Wellen - Theoretische Physik I

Dieter Suter und Götz S. Uhrig
Physik III – Wellen
Version: 25. Januar 2011
Wintersemester 2010/11
1
Vorbemerkungen
Das vorliegende Skript zu Physik III ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der
Vorlesungen. Es ist als Ergänzung gedacht, zum Nacharbeiten oder zur Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen. Deshalb sollten alle Formeln und Aussagen
immer kritisch betrachtet werden, es könnten noch Druckfehler enthalten sein!
Wesentlicher Bestandteil der Vorlesung Physik III sind die Übungen. Es ist
unbedingt erforderlich, den Stoff durch eigenständiges Bearbeiten von Übungsaufgaben zu vertiefen.
Für Fehlermeldungen und Verbesserungsvorschläge sind wir jederzeit dankbar.
Sie können auch per E-mail an
[email protected] oder [email protected]
geschickt werden. Die jeweils aktuellste Version des Skripts ist im Internet über
die Homepage
http: http://t1.physik.tu-dortmund.de/uhrig/p3 ws1011.html
erreichbar.
Dieter Suter
Götz S. Uhrig
Inhaltsverzeichnis
2 Wellen
2.1 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Motivation und Übersicht . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Harmonischer Oszillator als Modellsystem . . . . .
2.1.3 Das Lennard-Jones Potenzial . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Mehrdimensionales System nahe am Gleichgewicht
2.1.5 Normalkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Normalschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Molekülschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Anwendungen: IR-Spektroskopie . . . . . . . . . .
2.1.11 Weitere schwingende Systeme . . . . . . . . . . . .
2.2 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 2 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Normalmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 5 Gekoppelte Massen in einer linearen Kette . . . .
2.2.4 Unendliche Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Transversalschwingungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Parametrische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fourierreihen und Fouriertransformationen . . . . . . . . .
2.3.1 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fouriertransformation als Basiswechsel . . . . . . .
2.3.3 Fourierintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Übertragungsfunktion und Frequenzanalyse . . . .
2.4 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Eindimensionales Kontinuum . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . .
2.5 Lagrange- und Hamiltondichte . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Elektromagnetische Wellen in 1D . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Übertragungsleitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Telgraphengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4 Wellenwiderstand und Leistung . . . . . . . . . . .
2.6.5 Reflexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
2.6.6 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.7 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.8 Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.9 Weitere Leitertypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Wellen in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Die zweidimensionale Wellengleichung . . . . . . . . . .
2.7.2 Lösungen ohne Randbedingungen . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Die rechteckige Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Eigenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Allgemeine Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.6 Chladni’sche Klangfiguren . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.7 Die kreisförmige Membran . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.8 Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.9 Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.10 Eigenmoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.11 Wellen auf Flüssigkeitsoberflächen . . . . . . . . . . . . .
2.7.12 Schwerewellen auf tiefen Flüssigkeiten . . . . . . . . . . .
2.7.13 Schwerewellen auf untiefen Flüssigkeiten . . . . . . . . .
2.7.14 Kapillarwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Elektromagnetische Wellen im Wellenleiter . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Das elektromagnetische Spektrum . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Grundlagen (Wiederholung) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Randbedingungen im Hohlleiter . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Lösungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Rechteckiger Hohlleiter: TE-Welle . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Wellenvektor und cutoff Frequenz . . . . . . . . . . . . .
2.8.8 Versuch 26 Mikrowellen im Wellenleiter . . . . . . . . . .
2.8.9 Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.10 Magnetische Komponente . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Akustische und seismische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Lösungen ohne Randbedingungen . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.5 Lösung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.6 Messung der Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
2.9.7 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.8 Versuch 22 Schallgeschwindigkeit in Wasser . . . . . . .
2.9.9 Schallimpedanz und Intensität . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.10 Schalldruckskala und Schallpegel . . . . . . . . . . . . .
2.9.11 Seismische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.12 Elastische Konstanten und Ausbreitungsgeschwindigkeit
2.9.13 Energie von seismischen Wellen . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Hohlraumresonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Rechteckiger Hohlraumresonator . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
2.10.2 Zylindrischer Hohlraumresonator
2.10.3 Kugelresonator . . . . . . . . . .
2.10.4 Radialfunktion . . . . . . . . . .
2.10.5 Winkelfunktionen . . . . . . . . .
2.10.6 Legendre-Polynome . . . . . . . .
2.10.7 Zugeordnete Legendre-Polynome
2.10.8 Kugelflächenfunktionen . . . . . .
2.10.9 Sphärische Besselfunktionen . . .
2.10.10 Randbedingungen . . . . . . . . .
2.10.11 Allgemeine Lösung . . . . . . . .
2.11 Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Der Dopplereffekt . . . . . . . .
2.11.2 Überschallgeschwindigkeit . . . .
2.11.3 Dopplereffekt elektromagnetischer
2.11.4 Energietransport . . . . . . . . .
2.11.5 Lokale Energieflussdichte . . . . .
2.11.6 Impulsdichte . . . . . . . . . . . .
2.11.7 Wellengruppen . . . . . . . . . .
2.11.8 Dispersion . . . . . . . . . . . . .
2.12 Wärmeleitung und Diffusion . . . . . . .
2.12.1 Phänomenologie . . . . . . . . . .
2.12.2 Wärmeleitung . . . . . . . . . .
2.12.3 Wärmeleitungsgleichung . . . . .
2.12.4 Wärmeleitung in 1D . . . . . . .
2.12.5 Zeitabhängigkeit . . . . . . . . .
2.12.6 Wärmeleitung in 2D . . . . . . .
2.12.7 Wärmeleitung in 3D . . . . . . .
2.12.8 Diffusion . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Krummlinige Koordinaten . . . . . . . .
2.13.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2 Laplace-Operator . . . . . . . . .
2.13.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . .
4
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140
141
Kapitel 2
Wellen
In diesem Kapitel diskutieren wir Wellen. Eine Welle ist allgemein eine Störung,
welche sich im Raum ausbreitet. Dafür benötigt man ein Medium, in der die
Störung lokal eine zeitabhängige Auslenkung erzeugt. Bei der Ausbreitung wird
im Allgemeinen Energie und Impuls durch das Medium übertragen.
Abbildung 2.1: Nichtlineares Wellenphänomen.
Aus der großen Vielfalt an Wellen, die man im Alltag und in der Physik antrifft, werden wir uns in diesem Kapitel nicht mit den Wellen beschäftigen, die
man z.B. am Strand antrifft: dort handelt es sich um nichtlineare und chaotische
Phänomene. Hier beschränken wir uns auf lineare Wellenphänomene.
2.1
2.1.1
Schwingungen
Motivation und Übersicht
Lokal betrachtet ist eine Welle äquivalent zu einer Schwingung. Wir betrachten
deshalb hier nochmals einige Aspekte von Schwingungen und gehen dann darauf
ein, wie die Kopplung zwischen Schwingungen zu einer Ausbreitung von Energie
führt.
Schwingungen treten in der Physik in unterschiedlichsten Systemen auf. In der
Physik I wurde das Pendel diskutiert. Die Tatsache, dass nur die Länge des Pen5
KAPITEL 2. WELLEN
6
dels für seine Schwingungsdauer verantwortlich ist, waren einer der größten Erfolge der frühen physikalischen Forschung. Dieses einfache Modellsystem erlaubt
die Diskussion von vielen grundlegenden Eigenschaften von Schwingungen, die
in der Natur in sehr unterschiedlichen Systemen auftreten. Schwingungen stellen
praktisch immer die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse dar, wenn wir
periodische Vorgänge beobachten.
Abbildung 2.2: Periodische Signale.
Bei periodischen Vorgängen erreicht eine zeitabhängige Größe x(t) nach einer
Periode T wieder den ursprünglichen Wert,
x(t + T ) = x(t).
Abbildung 2.3: Harmonischer Oszillator in einer Dimension.
Im Rahmen dieses Kapitel diskutieren wir Schwingungen meist mit Hilfe des
Modells des harmonischen Oszillators, d.h. eines Systems, das sich in einem parabolischen Potenzial
V (x) = a x2
bewegt. Dies ist jedoch nicht in allen Fällen die einzige oder die fundamendalste
Beschreibung. So ist es häufig der Fall, dass das Potenzial daraus entsteht, dass
man weitere Freiheitsgrade vernachlässigt hat.
KAPITEL 2. WELLEN
7
Abbildung 2.4: Simulierte Bewegung der Jupitermonde, von der Erde aus gesehen.
Betrachten wir z.B. die Bewegung der Jupitermonde von der Erde aus, so führen
sie die gleiche Bewegung durch wie ein harmonischer Oszillator. Die kommt dadurch zustande, dass wir die Ortskoordinate entlang der Richtung Erde - Jupiter
nicht wahrnehmen können und in deshalb aus der Betrachtung entfernen.
2.1.2
Harmonischer Oszillator als Modellsystem
Ein parabolisches Potenzial tritt in der Natur nicht auf, da die Energie des Systems dabei gegen unendlich gehen würde. Trotzdem ist der harmonische Oszillator ein sehr gutes Modell für fast jedes physikalische System, sofern es sich in
der Nähe eines Gleichgewichtspunktes befindet. Dies liegt daran, dass in dessen
Nähe das Potenzial meist quadratisch verläuft.
Abbildung 2.5: Parabolisches Potenzial und allgemeines Potenzial in der Umgebung eines Minimums.
Das sieht man rasch, wenn man die Energie in der Nähe eines lokalen Minimums
KAPITEL 2. WELLEN
8
als Taylor-Reihe entwickelt:
dU U (x) = U (x0 ) +
(x − x0 )
dx x0
1 d2 U +
(x − x0 )2
2 dx2 x0
1 d3 U +
(x − x0 )3 + ..
3! dx3 x0
Der erste Term ist unabhängig von x und hat deshalb keinen Einfluss auf die Dynamik des Systems. Der lineare Term der Entwicklung verschwindet im Gleichgewichtspunkt per Definitionem. Wenn der quadratische Term nicht verschwindet, so ist in der Nähe des Minimums immer ein Bereich vorhanden, indem er
den größten Beitrag zur Dynamik des Systems liefert. Die Forderung, dass das
System sich in einem stabilen Gleichgewicht befindet, bedeutet dann, dass die
Energie ein Minimum besitzt, dass also die zweite Ableitung positiv ist, wie bei
einem harmonischen Oszillator.
Wenn wir die erste Ableitung des Potenzials bilden,
d2 U dU
= F (x) = −
(x − x0 ) + O(x − x0 )2 ,
−
dx
dx2 x0
so finden wir durch Vergleich mit der Bewegungsgleichung
d2 U 2
(x − x0 )
mẍ = −mω0 (x − x0 ) = −
dx2 x0
dass
mω02
d2 U =
.
dx2 x0
Die Resonanzfrequenz ist damit durch die Masse des Oszillators und die zweite
Ableitung des Potenzials am Gleichgewichtspunkt bestimmt. Ausdrücke dieser
Art werden bei unterschiedlichen Wellen immer wieder auftauchen.
2.1.3
Das Lennard-Jones Potenzial
Ein Beispiel eines solchen Potenzials ist das Lennard-Jones Potenzial, welches als
σ 12 σ 6
−
ULJ (x) = 4
x
x
gegeben ist. Die Konstanten ε und σ bestimmen Tiefe (= −) und Position (=
σ) des Minimums. Der erste Term ist positiv und beschreibt einen abstoßenden
Beitrag. Der zweite Term ist negativ und beschreibt einen anziehenden Beitrag.
Beide divergieren bei x → 0 und verschwinden bei x → ∞. Die Abstoßung
überwiegt für x < σ, bei x = σ sind beide Terme gleich groß, und für x > σ
überwiegt die Anziehung.
KAPITEL 2. WELLEN
9
Abbildung 2.6: Vergleich eines harmonischen Potenzials mit dem Lennard-Jones
Potenzial. Rechts ist der Bereich um das Potenzialminimum dargestellt.
Dieses Potenzial beschreibt die Wechselwirkung zwischen Atomen oder Molekülen,
die durch die Van der Waals Wechselwirkung aneinander gebunden sind. Das Minimum bei x ≈ 1.12 σ bestimmt z. B. den Abstand zwischen Molekülen in einem
Kristall und damit dessen Dichte.
Obwohl das Potenzial sicher nicht die Form einer Parabel besitzt, kann man es
doch in der Nähe des Minimums durch eine Parabel annähern. Je näher man
sich dem Minimum nähert, desto besser ist die Näherung. Man findet denn auch
experimentell, dass in den meisten Systemen die Atome in der Nähe ihres Minimums mit festen Frequenzen schwingen, genau wie man es beim harmonischen
Oszillator findet. Abweichungen davon findet man ebenfalls, und diese nehmen
zu, wenn die Schwingungsamplitude zunimmt und somit Terme höherer Ordnung
eine Rolle spielen.
2.1.4
Mehrdimensionales System nahe am Gleichgewicht
Wir betrachten ein komplexes mechanisches
verallgemeinerten Koordinaten sind

q1
 ..
~q =  .
qf
System mit f Freiheitsgraden. Die



und die zugehörigen Transformationsgleichungen seien nicht explizit zeitabhängig.
Wir betrachten einen Gleichgewichtspunkt und legen den Ursprung des Koordinatensystems in diesen Punkt, ~q = 0. Hier verschwindet somit die erste Ableitung,
~ (~q)|q~=0 = 0.
∇V
(2.1.1)
In der Umgebung des Gleichgewichtspunktes können wir das Potenzial V (~q) als
Taylorreihe entwickeln:
1
V (~q) = V0 + ~q> V ~q + O(|~q|3 ),
2
KAPITEL 2. WELLEN
10
wobei wir (2.1.1) berücksichtigt haben. Die Konstante V0 werden wir im Folgenden
vernachlässigen, da sie nicht in die Dynamik eingeht. V ist die Hesse-Matrix der
zweiten Ableitungen
2 ∂ V
V =
=VT
∂qi ∂qj
und ist somit symmetrisch. Damit es sich um ein stabiles Gleichgewicht handelt,
müssen alle Eigenwerte Λk von V positiv sein. Damit gilt für beliebige Vektoren
~q 6= 0
~q> V ~q > 0,
d.h. V ist positiv definit.
Wir haben schon im Kapitel 2 gezeigt, dass die kinetische Energie bilinear in den
Geschwindigkeiten ist. In der Nähe des Gleichgewichtspunktes schreiben wir sie
deshalb als
1
T (~q, ~q̇) = T (~q = 0, ~q̇) = ~q̇> T ~q̇ + O(q|~q̇|2 )
2
wobei die Matrix T ebenfalls positiv definit und symmetrisch ist.
Damit können wir die Lagrange-Funktion in der Nähe des Gleichgewichts schreiben als
L =
2.1.5
1 ~> ~ 1 >
q̇ T q̇ − ~q V ~q.
2
2
Normalkoordinaten
Wir suchen nun die optimale Basis für die Beschreibung der Dynamik. Dazu
diagonalisieren wir T durch eine orthogonale Transformation O:


O T O> = D = 

d1
...

.
df
Die zugehörigen neuen Koordinaten schreiben wir als
~q = O>~v .
~v = O~q
In den neuen Koordinaten lautet die Lagrange-Funktion
L(~v ) =
1~>
1
v̇ O T O> ~v̇ − ~v̇ > O V O> ~v̇.
2 | {z }
2
=D
Wir absorbieren die Eigenwerte di der Matrix T in die neuen Koordinaten
~ =
Q
q
D ~v
⇔
Qi =
p
di vi .
KAPITEL 2. WELLEN
11
In diesen Koordinaten wird die Matrix V zu
Ṽ
√
√
= ( D)−1 O V O> ( D)−1
und die transformierte Lagrange-Funktion
~ =
L(Q)
1 ~> ~ 1 ~> ~
Q̇ Q̇ − Q Ṽ Q.
2
2
Wenn wir jetzt auch die Matrix Ṽ diagonalisieren

O0 Ṽ O0
>

= Ω=
ω12

..
.
ωf2

,
definieren wir nochmals neue Koordinaten
>~
~u = O0 Q
~ = O0~u.
Q
Die kinetische Energie wird damit
1 ~> ~
1 ~ > 0> 0 ~
Q̇ Q̇ = Q̇
O O Q̇ =
2
2
1 ~ >~
u̇ u̇
2
und die Lagrangefunktion
f
1X 2
L(~u) =
u̇i − ωi2 u2i .
2 i=1
Dies entspricht der Lagrange-Funktion von f unabhängigen harmonischen Oszillatoren mit den Eigenfrequenzen ωi . Diese werden als Normalschwingungen
bezeichnet, die zugehörigen Koordinaten ui als Normalkoordinaten.
Bemerkungen:
• Eine notwendige Bedingung für diese Zerlegung ist, dass V und T positiv
definit sind.
• Die Normalschwingungen sind nur für kleine Amplituden unabhängig, so
weit die harmonische Näherung um das Potenzialminimum gültig bleibt.
2.1.6
Normalschwingungen
Die Bewegungsgleichungen für die Normalschwingungen lauten
üi + ωi2 ui = 0.
Wie bei jedem harmonischen Oszillator können wir die Lösung schreiben als
ui (t) = ai e±iωi t
KAPITEL 2. WELLEN
12
oder, in reeller Schreibweise cos(ωi t) und sin(ωi t). Die Frequenzen sind gegeben
durch die Wurzel aus den Diagonalelementen der Matrix
>
Ω = O0 Ṽ O0
√
√
>
= O0 ( D)−1 O V O> ( D)−1 O0 .
(2.1.2)
Abgesehen von den orthogonalen Transformationen steht hier die Hesse-Matrix V
im Zähler und die diagonalisierte Massematrix D im Nenner - in offensichtlicher
Verallgemeinerung des eindimensionalen Falles.
Die allgemeine Lösung ist die Linearkombination
u(t) = αi cos(ωi t) + βi sin(ωi t)
= Ai cos(ωi t + ϕi ).
Im hier diskutierten mehrdimensionalen System können alle Eigenmoden gleichzeitig angeregt sein. Im Allgemeinen tragen alle Eigenmoden zur Bewegung aller
einzelner Teile bei.
Bemerkungen:
• Für kleine Auslenkungen um das Gleichgewicht tritt keine chaotische Dynamik auf: das System ist integrabel, da es f verschiedene Integrale der
Bewegung gibt, nämlich die Energie jedes einzelnen harmonischen Oszillators.
• Die Eigenvektoren (=Normalkoordinaten) können immer reell gewählt werden und bilden eine vollständige Basis.
• Die Diagonalisierung ist in sehr großen System in der Regel sehr schwierig.
2.1.7
Molekülschwingungen
Die Untersuchung von Schwingungen mit Hilfe von Normalkoordainten ist u.a.
für mikroskopische Systeme sehr gut geeignet.
Abbildung 2.7: Molekülschwingungen.
In Molekülen hängt die Energie von den Koordinaten der beteiligten Atome ab.
Die “Strutkur” des Moleküls definiert den Zustand niedrigster Energie, also den
KAPITEL 2. WELLEN
13
stabilen Gleichgewichtspunkt. Um diesen Punkt führt das Molekül Schwingungen durch, welche durch Stöße oder durch resonante Absorption von Strahlung
angeregt werden können. Die Frequenzen der Normalmoden liegen bei 1012 − 1013
Hz.
Abbildung 2.8: Molekülschwingungen in H2 O.
Ein Molekül mit N Atomen besitzt 3N Freiheitsgrade. Dementsprechend erwarten wir 3N Normalkoordinaten. Wenn wir die entsprechenden Schwingungsfrequenzen ausrechnen, finden wir allerdings, dass sie für einige der Koordinaten
null werden. Dies sieht man einfach, wenn man alle Atome um den gleichen Vektor verschiebt. Dies entspricht einer Verschiebung des Koordinatensystems und
lässt die potenzielle und kinetische Energie des Moleküls konstant. Wie schon im
Kapitel 2 gezeigt, gilt das gleiche für eine Rotation. Diese Freiheitsgrade, deren
Rückstellkraft und damit Frequenz verschwindet, werden als nicht-oszillatorische
Freiheitsgrade bezeichnet. Jedes Molekül besitzt 3 translatorische Freiheitsgrade
und i. a. auch 3 rotatorische Freiheitsgrade. Abb. 2.8 zeigt die Normalmoden für
das Wassermolekül.
Ein lineares Molekül hat nur 2 rotatorische Freiheitsgrade, deren Rotationsachse
senkrecht zur Symmetrieachse liegen. Die Rotation um die Symmetrieachse lässt
das Molekül invariant. Die verbleibenden Freiheitsgrade entsprechen Oszillationen.
Abbildung 2.9: Molekülschwingungen in einem linearen Molekül (CO2 ).
KAPITEL 2. WELLEN
14
Wir betrachten als Beispiel für ein lineares Molekül das CO2 -Molekül. Wir erwarten 3N − 3 − 2 = 4 oszillatorische Freiheitsgrade. Wir betrachten zunächst
die Koordinaten in Richtung der Symmetrieachse. Wenn alle Atome in die gleiche Richtung ausgelenkt werden, so ändert sich die Energie des Moleküls nicht es handelt sich um eine Translationsbewegung des Gesamtmoleküls. Die andern
beiden Linearkombinationen werden als symmetrische, resp. antisymmetrische
Streckschwingung bezeichnet.
In jeder Ebene, welche die Symmetrieachse enthält, gibt es wiederum 3 linear unabhängige Auslenkungen. Je eine ist wiederum eine Translationsbewegung
und eine Rotationsbewegung. Die dritte entspricht einer Biegeschwingung. Damit besitzt das Molekül zwei unabhängige Streck- und Biegeschwingungen, also
4 unabhängige oszillatorische Freiheitsgrade.
2.1.8
Symmetrie
Es lohnt sich immer, die Symmetrie eines Moleküls in die Überlegungen miteinzubeziehen. Im Falle des CO2 -Moleküls hatten wir gezeigt, dass das Molekül 4
oszillatorische Freiheitsgrade besitzt. Gemäß der allgemeinen Herleitung muss in
diesem Fall die Säkulargleichung einer 4x4 Matrix gelöst werden - oft eine schwierige Aufgabe. Das Problem wird aber sehr einfach wenn wir die Symmetrie des
Systems berücksichtigen. Es lässt sich zeigen, dass jeder Eigenvektor gemäß einer
irreduziblen Darstellung des Moleküls transformiert, d. h. dass die Schwingungen
die Symmetrie des Moleküls widerspiegeln.
Im Falle des CO2 besitzt das Molekül einerseits Rotationssymmetrie um die
Achse, andererseits Inversionssymmetrie am C-Atom. Aufgrund der Rotationssymmetrie können wir die Auslenkungen entlang der Achse unabhängig von den
Auslenkungen senkrecht dazu betrachten. Die drei z-Koordinaten der Atome ergeben somit drei unabhängige Normalschwingungen. Eine davon entspricht der
Translationsbewegung. Die beiden andern können durch ihre Transformationseigenschaften bezüglich der Inversion unterschieden werden: Die symmetrische
Streckschwingung entfernt beide O-Atome gleichzeitig vom C-Atom, während
die antisymmetrische Streckschwingung das eine Atom entfernt und das andere Atom annähert. Die Auslenkungen haben somit umgekehrtes Vorzeichen, sind
also antisymmetrisch. Für die Koordinaten senkrecht zur Symmetrieachse hatten wir schon vorher gezeigt, dass die drei Freiheitsgrade je einen Translations-,
Rotations-und Vibrationsfreiheitsgrad ergeben. Der Vibrationsfreiheitsgrad entspricht in diesem Fall einer Biegeschwingung.
2.1.9
Frequenzen
Wir betrachten die z-Komponenten des CO2
der Kraft, resp. der Masse gegeben durch

