Temperaturabhängigkeit magnetischer

Temperaturabhängigkeit
magnetischer Anisotropien
in ultradünnen Filmen
Vom Fachbereich Physik-Technologie der
Gerhard-Mercator-Universität – Gesamthochschule Duisburg
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation
von
Alfred Hucht
aus Duisburg
Referent: Prof. Dr. Klaus D. Usadel
Korreferent: Prof. Dr. Peter Entel
Tag der mündlichen Prüfung: 16. August 1999
Zusammenfassung
Der Magnetismus in einem wenige Atomlagen dünnen ferromagnetischen Film
wird wesentlich von Anisotropien beeinflußt. Zum einen können sie die langreichweitige Ordnung in diesen Systemen stabilisieren, zum anderen haben sie starken Einfluß auf die Ausrichtung der Magnetisierung. Die wesentlichen Ursachen
von Anisotropien in diesen Systemen sind die Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen sowie die langreichweitige magnetische Dipolwechselwirkung. Während die
Dipolwechselwirkung immer eine Orientierung der Magnetisierung in der Filmebene bevorzugt, kann die Magnetisierung aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung an der
Filmoberfläche und im Innern des Films verschiedene Vorzugsrichtungen haben.
Hierdurch kann es zu einer Konkurrenz der Anisotropien kommen, die zu einem
Spinreorientierungsübergang der Magnetisierung bei variierender Filmdicke führt.
Dieser Übergang kann verschiedene Ordnungen haben, d. h. er kann sowohl kontinuierlich als auch diskontinuierlich erfolgen. Im Experiment wird auch ein Übergang bei variierender Temperatur gesehen, der bisher nur wenig verstanden war
und in dieser Arbeit mit verschiedenen theoretischen Methoden im Rahmen eines
klassischen H EISENBERGmodells untersucht wird.
Im Grundzustand kann das System analytisch behandelt werden. Es werden
Kriterien für den Spinreorientierungsübergang sowie für dessen Ordnung aufgestellt. Außerdem wird untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung
im Grundzustand zu Domänen führt. Diese Untersuchungen werden mit Hilfe der
Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt und die gewonnenen
Resultate mit Monte Carlo-Simulationen überprüft. Es zeigt sich, daß der temperaturgetriebene Übergang in der Monolage entgegen anderen Arbeiten auch in der
Simulation diskontinuierlich ist, während in der Bilage auch ein kontinuierlicher
Übergang gefunden wird. Somit stimmen Molekularfeldtheorie und Monte CarloSimulationen qualitativ überein. In der Bilage wird exemplarisch für dickere Filme
der Einfluß von äußeren Magnetfeldern untersucht, weiterhin werden die in der
phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T )
numerisch aus dem mikroskopischen Modell berechnet. Mit Hilfe einer Störungstheorie werden analytische Ausdrücke für die Abhängigkeit der Größen Kn ( T ) von
den Parametern des Modells hergeleitet, die zu einem tieferen Verständnis des Spinreorientierungsübergangs führen. Hiernach resultiert dieser aus dem unterschiedlichen Temperaturverhalten der dipolaren und Spin-Bahn-Anteile der Größen Kn ( T ),
wobei hinzukommt, daß die Magnetisierung an der Filmoberfläche schneller mit
der Temperatur abfällt und deshalb der Einfluß der Oberflächenanisotropie mit
wachsender Temperatur kleiner wird. Dies hat eine ähnliche Wirkung wie eine Erhöhung der Filmdicke. Schließlich wird das Modell auf kontinuierliche Filmdicken
erweitert, da der Spinreorientierungsübergang im Experiment empfindlich von der
Filmdicke abhängt. Die Ergebnisse dieses erweiterten Modells werden mit dem Experiment verglichen und ergeben gute Übereinstimmung.
iii
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Summary
Anisotropies essentially affect magnetism in thin ferromagnetic films of few atomic
layers. On the one hand they can stabilize long range order in these systems, on the
other hand they strongly influence the orientation of magnetization. The intrinsic
causes of anisotropies in these systems are the spin-orbit coupling of the electrons
and the long-range magnetic dipole interaction. While the dipole interaction always
favors an orientation of magnetization in the plane of the film, spin-orbit coupling
can favor different orientations of magnetization on the surface and in the inner
layers of the film. This can lead to a competition between anisotropies, which in turn
leads to a spin reorientation transition with varying film thickness. This transition
can be of varying order, i. e. be continuous or discontinuous. Experiments also find
a spin reorientation transition with varying temperature, which until now was not
well understood. In the framework of a classical H EISENBERG model this transition
is investigated by means of different theoretical methods in the course of this thesis.
At zero temperature the system can be dealt with analytically and criteria for the
spin reorientation transition and its order are found. Furthermore it is investigated
whether the long-range dipole interaction results in a domain ground state. These
investigations are extended to finite temperatures by means of a molecular field theory and results are compared to Monte Carlo simulations. It is shown that in contrast
to other works the temperature driven spin reorientation transition in the monolayer
is discontinuous also in the simulations, whereas in general it is continuous for the
bilayer. Consequently the molecular field theory and the Monte Carlo simulations
agree qualitatively. Exemplary for thicker films the influence of an external magnetic
field is investigated in the bilayer, furthermore the effective anisotropies Kn ( T ) of the
phenomenological L ANDAU theory are calculated numerically for the microscopic
model. Analytic expressions for the dependence of the anisotropies Kn ( T ) on the
parameters of the model are obtained by the means of perturbation theory, which
lead to a deeper understanding of the spin reorientation transition. Accordingly
to this the origin for the spin reorientation transition lies in the differing temperature dependence of the dipolar and spin-orbit parts of the Kn ( T ). Additionally the
magnetization in the surface of the film decreases more rapidly with increasing temperature. As a consequence the influence of the surface anisotropy decreases with
increasing temperature. This effects a similar result as increasing the film thickness
and leads to the transition. Finally the model is extended to continuous film thicknesses, since in experiment the spin reorientation transition depends crucially on
film thickness. The results of this extended model are compared to experiment and
give good agreement.
v
vi
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
iii
Summary
v
Abbildungsverzeichnis
xi
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Grundbegriffe der Thermodynamik . .
1.1.2 Die magnetische Dipolwechselwirkung
1.1.3 Lokale Anisotropien . . . . . . . . . . .
1.2 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten . . . . . . . .
1.3.1 Spinwellentheorie . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Renormierungsgruppentheorie . . . .
1.3.3 Molekularfeldtheorie . . . . . . . . . .
1.3.4 Monte Carlo-Simulationen . . . . . . .
1.3.5 Phänomenologische L ANDAUtheorie .
1.3.6 Rauhigkeit und Inhomogenitäten . . . .
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten . . . . . . .
1.4.1 Fe/Cu(100) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Fe/Ag(100) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Co/Au(111) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 [Tb/Fe]n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Ni/Cu(001) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Fe/Cr(001) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
Inhaltsverzeichnis
2 Dipolsummen
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . .
2.1.1 D IRICHLETsche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Abbildung der Dipolsummen auf D IRICHLETsche Reihen
2.1.3 Das Quadratgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Das Dreieckgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Das Honigwabengitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Das K AGOMÉgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Approximation für dünne Filme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wechselwirkungen innerhalb der Ebene . . . . . . . . . .
2.2.2 Wechselwirkungen zwischen den Ebenen . . . . . . . . .
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Das einfach kubische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Das kubisch flächenzentrierte Gitter . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Das kubisch raumzentrierte Gitter . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Vergleich mit der Kontinuumstheorie . . . . . . . . . . . .
3 Grundzustandseigenschaften
3.1 Der Spinreorientierungsübergang .
3.1.1 Die Monolage . . . . . . . . .
3.1.2 Die Bilage . . . . . . . . . . .
3.1.3 Dickere Filme . . . . . . . . .
3.2 Streifendomänen in der Monolage .
3.2.1 Senkrechte Spinorientierung
3.2.2 Planare Spinorientierung . .
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4 Molekularfeldtheorie
4.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die B OGOLIUBOV-Ungleichung . . .
4.1.2 Stabilität der Lösung . . . . . . . . .
4.1.3 Die spezifische Wärme . . . . . . .
4.1.4 Die Suszeptibilität . . . . . . . . . .
4.2 Anwendung auf das Modellsystem . . . .
4.2.1 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Stationäre Punkte der freien Energie
4.2.3 Anmerkungen zur Numerik . . . .
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld . . . .
4.3.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . .
4.3.2 Statische Nullfeld-Suszeptibilität .
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Inhaltsverzeichnis
4.4
4.5
4.6
4.3.3 Das Phasendiagramm . . . . . . . . . .
Die Bilage im äußeren Magnetfeld . . . . . . .
4.4.1 Senkrechtes Magnetfeld . . . . . . . . .
4.4.2 Planares Magnetfeld . . . . . . . . . . .
4.4.3 Das dreidimensionale Phasendiagramm
Die Monolage im äußeren Magnetfeld . . . . .
4.5.1 Magnetisierung und Phasendiagramm
4.5.2 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dickere diskrete Filme . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Effektive Anisotropien . . . . . . . . .
4.6.2 Das Fe-artige System . . . . . . . . . .
4.6.3 Das Ni-artige System . . . . . . . . . .
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5 Monte Carlo-Simulation
5.1 Verwendete Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Die Methode der lokalen Felder . . . . . . . . .
5.1.4 Der globale Spinflip . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die Monolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Skalierung der Anisotropiekonstanten . . . . . .
5.2.2 Die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs
5.2.3 Vergleich mit anderen Arbeiten . . . . . . . . . .
5.3 Die Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Störungstheorie
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung . . . .
6.1.1 Homogene Systeme . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Inhomogene Systeme . . . . . . . . . . . . .
6.2 Näherung des inhomogenen Systems . . . . . . .
6.2.1 Schichtdickenabhängigkeit der Anisotropie
6.2.2 Das Entropieargument . . . . . . . . . . .
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ . . . . .
6.3.1 Die Anisotropie K4 (0) in 2. Ordnung . . . .
6.3.2 Die Breite von FMϑ im Grundzustand . . .
6.3.3 Endliche Temperaturen . . . . . . . . . . .
6.3.4 Die Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Dickere Filme . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ix
Inhaltsverzeichnis
7 Kontinuierliche Filmdicken
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
7.2 Vergleich der Methoden .
7.3 Nickel auf Kupfer (001) .
7.4 Störungstheorie . . . . . .
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8 Zusammenfassung
Anhang
A.1 Berechnung der Dipolsummen . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Summen innerhalb der Ebene . . . . . . . . .
A.1.2 Summen zwischen den Ebenen . . . . . . . .
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie . . . . . . . . .
A.2.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Lösung des ungestörten Systems . . . . . . .
A.2.3 Die Störungstheorie zweiter Ordnung . . . . .
A.2.4 Ableitungen der lösbaren freien Energie F ? (ξ )
A.2.5 Ableitungen der freien Energie F (ξ ) . . . . .
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. 150
. 150
. 152
Literaturverzeichnis
155
Notationsverzeichnis
164
Stichwortverzeichnis
169
x
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j von zwei Spins . . . . . . . . . . . .
Skizze des Systems für L = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm von Fe/Ag(100) [Q IU et al., 1993] . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm von Ni/Cu(001) [B ABERSCHKE und FARLE, 1997]
Das Dreieckgitter G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Honigwabengitter G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das K AGOMÉgitter G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Wechselwirkungen des Spins si am Ort ri mit den periodischen
Bildern des Spins s j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die dreidimensionalen kubischen Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∆D-ω Grundzustandsphasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . .
Nullfeld-Magnetisierung der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statische Nullfeld-Suszeptibilität χ0 (τ ) der Bilage . . . . . . . . . . . .
∆D-T Phasendiagramm der Bilage mit Skizzen der freien Energie . . .
Magnetisierung m(τ ) der Bilage im senkrechten Feld . . . . . . . . . .
B z -T Phasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m z ( B z ) der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) der Bilage im planaren Feld . . . . . . . . . . . .
B y -T Phasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreidimensionales B-T Phasendiagramm der Bilage im Feld . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) der Monolage im senkrechten Feld . . . . . . . .
B z -T Phasendiagramm der Monolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hysteresekurven m z ( B z ) und m xy ( B z ) der Monolage . . . . . . . . . .
Hysteresekurven m z ( B z ) von 3,8 ML Fe/Ag(100) [B ERGER und H OP STER , 1996] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegung der winkelabhängigen freien Energie F (τ , ϑ) . . . . . . . .
Magnetisierung und effektive Anisotropien eines Fe-artigen Systems .
Magnetisierung und effektive Anisotropien eines Ni-artigen Systems .
Schematische Histogramme h(m) bei Übergängen erster und zweiter
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Akzeptanzhäufigkeit der Spinflipversuche kflip ( T ) und d T kflip ( T ) . . .
5
7
15
17
24
25
27
29
31
40
55
56
59
61
61
62
63
64
65
67
67
68
69
71
74
76
81
85
xi
Abbildungsverzeichnis
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
xii
Änderung der Spins beim globalen Spinflip . . . . . . . . . . . . . . .
Auswirkung des globalen Spinflips auf die Zeitreihe mtz . . . . . . . .
Auswirkung des globalen Spinflips auf die Autokorrelationsfunktion
Γ zz (∆t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfluß von L und D1 bzw. ω auf die Histogramme h(m z ) bei Tr . . .
Magnetisierung mtz und Histogramm h(m z ) um Tr . . . . . . . . . . .
Histogramme h(|m z |) nahe Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von Mittelwerten der Magnetisierung mit Ergebnissen aus
der Histogrammanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramm h(ϑ1 )/ sin (ϑ1 ) der Bilage an einem Spinreorientierungsübergang erster und zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PL=2 . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) und Anisotropiefaktor a(τ ) für Oberfläche und
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PFe . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PNi . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K ( L, τ ) = K v (τ ) + K s (τ )/ L + K HO ( L, τ ) über τ für PFe .
Anisotropie K ( L, τ ) = K v (τ ) + K s (τ )/ L + K HO ( L, τ ) über τ für PNi .
Anisotropie K ( L, τ ) über L für PFe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K ( L, τ ) über L für PNi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = ∆u(τ ) − T∆s(τ ) für PFe . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = ∆u(τ ) − T∆s(τ ) für PNi . . . . . . . . . . . . . .
Betrag der schichtabhängigen Magnetisierung mλ (τ ) für verschiedene Lagenindizes λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselwirkungen zwischen den Schichten . . . . . . . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm für PFe : Vergleich der Methoden . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm für Ni/Cu(001): Theorie und Experiment . . .
T-L Phasendiagramme für verschiedene Werte von Dv /ω . . . . . .
. 86
. 88
.
.
.
.
89
91
92
93
. 96
. 97
. 103
.
.
.
.
.
.
.
.
.
104
105
106
111
111
112
113
115
116
.
.
.
.
.
128
129
131
133
137
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
Die verwendeten Parametersätze P . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Werte der analytisch berechneten Gittersummen . . . .
Dipolsummen Φδ für dreidimensionale kubische Gitter . . . . . . . .
Anzahl nächster Nachbarn zδ und Dipolsumme Φδ für verschiedene
Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektive Anisotropiekonstanten Dh , Dih und Ω . . . . . . . . . . . .
Anteile der Anisotropie vierter Ordnung K4 (0) für die verwendeten
Parametersätze P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xy
Vergleich der Näherung für τrz und τr mit den numerisch bestimmten Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In Abbildung 51 verwendete Parameter Dv und Ds . . . . . . . . . .
. 9
. 28
. 34
. 37
. 108
. 123
. 125
. 137
xiii
xiv
1
Einleitung
In den letzten zwanzig Jahren ist es möglich geworden, wenige Atomlagen dicke Filme eines magnetischen Materials wie Eisen oder Nickel auf einem unmagnetischen
Substrat herzustellen. Hierzu wird die Molekularstrahlepitaxie (MBE) verwendet,
die technologisch im Rahmen der Herstellung von halbleitenden elektronischen
Bauteilen wie Mikroprozessoren angewendet wird [für eine Übersicht siehe B LAND
und H EINRICH, 1994, § 5]. Nicht nur die Herstellung, sondern auch die Charakterisierung solcher ultradünner Filme ist eine experimentelle Herausforderung, da das
für eine Messung zur Verfügung stehende Probenvolumen größenordnungsmäßig
nur etwa ein millionstel des Volumens massiver Proben beträgt. Durch Verfeinerung
bestehender und Entwicklung neuartiger Meßmethoden stehen nun eine große Anzahl von Verfahren zur Charakterisierung dieser Systeme zur Verfügung.
Zur Untersuchung der Struktur ultradünner Filme sind vor allem oberflächensensitive Methoden geeignet. Während man mit nieder- und hochenergetischer
Elektronenbeugung (LEED bzw. RHEED) die Güte des epitaktischen Wachstums
untersuchen kann und bei gutem Lagenwachstum charakteristische Oszillationen
findet, kann mit dem Rastertunnelelektronenmikroskop (STM) die Oberfläche auf
atomarer Skala visualisiert werden und eine eventuelle Rauhigkeit direkt gemessen
werden.
Die Magnetisierung ultradünner Filme kann z. B. mit Magnetometrie unter Verwendung von Quanteninterferenz in Supraleitern (SQUID), mit magnetooptischem
K ERReffekt (MOKE), mit M ÖSSBAUERspektroskopie oder mit ferromagnetischer Resonanz (FMR) untersucht werden [für eine Übersicht siehe FARLE, 1998]. Hierbei
ist es wichtig, daß sowohl die Herstellung als auch die Untersuchung der Systeme
im Ultrahochvakuum durchgeführt werden kann, da die wenige Monolagen dicken
Proben schon durch einen kurzen Luftkontakt kontaminiert werden und ihre Eigenschaften drastisch ändern können.
Ultradünne magnetische Filme haben eine Reihe von neuartigen Eigenschaften, die auch technologisch interessant sind [für eine Übersicht siehe H EINRICH
und B LAND, 1994b]. So wird z. B. der von G RÜNBERG et al. [1986] in magnetischen
Multilagen entdeckte Riesenmagnetowiderstand (GMR) bereits in den Schreib-/Leseköpfen von Festplatten zur Datenspeicherung benutzt, da mit diesem Effekt sehr
1
1 Einleitung
schwache Magnetfelder detektiert werden können. Damit konnte die Speicherkapazität dieser Medien deutlich erhöht werden.
In herkömmlichen Speichermedien wie Festplatten oder Magnetbändern liegt
die Magnetisierung aufgrund der magnetischen Dipolwechselwirkung, die oft auch
mit Formanisotropie bezeichnet wird, in der Ebene des magnetischen Materials.
Beim Beschreiben eines solchen Mediums wird eine Domänenstruktur erzeugt, bei
der die Magnetisierung in der Ebene in verschiedene Richtungen weist. Die an den
Rändern dieser Domänen auftretenden Streufelder werden beim späteren Auslesen
detektiert und damit die Information rekonstruiert.
Eine Alternative zu Festplatten sind magnetooptische Speichermedien, bei denen die magnetische Information mit Lasern geschrieben und ausgelesen wird.
Da zum Auslesen der magnetooptische K ERReffekt benutzt wird, muß allerdings
die Magnetisierung in dem Speichermedium senkrecht zur Oberfläche ausgerichtet sein. Die Herstellung und Charakterisierung solcher Systeme mit senkrechter
magnetischer Anisotropie ist ein wichtiges Forschungsgebiet in der Physik dünner
Filme.
Ultradünne Filme zeichnen sich dadurch aus, daß die magnetischen Momente
im Filmquerschnitt aufgrund der geringen Dicke im wesentlichen parallel ausgerichtet ist [H EINRICH und B LAND, 1994a]. Durch die Konkurrenz der senkrechten
Anisotropie mit der planaren Formanisotropie kommt es in diesen Systemen bei einer kritischen Dicke zu einem Spinreorientierungsübergang, der kontinuierlich oder
diskontinuierlich verlaufen kann. Der Wert dieser kritischen Dicke ist temperaturabhängig, da die konkurrierenden Anisotropien unterschiedliche Temperaturabhängigkeit aufweisen. Aus diesem Grund kann der Übergang auch bei fester Dicke und
Variation der Temperatur auftreten. Eine theoretische Untersuchung dieser Effekte
ist Thema dieser Arbeit.
1.1 Grundlagen
1.1.1
Grundbegriffe der Thermodynamik
Zunächst sollen kurz die verwendeten Begriffe aus der Gleichgewichtsthermodynamik erläutert werden, eine ausführlichere Darstellung findet man z. B. in [Y EO MANS , 1992]. Ein Ziel der statistischen Physik ist, im thermodynamischen Gleichgewicht temperaturabhängige Erwartungswerte h Ai( T ) einer Größe A(s) zu berechnen, wobei s = (s1 , . . . , s N ) ein Zustand eines Systems mit N Spins ist. Im
Gleichgewicht tritt der Zustand s gemäß der B OLTZMANNverteilung mit der Wahr-
2
1.1 Grundlagen
scheinlichkeit
p(s, T ) =
1 −βH(s)
e
Z( T )
(1.1)
auf, wobei die H AMILTONfunktion H(s) die Energie des Zustandes s angibt.
β = 1/kB T ist die inverse Temperatur mit der B OLTZMANNkonstanten kB . Der temperaturabhängige Normierungsfaktor
Z( T ) = Sps e−βH(s)
(1.2)
ist die Zustandssumme des Systems, und die Spur Sps ist die Summe über alle
Spinfreiheitsgrade s des Systems. Im hier betrachteten klassischen H EISENBERGmodell z. B. ist
I N
Sps f (s) =
ds
(1.3)
∏ i f (s),
H
i=1
wobei das Symbol dsi bedeutet, daß über die Oberfläche der Einheitskugel integriert wird, d. h. |si | = 1. Für den Erwartungswert von A(s) folgt dann
1
h Ai( T ) = Sps p(s, T ) A(s) =
Sp e−βH(s) A(s).
(1.4)
Z( T ) s
Die temperaturabhängige G IBBSsche freie Energie des Systems F ( T ), die im folgenden kurz als freie Energie bezeichnet wird, erfüllt die Gleichung
Z( T ) = e−βF (T ) .
(1.5)
Aus dieser Größe lassen sich die meisten Erwartungswerte relevanter makroskopischer Größen durch Ableiten berechnen. Wenn z. B. die Ankopplung an ein äußeres
Magnetfeld B durch H(s) = H0 (s) − B · ∑i si gegeben ist, dann ist die partielle
Ableitung ∂ B F ( T ) bei konstanter Temperatur
(1.6)
∂ B F ( T ) = h∂ B Hi( T ) = − ∑ si ( T ) = − M ( T )
i
die negative temperaturabhängige Gesamtmagnetisierung des Systems.
Ist H? (s) eine wechselwirkungsfreie Einteilchen-H AMILTONfunktion
H? (s) = ∑ Hi? (si ),
(1.7a)
i
so kann man die Zustandssumme berechnen, es ist
Z ? ( T ) = Sps e−β ∑i Hi (si ) = Sps ∏ e−βHi (si ) = ∏ Spsi e−βHi (si )
?
?
?
i
(1.7b)
i
und weiterhin
F ? ( T ) = ∑ Fi? ( T ) = −β−1 ∑ log Spsi e−βHi (si )
?
i
(1.7c)
i
die Summe der Einteilchen-freien Energien. Die H AMILTONfunktion H? (s) heißt
dann “lösbar”.
3
1 Einleitung
1.1.2
Die magnetische Dipolwechselwirkung
Eine Ursache für magnetische Anisotropien ist die magnetische Dipolwechselwirkung, die nun dargestellt werden soll. Man betrachte magnetische Momente µi an
den Orten r̃i = ann ri auf einem Gitter mit dem nächste Nachbarabstand1 ann . Die
Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j zweier Momente µi und µ j mit dem Abstandsvektor r̃i j = r̃ j − r̃i und dem Einheitsvektor r̂i j = ri j /ri j lautet [z. B. J ACKSON, 1975,
§ 4]
Eω
ij =
µ0 µi · µ j − 3(µi · r̂i j )(r̂i j · µ j )
4π
r̃i3j
(1.8)
mit der Vakuumpermeabilität µ0 = 4π × 10−7 Vs/Am. Wenn alle magnetischen
Momente µi den gleichen Betrag haben, kann man sie als Spinvariable
si :=
µi
µ
(1.9)
der Länge 1 darstellen. Mit der Dipolkonstanten
ω :=
µ0 µ 2
4π a3nn
(1.10)
ergibt sich der im folgenden benutzte Ausdruck
Eω
i j = ω si · W (r i j ) · s j ,
(1.11)
wobei der symmetrische Dipoltensor W(r ) mit der Einheitsmatrix 1 die Form


2
−
3r̂
−
3r̂
−
3r̂
1
r̂
r̂
y
x
z
x
x
1 − 3 r̂ 2
1 

W (r ) =
=
−
3r̂
1 − 3r̂2y −3r̂ z r̂ y 
(1.12a)
r̂

x
y
3
3
r
r
2
−3r̂ x r̂ z −3r̂ y r̂ z 1 − 3r̂ z
annimmt2 . Da der Nenner 1/r3 für r → 0 divergiert, wird
W(0) = 0
(1.12b)
gesetzt. Man beachte, daß die Spur
Sp W(r ) = 0
(1.13)
ist. Wenn z. B. der Verbindungsvektor ri j = x̂ = (1, 0, 0) lautet (Abbildung 1), ergibt
1
In hyperkubischen Gittern entspricht der nächste Nachbarabstand ann der Gitterkonstanten a0 der
Einheitszelle, der Vektor ri hat dann nur ganzzahlige Komponenten.
2 x 2 = x ⊗ x ist das äußere Produkt von x mit sich selbst (vgl. Notation S. 164)
4
1.1 Grundlagen
(a)
si
Eijω = +ω
(b)
sj
(d)
si
Eijω = −ω
si
Eijω = 0
(e)
sj
si ω
Eij = −3ω/2
(c)
sj
si
Eijω = +2ω
sj
(f)
sj
si
Eijω = −2ω
sj
Abbildung 1: Die Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j zweier Spins si und s j (hier mit Abstand ri j = 1) hängt nicht nur von der relativen Orientierungen der Spins ab, sondern auch
von deren absoluter Orientierung im Raum. Die Orientierung (f) hat die niedrigste Energie.
der Dipoltensor


−2 0 0
W( x̂) =  0 1 0  .
0 0 1
Da diese Matrix diagonal ist und Wxx ( x̂) = −2 der kleinste Eigenwert ist, wird
die niedrigste Energie eingenommen, wenn die Spins si und s j auf einer Geraden
parallel zur x-Achse ausgerichtet sind (Abbildung 1f).
1.1.3
Lokale Anisotropien
VAN V LECK [1937] erkannte, daß eine weitere wichtige Ursache für magnetische
Anisotropien in Festkörpern die quantenmechanische Spin-Bahn-Kopplung ist. Die
statischen elektrischen Felder der Atomkerne in einem Kristallgitter koppeln an das
Bahnmoment der Elektronen und induzieren durch den elektrischen Feldgradienten
eine Kopplung zwischen dem Spinmoment und dem Bahnmoment der Elektronen.
N ÉEL [1953, 1954] untersuchte, wie sich eine Reduzierung der Symmetrie des Gitters durch eine Oberfläche oder durch Gitterverzerrungen auf diese magnetischen
Anisotropien auswirkt. Er nahm im Rahmen eines klassischen Spinmodells an, daß
benachbarte Spins si und s j auf Grund einer starken isotropen ferromagnetischen
Austauschwechselwirkung (vgl. nächster Abschnitt)
Ei0j = − Jsi · s j
(1.14)
mit J > 0 nahezu parallel ausgerichtet sind, also si ≈ s j ist. Den anisotropen Anteil
Eiaj der Energie entwickelte er nach L EGENDREpolynomen Pn ( x),
Eiaj
=
∞
∑ g2n (ri j )P2n (r̂i j · si ),
(1.15)
n=1
5
1 Einleitung
mit den Radialteilen g2n (r). In niedrigster Ordnung ergibt diese Entwicklung mit
P2 ( x) = (3x2 − 1)/2 in einer Schreibweise analog zur Dipolwechselwirkung
1
Eiaj = − g2 (ri j )(1 − 3 si · r̂i2j · si ).
2
(1.16)
Bei kubischer Symmetrie ergibt die Summe über die z̃i nächsten Nachbarn eines
Spins si im Abstand ann
1
Eia = ∑ Eiaj = − g2 ( ann )( z̃i − 3 si · Ni · si )
2
h ji
mit Ni = ∑ r̂i2j .
(1.17)
h ji
Betrachten wir nun einen einfach kubischen magnetischen Film mit Koordinationszahl z̃ek = 6 in der kristallographischen Orientierung (001)3 . Im Innern des Films
erhält man
Nv = 2
⇒
Eav = 0
(1.18)
unabhängig von der Orientierung der Spins; somit resultiert in niedrigster Ordnung
keine Anisotropie. Dies gilt für alle kubischen Gitter. An einer (001)-Oberfläche
hingegen fehlt der obere Nachbar bei ri j = ann ẑ, und es ergibt sich
Ns = 2 − ẑ2
⇒
3
3
Eas = − g2 ( ann ) si · ẑ2 · si = − g2 ( ann ) (siz )2 ,
2
2
(1.19)
man erhält also eine uniaxiale Oberflächenanisotropie senkrecht zur Oberfläche. Die
auf diese Weise von N ÉEL postulierte Oberflächenanisotropie wurde erstmals von
G RADMANN [1974] experimentell gefunden und erstmals von G AY und R ICHTER
[1986] mit lokaler Dichtenäherung (LDA) in isolierten Fe, V und Ni Monolagen
berechnet [für eine Übersicht siehe B LAND und H EINRICH, 1994, § 2].
Eine weitere Quelle von Anisotropien, die mit diesem Modell berücksichtigt
werden können, sind tetragonale Verzerrungen des Gitters, bei denen der nächste
k
Nachbarabstand senkrecht zur Filmebene a⊥
nn von dem Abstand in der Ebene ann
abweicht. Dadurch ist der Radialteil g2 (ri j ) nicht mehr für alle nächsten Nachbarn
k
gleich, und man erhält im Filminnern mit δ g2 = g2 ( ann ) − g2 ( a⊥
nn ) für die Energie
(1.15) den Wert
Eav = δ g2 (3(siz )2 − 1),
also ebenfalls eine senkrechte uniaxiale Anisotropie.
3
6
Die Bezeichnung (001) kennzeichnet Ebenen mit dem Normalenvektor ẑ = (0, 0, 1)
(1.20)
1.2 Das Modell
1.2 Das Modell
In dieser Arbeit wird der Einfluß von magnetischen Anisotropien auf die magnetische Struktur dünner ferromagnetischer Filme untersucht. Da als Methoden sowohl
eine Molekularfeldtheorie als auch Monte Carlo-Simulationen verwendet werden,
basieren die Untersuchungen auf einem klassischen H EISENBERGmodell [1928] mit
lokalen Anisotropien und langreichweitiger Dipolwechselwirkung. Dieses Modell
wird nun vorgestellt.
L
λ=1
.
.
.
z
x
λ =L
y
Abbildung 2: Ausschnitt des Systems auf einem einfach kubischen Gitter in (001) Orientierung mit L = 4 Lagen.
Die Filme bestehen aus L Schichten und liegen in der xy-Ebene, so daß die
z-Achse senkrecht zum Film steht (Abbildung 2). Die betrachtete H AMILTONfunktion lautet
H = H0 + Hω + Hl
(1.21a)
mit den drei Beiträgen
J
si · s j
2∑
hi ji
ω
Hω = + ∑ si · W(ri j ) · s j
2 ij
H0 = −
(1.21b)
(1.21c)
Hl = − ∑ Dλi (siz )2 + Eλi (siz )4 + B · si
(1.21d)
i
x
y
z
x
y
z
und den klassischen Spinvariablen si = (si , si , si ) am Ort ri = (ri , ri , ri ). Die
Spins si sind dimensionslos und haben die Länge 1, der Ortsvektor ri ist ebenfalls
dimensionslos und wird in Einheiten des nächste Nachbarabstandes ann gemessen,
für nächste Nachbarn si und s j gilt also für den Verbindungsvektors ri j = ri − r j
7
1 Einleitung
die Normierung ri j = 1. Die einzelnen Terme der H AMILTONfunktion (1.21) sollen
zunächst erläutert werden.
H0 beschreibt eine isotrope Austauschwechselwirkung mit der ferromagnetischen
Austauschenergie J > 0 zwischen nächsten Nachbarn. Längerreichweitige Austauschwechselwirkungen werden in dieser Arbeit nicht berücksichtigt. Dieser
Anteil ist isotrop, da in das Skalarprodukt si · s j nur der Winkel zwischen den
Spins si und s j eingeht. Diese Wechselwirkung beruht darauf, daß aufgrund
des PAULIprinzips die effektive elektrostatische Abstoßung der Elektronen bei
gleichem Spin geringer ist als bei entgegengesetztem Spin.
Hω stellt die langreichweitige und anisotrope Dipolwechselwirkung der Spins untereinander dar, die durch den Dipoltensor W(r ) aus Gleichung (1.12) beschrieben wird.
Hl enthält alle lokalen Einteilchenenergien der H AMILTONfunktion H:
− Dλi (siz )2 beschreibt eine uniaxiale lokale Anisotropie der Spins mit der Stärke
Dλi , wobei λi der Lagenindex von Spin si ist. Somit ist diese Anisotropie für alle Spins in einer Schicht λ gleich. Zusätzlich wird
angenommen, daß Dλ nur an den beiden Oberflächen des Films von
dem Volumenwert Dv abweicht, es gilt also

wenn si in Oberflächenlage λ = 1
 Dv + Ds
Dλ i =
(1.22)
wenn si in Grenzflächenlage λ = L
D + Di
 v
sonst.
Dv
Dies entspricht einer N ÉELschen Anisotropie gemäß Abschnitt 1.1.3.
Für Dλ > 0 ist die leichte Richtung dieser Anisotropie parallel zur
z-Achse, also normal zur Filmebene.
− Eλi (siz )4 stellt eine möglicherweise in der Schicht λ vorhandene lokale Anisotropie vierter Ordnung mit der Stärke Eλ dar, die ebenfalls nur an
den Oberflächen vom Volumenwert abweicht. Dieser Term wird in
Kapitel 7.3 untersucht und sonst oft vernachlässigt.
− B · si
beschreibt eine Ankopplung des Systems an ein äußeres Magnetfeld
B = ( B x , B y , B z ). Das effektive magnetische Moment µ der Spins ist
in B bereits enthalten, so daß B ebenfalls die Einheit einer Energie
hat.
Da die Anisotropiekonstanten Dλ und Eλ nur vom Lagenindex λ abhängen, ist
H translationsinvariant in der Filmebene gegenüber einer Verschiebung um einen
Gittervektor r ⊥ ẑ.
8
1.2 Das Modell
Somit hat das verwendete Modell die Parameter J, ω, Ds,v,i , Es,v,i , B und L. Da die
Energieskala frei gewählt werden kann, verbleiben elf Parameter. Zur Vereinfachung
wird sich in dieser Arbeit auf repräsentative Parametersätze P beschränkt, die in
Tabelle 1 aufgeführt sind und in den dort angegebenen Kapiteln näher erläutert
werden.
Generell muß bei H AMILTONfunktionen vom Typ (1.21) zwischen dem Spinraum
S und dem Ortsraum R unterschieden werden. In dem vorliegenden Fall sind beide
Räume dreidimensional, wobei si ∈ S und ri ∈ R ist. Im isotropen Modell H0
sind S und R nicht gekoppelt. Auch durch den Anteil Hl tritt im Prinzip noch
keine Kopplung der Räume auf, da in Hl lediglich eine Vorzugsrichtung ẑS ∈ S im
Spinraum ausgezeichnet wird (ẑS · si ≡ siz ). In diesem Sinne ist auch das Magnetfeld
Satz
G
L
ω/ J
PLa =1
ek
1
0,014
PLb =1
ek
1
PL=2
ek
PLD=λ 2
J /ω
Dλ [ω]
D1 = 0,1
' 71
D1 ' 7,1
Kap. 4.5
0,028
D1 = 0,2
' 35,7
D1 ' 7,1
Kap. 5.2
2
0,017
D1 = 0,2
D2 = 0,05
' 59
D1 ' 11,8
D2 ' 2,95
Kap. 5.3
ek
2
0,017
D1 =
' 59
PFe
ek
4
38 × 10−5
Ds = 0,014
Dv = 0
' 2650
Ds ' 36,8
Dv = 0
Kap. 4.6.2
PNi
ek
4
5 × 10−5
Ds = −0,005
Dv = 0,0015
2 × 104
Ds = −100
Dv = 30
Kap. 4.6.3
PNi
kfz
kfz
∈R
10−4
Ds = −0,0156
Dv = 0,0031
104
Ds = −156
Dv = 31
Kap. 7.3
exp
kfz
∈R
10−4
Ds
Dv
Es
Ev
= −0,0124
= 0,0024
= 0,0028
= −0,0004
104
Ds
Dv
Es
Ev
= −124
= 24
= 28
= −4
Kap. 7.3
PNi
Dλ [ J ]
1
4
− D2
siehe
Kap. 5.3
Tabelle 1: In dieser Arbeit häufig verwendete Parametersätze P . Aufgelistet sind die
jeweilige Gitterstruktur G (einfach kubisch oder kubisch flächenzentriert), die Filmdicke
L, sowie die Parameter der H AMILTONfunktion (1.21) in Einheiten von J und ω. Die
Zahlenwerte sind in den angegebenen Kapiteln erläutert.
9
1 Einleitung
B ∈ S . Erst durch die Festlegung der Ursache der uniaxialen Anisotropie im
Rahmen des N ÉELschen Modells werden S und R implizit gekoppelt und gefordert,
daß die Vorzugsrichtung ẑS k ẑR ist, wobei ẑR ∈ R der Normalenvektor des
Films ist. Der Dipolanteil Hω hingegen koppelt Orts- und Spinraum explizit durch
das Skalarprodukt si · ri j in (1.11). Aufgrund dieser Kopplung der Räume wird im
folgenden keine Unterscheidung zwischen S und R gemacht.
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
1.3.1
Spinwellentheorie
Die Spinwellentheorie behandelt kollektive Anregungen in Form von Spinwellen
über einem als bekannt vorausgesetzten Grundzustand. Im Rahmen einer Spinwellentheorie kann z. B. die Magnetisierung m( T ) für tiefe Temperaturen berechnet
werden, insbesondere kann man ermitteln, ob eine langreichweitige Ordnung des
Grundzustandes auch bei endlichen Temperaturen erhalten bleibt. Die Ergebnisse
der Anwendung dieser Theorie auf klassische zweidimensionale Systeme sind hier
kurz zusammengefaßt.
Die Dispersionsrelation Ω0 (k) beschreibt die Energie4 von Spinwellen mit Wellenvektor k, deren Wellenlänge groß im Vergleich zum Gitterabstand ann des betrachteten Gitters sein soll. Sie gibt Aufschluß über das Vorhandensein langreichweitiger Ordnung bei endlichen Temperaturen. Für das isotrope klassische H EISEN BERG modell (1.21b) ergibt sich [z. B. M ILLS , 1994]
Ω0 (k) = Jk2 .
(1.23)
Es zeigt sich, daß diese quadratische Abhängigkeit in zweidimensionalen Systemen
zu einem Verlust der langreichweitigen Ordnung für T > 0 führt, da schon bei
beliebig niedrigen Temperaturen langwellige Spinwellen, sogenannte G OLDSTONEmoden, angeregt werden können, die die langreichweitige Ordnung zerstören. Dies
ist im Einklang mit dem M ERMIN -WAGNER-Theorem, demzufolge ein- und zweidimensionale Systeme mit kurzreichweitigen Wechselwirkungen und kontinuierlich
entartetem Grundzustand bei endlichen Temperaturen keine langreichweitige Ordnung haben können [M ERMIN und WAGNER, 1966].
Fügt man zur H AMILTONfunktion (1.21b) eine zusätzliche lokale uniaxiale Anisotropie
H = H0 − D ∑(siz )2
i
4
Für diese Diskussion sei das P LANCKsche Wirkungsquantum h̄ = 1.
10
(1.24)
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
mit positivem D hinzu, so wird die Rotationssymmetrie gebrochen und die Magnetisierung zeigt im Grundzustand in ± z-Richtung. Ausgehend von diesem Grundzustand lautet die Relation (1.23) nun [E RICKSON und M ILLS, 1991a,b,c]
Ω0 (k) = Jk2 + D,
(1.25)
d. h. es tritt eine energetische Anregungslücke der Breite Ω0 (0) = D auf, und
man benötigt mindestens diese Energie, um langwellige Spinwellen anzuregen.
Dies führt dazu, daß das System für hinreichend niedrige Temperaturen in einen
geordneten Zustand übergeht.
Für das isotrope H EISENBERGmodell mit Dipolwechselwirkung liegt die Magnetisierung im Grundzustand in der Filmebene (vgl. Kapitel 2) und die Dispersionsrelation ist komplizierter und abhängig von der Richtung von k. Generell ergibt sich
für kleine Werte von k
√
(1.26)
Ω0 (k) ∝ k,
man findet also wie im isotropen Fall (1.23) keine Anregungslücke. Trotzdem reichen die wenigen G OLDSTONEmoden mit niedrigen Energien nicht aus, um die
langreichweitige Ordnung durch thermische Fluktuationen zu zerstören [M ALEEV,
1976]. Das dipolare H EISENBERGmodell hat eine geordnete Tieftemperaturphase,
weil die planare Rotationssymmetrie durch thermische Anregungen gebrochen
wird.
Eine quantenmechanische Spinwellentheorie ist nur sehr schwer durchzuführen,
da nicht klar ist, wie die lokale uniaxiale Anisotropie zu behandeln ist [vgl. R EMPE,
1996]. Eine Möglichkeit ist, den uniaxialen Term mit der Methode von C ALLEN
[1963] zu entkoppeln [E CKER et al., 1999; J ENSEN et al., 1999]. Ergebnisse für ein
System mit langreichweitiger Dipolwechselwirkung liegen jedoch noch nicht vor.
1.3.2
Renormierungsgruppentheorie
Während sich die Spinwellentheorie hauptsächlich zur Untersuchung der Tieftemperaturphase eignet, kann man mit der Renormierungsgruppentheorie Aussagen
über das Verhalten in der Nähe eines kontinuierlichen Phasenübergangs machen.
Da an einem solchen kritischen Punkt die Korrelationslänge divergiert, können mikroskopische Details des Systems vernachlässigt und z. B. die kritische Temperatur
Tc näherungsweise berechnet werden.
Für dünne zweidimensionale Filme mit Austauschwechselwirkung und uniaxialer Anisotropie erhält man die C URIEtemperatur [B ANDER und M ILLS, 1988; M ILLS,
1994]
Tc = 2Tc3D log −1
π2 J
,
D
(1.27)
11
1 Einleitung
wobei für die kritische Temperatur Tc3D des dreidimensionalen isotropen klassischen
H EISENBERGmodells z. B. der von B ROWN und C IFTAN [1996] bestimmte Wert aus
Monte Carlo-Simulationen Tc∗ ' 1,443J eingesetzt werden kann.
Die Renormierungsgruppentheorie von P ESCIA und P OKROVSKY [1990] und T E TEL’ MAN [1990] ergab bei entsprechend gewählten Parametern einen Spinreorientierungsübergang von senkrechter nach planarer Orientierung, der allerdings von
L EVANYUK und G ARCIA [1992] im Rahmen einer nichtlinearen Spinwellentheorie
in Frage gestellt wurde.
1.3.3
Molekularfeldtheorie
Erste Untersuchungen des klassischen H EISENBERGmodells mit lokalen Anisotropien zweiter und vierter Ordnung D, E (vgl. (1.21d)) in Molekularfeldnäherung
wurden bereits von L EVINSON et al. [1969] durchgeführt. Allerdings wurde von ihnen die Dipolwechselwirkung nicht berücksichtigt. Sie fanden temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergänge, die abhängig von D und E sowohl kontinuierlich
als auch diskontinuierlich waren.
TAYLOR und G YÖRFFY [1993] untersuchten das auch hier betrachtete klassische
H EISENBERGmodell in der Monolage mit einer Molekularfeldtheorie. Sie fanden in
Übereinstimmung mit dieser Arbeit einen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang erster Ordnung von senkrechter nach planarer Orientierung. M O SCHEL und U SADEL [1994, 1995a,b] erweiterten diese Untersuchungen im Rahmen
eines quantenmechanischen H EISENBERGmodells auf dickere Filme und fanden
dort kontinuierliche Übergänge [siehe auch M OSCHEL, 1994].
1.3.4
Monte Carlo-Simulationen
Der Einfluß der uniaxialen Anisotropie auf das zweidimensionale isotrope H EISEN BERG modell ist von zahlreichen Autoren ausführlich mit Simulationen untersucht
worden. E RICKSON und M ILLS [1991b] untersuchten die Abhängigkeit der C URIEtemperatur von der Stärke der uniaxialen Anisotropie und fanden gute Übereinstimmung mit dem Ausdruck für Tc (1.27) von B ANDER und M ILLS [1988].
Für das H EISENBERGmodell mit uniaxialer Anisotropie und langreichweitiger
Dipolwechselwirkung existierten jedoch bisher nur wenige Arbeiten. S ERENA et al.
[1993] untersuchten dieses Modell mit Monte Carlo-Simulationen und fanden keinen Spinreorientierungsübergang, während C HUI [1994, 1995] zwar einen Übergang
fand, allerdings die Ordnung falsch charakterisierte [H UCHT et al., 1995] (vgl. Kapitel 5.2).
12
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
M ALY [1999] betrachtete das anisotrope H EISENBERGmodell mit einer kurzreichweitigen Wechselwirkung, die die Anisotropie der Dipolwechselwirkung hat, und
fand in Übereinstimmung mit dieser Arbeit einen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang.
Der Einfluß von Streifendomänen (vgl. Kapitel 3.2) wurde von M AC I SAAC et al.
[1996] in Simulationen untersucht. Sie stellten fest, daß die Domänen bei einer endlichen Temperatur mit einer Anomalie in der spezifischen Wärme zerfallen. In einer
neueren Arbeit untersuchten M AC I SAAC et al. [1998] den Spinreorientierungsübergang unter Berücksichtigung von Streifendomänen.
1.3.5
Phänomenologische L ANDAUtheorie
In der phänomenologischen L ANDAUtheorie wird für die freie Energie pro Spin
f ( L, T, ϑ) als Funktion der Schichtdicke L, der Temperatur T und des Winkels ϑ des
Magnetisierungsvektors m = m(cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) mit der Filmnormalen
der phänomenologische Ansatz
1
f ( L, T, ϑ) = µ0 m2 ( L, T ) cos 2 ϑ − K2 ( L, T ) cos 2 ϑ − K4 ( L, T ) cos 4 ϑ
(1.28)
2
gemacht. Der erste Term entspricht der Dipolwechselwirkungsenergie in Kontinuumsnäherung, während in den anderen Termen alle lokalen Anisotropien des Systems enthalten sind (vgl. Abschnitt 1.1.3). Bei diesem Ansatz wird angenommen,
daß der Betrag m der Magnetisierung m unabhängig vom Winkel ϑ ist. Hier wurde
weiterhin der Einfachheit halber angenommen, daß das System in der Ebene rotationsinvariant ist und somit die freie Energie nicht vom Winkel ϕ abhängt. An
Gleichung (1.28) können verschiedene Reorientierungsszenarien diskutiert werden
[z. B. M ILLEV und K IRSCHNER, 1996]. Allerdings können mit diesem Ansatz keine Aussagen über die effektiven Anisotropien Kn ( L, T ) gemacht werden, so kann
speziell weder die Schichtdickenabhängigkeit noch die Temperaturabhängigkeit bestimmt werden.
G RADMANN [1986] schlug als Erweiterung dieses Konzeptes vor, daß die Größen
Kn ( L, T ) die Form
Kn ( L, T ) = Knv ( T ) + Kns ( T ) + Kni ( T ) L−1 + O( L)−2
(1.29)
haben. Diese Formel definiert die Volumenanisotropien Knv ( T ) sowie die Oberflächenanisotropien Kns ( T ) an der Filmoberfläche und die Anisotropien Kni ( T ) an der
Grenzfläche des Films zum Substrat. Oft werden die beiden Oberflächenanteile zur
mittleren Oberflächenanisotropie
Kns̄ ( T ) =
1 s
Kn ( T ) + Kni ( T )
2
(1.30)
13
1 Einleitung
zusammengefaßt, da eine Trennung der beiden Anteile experimentell nur schwer
möglich ist. Wenn die höheren Ordnungen in (1.29) vernachlässigbar sind, kann mit
diesem Ansatz der schichtdickenabhängige Spinreorientierungsübergang beschrieben werden und experimentell die Beiträge Knv ( T ) sowie Kns̄ ( T ) bestimmt werden.
Tatsächlich zeigen viele Materialien bei einer Auftragung von LKn ( L, T ) über L lineares Verhalten.
1.3.6
Rauhigkeit und Inhomogenitäten
B RUNO [1988a,b] untersuchte den Einfluß von Oberflächenrauhigkeit auf die Oberflächenanisotropie. Er fand, daß sowohl der dipolare Anteil als auch der Beitrag
lokaler Anisotropien stark von der Rauhigkeit abhängen. Dies zeigt, daß das Herstellungsverfahren und die Oberflächenbeschaffenheit der Filme das magnetische
Verhalten stark verändern können.
Auch nichtmagnetische Deckschichten können einen Einfluß auf das magnetische Verhalten von dünnen Filmen haben, da sie die Oberflächenanisotropie verändern. Die Auswirkung einer unvollständigen Bedeckung eines magnetischen Films
durch nichtmagnetische Inseln wurde von M ALY [1999] untersucht. Eine Übersicht
der experimentellen Befunde über den Zusammenhang von Struktur und Magnetismus liefert B LAND und H EINRICH [1994].
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
In den letzten Jahren sind eine große Anzahl von experimentellen Arbeiten über
Spinreorientierungsübergänge in zahlreichen ferromagnetischen Materialien erschienen, von denen hier einige erwähnt werden sollen. Eine detaillierte Übersicht
findet man z. B. in [G RADMANN, 1993; A LLENSPACH, 1994; FARLE, 1998].
1.4.1
Fe/Cu(100)
PAPPAS et al. [1990] fanden mit spinpolarisierter Elektronenspektroskopie in ultradünnen Eisenfilmen auf Kupfer einen reversiblen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang von senkrechter Orientierung der Magnetisierung bei dünnen
Filmen bzw. tiefen Temperaturen zu planarer Orientierung bei dicken Filmen bzw.
hohen Temperaturen. Übergänge von diesem Typ werden im folgenden Fe-artig genannt.
14
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
?
Abbildung 3: Das von Q IU et al. [1993] bestimmte experimentelle Phasendiagramm von
Fe/Ag(001). Der Stern (?) kennzeichnet Tr aus der Messung von B ERGER und H OPSTER
[1996].
1.4.2
Fe/Ag(100)
Q IU et al. [1993] bestimmten mit oberflächensensitivem magnetooptischem K ERReffekt (SMOKE) das in Abbildung 3 dargestellte Filmdicke-Temperatur-Phasendiagramm von Fe/Ag(100). Sie fanden einen sowohl dicken- als auch temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang, wobei am Übergang ein etwa 1 ML bzw.
etwa 50 K breiter Bereich mit stark abgesenkter Magnetisierung auftrat; die Autoren
nannten dies eine “Pseudolücke mit komplexer magnetischer Struktur” und vermuteten Domänenbildung. Hysteresemessungen von B ERGER und H OPSTER [1996]
legten nahe, daß diese Lücke tatsächlich durch Domänen erklärt werden kann. Diese
Autoren fanden in ihren 3,8 Monolagen dicken Proben den Spinreorientierungsübergang allerdings bereits nahe 270 K ((?) in Abbildung 3, vgl. auch Abbildung 23).
Dies läßt vermuten, daß die Lage der Phasengrenzlinie stark von der Probenbeschaffenheit abhängt [vgl. S CHALLER et al., 1999].
1.4.3
Co/Au(111)
Der schichtdickenabhängige Fe-artige Spinreorientierungsübergang in Co/Au(111)
wurde von A LLENSPACH et al. [1990] sowie von O EPEN et al. [1997] mit dem Rasterelektronenmikroskop mit Polarisationsanalyse (SEMPA) untersucht. Während
15
1 Einleitung
A LLENSPACH et al. einen kontinuierlichen Übergang mit etwa 1,5 ML breitem Übergangsbereich finden, verläuft in den Experimenten von O EPEN et al. der Übergang
diskontinuierlich mit einem intermediären Koexistenzbereich. Beide Arbeitsgruppen finden eine komplexe Domänenstruktur sowohl in der senkrechten als auch in
der planaren Phase.
1.4.4
[Tb/Fe]n
TAPPERT et al. [1999] untersuchten Tb/Fe-Multilagen mit Hilfe der Mößbauerspektroskopie. Der von ihnen gefundene Fe-artige temperaturgetriebene und kontinuierliche Spinreorientierungsübergang kann mit der in dieser Arbeit vorgestellten
Molekularfeldtheorie beschrieben werden [TAPPERT et al., 1999, Abb. 9].
1.4.5
Ni/Cu(001)
Der Spinreorientierungsübergang in Ni/Cu(001) verläuft genau entgegengesetzt zu
den bisher beschriebenen Materialien. Übergänge von diesem Typ werden deshalb
im folgenden Ni-artig genannt. Wie Messungen von S CHULZ und B ABERSCHKE
[1994] mit ferromagnetischer Resonanz (FMR) ergaben, liegt bei dünnen Ni-Filmen
die Magnetisierung in der Filmebene und rotiert bei Lr ≈ 7 ML innerhalb eines
schmalen Intervalls ∆Lr < 1 ML in die senkrechte Richtung. Dieses ungewöhnliche Verhalten wird dadurch erklärt, daß Nickel mit einer tetragonalen Verzerrung
auf dem Kupfer aufwächst. Kupfer(001) hat eine um etwa 2,5% größere Gitterkonstante als das epitaktisch aufwachsende kubisch flächenzentrierte Nickel; die
Einheitszelle von Nickel wird deshalb lateral gestreckt und in Normalenrichtung gestaucht. Dadurch werde im Nickel eine positive Volumenanisotropie K v induziert,
die eine senkrechte Orientierung bevorzugt (vgl. Abschnitt 1.1.3). Rechnung von
H JORTSTAM et al. [1997] mit lokaler Dichtenäherung (LDA) ergaben, daß dieser Mechanismus tatsächlich eine positive Volumenanisotropie ergibt. In Konkurrenz zu
K v steht die Dipolwechselwirkung, die immer eine planare Orientierung bevorzugt,
sowie eine negative Oberflächenanisotropie K s , die bei hinreichend dünnen Filmen
gemäß Gleichung (1.29) zu einer negativen totalen Anisotropie K = K v + K s / L
und damit zu der planaren Magnetisierung führt. U IBERACKER et al. [1999] konnten in einer neueren Arbeit mit der K ORRINGA -K OHN -R OSTOKER-Methode (KKR)
sowohl K v als auch K s im Grundzustand berechnen, wobei die Ergebnisse gut mit
den Messungen an Ni/Cu(001) [S CHULZ und B ABERSCHKE, 1994; S CHULZ et al.,
1995; B ABERSCHKE und FARLE, 1997; FARLE et al., 1997b] übereinstimmen.
Ebenso wird in diesem System ein kontinuierlicher temperaturgetriebener Spinreorientierungsübergang beobachtet [FARLE et al., 1997a,c], der ebenfalls umgekehrt
16
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
Abbildung 4: Das von B ABERSCHKE und FARLE [1997] experimentell bestimmte Phasendiagramm von Ni/Cu(001), entnommen aus [FARLE, 1998]. Die Symbole bezeichnen die planare Phase (H), die senkrechte Phase (N) sowie die Phase mit gekippter Magnetisierung (,
O). Die übrigen Symbole markieren die schichtdickenabhängige C URIEtemperatur Tc ( L).
zu dem Übergang in Eisenfilmen abläuft. Das resultierende Phasendiagramm von
B ABERSCHKE und FARLE [1997] ist in Abbildung 4 dargestellt. Dieser temperaturgetriebene Übergang war bisher theoretisch nur unzureichend verstanden und wird
im Rahmen dieser Arbeit untersucht.
1.4.6
Fe/Cr(001)
Ein anderer Typ von Spinreorientierungsübergang ist kürzlich von B ÖDEKER et al.
[1998] mit Neutronenstreuung in Chromfilmen gefunden worden, die mit wenigen
Monolagen Eisen abgedeckt sind. Im antiferromagnetischen Chrom tritt im Volumen unterhalb der N ÉELtemperatur TN ≈ 311 K eine inkommensurable Spindichtewelle auf, d. h. die magnetischen Momente des Chroms sind moduliert mit einer
Modulationswellenlänge λSDW , die ein irrationales Verhältnis zum nächste Nachbarabstand ann hat und bei tiefen Temperaturen etwa λSDW ≈ 21ann beträgt. In dünnen
Fe/Cr(001)-Filmen kann diese Spindichtewelle parallel oder senkrecht zur Filmebene orientiert sein und es kommt zu dicken- und temperaturabhängigen Reorientierungen sowohl der Spindichtewelle also auch der daran gekoppelten magnetischen
Momente des Chroms. Eine detaillierte Untersuchung dieser Effekte wurde von
B ÖDEKER [1996] durchgeführt.
17
1 Einleitung
1.5 Aufbau dieser Arbeit
Zunächst werden in Kapitel 2 mit zahlentheoretischen Methoden analytische Ausdrücke für Dipolsummen auf verschiedenen zweidimensionalen Gittern hergeleitet.
Weiterhin werden Formeln angegeben, mit denen die Dipolsummen für dickere Filme numerisch bestimmt werden können. In Kapitel 3 wird das System analytisch im
Grundzustand behandelt. Es werden Kriterien für den Spinreorientierungsübergang
sowie für dessen Ordnung aufgestellt. Außerdem wird untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung im Grundzustand zu Domänen führt.
Die Untersuchungen des Spinreorientierungsübergangs werden in Kapitel 4 mit
Hilfe einer Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt. In der Bilage mit L = 2 Lagen wird exemplarisch für dickere Filme der Einfluß der Verteilung
der uniaxialen Anisotropien sowie äußerer Magnetfelder untersucht. Weiterhin werden die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T ) numerisch aus dem mikroskopischen Modell berechnet. In Kapitel 5
wird eine Methode zur Monte Carlo-Simulation des Spinreorientierungsübergangs
entwickelt und die damit gewonnenen Resultate mit den Ergebnissen der Molekularfeldtheorie verglichen.
Mit Hilfe einer Störungstheorie werden in Kapitel 6 analytische Ausdrücke für
die Abhängigkeit der Größen Kn ( T ) von den Parametern des Modells hergeleitet
sowie eine Zerlegung in Volumen- und Oberflächenanteil K v ( T ) bzw. K s ( T ) vorgenommen. Weiterhin wird untersucht, welche Rolle die Entropie bei dem Spinreorientierungsübergang einnimmt. Schließlich wird das Modell in Kapitel 7 auf
kontinuierliche Filmdicken erweitert, da im Experiment der Spinreorientierungsübergang sehr empfindlich von der Filmdicke abhängt und teilweise im Submonolagenbereich durchlaufen wird. Die Ergebnisse dieses erweiterten Modells werden
abschließend mit dem Experiment verglichen.
18
2
Dipolsummen
Zunächst erfolgen einige allgemeine Betrachtungen über die Dipolwechselwirkung
von Spins auf einem regelmäßigen zweidimensionalen Gitter G in der xy-Ebene.
Wenn auf G alle Spins s j außer dem Spin s0 im Koordinatenursprung parallel
orientiert sind, lautet die Summe der Dipolwechselwirkungsenergien (1.11) von
Spin s0 mit allen anderen Spins s j
Eω = ω s0 · W̃G · s j
(2.1)
mit dem summierten effektiven Dipoltensor
W̃G =
∑ W (r ) ,
(2.2)
r ∈G
wobei sich die Summe über alle Punkte r von G erstreckt. Man beachte, daß r z = 0
ist, da alle Gitterpunkte in der xy-Ebene liegen.
Hat G eine Spiegelsymmetrie entlang der xz-Ebene (r y = 0), so ist mit r auch
0
r = (r x , −r y , 0) ein Gitterpunkt. Man kann die entsprechenden zwei Summanden
W(r ) und W(r 0 ) in (2.2) zusammenfassen, wobei sich die Außerdiagonalelemente
gegenseitig wegheben. Der summierte effektive Dipoltensor ist dann diagonal und
hat die Form


