= P (K1 ) · P (K2 ) · . . . · P (Kn ) = p1 · p2 · . . . · pn
Satz. Es seien Ki (i = 1, 2, . . . , n) unabhängige Ereignisse, die hintereinander geschaltet sind (durch and zusammengesetzt). Die Wahrscheinlichkeiten seien P (Ki ) = pi (i
= 1, 2, . . . , n) für die Ereignisse Ki , dann gilt
P (K1 and K2 and . . . and Kn ) =
n
Y
pi
(6.24)
i=1
6.2.6 Anmerkung.
Nun wird die Situation betrachtet, dass die Komponenten nicht
hintereinander, sondern parallel geschaltet sind. Dies bedeutet, dass das Aggregat, das
aus den Komponenten zusammen gesetzt ist, funktioniert, wenn mindestens eine Komponente funktioniert.
6.2.7 Anmerkung.
ten (K1 und
122
K2 )
Zuerst wird ein Aggregat (A) betrachtet, welches aus 2 Komponen-
besteht, die parallel geschaltet sind (siehe Abbildung 6.3).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
A
K1
K2
Abbildung 6.3.: Zwei Komponenten parallel
Die beiden Komponenten
K1
und
K2
haben die Wahrscheinlichkeiten
P (Ki ) = pi
(i
= 1,2), dass die Komponente funktioniert, wobei die Funktionalität einer Komponente
nicht von der Funktionalität der anderen Komponente abhängt. Das bedeutet, dass die
Wahrscheinlichkeiten unabhängig voneinander sind. Wie sieht nun die Wahrscheinlichkeit
p = P (A)
aus, dass das Aggregat funktioniert. Die Parallelschaltung bedeutet, dass das
Aggregat funktioniert, wenn mindestens eine Komponenten funktioniert. Es gilt, mit
Hilfe des Additionsgesetzes
p = P (A) = P (K1 or K2 ) = P (K1 ) + P (K2 ) − P (K1 and K2 )
(6.25)
= P (K1 ) + P (K2 ) − P (K1 ) · P (K2 ) = p1 + p2 − p1 · p2
6.2.8 Beispiel.
Um eine Nachricht vom Punkt A(nfang) zum Punkt E(nde) zu über-
mitteln, wird die Nachricht auf zwei verschiedene Wege übermittelt. Beim ersten Weg ist
die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachricht übermittelt wird bei 60%. Beim zweiten Weg
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachricht übermittelt wird bei 40%. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Nachricht übermittelt wird (Ereignis
A).
Es ist
P (A) = 0, 6 + 0, 4 − 0, 6 · 0, 4 = 0, 76 .
6.2.9 Anmerkung.
(K1 ,
K2
und
K3 )
Nun wird ein Aggregat (A) betrachtet, welches aus 3 Komponenten
besteht, die parallel geschaltet sind (siehe Abbildung 6.4).
Wenn mit dem Additionsgesetz gearbeitet wird, was durchaus machbar ist, so wachsen
die Terme und die Umformungen. Auch wenn man noch mehr Komponenten berücksichtigt, wächst dieser Aufwand. Es kann der Blickwinkel geändert werden. Das Aggregat
funktioniert, wenn eine der Komponenten funktioniert, das Aggregat funktioniert nicht,
wenn alle Komponenten nicht funktionieren. Damit gibt es eine
ist dabei, dass für ein Ereignis
A
gilt:
P (A) = 1 − P (A).
and-Verbindung. Wichtig
Dieser neue Blickwinkel wird
zuerst bei zwei Komponenten angewendet, um zu sehen, ob das Ergebnis richtig heraus
kommt.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
123
6.2. Zusammen gesetzte Aufgaben
A
K1
K2
K3
Abbildung 6.4.: Drei Komponenten parallel
p = P (A) = P (K1 or K2 )
(6.26)
= 1 − P (K1 or K2 )
= 1 − P (K1 and K2 )
= 1 − P (K1 ) · P (K2 )
= 1 − (1 − P (K1 )) · (1 − P (K2 ))
= 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 )
= p1 + p2 − p1 · p2
Jetzt für 3 Komponenten.
p = P (A) = P (K1 or K2 or K3 )
(6.27)
= 1 − P (K1 or K2 or K3 )
= 1 − P (K1 and K2 and K3 )
= 1 − P (K1 ) · P (K2 ) · P (K3 ))
= 1 − (1 − P (K1 )) · (1 − P (K2 )) · (1 − P (K3 ))
= 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 ) · (1 − p3 )
= p1 + p2 + p3 − p1 · p2 − p1 · p3 − p2 · p3 + p1 · p2 · p3
6.2.10 Satz.
Jetzt werden gleich
P (Ki ) = pi (i = 1, 2, . . . , n)
n
Komponenten (Ki ) mit den Wahrscheinlichkeiten
betrachtet, die parallel geschaltet sind (siehe Abbildung
6.5).
124
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
A
K1
K2
.
.
.
Kn
Abbildung 6.5.: Mehrere Komponenten parallel
p = P (A) = P (K1 or K2 or . . . or Kn )
(6.28)
= 1 − P (K1 or K2 or . . . or Kn )
= 1 − P (K1 and K2 and . . . and Kn )
= 1 − P (K1 ) · P (K2 ) · . . . · P (Kn )
= 1 − (1 − P (K1 )) · (1 − P (K2 )) · . . . · (1 − P (Kn ))
= 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 ) · . . . · (1 − pn ))
Damit wurde allgemein gezeigt:
Satz. Es seien
(i = 1, 2, . . . , n) unabhängige Ereignisse, die durch or zusammengesetzt werden (parallel geschaltet). Die Wahrscheinlichkeiten seien P (Ki ) = pi (i =
1, 2, . . . , n) für die Ereignisse Ki , dann gilt
Ki
P (K1 or K2 or . . . or Kn ) = 1 −
n
Y
(1 − pi )
(6.29)
i=1
6.2.11 Beispiel.
Gegeben sei ein Gerät (G), das aus zwei (technischen) Komponenten
A und B besteht. Jede dieser Komponenten hat jeweils die Wahrscheinlichkeit von 0,9,
dass sie nach einem Jahr Betrieb noch aktiv sind. Die beiden Ereignisse sind voneinander
Version 6.0 - 019 24.06.2017
125
6.2. Zusammen gesetzte Aufgaben
unabhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät nach einem Jahr noch
aktiv ist, wenn die beiden Komponenten parallel geschaltet sind (eines der Komponenten
muss noch aktiv sein, damit das Gerät aktiv ist) oder hintereinander geschaltet sind
(beide Komponenten müssen noch aktiv sein).
P (G) = P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) = P (A)+P (B)−P (A)·P (B) =
0, 9 + 0, 9 − 0, 81 = 0, 99
(hintereinander): P (G) = P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0, 9 · 0, 9 = 0, 81
(parallel):
6.2.12 Beispiel.
(K1 und
K2 )
besteht, die parallel geschaltet sind (siehe hierzu wieder Abbildung 6.3).
Die Komponente
fügbarkeit
p = 0, 9
p2
Jetzt wird ein Aggregat (A) betrachtet, welches aus 2 Komponenten
K1
hat die Verfügbarkeit (Wahrscheinlichkeit)
muss die Komponente
K2
p1 = 0, 8.
Welche Ver-
haben, damit das Aggregat die Verfügbarkeit
hat? Die Komponenten sind parallel geschaltet, also gilt
p = 1 − (1 − p1 ) · (1 − p2 )
(6.30)
mit den konkreten Zahlen ergibt sich
0, 9 = 1 − (1 − 0, 8) · (1 − p2 )
Aufgelöst nach der Unbekannten
p2
ergibt sich
(6.31)
p2 = 0, 5.
6.2.13 Beispiel.
Nun wird ein Aggregat (A) betrachtet, welches aus 3 Komponenten
(K1 ,
besteht, folgendermaÿen geschaltet sind, siehe Abbildung 6.6.
K2
und
K3 )
K1
K2
K3
Abbildung 6.6.: Aggregat aus drei Komponenten
Die Komponente
nente
K2
K1
hat die Verfügbarkeit (Wahrscheinlichkeit)
die Verfügbarkeit
p2 = 0, 7.
Welche Verfügbarkeit
haben, damit das Aggregat die Verfügbarkeit
p = 0, 9
p3
p1 = 0, 8,
die Kompo-
muss die Komponente
K3
hat?
p = 0, 9 hat, muss - nach dem vorherigen Beispiel
gleich 0, 5 (P (K2 K3 ) = 0, 5) sein. Damit gilt
Damit das Aggregat die Verfügbarkeit
- die Verfügbarkeit des unteren Teils
0, 5 = P (K2 K3 ) = P (K2 and K3 ) = P (K2 ) · P (K3 ) = 0, 7 · p3
Aufgelöst nach
126
p3
ergibt
(6.32)
p3 = 0, 7143.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.2.14 Beispiel.
Es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass ein Radio mit
Mittelwellen-, Kurzwellen- und UKW-Empfang nach einem Jahr Dauerbetrieb noch auf
wenigstens einem Wellenbereich funktionsfähig ist. Es wird angenommen, dass alle Bauteile unabhängig voneinander sind. Die Abbildung 6.7 zeigt den Bauplan mit den einzelnen Komponenten: TRA - Netztrafo, VOR - Vorstufe, MWE - Mittelwerte Empfang,
KWE - Kurzwelle Empfang, UKV - UKW Vorstufe, UKH - UKW Hauptstufe, END Endstufe, SP1 = Speaker 1, SP2 = Speaker 2.
MWE
VOR
KWE
TRA
SP2
END
UKV
UKH
SP1
Abbildung 6.7.: Bauplan Radio
Die Wahrscheinlichkeit dass die einzelne Komponente nach einem Jahr Dauerbetrieb nach
aktiv sind, sind in der Tabelle 6.4 aufgeführt.
P (T RA) = 0, 8
P (M W E) = 0, 8
P (U KV ) = 0, 9
P (EN D) = 0, 9
P (SP 2) = 0, 9
P (V OR) = 0, 75
P (KW E) = 0, 6
P (U KH) = 0, 8
P (SP 1) = 0, 9
Tabelle 6.4.: Verfügbarkeiten Komponenten vom Radio
Die zusammengesetzten Komponenten sind der MW-KW-Teil (mw-kw-teil), bestehend
aus dem MW- und dem KW-Empfang, dem AM-Teil (am-teil), bestehend aus der Vorstufe und dem MW-KW-Teil, dem FM-Teil (fm-teil), bestehend aus der UKW-Vorstufe
und der UKW-Hauptstufe, dem Empfangsteil (empfangsteil), bestehend aus dem AMTeil und dem FM-Teil, dem Lautsprecher (lautsprecher), bestehend aus dem Speaker 1
und dem Speaker 2. Der gesamte Radio (radio) besteht dann aus dem Netztrafo, dem
Emfangsteil, der Endstufe und dem Lautsprecher.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach einem Jahr Dauerbetrieb der Radio noch
P (mw − kw −
teil) = 0, 8 + 0, 6 − 0, 8 · 0, 6 = 0, 92, P (am − teil) = 0, 75 · 0, 92 = 0, 69, P (f m −
teil) = 0, 9 · 0, 8 = 0, 72, P (empf angsteil) = 0, 69 + 0, 72 − 0, 69 · 0, 72 = 0, 9132,
P (lautsprecher) = 0, 9+0, 9−0, 9·0, 9 = 0, 99, P (radio) = 0, 8·0, 9132·0, 9·0, 99 = 0, 6509
funktioniert (mindestens ein Wellenbereich, mindestens ein Lautsprecher).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
127
6.2. Zusammen gesetzte Aufgaben
6.2.15 Beispiel.
(Duell Anton mit Bert) Es wird nun ein Duell von Anton und Bert,
zweier guter Schützen, betrachtet. Anton hat eine Treerwahrscheinlichkeit von 1 (das
heiÿt von 100 %), während Bert eine Treerwahrscheinlichkeit von 0,8 (das heiÿt 80 %)
hat. Wenn beim Duell die Reihenfolge, in der geschossen werden darf, per Zufall bestimmt
wird, wie hoch sind die Überlebenschancen von Anton und Bert?
Wenn Anton zuerst schieÿen darf, dann wird er sofort Bert treen. Somit hat Anton
überlebt. Ist
p(A|A1)
die Wahrscheinlichkeit, dass Anton (A) überlebt, unter der Be-
dingung, dass Anton zuerst schieÿen darf (A1), so gilt
p(B|A1) = 0. Darf
keit von 0, 8 seinen
p(A|A1) = 1
und entsprechend
Bert zuerst schieÿen (B1), so trit er mit einer WahrscheinlichGegner. Mit einer Wahrscheinlichkeit von
0, 2
kann sein Gegner
zurück schieÿen. In diesem Fall trit Anton und das Duell ist beendet. Es gilt somit
p(A|B1) = 0, 8 · 0 + 0, 2 · 1 = 0, 2 (wobei 1 beziehungsweise 0 der Wert ist, ob Anton überlebt oder nicht) und p(B|B1) = 0, 8·1+0, 2·0 = 0, 8 (hier repräsentiert 1 beziehungsweise
0 den Wert, ob Bert überlebt oder nicht).
Für die Überlebenschancen von Anton gilt somit
p(A) = p(A1) · p(A|A1) + p(B1) · p(A|B1)
(6.33)
= 0, 5 · 1, 0 + 0, 5 · 0, 2 = 0, 6 .
A überlebt, wenn er zuerst schieÿen darf (das passiert mit der Wahrscheinlichkeit
p(A1))
oder mit ein Wahrscheinlichkeit von 20% (p(A|B1)), wenn Bert zuerst schieÿen darf. Die
Überlebenschancen von Bert berechnen sich durch
p(B) = p(A1) · p(B|A1) + p(B1) · p(B|B1)
(6.34)
= 0, 5 · 0, 0 + 0, 5 · 0, 8 = 0, 4 .
6.2.16 Beispiel.
(Duell Anton mit Claus) Beim Duell von Anton (Treerwahrschein-
lichkeit 100%) und Claus (Treerwahrscheinlichkeit von 50%) ergeben sich nach den
obigen Regeln Überlebenschancen von
6.2.17 Beispiel.
p(A) = 0, 75
und
p(C) = 0, 25.
(Duell Bert mit Claus) Wenn sich nun Bert und Claus duellieren?
Wenn zuerst Bert schieÿt, dann hat er trit er zu 80%. Zu 20% darf Claus schieÿen.