m 0

0 M
mij =
0 0
Moleküls. Hier sind die Matrizen

0
0 
m
KAPITEL 2. WELLEN
15


C −C 0
fij =  −C 2C −C  .
0 −C C
Die Determinantengleichung wird
(C − ω 2 m)2 (2C − ω 2 M ) − 2C 2 (C − ω 2 m) = 0.
Eine Lösung ist offensichtlich
r
ω2 =
C
.
M
Die andern beiden erhalten wir aus
(C − ω 2 m)(2C − ω 2 M ) − 2C 2 = 0
ω 2 (−2Cm − CM + ω 2 mM ) = 0
zu
s
ω1 = 0;
ω3 =
C
=
µ
r
C(
1
2
+ ) > ω2 .
m M
Die zugehörigen Eigenvektoren sind
ξ1 = (1, 1, 1)
ξ2 = (1, 0, −1)
m
ξ3 = (1, −2 , 1).
M
Im Nenner von ω3 steht die reduzierte Masse
µ=
1
m
1
+
2
M
.
Solche reduzierten Massen treten in allen Systemen auf. Sie sind immer kleiner
als die beteiligten Massen. Ist eine der Massen relativ klein (z.B. das Wasserstoffatom in einem Molekül), so liegt die reduzierte Masse leicht unterhalb der
entsprechenden Masse.
2.1.10
Anwendungen: IR-Spektroskopie
Die Messung von Vibrationsfrequenzen in Molekülen ist eine der wichtigsten analytischen Methoden bei der Untersuchung von molekularen Substanzen.
Man regt dabei das Molekül mit elektromagnetischer Strahlung von geeigneter
Wellenlänge an und misst die Absorption der Strahlung als Funktion der Wellenlänge. Aus der gemessenen Absorptionswellenlänge kann man die Kraftkonstanten des untersuchten Moleküls ausrechnen. Bei einem zweiatomigen Molekül
geht dies relativ einfach, indem man die Formel (2.1.2) für die Frequenzen schreibt
als
s
r
k
k
k
=
+
ω=
µ
m1 m2
KAPITEL 2. WELLEN
16
Abbildung 2.10: Prinzip der IR Spektroskopie.
Molekül
HCl
HF
Cl2
F2
O2
NO
CO
N2
k/aJÅ−2
5.16
9.64
3.2
4.45
11.41
15.48
18.55
22.41
Tabelle 2.1: Kraftkonstaten von 2-atomigen Molekülen
und nach der Kraftkonstanten k auflöst.
Tabelle 2.1 gibt eine Übersicht über Kraftkonstanten von zweiatomigen Molekülen. Die Einheit aJÅ−2 = 10−18 J/10−10 m kann man auch schreiben als
1
aJ
Å2
=1
10−18 Nm
N
= 100 .
−20
2
10 m
m
Bei polyatomaren Molekülen ist es nicht mehr so direkt möglich, die Kraftkonstanten zu bestimmen, da im Prinzip sämtliche Atome an einer Normalschwingung beteiligt sind. Allerdings koppeln lokalisierte Schwingungen, deren Frequenz
weit voneinander entfernt sind, nur schwach aneinander. Deshalb kann man in den
meisten Fällen die beobachteten Absorptionsbanden einer bestimmten lokalisierten Schwingung zuordnen.
Ein solches Beispiel eines Spektrums zeigt, wie auch in einem relativ einfachen
Molekül eine große Zahl von Absorptionsbanden beobachtet werden kann. Während
es in der Praxis schwierig ist, ohne aufwändige numerische Rechnungen die einzelnen Banden eindeutig einer bestimmten Normalkoordinate zuzuordnen, kann
man direkt Aussagen machen, welche Bereiche welcher Art von Schwingungen
zugeordnet werden kann. Die höchsten Frequenzen sind immer den Streckschwingungen des Wasserstoffatoms zuzuordnen, da hier die geringste Masse bewegt
wird.
KAPITEL 2. WELLEN
17
Abbildung 2.11: IR-Spektrum von Crotonaldehyd.
Abbildung 2.12: Spektralbereiche von Schwingungsspektren.
Physikalische Chemiker haben eine große Zahl von spektralen Bereichen charakterisiert. Diese Übersicht stellt eine grobe Klassifizierung dar. Sehr viel genauere
Aussagen sind möglich, wenn größere Teile von Molekülen verglichen werden, und
aus Abweichungen von den errechneten Werten kann man Rückschlüsse auf strukturelle Besonderheiten ziehen. Die empirischen Erfahrungen, welche in solchen
Tabellen liegen, sind bis heute auch relativ aufwändigen quantenmechanischen
Rechnungen noch überlegen.
2.1.11
Weitere schwingende Systeme
Systeme, die um ihr Gleichgewicht schwingen, findet man nicht nur in Pendeln
und Molekülen.
Genauso führen Atome und Ionen in Festkörpern Schwingungen um ihre Gleichgewichtslage durch. Schwingungen spielen in vielen täglichen Anwendungen eine
KAPITEL 2. WELLEN
18
Abbildung 2.13: Schwingungen in Festkörpern.
Rolle. Sogar das einfache Pendel hat seine Anwendung in der Wanduhr gefunden. Jede Armbanduhr besitzt ein schwingendes Element; in mechanischen Uhren ähnelt es diesem Schwingpendel, in elektronischen Uhren wurde dieses durch
einen Quarzstab ersetzt. In den Atomuhren, welche den internationalen Zeitstandard definieren, sind es Schwingungen der Elektronenhülle von Atomen. Alle
elektrischen und elektromagnetischen Systeme verwenden Schwingungen. Elektromagnetische Wellen, also auch Licht, stellen schwingende Systeme dar.
Bei der Erzeugung von Licht gehen die Schwingungen von atomaren Dipolen
auf das elektromagnetische Feld über und beim Nachweis, also auch im Auge,
überträgt das elektromagnetische Feld diese Schwingungen wieder auf ein materielles System, in diesem Fall die Sinneszellen der Netzhaut.
Wie in anderen Gebieten der Physik können wir hier sehr viele Gemeinsamkeiten
feststellen. So können wir die Resultate, die uns die Diskussion des schwingenden Pendels liefert, direkt auf viele andere Systeme übertragen. Es ist deshalb
nützlich, zunächst einige Eigenschaften zu diskutieren, die allen schwingenden
Systemen gemeinsam sind.
2.2
Gekoppelte Oszillatoren
Im Folgenden betrachten wir, was passiert, wenn wir nicht nur einen, sondern
mehrere gekoppelte Oszillatoren haben.
2.2.1
2 Gekoppelte Oszillatoren
Wie im Beispiel der Moleküle gezeigt, sind Oszillatoren in reellen Systemen meist
an andere gekoppelt. Das einfachste Beispiel eines solchen Verhaltens sind 2 Pendel, welche durch eine Feder aneinander gekoppelt sind.
Das System zeigt im Vergleich zum einzelnen Pendel eine wesentlich interessantere
Dynamik.
• Wenn wir beide Pendel in die gleiche Richtung auslenken, d.h. x1 (0) =
x2 (0), so schwingen sie parallel, x1 (t) = x2 (t); in diesem Fall verhält sich
das System identisch zu einem einfachen Pendel.
KAPITEL 2. WELLEN
19
Abbildung 2.14: zwei gekoppelte Pendel
• Wenn wir die beiden Pendel in entgegengesetzte Richtung auslenken x1 (0) =
−x2 (0), so bleibt das System in diesem symmetrischen Zustand, x1 (t) =
−x2 (t). Die Periode ist kürzer als im ersten Fall, ω2 > ω1 .
• Wenn wir eines der gekoppelten Pendel anstoßen, x1 (0) > 0, x2 (0) = 0,
so wird die Schwingung des ersten Pendels gedämpft bis es ganz stillsteht,
diejenige des zweiten Pendels baut sich auf, bis der Vorgang sich umkehrt.
Offenbar wird hier Energie von einem Pendel auf das andere übertragen.
Genau diese Übertragung von Energie vom einen auf das andere Pendel ist
die erste Vorstufe der Wellenausbreitung.
Hier wird anstelle dieses Systems von 2 gekoppelten Pendeln ein eindimensionales
System von zwei Massen diskutiert, welche durch Federn aneinander gekoppelt
sind.
Abbildung 2.15: 2 gekoppelte schwingende Massen.
Wenn wir die beiden Auslenkungen aus der Ruhelage mit x1 und x2 bezeichnen, so lauten die Bewegungsgleichungen Wir können die Bewegungsgleichung
des Systems schreiben als
mẍ1 = −2κx1 + κx2 = κ(−x1 + (x2 − x1 ))
mẍ2 = −2κx2 + κx1 = κ(−x2 + (x1 − x2 )).
Hier stellt m die Masse einer Kugel und κ die Federkonstante dar. Offenbar
betrachten wir jetzt ein System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen. Wir
können dieses lösen, indem wir die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen.
KAPITEL 2. WELLEN
2.2.2
20
Normalmoden
Wir können die Eigenvektoren aber auch durch Symmetrieüberlegungen finden:
Die beiden Gleichungen entkoppeln wenn x1 = x2 , d. h. wenn die beiden Auslenkungen gleich sind, d. h. wenn die beiden Massen in Phase schwingen. Damit
finden wir sofort die eine Lösung:
r
κ
i(ω1 t+δ)
x1 = x2 = A e
ω1 =
,
m
wobei Amplitude A und Phase δ durch die Anfangsbedingungen bestimmt sind.
Die zweite, linear unabhängige Lösung erhalten wir aus der Forderung, dass die
Eigenvektoren orthogonal sind, d. h. x1 = −x2 . Damit wird die Bewegungsgleichung
ẍ1 = −3κx1 .
Hier ist die Lösung
r
i(ω2 t+δ2 )
x1 = −x2 = A e
ω2 =
3κ
.
m
Die allgemeine Lösung ist eine lineare Superposition der beiden Normalmoden:
x1 = A1 ei(ω1 t+δ1 ) + A2 ei(ω2 t+δ2 )
x2 = A1 ei(ω1 t+δ1 ) − A2 ei(ω2 t+δ2 ) .
Abbildung 2.16: Normalmoden für eine lineare Kette aus 2 gekoppelten Massen.
Die Lösung ist deshalb so einfach, weil sich das System für diese beiden Auslenkungen wie ein einfacher harmonischer Oszillator verhält, wobei die Frequenz
gegeben ist als ω1 , resp. ω2 . Der einfachste Lösungsweg für die Bewegungsgleichungen des gekoppelten Systems besteht deshalb darin, zunächst die Normalkoordinaten und die zugehörigen Normalfrequenzen zu bestimmen. Häufig erhält
man damit schon genügend Informationen. Falls vollständige Lösungen der Bewegungsgleichungen nötig sind, so kann man diese finden, indem man die Anfangsbedingungen in die Normalkoordinaten transformiert. Sucht man die zeitliche
Entwicklung einer bestimmten Koordinate, so findet man diese durch Inversion
der Transformation in Normalkoordinaten.
Da verschiedene Normalkoordinaten mit unterschiedlichen Frequenzen beitragen,
findet man für die Bewegung der einzelnen Koordinate eine Superposition unterschiedlicher Frequenzen. Gemäß dem Additionstheorem für trigonometrische
Funktionen
ω1 + ω2
ω1 − ω2
t) cos(
t)
cos(ω1 t) + cos(ω2 t) = 2 cos(
2
2
KAPITEL 2. WELLEN
21
schwingt die Koordinate damit mit der mittleren Frequenz, wobei die Amplitude
mit der Differenzfrequenz moduliert ist. Man bezeichnet dies als eine Schwebung.
Die Schwebungsfrequenz ist die halbe Differenz zwischen den beiden Normalfrequenzen und damit gerade gleich der Kopplungskonstanten.
Abbildung 2.17: Phasenraumtrajektorien für die beiden gekoppelten Massen.
Man kann die Trajektorien der beiden Massen wie üblich im Phasenraum darstellen. Dabei zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zum Fall der nicht gekoppelten Oszillatoren: Wenn wir jeweils einen Unterraum betrachten, der nur einem
einzelnen Oszillator entspricht (z.B. den x1 , ẋ1 -Unterraum, so schneidet sich die
Trajektorie mit sich selber. Dies liegt daran, dass diese Darstellung nicht alle Dimensionen enthält, sondern eine Projektion auf einen Unterraum darstellt. Die
Trajektorie selber schneidet sich nicht, lediglich die Projektion auf den Unterraum.
2.2.3
5 Gekoppelte Massen in einer linearen Kette
Von der Diskussion von zwei gekoppelten Massen gehen wir über zu einer Kette
von Massen, welche über Federn aneinander gekoppelt sind. Die ist z. B. ein wichtiges Modell für die Diskussion von Schwingungen in kristallinen Festkörpern. Das
Gitter eines Festkörpers ist dadurch definiert, dass die Atome sich an der Stelle
befinden, welche die Gesamtenergie der Anordnung minimiert. Dies ist deshalb
die Position, die sie - abgesehen von der Nullpunktsbewegung - am absoluten
Nullpunkt (T = 0 K) einnehmen. Bei endlichen Temperaturen hingegen können
sie aus dieser Position ausgelenkt sein und damit eine höhere Energie besitzen.
Die rücktreibende Kraft des Potenzials führt dann zu einer Oszillationsbewegung.
Abbildung 2.18: Lineare Kette.
Als einfachstes Modell für die Bewegung von Atomen in einem Festkörper betrachten wir zunächst die eindimensionale Kette. Die darin enthaltenen Atome
seien über Federn aneinander gekoppelt. Wichtig ist nun aber, dass in der Kette
die Kraft, die auf ein Atom wirkt, nicht nur von seiner eigenen Position, sondern
KAPITEL 2. WELLEN
22
auch von der seiner Nachbaratome abhängt. Für eine einatomige Basis gilt
M ẍs = C(xs+1 + xs−1 − 2xs ),
wobei C die Kraftkonstante und M die atomare Masse beschreibt. Jedes Atom
ist in diesem Modell an seine Nachbaratome gekoppelt. Dies führt dazu, dass die
Auslenkung nicht auf einem Atom lokalisiert bleiben kann.
Abbildung 2.19: Exp.: Federkette mit 5 Massen.
Für ein einfaches System von 5 Massen, die durch Federn verbunden sind, lauten
die Bewegungsgleichungen




x1
x1
 x2 
 x2 



C
d2 
 x3  =
 x3 
A




dt2 
M 
x4 
x4 
x5
x5
mit der Kopplungsmatrix

−2 1
 1 −2 1

1 −2 1
A=


1 −2 1
1 −2



.


Die Eigenvektoren und Eigenwerte dieses Systems sind


√1
 3 


C √
2

ξ1 = 
 √2  λ1 = M ( 3 − 2)
 3 
1


1
 1 


 λ22 = − C
0
ξ2 = 


M
 −1 
−1
KAPITEL 2. WELLEN
23



ξ3 = 





ξ4 = 



1
0
−1
0
1

1
−1
0
1
−1












λ23 = −2
C
M
λ24 = −3
C
M
1
√
 − 3 
√


 λ25 = C (−2 − 3).
2
ξ5 = 
 √ 
M
 − 3 
1
Die numerischen Werte für die Frequenzen betragen damit
r
C
λi ≈ {0.52 , 1 , 1.41, 1.73, 1.93} − .
M
Diese Werte kann man im Experiment verifizieren, indem das System resonant
anregt. Wenn die Resonanzfrequenz getroffen wird, wird das System so angeregt,
dass die Amplituden der einzelnen Massen den entsprechenden Komponenten der
Eigenvektoren entsprechen.
Abbildung 2.20: Gemessene Eigenfrequenzen der linearen Kette mit 5 Massen.
Die gemessenen Eigenfrequenzen stimmen recht gut mit den theoretisch berechneten Werten überein.
Wenn man die Komponenten der Eigenvektoren grafisch aufträgt, sieht man ebenfalls eine interessante Abhängigkeit. Offenbar haben beim Eigenvektor mit der
niedrigsten Eigenwert alle Elemente das gleiche Vorzeichen. Bei den anderen EV
wechselt das Vorzeichen jeweils 1, 2, 3, 4 mal. Dieses Verhalten ist sehr universell,
man findet es sowohl bei Schwingungen und Wellen in klassischen Systemen wie
auch in der Quantenmechanik.
KAPITEL 2. WELLEN
24
Abbildung 2.21: Eigenschwingungen der linearen Kette mit 5 Massen.
2.2.4
Unendliche Kette
Abbildung 2.22: Unendliche Kette mit periodischen Randbedingungen.
Einfacher als die Kette mit fünf Gliedern ist die unendliche Kette. Dieses System
wird einfacher, weil jetzt die Bewegungsgleichung für alle Massen die gleiche ist:
M ẍs = C(xs+1 + xs−1 − 2xs ),
(2.2.1)
während wir vorher eine Bewegungsgleichung für die mittleren Massen hatten
(die gleiche wie hier) und eine andere für die Massen am Rand.
Es bleibt die Frage nach den Randbedingungen. Da wir von einer unendlich langen
Kette ausgehen, erwarten wir, dass das Resultat unabhängig ist von den Randbedingungen. Es ist aber nützlich, zunächst in einem endlichen System geeignete
Randbedingungen einzuführen und dann die Größe des Systems gegen unendlich
laufen zu lassen. Dabei sollte man aber die Symmetrie des unendlichen Systems
beibehalten. Dies kann man erreichen, indem man periodische Randbedingungen
verwendet: Man betrachtet N Massen, wobei N eine große aber endliche Zahl ist,
und ordnet diese Massen ringförmig an. Die N -te Masse ist somit an die erste
gekoppelt. Die Bedingung der Periodizität lautet dann
xs+N = xs
∀s.
(2.2.2)
Wir suchen jetzt die Eigenfunktionen der Bewegungsgleichung (2.2.2), also diejenigen Lösungen dieser Bewegungsgleichung, die eine harmonische Zeitabhängigkeit
aufweisen. Ein möglicher Ansatz, der die periodischen Randbedingungen erfüllt,
ist
xs = X0 eiksa eiωt ,
(2.2.3)
wobei k die Dimension einer inversen Distanz hat und a den Abstand zwischen
nächsten Nachbarn darstellt. Die räumliche und die zeitliche Abhängigkeit sind
hier getrennt, man spricht von einem Separationsansatz.
KAPITEL 2. WELLEN
25
Abbildung 2.23: Auslenkungen in der unendlichen Kette mit periodischen Randbedingungen (hier: N = 4).
Aufgrund der periodischen Randbedingungen (2.2.2) muss
xs+N = eik(s+N )a = eiksa = xs
sein, d.h.
eikN a = 1.
Diese Bedingung ist erfüllt, wenn kN a ein Vielfaches von 2π ist, d.h. wenn
k=
2πn
,
Na
n = 0, 1, 2, ..N.
Da N a die Länge des Rings ist, muss also k ein ganzzahliges Vielfaches von 2π
durch die Länge des Rings sein. Offenbar ist der Abstand
kn+1 − kn =
2π
Na
zwischen aufeinanderfolgenden Werten von k relativ groß, wenn N klein ist, aber
für N → ∞, also für die unendliche Kette, verschwinden die Abstände, d. h. k
wird kontinuierlich.
Durch Einsetzen des Ansatzes (2.2.3) in die Bewegungsgleichung (2.2.1) erhalten
wir
C ika
(e + e−ika − 2)
M
C
C
ka
= 2 (1 − cos(ka)) = 4 sin2 ( ).
M
M
2
−ω 2 =
ω2
Offenbar stellt unser Lösungsansatz eine Normalmode dar. Die zugehörige Frequenz ist
r C ka ω=2
sin( ) .
M
2
Jedes Wertepaar (k, ω) charakterisiert eine Eigenschwingung der Kette. Innerhalb
der harmonischen Näherung sind diese Schwingungen unabhängig voneinander.
In einer Kette mit N Gliedern gibt es N diskrete Moden. In einer unendlichen
Kette wird daraus eine kontinuierliche Funktion des Wellenvektors k.
KAPITEL 2. WELLEN
26
Abbildung 2.24: Die Dispersionsrelation ω(k) für die unendliche Kette.
2.2.5
Dispersion
Die Beziehung zwischen k und ω, welche als Dispersionsrelation bezeichnet wird,
ist in Abb. 2.24 dargestellt. Für kleine Wellenvektoren, also große Wellenlängen,
geht die Frequenz gegen Null. Hier gilt
r
C
|ka| ,
ω≈
M
d. h. die Frequenz ist direkt proportional zum Betrag des Wellenvektors. Diese
Porportionalität ist intuitiv ersichtlich, wenn man berücksichtigt, dass bei gegebener Auslenkung einerseits die Federspannung indirekt proportional zur Anzahl
N der parallel ausgelenkten Massen ist, andererseits die Masse proportional zu
N:
r
r
C/N
1
C
=
.
ω(N ) =
MN
N M
Ein kleiner Wellenvektor, resp. große Periodenlänge bedeutet, dass benachbarte
Atome praktisch in Phase schwingen.
Abbildung 2.25: Benachbarte Atome schwingen für k = π/a in Gegenphase.
Anders sieht es beim Wellenvektor k = π/a aus. Hier sind benachbarte Atome gerade in Gegenphase. Hier wird gleichzeitig die Frequenz unabhängig vom
Wellenvektor k.
Wenn wir zu noch größeren Wellenvektoren, also kürzeren Wellenlängen gehen,
so wird die Auslenkungsdifferenz zwischen benachbarten Atomen wieder kleiner.
KAPITEL 2. WELLEN
27
Dies äußert sich auch in der Frequenz, wie man in der Dispersionsrelation erkennen kann. Offenbar ist die Frequenzabhängigkeit periodisch in k, mit Periode
2π/a. Dies ist eine direkte Konsequenz des diskreten Modells: Es ist physikalisch nicht möglich, Schwingungen zu unterscheiden, deren Wellenvektoren sich
um 2π/a unterscheiden.
Abbildung 2.26: Auslenkungen bei k = 2π/a sind identisch zu Auslenkungen bei
k = 0.
Anders ausgedrückt: die Auslenkung ist nur bei den Massen beobachtbar und die
Auslenkung bleibt identisch wenn die Phase um Vielfache von 2π ändert.
Abbildung 2.27: Periodizität im k-Raum und Definition der 1. Brillouin-Zone.
Physikalisch von Bedeutung ist deshalb nur der Bereich zwischen −π/a < k <
π/a. Diese Unterscheidung wird in der Festkörperphysik von großer Bedeutung,
wo dieser Bereich als die erste Brillouin-Zone bezeichnet wird.
2.2.6
Transversalschwingungen
Massen auf einer Kette können nicht nur in Richtung der Achse ausgelenkt werden, sondern auch senkrecht dazu. Wir betrachten die senkrechte Auslenkung
unabhängig, d. h. wir nehmen an, dass die Abstände in x-Richtung konstant
sind, so dass die potenzielle und kinetische Energie nur durch die y-Verschiebung
zustande kommen.
Unter dieser Voraussetzung muss die x-Komponente der Kraft im Gleichgewicht
sein, d. h. die Kräfte auf benachbarte Segmente stehen im Verhältnis
Ss−1 cos αs−1 = Ss cos αs ,
KAPITEL 2. WELLEN
28
Abbildung 2.28: Transversalschwingungen.
wobei Sj die Federkraft an der Position j darstellt und α der Winkel zwischen
der Verbindungsgerade der ausgelenkten Massen und der Kettenachse.
Für kleine Auslenkungen gilt außerdem α≈0 und
cos αs−1 ≈ cos αs ≈ 1,
so dass
Ss−1 = Ss = S,
d. h. alle Kräfte sind identisch.
Die transversale Kraft ist
Fs = −S sin αs−1 + S sin αs
ys+1 − ys
ys − ys−1
+S
≈ −S
a
a
ys+1 − 2ys + ys−1
.
= S
a
Dies ist exakt analog zum longitudinalen Fall, außer dass die Auslenkung jetzt in
y-Richtung liegt und die Kraftkonstante C durch das Verhältnis S/a aus Saitenspannung und Abstand ersetzt wurde. Entsprechend können können die Schwingungen auch hier als
ys = Y0 eiksa eiωt
geschrieben werden. Die Frequenzen werden hier
r
S ka ω=2
sin( ) .
Ma 2
Die Dispersionsrelation ist demnach die gleiche wie beim longitudinalen Fall. Der
einzige Unterschied liegt in der Skala der y-Achse.
Wenn wir den kontinuierlichen Grenzfall a → 0 betrachten, so wird der Bruch
zur Krümmung an der Stelle j, d. h. zur zweiten Ableitung. Somit erhalten wir
die Bewegungsgleichung für das Element an der Stelle x als
F = mÿ = Sa
oder
d2 y
dx2
m
d2 y
ÿ = S 2 .
a
dx
KAPITEL 2. WELLEN
29
Abbildung 2.29: Transversale Moden.
2.2.7
Parametrische Resonanz
Eine Art, Resonatoren anzuregen, die nicht durch die oben beschriebenen Bewegungsgleichungen beschrieben wird, ist die parametrische Resonanz. Hier greift
die externe Kraft nicht an der Auslenkung x an, sondern an einem Systemparameter wie der Frequenz oder der Dämpfung. Meist wird die Frequenz des Oszillators
variiert, z. B. durch periodische Verkürzung / Verlängerung eines Pendels. Ein
solches Pendel kann durch die Bewegungsgleichung
ẍ + ω 2 (t)x = 0
mit
ω 2 (t) = ω02 (1 + h cos(2ω0 t))
beschrieben werden. Resonante Anregung erfolgt wenn die Modulationsfrequenz
gerade 2ω0 entspricht.
Wir suchen Lösungen der Art
x(t) = aeλt eiω0 t = ae(λ+iω0 )t .
Die entspricht einem harmonischen Oszillator mit zeitabhängiger Amplitude. Je
nach Vorzeichen von λ wächst die Amplitude oder sie nimmt ab.
Abbildung 2.30: Transversale Moden.
Eine analytische Lösung ist etwas aufwändig, aber qualitativ lässt sich das Verhalten leicht verstehen: Wir betrachten dazu eine Kugel, die sich in einem harmonischen Potenzial mit variabler Krümmung bewegt. Wird die Krümmung so
moduliert, dass die Krümmung maximal ist, wenn die Kugel hinunterrollt, und
minimal, wenn sie hinaufrollt, so wird ihr von außen Energie zugeführt.
Offensichtlich ist x = 0 ein Fixpunkt dieses Systems. Er ist aber instabil: eine
kleine Abweichung führt dazu, dass dem System Energie zugeführt wird, und es
KAPITEL 2. WELLEN
30
beginnt mit eponentiell ansteigender Amplitude zu schwingen. Dies zeigt klar,
dass es sich hier um einen nichtlinearen Effekt handelt.
Grundsätzlich kann dem System auch Energie entzogen werden: ist die Phasenlage
ungünstig, ist also die Krümmung maximal wenn die Kugel hinaufrollt, so wird
dem System Energie entzogen. Dabei ändert es jedoch seine Phasenlage, so dass
es nach kurzer Zeit wieder zu einer Zunahme kommt.
Der Effekt der parametrischen Oszillation wird z.B. in der Optik verwendet. Hier
nutzt man die Möglichkeit, dass das System bei einer Anregung mit einer Frequenz ω0 nicht nur mit ω0 und deren Harmonischen schwingt, sondern auch mit
der halben Frequenz antworten kann.
Abbildung 2.31: Erzeugen von Licht mit variabler Wellenlänge in einem optischen
parametrischen Oszillator.
Noch allgemeiner kann die Systemantwort Frequenzen enthalten, deren Summe
der Anregungsfrequenz entspricht, also z.B. 2 Frequenzen ω1 und ω2 = ω0 − ω1 .
Dies nutzt man z.B., um aus einem Laser, der mit einer festen Frequenz schwingt,
Licht mit einstellbarer Wellenlänge zu erzeugen. Etwas plakativ kann man das so
ausdrücken, dass dabei ein Photon in zwei kleinere ”aufgeteilt” wird.
2.3
Fourierreihen und Fouriertransformationen
Wir hatten schon mal festgestellt, dass die allgemeine Lösung der Wellengleichung
auf die Überlagerung der ebenen Wellen hinausläuft. Dazu benötigen wir noch
etwas Mathematik, die wir hier ohne jede Rigorosität darstellen.
2.3.1
Fourierreihen
Wir stellen uns ein kontinuierliches System auf dem Intervall [0, L] vor. Es werde
durch f (x) beschrieben ( Bsp. Auslenkungen ).
• Feste Randbedingungen bedeuten f (x) = 0 für x = 0 und x = L. Da diese
allerdings relativ unhandlich sind betrachten wir:
KAPITEL 2. WELLEN
31
• Periodische Randbedingungen mit f (L) = f (0). Dann kann man sich vorstellen, dass f (x) auf R eine L-periodische Funktion ist.
Also f (x + L) = f (x), ∀x
Bemerkung:
Die Übergänge müssen hier nicht stetig sein
Also kann f (x) dargestellt werden als
∞
X
f (x) =
fn e i
2πn
x
L
(2.3.1)
n=−∞
mit k =
2πn
L
und n ∈ Z. Offenbar gilt
ei
2πn
L
L
= ei2πn = 1
(2.3.2)
sodass f (L) = f (0). Dies ist eine L-periodische Funktion. Die Darstellung in Gl.
(2.3.1) ist eine sogenannte komplexe Fourierreihe.
Mit eix = cos α + i sin α kann diese in eine Kosinus und Sinusreihe umgeschrieben
werden.
f (x) = f0 +
∞
X
n=1