0
0
1 − 3r̂2x
0 1 

W̃G = ∑ 3 
0
1 − 3r̂2y 0  ,
(2.3)
r
r ∈G
0
0
1
der Strich am Summenzeichen bedeutet hier und im folgenden, daß divergierende
Anteile (hier r = 0) aus der Summation ausgenommen sind.
Wenn G zusätzlich eine Rotationssymmetrie mit einem Drehwinkel φ = 2π /n
um den Ursprung aufweist, gilt für die Diagonalelemente des Dipoltensors W(rk )
zwischen dem Spin s0 und den n Spins an den Punkten rk , die aus dem Punkt bei r
durch diese Rotation hervorgehen,
3 2
(r̂k,x − r̂2k,y )
3
r
3
4π k
4π k 2
2
= 3 2r̂ x r̂ y sin
.
+ (r̂ x − r̂ y ) cos
r
n
n
Wxx (rk ) − Wyy (rk ) = −
(2.4)
19
2 Dipolsummen
Da für n ≥ 3 gilt
n−1
∑
k=0
sin
n−1
4π k
4π k
= ∑ cos
= 0,
n
n
k=0
(2.5)
verschwindet die Differenz der Diagonalelemente W̃xx und W̃yy des summierten Dipoltensors für Gitter mit mindestens dreizähliger Symmetrie. Man erhält in diesem
Fall, da r̂2x + r̂2y = 1 ist, die einfache Form
W̃G = A
∑
0
r ∈G
1
r3
mit der effektiven Dipolcharakteristik


