Funktionales Modellieren
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Funktionales Modellieren Funktionales Modellieren Informatik mit einem Hand‐Held von: Hans‐Stefan Siller Karl Josef Fuchs Was versteht man unter Modellbilden in der Mathematik • R Reale Situation mit Hilfe mathematischer Modelle l Sit ti it Hilf th ti h M d ll beschreiben und damit zur Problemlösung zu gelangen • Bekannte/Vorhandene Strategien bei der Beschreibung/Lösung von neuen Problemen Beschreibung/Lösung von neuen Problemen verwenden • Beim Modellierungsprozess werden neben Beim Modellierungsprozess werden neben mathematischen Kenntnissen und Fertigkeiten auch interpretierende und wertende Fähigkeiten im Zusammenspiel von Mathematik und l h k d Wirklichkeit verlangt. Modellbildung als Bindeglied Modellbildung als Bindeglied Modellbildung hat die Funktion eines d llbild h di ki i Verbindungsglied zwischen • Mathematischen Mathematische Realer Inhalten Inhalten Situation Modellbilden • Realer Situation M th Mathematische ti h M th Mathematischem ti h • Mathematischer Kultur Denken Kultur • Mathematischem Denken Sicht der Mathematik Sicht der Mathematik • Modellieren/Modellbilden: – Beschreibung und Behandlung einer g g Problemstellung durch Betrachtung eines Kreislaufes, in unterschiedlicher Detailiertheit , – Immanent vorhandene Modellierungssäulen: • • • • Reale Ausgangssituation Reale Ausgangssituation Mathematische Modell Aussagen Folgerungen Aussagen, Folgerungen Aussagen über die Ausgangssituation Grafische Darstellung des Modellbildungsprozesses (nach Blum)1 Reales Modell/Problem Real‐ situation Math. Modell/Problem Situations‐ modell Reale Resultate Math. Resultate Mathematik Rest der Welt 1 Blum, W.; Leiß, D., 2005: Modellieren im Unterricht mit der "Tanken"‐Aufgabe, in: Mathematik lehren, H. 128, S. 18‐21 Modellbilden – eine zentrale Leitidee für den Unterricht2 • Mathematik als Hilfe für spezielle g ( Anwendungen (z.B. Verstehen und kritisches Beurteilen von Diagrammen) • Förderung von Problemlösefähigkeiten Förderung von Problemlösefähigkeiten (Beurteilung des Grades der Brauchbarkeit von Vorliegendem) l ) • Modellbildung ermöglicht einen Modellbildung ermöglicht einen Anwendungsorientierten Unterricht 2Siller, H.‐St., 2006: Modellbilden ‐ eine zentrale Leitidee der Mathematik, Dissertation, Universität Salzburg Was versteht man unter Modellbilden in der Informatik • FFutschek t h k (Informatische Definition Modellbilden (I f ti h D fi iti M d llbild 1990)3: „... Zur Lösung eines Anwenderproblems entwirft der Informatiker zunächst ein Modell der Anwendung, (...) Das erste Modell wird in eine Reihe neuer Modelle umgeformt die immer Modell wird in eine Reihe neuer Modelle umgeformt, die immer genauer und formaler werden, bis ein ablauffähiges Modell in einer bestimmten Programmiersprache erreicht ist...“ • Informatische Modellbildung unterstützt die B h Beherrschung komplexer Strukturen, h k l St kt insbesondere Modelle der Mathematik 3Futschek, G., 1990: Informatik als Wissenschaft. In: Reiter, A.; Rieder, A.: Didaktik der Informatik. Sicht der Informatik Sicht der Informatik • Vier Programmierparadigmen (Modellierparadigmen) – Imperativisches Programmieren/Modellieren (vgl. Futschek) – Zustandsorientiertes Programmieren/Modellieren – Funktionales Programmieren/Modellieren Ein System wird aus mehreren Moduln aufgebaut die Ein System wird aus mehreren Moduln aufgebaut, die miteinander kommunizieren. – Objektorientiertes j Programmieren/Modellieren g Daten und Prozeduren werden als gemeinsame Objekte benutzt. Programmtechnische Abläufe sind sekundär. Was ermöglicht Modellbildung in der Mathematik und Informatik • Modellbilden ermöglicht die Beschreibung g p y und Bearbeitung komplexer Systeme – Übersichtlich, Übersichtlich – intuitiv, – strukturiert, – aussagekräftig, g g – und detailiert. Funktionales Modellieren Funktionales Modellieren • B Bei Anwendungen wird der Funktionsbegriff zur iA d i d d F kti b iff Modellbildung verwendet, d.h. Abhängigkeiten zwischen Größen werden durch passende zwischen Größen werden durch passende Funktionen beschrieben. Häufig handelt es sich hier nur um eine • Häufig handelt es sich hier nur um eine Annäherung, da oft nicht klar ist, ob tatsächlich eine funktionale Abhängigkeit (Vollrath 1989)4 vorliegt. • Die Annahme eines funktionalen Zusammenhangs stellt also einen h ll l Modellbildungsprozess dar. 4 Vollrath, H. J., 1989: Funktionales Denken. In: Journal für Mathematikdidaktik, pp. 3 – 37 Funktionales Modellieren eine gemeinsame Idee von Mathematik und Informatik • M Modellbildungsprozess ist im Falle der d llbild i i F ll d Mathematisierung eine Basis für – die Darstellung, die Darstellung – die