P2 Optische Abbildungen und Mikroskop C

Physikalisches Praktikum für Pharmazeuten
P2: Optische Abbildungen und Mikroskop
C. Nachbereitungsteil (NACH der Versuchsdurchführung lesen!)
4. Physikalische Grundlagen
4.1 Strahlengang
Zur Erklärung des physikalischen Lichtverhaltens wird das Licht als Lichtstrahl betrachtet. Als Näherung wird angenommen, dass Lichtstrahlen sich immer geradlinig ausbreiten und ihre Richtung nur
dann ändern, wenn sie auf eine Grenzfläche treffen. Der Wellencharakter des Lichts wird vernachlässigt. Mehrere Lichtstrahlen werden als Lichtbündel behandelt. Wichtig bei diesem Modell ist das Prinzip der Umkehrbarkeit, das heißt, dass jeder Strahlengang auch dann allen optischen Gesetzen genügt,
wenn die Ausbreitungsrichtung des Lichts umgekehrt wird. Zudem beeinflussen sich Lichtstrahlen
nicht gegenseitig. Die charakterisierenden Eigenschaften des Lichts im Rahmen der geometrischen
Optik können innerhalb dieses Modells gut erfasst werden.
Zudem können einem Lichtstrahl eine Polarisation und eine Fortpflanzungsgeschwindigkeit zugeordnet werden. Die Wellenlänge des Lichts charakterisiert anschaulich die Farbe des Lichtstrahls. Das
Farbspektrum in dem sichtbaren Bereich, sieht folgendermaßen aus:
Farbeindruck
rot
gelb/orange
grün
blau
violett
Wellenlänge λ in nm
≈ 750 - 640
≈ 640 - 580
≈ 580 - 500
≈ 500 - 440
≈ 440 - 400
Frequenz ν in THz
≈ 400 - 468
≈ 468 - 517
≈ 517 - 600
≈ 600 - 681
≈ 681 - 749
4.2 Reflexion
Beim Übergang eines Lichtstrahls von einem Medium 1 in ein anderes Medium 2 wird ein Teil der
Intensität reflektiert, der andere Teil tritt in das angrenzende Medium ein. Der einfallende und der
reflektierte Strahl liegen in einer gemeinsamen, senkrecht auf der Grenzfläche stehenden Ebene, und
der Einfallswinkel α ist genau so groß wie der Reflexionswinkel α’ (Abb. 1).
Abb. 1: Reflexion und Brechung an einer Grenzfläche
Die Reflexion lässt sich wie auch die Brechung (Abb. 2) und die allgemeine Ausbreitung des Lichts
mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips erklären, welches aussagt, dass ein Lichtstrahl immer den Weg
zwischen zwei Punkten wählt, für den er die kürzeste Zeit benötigt.
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Abb. 2: Brechung von Lichtstrahlen an einer Grenzfläche
4.3 Brechungsgesetz
Um den Verlauf der Lichtstrahlen im Medium zu beschreiben, wird das von W. Snellius entwickelte
Brechungsgesetz verwendet, welches besagt, dass das Produkt aus Brechungsindex und Sinus des
Strahlenwinkels zur Normalen (Lot) vor und nach der Brechung gleich sind (siehe Abb. 2).
n1 ⋅ sin α = n2 ⋅ sin β
F (4)
Man nennt das Medium mit dem größeren Brechungsindex das optisch dichte, dasjenige mit dem kleineren Brechungsindex das optisch dünne Medium. In Abb. 2 ist das Medium 2 also optisch dichter als
das Medium 1. Der Brechungsindex des Vakuums beträgt 1; derjenige von Luft ist davon nur wenig
verschieden und kann in der Praxis meistens als 1 angesetzt werden.
4.4 Linsen
Linsen sind transparente Körper mit zwei Grenzflächen, an denen Brechung stattfindet und deren optische Achsen zusammenfallen. Grundsätzlich werden Linsen durch ihre Brennweite charakterisiert, die
durch den Abstand eines Brennpunktes (bezeichnet mit F wie Fokus) zur Linse gegeben ist.
Aus der Abbildungsgleichung lässt sich folgende geometrische Regel aufstellen (vgl. Abb. 3 links):
•
Lichtstrahlen, die durch den Brennpunkt F1 auf die Linse auftreffen (= Brennpunktstrahlen),
verlaufen nach dem Durchgang durch die Linse parallel zur optischen Achse.
•
Lichtstrahlen, die parallel zu optischen Achse auf die Linse auftreffen (= Parallelstrahlen), verlaufen hinter der Linse durch den Brennpunkt F2.
•
Strahlen, die durch den Mittelpunkt der Linse verlaufen (= Mittelpunktstrahlen), werden nicht
gebrochen.
