Folie 1

Graphentheorie
Modulphase 08.03. – 10.07.2010, Kurse 05, 06, 07
- Menge von Ecken und Kanten
Ecke
- Jede Kante verbindet zwei Ecken.
- Der Grad einer Ecke gibt an, wie
viele Kanten von einer Ecke ausgehen. Kante
- Eine Schleife erhöht den Grad um zwei.
Isolierte Ecke
2
3
2
3
4
Schleife
Anfangs lernten wir Graphen kennen, bewiesen einfache
Eigenschaften von Graphen (z.B. ist ein Graph eulerisch, wenn
der Grad aller Ecken gerade ist), und beschäftigten uns mit
einfacheren Aufgaben, wie das Prüfen zweier Graphen auf
Isomorphie (bedeutet Gleichheit).
- Unbewerteter Graph: alle Kantenwerte gleich
- Bewerteter Graph: festgelegte Kantenlängen (Gewichte)
Graphen im Alltag
- Adjazenzmatrix: Tabelle, in der man
sieht, welche Ecken miteinander verbunden sind.
Hat man den Verdacht, dass zwei
Graphen isomorph (gleich) sind, kann man dies
mithilfe der Adjazenzmatrix herausfinden.
Adiazenzmatrix
des Graphen
Wir sehen in unserer Umgebung übrigens
auch jeden Tag Graphen: jedes Straßenbahnnetz ist ein Graph, ebenso wie verlegte Kabel. Dabei ist jeder Stecker oder
jedes Gerät eine Ecke und jedes Kabel
eine zwei Ecken verbindende Kante.
Vom Problem zum Algorithmus
Spezielle Graphen:
Hamiltonscher Graph:
hamiltonisch
Nicht
hamiltonisch
Eulertour:
Eine Eulertour ist ein Weg, der jede Kante des Graphen
genau einmal enthält und bei dem Anfangs- und Endpunkt übereinstimmen.
Tree:
Ein Baum ist ein Graph, dessen Ecken mit möglichst wenig Kanten
verbunden sind und in dem es keine Kreise gibt.
Minimal Spanning Tree:
Der Minimal Spanning Tree ist ein spezieller
Tree in bewerteten Graphen. In ihm sind alle
Ecken mit möglichst wenigen Kanten verbunden,
die mit einem möglichst kleinen Gesamtgewicht
bewertet sind.
Die Breitensuche bestimmt die Länge des kürzesten Wegs zwischen
zwei Ecken in einem unbewerten Graph.
Einführung
0
Ein geschlossener Weg, der jede Ecke genau
einmal enthält, heißt hamiltonscher Kreis, der
nur in Hamiltonschen Graphen möglich ist.
Ein Breitensuchprogramm
Was haben wir gemacht?
Was ist ein Graph?
Für das Poster verantwortlich:
Julia Klein, Janek Wettstein, Mirjam Schäfer,
Sebastian Baur, Silvie Müller
Wir behandelten verschiedene Problemstellungen, z.B. den
kürzesten Weg von einer U-Bahn-Station zu einer anderen zu
finden. Für dessen Bestimmung gab es verschiedene
Lösungsansätze. Zuerst setzten wir das Netz in einen Graphen
um und versuchten Strategien für das Finden von kürzesten
Wegen zu bestimmen, was zu in Worten gefassten Algorithmen
führte. Um intensiv daran arbeiten zu
können verbrachten wir ein Wochenende im Landschulheim in Unterhöllgrund. Dabei kam auch der Spaß
nicht zu kurz.
Computeralgorithmen
Unser eigentliches Ziel war allerdings, Algorithmen für einen
Computer zu programmieren. Dies wurde mit Hilfe von
„Cinderella“,
einem
dynamischen
Geometrieprogramm,
während zwei Treffen mit dessen Entwicklern Prof. Kortenkamp
und Dr. Fest an der PH Karlsruhe umgesetzt. Dabei wurden
neben einfachen Algorithmen, wie z.B. der Tiefensuche, auch
kompliziertere programmiert, beispielsweise ein Algorithmus
zum Bestimmen eines Minimal-Spanning-Trees.
private Graph graph;
private VertexQueue queue = new VertexQueue();
private Hashtable<Vertex, Vertex> vorgaenger;
@Override
protected void init() {
this.graph = this.getGraph();
}
@Override
protected void runAlgorithm() {
Vertex startVertex = this.getStartVertex(this.graph);
Vertex endVertex = this.getFinishVertex(this.graph);
this.queue = new VertexQueue();
this.queue.add(startVertex);
this.vorgaenger = new Hashtable<Vertex,Vertex>();
boolean endpunktGefunden = false;
while (!queue.isEmpty() || endpunktGefunden) {
Vertex v = queue.remove();
Iterator<Edge> kantenIterator =
this.graph.outgoing(v).iterator();
while (kantenIterator.hasNext()) {
Edge e = kantenIterator.next();
Vertex x = e.otherVertex(v);
if (!this.vorgaenger.containsKey(x)) {
this.vorgaenger.put(x, v);
this.queue.add(x);
if (x.equals(endVertex)) {
endpunktGefunden = true;
break;
}
}
}
}
Vertex v = endVertex;
while (!v.equals(startVertex)) {
Vertex parent = this.vorgaenger.get(v);
this.graph.findEdge(parent, v).
setColor(Color.BLUE);
v = parent;
}
}
Initialisiere den Graphen
Bestimme den Start- und Endpunkt
Lege eine Queue an und füge den
Startpunkt hinzu,
erstelle eine Hashtable (weist einem
Schlüsselwert einen anderen Wert zu)
Wiederhole, solange der Endpunkt
nicht gefunden wurde oder die Queue
leer ist.
Nimm den ersten Punkt aus der
Queue.
Iteriere durch alle ausgehenden
Kanten und bestimme anderen
Knoten (der nicht v ist).
Prüfe, ob für diesen Knoten schon ein
Vorgänger eingetragen ist (d.h. ob er
schon geprüft wurde), falls nicht,
Knoten v als Vorgänger von Knoten x
festlegen und Knoten x zur Queue
hinzufügen
Prüfe, ob Knoten x der Endpunkt ist
Verfolge Weg zurück, indem man sich
vom Endpunkt aus die Vorgänger
bestimmen lässt, bis man beim
Startpunkt landet.