−1/2
0
0
A= 0
−1/2 0  .
0
0
1
(2.6)
(2.7)
Der summierte effektive Dipoltensor (2.2) hat also für Gitter mit den genannten
Symmetrien die einfache Form (2.6). Betrachtet man die H AMILTONfunktion (1.21)
ohne lokalen Anteil Hl , so liegen demnach auf diesen Gittern im Grundzustand alle
Spins parallel in der xy-Ebene und der Grundzustand ist kontinuierlich entartet.
In zwei Dimensionen haben alle im folgenden untersuchten Gitter außer dem K A GOMÉgitter (Abschnitt 2.1.6) diese Symmetrien.
Die Grundzustandsenergie hängt in diesem Fall nur noch von dem in (2.6)
verbleibenden nichttrivialen Term ∑0 r ∈G r−3 ab und wird nun für verschiedene
zweidimensionale Gitter analytisch bestimmt.
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
Unter der Gittersumme eines Gitters G wird in dieser Arbeit eine Summe der Form
ΦG (s) =
0
∑ r−2s
(2.8)
r ∈G
mit s ∈ R verstanden1 . Mit dieser Definition kann Gleichung (2.6) für Gitter mit der
obengenannten Symmetrie in der Form
W̃G = ΦG 32 A
(2.9)
geschrieben werden.
1
Die Variable s hat sich für diesen Exponenten eingebürgert, eine Verwechslung mit einer Spinvariablen ist nicht zu befürchten.
20
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
Die Konvergenz der Gittersumme (2.8) ist abhängig von der Raumdimension D
des Gitters G und vom Exponenten s. Man kann zeigen, daß die Summe (2.8) für
2s > D absolut konvergent ist, während sie für 2s ≤ D divergiert.
In den folgenden Abschnitten werden exakte Resultate für die Gittersummen
verschiedener zweidimensionaler Gitter hergeleitet. Die hierfür benötigten Begriffe
aus der Zahlentheorie werden zunächst kurz erläutert.
2.1.1
D IRICHLETsche Reihen
Eine D IRICHLETsche Reihe hat die Form
F (s) =
∞
∑
n=1
f (n) n−s ,
(2.10)
dabei heißt F (s) die erzeugende Funktion von f (n) [z. B. H ARDY und W RIGHT, 1958,
§ 17.1]. So ist z. B. die R IEMANNsche Zetafunktion ζ (s) die erzeugende Funktion
der einfachsten D IRICHLETschen Reihe mit f (n) = 1, da für s > 1 gilt [z. B.
A BRAMOWITZ und S TEGUN, 1972, § 23.2.1]
ζ (s) =
∞
∑
n−s .
(2.11)
n=1
Sind zwei D IRICHLETsche Reihen ∑u f (u) u−s und ∑v g(v) v−s absolut konvergent
und F (s) und G (s) ihre erzeugenden Funktionen, so gilt für das Produkt [z. B.
H ARDY und W RIGHT, 1958, § 17.4]
H (s) = F (s) G (s) =
∞
∑
u=1
f (u) u−s
∞
∞
v=1
n=1
∑ g(v) v−s = ∑ h(n) n−s
(2.12a)
mit
h(n) =
∑
u v=n
f (u) g(v) = ∑ f (d) g(n/d).
(2.12b)
d|n
Der Ausdruck d|n bedeutet, daß d Teiler von n ist; so läuft z. B. für n = 6 die
Summe über die Zahlen d ∈ {1, 2, 3, 6}. In diesem Zusammenhang sei auch die
später benötigte Divisorfunktion [z. B. A BRAMOWITZ und S TEGUN, 1972, § 24.3.3]
σk (n) = ∑ dk
(2.13)
d|n
erwähnt.
Zur Darstellung der zu berechnenden Gittersummen definieren wir die erzeugende Funktion
Cα1 ,...,αm (s) =
∞
∑ cα ,...,α
n=1
1
m
(n) n−s
(2.14a)
21
2 Dipolsummen
der periodischen D IRICHLETschen Reihe mit den Koeffizienten
cα1 ,...,αm (n) = αn mod m .
(2.14b)
So ist z. B. c1,0 (n) die periodische Folge 1, 0, 1, 0, . . ., während für die R IEMANNsche Zetafunktion (2.11) gilt ζ (s) = C1 (s). Funktionen vom Typ (2.14a) kann man
durch die verallgemeinerte bzw. H URWITZsche Zetafunktion [z. B. W OLFRAM, 1996,
§ 3.2.10]
ζ (s, a) =
∞
0
∑ (k + a)−s
(2.15)
k=0
ausdrücken, und man erhält
Cα1 ,...,αm (s)
(2.14a)
=
(2.14b)
=
∞
∑ cα ,...,α
n=1
∞ m
1
m
(n) n−s
∑ ∑ αi (km + i)−s
k=0 i=1
m
−s
∞
i
= m ∑ αi ∑ k +
m
i=1
k=0
i
(2.15) −s m
.
= m ∑ αi ζ s,
m
i=1
−s
(2.16)
Für das obengenannte Beispiel ergibt sich C1,0 (s) = 2−sζ (s, 1/2). Mit der erzeugenden Funktion (2.14a) lassen sich verschiedene Gittersummen analytisch berechnen.
2.1.2
Abbildung der Dipolsummen auf D IRICHLETsche Reihen
Falls für alle Gitterplätze r des Gitters G die Bedingung r2 ∈ N0 gilt, läßt sich die
Gittersumme (2.8) als D IRICHLETsche Reihe
ΦG (s) =
∞
∑ φG (n) n−s
(2.17)
n=1
schreiben. Die Funktion φG (n) ist die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn auf
dem Gitter G , wobei hier mit “n-ten nächsten Nachbarn” je zwei Plätze bezeichnet
√
werden, die den Abstand r = n haben. So gibt es z. B. nach dieser Definition
auf dem Quadratgitter
keine dritten nächsten Nachbarn, da keine zwei Plätze den
√
Abstand r = 3 haben.
22
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
2.1.3
Das Quadratgitter
Das Quadratgitter G hat die Basisvektoren
1
0
e1 =
e2 =
,
0
1
(2.18)
und für die Gittervektoren r und für den Abstand r von dem Gitterpunkt im
Ursprung zu einem Platz bei r gilt
r = ie1 + je2
⇒
2
r
= i2 + j2
(2.19)
2
mit i, j ∈ Z. Die Anzahl der Darstellungen von n = r
in der Form n = i2 + j2 wird
in der Zahlentheorie mit r(n) bezeichnet und ergibt sich aus dem dort behandelten
Problem der Zerlegung einer Zahl in zwei Quadratzahlen. Es gilt [z. B. H ARDY und
W RIGHT, 1958, § 17.9]
r(n) = 4 ∑ c1,0,−1,0 (d)
(2.20)
d|n
mit c1,0,−1,0 (n) aus Gleichung (2.14b)2 . Für das Quadratgitter ist somit
φ ( n ) = r ( n ) ,
(2.21)
und man erhält als erzeugende Funktion der Gittersumme des Quadratgitters
Φ ( s )
(2.17)
=
=
∞
∑ φ ( n ) n − s
n=1
∞
4
n=1 d|n
(2.12)
= 4
=
∑ ∑ c1,0,−1,0(d) n−s
∞
∑
u=1
u−s
∞
∑ c1,0,−1,0(v) v−s
v=1
4 ζ (s) C1,0,−1,0 (s).
Mit Gleichung (2.16) lautet das Ergebnis [H UCHT et al., 1995]
Φ (s) = 41−s ζ (s) ζ (s, 14 ) − ζ (s, 34 ) .
(2.22)
(2.23)
Die entsprechenden Werte ΦG (3/2) für den Fall der Dipolwechselwirkung sind in
Tabelle 2 aufgeführt.
2
C1,0,−1,0 (s) wird in [H ARDY und W RIGHT, 1958] mit L(s) bezeichnet
23
2 Dipolsummen
e2
e1
Abbildung 5: Das Dreieckgitter G4 mit den Basisvektoren e1 und e2 hat sechszählige
Symmetrie.
2.1.4
Das Dreieckgitter
Das in Abbildung 5 dargestellte Dreieckgitter G4 besitzt sechszählige Symmetrie
und hat die Basisvektoren
1
1 √1
e1 =
e2 =
,
(2.24)
0
2
3
für den Gittervektor r und die Abstände vom Ursprung gilt hier
r4 = ie1 + je2
⇒
r24 = i2 + i j + j2
(2.25)
mit i, j ∈ Z. Die Anzahl der Lösungen der Gleichung n = i2 + i j + j2 ist wiederum
in der Zahlentheorie untersucht [z. B. R OSE, 1988, § 9.5, Aufg. 18(i)], man erhält3
φ4 (n) = 6 ∑ c1,−1,0 (d).
(2.26)
d|n
Analog zur Betrachtung des Quadratgitters (2.23) ergibt sich für die Gittersumme
des Dreieckgitters G4
Φ4 (s) = 6 ζ (s) C1,−1,0 (s)
= 6 · 3−s ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 23 ) .
2.1.5
(2.27)
Das Honigwabengitter
Die Gittersumme des Honigwabengitters G läßt sich von der Gittersumme des
Dreieckgitters G4 ableiten. Dazu unterteilt man das Dreieckgitter in die drei Un3
c1,−1,0 (n) wird in [R OSE, 1988] mit e1 (n) bezeichnet
24
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
GA
GB
e2
GC
e1
e3
Abbildung 6: Das Honigwabengitter G mit den Basisvektoren e1 , e2 und e3 hat dreizählige
Symmetrie. Eine Plakette des entfernten Untergitters GC ist schattiert dargestellt.
tergitter
GA , GB und GC gemäß Abbildung 6. Die Gitterkonstante dieser Untergitter
√
ist 3. Der Ursprung sei in Untergitter GA . Mit den Basisvektoren der Untergitter
0
1
1 3
√
e1 =
(2.28)
e2 = √
e3 =
0
2
3
3
lauten die Gittervektoren und die Abstände der Untergitterplätze vom Ursprung
rA = ie1 + je2
rB = rA + e3
r C = −r B
⇒
⇒
⇒
r2A = 3 (i2 + i j + j2 )
r2B = 3 (i2 + i j + j2 + i) + 1
r2C = r2B
(2.29)
mit i, j ∈ Z. Da 3|r2A , also r2A immer durch 3 teilbar ist, r2B und r2C bei Division durch
3 jedoch stets den Rest 1 ergeben, gibt es keine Untergitterplätze aus GA , die den
gleichen Abstand r vom Ursprung haben wie Untergitterplätze aus GB oder GC .
Weiterhin gibt es zu jedem Abstand r2 vom Ursprung ebensoviele Plätze in GB und
GC .
Man erhält das Honigwabengitter, indem man eines der Untergitter GB oder GC
(hier GC ) entfernt. Das Honigwabengitter besteht dann aus den zwei Untergittern GA
und GB und hat dreizählige Symmetrie. Die Anzahl der Plätze mit r = rA hat sich
durch das Entfernen von GC nicht geändert, die Anzahl der Plätze mit r = rB = rC
hat sich genau halbiert. Also gilt für die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn im
Honigwabengitter
φ4 (n) falls 3|n (Untergitter GA )
φ ( n ) =
(2.30)
1
φ (n) sonst
(Untergitter GB ).
2 4
25
2 Dipolsummen
Da Untergitter GA kongruent zum
√ ursprünglichen Gitter G4 ist, hat es die gleiche
Anzahl Nachbarn im Abstand 3 r wie G4 im Abstand r, d. h.
φ4 (n) = φA (3n) = φ4 (3n).
(2.31)
Somit erhält man als Resultat die Gittersumme des Honigwabengitters
Φ ( s ) =
=
1 ∞
1 ∞
φ4 (n) n−s + ∑ φ4 (3n) (3n)−s
∑
2 n=1
2 n=1
∞
1
( 1 + 3−s ) ∑ φ4 (n) n−s
2
n=1
= 3 (1 + 3−s ) ζ (s) C1,−1,0 (s)
= 3 · 3−s (1 + 3−s ) ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 23 ) .
2.1.6
(2.32)
Das K AGOMÉgitter
Die Gittersumme des K AGOMÉgitters G kann ebenfalls vom Dreieckgitter G4
abgeleitet werden: Nun unterteilt man das Dreieckgitter in die vier Untergitter GA ,
GB , GC und GD mit der Gitterkonstanten 2 gemäß Abbildung 7. Der Ursprung sei
wieder in Untergitter GA . Mit den Basisvektoren der Untergitter
1
1 −1
1 1
√
√ ,
e1 =
e2 =
e3 = −
(2.33)
0
2
3
2
3
gelten für die Untergitterplätze die Formeln
rA = 2ie1 + 2 je2
rC = 2ie3 + 2 je1 + e2
rB = 2ie1 + 2 je2 + e3
rD = 2ie2 + 2 je3 + e1
(2.34)
mit i, j ∈ Z. Für die Abstände der Untergitterplätze vom Ursprung folgt hieraus
(2.35a)
r2A = 4 i2 − i j + j2
r2B = r2C = r2D = 4 i2 − i j + j2 − 2i − 2 j + 1.
(2.35b)
Da 4|r2A , jedoch r2B , r2C und r2D immer ungerade sind, gibt es wieder keine Untergitterplätze aus GA , die den gleichen Abstand r vom Ursprung haben wie Untergitterplätze aus GB , GC oder GD . Weiterhin gibt es auch hier zu jedem Abstand r2 vom
Ursprung gleichviele Plätze in GB , GC und GD , da diese drei Untergitter durch eine
120°-Rotation um den Ursprung auseinander hervorgehen.
Man erhält das K AGOMÉgitter, indem man wieder ein Untergitter, hier GD ,
entfernt. Das K AGOMÉgitter besteht dann aus den drei Untergittern GA , GB und GC .
26
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
GC
GB
e2
GD
GA
e1
e3
Abbildung 7: Das K AGOMÉgitter G mit den Basisvektoren e1 , e2 und e3 der Untergitter hat
nur eine zweizählige Symmetrie. Eine Plakette des entfernten Untergitters GD ist schattiert
dargestellt.
Analog zum Honigwabengitter G gilt für die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn
nun
φ4 (n) falls 4|n (Untergitter GA )
φ (n) =
(2.36)
2
φ (n) sonst
(Untergitter GB , GC ).
3 4
Da Untergitter GA auch hier ein kongruentes Dreieckgitter ist, gilt
φ4 (n) = φA (4n) = φ4 (4n),
(2.37)
die Gittersumme des K AGOMÉgitters lautet also
Φ (s) =
=
2 ∞
1 ∞
−s
φ
(
n
)
n
+
4
∑ φ4 (4n) (4n)−s
3 n∑
3
=1
n=1
∞
1
( 2 + 4−s ) ∑ φ4 (n) n−s
3
n=1
= 2 (2 + 4−s ) ζ (s) C1,−1,0 (s)
= 2 · 3−s (2 + 4−s ) ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 23 ) .
(2.38)
Das K AGOMÉgitter hat nur eine zweizählige Symmetrie um einen Gitterplatz,
deshalb sind wie bereits am Anfang dieses Kapitels erwähnt die planaren Komponenten W̃xx und W̃yy in (2.3) hier nicht gleich und können mit dieser Methode nicht analytisch bestimmt werden. Eine numerische Bestimmung ergibt
W̃xx ' −6,4152 und W̃yy ' −1,4007 für die angenommene Geometrie, während
W̃zz = Φ (3/2) ' 7,8159 ist. Das bedeutet, daß die Energie Eω aus (2.1) minimal
27
2 Dipolsummen
wird, wenn alle Spins parallel zum Basisvektor e1 ausgerichtet sind. Dies gilt allerdings nur dann, wenn wie hier angenommen der Spin s0 in Untergitter GA liegt
und gefordert wird, daß die Spins auf den Untergittern GB und GC parallel stehen.
Befindet sich s0 hingegen im Untergitter GB bzw. GC , so sind unter entsprechenden
Bedingungen alle Spins parallel zu e2 bzw. e3 . Hieraus folgt, daß das K AGOMÉgitter
bezüglich der Dipolwechselwirkung frustriert ist und daß der hier angenommene
ferromagnetische Zustand instabil ist. Eine detaillierte Untersuchung dieser Instabilität wurde von P ICH [1994] durchgeführt.
Gittertyp G
ΦG (3/2)
Eindimensionale Kette (G− )
2,404114
Quadratgitter (G )
9,033622
Dreieckgitter (G4 )
11,034176
Honigwabengitter (G )
6,578852
K AGOMÉgitter (G )
7,815874
Tabelle 2: Numerische Werte der analytisch berechneten Gittersummen für den Fall der
Dipolwechselwirkung s = 3/2. Zum Vergleich ist der Wert Φ− = 2ζ (3) für die eindimensionale Kette G− angegeben.
2.2 Approximation für dünne Filme
In dieser Arbeit werden neben den bereits berechneten analytischen Ausdrücken für
Dipolsummen auch solche benötigt, die nicht in der beschriebenen Weise bestimmt
werden können. In der Monte Carlo-Simulation in Kapitel 5 wird ein System der
Größe L x × L y × L mit periodischen Randbedingungen in der xy-Ebene betrachtet.
Um in diesem Fall die Dipolwechselwirkung exakt zu berücksichtigen, muß die
Wechselwirkungsenergie eines Spins si am Ort ri ∈ R3 mit den periodischen Bildern
eines Spins s j am Ort r j ∈ R2 ⊗ {0} berechnet werden (Abbildung 8). Wenn man das
Periodizitätsvolumen durch den Vektor
L = ( L x , L y , 1)
(2.39)
beschreibt, lauten die Verbindungsvektoren ri0 j von si mit den periodischen Bildern
von s j an den Orten r 0j
ri0 j = LR + ri j ,
28
(2.40)
2.2 Approximation für dünne Filme
si
sj
Lx
Ly
Abbildung 8: Die Wechselwirkungen des Spins si am Ort ri oberhalb der Ebene mit den
periodischen Bildern des Spins s j in der Ebene, von denen hier nur einige eingezeichnet
sind, werden aufsummiert. Die laterale Ausdehnung des ursprünglichen Systems ist grau
dargestellt.
wobei R x und R y über alle ganzen Zahlen läuft, während immer R z = 0 ist; dieser
Vektorraum sei Z2 genannt4 . Die Komponente ( L) z ist beliebig, da R z immer null
ist, und wurde in (2.39) auf eins gesetzt. Der summierte effektive Dipoltensor (2.2)
lautet nun
W̃( L, r ) =
∑
0
R ∈ Z2
W( LR + r )
= Sp S( L, r ) 1 − 3S( L, r )
(2.41)
mit der Matrix
S( L, r ) =
∑
0
R ∈ Z2
( LR + r )2
.
| LR + r |5
(2.42)
Diese Summen werden im Anhang A.1 nach der Methode von B ENSON und M ILLS
[1969] berechnet und die Ergebnisse nun zusammengefaßt.
2.2.1
Wechselwirkungen innerhalb der Ebene
Wenn sich der Spin si wie die Spins s j in der xy-Ebene befindet, ist r z = 0. In diesem
Fall erhält man mit den Abkürzungen5 ρ = r / L, κ = k/ L und r 0 = LR + r für die
4
5
Für das direkte Produkt LR gilt ( LR)µ = Lµ Rµ
Man beachte, daß analog zum direkten Produkt ( a/b)µ = aµ /bµ ist
29
2 Dipolsummen
Elemente von S aus (2.42) die in Anhang A.1.1 berechneten Ausdrücke
S xx ( L, r ) =
4ζ ± (2, ρx ) 16π 2
+
3L2x L y
3L y
S xy ( L, r ) =
16π 2
3L y
∞
∑
k y =1
∞
∑
k y =1
κ 2y cos (2πκ y r y )
κ 2y sin (2πκ y r y )
∞
∑
Rx =−∞
∞
∑
Rx =−∞
K2 (2πκ y |r0x |)
sgn (r0x )K1 (2πκ y |r0x |)
Sµ z ( L, r ) = 0
(2.43a)
(2.43b)
(2.43c)
mit der symmetrisierten H URWITZschen Zetafunktion (vgl. (2.15)) für s = 2
(
∞
π2
für a = 0
0
3
ζ ± (2, a) = ∑ (k + a)−2 =
π2
sonst
k =−∞
sin2 π a
(2.44)
und den modifizierten B ESSELfunktionen Kn ( x). Das Matrixelement S yy ergibt sich
aus (2.43a) durch Vertauschung von x und y, während S yx = S xy ist.
2.2.2
Wechselwirkungen zwischen den Ebenen
Befindet sich der Spin si nicht in der xy-Ebene, so sind die Dipolsummen leichter
zu berechnen, da ri j immer von null verschieden ist und deshalb keine Singularität
auftreten kann. Wie in Anhang A.1.2 gezeigt wird, gilt nun
1
4π 2
K 2
(2.45)
e−2π (iκ ·r +κ |rz|)
S( L, r ) =
−
3L x L y k∑
2
π
|
r
|
κ
z
∈ Z2
mit dem komplexwertigen Vektor
K = (κ x , κ y , −iκ sgn r z ).
(2.46)
Da Sp K 2 = 0 ist, folgt für die Spur von S
Sp S( L, r ) =
2π
e−2π (iκ ·r +κ |rz|) .
L x L y |r z | k∑
∈ Z2
(2.47)
Für den summierten effektiven Dipoltensor (2.41) erhält man somit für r z 6= 0 das
Ergebnis
W̃( L, r ) =
4π 2
Lx L y
∑
k ∈ Z2
K 2 −2π (iκ ·r +κ |rz|)
e
.
κ
(2.48)
Diese schnell konvergierenden Summen können numerisch auf dem Rechner bestimmt werden.
30
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
a 0 = a nn
a0
a0
a nn
a nn
ek
kfz
krz
Abbildung 9: Die betrachteten dreidimensionalen kubischen Gitter. Nächste Nachbarn
im Abstand ann sind mit einer durchgezogenen Linie verbunden. Die schattierten Plätze
gehören zur Elementarzelle des Gitters.
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
Am Anfang von Kapitel 2 wurde für zweidimensionale Gitter in der xy-Ebene der
effektive summierte Dipoltensor W̃ unter der Bedingung hergeleitet, daß alle Spins
s j außer dem Spin s0 im Koordinatenursprung parallel orientiert sind. Für die in
(2.6) auftretende Gittersumme des Quadratgitters ergab sich (vgl. Kapitel 2.1.3)
1
= Φ ( 32 ) ' 9,0336.
3
r ∈G r
∑
0
Diese Konstante wird im folgenden mit Φ0 bezeichnet.
Mit Hilfe von Gleichung (2.48) kann nun auch die Gittersumme eines Spins s0 am
Ort r mit allen Spins s j auf einem Quadratgitter in der xy-Ebene berechnet werden,
wobei wieder die Spins s j parallel stehen sollen. Die Symmetrieüberlegungen vom
Anfang dieses Kapitels lassen sich auch im dreidimensionalen Fall anwenden; da die
nun betrachteten kubischen Gitter in der (001)-Orientierung vierzählige Symmetrie
besitzen, hat W̃ nur eine nichttriviale Komponente W̃zz . Mit L = (1, 1, 1) und dem
Lagenabstand r z > 0 folgt aus Gleichung (2.48)
W̃zz (1, r ) = −4π 2
∑
k e−2π (ik·r +krz) .
(2.49)
k ∈ Z2
Dieser Ausdruck kann für verschiedene dreidimensionale Gitter ausgewertet werden.
2.3.1
Das einfach kubische Gitter
Im einfach kubischen Gitter ek(001) (Abbildung 9 links) ist der Ort eines Spins s0 in
der Nachbarschicht δ ∈ N0
rek(001) = (0, 0, δ ),
(2.50)
31
2 Dipolsummen
man erhält deshalb
ek( 001)
Φ0
= Φ0
(2.51a)
sowie für die Gittersumme (2.49) zwischen zwei Schichten
ek( 001)
Φδ
= W̃zz (1, rek(001) ) = −4π 2
∑
k e−2πδ k .
(2.51b)
k ∈ Z2
Diese Summe konvergiert exponentiell schnell, für große δ tragen hauptsächlich die
ersten nichtverschwindenden Summanden mit k = 1 zur Summe bei, und es gilt die
Entwicklung
ek( 001)
Φδ
= −16π 2 e−2πδ + O(e−2
√
2πδ
),
(2.52)
da für die nächsten nichtverschwindenden Summanden k =
schen Werte sind in Tabelle 3 angegeben.
2.3.2
√
2 ist. Die numeri-
Das kubisch flächenzentrierte Gitter
Für die folgende Betrachtung ist es günstig, das kubisch flächenzentrierte Gitter
kfz(001) um 45°um die z-Achse zu drehen, damit jede Ebene wieder ein normal
orientiertes Quadratgitter ist (siehe Abbildung 9 mitte). Der Ortsvektor eines Spins
in Lage δ lautet in Einheiten des nächste Nachbarabstandes ann
rkfz(001) =
√
δ
(1, 1, 2).
2
(2.53)
Da jede Lage ein Quadratgitter ist, folgt wie im einfach kubischen Gitter
kfz( 001)
Φ0
= Φ0 ,
(2.54a)
und für die Gittersumme (2.49) ergibt sich nun
kfz( 001)
Φδ
= W̃zz (1, rkfz(001) ) = −4π 2
∑
k e−πδ (ikx+ik y +
√
2 k)
.
(2.54b)
k ∈ Z2
Für große δ folgt analog zum einfach kubischen Gitter
kfz( 001)
Φδ
32
= −16π 2 e−
√
2πδ
cos (πδ ) + O(e−2πδ ).
(2.55)
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
2.3.3
Das kubisch raumzentrierte Gitter
Im kubisch raumzentrierte Gitter krz(001) sind die Lagen bereits wie im Quadratgitter orientiert, allerdings sind die Plätze in den Lagen nun keine nächsten Nachbarn,
sondern haben den Abstand
2
a0 = √ ann .
3
(2.56)
Deshalb wird die Gittersumme (2.49) zunächst in Einheiten von a0 berechnet und
daran anschließend das Ergebnis mit dem Faktor
√
−3
a0
3 3
=
(2.57)
ann
8
reskaliert. Der Ortsvektor eines Spins in Lage δ lautet in Einheiten von a0
rkrz(001) =
δ
(1, 1, 1).
2
Für δ = 0 ergibt sich das Ergebnis
√
3 3
krz( 001)
Φ0
Φ0 ,
=
8
(2.58)
(2.59a)
und für δ > 0 erhält man
krz( 001)
Φδ
√
3π 2 3
= W̃zz (1, rkrz(001) ) = −
∑ k e−πδ(ikx+iky +k) .
2
k ∈ Z2
Für große δ folgt die Entwicklung
√
√
krz( 001)
Φδ
= −6 3π 2 e−πδ cos (πδ ) + O(e−2πδ / 3 ).
2.3.4
(2.59b)
(2.60)
Vergleich mit der Kontinuumstheorie
Die Ausdrücke für diskrete dreidimensionale kubische Gitter werden nun mit der
Kontinuumstheorie [z. B. YAFET und G YORGY, 1988] verglichen. In dieser Näherung
werden die diskreten Summen durch Integrale über eine konstante Dipoldichte
ersetzt. Man erhält in der Geometrie dünner Filme für das effektive Dipolintegral
den Wert
ΦK =
8π
' 8,3776.
3
(2.61)
Wenn man dieses Ergebnis mit den hier erzielten Werten vergleichen will, so müssen die unterschiedlichen Packungsdichten der verschiedenen betrachteten Gitter
33
2 Dipolsummen
berücksichtigt werden. In Abbildung 9 sind schattiert die n0 Gitterplätze eingezeichnet, die zur Elementarzelle mit dem Volumen a30 gehören. Das Einheitsvolumen a3nn
enthält somit
ρ=
a3nn
n0
a30
(2.62)
Gitterplätze. Berücksichtigt man diesen Faktor, so gilt für alle drei kubischen Gitter
∆
lim
∆ →∞
∑
δ =− ∆
ΦδG = ρG ΦK ,
(2.63)
diese Summe wird mit ΦGΣ bezeichnet. Die Dipolsumme eines Spins im Innern eines
dünnen Films ist somit bis auf den Dichtefaktor ρ identisch mit dem Dipolintegral
aus der Kontinuumslösung. Da die Konstanten Φδ exponentiell schnell klein werden, gilt die Formel (2.63) auch schon für einen Spin in einem wenige Monolagen
dicken Film. Es ist hier wichtig anzumerken, daß ΦGΣ nicht die allgemeine Lösung
der dreidimensionalen Dipolsumme ist. In drei Dimensionen ist die Dipolsumme
nicht absolut konvergent und hängt von der Reihenfolge der Grenzübergänge ab.
Die in dieser Arbeit berechneten Dipolsummen gelten nur für die Geometrie dünner Filme, die Grenzübergänge L x → ∞ und L y → ∞ sind also zuerst ausgeführt
worden. In Gleichung (2.63) ist danach der Grenzübergang L → ∞ entlang der
z-Achse durchgeführt worden und das Ergebnis gilt nur für diese Reihenfolge.
ek(001)
Φ0
9,0336
kfz(001)
krz(001)
9,0336
5,8675
1,4294
2,7126
Φ1
−3,2746 × 10−1
Φ2
−5,5498 × 10−4
−2,2633 × 10−2
−2,1269 × 10−1
Φ3
−1,0290 × 10−6
2,5550 × 10−4
8,0401 × 10−3
Φ4
−1,9206 × 10−9
−3,0250 × 10−6
−3,6047 × 10−4
ΦΣ
8,3776
n0
1
a0
ann
ρ
1
11,8477
10,8828
4
2
√
2 ann
√
2
√2 ann
3
√
3
3
4
Tabelle 3: Dipolsummen Φδ und Gitterparameter (siehe Text) für dreidimensionale kubische Gitter
34
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
Um zu verstehen, warum in Gleichung (2.63) die Diskretheit des Gitters keine Rolle spielt, betrachte man einen Spin s0 in der mittleren Lage eines Films mit
ungerader Dicke L, in dem alle anderen Spins s j parallel ausgerichtet sind. Die Dipolbeiträge der Spins aus dem Würfel mit der Kantenlänge L um den Spin s0 heben
sich aus Symmetriegründen exakt weg; übrig bleiben nur die Beiträge von Spins
mit r > L/2. Da für große Abstände die Diskretheit des Gitters vernachlässigbar
ist, folgt Gleichung (2.63). Mit dieser Überlegung kann man zwar verstehen, warum
Gleichung (2.63) im Grenzfall ∆ → ∞ gilt, es wird allerdings so nicht offensichtlich,
warum diese Summe exponentiell schnell konvergiert und deshalb der Fehler selbst
in der mittleren Schicht eines L = 3 Lagen dicken einfach kubischen Gitters nur
2Φ2 /Φ0 ≈ 10−4 beträgt.
35
3
Grundzustandseigenschaften
Bei T = 0 kann das betrachtete Modell weitestgehend analytisch behandelt werden, wenn man annimmt, daß der Grundzustand des Systems die Symmetrie der
H AMILTONfunktion (1.21) hat und somit translationsinvariant in der xy-Ebene ist.
Diese Annahme ist zwar, wie in Abschnitt 3.2 gezeigt wird, in der Phase mit senkrechter Magnetisierung streng genommen falsch, da der Grundzustand immer ein
Streifenzustand ist. Allerdings ist der Energieunterschied pro Spin ∆E z des exakten Grundzustandes mit Streifendomänen zum ferromagnetischen Zustand (Gleichung (3.30)), wie in Abschnitt 3.2.1 gezeigt wird, von der Ordnung ωe− J /2ω und für
die in dieser Arbeit verwendeten Parametersätze vernachlässigbar. Magnetfelder B
und Anisotropien vierter Ordnung Eλ werden in diesem Kapitel nicht berücksichtigt.
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
Die H AMILTONfunktion (1.21) eines Systems der Geometrie ∞ × ∞ × L reduziert
sich unter der Annahme der Translationsinvarianz in der xy-Ebene zu der Energie
pro Oberflächenspin
E(s) = −
L
J L
ω L
z
s
·
s
+
Φ
s
·
A
·
s
−
µ
ν
µ
ν
|
µ
−
ν
|
|
µ
−
ν
|
∑
∑ Dµ (sµz )2
2 µ ,∑
2
ν =1
µ ,ν = 1
µ =1
(3.1)
mit s = (s1 , . . . , s L ). Hier bezeichnen µ und ν Schichtindizes1 , z|µ −ν | ist die Anzahl
nächster Nachbarn zwischen Schicht µ und ν , Φ|µ −ν | sind die in Kapitel 2.3 berechneten Konstanten aus den Dipolsummen, und A aus Gleichung (2.7) beschreibt die
Charakteristik der summierten effektiven Dipolwechselwirkung. Die in dieser Arbeit benötigten Werte für zδ und Φδ sind in Tabelle 4 aufgelistet.
Da die Matrix A in (3.1) diagonal ist, kann man ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen, daß alle Spins sµ in der yz-Ebene liegen. Die Spins
sµ = (0, sin ϑµ , cos ϑµ ) können somit durch ihren Azimutwinkel ϑµ ausgedrückt und
1
Schichtindizes werden in dieser Arbeit mit den griechischen Buchstaben λ , µ , ν bezeichnet
36
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
Gleichung (3.1) als
L
J L
z
cos
(
ϑ
−
ϑ
)
−
µ
ν
|µ −ν |
∑ Dµ cos2 ϑµ
2 µ ,∑
ν =1
µ =1
ω L
cos
+
Φ
(
ϑ
−
ϑ
)
+
3
cos
(
ϑ
+
ϑ
)
µ
ν
µ
ν
|
µ
−
ν
|
8 µ ,∑
ν =1
E(ϑ) = −
(3.2)
mit dem Vektor ϑ = (ϑ1 , . . . , ϑ L ) geschrieben werden. Um den Grundzustand
des Systems zu bestimmen, muß die Energie E(ϑ) bezüglich ϑ minimiert werden.
Hierzu werden zunächst die beiden Punkte ϑ⊥
λ = 0 mit senkrechter Spinstellung
k
und ϑλ = π /2 mit paralleler Spinstellung untersucht. Für den Gradienten ∂ϑ E(ϑ)
an diesen Punkten gilt mit p = ⊥, k
∂ϑ E(ϑp ) = 0,
(3.3)
d. h. beide Punkte ϑ⊥ und ϑk sind stationär. Es reicht allerdings nicht aus, die
Energien E(ϑ⊥ ) und E(ϑk ) zu vergleichen, um den Grundzustand zu finden, da
nicht gewährleistet ist, daß dies die einzigen stationären Punkte sind. Deshalb
wird eine Stabilitätsanalyse dieser Punkte durchgeführt. Hierzu werden die H ESSEmatrizen der Energie (3.2)
Cp := ∂ϑ2 E(ϑp )
(3.4)
an diesen Punkten berechnet, man erhält
L
ω
Φ|µ −ν | + δµν +2Dµ + ∑ Jz|λ −µ | − ωΦ|λ −µ |
2
λ =1
L
ω
= − Jz|µ −ν | + ωΦ|µ −ν | + δµν −2Dµ + ∑ Jz|λ−µ | + Φ|λ−µ | .
2
λ =1
⊥
Cµν
= − Jz|µ −ν | −
(3.5a)
k
Cµν
(3.5b)
Die Eigenwerte der H ESSEmatrix an einem Punkt bestimmen die Stabilität der
Lösung: Sind alle Eigenwerte positiv bzw. negativ, hat die Funktion an der Stelle ein
Gitter
z0
z1
zδ >1
Φ0
Φ1
Φδ >1
ek(001)
4
1
0
9,034
−0,327
∼ −16π 2 e−2πδ
kfz(001)
4
4
0
9,034
1,429
krz(001)
0
4
0
5,868
2,713
√
∼ ∓16π 2 e− 2πδ
√
∼ ∓6 3π 2 e−πδ
Tabelle 4: Anzahl nächster Nachbarn zδ und Dipolsumme Φδ zweier Schichten im Abstand
δ für das einfach kubische (ek), das kubisch flächenzentrierte (kfz) und das kubisch raumzentrierte Gitter (krz).
37
3 Grundzustandseigenschaften
Minimum bzw. ein Maximum; haben die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen,
so liegt ein Sattelpunkt vor. Wir betrachten nun die Stabilität des Systems unter
Variation der Dipolenergie ω. Ein stabiles Minimum an einem stationären Punkt
ϑp wird dann instabil, wenn der kleinste Eigenwert2
(3.6)
ηp (ω) := ewmin Cp (ω)
p
der H ESSEmatrix Cp (ω) auf ηp (ωr ) = 0 absinkt. Wenn man die beiden resultierenxy
den kritischen Dipolenergien ωr und ωrz gemäß
η⊥ (ωrxy ) = 0,
ηk (ωrz ) = 0
(3.7)
xy
definiert3 , so ist der Spinreorientierungsübergang diskontinuierlich für ωr = ωrz
xy
xy
und kontinuierlich für ωr < ωrz . Wenn ωr < ω < ωrz ist, sind beide stationären
Punkte ϑp instabil. Der stabile Grundzustand ist dann ein nichttrivialer stationärer
Punkt mit gekippter Spinorientierung.
An den Punkten mit kollinearer Magnetisierung, d. h. ϑλ = ϑ = const, kann man
Gleichung (3.2) weiter vereinfachen und erhält
E( L) (ϑ) = −
J
ω
3ω
2
z
Φ
Φ
+
+
δ
D
−
µν µ
|µ −ν | cos ϑ.
∑ 2 |µ−ν| 4 |µ−ν|
4
µ ,ν = 1
L
(3.8)
Diese Ergebnisse werden nun für verschiedene Filmdicken diskutiert.
3.1.1
Die Monolage
In der Monolage mit L = 1 folgt für die zweiten Ableitungen (3.5) durch Einsetzen
3ω
3ω
k
Φ0 + 2D1 ,
Φ0 − 2D1 ,
ηk = C11 =
(3.9)
2
2
d. h. beide Eigenwerte verschwinden, falls die Anisotropiekonstante D1 den Wert
⊥
η⊥ = C11
=−
3ω
(3.10)
Φ0
4
hat. Bei diesem Verhältnis von lokaler uniaxialer Anisotropie zur Dipolwechselwirkung tritt im Grundzustand ein diskontinuierlicher Spinreorientierungsübergang
(1)
auf. Für D1 > D1,r ist das System senkrecht magnetisiert mit der Grundzustandsenergie
(1)
D1,r =
J
ω
(1)
EGS = E(1) (0) = − z0 − D1 + Φ0 ,
2
2
2
3
(3.11a)
Die Funktion ewmin(A) liefert den kleinsten Eigenwert der symmetrischen Matrix A
xy
Die Energie ω, bei der der Punkt ϑ⊥ instabil wird, wird mit ωr bezeichnet, da an dieser Stelle eine
xy
xy
xy
xy
Magnetisierung m kritisch wird: Es ist m = 0 für ω ≤ ωr und mxy 6= 0 für ω > ωr ; analoges
z
k
gilt für m und ϑ .
38
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
(1)
während die Magnetisierung für D1 < D1,r planar ausgerichtet ist und die Grundzustandsenergie
J
ω
(1)
(3.11b)
EGS = E(1) ( π2 ) = − z0 − Φ0
2
4
(1)
beträgt. Wenn D1 = D1,r ist, ist die Orientierung beliebig und das System ist dort
somit isotrop [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; H UCHT et al., 1995].
3.1.2
Die Bilage
Für L = 2 können die kleinsten Eigenwerte ηp der H ESSEmatrix (3.5) an den beiden
stationären Punkten ϑ⊥ und ϑk ebenfalls explizit berechnen werden und ergeben
mit Dh = ( D1 + D2 )/2 und ∆D = D1 − D2
r
ω
ω 2
⊥
η = Jz1 + 2Dh − (3Φ0 + 2Φ1 ) − ∆D2 + Jz1 + Φ1
(3.12a)
2
2
r
2
ω
k
2
η = Jz1 − 2Dh + (3Φ0 + Φ1 ) − ∆D + Jz1 − ωΦ1 .
(3.12b)
2
Nullsetzen der beiden Eigenwerte liefert die Phasengrenzen der Bilage im Grundzustand.
Das so berechnete Phasendiagramm ist in Abbildung 10 dargestellt. Dieses Diagramm wurde für Parametersatz PLD=λ 2 berechnet, bei dem die mittlere Anisotropiekonstante Dh auf den Wert J /4 fixiert ist. Durchläuft man dieses Phasendiagramm
xy
von links nach rechts, so wird bei der kritischen Dipolenergie ωr der Eigenwert
η⊥ negativ. Die senkrechte Phase wird instabil und es tritt eine planare Komponente m xy 6= 0 der Magnetisierung auf, d. h. die Magnetisierung ist verkippt, da der
Eigenwert ηk ebenfalls negativ ist. Bei weiterer Erhöhung von ω wird bei ωrz der
Eigenwert ηk positiv und die planare Phase stabil, hier verschwindet die senkrechte
Komponente m z . Dieser Spinreorientierungsübergang ist kontinuierlich in ω außer
für ∆D = 0; dort gilt
3
(2)
(2)
(3.13)
D1,r = D2,r = (Φ0 + Φ1 )ω.
4
In diesem Spezialfall verhält sich die Bilage analog zur Monolage, da sie dann
homogen ist, d. h. alle Spins eine äquivalente Umgebung haben. Für die Parameter
in Abbildung 10 ist dies der Fall, wenn D1 = D2 = J /8 und ω ' 0,01916J ist, an
diesem Punkt berühren sich die beiden Phasengrenzen.
Die Bilage eignet sich somit als Modellsystem für den kontinuierlichen Spinreorientierungsübergang und wird in folgenden Kapiteln bei endlichen Temperaturen
mit einer Molekularfeldtheorie (Kapitel 4.3) und mit Monte Carlo-Simulationen (Kapitel 5.3) untersucht.
39
3 Grundzustandseigenschaften
Anisotropiedifferenz ∆D/ΣλDλ
1,0
⊥
||
η =0
0,8
η =0
0,6
0,4
xy
m →0
z
m →0
0,2
0,0
0,016
0,017
0,018
0,019
0,020
0,021
Dipolwechselwirkung ω/J
0,022
Abbildung 10: Grundzustandsphasendiagramm der Bilage für Parametersatz PLD=λ 2 mit veränderlichem ω. Der Spinreorientierungsübergang ist kontinuierlich außer für ∆D = 0. Die
strichpunktierte Linie entspricht PLD=λ 2 (vgl. Abbildung 13), der Kreis markiert Parametersatz PL=2 .
3.1.3
Dickere Filme
Für dickere Filme mit L > 2 kann ebenfalls berechnet werden, wann der Übergang
im Grundzustand diskontinuierlich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn E(ϑ) in
Gleichung (3.8) unabhängig von ϑ wird. Hierzu müssen sich die Vorfaktoren von
cos 2 ϑ schichtweise kompensieren, man erhält
( L)
Dλ ,r =
3ω L
Φ|λ −µ | .
4 µ∑
=1
(3.14)
Es ist also keinesfalls so, das der diskontinuierliche Übergang auftritt, wenn alle
Anisotropien Dλ gleich sind, vielmehr muß sich die uniaxiale Anisotropie Dλ in
Schicht λ gerade mit den Dipolfeldern aller Schichten kompensieren. Die auch in
Filmen mit mehr als zwei Lagen auftretende Phase mit gekippter Magnetisierung
wird in Kapitel 6.3 mit Hilfe einer Störungsrechnung untersucht.
40
3.2 Streifendomänen in der Monolage
3.2 Streifendomänen in der Monolage
Eine weitere in dieser Arbeit behandelte Fragestellung ist, ob der Grundzustand der
Monolage (L = 1) ferromagnetisch geordnet ist oder ob die Dipolwechselwirkung
eine Domänenstruktur bevorzugt. Für eine hinreichend große uniaxiale Anisotropie
zeigen alle Spins in die ± z-Richtung. In diesem Fall ergaben Kontinuumsrechnungen von YAFET und G YORGY [1988], daß der ferromagnetische Zustand instabil ist
und der Grundzustand eine Streifenstruktur aufweist, während C ZECH und V IL LAIN [1989] berechneten, daß eine Schachbrettstruktur die niedrigere Energie hat.
Spätere Rechnungen von K APLAN und G EHRING [1993] zeigten, daß der Grundzustand in der Kontinuumstheorie tatsächlich Streifendomänen aufweist und daß
das Ergebnis von C ZECH und V ILLAIN [1989] durch eine unzureichende Näherung
erlangt wurde.
TAYLOR und G YÖRFFY [1993] konnten zeigen, daß für nicht zu kleine Werte der
Dipolenergie ω/ J der Grundzustand auf dem diskreten Quadratgitter ebenfalls ein
Streifenzustand ist. Allerdings konnten die Autoren ihre numerischen Rechnungen
z
nicht in den Bereich erweitern, wo ω/ J klein und damit die Domänenbreite NGS
groß wird. Sie schlugen vor, daß das System für kleine Werte von ω/ J in einen
z
bei einem endlichen Wert von
ferromagnetischen Zustand übergeht, d. h. das NGS
ω/ J divergiert.
Während K APLAN und G EHRING [1993] im Rahmen einer Kontinuumsnäherung
z
ermittelt haben und M AC I SAAC
asymptotische Ausdrücke für die Streifenbreite NGS
z
et al. [1995] bei der Berechnung von NGS auf einem diskreten Gitter auf numerische
z
in im Abschnitt 3.2.1 dieser Arbeit auf
Methoden zurückgreifen mußten, wird NGS
dem diskreten Gitter im Rahmen einer 1 / N Entwicklung ohne weitere Näherungen
bestimmt [H UCHT und U SADEL, 1996]. In Abschnitt 3.2.2 wird zusätzlich die paral(1)
lele Phase, in der D1 < D1,r aus (3.10) ist, auf das Auftreten von Streifendomänen
untersucht.
3.2.1
Senkrechte Spinorientierung
Das Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung der Energie eines Systems mit Streifendomänen der Breite N auf einem unendlich ausgedehnten Quadratgitter sowie die
z
mit minimaler Energie. Es wird ohne Beschränkung der
Bestimmung der Breite NGS
Allgemeinheit angenommen, daß die Streifen parallel zur x-Achse angeordnet sind.
Da bei senkrechter Orientierung der Spins jeder Spin die Energie − D1 und weiterhin
in x-Richtung alle Bindungen die Energie − J beitragen, während in y-Richtung jede
41
3 Grundzustandseigenschaften
N-te Bindung gebrochen ist und mit + J beiträgt, lautet die Energie pro Spin
1
ω
z
E ( N ) = −2J 1 −
− D1 + Ψ z ( N ) ,
(3.15)
N
2
wobei ωΨz ( N )/2 die Dipolenergie des Streifenzustandes ist. Da die Streifendomänen translationsinvariant entlang der Streifen sind, läßt sich das zweidimensionale
auf ein eindimensionales Problem abbilden.
Um Ψz ( N ) zu bestimmen, wird zunächst die Dipolsumme ψz ( L y , r y ) eines
+ z-Spins bei (0, 0) mit + z-Spins an den Positionen ( Rx , L y R y + r y ) mit Rx , R y ∈ Z
berechnet. Mit Gleichung (2.41) sowie L = (1, L y , 1) und r = (0, r y , 0) lautet diese
Summe
ψz ( L y , r y ) = W̃zz ( L, r ) =
∑
0
| LR + r |−3 .
(3.16)
R ∈ Z2
Der Strich an der Summe bedeutet, daß divergente Summanden nicht berücksichtigt
werden sollen. Für 0 < r y < L y erhält man durch eine F OURIERtransformation (siehe
Anhang A.1)
ψz ( L y , r y ) =
∞
∞
K1 (2π kx | L y R y + r y |)
2π 2
−2 π r y
sin
+
8
π
k
x
∑
∑
2
Ly
Ly
|Ly Ry + ry|
R y =−∞
kx =1
(3.17)
mit der modifizierten B ESSELfunktion K1 ( x). Nun zählt man die Anzahl der gebrochenen Bindungen relativ zum ferromagnetisch geordneten Zustand, dessen Dipolsumme Φ0 in Kapitel 2.1.3 analytisch berechnet wurde, und erhält
Ψz ( N ) = Φ0 − 2ψz (2N, N ) −
4
N
N −1
∑ nψz (2N, n).
(3.18)
n=1
Das Verhalten von Ψz ( N ) soll für große N untersucht werden. Für N 1 kann
K1 ( x) in (3.17) entwickelt werden und ergibt
Ψ z ( N ) = Φ0 −
8C1
π2
2π 2
− 2− 3
N
N
N
N −1
πn
∑ n sin−2 2N + O( N −1/2 e−2π N )
(3.19)
n=1
mit der Konstanten
C1 = 4π
∞
∑ σ1 (n)K1 (2π n) ' 0,0124509.
(3.20)
n=1
Hier ist σk (n) die zahlentheoretische Divisorfunktion (2.13). Der letzte Term in (3.19)
kann mit Hilfe der E ULER -M ACLAURINschen Summenformel [z. B. A BRAMOWITZ
und S TEGUN, 1972, § 32.1.30]
Z1
k
k
n
N
∞ B
k+1 d x f (1) − d x f (0)
(3.21)
∑ f N = N f (x) dx + f (1) − f (0) + ∑
(k + 1)! N k
n=1
k=0
0
42
3.2 Streifendomänen in der Monolage
mit dem Ableitungsoperator d x = d/dx und den B ERNOULLIzahlen Bk weiter
entwickelt werden. Man erhält für den letzten Term in Gleichung (3.19)
2π 2 N −1
8
π2
2N
−2 π n
n
sin
=
+
γ
+
ln
−
+ O( N )−3
(3.22)
1
2
N 3 n∑
2N
N
π
N
=1
mit der E ULERschen Konstanten γ ' 0,577216. Schließlich lautet die Dipolsumme
von Streifendomänen der Breite N
8
N
Ψ z ( N ) = Φ0 −
+ O( N )−3
(3.23)
1 + ln
N
N0
mit der charakteristischen Breite
π
N0 = e−(γ +C1 ) ' 0,871026.
2
(3.24)
Einsetzen von (3.23) in (3.15) ergibt die gesuchte Energie des Streifenzustandes
ω
2
N
z
E ( N ) = −2J − D1 + Φ0 +
+ O( N )−3 .
(3.25)
J − 2ω 1 + ln
2
N
N0
z
Für die Domänenbreite mit minimaler Energie NGS
gilt
z
d N E z ( NGS
) = 0,
(3.26)
und man erhält durch Differentiation und Auflösen nach N
J
J
z
NGS
= N0 e 2ω + O(e− 2ω )
(3.27)
mit der Grundzustandsenergie [H UCHT und U SADEL, 1996]
ω
Φ0 −
2
ω
= −2J − D1 + Φ0 −
2
z
EGS
= −2J − D1 +
4ω
z
+ O( NGS
)−3
z
NGS
3J
4ω − 2ωJ
e
+ O(e− 2ω ).
N0
(3.28)
z
Die Domänenbreite NGS
ist endlich für alle endlichen Werte von ω, allerdings
wächst sie exponentiell an, wenn J /2ω groß wird. Die Energie des ferromagnetischen Grundzustandes lautet in Übereinstimmung mit Abschnitt 3.1.1
z
EFM
= lim E z ( N ) = −2J − D1 +
N →∞
ω
Φ0 .
2
(3.29)
Der Energiegewinn ∆E z durch die Bildung von Streifendomänen beträgt somit
z
z
∆E z = EFM
− EGS
=
3J
4ω
4ω − 2ωJ
z
+ O( NGS
)−3 =
e
+ O(e− 2ω ).
z
NGS
N0
(3.30)
43
3 Grundzustandseigenschaften
Diese Domänen können allerdings für die verwendeten Parametersätze vernachläsz
( J /ω) als Funktion von
sigt werden; so hat die so berechnete Domänenbreite NGS
z
571
und für PNi den Wert
J /ω für Parametersatz PFe den Wert NGS (2650) ≈ 10
z
4
2171
NGS (10 ) ≈ 10 , man erhält also effektiv einen ferromagnetischen Grundzustand.
Erst bei einer deutlich schwächeren Austauschwechselwirkung wird das Ergebnis
physikalisch relevant: Da der nächste Nachbarabstand in den betrachteten Systez
(118) noch etwa
men etwa ann = 0,25 nm beträgt (vgl. Kapitel 4.6.3), ergibt z. B. NGS
z
z
1 Lichtjahr, während NGS (45) ≈ 1 m ist und NGS für J /ω = 10 etwa 130 Gitterabstände beträgt. In diesem Parameterbereich sind dipolare Spinsysteme Gegenstand
aktueller Forschung [M AC I SAAC et al., 1996; S TARIOLO und C ANNAS, 1999].
3.2.2
Planare Spinorientierung
Zur Berechnung der Domänenbreite von planaren Streifendomänen muß analog
zum vorherigen Abschnitt die Energie
1
ω
x
+ Ψx ( N )
(3.31)
E ( N ) = −2J 1 −
N
2
bestimmt werden. Nun wird zunächst die Dipolsumme eines + x-Spins am Ort (0, 0)
mit + x-Spins an den Positionen ( R x , L y R y + r y )
ψx ( L y , r y ) = W̃xx ( L, r ) =
∑
0
R ∈ Z2
| LR + r |2 − 3R2x
| LR + r |5
(3.32)
bestimmt. Für 0 < r y < L y ergibt diese Summe (siehe Anhang A.1)
ψ x ( L y , r y ) = 8π 2
∞
∑
kx =1
k2x
∞
∑
R y =−∞
K0 (2π kx | L y R y + r y |).
(3.33)
Der Ausdruck für die Dipolsumme Ψx ( N ) aus (3.31) ist analog zu Gleichung (3.18)
und lautet
Φ0
4
Ψx ( N ) = −
− 2ψx (2N, N ) −
2
N
N −1
∑ nψx (2N, n).
(3.34)
n=1
Für große N ergibt eine Entwicklung nach 1/ N
Φ0
4
2
−3/2 −2π ( N +2)
Ψx ( N ) = −
− (C2 − 32π K0 [2π ( N + 1)]) + O N
e
2
N
(3.35)
mit der Konstanten
C2 = 16π
44
2
∞
∑ nσ1 (n)K0 (2π n) ' 0,145902.
n=1
(3.36)
3.2 Streifendomänen in der Monolage
Die Energie des planaren Streifendomänenzustandes hat somit den Wert
1
2
J − ωC2 + 32π 2ωK0 [2π ( N + 1)]
E x ( N ) = −2J − Φ0ω +
N 4
−3/2 −2π ( N +2)
+O N
e
(3.37)
x
Die Domänenbreite im Grundzustand NGS
wird nun über die Bedingung
x
d N E x ( NGS
)=0
(3.38)
x
bestimmt, man erhält die implizite Gleichung für NGS
J
x
x
x
= C2 − 32π 2 K0 [2π ( NGS
+ 1)] + 2π NGS
K1 [2π ( NGS
+ 1)]
ω
p
x
x
+O
NGS
e−2π ( NGS +2) .
(3.39)
Mit der rechten Seite von Gleichung (3.39) für Streifenbreite 1, die numerisch inklusive der höheren Ordnungen den Wert
C3 ' 0,142998
(3.40)
ergibt, können drei Fälle unterschieden werden:
J
≥ C2 : In diesem Parameterbereich, der für alle in dieser Arbeit untersuchten
ω
x
, und man erhält eine planare ferroSysteme gilt, divergiert die Domänenbreite NGS
magnetische Phase. Die Grundzustandsenergie beträgt wie in Abschnitt 3.1.1
x
EGS
= E x (∞) = −2J −
ω
Φ0 .
4
x
≤ C3 : Hier ist die Grundzustandsenergie minimal für NGS
= 1, man erhält
Streifendomänen der Breite 1. Die Grundzustandsenergie beträgt
J
ω
x
EGS
= E x (1) ' −2,54944ω.
(3.41)
C3 < ωJ < C2 : In diesem schmalen Bereich ist der Grundzustand des Systems ein
x
> 1. Die Grundzustandsenergie
Streifendomänenzustand mit endlicher Breite NGS
muß numerisch aus den Gleichungen (3.37, 3.39) berechnet werden. Für N 1
können die B ESSELfunktionen entwickelt werden, und es ergibt sich
x
x
EGS
= E x ( NGS
) = −2J −
ω
2 ( J − ωC2 )
x
x − 3/2 − 2π NGS
.
Φ0 +
+
O
(
N
)
e
GS
x
4
NGS
(3.42)
Diese Streifendomänen werden lediglich durch das exponentiell mit dem Abstand
abfallende Nahfeld der diskreten Dipolketten verursacht. Dies erklärt den extrem
schmalen Bereich, in dem diese Domänen auftreten.
45
4
Molekularfeldtheorie
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang bei endlichen Temperatur
im Rahmen einer Molekularfeldtheorie untersucht, wobei insbesondere der temperaturgetriebene Übergang betrachtet wird. Zunächst wird ausgehend von der
B OGOLIUBOV-Ungleichung die Methode und deren Anwendung auf das vorliegende Problem beschrieben. Daran anschließend wird auf die Implementation auf dem
Rechner eingegangen. Eine Diskussion der Bilage mit L = 2 Schichten erfolgt in
den Abschnitten 4.3 und 4.4, da der dort normalerweise auftretende Spinreorientierungsübergang zweiter Ordnung einfacher zu beschreiben ist als der Phasenübergang erster Ordnung in der Monolage, der in Abschnitt 4.5 behandelt wird. In
Abschnitt 4.6 werden experimentell interessante dickere Filme behandelt, wobei die
verwendeten Parameter an experimentelle Werte angepaßt werden. Dort werden
auch die experimentell relevanten temperaturabhängigen effektiven Anisotropien
Kn ( T ), die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführt werden, aus der
mikroskopischen Theorie berechnet.
4.1 Methode
4.1.1
Die B OGOLIUBOV-Ungleichung
Der Formalismus für die Molekularfeldtheorie wird hergeleitet für eine allgemeine
bilineare H AMILTONfunktion
H=−
1
si · J i j · s j + H l
2∑
ij
(4.1a)
mit dem Einteilchenanteil
Hl = ∑ Hl,i (si ),
(4.1b)
i
der keine Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Spins enthält. Sei weiterhin
H? (ξ ) = − ∑ ξi · si + Hl
i
46
(4.2)
4.1 Methode
eine lösbare Einteilchennäherung1 von (4.1) mit den unbestimmten und freien rex
y
z
ellen Variationsparametern ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . ) mit ξi = (ξi , ξi , ξi ). Man kann zeigen
[z. B. C ALLEN, 1985, S. 433], daß für die freie Energie F der H AMILTONfunktion (4.1)
die B OGOLIUBOV-Ungleichung
F ≤ F (ξ ) = F ? (ξ ) + hH − H? (ξ )iξ
(4.3)
gilt, wobei der Erwartungswert h · iξ mit der lösbaren H AMILTONfunktion H? (ξ )
berechnet wird und F ? (ξ ) die lösbare freie Energie ist.
Die Stellen ξ̃ (n) , für die der Gradient
∂ξ F (ξ̃ ) = 0
(4.4)
ist, heißen stationäre Punkte der freien Energie2 . Im allgemeinen kann ein stationärer
Punkt ξ̃ ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt sein. Die beste Näherung für F ,
genannt die freie Energie FMF in Molekularfeldnäherung, ergibt sich, wenn man
F (ξ ) bezüglich des vektoriellen Variationsparameters ξ minimiert. Sie ist somit das
Minimum der freien Energien F̃ (n) ≡ F (ξ̃ (n) ) an den stationären Punkten ξ̃ (n)
FMF = min F (ξ ) = min F̃ (n) = F (ξ̃ MF ),
ξ
n
(4.5)
mit dem stationären Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie.
Für den Erwartungswert hH − H? (ξ )iξ in der B OGOLIUBOV-Ungleichung (4.3)
gilt unter Verwendung der Gleichungen (4.1, 4.2)
1
(4.6)
hH − H? (ξ )iξ = ∑hsi iξ · ξi − ∑ Ji j · hs j iξ .
2 j
i
Schreibt man die Spinerwartungswerte hsi iξ mit (A.16) als Ableitung der lösbaren
freien Energie
hsi iξ = −∂ξi F ? (ξ ),
(4.7)
so kann die gesuchte Variationsfunktion F (ξ ) durch die freie Energie der lösbaren
Näherung F ? (ξ ) ausgedrückt werden:
1
?
?
?
(4.8)
F (ξ ) = F (ξ ) − ∑ ∂ξi F (ξ ) · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F (ξ ) .
2 j
i
1
2
Der hochgestellte Stern steht für “lösbar”, siehe auch Notation auf Seite 164
Die Tilde steht für “stationärer Punkt”
47
4 Molekularfeldtheorie
Man kann zu F (ξ ) eine Variations-H AMILTONfunktion H(ξ ) definieren. Der
Vorteil hiervon ist, daß für die Größen F (ξ ) und H(ξ ) die Identitäten aus Anhang A.2.1 gelten. Es ist analog zur Definition von F (ξ ) aus (4.3)
H(ξ ) = H? (ξ ) + hH − H? (ξ )iξ
1
= − ∑ ξi · si − ξi − hi (ξ ) · hsi iξ + Hl
2
i
(4.9)
mit dem sogenannten Molekularfeld am Ort i
hi (ξ ) =
∑ Ji j · hs j iξ .
(4.10)
j
Man beachte, daß H(ξ ) wegen der Erwartungswerte h · iξ implizit temperaturabhängig ist.
Das Variationsproblem (4.3) wird folgendermaßen gelöst: Gesucht sind die stationären Punkte ξ̃ , für die Bedingung (4.4) gilt. Da die Variationsparameter ξi linear
unabhängig sind, ist ∂ξ j ⊗ ξi = δi j 1; da weiterhin die lösbare H AMILTONfunktion
(4.2) keine Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Orten i und j enthält, gilt
∂ξi ⊗ ∂ξ j F ? (ξ ) = δi j ∂ξ2i F ? (ξ ). Für den Gradienten von F (ξ ) ergibt sich durch Ableiten von Gleichung (4.8)
1
(4.11)
∂ξk F (ξ ) = −∂ξ2k F ? (ξ ) · ξk + ∑[Jk j + J jk ] · ∂ξ j F ? (ξ ) .
2 j
Wenn die Wechselwirkung Ji j symmetrisch bezüglich Vertauschung von i und j ist,
erhält man mit
2
2 (4.12)
hhsi , si iiξ := −∂ξ2i F ? (ξ ) = β hs
i iξ − h si iξ
aus (A.29b) das Ergebnis
∂ξk F (ξ ) = hhsk , sk iiξ · ξk − hk (ξ ) .
(4.13)
An einem stationären Punkt ξ̃ verschwindet dieser Gradient, es gilt somit mit der
Magnetisierung von Spin i am stationären Punkt3 m̃i = hsi i für die Variationsparameter die wichtige Formel
ξ̃ k = h̃k ≡ hk (ξ̃ ) = ∑ Jk j · m̃ j ,
(4.14)
j
da die Größe hhs, sii in (4.13) immer positiv ist. Für die Ersatz-H AMILTONfunktion
H̃ an einem stationären Punkt erhält man schließlich den Ausdruck
1
m̃i − si .
H̃ ≡ H(ξ̃ ) = Hl − ∑ h̃i ·
(4.15)
2
i
3
An einem stationären Punkt wird bei Erwartungswerten im folgenden der Index ξ̃ weggelassen,
d. h. h · i := h · iξ̃ .
48
4.1 Methode
4.1.2
Stabilität der Lösung
Zur Untersuchung der Stabilität eines stationären Punktes ξ̃ muß die H ESSEmatrix
der freien Energie F (ξ ) bezüglich der Variationsparameter ξ an diesem Punkt
bestimmt werden. Diese Matrix wird im Anhang A.2.5.4 berechnet und lautet
∂ξi ⊗ ∂ξ j F̃ = δi j hhsi , si ii − hhsi , si ii · Ji j · hhs j , s j ii.
(4.16)
Ein stationärer Punkt ξ̃ ist stabil, wenn die freie Energie an dieser Stelle ein lokales
Minimum einnimmt. Dies ist der Fall, wenn alle Eigenwerte der H ESSEmatrix (4.16)
positiv sind (vgl. Kapitel 3.1). Deshalb wird zur Stabilitätsanalyse der kleinste
Eigenwert der H ESSEmatrix bestimmt.
4.1.3
Die spezifische Wärme
Die spezifische Wärme C bei konstantem Magnetfeld ist die Ableitung der inneren
Energie am stationären Punkt Ũ nach der Temperatur
C = d T Ũ = d T hH̃i.
Wendet man hierauf Gleichung (A.19) mit A = H̃ an, erhält man
C = β2 hH̃2 i − hH̃i2 − β hd T H̃ H̃i − hd T H̃ihH̃i + hd T H̃i.
(4.17)
(4.18)
Da die stationäre H AMILTONfunktion H̃ = H(ξ̃ ) nur implizit über den stationären
Punkt ξ̃ ( T ) von der Temperatur abhängt, kann man diese Gleichung mit der Kettenregel
d T H̃ = ∂ξ H̃ · d Tξ̃
(4.19)
umformen. Für den Erwartungswert hiervon gilt
hd T H̃i = h∂ξ H̃i · d Tξ̃ = 0,
(4.20)
da am stationären Punkt h∂ξ H̃i = 0 ist (4.4, A.16). Also folgt für die spezifische
Wärme
C = β2 hH̃2 i − hH̃i2 − βhH̃ ∂ξ H̃i · d Tξ̃ .
(4.21)
Nun muß noch die Änderung des stationären Punktes ξ̃ der Molekularfeldgleichungen bei einer Änderung der Temperatur bestimmt werden. Ein stationärer
Punkt ξ̃ ( T ) ist eine komplizierte Funktion der Temperatur, die im allgemeinen nicht
explizit dargestellt werden kann. Dennoch kann man die erste Ableitung dTξ̃ ( T )
49
4 Molekularfeldtheorie
durch implizite Differentiation berechnen [z. B. B RONSTEIN und S EMENDJAJEW,
1987, § 3.1.6.3]: Am stationären Punkt gilt stets
∂ξ F (ξ̃ ( T ), T ) = 0.
Für das totale Differential dieses Gradienten folgt deshalb mit der Kettenregel
d(∂ξ F̃ ) = ∂ξ2 F̃ · dξ̃ + ∂T ∂ξ F̃ dT = 0.
(4.22)
Durch Umformung erhält man
∂ξ2 F̃ · d Tξ̃ = −∂T ∂ξ F̃ ,
(4.23)
wobei ∂ξ2 F̃ die H ESSEmatrix (4.16) ist. Für die rechte Seite folgt unter Verwendung
von Gleichung (A.19) mit A = ∂ξ H̃
∂T ∂ξ F̃ = ∂T h∂ξ H̃i = β2 hH̃ ∂ξ H̃i − βh∂T H̃ ∂ξ H̃i + h∂T ∂ξ H̃i.
(4.24)
Somit läßt sich durch lösen des Gleichungssystems (4.23) die Größe d Tξ̃ ( T ) aus
Gleichgewichts-Erwartungswerten bestimmen und durch Einsetzen der Lösung in
Gleichung (4.21) die spezifische Wärme C berechnen.
4.1.4
Die Suszeptibilität
Zur Berechnung des Suszeptibilitätstensors am Ort k
χαβ
k
dm̃αk
=
dBβ
(4.25)
mit α , β ∈ { x, y, z} muß man die Änderung des stationären Punktes ξ̃ der Molekularfeldgleichungen bei einer Änderung einer Komponente α des angelegten
Magnetfeldes B bestimmen. Am feldabhängigen stationären Punkt ξ̃ ( B) gilt für die
Feldkomponente b = Bα wegen der Stationarität (4.4)
∂ξ F (ξ̃ (b), b) = 0.
Das totale Differential dieser Größe lautet analog zu (4.22)
d(∂ξ F̃ ) = ∂ξ2 F̃ · dξ̃ + ∂b ∂ξ F̃ · db = 0,
(4.26)
und durch Umformung erhält man
∂ξ2 F̃ · dbξ̃ = −∂b ∂ξ F̃ ,
50
(4.27)
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
wobei ∂ξ2 F̃ die H ESSEmatrix (4.16) ist. Am stationären Punkt gilt wegen Gleichung
(4.14) in vektorieller Schreibweise die einfache Beziehung zwischen den Magnetisierungen und den Variationsparametern
J = ∂m ⊗ ξ̃
(4.28)
mit m = (m1 , m2 , . . . ), und mit der Kettenregel folgt für d bξ̃ in (4.27)
dbξ̃ = db m̃ · (∂m ⊗ ξ̃ ) = J · χα .
(4.29)
Einsetzen in (4.27) ergibt das Ergebnis
∂ξ2 F̃ · J · χα = −∂b ∂ξ F̃
(4.30)
Mit den Formeln in Anhang A.2 kann man diese gemischten partiellen Ableitungen
berechnen und χ durch lösen des Gleichungssystems (4.30) bestimmen.
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
4.2.1
Symmetrien
Die zugrundeliegende H AMILTONfunktion H aus (1.21) ist in der Filmebene translationsinvariant, da die lokalen Anisotropien nur vom Lagenindex λ abhängen (vgl.
Kapitel 1.2). Wenn man annimmt, daß die geordneten Phasen des Systems dieselbe
Symmetrie wie H haben (siehe hierzu Kapitel 3), dann sind in der Molekularfeldnäherung die Erwartungswerte hsi iξ und hs j iξ gleich, wenn sich die Spins i und j
in derselben Schicht befinden. Für ein System mit L x × L y × L Spins kann deshalb
das Problem auf ein System mit L Spins sλ reduzieren werden, die jeweils eine Lage
mit L x × L y Spins repräsentieren. Wegen der Rotationsinvarianz in der xy-Ebene
kann außerdem angenommen werden, daß die x-Komponenten ξλx der Variationsparameter gleich null sind. Ein eventuell vorhandenes Magnetfeld B muß dann in
der yz-Ebene liegen. Die Variations-H AMILTONfunktion (4.9) für ein System aus L
Schichten kann somit als Summe
H(ξ ) =
L
∑ Hλ (ξ )
(4.31a)
λ =1
von Einteilchen-H AMILTONfunktionen
1
Hλ (ξ ) = ξλ − hλ (ξ ) · hsλ iξ − ξλ · sλ + Hl,λ
2
(4.31b)
mit den lokalen Anteilen
Hl,λ = − Dλ (sλz )2 − Eλ (sλz )4 − B · sλ
(4.31c)
51
4 Molekularfeldtheorie
geschrieben werden. Das innere Molekularfeld hλ (ξ ) in Schicht λ besteht aus einem
Austauschanteil und einem Dipolanteil
hλ (ξ ) = h0,λ (ξ ) + hω,λ (ξ )
(4.32a)
mit
h0,λ (ξ ) = J
L
∑ z|λ−µ| hsµ iξ
(4.32b)
µ =1
hω,λ (ξ ) = −ωA ·
L
∑ Φ|λ−µ| hsµ iξ
(4.32c)
µ =1
sowie mit der effektiven Dipolcharakteristik A aus Gleichung (2.7) und den Konstanten zδ und Φδ aus Tabelle 4.
Für die freie Energie F (τ , ξ ), die von nun an explizit temperaturabhängig ist,
gilt dann
F (τ , ξ ) = −β
−1
I log
L
∏ dsλ
e
−βH(ξ )
λ =1
=
L
∑ Fλ (τ , ξ )
(4.33a)
λ =1
mit der freien Energie in Schicht λ
Fλ (τ , ξ ) = −β
−1
I
log
dsλ e−βHλ (ξ )
(4.33b)
und der inversen Temperatur β = 1/ T. Ab nun werden alle Temperaturen in
Einheiten der reduzierten Temperatur τ = T / Tc mit der C URIEtemperatur Tc des
Systems dargestellt.
4.2.2
Stationäre Punkte der freien Energie
An einem stationären Punkt ξ̃ lautet die H AMILTONfunktion in Schicht λ (4.31b)
gemäß Gleichung (4.15)
1
m̃λ − sλ .
H̃λ ≡ Hλ (ξ̃ ) = Hl,λ − h̃λ ·
(4.34)
2
Für diese H AMILTONfunktion können einige generelle Aussagen über die Lage der
stationären Punkte gemacht werden.
Für verschwindendes äußeres Magnetfeld B = 0 ist ξ̃ (0) ≡ 0 immer ein stationärer Punkt, da bei ξ = 0 die lösbare H AMILTONfunktion H? (0) = Hl aus (4.2) eine
?
gerade Funktion in sλ ist und deshalb hsλ i0 ∝ Sp(e−βH (0) sλ ) = 0 ist. Wegen Gleichung (4.32) verschwindet dann auch h(ξ ); dies ist konsistent, da am stationären
Punkt wegen Gleichung (4.14) ξ̃ = h̃ ist. Also ist mit (4.13) ∂ξ F (0) = 0.
52
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
Weiterhin existiert für B k ẑ bzw. B = 0 immer ein stationärer Punkt ξ̃ k mit der
k
Eigenschaft ξ̃ λ k ẑ; ebenso gibt es immer einen stationären Punkt ξ̃ ⊥ mit ξ̃ ⊥
λ k ŷ für
B ⊥ ẑ bzw. B = 0 . Dies liegt daran, daß in diesen Fällen immer ξλ k hsλ iξ k hλ (ξ )
ist und somit in Gleichung (4.13) auch der Gradient ∂ξ F (ξ ) parallel zu ξ ist.
Zu den hier gefundenen stationären Punkten kommen eventuell noch weitere
p
p
nichttriviale stationäre Punkte ξ̃ p hinzu, an denen die Molekularfelder h̃λ = ξ̃ λ
weder zur y- noch zur z-Richtung parallel liegen. Mit Hilfe der Stabilitätsanalyse
aus Kapitel 4.1.2 werden diese stationären Punkte auf dem Rechner untersucht und
so der Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie F̃MF bestimmt. Eine an diesem Punkt
ξ̃ MF berechnete Größe ÃMF ≡ A(ξ̃ MF ) wird im folgenden einfach A genannt, so ist
insbesondere mλ die Magnetisierung von Schicht λ in Molekularfeldnäherung.
4.2.3
Anmerkungen zur Numerik
Das Variationsproblem wird durch Minimierung der freien Energie F (τ , ξ ) aus
(4.33) mit der Methode des konjugierten Gradienten unter Benutzung von numerischen Routinen aus der IMSL-Bibliothek gelöst. Diese Methode hat sich als deutlich
schneller herausgestellt als die einfache Iteration
ξ 7→ ξ 0 = h(ξ ),
(4.35)
die vor allem an kritischen Punkten, an denen der kleinste Eigenwert der H ESSEmatrix (4.16) null wird, sehr langsam wird. Dies liegt daran, daß die Schrittweite
der Iteration ∆ξ = ξ 0 − ξ wegen Gleichung (4.13) die Form
∆ξk = −hhsk , sk iiξ−1 · ∂ξk F (ξ )
(4.36)
hat und der Gradient ∂ξk F (ξ ) an einem kritischen Punkt schon in der Umgebung
des stationären Punktes klein wird.
An den so gefundenen stationären Punkten wird eine Stabilitätsanalyse gemäß
Anschnitt 4.1.2 durchgeführt. Wenn der gefundene stationäre Punkt sich als instabil
herausstellt, werden die Parameter ξ gemäß
ξ 7→ ξ 0 = ξ + δξ
(4.37)
gestört und dann ein neuer stationärer Punkt aufgesucht, wobei die Störung einer
Verkippung der Spins entspricht. Diese Methode führt im allgemeinen nach einmaliger Anwendung zu dem stationären Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie und
ist vor allem dann notwendig, wenn die Phase mit gekippter Magnetisierung FMϑ
stabil ist, die den nichttrivialen stationären Punkt ξ̃ ϑ hat.
Wenn eine Größe als Funktion eines variierenden Parameters x wie z. B. die
temperaturabhängige Magnetisierung m( T ) bestimmt werden soll, so kann von
53
4 Molekularfeldtheorie
einem bekannten stabilen stationären Punkt ξ̃ ( x) ausgehend der entsprechende
Parameter x geändert werden und der neue stationäre Punkt ξ̃ ( x + δ x) bestimmt
werden. Die Stabilitätsanalyse gewährleistet, daß die so berechneten Lösungen
immer stabil sind.
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
In Kapitel 3.1 wurde gezeigt, daß man im Grundzustand der Bilage abhängig von
den Parametern des Modells eine schrägstehende Spinstellung erhalten kann, wenn
die lokalen uniaxialen Anisotropiekonstanten Dλ inhomogen sind. Die hieraus resultierende nichtkollineare Spinstellung stabilisiert die verkippte Orientierung der
Magnetisierung. Somit ist der Spinreorientierungsübergang in der Bilage bei T = 0
normalerweise von zweiter Ordnung, ohne daß in der H AMILTONfunktion lokale
Anisotropien vierter Ordnung angenommen werden müssen. Wie sich im folgenden zeigt, findet man diesen Übergang zweiter Ordnung auch, wenn man bei festen
Parametern der H AMILTONfunktion (1.21) die Temperatur variiert.
4.3.1
Magnetisierung
In Abbildung 11 sind die Magnetisierungskomponenten der Gesamtmagnetisierung pro Spin m z (τ ) und m xy (τ ) sowie der Betrag der Magnetisierung m(τ ) über
der reduzierten Temperatur τ dargestellt. Für die Rechnung wurde exemplarisch
Parametersatz PL=2 verwendet, bei dem der Grundzustand senkrecht zum Film
orientiert ist (m xy (0) = 0), diese Parameter entsprechen dem Kreis im Grundzustandsphasendiagramm Abbildung 10. Mit wachsender Temperatur bleibt zunächst
xy
diese ferromagnetische Phase FM z stabil, bei der Temperatur τr tritt zusätzlich eine
planare Komponente mxy > 0 auf; diese gekippte Phase wird mit FMϑ bezeichnet.
Die Magnetisierung rotiert nun mit wachsender Temperatur kontinuierlich von der
senkrechten Richtung in die Ebene, bis bei τrz die z-Komponente der Magnetisierung verschwindet und die Phase FM xy erreicht wird. Wenn die Temperatur weiter
ansteigt, durchläuft das System bei der C URIEtemperatur Tc ' 1,6744J einen Phasenübergang zweiter Ordnung in die paramagnetische Phase PM.
Der Einschub in Abbildung 11 zeigt die relative Differenz der Beträge der
Schichtmagnetisierungen ∆m = (m2 − m1 )/m sowie den Winkelunterschied zwixy
schen den Magnetisierungen ∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 mit tan ϑλ = mλ /mλz . Da die Anisotropiekonstante D1 > D2 ist, ist in der Phase FM z die senkrechte Spinstellung für Spins
in der ersten Lage günstiger und somit ∆m(τ ) < 0. Diese Abweichung ist allerdings
xy
selbst bei τr kleiner als 0,5%. Da beide Magnetisierungen parallel in z-Richtung zei-
54
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
Magnetisierung m
1,0
m(τ)
z
m (τ)
xy
m (τ)
0,04
0,5
∆ϑ
0,02
2°
0,00
0°
0,0
0,0
0,0
xy
τr
4°
∆m
τ
z
τr
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
1,0
Abbildung 11: Für Parametersatz PL=2 durchläuft die Bilage einen kontinuierlichen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang. Dargestellt sind die Komponenten mz (τ )
und mxy (τ ) sowie der Betrag m(τ ) der Gesamtmagnetisierung. Die Parameter entsprechen
dem Kreis in Abbildung 10 (S. 40). Der Einschub zeigt strichliert die relative Magnetisierungsdifferenz ∆m = (m2 − m1 )/m der beiden Schichten sowie punktiert den Winkelunterschied ∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 .
gen, ist ∆ϑ = 0. In der gekippten Phase FMϑ wird der Winkelunterschied ∆ϑ > 0,
d. h. Schicht 2 mit kleinerer uniaxialer Anisotropie ist stärker in die Ebene orientiert
als Schicht 1. Der maximale Unterschied von ∆ϑ ≈ 4°wird angenommen, wenn
die Gesamtmagnetisierung im Winkel von ϑ ≈ 45°gekippt ist, mit weiter wachsender Temperatur sinkt die Winkeldifferenz wieder und verschwindet bei τrz . Die
Betragsdifferenz ∆m hat währenddessen einen Nulldurchgang und ist positiv geworden, da bei planarer Orientierung der Magnetisierungen die Spins in Schicht 1
wegen der größeren uniaxialen Anisotropie stärker in Richtung ± z fluktuieren, d. h.
xy
h(s1z )2 i > h(s2z )2 i ist, und deshalb der Erwartungswert m1 stärker abgesenkt wird als
xy
m2 . Aufgrund dieses Effekts wird ∆m(τ ) in der planaren Phase FM xy noch größer
und erreicht sein Maximum von ∆m ≈ 3% bei τc . In der paramagnetischen Phase
xy
ist ∆m = mλ = 0. Die Breite der gekippten Phase ∆τr = τrz − τr beträgt für diese
Parameter ∆τr ' 14,67% der C URIEtemperatur und wird in Kapitel 6.3 im Rahmen
der dort beschriebenen Näherung berechnet.
55
4 Molekularfeldtheorie
4.3.2
Statische Nullfeld-Suszeptibilität
Um das kritische Verhalten des Systems besser zu verstehen, sind in Abbildung 12a
die Diagonalelemente des statischen Nullfeld-Suszeptibilitätstensors
dmα (τ ) αβ
χ0 (τ ) =
(4.38)
dBβ B=0
über der reduzierten Temperatur τ in halblogarithmischer Auftragung dargestellt.
Damit die Komponenten des Suszeptibilitätstensors eindeutig definiert sind, wird
angenommen, daß in den Phasen FMϑ und FM xy die Magnetisierung in y-Richtung
zeigt, also immer mλx = 0 ist.
zz
In der senkrechten Phase FM z ist die Komponente χ0 sehr klein, da die Spins
nur wenig durch ein longitudinales Magnetfeld B z auszulenken sind4 . Die Komxx
yy
ponenten χ0 = χ0 hingegen sind groß, da die Anisotropien, die die senkrechte
Orientierung favorisieren, klein gegen die Austauschwechselwirkung sind und bereits durch kleine Magnetfelder kompensiert werden. Mit wachsender Temperatur
“longitudinal” bedeutet parallel zur Magnetisierung, “transversal” senkrecht dazu
Suszeptibilität χ0
4
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
xx
χ0 (τ)
(a)
yy
χ0 (τ)
zz
χ0 (τ)
−1
10
||
10
3
10
2
10
1
10
0
χ0(τ)
(b)
⊥
χ0 (τ)
−1
10
−2
10
0,0
xy
τr
z
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 12: Komponenten des statischen Nullfeld-Suszeptibilitätstensors χ0 (τ ) für Parametersatz PL=2 in halblogarithmischer Auftragung. In der oberen Grafik (a) sind die
Diagonalelemente χαα
0 (τ ) dargestellt, die untere Grafik (b) zeigt die beiden Eigenwerte
k
χ0 (τ ) und χ⊥
(
τ
)
.
0
56
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
werden diese Komponenten noch größer und divergieren bei der kritischen Tempexy
zz
ratur τr . Die senkrechte Komponente χ0 vergrößert sich hier sprunghaft um über
drei Größenordnungen, dies wird in Abschnitt 4.4.1 diskutiert.
yy
zz
In der Phase FMϑ verhalten sich die Komponenten χ0 und χ0 nahezu symmezz
yy
trisch, wobei χ0 anwächst und bei τrz singulär wird, während χ0 abfällt und sich
bei τrz sprunghaft um drei Größenordnungen verkleinert, da in der nun erreichten
planaren Phase m k ŷ ist und B y nun longitudinal wirkt.
yy
In der Phase FM xy steigt χ0 aufgrund von thermischen Fluktuationen an, um
zz
schließlich bei τc nochmals zu divergieren; χ0 hat hier nur einen Knick. Oberhalb
von τc zeigen alle Komponenten paramagnetisches Verhalten gemäß dem C URIE W EISS-Gesetz.
xx
Die Komponente χ0 ist in den Phasen FMϑ und FM xy unendlich groß, da
das betrachtete Modell in der Molekularfeldnäherung rotationssymmetrisch in der
Ebene ist und ein beliebig kleines Feld B k x̂ die Magnetisierung m sofort aus der
y-Richtung in die x-Richtung drehen würde.
In der Phase FMϑ treten zusätzlich negative nichtverschwindende Außerdiagoyz
zy
nalelemente χ0 = χ0 < 0 des Suszeptibilitätstensors auf. In dieser Phase ist somit
das benutzte Ortsraum-Koordinatensystem nicht das Eigensystem im Spinraum.
Deshalb wurden die Eigenwerte und Eigenvektoren von χ0 bestimmt. Mit den drei
Eigenwertgleichungen
xx
χ0 · x̂ = χ0 x̂,
k
χ0 · v̂k = χ0 v̂k ,
⊥
χ0 · v̂⊥ = χ⊥
0 v̂
erhält man die Eigenwerte
 yy,zz
χ