Dabei trit Claus nur zu 50%, zu den anderen 50% darf dann wieder Bert schieÿen,
die Ausgangssituation ist wieder erreicht. Die Überlebenschance von Bert errechnet sich
dadurch mit
p(B|B1) = 0, 8 · 1 + 0, 2 · (0, 5 · 0 + 0, 5 · p(B|B1))
(6.35)
= 0, 8 + 0, 1 · p(B|B1) .
Damit ergibt sich
0, 9 · p(B|B1) = 0, 8
und somit
p(B|B1) =
8
9 . Analog ergibt sich für
die Überlebenschance von Claus
p(C|B1) = 0, 8 · 0 + 0, 2 · (0, 5 · 1 + 0, 5 · p(C|B1))
(6.36)
= 0, 1 + 0, 1 · p(C|B1) .
128
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Damit ergibt sich
0, 9 · p(C|B1) = 0, 1
und somit
p(C|B1) =
1
9.
Darf Claus zuerst schieÿen, dann berechnen sich die Überlebenschancen von Bert durch
p(B|C1) = 0, 5 · 0 + 0, 5 · (0, 8 · 1 + 0, 2 · p(B|C1))
(6.37)
= 0, 4 + 0, 1 · p(B|C1)
und somit
0, 9 · p(B|C1) = 0, 4 und damit p(B|C1) =
4
9 . Die Überlebenschance von Claus
sind
p(C|C1) = 0, 5 · 1 + 0, 5 · (0, 8 · 0 + 0, 2 · p(C|C1))
(6.38)
= 0, 5 + 0, 1 · p(C|C1)
und somit
0, 9 · p(C|C1) = 0, 5
Daraus ergibt sich insgesamt
6.2.18 Beispiel.
und damit
p(B) =
p(C|C1) =
2
3 und
p(C) =
5
9.
1
3.
(Triell) Wenn Anton, Bert und Claus ein Triell durchführen, wobei am
Anfang die Reihenfolge beim Schieÿen zufällig bestimmt wird, dann müssen die Kontrahenten mit der folgenden Strategie herangehen: Anton muss zuerst Bert treen, entsprechend muss Bert zuerst Anton treen, da dies jeweils die schärfsten Kontrahenten sind.
Claus muss solange in die Luft schieÿen, bis nur noch ein Gegner da ist. Claus muss damit
sicher stellen, dass er, wenn einer der Gegner bereits weg ist, er den ersten Schuss auf
den verbleibenden Gegner abgeben kann. Damit sind es zwei Ereignisse. Zuerst ein Duell
zwischen Anton und Bert (DAB) und anschlieÿend ein Duell zwischen Claus und dem
Überlebenden des ersten Duells. Die Wahrscheinlichkeiten für das Überleben ergeben sich
dadurch zu:
p(A) = p(A|DAB) · p(A|C1 im DAC) = 0, 6 · 0, 5 = 0, 3
p(B) = p(B|DAB) · p(B|C1 im DBC) = 0, 4 ·
4
8
=
= 0, 178
9
45
p(C) = p(A|DAB) · p(C|C1 im DAC)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
+ p(B|DAB) · p(C|C1 im DBC)
5
47
= 0, 6 · 0, 5 + 0, 4 · =
= 0, 522
9
90
Hierbei bedeuten DAB = Duell zwischen Anton und Bert, DAC = Duell zwischen Anton
und Claus, DBC = Duell zwischen Bert und Claus.
Somit hat Claus ist besten Überlebenschancen, mit über 50%.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
129
6.3. Aufgaben
6.3. Aufgaben
6.3.1 Aufgabe.
Verdeutlichen Sie sich die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit am Bei-
spiel des Würfels.
6.3.2 Aufgabe.
Aus einem Spiel mit 32 Karten wird zufällig eine Karte gezogen. Es
ist P(Kreuz) = 0,25 und P(Ass) = 0,125. Bestimmen Sie P(Kreuz oder Ass) und von
P(Kreuz und Ass).
6.3.3 Aufgabe.
In einer Urne benden sich 200 Kugeln, von denen 70 blau sind und
die übrigen gelb. Auf 20 blauen Kugeln und 30 gelben Kugeln ist ein Stern gemalt. Wie
groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel blau ist oder mit einem
Stern bemalt ist?
6.3.4 Aufgabe.
eignis
Beim Werfen von zwei Würfeln soll die Wahrscheinlichkeit für das Er-
Summe der Augen höchstens 11
6.3.5 Aufgabe.
bestimmt werden.
Gegeben sei ein Gerät (G), das aus drei (technische) Komponenten A,
B und C besteht. Jede dieser Komponenten hat jeweils die Wahrscheinlichkeit von 0,9,
dass sie nach einem Jahr Betrieb noch aktiv sind. Die drei Ereignisse sind voneinander unabhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät nach einem Jahr
noch aktiv ist, wenn die drei Komponenten parallel geschaltet sind oder hintereinander
geschaltet sind?
6.3.6 Aufgabe. Gegeben sei ein Gerät (G), das aus n (technische) Komponenten Ki , i =
1, . . . , n besteht. Jede dieser Komponenten hat jeweils die Wahrscheinlichkeit von 0,5 (0,7;
0,9; 0,95; 0,99; 0,995), dass sie nach einem Jahr Betrieb noch aktiv sind. Die Komponenten
(Ereignisse) sind voneinander unabhängig. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Gerät nach einem Jahr noch aktiv ist, wenn die Komponenten parallel geschaltet sind
oder hintereinander geschaltet sind? Erstellen Sie dazu eine Tabelle.
6.3.7 Aufgabe.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Summe beim Würfeln
mit zwei unabhängigen Würfeln.
6.3.8 Aufgabe.
Es wird mit drei unterscheidbaren Würfeln gewürfelt. Wie groÿ ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme mindestens 7, aber weniger als 10 beträgt?
6.3.9 Aufgabe.
In einer Lostrommel mit 1000 gut gemischten Losen benden sich 10
Hauptgewinne (H) und 80 einfache Gewinne (E). Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
(a) einen Hauptgewinn,
(b) einen einfachen Gewinn,
(c) einen Hauptgewinn oder einen einfachen Gewinn zu ziehen.
130
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
6.3.10 Aufgabe.
In einer Urne benden sich 200 Kugeln, von denen 70 blau sind und
die übrigen gelb. Auf 20 blauen Kugeln und 30 gelben Kugeln ist ein Stern gemalt. Wie
groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel blau ist oder mit einem
Stern bemalt ist?
6.3.11 Aufgabe.
In einer Urne benden sich 7 blaue und 6 gelbe Kugeln. Es werden
nacheinander ohne Zurücklegen zwei Kugeln gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit,
beim zweiten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen, unter der Bedingung, dass beim ersten Zug
eine blaue Kugel gezogen wurde oder eine gelbe Kugel gezogen wurde?
6.3.12 Aufgabe.
P (C) = 0, 1
A, B und C , die
P (A) = 0, 3, P (B) = 0, 2 und
Eine Maschine besteht aus den drei Aggregaten
unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten
ausfallen. Die Maschine kann nur genutzt werden, wenn keines der drei Ein-
zelaggregate ausfällt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Maschine?
6.3.13 Aufgabe.
In einer Urne benden sich 12 blaue und 8 gelbe Kugeln. Es werden
nacheinander ohne Zurückziehen zwei Kugeln gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim dritten Zug eine gelbe Kugel zu ziehen, unter der Bedingung, dass
(a) beim ersten Zug eine blaue Kugel gezogen wird?
(b) beim ersten Zug eine gelbe Kugel gezogen wird?
6.4. Lösungen
6.4.1 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.1 -
6.4.2 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.2
P (Kreuz und Ass) = 1/32
P (Kreuz oder Ass) = P (Kreuz) + P (Ass) − P (Kreuz und Ass) = 11/32
6.4.3 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.3
P (blau) = 70/200, P (ST ern) = 50/200, P (blau oder Stern) = 100/200
6.4.4 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.4
Beim würfeln mir zwei Würfeln ist nur die die Augensumme gröÿer als elf, wenn zwei
Sechser gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist
1/36. Die Wahrscheinlichkeit
dafür höchstens die Augensumme elf zu haben ist damit das Komplement davon, also
35/36.
6.4.5 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.5
1 − (1 − 0, 9)3 = 0, 999
3
hintereinander: 0, 9 = 0, 729
parallel:
Version 6.0 - 019 24.06.2017
131
6.4. Lösungen
6.4.6 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.6
1 − (1 − p)n
n
hintereinander: p
parallel:
6.4.7 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.7
In der nachfolgenden Tabelle sind die verschiedenen Ergebnisse beim Würfeln mit zwei
Würfeln aufgeführt.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
In der nachfolgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Summen
aufgeführt.
Augen
Anzahl
P(Augen)
2
1
0,0278
3
2
0,0556
4
3
0,0833
5
4
0,1111
6
5
0,1389
7
6
0,1667
8
5
0,1389
9
4
0,1111
10
3
0,0833
11
2
0,0556
12
1
0,0278
36
1,0000
6.4.8 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.8
Es gibt insgesamt 216 (=
132
63 )
verschiedene Kombinationen für die Würfel.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 6. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Augen
Kombinationen
Anzahl
7
5-1-1
3
4-2-1
6
3-3-1
3
3-2-2
3
6-1-1
3
5-2-1
6
4-3-1
6
4-2-2
3
3-3-2
3
6-2-1
6
5-3-1
6
5-2-2
3
4-4-1
3
4-3-2
6
3-3-3
1
8
9
Gesamt
P (Augen)
15
0,0694
21
0,0972
25
0,1157
7-9
0,2824
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 0,2824!
6.4.9 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.9
10
P (H) = h(H)
N = 1000 = 0, 01
h(E)
80
(b) P (E) =
N = 1000 = 0, 08
(c) P (H ∪ E) = P (H) + P (E) = 0, 09
(a)
6.4.10 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.10
blau
gelb
Stern
20
30
50
ohne
50
100
150
70
130
200
6.4.11 Lösung.
P(blau oder Stern) = P(blau) + P(Stern) - P (blau
und Stern) =
50
20
70
200 + 200 - 200 = 0,5.
zu Aufgabe 6.3.11
Wird im ersten Zug eine blaue Kugel gezogen, dann sind noch sechs blaue und sechs
gelbe Kugeln in der Urne. Daher gilt
P (G2|B1) =
6
12
= 0, 500.
Wird im ersten Zug eine
gelbe Kugel gezogen, dann sind in der Urne noch sieben blaue und fünf gelbe Kugeln
enthalten. Daher gilt
P (G2|G1) =
5
12
= 0, 417.
Hierbei bedeuten: B1 = imersten. Zug wird eine blaue Kugel gezogen; G1 = im ersten
Zug wird eine gelbe Kugel gezogen; G2 = im zweiten Zug wird eine Kugel gezogen.
6.4.12 Lösung.
zu Aufgabe 6.3.12
Es ergibt sich
Version 6.0 - 019 24.06.2017
133
6.4. Lösungen
P(Maschine nicht okay)
=
P(A nicht okay oder B nicht okay oder C nicht okay)
=
P(nicht (A okay und B okay und C okay))
=
1 - P(A okay und B okay und C okay)
·
=
1 - P(A okay)
=
1 - (1 - P(A nicht okay))
·
P(B okay)
·
·
P(C okay)
(1 - P(B nicht okay))
(1 - P(C nicht okay))
=
1 - (1 - 0,3)
=
1 - 0,7
·
0,8
6.4.13 Lösung.
p(G3|B1)
=
· (1 - 0,2) · (1 - 0,1)
· 0,9 = 1 - 0,504 = 0,496
zu Aufgabe 6.3.13
p(B2|B1) · p(G3|B1B2)
+
p(G2|B1) · p(G3|B1G2)
=
11
19
·
8
18
+
8
19
·
7
144
18 = 342
+
p(G2|G1) · p(G3|G1G2)
=
12
19
·
7
18
+
7
19
·
6
126
18 = 342
8
=
19 = 0,421
p(G3|G1)
=
=
p(B2|G1) · p(G3|G1B2)
7
19 = 0,368
xi sei die Eigenschaft, dass im i. Zug die Farbe x (B blau oder G gelb) gezogen wird.
134
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 7.
Zufallsvariablen
Er wird zuerst (Abschnitt 7.1) der Begri Zufallsvariable erläutert. Danach (Abschnitt
7.2) werden Parameter für Zufallsparamater deniert.
7.1. Zufallsvariable
7.1.1 Anmerkung.
Zuerst wird der Begri
Zufallsexperiment
genauer beleuchtet.
Für ein Zufallsexperiment gilt:
•
Das Experiment wird unter klar denierten Bedingungen durchgeführt.
•
Die möglichen Ergebnisse (Ausgang des Experiments) sind vorher bereits bekannt.
•
Das Experiment kann (theoretisch) beliebig oft wiederholt werden.
7.1.2 Denition (Zufallsvariable).
Im
folgenden
werden
Zufallsexperimenten
be-
trachtet, deren Ergebnisse metrisch messbare Gröÿen sind.
Denition. Eine messbare Funktion
reelle Zahl X(ω) zuordnet, also
X,
die zu jedem Elementarereignis ω ∈ Ω eine
X : Ω → R, ω 7→ X(ω)
(7.1)
heiÿt Zufallsvariable. Eine Zufallsvariable, die abzählbar viele Werte annehmen kann,
heiÿt diskret. Eine Zufallsvariable, die überabzählbar viele Werte annehmen kann, heiÿt
stetig.
Für Zufallsvariable wird oftmals auch abgekürzt
7.1.3 Beispiel.
ZV gesetzt.
Eine diskrete Zufallsvariable ist die Zahl beim Würfeln mit einem Wür-
fel. Die Zufallsvariable X kann nur die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.
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7.1. Zufallsvariable
7.1.4 Beispiel.
Die als reelle Zahl gemessene Lebensdauer von Glühlampen ist eine
stetige Zufallsvariable. Die Lebensdauer kann in einem Intervall der reellen Zahlen jeden
beliebigen Wert annehmen.
7.1.5 Denition (Wahrscheinlichkeitsfunktion).
Bei der Verwendung von Zufalls-
variablen werden die Ergebnisse eines Zufallsexperiments durch reelle Zahlen beschrieben.
Die den Ereignissen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten werden dann den entsprechenden
Werten der Zufallsvariablen zugeordnet. Bei diskreten Zufallsvariablen bedeutet das: Für
ω 7→ X(ω)
gilt
P (X(ω)) = P (ω).
