planimetrie, stereometrie und trigonometrie der ebene

PLANIMETRIE, STEREOMETRIE
UND
TRIGONOMETRIE DER EBENE
21. Auflage
Mit 581 Bildern, 556 Aufgaben mit Lösungen
150 Wiederholungsaufgaben ohne Lösungen,
einer Beilage mit 15 Raumbildern und einer Formelsammlung
A
Fachbuchverlag Leipzig
Inhaltsverzeichnis
1.
Einführung
15
Planimetrie
17
2.
Winkel
17
2.1.
Punkt, Linie, Fläche
17
2.2.
Arten von Winkeln
19
2.3.
Neben- und Scheitelwinkel
19
2.4.
Winkel an geschnittenen Parallelen
2.5.
Winkel mit senkrecht aufeinanderstehenden Schenkeln
20
3.
Symmetrie und geometrische örter
3.1.
Arten der Symmetrie
3.1.1.
3.1.1.1.
3.1.1.2.
3.1.2.
3.1.2.1.
3.1.2.2.
Zentral8ymmetrie
Zentralsymmetrie bei Parallelen . . . *
Zentralsymmetrie bei Flächen
Axialsymmetrie
Axialsymmetrie bei Geraden und Winkeln
Axialsymmetrie bei Flächen
22
23
24
27
27
28
3.2.
Geometrische ö r t e r
28
4.
Fundamentalkonstruktionen
30
5.
Dreiecke
34
.
22
22
•
22
5.1.
Vorbetrachtungen
34
5.1.1.
5.1.2.
Arten der Dreiecke
Dreieckstransversalen
34
36
5.2.
Sätze über das Dreieck
*
36
8
Inhaltsverzeichnis
5.2.1.
5.2.1.1.
5.2.1.2.
5.2.1.3.
5.2.2.
5.2.3.
5.2.4.
5.2.4.1.
5.2.4.2.
5.2.4.3.
5.2.4.4.
Sätze über die Winkel im und am Dreieck
Winkelsummensatz
Außen-und Innenwinkel
Summe der Außenwinkel
Sätze über die Seiten eines Dreiecks
Sätze über die Seiten und Winkel im Dreieck
Schnittpunkte der Dreieckstransversalen
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
Schnittpunkt der Höhen
Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
5.3.
5.3.1.
5.3.2.
Kongruenz
Vorbetrachtungen
Kongruenzsätze
44
44
45
5.4.
5.4.1.
5.4.1.1.
5.4.1.2.
5.4.1.3.
5.4.2.
5.4.2.1.
5.4.2.2.
Ähnlichkeit . .
Strahlensätzo
Streckenverhältnisse
Strahlensätze
Streckenteilung als Anwendung der Strahlensätze
Ähnlichkeitssätzo
Begriff der Ähnlichkeit
Ähnlichkeitssätze
".
Aufgaben 1 bis 12
47
47
47
48
49
51
51
52
54
5.5.
5.5.1.
5.5.2.
5.5.3.
Dreieckskonstruktionen
Vorbetrachtungen
Dreieckskonstruktionen mit gegebenen Winkeln und Seiten
Dreieckskonstruktionen mit Transversalen
56
56
57
61
5.6.
5.6.1.
5.6.1.1.
5.6.1.2.
5.6.2.
5.6.2.1.
5.6.2.2.
5.6.2.3.
5.6.2.4.
Berechnung des Dreiecks
Allgemeines Dreieck
Vorbetrachtungen
Berechnung des allgemeinen Dreiecks .
Rechtwinkliges Dreieck
Flächenberechnung
Satz des EUKLID
Satz des PYTHAGORAS
Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck
Aufgaben 13 bis 49
Gleichschenkliges Dreieck .
Berechnung des gleichschenkligen Dreiecks
Sonderfälle des gleichschenkligen Dreiecks
Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Aufgaben 50 bis 73
5.6.3.
5.6.3.1.
5.6.3.2.
5.6.3.2.1.
5.6.3.2.2.
.
'
.
.
