Kapitel 5 Kernmodelle - HERA-B

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Kapitel 5
Kernmodelle
Da Atomkerne Vielteilchensysteme sind, kann man sie praktisch nicht mit analytischen Methoden berechnen, und ist deshalb auf Modelle angewiessen. Die wichtigsten gängigen Kernmodelle sind die folgenden:
• Tröpfchenmodell: der Kern wird als geladenes Flüssigkeitströpfchen mit einer Oberfächenspannung angnommen;
erklärt Bindungsenergien und Stabilitätsbedingungen
• Fermigas–Modell: beschreibt den Kern als Gas von nicht wechselwirkenden
Nukleonen (Fermionen) in einem Kastenpotential;
erklärt qualitativ diskrete Energienieveaus und liefert den Zusammenhang zwischen Kerngrösse und Potentialtiefe
• Schalenmodell: berechnet die Wellenfunktion eines Nukleons in mittleren
effektiven zentralen Kernpotential;
erlaubt näherungsweise Berechnung des diskreten Energieniveaus
Diese Modelle sollten im folgenden kurz umrissen werden.
5.1
Tröpfchenmodell
Die annähernd konstante Bindungsenergie von ca. 7 − 8 MeV pro Nukleon und die
gleichmäsig verteilte Kerndichte (Gl. 4.28) der meisten Kerne entsprechen in etwa
dem Verhalten einer inkompressiblen Flüssigkeit. Da die Bindungsenergie pro Nukleon nur schwach von der Massenzahl abhängt, kann man sie mit wenigen Parametern
beschreiben und die Kernmassen in Abhängigkeit von A und Z parametrisieren.
Carl-Friedrich von Weizsäcker und andere entwickelten 1935 in Analogie zu Wassertröpfchen das Tröpfchenmodell. Von der Quantenmechanik wird das Pauli–Prinzip
verwendet, Schaleneffekte werden jedoch nicht mitberücksichtigt. Die Bindungsenergie stabiler Kerne wird als positiv definiert. Die Masse eines Atomes mit Z Protonen
und N Neutronen ist durch die folgende, phänomenologische Formel gegeben:
M (A, Z) = N Mn + ZMp + Zme − av A + as A2/3 + ac
δ
(N − Z)2
Z2
+
+
a
(5.1)
a
A1/3
4A
A1/2
76
Kernmodelle
Mit Gl. 4.32 folgt dann die Bindungsenergie. Die genauen Werte der Parameter
müssen empirisch bestimmt werden und haben die folgenden Größen (u: ungerade
Zahl, g: gerade Zahl):
av
as
ac
aa
=
=
=
=
BP =
15.67
17.23
0.714
93.15
(
MeV/c2
MeV/c2
MeV/c2
MeV/c2
+11.2 MeV/c2 für gg – Kerne
0
für ug/gu – Kerne
2
−11.2 MeV/c für uu – Kerne
Im wesentlichen ist die Masse eines Atomes durch die Summe der Massen seiner
Konstituenten (Protonen, Neutronen und Elektronen) gegeben. Die Kernbindung,
die für die Abweichung von der Massensumme verantwortlich ist, spiegelt sich in
den zusätzlichen fünf Beträgen wieder, deren physikalische Interprätation mit der
Relation R ∝ A1/3 verständlich wird.
Volumenterm
Der dominierende Term ist proportional zur Zahl der Nuleonen A: Bv = av ·A. Jedes
Nukleon im Innern eines hinreichend großen Kernes liefert den gleichen Beitrag
von etwa 16 MeV, woraus folgt, dass die Reichweite der Kernkraft kurz ist und
nur etwa dem Abstand zweier Nukleonen entspricht. Das ist das Phänomen der
Sättigung1 , woraus auch die konstante Kerndichte folgt (Gln. 4.28 und 4.29), der
mittlere Abstand der Nukleonen beträgt etwa 1.8 fm.
Oberfächenterm
Da Nukleonen an der Oberfäche von weniger Nachbaren umgeben sind, ist der Volumenterm an der Oberfäche reduziert. Dieser Beitrag ist proportional zur Oberfäche
des Kerns (also zu R2 bzw. zu A2/3 ).
Coulombterm
Die elektrische Abstoßung zwischen den Protonen führt zu einer Reduktion der
Bindungsenergie, dieser Term errechnet sich mit
Ecoulomb =
3 Z(Z − 1)α~c
·
5
R
(5.2)
woraus die Proportionalität zu Z 2 /A1/3 ersichtlich ist.
1
Bei einer Wechselwirkung aller Nukleonen untereinader hätte man eine Proportionalität von
∝ A(A − 1).