Denition. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable
X , welche die Werte xi , i =
1, . . . , n mit von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeiten P (X = xi ) = P (xi ) annehmen kann. Die Funktion fX (xi ) = P (xi ), die jedem xi die Wahrscheinlichkeit fX (xi )
zuordnet heiÿt Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion
fX
besitzt die einfache Eigenschaften
0 ≤ fX (xi ) ≤ 1
P
i fX (xi ) = 1). Nimmt die Zufallsvariax1 , . . . , xn mit von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeiten
fX (xi ) = P (xi ) (i = 1, . . . , n) an, so kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung in tabellariund die Summe über alle Werte ist gleich 1 (
ble nur endlich viele Werte
scher Form (siehe 7.1) angegeben werden:
xi
fX (xi )
x1
fX (x1 )
x2
fX (x2 )
...
...
xn
fX (xn )
Tabelle 7.1.: diskrete, endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung
Dabei sollen die Werte geordnet sind (x1
< x2 < . . . < xn ).
7.1.6 Denition (Verteilungsfunktion).
Eine Verteilungsfunktion gibt die Wahr-
scheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert hat.
Denition (Verteilungsfunktion). Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit
der Wahrscheinlichkeitsfunktion fX (x). Die Funktion
FX (x) = P (X ≤ x) =
X
fX (xi )
(7.2)
xi ≤x
heiÿt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X .
136
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Kapitel 7. Zufallsvariablen
FX
limx→∞ FX (x) = 1.
Eine Verteilungsfunktion hat folgende Eigenschaften:
seitig stetig,
limx→−∞ FX (x) = 0
und
7.1.7 Denition (Dichtefunktion).
ist monoton steigend, rechts-
Analog zu einer Wahrscheinlichkeitsfunktion für
eine diskrete Zufallsvariable gibt es die Dichtefunktion für stetige Zufallsvariablen.
Denition. Die Dichtefunktion fX (x) einer stetigen Zufallsvariablen X ist eine intervallweise stetige Funktion mit den Eigenschaften
Z
∞
und
fX (x)dx = 1
−∞
7.1.8 Beispiel.
fX (x) ≥ 0
(7.3)
Die Funktion
fX (x) =
ist eine Dichtefunktion. Für alle
0, 5 : 3 ≤ x < 5
0
: sonst
(7.4)
x ∈ R ist fX (x) ≥ 0 und die Fläche unter der Kurve hat
den Wert 1.
7.1.9 Beispiel.
Die Funktion

: 2≤x<4
 0, 25x − 0, 5
−0, 25x + 1, 5 : 4 ≤ x < 6
fX (x) =

0
: sonst
ist eine Dichtefunktion. Für alle
(7.5)
x ∈ R ist fX (x) ≥ 0 und die Fläche unter der Kurve hat
den Wert 1.
7.1.10 Bemerkung.
Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen gibt nicht die
Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable den Wert
x
annimmt. Mit Hilfe
der Dichtefunktion einer stetigen Funktion kann nur die Wahrscheinlichkeit bestimmt
werden, dass die Zufallsvariable
X
einen Wert in einem gegebenen Intervall annimmt.
Bemerkung. Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion fX (x).
Dann gilt
Z
P (a < X ≤ b) =
b
fX (x)dx.
(7.6)
a
Daher gilt bei einer stetigen Funktion stets
P (X = x0 ) = 0.
Daher gilt auch
P (a ≤ X ≤
b) = P (a < X < b).
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7.2. Parameter von Zufallsvariablen
7.1.11 Denition (Verteilungsfunktion).
Auch für eine stetige Zufallsvariable gibt
es eine Verteilungsfunktion.
Denition. Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion fX (x).
Die Funktion
Z
x
FX (x) = P (X ≤ x) =
fX (t) dt
(7.7)
−∞
heiÿt Verteilungsfunktion von X
Damit gilt
P (a < X ≤ b) =
Rb
a
fX (x)dx = FX (b) − FX (a).
7.2. Parameter von Zufallsvariablen
7.2.1 Anmerkung.
Zur Charakterisierung von Häugkeitsverteilungen werden in der
beschreibenden (deskriptiven) Statistik Lage- und Streuungsparameter bestimmt. Entsprechende Parameter können auch für Wahrscheinlichkeitsverteilungen bestimmt werden.
7.2.2 Denition (Erwartungswert).
Der Erwartungswert ist der Wert, den eine Zu-
fallsvariable im Mittel annimmt, es ist somit so etwas wie der Mittelwert.
Denition. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist deniert durch
E(X) =
n
X
xi · fX (xi )
(7.8)
i=1
für eine diskrete Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion fX , und
Z
∞
x · fX (x)dx
E(X) =
(7.9)
−∞
für stetige Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion fX .
Die Formel für den Erwartungswerten einer diskreten Zufallsvariablen hat eine sehr groÿe
Ähnlichkeit zur Formel für das arithmetische Mittel, wenn die Daten mit relativer Häugkeit gegeben sind. Der Erwartungswert kann grob als erwarteter Mittelwert interpretiert
werden.
138
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Kapitel 7. Zufallsvariablen
7.2.3 Denition (Moment).
Neben dem Erwartungswerte einer Zufallsvariablen gibt
es auch Erwartungswerte für Potenzen von Zufallsvariablen.
ein Zufallsvariable. Das m-te Moment E(X m ) ist bei einer
diskreten Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion fX deniert durch
Denition. Es sei
X
n
X
E(X m ) =
xm
i · fX (xi )
(7.10)
i=1
und bei einer stetigen Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion durch
Z
m
∞
E(X ) =
xm · fX (x)dx
(7.11)
−∞
Das nullte Moment hat den Wert 1. Das erste Moment ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen. Wie bei der beschreibenden Statistik können weitere Parameter deniert
werden, welche eine Aussage über die Streuung geben.
7.2.4 Denition (Varianz, Standardabweichung).
Wie
bei
der
beschreibenden
Statistik gibt es auch hier eine Varianz und eine Standardabweichung.
Denition. Die Varianz einer Zufallsvariablen X ist deniert durch
n
X
V AR(X) =
i=1
n
X
=
(xi − E(X))2 · fX (xi )
(7.12)
x2i · fX (xi ) − (E(X))2
i=1
für eine diskrete Zufallsvariablen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion fX , und
Z
∞
V AR(X) =
Z−∞
∞
=
(x − E(X))2 · fX (x)dx
(7.13)
x2 · fX (x)dx − (E(X))2
−∞
für stetige Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion fX .
Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung σX der Zufallsvariablen X (σX =
p
V AR(X)).
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139
7.2. Parameter von Zufallsvariablen
7.2.5 Bemerkung.
Die Varianz kann mit Hilfe von Erwartungswerten dargestellt wer-
den.
Bemerkung. Es sei X eine Zufallsvariable, dann gilt
V AR(X) = E(X 2 ) − E(X)2 ,
(7.14)
die Varianz ist also das zweite Moment minus dem Quadrat des ersten Moments.
7.2.6 Satz.
Für eine Linearkombination von unabhängigen Zufallsvariablen gilt folgende
Aussage:
Satz. Sind k stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xk mit den Erwar-
tungswerten E(Xi ) und den Varianzen V AR(Xi ) für i = 1, . . . , k gegeben, so gilt für
den Erwartungswert E(Y ) der Zufallsvariablen Y = a1 X1 + a2 X2 + · · · + ak Xk + b :
E(Y ) = a1 E(X1 ) + a2 E(X2 ) + · · · + ak E(Xk ) + b .
(7.15)
Für die Varianz gilt
V AR(Y ) = a21 V AR(X1 ) + a22 V AR(X2 ) + · · · + a2k V AR(Xk )
7.2.7 Beispiel.
riable
X
fX für die Zufallsvai = 1, · · · , 6. Für den
Beim Würfeln ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion
der Zahl beim Würfeln gegeben durch
Erwartungswert
(7.16)
E(X)
fX (i) =
1
6 für
gilt somit
E(X) =
6
X
i · fX (i) = 1 ·
i=1
1
1
+ · · · + 6 · = 3, 5.
6
6
(7.17)
1
1
= · 17, 5 = 2, 92
6
6
(7.18)
Für die Varianz ergibt sich
V AR(X) =
6
X
(i − 3, 5)2 ·
i=1
Für die Standardabweichung gilt somit
7.2.8 Beispiel.
√
2, 92 = 1, 71.
Gegeben sei die Dichtefunktion
fX (x) =
140
σX =
0, 5 : 3 < x < 5
0
: sonst
.
(7.19)
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Kapitel 7. Zufallsvariablen
Der Erwartungswert berechnet sich durch:
∞
Z
Z
5
x · 0, 5 dx
x · fX (x) dx =
E(X) =
−∞
(7.20)
3
5
Z
xdx = 0, 5 ·
= 0, 5 ·
3
1 2
x
2
5
= 4.
3
Die Varianz berechnet sich durch:
Z
∞
x2 · fX (x)dx − (E(X))2
V AR(X) =
(7.21)
−∞
Z
= 0, 5
3
7.2.9 Beispiel.
5
1
x dx − (E(X)) = 0, 5 x3
3
2
2
5
− 42 = 0, 33.
3
1
Für die Dauer einer Fahrt zwischen Autobahndreieck Karlsruhe und Autobahnkreuz
Stuttgart benötigt man normalerweise 30 Minuten, optimistisch benötigt man 20 Minuten, pessimistisch 60 Minuten. Die Abbildung 7.1 spiegelt die mögliche Verteilung wieder:
6
@
@
@
@
@
@
@
10
20
30
40
50
-
60
Abbildung 7.1.: Verteilung Zeitbedarf
Für die Vereinfachung der Rechnung wird als eine Einheit 10 Minuten angesetzt, das
heiÿt 1
=
ˆ
10 Minuten, 2
=
ˆ
20 Minuten, und so weiter.
Die Dauer sei durch die nachfolgende Dichtefunktion gegeben, die Normierung ist dabei
so gewählt, dass die Fläche unter der Kurve 1 ergibt, so dass es eben eine Dichtefunktion
ist.
fX (t) =
1


t−2
2
6−t
6

0
Dieses Beispiel ist inspiriert durch den Artikel
des Projektaufwands
: 2<t<3
: 3<t<6
: sonst
.
(7.22)
Die Drei-Punkt-Schätzmethode zur Kalkulation
von P. Gartner in Projektmanagement, 4/99, Seite 33 - 37
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141
7.2. Parameter von Zufallsvariablen
Es gilt
∞
3
Z 6
t−2
6−t
fX (t)dt =
dt +
dt
2
6
2
−∞
3
3
6
1
1
1 3
2
2
= (t − 2) − (6 − t) = + = 1
4
12
4 4
2
3
Z
Z
(7.23)
so dass die angegebene Funktion tatsächlich eine Dichtefunktion ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer kleiner oder gleich 20 Minuten beträgt:
Z
2
P (X ≤ 2) =
fX (t)dt = 0
(7.24)
−∞
Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Dauer kleiner oder gleich 20 Minuten
ist gleich 0 ist. Für die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufwand kleiner oder gleich 30
Minuten ist, ergibt sich:
Z
3
P (X ≤ 3) =
3
Z
fX (t)dt =
−∞
2
t−2
1
dt =
2
4
(7.25)
Dies bedeutet wiederum, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Dauer kleiner oder gleich
30 Minuten ist nur 25% beträgt. Der Erwartungswert für die Dauer ist
Z
∞
E(X) =
Z
tfX (t)dt =
−∞
2
3
t−2
dt +
t
2
Z
6
t
3
6−t
11
dt =
= 3, 667
6
3
Das heiÿt, der Erwartungswert für die Dauer beträgt
36 23
(7.26)
Minuten.
85
13
2
2
6 und damit V AR(X) = E(X )−E(X) = 18 .
Als Standardabweichung ergibt sich somit σX = 0, 850, das entspricht 8,5 Minuten.
Als weitere Daten ergeben sich
7.2.10 Anmerkung.
E(X 2 ) =
Für Schätzungen mit einem optimistischen (O), einem häugsten
(H) und einem pessimistischen (P) Wert kann der Erwartungswert auch mittels
O+H+P
3
O+3H+P
O+4H+P
oder mittels
ermittelt werden, wenn eine Dichtefunktion nicht
5
6
O+H+P
gegeben ist. Bei P. Gartner wird für den Erwartungswert
und für die Varianz
3
P −O 2
( 5 ) verwendet. Dies auf das obige Beispiel angewendet würde für den Erwartungswert
11
den Wert E(X) =
3 , das entspricht 36 Minuten und 40 Sekunden, ergeben. Für die
16
4
Varianz erhält man
25 und somit für die Standardabweichung 5 = 0, 8, das entspricht 8
oder
Minuten.
Bei Softwareprojekten werden oftmals auch optimistische (O), häugste (H) und pessimistische (P) Schätzungen für Teilaufgaben durchgeführt. Für jede Teilaufgabe kann
dann mittels der Formel
O+H+P
ein Erwartungswert geschätzt werden. Hat man vie3
le Teilaufgaben für eine Aufgabe, so kann der Projektaufwand als normalverteilt um
die Summe der Erwartungswerte der Teilaufgaben angesehen werden (Gesetz der groÿen
Zahlen). Die Varianz ist die Summe der Varianzen der Teilaufgaben, woraus sich die
Standardabweichung berechnen lässt. Die Normalverteilung wird später noch behandelt.
142
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Kapitel 7. Zufallsvariablen
7.2.11 Beispiel.
Ein Projekt besteht aus 10 Teilaufgaben. Jede Teilaufgabe hat einen
Aufwand von 10 (Erwartungswert) und einer Standardabweichung von 1 (damit ist auch
die Varianz jeder Teilaufgabe gleich 1). Das Projekt hat somit für den Aufwand einen
Erwartungswert von 100 (Summe der einzelnen Erwartungswert). Die Summe der Vari-
√
anzen ist 10, somit ist die Standardabweichung gleich
10 = 3, 16
und somit (deutlich)
geringer als die Summe der einzelnen Standardabweichung.
Die Standardabweichung hier besagt jedoch nur, dass mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit der Wert in dem Bereich Erwartungswert plus / minus Standardabweichung ist.
7.2.12 Anmerkung.
Bei Projektschätzungen wird oftmals für jede Aufgabe der opti-
mistische Wert genommen und die Summe der optimistischen Werte als Aufwand für
das Projekt genommen. Dieses Projekt wird von vorne herein eine Überschreitung des
Aufwands haben. Die Summe der Erwartungswerte ist der Aufwand, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% erreicht oder unterschritten wird.
7.3. Aufgaben
7.3.1 Aufgabe.
Eine Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung ge-
mäÿ Tabelle 7.2
xi
fX (xi )
2
3
5
8
9
0,1
0,4
0,2
0,1
0,2
Tabelle 7.2.: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz.
