Auftrieb, Längsstabilität, Thermik: Alles eine Frage der Masse

Auftrieb, Längsstabilität, Thermik: Alles eine Frage der Masse
Lob und Dank der Masse. Auch wenn wir die Schwerkraft manchmal am liebsten ausschalten
möchten, nur die Schwere und Trägheit der Luft ermöglichen uns das Fliegen. Die Masse
macht's.
Nicht nur, dass wir ohne Erdanziehung aufgrund der Erdmasse von der Erde 'fielen', und es
ohne die Massenanziehung nicht einmal den Klumpen Erde gäbe, es gäbe auch keine Lufthülle,
durch die wir gleiten könnten. Und gäbe es ein solches Fluid, ohne Schwerkraft würde es darin
weder Thermik geben, noch würde ein Flugzeug längstabil ausgerichtet hindurch gezogen, und
ohne die Trägheit der Luftmasse würde es dabei auch keinen Auftrieb erfahren.
Bernhard Wienand, April 2015
Inhalt
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Lufthülle und Thermik.......................................................................................................... 1
Stabiler Gleitflug durch Schwerkraft und Luftkraft ................................................................ 2
Auftrieb durch die Massenträgheit der Luft .......................................................................... 4
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Lufthülle und Thermik
Auch die Luft wird aufgrund ihrer Masse durch die Masse der Erde angezogen. Dadurch lastet
auf der Erde ein Luftgewicht bzw. ein Luftdruck p, der auf Meereshöhe durchschnittlich etwa p =
10.000 N/m2 bzw. Pa (Pascal) beträgt. Das entspricht dem Gewicht einer Masse von gut 1.000
kg/m2 = 1 Tonne/m2. Die Dichte der Luft ergibt sich aus der Gasgleichung ρ = Rs * p/T (Rs =
spezif. Gaskonstante, T = Temperatur in Kelvin). Sie beträgt auf Meereshöhe bei 15 Grad C
etwa 1,225 kg/m3. Mit der Höhe nimmt der Luftdruck ab, da eine immer weniger hohe
verbleibende Luftschicht auf der unteren lastet. Etwa alle 5,5 km halbiert er sich. Die Dichte
nimmt etwas weniger ab, da auch die Temperatur mit der Höhe abnimmt.
Temperatur T
Druck p, Dichte ρ
- + + + + + - +
+ + + +
+ + + + + - - -
- - + + +
- - -+ +
- - - -+
- - - - - - - - - + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + +
+ + +
-
- - + + + + +
- - + + + + +
- - - + + + + +
Dichte ρ = Rs * p/T, Rs = spezif. Gaskonstante, T = Temperatur in Kelvin
1 Thermik durch unterschiedlich schwere Luft
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Thermik entsteht durch kleine begrenzte Gebiete der Erdoberfläche, die wärmer sind als ihre
Umgebung (griechisch 'thermos' = warm). Durch Kontakt mit warmen Oberflächen wird auch die
Luft erwärmt, so dass ihre Masse m bzw. Dichte ρ = m/V (Masse pro Volumen) abnimmt. In der
kühleren Umgebung mit dichterer bzw. schwererer Luft herrscht so am Boden ein etwas
höherer Luftdruck, so dass dort kühle Luft in den wärmeren Bereich drängt und die warme Luft
anhebt, siehe Bild 1, links. Die warme Luft steigt dann so lange auf, wie sie leichter als ihre
Umgebungsluft bleibt, also ihre Dichte geringer bleibt (statischer Auftrieb nach Archimedes).
Dies hängt vor allem davon ab, ob und wie stark die Lufttemperatur mit der Höhe abnimmt.
Nun ist es aber so, dass die kühlere Umgebungsluft, wenn sie sich am Boden unter die
wärmere Luft schiebt, von der dort wärmeren Erdoberfläche ebenfalls erwärmt wird. Dies erhöht
zwar die Menge an wärmerer Luft, verhindert oder verzögert aber deren Ablösung. Zu einer
thermischen Ablösung kommt es meist erst, wenn noch andere Bedingungen erfüllt sind oder
noch andere Ereignisse eintreten. So kann sich z.B. kühlere Luft an einem Hang leichter unter
warme Luft schieben und Thermik auslösen, siehe Bild 1, rechts, oder die Erwärmung des
Bodens durch die Sonne wird durch den Schatten einer Wolke unterbunden, so dass sich unter
der vorher erwärmten Luft die Luft abkühlt. Oder die über einem trockenen Stoppelfeld
erwärmte leichte Luft wird über die kühle schwere Luft über einer Wiese geweht etc. Und erst
wenn eine Warmluftblase abhebt und Fahrt aufnimmt, zieht sie einen Luftschweif nach
(Tischtuchthermik), der dann einen spürbaren Bodenwind (Ablösung) erzeugt.
