Anhang I: Moderne Rechenhilfsmittel
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ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 1 Anhang V Moderne Rechenhilfsmittel Inhaltsverzeichnis Seite V.1 TI-voyage 200 (TI-92) …2 Kurvenuntersuchungen …2 Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen …3 V.2 Die Binomialverteilung in Excel …5 V.3 Derive …6 Kurvenuntersuchungen …6 Kegelschnitte …6 Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen …7 Eine Funktion zur Auswertung der Binomialverteilung in Derive …8 V.4 Analytische Geometrie – GeoGebra Schnittwinkel zweier Kegelschnittslinien … 11 … 12 ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 2 V.1 TI-voyage 200 (TI-92) Kurvenuntersuchungen Die Tastenfolge 2nd 8 ruft den Differentialoperator auf. In der Klammer sind der abzuleitende Term sowie die Variable, nach der differenziert werden soll (meist x), einzugeben. Diese Angaben werden durch einen Beistrich getrennt. Um höhere Ableitungen direkt zu bestimmen, kann die Ordnung der Ableitung zusätzlich nach der Variablen (ebenfalls wieder durch einen Beistrich getrennt) angeführt werden. Erfolgt keine Angabe, wird die erste Ableitung bestimmt. Die zu bildende Ableitung kann auch sofort an einer gewünschten Stelle, z. B. x0 = 2, ausgewertet werden. Dazu fügt man nach dem Schließen der Klammer | (2nd K) x = 2 an. Bemerkung: Für die im Screenshot gewählten Beispiele muss unter MODE RADIAN für Angle gewählt sein. Häufig wird man Funktionsuntersuchungen im Grafikfenster (◊ R) vornehmen. Dazu ist die Funktion im Y-Editor (◊ W) einzugeben und nach allfälligem Anpassen der WINDOWVariablen (◊ E) als Graph darzustellen (◊ R). F5 (MATH) bietet zahlreiche Funktionen an, die für die Untersuchung des Graphen relevant sind. Value (1) und Zero (2) sind uns schon bekannt. Value ermittelt den Funktionswert an einer Stelle. Zero ermittelt die auf einem vorzugebenden Intervall liegende Nullstelle. Minimum (3) und Maximum (4) liefern relative Tief- bzw. Hochpunkte. Wie auch bei den Nullstellen ist ein Intervall (Lower Bound? Upper Bound?) festzulegen, auf dem nach Extrempunkten gesucht werden soll. Derivatives (6) bietet die Möglichkeit, die erste Ableitung an einer ausgewählten Stelle x0 (diese wird als dy/dx at? abgefragt) auszuwerten. Sie gibt also den Anstieg des Graphen an einer Stelle x0 an. Inflection (8) sucht den Wendepunkt auf einem festgelegten Intervall. Tangent (A) schließlich ermittelt die Gleichung einer Tangente an einer Stelle x0 (Abfrage: Tangent at?). Diese Tangente wird auch gezeichnet. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 3 Bemerkung: Sind die Graphen mehrerer Kurven zugleich dargestellt, wird der jeweils behandelte Graph durch seine Nummer rechts oben auf dem Display angezeigt. Änderungen können durch die Cursortasten vorgenommen werden. Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen Der uns schon aus früheren Bänden bekannte solve-Befehl liefert die reellen Lösungen einer Gleichung. Um auch die komplexen Lösungen zu finden, verwenden wir den Befehl csolve(). Die Syntax bleibt gegenüber solve() unverändert. Die imaginäre Einheit i wird als 2nd I eingegeben (Achtung: I allein wird als die Variable i aufgefasst!). Um etwa alle drei Lösungen der Gleichung x³ = 1 (die dritten Einheitswurzeln) zu bekommen, tippt man: csolve(x³ = 1, x). Beim Rechnen mit komplexen Zahlen ist darauf zu achten, dass diese stets korrekt geklammert sind, (2 + 5i) * (3 - i) bedeutet selbstverständlich etwas anderes als 2 + 5i * 3 – i. Weiters stehen zur Eingabe von komplexen Zahlen die polaren Formen r*eiθ und (r ∠ θ) zur Verfügung. Dabei ist r der Radius und θ der Winkel in der entsprechenden Darstellung in Polarkoordinaten. Für die Form r*eiθ muss unter MODE und Angle RADIAN gewählt sein. Der Winkel ist im Bogenmaß anzugeben. Bei letzterer Form ist unbedingt die Klammerung vorzunehmen, die Einstellung für das Winkelmaß ist jedoch gleichgültig (achte aber auf korrekte