 0zz,yy
⊥,k
χ0
χ0 =
q

1
yy
zz
yy
zz 2
yz 2


χ0 + χ0 ± (χ0 − χ0 ) + 4(χ0 )
2
(4.39)
xy
falls τ < τr
falls τ > τrz
(4.40)
sonst.
Der longitudinale Eigenvektor v̂k (τ ) ist in den Phasen FM z und FM xy jeweils parallel zur Magnetisierung m(τ ) und auch in der Phase FMϑ nahezu parallel zu m(τ ),
insbesondere vollführt er die gleiche Reorientierung wie m(τ ). In der paramagnetischen Phase PM bleibt v̂k (τ ) parallel zu ŷ. Der transversale Eigenvektor v̂⊥ (τ ) steht
senkrecht auf v̂k (τ ) und dem konstanten dritten Eigenvektor x̂.
k
Die Eigenwerte χ0 (τ ) und χ⊥
0 (τ ) sind in Abbildung 12b dargestellt, der longituk
dinale Eigenvektor v̂ (τ ) entspricht dabei etwa der skizzierten Magnetisierung. Das
Verhalten ist nun einfacher als in Abbildung 12a, und es wird ein qualitativer Unxy
terschied zwischen den kritischen Reorientierungtemperaturen τr bzw. τrz und der
xy
C URIEtemperatur τc offensichtlich: Während bei τr und τrz die transversale Komponente der Suszeptibilität χ⊥
0 divergiert und die longitudinale Komponente kein
57
4 Molekularfeldtheorie
k
kritisches Verhalten zeigt, divergiert bei τc die longitudinale Komponente χ0 und
die transversale Komponente hat einen Knick. Neue Messungen von P ÜTTER et al.
[1999a] an Co/Au(111) zeigen, daß der Spinreorientierungsübergang tatsächlich in
der transversalen Suszeptibilität sichtbar ist. Die Ergebnisse lassen sich allerdings
nicht direkt aufeinander übertragen, da angenommen wird, daß der Übergang in
Co/Au(111) diskontinuierlich verläuft [O EPEN et al., 1997] und deshalb keine divergierende Suszeptibilität erwartet wird.
Die Singularitäten in der Nullfeld-Suszeptibilität verifizieren, daß es sich bei
dem Spinreorientierungsübergang um einen thermodynamischen Phasenübergang
handelt. Die Ordnungsparameter der verschiedenen Phasen sind die Komponenten
mz und m xy der spontanen Magnetisierung: In FM z ist m z 6= 0 und m xy = 0, in FM xy
ist m z = 0 und m xy 6= 0, und in FMϑ ist sowohl m z 6= 0 als auch m xy 6= 0. Bei der
xy
Temperatur τr bzw. τrz wird die Komponente m xy bzw. m z kritisch.
4.3.3
Das Phasendiagramm
Nun soll das Phasendiagramm der Bilage in der Anisotropie-Temperatur-Ebene
bestimmt werden [H UCHT und U SADEL, 1996]. Hierzu wird eine Stabilitätsanalyse
der freien Energie F (ξ̃ , τ ) aus (4.33) an den stationären Punkten ξ̃ k und ξ̃ ⊥ gemäß
Kapitel 4.1.2 durchgeführt. Definiert man analog zu Gleichung (3.6) die Funktion
(4.41)
η(ξ̃ , τ ) := ewmin ∂ξ2 F (ξ̃ , τ ) ,
so wird der stationäre Punkt ξ̃ (τ ) instabil, wenn η(ξ̃ , τ ) eine Nullstelle hat. Diese
Nullstellensuche wurde mit einem numerischen Verfahren durchgeführt.
Wenn man die mittlere Anisotropiekonstanten Dh auf J /8 fixiert und die Differenz ∆D = D1 − D2 variiert, erhält man das in Abbildung 13 dargestellte Phasendiagramm. Zusätzlich sind Skizzen der freien Energie als Funktion des Azimutwinkels
ϑ der Magnetisierung abgebildet, in denen die stabile Richtung durch einen Kreis
gekennzeichnet ist. Betrachtet man z. B. Parametersatz PL=2 mit ∆D /2Dh = 0,6
(strichpunktierte Linie), so ist die Phase FM z bei wachsender Temperatur so lange
stabil, wie η(ξ̃ ⊥ , τ ) > 0 ist. An der Phasengrenzlinie zweiter Ordnung zur Phaxy
se FMϑ wird η(ξ̃ ⊥ , τr ) negativ, und an der Grenze zwischen FMϑ und FM xy wird
η(ξ̃ k , τrz ) positiv. Innerhalb von FMϑ sind beide Eigenwerte negativ, da das stabile
Minimum nun bei einem nichttrivialen Fixpunkt ξ̃ ϑ mit gekippter Magnetisierung
liegt.
Mit sinkender Inhomogenität ∆D laufen die Phasengrenzlinien aufeinander zu
und treffen sich schließlich bei ∆DMKP in dem multikritischen Punkt MKP. Ab dort
findet man einen Phasenübergang erster Ordnung mit Hysterese, die Grenzen des
Hysteresebereiches sind wieder durch die Bedingungen η(ξ̃ ⊥,k , τ ) = 0 gegeben
58
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
0
ϑ
π/2
F(ϑ)
F(ϑ)
0,8
F(ϑ)
0
π/2
ϑ
ϑ
0
π/2
0,6
FMz
FMϑ
FMxy
0,4
z
0,2
0,0
0,0
2. Ordnung m → 0
xy
2. Ordnung m → 0
1. Ordnung
MKP
F(ϑ) × 20
Anisotropiedifferenz ∆D/ΣλDλ
1,0
ϑ
0
0,2
Temperatur τ [T/Tc]
π/2
0,4
Abbildung 13: ∆D-T Phasendiagramm der Bilage mit Skizzen der freien Energie für
Parametersatz PLD=λ 2 . Diese Parameter entsprechen der Linie in Abbildung 10 (S. 40). Die
strichpunktierte Linie entspricht Parametersatz PL=2 .
und durch zwei dünne strichlierte Linien dargestellt. Die durchgezogene Linie
dazwischen ist die Phasengrenze τr im thermodynamischen Gleichgewicht, an der
F (ξ̃ ⊥ , τr ) = F (ξ̃ k , τr ) ist. Dieser Hysteresebereich wird in Abschnitt 4.5 genauer
untersucht.
Dieses Phasendiagramm hat große Ähnlichkeit mit dem Grundzustandsphasendiagramm Abbildung 10, wenn man die Temperatur τ mit der Dipolenergie ω identifiziert. Beide Parameter führen bei einer Erhöhung zum Übergang, eine Erklärung
für diese Analogie liefert Kapitel 6. Der wesentliche Unterschied ist jedoch, daß hier
der Phasenübergang erster Ordnung bereits für |∆D | > 0 auftritt und ein Hysteresebereich hinzukommt, in dem die freie Energie zwei lokale Minima hat (vgl. die
Einschübe in Abbildung 13). Dieser schmale Bereich, der im homogenen System mit
∆D = 0 am ausgeprägtesten ist, entsteht, weil das System an der Phasengrenze
τr nicht mehr wie im Grundzustand isotrop ist: Bei endlichen Temperaturen haben
der Dipolanteil und der lokale uniaxiale Anteil der winkelabhängigen freien Energie F (ϑ) unterschiedliche Winkelabhängigkeit; diese waren im Grundzustand im
homogenen Fall beide proportional zu cos 2 ϑ. Dieser Effekt ist allerdings kleiner als
die Tendenz, bei inhomogener Verteilung der Anisotropiekonstanten Dλ eine gekippte Phase zu stabilisieren, und eine geringe Inhomogenität ∆D genügt, um den
Phasenübergang kontinuierlich sein zu lassen.
59
4 Molekularfeldtheorie
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
In diesem Teil der Arbeit wird der Einfluß von äußeren magnetischen Feldern
auf den Spinreorientierungsübergang untersucht [H UCHT und U SADEL, 1999c]. Als
Modellsystem wird die Bilage (L = 2) mit Parametersatz PL=2 verwendet.
4.4.1
Senkrechtes Magnetfeld
In Abbildung 14 sind die Magnetisierungskomponenten m xy ( B, τ ) und m z ( B, τ ) als
Funktion der Temperatur im senkrechten äußeren Magnetfeld B = 0,01J ẑ ' 0,6ω ẑ
abgebildet. Zum Vergleich ist zusätzlich der Verlauf dieser Größen im Nullfeld eingezeichnet. In einem senkrechten Magnetfeld mit B z > 0 ist die Magnetisierung
mz ( B, τ ) immer positiv, die Phasen FMz und FMϑ mit spontaner senkrechter Magnetisierungskomponente sind deshalb vollständig unterdrückt. Allerdings existiert
xy
xy
wie im feldfreien Fall oberhalb einer reduzierten Temperatur τr ( B) > τr (0) die
Phase FM xy mit planarer spontaner Magnetisierung, die nicht durch das senkrechte
Magnetfeld unterdrückt wird. Dadurch hat man die ungewöhnliche Situation, daß
mit wachsender Temperatur ein Phasenübergang aus einer paramagnetischen Phase
PM in eine ferromagnetische Phase FMxy mit spontaner Magnetisierung auftritt. Bei
weiterer Temperaturerhöhung verläßt man FM xy bei einer feldabhängigen C URIEtemperatur τc ( B), die unterhalb der kritischen Temperatur τc (0) ≡ 1 des feldfreien
Systems liegt, und erreicht wieder die Phase PM (sogenanntes reentrant-Verhalten).
Das korrespondierende Phasendiagramm im senkrechten Magnetfeld ist in Abbildung 15 dargestellt. Innerhalb des von der unterbrochenen Linie eingeschlossenen Bereiches befindet sich die Phase FM xy mit einer spontanen planaren Magnetisierungskomponente m xy 6= 0. Die Magnetisierungsrichtungen sind wieder durch
Skizzen dargestellt.
An der Phasengrenzlinie der Phase FM xy tritt ein thermodynamischer Phasenübergang zweiter Ordnung mit kontinuierlich verschwindendem Ordnungsparaxy
meter mxy auf. Diese Phasengrenzlinie verbindet die kritischen Temperaturen τr ( B)
und τc ( B) für alle senkrechten magnetischen Felder mit | B z | < Bcz , wobei für die
verwendeten Parameter Bcz /ω ' 1,81 ist. Da in der Molekularfeldnäherung keine
multikritischen Punkte auf dieser Linie gefunden werden, sollte sich das kritische
Verhalten auf der gesamten Phasengrenze nicht ändern und zu der Universalitätsklasse des zweidimensionalen dipolaren H EISENBERGmodells gehören [z. B. A HA RONY, 1976].
Die geordneten Phasen FM z und FMϑ , in der die senkrechte Komponente der
Magnetisierung mz spontane Ordnung zeigt, existieren nur bei verschwindendem senkrechten Magnetfeld B z = 0 unterhalb des kritischen Punktes τrz (0), der
60
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
Magnetisierung m
1,0
z
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
m (0,τ)
xy
m (0,τ)
0,5
0,0
0,0
xy
τr (B)
0,5
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 14: Magnetisierungskomponenten mxy ( B, τ ) und mz ( B, τ ) als Funktion der
Temperatur für Parametersatz PL=2 im konstanten senkrechten äußeren Magnetfeld
B = 0,01J ẑ ' 0,6ω ẑ. Die dünnen Linien entsprechen dem System ohne Feld aus Abbildung 11.
PM
z
Magnetfeld B /ω
2,0
xy
0,0
z
τr(0)
τr (0)
FMxy
FMz FMϑ
−2,0
0,0
FMz (1. Ordnung)
FMϑ (1. Ordnung)
FMxy (2. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 15: Phasendiagramm der Bilage für Parametersatz PL=2 im senkrechten äußeren Magnetfeld B = Bz ẑ. Die Kurven in Abbildung 14 sind entlang der Linie Bz /ω ' 0,6
berechnet.
61
4 Molekularfeldtheorie
Magnetisierung m
z
1,0
0,5
0,0
0,0
xy
τ = 0,20 ~
< τr (0)
τ = 0,25
τ = 0,30
z
τ = τr(0) ≈ 0,36
τ = 0,50
1,0
z
Magnetfeld B /ω
Abbildung 16: Senkrechte Magnetisierung mz ( Bz , τ ) als Funktion des senkrechten Magnetfeldes Bz /ω für verschiedene konstante reduzierte Temperaturen τ = T / Tc (0) mit
Parametersatz PL=2 .
von zweiter Ordnung ist. Wenn man die Phase FM z bei konstanter Temperatur
xy
τ < τr (0) und anwachsendem senkrechten Feld durchquert, durchläuft das System einen Phasenübergang erster Ordnung und die Magnetisierung springt von
−mz (0, τ ) ẑ nach +mz (0, τ ) ẑ. Durchquert man die gekippte Phase FMϑ in derselben
xy
Weise bei einer Temperatur τr (0) < τ < τrz (0), so springt die Magnetisierung von
(0, m y (0, τ ), −mz (0, τ )) nach (0, m y (0, τ ), +mz (0, τ )).
Die Phase FM z hat wegen der senkrechten uniaxialen Anisotropie Dλ die gleiche Symmetrie wie die geordnete Phase im zweidimensionalen ferromagnetischen
I SINGmodell [I SING, 1925; O NSAGER, 1944] und sollte deshalb zur selben Universalitätsklasse gehören.
Um das Verhalten der Magnetisierung im senkrechten Feld besser zu charakterisieren, ist in Abbildung 16 die Feldabhängigkeit der senkrechten Magnetisierungskomponente für verschiedene Temperaturen unterhalb der Temperatur τc (0) dargestellt. Das Diagramm ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da
mz ( B z , τ ) = −m z (− B z , τ ) ist. Bei diesen Kurven durchläuft man das in Abbildung 15
dargestellte Phasendiagramm in senkrechter Richtung. Da die dargestellten Kurven
im thermodynamischen Gleichgewicht, d. h. am absoluten Minimum FMF (τ ) (4.5)
der freien Energie bestimmt wurden, erhält man keine metastabilen Hystereseeffekte. Diese werden in Abschnitt 4.5 exemplarisch an der Monolage untersucht.
62
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
xy
Für τ = 0,2 . τr (0) findet man in m z den bereits oben erwähnten Sprung bei
xy
B z = 0, da die Phase FM z durchquert wird. Für τr (0) < τ < τrz (0) ist das System im
Nullfeld in der Phase FMϑ und hat eine spontane verkippte Magnetisierung, die bei
kleinen Feldern in der Phase FM xy verkippt bleibt, so daß die Magnetisierung erst
xy
ab einem endlichen kritischen Feld Br (τ ) parallel zum angelegten Feld steht. An
xy
dieser Stelle hat die Funktion m z ( B z , τ = const) einen Knick, der bei τ = τr (0) zu
einem Sprung in der zz-Komponente der statischen Nullfeld-Suszeptibilität (4.38)
führt (siehe auch Abbildung 12).
Bei der Temperatur τrz (0) verschwindet der Sprung in m z bei B z = 0, allerdings
divergiert dort die erste Ableitung χ zz = d Bz m z (vgl. Abbildung 12). Für τ > τrz (0)
ist die senkrechte Remanenz null, man findet aber weiterhin einen Knick bei dem
xy
kritischen Feld Br (τ ). Bei τc (0) wird dieses kritische Feld null und die Suszeptibilität zeigt das paramagnetische C URIE -W EISSverhalten.
4.4.2
Planares Magnetfeld
Ein ähnliches Verhalten zeigt das System in einem planaren magnetischen Feld
B = B y ŷ. In Abbildung 17 sind die entsprechenden Magnetisierungskomponenten
für das Feld B = 0,01J ŷ ' 0,6ω ŷ dargestellt. Da das planare magnetische Feld
Magnetisierung m
1,0
z
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
m (0,τ)
xy
m (0,τ)
0,5
0,0
0,0
z
τr(B)
0,5
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 17: Magnetisierungskomponenten mz ( B, τ ) und mxy ( B, τ ) als Funktion
der Temperatur für Parametersatz PL=2 im konstanten planaren äußeren Magnetfeld
B = 0,01J ŷ ' 0,6ω ŷ.
63
4 Molekularfeldtheorie
PM
y
Magnetfeld B /ω
2,0
FMz
0,0
xy
τr (0)
z
τr(0)
FMϑ
−2,0
0,0
FMxy
FMz (2. Ordnung)
FMϑ (1. Ordnung)
FMxy (1. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 18: Phasendiagramm der Bilage für Parametersatz PL=2 im parallelen äußeren
Magnetfeld B = B y ŷ. Die Kurven in der vorigen Abbildung sind entlang der Linie
B y /ω ' 0,6 berechnet.
die Phasen mit planarer Komponente FM xy und FMϑ vollständig unterdrückt, sind
xy
die kritischen Temperaturen τr ( B) und τc ( B) sind nicht mehr definiert. Allerdings
zeigt nun die z-Komponente der Magnetisierung m z unterhalb einer Temperatur
τrz ( B), die kleiner als τrz (0) im Nullfeld ist, spontane Ordnung, die bei τrz ( B) kontinuierlich verschwindet. Oberhalb von τrz ( B) zeigt das System keine spontane Ordnung.
Das entsprechende Phasendiagramm ist in Abbildung 18 gezeigt. Links von der
durchgezogenen Linie befindet sich die ferromagnetisch geordnete Phase FMz mit
dem Ordnungsparameter mz 6= 0. Die Phasengrenze ist von zweiter Ordnung und
y
verläuft nahezu linear von τrz (0) zu den Punkten ( T, B) = (0, ± Bc ŷ), wobei für die
y
hier verwendeten Parameter Bc /ω ' 2,24 ist.
Beim Durchlaufen der nur für B y = 0 stabilen Phasen FM xy und FMϑ durch
Variation von B y tritt ein Phasenübergang erster Ordnung auf, wobei die Magnetisierung mit wachsendem Feld von −m y (0, τ ) ŷ nach +m y (0, τ ) ŷ springt.
4.4.3
Das dreidimensionale Phasendiagramm
Um diese Ergebnisse besser zu veranschaulichen, ist in Abbildung 19 das dreidimensionale Phasendiagramm im Parameterraum (τ , B y /ω, B z /ω) dargestellt. Die
64
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
zwei ferromagnetischen Phasen FM xy und FM z stehen senkrecht aufeinander und
xy
durchdringen sich entlang der Linie B = 0, τr (0) < τ < τrz (0). In diesem Bereich liegt die Phase FMϑ mit spontaner verkippter Magnetisierung. Außerhalb
der drei geordneten Phasen steht die Magnetisierung immer parallel zum angelegten Feld. Die Phasengrenzen von FM z und FM xy treffen beide mit einer endlichen Steigung auf die Temperaturachse, diese Steigung beträgt für Parametersatz
xy
PL=2 für senkrechtes Magnetfeld d Bz τr (0) ' 4,60ω und für planares Magnetfeld d B y τrz (0) ' 5,98ω, die Spinreorientierungstemperatur verschiebt sich also für
Abbildung 19: Dreidimensionales Phasendiagramm im Parameterraum (τ , B y /ω, Bz /ω)
für Parametersatz PL=2 . Die Phasen FMz mit spontaner senkrechter und FMxy mit spontaner planarer Magnetisierungskomponente stehen senkrecht aufeinander und durchdringen sich, auf ihrer Schnittlinie befindet sich die Phase FMϑ . Die Pfeile skizzieren eine
mögliche Richtung der spontanen Magnetisierung innerhalb der geordneten Phasen, die
anderen möglichen Orientierungen ergeben sich durch Spiegelung an den Phasenflächen.
Außerhalb der geordneten Phasen steht die Magnetisierung immer parallel zum angelegten Feld.
65
4 Molekularfeldtheorie
kleine Felder linear mit dem Magnetfeld. Dieser Effekt ist auch von M ILLEV et al.
[1998a,b,c] im Rahmen einer phänomenologischen L ANDAUtheorie beschrieben und
ist vor kurzem von P ÜTTER et al. [1999b] experimentell untersucht worden.
Wenn man diese Ergebnisse mit den Resultaten im Nullfeld aus Kapitel 4.3
und speziell mit dem ∆D-T Phasendiagramm in Abbildung 13 kombiniert, ergibt
sich das folgende Szenario: Die Breite der Phase FMϑ und somit das Maß der
Durchdringung von FM z und FM xy hängt von der Inhomogenität ∆D = D1 − D2
ab. An dem multikritischen Punkt (τ , |∆D |/ω)MKP ≈ (0,3, 1) für Parametersatz
PLD=λ 2 wird der Spinreorientierungsübergang im Nullfeld diskontinuierlich (MKP in
Abbildung 13), für |∆D | < ∆DMKP durchdringen sich die Phasen FM z und FM xy
also nicht mehr, sondern berühren sich an einer Phasengrenze erster Ordnung. Dort
treten metastabile Phasen und Hystereseeffekte auf, die nun untersucht werden
sollen.
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
In der Monolage ohne äußerem Magnetfeld ist der Spinreorientierungsübergang
immer diskontinuierlich [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; H UCHT et al., 1995]. Deshalb berühren sich die Phasenflächen FM z und FM xy im B-τ -Phasenraum nur und
durchdringen sich nicht wie in der Bilage im vorigen Abschnitt. In der unmittelbaren Umgebung dieses Berührungspunktes kommt es zu interessanten Hystereseeffekten, die in diesem Abschnitt behandelt und mit experimentellen Kurven von
B ERGER und H OPSTER [1996] verglichen werden.
4.5.1
Magnetisierung und Phasendiagramm
In Abbildung 20 sind Magnetisierungskurven der Monolage unter Verwendung
von Parametersatz PLa =1 für verschiedene senkrechte Magnetfelder B = B z ẑ dargestellt. Der Spinreorientierungsübergang erster Ordnung im feldfreien Fall wird
durch das angelegte Feld zu einem kontinuierlichen Übergang der planaren Maxy
gnetisierungskomponente mxy ( B, τ ) bei einer Temperatur τr ( B) > τr (0), während
die senkrechte Phase wie im Fall der Bilage (Abschnitt 4.4.1) unterdrückt wird.
Die feldabhängige C URIEtemperatur sinkt mit wachsendem Feld und die beiden
xy
kritischen Temperaturen τr ( B) und τc ( B) fallen bei einem kritischen Magnetfeld
Bcz /ω ' 2,20ω zusammen, auch dieses Verhalten ist analog zur Bilage. Das resultierende Phasendiagramm in Abbildung 21 sieht demzufolge ähnlich aus wie das der
Bilage in Abbildung 15, allerdings ist die gekippte Phase FMϑ nun verschwunden.
66
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
1,0
z
Magnetisierung m
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
B =0
z
B =0,7ω
z
B =1,4ω
z
B =2,1ω
0,5
0,0
0,0 τr(B=0)
1,0
Temperatur τ [T/Tc(0)]
Abbildung 20: Magnetisierungskomponenten der Monolage als Funktion der Temperatur
für Parametersatz PLa =1 und verschiedene senkrechte äußere Magnetfelder Bz .
PM
z
Magnetfeld B /ω
2,0
0,0
τr(0)
FMxy
FMz
−2,0
0,0
FMz (1. Ordnung)
FMxy (2. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 21: Phasendiagramm der Monolage für Parametersatz PLa =1 im senkrechten
äußeren Magnetfeld Bz .
67
4 Molekularfeldtheorie
1
xy
τ = 0,1463
(a)
τ = τr = 0,1485
τ = 0,1470
(b)
τ = 0,1500
(e)
τ = 0,1478
(c)
τ = 0,1538
(f)
(d)
Magnetisierung m
0
−1
1
0
−1
1
0
xy
m
z
m
−1
−0,03
0,00
0,03 −0,03 z
Magnetfeld B /ω
0,00
0,03
Abbildung 22: Hysteresekurven für die Monolage für Parametersatz PLa =1 und verschiedene Temperaturen T. Die longitudinale Magnetisierungskomponente mz ( Bz ) ist schwarz
und die transversale Komponente mxy ( Bz ) grau dargestellt.
4.5.2
Hysterese
Die Hysteresekurven sind im Rahmen der Molekularfeldtheorie berechnet worden.
Hystereseeffekte können in einen System nur dann auftreten, wenn metastabile
Zustände vorhanden sind. Um diese metastabilen Zustände zu finden, sind Feldschleifen berechnet worden, bei denen das Magnetfeld B k ẑ ausgehend von einem
negativen Wert sukzessive erhöht wird. Dies erfolgt solange, bis der Zustand des
Systems instabil wird, d. h. bis der kleinste Eigenwert der H ESSEmatrix (4.16) null
ist. Dann springt das System in einen neuen (meta)stabilen Zustand, bei dem mit
der Prozedur fortgefahren wird. Wenn schließlich die stabile paramagnetische Phase mit m k B erreicht ist, wird das Feld wieder erniedrigt, bis der Ausgangszustand
wieder erreicht ist. Die so erhaltenen Hysteresekurven sind punktsymmetrisch am
Ursprung.
xy
Wenn man dieses Verfahren in unmittelbarer Umgebung der Temperatur τr (0)
anwendet, kommt es zu den in Abbildung 22 dargestellten Verläufen. Analoge
Ergebnisse erhält man, wenn man nahe τrz (0) ein Feld in y-Richtung anlegt. Die
xy
Temperaturen τr (0) und τrz (0) entsprechen den Grenzen des Hysteresebereiches
im Nullfeld aus Abbildung 13, bei denen die metastabilen Phasen FM z bzw. FM xy
68
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
Abbildung 23: Hysteresekurven eines 3,8 ML dicken Fe/Ag(100) Films im senkrechten
Magnetfeld, entnommen aus [B ERGER und H OPSTER, 1996].
xy
bei Temperaturvariation instabil werden, es gilt τrz (0) < τr < τr (0).
xy
Unterhalb einer Temperatur τr< ' 0,1474 sind nur die Phasen FM± z metastabil,
xy
und die Kurven sind rechteckig (a, b). Da τr< > τr ist, wird bemerkenswerterweise
die tatsächlich stabile Phase FM xy nicht durchlaufen, sie wird bei dem bei positivem
Feld BKz stattfindenden Sprung der Magnetisierung übersprungen. Dies ändert sich
erst (c), wenn das Koerzitivfeld BKz mit wachsender Temperatur soweit abgesunken
ist, daß die Phase FM xy dort stabil ist und eine planare Magnetisierung m xy (graue
xy
Kurven) auftritt. Erreicht man bei weiterer Temperaturerhöhung τr (0) (d), so wird
BKz = 0 und die Phase FM± z im Nullfeld instabil, sie kann allerdings durch ein Maxy
gnetfeld weiterhin stabilisiert werden (e, f). Erst bei einer Temperatur τr> ' 0,154
ist FM± z auch im Feld nicht mehr stabil und es treten keine Hystereseeffekte mehr
auf. Dann dreht die Magnetisierung mit wachsendem Feld kontinuierlich von −m ẑ
durch die planare Phase nach +m ẑ (nicht dargestellt). Diese Kurven können mit von
B ERGER und H OPSTER [1996] an Fe/Ag(100) gemessenen Hysteresekurven der longitudinalen Komponente m z ( B z ) verglichen werden, die in Abbildung 23 dargestellt
sind. Es zeigt sich, daß die Hysteresekurven qualitativ gut übereinstimmen und
69
4 Molekularfeldtheorie
daß speziell die doppelte Hysteresestruktur in den unteren drei Kurven von Abbildung 23 durch die Rechnungen reproduziert werden können (Abbildung 22d-f).
Allerdings ist die Interpretation der Kurven unterschiedlich: Während B ERGER und
H OPSTER diese Doppelstruktur auf senkrecht magnetisierte Domänen zurückführen, zeigen die Ergebnisse dieses Abschnitts, daß diese Form auch in einem homogen magnetisierten System erklärt werden können und daß diese Kurvenform keine
hinreichende Bedingung für das Auftreten von Domänen ist. Vielmehr muß gleichzeitig die transversale Magnetisierungskomponente (also m xy ( B z ) bei senkrechtem
Feld) untersucht werden. Nur wenn diese Komponente null ist, ist von einem Domänenzustand auszugehen.
4.6 Dickere diskrete Filme
In diesem Kapitel werden die Untersuchungen auf dickere ferromagnetische Filme
mit L > 2 ausgedehnt [H UCHT und U SADEL, 1997]. Dies geschieht exemplarisch an
einem Parametersatz PFe bzw. PNi für ein Fe- bzw. Ni-artiges System.
4.6.1
Effektive Anisotropien
Im folgenden wird die Methode beschrieben, mit der man die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven temperaturabhängigen Anisotropien Kn (τ ) im Rahmen des hier verwendeten Modells berechnen kann (vgl. Kapitel 1.3.5). Hierzu bestimmt man den Azimutwinkel ϑ der Gesamtmagnetisierung
des Systems
m(ξ ) =
1 L
hsλ iξ
L λ∑
=1
(4.42)
und minimiert numerisch die freie Energie F (τ , ξ ) aus Gleichung (4.33) unter der
Nebenbedingung, daß ϑ konstant ist. Man beachte, daß diese Nebenbedingung
trotzdem zuläßt, daß die Magnetisierungen mλ in den einzelnen Schichten unterschiedliche Ausrichtungen haben. Wenn man die Nebenbedingung verschärfen
würde, indem man den Azimutwinkel ϑλ aller Schichtmagnetisierungen auf ϑ fixierte, würde keine stabile Phase FMϑ mit gekippter Magnetisierung mehr existieren, da
diese nur durch die Nichtkollinearität stabilisiert wird (vgl. Kapitel 3.1).
Die resultierende winkelabhängige freie Energie pro Spin
f (τ , ϑ) =
70
1
F (τ , ϑ)
L
(4.43)
4.6 Dickere diskrete Filme
0,2
f(τ,ϑ) − f(τ,π/2)
Energie/ω pro Spin
2
−K2(τ) cos ϑ
0,1
4
−K4(τ) cos ϑ
0,0
FMxy
FMϑ
FMz
−0,1
z
z
τ < τr
−0,2
0
π/4
xy
τr < τ < τr
π/2 0
π/4
π/2 0
Azimutwinkel ϑ
xy
τ > τr
π/4
π/2
Abbildung 24: Winkelabhängiger Anteil der freien Energie pro Spin f (τ , ϑ) − f (τ , π /2)
und die ersten zwei Anteile K2 (τ ) und K4 (τ ) der TAYLORreihe (4.44) für verschiedene
Temperaturen τ um τr für Parametersatz PNi . Die Temperaturen betragen τ = 0,614
(FM xy ), τ = 0,678 (FMϑ ) und τ = 0,747 (FM z ). Der Gleichgewichtswinkel ist durch einen
Kreis markiert.
wird für eine Reihe von Winkeln ϑ ∈ [0, π /2] bestimmt und mit der Methode der
kleinsten Fehlerquadrate an eine TAYLORreihe in cos 2 ϑ von der Form
f (τ , ϑ) = f (τ , π2 ) −
∞
∑ K2n (τ ) cos2n ϑ
(4.44)
n=1
angepaßt. Die ungeraden Terme verschwinden wegen der Inversionssymmetrie. Die
so bestimmten Koeffizienten sind die gesuchten temperaturabhängigen effektiven
Anisotropien Kn (τ ). Eine weitere Minimierung von f (τ , ϑ) nach ϑ liefert die freie
Energie pro Spin in Molekularfeldnäherung FMF (τ ) aus Gleichung (4.5).
Der so berechnete winkelabhängige Anteil f (τ , ϑ) − f (τ , π /2) der freie Energie pro Spin ist zusammen mit den ersten zwei Entwicklungskoeffizienten K2 (τ )
und K4 (τ ) in Abbildung 24 für drei Temperaturen um τr dargestellt. Die höheren
Ordnungen K6 (τ ) und K8 (τ ) wurden ebenfalls bestimmt, sind jedoch im gesamten
Temperaturbereich zwei bzw. vier Größenordnungen kleiner als K4 (τ ) und können
deshalb vernachlässigt werden. In Abbildung 24 wurde der Parametersatz PNi verwendet, der an experimentell bestimmte Daten für Nickel angepaßt wurde (siehe
Abschnitt 4.6.3).
71
4 Molekularfeldtheorie
Der größte Beitrag zu f (τ , ϑ) − f (τ , π /2) wird vom quadratischen Term proportional zu K2 (τ ) geliefert, während K4 (τ ) etwa eine Größenordnung kleiner ist. Für
τ < τrz ist das Minimum von f (τ , ϑ) bei ϑ = π /2 und die Magnetisierung liegt in
xy
der Ebene. Wenn τrz < τ < τr ist, befindet sich das System in der gekippten Phase
xy
FMϑ , und für τ > τr steht die Magnetisierung senkrecht.
Die zwei Spinreorientierungstemperaturen können durch die effektiven Anisotropien Kn (τ ) ausgedrückt werden. Die Phase FM xy wird instabil, wenn die zweite
Ableitung der freien Energie nach dem Winkel ϑ an der Stelle π /2 verschwindet.
Dann tritt eine senkrechte Magnetisierung m z 6= 0 auf und das Minimum (der Kreis
in Abbildung 24) wandert nach links. Für die Phase FM z gilt entsprechendes. Also
folgt
dϑ2 f (τrz , π2 ) = dϑ2 f (τrxy , 0) = 0.
(4.45)
Für die zweite Ableitung von (4.44) erhält man
dϑ2 f (τ , π2 ) = −2K2 (τ )
dϑ2 f (τ , 0) = 2
(4.46a)
∞
∑ nK2n (τ )
(4.46b)
n=1
und somit unter Vernachlässigung der höheren Ordnungen von Kn (τ ) die Bedingung
K2 (τrz ) = 0
K2 (τrxy )
+
2K4 (τrxy )
= 0.
(4.47a)
(4.47b)
Man kann analog zu der Berechnung der Phasengrenze im Grundzustand in
Kapitel 3.1 die effektive Anisotropie K2 (τ ) noch auf eine andere Weise berechnen
[H UCHT und U SADEL, 1999a]. Hierzu entwickelt man die Funktion F (τ , ϑ) in eine
TAYLORreihe um einen stationären Punkt ϑ̃p mit p =⊥, k und erhält
1
F (τ , ϑ̃ p + δϑ) = F (τ , ϑ̃ p ) + δϑ · C(τ , ϑ̃ p ) · δϑ + O(|δϑ|)3
2
(4.48)
mit der H ESSEmatrix der freien Energie bezüglich der Winkel ϑλ an einem stationären Punkt (vgl. Gleichung (3.4))
C(τ , ϑ̃ p ) = ∂ϑ2 F (τ , ϑ̃ p ).
(4.49)
Der lineare Term in der Entwicklung (4.48) tritt aufgrund der Stationarität nicht auf.
p
Der Eigenvektor u0 zum kleinsten Eigenwert
(4.50)
ηp (τ ) = ewmin C(τ , ϑ̃ p )
72
4.6 Dickere diskrete Filme
beschreibt die Richtung, in die das System am leichtesten auszulenken ist; dies ist
p
die nahezu kohärente Rotation aller Spins, d. h. u0 ≈ 1. Deshalb kann man ηp (τ )
mit den zweiten Ableitungen der freien Energie aus Gleichung (4.43) identifizieren
und analog zu den Gleichungen (4.46) schreiben
1
K2 (τ ) = − ηk (τ )
2
1
K2 (τ ) + 2K4 (τ ) = + η⊥ (τ ).
2
(4.51a)
(4.51b)
Beide Methoden wurden auf dem Rechner implementiert und ergeben übereinstimmende Ergebnisse für K2 (τ ). Während der Vorteil der ersten Methode ist, daß
man auch höhere Terme der TAYLORentwicklung (4.44) berechnen kann, kann mit
der zweiten Methode K2 (τ ) allein aus Größen am stationären Punkt ξ̃ k berechnet
werden. Die zweite Methode eignet sich deshalb auch für die störungstheoretische
Behandlung und wird in Kapitel 6.3 nochmals aufgegriffen.
4.6.2
Das Fe-artige System
In diesem Abschnitt werden zunächst die effektiven Anisotropien Kn (τ ) für ein System berechnet, das einen normalen Spinreorientierungsübergang von senkrechter
zu planarer Magnetisierung mit wachsender Temperatur durchläuft. Ein experimentelles Modellsystem hierfür ist Fe/Ag(100). Die verwendeten Energiekonstanten J,
ω und Dλ werden von Eisen abgeleitet, allerdings wird ein einfach kubisches Gitter
vorausgesetzt. Eine Erweiterung auf andere kubische Gitter erfolgt in Kapitel 7.3.
Die Austauschenergie J kann aus der C URIEtemperatur von kubisch raumzentriertem Eisen im Volumen TcFe ≈ 1044 K bestimmt werden [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN,
1986]. Mit der kritischen Temperatur des isotropen H EISENBERGmodells in Molekularfeldtheorie
Tc =
J z̃
3
(4.52)
und der Anzahl nächster Nachbarn auf dem einfach kubischen Gitter z̃ek = 6 erhält
man
J Fe ≈ 45,0 meV ≈ 2650ωFe .
(4.53a)
Diese Abschätzung der Austauschwechselwirkung ist für die folgende Betrachtung
ausreichend, da der genaue Wert von J nahezu keinen Einfluß auf die folgenden
Ergebnisse hat, solange J groß gegen die auftretenden Anisotropieenergien ist.
Zur Bestimmung der Dipolenergie ωFe benötigt man das effektive magnetische
Moment von Eisen, welchen mit dem Wert im Volumen µ Fe ≈ 2,22µB angesetzt
73
4 Molekularfeldtheorie
xy
m
z
m
K2
K4
3,0
2,0
0,5
1,0
0,0
0,0
Anisotropie Kn/ω
Magnetisierung m
1,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 25: Komponenten der Magnetisierung mxy (τ ) und mz (τ ) und effektive Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) über der Temperatur für ein Fe-artiges System mit den Parametern
PFe .
wurde [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 1]. Der nächste Nachbarabstand ann von Eisen
beträgt etwa aFe
nn ≈ 0,25 nm [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 2]. Somit erhält man mit
Gleichung (1.10)
ωFe ≈ 17 µeV
(4.53b)
und somit J Fe ≈ 2650ωFe .
Die Oberflächenanisotropiekonstante hat in kubisch raumzentrierten Fe(001)
Filmen bei Raumtemperatur den Wert K s ≈ 0,5 − 1,5 mJ /m2 [H EINRICH et al., 1991;
DE J ONGE et al., 1994], hieraus wurde für T = 0 der Wert
D1Fe ≈ 650 µeV ' 37ωFe
(4.53c)
abgeleitet. Innerhalb der Filme wird wegen der kubischen Symmetrie keine uniaxiale Anisotropie gefunden (vgl. Kapitel 1.1.3), d. h.
DvFe = 0.
(4.53d)
Mit diesen Parametern erhält man in der Molekularfeldtheorie für einen Film der
Dicke L = 4 Monolagen eine kritische Temperatur von TcFe ' 1,8721J Fe .
74
4.6 Dickere diskrete Filme
Für diese Parameter sind in Abbildung 25 die Komponenten der Gesamtmagnetisierung m xy (τ ) und m z (τ ) sowie die effektiven Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ )
dargestellt. Die gekippte Phase FMϑ ist schmaler als für Parametersatz PL=2 und hat
eine Breite von ∆τr ' 3,1% der kritischen Temperatur. K2 (τ ) ist für tiefe Temperaturen zunächst positiv und hat eine Nullstelle bei τrz , bei der m z (τ ) verschwindet.
Zwischen τrz und τc ist K2 (τ ) negativ. Die Anisotropie K4 (τ ) hat ein einfacheres Temperaturverhalten, es gilt in guter Näherung K4 (τ ) ∝ (1 − τ )2 . Es ist bemerkenswert,
daß schon im Grundzustand τ = 0 eine Anisotropie vierter Ordnung gefunden
wird, die bei diesen Parametern einen Anteil von 8,3% an der Gesamtanisotropie
K = K2 + K4 ausmacht. Dies zeigt, daß eine experimentell bestimmte Anisotropie
vierter Ordnung K4 (0) 6= 0 nicht notwendigerweise impliziert, daß in dem betrachteten System mikroskopische Anisotropien vierter Ordnung ∝ s4z vorhanden sind.
Vielmehr muß die immer auftretende Nichtkollinearität der Magnetisierung bei der
Bestimmung mikroskopische Parameter berücksichtigt werden.
4.6.3
Das Ni-artige System
In diesem Abschnitt wird die Analyse für ein System mit den Eigenschaften von
Ni/Cu(001) durchgeführt, in dem ein umgekehrter dicken- [S CHULZ und B A BERSCHKE, 1994] und temperaturabhängiger [FARLE et al., 1997a,c] Spinreorientierungsübergang gefunden wird. Aus dem effektiven magnetischen Moment im
Volumen µ Ni ≈ 0,62µB [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 1], dem nächste Nachbarabstand aNi
nn ≈ 0,25 nm [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 2] und der C URIE temperatur von
Nickel im Volumen TcNi ≈ 631 K [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN, 1986] erhält man hier
ωNi ≈ 1,3 µeV
J Ni ≈ 27 meV ≈ 2 × 104ωNi .
(4.54a)
(4.54b)
Die lokale uniaxiale Volumenanisotropiekonstante Dv wurde aus dem Grenzwert
T → 0 der Größe K2v ( T ) in [B ABERSCHKE, 1996, Abb. 10] zu
DvNi = K2v (0) ≈ 40 µeV ' 30ωNi
(4.54c)
bestimmt. Für die mittlere Oberflächenanisotropiekonstante Ds̄ = ( Ds + Di )/2
erhält man aus derselben Arbeit
Ds̄Ni = K2s (0) ≈ −100 µeV ' −75ωNi .
(4.54d)
Da keine genauen Daten über die Anteile Di der Grenzfläche Ni/Cu und Ds der
Oberfläche Ni/Vac zum Vakuum bekannt sind5 , wird der Einfachheit halber vor5
Für den Oberflächen- und Grenzflächenanteil von Ni/Cu(001) variieren die experimentellen
Daten von K2s (300 K) ≈ −73 µeV und K2i (300 K) ≈ −53 µeV [O’B RIEN et al., 1996] bis zu
75
4 Molekularfeldtheorie
1,0
0,5
0,0
0,0
xy
m
z
m
K2
K4
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
Anisotropie Kn/ω
Magnetisierung m
1,0
−1,0
1,0
Abbildung 26: Komponenten der Magnetisierung mxy (τ ) und mz (τ ) und effektive Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) über der Temperatur für ein Ni-artiges System mit den Parametern
PNi .
ausgesetzt, daß die Grenzflächenlage die Volumenanisotropie trägt (Di = 0) und
somit
DsNi = 2Ds̄Ni ≈ −200 µeV ' −150ωNi
(4.54e)
ist.
In Ni/Cu(001) tritt der schichtdickenabhängige Spinreorientierungsübergang
bei etwa sieben Monolagen auf [S CHULZ und B ABERSCHKE, 1994], in der vorliegenden Rechnung wird jedoch ein System mit L = 4 Schichten betrachtet. Berücksichtigt man zusätzlich die unterschiedliche Gitterstruktur, reduziert sich DsNi auf
etwa −100ωNi und man erhält für die uniaxiale Anisotropiekonstante in der obersten Lage
D1Ni = DvNi + DsNi ≈ −70ωNi .
(4.54f)
Aus diesen Parametern ergibt sich in der Molekularfeldtheorie eine kritische Temperatur von TcNi ' 1,873J Ni . Ein Vergleich mit TcFe aus dem vorigen Abschnitt zeigt,
daß die hier verwendeten Anisotropien in der Molekularfeldtheorie nahezu keinen
Einfluß auf die C URIEtemperatur haben.
K2s (300 K) ≈ −150 µeV und K2i (300 K) ≈ −80 µeV [VAN D IJKEN et al., 1999]. Der Grund hierfür
ist wahrscheinlich die unterschiedliche Ober- und Grenzflächenbeschaffenheit der Proben.
76
4.6 Dickere diskrete Filme
Die mit diesen Parameter berechneten Komponenten der Gesamtmagnetisierung
und die effektiven Anisotropien sind in Abbildung 26 gezeigt. Das System zeigt
einen Spinreorientierungsübergang von planarer Orientierung bei niedrigen Temperaturen zu senkrechter Orientierung bei höheren Temperaturen. Dies ist in Übereinstimmung mit den Messungen an Ni/Cu(001) von FARLE et al. [1997a,c]. Nun ist
K2 (τ ) bei tiefen Temperaturen negativ und wächst an, um bei τrz einen Nulldurchgang zu haben. Die Größe ist dann positiv und verschwindet bei τc . Die Anisotropie
K4 (τ ) ist wie im Fe-artigen System proportional zu (1 − τ )2 , das Temperaturverhalten wird also kaum von der Verteilung der Anisotropiekonstanten beeinflußt.
77
5
Monte Carlo-Simulation
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang bei endlichen Temperaturen mit Hilfe von Monte Carlo-Simulationen analysiert [H UCHT et al., 1995]. Insbesondere wird die Fragestellung untersucht, welche Systemeigenschaften Auswirkung auf die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs haben und inwieweit die
Ergebnisse der Molekularfeldtheorie in Kapitel 4 mit Monte Carlo-Simulationen
übereinstimmen. In den Simulationen wird die H AMILTONfunktion
H=−
J
ω
si · s j + ∑ si · W(ri j ) · s j − ∑ Dλi (siz )2
∑
2 hi ji
2 ij
i
(5.1)
betrachtet, d. h. äußere Magnetfelder B und Anisotropien vierter Ordnung Eλ werden gegenüber (1.21) nicht berücksichtigt. Die Auswirkung dieser Anteile werden
in Kapitel 4 bzw. in Kapitel 7 im Rahmen einer Molekularfeldnäherung behandelt.
5.1 Verwendete Methoden
5.1.1
Mittelwerte
In diesem Kapitel werden verschiedene Mittelwertbildungen unterschieden, die am
Beispiel der Magnetisierung pro Spin m erläutert werden sollen. Aus einer Spinkonfiguration s = (s1 , . . . , s N ) eines Systems von N Spins kann der Systemmittelwert
der Magnetisierung
m(s) =
1
N
N
∑ si
(5.2)
i=1
berechnet werden. Während der Simulation wird zu jedem Zeitschritt t eine Spinkonfiguration st erzeugt, deren Generierungswahrscheinlichkeit der B OLTZMANNverteilung (1.1) genügt. Für den Systemmittelwert der Magnetisierung (5.2) erhält
man eine implizit temperaturabhängige Zeitreihe mt = m(st ) mit dem zeitlichen
Mittelwert
m( T ) = hmt it ( T ) = lim
1
ttot
∑ mt .
ttot →∞ ttot
t=1
78
(5.3)
5.1 Verwendete Methoden
Für den thermodynamischen Erwartungswert der Magnetisierung pro Spin im
Gleichgewicht gilt (vgl. Kapitel 1.1.1)
meq ( T ) = hm(s)ieq ( T ) =
1
Sp [e−βH(s) m(s)].
Z( T ) s
(5.4)
Thermodynamische Erwartungswerte werden in diesem Kapitel mit h · ieq bezeichnet, und bei zeitlichen Mittelwerten h · it wird der Index t meist weggelassen.
Der verwendete Algorithmus heißt ergodisch, wenn das Zeitmittel (5.3) gleich
dem Scharmittel (5.4) ist [z. B. B INDER und H EERMANN, 1988]. Dies muß gewährleistet sein, damit die in der Simulation berechneten zeitlichen Mittelwerte mit den
gesuchten thermodynamischen Erwartungswerten übereinstimmen. So ist z. B. für
das I SINGmodell eine lokale Spinflipdynamik bei T = 0 nicht ergodisch, da sie auch
in endlichen Systemen nicht von einem Grundzustand in den anderen führt und
sich m(0) = ±1 ergibt, während meq (0) = 0 ist.
Will man in einem endlichen System mit der Hilfe von Mittelwerten des Ordnungsparameters Aussagen über den Ordnungsparameter des unendlichen Systems
machen, muß man eine der Symmetrien des Systems brechen, da in endlichen Systemen im feldfreien Fall1 der Erwartungswert des Ordnungsparameters immer
verschwindet2 . So kann z. B. in einem Ferromagneten die Inversionssymmetrie der
H AMILTONfunktion H(s) = H(−s) durch Anlegen eines Magnetfeldes oder die
Inversionsantisymmetrie des Ordnungsparameters m(s) = −m(−s) durch Betragsbildung gebrochen werden. In Simulationen wird üblicherweise letzteres verwendet
und der Betrag der Zeitreihe des Ordnungsparameters gemittelt. Wenn außerdem
die betrachtete H AMILTONfunktion rotationssymmetrisch in der xy-Ebene ist, erhält
man als Meßgrößen
m̃z ( T ) := h|mtz |it ( T )
q
x 2
y 2
xy
(mt ) + (mt )
( T ).
m̃ ( T ) :=
(5.5a)
(5.5b)
t
Diese einfache Betrachtung ist allerdings nicht immer ausreichend, um das System richtig zu beschreiben. Speziell bei Phasenübergängen erster Ordnung kann
der Sprung im Ordnungsparameter durch die Mittelwertbildung verbreitert werden und wie ein kontinuierlicher Übergang aussehen. So wurde mit Hilfe dieser
Mittelwerte die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs in der Monolage falsch
bestimmt [C HUI, 1994, 1995] (vgl. Kapitel 5.2). Eine zuverlässigere Auswertung ist
mit den nun beschriebenen Histogrammen möglich [H UCHT et al., 1995].
1
Mit “Feld” ist das zum Ordnungsparameter konjugierte Feld gemeint, also im Ferromagneten das
äußere Magnetfeld.
2
Da H(s) = H(−s) und m(s) = −m(−s), folgt meq = hm(s) − m(−s)ieq /2 = 0
79
5 Monte Carlo-Simulation
5.1.2
Histogramme
Der größte Teil der Datenauswertung in diesem Teil der Arbeit basiert auf der
Analyse von Wahrscheinlichkeitsdichten der Zeitreihen von Meßgrößen At bei der
Temperatur T
h( A, x, T ) = lim
1
ttot
∑ δ ( At − x),
ttot →∞ ttot
t=1
(5.6)
wobei δ ( x) die D IRACsche δ-Distribution ist. Wenn der verwendete Algorithmus
ergodisch ist, entspricht die Dichte (5.6) der gesuchten thermodynamischen Gleichgewichtsverteilung
peq ( A, x, T ) = hδ ( A(s) − x)ieq ( T )
(5.7)
der Größe A(s).
Die Wahrscheinlichkeitsdichte (5.6) kann bei endlicher Meßzeit ttot näherungsweise durch ein Histogramm mit diskreter Schrittweite ∆x
h∆x,ttot ( A, x, T ) =
1
∆x ttot
ttot
∑ δb
t=1
At
∆x
e,b ∆xx e
(5.8)
mit dem K RONECKERsymbol δi j ausdrückt werden. Hier bedeutet das Symbol b xe
Rundung auf die nächste ganze Zahl n gemäß
(5.9)
b xe = max n | n ∈ Z ∧ n ≤ x + 12 .
Die explizite Angabe der Schrittweite und der Meßzeit an h∆x,ttot ( A, x, T ) wird im
folgenden weggelassen. Weiterhin wird von nun an die freie Variable x in h( A, x, T )
nicht mehr explizit angegeben und stattdessen h( A, T ) geschrieben. Man beachte,
daß mit dieser Konvention die Histogramme h( A, T ) und h( B, T ) unterschiedliche
Funktionen sind; h( A, T ) ist das Histogramm der Zeitreihe der Größe At und h( B, T )
das von Bt , beide berechnet mit bei der Temperatur T erzeugten Zeitreihen.
Das Histogramm (5.8) ist wie die Wahrscheinlichkeitsdichten (5.6, 5.7) normiert,
also gilt
Z∞
dA h( A, T ) = 1.
(5.10)
−∞
Mit Hilfe des Histogramms h( A, T ) kann man das Zeitmittel h · it ( T ) einer beliebigen Funktion f ( At ) der Größe At berechnen, da
f ( A, T ) = h f ( At )it ( T ) =
Z∞
−∞
80
dA f ( A) h( A, T ).
(5.11)
5.1 Verwendete Methoden
T<<Tc
T < Tc
T ≈ Tc
T > Tc
T>>Tc
2. Ordnung
10
Histogramm h(m)
5
0
10
T<<Tc1.
Ordnung
T>>Tc
5
T>Tc
T≈Tc
0
−1,0
0,0
1,0
Magnetisierung m
Abbildung 27: Schematische Darstellung der Histogramme des Ordnungsparameters h(m)
für verschiedene Temperaturen um Tc bei einem Phasenübergang 2. Ordnung (oben) und
1. Ordnung (unten) in einem endlichen System. Die Pfeile deuten an, wie sich die Maxima
bei Tc mit wachsender Temperatur verschieben.
So ist z. B. der zeitliche Mittelwert der z-Komponente der Magnetisierung aus (5.3)
m (T) =
z
hmtz it ( T )
=
Z1
dm z m z h(m z , T ).
−1
Betrachten wir nun ein System mit skalarem Ordnungsparameter (OP) m in
der Nähe eines Phasenübergangs, bei dem die Spininversionssymmetrie gebrochen
wird, so ist der entscheidende Vorteil der Histogramme, daß man mit dem Histogramm h(m, T ) des OPs in der Nähe der Übergangstemperatur Tc die Ordnung des
Phasenübergangs bestimmen kann. Hierzu betrachten wir h(m, T ) für ein System
mit N Spins. In der Tieftemperaturphase (T < Tc ) hat der OP des unendlich ausgedehnten System (N → ∞) den Wert ±m( T ), während in endlichen Systemen kein
Phasenübergang auftritt und m = 0 ist. Trotzdem hat h(m, T ) im endlichen System
zwei Maxima nahe m = ±m( T ). In der Hochtemperaturphase (T > Tc ) verschwindet der OP im thermodynamischen Limes N → ∞, das Histogramm h(m, T ) des
endlichen Systems hat ein Maximum bei m = 0.
81
5 Monte Carlo-Simulation
Der Unterschied zwischen einem Phasenübergang erster und zweiter Ordnung
äußert sich in der Form der Histogramme und ihrem Temperaturverhalten in der
Nähe von Tc und ist in Abbildung 27 dargestellt. Bei einem Übergang zweiter
Ordnung verschwindet der OP kontinuierlich, in den Histogrammen verschieben
sich die zwei Maxima zur Mitte und verschmelzen dort bei T = Tc . Bei einem
Übergang erster Ordnung hingegen kann das System bei Tc sowohl in der Hochals auch in der Tieftemperaturphase sein, und der OP kann im thermodynamischen
Limes die drei Werte m( Tc ) = ±m∗ und m( Tc ) = 0 annehmen. Im endlichen System
hat das Histogramm h(m, T ) in der Nähe von Tc in diesem Fall drei Maxima, je eins
nahe m = ±m∗ und eins bei m = 0, wobei die Fläche unter dem Maximum bei null
mit wachsender Temperatur anwächst und die Fläche unter den beiden anderen
Maxima abnimmt.
Im folgenden werden Histogramme der z-Komponente der Magnetisierung
h(m z ) sowie Histogramme des Azimutwinkels der Magnetisierung h(ϑ) betrachtet.
Im isotropen H EISENBERGmodell können die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen (5.7) analytisch berechnet werden. Da die Magnetisierung des Systems
im isotropen Fall keine Vorzugsrichtung hat, ist die z-Komponente im thermodynamischen Limes gleichverteilt im Intervall [−m( T ), m( T )], denn für die Wahrscheinlichkeitsverteilung (5.7) von mz gilt
1
peq (m , T ) =
2
Zπ
z
=
dϑ sin ϑ δ m z − m( T ) cos ϑ
0
1 Θ m z + m( T ) − Θ m z − m( T )
2m( T )
(5.12)
mit der H EAVYSIDEfunktion Θ( x) (vgl. Abbildung 32, Fall D1 = 0).
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung peq (ϑ, T ) des Azimutwinkels ϑ der Magnetisierung lautet im isotropen Fall
1
peq (ϑ, T ) =
2
Zπ
dϑ0 sin ϑ0 δ (ϑ − ϑ0 )
0
1
= sin ϑ Θ(π − ϑ) − Θ(−ϑ) .
2
(5.13)
Um die Auswertung dieser Größe zu vereinfachen, werden die Histogramme h(ϑ)
mit dem Faktor 1/ sin ϑ gewichtet, damit sich im isotropen Fall ebenfalls eine
konstante Verteilung ergibt.
Zusätzlich zu der Datenauswertung mit Histogrammen wurden verschiedene
Methoden implementiert, um die Simulation zu beschleunigen. Diese werden nun
beschrieben.
82
5.1 Verwendete Methoden
5.1.3
Die Methode der lokalen Felder
In der Monte Carlo-Simulation soll die langreichweitige Dipolwechselwirkung vollständig berücksichtigt werden, da das Abschneiden bei einem bestimmten Abstand
rmax schon im Grundzustand zu falschen Ergebnissen führen kann. So können die in
Kapitel 3.2 berechneten Streifendomänen nur dann in der Simulation gefunden werden, wenn die benutzte Reichweite der Dipolwechselwirkung mindestens so groß
ist wie die Breite der Domänen. Um die zeitaufwendige Berechnung der Dipolwechselwirkung zu optimieren, wurde folgendermaßen vorgegangen.
Bei einer lokalen Spinflipdynamik muß die Änderung der Gesamtenergie
H(s) 7→ H(s0 ) = H(s) + ∆H
(5.14)
unter der Änderung eines Spins am Platz k
sk 7→ s0k = sk + ∆sk
(5.15)
berechnet werden. Dann wird mit dem M ETROPOLISalgorithmus entschieden, ob
die Änderung angenommen wird [M ETROPOLIS et al., 1953]. Hierzu wird die Wahrscheinlichkeit
pM (∆H, T ) = min (1, e−β∆H )
(5.16)
berechnet, mit der die Änderung angenommen werden soll, sowie eine gleichverteilte Pseudozufallszahl r ∈ [0, 1[ auf dem Rechner erzeugt. Die Änderung (5.15)
wird genau dann akzeptiert, wenn r < pM (∆H, T ) ist.
Da die lokale uniaxiale Anisotropie quadratisch in si ist,
Di (siz )2 = Di (si · ẑ)( ẑ · si ) = Di si · ẑ2 · si ,
(5.17)
kann man sie in die Diagonalelemente Jii der Wechselwirkungsmatrix (5.19) hineinziehen und die H AMILTONfunktion (1.21) für ein System mit N = L x × L y × L Spins
formal in der Form
H=−
N
1 N
s
·
J
·
s
−
i
j
∑ B · si
ij
2 i,∑
j=1
i=1
(5.18)
mit der Wechselwirkungsmatrix
Ji j = Jbi j 1 − ωW̃( L, ri j ) + 2δi j Di ẑ2
(5.19)
schreiben. Dabei bezeichnet bi j die Anzahl der Bindungen zwischen den Spins si
und s j , und die effektive Dipolwechselwirkung W̃( L, ri j ) zweier Spins im Abstand
ri j in einem System mit Periodizitätsvolumen L aus Gleichung (2.39) wurde in Kapitel 2.2 berechnet. Die Bindungsanzahl bi j ist für nächste Nachbarn gleich 1 und sonst
83
5 Monte Carlo-Simulation
gleich 0, kann jedoch in sehr kleinen Systemen (L x,y ≤ 2) wegen der periodischen
Randbedingungen in der xy-Ebene auch größer als 1 sein, falls zwei Spins über verschiedene Ränder miteinander wechselwirken. So ist in dem Extremfall L x = L y = 1
die Anzahl b11 = 4, da der (einzige) Spin s1 in der xy-Ebene vier Bindungen mit sich
selbst hat.
Für die Energieänderung ∆H in Gleichung (5.14) folgt
N
1
∆H = −∆sk · ∑ Jk j · s j − ∆sk · Jkk · ∆sk − B · ∆sk ,
2
j=1
(5.20)
da Ji j = J ji . Der Aufwand für die Berechnung dieser Energieänderung ist von der
Ordnung O( N ) und kann erheblich beschleunigt werden, wenn man berücksichtigt,
daß speziell bei tiefen Temperaturen die Akzeptanzhäufigkeit
kflip =
Anzahl der Spinflips
Anzahl der Spinflipversuche
(5.21)
niedrig ist. Hierzu schreibt man den Einfluß der Wechselwirkung mit den Spins s j
und des äußeren Feldes B auf den Spin si als lokales Feld
N
hi = 2B + ∑ Ji j · s j ,
(5.22a)
j=1
wodurch die H AMILTONfunktion (5.18) die einfache Form
H=−
1 N
hi · si
2 i∑
=1
annimmt. Nun kann man die Energieänderung (5.20) als
1
∆H = B − hk − ∆sk · Jkk · ∆sk
2
(5.22b)
(5.23)
schreiben und mit O(1) Operationen berechnen, wenn das lokale Feld hk bekannt
ist. Wenn ein Spinflipversuch (SFV) akzeptiert wird, müssen allerdings alle lokalen
Felder hi gemäß
∀hi : hi 7→ hi0 = hi + Jik · ∆sk
(5.24)
aktualisiert werden. Dies sind O( N ) Operationen. Man benötigt also für einen Monte Carlo-Schritt (MCS), d. h. für einen Spinflipversuch pro Spin, nop = kflip ( T ) c1 N 2
anstatt nop = c2 N 2 Operationen und beschleunigt somit den Algorithmus durch
−1
( T ), da die beiden ProVerwendung von lokalen Feldern etwa um den Faktor kflip
portionalitätskonstanten c1 und c2 von gleicher Größenordnung sind.
84
5.1 Verwendete Methoden
0,7
Akzeptanzhäufigkeit
0,6
0,5
0,4
kflip
dTkflip
≈Tc
≈Tr
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Temperatur T/J
Abbildung 28: Die Akzeptanzhäufigkeit der Spinflipversuche kflip ( T ) (5.21) steigt monoton
mit der Temperatur und beträgt am Spinreorientierungsübergang Tr etwa 3%, deren Temperaturableitung d T kflip ( T ) zeigt bei Tr und bei der C URIEtemperatur Tc ein Maximum.
Parametersatz PLb =1 mit Systemgröße Lk = 16.
Die Akzeptanzhäufigkeit kflip ( T ) ist abhängig von der verwendeten Aktualisierungsregel. In dieser Arbeit wurde nur die Regel verwendet, daß bei einem SFV
der betreffende Spin eine zufällige neue Richtung erhält. Die für diese Regel erhaltene Akzeptanzhäufigkeit ist in Abbildung 28 dargestellt. Die Parameter dieser
Simulation stammen aus Parametersatz PLb =1 . Bei diesem Parametersatz tritt bei
Tr ≈ 0,135J ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu paralleler Magnetisierung auf, der in Abschnitt 5.2 detailliert untersucht wird; die C URIEtemperatur
beträgt Tc ≈ 0,78J. Da kflip ( Tr ) ≈ 0,03 ist, beschleunigt die Verwendung lokaler
Felder die Simulation am Spinreorientierungsübergang etwa um den Faktor 30.
Interessanterweise kann man beide kritischen Temperaturen Tr und Tc in der
Temperaturableitung d T kflip ( T ) der Akzeptanzhäufigkeit, die ebenfalls in Abbildung 28 abgebildet ist, als Maximum identifizieren, welches mit wachsender Systemgröße immer ausgeprägter wird. Die Akzeptanzhäufigkeit verhält sich somit
qualitativ wie die innere Energie U und infolgedessen d T kflip wie die spezifische
Wärme C = d T U . Diese Analogie wurde in dieser Arbeit jedoch nicht weiter untersucht.
85
5 Monte Carlo-Simulation
5.1.4
Der globale Spinflip
Mit Hilfe der Monte Carlo-Simulation soll der Spinreorientierungsübergang untersucht werden, bei dem die Magnetisierung m( T ) des Systems mit wachsender
Temperatur die Richtung von senkrecht zur Filmebene m( T ) k ẑ nach parallel zur
Filmebene m( T ) ⊥ ẑ ändert. Molekularfeldrechnungen zeigen, daß der Übergang
in der Monolage (L = 1) von erster Ordnung ist [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; M O SCHEL und U SADEL, 1995a] (vgl. Kapitel 4.5).
Solche temperaturgetriebenen Phasenübergänge erster Ordnung sind im Rahmen von Monte Carlo-Simulationen schwierig zu behandeln, da am Übergangspunkt Tc sowohl die Hoch- als auch die Tieftemperaturphase metastabil sind und
sich mit wachsender Systemgröße immer seltener ineinander umwandeln. Ein ähnlicher Effekt tritt auch bei der Simulation des ferromagnetischen I SINGmodells mit
lokaler Spindynamik auf, wo die Phasengrenzlinie (B = 0, T < Tc ) ebenfalls von
erster Ordnung ist und Übergänge von dem Zustand mit positiver Magnetisierung
in den Zustand mit negativer Magnetisierung mit wachsender Systemgröße exponentiell selten werden [z. B. B INDER und H EERMANN, 1988]. Im I SINGmodell ist
dieser Übergang allerdings feldgetrieben und symmetrisch; die beiden Tieftemperaturphasen resultieren aus der Spininversionssymmetrie der zugehörigen H AMIL TONfunktion, die auf der Phasengrenzlinie (B = 0, T < Tc ) gebrochen ist. Die lange
Umwandlungszeit stellt deshalb in der Simulation kein Problem dar, da sich die
zwei Phasen nur durch das Vorzeichen der Magnetisierung voneinander unterscheiden.
In dem hier behandelten Modell ist der Übergang jedoch temperaturgetrieben
und nicht symmetrisch. Man muß also dafür sorgen, daß man in der Simulation
effizient zwischen der Tieftemperaturphase FMz mit senkrechter Magnetisierung
und der Hochtemperaturphase FM xy mit planarer Magnetisierung wechseln kann.
Dieses Problem wurde wie folgt gelöst: Der führende Energiebeitrag der H AMIL TONfunktion (5.1) stammt vom Austauschanteil H0 (1.21b) und ist in der Simulation etwa eine Größenordnung größer als die anderen Beiträge. Es wäre deshalb
wünschenswert, einen globalen Spinflip durchzuführen, der das System von einem
Zustand in FM z in einen Zustand in FM xy transformiert, ohne H0 zu ändern.
Dies ist tatsächlich möglich, da H0 isotrop bzw. rotationssymmetrisch ist und
n
Abbildung 29: Beim globalen Spinflip werden alle Spins an einer zufällig orientierten Ebene
(dünne Linie) mit dem Normalenvektor n gespiegelt.
86
5.1 Verwendete Methoden
deshalb nur von der relativen Lage der Spins zueinander abhängt. Deshalb ändert
sich die Austauschenergie H0 nicht, wenn man alle Spins einer unitären Transformation unterwirft. Zu diesen Transformationen gehören unter anderem Rotationen und
Spiegelungen an einer beliebigen Ebene. Da bei Rotationen nur mit großem Aufwand erreicht werden kann, daß die Testzustände gleichverteilt ausgewählt werden,
wurde ein globaler Spinflip eingeführt, der alle Spins an einer Ebene mit zufällig
orientiertem normierten Normalenvektor n̂ spiegelt [H UCHT et al., 1995], d. h.
∀si : si 7→ si0 = S(n̂) · si
mit S(n̂) = 1 − 2 n̂2 .
(5.25)
Die durch diesen globalen Spinflipversuch hervorgerufene Energieänderung
∆H = H(s0 ) − H(s)
(5.26)
wird wie die lokalen Spinflipversuche (5.15) mit dem Algorithmus von M ETROPO LIS et al. [1953] (5.16) behandelt. Um in der Implementation zu vermeiden, daß bei
einer Verwerfung der neuen Spinkonfiguration s0 die Spiegelung explizit wieder
rückgängig gemacht werden muß, werden zwei Kopien s(a) und s(i) des Systems
(i)
(a)
verwaltet und gemäß si = S(n̂) · si von der aktiven Kopie s(a) in die inaktive
Kopie s(i) gespiegelt. Wenn der Flipversuch angenommen wird, brauchen s(a) und
s(i) lediglich vertauscht zu werden.
Dieser globale Spinflip (GSF) ist ähnlich dem Cluster-Spinflip im Cluster-Algorithmus für das isotrope H EISENBERGmodell von W OLFF [1989], bei dem in jedem
Zeitschritt eine zusammenhängende Gruppe C von Spins gemäß (5.25) an einer zufälligen Ebene gespiegelt wird und wo ebenfalls die rotationsinvariant ausgenutzt
wird. Der W OLFFalgorithmus basiert wie der Algorithmus von S WENDSEN und
WANG [1987] auf einer Transformation von F ORTUIN und K ASTELEYN [1972], die
einen Zustand eines Spinsystems auf ein Perkolationsproblem [S TAUFFER, 1985] abbildet. Allerdings kann man den W OLFFalgorithmus aus zwei Gründen hier nur
schlecht verwenden: Zum einen sind wegen der langreichweitigen Dipolwechselwirkung alle Spins untereinander durch Bindungen gekoppelt. Der Rechenaufwand
für ein Cluster C mit c Spins steigt damit von cz Operationen auf cN Operationen,
wobei z die Anzahl der nächsten Nachbarn und N die Gesamtanzahl der Spins ist.
Zum anderen verletzen sowohl die uniaxiale Anisotropie als auch die Dipolwechselwirkung die Rotationsinvarianz der H AMILTONfunktion (5.18). Dies führt dazu,
daß selbst für ein erfolgreich bestimmtes Cluster C noch die Energiedifferenz der
inneren Cluster-Spins
∆HC = HC (s0 ) − HC (s)
(5.27a)
mit
HC (s) = −
1
si · J i j · s j − ∑ B · si
2 i,∑
j ∈C
i ∈C
(5.27b)
87
5 Monte Carlo-Simulation
Magnetisierung m
z
1
z
h(m )