36
30
37
38
38
39
40
40
42
43
43
64
64
64
65
68
68
68
69
72
74
78
78
79
79
79
83
9
Inhaltsverzeichnis
6.
Vierecke
6.1.
Allgemeines Viereck
6.2.
Parallelogramm
86
6.3.
6.3.1.
Sonderfälle des Parallelogramms
Rechteck
87
87
6.3.2.
Rhombus und Quadrat
88
6.4.
Trapez
88
6.5.
6.5.1.
6.5.2.
Berechnung des Vierecks
Rhomboid und Rechteck
Rhombus und Quadrat
Aufgaben 74 bis 109
Trapez
Trapezmethode
Trapezformel
Aufgaben 110 bis 136
89
89
90
90
95
95
96
96
6.5.3.
6.5.3.1.
6.5.3.2.
85
.
85
7.
Vielecke
100
7.1.
Unregelmäßiges Vieleck
100
7.2.
7.2.1.
7.2.2.
7.2.2.1.
7.2.2.2.
7.2.2.3.
7.2.2.4.
7.2.2.5.
7.2.3.
7.2.3.1.
7.2.3.1.1.
Regelmäßiges Vieleck
Winkel und Seiten im regelmäßigen Vieleck
Konstruktion regelmäßiger Vielecke
Vorbetrachtungen
Regelmäßiges Vier- und Achteck
Regelmäßiges Sechs- und Dreieck
Regelmäßiges Zehn- und Fünfeck
Näherungskonstruktion
Berechnung des regelmäßigen Vielecks
Allgemeine Berechnungen
Seitenbeziehungen zwischen einem n- und einem 2n-Eck bei gleichem
Umkreisradius
Seitenbeziehung zwischen einem Sehnen-und einem Tangentenvieleck .
Sonderfälle
Aufgaben 137 bis 166
100
100
101
101
102
102
102
103
104
104
104
105
106
107
8.
Kreis
109
8.1.
8.1.1.
8.1.2.
Vorbetrachtungen
Linien, Strecken und Winkel am und im Kreis
Flächen
109
109
HO
8.2.
8.2.1.
Sätze über die Strecken und Linien am und im Kreis
Sehne und Bogen
110
HO
7.2.3.1.2.
7.2.3.2.
10
Inhaltsverzeichnis
8.2.2.
Radius und Tangente
112
8.3.
8.3.1.
8.3.2.
8.3.3.
8.3.4.
Winkel am und im Kreis
Mittelpunkts-und Umfangswinkel
Sehnentangentenwinkel
Sehnenviereck
Tangentenviereck
113
113
115
116
117
8.4.
Streckenverhältnisse am Kieis
118
8.5.
Konstruktionsbeispiele
119
8.6.
8.6.1.
8.6.1.1.
8.6.1.2.
8.6.1.3.
8.6.2.
8.6.2.1.
Berechnungen am Kreis
Streckenberechnungen
Kreisumfang
Kreisbogen
•
Sehne
Flächenberechnungen
Fläche des Sehnenvierecks
Aufgaben 167 bis 168
Fläche von Kreis und Kreisring
Fläche des Sektors
Fläche des Segments
Aufgaben 169 bis 246
121
121
121
122
123
123
123
126
126
127
127
130
8.6.2.2.
8.6.2.3.
8.6.2.4.
Stereometrie
138
9.
Lage von Linien und Ebenen im Baum
138
9.1.
Gerade und Ebene
138
9.2.
Ebenen im R a u m
139
9.3.
Körperliche Ecke
10.
Allgemeines über mathematische Körper
142
11.
Ebenflächig begrenzte Körper
142
11.1.
Eulerscher Polyedersatz
142
11.2.
11.2.1.
11.2.2.
Wichtige Polyeder
Berechnung des Würfels
Berechnung des Rechtkantes
Aufgaben 247 bis 274
143
143
144
145
11.3.
11.3.1.
11.3.2.
Prismatische Körper
VoTliotrachtungen
Berechnung des geraden Prismas
Aufgaben 275 bis 297
,
140
,
. 147
147
148
150
Inhaltsverzeichnis
11.3.3.