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Stabiler Gleitflug durch Schwerkraft und Luftkraft
Ohne die Erdanziehung könnten wir zwar schwerelos über der Erde schweben, doch erst durch
die Schwerkraft, die uns zur Erde zieht, erfahren wir eine Bewegung, jedenfalls ohne einen
sonstigen Antrieb.
Ein durch die Luft bewegter Körper drängt die Luft zur Seite und schiebt und zieht Luft mit sich.
Aufgrund der Massenträgheit der Luft wirkt auf die Oberfläche des Körpers so eine Luftkraft. Die
seitliche Verdrängung erzeugt eine Kraftkomponente quer zur Flugbahn. Bei einer überwiegend
nach unten umgelenkten Luftmasse entsteht Auftrieb, siehe folgendes Kapitel. Das Mitnehmen
von Luftmasse (aufgrund der Form des Körpers und aufgrund der Wandreibung) erzeugt eine
Kraftkomponente gegen die Bewegungsrichtung, den Widerstand.
Je nachdem, wo ich den Körper dabei halte bzw. führe, will sich dieser in eine Richtung bzw.
Lage (Anstellwinkel) drehen. Man spürt ein Drehmoment M. Lässt man die Drehung zu, so
dreht sich der Körper so weit, bis das Drehmoment verschwindet. Ein Haltepunkt, in dem man
kein Drehmoment, sondern nur den Druck der Luftkraft spürt, wird Druckpunkt D genannt.
Ein Gleiter wird von der Schwerkraft durch die Luft bewegt. Dabei richtet er sich so aus, dass
die Luftkraft hinter und/oder über dem Schwerpunkt S, dem Angriffspunkt der Schwerkraft,
angreift, siehe Bild 2. Dann hält ein Gleiter von sich aus, ohne ein Eingreifen des Piloten, eine
gewünschte Soll-Fluglage (Trimmflug) bzw. ein gewünschter Anstellwinkel ein. Bei
Abweichungen vom Soll, z.B. durch Turbulenzen, entstehen Rückstellmomente, die den Gleiter
wieder in die Soll-Fluglage drehen. Der Gleiter fliegt statisch längsstabil bzw. nick-stabil.
Die Tragflächen sollen im Trimmflug so gegenüber der Anströmung angestellt sind, dass
möglichst viel Auftrieb im Verhältnis zum Widerstand entsteht, so dass sich ein flacher Gleitflug
oder minimales Sinken ergibt.
Als Angriffspunkt der Luftkraft gilt der Neutralpunkt N. Er liegt bei flacher Anströmung, die
überwiegend Auftrieb erzeugt und so zu einem flachen Gleitflug führt, bei etwa 1/4 der
Flächentiefe im Flächenschwerpunkt einer Halbfläche, unabhängig vom Anstellwinkel α (daher
der Begriff 'Neutralpunkt'). Nur bei stumpfer Anströmung, bei der eine Fläche fast nur
Widerstand erzeugt, liegt der Neutralpunkt weiter hinten, etwa im Flächenschwerpunkt.
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Um für einen flachen Gleitflug eine Fluglage mit optimalem Anstellwinkel der Tragflächen zu
erreichen, muss ein Flugzeug eine hinten hochgestellte bzw. negativer eingestellte Fläche
(Leitfläche) haben. So ergibt sich ein genügend großer Anstellwinkel α und mit zunehmender
Geschwindigkeit v ein aufrichtendes Moment M(α, v), welches schließlich das kopflastige
Moment G * dS aus dem Gewicht G und der Schwerpunktvorlage dS (und aus der nach oben
gewölbten Fläche (Profil)) ausgleicht, siehe Bild 2, links. Sonst käme es zu einem stabilen
Sturzflug. Im Trimmflug ist das Moment im Schwerpunkt null, Druckpunkt und Schwerpunkt
liegen übereinander.