7.3.2 Aufgabe.
Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable
X.
Die zugehörige Dichtefunk-
tion lautet:
fX (x) =
0, 5x − 1 : 2 < x < 4
0
: sonst
.
(7.27)
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit
7.3.3 Aufgabe.
P (2, 5 < X < 3, 5).
Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable
X.
Die zugehörige Dichtefunk-
tion lautet:
fX (x) =
3x2
0
: 0<x<1
: sonst
.
(7.28)
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert und die Varianz. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit
P (0, 2 < X < 0, 5).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
143
7.4. Lösungen
7.3.4 Aufgabe.
Es sei die Funktion
fX (x)
2x − 2 : 1 ≤ x < 2
0
: sonst
fX (x) =
Zeigen Sie, dass
fX (x)
gegeben durch
(7.29)
eine Dichtefunktion ist. Zeichnen Sie die Dichtefunktion! Bestim-
FX (x). Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion. Bestimmen
P (1, 2 ≤ X ≤ 1, 4).
men Sie die Verteilungsfunktion
Sie die Wahrscheinlichkeit
7.3.5 Aufgabe.
Ein Eisverkäufer erzielt bei schönem Wetter einen Tagesgewinn von 100
Euro, bei Regen von 50 Euro und bei Schneefall macht er einen Verlust von 70 Euro.
Die Wahrscheinlichkeit für schönes Wetter beträgt p(S) = 0,5 und für Regen p(R) = 0,3.
Wie hoch ist der Erwartungswert des täglichen Gewinns für den Eisverkäufer?
7.4. Lösungen
7.4.1 Lösung.
zu Aufgabe 7.3.1
Es gelten
E(X) = 2 · 0, 1 + 3 · 0, 4 + 5 · 0, 2 + 8 · 0, 1 + 9 · 0, 2 = 5
E(X 2 ) = 22 · 0, 1 + 32 · 0, 4 + 52 · 0, 2 + 82 · 0, 1 + 92 · 0, 2 = 31, 6
V AR(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 31, 6 − 52 = 6, 6
7.4.2 Lösung.
Für alle
x∈R
Z
zu Aufgabe 7.3.2
ist
f (x) ≥ 0.
∞
Darüber hinaus gilt
Z
fX (x) dx =
−∞
und somit ist
Für
fX (x)
2
4
1 1 2
0, 5x − 1 dx =
· x −x
2 2
4
= 0 − (−1) = 1
2
ist tatsächlich eine Dichtefunktion.
FX (x) den Wert 0, für x ≥ 4 hat die Verteilungs2 ≤ x < 4 gilt
x
Z x
Z x
1
1 1 2
1
FX (x) =
fX (t) dt =
t − 1 dt =
· t − t = x2 − x + 1 .
2 2
4
−∞
2 2
2
x<2
hat die Verteilungsfunktion
funktion den Wert 1. Für
Damit ergibt sich für die Verteilungsfunktion
FX (x) =

 0
1 2
4x

144
1
x<2
−x+1 2≤x<4
x≥4
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 7. Zufallsvariablen
Es gelten
P (2, 5 ≤ x < 3, 5) = FX (3, 5) − FX (2, 5) = 0, 5625 − 0, 0625 = 0, 5
P (3, 5 ≤ x < 4, 5) = FX (4, 5) − FX (3, 5) = 1 − 0, 5625 = 0, 4375
Für den Erwartungswert gilt
Z
4
E(X) =
2
1 2
10
1 1 3 1 2 4 8
2
=
x − x dx =
· x − x
= − −
.
2
2 3
2
3
3
3
2
Für die Berechnung der Standardabweichung wird zuerst die Varianz mit Hilfe der Formel
V AR(X) = E(X 2 ) − E(X)2
berechnet.
1 1 4 1 3 4 32
2
34
1 3
2
x − x dx =
· x − x
=
− −
=
,
E(X ) =
2 4
3
3
3
3
2 2
2
2
34
10
2
V AR(X) =
−
= und
3
3
9
r
√
2
2
=
= 0, 4714 .
σX =
9
3
2
7.4.3 Lösung.
Z
Z
4
zu Aufgabe 7.3.3
∞
Z
0
fX (x)dx =
−∞
Z
1
0dx +
Z
2
3x dx +
−∞
0
1
∞
1
0dx = 0 + x3 0 + 0 = 1
Da dieses Integral den Wert 1 hat, und die Funktionswerte stets gröÿer oder gleich 0
sind, ist
fX
eine Dichtefunktion.
Es gilt
Z
x
fX (ξ)dξ
FX (x) =
−∞
Damit ist für
hungsweise
1.
x < 0 beziehungsweise für x ≥ 1 die Verteilungsfunktion
0 ≤ x < 1, dann gilt
Z x
x
FX (x) =
fX (ξ)dξ = ξ 3 0 = x3
gleich
0
bezie-
Sei
0
Damit ergibt sich für die Verteilungsfunktion:

 0
x3
FX (x) =

1
Version 6.0 - 019 24.06.2017
: x<0
: 0≤x<1
: 1≤x
145
7.4. Lösungen
P (0, 2 ≤ X < 0, 4) = FX (0, 4) − FX (0, 2) = 0, 43 − 0, 23 = 0, 056
∞
Z
Z
xfX (x)dx =
E(X) =
−∞
Z∞
0
2
1
3 1 3
3x3 dx = x4 0 =
4
4
2
Z1
x fX (x)dx − E(X) =
V AR(X) =
−∞
2
3
3x dx −
4
4
0
3 1
9
3
9
3
= x5 0 −
= −
=
5
16
5 16
80
7.4.4 Lösung.
Z
zu Aufgabe 7.3.4 Die Funktion
∞
Z
fX (x)dx =
−∞
Für
1<x<2
fX (x)
ist stets gröÿer oder gleich 0.
2
2x − 2dx = (x2 − 2x)|21 = (4 − 4) − (1 − 2) = 1
1
gilt:
Z
FX (x) =
x
2ξ − 2dξ = (ξ 2 − 2ξ)|x1 = (x2 − 2x) − (1 − 2) = (x − 1)2
1

 0
(x − 1)2
FX (x) =

1
: x≤1
: 1<x≤2
: 2<x
P (1, 2 ≤ X ≤ 1, 4) = FX (1, 4) − FX (1, 2) = 0, 42 − 0, 22 = 0, 16 − 0, 04 = 0, 12
7.4.5 Lösung.
zu Aufgabe 7.3.5
E(Gewinn)
= p(S) · 100 Euro + p(R) · 50 Euro + p(Schnee) · (−70 Euro)
= 0, 5 · 100 Euro + 0, 3 · 50 Euro − 0, 2 · 70 Euro
= 51 Euro.
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt 51 Euro.
146
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Kapitel 8.
Spezielle Verteilungen
In diesem Kapitel werden einige spezielle, oft verwendete Verteilungen dargestellt. Es
sind sowohl diskrete als auch stetige Verteilungen.
8.1. Diskrete Gleichverteilung
Zuerst eine der einfachsten Verteilungen.
8.1.1 Denition (Diskrete Gleichverteilung).
Das
Kennzeichen
einer
diskreten
Gleichverteilung ist die Tatsache, dass für alle Ereignisse die Wahrscheinlichkeit gleich
groÿ ist.
Denition. Ist X ein diskrete Zufallsvariable, welche die Werte xi (i = 1, . . . , n) mit
den positiven Wahrscheinlichkeiten n1 annimmt und sonst den Wert 0 annimmt, dann
heiÿt X gleichverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
fX (xi ) =
1
n
f ür
i = 1, 2, . . . , n
(8.1)
und die Verteilungsfunktion:
FX (x) =

 0
i
n

8.1.2 Bemerkung.
1
:
:
:
x < x1
xi ≤ x < xi+1 f ür i = 1, ·, n − 1
xn ≤ x
.
(8.2)
Erwartungswert und Varianz der diskreten Gleichverteilung.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
147
8.2. Stetige Gleichverteilung
Bemerkung. Es gelten für Erwartungswert und Varianz
n
1X
E(X) =
xi
n
(8.3)
i=1
und
n
1X 2
xi − E(X)2
V AR(X) =
n
(8.4)
i=1
Der Erwartungswert und die Varianz habe eine groÿe Ähnlichkeit mit dem Mittelwert
und der Varianz in der beschreibenden Statistik, wen die Beobachtungen mit relativer
Häugkeit gegeben sind.
8.1.3 Beispiel.
Beispiele für diskrete Gleichverteilungen sind: Wurf einer Münze (n =
2), Würfeln (n = 6)
8.2. Stetige Gleichverteilung
Das Pendant zur diskreten Gleichverteilung ist die stetige Gleichverteilung.
8.2.1 Denition (Stetige Gleichverteilung).
Die
Dichtefunktion
einer
stetigen
Gleichverteilung ist konstant.
Denition. Ist X eine stetige Zufallsvariable, deren Dichtefunktion im Intervall (a, b)
positiv und konstant und sonst 0 ist, dann heiÿt X
funktion
fX (x) =
1
b−a
0
gleichverteilt und hat die Dichte-
:
:
a<x<b
sonst
:
:
:
x<a
a≤x<b
b≤x
(8.5)
sowie die Verteilungsfunktion
FX (x) =

 0
x−a
b−a

8.2.2 Bemerkung.
148
1
.
(8.6)
Erwartungswert und Varianz ist einfach zu berechnen.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
Bemerkung. Es gelten für den Erwartungswert und die Varianz
E(X) =
b+a
2
(8.7)
(b − a)2
12
(8.8)
und
V AR(X) =
8.3. Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung. Bei mehreren Wiederholungen des
Experiments ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis stets konstant. Es ist die Frage,
wie oft kommt dieses Ereignis vor.
8.3.1 Denition (Binomialverteilung).
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
A
ist bei jedem Experiment gleich.
Denition. Bei einem Zufallsexperiment sind nur die Ereignisse A und A möglich. Mit
der Wahrscheinlichkeit p(A) = Θ tritt das Ereignis A ein, mit der Wahrscheinlichkeit
p(A) = 1 − p(A) = 1 − Θ tritt das Ereignis A ein. Das Zufallsexperiment wird n-mal
wiederholt (Bernoulli-Experiment). Für die Zufallsvariable X , welche die Anzahl der
Ausführungen des Zufallsexperiments mit dem Ereignis A angibt, erhält man dann eine
Binomialverteilung. Diese hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion
n
fX (x) =
Θx (1 − Θ)n−x
x
(8.9)
für x = 0, 1, · · · , n. Die Binomialverteilung besitzt die Parameter n und Θ. Man nennt
X deshalb auch B(n; Θ) − verteilt und bezeichnet eine Binomialverteilung mit den Parametern n und Θ mit B(x|n; Θ).
8.3.2 Bemerkung.
Erwartungswert und Varianz sind im Folgenden angegeben.
Bemerkung. Für eine B(n; Θ)-verteilte Zufallsvariable gelten
E(X) = nΘ
Version 6.0 - 019 24.06.2017
(8.10)
149
8.4. Hypergeometrische Verteilung
und
V AR(X) = nΘ(1 − Θ)
8.3.3 Beispiel.
Eine Münze, deren Vorderseite eine
1
(8.11)
und deren Rückseite eine
0
auf-
weist, wird 4 mal geworfen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ergebnissumme
(Summe der jeweils oben liegenden Zahl) erhält man aus der Binomialverteilung die
nachfolgende Wahrscheinlichkeitsfunktion (siehe Tabelle 8.1).
xi
fX (xi )
0
1
2
3
4
1
16 = 0,0625
4
16 = 0,25
6
16 = 0,375
4
16 = 0,25
1
16 = 0,0625
Tabelle 8.1.: Beispiel
Die Ergebnissumme ist
8.3.4 Satz.
B(4; 0, 5)-Verteilung
B(4; 0, 5)-verteilt.
Zwei binomialverteilte Zufallsvariablen können unter bestimmten Bedinun-
gen verknüpft werden.
Satz. Ist X ein B(n; Θ)-verteilte Zufallsvariable und Y ein B(m; Θ)-verteilte Zufallsvariable und sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch unabhängig, so ist die Zufallsvariable X + Y B(n + m; Θ)-verteilt.
Wichtig ist hierbei, dass die beiden Binomialverteilungen dieselbe Wahrscheinlichkeit
für das Ereignis
A
Θ
haben.
8.3.5 Anmerkung.
Approximationsmöglichkeiten für Binomialverteilungen
nΘ ≤ 10 und n ≥ 1500Θ, dann ist eine B(n; Θ)-verteilte Zufallsvariable näherungsweiµ = nΘ, also P s(nΘ)-verteilt.
Für nΘ(1 − Θ) > 9 ist eine B(n; Θ)-verteilte Zufallsvariable näherungsweise normalver2
teilt (siehe Abschnitt 8.8) mit den Parametern µ = nΘ und σ = nΘ(1 − Θ), also ist sie
p
näherungsweise N (nΘ;
nΘ(1 − Θ))-verteilt.
Ist
se poissonverteilt (siehe Abschnitt 8.6) mit dem Parameter
8.4. Hypergeometrische Verteilung
Nun verändert sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Experiment.
150
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
8.4.1 Denition (Hypergeormetrische Verteilung).
verteilung die Wahrscheinlichkeit
Während bei der Binomial-
Θ für das Auftreten des Ereignisses A bei jeder Durch-
führung des Zufallsexperiments gleich ist, ist dies bei der Hypergeometrischen Verteilung
nicht der Fall. Als Beispiel kann hier das Urnenmodell fungieren, wobei die gezogenen
Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden.
Denition. Von N Elementen, von denen M die Eigenschaft A besitzen, werden zufällig n Elemente ohne Zurücklegen entnommen. Für die Wahrscheinlichkeit fX (x), x
Elemente mit der Eigenschaft A auszuwählen, gilt:
M
N −M
x
n−x
fX (x) =
N
n
(8.12)
Das ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen
Die Hypergeometrische Verteilung enthält 3 Parameter:
mente),
M
N
(gesamte Anzahl der Ele-
n (Anzahl der
H(x|N ; M ; n) und spricht
(Anzahl der Elemente mit der besonderen Eigenschaft) und
Elemente, die ausgewählt werden). Man schreibt häug kurz
von einer
Verteilung.
H(N ; M ; n)-verteilten
8.4.2 Bemerkung.
Zufallsvariablen.
