3 LINSEN
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11PS - OPTIK 3 LINSEN P. Rendulić 2007 11 LINSEN 3.1 Linsenarten Eine Linse ist ein rotationssymmetrischer Körper der meist aus Glas oder transparentem Kunststoff hergestellt ist. Die Linse ist von zwei Kugelflächen begrenzt (Kugelflächen sind leicht und kostengünstig herzustellen, man spricht von sphärischen Linsen). Sammellinse Zerstreuungslinse Abb. 6 - Linsen Man unterscheidet Sammellinsen (oder Konvexlinsen) und Zerstreuungslinsen (oder Konkavlinsen). Sammellinsen sind in der Mitte dicker als am Rand. Zerstreuungslinsen sind in der Mitte dünner als am Rand. Sammellinsen 1 2 Zerstreuungslinsen 3 4 5 bikonkav plankonkav 6 optische Achse bikonvex plankonvex konkav-konvex konvex-konkav Abb. 7 – Unterschiedliche Linsenformen Anmerkung: Als optische Achse bezeichnet man die Gerade die senkrecht zur Symmetrieachse der Linse steht und durch deren Mittelpunkt geht. 3.2 Brechung bei der Sammellinse Die nebenstehende Figur (Abb. 8) zeigt das Modell einer Sammellinse. Dabei sind die gewölbten Kugelflächen zur Veranschaulichung durch einzelne Prismen dargestellt. Die Prismen sind so geformt, dass alle Strahlen die parallel zur optischen Achse verlaufen sich in einem gemeinsamen Punkt, dem Brennpunkt, kreuzen. F F' Abb. 8 – Brechung bei der Sammellinse Strahlen die nahe an der optischen Achse verlaufen müssen nur geringfügig abgelenkt werden. Sie treffen daher nahezu senkrecht auf die Prismenfläche auf. Strahlen die weiter entfernt von der optischen Achse verlaufen müssen weiter abgelenkt werden, um durch 11PS - OPTIK LINSEN P. Rendulić 2007 12 den Brennpunkt zu verlaufen. Für diese Strahlen muss daher der Einfallswinkel an der Grenzfläche größer sein. Die Neigung der Prismenfläche ist dementsprechend angepasst. Im Fall einer reellen (dünnen) Linse erlaubt die Kugelwölbung, dass Strahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, sich in guter Näherung alle im Brennpunkt kreuzen. 3.3 Brennweite und Brechkraft Die Distanz zwischen Brennpunkt und Linsenmitte wird Brennweite f genannt. Oft wird anstatt der Brennweite die Brechkraft D in Dioptrien (dpt) angegeben. Sie ist definiert als: D= 1 f Einheit von D: [D ] = 1/ m . Eine Linse von 1 m Brennweite hat daher eine Brechkraft von 1 dpt. Für die Zerstreuungslinse ist die Brennweite und die Brechkraft negativ. 3.4 Hauptstrahlen bei Linsen Zur Bildkonstruktion werden die sogenannten Hauptstrahlen benutzt. Dabei handelt es sich um Strahlen deren Ablenkung durch die Linse ohne Berechnung bekannt ist. 3.4.1 Sammellinse ► Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, verläuft nach der Brechung durch den Brennpunkt F’. ► Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F verläuft, verläuft nach der Brechung parallel zur optischen Achse weiter. ► Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie weiter und wird nicht gebrochen. 3.4.2 Parallelstrahl hl stra t k un F nnp Bre O F' ahl tstr k n elpu Mitt Abb. 9 - Hauptstrahlen bei der Sammellinse Zerstreuungslinse * ► Ein Lichtstrahl, welcher parallel zur optischen Achse verläuft, scheint nach der Brechung aus dem Brennpunkt F zu kommen. ► Ein Lichtstrahl, welcher durch den Brennpunkt F’ verlaufen müsste, verläuft nach der Brechung parallel zur optischen Achse weiter. ► Ein Lichtstrahl, welcher durch den Mittelpunkt O verläuft, verläuft in gerader Linie weiter und wird nicht gebrochen. O F F' Abb. 10 – Hauptstrahlen bei der Zerstreuungslinse 11PS - OPTIK LINSEN P. Rendulić 2007 13 3.5 Bildentstehung bei der Sammellinse Im Idealfall wird Licht, das von einem Punkt ausgeht, durch eine Sammellinse so gebrochen, dass es wieder in einem Punkt vereinigt wird. Bilder an Sammellinsen lassen sich einfach konstruieren, wenn die Hauptstrahlen benutzt werden. 