Man unterscheidet zwischen Sammellinsen (konvex) und Zerstreuungslinsen (konkav):
Konvexe Linsen: Parallelstrahlen werden so gebrochen, dass sie in einen Punkt zusammen laufen.
Konkave Linse: Parallelstrahlen laufen bei Brechung auseinander.
Entsteht bei der Abbildung eines Gegenstandes G ein Bild B, welches sich auf der vom Objekt abgewandten Seite befindet so wird dieses Bild als reell bezeichnet. Befindet sich das Bild auf der Seite,
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welche dem Objekt zugewandt ist, so wird dieses Bild als virtuell bezeichnet. Reelle Bilder lassen sich
im Gegensatz zu virtuellen mit einen Schirm auffangen. In Abb. 3 ist zu erkennen, wie Lichtstrahlen
durch eine konvexe bzw. konkave Linse verlaufen.
Abb. 3: Strahlengang an einer Konvexlinse (links) und an einer Konkavlinse (rechts)
4.5 Abbildungsgleichung
Aus der geometrischen Betrachtung dreier Lichtstrahlen, die von einem Gegenstand über eine Linse
auf das Bild abgebildet werden, lässt sich die Abbildungsgleichung zeichnerisch herleiten. Die Verhältnisse der Gegenstandsgröße G und der Bildgröße B zu der Gegenstandsweite g und Bildweite b
und der Brennweite f der Linse erschließen sich direkt aus der Anwendung des Strahlensatzes. Aus der
Abbildung 4 folgt:
F (5)
1 1 1
= +
f g b
(Abbildungsgleichung)
Dies ist die Abbildungsgleichung für dünne Linsen und achsennahe Strahlenverläufe.
Abb. 4: Zeichnerische Konstruktion der Linsenabbildung
Den Kehrwert der Brennweite f in der Einheit m-1 nennt man auch Dioptrie (D = 1 / f ).
4.6 Bessel´sches Verfahren zur Bestimmung der Brennweite einer Linse
Für die Bestimmung der Brennweite einer Linse wird häufig das Bessel´sche Verfahren verwendet.
Dazu wird auf einer optischen Bank an dem einen Ende der Gegenstand G und an dem anderem Ende
ein Schirm angebracht. Dazwischen wird eine variierbare Linse positioniert (Abb. 5).
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Ist der Abstand a des Schirms vom Gegenstand größer als das Vierfache der Brennweite, so gibt es
genau zwei Linsenstellungen, bei denen die Linse ein scharfes Bild auf dem Schirm erzeugt. Die Linse
wird zwischen diesen beiden Positionen verschoben und die jeweiligen Gegenstandweiten g1 und g2
gemessen. Aus der Differenz ergibt sich der Abstand der beiden Linsenpositionen e. Die Brennweite
ergibt sich zu:
F (6)
f =
a 2 − e2
4⋅a
Abb. 5: Zum Bessel’schen Verfahren
Das Bessel´sche Verfahren hat den Vorteil gegenüber der einfachen Berechnung aus Bild- und Gegenstandsweite mittels der Linsengleichung, dass bei dicken Linsen oder Linsensystemen die Lage der
Hauptebenen nicht bekannt sein muss.
4.7 Lupe
Angenommen, ein Gegenstand ist sehr klein, so dass man ihn nahe an das Auge heranbringen muss,
um ihn zu erkennen. Wenn der Abstand zum Auge aber zu klein wird, kann man nicht mehr akkomodieren, d. h. das Bild des Gegenstandes auf der Netzhaut ist zwar groß, aber unscharf.
Mit einer Lupe kann man die scheinbare Größe eines Objektes vergrößern. Der Gegenstand G befindet
sich innerhalb der Brennweite einer Sammellinse (Abb. 6 a). Dann erzeugt die Lupe ein virtuelles Bild
B auf der Gegenstandsseite. (Die Bildweite b ist hier formal negativ!)
Der Betrag der Bildweite ist dabei deutlich größer als die Gegenstandsweite, so dass das virtuelle Bild
mindestens am Nahpunkt, wenn nicht sogar weiter entfernt entsteht.
Abb. 6 a) Bildentstehung bei der Lupe; b) Angularvergrößerung bei der Lupe
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Die Lateralvergrößerung Vlateral ist definiert als das Verhältnis der Bildgröße B zur Gegenstandsgröße
G, was aufgrund des Strahlensatzes identisch ist mit dem Betrag des Quotienten von Bild- und Gegenstandsweite:
F (7)
Vlateral =
B b
=
G g
Der Winkel β, unter dem das virtuelle Bild gesehen wird, ist jedoch genau derselbe, unter dem der
Gegenstand ohne Lupe gesehen würde (Abb. 6 b). Der Unterschied ist aber, dass man mit dem Auge
nicht mehr auf den nahen Gegenstand akkomodieren muss, sondern auf das etwas weiter entfernte
Bild.