Für Erwartungswert und Varianz gelten:
Bemerkung. Es gelten
E(X) = n
M
N
(8.13)
und
V AR(X) =
8.4.3 Beispiel.
n(N − n) M
M
(1 −
).
N −1 N
N
(8.14)
Beim Zahlenlotto (6 aus 49) werden Zahlen ohne Zurücklegen gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit für 3, 4, 5 oder 6 Richtige erhält man durch die Hypergeometrische
Version 6.0 - 019 24.06.2017
151
8.5. Geometrische Verteilung
Verteilung mit den Parametern N = 49, M = 6 und n = 6.
6
3
H(3|49; 6; 6) =
49−6
6−3
49
6
=
20 · 12341
= 0, 0176504038
13983816
H(4|49; 6; 6) = 0, 0009686197
H(5|49; 6; 6) = 0, 0000184499
H(6|49; 6; 6) = 0, 0000000715
8.4.4 Beispiel.
Beim Zahlenlotto
6 aus 49
gibt es auch Tippscheine, auf denen man
bis zu 12 Zahlen ankreuzen kann. In diesem Fall ist
N = 49, M = 6
und
n = 12.
Die
Wahrscheinlichkeit für 6 beziehungsweise 3 Richtige sind
6
43
·
1
6
6
=
= 0, 0000661
H(6|49; 6; 12) =
49
15.134
12
(8.15)
6
43
·
925
3
9
=
H(3|49; 6; 12) =
= 0, 122
49
7.567
12
(8.16)
8.4.5 Anmerkung.
M
N
Approximationsmöglichkeiten für Hypergeometrische Verteilungen:
0, 1 <
< 0, 9 und n > 10 und
n
N
< 0, 05 kann eine H(N ; M ; n)-verteilte ZufallsvaM
riable durch eine Binomialverteilung (siehe Abschnitt 8.3) eine B(n;
N )-verteilte ZufallsM
<
0,
9
und n > 30 kann eine H(N ; M ; n)variable approximiert werden. Für 0, 1 <
N
Für
verteilte Zufallsvariable approximiert werden durch eine normalverteilte Zufallsvariable
(siehe Abschnitt 8.8)
N (n M
N;
q
nM
N (1 −
M N −n
N ) N −1 ).
8.5. Geometrische Verteilung
Nun ist nicht von Interesse, wie oft eine Ereignis vorkommt, sondern wann ein Ereignis
zum ersten Mal vorkommt.
8.5.1 Denition (Geometrische Verteilung).
Bei
der
geometrischen
Verteilung
wird ein Bernoulli-Experiment durchgeführt, wie bei der Binomialverteilung. Betrachtet
X , welche die Anzahl der unabhängigen Versuche angibt, die bis
des Ereignisses A vergehen.
wird die Zufallsvariable
zum ersten Auftreten
152
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
Denition. Bei einem Zufallsexperiment sind nur die Ereignisse A und A möglich. Mit
der Wahrscheinlichkeit p(A) = Θ tritt das Ereignis A ein, mit der Wahrscheinlichkeit
p(A) = 1−p(A) = 1−Θ tritt das Ereignis A ein. Das Zufallsexperiment wird unabhängig
wiederholt (Bernoulli-Experiment). Für die Zufallsvariable X , welche die Anzahl der
Ausführungen des Zufallsexperiments angibt, bis das Ereignis A eintritt, erhält man
dann eine geometrische Verteilung. Diese hat die Wahrscheinlichkeitsfunktion
fX (x) = Θ(1 − Θ)x−1
x = 1, 2, · · ·
(8.17)
und die Verteilungsfunktion
FX (x) =
0
1 − (1 − Θ)m
:
:
x<1
m ≤ x < m + 1, m = 1, 2, · · ·
.
(8.18)
Die geometrische Verteilung besitzt den Parameter Θ.
8.5.2 Bemerkung.
Für Erwartungswert und Varianz gelten:
Bemerkung. Für eine geometrisch-verteilte Zufallsvariable gilt
E(X) =
1
Θ
(8.19)
und
V AR(X) =
8.5.3 Beispiel.
1−Θ
.
Θ2
(8.20)
Wahrscheinlichkeit, dass beim 10. Spiel zum ersten Mal rot
9
( 19
37 ) = 0, 001208.
2, 05556.
Der Erwartungswert für die Anzahl der
8.5.4 Anmerkung.
Für
Θ < 0, 1
p(R) = Θ = 18
37 . Die
18
eintritt ist fX (10) =
37 ·
37
Spiele ist E(X) =
18 =
Beim Roulette ist die Wahrscheinlichkeit für rot
Approximationsmöglichkeiten für Geometrische Verteilungen
ist die geometrisch verteilte Zufallsvariable
verteilt (siehe Abschnitt 8.7) mit dem Parameter
X
näherungsweise exponential-
λ = Θ.
8.6. Poissonverteilung
Eine weitere diskrete Verteilung
Version 6.0 - 019 24.06.2017
153
8.6. Poissonverteilung
8.6.1 Denition (Poissonverteilung).
Bei
der
Durchführung
eines
Bernoulli-
Experiments und der Anwendung der Binomialverteilung liegt manchmal die Situation
vor, dass die Wahrscheinlichkeit
Anzahl
Θ
für das Eintreten des Ereignissen
A
sehr klein ist, die
n der Ausführungen jedoch sehr groÿ. Dies tritt beispielsweise bei der Produktion
von Gütern auf. Der Ausschuss ist gering, die produzierte Masse jedoch hoch.
Ist
nΘ
konstant und geht
gegen des Term
Θ
gegen
0, dann geht der Term
n
Θx (1 − Θ)n−x
x
(nΘ)x −nΘ
. Für die Konstante
x! e
nΘ
(8.21)
setzt man
µ.
Denition. Eine diskrete Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
fX (x) =
µx −µ
e
x!
, x = 0, 1, 2, · · ·
(8.22)
heiÿt Poissonverteilung oder poisson-verteilt mit dem Parameter µ. Man spricht auch
von einer P s(µ)-verteilten Zufallsvariablen X und schreibt für die Wahrscheinlichkeitsfunktion P s(x|µ).
8.6.2 Bemerkung.
Für Erwartungswert und Varianz gelten:
Bemerkung. Für Erwartungswert und Varianz gelten
E(X) = µ
(8.23)
V AR(X) = µ.
(8.24)
und
8.6.3 Anmerkung.
Anwendung ndet die Poisson-Verteilung unter anderem bei der
Untersuchung über
•
Anzahl der pro Minute ankommenden Telefongespräche in einer Telefonvermittlung.
154
•
Anzahl der Kraftfahrzeuge, die pro Minute an einem Punkt vorbeifahren.
•
Anzahl der Fadenbrüche pro Zeitraum in einer Spinnerei.
•
Anzahl von Druckfehlern pro Seite in Büchern.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
8.6.4 Beispiel.
Bei einer Verkehrszählung wurde die Anzahl der pro Zeitintervall von
einer Minute an einem Punkt vorbei fahrenden Fahrzeuge festgestellt. Für eine Dauer
von 200 Minuten ergab sich die Resultate gemäÿ Tabelle 8.2
Anzahl der Fahrzeuge pro Intervall
Häugkeit
0
1
2
3
4
5
110
65
21
3
1
0
Tabelle 8.2.: Beispiel: Fahrzeugzählung
Für den Mittelwert und die Varianz ergeben sich jeweils
Poissonverteilung mit dem Parameter
µ = 0, 6
0, 6.
Daher kann von einer
ausgegangen werden. Damit kann die
theoretische Häugkeit ermittelt werden (siehe 8.3).
xi
P s(xi |0, 6)
200 · P s(xi |0, 6)
0
1
2
3
4
5
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0004
110
66
20
4
1
0
110
65
21
3
1
0
Häugkeit
Tabelle 8.3.: Beispiel: Poissonverteilung
8.6.5 Bemerkung.
Unter bestimmten können zwei poissonverteilte Zufallsvariablen
verknüpft werden.
Bemerkung. Für poissonverteilte unabhängige Zufallsvariablen X und Y mit den Pa-
rametern µ und λ gilt, dass die Zufallsvariable Z = X + Y ebenfalls poissonverteilt ist.
Der Parameter von Z ist µ + λ.
8.6.6 Anmerkung.
Für
µ ≥ 10
ist eine
Approximationsmöglichkeiten für Poissonverteilungen
P s(µ)-verteilte
Abschnitt 8.8) mit dem Parameter
Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt (siehe
µ
und
√
µ,
das heiÿt sie ist
N (µ;
√
µ)-verteilt.
8.7. Exponentialverteilung
Die Exponentialverteilung ist eine stetige Verteilung.
8.7.1 Denition (Exponentialverteilung).
Für manche Anwendungen, insbesondere
in der Theorie der Warteschlangen spielt die Exponentialverteilung eine wichtige Rolle.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
155
8.8. Normalverteilung
Denition (Exponentialverteilung). Eine stetige Zufallsvariable
tefunktion
fX (x) =
λe−λx
0
f ür x ≥ 0; λ > 0
sonst
:
:
X
mit der Dich-
.
(8.25)
und der Verteilungsfunktion
FX (x) =
1 − e−λx
0
:
:
f ür x ≥ 0; λ > 0
sonst
.
(8.26)
heiÿt Exponentialverteilung oder exponentialverteilt mit dem Parameter λ.
8.7.2 Bemerkung.
Für Erwartungswert und Varianz gelten
Bemerkung. Für den Erwartungswert und die Varianz einer exponentialverteilten Zu-
fallsvariablen X gelten:
E(X) =
1
λ
(8.27)
und
V AR(X) =
1
.
λ2
(8.28)
8.8. Normalverteilung
Die Normalverteilung ist eine wichtigste aber nicht ganz einfache Verteilung.
8.8.1 Denition (Normalverteilung).
Die Normalverteilung ist die wichtigste stetige
Verteilung. Sie spielt bei nahezu allen Anwendungen der Statistik eine wichtige Rolle.
Denition. Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
1
(x − µ)2
fX (x) = √ exp(−
)
2σ 2
σ 2π
(8.29)
heiÿt Normalverteilung oder normalverteilt mit den Parametern µ und σ. Eine Normalverteilung mit den Parametern µ und σ wird mit N (µ; σ) bezeichnet. Die Zufallsvariable heiÿt dann auch N (µ; σ)-verteilt.
156
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
8.8.2 Bemerkung.
Für Erwartungswert und Varianz gelten:
Bemerkung. Für eine normalverteilte Zufallsvariable X gelten
E(X) = µ
(8.30)
V AR(X) = σ 2 .
(8.31)
und
8.8.3 Anmerkung.
ihr Maximum bei
µ.
Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist symmetrisch und hat
Je kleiner das
σ
ist, desto höher ist das Maximum und desto enger
ist die Kurve um die Spiegelachse gelegt.
P (x1 ≤ X ≤ x2 ) gilt
Z x2
fX (x)dx
P (x1 ≤ X ≤ x2 ) =
Für die Wahrscheinlichkeit
x1
Z x2
=
x1
(8.32)
1
(x − µ)2
√ exp(−
)dx
2σ 2
σ 2π
8.8.4 Denition (Standardnormalverteilung).
Die
Verteilungsfunktion
der
Nor-
malverteilung, das heiÿt das Integral der Dichtefunktion, ist mit Hilfe elementarer Funktionen nicht explizit darstellbar. Die Werte werden in der Regeln mittels einer Tabelle
angegeben. Dabei sind in der Tabelle nur die Werte von
N (0; 1)
hinterlegt.
Denition. Die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 1, also N (0; 1), heiÿt Standardnormalverteilung.
8.8.5 Bemerkung.
Wie kann die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine normal-
verteilte Zufallsvariable auf die Berechnung mit der Standardnormalverteilung übertragen werden?
Bemerkung. Ist X eine N (µ; σ)-verteilte Zufallsvariable, dann ist die lineare Transformation Y = aX + b, a, b ∈ R eine N (aµ + b; |a| · σ)-verteilte Zufallsvariable.
Mit a = σ1 und b = − σµ ist Z = aX + b oder Z = σ1 X −
standardnormalverteilt. Es gilt dann
p(x1 ≤ X ≤ x2 ) = p
Version 6.0 - 019 24.06.2017
µ
σ
ein N (0; 1)-verteilt oder
x1 − µ
x2 − µ
≤Z≤
σ
σ
.
(8.33)
157
8.9. Aufgaben
Auf Grund dieser Bemerkung genügt die Tabelle für die Standardnormalverteilung, da
daraus dann die Werte für die anderen Normalverteilungen durch eine lineare Transformation gewonnen werden können.
8.8.6 Anmerkung.
Im Anhang (siehe A.2) ist eine detailliertere Tabelle für die Stan-
dardnormalverteilung aufgeführt.
Ist
X
ein standardnormalverteilte Zufallsvariable, dann gelten :
p(X ≤ 1) = 0, 84134
p(−1 ≤ X ≤ 1) = 0, 84134 − (1 − 0, 84134) = 0, 68268
p(−2 ≤ X ≤ 2) = 0, 97725 − (1 − 0, 97725) = 0, 95450
8.8.7 Beispiel.
Die Brenndauer von Glühlampen sei normalverteilt mit dem Mittelwert
von 900 Stunden und einer Standardabweichung von 100 Stunden. Es gelten somit
900
und
σ = 100.
Damit ist die Zufallsvariable
Z=
µ=
X−µ
standardnormalverteilt. In der
σ
Tabelle 8.4 sind einige Beispiele berechnet.
750 ≤ X ≤ 1050
800 ≤ X ≤ 1050
X ≤ 650
X ≤ 800
1200 ≤ X
X ≤ 800 or
1200 ≤ X
−1, 5 ≤ Z ≤ 1, 5
−1 ≤ Z ≤ 1, 5
Z ≤ −2, 5
Z ≤ −1
3≤Z
Z ≤ −1 or
3≤Z
0,93319 - (1 - 0,93319)
0,86638
0,93319 - (1 - 0,84134)
0,77453
(1 - 0,99379)
0,00621
(1 - 0,84134)
0,15866
1 - 0,99865
0,00135
0,15866 +
0,16001
0,00135
Tabelle 8.4.: Beispiel: Brenndauer Glühbirnen
8.8.8 Satz.
Wenn man zwei normalverteilte Zufallsvariablen hat, so ist auch die Summe
dieser beiden Zufallsvariablen wieder normalverteilt.
Satz. Gegeben seien zwei N (µ1 ; σ1 )- und N (µ2 ; σ2 )-verteilte unabhängige Zufallsvariablen X1 und X2 . Die Zufallsvariable
X = X1 + X2 ist wieder
p
p normalverteilt mit den
2
2
Parametern µ1 + µ2 und σ1 + σ2 , sie ist also N (µ1 + µ2 ; σ12 + σ22 )-verteilt.