Beschreibung von (anwendungsorientierten) Inhalten. • Modellbildungsprozess Modellbildungsprozess ist im Falle der funktionalen ist im Falle der funktionalen Modellierung – eine Umwelterschließung mit Hilfe von Funktionen, eine Umwelterschließung mit Hilfe von Funktionen – und fördert Funktionales Denken, d.h. • Zuordnungscharakter, g im Sinne einer streng g math. Funktion, • Änderungsverhalten, im Sinne eines Studiums des Einflusses von Parametern auf den Output. p Was benötigt man für die funktionale Modellierung? – Definiendum ‐> Funktionsname und trägt die atomaren Argumente (z. B. f(x), Fak[n_] atomaren Argumente (z. B. Fak[n ], , Define Konj(a,b), f:n), – Definiens ‐> Funktionsausdruck (determinierender Teil ( B Log(x), Apply[Times, Range[n]], Piecewise(a=1 and b=1, 1,0), (z. B. product(i,i=1..n)), – Definiendum und Definiens werden durch das Definiendum und Definiens werden durch das Definitionszeichen • :=, = • -> verbunden. Funktionale Modellierung als gemeinsame fundamentale Idee 1 … lässt Probleme auf unterschiedlichen Niveaus 1. lä bl f hi dli h i zu 2. … leitet in besonderer Weise zum Sprechen über Mathematik, Informatik bzw. in gleicher Weise über beide Fächer an 3. … erlaubt es, dass Lehrplaninhalte an ihr aufgehängt werden g g 4. ... in der historischen Entwicklung aufzeigbar (Behelfsdefinition Schweiger 1982)5 5 Schweiger, F., 1992: Fundamentale Ideen ‐ Eine geistesgeschichtliche Studie zur Mathematikdidaktik. In: JMD, Jg. 13, H. 2/3, 199‐214 Kriterien für Funktionale Modellierung im Unterricht • Lehrplanbezug – Inhaltlich – Methodisch – Formal • Leichte Verfügbarkeit – Einsatz von Hand‐Held im Unterricht Ei t H d H ld i U t i ht • Förderung informatischer Kompetenzen – System‐, Anwendungs‐ und Kommunikationskompetenz (Fuchs, Landerer 2005)6 6Fuchs, K.J.; Landerer, C., 2005: Das mühsame Ringen um ein Kompetenzmodell. In: Micheuz, P. (Hrsg.): Informatische Bildung in der Sekundarstufe 1 ‐ Im Spannungsfeld zwischen Autonomie und Standards. CD Austria, H. 12, S.6‐9 Grafische Repräsentation Funktionaler Modelle Eine spezielle Form des Datenflussdiagramms stellt • PROGRAPH (Matwin, Pietrzykowski 1985)7 dar • Prinzip Prinzip der einmaligen Zuweisung (d. h. ein zu Beginn der einmaligen Zuweisung (d h ein zu Beginn determinierter Eingabewert bleibt „durch den Rest des funktionalen Systems“ unverändert). funktionalen Systems unverändert). • jegliche Funktion liefert genau einen Wert zurück. • Die aussagekräftige Bild in Bild Die aussagekräftige Bild in Bild – Struktur als Metapher Struktur als Metapher für die Rekursion. 7 Matwin, S. & Pietrzykowski, T.: The Programming Language PROGRAPH: A Preliminary Report. In: Computer Languages, 10:2, S. 91 ‐ 125 Darstellung von PROGRAPH Diagrammen • Block Anwendung • Definition (vordefiniert und selbstdefiniert) • Output Werte • Fortsetzungssymbol b l • Bedingung • Verzweigung V i Aufgabe • G Gegeben sei eine Verteilung für eine b i i il fü i Zufallsvariable X mit den zugehörigen W h h i li hk it Wahrscheinlichkeiten p P(X i): ) i=P(X=x X 1 2 3 4 5 6 p 0 164 0,164 0 169 0,169 0 171 0,171 0 163 0,163 0 165 0,165 0 168 0,168 – Erstellen Sie eine grafische funktionale Darstellung für den Erwartungswert und die Varianz! – Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Verteilung! Graphische Darstellung der Module zur Lösung der Aufgabe Beispiel mit CASIO Classpad 300+ Beispiel mit CASIO Schrittweise Schrittweise Erarbeitung zur Berechnung des Erwartungswertes Schrittweise Schrittweise Erarbeitung zur Berechnung der Varianz Implementierung mittels spezifischer Programmiersprache • Weitere funktionale Programmiersprachen (z.B. Haskell, LISP) , ) – Bereiche der Mathematik: • Mathematische Inhalte im Informatikunterricht – Bereiche der Mathematik/Informatik: • Umsetzung des Programmentwicklungskreislaufes auf funktionaler Ebene (Aufgabe, Darstellung mittels Diagrammen, Implementierung in Sprache) – Bereiche der Informatik: Bereiche der Informatik: • Test und ev. Korrektur der Implementierung Beispiel für die enge Verknüpfung von Mathematik und Informatik Zusammenfassung Verständiges Umgehen mit Modellbildung ist Teil der Allgemeinbildung! (Standardentwicklung Siller 2007)8 Die nötige Kompetenz kann nur dann aufgebaut werden, wenn die Schüler/Innen während der d di S hül /I äh d d Schulzeit die Grunderfahrung des Modellierens unserer Welt an (einfachen) Beispielen selbst l ( i f h ) i i l lb erfahren und darüber reflektieren können. 8 Siller, H.‐St., 2007: Das mathematische Kompetenzmodell eine (kompakte) Handreichung für Lehrer/innen, ph Salzburg Herzlichen Dank für Ihre Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit hans‐[email protected] hans [email protected] [email protected]