Luftkraft L(α,v)
Moment M(α,v)
D
α
N
dS
v
x
S
Gewicht G
Statisches Gleichgewicht: L + G = 0, M + G * dS = 0
dS
2 Statische Längsstabilität durch Schwerkraft und Luftkraft
Die hinten hochgestellte Fläche ist bei einem Rumpfflugzeug das Höhenleitwerk (Heck-,
Höhenflosse). Bei einem nach hinten gepfeilten und geschränkten Nurflügel, wie dem Drachen,
sind es die hinten liegenden Außenflügel. Außerdem kann auch die Hinterkante des Flügels
etwas nach oben gezogen werden, was zu dem sogenannten S-Schlag-Profil führt.
Bei Drachen mit flexiblen Flügeln (Flexiblen) sorgen Schränkungsanschläge (Swivel, Sprogs)
oder/und eine Turm-Segelabspannung für eine Mindestschränkung. Die Schränkung, bei
Flexiblen die Mindestschränkung, gilt daher als sekundäres Konstruktionsmerkmal für die NickStabilität eines Drachens.
Da die Rückstellmomente umso stärker sind, je weiter der Schwerpunkt vor dem Neutralpunkt
liegt, gilt diese Schwerpunktvorlage als primäres Konstruktionsmerkmal und Maß für NickStabilität eines Flugzeugs. Mit abnehmender Schwerpunktvorlage neigt ein Flugzeug dazu, sich
zu überschlagen oder ins Trudeln zu geraten.
Beim Gleitschirm mit dem etwa 8 m unter der Tragfläche (Kappe) hängenden Piloten wird NickStabilität durch tiefe Schwerpunktlage erreicht (Pendelstabilität), siehe Bild 2, rechts. Dadurch
wird weder eine Leitfläche noch ein S-Schlag-Profil benötigt. Auch muss der Schwerpunkt nicht
vor dem Neutralpunkt liegen. Da der Widerstand des tief hängenden Piloten von ca. 10 N bei 36
km/h (im Bild vernachlässigt) zu einem gewissen kopflastigen Moment führt (ca. – 80 Nm), und
wenn auch das Gleitschirmprofil mit einem Null-Auftrieb-Moment-Beiwert von z.B. cM,A=0 – 0,02
ein leichtes kopflastiges Moment erzeugt (ca. – 60 Nm), liegen Druckpunkt und Schwerpunkt im
Trimmflug bei einer Pilotenmasse von z.B. 90 kg sogar etwas hinter dem Neutralpunkt (gut 15
cm).
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Eine zu weit hinten angreifende Schwerkraft führt aber auch beim Gleitschirm zum Sackflug,
zum Trudeln oder zu einer Rückwärtsbewegung der Kappe. Dies kann z.B. dann passieren,
wenn die Bremsleinen zu stark gezogen bzw. belastet werden.
Im Trimmflug ist der Pilot über meist 3 bis 4 Punkte über die Flügeltiefe so aufgehängt, dass die
Kappe bei losen Bremsleinen für optimales Gleiten angestellt ist. Dann ist der Abstand dS
zwischen Schwerpunkt und Druckpunkt null. Ein höherer Anstellwinkel ist mit einem nach vorne
geschwenkten Piloten verbunden, was einer Verschiebung des Schwerpunkts nach vorne
entspricht und zu dem gewünschten kopflastigen Rückstellmoment führt. Bei einem kleineren
Anstellwinkel ist es umgekehrt.
Allerdings treten bei dieser Pendelstabilität unschöne Nebeneffekte auf. Bei einem größer
werdenden Anstellwinkel erhöht sich neben dem Auftrieb auch der Widerstand der Kappe, sie
bremst. Und wenn die Wirkungslinie des Pilotengewichtes (noch) hinter dem Neutralpunkt
verläuft, erhöht sich auch das Moment aus der Kappe, es wird weniger negativ oder gar positiv.