(fn + f−n ) cos
| {z }
=cn
2π
nx + i (fn − f−n ) sin
|
{z
}
L

2π
nx  (2.3.3)
L
=sn
Wesentlicher allerdings ist die Frage: Wie bestimmt man die fn ?
Dabei hilft uns die Orthogonalität. Wir definieren uns ein Skalarprodukt zwischen zwei Funktionen f und g:
Z L
(f | g) =
f ∗ (x)g(x)dx
(2.3.4)
0
Diese Definition ist
• a) bilinear:
(f | αg + βh) = α(f | g) + β(f | h)
(f | g) = (g | f ) ⇒ (αf + βh | g) = α∗ (f | g) + β ∗ (h | g)
∗
(2.3.5)
(2.3.6)
• b) positiv-definit:
Z
0
L
(f | f ) ≥ 0 ∀f
Z L
2
|f | (x)dx ≥
0 dx = 0
(2.3.7)
(2.3.8)
0
und (f | f ) = 0 ⇒ f = 0
(2.3.9)
RL
0 = 0 |f |2 dx bedeutet, dass f (x) fast überall 0 sein muss. An abzählbar
vielen Punkten könnte es von 0 abweichen. Solche punktuellen Abweichen
interessieren uns allerdings nicht, da sie physikalisch ohne Belang sind.
KAPITEL 2. WELLEN
32
Wir erinnern uns das gilt:
|(f | g)|2 ≤ (f | f )(g | g) ( Vgl. Schwarz )
und kf + gk ≤ kf kkgk ( Dreiecksungleichung )
p
mit kf k = (f | f ) ( Norm )
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.12)
Nun rechnen wir leicht nach, dass
i 2π
nx
L
e
i 2π
mx
L
|e
Z
=
L
2π
ei L (m−n)x dx
(2.3.13)
0
= L für n = m mit n, m ∈ Z
2π
ei L (m−n)x L
=L
=0
2πi (m − n) 0
(2.3.14)
(2.3.15)
Also sind die Exponentialfunktionen paarweise orthogonal. Ihre Norm ist
Damit finden wir:
i 2π
nx
L
e
| f (x) =
∞
X
n=−∞
i 2π
mx
L
fn e
|
i 2π
nx
L
|e
{z
Lδn,m
= Lfm
Z
2π
1 L
f (x)e−i L nx dx
⇒ fm =
L 0
√
L.
(2.3.16)
}
(2.3.17)
(2.3.18)
Beispiel:
πx f (x) = sin
L
(2.3.19)
KAPITEL 2. WELLEN
33
Z
πx 2π
1 L
fm =
sin
e−i L mx dx
L 0
L
πx i
π
π
mit sin
=
ei L nx − e−i L nx
L
2
Z
−i L αx
=
e − eβx dx
2L 0
iπ 2iπ
iπ 2iπ
mit α =
−
m und β = − −
m
L
L
L
L
−i eαx eβx L
=
−
2L α
β 0
mit αL = iπ (1 − 2m) und βL = −iπ (1 + 2m)
| {z }
| {z }
ungerade
ungerade
1
1
1
−
=
π 2m + 1 2m − 1
2
fm =
π (1 − 4m2 )
fm fällt also mit
1
m2
(2.3.20)
(2.3.21)
(2.3.22)
(2.3.23)
(2.3.24)
(2.3.25)
(2.3.26)
(2.3.27)
ab.
Bemerkung:
Es gibt die Faustregel: Je glatter f (x), desto schneller fällt fm für m → ∞ ab.
Unstetige Sprünge können nicht approximiert werden. Das ist physikalisch aber
kein wirkliches Problem, da es uns meist reicht dass
(n)
lim fapprox
= f (x)
x→∞
(2.3.28)
im Sinne des definierten integralen Skalarproduktes.
Das Überschießen in der Nähe von Sprüngen heißt Gibbsches Phänomen.
2.3.2
Fouriertransformation als Basiswechsel
Aus
Z
L
2π
2π
e−i L mx ei L nx = Lδn,m
(2.3.29)
0
folgt, dass
2π
1
(2.3.30)
en (x) = √ ei L nx mit n ∈ Z
L
eine Basis orthonormaler Vektoren im Raum der quadratintegrablen Funktionen ( Funktion, für die (f | f ) < ∞ existiert) ist.
Dann gilt der Satz von Pythagoras :
KAPITEL 2. WELLEN
34
2
kf k = (f | f ) =
∞
X
Z
2
L
|fn | L =
|f |2 (x)dx
(2.3.31)
0
−∞
√
da Lfn der Vorfaktor vor en (x) ist:
f (x) =
∞
X
√
fn L en (x)
(2.3.32)
−∞
Nachrechnen ergibt:
Z
L
∗
f (x)f (x)dx =
0
∞
X
∞ Z
X
L
√
√
fn∗ Le∗n (x)fm Lem (x)dx
(2.3.33)
0
=
=
m=−∞ n=−∞
Z L
∞
X
∗
e∗ (x)em (x) dx
fn fm L
{z }
0 |
n,m=−∞
δn,m
∞
X
|fn |2 L
(2.3.34)
(2.3.35)
n−∞
Beispiel:
f (x) = | sin
πx |
L
1
2
fm =
π 1 − 4m2
Z L
∞
L
L X
4
2 πx
sin
dx = = 2
L
2
π m=−∞ (1 − 4m2 )2
0
∞
X
π2
1
⇒
=
8
(1 − 4m2 )2
m=−∞
(2.3.36)
(2.3.37)
(2.3.38)
(2.3.39)
Analoge Herleitung für Skalarprodukte:
(f | g) = L
∞
X
∗
fm
gm
(2.3.40)
m=−∞
Analogie: ~v~n = v1 n1 + v2 n2 + v3 n3 im R3
im C3 ~v ∗~n = v1∗ n1 + v2∗ n2 + v3∗ n3
(2.3.41)
(2.3.42)
Bisher wurden die Funktionen auf [0, L] periodisch fortgesetzt. Nun f (x) auf R,
ohne Periodizität.
KAPITEL 2. WELLEN
2.3.3
35
Fourierintegrale
Bisher: Fourierreihen
(1)
∞
X
f (x) =
2π
fn ei L nx
(2.3.43)
n=−∞
Z
(2)
L/2
Lfn =
2π
f (x)e−i L nx
(2.3.44)
−L/2
Idee: Was passiert für L → ∞?
(1)
∞
1 X Lfn iqn x 2π
L
√ e
f (x) = √
2π n=−∞ 2π
Z ∞
1
lim √
F (q)eiqx dq
L→∞
2π −∞
(2.3.45)
(2.3.46)
2π
Lfn
n
und qn =
mit F (q) := lim √
L→∞
L
2π
Z ∞
1
(2)
F (q) = √
f (x)e−iqx dx
(2.3.47)
2π −∞
Also haben wir (bis auf ein Vorzeichen) absolut symmetrische Formeln.
Z ∞
1
F (q) = √
f (x)e−iqx dx Fouriertrafo ”Hin”
2π −∞
Z ∞
1
f (x) = √
F (q)eiqx dq Fouriertrafo ”Zurück”
2π −∞
(2.3.48)
(2.3.49)
Hier ist keine Periodizität vorausgesetzt. Es ist lediglich zu fordern, dass die
Integrale existieren.
Bemerkung:
In der Literatur auch häufig asymmetrisch
Z
∞
f˜(x)e−iqx dx
Z ∞
1
˜
F̃ (q)eiqx dq
f (x) = √
2π −∞
F̃ (q) =
(2.3.50)
−∞
(2.3.51)
Bsp: f (x) = δ(x − x0 )
Z ∞
1
F (q) = √
δ(x − x0 )e−iqx dx
2π −∞
1
= √ e−iqxo
2π
(2.3.52)
(2.3.53)
KAPITEL 2. WELLEN
36
Umkehrung:
Z ∞
1
1
δ(x − x0 ) = √ √
e−iqxo eiqx dq
2π 2π −∞
Z ∞
1
=
eiq(x−xo ) dq
2π −∞
(2.3.54)
(2.3.55)
Für Skalarprodukte gilt wieder, dass sie gleichermaßen im realen wie im Fourierraum (häufig auch: reziproker Raum) ausgerechnet werden können:
Z ∞
Z ∞
∗
f (x)g(x)dx =
F ∗ (q)G(q)dq
(2.3.56)
(f |g) =
−∞
−∞
Weitere Beispiele: Spaltfunktion
f (x) = Θ(x + a)Θ(a − x) , a > 0
(
1 x≥0
Θ(x) =
0 x<0
Heaviside-Funktion Θ :
a
1 i −iqx e
dx = √
e
2π q
−a
−a
r
i 1 −iqa iqa 2 sin(qa)
=√
e
e
=
π q
2π q | {z }
1
F (q) = √
2π
Z
(2.3.57)
a
−iqx
(2.3.58)
−2i sin(qa)
Gaußfunktion
2
f (x) = e−αx , α > 0
Z ∞
1
2
e−αx −iqx dx
F (q) = √
2π −∞
2
iq
q2
2
+
αx + iqx = α x +
2x
4α
{z
}
|
(2.3.59)
(2.3.60)
(2.3.61)
u
ũ
u→ √
(2.3.62)
a
Z ∞
1
2
e−ũ dũ
(2.3.63)
F (q) = √
2πα −∞
Je breiter die Funktion im Ortsraum ist, desto schmaler ist sie im reziproken
Raum und umgekehrt!
KAPITEL 2. WELLEN
2.3.4
37
Übertragungsfunktion und Frequenzanalyse
Das Paradebeispiel der Fourierzerlegung:
fE (t)
fA (t)
−−−→ lineare Antwort −−−→
B[fE ] = fA
mit B[αfE1 + βfE2 ] = αfA1 + βfA2
,
(2.3.64)
d.h. Linearität sei gegeben. Wir fordern auch Invarianz in der Zeit:
B[fE (t − t0 )] = fA (t − t0 )
∀ t0
(2.3.65)
Wir betrachten speziell fE (t) = δ(t) mit der zugehörigen Antwort fA (t) := χ(t).
Wegen Linearität und Verschiebungsinvarianz in der Zeit gilt für den allgemeinen Eingang gE (t):
Z ∞
gE (t) =
δ(t − t0 )gE (t0 )dt0
(2.3.66)
−∞
Z ∞
B[gE (t)] =
B[δ(t − t0 )]gE (t0 )dt0
(2.3.67)
−∞
Z ∞
χ(t − t0 )gE (t0 )dt0
(2.3.68)
=
−∞
Kennen wir die Antwort auf einen δ-Puls, so kennen wir die Antwort auf jedes
Eingangssignal
Z ∞
χ(t − t0 )gE (t0 )dt0
gA (t) =
(2.3.69)
−∞
in Form eines sogenannten Faltungsintegrals. Noch einfacher wird es im Frequenzraum:
Z ∞
1
GE/A (ω) = √
gE/A (t)e−iωt dt
(2.3.70)
2π −∞
Z ∞
1
χ
e(ω) = √
χ(t)e−iωt dt
(2.3.71)
2π −∞
Z ∞
Z ∞
1
−iωt
χ(t − t0 )gE (t0 )dt0
(2.3.72)
dte
GA (ω) = √
2π −∞
−∞
Z ∞Z ∞
1
0
0
=√
dtdt0 e−iω(t−t ) χ(t − t0 )e−iωt gE (t0 )
(2.3.73)
2π −∞ −∞
Substitution: t → t + t0
GA (ω) =
√
2πχ(ω)GE (ω)
(2.3.74)
Das ist der wichtige Faltungssatz: Faltungen werden
√ unter Fouriertransformationen zu einfachen Produkten. Beachte: Der Faktor 2π hängt von der genauen
Konvention der Fouriertrafo ab.
Anschaulich: Schicke eine Frequenz hinein und miss die Amplitude des Ausgangs.
KAPITEL 2. WELLEN
38
cos(ωt) → lineare Antwort → A(ω) cos(ωt − ϕ)
iωt
Re
| {ze } →Re
√
2π χ
e(ω)eiωt
(2.3.75)
Eingang
= Re
√
A(ω)
2π √ ei(ωt−ϕ)
2π
(2.3.76)
A(ω)
χ
e = √ e−iϕ(ω) = A(ω) cos(ωt − ϕ)
2π
2.4
(2.3.77)
Wellengleichung
Zum Einstieg betrachten wir wieder ein einfaches Masse-Feder-Modell in zwei
Dimensionen, die lineare Kette:
Wir erhalten zwei unabhängige Lagrangefunktionen:
L = L|| + L⊥
(2.4.1)
• L|| ist die Bewegung in x-Richtung, die longitudinale Schwingung
• L|− ist die Bewegung in y-Richtung, die transversale Schwingung
N −1
N −1
mX 2 KX
L|| =
ẋ −
(xi+1 − xi )2
2 i=0 i
2 i=0
L⊥ =
(2.4.2)
N −1
N −1
m X 2 K⊥ X
ẏi −
(yi+1 − yi )2
2 i=0
2 i=0
(2.4.3)
F
Hierbei ist K⊥ = Zug
mit dem mittleren Abstand der Massenpunkte a.
a
Die Bewegungsgleichung lautet (uj ist xj oder yj ):
0 = mu¨j + K(uj − uj+1 ) + K(uj − uj−1 )
∀j
(2.4.4)
KAPITEL 2. WELLEN
2.4.1
39
Eindimensionales Kontinuum
Wir wollen nun unser System in ein Kontinuierliches verändern. Dazu gehen
wir von einem Masse-Feder-Modell zu einer gespannten elastischen Saite mit Massendichte über:
Masse mi %(x) =
= lim
(2.4.5)
Länge bei x a→0 a xi ≈x
Der Einfachheit halber nehmen wir sie als konstant an: %(x) = %
Weiterhin existiere der Grenzwert der Kraft in der Kette:
F (x) = lim (Ki a)
a→0
(2.4.6)
xi ≈x
Statt uj betrachten wir ein u(x) mit uj = u(xj ). Die Annahme ist hier, dass
sich uj langsam von j nach j + 1 verändert, sodass eine stetige Funktion u(x)
approximiert wird. u(x) enthält streng genommen mehr Informationen als uj , da
es noch an allen Zwischenpunkten Aussagen macht.
Mit diesen Festlegungen schreiben wir die Bewegungsgleichung (2.4.4) ins Kontinuierliche um (für a → 0):
Ka uj − uj+1 Ka uj − uj+1
m
u¨j +
+
a
a | {z
a }
a | {z
a }
|{z}
|{z}
F
∂U
∂U
%
a
∂x |x=a(j+1/2)
∂x |x=a(j−1/2)
!
1 ∂U ∂2
∂U 0 = % 2 u(x, t) − F
−
∂t
a ∂x x=a(j+ 1 )
∂x x=a(j− 1 )
2
2
{z
}
|
(2.4.7)
0=
(2.4.8)
∂2u ∂x2 x=ja
∂ 2u
∂ 2u
0=% 2 −F 2
∂t
∂x
F ∂ 2u
∂ 2u
⇔0= 2 −
∂t
% ∂x2
|{z}
(2.4.9)
=:v 2
(2.4.9) ist die eindimensionale Wellengleichung. Sie beschreibt Wellen mit der
Geschwindigkeit v.
2.4.2
Lösung der Wellengleichung
Wir wollen nun (zwei) wesentliche Arten zur Lösung der Wellengleichung
1 2
∂ u = ∂x2 u
v2 t
kennenlernen.
(2.4.10)
KAPITEL 2. WELLEN
40
1.Art:
Wie bei der diskreten, d.h. noch nicht kontinuierlichen, Kette, machen wir den
naheliegenden Ansatz ebener Wellen:
u = A · eiωt+iqx
(2.4.11)
1
(−ω 2 ) · A · eiωt+iqx = − q 2 · A · eiωt+iqx
v2
≡ ω2 = v2q2
⇒ ω = ±v|q|
(2.4.12)
und setzen diese in (2.4.10) ein:
Abbildung 2.32: Graphische Dispersion
Es liegt ein linearer Zusammenhang vor. Es gilt:
ω
∂ω
=
=v
q
∂q
(2.4.13)
Das bedeutet Phasen- ( ωq ) und Gruppengeschwindigkeit ( ∂ω
) unterscheiden sich
∂q
nicht. Dies bedeutet, dass Signale nicht zerfließen. Dies wird nun noch genauer
betrachtet.
Bemerkung:
Der Zusammenhang |ω| = v|q| findet man bei der diskreten Kette für kleine q,
wo q¯l << π2 gilt somit sin q¯l ≈ q¯l in:
ω=2
k
sin q¯l ≈
m
2k ¯
l
m
|{z}
·q
(2.4.14)
v:Schallgeschw.
Das ist physikalisch plausibel, da kleine Wellenvektoren q räumlich langsame
Veränderungen bedeuten. Für solche Veränderungen auf der Skala λ = 2π
>> ¯l
q
treten die Effekte der Diskretheit nicht auf. Das System verhält sich, als sei es
kontinuierlich.
KAPITEL 2. WELLEN
41
Die allgemeine Lösung u(x, t) besteht aus der Überlagerung ebener Wellen; da
wir es mit einem linearen Problem zu tun haben gilt:
X
u(x, t) =
(Aj · eiω(qj )t+iqj x + |{z}
c.c )
wobei ∈ R und ω(qj ) = v|qj |
q,j
kompl.konj.
(2.4.15)
Wir werden im anschließenden Kapitel über Fouriertransformation sehen, dass
man so beliebige Funktionen darstellen kann.
2.Art:
Die Methode A) funktioniert sehr allgemein. Sie verlangt nicht, dass die Dispersion ω(q) linear ist. Speziell für die Wellengleichung (2.4.10) gilt dennoch, dass
u(x, t) = f (x − vt)
(2.4.16)
eine Lösung ist. Betrachtet man nun die Ableitungen:
∂t u = − vf 0 (x − vt)
∂t2 u =v 2 f 00 (x − vt)
∂x u =f 0 (x − vt)
∂x2 u =f 00 (x − vt)
(2.4.17)
(2.4.18)
(2.4.19)
(2.4.20)
Ebenso ist f (x + vt) eine Lösung.
Bemerkung:
• f (x ± vt) ist beliebig
• f (x − vt) entspricht einem nach rechts laufenden Signal
• f (x + vt) entspricht einem nach links laufenden Signal
Abbildung 2.33: Laufende Welle (Signal)
Frage:
Kann man aus dieser Beobachtung eine allgemeine Lösung konstruieren?
Allgemein: Vorgabe von u(x, t) = u0 (x) bei t = 0 und u̇(x, t) = v0 (x) bei t = 0
Ansatz:
u(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
(2.4.21)
mit
u0 (x) =f (x) + g(x)
v0 (x) = − vf 0 (x) + vg 0 (x)
(2.4.22)
(2.4.23)
KAPITEL 2. WELLEN
42
Mit d(x) := g(x) − f (x) gilt:
1
− v0 (x) =d0 (x)
v
Z
⇒ d(x) = −
0
x
1
v0 (x0 )dx0
v
(2.4.24)
Damit gilt:
1
f (x) = (u0 (x) − d(x))
2
1
g(x) = (u0 (x) + d(x))
2
(2.4.25)
(2.4.26)
Damit haben wir eine ganz allgemeine Lösung für das unendlich große System.
Für Systeme mit Randbedingungen muss man sich im Allgemeinen die Lösungen
konkret überlegen.
Für feste Randbedingungen hilft häufig die Idee des Bildsignals (siehe Abbildungen 2.34 und 2.35).
Abbildung 2.34: Bildsignal mit fester Randbedingung
Trick: Erweitere das System
Abbildung 2.35: Bildsignal im erweiterten System
und suche im erweiterten System eine Lösung mit u(x = 0) = 0, die für x >> 0
die selben Anfangsbedingungen hat wie das zu lösende Problem:
u(x, t) = f (x + vt)
−f (vt − x)
| {z }
(2.4.27)
+g(x−vt) mit g(x)=−f (−x)
Klarerweise ist die Wellengleichung (2.4.10) und
u(x = 0, t) = f (vt) − f (vt) = 0
(2.4.28)
KAPITEL 2. WELLEN
43
erfüllt.
Man sagt:
Die feste Randbedingung reflektiert das Signal mit der Phase π, d.h. einen Faktor
eiπ = −1.
Das selbe Prinzip funktioniert auch bei zwei festen Randbedingungen, allerdings
ist es auf Grund mehrfacher Reflektion sehr viel komplizierter. Ein Beispiel hierfür
ist das in Abbildung 2.36 gezeigte Phänomen der gezupften (Gitarren-)Saite“.
”
Abbildung 2.36: Beispiel: gezupfte (Gitarren-) Saite
2.5
Lagrange- und Hamiltondichte
Wir möchten nun den fundamentalen und wichtigen Kontinuumslimes auch für
die Lagrangefunktion und die Hamiltonfunktion durchführen:
L=
N
−1
X
i=0
wenn nun: ¯l → 0 mit
ui+1 −ui
l̄
Z
L=
N −1
¯l2
mi 2 ¯l X ki
u̇i −
(ui+1 − ui )2 2
2 l
2
l
i=0
→ ∂x u und ¯l → dx
L
(
0
(2.5.1)
ρ(x)
F (x)
(∂t u)2 −
(∂x u)2 )dx
2
2
(2.5.2)
Mit den Randbedingungen u(0) = 0 und u(L) = 0 definieren wir die Lagrangedichte L:
ρ(x) 2 F (x) 2
L(x) =
u −
u
(2.5.3)
2 t
2 x
Hierbei wird folgendes definiert:
Z ∞
L=
L(x)dx
(2.5.4)
−∞
Die Lagrangegleichungen lauteten bisher:
0=
d ∂L
∂L
−
dt ∂ u̇j
∂uj
∀j
(2.5.5)
KAPITEL 2. WELLEN
44
Im Kontinuum (eindimensional) gilt dann offenbar:
0=
d ∂L
∂L
−
dt ∂ut (t) ∂u(x)
(2.5.6)
x
Das Problem ist, dass nicht klar ist, was ∂u
bedeutet!
∂u
Daher greifen wir auf das Hamilton’sche Prinzip der stationären Wirkung zurück
und variieren u(x, t) → u(x, t) + δu(x, t)
Z
t2
Z
t2
Z
L(u, ux , ut , t) dt dx
L dt = δ
0=δ
t1
t1
L
(2.5.7)
0
Wie üblich wird für t1 und t2 nicht variiert. Wegen u(x = 0) = 0 = u((x = L)
wird auch nicht an den räumlichen Rändern variiert.
So ergibt sich:
Z t2 Z L
∂L
∂L
∂L
( δu +
0=
δut +
δux ) dt dx
(2.5.8)
∂u
∂ut
∂ux
0
t1
Partielle Integration
∂L
∂ 2L
∂L
δut =∂t (
δu) −
δu
∂ut
∂ut
∂t ∂ut
∂L
∂L
∂ 2L
δu
und:
δux =∂t (
δu) −
∂ux
∂ux
∂x ∂ux
(2.5.9)
nach:
liefert:
Z
t2
Z
0=
L
(
t1
0
(2.5.10)
∂L
∂ 2L
∂ 2L
−
−
)δu dt dx
∂u ∂t ∂ut ∂x ∂ux
(2.5.11)
Die Randbeiträge verschwinden:
t2
∂L
∂L
δu)dt =
δut =
∂t (
∂ut
∂ut
t1
t1
L
Z L
∂L
∂L
δu) =
δux =
∂t (
∂ux
∂ux
0
0
Z
t2
0
(2.5.12)
0
(2.5.13)
Da δu(x) beliebig gewählt werden kann muss die Klammer in (2.5.11) verschwinden:
∂ 2L
∂ 2L
∂L
+
−
= 0 ∀x ∈ [0, L]
(2.5.14)
∂t ∂ut ∂x ∂ux
∂u
Bemerkung:
Man beachte die Symmetrie in den Ausdrücken für ux und ut !
Konkret ergibt
ρ
F
L = u2t − u2x
(2.5.15)
2
2
die Gleichung:
0 = ρutt − F uxx ≡ ρ∂t2 u = F ∂x2 u
(2.5.16)
KAPITEL 2. WELLEN
45
In (2.5.16) spiegelt sich die eindimensionale Wellengleichung wider.
Für eine spätere Verallgemeinerung führen wir ein:
δL
∂L
∂ ∂L
:=
−
,
δη
∂η
∂x ∂ηx
mit η = u oder u̇
(2.5.17)
Damit wird die Lagrangegleichung sehr ähnlich zur Lagrangegleichung für diskrete
Massen:
∂ ∂L
δL
0=
−
(2.5.18)
∂t ∂ut
δu
Tatsächlich können wir (2.5.18) noch allgemeiner schreiben als:
0=
δL
∂ δL
−
∂t δut
δu
(2.5.19)
weil keine Abhängigkeit von ut,x vorliegt.
In vollkommener Analogie zum diskreten Fall bezeichnen wir
p(x) :=
∂L(x)
= ρut (x)
∂(ut (x))
(2.5.20)
als den kanonischen Impuls zu u(x).
Bemerkung:
Man lasse sich von p(x) nicht verwirren; die Auslenkung, zu der p der kanonische
Impuls ist, ist u, nicht x. Die Variable x hat den Index j ersetzt; sie fungiert also
nur als Index um verschiedene Auslenkungen zu unterscheiden.
Die Hamiltonfunktion H erhalten wir durch Legendre-Transformation:
Z L
Z L 2
p
F
H = −L +
p(x)ut (x)dx =
( + u2x )dx
(2.5.21)
2ρ
2
0
0
Wir führen die Hamiltondichte ein:
H :=
p2 (x) F (x) 2
+
u (x)
2ρ
2 x
(2.5.22)
sodass gilt:
Z
L
H(x)dx
H=
(2.5.23)
0
Sie wird gleichzeitig als Energiedichte bezeichnet und kann als Funktion der partiellen Ableitungen geschrieben werden:
ρ
F
H = u2t + u2x
2
2
(2.5.24)
KAPITEL 2. WELLEN
46
Wenn wir die zeitliche Änderung der Energiedichte berechnen, ergibt sich:
∂H
=ρ · ut
∂t
uH
|{z}
+F · ux · uxt
Wellengleichung: ρuH =F ·uxx
=F (ut uxx + ux uxt )
=∂x F (ut ux )
(2.5.25)
Daher definieren wir die Energiestromdichte:
j := −F · ut · ux = −F · (∂t u) · (∂x u)
(2.5.26)
Denn
∂H ∂j
+
=0
∂t
∂x
~ · ~j).
ist eine Kontinuitätsgleichung (allg. ∇
(2.5.27)
KAPITEL 2. WELLEN
47
∂x j misst, wie viel Energie in ein infinitesimales Intervall bzw. Volumen (siehe
Abbildung 2.37) hinein und hinaus fließt.
Abbildung 2.37: Energiefluß im infinitesimalen Intervall
j(x + dx) − j(x) = ∂x j(x)dx
(2.5.28)
stellt die Energieflussbilanz pro Volumen dar. Dabei wird hinausgehender Energiefluss positiv gezählt.
Nachdem wir schon eine Hamiltondichte H(u, ux , p) eingeführt haben mit
p(x) :=
∂L
∂ut
(2.5.29)
liegt die Frage nach dem den Hamilton’schen Bewegungsgleichungen nahe. Tatsächlich
findet man in schöner Analogie zur diskreten Formulierung:
δH
δp
δH
ṗ = −
δu
∂H
∂L
=−
∂t
∂t
u̇ =
(2.5.30)
(2.5.31)
(2.5.32)
Beachte, dass (nur) die zweite Gleichung ausgeschrieben eine wesentliche Änderung
beeinhaltet:
∂H
∂ ∂H
ṗ = −(
−
)
(2.5.33)
∂u
∂x ∂ux
Damit sei unser formaler Exkurs in das Kontinuum abgeschlossen.
KAPITEL 2. WELLEN
2.6
48
Elektromagnetische Wellen in 1D
Wir betrachten jetzt ein Beispiel von Wellen in einer Dimension, welche sehr
häufig auftritt: die Übertragung von elektrischen Signalen.
2.6.1
Übertragungsleitungen
Abbildung 2.38: Welle auf einem elektrischen Leiter.
Wir hatten eine Welle definiert als eine Störung, die sich im Raum ausbreitet.
Ein typisches Beispiel ist ein elektrisches Signal, welches über einen elektrischen
Leiter übertragen wird. Bei sehr langsamen Signalen genügt es, wenn man davon
ausgeht, dass überall im Leiter die gleiche Spannung besteht. Wenn das Signal
sich aber genügend schnell ändert, ist diese Bedingung nicht mehr erfüllt. Der
Übergang findet dann statt, wenn
d
τ/ .
c
Hier bezeichnet τ die Zeit, über die die Änderung stattfindet, d die Distanz und
c die Lichtgeschwindigkeit.
Die Wellen, welche übertragen werden, können beliebige Formen haben. Dies ist
allerdings mathematisch schwierig zu behandeln. Wie wir im Kapitel über die
Fouriertransformation gesehen hatten, kann jedes zeitabhängige Signal in harmonische Komponenten eiωt zerlegt werden. Wir betrachten deshalb im Folgenden
nur die Übertragung von solchen harmonischen Signalen.
Werden zeitabhängige Signale über Leitungen übertragen, so muss nicht nur der
Widerstand der Leitung berücksichtigt werden, sondern auch die Induktivität
und die Kapazität. Diese verzerren die Signale und führen zu unerwünschten Reflexionen und Verlusten. Um dies zu vermeiden, muss man für einen homogenen
Wellenwiderstand sorgen, also für ein konstantes Verhältnis von Wellenvektor und
Frequenz, da sonst Reflexionen auftreten. In der Praxis werden dafür unterschiedliche Systeme benutzt, wie z.B. Streifenleiter, “twisted pair” oder Koaxialkabel.
Abbildung 2.39: Zwei Arten von Leitungen für schnelle Signale.
KAPITEL 2. WELLEN
49
Abbildung 2.39 zeigt zwei Typen von Leitungen, die für die Übertragung schneller
Signale geeignet sind, sofern bestimmte Beziehungen zwischen den geometrischen
und den dielektrischen Parametern erfüllt sind. Wir werden im Folgenden diese
Bedingungen für ein Beispiel betrachten.
2.6.2
Telgraphengleichung
R
L
G
U(x)
C
X
Abbildung 2.40: Ersatzschaltbild für ein Leiterstück.
Wir betrachten die Signalausbreitung entlang eines Leiterstücks. Für das Leiterstück verwenden wir das Ersatzschaltbild von Abb. 2.40: es stellt den eigentlichen Leiter dar als Reihenschaltung einer Spule L und eines Widerstandes R.
Zudem existiert i.A. eine endliche Leitfähigkeit G zur Masse, resp. zum Gegenleiter, sowie eine Kapazität C. Dabei sind alle diese Impedanzen proportional zur
Länge des betrachteten Leiterstücks. Die Spannung zwischen Leiter und Masse
ist U (x). Wir behandeln hier explizit nur den Fall eines harmonischen Signals,
U (t) ∝ eiωt , und rufen in Erinnerung, dass beliebige Signale als Fourierintegrale
von harmonischen Signalen geschrieben werden können.
Der Spannungsabfall über dem Leiterstück von Abb. 2.40 ist das Produkt aus
Strom und Impedanz,
U (x + dx) − U (x) = −(R + iωL)I.
Wir haben hier die komplexe Impedanz iωL zur Beschreibung der Induktivität
L verwendet. Sie beschreibt die Beziehung zwischen Strom und Spannung, falls
diese eine harmonische Zeitabhängigkeit aufweisen.
Für ein infinitesimales Leiterstück können wir somit schreiben
−
∂U
= (dR + iωdL)I.
∂x
(2.6.1)
Hier und im Folgenden verwenden wir jeweils Impedanzen, die auf die Länge
des Leiterstücks normiert sind, d.h. wir schreiben für dR jeweils nur R, und
analog für dL, dC und dG. Dies ist analog zur Massendichte der Saite, oder einer
Membran, welche die Masse pro Längeneinheit, resp. die Masse pro Flächeneinheit
beschreibt.
Die Änderung des Stroms über das Leitungsstück ergibt sich aus der Knotenregel:
−
∂I
= (G + iωC)U.
∂x
(2.6.2)
KAPITEL 2. WELLEN
50
Wir leiten jetzt Gleichung (2.6.1) nach x ab und setzen (2.6.2) ein:
∂ 2U
= (R + iωL)(G + iωC) U.
∂x2
Dies ist offenbar die gesuchte Gleichung für die Ortsabhängigkeit der Spannung.
Wir haben hier einen Separationsansatz verwendet und erhalten nicht die übliche
Form der Wellengleichung. Allerdings steckt die Zeitabhängigkeit implizit auch
hier drin: diese wurde durch die Definition der komplexen Impedanz Z und die
Diskussion von rein harmonischen Zeitabhängigkeiten eliminiert. Die hier erhaltene Gleichung für die Ausbreitung der Spannung entlang eines Leiters wird als
Telegraphengleichung bezeichnet. Sie beschreibt die Ausbreitung einer Welle in
einer Dimension.
2.6.3
Lösung
Für die Lösung machen wir den Ansatz
U (x, t) = U± eiωt±γx .
Die beiden Lösungen entsprechen jeweils einer gedämpften harmonischen Welle,
die sich nach links, resp. rechts entlang der Leitung bewegt. Die Ausbreitungskonstante oder Propagationskonstante γ hat die Dimension einer inversen Länge.
Wir erhalten sie durch Einsetzen in die Wellengleichung:
p
γ = (R + iωL)(G + iωC) = α + iβ.
Der Realteil α beschreibt die Änderung der Amplitude mit dem Ort und wird als
Dämpfungskonstante bezeichnet. Der Imaginärteil β = 2π/λ = k ist die Wellenzahl, also die Anzahl Wellenlängen pro Längeneinheit.
Wir könnten auch eine entsprechende Gleichung für den Strom erhalten, indem
wir (2.6.2) nach x ableiten und darin Gleichung (2.6.1) einsetzen. Statt dessen
verwenden wir jetzt Gleichung (2.6.1), um den Strom aus der Spannung zu berechnen:
∂U
1
= γU
I = −
rR + iωL ∂x
G + iωC
=
U.
R + iωL
(2.6.3)
Die Phasengeschwindigkeit vP der Welle erhält man aus dem Verhältnis
vP = ω/k = ω/β.
Eine wesentliche Vereinfachung erreicht man, wenn man sich auf verlustfreie Leitung beschränkt. Dann wird die Ausbreitungskonstante
p
√
γ0 = (0 + iωL)(0 + iωC) = iω LC = iβ
KAPITEL 2. WELLEN
51
rein imaginär, was einer ungedämpften Welle entspricht. Aufgelöst nach der Frequenz erhalten wir
β
ω=√
.
LC
Hierbei ist zu beachten, dass L und C auf die Länge des Leiters normiert sind,
ihre Einheiten also H/m, resp. F/m betragen. Die Phasengeschwindigkeit beträgt
somit
1
ω
.
v0 = λν = = √
β
LC
Für typische Koaxialkabel mit ≈ 2.5 beträgt der Kapazitätsbelag (=Kapazität
pro Länge) etwa 100 pF/m, der Induktivitätsbelag ≈ 250 nH/m. Damit erhält
man numerische Werte in der Größenordnung von
2
20 cm
1m
v0 ≈ c ≈
=
.
3
ns
5 ns
2.6.4
Wellenwiderstand und Leistung
Der Wellenwiderstand ist gleich der Impedanz Z = U/I der Leitung. Mit Gleichung (2.6.3) für den Strom I(U ) ist die Impedanz somit