Die Lupe vergrößert jedoch den scheinbaren Sehwinkel, unter dem das Auge den Gegenstand sähe,
wenn es genauso weit entfernt wäre wie das Bild. Man spricht von der Winkelvergrößerung (= Angularvergrößerung) Vangular:
F (8)
Vangular
B
tan β b B
=
=
= = Vlateral
tan α G G
b
Befindet sich der Gegenstand genau bei der Brennweite f, dann entsteht das Bild im Unendlichen.
Entsprechend muss dann auch das Auge auf Unendlich akkomodiert, also völlig entspannt sein. Befindet sich der Gegenstand (ohne Lupe!) bei der sog. „deutlichen Sehweite“ s0 , die man auf 25 cm definiert hat, dann spricht man bei der Vergrößerung einer Lupe auch von der Nomalvergrößerung:
F (9)
Vnormal =
s0
f
(s0: deutliche Sehweite, s0 ≈ 25 cm)
4.8 Linsenfehler
4.8.1 Chromatische Aberration
Bei Linsen oder Prismen spielt Dispersion eine entscheidende Rolle. Dispersion bezeichnet hier die
Abhängigkeit der Lichtbrechung von Wellenlänge bzw. der Frequenz des Lichts. Da jeder Farbe des
Lichts eine unterschiedliche Wellenlänge zugeordnet ist, werden diese unterschiedlich stark gebrochen.
Dies ist die Ursache der chromatischen Aberration, welche sich aus dem griechischen Wort
„chroma“ (Farbe) und dem lateinischen „aberrare“ (abschweifen) zusammensetzt.
Abb. 7: Chromatische Aberration
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Trifft monochromatisches Licht, d.h. Licht einer Wellenlänge, auf eine Sammellinse, so laufen alle
Strahlen in einem Punkt zusammen. Das gilt jedoch nicht mehr, wenn es sich dabei um Licht verschiedener Farben handelt. Bei weißem Licht, welches aus allen Wellenlängen des sichtbaren Bereichs
besteht, ist dieser Fehler deutlich zu erkennen. Durch die unterschiedlich starke Brechung entstehen
für die einzelnen Wellenlängen unterschiedliche Brennweiten (Abb. 7). Das entworfene Bild eines
Gegenstandes von der Linse zeigt dadurch farbliche Ränder.
4.8.2 Sphärische Aberration
Auch bei monochromatischem Licht können bei der Abbildung von Gegenständen an Linsen Fehler
entstehen. Die sphärische Form und die endliche Größe der Linse beeinflussen das Verhalten von
Lichtstrahlen in Abhängigkeit zum Abstand zur optischen Achse. Es wird dabei zwischen achsennahen und achsenfernen Strahlen unterschieden. Die Abweichung der Brennweiten nimmt mit dem Abstand des Strahls zur optischen Achse zu (Abb. 8).
Abb. 8: Sphärische Aberration
4.8.3 Astigmatismus schiefer Bündel
Astigmatismus tritt auf, wenn ein Lichtbündel schräg auf die Linse trifft (Abb. 9 oben). Durch den
unsymmetrischen Verlauf zur optischen Achse, entsteht dieser Fehler. Dabei wird zwischen zwei Arten von Strahlen unterschieden: Die Strahlen in der horizontalen Schnittebene (Sagittalebene) und die
in der senkrechten Schnittebene (Meridionalebene).
Da bei schrägem Einfall des Lichts auf die Linse unterschiedliche lokale Krümmungsradien in den
jeweiligen Ebenen auftreten, werden Strahlen der Meridionalebene in einem anderen Bildpunkt, in der
Bildweite bM, als Strahlen der Sagittalebene, in der Bildweite bS, abgebildet. Durch diese unterschiedlichen Brennweiten erscheint der Bildpunkt in den unterschiedlichen Weiten x1, bM, x2, bS oder x3 nicht
als Punkt, sondern in Form zweier Bildlinien und dadurch nicht mehr scharf (Abb. 9 unten).