5.1 Tröpfchenmodell
77
Asymmetrieterm
Bei kleinen Massenzahlen sind Kerne mit der gleichen Zahl von Protonen und Neutronen energetisch günstiger. Um bei größeren Kernen die abstoßende Coulombkraft
durch die starke Kernkraft teilweise zu kompensieren, werden mit zunehmender
Kerngröße immer mehr Neutronen benötigt, wodurch eine Asymetrie in Z und N
entsteht. Dieser Neutronenüberschuss wird durch (N − Z)2 /(4A) beschrieben, woraus ersichtlich ist, dass die Symmetrie mit wachsender Kernmasse abnimmt. Dies
ist in Abb. 5.2 dargestellt.
Paarungsterm
Eine systematische Betrachtung der Kernmassen zeigt, dass eine gerade Zahl von
Protonen und/oder Neutronen die Stabilität der Kernes erhöht, was als Kopplung
von Protonen und Neutronen zu Paaren interprätiert wird. Die Paarungsenergie ist
von der Massenzahl abhängig, da der Überlapp der Wellenfunktionen dieser Nukleonen in größeren Kernen geringer ist (BP aar ∝ δ · A−1/2 , Abb. 5.3).
Die A–Abhängigkeiten sind so gewählt, daß man insgesammt eine gute Anpassung der Vorhersagen an die Daten erhält. Das Modell erlaubt die Bindungsenergie
pro Nukleon und damit die Stabilität der Kerne zu berechnen. Die Genauigkeit des
Abbildung 5.1: Beiträge der einezelnen Terme der Weizsäcker–Massenformel zur
Bindungsenergie pro Nukleon.
Tröpfchenmodelles ist recht hoch, bei Kernen mit A > 40 werden die Bindugsenergien auf ca. 1 % genau vorhergesagt. Viele Parameter der Kernphysik sind nicht
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Kernmodelle
durch monotone Funktionen von A und Z beschreibbar, deshalb werden die Vorhersagen des Tröpfchenmodelles bei kleinen Kernen falsch. Ferner benutzt das Tröpfchenmodell keine Schaleneffekte. Verschiedene Stabilitätsgrenzen sind in Abb. 5.4
dargestellt:
• Maximum bei A ≈ 60 durch gegenläufiges Verhalten des Oberflächen und
Coulombtermes.
• die maximale Bindungsenergie, entsprechend der minimalen Masse, liegt für
festes A bei N ≥ Z = Z0 (Abb. 5.2)
• für Z 6= Z0 bei festem A ist der Kern β–instabil (Abb. 5.3)
• instabil gegen n-Emission wird ein Kern, falls gilt:
En = [m(Z, A) − m(Z, A − 1) − mn ] > 0
(5.3)
• Kernspaltung wird für A > 90 exotherm
• Kernfusion ist für leichte Kerne exotherm
Abbildung 5.2: Lage der stabilen Kerne in der N − Z–Ebene.
5.2
Fermigasmodell
Im Fermigasmodell wird der Atomkern als Gas nicht–wechselwirkender Fermionen
beschrieben, die sich in einem Potentialtopf befinden, in dem alle Zustände bis zu
einer maximalen Energie, der Fermi–Energie EF , besetzt sind. Da die Nukleonen als
Fermionen dem Pauli–Prinzip unterliegen, gibt es genau ein Nukleon pro Zustand.
5.2 Fermigasmodell
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Abbildung 5.3: β–Übergänge zum Massenminimum inerhalb einer Isobarenreihe für
A ungerade (a) (ug oder gu) oder für A gerade (b) (gg oder uu). Die beiden Parablen
bei (b) treten wegen der unterschiedlichen Paarungsenergie ±δ für gg– und uu–
Kerne auf.
Dies rechtfertigt die Annahme der nicht–wechselwirkenden Fermionen, die Zustände
bleiben also ungestört, und es kann sich wie in der Atomhülle eine Schalenstruktur
herausbilden.
Dies ist wieder ein klassisches quantenmechanisches Problem: die Zustände im
Potentialtopf erhält man durch Lösung der Schrödinger Gleichung (Gl. 1.31) mit der
Randbedingung, dass die Wellenfunktionen am Rand des Potentialtopfes verschwinden müssen2 . Die Zustandsdichte im Phasenraum3 ist (dabei ist V das Kernvolumen,
E = p2 /2m die nicht relativistische Impuls–Energie–Relation und m die Nukleonenmasse):
√
p2 dp
4πV 2m3 E
dn
d3 p~
dE =
dE
(5.4)
dn = V · 3 = 4πV 3 =
3
h
h
h
dE
Gl. 5.4 ist hier die nicht–relativistische From von Gl. 1.102. Die Anzahl der besetzten
Zustände ergibt sich dann durch Integration bis zur Fermi–Energie EF , wobei für
Fermionen (Spin 1/2) alle Orts–Impuls–Zustände doppelt besetzt werden können:
n(E < EF ) = 2
2
3
Z
0
EF
3
dn
2 4πV
2
dE =
(2mE
)
F
dE
3 h3
Dadurch werden die Energiezustände quantisiert!