3.5.1 Grundlagen Gegenstand Bild G F O F' B f f g b Abb. 11 – Größen bei der Bildentstehung Die Figur zeigt (Abb. 11) zeigt die Größen die bei der Bildentstehung eine Rolle spielen. Es handelt sich um: F, F’ Brennpunkte der Linse f Brennweite der Linse G Gegenstandsgröße (Größe des Gegenstandes) B Bildgröße (Größe des Bildes) g Gegenstandsweite (Entfernung zwischen Gegenstand und Linsenmitte) b Bildweite (Entfernung zwischen Bild und Linsenmitte) 3.5.2 Reelle und virtuelle Bilder Ob reelle oder virtuelle Bilder entstehen, hängt von der Position des Gegenstandes zur Linse ab. ► Bei einem reellen Bild konvergieren (vereinigen sich) die Strahlen hinter der Linse, somit können diese Bilder auf einem Schirm aufgefangen werden. Die Gegenstandsweite ist stets größer als die Brennweite der Linse reele Bilder O Gegenstände F Abb. 12 – Reelle Bilder F' 11PS - OPTIK LINSEN P. Rendulić 2007 14 ► Bei einem virtuellen Bild divergieren die Strahlen hinter der Linse (ihre gedachte Verlängerungen vereinigen sich jedoch), somit können diese Bilder durch unser Auge erkannt werden, jedoch nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden. Die Gegenstandsweite ist stets kleiner als die Brennweite der Linse. O Gegenstand F F' virtuelles Bild Abb. 13 – Virtuelle Bilder 3.5.3 Bildeigenschaften Die folgende Tabelle fasst die Bildweite und die Bildeigenschaften in Abhängigkeit von der Gegenstandsweite zusammen. Gegenstandsweite g Bildweite b Bildeigenschaften +∞ f verkleinert, umgekehrt, reell 2f < g < +∞ f < b < 2f verkleinert, umgekehrt, reell 2f 2f gleich groß, umgekehrt, reell f < g < 2f 2f < b < +∞ vergrößert, umgekehrt, reell f +∞ sehr groß, umgekehrt, reell g <f −∞<b <0 vergrößert, aufrecht, virtuell g →0 b→0 gleich groß, aufrecht, virtuell Tab. 6 – Bildeigenschaften bei der Sammellinse 3.6 Abbildungsmaßstab und Abbildungsgesetz Die Zusammenhänge zwischen der Gegenstandsgröße G, der Bildgröße B, der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite f der Linse können mithilfe von zwei Gesetzen beschrieben werden: dem Abbildungsmaßstab und dem Abbildungsgesetz. 11PS - OPTIK 3.6.1 LINSEN P. Rendulić 2007 15 Abbildungsmaßstab G F O α F' α g B b Abb. 14 – Herleitung des Abbildungsmaßstabs Aus der Ähnlichkeit der gefärbten Dreiecke folgt: tan α = B G = b g und durch Umstellen B b = =Γ G g Γ bezeichnet den Abbildungsmaßstab. Er gibt an, wie viel mal das Bild größer ist, als der Gegenstand. 3.6.2 Abbildungsgesetz G β F O F' β g-f B f g Abb. 15 – Herleitung des Abbildungsgesetzes Aus der Ähnlichkeit der gefärbten Dreiecke folgt: tan β = ⇔ G B = g −f f B f = G g −f Unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs ergibt sich mit B b = : G g 11PS - OPTIK LINSEN P. Rendulić 2007 16 b f = g g −f ⇔ g ⋅ f = b ⋅ (g − f ) ⇔ g ⋅f = b ⋅g − b⋅f ⇔ b ⋅g = g ⋅f + b ⋅f ⇔ b⋅g g ⋅f + b⋅f = b⋅g ⋅f b⋅g ⋅f ⇔ 1 1 1 = + f b g Daher das Abbildungsgesetz: 1 1 1 = + f b g Das Abbildungsgesetz gilt sowohl für Sammellinsen als auch für Zerstreuungslinsen. Für die unterschiedlichen Größen müssen folgende Vorzeichen gewählt werden: Brennweite f Gegenstandsweite g Gegenstandsgröße G Bildweite b Bildgröße B Sammellinse f >0 Zerstreuungslinse* f <0 reeller Gegenstand g > 0 und G > 0 virtueller Gegenstand* g < 0 und G < 0 reelles Bild b > 0 und B > 0 virtuelles Bild b < 0 und B < 0 11PS - OPTIK LINSEN P. Rendulić 2007 17 3.7 Aufgaben Für jede Aufgabe soll ein geeignetes Schema / Skizze angefertigt werden! 3.7.1 Bildkonstruktion Konstruiere die Bilder für die folgenden Fälle: 4 cm F' O F 8 cm 3 cm f = 5 cm 12 cm Berechne auch jeweils die Bildweite, sowie die Bildgröße! 3.7.2 Linse In welcher Entfernung von einer Sammellinse (Brennweite: 3 cm) wird ein Gegenstand scharf abgebildet, wenn dieser sich 9 cm vor der Linse befindet? 3.7.3 Fotoapparat Mit einer Kleinbildkamera der Brennweite 50 mm soll eine Person von 1,80 Größe im Hochformat formatfüllend fotografiert werden. Bei Hochformat beträgt die maximale Bildgröße 36 mm. Wie groß muss die Gegenstandsentfernung sein? 3.7.4 Abbildung vom Mond Mit der gleichen Kleinbildkamera wie in der Aufgabe 3.7.1 soll der Mond (G = 3476 km, g = 384400 km) abgebildet werden. Berechne die Bildgröße! Wie groß wäre die Abbildung des Mondes, wenn man als Objektiv ein Teleskop mit einer Brennweite von 1 500 mm nehmen würde? 3.7.5 Lupe Eine Sammellinse (f = 5 cm) soll als Lupe zur Betrachtung eines 4,9 cm entfernten Objektes der Größe 1 mm benutzt werden. Wo entsteht das Bild und wie groß ist es?