r
U
R + iωL
=
.
Z=
I
G + iωC
Im Idealfall verlustfreier Leitung, d.h. R = G = 0 wird offenbar
r
L
Z0 =
.
C
Einen Wellenwiderstand kann man bei jeder Art von Welle definieren. Er beschreibt praktisch den Widerstand, welcher das Medium der Welle entgegensetzt.
Bei mechanischen und akustischen Wellen entspricht er dem Verhältnis aus Kraft
(Druck) und Geschwindigkeit, bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum das
Verhältnis von elektrischer zu magnetischer Feldamplitude.
Die Welle überträgt Energie. Für eine elektrische Welle können wir die übertragene
Energie pro Zeit berechnen als
P = UI =
U2
= I 2 Z.
Z
Wir beschränken und hier auf reelle Impedanzen, =(Z) = 0. Dann sind Strom
und Spannung in Phase. Ein Imaginärteil führt dazu, dass die Leistung während
einer Periode oszilliert und auch negative Anteile aufweist.
2.6.5
Reflexionen
Bei allen Arten von Wellen treten Reflexionen auf, wenn der Wellenwiderstand
oder die Wellenzahl (bei gegebener Frequenz) sich ändert. Typische Beispiele sind
bei der Seilwelle die Reflexion an einem festen Ende (dies entspricht Z = ∞) oder
KAPITEL 2. WELLEN
52
Abbildung 2.41: Reflexion an einer Diskontinuität.
an einem losen Ende (Z = 0). Der allgemeine Fall würde der Verbindung von zwei
unterschiedlich dicken Seilen entsprechen.
Wir diskutieren hier Reflexionen am Beispiel einer eindimensionalen elektromagnetischen Welle. Wir betrachten eine Leitung, auf der der Wellenwiderstand von
Z1 zu Z2 ändert und vernachlässigen die Dämpfung. Es laufe von links, d.h. aus
dem Bereich Z1 eine Welle
U1 = Ue ei(ωt−kx)
auf die Grenzfläche ein. Diese wird teilweise reflektiert und erzeugt so eine Welle
U2 = Ur ei(ωt+kx) ,
deren Wellenvektor den gleichen Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen
aufweist. Ein weiterer Teil der Welle wird transmittiert,
U3 = Ut ei(ωt−kx) .
Die unbekannten Amplituden Ur und Ut bestimmen wir aus der Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche: Die Spannung muss stetig sein,
Ue + Ur = Ut ,
(2.6.4)
und es darf keine Ladung in der Grenzfläche erzeugt werden,
Ie + Ir = It .
Hier verwenden wir die Konvention, dass positive Ströme nach rechts fließen. Die
Ströme erhalten wir aus den Spannungen über die Wellenimpedanz,
Ie =
Ue
,
Z1
Ir = −
Ur
,
Z1
It =
Wir setzen ein und erhalten
Ue − Ur = Ut
Z1
.
Z2
Wir addieren diese Gleichung zu (2.6.4):
Z1
2Ue = Ut 1 +
Z2
Ut
.
Z2
KAPITEL 2. WELLEN
53
oder
Ut
2Z2
=t=
.
Ue
Z1 + Z2
t wird als Transmissionskoeffizient bezeichnet. Entsprechend erhalten wir den
Reflexionskoeffizienten
Z2 − Z1
Ur
=
.
r=
Ue
Z2 + Z1
2.6.6
Spezialfälle
Wir betrachten die beiden Spezialfälle wo Z2 = 0, resp. Z2 = ∞. Im Fall Z2 = 0
verschwindet die Impedanz im rechten Halbraum, d.h. dies ist ein perfekter Leiter.
Damit muss auch das elektrische Feld verschwinden:
r = −1
t = 0.
Der Fall Z2 = ∞ entspricht im elektrischen Fall dem, dass der rechte Halbraum
ein Isolator ist. Dann wird
r=1
t = 2,
d.h. die Welle auf der rechten Seite hat die doppelte Amplitude, während die
reflektierte Welle die gleiche Amplitude hat wie die einlaufende Welle.
Abbildung 2.42: Reflexion einer Seilwelle.
Man kann die beiden Fälle auch gut mit Hilfe einer Seilwelle betrachten. Der
Fall Z2 = 0 entspricht dem Fall eines befestigten Endes, d.h. u(x = 0) = 0. In
diesem Fall wird die Welle mit negativem Vorzeichen reflektiert. Der Fall Z2 =
∞ entspricht dem Fall eines freien Endes; hier wird die Welle mit positivem
Vorzeichen reflektiert, die maximale Auslenkung des freien Seilendes wird gleich
dem Doppelten der Wellenamplitude.
Werden statt Wellengruppen harmonische Wellen reflektiert, so überlagern sich
die einlaufende und die reflektierte Welle. Bei vollständiger Reflexion, also bei
Z2 = 0 oder Z2 = ∞ entstehen dabei stehende Wellen:
ei(ωt−kx) − ei(ωt+kx) = 2eiωt−π/2 sin(kx),
respektive
ei(ωt−kx) + ei(ωt+kx) = 2eiωt cos(kx).
Im ersten Fall liegt ein Knoten bei der Grenzfläche, im zweiten Fall ein Bauch.
KAPITEL 2. WELLEN
54
Abbildung 2.43: Stehende Wellen bei Reflexion an Z = 0 und Z = ∞.
2.6.7
Energieerhaltung
Wir für alle konservativen Systeme muss auch hier die Kontinuitätsgleichung
gelten,
dH ∂j
+
.
dt
∂x
Da wir einen stationären Zustand betrachten, muss
dH
=0
dt
gelten. Damit muss auch der Energiestrom räumlich konstant sein,
∂j
= 0.
∂x
Wir wenden dies auf die Grenzfläche an und überprüfen, ob die Summe der Energie, die auf die Grenzfläche zu fließt, gleich der von ihr wegfließenden Energie
ist.
Von links fließt die Energie
U2
P1 = e
Z1
in Richtung Grenzfläche und
Ur2
P2 =
Z1
zurück. Im rechten Halbraum fließt die Leistung
P3 =
Ut2
Z2
weg. Insgesamt ist die Differenz zwischen einfallender und abfließender Leistung
Ue2 (1 −
r2
t2
− ) = 0,
Z1 Z2
also in Übereinstimmung mit dem Postulat der Energieerhaltung.
Reflexionen können auch auftreten, wenn der Brechungsindex sich ändert, d.h.
die Phasengeschwindigkeit und damit die Wellenvektoren unterschiedlich sind,
KAPITEL 2. WELLEN
55
bei konstanter Frequenz. In diesem Fall sind die 3 beteiligten Wellen
U1 = Ue ei(ωt−k1 x)
U2 = Ur ei(ωt+k1 x)
U3 = Ut ei(ωt−k2 x) .
Die Reflexionskoeffizienten erhalten wir wiederum aus der Stetigkeitsbedingung:
Ue + Ur = Ut .
Die zweite Bedingung erhalten wir daraus, dass auch die Ableitung (d.h. der
Strom) stetig sein muss,
∂
(U1 + U2 ) = −ik1 (U1 − U2 )
∂x
∂
=
U3 = −ik2 U3 .
∂x
Die Lösung ist in diesem Fall
r=
2.6.8
k1 − k2
k1 + k2
t=
2k1
.
k1 + k2
Koaxialkabel
Zu den wichtigsten Leitungen für schnelle Signale gehören Koaxialkabel.
Abbildung 2.44: Koaxialkabel; links: Prinzip; rechts: schematischer Aufbau eines Kabels. 1 = Seele oder Innenleiter; 2 = Isolation oder Dielektrikum; 3 =
Außenleiter oder Abschirmung; 4 = Schutzmantel.
Das Signal wird über den Innenleiter geleitet, der Außenleiter ist die Masse. Dadurch sind die Signale im Inneren des Kabels eingeschlossen, Störungen werden
nur schwach eingekoppelt. Der Innenleiter hat den Außendurchmesser d und der
Außenleiter den Innendurchmesser D. Zwischen den beiden befindet sich ein Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante . Damit beträgt die Kapazität zwischen
den beiden Leitern pro Längeneinheit
C0 =
2π0 ln Dd
und die Induktivität pro Länge
L0 =
µ0 D
ln .
2π
d
KAPITEL 2. WELLEN
56
Hier haben wir angenommen, dass die magnetische Suszeptibilität des Dielektrikums nahe bei 1 liegt. Damit wird die Impedanz des Kabels
r
r
ln Dd
L0
µ0
Z0 =
=
0
C
2π
0 oder
Z0 = Z0 (vac)
D
60Ω D
1
√ ln = √ ln .
d
d
2π Typische Zahlenwerte für ein Koaxialkabel mit Z0 = 50 Ω, z.B. einen Typ RG
178 sind R0 = 0.45 Ω/m, L0 = 240 nH/m und C 0 = 95 pF/m. Als Vergleich: die
Wellenimpedanz des Vakuums beträgt
r
µ0
Z0 (vac) =
≈ 377 Ω ≈ 2π60 Ω.
0
2.6.9
Weitere Leitertypen
Abbildung 2.45: Geometrie eines Streifenleiters (links) und Feldlinien (rechts).
Bei gedruckten Schaltungen kommen vor allem p
Streifenleiter zum Einsatz. Auch
hier muss die charakteristische Impedanz Z0 = L/C durch die Wahl der Geometrie angepasst werden. Die relevanten Größen für Induktivität und Kapazität
sind die Breite b, der Abstand h zur Rückseite und die Dielektrizitätskonstante
r des Platinenmaterials:
87 Ω
5.98h
ln
.
Z0 ≈ √
0.8b + d
R + 1.41
d
D
Abbildung 2.46: Paralleldraht-Leitung.
In Paar von parallelen zylindrischen Leitern kann auch so ausgelegt werden, dass
eine bestimmte charakteristische Impedanz erreicht wird. Der Induktivitätsbelag
KAPITEL 2. WELLEN
57
ist hier durch den Drahtdurchmesser bestimmt, die Kapazität zwischen den Leitern durch den Durchmesser und den Abstand.
120 Ω
D
Z0 = √ cosh−1 .
r
d
Für den Fall, dass der Abstand groß ist im Vergleich zum Durchmesser, D d,
wird das in guter Näherung zu
120Ω
D
Z0 ≈ √ ln 2
.
r
d
Um Einkopplungen in die Leitung zu minimieren, werden die beiden Drähte eines
Paares häufig gegeneinander verdrillt. Man spricht dann von einem “twisted pair”.
STP
Kupferleiter
Ademisolierung
Paar
Paarschirm
Kabelmantel
Abbildung 2.47: ‘Twisted pair’ (links) und abgeschirmtes Kabel mit mehreren
verdrillten Drahtpaaren (rechts).
Bei einem Verdrillen der Leitungen ist der Abstand D meist nicht besonders gut
definiert. Die Impedanz variiert somit, was zu Reflexionen führt. Im praktischen
Einsatz werden die Drahtpaare außerdem meist abgeschirmt (STP = shielded
twisted pair).
KAPITEL 2. WELLEN
2.7
58
Wellen in 2D
Als nächstes betrachten wir zweidimensionale (2D) Systeme. Die wirklichen physikalischen Systeme, die wir damit abbilden wollen, sind natürlich in Wirklichkeit
dreidimensionale Systeme. Trotzdem ist es häufig ausreichend, wenn man nur
zwei Dimensionen explizit beschreibt. Das vielleicht beste Beispiel für ein zweidimensionales System ist Graphen, welches aus einer monoatomaren Schicht von
Kohlenstoffatomen besteht.
Gute Beispiele für zweidimensionale Systeme sind auch Grenzflächen, wie z.B.
eine Wasseroberfläche. Zwar sieht man bei näherer Betrachtung auch hier einen
kontinuierlichen Übergang, aber in vielen Fällen, wie z.B. bei der Betrachtung von
Reflexionen oder Kapillarwellen können diese in guter Näherung vernachlässigt
werden.
2.7.1
Die zweidimensionale Wellengleichung
Die Bewegungsgleichung der Membran ist in ähnlicher Weise herleitbar wie die
einer Saite: Wir betrachten ein Masse-Feder System und gehen in den kontinuierlichen Limes. Eine andere Methode greift auf die Erkenntnisse aus dem eindimensionalen System (Saite) zurück.
Membran in Ruhe
Auslenkung
Abbildung 2.48: Störung in einer Membran.
Dazu vergleichen wir zunächst eine Membran im gespannten Ruhezustand mit einem Schwingungszustand. Anschaulich ist klar, dass die Auslenkung eines Punktes, der in der Ruhelage die Koordinaten (x1 , x2 , 0) hat, im Allgemeinen durch
einen Vektor ~u(x1 , x2 , t) bezeichnet werden kann.
Membran in Ruhe
Dilatation
Rotation
Scherung
Abbildung 2.49: Zerlegung der Verformung einer Membran.
KAPITEL 2. WELLEN
59
Projiziert man die verformte Membran auf die x1 x2 -Ebene, so kann man die
resultierende Verformung auf drei Grundoperationen zurückführen: Dilatation,
Scherung und Rotation.
Im Folgenden werden wir jedoch solche Verformungen ausschließen. Dann werden
die Auslenkungen ~u||x3 sein,
~u = (0, 0, u(x1 , x2 , t)).
Um die Bewegungsgleichung für die schwingende Membran herzuleiten, betrachten wir zunächst nochmals diejenige einer schwingenden Saite. Bei einer transversalen Auslenkung u(x) war die Kraft auf ein Saitenstück der Länge dx
F =S
∂ 2u
dx.
∂x2
Dies entspricht der Krümmung der Saite: Die Kraft ist proportional zur Krümmung
(also invers zum Krümmungsradius). Die Proportionalitätskonstante S ist die
Spannung der Saite.
Diese Betrachtung kann direkt auf eine Membran, also auf 2 Dimensionen übertragen
werden. In diesem Fall kann die Membran in zwei unabhängigen Richtungen gekrümmt sein, und diese beiden Beiträge addieren sich zu einer Gesamtkraft auf
das Flächenelement dx1 dx2 :
2
∂ u ∂ 2u
+
dx1 dx2 = σ∆u dx1 dx2 .
F =σ
∂x21 ∂x22
Hier haben wir angenommen, dass die Membran homogen und isotrop sei, dass also alle Richtungen gleichwertig seien, und dass die Oberflächenspannung σ überall
die gleiche sei. Von der Dimension her ist σ eine Kraft pro Fläche. ∆ ist der
Laplace-Operator.
Flächenelement
Oberflächenspannung
Abbildung 2.50: Oberflächenspannung σ wirkt auf das Flächenelement dx1 dx2 .
Diese Kraft wirkt auf ein Flächenelement der Masse ρ dx1 dx2 , mit ρ als zweidimensionale Massendichte. Die Bewegungsgleichung ist somit
ρ dx1 dx2 ü = σ∆u dx1 dx2 .
Daraus erhalten wir die Wellengleichung
∂2
u(x1 , x2 , t) = v 2 ∆u(x1 , x2 , t)
2
∂t
KAPITEL 2. WELLEN
60
mit der Phasengeschwindigkeit
r
v=
σ
.
ρ
Dazu kommen Randbedingungen, je nach Problem. Typisch sind der eingespannte
Rand
u(x1 , x2 , t)|Rand = 0
oder der spannungslose Rand
~
∇u(x1 , x2 , t)
= 0,
Rand
oder man verwendet periodische Randbedingungen.
2.7.2
Lösungen ohne Randbedingungen
Wir betrachten zunächst einige Lösungen dieser Gleichung ohne die Berücksichtigung
von Randbedingungen. Die einfachsten Lösungen sind ebene Wellen, d.h. Wellen
des Typs
u(x, y, t) = f (~k · ~r ± ωt) = f (kx x + ky y ± v|~k|t).
Der Name ”ebene Wellen” kommt davon, dass die Gleichung
~k · ~r ± ωt = const
eine Gerade (d.h. eine Ebene in 2 Dimensionen) beschreibt, welche sich mit der
Geschwindigkeit v = ω/|~k| in Richtung ∓~k bewegt. Die Funktion f ist dabei
beliebig, doch sollte sie beliebig differenzierbar sein, wenn sie einer physikalischen
Größe entspricht. Diese Lösungen sind identisch zum eindimensionalen Fall, wobei
die Richtung ~k der Koordinate des 1D Falles entspricht. In der Richtung ⊥ ~k ist
die Funktion konstant.
Der Spezialfall einer monochromatischen oder harmonischen ebenen Welle entspricht den Fällen f = cos, f = sin oder f = ei . Wegen der Linearität der Wellengleichung sind auch beliebige Überlagerungen dieser Lösungen selber Lösungsfunktionen.
Abbildung 2.51: Kreisförmige Lösung der Wellengleichung.
Es gibt aber auch viele andere Lösungen, wie z.B. Kugelwellen. Diese entsprechen
den Wellen, welche auf einer Wasseroberfläche entstehen, wenn ein Stein hineingeworfen wird. Welche von diesen Lösungen realisiert wird, hängt nur von den
Anfangsbedingungen ab, falls keine Randbedingungen bestehen.
KAPITEL 2. WELLEN
2.7.3
61
Die rechteckige Membran
Jetzt betrachten wir den Einfluss von Randbedingungen, zunächst ohne Anfangsbedingungen zu berücksichtigen.
Abbildung 2.52: Rechteckige Membran.
Wir beginnen mit einer rechteckigen Membran mit Dimensionen a × b, die an den
Rändern eingespannt ist, d.h. die Auslenkung verschwindet bei
u(0, x2 , t) = u(a, x2 , t) = u(x1 , 0, t)
= u(x1 , b, t) = 0.
Wir lösen die Wellengleichung
∂ 2u
= v2
∂t2
∂ 2u ∂ 2u
+
∂x21 ∂x22
mit Hilfe eines Separationsansatzes:
u(x1 , x2 , t) = a f (x1 )g(x2 )h(t)
= a eik1 x1 eik2 x2 eiωt .
Einsetzen ergibt
ω 2 = v 2 (k12 + k22 ).
(2.7.1)
Damit diese Lösung mit den Randbedingungen kompatibel wird, müssen die Exponentialfunktionen in den räumlichen Komponenten f (x1 ) und g(x2 ) jeweils
durch
−i ikx
(e − e−ikx )
sin kx =
2
ersetzt werden - damit wird die Randbedingung bei x1 = 0, respektive x2 = 0
erfüllt. Dies ist identisch zum eindimensionalen Fall, wo wir eine Überlagerung
zwischen gegenläufigen aber sonst identischen Signalen verwendet hatten, um die
Randbedingungen zu erfüllen. Damit die Randbedingung auch bei x1 = a erfüllt
wird, muss die räumliche Frequenz
n1 π
k1 =
n1 = 1, 2, . . .
a
ein ganzzahliges Vielfaches von π/a sein. Für die zweite Koordinate gilt entsprechend
n2 π
g(x2 ) = sin(k2 x2 ) k2 =
n2 = 1, 2, . . .
b
Wie schon im eindimensionale Fall führt also die Existenz von Randbedingungen
dazu, dass nur diskrete Werte des Wellenvektors auftreten können.
KAPITEL 2. WELLEN
2.7.4
62
Eigenmoden
Die Eigenmoden sind damit
n πx n πx 1
1
2
2
un1 n2 = sin
sin
eiωn1 n2 t
a
b
und die zugehörigen Eigenfrequenzen
r n1 2 n2 2
+
.
ωn1 n2 = vπ
a
b
Wie auch im eindimensionalen Fall führt die Existenz von Randbedingungen dazu, dass das Frequenzspektrum diskret wird. Im Gegensatz zum eindimensionalen
Fall sind die Obertöne der Membran nicht nur Harmonische der Grundfrequenz,
sondern es existieren zusätzliche Frequenzen zwischen den harmonischen Werten.
n2
n1
1
2
3
1
p1
5/2
√
5
2
p
5/2
p2
13/2
3
√
p 5
13/2
3
Tabelle
2.2: Eigenfrequenzen der quadratischen Membran in Einheiten von
√
vπ 2/a.
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung
2.53: Eigenfrequenzen einer quadratischen Membran in Einheiten von
√
vπ 2/a.
Die allgemeine Lösung ist die Überlagerung aller Eigenschwingungen,
u(x1 , x2 , t) =
∞
X
{An1 n2 sin (ωn1 n2 t)
n1 ,n2 =1
+Bn1 n2 cos (ωn1 n2 t)}
n π n π 1
2
· sin
x1 sin
x2 .
a
b
Die räumlichen Funktionen sind offenbar orthogonal,
Ra
kπ
lπ
dx
sin
x
sin
x
1
1
1
a
a 0 R
a
= 12 0 dx1 cos πa (k − l)x1
Ra
− 21 0 dx1 cos πa (k + l)x1
a
=
δ
.
2 l,k
KAPITEL 2. WELLEN
63
Da k und l positive ganze Zahlen sind, verschwinden beide Integrale, außer wenn
k = l.
2.7.5
Allgemeine Lösung
Die Orthogonalität der Eigenmoden erlaubt einem, eine beliebige Anfangsbedingung u(x1 , x2 , 0) in die Eigenmoden zu zerlegen: die Entwicklungskoeffizienten
An1 ,n2 , Bn1 ,n2 erhält man aus dem Skalarprodukt:
Z
Z b
4 a
Bn1 ,n2 =
dx1
dx2 u(x1 , x2 , 0)
ab 0
n π 0 n π 2
1
x1 sin
x2
sin
a
b
aus der Anfangsbedingung für die Auslenkung u und entsprechend für die Geschwindigkeit u̇:
Z a
Z b
4
dx1
dx2 u̇(x1 , x2 , 0)
An1 ,n2 =
abωn1 n2 0
0
n π n π 2
1
sin
x1 sin
x2 .
a
b
Für n1 > 1 oder n2 > 1 existieren Knotenlinien, d.h. Linien mit bei denen die
Auslenkung für alle Zeiten verschwindet. Diese Linien sind parallel zu den beiden
Achsen. Die Linien parallel zur y-Achse erscheinen beim Nulldurchgang von
nπ a
sin
x = 0 → x = n = 2, 3, . . . ,
a
n
für x = x1 und x = x2 . An diesen Knotenlinien kann man z.B. die Membran
einspannen, ohne die Schwingung zu beeinflussen.
Wenn wir als einfachen Spezialfall eine quadratische Membran betrachten, dann
sind offenbar alle Schwingungen, die durch Austausch der beiden Indizes ineinander übergeführt werden, entartet:
ωn1 ,n2 = ωn2 ,n1 .
Dies bedeutet insbesondere, dass eine beliebige Überlagerung von zwei solchen
Schwingungen ebenfalls eine Eigenschwingung mit der gleichen Frequenz ist. Wie
in Abb. 2.54 gezeigt, kann damit z.B. aus den Schwingungen u12 und u21 eine
Schwingung mit einer Knotenlinie entlang der Diagonale entstehen. In beiden
Fällen werden die beiden Grundschwingungen mit gleichem Gewicht addiert, im
oberen Fall mit positivem Vorzeichen, im unteren Fall mit negativem Vorzeichen.
Verwendet man anstelle der Randbedingung
u(x1 , x2 , t)|Rand = 0,
d.h. dass der Rand der Membran eingespannt sei, die Bedingung
~
∇u(x1 , x2 , t)
= 0,
Rand
KAPITEL 2. WELLEN
64
Physik 34 Versuch 029a
26.11.10 15:42
Frequenz: x 1: 0...100 kHz
(Einstellung mit dem Feinstellpoti)
NF-Verstärker: 9 – 12 Skt
Die Verstärkung muss je nach Mode geeignet eingestellt werden, da sonst zu viel Salz
von der Platte springt.
Den Salzstreuer mit Kochsalz füllen und die Metallplatte gleichmäßig bestreuen.
Die Metallplatte formatfüllend mit der Videokamera aufnehmen. Die
Tafelstrahler einschalten und die Neonröhrenbeleuchtung über der Platte ausschalten, da sie sich in der Membran spiegelt.
Abbildung 2.54: Entartete Schwingungen bei der quadratischen Membran.
so erhält man an Stelle des sin für die räumliche Abhängigkeit einen cos:
n π n π 1
2
f (x1 )g(x2 ) = cos
x1 cos
x2 .
a
b
Ist die Membran nicht quadratisch, sondern rechteckig, und stehen die Seitenlängen
in einem nicht-rationalen Verhältnis und die Entartungen verschwinden.
Experiment:
2.7.6
Schwingungsmoden von zentrisch eingespannten Metallplatten
Die Erregerfrequenz wird von ca. 10 Hz ausgehend langsam erhöht, bis sich durch
die Bewegung der Salzkörner eine stabile Mode ankündigt.
Chladni’sche Klangfiguren
Mit dem Feinstellpoti wird die Mode genau eingestellt und gegebenenfalls die
Amplitude am Verstärker und die Frequenz nachreguliert. Besonders bei höheren Frequenzen ist eine Erhöhung von Amplitude und
Frequenz erforderlich.
Die einzelnen Moden haben einen eng begrenzten Frequenzbereich, sodass
die Einstellung etwas schwierig ist, vor allem bei höheren Moden.
Abbildung 2.55: Beispiel einer Chladni’schen Klangfigur.
Ihre Form ist nicht immer reproduzierbar.
Es sind folgende Metallplatten vorhanden:
Die Knotenlinien können sichtbar gemacht werden, indem man die Membran
mit einem Pulver bestreut. Dieses bleibt in den Knotenlinien liegen, an allen
anderen Punkten wird es durch die Schwingungen aufgeworfen. Die einzelnen
Moden können entweder durch die geeignete Frequenz angeregt werden, wenn
man eine harmonische Welle verwendet, oder mit Hilfe eines Bogens, indem man
an der geeigneten Stelle über den Rand streicht.
Vergleichbare Knotenlinien findet man auf allen Arten von schwingenden zweidimensionalen Systemen, wie z.B. den Resonanzkörpern von Musikinstrumenten.
http://www.physik.uni-dortmund.de/index.php?view=article&catid=9…onent&print=1&layout=default&page=&option=com_content&Itemid=322
2.7.7
Page 2 of 9
Die kreisförmige Membran
Wir betrachten eine kreisförmige Membran, welche am Rand eingespannt ist, d.h.
u(|~x| = a, t) = 0.
KAPITEL 2. WELLEN
65
Abbildung 2.56: Knotenlinien auf einem Gitarrenboden.
Abbildung 2.57: Kreisförmige, am Rand eingespannte Membran.
Wir verwenden Polarkoordinaten r, ϕ, welche der Symmetrie des Problems am
Besten angepasst sind. In diesen Koordinaten lautet der zweidimensionale LaplaceOperator
1 ∂
∂
1 ∂2
∆=
r
+ 2 2.
r ∂r
∂r
r ∂ϕ
Damit wird die Wellengleichung in Polarkoordinaten
2
1 ∂ 2u
∂ u 1 ∂u
∂ 2u
2
=v
+
+
.
∂t2
∂r2
r ∂r r2 ∂ϕ2
Wir machen auch hier einen Separationsansatz:
u(r, ϕ, t) = f (r, ϕ)eiωt .
Einsetzen in die Wellengleichung gibt
∂ 2f
1 ∂f
1 ∂ 2f
ω2
+
+
+
f = 0.
∂r2
r ∂r r2 ∂ϕ2
v2
Wir separieren nun auch r, ϕ:
f (r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ).
Einsetzen ergibt
Φ
∂ 2 R Φ ∂R R ∂ 2 Φ ω 2
+
+ 2 2 + 2 RΦ = 0.
∂r2
r ∂r
r ∂ϕ
v
Wir trennen die Variablen, indem wir mit
r2
RΦ
multiplizieren:
2
1 ∂ 2Φ
r2 ∂ 2 R
r ∂R
2ω
=−
−
−r 2.
Φ ∂ϕ2
R ∂r2
R ∂r
v
KAPITEL 2. WELLEN
66
Da die linke Seite nur vom Winkel abhängt und die rechte Seite nur vom Radius,
müssen beide konstant sein. Wir können diese Gleichung damit auftrennen in
eine Differenzialgleichung für die Winkelvariable und eine für den Radius. Die
Gleichung für den Winkelanteil lautet
1 d2 Φ
= −n2 ,
Φ dϕ2
wobei −n2 die Separationskonstante ist. Wir schreiben dies als
d2 Φ
+ n2 Φ = 0.
2
dϕ
Somit muss die Lösung die Form
Φ = e±inϕ
haben. Damit Φ(ϕ) eindeutig ist, muss sie periodisch sein in [0, 2π]. Damit muss
n eine ganze Zahl sein,
n = 0, 1, 2, . . .
Es bleibt die Gleichung für den Radialteil,
2
d2 R 1 dR
ω
n2
+
+
− 2 R = 0.
dr2
r dr
v2
r
(2.7.2)
Diese Differenzialgleichung wird als Besselsche Differenzialgleichung bezeichnet.
Als Differenzialgleichung 2. Ordnung hat sie zwei linear unabhängige Lösungen,
die Besselfunktionen und die Neumannfunktionen. Die Neumannfunktionen besitzen eine Singularität bei r = 0 und sind deshalb mit unseren physikalischen
Systemen nicht kompatibel. Es bleiben die Besselfunktionen (=Zylinderfunktionen 1. Art).
2.7.8
Besselfunktionen
Die Besselfunktionen Jn wurden zuerst durch Daniel Bernoulli definiert und durch
Friedrich Beseel verallgemeinert. Sie sind nicht durch elementare Funktionen darstellbar, können aber als Potenzreihen dargestellt werden:
z n 1
(z/2)2
Jn (z) =
−
2
n! 1!(n + 1)!
(z/2)4
+
− ...
2!(n + 2)!
∞
z n X
(−z 2 /4)s
n = 0, 1, 2, . . . .
=
2 s=0 s!(n + s)!
Die Besselfunktionen oszillieren, sind aber nur asymptotisch für große Argumente
z periodisch. Ihre Amplitude zerfällt ∝ z −1/2 .
KAPITEL 2. WELLEN
67
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Bessel_Functions_%281st_Kind%2C_n%3D0%2C1%2C2%29.svg
27.11.10 11:35
J (x)
1.0
0
J (x)
1
J2(x)
0.8
0.6
0.4
0.6
0.2
0.4
0.2
0.0
!0.2
!0.4
0
5
10
x
15
20
Abbildung 2.58: Besselfunktionen.
Die unterschiedlichen Besselfunktionen sind orthogonal:
Z ∞
0
hJm (z)|Jm (z)i =
dz z Jm (z) Jm0 (z) = δm,m0 .
0
Wichtig sind vor allem die Nullstellen. Die niedrigsten Nullstellen von J0 . . . J7
sind in Tabelle 2.3 zusammengestellt.
m
J0
J1
J2
J3
J4
J5
J6
J7
1
2.405
3.832
5.135
6.380
7.588
8.772
9.936
11.086
2
5.524
7.016
8.417
9.761
11.065
12.339
13.589
...
3
8.654
10.174
11.620
13.015
14.373
15.700
17.004
...
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Tabelle 2.3: Nullstellen jn,k der Besselfunktionen Jn
