O12 Linsenfehler

Version: 27. Juli 2004
O12
O12
Linsenfehler
Stichworte
Geometrische Optik, dünne und dicke Linsen, Linsensysteme, Abbildungsgleichungen,
Bildkonstruktion, Vergrößerung, reelles und virtuelles Bild, Linsenfehler (Koma, Astigmatismus, Verzeichnung, sphärische und chromatische Aberration), Hauptebene
Literaturempfehlung: Walcher
Grundlagen
Eine ideale optische Abbildung führt Punkte wieder in Punkte, Geraden in Geraden und
Ebenen in Ebenen über. Diese sogenannte kollineare Abbildung läßt sich durch Einführen
von Hauptpunkten, Hauptebenen, Brennpunkten und Brennebenen eindeutig kennzeichnen und theoretisch berechnen. Die Abbildungseigenschaften von Linsen haben mit der
Herleitung dieser Begriffe nichts zu tun, jedoch lassen sich kollineare Abbildungen mit
Linsen näherungsweise realisieren.
Für dünne Linsen und achsennahe Strahlen beschreibt die Abbildungsgleichung (Linsenformel)
1 1
1
= +
f
g b
(O12- 1)
f : Brennweite; g: Gegenstandsweite; b: Bildweite
die Geometrie der Abbildung, wenn auf Gegenstands- und Bildseite dasselbe Medium
vorhanden ist. Zur Bestimmung der Abbildungsverhältnisse ist es oft am einfachsten,
den Strahlengang geometrisch zu konstruieren. Dies ist besonders dann von Vorteil, wenn
man komplizierte Linsensysteme vorliegen hat. Dabei verfährt man so, daß man von einem Punkt des Gegenstandes zwei verschiedene Strahlen ausgehen läßt und deren Wege
verfolgt, bis sie sich wieder schneiden. Der Schnittpunkt gibt dann den Bildpunkt des
entsprechenden Gegenstandspunktes an. Zur Konstruktion benutzt man i.a. 2 ausgewählte Strahlen, deren Eigenschaften bekannt sind, z.B.: ein Strahl durch den Mittelpunkt
der Linse wird nicht gebrochen, ein Strahl durch einen Brennpunkt der Linse geht in
einen Parallelstrahl über und umgekehrt. Bei dicken Linsen muß man für die geometrische Konstruktion sog. Hauptebenen einführen (Abb. (O12- 1)). Anstelle des tatsächlichen
Strahlenverlaufs durch die Linse zeichnet man den Parallelstrahl bis zur gegenüberliegenden Hauptebene und dann durch den Brennpunkt. Ein Mittelpunktsstrahl“ wird parallel
”
verschoben. Auf diese Weise kann auch ein Linsensystem aus mehreren Einzel-Linsen als
eine dicke Linse mit entsprechenden Hauptebenen aufgefaßt werden.
321
Optik
Version: 27. Juli 2004
Abb. O12- 1: linke Abb.: bikonvexe Linse, rechte Abb.: bikonkave Linse. Bildkonstruktion mit
Hilfe der Hauptebenen und Hauptpunkte (aus Bergmann-Schaefer, Bd. III)
Optische Abbildungen sind praktisch immer fehlerhaft.
Die häufigsten Abbildungsfehler sind:
1. Verzeichnung
Wenn das Bild dem Gegenstand nicht ähnlich
ist, spricht man von einer Verzeichnung.
Ursache der Verzeichnung ist die sphärische Aberration. Die Art der Verzeichnung
hängt von der Pupillenlage ab. Pupillen
oder Blenden sind Flächen, zu denen alle
abbildenden Lichtbündel einen gemeinsamen,
für alle gleich grossen Querschnitt besitzen.
So erhält man z.B. eine kissenförmige“
”
Verzeichnung, wenn die Pupille im Bildraum,
eine tonnenförmige“ Verzeichnung, wenn Sie
”
im Gegenstandsraum liegt. Die Abbildung
wird praktisch verzeichnungsfrei, wenn die
Pupille in der Linsenebene liegt.
2. Sphärische Aberration (Zonenfehler)
Achsennahe und achsenferne Strahlen, die
parallel zur optischen Achse auf eine Linse
Abb. O12- 2: Kissen- und tonnenförmige Verfallen, werden unterschiedlich gebrochen.
zeichnung durch eine hinter der Linse (a)
Als Folge davon liegt der ”Brennpunkt” für
und vor der Linse (b) gesetzte Blende (aus
achsenferne Strahlen näher an der Linse als
Bergmann-Schaefer).
der für achsennahe Strahlen.
322
O12
Version: 27. Juli 2004
3. Chromatische Aberration (Farbfehler)
Die chromatische Aberration wird durch die Dispersion des Lichts bewirkt: der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge des Lichts ab; das bedeutet, daß für blaues Licht
der Brennpunkt näher an der Linse liegt als für rotes.
4. Astigmatismus
Ist die Begrenzungsfläche der Linse keine exakte Kugelfläche, sondern eine Fläche mit unterschiedlichen
Krümmungsradien in zwei zueinander senkrechten
Meridianschnitten (hier xz zu yz), so schneiden sich
achsenparallele Strahlen in diesen zueinander senkrechten Ebenen in zwei verschiedenen Brennpunkten
F1 und F2 .