8.8.9 Anmerkung.
Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen, da sich
bei Experimenten und Beobachtungen die Zufallsvariable näherungsweise normalverteilt.
8.9. Aufgaben
8.9.1 Aufgabe.
(Binomialverteilung) In einer Produktionserie ist die Wahrscheinlich-
keit für ein defektes Teil
158
Θ.
Die Anzahl der defekten Teile, wenn
n
Elemente aus der
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
Produktion zufällig ausgewählt und untersucht werden ist
B(x|n; Θ) für x = 0, 1, · · · , 4
n = 4, Θ = 0, 2
(b) n = 4, Θ = 0, 1
(c) n = 10, Θ = 0, 01
(d) n = 100, Θ = 0, 01
Sie
B(n; Θ)-verteilt.
Bestimmen
für
(a)
8.9.2 Aufgabe.
(Geometrische Verteilung) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
sie beim Würfeln 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oder 10 Würfe benötigen, bis Sie eine 6 würfeln.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 20, 30, 40 oder 50 Würfe benötigen?
8.9.3 Aufgabe.
(n
= 300)
(Poissonverteilung) In einem Skript mit 500 (Θ
=
1
500 ) Seiten sind 300
Druckfehler zufällig verteilt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) genau 2 oder
(b) mindestens 2 Fehler
auf einer bestimmten, zufällig gewählten Seite enthalten sind.
8.9.4 Aufgabe.
(Normalverteilung) Ein Unternehmen stellt Kondensatoren her, deren
Kapazität normalverteilt ist mit
µ
= 100 (pF) und
σ
= 0,2. Wie viel Prozent Ausschuss
sind zu erwarten, wenn die Kapazität der Kondensatoren
(a) mindestens 99,8 pF;
(b) höchstens 100,6 pF betragen soll;
(c) um maximal 0,3 pF vom Sollwert 100 pF
abweichen darf ?
8.9.5 Aufgabe.
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit beim Spiel "6 aus 45"5 Richtige zu
haben?
8.9.6 Aufgabe.
(Hypergeometrische Verteilung) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
für 4, 5, 6 und 7 Richtige bei einem Lotto 7 aus 38.
8.9.7 Aufgabe.
(Normalverteilung) Es sei
X
eine
N (µ; σ)-verteilte
Zufallsvariable. Be-
stimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ)
(b) P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ)
(c) P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ)
(d) P (X ≤ µ + 1, 5σ)
(e) P (µ − 0, 5σ ≤ X)
(a)
8.9.8 Aufgabe.
(Normalverteilung) Von einem Betrieb werden Metallfolien hergestellt,
von denen nur Folien mit einer Dicke zwischen 0,082 mm und 0,118 mm zur Weiterverarbeitung verwendet werden können, der Rest ist Ausschuss. Zur Herstellung stehen dem
Betrieb die Maschinen A und B zur Verfügung. Die Foliendicke der mit diesen Maschinen
hergestellten Folien ist um den auf den Maschinen einstellbaren Sollwert (Erwartungswert) normalverteilt, und zwar auf der Maschine A mit einer Standardabweichung von
Version 6.0 - 019 24.06.2017
159
8.10. Lösungen
0,01 mm und bei B von 0,018 mm.
(a) Wie sollte der Sollwert eingestellt werden, um den Ausschussanteil zu minimieren?
(b) Die Produktionskosten je 1000 Folien betragen für Maschine A 20 Euro und für B
16 Euro. Für welche der beiden Maschinen sollte sich der Betrieb entscheiden, wenn
einwandfreie Folien zu minimalen Kosten hergestellt werden sollen?
8.9.9 Aufgabe.
Studenten bestehen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 die Statistik-
klausur. Die Erfolge beziehungsweise Misserfolge der einzelnen Studenten sind unabhängig voneinander. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 Studenten 0, 1, 2, 3,
4 oder 5 Studenten die Klausur bestehen.
8.9.10 Aufgabe.
Beim Mensch-ärgere-Dich-nicht-Spiel darf der erste Zug erst dann er-
folgen, wenn das erste Mal eine 6 gewürfelt wird. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit,
dass man mehr als 3 Würfe machen muss, um beginnen zu können?
8.9.11 Aufgabe.
Die Anzahl der Fahrzeuge, die in einem Beobachtungspunkt innerhalb
eines Intervalls von einer Minute passieren, ist poissonverteilt mit
µ
= 1,6.
(a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute mehr als 3 Fahrzeuge vorbeifahren?
(b) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten nicht mehr als 5 Fahrzeuge
vorbeifahren, wenn die Ereignisse stochastisch unabhängig sind?
8.9.12 Aufgabe.
Bei einer Klausur mit einer maximalen Anzahl von 100 Punkten seien
die Ergebnisse näherungsweise normalverteilt mit
(a) Bestimmen Sie den Anteil
µ = 60
und
σ = 10.
d Studierenden, die durchgefallen sind, wenn zum Bestehen
der Klausur mindestens 50 Punkte erforderlich sind.
(b) Bestimmen Sie den Anteil der Studenten, welche die Note
gut
erhalten haben, wenn
diese für Punktzahlen von 80 bis 95 vergeben wird.
(c) Auf welchen Wert muss die zum Bestehen nötige Mindestpunktzahl festgelegt werden,
wenn nicht mehr als 10% der Studierenden durchfallen sollen?
(Hinweis: es sollen keine Stetigkeitskorrekturen beachtet werden.)
8.10. Lösungen
8.10.1 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.1
B(x|n; Θ) =
n
Θx (1 − Θ)n−x
x
x
0
1
2
3
4
a)
0,4096
0,4096
0,1536
0,0256
0,0016
b)
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
c)
0,90438
0,09135
0,00415
0,00011
0,00000
d)
0,36603
0,36973
0,18486
0,06100
0,01494
160
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
8.10.2 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.2
P (x) =
1 5 x−1
·( )
6 6
P(1) = 0,16667
P(2) = 0,13889
P(3) = 0,11574
P(4) = 0,09645
P(5) = 0,08038
P(6) = 0,06698
P(7) = 0,05582
P(8) = 0,04651
P(9) = 0,03876
P(10) = 0,03230
P(20) = 0,00522
P(30) = 0,00084
P(40) = 0,00014
P(50) = 0,00002
8.10.3 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.3
µ = nΘ = 300 ·
1
= 0, 6
500
und
P s(x|0, 6) =
0, 6x −0,6
e
x!
P s(0|0, 6) = 0, 5488
P s(1|0, 6) = 0, 3293
P s(2|0, 6) = 0, 0988
(a) Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Fehler beträgt 0,0988.
(b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Fehler beträgt (1 - 0,5488 - 0,3293) = 0,1219.
8.10.4 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.4
Z = X−µ
ist standardnormalverteilt. Es gelten dann:
σ
(a) P (X ≥ 99, 8pF ) = P (Z ≥ −1) = P (Z ≤ 1) = 0, 84134
(b) P (X ≤ 100, 6pF ) = P (Z ≤ 3) = 0, 99865
(c) P (X ≥ 99, 7pF and X ≤ 100, 3pF ) = P (−1, 5 ≤ Z ≤ 1, 5) = P (Z ≤ 1, 5) − P (Z ≤
−1, 5) = 0, 86638
Die Zufallsvariable
8.10.5 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.5
Es ist eine hypergeometrische Verteilung, da Zahlen ohne Zurücklegen gezogen werden.
Die Parameter sind
N = 45,
Version 6.0 - 019 24.06.2017
da es insgesamt 45 Kugeln gibt,
M = 6,
da 6 Kugeln die
161
8.10. Lösungen
n = 6, da 6 Kugeln gezogen werden. Die WahrscheinH(5|45; 6; 6). Es gilt
Eigenschaft Gewinnzahl tragen und
lichkeit für 5 Richtige ist damit
6 45 − 6
6 · 39
5
6−5
H(5|45; 6; 6) =
=
= 0, 0000287
45
8.145.060
6
8.10.6 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.6
M
N −M
x
n−x
H(x|N ; M ; n) =
N
n
N
ist die Anzahl der Kugeln insgesamt;
Gewinnkugel und
n
M
ist die Anzahl der Kugeln mit der Eigenschaft
ist die Anzahl der Zahlen, die man gewählt hat, um einen Gewinn
zu erzielen.
H(4|38; 7; 7) =
H(5|38; 7; 7) =
H(6|38; 7; 7) =
H(7|38; 7; 7) =
7 31
4 3
38
7 7 31
5 2
38
7 7 31
6 1
38
7 7 31
7 0
38
7
8.10.7 Lösung.
=
35·4495
12620256
= 0, 01247
=
21·465
12620256
= 0, 00077
=
7·31
12620256
= 0, 000017195
=
1·1
12620256
= 0, 000000079238
zu Aufgabe 8.9.7
Z = X−µ
ist standardnormalverteilt. Es gelten dann:
σ
(a) P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = P (−1 ≤ Z ≤ 1) = 0, 84134 − (1 − 0, 84134) = 0, 68268
(b) P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = P (−2 ≤ Z ≤ 2) = 0, 97725 − (1 − 0, 97725) = 0, 95450
(c) P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = P (−3 ≤ Z ≤ 3) = 0, 99865 − (1 − 0, 99865) = 0, 99730
Die Zufallsvariable
162
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
(d)
(e)
P (X ≤ µ + 1, 5σ) = P (Z ≤ 1, 5) = 0, 93319
P (µ − 0, 5σ ≤ X) = P (−0, 5 ≤ Z) = 0, 69146
8.10.8 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.8
(a) Die die Normalverteilung symmetrisch um den Erwartungswert ist, sollte der Sollwert
in der Mitte des Toleranzbereiches liegen, also bei 0,1 mm.
(b) Für die Maschine A gilt:
0, 082 − 0, 1
0, 118 − 0, 1
P (0, 082mm < X < 0, 118mm) = P
<Z<
0, 01
0, 01
= P (−1, 8 < Z < 1, 8) = 0, 96407 − (1 − 0, 96407) = 0, 92814
Damit gilt für die Maschine A, dass die Wahrscheinlichkeit für eine brauchbare Folie bei
0,92814 liegt. Das heiÿt bei 1000 Folien sind 928 brauchbar, die Stückkosten sind dann
20Euro
= 0,02155 Euro.
928
Für die Maschine B gilt:
0, 082 − 0, 1
0, 118 − 0, 1
P (0, 082mm < X < 0, 118mm) = P
<Z<
0, 018
0, 018
= P (−1 < Z < 1) = 0, 84134 − (1 − 0, 84134) = 0, 68268
Damit gilt für die Maschine B, dass die Wahrscheinlichkeit für eine brauchbare Folie bei
0,68268 liegt. Das heiÿt bei 1000 Folien sind 683 brauchbar, die Stückkosten sind dann
16Euro
= 0,02343 Euro.
683
Es ist daher günstiger, auf der Maschine A zu produzieren.
8.10.9 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.9
Die Zufallsvariable
X , der Anzahl der Studenten, welche die Klausur bestanden haben, ist
n = 5 und θ = 0, 7. (Das Ereignis A (= Klausur wird
binomialverteilt mit den Parametern
bestanden) hat die Wahrscheinlichkeit 0,7.) Das heiÿt, die Anzahl der Studenten (von
den 5 ausgewählten), die die Klausur bestehen ist eine
Die gesuchten Werte sind die Werte
5
B(0|5; 0, 7) =
· 0, 70 · 0, 35
0
5
B(1|5; 0, 7) =
· 0, 71 · 0, 34
1
5
B(2|5; 0, 7) =
· 0, 72 · 0, 33
2
5
B(3|5; 0, 7) =
· 0, 73 · 0, 32
3
5
B(4|5; 0, 7) =
· 0, 74 · 0, 31
4
5
B(5|5; 0, 7) =
· 0, 75 · 0, 30
5
Version 6.0 - 019 24.06.2017
B(i|5; 0, 7)
B(n, θ)-verteilte
Zufallsvariable.
für i = 0, 1, 2, 3, 4 und 5.
= 0, 00243
= 0, 02835
= 0, 13230
= 0, 30870
= 0, 36015
= 0, 16807
163
8.10. Lösungen
8.10.10 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.10
Man muss dann mehr als dreimal würfeln, wenn bei den ersten drei versuchen jeweils
keine 6 gewürfelt wird. Diese Wahrscheinlichkeit ist gleich
8.10.11 Lösung.
( 56 )3
=
125
216 = 0,5787.
zu Aufgabe 8.9.11
Die Wahrscheinlichkeit ist poissonverteilt mit
µ = 1, 6,
also ist die Wahrscheinlichkeits-
funktion gegeben durch
fX (x) =
µx −µ
e
x!
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute i Fahrzeuge passieren ist somit gleich
P s(i|1, 6).
P s(0|1, 6) =
P s(1|1, 6) =
P s(2|1, 6) =
P s(3|1, 6) =
P s(4|1, 6) =
P s(5|1, 6) =
1,60 −1,6
0! e
1,61 −1,6
1! e
1,62 −1,6
2! e
1,63 −1,6
3! e
1,64 −1,6
4! e
1,65 −1,6
5! e
= 0, 2019
= 0, 3230
= 0, 2584
= 0, 1378
= 0, 0551
= 0, 0141
(a) p(mehr als 3 Fahrzeuge) = 1 - p(0 bis 3 Fahrzeuge) = 1 -
P s(2|1, 6) - P s(3|1, 6)
P s(0|1, 6)
-
P s(1|1, 6)
-
= 0,0789
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute mehr als 3 Fahrzeuge vorbeifahren beträgt
somit 7,89%.
(b) Für poissonverteilte unabhängige Zufallsvariablen
X
und
Y
mit den Parametern
µ
λ gilt, dass die Zufallsvariable Z = X +Y ebenfalls poissonverteilt ist, der Parameter
Z ist µ + λ. Das heiÿt die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten i Fahrzeuge den
Beobachtungspunkt passieren ist poissonverteilt mit dem Parameter µ = 8.
und
von
P s(0|8) =
P s(1|8) =
P s(2|8) =
P s(3|8) =
P s(4|8) =
P s(5|8) =
80 −8
0! e
81 −8
1! e
82 −8
2! e
83 −8
3! e
84 −8
4! e
85 −8
5! e
= 0, 0003
= 0, 0027
= 0, 0107
= 0, 0286
= 0, 0573
= 0, 0916
p(weniger als 5 Fahrzeuge) =
P s(5|8)
P s(0|8)
+
P s(1|8)
+
P s(2|8)
+
P s(3|8)
+
P s(4|8)
+
= 0,1912.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in fünf Minuten höchstens 5 Fahrzeuge vorbeifahren beträgt
19,12%.