Ohne globalen Spinflip
0
−1
1
0
2000
4000
Mit globalem Spinflip
6000
0
6000
8000
z
h(m )
0
−1
2000
4000
8000
MC−Zeit t
Abbildung 30: z-Komponente der Magnetisierung über der Zeit und Histogramm h(mz )
ohne und mit globalem Spinflip für Parametersatz PLb =1 mit Lk = 32 und T = 0,13J ≈ Tr .
Ein Zeitschritt entspricht einem globalen SFV und 256 MCS.
unter dem Cluster-Spinflip berechnet werden muß und dieser nur dann angenommen werden kann, wenn der M ETROPOLISalgorithmus (5.16) dies zuläßt.
Die Auswirkung des globalen Spinflips (5.25) auf die Äquilibrierung des Systems
am Spinreorientierungsübergang Tr ist in Abbildung 30 dargestellt. Das System gelangt ohne globalen SFV innerhalb der Simulationszeit nicht ins thermodynamische
Gleichgewicht, da das Histogramm h(m z ) noch deutlich asymmetrisch ist. Mit globalem SFV kann das System deutlich häufiger zwischen den zwei Tieftemperaturphasen FM + z bzw. FM− z und der planaren Hochtemperaturphase FM xy wechseln.
Für eine quantitative Analyse der verbesserten Äquilibrierung ist in Abbildung 31
die Autokorrelationsfunktion der z-Komponente der Magnetisierung
Γ zz (∆t) =
ttot − ∆t
1
mtz mtz+∆t
ttot − ∆t t∑
=1
(5.28)
dargestellt. Hieraus läßt sich die Autokorrelationszeit τ der senkrechten Magnetisierung bestimmen, da für hinreichend große Zeiten gilt
Γ zz (t) ∝ e−t/τ .
(5.29)
Für die betrachteten Parameter erhält man aus Abbildung 31 für das Verhältnis der
Autokorrelationszeiten ohne und mit GSF den Wert τo /τm ≈ 200, die Autokorrelationszeit τ wird also durch den globalen Spinflip etwa um den Faktor 200 verkürzt.
Man sieht an dem Verlauf von Γ zz (t) in der Simulation ohne globalem SFV auch
88
5.2 Die Monolage
zz
Autokorrelation Γ (∆t)
1,0
0,0
Ohne globalen Spinflip
Mit globalem Spinflip
∝ exp(−t/τo)
∝ exp(−t/τm)
−1,0
1
10
100
MC−Zeit ∆t
1000
10000
Abbildung 31: Der globale Spinflip reduziert die Autokorrelationsfunktion Γ zz (∆t) der
senkrechten Magnetisierung mtz aus Abbildung 30 etwa um den Faktor 200. Ohne GSF
gelangt das System innerhalb der Simulationszeit nicht ins thermodynamische Gleichgewicht. Für die dünnen Linien gilt τo = 3000 und τm = 15.
hier, daß das thermodynamische Gleichgewicht noch nicht erreicht ist, da Γ zz (t) innerhalb der Gesamtmeßzeit von ttot = 10000 Zeitschritten mit je einem GSF und 256
MCS nicht auf null abfällt, sondern sogar negativ wird. Das System befindet sich zu
lange in der Phase mit negativer Magnetisierung, was bereits an der Asymmetrie
des oberen Histogramms in Abbildung 30 zu erkennen war.
5.2 Die Monolage
Für den Fall der Monolage ist die Frage zu klären, ob der Spinreorientierungsübergang in der Monte Carlo-Simulation überhaupt auftritt und ob er in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; M OSCHEL und
U SADEL, 1995a] von erster Ordnung ist. Hierzu müssen zunächst sinnvolle Modellparameter gefunden werden.
89
5 Monte Carlo-Simulation
5.2.1
Skalierung der Anisotropiekonstanten
Im Experiment beträgt das Verhältnis von uniaxialer Oberflächenanisotropieenergie
zur Austauschenergie etwa 1% (D1 / J ≈ 1,4 × 10−2 in Eisen, vgl. Kapitel 4.6). Dieser
große Unterschied in der Energieskala bereitet in der Molekularfeldnäherung keine Probleme, da die Lösung der Molekularfeldgleichungen mit hoher numerischer
Genauigkeit durchgeführt werden kann. In einer Monte Carlo-Simulation endlicher
Systeme treten jedoch verschiedene statistische und systematische Fehler auf. Während die statistischen Fehler durch die endliche Simulationszeit verursacht werden
und durch lange Simulationen verringert werden können, stammen die systematischen Fehler aus der endlichen Systemgröße und schränken die möglichen Parameter ein: Bei der Analyse der Histogramme h(m z ) der Magnetisierungskomponente
mz an einem Spinreorientierungsübergang erster Ordnung muß gewährleistet sein,
daß sich das System deutlich häufiger in Zuständen mit maximalem h(m z ), also
z
)
mz = ±m z∗ und m z = 0, als in Zuständen mit minimalem h(m z ) (m z = mmin
befindet, damit man die Struktur des Histogramms noch auflösen kann. Eine Abz
z
)/h(mmin
) wird im folgenden beschrieben.
schätzung des Rauschabstandes h(mmax
Im thermodynamischen Gleichgewicht tritt bei der Temperatur T ein Zustand
der Energie H = H0 + H mit der Wahrscheinlichkeit p( T ) = Z( T )−1 e−H/T (1.1)
auf (kB = 1). Hier wurden mit
H = Hω + Hl
(5.30)
alle anisotropen Beiträge der H AMILTONfunktion (1.21a) zusammengefaßt und ein
formaler Störparameter eingeführt. Wir betrachten nun einen globalen Spinflipversuch bei T = Tr aus einem Zustand sa , der sich in einer der stabilen Phasen FM xy
z
oder FM± z befinden soll, in einen Zustand sb mit Magnetisierung mmin
in keiner der
stabilen Phasen. Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit in einem System mit N Spins beträgt
p a7→b = e− Nδa7→b /Tr
(5.31a)
mit der Energiedifferenz der beiden Zustände pro Spin
δ a7→b =
1
(H (sb ) − H (sa )) .
N
(5.31b)
Diese Größe kann für diese Diskussion als systemgrößenunabhängig angenommen
werden. An Gleichung (5.31a) sieht man, daß das Untergrundrauschen im Histogramm klein wird, wenn der Term N / Tr groß ist.
Um dies zu erreichen, wurde zunächst das Verhältnis D1 /ω knapp oberhalb des
kritischen Verhältnisses gewählt, bei dem in der Monolage im Grundzustand der
Spinreorientierungsübergang auftritt, damit Tr möglichst klein ist. In Kapitel 3.1
90
5.2 Die Monolage
5
L=4
L=8
D1 = 0,0 J
D1 = 0,1 J
0
5
L = 16
L = 32
D1 = 0,2 J
D1 = 0,4 J
z
0
h(|m |)
z
h(|m |)
5
5
0
0
10
1
z
Magnetisierung |m |
0
10
1
0
z
Magnetisierung |m |
Abbildung 32: Einfluß der Systemgröße L (links) sowie der Stärke der Anisotropien D1 und
ω mit konstantem D1 /ω ' 7,1 (rechts) auf die Histogramme des Betrags der senkrechten
Magnetisierung nahe Tr . Die Histogramme links sind bei T = 0,13J aus t = 2000
Zeitschritten bestimmt, rechts wurde bei T = 0,135J aus t = 8000 Messungen gemittelt.
Die Systeme wurden in allen Fällen mit mindestens 1000 Schritten äquilibriert. Parameter
wie in Abbildung 30.
wurde gezeigt, daß für L = 1 der Übergang bei der kritischen Anisotropiekonstan(1)
(1)
ten D1,r = 3ωΦ0 /4 ' 6,775ω (3.10) auftritt. Für D1 /ω & D1,r /ω befindet sich das
System deshalb für hinreichend tiefe Temperaturen in der Phase mit senkrechter
Magnetisierung. Aus diesem Grund ist der in den Parametersätzen der Monolage
PLa =1 und PLb =1 verwendete Wert D1 /ω ' 7,1 um 5,4% größer als der kritische Wert
(1)
D1,r .
Die Form der Histogramme für dieses Verhältnis sind für verschiedene lineare Systemgrößen Lk sowie für verschiedene Anisotropiestärken D1 und ω in Abbildung 32 dargestellt. Da wegen der langreichweitigen Dipolwechselwirkung die
Simulationszeit für einen MCS von der Ordnung O( L)4 ist, wurden Systeme mit
maximal N = 32 × 32 × 1 Spins simuliert. Somit wird die oben erläuterte Auflösung der Histogramme mit den Anisotropien D1 = 0,2J und ω = 0,028J erreicht,
dies entspricht Parametersatz PLb =1 .
5.2.2
Die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs
In Abbildung 33 ist die senkrechte Magnetisierung über der Zeit mtz sowie deren Histogramm h(m z ) für drei Temperaturen um Tr dargestellt. Die Systemgröße beträgt
91
5 Monte Carlo-Simulation
1
z
h(m )
T = 0,120 J < Tr
0
Magnetisierung m
z
−1
1
0
1000
T = 0,132 J ≈ Tr
2000
0
1000
T = 0,150 J > Tr
2000
3000
4000
z
h(m )
0
−1
1
3000
4000
z
h(m )
0
−1
0
1000
2000
3000
4000
MC−Zeit t
Abbildung 33: Senkrechte Magnetisierung über der Zeit mtz und Histogramm h(mz ) für
verschiedene Temperaturen um Tr . Parameter wie in Abbildung 30.
N = 32 × 32 × 1 Spins, ein Zeitschritt entspricht einem globalen SFV sowie 256
MCS. Im oberen Teil beträgt die Temperatur T = 0,12J < Tr , und man erkennt, daß
das System in der Tieftemperaturphase FM z mit senkrechter Magnetisierung ±m z
ist. Der globale Spinflip erlaubt es, effizient zwischen den beiden Phase wechseln. In
der mittleren Grafik beträgt die Temperatur T = 0,132J ≈ Tr . Hier treten zusätzlich
zu den Zuständen mit mtz ≈ ±m z∗ Zustände mit mtz ≈ 0 auf, die zu einem breiten
zentralen Maximum bei null im Histogramm h(m z ) führen. Aus dieser Form des
Histogramms folgt, daß der Phasenübergang in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie von erster Ordnung ist [H UCHT et al., 1995]. In der unteren Abbildung
hat die Temperatur den Wert T = 0,15J > Tr , die Magnetisierung mtz fluktuiert um
null und das System befindet sich in der Phase FM xy .
Um das Verhalten der Histogramme am Spinreorientierungsübergang besser zu
charakterisieren, sind in Abbildung 34 die Histogramme in der unmittelbaren Nähe der Übergangstemperatur Tr dargestellt. Da die Histogramme symmetrisch um
m = 0 sind, ist zur Verringerung des statistischen Fehlers h(|m z |) abgebildet. Die Histogramme ändern schon bei einer Temperaturänderung von 1/1000 deutlich ihre
Form, so daß Tr sehr genau bestimmt werden kann. Die Histogramme sind jeweils
92
5
T = 0,120 J
T = 0,130 J
T = 0,131 J
0
5
T = 0,132 J
T = 0,133 J
T = 0,134 J
0
5
T = 0,140 J
T = 0,150 J
c (T)
z
h(|m |)
5.2 Die Monolage
0
0
10
xy
1 0,12
z
T/J
1
0,15
0
Magnetisierung |m |
Abbildung 34: Histogramme des Betrags der senkrechten Magnetisierung h(|mz |) für
verschiedene Temperaturen nahe Tr . Die untere rechte Grafik zeigt den Anteil der planaren
Phase ĉ xy ( T ) (5.36), die der Fläche unter dem Maximum bei mz = 0 entspricht. Die
Systeme wurden mit mindestens 1000 Zeitschritten äquilibriert, die Parameter sind wie
in Abbildung 30. Die Rechenzeit betrug pro Temperatur etwa 10 CPU-Stunden auf einer
Workstation vom Typ IBM RS/6000 Modell 590.
aus etwa 8500 Zeitschritten mit je 256 MCS und einem globalen SFV bestimmt worden, wobei jeweils die ersten 1000 Messungen verworfen wurden; dies entspricht
etwa 2 × 106 MCS pro Temperatur. Die eingezeichneten Kurven sind Anpassungen
der Histogramme an die Funktion
m z − mk m z + mk z
xy xy
z
z z
z
F
.
(5.32)
ĥ(m ) = c ĥ (m ) + c ĥ (m ) F
σk
σk
Dabei bezeichnet F ( x) eine geeignet zu wählende Funktion, die das Histogramm
bei einem Wert mk auf einem Intervall der Breite σ k abschneidet, da m z nicht
wesentlich größer als der Betrag der Magnetisierung werden kann, wobei σ k die
longitudinalen Fluktuationen der Magnetisierung beschreibt. Für die Anpassung
wurde die Funktion
1
F ( x) =
(5.33)
1 + ex
verwendet. Die Beiträge ĥ xy (m z ) und ĥ z (m z ) beschreiben die Maxima der Phasen
FM xy und FM z mit den Gewichten cxy und cz . Für ĥ xy (m z ) wird eine auf dem
93
5 Monte Carlo-Simulation
Intervall [0, ∞] normierte G AUSSfunktionen angesetzt; allerdings wird nicht von
vornherein ausgeschlossen, daß das Maximum von null verschieden ist. Somit
ergibt sich
z z 2
z z 2 !
1 m −m0
1 m +m0
−
−
1
xy
2
σ xy
e
(5.34)
+e 2 σ
ĥ xy (m z ) = √
xy
2πσ
mit den Zentren ±m0z und der Breite σ xy . Das zweite Maximum nahe m ist nicht
symmetrisch, da m z die Projektion der Gesamtmagnetisierung auf die z-Achse
ist. Als geeignet in Verbindung mit der Abschneidefunktion F (5.33) hat sich der
exponentielle Ansatz
z
1 mzz
mz
z
z
−m
z
σ
σ
e +e
= cosh z
(5.35)
ĥ (m ) =
2
σ
mit der Breite σ z herausgestellt; die spezielle Wahl von ĥ(m z ) beeinflußt die Ergebnisse nur geringfügig. Da ĥ(m z ) normiert sein muß (5.10), verbleiben die sechs
Anpassungsparameter σ xy , σ z , σ k , cxy , m0z und mk . Hiervon ist besonders der Anteil
der planaren Phase cxy ( T ) interessant, der unten rechts in Abbildung 34 dargestellt
ist. Aus der ebenfalls eingezeichneten Approximation durch die Funktion
T − T
r
(5.36)
ĉxy ( T ) = F
∆Tr
ergibt sich die kritische Temperatur Tr / J ≈ 0,132 ± 0,001 sowie eine Breite des
Übergangsbereiches von ∆Tr ≈ 0,003J. Der Parameter m0z ist in allen Fällen kleiner
als 0,03, es liegt also eine reine planare Phase vor.
Die mittlere Magnetisierung mhz in den Phasen FM xy und FM z ergibt sich aus
den Schwerpunkten der entsprechenden Histogramme. Für FM xy folgt mhz = m0z .
Der Schwerpunkt von FM z wird folgendermaßen aus den Parametern berechnet:
Da σ k σ z ist (σ z ≈ 0,1 und σ k ≈ 0,003 für PLb =1 ), gilt in guter Näherung
ĥ z (m z ) ≈ cosh
mz
Θ(m − m z )
σz
(5.37)
mit der H EAVYSIDEfunktion Θ( x). Für die mittlere Magnetisierung mhz in der senkrechten Phase FM z erhält man
Z
mhz ≈
1
0
dm z m z ĥ z (m z )
Z
1
0
dm ĥ (m )
z
z
z
= mk − σ z tanh
mk
.
2σ z
(5.38)
Da die Breiten σ der Maxima des Histogramms proportional zur Suszeptibilität
in den beiden Phasen sind und da σ xy etwa dreimal größer als σ z ist, ergibt sich,
94
5.2 Die Monolage
daß die Suszeptibilität χ zz = ∂ Bz m z bei Tr mit wachsender Temperatur sprunghaft
zunimmt. Dies entspricht dem Verhalten der Bilage in Kapitel 4.3.2 und liegt darin
begründet, daß die transversalen Fluktuationen größer sind als die longitudinalen
Fluktuationen. Eine genauere Untersuchung der Suszeptibilität mit Monte CarloSimulationen wurde von M ALY [1999] durchgeführt.
Eine analoge Auswertung kann für die planare Komponente der Magnetisierung
xy
xy
m durchgeführt werden. Diese so bestimmten Größen mhz ( T ) und mh ( T ) werden
nun mit einer herkömmlichen Berechnung durch Mittelwerte verglichen.
5.2.3
Vergleich mit anderen Arbeiten
Während man wie oben gezeigt aus den Histogrammen auf einen Phasenübergang
erster Ordnung schließen kann, interpretierte C HUI [1994, 1995] seine Ergebnisse im
gleichen Modell als einen kontinuierlichen Übergang. Dieses abweichende Ergebnis
muß aus folgenden Gründen stark in Zweifel gezogen werden: Zum einen waren
seine Simulationszeiten kürzer, C HUI verwendete typischerweise 4 × 105 MCS anstatt der in dieser Arbeit verwendeten 2 × 106 MCS, und er benutzte lediglich lokale
Spinflipdynamik. Deshalb ist seine effektive Gesamtsimulationszeit ttot etwa um den
Faktor 1000 kleiner, und er hat in seinen Simulationen wie vorangehend gezeigt das
thermodynamische Gleichgewicht nicht erreicht. Zum anderen betrachtete er nur
die Mittelwerte m̃z ( T ) und m̃ xy ( T ) (5.5), ohne diese einer notwendigen finite size
scaling-Analyse [z. B. B INDER und H EERMANN, 1988] zu unterziehen.
Um die Auswirkungen einer solchen unzureichenden Analyse zu verdeutlichen,
sind in Abbildung 35 die Ergebnisse für die Komponenten der Gesamtmagnetixy
sierung aus den Histogrammen mhz ( T ) und mh ( T ) mit einer üblichen Berechnung
durch Mittelwerte m̃z ( T ) und m̃ xy ( T ) (5.5) verglichen. Die Daten wurden aus 2000
Zeitschritten mit je einem GSF und 256 MCS pro Temperatur ermittelt. Obwohl
für diese Daten bereits der globale SFV verwendet wurde und das System deshalb
im thermodynamischen Gleichgewicht ist, kann man trotzdem an dem Verlauf von
m̃z ( T ) und m̃ xy ( T ) nicht erkennen, daß es sich um einen Phasenübergang erster Ordnung handelt.
M ALY [1999] untersuchte das anisotrope H EISENBERGmodell mit einer zusätzlichen kurzreichweitigen Wechselwirkung, die die Charakteristik A (2.7) der Dipolwechselwirkung hat und somit eine planare Orientierung bevorzugt. Sie fand
in Übereinstimmung mit dieser Arbeit in der Monolage einen Spinreorientierungsübergang erster Ordnung und bei dickeren Filmen kontinuierliche Übergänge. Die
Betrachtung einer zusätzlichen lateralen Inhomogenität in der uniaxialen Anisotropie zeigt, daß generell Inhomogenitäten den Spinreorientierungsübergang kontinuierlich werden lassen und der Übergang nur in Systemen mit hoher Symmetrie
diskontinuierlich verläuft.
95
5 Monte Carlo-Simulation
1,0
xy
mh
z
Magnetisierung
mh
~ xy
m
~z
m
0,5
0,0
0,0
≈Tr
0,5
Temperatur T/J
≈Tc
1,0
Abbildung 35: Vergleich von Mittelwert der Magnetisierungskomponenten m̃xy ( T ) und
xy
m̃ z ( T ) und den entsprechenden Werten mh ( T ) und mhz ( T ) aus den Histogrammen h(mxy )
und h(mz ) als Funktion der Temperatur für Parametersatz PLb =1 mit Lk = 16, gemittelt aus
2000 Zeitschritten mit je einem GSF und 256 MCS pro Temperatur. Die Rechenzeit betrug
60 CPU-Stunden auf einer Workstation vom Typ IBM RS/6000 Modell 590. Man beachte
xy
den Sprung in mh ( T ) und mhz ( T ) bei Tr (punktierte Linie).
5.3 Die Bilage
Um die Gültigkeit der Ergebnisse der Molekularfeldtheorie aus Kapitel 4.3 zu überprüfen, wurden Simulationen für die Bilage durchgeführt [H UCHT und U SADEL,
1996]. In der Molekularfeldnäherung ergab sich, daß für Parametersatz PL=2 in Abhängigkeit von ∆D = D1 − D2 sowohl ein Phasenübergang erster Ordnung (für
|∆D| . ω) als auch ein Phasenübergang zweiter Ordnung (sonst) auftritt (siehe
auch Abbildung 13). Deshalb wurden zwei Simulationen durchgeführt, eine bei
D1 = D2 = 0,125J (∆D = 0) und eine bei D1 = 0,2J und D2 = 0,05J (∆D = 0,15J).
Die Reorientierungstemperatur Tr wurde im ersten Fall zu Tr ≈ 0,32J bestimmt,
im zweiten Fall befindet man sich in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie innerhalb der gekippten Phase FMϑ . Um die Ordnung eindeutig bestimmen zu
können, ist in Abbildung 36 das Histogramm h(ϑ1 ) des Azimutwinkels der Gesamtmagnetisierung in Schicht 1 dargestellt. Für h(ϑ2 ) ergibt sich ein ähnlicher Verlauf,
die Verkippungswinkel ϑ in den zwei Schichten unterscheiden sich jedoch in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie um einige Grad.
96
5.3 Die Bilage
4
∆D/ΣλDλ = 0: 1. Ordnung
h(ϑ1)/sinϑ1
2
0
4
∆D/ΣλDλ = 0,6: 2. Ordnung
2
0
0
π/4
Azimutwinkel ϑ1
π/2
Abbildung 36: Das Histogramm h(ϑ1 )/ sin ϑ1 des Magnetisierungswinkels ϑ1 zeigt, daß
der Spinreorientierungsübergang bei homogener uniaxialer Anisotropie (∆D = 0, oben)
von erster und bei hinreichend inhomogener Anisotropie (∆D = 0,15J, unten) von zweiter
Ordnung ist. Die Simulationen dieses Systems mit Parametersatz PL=2 und 32 × 32 × 2
Spins benötigten bei T = 0,32J ≈ Tr je Histogramm etwa 120 CPU-Stunden auf einer IBM
RS/6000 590 Workstation, hierbei wurden jeweils etwa 7000 Zeitschritte von je einem GSF
und 256 MCS gemittelt.
Aus den so gewonnenen Histogrammen können die Vorhersagen der Molekularfeldtheorie voll bestätigt werden. Während das Histogramm h(ϑ1 ) für ∆D = 0 zwei
Maxima aufweist und der Übergang somit von erster Ordnung ist (Abbildung 36
oben), zeigt das System mit inhomogener Anisotropie eine gekippte Magnetisierung (Abbildung 36 unten). Sogar die Reorientierungstemperatur Tr stimmt gut mit
dem Wert aus der Molekularfeldtheorie überein, wenn man sie bezüglich der C U RIEtemperatur Tc reduziert: In der Molekularfeldtheorie liegt der Übergang erster
Ordnung bei Tr / Tc = 0,3 (siehe Abbildung 13). In der Simulation wurde zwar Tc
für die Bilage nicht bestimmt, sie kann aber aus den Ergebnissen der Monolage abgeschätzt werden: In der Monolage mit vier nächsten Nachbarn betrug Tc ≈ 0,78,
in der Bilage mit fünf nächsten Nachbarn würde man einen über 1/4 größeren Wert
von Tc & 1 erwarten, woraus sich Tr / Tc . 0,32 ergibt.
97
6
Störungstheorie
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang mit einer auf der Molekularfeldtheorie aufbauenden Störungstheorie untersucht [H UCHT und U SADEL,
1997]. Im Rahmen dieser Störungstheorie können analytische Ausdrücke für die
temperaturabhängigen effektiven Anisotropien Kn (τ ) (4.44) gefunden werden, mit
deren Hilfe die Ursachen des temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergangs
analysiert werden können.
Die Störungstheorie basiert auf der Tatsache, daß die anisotropen Beiträge der
H AMILTONfunktion (1.21) in den in dieser Arbeit betrachteten Systemen sämtlich
klein gegen die isotrope Austauschwechselwirkung sind. Allerdings hat das ungestörte isotrope H EISENBERGmodell H0 (1.21b) in dünnen Filmen bei endlichen
Temperaturen keine langreichweitige Ordnung [M ERMIN und WAGNER, 1966], diese wird erst durch Anisotropien induziert (vgl. Kapitel 1.3.1). Dabei reichen schon
sehr kleine Anisotropien aus, um die langreichweitige Ordnung bis zu relativ hohen Temperaturen zu stabilisieren, bei kleinen gilt typischerweise für die C URIEtemperatur
J
Tc
∝ log−1
J
(6.1)
mit ∝ ω [P ICH, 1994] oder ∝ D [B ANDER und M ILLS, 1988] [siehe auch B RUNO,
1992].
In der Molekularfeldnäherung ordnet hingegen auch das isotrope H EISENBERGmodell bei einer endlichen Temperatur; für ein System aus L Schichten gilt nach
W OLFRAM et al. [1971]
Tc ( L)
z0 2z1
π
=
+
cos
J
3
3
L+1
(6.2)
mit der Anzahl nächster Nachbarn zδ zwischen zwei Lagen mit Abstand δ aus Tabelle 4. Deshalb kann die Störungstheorie ausgehend von der Molekularfeldnäherung
des isotropen H EISENBERGmodells
H0 (ξ ) = −
98
L
∑ ξλ · sλ +
λ =1
1
2
h0,λ (ξ ) − ξλ · hsλ iξ
(6.3)
mit den Molekularfeldern h0,λ (ξ ) (4.32b) durchgeführt werden (vgl. Kapitel 4.2). Die
H AMILTONfunktion Hλ (ξ ) in Schicht λ (4.31b) lautet nun
Hλ (ξ ) = H0,λ (ξ ) + H,λ (ξ )
(6.4a)
mit dem Störanteil
1
H,λ (ξ ) = Hl,λ − hω,λ (ξ ) · hsλ iξ ,
2
(6.4b)
hier ist hω,λ (ξ ) das dipolare Molekularfeld aus Gleichung (4.32c). Durch die Verwendung eines einzigen formalen Störparameters läßt sich die Störungsrechnung
einfacher formulieren. Dieser Parameter ist gleich dem Betrag der größten Störung
und wird formal aus allen Störungen herausgezogen, d. h.
= max {ω, | Dλ |, | Eλ |, B},
ω 7→ ω/, . . . , B 7→ B/.
(6.5)
Die gestörte lösbare Näherung (4.2) lautet nun
Hλ? (ξ ) = H0,? λ (ξ ) + Hl,λ = −ξλ · sλ + Hl,λ .
(6.6)
Ziel der Störungstheorie ist es, eine Näherung für die effektiven Anisotropien
Kn (τ ) aus Gleichung (4.44) zu erhalten. Wie sich zeigt, ist es zunächst einfacher, die
totale Anisotropie
K (τ ) := f (τ , π2 ) − f (τ , 0) =
∞
∑ K2n (τ )
(6.7)
n=1
zu berechnen, wobei f (τ , ϑ) die winkelabhängige freie Energie pro Spin des Systems
aus Gleichung (4.43) ist. K (τ ) ist somit die Differenz der freien Energien pro Spin der
beiden Phasen FM xy und FM z . Unter Vernachlässigung der gekippten Phase FMϑ
gilt am Spinreorientierungsübergang
K (τr ) = 0,
(6.8)
für K (τ ) > 0 ist das System in der Phase FM z und für K (τ ) < 0 in der Phase FM xy .
Diese Größe wird in den Abschnitten 6.1 und 6.2 betrachtet. In Abschnitt 6.3 wird
dann die Rechnung erweitert und K2 (τ ) sowie K4 (τ ) bestimmt, wodurch auch die
gekippte Phase FMϑ untersucht werden kann.
99
6 Störungstheorie
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
Um die totale Anisotropie K (τ ) zu bestimmen, wird die freie Energie um die
stationären Punkte ξ̃ ⊥ und ξ̃ k nach entwickelt. Gesucht ist somit die gestörte freie
Energie F̃ (τ , ) ≡ F (τ , ξ̃ (), ) an einem gestörten stationären Punkt des Systems
ξ̃ () unter einer kleinen Störung . Man beachte, daß der stationäre Punkt ξ̃ ()
ebenfalls von abhängt. Eine TAYLORentwicklung um = 0 liefert
F (τ , ξ̃ (), ) = F (τ , ξ̃ (0), 0) + d F (τ , ξ̃ (0), 0) + O()2
(6.9)
mit der freien Energie des ungestörten Systems F (τ , ξ̃ (0), 0). Für die erste Ableitung in (6.9) gilt
d F (τ , ξ̃ (), ) = ∂ F (τ , ξ̃ (), ) + ∂ξ F (τ , ξ̃ (), ) · dξ̃ .
(6.10)
Der zweite Summand in (6.10) fällt weg, da nach Voraussetzung an einem stationären Punkt ξ̃ () der Gradient ∂ξ F (τ , ξ̃ ) für beliebige verschwindet.
An einem stationären Punkt des ungestörten Systems ξ̃ (0) erhält man mit der
H AMILTONfunktion (6.4) sowie mit der Ableitungsregel (A.15)
d F (τ , ξ̃ (0), 0) = hHl i0 +
ω L
Φ|λ −λ 0 | hsλ i0 · A · hsλ 0 i0 .
2 λ ,∑
λ0 =1
Mit dieser Näherung kann die totale Anisotropie pro Spin
1
K (τ ) =
F (τ , ξ̃ k (), ) − F (τ , ξ̃ ⊥ (), )
L
aus Gleichung (6.7) berechnet werden, es ist in linearer Ordnung
K (τ ) =
d F (τ , ξ̃ k (0), 0) − d F (τ , ξ̃ ⊥ (0), 0) .
L
Zerlegt man diese Größe gemäß
K (τ ) = KD (τ ) + KE (τ ) + KB (τ ) + Kω (τ )
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14a)
in den uniaxialen Anteil KD (τ ), den Anteil vierter Ordnung KE (τ ), den Feldanteil
KB (τ ) und den Dipolanteil Kω (τ ), so folgt
KD (τ ) =
KE (τ ) =
KB (τ ) =
Kω (τ ) =
100
1 L
z 2 ⊥
z 2 k
Dλ h(sλ ) i0 − h(sλ ) i0
L λ∑
=1
1 L
z 4 ⊥
z 4 k
Eλ h(sλ ) i0 − h(sλ ) i0
L λ∑
=1
1 L
k
⊥
B
·
h
s
i
−
h
s
i
λ
λ
0
0
L λ∑
=1
ω L
k
k
⊥
⊥
0
0
0
−
Φ
h
s
i
·
A
·
h
s
i
−
h
s
i
·
A
·
h
s
i
λ 0
λ 0
λ 0
λ 0 .
|λ −λ |
2L λ ,∑
λ0 =1
(6.14b)
(6.14c)
(6.14d)
(6.14e)
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
Hier wurde der Störparameter wieder in die Störungen ω, Dλ , Eλ und B hineintransformiert, da er nun nicht mehr benötigt wird.
Das ungestörte System ist isotrop, also folgt mit den stationären ungestörten
Magnetisierungen mλ (τ )
hsλ ik0 = mλ (τ ) ŷ,
hsλ i⊥
0 = mλ (τ ) ẑ.
(6.15)
Hier und im Rest des Kapitels wird der Übersicht halber an den stationären ungestörten Magnetisierungen mλ und den Molekularfeldern hλ der Index 0 weggelassen, da ab jetzt alle Größen im ungestörten System berechnet werden. Die ungestörten Erwartungswerte höherer Ordnung h(sλz )n i0 werden in Anhang A.2.2 berechnet.
Für die Anteile der totalen Anisotropie pro Spin ergibt sich das Ergebnis
1 L
mλ (τ ) 1
D
−
3T
λ
L λ∑
hλ (τ )
=1
1 L
4mλ (τ )
5
3mλ (τ ) 1−
KE (τ ) = ∑ Eλ 1 −
+
L λ =1
βhλ (τ ) β2 h2λ (τ )
βhλ (τ )
KD (τ ) =
KB (τ ) = B(cos γ − sin γ )m(τ )
Kω (τ ) = −
3ω L
mλ (τ )Φ|λ −λ0 | mλ0 (τ )
4L λ ,∑
λ0 =1
(6.16a)
(6.16b)
(6.16c)
(6.16d)
mit der Dipolanisotropie A aus Gleichung (2.7), dem äußerem Magnetfeld
B = B(0, sin γ , cos γ ) sowie mit den ungestörten Molekularfeldern am stationären
Punkt des ungestörten Systems hλ (τ ) = J ∑µL =1 z|λ −µ | mµ (τ ) aus Gleichung (4.32b).
Die totale Anisotropie K (τ ) kann also aus den Schichtmagnetisierungen mλ (τ ) berechnet werden [H UCHT und U SADEL, 1997]. Dieses Ergebnis wurde unabhängig
von J ENSEN und B ENNEMANN [1996] gefunden.
In der folgenden Diskussion wird verwendet, daß eine notwendige Bedingung für einen Fe-artigen Spinreorientierungsübergang eine positive Krümmung
dτ2 K (τ ) > 0 der effektiven Anisotropie K (τ ) in einem endlichen Intervall [τ1 , τ2 ] mit
τr < τ1 < τ2 < τc ist, da K (τr ) = 0 und ebenso K (τc ) = 0 ist und in diesem Fall die
Ableitung dτ K (τr ) negativ sein muß. Analog dazu ist eine negative Krümmung der
Anisotropie K (τ ) notwendige Bedingung für einen umgekehrten bzw. Ni-artigen
Spinreorientierungsübergang.
6.1.1
Homogene Systeme
Nun werden die im vorigen Abschnitt gewonnenen Ausdrücke für typische Parameter analysiert. Der Dipolanteil Kω (τ ) ist immer negativ und bevorzugt deshalb
101
6 Störungstheorie
bei allen reduzierten Temperaturen τ unterhalb der C URIEtemperatur τc die planare
Orientierung, da die Dipolkonstante ω positiv ist. Der uniaxiale Anteil KD (τ ) hingegen kann abhängig von den Konstanten Dλ sowohl positiv als auch negativ sein.
In der Mono- und in der Bilage kann man (6.16) vereinfachen, da hier das
ungestörte System homogen ist, d. h. alle Spins dieselbe Umgebung mit insgesamt
z̃ = z0 + z1 nächsten Nachbarn (z1 = 0 für L = 1) haben. Deshalb ist mλ (τ ) = m(τ )
in allen Schichten gleich, und somit lautet das Molekularfeld hλ (τ ) = J z̃m(τ ). Da in
homogenen Systemen die C URIEtemperatur Tc = J z̃/3 beträgt, erhält man
KD (τ ) = Dh (1 − τ )
4
5τ 2
KE (τ ) = Eh 1 − τ +
(1 − τ )
3
9m2
Kω (τ ) = −Ωm2 (τ )
(6.17a)
(6.17b)
(6.17c)
mit den mittleren Anisotropiekonstanten pro Spin
Dh =
1 L
Dλ
L λ∑
=1
(6.18a)
Eh =
1 L
Eλ
L λ∑
=1
(6.18b)
3ω L
Ω=
Φ|λ −λ 0 | .
4L λ ,∑
λ0 =1
(6.18c)
Die Werte dieser Konstanten für die benutzten Parametersätze sind in Tabelle 5
aufgelistet.
Die so berechneten Anteile KD (τ ) und Kω (τ ) der totalen Anisotropie sind für
Parametersatz PL=2 in Abbildung 37 gegenübergestellt, KE (τ ) ist dort null. Da das
Quadrat der Magnetisierung eines homogenen Systems in der Molekularfeldtheorie
eine negative Krümmung aufweist (dτ2 m2 (τ ) < 0), kann wegen des linearen Verlaufs von KD (τ ) nur ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu planarer
Magnetisierung auftreten.
Die Ausdrücke für die effektiven Anisotropien (6.17) können noch vereinfacht
werden, wenn man das Magnetisierungsquadrat m2 (τ ) des homogenen Systems in
Molekularfeldnäherung durch eine gebrochenrationale Funktion1 m̂2 (τ ) annähert.
Die einfachste Näherung, die den Randbedingungen m2 (0) = 1 und m2 (1) = 0
1
Näherungsausdrücke sind mit einem Dach versehen.
102
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
7,5
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
−7,5
0,0
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 37: In der homogenen Mono- und Bilage kann wegen des linearen Verlaufs von
KD (τ ) nur ein Fe-artiger Spinreorientierungsübergang auftreten, da die Krümmung des
dipolaren Anteils Kω (τ ) und damit auch der Summe K (τ ) immer positiv ist (Parametersatz
PL=2 ).
genügt, ist die PADÉartige Approximation vom Grad2 (1, 1)
m̂2 (τ ) =
1−τ
1 − qτ
(6.19)
mit q < 1. Der freie Parameter q kann bestimmt werden, indem man fordert, daß
die Steigungen von m2 (τ ) und m̂2 (τ ) am kritischen Punkt τc gleich sind. Aus einer
Entwicklung der Selbstkonsistenzgleichung der Magnetisierung des ungestörten
τ
Modells (vgl. Anhang A.2.2) m = coth 3m
− 3m
um τc ≡ 1 folgt
τ
5
20
m2 (τ ) = − (τ − τc ) − (τ − τc )2 + O(τ − τc )3 .
3
21
(6.20)
Damit für die Ableitungen am kritischen Punkt dτ m2 (τc ) = dτ m̂2 (τc ) gilt, muß der
freie Parameter q auf den Wert 2/5 gesetzt werden. Die so erhaltene Näherung m̂2 (τ )
weicht im gesamten Temperaturbereich 0 ≤ τ ≤ 1 um weniger als 1% von der
exakten Form m2 (τ ) ab, die nur numerisch bestimmt werden kann. Für die totale
Anisotropie (6.16) in homogenen Systemen folgt die Näherung
1
2 2
1
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dh − Ω
+ Eh 1 − τ + τ
,
(6.21)
1 − qτ
3
9
2
( p, q) gibt den Grad des Zähler- und Nennerpolynoms an [z. B. W OLFRAM R ESEARCH, 1996, S. 67]
103
6 Störungstheorie
aus der man durch Nullsetzen die Reorientierungstemperatur bestimmen kann. Es
ergibt sich im Fall Eh = 0 die Lösung
5
Ω
τr =
,
(6.22)
1−
2
Dh
also eine lineare Abhängigkeit der Reorientierungstemperatur von dem Verhältnis
Ω/ Dh [H UCHT und U SADEL, 1999a].
6.1.2
Inhomogene Systeme
Filme mit L > 2 sind nicht mehr homogen, hier ist die Magnetisierung eine Funktion
des Lagenindexes λ. In Abbildung 38 ist die Magnetisierung ms (τ ) an der Oberfläche und mv (τ ) im Innern für das ungestörte Modell mit L = 4 Schichten abgebildet. Während die Volumenmagnetisierung mv (τ ) typisches Molekularfeldverhalten
zeigt, d. h. wurzelförmig nach null geht, ist die Oberflächenmagnetisierung ms (τ )
bei allen Temperaturen kleiner als mv (τ ) und hat einen nahezu linearen Verlauf, der
erst nahe τc wieder wurzelförmig wird. Für L → ∞ ändert sich sogar das kritische
Verhalten, da dann der lineare Verlauf bis τc reicht und der kritische Exponent β = 1
Magnetisierung mλ
ms(τ)
mv(τ)
as(τ)
av(τ)
1−τ
0,5
0,5
1
ms/mv
as/av
0
0,0
0,0
0
τ
1
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
Anisotropiefaktor aλ
1,0
1,0
0,0
1,0
Abbildung 38: Die Magnetisierung ms (τ ) an der Oberfläche ist kleiner als mv (τ ) im
Volumen, dadurch ist der Anisotropiefaktor as (τ ) abgesenkt. Zum Vergleich ist a(τ ) = 1 −
τ eines homogenen Systems dargestellt. Die Kurven wurden im ungestörten Modell mit
L = 4 Schichten berechnet.
104
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
10,0
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
τr
−10,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 39: Totale effektive Anisotropie K (τ ), ihr uniaxialer Anteil KD (τ ) und ihr
Dipolanteil Kω (τ ) über der Temperatur für ein Fe-artiges System.
ist3 [W OLFRAM et al., 1971]. Das veränderte Temperaturverhalten der Oberflächenmagnetisierung wirkt sich auf die Anisotropie KD (τ ) aus4 . Um dies zu erläutern,
sind in Abbildung 38 zusätzlich die Anisotropiefaktoren
aλ (τ ) := 1 − 3T
mλ (τ )
hλ (τ )
(6.23)
abgebildet, die die Temperaturabhängigkeit der Anisotropie KD (τ ) bestimmen, da
KD (τ ) = ∑λL=1 Dλ aλ (τ )/ L ist. Es fällt auf, daß as (τ ) deutlich schneller als linear nach
null geht und die Krümmung dτ2 as (τ ) > 0 ist, während av (τ ) langsamer als linear
abfällt und dτ2 av (τ ) < 0 ist. Der Verlauf von KD hängt somit wesentlich von der
Verteilung der uniaxialen Anisotropien Dλ ab.
Nun werden die Anisotropien KD (τ ) und Kω (τ ) für die Parametersätze PFe und
PNi berechnet. In Abbildung 39 sind die Anisotropieanteile KD (τ ) und Kω (τ ) sowie
deren Summe K (τ ) für ein Fe-artiges System mit Parametersatz PFe dargestellt. Da
hier die Oberflächenanisotropie Ds ' 36,8ω > 0 und im Volumen Dv = 0 ist,
Dieses Verhalten ist analog zum zweidimensionalen I SINGmodell, wo der Exponent β im Innern
den Wert β = 1/8 [YANG, 1952] und an der Oberfläche den Wert β = 1/2 hat [M C C OY und W U,
1967].
4
Anisotropien vierter Ordnung sowie äußere Magnetfelder werden im Rest dieses Kapitels nicht
berücksichtigt.
3
105
6 Störungstheorie
7,5
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
−7,5
0,0
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 40: Totale effektive Anisotropie K (τ ), ihr uniaxialer Anteil KD (τ ) und ihr
Dipolanteil Kω (τ ) über der Temperatur für ein Ni-artiges System.
bewirkt der Anisotropiefaktor as (τ ), daß dτ2 KD (τ ) ebenso wie dτ2 Kω (τ ) größer als
null ist und deshalb auch dτ2 K (τ ) > 0 ist. Somit kann nur ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter nach planarer Magnetisierung auftreten kann. Dies gilt
jedoch nicht für das in Abbildung 40 dargestellte Ni-artige System mit Parametersatz PNi , bei dem die Oberflächenanisotropie Ds = −100ω < 0 und die Volumenanisotropie Dv = 30ω > 0 ist. In diesem Fall bewirkt der Oberflächenanisotropiefaktor as (τ ) eine negative Krümmung von KD (τ ), die die positive Krümmung von
Kω (τ ) überkompensieren kann und dann einen umgekehrten Spinreorientierungsübergang von planarer zu senkrechter Magnetisierung hervorruft. Diese wichtigen
Ergebnisse lassen sich so formulieren: Durch die reduzierte Oberflächenmagnetisierung ms (τ ) wird der Einfluß der Oberflächenanisotropiekonstanten Ds mit wachsender Temperatur kleiner als der Einfluß der Volumenanisotropiekonstanten Dv
bzw. der Dipolkonstanten ω. Deswegen wirkt sowohl im Fe- als auch im Ni-artigen
System eine Erhöhung der Temperatur τ etwa wie eine Erhöhung der Filmdicke L
und führt zu dem temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang.
Die hier dargestellte lineare Störungsrechnung wurde von H ERRMANN et al.
[1998] im Rahmen einer Spektraldichtenäherung (spectral-density approach, SDA) auf
das Ein-Band H UBBARDmodell [1963] übertragen, wo sie qualitativ gleiche Ergebnisse liefert. Allerdings wird bei dieser Methode der lokale uniaxiale Anteil Dλi (σiz )2
106
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
im H AMILTONoperator phänomenologisch durch die Kopplung an ein effektives
Anisotropiefeld Dλi hσλz iσiz genähert, da für die betrachteten quantenmechanischen
S = 1/2 Spinoperatoren die Komponente (σiz )2 unabhängig vom Zustand konstant
ist und eine uniaxiale Anisotropie erst ab Spin S = 1 einen nichttrivialen Beitrag
liefert [M OSCHEL, 1994; R EMPE, 1996]. Durch die Behandlung der lokalen Anisotropie als Austauschanisotropie haben jedoch in homogenen Filmen der Dicke L < 3
sowohl der lokale Anteil KD (τ ) als auch der dipolare Anteil Kω (τ ) der totalen Anisotropie K (τ ) identisches Temperaturverhalten KD (τ ) ∝ Kω (τ ) ∝ m2 (τ ). In dieser Näherung kann erst für inhomogene Filme der Dicke L ≥ 3 ein temperaturgetriebener
Spinreorientierungsübergang auftreten, wobei der Unterschied im Temperaturverhalten von KD (τ ) und Kω (τ ) dann allein aus der Dipolwechselwirkung mλ Φλλ0 mλ0
zwischen unterschiedlichen Lagen des Films resultiert. Ein Vergleich mit den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit zeigt, daß dieser Effekt deutlich geringer ist als die
Auswirkungen der grundlegend unterschiedlichen Verläufe von KD (τ ) und Kω (τ )
in Gleichungen (6.16) auf die totale Anisotropie K (τ ).
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
In diesem Abschnitt soll ein Näherungsausdruck für die Anisotropiefaktoren aλ (τ )
aus Gleichung (6.23) für inhomogene Systeme mit L > 2 hergeleitet werden.
Mit diesem Ausdruck kann dann analog zu (6.21) eine Näherung für die totale
Anisotropie K (τ ) angegeben werden. Hierzu wird der Quotient
f λ (τ ) := J
mλ (τ )
hλ (τ )
(6.24)
betrachtet, für den an der Oberfläche und im Volumen die Grenzfälle
f s (0) =
1
,
z̃s
f v (0) =
1
,
z̃v
f λ (1) =
1
z̃eff ( L)
(6.25)
gelten. Hier ist z̃s = z0 + z1 die Oberflächenkoordinationszahl, z̃v = z0 + 2z1 die
Volumenkoordinationszahl und
z̃eff ( L) :=
3Tc ( L)
J
(6.26)
die effektive Anzahl nächster Nachbarn in einem Film der Dicke L. Für L > 1 gilt
immer z̃s < z̃eff ( L) < z̃v .
Analog zu (6.19) kann f λ (τ ) durch die PADÉapproximation vom Grad (1, 1)
1−τ
fˆλ (τ ) = f λ (1) + f λ (0) − f λ (1)
1 − pτ
(6.27)
107
6 Störungstheorie
mit der Konstanten p = z0 / z̃s angenähert werden, wobei die Grenzfälle (6.25) exakt
reproduziert werden (p = 4/5 in ek(001) und p = 1/2 in kfz(001)). Einsetzen von
(6.24) in die Anisotropiefaktoren (6.23) liefert die gesuchte Näherung
z̃ ( L)
τ eff
−1
.
(6.28)
âλ (τ ) = (1 − τ ) 1 −
1 − pτ
z̃λ
Aufgrund der Konstruktion ist aλ (0) = âλ (0) = 1 und aλ (1) = âλ (1) = 0 sowie die
Steigung dτ aλ (0) = dτ âλ (0); der Fehler beträgt auf dem gesamten Temperaturintervall maximal 1%.
Für den uniaxialen Anteil an der totalen Anisotropie KD (τ ) aus Gleichung (6.16a)
erhält man somit die Näherung
τ
K̂D (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
(6.29)
1 − pτ
mit Dh aus Gleichung (6.18a) und der effektiven Konstanten
1 L
z̃eff ( L)
Dih = ∑ Dλ
−1 .
L λ =1
z̃λ
(6.30)
Dieser Anteil kann also in einen linearen homogenen Anteil und in einen nichtlinearen inhomogenen Anteil aufgespalten werden. Der Einfluß der Inhomogenität auf
das Temperaturverhalten des dipolaren Anteils Kω (τ ) (6.16d) ist geringer und kann
vernachlässigt werden, es wird deshalb wie im homogenen Fall (6.21) die Näherung
K̂ω (τ ) = −Ω
1−τ
1 − qτ
(6.31)
mit q = 2/5 und Ω aus Gleichung (6.18c) verwendet. Die totale Anisotropie K (τ )
aus Gleichung (6.16) lautet mit diesen Näherungen
τ
1
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
−Ω
,
(6.32)
1 − pτ
1 − qτ
Satz
Dh /ω
Dih /ω
Ω/ω
PL=2
7,353
0
6,530
PFe
9,211
1,138
6,407
PNi
5
−2,191
6,407
Tabelle 5: Effektive Anisotropiekonstanten Dh , Dih und Ω aus Gleichungen (6.18, 6.30) für
verwendete Parametersätze.
108
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
d. h. K̂ (τ ) kann in zwei Terme faktorisiert werden. Während der erste Term bei τc
verschwindet, erhält man aus dem zweiten Term wegen der Bedingung K̂ (τr ) = 0
die Gleichung
Dh − Dih
τr
1
−Ω
=0
1 − pτr
1 − qτr
(6.33)
für die Reorientierungstemperatur τr mit der Lösung
s
!
1
Dh q − Ωp
Dh q − Ωp 2
Ω − Dh
,
τr =
±
+ 4q
1+
1+
2q
Dh p + Dih
Dh p + Dih
Dh p + Dih
(6.34)
wobei das Vorzeichen der Wurzel so zu wählen ist, daß 0 ≤ τr ≤ 1 gilt, d. h. “+” für
einen Fe-artigen und “−” für einen Ni-artigen Spinreorientierungsübergang.
6.2.1
Schichtdickenabhängigkeit der Anisotropie
In diesem Abschnitt wird die in Kapitel 1.3.5 beschriebene Schichtdickenabhängigkeit aus dem mikroskopischen Modell berechnet. Unter der Annahme, daß die
uniaxiale Anisotropie nur an einer Oberfläche vom Volumenwert Dv abweicht, d. h.
D1 = Dv + Ds und Dλ >1 = Dv , kann man K̂ (τ ) aus (6.32) für eine feste reduzierte
Temperatur τ gemäß
K ( L, τ ) = K v (τ ) +
K s (τ )
+ K HO ( L, τ )
L
mit K HO ( L, τ ) = O( L)−2
(6.35)
in eine TAYLORreihe in 1/ L entwickeln, wobei alle höheren als linearen Ordnungen zu K HO ( L, τ ) zusammengefaßt wurden. Man beachte, daß τ = T / Tc ( L) noch
implizit dickenabhängig ist. Die totale Anisotropie K̂ (τ ) (6.32) hängt nur über die
effektiven Konstanten Dh , Dih und Ω explizit von L ab, deren L-Abhängigkeit lautet
nun
Dh ( L ) = Dv +
1
Ds
L
(6.36a)
1
L−2
z̃eff ( L)
z̃eff ( L)
Dv
( Ds + 2Dv )
−1 +
−1
L
L
z̃s
z̃v
π
Dv 2Dv z1 + Ds z̃v
( Ds + 2Dv ) z1
2
=
− 4z1 sin
+
(6.36b)
2( L + 1)
z̃s L
z̃v
z̃s z̃v L
3ω
2
(6.36c)
Ω( L) =
ΦΣ − Φ1 .
4
L
Dih ( L) =
Dabei wurde Ω( L) unter Berücksichtigung von Gleichung (2.63) approximiert, da
die Konstanten Φλ >1 Φ1 sind. Für die Entwicklungskoeffizienten aus (6.35)
109
6 Störungstheorie
ergeben sich die Ausdrücke
3
1
v
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dv − ωΦΣ
4
1 − qτ
z1
τ
3
1
s
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Ds − ( Ds + 2Dv )
+ ωΦ1
1 − pτ
2
1 − qτ
z̃s
π
Dv 2Dv z1 + Ds z̃v (1 − τ )τ
K̂ HO ( L, τ ) = 4z1 sin 2
+
.
2( L + 1)
1 − pτ
z̃v
z̃s z̃v L
(6.37a)
(6.37b)
(6.37c)
Die höheren Ordnungen K̂ HO ( L, τ ) resultieren daher, daß im inhomogenen Anteil
Dih ( L) die C URIEtemperatur des Films und somit auch z̃eff ( L) von der Dicke L
abhängen5 .
Mit diesen Ausdrücken kann durch Nullsetzen von K̂ ( L, τ ) unter Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung die schichtdickenabhängige Reorientierungstemperatur τ̂r ( L) berechnet werden. In homogenen Systemen ergibt sich mit Gleichung (6.22) [H UCHT und U SADEL, 1999a]
5
3ω ΦΣ L − 2Φ1
τ̂r ( L) =
.
(6.38)
1−
2
4 Dv L + Ds
In inhomogenen Systemen mit L > 2 ist τ̂r ( L) Lösung einer Gleichung dritter Ordnung und wird nicht explizit angegeben, stattdessen wird die temperaturabhängige
Reorientierungsdicke L̂r (τ ) = −K̂ s (τ )/K̂ v (τ ) berechnet, man erhält
L̂r (τ ) =
3
ωΦ1 1−1qτ
2
+ Ds −
z1
( Ds +
z̃s
3
1
ωΦΣ 1−qτ − Dv
4
2Dv ) 1−τpτ
.
(6.39)
Diese beiden Näherungsausdrücke für die schichtdicken- und temperaturabhängige
Phasengrenzlinie zwischen FMz und FM xy werden in Kapitel 7.2 mit den anderen in
dieser Arbeit berechneten Phasendiagrammen verglichen. Dort zeigt sich, daß L̂r (τ )
aus (6.39) keine gute Näherung für ultradünne Filme darstellt, da die Reduzierung
der C URIEtemperatur, die in K̂ HO ( L, τ ) eingeht, in diesen Systemen nicht vernachlässigt werden darf.
Die so berechneten filmdickenabhängigen Anteile der totalen Anisotropie
K ( L, τ ) sind in den Abbildungen 41 und 42 dargestellt. Im Fe-artigen System ähneln die Kurven K v (τ ) und K s (τ ) sehr den Kurven Kω (τ ) und KD (τ ) aus Abbildung
39. Dies liegt daran, daß die Oberflächenanisotropie K s (τ ) aus Gleichung (6.37b)
zum größten Teil durch Ds bestimmt wird, da Dv = 0 ist und ωΦ1 Ds ist. Deshalb ist im Grundzustand K s (0) ≈ KD (0). Das Temperaturverhalten von K s (τ ) ist
ebenso dominiert von KD (τ ), wobei der lineare Anteil der Dipolanisotropie Kω (τ )
5
2
Eine weitere Entwickung ergibt K̂ HO (τ ) = Dv zz̃1vπL2 −
110
z1 π 2
z̃s L3
2Dv z̃zv0 − Ds + O( L)−4
(1−τ )τ
1− pτ
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
Anisotropie K/ω
10,0
K(τ)
v
K (τ)
s
K (τ)
HO
K (τ)
0,0
τr
−10,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 41: Zerlegung der Anisotropie K ( L, τ ) in Volumenanteil K v (τ ), Oberflächenanteil K s (τ ) und Anteile höherer Ordnung K HO ( L, τ ) für Parametersatz PFe . Der Anteil
K HO ( L, τ ) wird nahe τc relevant und beeinflussen dort den Spinreorientierungsübergang.
7,5
30
Anisotropie K/ω
0
−30
0,0
0
1
τr
K(τ)
v
K (τ)
s
K (τ)
HO
K (τ)
−7,5
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 42: Zerlegung wie in Abbildung 41 für Parametersatz PNi . Der Einfluß der
Terme höherer Ordnung ist geringer als im Fe-artigen System.
111
6 Störungstheorie
K(L, 0)
K(L, 0,4)
K(L, 0,8)
lin. Näherung
Anisotropie K/ω
10,0
5,0
0,0
−5,0
∞
20
10 8
6
5
4
3
2
Filmdicke L [ML]
Abbildung 43: Die Anisotropie K ( L, τ ) über 1/ L für PFe verläuft etwa linear, bei endlichen
Temperaturen weichen allerdings die Kurven von einer linearen Näherung (dünne Geraden) ab. Die Anteile höherer Ordnung können hier nicht vernachlässigt werden.
die Krümmung in K s (τ ) noch etwas verstärkt. Die höheren Ordnungen K HO ( L, τ )
sind zwar bei tiefen Temperaturen eine Größenordnung kleiner als K v (τ ) und K s (τ ),
werden aber nahe τc sogar größer als K s (τ ) und haben einen merklichen Einfluß auf
K ( L, τ ) und somit auf den Spinreorientierungsübergang.
Im Ni-artigen System hingegen besteht der Volumenanteil K v (τ ) hauptsächlich
aus der uniaxialen Volumenanisotropie, da hier Dv = 30ω etwa fünfmal größer ist
als der Dipolanteil 2πω (3ΦΣ /4 = 2π in einfach kubischen Gittern, vgl. Tabelle 3).
K v (τ ) wird nahezu kompensiert von K s (τ ), da nun die uniaxiale Oberflächenanisotropiekonstante Ds < 0 ist. Vergleicht man Abbildung 42 mit der Auftragung in
Abbildung 40, so wird deutlich, daß die Dipolwechselwirkung im Ni-artigen System
weniger wichtig für den Spinreorientierungsübergang ist, da sie durch die uniaxiale
Volumenanisotropie überkompensiert wird.
In den Abbildungen 43 und 44 ist die totale Anisotropie K ( L, τ ) über der reziproken Filmdicke L für verschiedene reduzierte Temperaturen τ unterhalb von τc
dargestellt. Zusätzlich sind die Geraden
f (1/ L) = K v (τ ) + K s (τ )/ L
(6.40)
eingezeichnet, um die Auswirkung der höheren Anteile K HO ( L, τ ) zu verdeutlichen. Der Spinreorientierungsübergang tritt nun bei der Filmdicke Lc auf, bei der
112
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
K(L, 0)
K(L, 0,4)
K(L, 0,8)
lin. Näherung
Anisotropie K/ω
20,0
10,0
0,0
−10,0
−20,0
∞
20
10 8
6
5
4
3
2
Filmdicke L [ML]
Abbildung 44: Für den Parametersatz PNi ist die kritische Dicke Lr (τ ) nahezu unabhängig
von der reduzierten Temperatur τ und beträgt etwa Lr ≈ 4 ML.
K ( Lc , τ ) = 0 wird, im Fe-artigen System (Abb. 43) variiert also die kritische Dicke
Lc von etwa sechs Monolagen bei τ = 0 bis etwa drei Monolagen bei τ = 0,8. Auch
hier sieht man, daß nahe der C URIEtemperatur die Korrekturen höherer Ordnung
relevant werden und daß sich bei Vernachlässigung dieser die kritische Dicke um
bis zu einer Monolage verändert. Im Ni-artigen System ist diese Variation der kritischen Dicke Lc deutlich geringer als im Fe-artigen System; Lc beträgt hier etwa
3,5 − 4,5 Monolagen. Auf diesen Effekt wird in Kapitel 7 näher eingegangen.
Dennoch verlaufen die Kurven als Funktion der reziproken Filmdicke in guter
Näherung linear. Wenn man statt der reduzierten Temperatur τ die Temperatur T
konstant halten würde, hätte z. B. die Kurve für T = 0,8Tc (∞) einen Knick bei Lr ( T )
und wäre für L < Lr ( T ) null, da das System dort paramagnetisch wird. Durch die
Auftragung bei konstanter reduzierter Temperatur tritt dieser störende Effekt nicht
auf. Diese Auftragung wurde erstmals von der Arbeitsgruppe B ABERSCHKE [z. B.
1996] vorgeschlagen.
6.2.2
Das Entropieargument
In der Literatur wurde der temperaturgetriebene Fe-artige Spinreorientierungsübergang dadurch erklärt, daß die Entropie der planaren Phase FM xy größer sei, da die
Spins dort in der Ebene rotieren können und somit mehr Freiheitsgrade haben als
113
6 Störungstheorie
in der senkrechten Phase FM z [J ENSEN und B ENNEMANN, 1990]. In der Bilanz der
freien Energien der zwei Phasen
∆F = F k − F ⊥ = ∆U − T∆S
(6.41)
würde dann mit wachsender Temperatur der Term T∆S an Einfluß gewinnen und,
vorausgesetzt die Differenz der inneren Energie ∆U = U k − U ⊥ sowie die Differenz
der Entropie ∆S = Sk − S⊥ sind wenig temperaturabhängig, schließlich zu einem
Vorzeichenwechsel von ∆F und somit zum Übergang führen.
Diese Argumentation kann jedoch so nicht zutreffen, da auch die Hochtemperaturphase FM xy langreichweitige Ordnung besitzt und damit die mittlere Richtung
der einzelnen Spins durch die Magnetisierung festgelegt ist. Einzig die Magnetisierung kann eine beliebige Richtung in der Ebene einnehmen, dieser eine kontinuierliche Freiheitsgrad des Systems hat jedoch im thermodynamischen Limes keinen
Einfluß auf die Entropie pro Spin. Außerdem ist nicht klar, ob ∆U und ∆S tatsächlich
in etwa konstant sind.
Auch die Existenz des ebenfalls temperaturgetriebenen, aber umgekehrt ablaufenden Ni-artigen Spinreorientierungsübergangs [FARLE et al., 1997a,c] zeigt, daß
dieses Argument zumindest nicht immer zutrifft und keine Erklärung für den
Übergang liefern kann. Vielmehr konnten J ENSEN und B ENNEMANN [1996] sowie
H UCHT und U SADEL [1997] unabhängig voneinander zeigen, daß die Ursache des
temperaturgetriebenen Ni-artigen Spinreorientierungsübergang die im Vergleich
zum Volumen reduzierte Oberflächenmagnetisierung ms (τ ) ist. Diese Reduzierung
führt zu unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten der Oberflächen- und der Volumenanisotropie und somit zum Übergang (siehe hierzu Kapitel 6.1). Dennoch ist
es aufschlußreich, das Verhalten dieser thermodynamischen Größen am Spinreorientierungsübergang zu betrachten.
Deshalb sollen nun die Differenz der Entropie ∆S , der inneren Energie ∆U sowie
der spezifischen Wärme ∆C der Phasen FM xy und FM z berechnet werden. Da für die
Entropie die Gleichung
S(τ ) = −d T F (τ ) = −
1
dτ F (τ )
Tc
(6.42)
gilt, folgt für die Entropiedifferenz pro Spin der planaren und der senkrechten Phase
∆s(τ ) =
1
1
∆S(τ ) = − dτ K (τ ).
L
Tc
(6.43)
Mit der genäherten totalen Anisotropie (6.32) erhält man das Ergebnis
∆ŝ(τ ) =
114
Dh
Dih 1 − 2τ + pτ 2
Ω 1−q
+
−
.
2
Tc
Tc (1 − pτ )
Tc (1 − qτ )2
(6.44)
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
Energie/ω
4,0
τr
τm
0,0
K(τ)
∆s(τ)
T∆s(τ)
∆u(τ)
∆c(τ)
−4,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 45: Die totale Anisotropie K (τ ) und ihre Zerlegung in innere Energie ∆u(τ ) und
Entropie ∆s(τ ) für Parametersatz PFe .
Für die Differenz der inneren Energien pro Spin folgt mit (6.41)
∆u(τ ) = K (τ ) + T∆s(τ )
(6.45)
und somit der Näherungsausdruck
∆û(τ ) = Dh − Dih
(1 − p)τ 2
1 − 2qτ + qτ 2
−
Ω
.
(1 − pτ )2
(1 − qτ )2
(6.46)
Die Differenz der spezifischen Wärmen pro Spin errechnet sich aus
∆c(τ ) = d T ∆u(τ ) =
1
dτ ∆u(τ )
Tc
(6.47)
näherungsweise zu
2τ
∆ĉ(τ ) = −
Tc
1−p
q(1 − q)
+Ω
Dih
3
(1 − pτ )
(1 − qτ )3
.
(6.48)
Diese Ergebnisse sind in den Abbildungen 45 und 46 dargestellt.
Im Fe-artigen System (Abbildung 45) ist die Entropiedifferenz ∆s(τ ) positiv bis
zu der Temperatur τm , bei der K (τ ) minimal wird; es gilt τr < τm < τc . Hieraus
folgt, daß die Entropie der planaren Phase FM xy unterhalb von τm größer ist als
die Entropie der senkrechten Phase FM z . Allerdings sieht man an dem Verlauf von
115
6 Störungstheorie
2,0
Energie/ω
K(τ)
∆s(τ)
T∆s(τ)
∆u(τ)
∆c(τ)
τw
τr
τm
0,0
−2,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 46: Anisotropie K (τ ) und Zerlegung in innere Energie ∆u(τ ) und Entropie
∆s(τ ) für Parametersatz PNi .
T∆s und ∆u in der Nähe von τr , daß die eingangs dargestellte Argumentation auf
der Basis dieser Größen nicht zutrifft: Bei τr ist die Steigung d T ( T∆s) nahezu null,
man kann also nicht argumentieren, daß K = ∆u − T∆s hier abnimmt, weil ∆u
und ∆s nahezu konstant sind. Vielmehr ist T∆s annähernd konstant und ∆u nimmt
ab. Man kann diesen Sachverhalt auch anders ausdrücken: Zwar ist die Entropie
in der Hochtemperaturphase FM xy am Spinreorientierungsübergang τr größer als
in der Tieftemperaturphase FM z (dies muß auch so sein, da die spezifische Wärme
C = Td T S immer positiv ist), die Entropiedifferenz ∆s nimmt allerdings so stark
ab, daß T∆s annähernd konstant ist. Bei der Temperatur τm ist sogar ∆s(τm ) = 0,
hier wird die Hochtemperaturphase FM xy allein dadurch stabilisiert, daß die innere
Energie ∆u(τm ) = K (τm ) negativ ist, also in FM xy niedriger ist als in FM z .
Im Ni-artigen System (Abbildung 46) ist das Verhalten noch komplizierter. Hier
ist die Entropie ebenfalls in der Hochtemperaturphase – nun FM z – größer als in
der Tieftemperaturphase FM xy , die Differenz wächst jedoch bei tiefen Temperaturen
zunächst an, ∆s ist also negativ und wird kleiner. Das gleiche gilt für ∆u und
liegt daran, daß hier ebenso wie im Fe-artigen System die Anisotropie K (τ ) positiv
gekrümmt ist, d. h. die Differenz der spezifischen Wärmen ∆c < 0 ist. Betrachtet
man die Zerlegung K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) (6.14), so sieht man, daß der Grund
hierfür das Tieftemperaturverhalten des dipolaren Anteils Kω (τ ) ∝ m2 (τ ) ist,
116
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
da KD (τ ) bei tiefen Temperaturen linear verläuft. Dies ändert sich erst bei der
Temperatur τw , bei der ∆c(τw ) = 0 ist, hier haben ∆u und ∆s ein Minimum und
K einen Wendepunkt. Oberhalb von τw steigen ∆u und ∆s an, und wieder ist
bei τr die Größe T∆s nahezu konstant und die Änderung von ∆u induziert den
Spinreorientierungsübergang.
Der Vorzeichenwechsel von ∆c(τ ) bei τw hat zusätzlich zur Folge, daß in diesem
Ni-artigen System zwei Spinreorientierungsübergänge bei konstanter Filmdicke
von FM z nach FM xy , und wieder nach FM z auftreten können, da K (τ ) wegen
des Wendepunktes bei τw S-förmig verläuft. Hierfür muß allerdings gewährleistet
sein, daß die gekippte Phase FMϑ so schmal bzw. K4 (τ ) so klein ist, daß dieses
reentrant-Verhalten nicht überdeckt wird.
Generell kann man durch Veränderung der Modellparameter die Reorientierungstemperatur zwischen τ = 0 und τc verschieben und findet unterschiedliche
Übergangsszenarien. Bei tiefen Temperaturen ist ∆u etwa konstant und K wird
hauptsächlich von dem Anteil T∆s beeinflußt; bei Temperaturen nahe τc sind hingegen sowohl ∆u als auch ∆s stark temperaturabhängig. Deshalb können keine generellen Aussagen auf Basis der Entropie und der inneren Energie gemacht werden.
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
In diesem Abschnitt soll ein Näherungsausdruck für die Beschreibung der Phase
mit gekippter Magnetisierung FMϑ hergeleitet werden, um die Ergebnisse aus Abschnitt 6.2 zu vervollständigen. Wie in Kapitel 4.6 gezeigt wurde, benötigt man zur
Beschreibung von FMϑ einen Ausdruck für die effektive Anisotropie vierter Ordnung K4 (τ ), falls höhere Ordnungen vernachlässigt werden können. Diese höheren
Ordnungen werden wichtig, wenn die Magnetisierung im Filminneren wesentlich
in eine andere Richtung weist als an der Filmoberfläche. Ein p
Kriterium hierfür ist,
6
daß die charakteristische Breite einer B LOCHwand dBloch ∼ π J / D [L ILLEY, 1950]
groß gegen die Filmdicke L ist. Dies ist in den verwendeten Parametersätzen immer
gewährleistet.
Zur Berechung von K4 (τ ) muß der kleinste Eigenwert
(6.49)
ηp (τ ) = ewmin C(τ , ϑ̃ p )
der H ESSEmatrix der freien Energie (vgl. Gleichung (3.4))
C(τ , ϑ) = ∂ϑ2 F (τ , ϑ)
6
(6.50)
Für eine Übersicht siehe [H UBERT und S CHÄFER, 1998, § 3.6]
117
6 Störungstheorie
an den stationären Punkten der senkrechten Phase (p = ⊥) und und der planaren
Phase (p = k) bestimmt werden. Für die effektiven Anisotropien gilt mit Gleichungen (4.51, 6.7)
ηk (τ ) = −2 K (τ ) − K4 (τ ) = −2K2 (τ )
(6.51a)
η⊥ (τ ) = +2 K (τ ) + K4 (τ ) = +2K2 (τ ) + 4K4 (τ ),
(6.51b)
also folgt
K4 (τ ) =
1 k
η (τ ) + η⊥ (τ ) .
4
(6.52)
Allerdings kann K4 (τ ) nicht konsistent aus einer Störungstheorie erster Ordnung
der freien Energie bestimmt werden, sondern muß in zweiter Ordnung berechnet
werden. Der Grund hierfür ist, daß bei der Berechnung der Eigenwerte ηp (τ ) (6.49)
Terme höherer Ordnung O()2 in das Resultat gelangen, man findet
ηk (τ ) = −2K (τ ) + O()2 ,
η⊥ (τ ) = 2K (τ ) + O()2
(6.53)
und deshalb mit (6.52)
K4 (τ ) = O()2 .
(6.54)
Die Berechnung der freien Energie in zweiter Ordnung wurde durchgeführt, die
Ergebnisse sind allerdings so kompliziert, daß dieser Weg nicht weiter verfolgt
wurde; die Rechnung ist im Anhang A.2.3 kurz skizziert. Stattdessen werden nun
die Korrekturen zweiter Ordnung im Grundzustand berechnet und daraus K4 (0)
bestimmt. Dieses Ergebnis wird dann näherungsweise zu endlichen Temperaturen
fortgesetzt.
6.3.1
Die Anisotropie K4 (0) in 2. Ordnung
Im Grundzustand wird nun eine Entwicklung des kleinsten Eigenwertes ηp der
H ESSEmatrix Cp = ∂ϑ2 E(ϑp ) aus Gleichung (3.4) durchgeführt, wobei die Anisotropien wie in Abschnitt 6.1 formal zu einem Störparameter zusammengefaßt
werden, d. h.
η = η0 + η1 + 2 η2 + O()3 .
(6.55)
Die ungestörte H ESSEmatrix im Grundzustand aus (3.5) ist wegen der Isotropie in
beiden Phasen gleich und lautet
(C0 )µν = − Jz|µ −ν | + δµν
118
L
∑ Jz|λ−µ| .
λ =1
(6.56)
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
Da die Austauschwechselwirkung und die effektive Dipolwechselwirkung nur noch
innerhalb der Lagen und zwischen nächste Nachbarlagen berücksichtigt werden
sollen (zδ >1 = Φδ >1 = 0), erhält man z. B. für L = 4 die Matrix