11.4.
11.4.1.
11.4.2.
11.4.3.
11.4.4.
11.6.
11.5.1.
11.5.2.
11.6.
11.6.1.
11.6.2.
11.6.2.1.
11.6.2.2.
11.6.2.3.
11.6.2.4.
11.6.2.5.
11.6.3.
11
Satz des CAVALIERI
Pyramide und Pyramidenstumpf
Vorbetrachtungen
Berechnung der Pyramide . . .
Berechnung des Pyramidenstumpfes .
Näherungsf ormel zur Berechnung des Pyramidenstumpf es
Aufgaben 298 bis 323
Prismoide
Vorbetrachtungen
Berechnung der Prismoide
Ausgaben 324 bis 337 . . .
Fünf regelmäßige Polyeder.
Vorbetrachtungen
Eigenschaften der regelmäßigen Polyeder
Tetraeder
Oktaeder
Hexaeder
Ikosaeder
Dodekaeder
Berechnung der regelmäßigen Polyeder
Aufgaben 338 bis 350
152
153
153
154
159
161
163
166
166
166
170
172
172
174
174
175
175
176
176
177
178
12.
Krummflächig begrenzte Körper
. 179
12.1.
12.1.1.
12.1.2.
12.1.2.1.
12.1.2.2.
12.1.2.3.
Kreiszylinder
Vorbetrachtungen
Berechnung des vollen und des hohlen Kreiszylinders
Gerader Voll-und Hohlzylinder
Schiefer Voll-und Hohlzylinder
Schief geschnittener gerader Kreiszylindor
Aufgaben 351 bis 387
, .
Zylinderhuf
Aufgaben 388 bis 394
179
179
180
180
. 182
183
185
189
190
12.1.2.4.
12.2.
12.2.1.
12.2.2.
12.2.3.
12.2.4.
12.2.5.
Kegel und Kegelstumpf
Vorbetrachtungen
Berechnung des geraden und des schiefen Kegels
Berechnung des Kegelstumpf es
Wichtige Beziehungen an Kegel und Kegelstumpf
Näherungsformeln zur Berechnung des Kegelstumpfes
Aufgaben 395 bis 423
12.3.
12.3.1.
12.3.2.
12.3.3.
12.3.4.
Kugel und ihre Teile
Vorbetrachtungen
Volumen der Kugel
Volumen der Kugelschicht
Volumen des Kugelsegmentes
,
191
191
193
195
197
. 198
199
20,3
203
204
206
207
12
Inhaltsverzeichnis
12.3.5.
12.3.6.
12.3..7.
12.3.8.
12.3.9.
Volumen des Kugelsektors
Volumen des Hohlkugelsektors
Oberfläche der Kugel
Fläche der Kugelkappe
Fläche der Kugelzone
Aufgaben 424 bis 469
207
208
209
210
211
213
Trigonometrie der Ebene
217
13.
Vorbetrachtungen
Aufgaben 470 bis 477
217
220
14.
Trigonometrische Funktionen für spitze Winkel
221
14.1.
14.1.1.
14.1.2.
14.1.3.
14.2.
Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
Sinusfunktion
Cosinus-, Tangens- und Cotangensfunktion
Funktion und Cofunktion
Erklärung der trigonometrischen Funktionen am Einheitski'eis und ihr Verlauf im I. Quadranten
Funktionswerte für besondere Winkel
Zusammenhang zwischen den Funktionen desselben Winkels
Trigonometrische Funktionswerte
Aufgaben 478 bis 486
221
221
222
223
15.
Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks
231
15.1.
Fünf Grundaufgaben
231
15.2.
Zahlenbeispiele und Anwendungen
Aufgaben 487 bis 502
233
236
16.
Trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel
239
16.1.
Verallgemeinerung des Winkelfunktionsbegriffs
239
16.2.
Verlauf der Winkelfunktionen .
239
16.3.
Veranschaulichung des Funktionsverlaufs
241
16.4.
Periodizität der Winkelfunktionen
242
16.5.
Quadrantenrelationen
16.5.1.