164
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 8. Spezielle Verteilungen
8.10.12 Lösung.
zu Aufgabe 8.9.12
X der erreichten Punktzahl ist N (60; 10)-verteilt. Die Zufallsvariable
Z = X−60
ist N (0; 1)-verteilt, das heiÿt standardnormalverteilt.
10
50−60
(a) P (X < 50) = P (Z <
10 ) = P (Z < −1) = P (Z > 1) = 1−P (Z < 1) = 1−0, 84134
= 0, 15866, das heiÿt circa 16%.
80−60
(b) P (80 < X < 95) = P (
< Z < 95−60
10
10 ) = P (2 < Z < 3, 5) = P (Z < 3, 5) P (Z < 2) = 0, 99977 - 0, 97725 = 0, 02252, das heiÿt circa 2,3%.
g−60
60−g
60−g
60−g
(c) P (X < g) = P (Z <
10 ) = P (Z > 10 ) = 0, 1 → P (Z < 10 ) = 0, 9 → 10 ) =
1, 285 → g = 47, 15, das heiÿt, die Mindestpunktzahl muss auf 47 Punkte gesetzt werden.
Die Zufallsvariable
Version 6.0 - 019 24.06.2017
165
Teil III.
Schlieÿende Statistik
Der dritte Teil, die schlieÿende Statistik ist nur sehr kurz. Hier werden im Grunde nur
einige wenige Begrie und Verfahren angedeutet. Bei der schlieÿenden Statistik geht es
um die Fragestellung aus gegebenen Daten, die mit Hilfe der beschreibenden Statistik für
einen Stichprobenumfang ermittelt werden, Aussagen für eine gröÿere Grundgesamtheit
zu erhalten. Hier spielt dann auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit hinein.
Dieser Teil ist derzeit noch nicht stark ausgebaut.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
167
Kapitel 9.
Schlieÿende Statistik
In der schlieÿenden Statistik wird aus den Daten einer Stichprobe auf Parameter der
Grundgesamtheit geschlossen oder aus der Verteilung der Grundgesamtheit Schlüsse zu
Stichproben gezogen. Bei Hypothesentest werden Aussagen zur Annahme oder Ablehnung von Hypothesen getroen.
9.1. Parameterschätzung
9.1.1 Anmerkung.
In der beschreibenden Statistik wurden Daten, wie Mittelwert und
Standardabweichung, von einer gegebenen Datenmenge bestimmt, wobei die Daten vollständig erfasst und analysiert werden. Die vollständige Erfassung aller Daten ist nicht
immer möglich oder sinnvoll.
•
Die Zugfestigkeit von Kettengliedern sollen überprüft werden, indem diese bis zum
Zerreiÿen belastet werden. Nur ein Teil der Produktion kann diesem Test unterzogen
werden.
•
Die Abfüllanlage, welche Säcke mit Zement mit jeweils 50 kg füllt soll überprüft
werden. Es ist nicht wirtschaftlich sinnvoll, alle Säcke zu prüfen. Daher soll allein
durch die Prüfung einiger Säcke, zum Beispiel jeder 20. oder 50. Sack das durchschnittliche Gewicht bestimmt werden.
•
In einer Urne benden sich rote und grüne Kugel. Durch einen Stichprobenumfang
soll der Anteil der roten Kugeln abgeschätzt werden.
9.1.2 Anmerkung. Eine statistische Masse über die man eine bestimmte Aussage treffen möchte heiÿt Grundgesamtheit. Ist die Grundgesamtheit endlich, wird die Anzahl
der Elemente mit
N
bezeichnet. Ein Teil einer zu analysierenden statistischen Masse, die
zufällig ausgewählt ist und aus der Informationen für die Grundgesamtheit ermittelt werden heiÿt
wird mit
Stichprobenumfang. Die Anzahl der Elemente aus dem Stichprobenumfang
n
bezeichnet.
Für den Stichprobenumfang können die statistischen Parameter mit Hilfe der beschreibenden Statistik bestimmt werden, siehe Tabelle 9.1.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
169
9.2. Intervallschätzung
Grundgesamtheit
Stichprobe
Anzahl der Elemente
N
n
Mittelwert / Erwartungswert
µ
σ2
σ
θ
x
s2
s
p
Varianz
Standardabweichung
Anteilswert
Tabelle 9.1.: Untersuchungsparameter
9.1.3 Anmerkung.
n
Eine Stichprobe vom Umfang
liefert die Werte
X1 , X2 , · · · , Xn
(die Stichproben). (Groÿe Buchstaben, da die Werte Zufallsvariablen sind). Damit gelten
für den Stichprobenmittelwert
X=
n
X
Xi ,
(9.1)
i=1
für die Stichprobenvarianz
S2 =
n
n
i=1
i=1
1X
1X
2
(Xi − X)2 =
XXi2 − X
n
n
(9.2)
und für die Stichprobenstandardabweichung
√
S=
9.1.4 Anmerkung.
S2 .
(9.3)
Der Erwartungswert für den Mittelwert der Stichproben entspricht
dem Erwartungswert der Grundgesamtheit (E(X)
= µ). Die Beziehung zwischen der Va-
rianz der Stichproben und der Varianz der Grundgesamtheit ist etwas komplexer, ohne
dass hier näher darauf eingegangen wird. (siehe dazu etwa Schwarze 1997). Näherungsweise ist die Varianz der Stichprobe gleich der Varianz der Grundgesamtheit.
9.2. Intervallschätzung
9.2.1 Anmerkung.
Statt einer Punktschätzung wird bei einer Intervallschätzung ein
Intervall angegeben, in dem mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit der gesuchte Parameter
θ
enthalten ist. Es werden somit zwei Werte
Wahrscheinlichkeit, dass der gesuchte Wert
θ
U1
zwischen
und
U1
p(U1 ≤ θ ≤ U2 ) ≥ 1 − α
U2
und
derart gesucht, dass die
U2
liegt gleich
1−α
ist:
(9.4)
α gibt dabei an, mit welcher Genauigkeit das Intervall gesucht wird. Die Wahr1 − α heiÿt Kondenzniveau. Das Intervall [U1 , U2 ] heiÿt Kondenzintervall. In den meisten Fällen verwendet man eine Schätzvariable U und konstruiert
durch U1 = U − δ und U2 = U + δ ein symmetrisches Kondenzintervall [U − δ, U + δ].
Der Wert
scheinlichkeit
170
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 9. Schlieÿende Statistik
9.2.2 Anmerkung.
Betrachten man nun eine
N (µ, σ 2 )-verteilte
Zufallsvariable
X
und
n Stichprobenvariablen X1 , · · · , Xn . Der Mittelwert der Stichproben X ist ebenfalls norσ2
malverteilt, genauer N (µ,
n )-normalverteilt. Das heiÿt, der Erwartungswert ist identisch,
nur die Varianz ist unterschiedlich. Zuerst wird mittels einer linearen Transformation
Z=
√
n·
X −µ
σ
(9.5)
Z deniert. Für Z
c > 0 und fordert
eine standardnormalverteilte Zufallsvariable
denzintervall
[−c, c]
für ein geeignetes
betrachtet man das Kon-
p(−c ≤ Z ≤ c) = 1 − α
Durch auösen nach
µ
(9.6)
ergibt sich damit
cσ
cσ
p(X − √ ≤ µ ≤ X + √ ) = 1 − α
n
n
(9.7)
Das gesuchte Kondenzintervall ist damit
cσ
cσ
[X − √ , X + √ ].
n
n
9.2.3 Anmerkung.
Z
(9.8)
Da von einer normalverteilten Funktion ausgegangen wurde und
c in Abhängigkeit von α bestimmt werden. Der
α bestimmt die Genauigkeit, mit der der gesuchte Parameter im Kondenzintervall liegt. Ist ϕ(x) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, so ergibt sich aus
p(−c ≤ Z ≤ c) = 1−α die Beziehung 1−α = ϕ(c)−ϕ(−c) = ϕ(c)−(1−ϕ(c)) = 2ϕ(c)−1.
α
Daraus wiederum erhält man ϕ(c) = 1− . Daraus wiederum kann man c ermitteln, siehe
2
standardnormalverteilt ist, kann das
Parameter
dazu Tabelle 9.2.
α
Genauigkeit
ϕ(c)
c
0,01
99%
0,995
2,576
0,05
95%
0,975
1,96
0,1
90%
0,95
1,645
Tabelle 9.2.: Parameter in Abhängigkeit von der Güte
9.2.4 Beispiel.
N (µ; 12)-verteiltem X wurde eine einn = 36 gezogen, die x = 26 liefert. Für 1 − α = 0, 95
Standardnormalverteilung c = 1, 96. Als 95%-Kondenzintervall für
Aus einer Grundgesamtheit mit
fache Zufallsstichprobe vom Umfang
erhält man aus der
µ
ergibt sich:
12
12
µu = 26 − 1, 96 √ = 22, 08; µo = 26 + 1, 96 √ = 29, 92
36
36
(9.9)
Das bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% der Erwartungswert der Grundgesamtheit im Intervall von 22,08 bis 29,92 liegt.
Version 6.0 - 019 24.06.2017
171
9.3. Hypothesentests
9.2.5 Anmerkung.
Je nach dem, ob die Varianz bekannt ist oder nicht, und je nach
dem wie das Verhältnis zwischen der Anzahl des Umfangs der Stichprobe und der Anzahl
der Grundgesamtheit ist, ergeben sich Veränderungen in der Bestimmung des Kondenzintervalls. Für genauere Untersuchungen siehe Schwarze 1997.
9.3. Hypothesentests
9.3.1 Anmerkung.
Oftmals hat man für den Parameter einer Verteilung eine bestimm-
te Vermutung oder Hypothese. Durch eine Stichprobe möchte man die Vermutung überprüfen. Dies geschieht mittels eines
9.3.2 Beispiel.
Zahl
statistischen Testverfahrens.
Beim zufälligen Werfen einer Münze erwartet man, dass das Ergebnis
p(Zahl) = 0, 5 auftritt. Die Hypothese für unseren Test
Θ = 0, 5. Die zu überprüfende Hypothese bezeichnet man auch als Nullhypothese
mit der Wahrscheinlichkeit
lautet
H0 . Zum Test der Hypothese wird eine Münze mehrmals (n-fach) geworfen und die Anzahl
X des Ereignisses Zahl gezählt. Diesem Zufallsexperiment liegt eine Binomialverteilung
n
mit dem Erwartungswert E(X) =
2 zu Grunde. Für einen Stichprobenumfang von n = 8
erhält man folgende Verteilung von X (X ist B(8; 0, 5)-verteilt), siehe Tabelle 9.3.
x
p(x)
0 und 8
1 und 7
2 und 6
3 und 5
4
0,0039
0,0312
0,1094
0,2188
0,2734
Tabelle 9.3.: Beispiel: Stichprobenexperiment
Wenn bei richtiger Nullhypothese zugelassen wird, dass
von
dass
n
2
= 4 abweichen darf, dann darf X = 2, 3,
X in diesem Bereich liegt, ist bei 0,9298.
X
um 2 nach oben oder unten
4, 5 oder 6 sein. Die Wahrscheinlichkeit,
Die Menge der möglichen Ergebnisse wird in zwei Bereiche geteilt, den Ablehnungsbereich (X < 2) beziehungsweise (X > 6) und den Annahmebereich (2 ≤ X ≤ 6). Liegt
das Ergebnis im Ablehnungsbereich, so ist bei richtiger Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis sehr gering (0,0702), so dass hier mit hoher Wahrscheinlichkeit
davon ausgegangen werden kann, dass die Nullhypothese nicht zutrit. Gilt
2 ≤ X ≤ 6,
so kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. Es ist allerdings nicht bewiesen, dass
die Nullhypothese richtig ist, sie kann jedoch nicht abgelehnt werden.
9.3.3 Anmerkung.
Bei einer Ablehnung oder bei einer Annahme einer Hypothese kann
es zu Fehleinschätzungen kommen. Es kann die Nullhypothese abgelehnt werden, obwohl
Fehler 1. Art oder α-Fehler. Die Wahrscheinlichkeit
Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signikanzniveau des Tests. Als weiterer
sie richtig ist. dies nennt man
α
heiÿt
Fehler kann die Annahme einer falschen Hypothese vorkommen. Dieses Fehler nennt man
Fehler 2. Art oder β -Fehler, siehe Tabelle 9.4.
Für eine genauere Ausführung zu Testverfahren siehe Schwarze 1997.
172
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Kapitel 9. Schlieÿende Statistik
Nullhypothese
Nullhypothese
nicht verworfen
Nullhypothese
verworfen
Nullhypothese
richtig
falsch
richtige
β -Fehler
Entscheidung
(Fehler 2. Art)
α-Fehler
richtige
(Fehler 1. Art)
Entscheidung
Tabelle 9.4.: Fehler 1. und 2. Art
9.4. Aufgaben
Derzeit keine Aufgaben
9.5. Lösungen
Derzeit keine Aufgaben
Version 6.0 - 019 24.06.2017
173
Anhang A.
Tabellen
Version 6.0 - 019 24.06.2017
175
A.1. Basisdaten
A.1. Basisdaten
Für viele Untersuchungen werden die nachfolgenden Daten betrachtet. Es sind Daten von
Personen in einer Vorlesung (inklusive Dozent) aufgeführt. Neben der laufenden Nummer
wird das Geschlecht der Person (m für männlich, w für weiblich), das Alter in Jahren,
die Körpergröÿe in cm und die Note in einer Klausur dargestellt.
Nr
Geschlecht
Alter
Gröÿe
Note
01
m
19
166
3
02
w
20
170
1
03
m
20
174
4
04
m
20
176
3
05
w
20
179
3
06
m
21
184
2
07
w
21
152
1
08
w
23
164
3
09
w
25
171
3
10
w
20
178
2
11
m
20
187
3
12
w
22
166
5
13
w
23
168
2
14
w
20
169
3
15
w
20
178
3
16
m
20
188
2
17
w
21
171
2
18
m
20
185
2
19
w
23
161
5
20
w
21
171
3
21
w
20
177
5
22
m
21
187
3
23
w
19
182
2
24
m
19
184
4
25
w
21
169
4
26
w
22
176
2
27
m
18
193
2
28
w
25
175
2
29
m
54
172
3
Tabelle A.1.: Basisdatensatz
176
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Anhang A. Tabellen
A.2. Tabelle der Normalverteilung
z
.,.0
.,.1
.,.2
.,.3
.,.4
.,.5
.,.6
.,.7
.,.8
.,.9
0,0.