Beides trägt dazu bei, dass der Pilot nach vorne pendelt und den Anstellwinkel der Kappe
weiter erhöht. Erst wenn der Pilot weit nach vorne gependelt ist, kommt es zu einem
kopflastigen Rückstellmoment, das dann entsprechend kräftig ausfällt. Dies kann die Kappe
vorschießen lassen, sofern der Pilot nicht bremsend eingreift. Ein Vorschießen würde den
Piloten anschließend wieder nach vorne pendeln lassen. Die Trimmfluglage würde erst nach
einem Einschwingvorgang wieder eingenommen. Auf ein Unterschreiten des Soll-Anstellwinkels
reagiert ein Gleitschirm schwächer. Bei negativen Anströmwinkeln besteht die Gefahr, dass der
Schirm von der Anströmkante her einklappt.
3
Auftrieb durch die Massenträgheit der Luft
Masse widersetzt sich einer Veränderung ihrer Geschwindigkeit, ihres Geschwindigkeitsvektors,
sei es eine Beschleunigung, eine Verzögerung oder eine Veränderung der Bewegungsrichtung,
wie z.B. eine Umlenkung zur Seite, was als Massenträgheit bezeichnet wird.
Eine uns geläufige Kraft, die auf der Massenträgheit beruht und auch den dynamischen Auftrieb
bewirkt, ist die Fliehkraft bzw. Zentrifugalkraft Z = m * v2/r, z.B. in einer Zentrifuge. Sie entsteht,
wenn eine Masse m mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gehalten
und damit ständig zu einer Änderung ihrer Bewegungsrichtung gezwungen wird.
Wird wie im Bild 3 ein Luftstrom von einer gewölbten Fläche mit dem konstanten
Krümmungsradius r umgelenkt, wirkt auf die umgelenkte Luftmasse m = mu + mo und damit auf
die Fläche die Zentrifugalkraft Z als Luftkraft L = m/r * v2. Unten drückt die Luftmasse mu gegen
die Fläche, oben zieht die Masse mo an der Fläche. Dass auch oben der Massenstrom der
Wölbung der Fläche folgt, wo er an der Fläche zieht, liegt wesentlich an dem umgebenden
Luftdruck (auf Meereshöhe gut 1 Tonne/m2), der beidseitig die Strömung andrückt. Hinzu
kommt die Adhäsion (lateinisch 'adhaesio' = Anhaftung) zwischen der Luft und der Fläche.
Bei tangentialer Anströmung ergibt sich der mittlere bzw. konstante Krümmungsradius aus dem
Anstellwinkel α und der Flächentiefe d: r = h + d/tan(2 * α) mit der Anstellhöhe h = d * tan(α),
bzw. r = d * (tan(α) + 1/tan(2 * α)). Die umgelenkte Luftmasse erhält man aus der Luftdichte ρ,
der Flächentiefe d und einem Strömungsquerschnitt Q: m = ρ * d * Q. Welcher Querschnitt für
die umgelenkte Luft maßgeblich ist, ist abzuschätzen. Dabei sind die beiden folgenden Punkte
zu berücksichtigen:
1. Die Umlenkung der Luft nimmt mit dem Abstand von der Fläche ab.
2. Die unten gegen die Fläche drückende Luft drückt auch Luft zur Seite, nach außen, die
oben an der Fläche ziehende Luft zieht auch Luft von der Seite an, von außen.
Für Q wird daher eine Ellipse mit der Spannweite S als Durchmesser angenommen, für übliche
Anstellwinkel und Spannweiten ein Kreis mit Q = π * (S/2)2, siehe Bild 4. Diese Annahme wird
auch durch plausible Rechenergebnisse gerechtfertigt. Die Luftkraft wird also maßgeblich von
der Spannweite bzw. Streckung beeinflusst. Der elliptische bzw. kreisförmige
Strömungsquerschnitt führt zu einer elliptischen Auftriebsverteilung über der Spannweite.