1 −1
0
0


2 −1
0 
 −1
C0 = Jz1 
.
2 −1 
 0 −1
1
0
0 −1
Die ungestörten Eigenwerte cλ und normierten ungestörten Eigenvektoren uλ von
C0 erfüllen die Eigenwertgleichung
C0 · uλ = cλ uλ
und lauten mit λ , k = 0, . . . , L − 1
λπ cλ = 4Jz1 sin 2
2L
1
u0,k = √
L
r
λπ
2
cos
(2k + 1) ,
uλ >0,k =
L
2L
(6.57)
(6.58a)
(6.58b)
(6.58c)
d. h. der kleinste ungestörte Eigenwert ist η0 = c0 = 0. Der dazugehörige ungestörte
Eigenvektor u0 ∝ (1, . . . , 1) entspricht einer kohärenten Rotation aller Spins in den
L Schichten; der Eigenwert c0 ist deswegen null, weil diese Rotation im isotropen
Fall keine Energie beansprucht.
p
Für die Korrekturen erster Ordnung η1 an den beiden stationären Punkten ϑp
mit p = ⊥, k folgt [vgl. M ESSIAH, 1990, § 16.1.2]
p
η1 = u0 · Cp · u0
=
1 L
p
Cµν
L µ ,∑
ν =1
=±
2 L
3ω
Φ|µ −ν |
Dµ δµν −
∑
L µ ,ν =1
4
(6.59)
wobei das Pluszeichen für den stationären Punkt ϑ⊥ gilt. Hieraus folgt das bereits
in Abschnitt 6.1 ermittelte Ergebnis für die totale Anisotropie, nun allerdings im
Grundzustand,
K (0) =
1 ⊥
1 k
1 L
3ω
Φ|µ −ν | .
η1 = − η1 =
Dµ δµν −
∑
2
2
L µ ,ν =1
4
(6.60)
119
6 Störungstheorie
Die Korrekturen zweiter Ordnung können ebenfalls mit dieser Methode bestimmt
werden und lauten [vgl. M ESSIAH, 1990, § 16.1.5]
p
η2 =
L−1
(u0 · Cp · uλ )(uλ · Cp · u0 )
.
cλ
λ =1
∑
(6.61)
Mit Hilfe des Projektors [vgl. M ESSIAH, 1990, § 16.1.1]
2
Q 0 = 1 − u
0 = 1−
1
L
(6.62)
kann dieser Ausdruck als Matrixprodukt geschrieben werden, wobei Q0 den dann
auftretenden divergenten Anteil 1/c0 unterdrückt; man erhält
p
η2 = u0 · Cp · G · Cp · u0 .
(6.63)
Für das sogenannte Pseudoinverse G von C0 gilt7
G · C0 = Q0 = 1 −
1
,
L
(6.64)
G ist also “fast” die inverse Matrix zu C0 . Dieses Gleichungssystem kann gelöst
werden, man erhält die Matrixelemente
1 L 1
1
µ2 + ν2 + µ + ν
− +
+
− max (µ , ν ) ,
Gµν =
(6.65)
Jz1 3 2 6L
2L
somit ist für das obengenannte Beispiel mit L = 4