2.7.9
Frequenzen
Der Radialanteil der Eigenmoden ist somit gegeben durch die Besselfunktionen,
R(r) = Jn (kr),
wobei n durch die Separationskonstante gegeben ist und k die Randbedingung
R(r = a) = Jn (ka) = 0
erfüllen muss. Somit muss
ka = jn,m
KAPITEL 2. WELLEN
68
eine Nullstelle jn,m der entsprechenden Besselfunktion sein.
Wenn wir diese Lösung in die Differenzialgleichung (2.7.2) einsetzen, erhalten wir
2
d2 Jn 1 dJn
ω
n2
+
+
− 2 Jn = 0.
dr2
r dr
v2
r
Die Ableitungen der Besselfunktionen haben folgende Eigenschaft:
d
n
Jn (kr) = kJn−1 (kr) − Jn (kr).
dr
r
Somit
n
n−1
Jn−1 (kr) + 2 Jn (kr)
r
r
n2
n
k
−k Jn−1 (kr) + 2 Jn (kr) + Jn−1 (kr)
r
r r
2
n
ω
n2
− 2 Jn (kr) +
−
Jn (kr)
r
v2
r2
n−1
= k 2 Jn−2 (kr) − 2k
Jn−1 (kr)
r
2
ω
+
Jn (kr) = 0.
v2
k 2 Jn−2 (kr) − k
Wir verwenden eine weitere Eigenschaft der Besselfunktionen:
n−1
1
Jn−1 = (Jn−2 + Jn )
kr
2
oder
Jn−1 =
Mit
−
kr
(Jn−2 + Jn ).
2(n − 1)
kr
n−1
2k
Jn−1 (kr) = −k 2 Jn−1 (kr)
2(n − 1)
r
erhalten wir
ω2
2
− k Jn (kr) = 0
v2
und damit die Frequenz
ωnm = vknm
jn,m
=
a
r
σ
.
ρ
Offenbar sinkt die Frequenz mit zunehmendem Radius ∝ 1/a und nimmt mit den
Nullstellen der Besselfunktionen zu.
KAPITEL 2. WELLEN
2.7.10
69
Eigenmoden
Damit können wir die Eigenmoden schreiben als
un,m (r, ϕ, t) = Jn (knm r) cos(nϕ + α) cos(ωnm t + β)
(2.7.3)
Die allgemeine Lösung ist wie immer die Überlagerung dieser Eigenmoden,
u=
∞ X
∞
X
αnm un,m .
n=1 m=1
Die Werte kn,m sind z.B. für
J0 (ka) = 0 ⇒ak0,m = 2.41, 5.52, . . . .
Die Frequenz
v
a
ist der Grundton. Zum Vergleich:
√ bei der rechteckigen Membranen mit der Fläche
2
a war der Grundton ω11 = 2πv/a.
ω0,1 = vk0,1 = 2.41
Abbildung 2.59: Radialsymmetrische Moden.
Die Eigenmode des Grundtons lautet somit
r
u01 = J0 (k0,1 , r) = J0 (2.41 ).
a
Diese verschwindet für r = a und erfüllt damit die Randbedingung. Lösungen
mit Knotenlinien sind z.B.
r
u02 = J0 (k0,2 , r) = J0 (5.52 ).
a
Gemäß der allgemeinen Lösung (2.7.3) haben die Eigenschwingungen für n = 0
nur konzentrische Kreise als Knotenlinien. Für n > 0 erhalten wir zusätzlich n
Knotenlinien in radialer Richtung. Die entsprechenden Lösungen lauten
u1,0 = J1 (k1,1 , r)[c11 cos ϕ + d11 sin ϕ]
mit
J1 (ka) = 0
⇒ ak1,m = 3.83, 7.02, . . . .
Je nach Verhältnis c11 /d11 liegt die Knotenlinie in unterschiedlicher Richtung.
KAPITEL 2. WELLEN
70
Abbildung 2.60: 2 entartete, nicht radialsymmetrische Moden.
0,1
1,1
2,1
0,3
0,2
1,2
2,2
1,3
2,3
Abbildung 2.61: Die niedrigsten Eigenmoden der kreisförmigen Membran.
Höhere Lösungen wie z.B.
u1,2 = J1 (k1,2 , r)[c12 cos ϕ + d12 sin ϕ]
enthalten Knotenlinien in radialer und konzentrischer Richtung.
Abbildung 2.61 zeigt die Moden Jn (knm r) cos(nϕ) für n = 0-2 radialen Knotenlinien und m − 1 = 0-2 kreisförmigen Knotenlinien.
Wie bei der rechteckigen Platte kann man auch bei kreisförmigen Platten die
Knotenlinien der Eigenmoden sichtbar machen, indem man sie mit Sand bestreut.
2.7.11
Wellen auf Flüssigkeitsoberflächen
Die bekanntesten Wellen zweidimensionaler Systeme sind wohl diejenigen auf
Wasseroberflächen. Allerdings können solche Wellen nur in sehr idealisierten Modellen analytisch diskutiert werden. Sie entstehen aus dem Wechselspiel von potentieller Energie im Schwerefeld, kinetischer Energie der bewegten Flüssigkeit,
und der Verformungsenergie der Oberfläche, welche von der Oberflächenspannung
abhängt.
Oberflächenwellen gehorchen der folgenden Dispersionsrelation:
r
σ
(2.7.4)
ω(k) = gk tanh(kh) + k 3 .
ρ
Hier bezeichnet ω die Kreisfrequenz, k die Wellenzahl, g die Erdbeschleunigung,
h die Tiefe der Flüssigkeit, σ die Oberflächenspannung, und ρ die Dichte der
Flüssigkeit. Für die Herleitung siehe A. Sommerfeld, Vorlesungen über theoretische Physik Band II, 6. Aufl. Leipzig 1970.
KAPITEL 2. WELLEN
71
Abbildung 2.62: 6 unterschiedliche Moden als Chladni’sche Klangfiguren; aus
Spektrum der Wissenschaft.
Abbildung 2.63: 2 Arten von Oberflächenwellen: Schwerewellen (Straße von Messina) und Kapillarwellen. Quelle: Wikipedia.
Die Phasengeschwindigkeit ist
ω
vP = =
k
2.7.12
r
g
σ
tanh(kh) + k.
k
ρ
Schwerewellen auf tiefen Flüssigkeiten
Bei großer Wassertiefe, kh 1, kann der tanh durch 1 angenähert werden, und
die Ausdrücke vereinfachen sich zu
r
r
σ 3
g σ
ω(k) = gk + k
vp =
+ k.
ρ
k ρ
In diesem Bereich nimmt die Phasengeschwindigkeit mit zunehmender Wellenzahl
k zunächst ab, bis bei
r
gρ
kmin =
σ
eine minimale Geschwindigkeit von
s r
s
r
σ gρ
g
σg
= 2
.
vp,min = p gρ +
ρ σ
ρ
σ
Die numerischen Werte für Wasser sind
kmin = 366 m−1 .
KAPITEL 2. WELLEN
72
Dies entspricht einer Wellenlänge von
r
λmin = 2π
σ
≈ 1.7 cm.
gρ
0.3
0.25
200
400
600
800
0.2
Abbildung 2.64: Dispersionsrelation für Oberflächenwellen von Wasser. h = Wassertiefe.
Ist die√Wellenzahl kleiner als der kritische Wert kmin , so dominiert der Term
ω ≈ gk. Hier spielt also die Oberflächenspannung keine Rolle; man spricht
deshalb von Schwerewellen. Die Frequenz nimmt mit der Wellenzahl zu, die Phasengeschwindigkeit ab. Man bezeichnet dies als normale Dispersion.
2.7.13
Schwerewellen auf untiefen Flüssigkeiten
Für sehr kleine Werte des Wellenvektors k → 0, d.h. für sehr große Wellenlängen
muss irgendwann die Tiefe berücksichtigt werden. Wird kh 1, kann der tanh(x) ≈
x genähert werden, so dass
ω(k) ≈ k
p
gh
vP ≈
p
gh.
300
200
100
0
0
2000
4000
6000
8000
Abbildung 2.65: Maximalgeschwindigkeit von Schwerewellen im Flachwasser.
Hier verschwindet also die Dispersion, die Phasengeschwindigkeit erreicht einen
konstanten Wert, der nur von der Tiefe abhängt. Im offenen Meer, mit h ≈ 5000
KAPITEL 2. WELLEN
73
Abbildung 2.66: Ausbreitungszeiten (in Stunden) von 2 Tsunamis von 1960 in
Chile und 1964 in Alaska (Quelle: Wikipedia).
m kann die Geschwindigkeit von langwelligen (λ & h) Oberflächenwellen somit
bis zu 220 m/s oder 800 km/h schnell werden.
Für gewöhnliche Wellen werden diese Wellenlängen nicht erreicht, aber bei Erdbeben können Wellen mit Wellenlängen von bis zu 30 km entstehen und sich
damit sehr schnell ausbreiten.
Abbildung 2.67: Beim Übergang zu flacherem Wasser werden die Wellen höher
(Quelle: Wikipedia).
Erreichen solche Wellen flacheres Wasser, dann nimmt die Geschwindigkeit und
die Wellenlänge ab und die Amplitude der Wellen nimmt entsprechend zu. Dies
konnte, mit schrecklichen Konsequenzen, in der Vergangenheit bei Tsunamis beobachtet werden.
Abbildung 2.68: Wellen treffen parallel auf den Strand ein.
Die Tiefenabhängikeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit ist auch ein Grund dafür,
dass Wellen meistens parallel zum Ufer auftreffen. Ist die Richtung ursprünglich
KAPITEL 2. WELLEN
74
schräg, so wird der Teil, der zuerst in der Nähe des Ufers auf weniger tiefes Wasser
trifft, gebremst. Dadurch ändert sich die Richtung der Welle, die Ausbreitungsrichtung dreht sich in Richtung des Gradienten der Tiefe, welcher häufig senkrecht
zum Strand orientiert ist.
2.7.14
Kapillarwellen
Abbildung 2.69: Kapillarwellen auf einer Wasseroberfläche.
Werden die Wellenlängen genügend klein, d.h. die Wellenzahl genügend groß,
k > kmin , dann dominiert in der Dispersionsrelation (2.7.4) der zweite Term, in
dem die Oberflächenspannung auftritt:
r
r
σ 3
σ
k
vP ≈
k.
ω(k) ≈
ρ
ρ
Man spricht hier von Kapillarwellen. In diesem Bereich nimmt die Phasengeschwindigkeit wieder zu; man spricht von anomaler Dispersion. Somit laufen Wellen mit kürzere Wellenlänge schneller als Wellen mit großer Wellenlänge. Wirft
man einen Stein ins Wasser, so werden alle Wellenlängen gleichzeitig angeregt.
Bei einem großen Stein werden Schwerewellen angeregt, so dass an einem entfernten Punkt zuerst die Wellen mit langen Wellenlängen eintreffen. Bei einem
sehr kleinen Stein ist es umgekehrt: hier werden auch Kapillarwellen angeregt,
bei denen die kurzwelligen am schnellsten laufen.
2.8
2.8.1
Elektromagnetische Wellen im Wellenleiter
Das elektromagnetische Spektrum
In diesem Kapitel sollen Wellenphänomene in drei Dimensionen behandelt werden. Dies ist u.a. die Vorbereitung für die Optik, welche im Januar behandelt
wird. Wir diskutieren hier insbesondere elektromagnetische Felder und Wellen,
doch die Resultate sind weitgehend übertragbar auf andere Gebiete, wie z.B. auf
die Schallausbreitung in Gasen und Flüssigkeiten.
Die elektromagnetische Skala kann nach Wellenlängen, Frequenzen oder Energien
gegliedert werden. Im langwelligen Bereich beginnt die Skala mit Radiowellen, deren Wellenlängen praktisch beliebig lang werden können. Hier fand aufgrund der
75
1 nm
Frequenz
Radiowellen
UV
Licht
IR
Mikrowellen
KAPITEL 2. WELLEN
1 mm
1015Hz
1m
THz
GHz
MHz
Abbildung 2.70: Spektrum der elektromagnetischen Wellen.
technischen Entwicklung eine Inflation der Namensgebung statt: Man unterteilte
zunächst in vlf, lf, mf, hf. Als höhere Frequenzen erreicht wurden, mussten neue
Namen gefunden werden: vhf, uhf, shf, ehf.
Im Bereich von ca. 1 GHz, resp. 30 cm Wellenlänge beginnt man üblicherweise
von Mikrowellen zu sprechen. Im Bereich von einigen THz, resp. unterhalb eines mm’s beginnt man von Millimeterwellen, THz-Wellen zu sprechen und etwas
später von Fern-Infrarot. Ab einer Wellenlänge von ca. 10 - 0.75 µm spricht man
von Infrarot und von 750 nm bis 400 nm findet man das sichtbare Licht. Daran
schließt das UV, resp. daran das Vakuum-UV an, und schließlich Röntgen und
Gamma-Strahlen. Obwohl es sich auch dabei um elektromagnetische Wellen handelt, deren Ausbreitung durch die Maxwell Gleichungen beschrieben wird, können
die Phänomene, die in diesem Bereich auftreten, nicht mehr vollständig durch die
klassische Physik erklärt werden. Hier wird der Teilchencharakter des elektromagnetischen Feldes wichtig. Die für das Verständnis nötigen Grundlagen liefert die
Quantenmechanik, die wir im Sommersemester diskutieren werden.
In diesem Kapitel diskutieren wir die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in einem metallischen Hohlleiter. Ähnlich verhält sich Licht in einer Glasfaser,
doch sind dort die Randbedingungen etwas unterschiedlich. Wir werden dies im
Kapitel Optik nochmals ansprechen.
2.8.2
Grundlagen (Wiederholung)
2.8.2.1
Felder
Elektromagnetische Wellen bestehen aus elektrischen und magnetischen Feldern.
~ ist
Wir wiederholen hier kurz die relevanten Definitionen. Das elektrische Feld E
definiert über die Kraft F~ , die auf eine Probeladung q wirkt:
~
~ =F
E
q
[E] =
N
V
= .
C
m
KAPITEL 2. WELLEN
76
~ kann dagegen über eine Flächenladungsdichte
Die elektrische Verschiebungsdichte D
definiert werden,
C
~ = Q ~n
D
[D] = 2 .
2
4πr
m
~ immer proportional zu E:
~
In den Systemen, die wir hier betrachten, ist D
~ = r 0 E
~
D
0 ≈ 8.85 · 10−12
As
Vm
und in den meisten Fällen interessiert uns nur das Vakuum, d.h. r = 1.
Den magnetischen Teil des Feldes beschreiben wir über die magnetische Feldstärke
~
H
[H] =
A
,
m
~ welche in allen hier interessierenden Fällen
resp. die magnetische Flussdichte B,
~
direkt proportional zu H ist:
~ = µ0 H
~
B
µ0 =
4π V s
107 A m
[B] =
Vs
= T.
m2
wir behandeln hier nur den Fall nichtmagnetischer Materialien, µ = 1. Hier wurde auch angenommen, dass das Medium isotrop sei, dass also alle Richtungen
gleichwertig seien. Dies ist insbesondere in Festkörpern meist nicht der Fall. Die
Proportionalitätskonstanten εr , µ werden dann zu Tensoren.
2.8.2.2
Maxwell Gleichungen
Die wichtigsten Gleichungen für die Behandlung von elektromagnetischen Wellen
sind natürlich die Maxwell Gleichungen. Wir schreiben sie für ein dielektrisches
Medium, d.h. verschwindende Ladungen und Ströme, und benutzen das SI System. Damit werden sie
~ ·D
~ = ρel
∇
~ ·B
~ = 0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×H
~ = ∂ D + ~j.
∇
∂t
2.8.3
Wellengleichung
Die Maxwell Gleichungen beschreiben unter anderem die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen. Wir zeigen zunächst, wie man aus den Maxwell Gleichungen eine Wellengleichung erhalten kann. Dafür rechnen wir die Rotation der
dritten Gleichung:
~
~ × ∇
~ ×E
~ = −∇
~ × ∂ B = −µ0 ∂ ∇
~ ×H
~ .
∇
∂t
∂t
KAPITEL 2. WELLEN
77
Diese setzen wir ein in die vierte (mit ~j = 0) und erhalten
∂2 ~
∂2 ~
~
~
~
∇ × ∇ × E = −µ0 2 D = −µ0 r 0 2 E.
∂t
∂t
Die Vektoranalysis ergibt für die linke Seite
~ × ∇
~ ×E
~ =∇
~ ∇
~ ·E
~ − ∆E.
~
∇
Gemäß der ersten Maxwell Gleichung verschwindet die Divergenz des E-Feldes,
wenn wir Ladungen ausschließen, und wir erhalten
~ = µ0 r 0
∆E
oder
∂2 ~
E
∂t2
~
∂ 2E
c2 ~
∆E
=
∂t2
r
mit
c2 =
(2.8.1)
1
.
0 µ0
Dies ist offenbar eine dreidimensionale Wellengleichung. Wir werden uns in diesem
Kapitel hauptsächlich mit dieser Wellengleichung beschäftigen.
Eine analoge Wellengleichung kann man natürlich auch für das magnetische Feld
herleiten. Meist ist es aber einfacher, die Gleichung für das elektrische Feld zu
lösen und anschließend die magnetischen Komponenten aus den Maxwell Gleichungen zu bestimmen.
2.8.4
Randbedingungen im Hohlleiter
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Waveguide17-with-UBR120-flanges.svg
9.12.10 20:47
Abbildung 2.71: Hohlleiter für Mikrowellen.
Wir betrachten einen metallischen Hohlkörper mit konstantem Querschnitt entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle. Er sei gefüllt mit einem Medium mit
der Dielektrizitätskonstanten εr . Wir nehmen an, dass die Hülle des Hohlleiters
perfekt leitend sei. Dann muss die Komponente des elektrischen Feldes parallel
zur Oberfläche an der Oberfläche verschwinden, ebenso die Komponente der magnetischen Flussdichte senkrecht zur Oberfläche. Dann wird die Ausbreitung des
elektromagnetischen Feldes bestimmt durch die Wellengleichung (2.8.1) und die
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KAPITEL 2. WELLEN
78
Abbildung 2.72: Randbedingungen für E und B-Felder im Hohlleiter.
Randbedingung, dass die Komponente des Feldes parallel zur Oberfläche auf der
Oberfläche verschwindet,
Ek = 0.
Ebenso muss die senkrechte Komponente des Magnetfeldes verschwinden, da eine
zeitliche Änderung eines solchen Feldes Wirbelströme erzeugen würden,
B⊥ = 0.
Diese Bedingung gilt nicht allgemein: statische Magnetfelder können durchaus
Metalle durchdringen, oder sogar darin erzeugt werden. Zeitlich veränderliche
Magnetfelder benötigen aber eine gewisse Zeit, bis sie in einen elektrischen Leiter eindringen können. Bei hochfrequenten Feldern ist deshalb die Eindringtiefe
relativ klein. Das Feld fällt exponentiell ab, mit einer Eindringtiefe
r
2ρ
.
δ=
ωµr µ0
Hier ist ρ der spezifische Widerstand des Materials, ω die Frequenz des Feldes,
und µr µ0 die magnetische Permeabilität des Materials.
Abbildung 2.73: Eindringtiefe für verschiedene Metalle als Funktion der Frequenz.
Die senkrechte Komponente des elektrischen Feldes endet auf der Metalloberfläche. Dies bedeutet, dass an dieser Stelle Ladungen sein müssen: die Oberflächenladungsdichte ist gerade gleich der dielektrischen Verschiebung. Nach einer halben Periode haben diese Oberflächenladungen das Vorzeichen gewechselt.
KAPITEL 2. WELLEN
79
Da Ladung aber nicht zerstört oder geschaffen werden kann (Ladungserhaltung),
müssen sie an eine andere Stelle verschoben werden. Dieser Ort ist meist eine
halbe Wellenlänge entfernt. Somit fließen an der Oberfläche des Metalls Ströme,
bis in eine Tiefe, die durch die Eindringtiefe gegeben ist. Der endliche Widerstand des Metalls führt dabei auch zu Verlusten, welche umgekehrt die Welle im
Hohlleiter dämpfen.
2.8.5
Lösungsansatz
Wir machen wie üblich einen Separationsansatz und suchen Wellen mit harmonischer Zeitabhängigkeit und Ausbreitungsrichtung entlang der z-Achse d.h. in
Richtung des Leiters. Wir vernachlässigen hier die Dämpfung und kommen somit
zu folgendem Ansatz:
Ψ(~r, t) = ϕ(x, y)ei(ωt−kz z) .
Einsetzen in die Wellengleichung
∂2
Ψ(~r, t) = v 2 ∆Ψ(~r, t)
∂t2
ergibt
v2
−ω =
ϕ
2
oder
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 − kz2
∂x2
∂y
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+ 2 − kz2
∂x2
∂y
= −r
ω2
ϕ,
c2
wobei für ϕ sowohl das elektrische wie auch das magnetische Feld eingesetzt
werden kann. Damit erhalten wir für die transversale Abhängigkeit
2
∂2
∂
+
∆⊥ ϕ(x, y) =
ϕ
∂x2 ∂y 2
ω2
2
=
kz − r 2 ϕ.
c
Wir haben damit eine Gleichung für die transversale Feldabhängigkeit allein.
Deren Lösung hängt ab von den Randbedingungen, also vom Querschnitt des
Leiters. Die Randbedingungen können auf unterschiedliche Arten erfüllt werden:
man unterscheidet transversal magnetische (TM) und transversal elektrische (TE)
Wellen. Diese sind dadurch definiert, dass die longitudinale Komponente des magnetischen, resp. elektrischen Feldes verschwindet:
TM : Bz = 0
TE : Ez = 0.
KAPITEL 2. WELLEN
80
x
y
Abbildung 2.74: Rechteckiger Hohlleiter.
2.8.6
Rechteckiger Hohlleiter: TE-Welle
Ein technisch relativ günstiger Querschnitt ist rechteckig. Wir diskutieren deshalb
TE Wellen in einem Wellenleiter mit rechteckigem Querschnitt. Wir wählen als
Lösungsansatz ein Feld in x-Richtung
~
E(x,
y, z) = {Ex , 0, 0}ei(ωt−kz z) .
Da die Divergenz des Feldes im Innern des Hohlleiters verschwindet, muss das
Feld in x-Richtung homogen sein,
∂Ex
= 0.
∂x
Damit reduziert sich der Laplace-Operator auf ∂ 2 /∂y 2 , und die Wellengleichung
wird zu
ω2
∂2
2
E
=
(k
−
)Ex .
x
r
z
∂y 2
c2
Wir dividieren durch Ex und erhalten
ω2
1 ∂ 2 Ex
2
=
(k
−
).
r
z
Ex ∂y 2
c2
Diese Gleichung ist nur lösbar, wenn
∂ 2 Ex
= −ky2 Ex
∂y 2
mit
ω2
.
c2
Diese Gleichung hat als mögliche Lösungen für das Feld harmonische Funktionen von y. Die Randbedingungen lassen nur solche Funktionen zu, die an der
Oberfläche, d.h. bei y = 0 und y = b, verschwinden. Somit muss
mπy Ex = am sin
cos(ωt − kz z + δ),
b
mit m = 1, 2, . . . , d.h. ky kann nur folgende Werte annehmen:
mπ
ky =
.
b
Das Feld ist somit homogen in der Feldrichtung und harmonisch in y- und zRichtung. Der Index m gibt die Anzahl der Knotenlinien senkrecht zur y-Achse.
Die unterschiedlichen Moden werden als TEm bezeichnet.
ky2 + kz2 = r
KAPITEL 2. WELLEN
81
b
x
a
y
Ex
a
0
y
Abbildung 2.75: Verteilung des elektrischen Feldes im Hohlleiter.
2.8.7
Wellenvektor und cutoff Frequenz
Für die z-Komponente des Wellenvektors erhält man damit
kz2 = r
2
ω2
2m
−
π
.
c2
b2
10
m=1
m=2
m=3
0
0
2
4
6
8
m=4
10
12
14
t
Abbildung 2.76: Wellenvektor als Funktion der Frequenz für unterschiedliche Moden.
Wenn man die z-Komponente des Wellenvektors als Funktion der Frequenz darstellt, findet man, dass unterhalb einer bestimmten Frequenz
c πm
ωc = √
r b
(2.8.2)
der Ausdruck für kz2 negativ wird, der Wellenvektor also imaginär. In Abb. 2.76
wurde die Dimension b = 1 gesetzt. Diese cutoff-Frequenz hängt vom Modenindex
m, also von der Knotenzahl m − 1 ab.
Wir können die cutoff-Frequenz auch über die Wellenlänge ausdrücken. Für die
Grundmode m = 1 entspricht die cutoff-Frequenz einer Wellenlänge
λc =
√
c
2πc
=
= 2b r .
νc
ωc
KAPITEL 2. WELLEN
82
Abbildung 2.77: Dispersionsrelation im Hohlleiter.
Die hier berechnete Wellenlänge ist die Vakuum-Wellenlänge. Im Medium mit
der Dielektrizitätskonante r ist die Wellenlänge damit gerade b/2.
Alternativ können wir auch die Frequenz als Funktion des Wellenvektors darstellen (siehe Abb. 2.77). Für große Wellenvektoren, also hohe Frequenzen, erhalten
wir eine Gerade, also keine Dispersion; hier gilt ω = kz c (für r = 1). Licht kann
deshalb dispersionsfrei durch einen Hohlleiter transmittiert werden.
Für kleinere Wellenvektoren biegt die Kurve aber nach oben ab und trifft die yAchse bei einer endlichen Frequenz. Diese minimale Frequenz ωc wird als cutoffFrequenz bezeichnet. Unterhalb dieser Frequenz wird der Wellenvektor imaginär.
Ein imaginärer Wellenvektor entspricht einer exponentiell abfallenden Feldverteilung. Die Welle wird also nicht mehr durch den Hohlleiter transmittiert. Die
cutoff-Frequenz hängt nur von den Dimensionen des Leiters ab. Qualitativ ist die
cutoff-Frequenz dadurch bestimmt, dass ihre Wellenlänge von der Größenordnung
des Leiterquerschnitts ist. Als Beispiel ist für b = 1 cm, εr = µ = 1 die entsprechende Frequenz ωmin = 1011 s−1 oder νmin = 16.8 GHz.
2.8.8
Versuch 26 Mikrowellen im Wellenleiter
Physik 34 Versuch 026
15.12.10 12:36
Abbildung1. E-Feld
2.78:
Versuch
26: Mikrowellen im Wellenleiter
senkrecht
auf den Platten
Wegen der hier vorhandenen grenzfrequenzfreien TEM-Wellenausbreitung immer
Durchgang (auch für a <!/2)
Dieses Verhalten kann man im Experiment überprüfen. Der Wellenleiter ist in
2. E-Feld parallel zu den Platten (Sender und Empfänger um 90° drehen)
diesem Fall in vertikaler
Richtung auf verschiedene Abstände einstellbar und in
Durchgang für a !"/2
horizontaler RichtungKeinoffen.
Der Mikrowellensender hat eine Frequenz von 10.71
Durchgang für a < "/2 (Sperrverhalten für TE-Wellenleitung)
3. Dielektrikum aus Acrylglas ! = 2,223
Durch Einschieben einer Acrylglasplatte in die Parallelplattenleitung wird
und man erhält wieder TE-Wellen-Durchlass weil a3 = 1,2 cm >
Beispiel:
ist.
KAPITEL 2. WELLEN
83
GHz; dies entspricht einer Vakuumwellenlänge
λ0 =
c
3 · 108
=
m = 2.8 cm.
ν
1.07 · 1010
Für die niedrigste Mode (m=1) sollte diese Welle noch durch einen Wellenleiter
transmittiert werden, dessen Wände parallel zur Feldrichtung mindestens
λ0
bc = √
2 r
voneindander entfernt sind; hier somit 1.4 cm. Wir messen zunächst bei einem
Plattenabstand von 2 cm und finden, dass beide Polarisationen transmittiert
werden. Bei einem Abstand von 1.2 cm wird nur noch die Polarisation senkrecht
zu den Platten transmittiert.
Wird die Acrylglasplatte (r = 2.223) in den Spalt geschoben, so verkürzt sich
die Wellenlänge auf
2.8
λ0
≈ 1.88 cm
λ= √ ≈ √
r
2.223
oder λ/2 ≈ 0.94 cm. Das Experiment bestätigt, dass damit wieder Leistung transmittiert wird.
2.8.9
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wenn wir die Darstellung ω(k) betrachten, fallen einige interessante Aspekte auf.
Bekanntlich ist die Phasengeschwindigkeit gegeben als
vP =
ω
.
k
Da ω auch für k = 0 einen endlichen Wert aufweist, nämlich die Grenzfrequenz
ωc , wird offenbar an diesem Punkt
vP → ∞.
Dies kann man auch leicht verstehen: in diesem Grenzfall wird die Wellenlänge
sehr groß. Eine beliebig langsame Variation des Feldes verschiebt deshalb den
Knoten beliebig schnell.
Dies ist kein Widerspruch zur Relativitätstheorie, welche Informationsübertragung
mit v > c verbietet. Information wird aber mit der Gruppengeschwindigkeit
übertragen, und diese ist
dω
vG =
< c,
dk
also durch die Steigung der Kurve in der Dispersionsrelation.
Für k → 0 geht die Gruppengeschwindigkeit sogar gegen 0, d.h. die Geschwindigkeit für Energie- oder Informationsübertragung verschwindet. Für alle k-Vektoren
gilt, dass das Produkt aus Phasen- und Gruppengeschwindigkeit gerade gleich
dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ist,
vP vG = c2 .
KAPITEL 2. WELLEN
84
Die Dispersion hat große praktische Bedeutung: in diesem Bereich werden unterschiedliche Frequenzkomponenten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit übertragen.
Zeitabhängige Signale enthalten normalerweise unterschiedliche Frequenzen und
werden deshalb verzerrt. Dies ist z.B. einer der begrenzenden Faktoren bei der
Übertragungsgeschwindigkeit von Datensignalen in einer Glasfaser (einer Art optischer Hohlleiter).
2.8.10
Magnetische Komponente
Die magnetischen Komponenten des Feldes bestimmen wir aus den Maxwell Gleichungen:
~
~ ×E
~ = − ∂B .
∇
∂t
Damit wird