50000
50399
50798
51197
51595
51994
52392
52790
53188
53586
0,1.
53983
54380
54776
55172
55567
55962
56356
56749
57142
57535
0,2.
57926
58317
58706
59095
59483
59871
60257
60642
61026
61409
0,3.
61791
62172
62552
62930
63307
63683
64058
64431
64803
65173
0,4.
65542
65910
66276
66640
67003
67364
67724
68082
68439
68793
0,5.
69146
69497
69847
70194
70540
70884
71226
71566
71904
72240
0,6.
72575
72907
73237
73565
73891
74215
74537
74857
75175
75490
0,7.
75804
76115
76424
76730
77035
77337
77637
77935
78230
78524
0,8.
78814
79103
79389
79673
79955
80234
80511
80785
81057
81327
0,9.
81594
81859
82121
82381
82639
82894
83147
83398
83646
83891
1,0.
84134
84375
84614
84849
85083
85314
85543
85769
85993
86214
1,1.
86433
86650
86864
87076
87286
87493
87698
87900
88100
88298
1,2.
88493
88686
88877
89065
89251
89435
89617
89796
89973
90147
1,3.
90320
90490
90658
90824
90988
91149
91308
91466
91621
91774
1,4.
91924
92073
92220
92364
92507
92647
92785
92922
93056
93189
1,5.
93319
93448
93574
93699
93822
93943
94062
94179
94295
94408
1,6.
94520
94630
94738
94845
94950
95053
95154
95254
95352
95449
1,7.
95543
95637
95728
95818
95907
95994
96080
96164
96246
96327
1,8.
96407
96485
96562
96638
96712
96784
96856
96926
96995
97062
1,9.
97128
97193
97257
97320
97381
97441
97500
97558
97615
97670
2,0.
97725
97778
97831
97882
97932
97982
98030
98077
98124
98169
2,1.
98214
98257
98300
98341
98382
98422
98461
98500
98537
98574
2,2.
98610
98645
98679
98713
98745
98778
98809
98840
98870
98899
2,3.
98928
98956
98983
99010
99036
99061
99086
99111
99134
99158
2,4.
99180
99202
99224
99245
99266
99286
99305
99324
99343
99361
2,5.
99379
99396
99413
99430
99446
99461
99477
99492
99506
99520
2,6.
99534
99547
99560
99573
99585
99598
99609
99621
99632
99643
2,7.
99653
99664
99674
99683
99693
99702
99711
99720
99728
99736
2,8.
99744
99752
99760
99767
99774
99781
99788
99795
99801
99807
2,9.
99813
99819
99825
99831
99836
99841
99846
99851
99856
99861
3,0.
99865
99869
99874
99878
99882
99886
99889
99893
99896
99900
3,1.
99903
99906
99910
99913
99916
99918
99921
99924
99926
99929
3,2.
99931
99934
99936
99938
99940
99942
99944
99946
99948
99950
3,3.
99952
99953
99955
99957
99958
99960
99961
99962
99964
99965
3,4.
99966
99968
99969
99970
99971
99972
99973
99974
99975
99976
Version 6.0 - 019 24.06.2017
177
Namensliste
Kolmogorov, Andrej Nikolajevich, 115
Laplace, Pierre Simon, 114
Paasche, Hermann, 91
Pascal, Blaise, 108
Laspeyres, Ernst Louis Étienne, 91
Version 6.0 - 019 24.06.2017
179
Abkürzungen
DAX - Deutscher Aktienindex, 89
VPI - Verbraucherpreisindex, 89
MAA - mittlere absolute Abweichung, 47
ZV - Zufallsvariable, 133
Version 6.0 - 019 24.06.2017
181
Literatur
Arens, Tilo u. a. (2008).
Mathematik. 1. Au. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
isbn: 9783827417589.
Lügen mit Zahlen: Wie wir mit Statistiken
manipuliert werden. 401. München: Heyne. isbn: 9783453173910.
Eichholz, Wolfgang und Eberhard Vilkner (2002). Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik: Mit 208 Beispielen und zahlreichen Tabellen. 3. Au. München [u.a.]: Fachbuchverl.
Leipzig im Hanser-Verl. isbn: 9783446220805.
Fahrmeir, Ludwig (2003a). Arbeitsbuch Statistik: Mit 101 Tabellen. 3. Au. Berlin [u.a.]:
Springer. isbn: 9783540440307.
(2003b). Statistik: Der Weg zur Datenanalyse ; mit 25 Tabellen. 4. Au. Berlin [u.a.]:
Springer. isbn: 9783540440000.
Fischer, Gerd (2005). Stochastik einmal anders: Parallel geschrieben mit Beispielen und Fakten, vertieft durch Erläuterungen. 1. Au. Wiesbaden: Vieweg. isbn:
Bosbach, Gerd und Jens Jürgen Kor (2011).
9783528039677.
Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende
Welt des Zufalls. 4. Au. Braunschweig: Vieweg. isbn: 9783528368944.
Röÿler, Irene und Albrecht Ungerer (2011). Statistik für Wirtschaftswissenschaftler: Eine
anwendungsorientierte Darstellung. 2., überarb. Au. BA Kompakt. Heidelberg [u.a.]:
Physica-Verlag. isbn: 9783790826340.
Schwarze, Jochen (1997). Grundlagen der Statistik. 6. Au. Herne [u.a.]: Verl. Neue
Wirtschafts-Briefe. isbn: 3482568669.
(1999). Aufgabensammlung zur Statistik. 3. Au. Herne: Verl. Neue Wirtschafts-Briefe.
isbn: 9783482434532.
(2001). Beschreibende Verfahren. 9. Au. Herne [u.a.]: Verl. Neue Wirtschafts-Briefe.
isbn: 9783482564390.
Wewel, Max-Christoph (2011). Statistik im Bachelor-Studium der BWL und VWL: Methoden, Anwendung, Interpretation ; mit herausnehmbarer Formelsammlung. 2., erw.
Au. Wirtschaft. München und Boston [u.a.]: Pearson Studium. isbn: 9783868940541.
Henze, Norbert (2003).
Version 6.0 - 019 24.06.2017
183
Index
α-Fehler,
β -Fehler,
170
dichtester Wert, 39
170
diskret, 133
diskretes Merkmal, 24
Abgang, 84
Durchschnitt, 114
Abgangsrate, 86
Durchschnitt, gleitender, 82
Abgangssumme, 85
Durchschnittsbestand, 86
abgeschlossene Bestandsmasse, 84
abhängig, empirisch, 65
einfache geometrische Mittel, 43
abhängig, statistisch, 65
einfache harmonische Mittel, 44
absolute Häugkeit, 32, 60
Einheit, statistische, 17
absolute Restsummenhäugkeit, 38
Elementarereignis, 113
absolute Summenhäugkeit, 37
empirisch abhängig, 65
Absolutskala, 22
empirisch unabhängig, 65
Abweichung, mittlere absolute, 46
Endbestand, 84
Abweichung, quadratische, 48
Ereignis, 19, 113
Anfangsbestand, 84
Ereignis, komplementär, 114
Ereignis, sicheres, 114
bedingte Verteilung, 62
Ereignis, unmögliches, 114
bedingte Wahrscheinlichkeit, 117
Ereignis, zusammengesetzt, 114
Beobachtung, 19
Ereignismasse, 19, 83
Beobachtungswert, 19
Ereignissystem, 115
Bernoulli-Experiment, 147, 151
Ergebnisraum, 113
beschreibenden Statistik, 14
Erhebungsverfahren, 14
Bestand, 19, 84
Erwartungswert, 136
Bestandsmasse, 18, 83
Exponentialverteilung, 154
Bestandsmasse, abgeschlossen, 84
Bestandsmasse, oen, 84
Fehler 1. Art, 170
Binomialkoezienten, 107
Fehler 2. Art, 170
Binomialverteilung, 147
Fortschreibung, 83
Datenaufbereitung, 14
geometrische Verteilung, 151
Datenauswertung, 14
geometrisches Mittel, 43
Datenerhebung, 14
geordnete Reihe, 31
Deationierung, 94
geordneten Stichprobe, 101
Dezile, 40
gewogene geometrische Mittel, 43
dichotomes Merkmal, 20
gewogene harmonische Mittel, 44
Dichtefunktion, 135
gleichverteilt, 145, 146
Version 6.0 - 019 24.06.2017
185
Index
gleitenden Durchschnitt, 82
Masse, statistische, 17
Grundgesamtheit, 14, 167
Median, 39
harmonisches Mittel, 44
harmonisches Mittel, gewogenes, 44
Hypergeometrischen Verteilung, 149
Häugkeit, absolute, 32, 60
Häugkeit, relative, 32, 60
Häugkeitstabelle, 35, 61
Häugkeitsverteilung, 32, 60
häugster Wert, 39
Index, 90
Indexzahl, 90
intensitätsmäÿiges Merkmal, 21
Irrtumswahrscheinlichkeit, 170
Mengenindex, 90, 92
Mengenindex nach Laspeyres, 92
Mengenindex nach Paasche, 93
Merkmal, 19
Merkmal, dichotomes, 20
Merkmal, diskret, 24
Merkmal, intensitätsmäÿiges, 21
Merkmal, qualitatives, 20
Merkmal, quantitatives, 22
Merkmal, stetig, 24
Merkmale, 14
Merkmale, statistische, 17
Merkmalsausprägung, 19
Merkmalsträger, 19
k-Kombination mit Wiederholung, 106
Merkmalswert, 19
k-Kombination ohne Wiederholung, 105
messbar, kardinal, 22
k-Permutation mit Wiederholung, 102
messbar, metrisch, 22
k-Permutation ohne Wiederholung, 103
Messzahlen, 90
kardinal messbar, 22
metrisch messbar, 22
Kardinalskala, 22, 36
metrische Skala, 22
Klassenbreite, 25
mittlere absolute Abweichung, 46, 47
Klassengrenze, obere, 25
mittlere quadratische Abweichung, 48
Klassengrenze, untere, 25
mittlere Verweildauer, 86
Kombination, 101
Modalwert, 39
Kombination mit Wiederholung, 106
Modus, 39
Kombination ohne Wiederholung, 105
Moment, m-te, 137
komplementäre Ereignis, 114
Multimengen, 102
Komplementärereignis, 114
konditionale Wahrscheinlichkeit, 117
nominal messbar, 20
Kondenzintervall, 168
Nominalskala, 20, 35
Kondenzniveau, 168
Normalgleichungen, 70
Kontingenz, 60
Normalverteilung, 154
Kontingenzkoezienten, 60
Nullhypothese, 170
Kontingenztabelle, 62
Korrelation, 60
obere Klassengrenze, 25
Korrelationskoezient, 68
oberes Quartil, 40
Korrelationskoezienten, 60
oene Bestandsmasse, 84
Korrelationstabelle, 62
Ordinalskala, 21, 36
Kovarianz, 66
KQ-Regressionsfunktion, 69
m-te Moment, 137
186
p-Quantil, 40
Permutation, 101
Permutation mit Wiederholung, 102
Version 6.0 - 019 24.06.2017
Index
Permutation ohne Wiederholung, 103
statistische Analyse, 14
Planung, 13
statistische Einheit, 17
Poissonverteilung, 152
statistische Masse, 14, 17
Preisindex, 90
statistische Reihe, 31
Preisindex nach Laspeyres, 91
statistischen Merkmale, 17
Preisindex nach Paasche, 91
stetig, 133
Primärerhebung, 14
stetiges Merkmal, 24
Stichprobe, 14, 18
quadratische Abweichung, 48
qualitatives Merkmal, 20
Quantil, 40
quantitatives Merkmal, 22
Quartil, oberes, 40
Quartil, unteres, 40
Quartilsabstand, 46
Randverteilungen, 61
Rangskala, 21
Regressionsfunktion, 69
Regressionsfunktion nach der Methode
der kleinsten Quadrate, 69
Reihe, geordnete, 31
Reihe, statistische, 31
Reihe, ungeordnete, 31
relative Häugkeit, 32, 60
relative Restsummenhäugkeit, 38
relative Summenhäugkeit, 37
Restsummenhäugkeit, 37
Restsummenhäugkeit, absolute, 38
Restsummenhäugkeit, relative, 38
Stichprobe, geordnet, 101
Stichprobe, ungeordnet, 101
Stichprobenumfang, 167
Stochastik, 9, 11
stochastisch abhängig, 117
stochastisch unabhängig, 117
stochastisch, abhängig, 117
Summenhäugkeit, 37
Summenhäugkeit, absolute, 37
Summenhäugkeit, relative, 37
Umsatzindex, 90
Umschlagshäugkeit, 87
unabhängig, 65
unabhängig, empirisch, 65
unabhängig, statistisch, 65
unabhängig, stochastisch, 117
ungeordnete Reihe, 31
ungeordneten Stichprobe, 101
unmögliches Ereignis, 114
untere Klassengrenze, 25
untere Quartil, 40
schlieÿenden Statistik, 15
Sekundärerhebung, 14
Varianz, 48, 137
sicheres Ereignis, 114
Variationskoezient, 49
Signikanzniveau, 170
Verhältnisskala, 22
Skala, metrische, 22
Verteilung, 32
Skalentransformation, 24
Verteilung, bedingte, 62
Spannweite, 45
Verteilung, geometrisch, 151
Standardabweichung, 49, 137
Verteilung, hypergeometrisch, 149
Standardnormalverteilung, 155
Verteilung, konditionale, 62
Statistik, beschreibende, 14
Verteilungsfunktion, 134, 136
Statistik, schlieÿende, 15
Verweildauer, 84
statistisch abhängig, 65
Verweildauer, mittlere, 86
statistisch unabhängig, 65
Vollerhebung, 14
Version 6.0 - 019 24.06.2017
187
Index
Wahrscheinlichkeit, 115
Zeitreihe, 31
Wahrscheinlichkeit, bedingte, 117
Zentralwert, 39
Wahrscheinlichkeit, konditionale, 117
Wahrscheinlichkeitsfunktion, 134
Wahrscheinlichkeitsmaÿ, 115
Wahrscheinlichkeitsraum, 116
Zufallsexperiment, 113, 133
Zufallsvariable, 133
Zugang, 84
Zugangsrate, 86
Zugangssumme, 85
Wahrscheinlichkeitsrechnung, 15
zusammengesetzten Ereignis, 114
Wertindex, 90, 93
ZV, 133
188
Version 6.0 - 019 24.06.2017