7
1 −3 −5

1 
3 −1 −3 
 1
G=

.
3
1 
8Jz1  −3 −1
−5 −3
1
7
Aufgrund der Konstruktion ist u0 auch Eigenvektor von G mit Eigenwert null,
G · u0 = 0,
(6.66)
deshalb gilt
G · ( x + const 1) = G · x.
(6.67)
Da nach Voraussetzung die Anisotropiekonstanten Dλ und die Dipolsummen
Φ̃λ =
7
L
∑ Φ|λ−µ|
G entspricht dem Operator
S. 842]
120
(6.68)
µ =1
Q0
a
in [M ESSIAH, 1990]; für Pseudoinverse siehe [z. B. W OLFRAM, 1996,
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
nur an den Oberflächen λ = 1 und λ = L von dem Wert im Volumen abweichen,
werden im folgenden nur die vier Eckelemente der Matrix G
L
(1 − L−1 )(1 − 12 L−1 )
3Jz1
L
=−
(1 − L−2 )
6Jz1
G0,0 = GL−1,L−1 =
(6.69a)
G0,L−1 = GL−1,0
(6.69b)
benötigt. Mit der Abkürzung
v = v D + vω = C⊥ · u0 = −Ck · u0
2
3ω
⇒ vµD = √ Dµ , vω
µ = − √ Φ̃µ
L
2 L
(6.70a)
(6.70b)
kann die Korrektur in zweiter Ordnung (6.63) in uniaxiale und dipolare Anteile
zerlegt werden und lautet
η2 = v · G · v = v D · G · v D + 2vω · G · v D + vω · G · vω .
p
(6.71)
Für die effektive Anisotropie vierter Ordnung folgt wegen Gleichung (6.52)
1 p
K4 (0) = − η2
2
und eine analoge Zerlegung ergibt
K4 (0) = K4DD (0) + K4Dω (0) + K4ωω (0).
(6.72)
(6.73)
Nun können die einzelnen Summanden berechnet werden. Da die uniaxiale Anisotropiekonstante Dλ nur an den Oberflächen von dem Volumenwert Dv abweicht,
kann in v D wegen (6.67) der konstante Anteil Dv weggelassen werden. Ebenso kann
in vω der in den Volumenlagen konstante Anteil Φ̃v = Φ0 + 2Φ1 aus (6.68) wegfallen, und man erhält
2
2
v D 7→ ṽ D = v D − √ Dv = √ ( Ds , 0, . . . , 0, Di )
L
L
3ωΦ̃v
3ωΦ1
vω 7→ ṽω = vω + √ = √ (1, 0, . . . , 0, 1).
2 L
2 L
(6.74a)
(6.74b)
Damit lautet die drei Anteile der Anisotropie K4 (0)
1
K4DD (0) = − ṽ D · G · ṽ D
2
2
= − ( Ds2 + Di2 ) G0,0 + 2Ds Di G0,L−1
L
2 2
=−
( Ds + Di2 )(1 − 12 L−1 ) − Ds Di (1 + L−1 ) (1 − L−1 )
3Jz1
(6.75a)
121
6 Störungstheorie
K4Dω (0) = −ṽ D · G · ṽω
3ωΦ1
=−
( Ds + Di )( G0,0 + G0,L−1 )
L
ωΦ1
=−
( Ds + Di )(1 − L−1 )(1 − 2L−1 )
2Jz1
1
K4ωω (0) = − ṽω · G · ṽω
2
9ω2 Φ21
=−
( G0,0 + G0,L−1 )
4L
3ω2 Φ21
=−
(1 − L−1 )(1 − 2L−1 ).
8Jz1
(6.75b)
(6.75c)
Mit diesen Ergebnissen werden nun einige Spezialfälle für die Filmdicke L und
für die Verteilung der uniaxialen Oberflächenanisotropien Dλ betrachtet:
L=1
In der Monolage erhält man wegen der fehlenden Inhomogenität in dieser
Näherung immer
K4 (0) = 0.
L=2
(6.76)
In der Bilage ist K4ωω (0) = K4Dω (0) = 0 und somit
K4 (0) = −
∆D 2
( D1 − D2 ) 2
=−
.
4Jz1
4Jz1
(6.77)
Dλ = Dv Wenn die uniaxialen Anisotropiekonstanten Dλ in allen Schichten gleich
Dv sind, dann verschwinden wegen Ds = Di = 0 die Beiträge K4DD (0) und
K4Dω (0) und es gilt
K4 (0) = K4ωω (0).
Di = 0
Wenn nur eine der Oberflächen (z. B. λ = s) eine vom Volumen verschiedene Anisotropie hat (Di = 0), erhält man
2Ds2
(1 − L−1 )(1 − 12 L−1 )
3Jz1
ω Φ 1 Ds
K4Dω (0) = −
(1 − L−1 )(1 − 2L−1 ).
2Jz1
K4DD (0) = −
Dies entspricht den in dieser Arbeit verwendeten Parametersätzen.
122
(6.78)
(6.79)
(6.80)
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
Di = Ds Wenn beide Oberflächen die gleiche Anisotropie tragen (Di = Ds = Ds̄ ),
dann ist das gestörte System spiegelsymmetrisch bzgl. der xy-Ebene. In
diesem Fall haben alle drei Anteile von K4 (0) dieselbe L-Abhängigkeit
und können zu dem Ausdruck
2
2 3
Ds̄ + ωΦ1 (1 − L−1 )(1 − 2L−1 )
K4 (0) = −
3Jz1
4
(6.81)
zusammengefaßt werden.
Satz
K4ωω (0)/ω
K4Dω (0)/ω
K4DD (0)/ω
P La,b=1
0
0
0
PL=2
0
0
−0,331
PLD=λ 2
0
0
∆D
− 4Jz
1ω
PFe
−5,7 × 10−6
8,6 × 10−4
−0,226
PNi
−7,5 × 10−7
−4,0 × 10−4
−0,370
kfz
−1,1 × 10−5
1,9 × 10−3
−0,445
PNi
2
Tabelle 6: Die Anteile der Anisotropie vierter Ordnung im Grundzustand K4 (0) aus Gleichungen (6.75) für die verwendeten Parametersätze P . Der Anteil K4DD (0) ist in allen Fällen
groß gegen die anderen Beiträge.
Setzt man die Parameter aus den verwendeten Parametersätzen in diese Ergebnisse
ein, erhält man die in Tabelle 6 dargestellten Werte. Da für alle betrachteten Parameter ωΦ1 Ds ist, werden im folgenden die Beiträge K4ωω und K4Dω vernachlässigt.
6.3.2
Die Breite von FMϑ im Grundzustand
Mit diesen Ausdrücken kann die Breite
∆Lr (0) = Lrz (0) − Lrxy (0)
(6.82)
der gekippten Phase FMϑ im Grundzustand berechnet werden. Sei nun K4 ( L, 0)
explizit eine Funktion der Filmdicke L. Da die Näherungen aus Abschnitt 6.1 für
T = 0 exakt sind, gilt mit Gleichung (6.32) und mit p = xy bzw. p = z
Dh ( Lpr (0)) − Ω( Lpr (0)) ± K4 ( Lpr (0), 0) = 0,
(6.83)
123
6 Störungstheorie
xy
wobei das Pluszeichen für Lr gilt. Mit der kritischen Dicke für T = 0 aus Gleichung (6.39) für ωΦ1 Ds
Lr (0) =
Ds
− Dv
3
ωΦΣ
4
ergibt eine Lösung dieses Gleichungssystems den Ausdruck
∆Lr (0) ≈ 43 Ds Lr (0) Lr (0) − 32 ,
(6.84)
(6.85)
die Breite ist also proportional zur Oberflächenanisotropiekonstanten Ds . Hier wurde K4 ( L, 0) aus (6.79) gemäß
K4 ( L, 0) = −
Ds2 2
− L−1 + O( L)−2
Jz1 3
(6.86)
linear genähert, der relative Fehler dieser Näherung beträgt für L ≥ 4 weniger
als 5%. Für Parametersatz PFe ergeben Gleichungen (6.84) und (6.85) die Werte
Lr (0) ' 5,86 und ∆Lr (0) ' 0,48, und für Parametersatz PNi folgt Lr (0) ' 4,22
und ∆Lr (0) ' −0,076. Die Breite ist für PNi deutlich geringer als für PFe , da sowohl
die Oberflächenanisotropiekonstante Ds als auch die kritische Dicke Lr (0) kleiner
ist, und negativ, da der Übergang umgekehrt abläuft.
6.3.3
Endliche Temperaturen
In Kapitel 4.6.1 wurde die temperaturabhängige Anisotropie K4 (τ ) für ein Fe- und
für ein Ni-artiges System mit den Parametersätzen PFe und PNi bestimmt. In beiden
Fällen ergab sich, daß K4 (τ ) näherungsweise proportional zu (1 − τ )2 ist. Deshalb
wird nun für die Näherung K̂4 (τ ) die Form
K̂4 (τ ) = K̂4 (0)(1 − τ )2
(6.87)
angenommen. Hiermit kann die gekippte Phase FMϑ bei endlichen Temperaturen
berechnet werden.
6.3.4
Die Bilage
Nun werden die Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) im Rahmen der beschriebenen Näherungen für die Bilage berechnet. Mit Dh = ( D1 + D2 )/2 und mit der Konstanten
V := −K4 (0)
124
(6.88)
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
(V > 0) sowie mit den Gleichungen (6.21, 6.77) erhält man
1
K̂2 (τ ) = (1 − τ ) Dh − Ω
+ V (1 − τ )
1 − qτ
(6.89a)
K̂4 (τ ) = −V (1 − τ )2 .
(6.89b)
Mit diesen Näherungen können die beiden genäherten Reorientierungstemperatuxy
ren τ̂r und τ̂rz berechnet werden, es ist mit Gleichung (4.47)
Dh − Ω
1
p
p ± V ( 1 − τ̂r ) = 0,
1 − qτ̂r
(6.90)
p
wobei das Pluszeichen für τ̂r = τ̂rz gilt. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung
lautet mit q = 2/5
r
Dh 3 2 10Ω
7
D
1
h
(6.91)
τ̂rz , τ̂rxy = ±
∓
∓
±
4 2V 2
V
2
V
xy
Für die Breite der gekippten Phase ∆τ̂r = τ̂rz − τ̂r folgt
!
r
r
Dh 3 2 10Ω
Dh 3 2 10Ω
Dh 1
−
−
+
+
+
−
∆τ̂r =
V
2
V
2
V
V
2
V
(6.92)
sowie für kleine V in linearer Näherung
∆τ̂rlin =
5Ω(5Ω − 3Dh )
V + O(V )3 .
2Dh3
(6.93)
Ein Vergleich dieser Näherungen mit den Ergebnissen aus Kapitel 4 zeigt, daß
die Näherung das System gut beschreibt: Für Parametersatz PL=2 erhält man mit
dieser Näherung ∆τ̂r ' 14,70% sowie in linearer Ordnung ∆τ̂r ' 14,39% +
O(V )3 , während sich in der numerischen Lösung der Molekularfeldgleichungen
in Kapitel 4.3 ∆τr ' 14,67% ergab (siehe Tabelle 7). Ein mit dieser Näherung
Satz
xy
τr
xy
τrz
∆τr
τ̂r
τ̂rz
∆τ̂r
∆τ̂rlin
PL=2
0,216
0,363
0,147
0,197
0,344
0,147
0,144
PFe
0,541
0,571
0,030
0,520
0,548
0,028
0,028
PNi
0,668
0,690
0,022
0,749
0,761
0,012
0,012
Tabelle 7: Vergleich der genäherten Reorientierungstemperaturen sowie der Breite der
gekippten Phase mit den in Kapitel 4 numerisch bestimmten Werten.
125
6 Störungstheorie
berechnetes Phasendiagramm ist nahezu identisch mit dem numerisch bestimmten
Diagramm in Abbildung 13 und deshalb hier nicht dargestellt. Allerdings tritt in
dieser Näherung der Übergang erster Ordnung nur bei V = 0, also bei D1 = D2 auf.
Die Näherung für die Temperaturabhängigkeit von K4 (τ ) (6.87) reicht nicht aus, um
den Phasenübergang mit Hysterese zu beschreiben sowie um den multikritischen
Punkt MKP in Abbildung 13 zu charakterisieren.
6.3.5
Dickere Filme
Für Filme mit L > 2 muß die Inhomogenität des Systems berücksichtigt werden
(Dih > 0), man erhält nun
τ
1
K̂ (τ ) ∓ K̂4 (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
−Ω
± V (1 − τ ) .
(6.94)
1 − pτ
1 − qτ
Für die Reorientierungstemperaturen ergibt sich somit
p
Dh − Dih
τ̂r
1
p
p −Ω
p ± V ( 1 − τ̂r ) = 0,
1 − pτ̂r
1 − qτ̂r
(6.95)
p
das Pluszeichen gilt für τ̂r = τ̂rz . Diese Gleichung dritter Ordnung wird nicht
p
p
explizit nach τ̂r aufgelöst, stattdessen sind in Tabelle 7 die Werte von τ̂r für PFe und
PNi angegeben. Näherungsweise gilt für kleine V in linearer Ordnung nach dem
Satz über implizite Funktionen [z. B. B RONSTEIN und S EMENDJAJEW, 1987, § 3.1.6.3]
für die Breite der gekippten Phase FMϑ
∆τ̂rlin =
2V (1 − τ̂r )
−2K̂4 (τ̂r )
+ O(V )2
+ O(V )2 = qΩ
D
ih
|dτ K̂ (τ̂r )|
(1− pτ̂r )2 + (1−qτ̂r )2 (6.96)
mit τ̂r für V = 0 aus Gleichung (6.34). Ein Vergleich hiervon mit den numerischen
Ergebnissen aus Kapitel 4.6 ist ebenfalls in Tabelle 7 dargestellt. In allen Fällen ist
die lineare Näherung für ∆τ̂r ausreichend. Für Parametersatz PFe stimmt der Wert
von ∆τ̂r besser mit dem numerisch bestimmten Wert ∆τr überein als für PNi , da
für PFe beide Summanden im Nenner von (6.96) positiv sind und eventuelle Fehler in den Näherungen keine wesentlichen Probleme bereiten, während Dih für PNi
xy
negativ ist. Die absoluten Werte der Reorientierungstemperaturen τr und τrz sind
ebenfalls für PFe genauer wiedergegeben als für PNi , da für PNi die Temperaturen
höher sind und die Näherung nahe τc schlechter wird. Dennoch kann mit diesen
Ausdrücken das Verhalten quantitativ beschrieben und die Auswirkungen der mikroskopischen Parameter auf die Lage der Phasengrenzlinien analysiert werden.
Das aus Gleichung (6.95) bestimmte Phasendiagramm für das Fe-artige System wird
im nächsten Kapitel mit anderen Näherungsmethoden verglichen.
126
7
Kontinuierliche Filmdicken
Der filmdickenabhängige Spinreorientierungsübergang wird im Experiment in einem schmalen Dickenintervall ∆Lr durchlaufen; so ist z. B. in dünnen Ni/Cu(001)
Filmen bei Raumtemperatur ∆Lr ≈ 1 ML [B ABERSCHKE und FARLE, 1997] (vgl.
Abbildung 4). Um diese Dickenabhängigkeit theoretisch beschreiben zu können,
wird in diesem Kapitel die Molekularfeldtheorie aus Kapitel 4 auf Systeme mit
kontinuierlicher Filmdicke L ∈ R erweitert [H UCHT und U SADEL, 1999b]. Diese
Erweiterung basiert auf der Feststellung, daß in einem Film der Dicke L die Magnetisierung zwar von dem Lagenindex λ abhängt, jedoch innerhalb des Films in den
Lagen λ = 2, . . . L − 1 nur wenig variiert. Um dies zu veranschaulichen, ist in Abbildung 47 der Betrag der Magnetisierung über der Temperatur mλ (τ ) des isotropen
H EISENBERGmodells (Gleichung (1.21b)) für variierenden Lagenindex λ dargestellt.
Die Kurven wurden im Rahmen der Molekularfeldtheorie für einen L = 7 Lagen
dicken Film auf einfach kubischem Gitter in (001)-Orientierung berechnet. Der Einschub zeigt die Abweichung ∆mλ = |mλ − mv | der Magnetisierung pro Spin vom
Mittelwert der inneren Filmlagen
mv =
1 L−1
mλ .
L − 2 λ∑
=2
(7.1)
Da das ungestörte System im Ortsraum eine Spiegelsymmetrie an der xy-Ebene
aufweist, gilt für die Schichtmagnetisierungen mλ = m L+1−λ ; in Abbildung 47 sind
deshalb nur die Kurven für 1 ≤ λ ≤ 4 dargestellt. Während die Magnetisierung
mλ (τ ) für λ > 1 bei allen Temperaturen τ etwa gleich ist und die Abweichung ∆mλ
selbst nahe τc kleiner als 3% ist, zeigt die Oberflächenmagnetisierung eine deutliche
Abweichung bei allen Temperaturen, die in der Nähe von τc bis auf 15% anwächst.
Der Grund für dieses abweichende Verhalten im gesamten Temperaturbereich ist,
daß die Koordinationszahl z̃λ an der Oberfläche kleiner als im Volumen ist; es gilt
z̃1 = z̃v − z1 mit der Bindungsanzahl zwischen benachbarten Lagen z1 aus Tabelle 4.
127
7 Kontinuierliche Filmdicken
Magnetisierung mλ
1,0
m1(τ)
m2(τ)
m3(τ)
m4(τ)
0,5
0,1
∆mλ
0,0
−0,1
−0,2
0,0
0,0
0,0
τ
1,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 47: Die schichtabhängige Magnetisierung mλ (τ ) weicht nur an der Oberfläche
(λ = 1) wesentlich von dem Mittelwert im Inneren mv (τ ) ab, diese Abweichung ist im
Einschub dargestellt. Die Kurven wurden in der Molekularfeldnäherung des isotropen
H EISENBERGmodells mit L = 7 Schichten berechnet.
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
Da die Schichtmagnetisierungen mλ innerhalb des Films in Bezug auf λ etwa konstant sind, nehmen wir nun zusätzlich zur Translationsinvarianz in der xy-Ebene
(vgl. Kapitel 4.2) an, daß die Magnetisierung in den inneren Lagen nicht vom Lagenindex λ abhängt und nur an den Oberflächen vom Volumenwert mv abweicht.
Die dieser Annahme zugrundeliegende Symmetrie vertauscht eine Volumenlage
1 < λ < L mit einer anderen Volumenlage 1 < µ < L. Die betrachtete H AMIL TONfunktion (1.21) erfüllt ebenfalls diese Symmetrie. Für den Erwartungswert hsi iξ
gilt also

wenn si in Oberflächenlage λ = 1
 hss iξ
hsi iξ =
(7.2)
hs i
wenn si in Grenzflächenlage λ = L
 i ξ
hsv iξ
sonst.
Für die folgende Überlegung werden weiterhin nur nächste Nachbarwechselwirkungen zwischen den Schichten berücksichtigt, d. h. zλ >1 = Φλ >1 = 0. Dies ist ausreichend, da die Dipolwechselwirkung exponentiell mit dem Lagenabstand abfällt
(vgl. Kapitel 2.3); man kann die Herleitung aber auch mit beliebigen langreichweiti-
128
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
(a)
s1
z1
s2
z1
z1
z0
Lv
s3
(b)
z1
z1
z0
s4
z1
z1
z0
s5
ss
z1
z0
z0
zss
zsv sv
zvi si
zvs
ziv
zvv
zii
Abbildung 48: Schematische Darstellung der Wirkungen auf einen Spin (einlaufende Pfeile) für L = 5 Schichten (a) und für das Modell mit kontinuierlicher Schichtdicke (b). z|µ −ν |
bzw. z̃µν ist die Anzahl der nächsten Nachbarn, die ein Spin sµ in Schicht ν hat. In Abbildung (b) ist der Volumenspin sv größer gezeichnet, da er das größere Teilsystem mit der
Dicke Lv repräsentiert.
gen Kopplungen durchführen. In Abbildung 48a sind die durch das Molekularfeld
vermittelten Wirkungen der Spins aufeinander für das Beispiel der Austauschwechselwirkung Jz|µ −ν | mit J = 1 in einem System mit L = 5 Schichten abgebildet.
Das von einer Schicht ν auf einen Spin sµ wirkende Molekularfeld Jz|µ −ν | hsν iξ wird
durch einen einlaufenden Pfeil dargestellt. Wenn wir nun die Spins s2 bis s L−1 zu
einem Volumenspin sv zusammenfassen und den Oberflächenspin (λ = 1) bzw. den
Grenzflächenspin (λ = L) mit ss bzw. si bezeichnen, erhalten wir für dieses Beispiel
mit L = 5 die Molekularfelder


 


hs (ξ )
z1
0
hss iξ
z0
 hv (ξ )  = J  1 z1 z0 + 4 z1 1 z1  ·  hsv iξ  .
3
3
3
hi (ξ )
0
z1
z0
hsi iξ
Das resultierende System mit drei Spins ist in Abbildung 48b skizziert. Der Faktor
1/3 in der mittleren Zeile der Matrix tritt auf, da der Spin sv in Bild 48a dreimal
vertreten ist und da man die in den Bereich Lv einlaufenden Felder gleichmäßig auf
diese drei Spins aufteilen muß.
Für beliebige Filmdicken L mit den Teilsystemdicken Ls = Li = 1 und Lv = L − 2
gilt für die Matrix z der effektiven Anzahl nächster Nachbarn allgemein


z0
z1
0
1
−1
−1
.
z =  L−
(7.3)
v z1 z0 + 2(1 − Lv ) z1 Lv z1
0
z1
z0
Die Matrix der effektiven Dipolsummen Φ erhält man analog, indem man in (7.3) zδ
durch Φδ ersetzt, die Konstanten zδ und Φδ entnimmt man Tabelle 1. Man beachte,
daß die resultierende effektive Wechselwirkung zwischen dem Volumenspin sv und
den Oberflächenspins ss und si asymmetrisch ist, da zsv = Lv zvs . Die Oberflächenspins haben also einen um den Faktor Lv geringeren Einfluß auf den Volumenspin
als umgekehrt.
129
7 Kontinuierliche Filmdicken
In dem Ausdruck für das Molekularfeld in Schicht λ (4.32) muß zδ und Φδ durch
zλµ und Φλµ ersetzt werden, und es gilt nun
hλ (ξ ) =
∑
µ = s,v,i
Jzλµ hsµ iξ − ωΦλµ A · hsµ iξ .
(7.4)
Zusätzlich müssen noch die Formeln zur Berechnung extensiver Größen wie der Gesamtmagnetisierung m(τ ) modifiziert werden, da der Volumenspin sv ein größeres
Teilsystem repräsentiert als der Oberflächen- bzw. Grenzflächenspin. Für die freie
Energie des Systems und den Erwartungswert pro Spin einer Größe A gelten nun
die Formeln
F (τ , ξ ) =
A(τ ) =
∑
Lλ Fλ (τ , ξ )
(7.5a)
1
Lλ Aλ (τ ),
L λ =∑
s,v,i
(7.5b)
λ = s,v,i
d. h. die drei Teilsysteme müssen gemäß ihres Volumens Lλ gewichtet werden.
Mit diesem Modell ist man nicht mehr auf ganzzahlige Werte der Filmdicke L
beschränkt.
Die kritische Temperatur des isotropen H EISENBERGmodells H0 im Rahmen dieser Näherung wird aus dem größten Eigenwert z̃eff ( L) der Matrix z (7.3) berechnet
und lautet
q
Tc ( L)
z0
z1
z̃eff ( L)
−1
−
2
=
=
+
.
(7.6)
1 − ( L − 2) + 1 + ( L − 2)
J
3
3
3
Vergleicht man diese Formel mit dem entsprechendem Ergebnis des diskreten Modells [W OLFRAM et al., 1971] aus Gleichung (6.2)
Tc ( L)
z0 2z1
π
z̃eff ( L)
cos
,
=
=
+
J
3
3
3
L+1
so zeigt sich, daß die kritischen Temperaturen für L = 2, 3, 4 und für L → ∞
identisch sind. Die maximale relative Abweichung beträgt für das einfach kubische
Gitter etwa −0,6% bei L ' 11,5. Für L = 3 und L = 4 sind das diskrete und das
kontinuierliche Modell identisch, da in diesen beiden Fällen auch im diskreten Modell alle inneren Lagen gleiche Magnetisierung haben. Im Grenzfall L → ∞ sind die
kritischen Temperaturen in beiden Modellen ebenfalls gleich, da sie vom Volumen
bestimmt werden; an den Oberflächen ergeben sich allerdings unterschiedliche Ergebnisse. So ist für L → ∞ der kritische Exponent der Oberflächenmagnetisierung
β = 1 im diskreten Modell [W OLFRAM et al., 1971] und β = 1/2 im hier vorgestellten
kontinuierlichen Modell. Zur Beschreibung des Grenzfalls L → ∞ ist dieses Modell
deshalb weniger gut geeignet.
130
7.2 Vergleich der Methoden
7.2 Vergleich der Methoden
Der Vergleich der entwickelten Methoden am Phasendiagramm des Fe-artigen Systems in Abbildung 49 zeigt, daß die Näherungsmethode aus Kapitel 6.2 (Gleichung 6.95) sowie die Rechnungen aus diesem Kapitel in guter quantitativer Übereinstimmung mit den Lösungen der Molekularfeldgleichungen des diskreten Modells auf Kapitel 4.6 sind. Da die Lage der gekippten Phase FMϑ in der Störungstheorie im Grundzustand bestimmt wurde und die in Kapitel 6.2 gemachten Näherungen bei tiefen Temperaturen sehr gut sind, wird das System bei tiefen Temperaturen besser durch diese Näherung beschrieben. Bei Temperaturen nahe der
C URIEtemperatur wird diese Näherung allerdings schlechter, da die Fehler in den
Näherungslösungen für die Anteile der Anisotropien Kn (τ ) dort größer werden und
gleichzeitig die Anisotropien Kn (τ ) dort einen sehr flachen Verlauf haben.
1,0
Temperatur τ [T/Tc(∞)]
PM
0,8
FMxy
0,6
FMz
0,4
τc(L)
diskretes Modell
kontinuierliches Modell
Störungstheorie
τr(L) aus Gleichung (6.38)
Lr(τ) aus Gleichung (6.39)
0,2
0,0
1
2
3
4
FMϑ
5
6
7
Filmdicke L [ML]
Abbildung 49: Vergleich der entwickelten Methoden am Phasendiagramm des Fe-artigen
Systems mit PFe . Die dicke durchgezogene Linie entspricht der C URIEtemperatur Tc ( L)
des Films; die unterbrochene sowie die strichpunktierte Linie sind die Näherungen aus
Gleichungen (6.38, 6.39). Die Kreise und die verbleibenden dünnen Linien sind die Phasengrenzen der gekippten Phase FMϑ , wobei die Kreise die numerischen Lösungen der
Molekularfeldgleichungen des diskreten Modells sind. Die punktierten Linien wurden mit
der Approximation (6.95) aus Kapitel 6.2 berechnet, und die dünnen durchgezogenen Linien sind mit dem in diesem Kapitel beschriebenen Modell mit kontinuierlicher Schichtdicke
bestimmt worden.
131
7 Kontinuierliche Filmdicken
In diesem Temperaturbereich ist die in diesem Kapitel entwickelte Fortsetzung
auf nichtganzzahlige Filmdicken genauer. Hier wird jedoch die Breite der Phase FMϑ
zu klein bestimmt, da diese Phase allein durch die nichtkollineare Spinstellung in
den verschiedenen Lagen stabilisiert wird. Da alle Volumenspins zu einem Spin sv
zusammengefaßt wurden, hat das System weniger Möglichkeiten, eine nichtkollineare Spinstruktur auszubilden.
Die expliziten Näherungsformeln (6.38, 6.39) stellen sich als nicht ausreichend
zur quantitativen Beschreibung der Phasengrenzlinie heraus. Während die homogene Näherung (6.38) zu steil verläuft, erreicht die Näherung unter Vernachlässigung
der Schichtdickenabhängigkeit der C URIEtemperatur (6.39) die kritische Linie Tc ( L)
nicht.
7.3 Nickel auf Kupfer (001)
In diesem Abschnitt wird mit dem kontinuierlichen Modell das Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm dünner Nickelfilme auf Kupfer in (001)-Orientierung berechnet [H UCHT und U SADEL, 1999b] und mit dem von B ABERSCHKE und FAR LE [1997] experimentell bestimmten Phasendiagramm (Abbildung 4) verglichen.
Insbesondere wird untersucht, ob die in Ni/Cu(001) gefundene stabile gekippte
Phase FMϑ mit dem in dieser Arbeit beschriebenen Mechanismus erklärt werden
kann oder ob zusätzlich lokale Anisotropien vierter Ordnung Eλ in der H AMILTONfunktion berücksichtigt werden müssen.
Im Gegensatz zu Kapitel 4.6.3 wird nun die kubisch flächenzentrierte Gitterstruktur der Nickelfilme zugrunde gelegt. Mit der C URIEtemperatur von Nickel
im Volumen [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN, 1986] Tc ≈ 631 K und der Koordinationszahl
z̃kfz = 12 ergibt sich analog zu (4.54b)
J ≈ 13,6 meV.
(7.7)
Die Dipolenergie sowie die lokalen uniaxialen Anisotropien betragen wie in Kapitel 4.6.3
ω
Dv
Ds̄
Ds
≈
1,3 µeV
≈
40 µeV
≈ −60 µeV
≈ −160 µeV
≈
'
'
'
10−4 J
31ω
−47ω
−125ω.
Die mit diesen Parametern berechneten Phasengrenzen entsprechen den dünnen Linien in Abbildung 50, während die dicke durchgezogene Linie die schichtdickenabhängige C URIEtemperatur Tc ( L) (6.2) ist. Da die Molekularfeldnäherung
132
7.3 Nickel auf Kupfer (001)
Temperatur τ [T/Tc(7ML)]
1,0
PM
0,8
FMxy
FMz
0,6
τc(L)
xy
τr (L)
z
τr (L)
Exp. parallel
Exp. verkippt
Exp. senkrecht
0,4
0,2
0,0
1
2
3
4
5
FMϑ
6
FMϑ
7
8
9
10
Filmdicke L [ML]
Abbildung 50: Vergleich des berechneten Phasendiagramms mit experimentellen Daten für
Ni/Cu(001). Die durchgezogene Linie entspricht der C URIEtemperatur Tc ( L) des Films,
die punktierten und die strichlierten Linien sind die Reorientierungstemperaturen Trz ( L)
xy
und Tr ( L). Die Symbole sind experimentelle Messungen an Ni/Cu(001) von B ABERSCHKE
kfz
und FARLE [1997]. Die dünn dargestellten Phasengrenzen sind mit Parametersatz PNi ohne
Anisotropie vierter Ordnung berechnet. Für die dick gezeichneten Phasengrenzen wurden
zusätzlich Anisotropiekonstanten vierter Ordnung Eλ berücksichtigt und die Konstanten
exp
Dλ leicht modifiziert; dies entspricht Parametersatz PNi .
in niedrigdimensionalen Systemen generell zu hohe Werte für Tc liefert, wurden alle
Temperaturen auf die C URIEtemperatur eines Films der Dicke L = 7 ML normiert.
Man erhält mit diesen Parametern wie im Experiment einen umgekehrten Spinreorientierungsübergang, der jedoch um etwa zwei Monolagen zu dünneren Filmen
hin verschoben ist. Die Phasengrenzlinien zwischen FM xy und FMϑ bzw. FMϑ und
FM z weisen die korrekte Steigung auf und der Übergang tritt wie im Experiment
in einem etwa 3,5 Monolagen breiten Bereich auf. Bei einem sieben Monolagen
dicken Film ist Tr ( L) ≈ 0, bei 4,5 Monolagen ist Tr ( L) ≈ Tc ( L). Die Breite der
Phase FMϑ ist allerdings etwa eine Größenordnung geringer als im Experiment.
Dies läßt darauf schließen, daß zur korrekten Beschreibung von Ni/Cu(001) eine
mikroskopische lokale Anisotropie vierter Ordnung von der Form − Eλi (siz )4 in der
H AMILTONfunktion angenommen werden muß (1.21d). Hierfür wurden die lagenabhängigen Werte von Eλ entsprechend zu Messungen von B ABERSCHKE [1996] auf
Eλ ≈ − Dλ /4 gesetzt. Da die Position der Phasengrenzlinien sehr empfindlich von
133
7 Kontinuierliche Filmdicken
den Parametern Dλ abhängt, wurden diese leicht modifiziert, um die Phasengrenzen
zu dickeren Filmen zu verschieben, wobei die Parameter Dλ noch innerhalb der experimentellen Fehlerbalken liegen. Die so ermittelten Phasengrenzen sind als dicke
strichlierte bzw. punktierte Linien in Abbildung 50 eingezeichnet.
Das so gewonnene Phasendiagramm zeigt eine gute Übereinstimmung mit dem
experimentell bestimmten Phasendiagramm von B ABERSCHKE und FARLE [1997]
(siehe auch Abbildung 4). Die Steigung der Phasengrenzlinien wird richtig wiedergegeben, und in Übereinstimmung mit dem Experiment wird die gekippte Phase
mit wachsender Temperatur immer schmaler, bis schließlich bei etwa 6,5 Monolaxy
gen gilt Tr ( L) = Trz ( L) = Tc ( L). Der Grund für dieses Zusammenlaufen ist, daß die
effektive Anisotropie vierter Ordnung K4 ( T ) bei Tc null wird, mit Gleichung (6.96)
folgt daraus ∆Tr = 0.
7.4 Störungstheorie
Nun werden die Methoden der Störungstheorie aus Kapitel 6.1 sowie die darauf
basierende Näherung aus Kapitel 6.2 auf das kontinuierliche Modell angewandt
[H UCHT und U SADEL, 1999a]. mλ bezeichnet wieder die Magnetisierung des ungestörten Systems. Da im ungestörten System die beiden Oberflächenmagnetisierungen ms und mi gleich sind, können die entsprechenden Anisotropien und Dipolsummen zu mittleren Oberflächentermen zusammengefaßt werden. Es gilt somit
Ds̄ = ( Ds + Dv )/2 und Ls̄ = 2 sowie wie bisher Lv = L − 2. Die Matrix Φ der
effektiven Dipolsummen Φλλ0 lautet dann
Φ0
Φ1
Φ=
,
(7.8)
1
1
2Φ1 L−
Φ0 + 2(1 − L−
v
v )Φ1
und die Matrix der effektiven Anzahl nächster Nachbarn z folgt analog durch
Ersetzung von Φδ durch zδ . Für die totale Anisotropie (6.16) erhält man unter
Berücksichtigung der unterschiedlichen Volumina Lλ der Teilsysteme
Lλ
mλ ( L, T )
K ( L, T ) = ∑
Dλ 1 − 3T
hλ ( L, T )
λ = s̄,v L
−
3ω
mλ ( L, T )Φλλ0 Lλ0 mλ0 ( L, T )
4L λ ,λ∑
0 = s̄,v
(7.9a)
mit dem Molekularfeld in Teilsystem λ
hλ ( L, T ) = J
134
∑
λ 0 = s̄,v
zλλ0 mλ0 ( L, T ).
(7.9b)
7.4 Störungstheorie
Die Magnetisierungen mλ ( L, T ) sind nun über die Kopplungsmatrix z L-abhängig.
Unter Vernachlässigung der Phase FMϑ gilt am Spinreorientierungsübergang
( Lr , Tr ) wieder K ( Lr , Tr ) = 0.
Das so berechnete Phasendiagramm für ein kubisch flächenzentriertes System
ist in Abbildung 51 gezeigt. Die Oberflächenanisotropiekonstante Ds wurde so
gewählt, daß der Spinreorientierungsübergang im Grundzustand immer bei L = 6
auftritt; man erhält durch Nullsetzen von Gleichung (6.22) die Bedingung Dh = Ω
bzw. durch Einsetzen
3ω
Φ0 L + 2Φ1 ( L − 1) − Dv ( L − 1) ' 51ω − 5Dv ,
(7.10)
Ds =
4
die verwendeten Wertepaare sind in Tabelle 8 angegeben. Es können drei verschiedene Szenarien unterschieden werden:
• Wenn für die Größen Dv und ω gilt
√
3
Dv
< (Φ0 + 2Φ1 ) ' 8π ' 8,89,
ω
4
(7.11)
dann überwiegt die Dipol- die Volumenanisotropie und man findet einen normalen Fe-artigen Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu planarer
Magnetisierung mit wachsender Filmdicke L und Temperatur T. Dies sind die
durchgezogenen Linien in Abbildung 51.
• Für hinreichend große Anisotropien Dv & 20ω tritt ein umgekehrter Ni-artiger
Spinreorientierungsübergang auf, bei dem die Magnetisierung mit wachsender Dicke und Temperatur von planarer zu senkrechter Orientierung wechselt.
Dies sind die strichlierten Linien in Abbildung 51.
• In dem Zwischenbereich hat die Phasengrenzlinie positive Steigung. Hier findet man bei wachsender Filmdicke L und konstanter Temperatur T einen
Ni-artigen Übergang, während bei wachsender Temperatur T und konstanter Dicke L ein Fe-artiger Übergang auftritt. Dies sind die strichpunktierten
Linien in Abbildung 51. Diese Phasengrenze erreicht für große L nicht notwendigerweise Tc ( L) (dies gilt z. B. für Dv /ω = 12), d. h. es kann selbst bei
großen Schichtdicken ein dann dickenunabhängiger Spinreorientierungsübergang auftreten, der allein von einer Konkurrenz der uniaxialen Volumenanisotropie Dv mit der Dipolanisotropie stammt. Dieses Ergebnis gilt allerdings
weiterhin nur in der Geometrie dünner Filme.
Die Grenze zwischen dem Ni-artigen Übergang und dem Zwischenbereich kann
mit Hilfe der Näherung von Kapitel 6.2 berechnet werden. Hierzu fordert man,
135
7 Kontinuierliche Filmdicken
daß an dieser Grenze die Phasengrenzlinie bei T = 0 senkrecht verläuft und
somit der Spinreorientierungsübergang bei tiefen Temperaturen unabhängig von
der Temperatur ist. Dies ist der Fall, wenn K ( L, 0) = 0 und ∂T K ( L, 0) = 0 ist, also
bei tiefen Temperaturen die Entropiedifferenz der Phasen FM z und FM xy
∆s( L, T ) = −∂T K ( L, T )
verschwindet, d. h. ∆s( L, 0) = 0 ist. Hieraus kann die Volumenanisotropie Dv
berechnet werden, bei der die Grenzlinie bei T = 0 senkrecht verläuft, es ergibt
sich
3 z̃v Φ0 L + 2Φ1 ( L − 1)
3 z̃s̄
Dv∆s=0
=
(7.12)
1−
ω
4z1
L−2
5 z̃eff ( L)
mit z̃eff ( L) aus (6.2). Für die hier betrachteten Parameter erhält man Dv∆s=0 ' 22,0ω.
Wenn Dv > Dv∆s=0 ist, kann ein Ni-artiger Spinreorientierungsübergang auftreten.
Tatsächlich beträgt in Ni/Cu(001) die Volumenanisotropie Dv /ω ≈ 30. Durch eine
Verminderung von Dv auf etwa die Hälfte z. B. durch Verwendung einer Legierung
oder eines anderen Substrats sowie durch eine Anpassung der Oberflächenanisotropie Ds̄ durch Bedeckung mit einem geeigneten Material könnte dieser Übergang
experimentell beobachtet werden. Weiterhin wäre interessant, im Rahmen eines solchen Experimentes die Änderung der Steigung der Phasengrenzlinie zu untersuchen.
Durch das Phasendiagramm in Abbildung 51 werden die Fe- und Ni-artigen
filmdicken- und temperaturabhängigen Spinreorientierungsübergänge in einen einheitlichen Rahmen gesetzt: Durch Erhöhung der Volumenanisotropiekonstanten
Dv = −20ω, . . . , 8ω verläuft
√ die Phasengrenze K ( Lr , Tr ) = 0 immer flacher. Bei einem kritischen Wert Dv ' 8πω tritt ein neuartiger Typ von Übergang auf und die
Phasengrenze hat eine positive Steigung. Durch weitere Erhöhung von Dv nimmt
diese Steigung immer mehr zu, bis die Linie bei Dv ≈ 20ω etwa senkrecht verläuft,
dort beginnt der Ni-artige Bereich. Bei weiterer Erhöhung von Dv konvergiert die
Phasengrenze von oben gegen die Grenze für ω → 0 (punktierte Linie in Abbildung 51).
136
7.4 Störungstheorie
1,0
Temperatur τ [T/Tc(∞)]
0,8
5
0,6
16
−20
0
14
7
0,4
8
12
τc(L)
Fe−artig
"neuartig"
Ni−artig
ω→0
0,2
0,0
18
20
30
1
2
3
10
9
4
5
6
7
8
9
10
Filmdicke L [ML]
Abbildung 51: Die möglichen Spinreorientierungsszenarien in dünnen Filmen für verschiedene Werte der lokalen uniaxialen Volumenanisotropiekonstanten Dv . Die Werte von
Dv /ω sind an den Phasengrenzen angegeben und die Oberflächenanisotropiekonstante
Ds wurde so gewählt, daß der Spinreorientierungsübergang im Grundzustand immer bei
L = 6 auftritt (die Wertepaare sind in Tabelle 8 angegeben). Die dicke durchgezogene Linie ist die C URIEtemperatur Tc ( L) (6.2), die dünnen durchgezogenen Linien sind Fe-artige
und die strichlierten Linien Ni-artige Grenzen. Die strichpunktierten Linien sind bisher
nicht experimentell beobachtete Phasengrenzen mit positiver Steigung, hier verläuft der
Spinreorientierungsübergang für T = const wie in Ni und für L = const wie in Fe, wobei
die Phasengrenze nicht notwendigerweise Tc erreicht. Die punktierte Linie ist die Phasengrenze für Dv /ω → ±∞, d. h. hier tritt der Spinreorientierungsübergang für ω → 0 auf.
Dv /ω
Ds /ω
−20
151
0
51
5
26
7
16
8
11
9
6
Dv /ω
Ds /ω
12
−9
14
−19
16
−29
18
−39
20
−49
30
−99
10
1
Tabelle 8: In Abbildung 51 verwendete Parameter Dv und Ds .
137
8
Zusammenfassung
In dieser Arbeit ist der Einfluß von magnetischen Anisotropien auf die Orientierung der Magnetisierung ultradünner ferromagnetischer Filme untersucht worden. Als Modell wird das klassische H EISENBERGmodell mit lokalen Anisotropien
und langreichweitiger Dipolwechselwirkung zugrundegelegt. Insbesondere wird
die Temperaturabhängigkeit der resultierenden effektiven Anisotropien bestimmt
und der daraus resultierende temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergang
untersucht.
In Kapitel 2 wurden zunächst mit zahlentheoretischen Methoden analytische
Ausdrücke für Dipolsummen auf verschiedenen zweidimensionalen Gittern hergeleitet. Weiterhin sind Formeln für dickere Filme angegeben worden, mit denen die
Dipolsummen numerisch bestimmt werden können.
Eine Untersuchung des Systems im Grundzustand (Kapitel 3) lieferte Kriterien
für den Spinreorientierungsübergang sowie für dessen Ordnung. Hier stellte sich
heraus, daß ein kontinuierlicher Übergang auch dann auftreten kann, wenn lediglich uniaxiale Anisotropien zweiter Ordnung in der H AMILTONfunktion zugrundegelegt werden. Nur in der Monolage ist der Übergang immer diskontinuierlich, in
dickeren Filmen genügt eine beliebig kleine Inhomogenität der Anisotropien, damit
der Übergang kontinuierlich wird. Die gekippte Phase wird durch eine nichtkollineare Spinstruktur stabilisiert.
Weiterhin wurde im Grundzustand untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung zu Domänen führt und die Domänenbreite NGS im Rahmen einer
1/ N-Entwicklung analytisch berechnet. Obwohl in der Phase FMz mit senkrechter
z
für die
Magnetisierung im Prinzip immer Domänen auftreten, wird die Breite NGS
betrachteten Parameter so groß, daß man effektiv einen ferromagnetischen Grundzustand erhält. Auch in der planaren Phase FM xy treten in einem sehr schmalen
Parameterbereich Streifendomänen auf, die durch die Streufelder des diskreten Gitters stabilisiert werden.
Die Untersuchung des Spinreorientierungsübergangs wurde in Kapitel 4 mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt. In der Bilage
mit L = 2 Lagen wurde exemplarisch für dickere Filme der Einfluß der Verteilung
der uniaxialen Anisotropien sowie das Verhalten des Systems in äußeren Magnetfel-
138
dern untersucht. Es stellte sich heraus, daß der temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergang ein thermodynamischer Phasenübergang mit divergierender transversaler Suszeptibilität ist. Wie im Grundzustand ist der Übergang im allgemeinen
kontinuierlich mit einer intermediären Phase FMϑ mit gekippter Magnetisierung.
Die Ordnungsparameter sind die senkrechte und die planare Komponente der spontanen Gesamtmagnetisierung m z ( T ) und m xy ( T ), wobei m z ( T ) bei Trz und m xy ( T )
xy
bei Tr kritisch wird. Es gibt also zwei kritische Reorientierungstemperaturen. Bei
Verringerung der Inhomogenität der uniaxialen Anisotropie tritt ein multikritischer
xy
Punkt auf, bei dem Tr = Trz ist und der Übergang diskontinuierlich wird.
Ein äußeres Magnetfeld B unterdrückt lediglich die spontane Ordnung in den
konjugierten Komponenten der Magnetisierung. So kann z. B. in einem senkrechten
Feld B k ẑ die planare Phase FM xy weiterhin existieren und verschwindet erst
bei einem kritischen Feld Bcz ( T ). Die berechneten Phasendiagramme zeigen bei
senkrechtem Feld ein reentrant-Verhalten der paramagnetischen Phase PM, d. h. das
System wechselt mit wachsender Temperatur von PM nach FMxy und wieder nach
PM.
In einem System mit vier Lagen konnte sowohl der Fe-artige Spinreorientierungsübergang, wie er in Fe/Ag(100) auftritt, als auch der umgekehrt ablaufende
Ni-artige Übergang wie in Ni/Cu(001) reproduziert werden. Für den Ni-artigen
Fall muß entsprechend dem Experiment eine negative uniaxiale Anisotropie an der
Filmoberfläche sowie eine positive Anisotropie im Innern des Films angenommen
werden. Weiterhin sind in Kapitel 4 die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie
eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T ) numerisch aus dem mikroskopischen
Modell berechnet worden. An diesen Größen kann der Spinreorientierungsübergang quantitativ diskutiert werden. Wie sich herausstellte, wird schon im Grundzustand eine Anisotropie vierter Ordnung K4 gefunden, die z. B. für Eisen einen Anteil
von etwa 8% an der Gesamtanisotropie K = K2 + K4 ausmacht. Dies zeigt, daß eine
experimentell bestimmte endliche Anisotropie vierter Ordnung K4 (0) 6= 0 nicht notwendigerweise impliziert, daß in dem betrachteten System mikroskopische Anisotropien vierter Ordnung ∝ s4z vorhanden sind. Vielmehr muß die immer auftretende
Nichtkollinearität der Magnetisierung bei der Bestimmung mikroskopischer Parameter berücksichtigt werden. Generell kann gesagt werden, daß Inhomogenitäten
in den Anisotropien den Spinreorientierungsübergang kontinuierlich werden lassen und daß der Übergang nur in Systemen mit hoher Symmetrie diskontinuierlich
verläuft.
In Kapitel 5 ist eine Methode zur Monte Carlo-Simulation des Spinreorientierungsübergangs entwickelt worden. Es zeigte sich, daß der temperaturgetriebene
Spinreorientierungsübergang in der Monolage entgegen anderen Arbeiten auch in
der Simulation diskontinuierlich ist, während in der Bilage bei inhomogener Vertei-
139
8 Zusammenfassung
lung der uniaxialen Anisotropien ein kontinuierlicher Übergang gefunden wird. Somit stimmen Molekularfeldtheorie und Monte Carlo-Simulationen qualitativ überein.
Mit Hilfe einer Störungstheorie wurden in Kapitel 6 analytische Ausdrücke für
die Abhängigkeit der Größen Kn ( T ) von den Parametern des Modells hergeleitet,
die zu einem tieferen Verständnis des Spinreorientierungsübergangs führen. Hiernach resultiert dieser aus dem unterschiedlichen Temperaturverhalten der dipolaren und der lokalen Beiträge der effektiven Anisotropien Kn ( T ). Zusätzlich spielt
die im Vergleich zum Innern des Films reduzierte Oberflächenmagnetisierung eine
wichtige Rolle, da hierdurch der Einfluß der Oberflächenanisotropie mit wachsender Temperatur kleiner wird als der Einfluß der Volumenanisotropien. Deswegen
wirkt sowohl im Fe- als auch im Ni-artigen System eine Erhöhung der Temperatur etwa wie eine Erhöhung der Filmdicke. Dies erklärt, warum in beiden Fällen
die Phasengrenzlinie des Spinreorientierungsübergangs im Temperatur-FilmdickePhasendiagramm eine negative Steigung hat, also die Reorientierungstemperatur
mit wachsender Filmdicke abnimmt.
Mit einer Näherung der Magnetisierung des ungestörten isotropen H EISEN BERG modells in Molekularfeldnäherung konnten geschlossene Darstellungen für
die temperatur- und filmdickenabhängigen effektiven Anisotropien Kn ( L, T ) abgeleitet werden, mit denen die Phasengrenzlinien direkt berechnet werden können.
Außerdem wurde eine Zerlegung der effektiven Anisotropie K ( L, T ) in Volumenund Oberflächenanteil K v ( T ) bzw. K s ( T ) vorgenommen, wobei ebenfalls die nichtlinearen Anteile K HO ( T ) bestimmt wurden. Zusätzlich werden diese Formeln benutzt, um zu untersuchen, welche Rolle die Entropie bei dem Übergang einnimmt.
Es zeigte sich, daß weder das Temperaturverhalten der Entropie noch das der inneren Energie Ursache für den Spinreorientierungsübergang ist, sondern alleine das
unterschiedliche Temperaturverhalten der konkurrierenden lokalen und dipolaren
Anteile ausschlaggebend ist.
Schließlich wurde das Modell in Kapitel 7 auf kontinuierliche Filmdicken erweitert, da der Spinreorientierungsübergang im Experiment empfindlich von der
Filmdicke abhängt. Die verschiedenen Ergebnisse wurden am Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm des Fe-artigen Systems diskutiert. Mit dem erweiterten Modell kann das Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm von dünnen Nickelfilmen
auf Kupfer (001) gut reproduziert werden. Allerdings muß eine zusätzliche lokale
Anisotropie vierter Ordnung in die H AMILTONfunktion aufgenommen werden, da
sonst die gekippte Phase FMϑ etwa eine Größenordnung zu schmal ist.
Eine abschließende systematische Untersuchung der möglichen Reorientierungsszenarien gibt ein einheitliches Bild des Spinreorientierungsübergangs. Bei
Erhöhung der lokalen Volumenanisotropiekonstanten Dv von null aufwärts und
140
gleichzeitiger Verkleinerung der Oberflächenanisotropie verläuft die Phasengrenze
des Spinreorientierungsübergangs immer flacher. Bei einem kritischen Wert tritt ein
neuartiger Typ von Übergang auf und die Phasengrenze hat nun eine positive Steigung. Hier findet man bei wachsender Filmdicke L und konstanter Temperatur T
einen Ni-artigen Übergang, während bei wachsender Temperatur T und konstanter
Dicke L ein Fe-artiger Übergang auftritt. Durch weitere Erhöhung von Dv nimmt
diese Steigung immer mehr zu, bis schließlich der Ni-artige Bereich erreicht wird.
Durch eine Verminderung von Dv auf etwa die Hälfte z. B. durch Verwendung
einer Legierung oder eines anderen Substrats sowie durch eine Anpassung der
Oberflächenanisotropie durch Bedeckung mit einem geeigneten Material könnte
dieser Übergang experimentell in Nickelfilmen beobachtet werden. Weiterhin wäre
interessant, im Rahmen eines solchen Experimentes die Änderung der Steigung der
Phasengrenzlinie zu untersuchen.
141
Anhang
A.1
Berechnung der Dipolsummen
Zur Berechnung der Summe (2.42) benutzt man die Integral-Identität [B ENSON und
M ILLS, 1969]
a
−5
4
= √
3 π
Z∞
dt t 2 e− a t .
3
2
(A.1)
0
Verwendet man die Abkürzung R̃ = LR + r und setzt (A.1) für a = | R̃| in Gleichung
(2.42) ein, erhält man
Sµν ( L, r ) =
∑
0
R ∈ Z2
R̃µ R̃ν | R̃|
4
= √
3 π
Z∞
3
2
−5
dt t e
Z∞
4
= √
3 π
∑
∑
R ∈ Z2
0
∞
− tr2z
3
dt t 2
2
δ +δ
R̃ xxµ xν e−t R̃x
Rx =−∞
0
R̃µ R̃ν e−t| R̃|
∞
2
δ +δ yν − t R̃2y
∑
R̃ yyµ
e
,
(A.2)
R y =−∞
wobei formal δ xµ = 1 ⇔ µ = x und δ xµ = 0 ⇔ µ 6= x gelten soll. Außerdem
benötigt man die F OURIERtransformation
∞
∑
n − t R̃2
R̃ e
R=−∞
1 ∞ −2π ikr/ L
=
∑ e
L k=−∞
Z∞
d R̃ R̃n e2π ik R̃/ L e−t R̃
2
(A.3)
−∞
für n = 0, 1, 2. Man erhält mit κ = k/ L
∞
∑
2
R=−∞
∞
∑
R=−∞
∞
∑
R=−∞
142
e−t R̃ =
R̃e−t R̃ =
2
2 − t R̃2
R̃ e
1 π 12
L t
i π 32
L
t
1 π 52
=
L t
∞
∑
e−2π iκ r e−π
∑
κ e−2π iκ r e−π
k =−∞
∞
k =−∞
∞ ∑
k =−∞
2κ 2 / t
2κ 2 / t
t
2 2
2
− κ e−2π iκ r e−π κ /t .
2
2π
(A.4a)
(A.4b)
(A.4c)
A.1 Berechnung der Dipolsummen
Ebenfalls benötigt wird das Integral
Z∞
n − a2 t − b2 /t
dt t e
e
0
s+1
b
= 2 Kn+1 (2| ab|)
a
(A.5a)
mit der modifizierten B ESSELfunktion Kn ( x) [z. B. A BRAMOWITZ und S TEGUN, 1972,
§ 9], für die die Symmetrie
K−n ( x) = Kn ( x)
(A.5b)
sowie für n = 1/2 die Identität
r
π −x
K 12 ( x) =
e
2x
(A.5c)
gilt.
A.1.1
Summen innerhalb der Ebene
A.1.1.1
S xx ( L, r ) und S yy ( L, r )
Für r z = 0 ergibt (A.2) durch F OURIERtransformation der Summe über R y mit der
Abkürzung κ = k/ L
S xx ( L, r )
=
4
3L y
(A.5a) 8π 2
=
3L y
∞
∑
3
dt t 2
3 π
(A.4a) 4
=
3L y
=
Z∞
4
√
∞
∑
dt t
Rx =−∞
0
R̃2x e−t R̃x
∑
∑
e
− 2π iκ y r y
∑
∑
k y =−∞
κ 2y e−2π iκ y r y
2
e−2π iκ y r y e−π
2κ 2 / t
y
k y =−∞
Z∞
Rx =−∞ k y =−∞
∞
e−t R̃y
R y =−∞
∞
2
∞
∞
∑
2
Rx =−∞
0
Z∞
∞
R̃2x e−t R̃x
dt t R̃2x e−t R̃x e−π
2
2κ 2 / t
y
0
∞
∑
Rx =−∞
K2 (2π |κ y R̃ x |).
Weiterhin gilt für den Grenzwert
lim κ 2y K2 (2π |κ y R̃ x |) =
k y →0
1
,
2π 2 R̃2x
und die resultierende Summe
∞
1 ±
rx
−2
∑ R̃x = L2x ζ 2, Lx
Rx =−∞
143
Anhang
kann mit der symmetrisierten H URWITZschen Zetafunktion
ζ ± (2, a) = ζ (2, a) + ζ (2, 1 − a)
=
∞
∑
0
(k + a)−2
k =−∞
=
π 2 /3
π 2 sin −2 (π a)
für a = 0
sonst.
berechnet werden (siehe Gleichung (2.15)). Als Ergebnis erhält man
4ζ ± (2,
S xx ( L, r ) =
rx
)
Lx
16π 2
3L y
+
3L2x L y
∞
∑
k y =1
κ 2y cos (2πκ y r y )
∞
∑
Rx =−∞
K2 (2πκ y | R̃ x |).
(A.6)
Um das Element S yy ( L, r ) zu erhalten, muß man lediglich x und y in (A.6) vertauschen.
A.1.1.2
S xy ( L, r )
Das Außerdiagonalelement S xy ( L, r ) liefert durch Transformation von R y
S xy ( L, r )
=
4π i
3L y
∞
∑
3
dt t 2
3 π
(A.4b) 4π i
=
3L y
=
Z∞
4
√
∞
dt
∑
∞
∑
∑
∞
R̃ x e−t R̃x
∞
Rx =−∞ k y =−∞
R̃ y e−t R̃y
2
R y =−∞
2
Rx =−∞
0
∑
2
Rx =−∞
0
Z∞
∞
R̃ x e−t R̃x
∑
κ y e−2π iκ y r y e−π
2κ 2 / t
y
k y =−∞
κye
− 2π iκ y r y
Z∞
dt R̃ x e−t R̃x e−π
2
2κ 2 / t
y
0
∞
∞
(A.5a) 8π i
=
∑ κ y |κ y |e−2π iκyry ∑ sgn(R̃x )K1 (2π |κ y R̃x |).
3L y k y =−∞
Rx =−∞
2
Da für k y → 0 weiterhin gilt
lim κ 2y K1(2π |κ y R̃ x |) = 0,
k y →0
folgt als Ergebnis
S xy ( L, r ) =
16π 2
3L y
∞
∞
k y =1
Rx =−∞
∑ κ 2y sin(2πκ y r y ) ∑
sgn( R̃ x )K1 (2π |κ y R̃ x |).
Da S( L, r ) symmetrisch ist, ist S xy ( L, r ) = S yx ( L, r ).
144
(A.7)
A.1 Berechnung der Dipolsummen
A.1.1.3
Sµ z ( L, r )
Für r z = 0 ergibt (A.2)
Sµ z ( L, r ) = S zµ ( L, r ) = 0
(A.8)
für µ ∈ { x, y, z}, da R z immer gleich null ist.
A.1.2
Summen zwischen den Ebenen
Für r z 6= 0 lassen sich die Elemente von (A.2) einfacher berechnen, da nun der
Ursprung (0, 0, 0) nicht aus den Summen ausgenommen werden muß. Man kann
nun beide Summen in (A.2) FOURIERtransformieren.
A.1.2.1
S xx ( L, r ) und S yy ( L, r )
Man erhält mit (A.4a) und (A.4c) sowie mit Gleichung (A.5a) für n = −1/2 und
n = −3/2, wobei wieder κ = k/ L ist,
S xx ( L, r )
=
Z∞
4
√
3 π
∞
∑
dt t 2 e−trz
3
2
Rx =−∞
0
R̃2x e−t R̃x
∞
∑
2
e−t R̃y
2
R y =−∞
√ Z∞
(A.4) 4 π
t
2 2
− 32 − tr2z
2 2
=
dt t e
− π κ x e−2π iκ ·r e−π κ /t
∑
3L x L y
2
k ∈ Z2
0
√
=
4 π
3L x L y
(A.5) 4π
=
3L x L y
2
∑
k ∈ Z2
∑
k ∈ Z2
e
− 2π iκ ·r
Z∞
dt t
− 32 − tr2z
0
1
κ2
− x
2 π |r z |
κ
e
t
2 2
2 2
− π κ x e−π κ /t
2
e−2π (iκ ·r +κ |rz|) .
(A.9)
Der Ausdruck für S yy ( L, r ) folgt hieraus durch Vertauschung aller x und y.
A.1.2.2
S zz ( L, r )
Für dieses Element ergibt sich mit (A.4a) sowie (A.5a) für n = 1/2
S zz ( L, r )
=
4
√
3 π
Z∞
dt t 2 e−trz
3
2
∞
∑
Rx =−∞
0
e−t R̃x
2
∞
∑
e−t R̃y
2
R y =−∞
√ Z∞
(A.4a) 4 π
1
2
2 2
=
dt t 2 e−trz ∑ e−2π iκ ·r e−π κ /t
3L x L y
k ∈ Z2
0
145
Anhang
A.1.2.3
=
√
4 π
3L x L y
k ∈ Z2
(A.5)
=
4π
3L x L y
k ∈ Z2
∑
2
∑
e
− 2π iκ ·r
Z∞
dt t 2 e−trz e−π
1
2
2κ 2 / t
0
1
+ κ e−2π (iκ ·r +κ |rz|) .
2 π |r z |
(A.10)
S xy ( L, r ) und S yx ( L, r )
Diese Außerdiagonalelemente lauten mit (A.4b) sowie mit (A.5a) für n = −3/2
S xy ( L, r )
=
3 π
(A.4a)
= −
=
Z∞
4
√
∞
∑
dt t 2 e−trz
3
2
Z∞
4
5
π2
3L x L y
(A.5)
4π
= −
3L x L y
2
3
R̃ y e−t R̃y
2
R y =−∞
dt t− 2 e−trz
2
∑
e−2π iκ ·r e−π
2κ 2 / t
dt t− 2 e−trz e−π
2κ 2 / t
k ∈ Z2
0
4
5
−
π2
3L x L y
∑
2
Rx =−∞
0
∞
R̃ x e−t R̃x
∑
e
− 2π iκ ·r
k ∈ Z2
Z∞
3
2
0
κ xκ y −2π (iκ ·r +κ |rz|)
e
.
k ∈ Z2 κ
∑
(A.11)
Es ist S yx ( L, r ) = S xy ( L, r ).
A.1.2.4
Sµ z ( L, r ) und S zµ ( L, r )
Hier ist mit Gleichung (A.4b) sowie mit (A.5a) für n = −1/2
S xz ( L, r )
=
(A.4)
=
=
Z∞
4
√
3 π
∞
∑
dt t 2 e−trz
0
4i
3
π2
3L x L y
4i
3
π2
3L x L y
3
2
dt t− 2 e−trz
1
k ∈ Z2
2
∑
e−t R̃y
2
R y =−∞
e−2π iκ ·r e−π
2κ 2 / t
dt t− 2 e−trz e−π
2κ 2 / t
k ∈ Z2
0
∑
∑
2
Rx =−∞
Z∞
∞
R̃ x e−t R̃x
e
− 2π iκ ·r
Z∞
1
2
0
(A.5) 4π i
=
sgn (r z ) ∑ κ x e−2π (iκ ·r +κ |rz|) .
3L x L y
k ∈ Z2
2
(A.12)
Wieder ist Sµ z ( L, r ) = S zµ ( L, r ), und S yz ( L, r ) ergibt sich, wenn man in (A.12) alle x
mit y vertauscht.
146
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.1.2.5
Kompakte Schreibweise
Man kann die Ergebnisse für r z 6= 0 aus Abschnitt A.1.2 in eine kompaktere Form
bringen: Für den komplexwertigen Vektor
K = (κ x , κ y , −iκ sgn r z )
lautet das äußere Produkt