 


0
0
Bx

x
 ∂E
=
x
 −ikz Emπy
 = −iω  By  ,
∂z
cos
∂Ex
b
− ∂y
Bz
ky Ex sin mπy
b
d.h. die x-Komponente des Magnetfeldes verschwindet, nicht aber die y- und z
Komponente. Diese werden


0
~ = Ex ei(ωt−kz z)  kz sin ky y  .
B
ω
i ky cos ky y
y
z
y
z
Abbildung 2.79: Feldverteilung im Hohlleiter. In der oberen Hälfte entspricht gelb
dem Feld in Richtung +x, blau in Richtung −x. In der unteren Hälfte zeigt gelb
hohe Intensität, blau niedrige Intensität.
~
Der Vergleich mit dem E-Feld


Ex
~ =  0  sin ky y ei(ωt−kz z)
E
0
KAPITEL 2. WELLEN
85
zeigt, dass die magnetische Feldkomponente in z-Richtung die gleiche Abhängigkeit
zeigt, abgesehen von einer Phasenverschiebung. Für die transversale Komponente
By beträgt diese Phasenverschiebung π/2, also eine viertel Wellenlänge.
Man sieht leicht, dass für große Dimensionen des Wellenleiters und niedrigen
Index m ky kz , so dass die z-Komponente klein wird und wir im Grenzfall
des freien Raumes, also ohne Randbedingungen, wieder eine transversale Welle
erhalten. Magnetfeldlinien müssen immer geschlossen sein. Auch im Hohlleiter
bilden sie geschlossene Kurven.
KAPITEL 2. WELLEN
2.9
86
Akustische und seismische Wellen
Wir betrachten als nächstes Wellenphänomene in drei Dimensionen. Beispiele
sind Druckwellen (also z.B. Schall), aber auch elektromagnetische Wellen.
2.9.1
Lagrange-Dichte
Wir leiten zur Abwechslung die Wellengleichung einmal aus der Lagrange-Dichte
L = L(u, ∂t u, ∂xi u, t)
her, wobei wir als System z.B. eine akustische Welle denken. Die Lagrange-Dichte
hängt sowohl von den Auslenkung u als auch von räumlichen und zeitlichen
Änderungen ∂t u = ∂u/∂t, ∂xi u = ∂u/∂xi abhängt. Ausgehend von den bekannten
Lagrange-Dichten für eine Dimension verallgemeinern wir sie auf D Raumdimensionen:
LD
D
F X
ρD (~x)
2
(∂t u) −
(∂x u)2 .
=
2
2 i=1 i
(2.9.1)
Die Massendichte ρD (~x) bezieht sich auf ein D-dimensionales Volumenelement.
Die Einheit der Lagrangedichte, und damit die Einheit der Kraftkonstante F ist
[LD ] =
J
= [F ].
mD
Damit werden die Kraftkonstanten in D Dimensionen zu
D
1
2
3
Einheit
J/m
J/m2
J/m3
Physikalische Größe
Kraft
Oberflächenspannung
Druck
Die Euler-Lagrange Gleichung ist, analog zum 1D Fall:
3
X
∂LD
∂LD
∂LD
∂t
+
∂xi
−
= 0.
∂(∂t u) i=1
∂(∂xi u)
∂u
Wir setzen die D-dimensionale Lagrange-Dichte (2.9.1) ein und erhalten für die
einzelnen Terme
∂LD
= ρD (~x) ∂t u
∂(∂t u)
∂LD
= −F ∂xi u
∂(∂xi u)
∂LD
= 0.
∂u
KAPITEL 2. WELLEN
87
Die Euler-Lagrange Gleichung wird damit zu
ρD (~x) ∂t2 u − F
D
X
∂x2i u = 0
i=1
oder
∂ 2u
F
∆u.
=
2
∂t
ρD
Für eine konstante Dichte ρ ergibt sich daraus die Phasengeschwindigkeit
s
F
ω
vp =
.
=
ρD
|~k|
2.9.2
Lösungen ohne Randbedingungen
Abbildung 2.80: Ebene Wellen und Kugelwellen als Typen von Lösungen der
Wellengleichung in 3D.
Liegen keine Randbedingungen vor, so können die Lösungen in beliebigen Funktionsklassen entwickelt werden, welche der Wellengleichung gehorchen. Typische
Beispiele von Lösungen sind ebene Wellen und Kugelwellen. Die ebenen Wellen
können geschrieben werden als
u(~r, t) = f (~k · ~r ± ωt) = f (kx x + ky y + kz z ± v|~k|t).
Kugelwellen sind Lösungen, welche die Ausbreitung einer Störung beschreiben,
welche von einer punktförmigen Quelle ausgeht. Sie haben die allgemeine Form
1
1
u(r, t) = F (r − vp t) + G(r + vp t).
r
r
Hier sind F und G beliebige Funktionen einer Variablen. Der erste Term entspricht einer Welle, die mit der Geschwindigkeit vp nach außen läuft, die zweite
läuft in Richtung auf das Zentrum der Kugel zu. Die Amplitude nimmt invers
zum Abstand ab. Dies kann man auch auf Grund der Energieerhaltung verstehen: die Energiedichte ist proportional zum Quadrat der Amplitude und nimmt
deshalb ∝ 1/r2 ab, während die Oberfläche der Kugelwelle mit r2 zunimmt.
KAPITEL 2. WELLEN
2.9.3
88
Schallwellen
Wir diskutieren zunächst akustische Wellen, also Druckwellen. Für die Herleitung
verwenden wir einen luftgefüllten Zylinder. Dies ist z.B. das einfachste Modell für
gewisse Blasinstrumente. Eine Schallwelle entspricht einer zeitlich und räumlich
periodischen Auslenkung von Druck und Dichte des Mediums. Dabei interessieren
vor allem die Änderungen des Drucks, nicht der Mittelwert.
χ(x,t)
p(x,t)
p(x+dx,t)
A
A’
x
x + dx
x + χ(x,t)
x + dx + χ(x + dx,t)
χ(x + dx,t)
Abbildung 2.81: Beschreibung von Schallwellen.
Für den Druck schreiben wir
p = p0 + ∆p(x, t) ,
und für die Dichte
ρ = ρ0 + ∆ρ(x, t) ,
wobei der Index 0 für die jeweiligen Gleichgewichtswerte steht (ohne Schallwelle).
Für die Beschreibung der Schallausbreitung benötigen wir drei Gleichungen: die
erste gibt an, wie eine Gasbewegung zu einer Dichteänderung führt, die zweite
beschreibt den Zusammenhang zwischen Dichte- und Druckänderung, die dritte
zeigt wie ein Druckgradient eine Gasbewegung zur Folge hat.
Wenn ein Volumenelement in einem Gas bewegt wird, dann ändert sich die Dichte.
Die Verschiebung der Luftmoleküle auf Grund des Schalls sei χ(x, t). Luft an der
Stelle x bewegt sich zur neuen Position x + χ(x, t), und Luft in der Nähe bei
x + dx bewegt sich nach x + dx + χ(x + dx, t). Der Zylinder, der durch die beiden
Flächen bei x und x + dx begrenzt wird, bewegt sich deshalb nach
[x + χ(x, t), x + dxχ(x + dx, t)].
Dabei ändert sich das Volumen von
A dx → A(dx + χ(x + dx, t) − χ(x, t)).
Dabei muss die Gasmasse im neuen Volumen gleich der Masse im alten Volumen
sein:
ρ0 Adx = ρA(dx + χ(x + dx, t) − χ(x, t)) .
KAPITEL 2. WELLEN
89
Im Grenzfall kurzer Zylinder können wir dies infinitesimal schreiben,
χ(x + dx, t) = χ(x, t) +
∂χ
dx.
∂x
Einsetzen ergibt
ρ0 dx = ρ dx(1 +
∂χ
∂χ
) = (ρ0 + ∆ρ) dx(1 +
).
∂x
∂x
Damit wird die Dichteänderung
∆ρ = −ρ0
∂χ
∂χ
− ∆ρ
.
∂x
∂x
Der zweite Term kann vernachlässigt werden wenn die Dichteänderung ∆ρ ρ0
ist. Damit wird die Dichteänderung als Funktion der Auslenkung
∆ρ(x, t) = −ρ0
2.9.4
∂χ(x, t)
.
∂x
(2.9.2)
Die Wellengleichung
Die Dichteänderung entspricht einer Druckänderung. Druck und Dichte sind miteinander verbunden, p = f (ρ). Wir verwenden die Abkürzung
K
∂p
1
=
=
|ρ ,
ρ0 κ
ρ0
∂ρ 0
α=
(2.9.3)
wobei κ die Kompressibilität, d.h. die Inverse des Kompressionsmoduls K darstellt. Damit gilt für kleine Verschiebungen und Dichteschwankungen
p(x, t) = p0 + ∆p(x, t) = p0 + α · ∆ρ(x, t) .
(2.9.4)
Die dritte Gleichung, die für die Herleitung der Wellengleichung benötigt wird,
ist analog zur Newton’schen Bewegungsgleichung:
ρ A dx
∂v
= F = A(p(x) − p(x + dx)).
∂t
Wir dividieren beide Seiten durch das Volumen des Zylinders, Adx, und erhalten
ρ
∂p
∂v
=− .
∂t
∂x
Die lokale Geschwindigkeit v ergibt sich als Ableitung der Auslenkung, v = ∂χ/∂t.
Damit wird die Euler-Gleichung
ρ0
∂p
∂ 2χ
=−
,
2
∂t
∂x
(2.9.5)
wobei wir wiederum angenommen haben, dass die Druckschwankungen klein sind,
ρ ≈ ρ0 . Eliminiert man den Druck p mit Hilfe von Gl. (2.9.3), dann erhält man
ρ0
∂ 2χ
∂∆ρ
= −α
.
2
∂t
∂x
KAPITEL 2. WELLEN
90
Mit (2.9.2) und der Umbenennung
c2 = α =
1
K
=
ρ0 κ
ρ0
(2.9.6)
erhält man die Wellengleichung
2
∂ 2χ
2 ∂ χ
=
c
·
∂t2
∂x2
(2.9.7)
∆p = ∆ρ · c2 .
(2.9.8)
und Gleichung (2.9.4) ist dann
Analoge Wellengleichungen findet man für die Dichte
2
∂ 2ρ
2 ∂ ρ
=c · 2
∂t2
∂x
(2.9.9)
und den Druck
2
∂ 2p
2 ∂ p
=
c
·
(2.9.10)
∂t2
∂x2
weswegen man elastische Wellen in einem Gas auch als ”Druckwellen” bezeichnet.
Man kann akustische Wellen auch als ein Geschwindigkeitsfeld verstehen: Die
Welle führt zu einer Bewegung der Moleküle in drei Dimensionen. Es ist allerdings
in den meisten Fällen möglich, das entsprechende Vektorfeld als Gradient eines
Geschwindigkeitspotenzials Φ(~r, t) zu schreiben,
~ r, t).
~v (~r, t) = −∇Φ(~
Für dieses Geschwindigkeitspotenzial erhält man aus der Druckvariation:
1
∂Φ(~r, t)
= ∆p(~r, t).
∂t
ρ
2.9.5
Lösung der Wellengleichung
Die einfachsten Lösungen einer Wellengleichung sind ebene Wellen:
χ(x, t) = χ0 sin(ωt − kx),
c = ω/k .
(2.9.11)
Hier stellen ω die (Kreis-)Frequenz, k die Wellenzahl und c die Phasengeschwindigkeit dar.
Für die Geschwindigkeit, mit der sich die Luftmoleküle infolge der Druckschwankungen hin- und her bewegen, folgt
v(x, t) =
∂χ
= ωχ0 cos(ωt − kx) .
∂t
Man bezeichnet die Amplitude
v0 = ωχ0
KAPITEL 2. WELLEN
91
dieser Geschwindigkeit als Schallschnelle.
Die Druckwelle muss die gleiche räumliche und zeitliche Abhängigkeit aufweisen,
∆p(x, t) = ∆p0 cos(ωt − kx) .
Setzt man dies und (2.9.11) in die Euler-Gleichung (2.9.5) ein, dann erhält man
ρ0 (−ω 2 )χ0 sin(ωt − kx) = ∆p0 k sin(ωt − kx) .
Daraus folgt der wichtige Zusammenhang zwischen der Schallschnelle, der Geschwindigkeit, dem Druck und der Dichte:
∆p0 = ρ0 v0 c ,
(2.9.12)
d.h. die Druckamplitude ist das Produkt aus der Amplitude der Druckwelle, der
Schallschnelle v0 und der Phasengeschwindigkeit c.
2.9.6
Messung der Schallgeschwindigkeit
Eine Möglichkeit, die Schallgeschwindigkeit zu messen ist die gleichzeitige Messung von Wellenlänge und Frequenz: vp = λν. Wir testen dies in einem gasgefüllten Rohr.
Abbildung 2.82: Messung der Schallgeschwindigkeit in einem Rohr.
Am einen Ende des Rohrs befindet sich ein Lautsprecher, am anderen ein Mikrophon. Beide Enden sind mit Folie bespannt, so dass die Schallwellen dort teilweise
reflektiert werden und darin stehende Wellen bilden. Die Schwingungsamplitude
im Rohr wird dann maximal, wenn die Bedingung für stehende Wellen,
L=λ
n
2
erfüllt ist, wobei L = 0.4 m die Länge des Rohrs darstellt. Wenn diese Resonanzbedingung erfüllt ist, wird auch die Transmission durch das Rohr maximal.
Wir finden, dass die einzelnen Moden Vielfache von 437 Hz sind. Somit beträgt
die Wellenlänge bei 437 Hz
λ437 Hz = 2L = 0.8 m.
Die entspricht einer Schallgeschwindigkeit von
vp = λν = 437 · 0.8 = 350
m
,
s
Physik 34 Versuch 032
15.12.10 12:38
einem mit Folie beidseitig verschlossenen Rohr.
Variiert man die Frequenz der Schallwellen, bilden sich immer dann stehende, longitudinale Wellen aus, wenn
die halbe Wellenlänge ein ganzzahliges Vielfaches der Rohrlänge ist. Gleichzeitig nimmt im Resonanzfall die
Lautstärke (Amplitude) zu.
l: Rohrlänge
!n : Wellenlänge
KAPITEL 2. WELLEN
92
Ein als Mikrofon geschalteter zweiter Lautsprecher nimmt die Schwingungen der
Gassäule auf.
Die am Lautsprecher und Mikrofon anliegenden Spannungen und ihre Frequenzen werden mit einem
Oszillografen registriert und gemessen.
Aus den ermittelten Resonanzfrequenzen und der Rohrlänge bestimmt man die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwellen in der Gassäule (Luft oder CO2 ).
Abbildung 2.83: Signal am Eingang (oben) und am Ausgang des Rohrs (unten).
c: Schallgeschwindigkeit
"n : Resonanzfrequenz
n lässt sich aus zwei aufeinanderfolgenden Resonanzfrequenzen bestimmen
in guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert.
Füllen wir das Rohr statt mit Luft mit CO2 , so sinkt die Grundfrequenz auf
332 Hz, was einer Schallgeschwindigkeit von 266 m/s entspricht. Wir erwarten
für CO2 eine geringere Schallgeschwindigkeit, da CO2 Moleküle schwerer sind als
Sauerstoff und Stickstoff:
Literaturwerte: cLuft = 343,8 m/s bei t = 20 °C
= 265,8 m/s bei t = 18 °C
Schallausbreitung in einem Gas
mN2 = 28 mO2 = 32 mCO2 = 46.
2.9.7
http://www.physik.uni-dortmund.de/index.php?view=article&catid=9…onent&print=1&layout=default&page=&option=com_content&Itemid=322
Schallgeschwindigkeit
Page 4 of 6
Gemäß Gleichung (2.9.6) ist die Schallgeschwindigkeit
s
r
K
1
=
.
c =
ρ0
ρ0 κ
Sie ist somit proportional zur Wurzel aus dem Kompressionsmodul K und indirekt
proportional zur Wurzel aus der Dichte. Am größten sollte die Ausbreitungsgeschwindigkeit somit in steifen, leichten Materialien sein. Umgekehrt können wir
die Messung der Schallgeschwindigkeit als eine direkte Messung der Kompressibilität, resp. des Kompressionsmoduls betrachten.
Luft
CO2
Wasserstoff
Wasserdampf
Wasser
Eis
Stahl
Glas
Diamant
Dichte [kg/m3 ]
1.2
1.98
0.09
0.54
1000
920
7700
2500
3520
vs [m/s]
344
266
1260
450
1400
3200
5050
5300
18000
Tabelle 2.4: Schallgeschwindigkeiten in unterschiedlichen Stoffen.
Gase sind zwar leichter als Flüssigkeiten, aber auch sehr viel leichter komprimierbar. Beide Eigenschaften unterscheiden sich um fast 3 Größenordnungen, die
Schallgeschwindigkeiten nur um einen Faktor im Bereich 1-5. Bei Festkörpern ist
KAPITEL 2. WELLEN
93
die Dichte etwas höher als in Flüssigkeiten, aber die Steifigkeit sehr viel höher.
Darum werden hier die Schallgeschwindigkeiten maximal. Der Extremwert wird
erreicht in Diamant, das für einen Festkörper relativ leicht ist, gleichzeitig ist es
eines der härtesten Materialien überhaupt.
2.9.8
Versuch 22 Schallgeschwindigkeit in Wasser
Wir messen die Schallgeschwindigkeit in Wasser, indem wir eine stehende Welle
erzeugen zwischen einem Lautsprecher und einem Mikrophon. Die Schallwelle
wird durch die Funktion
p(x, t) = p0 cos(ωt − kx)
beschrieben. An der Stelle L ist das Signal somit gegenüber dem Ausgangspunkt
um die Phase
2π
ϕ = kx =
x
λ
verschoben. Eine Messung dieser Phasenverschiebung als Funktion der Position
x liefert somit die Wellenlänge λ.
Schall-Erzeuger
Mikrofon
Abbildung 2.84: Messung der Wellenlänge in Wasser.
Wir verwenden eine Quelle und einen Transducer für die Erzeugung von Ultraschall mit einer Frequenz von 800 kHz. Nach der Durchquerung des Wassers wird
die akustische Welle wieder in ein elektrisches Signal umgewandelt. Das Signal
der Quelle und dasjenige des Aufnehmers werden in xy-Darstellung auf einem Oszilloskop dargestellt. Sind die beiden in Phase, so erscheint eine diagonale Linie
von links unten nach rechts oben. Sind sie in Gegenphase, so läuft eine Gerade
von links oben nach rechts unten. Dieser Wechsel geschieht dann, wenn die Laufzeit sich um eine halbe Periode geändert hat, wenn also der Weg um λ/4 länger
geworden ist. Wir messen die Wellenlänge zu 1.89 mm und erhalten daraus die
Ausbreitungsgeschwindigkeit
vp = λν = 1.89 · 10−3 · 8 · 105 ≈ 1500
m
,
s
in guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert von vp,H2 O = 1483 m/s.
KAPITEL 2. WELLEN
94
Abbildung 2.85: Beugung eines Laserstrahls an einer stehenden Ultraschall-Welle.
Treffen die Schallwellen auf eine Fläche, so werden sie dort reflektiert und bilden mit den einlaufenden Schallwellen eine stehende Welle. Die kann man in der
gleichen Wasserwanne nachmessen, indem man sie mit einem aufgeweiteten Laser durchstrahlt. Die stehende Welle im Wasser erzeugt eine Dichtemodulation,
welche den Laserstrahl ablenkt - außer an den Stellen maximaler Auslenkung, wo
der Dichtegradient verschwindet.
2.9.9
Schallimpedanz und Intensität
Die Schallschnelle ist proportional zum Schalldruck. Die Proportionalitätskonstante
Z :=
∆p0
= ρ0 c
v0
wird als Wellenwiderstand oder Schallkennimpedanz oder Schallimpedanz bezeichnet. In Luft beträgt die Impedanz
ZLuft = 1.2 kgm−3 340 ms−1 = 430 Nsm−3 ,
in Wasser ist die Schallimpedanz
ZWasser = 1.46 · 106 Nsm−3 .
Die Schallimpedanzen der beiden Medien, welche für das Hören am wichtigsten
sind, unterscheiden sich somit um einen Faktor 3400. Wie in Kapitel 2.6.5 diskutiert, führt dies dazu, dass der Schall an einer Luft-Flüssigkeitsgrenzfläche zu
mehr als 99% reflektiert wird.
Die Energiedichte einer Schallwelle ist gegeben durch die Summe aus kinetischer
und Druckenergie. Bei der maximalen Geschwindigkeit v = v0 verschwindet die
Druckenergie und wir haben nur kinetische Energie
1
w = ρ0 v02 .
2
Mit Hilfe von Gleichung 2.9.12 schreiben wir dies als
1
1
1 ∆p20
.
w = ρ0 ∆p20 2 2 =
2
ρ0 c
2 ρ 0 c2
KAPITEL 2. WELLEN
95
Die Intensität einer Welle beschreibt, wie schnell diese Energie transportiert wird,
I = wc =
1 ∆p20
1 ∆p20
=
.
2 ρ0 c
2 Z
Dies ist offenbar direkt analog zur Leistung eins Elektrischen Wechselstroms mit
Spannungsamplitude ∆p0 an einem Widerstand Z.
2.9.10
Schalldruckskala und Schallpegel
Der Schalldruck (die Amplitude) und die Frequenz der Schallschwingung sind für
das Hören wichtig. Der Frequenzbereich des menschlichen Gehörs reicht von
ν = 16 Hz bis 20 kHz .
Schwingungen mit großem Schalldruck bewirken Hörempfindungen größerer Lautstärke
als Schwingungen mit geringem Schalldruck. Von dem leisesten noch wahrnehmbaren 2 kHz-Ton bis zur Schmerzgrenze erstreckt sich der Bereich 20 µPa... 20
Pa (Effektivwerte).
An der Hörschwelle (20µPa) beträgt die Intensität I0 = 10−12 W/m2 ; an der
Schmerzschwelle etwa Imax = 1 W/m2 .
Abbildung 2.86: Schalldruck und Schallpegel für verschiedene Geräusche.
Das Gehör nimmt den Schalldruck in etwa logarithmisch wahr. Deswegen, und
weil die akustisch wahrnehmbaren Schalldrücke 6 Zehnerpotenzen umfassen, wird
eine logarithmische Schalldruckskala verwendet. Um den Schalldruck dimensionslos zu machen, wird ein Referenzdruck benötigt. Die Definition des Schallpegels L lautet:
∆p
I
L = 20 · log10
dB = 10 · log10
dB .
∆p0
I0
KAPITEL 2. WELLEN
96
Wenn man als Bezugsgröße
die Wahrnehmungsgrenze des menschlichen Gehörs
√
nimmt, dann ist ∆p0 / 2 = 20 µPa (I0 = 10−12 W/m2 ). Die so berechneten Schallwerte werden mit dB SPL (Sound Pressure Level) bezeichnet.
Diese physikalische Definition ist in der Audiologie und Akustik üblich. Sie berücksichtigt jedoch nicht den physiologischen Lautstärkeeindruck. Dafür verwendet man ein anderes Maß: das Phon oder dB(A). Da hierbei bewertete Schallpegel verwendet werden, ist dies keine physikalische Messgröße. Bei einer Frequenz
von 1 kHz stimmt die dB(A)-Skala mit der dB SPL-Skala überein. Für andere
Frequenzen werden zur Umrechnung Frequenzbewertungskurven verwendet, das
sind Kurven gleicher Lautstärke.
Abbildung 2.87: Kurven gleicher Lautstärke. Bei 1 kHz stimmen dB SPL-Skala
und Phon- oder dB(A)-Skala überein.
2.9.11
Seismische Wellen
Eine weitere wichtige Klasse von Druckwellen sind seismische Wellen. Dazu gehören
z.B. die Druckwellen, die bei Erdbeben entstehen. In diesem Fall können sowohl
longitudinale wie auch transversale Wellen übertragen werden. Man spricht von
P- und S-Wellen. P bezeichnet die Primärwellen, also diejenigen, welche sich
schneller ausbreiten und deshalb zuerst am Messort eintreffen. Dabei handelt es