Beziehungen für zwei Winkel, die sich zu ganzen Vielfachen von
14.3.
14.4.
14.5.
223
226
227
229
230
• . . . . 243
90°f-^-) ergänzen
16.5.2.
Beziehungen für zwei Winkel, die sich um ganze Vielfache von 90° I -~-)
16.5.3.
unterscheiden
Beziehungen zwischen positiven und negativen Winkeln
Aufgaben 503 bis 507
244
245
246
249
13
Inhaltsverzeichnis
17.
Additionstheoreme und andere goniometrische Formeln
17.1.
Funktionen von Winkelsummen und -differenzen (Additionstheoreme). 250
17.2.
17.2.1.
17.2.2.
17.2.3.
Funktionen
Funktionen
Funktionen
Funktionen
17.3.
Summen und Differenzen von Funktionen und ihre Verwandlung in
Produkte
257
Aufgaben 508 bis 512
260
18.
Goniometrische Gleichungen
18.1.
18.1.1.
18.1.2.
Goniometrische Gleichungen mit einer Unbekannten
261
Lineare Gleichungen mit einer Funktion des unbekannten Winkels . . 2 6 1
Quadratische Gleichungen mit derselben 'Funktion des unbekannten
Winkels. .
265
Gleichungen mit derselben Funktion verschiedener Argumente . . . . 265
Gleichungen mit verschiedenen Funktionen gleicher Argumente . . . 268
Gleichungen mit verschiedenen Funktionen verschiedener Argumente 273
18.1.3.
18.1.4.
18.1.5.
18.2.
18.2.1.
18.2.2.
250
von Winkel-vielfachen und Winkelteilen
des doppelten Winkels
des mehrfachen Winkels
des halben Winkels; fortgesetzte Winkelhalbierung
-.
253
253
254
. . . 256
261
Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten
277
Beide Gleichungen enthalten Winkelfunktionen der unbekannten
Winkel
277
Eine Gleichung enthält eine Beziehung zwischen den unbekannten
Winkeln selbst
. 280
Aufgaben 513 bis 515
284
19.
Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks
285
19.1.
Sinussatz
285
19.2.
Cosinussatz
287
19.3.
Lösung der Grundaufgaben für Seiten und Winkel mit dem Sinus- und
Cosinussatz
-.
'.
. 288
Eine Seite und zwei Winkel sind gegeben
288
Fall WSW
". . . 289
FallSWW
289
Zwei Seiten und ein Winkel sind gegeben
289
Fall SSW (doppeldeutiger Fall)
290
Fall SWS
291
Drei Seiten sind gegeben (Fall SSS)
292
Betrachtungen über bequeme und genaue Berechnung
293
19.3.1.
19.3.1.1.
19.3.1.2.
19.3.2.
19.3.2.1.
19.3.2.2.
19.3.3.
19.3.4.
19.4.
Cosinusformel und Tangensformel
19.5.
Gleichungen von MOLLWEIDE und NEPER
294
295
14
Inhaltsverzeichnis
19.6.
Halbwinkelsätze
297
19.7.
19.7.1.
19.7.2.
Berechnung weiterer Stücke des echiefwinkligon Dreiecks
Umkreisradius des Dreiecks
Inkreisradius des Dreiecks und die Dreiecksfläche
299
299
299
19.8.
19.8.1.
19.8.2.
Zweckmäßigste Verfahren für die Auflösung des Dreiecks
Fall SWS
FallSSS
301
301
. 303
19.9.
Anwendungen
Aufgaben 516 bis 552
304
306
20.
Zyklometrische Funktionen
Aufgaben 553 bis 554
314
320
21.
Rechnen mit kleinen Winkeln
Aufgaben 555 bis 556
Wiederholungsaufgaben 1 bis 160 (ohne Lösungen)
Lösungen zu den Aufgaben 1 bis 556
321
326
328
351
Sachwortverzeichnis
Beilagen:
15 nach dem Anaglyphenverfahren hergestellte Raumbilder
1 Rot-Blau-Brille
Formelsammlung
380