Dem Orts–Impulsraum
⇒
EF =
~2 2m
3π 2
n 23
V
(5.5)
80
Kernmodelle
Abbildung 5.4: Stabilitätsgrenzen für Teilchenemision und Spaltung in der A–N/Z–
Ebene.
Mit der Konstanz der Nukleonendichte
ρN =
3
n
=
V
4πr03
(5.6)
erhält man in diesem Modell eine konstante Fermi–Energie von EF ≈ 30 MeV
was bedeutet, dass der Phasenraum der Zustände nur mit dem Volumen anwachsen
kann, was durch die Forderung der konstanten Nukleondichte im Kern (Gl. 5.6) als
Annahme in das Modell hineingesteckt wurde. Damit erhält man auch in diesem
Modell eine konstante Bindungsenergie pro Nukleon. Wegen der Separationsenergie
für ein Nukleon von ca. 8 MeV ist der Potentialtopf etwas tiefer als die Fermi–
Energie: V0 = EF + ES ≈ − 40 MeV, wie in Abb. 5.5 dargestellt. Ferner sind wegen
√
dn
∼ E
dE
(5.7)
(Gl. 5.5) die Zustände nach oben hin etwas dichter dargestellt. Es ist auch ersichtlich, dass das Pauli–Prinzip für Protonen und Neutronen getrennt gilt (zwei Potentialtöpfe). Wegen der Coulombabstoßung, die dem Potetial V0 überlagert ist, ist die
Potentialwand für das Proton etwas höher. Ferner gilt wegen der Coulombabstoßung
auch Z ≤ N . Für stabile Kerne gilt, dass beide Töpfe etwa gleich gefüllt sind, also
EF (n) ≈ EF (p). Wenn einer der Töpfe höher gefüllt ist, wird der Kern β–instabil
und die Nukleonzahlen gleichen sich durch den β–Zerfall aus (Kap. 6.4.2):
n → p + e− ν̄e
p → n + e + νe
5.3 Schalenmodell
81
Abbildung 5.5: Potentialtopf und Fermi–Gas–Zustände eines Kernes und Potential
für Protonen und Neutronen mit dem Coulomb–Wall für Protonen.
5.3
Schalenmodell
Es gibt auch Effekte, die auf eine Schalenstruktur des Kernes hinweisen, wie etwa die
Sprünge in der Bindungsenergie pro Nukleon B/A in Abb. 4.8. Für die magischen
Zahlen 2, 8, 20, 28, 50, 82 und 126 ist die Bindungsenergie pro Nukleon besonders
groß, was auf einen besonders stabilen Zustand hindeutet, ähnlich wie man dies in
der Struktur der Atomhülle beobachten kann. Diese Energieszustände liegen deutlich
getrennt von den anderen Energienieveaus.
Im Schalenmodell beschreibt man den Kern als Potentialtopf, in dem sich die
Nukleonen wie Moleküle in einem Gas frei bewegen können. Im Unterschied zum
Fermi–Gas–Modell, das ein Spezialfall des Schalenmodelles ist, ersetzt man bei der
Betrachtung eines Nukleons die Summe der Wechselwirkungen der A − 1 anderen
Nukleonen durch ein effektives Potential. Wie in der Atomphysik ist diese Näherung hinreichend gut für ein Nukleon der äußeren Schalen. Im Atom bewegen sich
die Elektronen im zentralen Coulomb–Potential des Atomkernes, im Kern hingegen
bewegen sich die Nukleonen in einem Potential, das von den übrigen Nukleonen erzeugt wird. Die Form des effektiven Potentiales muss allerdings empirisch bestimmt
werden, eine gute Näherung ist das Wood–Saxon–Potential:
Vef f (r) =
−V0
1+e
r−R
a
(5.8)
Analog zur Atomphysik erhält man Zustände gleicher Energie. Die magischen Zahlen entsprechen dann gefüllten Schalen, wie die Edelgase im Falle der Atomphysik auch besonders stabile Zustände bilden. Allein mit dem Wood–Saxon–Potential
kann man die Schalenstruktur noch nicht vollständig erklären, die richtige, experimentell gemessene Niveaustruktur kann erst durch die Hinzunahme der Spin–Bahn–
Kopplungen exakt beschrieben werden.
82
Kernmodelle
Abbildung 5.6: Ausschnitt aus der Karlsruher Nuklidkarte. Bei den stabilen Nukleonen (schwarz) sind das Elementsymbol, die Nukleonenzahl A die Häufigkeit im
natürlichen Element und die (n,γ)–Wirkungsquerschnitte angegeben, für die instabilen Nuklide sind das Elementsymbol, die Nukleonenzahl A, die Halbwertszeit und
die Zerfallsarten mit den Maximalenergien gegeben.
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