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Abb. 9: oben: Strahlenverlauf beim Astigmatismus schiefer Bündel;
unten: Abbildungen beim Astigmatismus
4.9 Mikroskop
Ein Mikroskop besteht im einfachsten Fall aus zwei Linsen L1 und L2 (Abb. 10). Die erste Linse ist
das Objektiv und entwirft ein reelles Zwischenbild, welches mit einem Schirm aufgefangen werden
kann. Dieses Zwischenbild des Gegenstandes G befindet sich in der Brennebene der zweiten Linse
(dem Okular). Durch das Okular, das wie eine Lupe (s. 4.7) eingesetzt wird, gelangen parallele Strahlenbündel von jedem Punkt des Gegenstandes ins Auge, sodass ein vergrößertes virtuelles Bild des
Gegenstandes im Unendlichen erscheint. Der Abstand zwischen den beiden Brennebenen der Linsen
L1 und L2 wird als optische Tubuslänge T bezeichnet.
Abb. 10: Strahlengang im Mikroskop
Die Vergrößerung ist das Produkt aus den Einzelvergrößerungen der beiden Linsen:
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F (10)
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VM = VObjektiv ⋅ VOkular
Da das Zwischenbild direkt am Brennpunkt des Okulars entsteht, beträgt die Bildweite b in Abb. 10:
F (11)
b = f1 + T
Ferner ist:
F (12)
tan β =
G B1
=
f1 T
Damit beträgt die Vergrößerung des Objektivs nach Umformung der Formel F (12):
F (13)
VObjektiv =
B1 T
=
G
f1
Da das Okular wie eine Lupe funktioniert, bei der sich der Gegenstand (hier: Zwischenbild B1) genau
bei der Brennweite befindet, ist die Vergrößerung des Okulars gleich der Normalvergrößerung der
Lupe (s. 4.7):
F (14)
VOkular =
s0
f2
Damit ist die Gesamtvergrößerung des Mikroskops nach F (10):
F (15)
VM = VObjektiv ⋅ VOkular =
T ⋅ s0
f1 ⋅ f 2
4.10 Abbe’sche Theorie der Abbildung
Für die Abbildung eines Nichtselbstleuchters spielt Beugung eine entscheidende Rolle. Wird ein Objekt mit parallelem Licht beleuchtet, so erscheint die nullte Beugungsordnung (B.O.) in Richtung des
durchgehenden Lichts (Abb. 11). Jedoch geben erst die höheren Beugungsordnungen Auskunft über
den Abstand.
Abb. 11: Abbe’sche Theorie der Abbildung
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Für die Maxima bei der Beugung von Licht gilt (vgl. „Beugung am Gitter“ in Versuch P 3):
m ⋅ λ = d ⋅ sin α
F (16)
m: Beugungsordnung (= 1; 2; ...),
d: Abstand zwischen den Spalten S1 und S2
Zur Entstehung der Bilder B1 und B2 wird mindestens die +1. und die −1. Beugungsordnung benötigt.
Daraus folgt, dass die Objektivlinse L1 des Mikroskops mindestens das Licht der ±1. Beugungsordnung unter dem Winkel α1 noch erfassen können, d. h. die numerische Apertur NA muss mindestens
F (17)
NA = n ⋅ sin α > n ⋅ sin θ1 =
λ
d
sein, um die räumliche Auflösung zu erreichen. Daraus ergibt sich das Abbe’sche Auflösungsvermögen:
F (18)
d≥
λ
n ⋅ sin α
=
λ
NA
Durch Verwendung eines Immersionsöls mit Brechungsindex n lässt sich die numerische Apertur vergrößern.
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5. Aufgaben
Versuchen Sie, die folgenden Aufgaben zu beantworten, und diskutieren Sie Ihre Lösungsvorschläge
mit Ihrem Assistenten im Kolloquium.
5.1
Eine ideale, dünne Zerstreuungslinse entwirft das virtuelle Bild B eines Gegenstandes G.
Welche der folgenden Bildkonstruktionen ist richtig?
5.2
Welchen der folgenden Aussagen über das Lichtmikroskop stimmen Sie zu?
5.3
(1)
Ein reelles Zwischenbild entsteht etwa in der Brennebene des Okulars.
(2)
Das Okular wirkt als Lupe, mit der das Auge das Zwischenbild betrachtet.
(3)
Die Vergrößerung des Mikroskops hängt ab von der Brennweite des Objektivs und des
Okulars.
(4)
Die Vergrößerung des Mikroskops ist unabhängig vom Abstand Objektiv-Okular (bei
gegebenen Brennweiten).
(A)
nur (1) und (2)
(B)
nur (1), (2) und (3)
(C)
nur (1), (3) und (4)
(D)
nur (2), (3) und (4)
(E)
(1) bis (4) (alle)
Ein Brillenglas erzeugt ein scharfes Bild der Sonne in 50 cm Abstand von der Linse. Wie groß
ist die Brechkraft der Linse?
(A)
50 Dioptrien
(B)
20 Dioptrien
(C)
2 Dioptrien
(D)
1/2 Dioptrie
(E)
1/50 Dioptrie
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