Abb. O12- 3: Zur Erläuterung des
Astigmatismus
Messung der Brennweite von Linsen
Abb. O12- 4: Bessel-Verfahren
Zur Messung der Brennweite einer Linse kann man das Bessel-Verfahren benutzen
(Abb. (O12- 4)): Ist die gegebene feste Entfernung d zwischen Gegenstand und Bild größer
als 4f , so erhält man für zwei verschiedene Stellungen der Linse ein scharfes Bild. Diese
beiden Linsenorte I und II liegen symmetrisch zur Mitte von d. Die Differenz zwischen
den beiden Linsenstellungen sei e (Abb. (O12- 4)). Wegen der Symmetrie ist mit den
Bezeichnungen der Linsenformel (O12- 1):
gII = bI =
d+e
2
und
bII = gI =
d−e
2
323
Optik
Version: 27. Juli 2004
Dies in Gl. (O12- 1) eingesetzt liefert die gesuchte Brennweite der Linse zu
f=
d2 − e2
4d
(O12- 2)
Ist deren Hauptebenen-Abstand h nicht zu vernachlässigen, so muß man ihn von d abziehen, da die Strecke zwischen den Hauptebenen definitionsgemäß weder zur Bild- noch zur
Gegenstandsweite gehört. Es ergibt sich damit die gesuchte Brennweite:
(d − h)2 − e2
f=
;
4 (d − h)
nach Abb. (O12- 4)
(O12- 3)
Umgekehrt kann aus Gl. (O12- 3) bei bekannter Brennweite der Hauptebenen-Abstand
ermittelt werden.
Autokollimation
Die Bestimmung der Brennweite f einer Linse
kann durch Autokollimation erfolgen (Abb.
(O12- 5)). Darunter versteht man eine solche Abbildung, bei der ein Gegenstand wieder in der
Gegenstandsebene abgebildet wird. Man bringt
dazu hinter der Linse einen ebenen Spiegel senkrecht zur optischen Achse an und verschiebt
den Gegenstand solange, bis das Bild des GeAbb. O12- 5: Autokollimation
genstands in der Gegenstandsebene scharf und
gleich groß erscheint. Dann befindet sich der Gegenstand in der Brennebene der Linse.
Alle von einem Punkt des Gegenstandes ausgehenden Lichtstrahlen verlaufen nach der
Linse parallel, werden reflektiert und in der Brennebene wieder zu einem Punkt vereinigt.
Als Gegenstand dient ein Dia, dessen eine Hälfte mit weißer Pappe abgedeckt ist. Befindet
sich dieses Dia genau im Abstand der Brennweite f von der Linse, dann erhält man nach
Reflexion der Strahlen am Spiegel auf der unteren abgedeckten Diahälfte ein scharfes, mit
dem Raster des oberen Dias identisches Bild.
Zur direkten Ermittlung der Hauptpunkte (Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse) bildet man
einen unendlich fernen Punkt ab. Bei Drehung der Linse
um eine Achse durch den bildseitigen Hauptpunkt darf
sich das Bild nicht bewegen. Das lässt sich zeigen, indem
man den Strahlengang rückwärts verfolgt (Abb. (O12324
Abb. O12- 6: Zur Bestimmung
des Hauptebenen-Abstandes
Version: 27. Juli 2004
O12
6)). Der Strahl erfährt bei Drehung der Linse lediglich eine Parallelverschiebung. Das bedeutet aber, daß Strahlen
von einem unendlich fernen Gegenstand (Parallelstrahlen) sich in einem Punkt der Brennebene schneiden.
Fragen
1. Warum wird paralleles Licht nach Durchlaufen einer Bikonvexlinse fokussiert?
2. Wie hängt die Brennweite einer Linse vom Krümmungsradius ihrer brechenden Kugelflächen und vom Brechungsindex ab?
3. Als Lichtquelle diene eine Lampenwendel, die im Brennpunkt einer Sammellinse
stehe. Hat das Strahlenbündel nach Durchlaufen der Linse konstanten Querschnitt
( Parallelstrahl“)?
”
Messprogramm
Linsenfehler
1. Messung der sphärischen Aberration einer dünnen Linse nach dem BesselVerfahren (Abb. (O12- 4)). Mit drei Kreisringblenden zwischen Dia und Linse werden die verschiedenen Zonen einer Bikonvexlinse zur Abbildung eines Dias verwendet. Pro Linsenzone drei Messungen mit drei Wertepaaren d und e. Danach Brennweitenbestimmung nach Gl. (O12- 2) bzw. (O12- 3).
Hinweis: Zwischen Lampe und Dia ist eine Streuscheibe einzuschalten!
2. Messung der chromatischen Aberration ∆f /fmittel für das Zentrum der Linse
mit verschiedenen Farben. Benutzen Sie dazu die kleinste Ringblende.
Abb. O12- 7: Anordnung zur Messung der chromatischen Aberration
325
Optik
Version: 27. Juli 2004
Zunächst wird mittels Autokollimation paralleles Licht erzeugt (Abb. O12- 5). Dann
wird die Lochblende gegen das Dia vertauscht, das Farbfilter mit Wärmeschutzfilter
in den Strahlengang eingefügt und der Schirm gegen das Mikroskop ausgewechselt
(Abb. (O12- 7)). Für jedes der Farbfilter erfolgen 5 Messungen (Ablesung an der
Mikroskopskala) zur Lage der Brennebene der mittleren Linsenzone (scharfes Bild
des Dias) bei farbigem Licht. Aus den Mittelwerten wird die Verschiebung ∆f /fmittel
gegen die Wellenlänge graphisch aufgetragen. fmittel ist die Brennweite der mittleren
Linsenzone, die unter a) bestimmt wurde. Die Angabe der Wellenlängen für die
Farbfilter finden Sie am Arbeitsplatz.
3. Zeichnen Sie den Strahlengang des in Abb. (O12- 7) dargestellten Aufbaus.
326