κ x2
κ xκ y
−iκ xκ sgn (r z )


K 2 = 
κ xκ y
κ 2y
−iκ yκ sgn (r z )  ,
−κ 2
−iκ xκ sgn (r z ) −iκ yκ sgn(r z )
hiermit erhält man das Ergebnis
4π 2
K 2
1
S( L, r ) =
e−2π (iκ ·r +κ |rz|) .
−
3L x L y k∑
2
π
|
r
|
κ
z
∈ Z2
(A.13)
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.2.1
Ableitungsregeln
Für die freie Energie gilt
e−βF = Z = Sp[e−βH ].
Sei nun die H AMILTONfunktion H Funktion der Variablen x und y, dann gilt für die
Ableitung der freien Energie nach x
∂x F = −β−1 ∂x log Sp[e−βH ]
1
=
Sp[e−βH ∂x H].
Z
Da für den thermodynamischen Erwartungswert h Ai einer Größe A gilt
h Ai =
1
Sp[e−βH A],
Z
(A.14)
folgt
∂x F = h∂x Hi
(A.15)
und analog für den Gradienten
∂x F = h∂x Hi.
(A.16)
147
Anhang
Für die zweite Ableitung folgt
∂x ∂ y F = ∂x
1
Z
Sp[e
−βH
∂ y H]
1
1
Sp[∂x (e−βH ∂ y H)] − 2 ∂x Sp[e−βH ] Sp[e−βH ∂ y H]
Z
Z
1
= −β Sp[e−βH ∂x H∂ y H] + h∂x ∂ y Hi + βh∂x Hih∂ y Hi.
Z
=
Nochmaliges Einsetzen von (A.14) ergibt das Resultat
∂x ∂ y F = h∂x ∂ y Hi − β h∂x H∂ y Hi − h∂x Hih∂ y Hi
(A.17)
oder vektoriell für die H ESSEmatrix von F
∂x ⊗ ∂ y F = h∂x ⊗ ∂ y Hi − β h∂x H ⊗ ∂ y Hi − h∂x Hi ⊗ h∂ y Hi .
(A.18)
In der Molekularfeldtheorie ist die stationäre H AMILTONfunktion H̃ = H(ξ̃ ( T ))
implizit über den stationären Punkt ξ̃ ( T ) temperaturabhängig. Die Temperaturableitung des Erwartungswertes einer Größe A lautet dann
d T h Ai = d T
=
1
Z
Sp[e
−βH̃
A]
1
1
Sp[d T (e−βH̃ A)] − 2 Sp[e−βH̃ A] Sp[d T e−βH̃ ].
Z
Z
Mit
d T e−βH̃ = e−βH̃ (β2 H̃ − βdT H̃)
folgt
d T h Ai = hd T Ai + h(β2 H̃ − βd T H̃) Ai − hβ2 H̃ − βd T H̃ih Ai
= hd T Ai + β2 hH̃ Ai − hH̃ih Ai − β hd T H̃ Ai − hd T H̃ih Ai
= hd T Ai + βhhH̃ , Aii − hhd T H̃ , Aii.
A.2.2
(A.19)
Lösung des ungestörten Systems
Die ungestörte lösbare Näherung der H AMILTONfunktion an einem stationären
Punkt lautet
H̃0? = −h0 · s
148
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
mit dem ungestörten Molekularfeld aus Gleichung (4.32). Die Zustandssumme
lautet dann in Kugelkoordinaten
Z̃0?
=
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ sin ϑ eβ h0 ·s .
0
Da das System isotrop ist, sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit h0 = h ẑ. Dann
folgt unter Einführung von Kugelkoordinaten s = (cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) für
die Zustandssumme
Z̃0?
=
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ sin ϑ eβh cos ϑ =
0
4π
sinh (βh).
βh
Für den Erwartungswert h · i⊥
0 einer Größe A (ϕ, ϑ ) gilt
h Ai⊥
0
1
= ?
Z̃0
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ A(ϕ, ϑ) sin ϑ eβh cos ϑ .
0
Man erhält für die Potenzen von s z die Erwartungswerte
m = hs z i⊥
0 = coth (β h ) −
1
βh
2m
βh
4m
8
3m
4 ⊥
hs z i0 = 1 −
+
1−
.
βh β2 h2
βh
hs2z i⊥
0 = 1−
(A.20a)
(A.20b)
(A.20c)
k
Die Erwartungswerte h · i0 mit planarem Molekularfeld h k ŷ können durch Drehung des Spinraums aus Erwartungswerten h · i⊥
0 mit senkrechtem Molekularfeld
berechnet werden, da gilt
hsnz ik0 = hsny i⊥
0 .
Man erhält
m
βh
3
3m
4 k
4 ⊥
hs z i0 = hs y i0 = 2 2 1 −
.
β h
βh
hs2z ik0 = hs2y i⊥
0 =
(A.21a)
(A.21b)
k
n
Für die Differenzen hsnz i⊥
0 − h s z i 0 in Gleichungen (6.14) ergibt sich schließlich
3m
βh
4m
5
3m
4 ⊥
4 k
hs z i0 − hs z i0 = 1 −
+
1−
.
βh β2 h2
βh
2 k
hs2z i⊥
0 − hs z i0 = 1 −
(A.22a)
(A.22b)
149
Anhang
A.2.3
Die Störungstheorie zweiter Ordnung
Nun wird kurz die Störungstheorie zweiter Ordnung der freien Energie skizziert,
die jedoch nicht weiter verfolgt wurde. In zweiter Ordnung gilt analog zu Kapitel 6.1
mit F̃0 = F (ξ̃ (0), 0)
F (ξ̃ (), ) = F̃0 + d F̃0 +
2 2
d F̃0 + O()3 .
2
(A.23)
Man erhält für die Korrekturen zweiter Ordnung
d2 F̃ = ∂2 F̃ + 2 ∂ ∂ξ F̃ · dξ̃ + dξ̃ · ∂ξ2 F̃ · dξ̃
= ∂2 F̃ − dξ̃ · ∂ξ2 F̃ · dξ̃ ,
(A.24)
da ∂ ∂ξ F̃ d = −∂ξ2 F̃ · dξ̃ , und muß somit im Gegensatz zur linearen Näherung
auch die Änderung des stationären Punktes ξ̃ () unter der Störung berücksichtigen. Mit dem Satz über implizite Funktionen (vgl. Kapitel 4.1.3) erhält man
d2 F (ξ̃ (), ) = ∂2 F̃ − ∂ ∂ξ F̃ · (∂ξ2 F̃ )−1 · ∂ ∂ξ F̃ .
(A.25)
Die benötigten Ableitungen sind in den nächsten Abschnitten angegeben, die Auswertung der resultierenden Ausdrücke wurde jedoch nicht vorgenommen, vor allem weil das Inverse (∂ξ2 F̃ )−1 nicht weiter vereinfacht werden konnte.
A.2.4
Ableitungen der lösbaren freien Energie F ? (ξ )
In diesem Abschnitt werden häufig benötigte partielle Ableitungen der lösbaren
freien Energie F ? (ξ ) aus Gleichung (4.3) berechnet.
A.2.4.1
∂ F ?
Mit Gleichung (A.15) ist
∂ F ? = h∂ H? iξ = hHl iξ
= − ∑ Di h(siz )2 iξ + B · hsi iξ .
(A.26a)
i
Am stationären Punkt folgt
∂ F̃ ? = − ∑ Di h(siz )2 i + B · mi .
i
150
(A.26b)
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.2.4.2
∂2 F ?
Mit Gleichung (A.17) ist
∂2 F ? = h∂2 H? iξ − β h(∂ H? )2 iξ − h∂ H? iξ2
= −β hHl2 iξ − hHl iξ2
= −hhHl , Hl iiξ ,
(A.27a)
da ∂2 H? = 0. Am stationären Punkt ist
∂2 F̃ ? = −hhHl , Hl ii.
A.2.4.3
(A.27b)
∂ξk F ?
Mit Gleichung (A.16) ist
∂ξk F ? = h∂ξk H? iξ = −hsk iξ
(A.28a)
und am stationären Punkt
∂ξk F̃ ? = −mk .
A.2.4.4
(A.28b)
∂ξ2k F ?
Mit Gleichung (A.18) ergibt sich
2
2
2
?
?
? 2
? ∂ξk F = h∂ξk H iξ − β h(∂ξk H ) iξ − h∂ξk H iξ
2
2
= −β hs
i
−
h
s
i
k ξ
k ξ
= −hhsk , sk iiξ ,
(A.29a)
da ∂ξk H? = −sk gilt und deshalb die H ESSEmatrix ∂ξ2k H? = 0 ist. Somit folgt
∂ξ2k F̃ ? = −hhsk , sk ii.
A.2.4.5
(A.29b)
∂ ∂ξk F ?
Mit Gleichung (A.17) erhält man
∂ ∂ξk F ? = h∂ ∂ξk H? iξ − β (h∂ H? ∂ξk H? iξ − h∂ H? iξ h∂ξk H? iξ ) .
Da ∂ ∂ξk H? = 0 sowie ∂ H? = Hl und ∂ξk H? = −sk , folgt
∂ ∂ξk F ? = β (hHl sk iξ − hHl iξ hsk iξ ) .
(A.30a)
Am stationären Punkt ist
∂ ∂ξk F̃ ? = β (hHl sk i − hHl ihsk i) = hhHl , sk ii.
(A.30b)
151
Anhang
A.2.5
Ableitungen der freien Energie F (ξ )
A.2.5.1
∂ F
Für den Erwartungswert D := hH − H? (ξ )iξ gilt mit Ji j = J ji
1
∂ D = − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
−
!
1
∂ξ j F ? · ∑(∂ J ji · ∂ξi F ? + J ji · ∂ ∂ξi F ? )
2∑
j
i
= − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi +
i
1
∂ ∂ξi F ? · Ji j · ∂ξ j F ?
2∑
ij
1
∂ξ j F ? · (ωW(ri j ) · ∂ξi F ? − J ji · ∂ ∂ξi F ? )
∑
2 ij
!
ω
= − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ? + ∑ ∂ξi F ? · W(ri j ) · ∂ξ j F ? (A.31)
2 ij
i
j
+
und deshalb am stationären Punkt
ω
∂ξi F̃ ? · W(ri j ) · ∂ξ j F̃ ?
∑
2 ij
ω
= ∑ m i · W (r i j ) · m j .
2 ij
∂ D̃ =
(A.32)
Für die Ableitung ∂ F̃ ergibt sich dann
∂ F̃ = ∂ F̃ ? + ∂ D̃
= − ∑ Di h(siz )2 i + Ei h(siz )4 i + B · mi +
i
A.2.5.2
ω
m i · W (r i j ) · m j .
2 ∑
ij
∂2 F
Hier ergibt sich
!
∂2 D = − ∑ ∂2 ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
i
j
+ ∑ ∂ ∂ξi F · ∑ ωW(ri j ) · ∂ξ j F ? − Ji j · ∂ ∂ξ j F ?
?
i
j
+ω ∑ ∂ ∂ξi F ? · W(ri j ) · ∂ξ j F ? ,
ij
152
(A.33)
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
also folgt am stationären Punkt mit Gleichung (A.30b) und dem dipolaren Molekularfeld h̃ω,i = ω ∑ j W(ri j ) · m j
∂2 D̃ = − ∑hhHl , si ii · 2h̃ω,i + ∑ Ji j · hhHl , s j ii
i
j
und somit für ∂2 F̃ = ∂2 F̃ ? + ∂2 D̃
∂2 F̃ = − ∑hhsi , si ii + 2hhHl , si ii · h̃ω,i + ∑hhHl , si ii · Ji j · hhHl , s j ii.
i
A.2.5.3
(A.34)
j
∂ξk F
Der Gradient von D lautet
1
∂ξk D = − ∑ ∂ξk ⊗ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
!
1
+ ∂ξi F ? · ∂ξkξi + ∑ Ji j · ∂ξk ⊗ ∂ξ j F ?
2 j
!
1
= − ∑ δik ∂ξ2k F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
!
1
+ ∂ξi F ? · δik + ∑ Ji j · δk j ∂ξ2k F ?
2 j
1
= −∂ξk F ? − ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
2 j
−
1
∂ξi F ? · Jik · ∂ξ2k F ?
2∑
i
= −∂ξk F ? − ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
!
!
.
j
Also folgt
!
∂ξk F = ∂ξk F + ∂ξk D = −∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ? .
?
(A.35)
j
Diese Größe verschwindet am stationären Punkt nach Definition.
153
Anhang
A.2.5.4
∂ξi ⊗ ∂ξk F
Mit der Definition x3 = x ⊗ x ⊗ x erhält man
∂ξi ⊗ ∂ξk F = −∂ξi ⊗ ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
j
− ∂ξ2k F ? · ∂ξi ⊗ ξk + ∑ Jk j · ∂ξi ⊗ ∂ξ j F ?
j
= −δik ∂ξ3k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
j
− ∂ξ2k F ? · δik 1 + ∑ Jk j · δi j ∂ξ2i F ?
j
= −δik ∂ξ3k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
!
j
!
Am stationären Punkt verschwindet der erste Summand, und man erhält
∂ξi ⊗ ∂ξk F̃ = −∂ξ2k F̃ ? · δik 1 + Jki · ∂ξ2i F̃ ?
= hhsk , sk ii · δik 1 − Jki · hhsi , si ii .
A.2.5.5
− ∂ξ2k F ? · δik 1 + Jki · ∂ξ2i F ? .
(A.36)
∂ ∂ξk F
Hier ist
∂ ∂ξk F = −∂ ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
j
− ∂ξ2k F ? ·
!
∑ ∂ Jk j · ∂ξ F ? + Jk j · ∂ ∂ξ F ?
j
j
j
= −∂ ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
!
j
+ ∂ξ2k F ? ·
!
∑ ωW(rk j ) · ∂ξ F ? − Jk j · ∂ ∂ξ F ?
j
j
.
j
Am stationären Punkt verschwindet der erste Summand, es folgt
!
∂ ∂ξk F̃ = hhsk , sk ii ·
h̃ω,k + ∑ Jk j · hhHl , s j ii .
j
154
(A.37)
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Notationsverzeichnis
Â
Näherungsausdruck für die Größe A
A0
Die Größe A im ungestörten System
Ã
Größe A(ξ ) an einem stationären Punkt ξ̃ des Systems: Ã ≡ A(ξ̃ )
h Aiξ
Erwartungswert von A berechnet mit H ? (ξ )
h Ai
In der Molekularfeldtheorie: Erwartungswert von A berechnet mit H̃ ? an einem
stationären Punkt ξ̃ des Systems: h Ai ≡ h Aiξ̃
h Ai
In der Monte Carlo-Simulation: Erwartungswert von A berechnet mit H̃ ? an
einem stationären Punkt ξ̃ des Systems: h Ai ≡ h Aiξ̃
hh A, Biiξ
Abkürzung für hh A, Biiξ = β(h ABiξ − h Aiξ h Biξ )
hh A, Bii
die Größe hh A, Biiξ an einem stationären Punkt ξ̃
dx f
Ableitung d f /dx
∂x f
partielle Ableitung ∂ f /∂x
O( f ( x))
g( x) = O( f ( x)) ⇔ lim x→∞ | g( x)|/ f ( x) ∈ R>0
xµ
µ -te Element von Vektor x
x
Betrag x = | x| von x
x̂
Einheitsvektor x̂ := x/ x
x·y
inneres oder Skalarprodukt x · y := ∑µ xµ yµ
xy
direktes Produkt ( xy)µ = xµ yµ
x⊗y
äußeres Produkt ( x ⊗ y)µν = xµ yν
A
Dipolcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ann
nächster Nachbarabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
a0
Gitterkonstante der Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
aλ (τ )
Anisotropiefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B
Magnetfeld B = ( B x , B y , B z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
β
inverse Temperatur β = 1/kB T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
β
kritischer Exponent der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
x2
164
äußeres Produkt x2 = x ⊗ x, Projektor auf x, da x2 · y = x( x · y)
C
spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
cλ
Eigenwerte der H ESSEmatrix C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
∆c
Differenz der spezifischen Wärme pro Spin ∆c = ck − c⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Cp
H ESSEmatrix ∂ϑ2 E(ϑp ) am stationären Punkt ϑp bei T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
C(τ , ϑ̃p )
H ESSEmatrix ∂ϑ2 F (τ , ϑ̃p ) am stationären Punkt ϑ̃p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Dλ
Anisotropiekonstante in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∆D
Inhomogenität ∆D = D1 − D2 in der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ds , Di
Ober- & Grenzflächenanisotropiekonstanten, D1,L = Dv + Ds,i . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ds̄
mittlere Oberflächenanisotropiekonstante Ds̄ = ( Ds + Di )/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dv
Volumenanisotropiekonstante, D1<λ < L = Dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dh ( L )
homogene effektive Anisotropie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Dih ( L)
inhomogene effektive Anisotropie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Dλ ,r
( L)
kritische Anisotropiekonstanten, bei denen der Übergang bei T = 0 diskontinuierlich ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Eλ
Anisotropiekonstante vierter Ordnung in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Es , Ei
Ober- & Grenzflächenanisotropiekonstanten, E1,L = Ev + Es,i . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Es̄
mittlere Oberflächenanisotropiekonstante Es̄ = ( Es + Ei )/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ev
Volumenanisotropiekonstante, E1<λ < L = Ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Eh ( L)
homogene effektive Anisotropie vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Eω
ij
Dipolenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ei0j
isotrope Austauschenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Eiaj
anisotroper Anteil der Austauschenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Störparameter, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
EGS
Grundzustandsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Ex ( N )
Energie eines planaren Streifenzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ez ( N )
Energie einessenkrechten Streifenzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
E(s)
Energie bei T = 0, auch E(ϑ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
η
kleinster Eigenwert der H ESSEmatrix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
F̃
stationäre freie Energie, δξ F̃ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FMF
freie Energie in Molekularfeldnäherung FMF = minξ F (ξ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FM xy
Phase mit spontaner Magnetisierung m xy 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FM z
Phase mit spontaner Magnetisierung m z 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FMϑ
Phase mit spontaner gekippter Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
165
Notationsverzeichnis
G
Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
G
Pseudoinverse von C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Γ zz (∆t)
Autokorrelationsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
H
vollständige H AMILTONfunktion H = H0 + (Hω + Hl ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
H0
ungestörte H AMILTONfunktion bzw. Austauschanteil H0 = − 2J ∑hi ji si · s j . . . . 7
Hω
Dipolanteil von H, Hω =
Hl
Ein-Spin Anteil von H, Hl = − ∑i Di (siz )2 + Ei (siz )4 + B · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
H
Störanteil von H, H = Hω + Hl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
H ? (ξ )
gestörte lösbare Näherung H ? (ξ ) = Hl − ∑i ξi · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
H0? (ξ )
ungestörte lösbare Näherung H0? (ξ ) = − ∑i ξi · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
H(ξ )
Variations-H AMILTONfunktion H(ξ ) = H ? (ξ ) + hH − H ? (ξ )iξ . . . . . . . . . . . . . 48
H̃
stationäre H AMILTONfunktion H̃ = H(ξ̃ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
h(ξ )
Molekularfeld h(ξ ) = J · hsiξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
h0 (ξ )
ungestörtes Molekularfeld bzw. Austauschanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
hω (ξ )
Dipolanteil des Molekularfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
h( A, T )
Histogramm der Größe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
hi
lokales Feld in der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
H
ds f (s)
ω
2
∑ i j s i · W (r i j ) · s j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Integral der Funktion f (s) über die Oberfläche der Einheitskugel . . . . . . . . . . . . 3
J
Austauschkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
kflip
Akzeptanzhäufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
K ( L, τ )
totale effektive Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
KD ( L, τ )
uniaxialer Anteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
KE ( L, τ )
Anteil vierter Ordnung an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Kω ( L, τ )
Dipolanteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
KB ( L, τ )
Feldanteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
K v (τ )
totale effektive Volumenanisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Knv (τ )
effektive Volumenanisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
K s (τ )
totale effektive Oberflächenanisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Kns (τ )
effektive Oberflächenanisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
K HO ( L, τ )
nichtlineare Anteile in 1/ L an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Kn ( L, τ )
effektive Anisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
K4DD ( L, τ )
uniaxialer Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
K4Dω ( L, τ )
gemischter Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
166
K4ωω ( L, τ )
dipolarer Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
L
Filmdicke bzw. Anzahl der Lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∆Lr (τ )
Breite von FMϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Lx , L y
laterale Systemgröße in der Monte Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Lv
Volumenanteil des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Ls , Li
Ober- & Grenzflächenanteil des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
L
Periodizitätsvolumen von W̃( L, r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
mλ
m xy
Magnetisierung pro Spin in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
q
x
y
planare Komponente m xy = (mλ )2 + (mλ )2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
mt
Zeitreihe der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
m z∗
Magnetisierung der Phase FM z bei Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
m̃ xy
Erwartungswert hmt i aus der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
m̃ z
Erwartungswert h|mtz |i aus der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
mv (τ )
Magnetisierung pro Spin der inneren Lagen 1 < λ < L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ms (τ )
Magnetisierung pro Spin an der Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
N
Systemgröße N = L x × L y × L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
x
NGS
z
NGS
Breite der planaren Streifendomänen im Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
P
Parametersatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
p
Konstante in K̂D (τ ), p = 4/5 in ek(001) und p = 1/2 in kfz(001) . . . . . . . . . . . . 107
p
Bezeichnung für stationäre Punkte oder Phasen, p =⊥, k bzw. p = xy, z . . . . . 37
PM
paramagnetische Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ΦG (s)
Gittersumme von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
φG (n)
Koeffizienten der D IRICHLETschen Reihe zu ΦG (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Φδ
Gittersumme eines Spins in Lage λ mit der Lage λ ± δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ΦK
Gittersumme in Kontinuumsnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ΦΣ
Gittersumme in dünnen Filmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Φ̃λ
Gittersumme Φ̃λ = ∑µL =1 Φ|λ −µ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Φ
Matrix der effektiven Dipolsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
xy
Breite der senkrechten Streifendomänen im Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Q0
2
Projektor Q0 = 1 − u
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
q
Konstante in K̂ω (τ ), q = 2/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ρ
Anzahl der Atome pro Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
167
Notationsverzeichnis
x
y
z
si
Spinvariable si = (si , si , si ) am Platz i, |si | = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
S( L, r )
ein Anteil an W̃( L, r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
∆s
Entropiedifferenz pro Spin ∆s = sk − s⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Tc
kritische oder C URIEtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
t
Simulationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
ttot
Gesamtsimulationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
τ
Autokorrelationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
τ
reduzierte Temperatur τ = T / Tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
τc
reduzierte kritische Temperatur τc ≡ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
τr , Tr
reduzierte Reorientierungstemperatur, K (τr ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
τrz , Trz
xy
xy
τr , Tr
reduzierte Reorientierungstemperatur, bei der m z kritisch ist . . . . . . . . . . . . . . . . 55
∆τr
reduzierte Breite von FMϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
τm
reduzierte Temperatur, bei der ∆s(τm ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
τw
reduzierte Temperatur, bei der ∆c(τw ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
U
innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
∆u
Differenz der inneren Energie pro Spin ∆u = uk − u⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
uλ
Eigenvektoren der H ESSEmatrix C0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
V ( L)
Abkürzung für V ( L) = −K4 ( L, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
v
Abkürzung für v = C⊥ · u0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
W (r )
Dipoltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
W̃G
über die Plätze von G summierter effektiver Dipoltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
W̃( L, r )
über ein periodisches System summierter effektiver Dipoltensor . . . . . . . . . . . . 29
ω
Dipolkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ω( L)
effektive Dipolsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ξ
Vektorieller Variationsparameter ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . ) mit ξi = (ξi , ξi , ξi ) . . . . . . . 46
ξ̃
ein stationärer Punkt des gestörten Systems, auch explizit ξ̃ () . . . . . . . . . . . . . . 47
ξ̃ 0
ein stationärer Punkt des ungestörten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
zδ
Anzahl nächster Nachbarn, die ein Spin in Schicht λ in der Schicht λ 0 = λ + δ
hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
z̃λ
Koordinationszahl der Spins in Schicht λ , z̃λ = ∑µ z|µ −λ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
z
Matrix der effektiven Anzahl nächster Nachbarn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
z̃eff ( L)
effektive Anzahl nächster Nachbarn z̃eff ( L) = 3Tc ( L)/ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Z( T )
Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
168
reduzierte Reorientierungstemperatur, bei der m xy kritisch ist . . . . . . . . . . . . . . . 55
x
y
z
Stichwortverzeichnis
Äquilibrierung, 88, 91, 93
Akzeptanzhäufigkeit, 84, 85, 90
Algorithmus
Cluster-, 87
M ETROPOLIS-, 83, 87
S WENDSEN -WANG-, 87
W OLFF-, 87
Anisotropie
-faktor aλ (τ ), 105
Form-, 2
Oberflächen-, 6, 14
totale – K (τ ), 16, 99
Volumen-, 6
Austauschwechselwirkung, 5, 8
Autokorrelationsfunktion Γ zz (t), 88
Autokorrelationszeit τ , 88
Basisvektor, 25
B ERNOULLIzahlen Bk , 43
B ESSELfunktion, modifizierte – Kn ( x),
30, 42, 143
B LOCHwand, 117
B OGOLIUBOVungleichung, 46
B OLTZMANN
-konstante kB , 3
-verteilung, 2
Cluster
-Algorithmus, 87
-Spinflip, 87
Co/Au(111), 15, 58
Conjugate Gradient-Verfahren, 53
C URIEtemperatur, 11, 12, 85, 98, 102,
110, 131
C URIE -W EISS-Gesetz, 57, 63
Dipol
-charakteristik, 20, 36
-konstanten, 4
-summen, 142
-tensor, 4, 8
-wechselwirkung, 2, 4
D IRICHLETsche Reihe, 21
Dispersionsrelation ω(k), 10
Divisorfunktion σk (n), 21, 42
Domänen, 2, 16
Streifen-, 13, 36, 41
Eigenvektor, 57, 72
Eigenwert, 5, 37, 49, 53, 57, 58, 68, 72
Elektronenbeugung, 1
Elektronenmikroskop, Rastertunnel-, 1
Elektronenspektroskopie, spinpolarisierte, 14
Elementarzelle, 34
Energie
freie, 3
innere, 115
Entropie, 113, 114
ergodisch, 79, 80
Erwartungswert, thermodynamischer,
79
erzeugende Funktion, 21
E ULER
-M ACLAURINsche Summenformel,
42
-sche Konstante γ , 43
Fe-artig, 14
169
Stichwortverzeichnis
Fe/Ag(100), 15, 69, 73
Fe/Cr(001), 17
Fe/Cu(100), 14
ferromagnetische Resonanz, 1, 16
finite size scaling, 95
FMR, 1, 16
F ORTUIN -K ASTELEYN-Transformation,
87
F OURIERtransformation, 42, 142
freie Energie, 3
Frustration, 28
G AUSSfunktion, 94
G IBBSsche freie Energie, 3
Gitter
-konstante a0 , 4
-summe ΦG (s), 20
-vektor, 24
Dreieck- G4 , 24
Honigwaben- G , 24
K AGOMÉ- G , 26
Quadrat- G , 23, 41
Unter-, 25, 26
globaler Spinflip, 87
GMR, 1
G OLDSTONEmoden, 10
Gradientenverfahren, 53
Grundzustand, 36
-energie, 38, 43, 45
GSF, 87
H AMILTON
-funktion, 3, 7
-operator, 107
H EISENBERGmodell
klassisches, 7
quantenmechanisches, 12
H ESSEmatrix, 37, 49, 53, 68, 72, 151
Histogramm, 80
homogenes System, 39, 102
170
H UBBARDmodell, 106
Hysterese, 58, 62, 68
inkommensurabel, 17
I SINGmodell, 79, 86, 105
K ERReffekt, 1, 2, 15
KKR, 16
Koerzitivfeld, 69
kohärente Rotation, 119
konjugiertes Feld, 79
Kontinuumstheorie, 33
Koordinationszahl, 6
Korrelationslänge, 11
K ORRINGA -K OHN -R OSTOKER-Methode,
16
kritischer Exponent β, 104, 130
L ANDAUtheorie, phänomenologische,
13
Laser, 2
LDA, 6, 16
LEED, 1
L EGENDREpolynome Pn ( x), 5
lokale Dichtenäherung, 6, 16
Magnetometrie, 1
MBE, 1
MCS, 84
M ERMIN -WAGNER-Theorem, 10
metastabil, 68
M ETROPOLISalgorithmus, 83, 87
Mittelwerte, benutzte, 78
M ÖSSBAUERspektroskopie, 1, 16
MOKE, 1
Molekularstrahlepitaxie, 1
Monolage, 38, 41
Monte Carlo
-Schritt, 84
-Simulation, 12, 78
Stichwortverzeichnis
multikritischer Punkt MKP, 66
Multilagen, 1
Pseudoinverse, 120
Pseudozufallszahl, 83
nächster Nachbarabstand ann , 4
Neutronenstreuung, 17
Ni-artig, 16
Ni/Cu(001), 16, 17, 75, 127, 132, 133,
136
Nichtkollinearität, 132
Rauhigkeit, 1
Oberflächen-, 14
Rechenzeit, 93, 96
reentrant-Verhalten, 60, 117
Renormierungsgruppentheorie, 11
RHEED, 1
Riesen
-groß, 44
-magnetowiderstand, 1
Rotationsinvarianz, 87
Ordnung
-parameter, 79, 81
langreichweitige, 10
Ortsraum, 9, 57, 127
Packungsdichte, 33
PADÉapproximation, 103, 107
Parametersätze P , 9
Parametersatz
PL=2 , 9, 40, 54–56, 58–65, 75, 96, 97,
102, 103, 108, 123, 125
Dλ
PL=2 , 9, 39, 40, 59, 66, 123
PFe , 9, 44, 70, 74, 105, 108, 111, 112,
115, 123–126, 131
a
PL=1 , 9, 66–68, 91
PLb =1 , 9, 85, 88, 91, 94, 96
PNi , 9, 44, 70, 71, 76, 105, 106, 108,
111, 113, 116, 123–126
exp
PNi , 9, 133
kfz
PNi , 9, 123, 133
PAULIprinzip, 8
Periodizitätsvolumen L, 28, 83
Perkolation, 87
P LANCKsches Wirkungsquantum h̄, 10
Produkt
äußeres, 164
direktes, 29, 164
inneres, 164
Skalar-, 164
Projektor, 164
Scharmittel, 79
SEMPA, 15
SFV, 84
SMOKE, 15
spectral-density approach, 106
Spektraldichtenäherung, 106
spezifische Wärme, 13, 115
Spin
-operator, 107
-raum, 57
-variable, 4
Spindichtewelle, 17
Spinflip
-dynamik, 79, 83, 86, 95
-versuch, 84
Spinraum, 9
Spinwellentheorie, 10
SQUID, 1
Störparameter , 90, 99, 118
stationärer Punkt ξ̃ , 37, 47, 52
STM, 1
Streifendomänen, 13, 36, 41
Streufeld, 2
Suszeptibilität χ, 50, 63
S WENDSEN -WANG-Algorithmus, 87
Symmetrie, 36, 51, 128
171
Stichwortverzeichnis
-brechung, 79
Inversions-, 71, 79
kubische, 6
Spiegel-, 19, 127
Spininversions-, 81, 86
TAYLORentwicklung, 100, 109
[Tb/Fe]n , 16
Temperatur
C URIE– Tc , 52
inverse – β, 3, 52
reduzierte – τ , 52
tetragonale Verzerrung, 6, 16
totales Differential, 50
Translationsinvarianz, 36
Ultrahochvakuum, 1
Universalitätsklasse, 60, 62
Vakuumpermeabilität µ0 , 4
W OLFFalgorithmus, 87
Workstation, 93, 96
Zeitmittel, 79, 80
Zetafunktion
H URWITZsche – ζ (s, a), 22, 30
R IEMANNsche – ζ (s), 21
Zustandssumme, 3, 149
172
Danksagung
Zunächst danke ich Prof. Dr. K. D. Usadel für die Unterstützung und die vielen
fruchtvollen Diskussionen, die mit zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen haben.
“Danke!” auch an Dr. Sven Werner Helmut Lübeck, Dr. Ralf Meyer, Dipl.-Phys.
Michael Staats und Dr. Marianne Schröter für viele spannende und hilfreiche Diskussionen.
Mein besonderer Dank geht an Prof. Dr. Michael Farle und Prof. Dr. K. Baberschke
für viele interessante Impulse aus dem Reich der Experimentalphysik.
Den Mitarbeitern der theoretischen Tieftemperaturphysik danke ich für die abwechslungsreiche Arbeitsatmosphäre.
Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich für die teilweise Förderung der
Arbeit im Rahmen des Sonderforschungsbereiches 166.
SvenC, Kristine und Janne quälten sich durch diverse Rohfassungen dieser Arbeit
und sprechen trotzdem noch mit mir. Tack.
Weiterhin geht mein anonymer Dank an die unzähligen Leute, die durch die Entwicklung von frei verfügbarer Software wie der Programmiersprache perl, dem
Textsatzsystem TEX/LATEX/LYX mit GhostScript oder dem Grafikprogramm XMgr
zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Meinen Eltern Lilli und Alfred Hucht danke ich für ihre Unterstützung.
Schließlich danke ich Kristine und Lennart für alles.
Duisburg, im August 1999
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