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Auftrieb A = L * cos(α)
Luftkraft L = m/r * v2
Luftmasse m = mo + mu
z
mo
Geschwindigkeit v
Wölbhöhe
w = r - (r2 - (h2 + d2)/4)1/2
w
h
mu
α
Flächentiefe d
Anstellwinkel α
Anstellhöhe h = d * tan(α)
x
Widerstand W = L * sin(α)
r
Mittlerer Krümmungsradius
r = h + d/tan(2*α)
3 Luftkraft L als Zentrifugalkraft der umgelenkten Luftmasse m
z
z
Luftdichte ρ
y
x
Halbspannweite S/2
Querschnitt Q = π * (S/2)2
Flächentiefe d
Luftmasse m = ρ * Q * d
4 Querschnitt Q und Masse m der umgelenkten Luft
Der mit dem Anstellwinkel α nach hinten zeigende Luftkraftvektor L lässt sich in eine
Komponente senkrecht zur Strömungsrichtung, den Auftrieb A = L * cos(α), und in eine
Komponente in Strömungsrichtung, den Widerstand W = L * sin(α), zerlegen. Die Gleitzahl ist
dann Glz = A/W = 1/tan(α). Sie nimmt mit kleinerem Anstellwinkel zu (wobei auch die Luftkraft L
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abnimmt). Der mit dem Auftrieb verbundene Widerstand wird 'Induzierter Widerstand' (lateinisch
'inducere' = herbeiführen) genannt, im Unterschied zum Reibungswiderstand aus Scherkräften
im Strömungsfeld, insbesondere in der Grenzschicht. Der Begriff wurde aufgrund von Analogien
zwischen Strömungsfeldern und elektromagnetischen Feldern (Induktion) vmtl. durch Hermann
von Helmholtz ca. 1873 eingeführt.
Schon mit diesem einfachen Zentrifugalkraft-Modell, das noch keine Wechselwirkung zwischen
Druck und Geschwindigkeit, siehe unten, keinen Reibungswiderstand und keine weiteren
Effekte (z.B. Ablösungen) und Einflussgrößen (z.B. Pfeilung) berücksichtigt, lassen sich bereits
recht plausible Werte berechnen. So ergibt sich z.B. für einen Flügel mit einer Spannweite von
10 m und einer Fläche von 14 m2 (Streckung 7,14) bei einem Anstellwinkel von 3 Grad, einer
Geschwindigkeit von 11 m/s bzw. 40 km/h und einer Luftdichte von 1,225 kg/m3 eine Luftkraft L
= 125 kp und eine Gleitzahl Glz = 19. Erhöht man die Spannweite bei gleicher Fläche von 10
auf 12 m (Streckung 10,29), so genügt für eine gleich große Luftkraft L = 125 kp bereits ein
Anstellwinkel von 2,1 Grad, mit dem man eine Gleitzahl Glz = 27 erreicht.
Die Zentrifugalkraft ergibt sich aus dem Impulssatz, mit dem sonst auf einem anderen Wege die
Luftkraft berechnet wird. Der Impuls ist I = m * v, die Kraft K = dI/dt, z.B. K = m * dv/dt.
Die unten gegen die Fläche drückende Luft drückt aber nicht nur auch Luft zur Seite, nach
außen, wie für den Strömungsquerschnitt Q berücksichtigt, siehe oben, sondern auch noch
nach vorne und nach hinten, so dass die Strömung unter der Fläche vor dem Überdruckgebiet
gebremst und dahinter wieder beschleunigt wird. Die oben an der Fläche ziehende Luft zieht
nicht nur auch Luft von der Seite an, von außen, sondern auch noch von vorne und von hinten,
so dass die Strömung über der Fläche vor dem Unterdruckgebiet beschleunigt und dahinter
wieder gebremst wird.
Dadurch strömt bei Unterschall-Geschwindigkeit auch Luft aus dem Überdruckgebiet unter der
Fläche um ihre vordere Kante, die Anströmkante, herum in das Unterdruckgebiet über der
Fläche. An einer scharfen Anströmkante, also einer Kante mit einem sehr kleinen
Krümmungsradius, wie z.B. bei einer einfachen Platte, entsteht so eine extrem starke
Sogspitze, die die wandnahe Luft (Grenzschicht) gegen die Strömung anzieht, so dass sich
hinter der Kante ein flacher Wirbel bildet, der die Umströmung von der Wand drängt, ablöst.
Dies hat zu der runden Anströmkante bzw. Profilnase geführt, die solche frühen Ablösungen
verhindert bzw. reduziert, und daraus weiter zur 'Stromlinienform' bzw. 'Tropfenform'. Eine
Umströmung einer angestellten bzw. gewölbten Platte wie in Bild 3 kann es also physikalisch
bei Unterschall-Geschwindigkeit so nicht geben. Für eine genauere Bestimmung der Luftkraft
aus umgelenkter Luftmasse muss folglich die Umströmung eines Profils betrachtet werden.
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