sich um Longitudinalwellen.
Wie bereits beim Massen-Federn System in Kapitel ?? diskutiert, spricht man
von Longitudinalwellen, wenn die Auslenkung in Ausbreitungsrichtung liegt,
~ r) k ~k
longitudinal : ξ(~
KAPITEL 2. WELLEN
97
Abbildung 2.88: Seismische Wellen.
Longitudinal
Transversal
Abbildung 2.89: Longituinal- vs. Transversalwellen.
und von Transversalwellen wenn die beiden senkrecht aufeinander liegen,
~ r) ⊥ ~k.
transversal : ξ(~
Im kontinuierlichen dreidimensionalen System ist die Definition im Wesentlichen
die gleiche. Auch hier erfolgt die Auslenkung bei der Longitudinalwelle parallel
zur Ausbreitungsrichtung und bei der Transversalwelle senkrecht dazu. In beiden
Fällen muss das Medium deformiert werden, allerdings auf unterschiedliche Weise.
2.9.12
Elastische Konstanten und Ausbreitungsgeschwindigkeit
Longitudinalwellen erzeugen eine reine Druck- und Zugbelastung. Die relative
Dehnung ist
∆`
=
.
`
Gemäß dem Hooke’schen Gesetz ist die relative Dehnung proportional zur Spannung,
σ = E.
Hier stellt E den Elastizitätsmodul dar. Er hat die Einheit
[E] =
N
= Pa.
m2
KAPITEL 2. WELLEN
98
F
l+6l
l
F
Abbildung 2.90: Dehnung eines Zylinders unter Zugbelastung.
Tabelle 2.5 zeigt numerische Werte für einige Materialien.
Material
Eis
Granit
Al
Stahl
Diamant
E / GPa
9.1
55
71
206
1100
G/GPa
3.9
30
26
80.4
478
Tabelle 2.5: Typische Werte von Elastizitätsmodulen.
Im Fall von Transversalwellen erfolgt eine Scherung des Materials, d.h. eine seitliche Verschiebung. Man kann diese quantifizieren über den Winkel
α = sin−1
∆x
.
`
Auch für diesen gilt in vielen Fällen eine Art Hooke’sches Gesetz,
α=
τ
.
G
6x
l
_
Abbildung 2.91: Transversalwellen erzeugen eine Scherung.
Hier stellt G den Schubmodul dar.
Die Phasengeschwindigkeiten der beiden Wellenarten sind bestimmt durch das
Verhältnis aus dem Elastizitätsmodul E zur Dichte ρ, resp. dem Schubmodul G
zur Dichte:
s
s
E
G
vt =
.
vl =
ρ
ρ
KAPITEL 2. WELLEN
99
Abbildung 2.92: Laufzeit von Erdbebenwellen.
Es gilt allgemein E > G und damit vl > vt .
Neben den P- und S-Wellen, welche sich jeweils durch das Erdinnere ausbreiten,
gibt es außerdem noch Oberflächenwellen, welche als Love- und Rayleigh Wellen
bezeichnet werden.
2.9.13
Energie von seismischen Wellen
Die Energie, die bei einem Erdbeben freigesetzt wird, kann abgeschätzt werden
über das seismische Moment bezeichnet. Dieses ist definiert als das Produkt
M0 = G A u,
mit G dem Schermodul des Gesteins entlang der Bruchfläche (G ≈ 30 GPa), A
der Größe der Bruchfläche und u die durchschnittliche Verschiebung entlang der
Bruchfläche A.
Abbildung 2.93: Seismische Verschiebung.
Die Stärke eines Erdbebens wird gemessen mit Hilfe der Magnitudenskala MS .
Diese ist definiert als
log ES = 1.5 MS + 4.8
KAPITEL 2. WELLEN
100
oder
2
log ES − 3.2,
3
mit ES als Energie des Ereignisses. Somit bedeutet eine eine Erhöhung des Skalenwertes um eine Einheit eine rund 30 mal höhere Energie. Als Beispiel entspricht
ein Erdbeben mit einer Magnitude MS = 5.5 einer Energie ES ≈ 3 GWh ≈ 1013
J. Die Häufigkeit von Erdbeben einer bestimmten Größe nimmt pro Magnitude
ungefähr um eine Größenordnung ab; durchschnittlich findet man pro Jahr etwa
ein Beben mit Stärke 8 oder höher. Das größte bisher stärkste registrierte Erdbeben fand 1960 in Chile statt: das Valdivia Erdbeben. Dessen Energie entsprach
ca. 1019 J oder ca. 2.5 Gt TNT.
MS =
2.10
Hohlraumresonatoren
2.10.1
Rechteckiger Hohlraumresonator
Abbildung 2.94: Beispiele von akustischen Hohlraumresonatoren.
In den meisten Fällen bewegen sich akustische Wellen nicht frei, sondern sie unterliegen bestimmten Randbedingungen. Typische Beispiele sind Musikinstrumente.
Hier findet man zwei Arten von Randbedingungen: An den Wänden verhindert
diese eine Auslenkung senkrecht zur Wand, die Schallimpedanz geht gegen unendlich, ZWand → ∞. Somit muss die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur
Wand verschwinden,
~n · ~v (~r, t)|Wand = 0.
Hier stellt ~n einen Einheitsvektor senkrecht zur Wand dar.
Der zweite Typ von Randbedingungen findet sich an der Öffnung: Hier verschwindet der Widerstand, so dass der Druck dem Außendruck entsprechen muss,
p(~r, t)|Öffnung = p0 .
Wie üblich machen wir einen Separationsansatz,
p(~r, t) = p(~r)e±iωt .
KAPITEL 2. WELLEN
101
Wenn wir diesen in die Wellengleichung einsetzen und die Variablen trennen,
erhalten wir für den Raumanteil die Helmholtz-Gleichung
∆p(~r) + k 2 p(~r) = 0.
Hier ist die Wellenzahl
k=
(2.10.1)
ω
.
c
z
b
a
y
c
x
Abbildung 2.95: Quader-Resonator mit Seitenlängen a, b, c.
Betrachten wir einen Resonator in der Form eines Quaders, so sind kartesische
Koordinaten am besten geeignet. Hier lauten die Randbedingungen
∂p ∂p =
= 0
∂x x=0
∂x x=a
∂p ∂p =
= 0
∂y x=0
∂y y=b
∂p ∂p =
= 0.
∂z z=0
∂z z=c
Somit ist die Lösung
p(~r, t) = a e±iωt cos kx x cos ky y cos kz z,
mit
π
π
π
nx ky = ny kz = nz .
a
b
c
Wie üblich sind nx , ny , nz ganze Zahlen und
q
k = kx2 + ky2 + kz2 .
kx =
KAPITEL 2. WELLEN
102
Wir erhalten somit stehende Wellen, deren Wellenlänge ein ganzzahliges Vielfaches der halben Länge des Resonators beträgt.
Die Voraussetzung war hier, dass der Resonator durch eine Wand begrenzt ist.
Es gibt jedoch auch Resonatoren, bei denen eine Wand wegfällt, wie z.B. bei
Orgelpfeifen. Nehmen wir z.B. an, dass die Pfeife bei z = c offen sei. Dann wird
die entsprechende Randbedingung p(x, y, c, t) = p0 . Dies kann erfüllt werden,
wenn
π
kz = (2nz + 1)
2c
wird. Die Grundmode (nz = 0) besitzt nun eine Wellenlänge von 4c, die nächst
höheren Moden (nz =1,2,...) Wellenlängen von 4c/3, 4c/5 etc.
2.10.2
Zylindrischer Hohlraumresonator
z
a
y
L
x
Abbildung 2.96: Zylindrischer Hohlraumresonator.
Metallische Orgelpfeifen können häufig als Zylinderresonatoren beschrieben werden. In diesem Fall sind Zylinderkoordinaten r, θ, ϕ geeignet. In diesen Koordinaten lautet der Laplace-Operator
∆=
∂2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
+
+
.
∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2 ∂z 2
Der geeignete Ansatz ist in diesem Fall
p(~r, t) = ae±iωnmp t Jn (knm r) e±inϕ cos(kz,p z).
Hier sind die Jn die Besselfunktionen: in der Ebene senkrecht zur Zylinderachse
ist das Problem identisch zur schwingenden Membran.
Parallel zur Achse finden wir stehende Wellen, welche die Randbedingung Z = ∞
bei z = 0 und z = L erfüllen. Für Z = ∞ erreicht die Druckamplitude ein
Maximum, bei Z = 0 einen Knoten.
KAPITEL 2. WELLEN
103
Abbildung 2.97: Messung einer stehenden Welle in einem Plexiglasrohr.
Diese Randbedingungen können wiederum in einem Experiment sehr einfach getestet werden. Wir verwenden dafür ein Plexiglasrohr, das wir unten in Wasser
eintauchen (Z ≈ ∞) und das oben offen ist (Z ≈ 0) Bei diesen Randbedingungen passt gerade eine halbe Wellenlänge in das Rohr. Wir regen die Schwingung
mit Hilfe einer Stimmgabel an (ν = 440 Hz). Man verschiebt das Rohr, bis die
maximale Lautstärke erreicht wird, und misst dann eine Höhe des Rohrs ab Wasseroberfläche von h = 17.5 cm. Wir berechnen daraus die Schallgeschwindigkeit
als
m
m
≈ 308 .
vp = λν = 4 · 0.175 · 440
s
s
Eine noch bessere Übereinstimmung mit dem Literaturwert von 344 m/s erhält
man, wenn man die Mündungskorrektur berücksichtigt: die effektive Länge eines
Rohrs mit Radius R ist um Rπ/4 größer als die geometrische Länge. Damit
erhalten wir
vp = λν = 4 · (0.175 + 0.0236) · 440
m
m
≈ 350 .
s
s
Diese Resonanzen bestimmen entscheidend den Ton von Musikinstrumenten, aber
auch der menschlichen Stimme. Die Lage der einzelnen Resonanzen kann durch
Veränderungen in Mund und Hals verschoben werden, wie auch durch die Mundöffnung: dabei ändert sich die Randbedingung kontinuierlich von Z = ∞ (Mund
geschlossen) zu Z ≈ 0 (Mund weit geöffnet).
Um die Schwingungen auch anzuregen benötigt man einen geeigneten Mechanismus. Bei der menschlichen Stimme sind dies vor allem die Stimmbänder. Bei
Musikinstrumenten ist dies z.B. die Luftzufuhr, welche geeignet verwirbelt wird,
damit die Schwingungen angeregt werden. Bei Streichinstrumenten ist dies das
Anstreichen der Saiten, welche jeweils kurzzeitig zurück schwingen, wenn die
Spannung die Haftreibung übersteigt.
Offensichtlich sind dies die entscheidenden Grundlagen für den Klang von Musikinstrumenten, aber auch von Räumen, wie z.B. Konzertsälen. Weitere Einzelheiten dazu findet man z.B. im Heft “Die Physik der Musikinstrumente” des Verlags
Spektrum der Wissenschaft (1988).
KAPITEL 2. WELLEN
104
Abbildung 2.98: Resonante Moden im Mund-Rachenraum.
Abbildung 2.99: Anregung der Schwingungen durch Anblasen.
2.10.3
Kugelresonator
Wir betrachten jetzt einen Resonator, der für die Akustik weniger wichtig ist, aber
auf anderen Gebieten eine wichtige Rolle spielt: Den Kugelresonator. Diese setzt
Randbedingungen bei r = R. Ein wichtiges Beispiel für einen Kugelresonator
sind Sterne wie die Sonne. Außerdem werden wir die selben Gleichungen bei der
Diskussion der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms wieder antreffen.
Wir verwenden symmetrieangepasste Kugelkoordinaten r, θ, ϕ und einen Faktorisierungsansatz
u(r, θ, ϕ, t) = e±iωt Ψ(r, θ, ϕ).
Diesen setzen wir ein in die Wellengleichung
∂t2 u − v 2 ∆u = 0
KAPITEL 2. WELLEN
105
Abbildung 2.100: Akustische Wellen in der Sonne. Die dargestellte Mode mit
n = 14, l = 20, m = 16 hat eine Resonanzfrequenz von 2.9 mHz. Quelle:
http://soi.stanford.edu.
und erhalten
−ω 2 Ψ(r, θ, ϕ) − v 2 ∆Ψ(r, θ, ϕ) = 0.
Wir setzen k 2 = ω 2 /v 2 und erhalten die Helmholtz-Gleichung
(k 2 + ∆)Ψ(r, θ, ϕ) = 0.
z
ϑ
ϕ
y
x
Abbildung 2.101: Kugelkoordinaten.
Der Laplace-Operator lautet in Kugelkoordinaten
1 ∂
1
∂
∂
2 ∂
∆ = 2
r
+ 2
sin θ
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
2
1
∂
+ 2 2
.
r sin θ ∂ϕ2
1
= 2 (∆R + ∆Ω ) .
r
Da die radiale Ableitung ∆R unabhängig von den Winkelableitungen ∆Ω ist,
faktorisieren wir auch den Radialanteil von den Winkelkoordinaten:
Ψ(r, θ, ϕ) = F (r)Y (θ, ϕ).
KAPITEL 2. WELLEN
106
Einsetzen ergibt
1 ∂ 2∂
(r
)F (r)
r2 ∂r ∂r
F (r)
+ 2 ∆Ω Y (θ, ϕ) = 0.
r
k 2 F (r)Y (θ, ϕ) + Y (θ, ϕ)
Wir multiplizieren mit r2 /(F (r)Y (θ, ϕ)) und erhalten
k2 r2 +
1
1 ∂ 2∂
(r
)F (r) + ∆Ω Y
F (r) ∂r ∂r
Y
= 0
Da der erste Teil nur vom Radius abhängt und der zweite nur von den Winkeln,
müssen beide Teile konstant sein. Wir behandeln die beiden Teile getrennt:
k2 r2 +
1 ∂ 2∂
(r
)F (r) = α
F (r) ∂r ∂r
1
∆Ω Y = −α
Y
(2.10.2)
(2.10.3)
wobei wir die unbekannte Separationskonstante α eingeführt haben.
2.10.4
Radialfunktion
Als erstes untersuchen wir den Radialteil (2.10.2)
d 2d
2 2
k r − α + (r
) F (r) = 0.
dr dr
Wir machen den Ansatz F (r) = rn f (r)
d 2 n−1
d 2 dF
(r
) =
(r (nr f + rn f 0 ))
dr
dr
dr
d
=
(nrn+1 f + rn+2 f 0 )
dr
= n(n + 1)rn f + nrn+1 f 0
+(n + 2)rn+1 f 0 + rn+2 f 00
= n(n + 1)rn f
+2(n + 1)rn+1 f 0 + rn+2 f 00 .
Einsetzen in Gleichung (2.10.4) ergibt
k 2 r2 − α + n(n + 1) rn f
+2(n + 1)rn+1 f 0 + rn+2 f 00 = 0.
Wir dividieren durch rn und erhalten
k 2 r2 − α + n(n + 1) f
+2(n + 1)rf 0 + r2 f 00 = 0.
(2.10.4)
KAPITEL 2. WELLEN
107
Wir führen eine dimensionslose Länge x = kr ein. Damit wird die Ableitung
d
d
= k
dr
dx
und die obige Differenzialgleichung wird zu
x2 − α + n(n + 1) f + 2(n + 1)xf 0 + x2 f 00 = 0.
Diese Gleichung kann in die Besselsche Differenzialgleichung
x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0
überführt werden, wenn wir
⇒
2(n + 1) = 1
setzen:
n=−
1
2
1
2
x −α−
f + xf 0 + x2 f 00 = 0.
4
Wir definieren
r
1
4
und erhalten die Besselsche Differenzialgleichung
x2 − v 2 f + xf 0 + x2 f 00 = 0.
v=
α+
Die Lösungen dieser Differenzialgleichung sind die Besselfunktionen Jv :
f (r) = Jv (kr).
Damit wird
1
f (r)
F (r) = √ = √ J±√α+1/4 (kr).
r
r
Wir haben bisher nur Besselfunktionen Jv mit ganzzahliger Ordnung v diskutiert.
Sie sind jedoch für beliebige (reelle oder komplexe) Werte von v definiert, z.B.
über die Taylorreihe
Jv (x) =
∞
X
(−1)m
x
( )2m+v .
m!Γ(m + v + 1) 2
m=0
Wir kommen darauf nochmals zurück, wenn wir gefunden haben, welchen Wert
v, resp. α hier annimmt.
KAPITEL 2. WELLEN
2.10.5
108
Winkelfunktionen
Zur Lösung des Winkelanteils verwenden wir wiederum einen Faktorisierungsansatz:
Y (θ, ϕ) = P (θ)Q(ϕ).
Mit dem Winkelanteil des Laplace-Operators,
1 ∂
∂
1 ∂2
∆Ω =
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
wird somit aus Gleichung (2.10.3)
1 ∂
∂
1
(sin θ )
P Q sin θ ∂θ
∂θ
2
1 ∂
+
P Q = −α
sin2 θ ∂ϕ2
sin θ ∂
∂P
1 ∂ 2Q
(sin θ
)+
= −α sin2 θ.
P ∂θ
∂θ
Q ∂ϕ2
Die partielle Differenzialgleichung zerfällt somit in zwei Teile, die jeweils nur von
einer Variablen abhängig sind. Wir können sie somit zerlegen in zwei gewöhnliche
Differenzialgleichungen.
Wir betrachten zunächst den Teil, der nur von ϕ abhängt:
1 d2 Q
= −m2 ,
2
Q dϕ
mit −m2 als Separationskonstante. Die Lösung lautet
Q(ϕ) = e±imϕ .
Da Q eindeutig sein muss, d.h. invariant unter einer Rotation um 2π, Q(ϕ+2π) =
Q(ϕ), muss m eine ganze Zahl sein.
Der verbleibende Teil, der nur von θ abhängt, lautet
sin θ d
dP
(sin θ
) + α sin2 θ + m2 = 0.
P dθ
dθ
Wir setzen
α = l(l + 1)
2
und multiplizieren mit P/ sin θ. Dann wird
1 d
dP
m2
sin θ
+ l(l + 1) −
P = 0.
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
Wir schreiben jetzt x = cos θ. Damit wird
sin θ = −
dx
dθ
(2.10.5)
KAPITEL 2. WELLEN
und
109
d
d
= − sin θ
dθ
dx
1 d
d
=− .
sin θ dθ
dx
Speziell
dP
dP
= − sin θ
dθ
dx
dP
dP
dP
= − sin2 θ
= −(1 − x2 )
sin θ
dθ
dx
dx
1 d
dP
d
dP
sin θ
=
(1 − x2 )
.
sin θ dθ
dθ
dx
dx
Damit wird die Differenzialgleichung für P (x):
m2
d
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P =0 .
dx
dx
1 − x2
2.10.6
Legendre-Polynome
Wir betrachten zunächst den Fall m = 0: in diesem Fall fällt die Abhängigkeit
von ϕ weg, d.h. die Lösung ist invariant bezüglich Rotationen um die z-Achse.
Dann reduziert sich die Differenzialgleichung für P (x) auf
d
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1)P = 0.
dx
dx
Diese Gleichung wird als Legendre’sche Differenzialgleichung bezeichnet. Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung lautet
f (x) = A Pl (x) + B Ql (x)
mit den beiden linear unabhängigen Funktionen Pl (x) und Ql (x). Pl (x) bezeichnet man als Legendre-Polynome oder Legendre-Funktionen 1. Art und Ql (x) als
Legendre-Funktionen 2. Art.
Die Legendre-Polynome bilden auf dem Intervall [−1, 1] ein orthogonales Funktionensystem. Sie können geschrieben werden als
Pl (x) =
l
1 dl
x2 − 1 .
l
l
2 l! dx
Damit sind die ersten 6 Funktionen
P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1
P2 (x) =
(3x2 − 1)
2
1
P3 (x) =
(5x3 − 3x)
2
1
P4 (x) =
(35x4 − 30x2 + 3)
8
1
P5 (x) =
(63x5 − 70x3 + 15x).
8
KAPITEL 2. WELLEN
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110
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-425
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2
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"
Abbildung 2.102: Die ersten 6 Legendre-Polynome Pl (x).
Es gilt die Rekursionsformel
(l + 1)Pl+1 (x) = (2l + 1)xPl (x) − lPl−1 (x),
mit der Verankerung
P0 = 1,
P1 = x.
Die Legendre-Funktionen der zweiten Art Ql (x) erfüllen die gleichen Rekursionsrelationen, divergieren aber bei x = ±1 und sind deshalb keine physikalisch
sinnvolle Lösungsfunktionen.
*))5';;<51694"=->-8+4-9"602;=->-5+4-9;?68863,;/;//;@+2+340+5617368+A",B2
:92+&#&6/&#
Abbildung 2.103: Winkelanteile Pl (cos θ) für die axial symmetrischen Funktionen
mit m = 0.
Abb. 2.103 zeigt die entsprechenden Winkelfunktionen für m = 0, l = 0..4.
Wie bereits erwähnt sind die Legendre-Polynome orthogonal, d.h.
Z 1
2
Pl (x)Pl0 (x) dx =
δl,l0 .
2l + 1
−1
2.10.7
Zugeordnete Legendre-Polynome
Soweit haben wir nur den Fall m = 0, d.h. Lösungen mit azimutaler Symmetrie
untersucht. Der allgemeine Fall ist gegeben durch die Gleichung
d
m2
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P = 0.
(2.10.6)
dx
dx
1 − x2
KAPITEL 2. WELLEN
111
Man kann diesen auf ähnliche Art lösen. Die Lösungsfunktionen sind die sogenannten zugeordneten Legendre-Polynome Plm , welche von m und l abhängen.
Eine Schwierigkeit ist hier die Singularität bei x = ±1. Diese lässt sich über den
Ansatz
g(x) = (x2 − 1)β
eliminieren. Wir erhalten
d
2 dg
(1 − x )
dx
dx
d
= β
(1 − x2 )(x2 − 1)β−1 2x
dx
d 2
= −2β
(x − 1)β x
dx
2 2 2
= −4x β (x − 1)β−1 − 2β(x2 − 1)β .
Für l = 0 wird Gleichung (2.10.6)
−4x2 β 2 (x2 − 1)β−1 − 2β(x2 − 1)β + m2 (x2 − 1)β−1 = 0.
Nach Division durch (x2 − 1)
β−1
wird dies
−4x2 β 2 − 2β(x2 − 1) + m2 = 0.
Dies muss auch gelten bei x = ±1 und somit wird
β =
m
.
2
Die Konvergenz der Reihenentwicklung beschränkt die möglichen Werte von m
auf ganze Zahlen im Bereich −l ≤ m ≤ l. Wir gewinnen die Lösungen aus der
Verallgemeinerung der Formel von Rodriques
dm
Pl (x)
dxm
(−1)m
dl+m 2
2 m
2
=
(1
−
x
)
(x − 1)l .
2l l!
dxl+m
m
Plm (x) = (−1)m (1 − x2 ) 2
Da die Differenzialgleichung (2.10.6) nur von m2 abhängt, sind Pl−m (x) und Plm (x)
zueinander proportional
Pl−m (x) = (−1)m
(l − m)! m
P (x)
(l + m)! l
(2.10.7)
Für festes m sind die Polynome Plm orthogonal
Z
1
−1
dxPlm Plm
0 dx =
2 (l + m)!
δl,l0
2l + 1 (l − m)!
.
KAPITEL 2. WELLEN
112
Damit sind die ersten 6 Funktionen
P00 (cos θ) = P0 (cos θ) = 1
P10 (cos θ) = P1 (cos θ) = cos θ
P11 (cos θ) = − sin θ
1
P20 (cos θ) =
(3 cos2 θ − 1)
2
P21 (cos θ) = −3 cos θ sin θ
P22 (cos θ) = 3 sin2 θ.
2.10.8
Kugelflächenfunktionen
Wenn wir jetzt den azimutalen Anteil Q(ϕ) ebenfalls berücksichtigen, erhalten
wir die mit Ylm (θ, ϕ) bezeichneten Kugelflächenfunktionen
s
2l + 1 (l − m)! m
Pl (cos θ)eimϕ .
Ylm (θ, ϕ) =
4π (l + m)!
Aus (2.10.7) folgt sofort
∗
Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Ylm
(θ, ϕ).
Die ersten Kugelflächenfunktionen lauten:
1
Y00 (θ, ϕ) = √
4π
r
3
cos θ
Y10 (θ, ϕ) =
4π
r
3
Y1−1 (θ, ϕ) =
sin θe−iϕ
8π
r
3
Y11 (θ, ϕ) = −
sin θeiϕ .
8π
Abbildung 2.104: Kugelflächenfunktionen Ylm für l = 0, 1.
KAPITEL 2. WELLEN
113
Aus den drei Funktionen mit l = 1 können wir den Vektor im dreidimensionalen
Raum schreiben,
 