Einstellung je nach Eingabe). Das Symbol ∠ erhält man mittels 2nd F. Für die Ausgabe können nach Drücken der Taste MODE im Unterpunkt Complex Format drei Anzeigemöglichkeiten ausgewählt werden: REAL steht für reelle Zahlen (ausgenommen nach Eingabe einer komplexen Zahl bzw. gegebenenfalls nach Ausführen des Befehls csolve()). RECTANGULAR zeigt komplexe ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 4 Ergebnisse in kartesischer Form (a + bi) an, POLAR in der Form r*eiθ, wenn für Angle RADIAN gewählt wird oder als (r ∠ θ), wenn für Angle DEGREE gewählt wird. Soll eine Variable als komplexe Variable behandelt werden, ist sie durch einen Unterstrich zu kennzeichnen. So gilt etwa x als reelle, x_ als komplexe Variable. Um mit den komplexen Lösungen der Gleichung x³ – 2x² + 3x – 4 = 0 als Variable weiterarbeiten zu können, ist die Eingabe csolve(x_³ – 2x_² + 3x_ – 4 = 0, x_) notwendig. Den Unterstrich erhält man mittels 2nd P. Freilich können auch komplexe Variablen definiert werden. Es legt zum Beispiel 2 + 3 2nd I STO Z für z den Wert 2 + 3i fest. Weitere wichtige Befehle sind real() (liefert den Realteil), imag() (gibt den Imaginärteil zurück), sowie Rect und Polar (auszuwählen im CATALOG) zur Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische bzw. umgekehrt. So liefert etwa ( 4 ∠ π + 3 ) Rect ENTER im Modus Radian bzw. ( 4 ∠ 6 0 ) Rect ENTER im Modus Degree 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ i . Die Befehle real() und imag() können auch unter MATH (2nd 5) im Unterpunkt 5: Complex aufgerufen werden. Weiters finden sich dort conj( für die konjugiert komplexe Zahl, angle( für den Winkel in der entsprechenden Polardarstellung sowie abs( für den Absolutbetrag (also r in der Polardarstellung). Selbstverständlich können diese Befehle auch zeichenweise eingetippt werden. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 5 V.2 Die Binomialverteilung in Excel Excel eignet sich naturgemäß besonders zur Bearbeitung von Tabellen (Mittelwert, empirische Varianz etc.) – vgl. dazu ELEMENTE DER MATHEMATIK 6. Auch die Binomialverteilung kann für verschiedene Parameter n und p mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms rasch ausgewertet bzw. grafisch dargestellt werden. Die Funktion BINOMVERT() ist in Excel dafür bereits vorgefertigt. Dabei sind die Anzahl der Erfolge (k), die Anzahl der Versuche (n), die Erfolgswahrscheinlichkeit (p), FALSCH für nicht kumulierende Auswertung bzw. WAHR für kumulierte Häufigkeiten (jeweils durch Strichpunkte getrennt) anzugeben. BINOMVERT(3;10;0,25;FALSCH) liefert also P(X = 3) für n = 10 und p = 0,25, BINOMVERT(3;10;0,25;WAHR) gibt P(X ≤ 3) für n = 10 und p = 0,25 zurück. Die Funktion BINOMVERT() kann ebenso über den Funktionseditor aufgerufen werden, die Parameter k, n, p und die Abfrage nach kumulierten Häufigkeiten können dann bequem in eine vorgegebene Tabelle (siehe unten links) eingetragen werden. Mit Hilfe der Befehle „Kopieren“ und „Einfügen“ können auch rasch vollständige Auswertungen der Binomialverteilung vorgenommen werden. Unter Zahl_Erfolge kann auch ein Feldverweis stehen (in der Darstellung unten rechts auf ein entsprechendes Feld aus der Spalte A). Dieser wird beim Kopieren entsprechend mitverschoben. Für die grafische Darstellung der so erhaltenen Daten vgl. ELEMENTE DER MATHEMATIK 6. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 6 V.3 Derive Kurvenuntersuchungen Der Differentialoperator ∂ kann in der Symbolleiste unterhalb der Eingabezeile ausgewählt oder durch die Tastenkombination Strg + × + D eingegeben werden. Wie beim CAS ist die Variable, nach der differenziert werden soll, und gegebenenfalls die Ordnung der Ableitung anzugeben. Außerdem kann der Befehl in der Menüzeile unter Analysis / Differenzieren aufgerufen werden, wenn die zu differenzierende Funktion als Ausdruck eingetippt und ausgewählt ist. Die Variable, nach der differenziert werden soll, und die Ordnung der Ableitung können in eine Tabelle eingegeben werden. Die Schaltfläche „Vereinfachen“ gibt die gewünschte Ableitung an. Mit Hilfe der Substitutionsfunktion (Button ) oder in der Menüzeile unter Vereinfachen / Variablen-Substitution kann die Ableitung an einer Stelle x0 ausgewertet werden (vgl. dazu ELEMENTE DER MATHEMATIK 5). Kegelschnitte Auch die Kegelschnittslinien Ellipse, Hyperbel und Parabel können in DERIVE dargestellt werden. Dazu ist die Gleichung des gewünschten Objekts als Ausdruck einzugeben. Im Grafikfenster wird die Kegelschnittslinie durch nochmaliges Klicken des 2D-Grafik Buttons gezeichnet. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 7 Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen Komplexe Zahlen können problemlos in der Form (a + bi) eingegeben und verarbeitet werden. Dabei ist wie beim CAS auf die Klammerung zu achten. Die imaginäre Einheit i erhält man durch die Kombination Strg + I oder durch Anklicken des entsprechenden Buttons der Symbolauswahl links unten. Die Eingabe I allein wird als Variable i aufgefasst. Beim Lösen algebraischer Gleichungen kann nach der Eingabe und dem Markieren der Gleichung im Lösungsmenü (Lösen / Ausdruck) die Grundmenge ( \ oder ^ ) ausgewählt werden (ebenso die Lösungsmethode, algebraisch oder numerisch). Der zeichenweise einzutippende Befehl lautet etwa NSOLVE(x^3-2x^2+3x-4=0,x). RE(z) liefert den Realteil der komplexen Zahl z, IM(z) gibt den Imaginärteil von z an. Mittels CONJ(z) kann die konjugiert komplexe Zahl zu z ausgegeben werden. Mit Hilfe des Befehls ABS(z) kann der Absolutbetrag der komplexen Zahl z ermittelt werden (ebenso durch die Eingabe der Zahl zwischen Betragsstrichen (Alt Gr + <)), PHASE (z) ermittelt den für die Polardarstellung von z relevanten Winkel φ. Das Winkelmaß (Grad oder Bogenmaß) kann im Menü unter Extras / Einstellung / Vereinfachen ausgewählt werden. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 8 Durch Kombination dieser Befehle kann man unter dem Menüpunkt Schreiben / Funktion definieren leicht selbst eine Funktion „polar“ festlegen, die eine in kartesischen Koordinaten gegebene komplexe Zahl in ihre Polardarstellung umwandelt. 1 Eine Funktion zur Auswertung der Binomialverteilung in Derive Auch in Derive lässt sich die Binomialverteilung leicht behandeln. Der Befehl comb(n,k) ⎛n⎞ liefert den Binomialkoeffizienten ⎜ ⎟ . So lässt sich z. B. P(X = 3) für n = 10 und p = 0,25 als ⎝k ⎠ COMB(10,3)*0.25^3*0.75^7 ermitteln. Diese Eingabe kann selbstverständlich zu einer Funktion zur Auswertung der Binomialverteilung verallgemeinert werden. Dazu benötigt man den Befehl TABLE (zur Erstellung einer Tabelle) und den Befehl SUM (Summe), falls die 1 Im dargestellten Beispiel haben wir als Ausgabeform eine zweielementige Liste [r, φ] gewählt; freilich kann man auch die Ausgabeform r.eiφ verlangen. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 9 Auswertung der kumulierten Häufigkeiten gewünscht wird. TABLE(a(k), k, 0, 10) erstellt eine zweispaltige Tabelle (Matrix). Links stehen die Werte k von 0 bis 10, rechts werden der Reihe nach die Werte für den Ausdruck a(k) berechnet, wenn k nacheinander die Werte von 0 bis 10 annimmt. SUM(a(k), k, 0, 10) bildet die Summe 10 ∑ a(k ) k =0 TABLE(COMB(10,k)*0.25^k*0.75^(10-k),k,0,10) gibt die (vollständige) Auswertung der Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,25 (0 [ k [ 10) zurück. Für die kumulierte Häufigkeitsverteilung schreiben wir entsprechend: TABLE(SUM(COMB(10,k)*0.25^k*0.75^(10-k),k,0,k),k,0,10). Damit können wir eine Funktion BINOMVERT() festlegen, die – wie Excel – P(X = k) für vorgegebene n, k und p ermittelt. Wir öffnen mittels Schreiben / Funktion definieren ein Fenster zur Eingabe der Funktion. Die Funktion mit dem Namen BINOMVERT soll von 3 Variablen (n, k, p) abhängen, ihre Definition lautet comb(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k). BINOMVERT(10,3,0.25) liefert dann P(X = 3) für n = 10 und p = 0,25. Für die vollständige Auswertung lassen wir mit Hilfe von TABLE(BINOMVERT(10,k,0.25),k,0,n) eine Tabelle erstellen. Die kumulierte Verteilung liefert TABLE(SUM(BINOMVERT(10,k,0.25),k,0,k),k,0,n). Selbstverständlich können auch diese letzten beiden Eingaben wiederum zu eigenen Funktionsdefinitionen verallgemeinert werden. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 10 ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 11 V.4 Analytische Geometrie – GeoGebra Ein sehr anschauliches und einfach zu bedienendes Werkzeug für Aufgaben aus der linearen und nichtlinearen analytischen Geometrie bietet das Programm GeoGebra, das im Internet unter www.geogebra.at zu beziehen ist. Dabei können die algebraischen Gleichungen eingegeben und die entsprechenden Objekte angezeigt werden. Umgekehrt zeigt das Programm auch algebraische Gleichungen an, die zu bereits gezeichneten Objekten gehören. Verschiedenste geometrische Objekte (Punkte, Geraden, aber auch Kegelschnittslinien) können mit Hilfe der großen Buttons oben gezeichnet werden. Die meisten Symbole sind eindeutig zu verstehen. Man bekommt jedoch auch Informationen, wenn man den Cursor auf einen Button setzt. Die so gezeichneten Objekte (nach Auswahl des Buttons sind die erforderlichen Positionen im Koordinatensystem durch Mausklick zu markieren, auszuwählende Objekte werden hervorgehoben) werden im linken Fenster algebraisch angezeigt (Punkte mittels ihrer Koordinaten, andere Figuren wie z. B. Geraden durch zugehörige Gleichungen). Freie Objekte sind dabei zunächst eingetragene Objekte, wie z. B. zwei Punkte. Legt man eine Gerade durch diese beiden Punkte, gilt diese als abhängiges Objekt. Bewegt man diese Objekte (dazu muss der Button ganz links ausgewählt sein, die linke Maustaste ist während des Verschiebens gedrückt zu halten), verändern sich automatisch auch die angezeigten Gleichungen entsprechend der neuen Lage. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 12 Umgekehrt können in der Eingabezeile unten die Koordinaten eines Punktes (in Klammern, durch Beistrich getrennt) oder Gleichungen eingegeben werden. Die zugehörigen Objekte werden im Fenster rechts gezeichnet. Rechts neben der Eingabezeile befinden sich drei Pullup-Menüs zur Eingabe griechischer Buchstaben bzw. zur Auswahl weiterer Befehle (z. B. Brennpunkte, Asymptoten, aber auch Normalvektor etc.).2 Durch Anklicken mit der rechten Maustaste können Objekte bearbeitet (etwa gelöscht oder umbenannt) werden, Rechtsklick auf die Zeichenebene ermöglicht Vergrößern oder Verkleinern des dargestellten Bereiches (Zoomen). Der Button lässt den Ursprung verschieben (linke Maustaste beim Verschieben gedrückt halten). Schnittwinkel zweier Kegelschnittslinien Um etwa eine Ellipse mit der Gleichung 9x² + 16y² = 144 und eine Hyperbel mit der Gleichung 9x² – 4y² = 36 zu zeichnen, genügt es die Gleichungen (Bestätigung jeweils mit ENTER) in der Eingabezeile einzugeben. Durch Anklicken mit der rechten Maustaste können die Objekte auch bearbeitet (z. B. umbenannt) werden. Um die Schnittpunkte der Figuren zu ermitteln, wählt man zunächst den Button für die Schnittpunkte aus. Danach sind die beiden Figuren hintereinander durch Mausklick auszuwählen (die gerade aktuelle Figur wird hervorgehoben). Die Schnittpunkte werden in die Zeichnung eingetragen und ihre Koordinaten im Fenster links angegeben. Nach Auswählen des Buttons wählt man zunächst einen Schnittpunkt A und dann die Ellipse bzw. Hyperbel aus. Das Programm zeichnet die Tangenten in A an ell bzw. hyp und zeigt deren Gleichungen an. Der Befehl 3 Winkel[tell,thyp] in der Eingabezeile (Bestätigung durch ENTER) gibt den Schnittwinkel (der Eingabereihenfolge nach im Gegenuhrzeigersinn gemessen) an. 2 Für die Eingabe von z. B. Geraden in Parameterdarstellung (Punkt und Richtungsvektor) und weitere Möglichkeiten direkter Befehle vgl. das umfangreiche Hilfe-Menü des Programmes. 3 Der Befehl Winkel kann auch aus dem Pull-up-Menü rechts aufgerufen werden. ELEMENTE DER MATHEMATIK 7 13