r  √1 (Y11 + Y1−1 ) 
x
2
 y  = r 4π  √1 (Y11 − Y1−1 ) 
i 2
3
z
Y10
erhalten. Die Tatsache, dass alle m zu festem l einen irreduziblen Unterraum der
SO(3) aufspannen, manifestiert sich hier sehr deutlich: die Kugelflächenfunktionen
für l = 1 transformieren sich wie ein Vektor. Auch ist klar, das ein Vektor unter
einer Rotation in einen Vektor überführt wird.
Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges, orthonormales Funktionensystem. Das Skalarprodukt
Z 2π
Z π
dϕ
sin θdθ Yl∗0 m0 (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) = δl,l0 δm,m0
0
0
zeigt die Orthonormierung, und die Vollständigkeitsrelation lautet
∞ X
l
X
∗
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
l=0 m=−l
0
= δ(ϕ − ϕ )δ(cos θ − cos θ0 ).
Nützlich sind noch die folgenden Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen:
• Für jedes l = 0, 1, 2, · · · gibt es genau 2l + 1 Werte für m: −l ≤ m ≤ l.
• Die Kugelflächenfunktionen bilden irreduzible Darstellungen der Drehgruppe SO(3). Die Zahl l charakterisiert die irreduzible Darstellung, die die
Dimensionalität 2l + 1 besitzt.
• Die Drehungen der SO(3) bilden eine Lie-Gruppe. Die irreduziblen Darstellungen sind (i) abzählbar und (ii) endlich dimensional.
• Die Kugelflächenfunktion spielen nicht nur hier eine entscheidende Rolle.
Sie werden z.B. in der Multipolentwicklung der E-Dynamik oder für das
Verständnis des Schalenaufbaus in der Atomphysik benötigt.
2.10.9
Sphärische Besselfunktionen
Wir betrachten jetzt nochmals den Radialteil der Lösungsfunktion,
1
F (r) = √ J±√α+1/4 (kr).
r
Da wir jetzt die Konstante α = l(l + 1) kennen (siehe Gl. (2.10.5)), erhalten wir
α+
1
1
1
= l2 + l + = (l + )2 ,
4
4
2
KAPITEL 2. WELLEN
114
so dass
1
F (r) = √ J±(l+1/2) (kr).
r
Da l eine ganze Zahl ist, ist somit die Ordnung der Besselfunktion halbganz.
Da diese Funktionen vor allem bei der Lösung von Differenzialgleichungen in
sphärischen Koordinaten auftreten heißen sie ‘sphärische Besselfunktionen’. Wir
schreiben dafür
pπ
jl (x)
= 2x
Jl+1/2 (x)
p
π
J−(l+1/2) (x) .
yl (x) = (−1)l+1 2x
Man kann sie schreiben als
n
1 d
sin x
jl (x) = (−x)
x dx
x
n
1 d
cos x
yl (x) = −(−x)n
.
x dx
x
n
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Spherical_Bessel_j_Functions_%28n%3D0%2C1%2C2%29.svg
1.00
4.1.11 20:54
j (x)
0
j1(x)
0.80
j2(x)
0.6
0.4
0.60
0.2
0.40
0.20
5
10
15
20
0.2
0.00
0.4
!0.20
!0.40
0
5
10
x
15
20
Abbildung 2.105: Die ersten 3 sphärischen Besselfunktionen der ersten Art jl (x).
Die ersten sphärischen Besselfunktionen 1. Art ergeben sich dann zu
sin x
x
sin x cos x
j1 (x) =
−
2
x
x
3
sin x
cos x
j2 (x) =
−1
−3 2
2
x
x
x
j0 (x) =
und die ersten sphärischen Besselfunktionen der zweiten Art
cos x
y0 (x) = −j−1 (x) = −
x
cos x sin x
y1 (x) = j−2 (x) = − 2 −
x
x
3
sin x
cos x
y2 (x) = −j−3 (x) =
− 2 +1
−3 2 .
x
x
x
Page 1 of 1
KAPITEL 2. WELLEN
115
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/Spherical_Bessel_y_Functions_%28n%3D0%2C1%2C2%29.svg
4.1.11 21:08
0.25
0.00
5
10
15
20
0.6
0.4
!0.25
0.2
!0.500.5
!0.75
!1.00 1.0
y0(x)
!1.25
y1(x)
y2(x)
!1.501.5
0
5
10
15
x
20
Abbildung 2.106: Die ersten 3 sphärischen Besselfunktionen der zweiten Art yl (x).
Diese divergieren bei r = 0 und spielen somit als Lösungsfunktionen für physikalisch relevante Probleme keine Rolle.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
12
0.2
0.4
Abbildung 2.107: Vergleich der Besselfunktion J0 (x) mit der sphärischen Besselfunktion j0 (x).
Wie die Besselfunktionen Jn (x) sind auch die sphärischen Besselfunktionen jn (x)
für kleine Werte von x proportional zu xn . Für größere Werte von x sind sie jedoch
deutlich unterschiedlich und haben insbesondere unterschiedliche Nullstellen, wie
in Abb. 2.107 gezeigt.
Die komplette Lösung der Wellengleichung in Kugelkoordinaten mit festem l, m
lautet damit
Page 1 of 1
1
u(t, r, θ, ϕ) = A cos(ωt + α0 ) √ J±(l+1/2) (kr)
r
Ylm (θ, ϕ).
2.10.10
Randbedingungen
Im Kugelresonator müssen wegen der Kontinuitätsgleichung die Ableitungen an
der Wand verschwinden. Die Dichteschwankung darf zwar endlich sein, aber ihre
Ableitung muss am Rand verschwinden. Wir fordern daher
~ · ~n|Rand = 0.
∇u
KAPITEL 2. WELLEN
116
Für einen Kugelresonator bedeutet dies, dass die radiale Ableitung bei R verschwinden muss,
dF = 0,
dr r=R
was äquivalent zu
d
j (x)r=R
dx l
= 0
ist. Für l = 0 erhalten wir
d sin x
dx x
cos x sin x
− 2 =0
x
x
⇒ tan x = x.
=
Auch hier finden wir, wie im 2D Fall viele Nullstellen. Die erste Nullstelle ist kurz
vor x = 3π/2, d.h.
3π
.
k1 x = k1 R ≈
2
Somit wird
3π
v 3π
k1 ≈
ωl1 = k1 v ≈
.
2R
R 2
Aufgrund der Periodizität von tan(x) findet man unendlich viele weitere Lösungen
und damit weitere kn mit entsprechenden Frequenzen √
ω0n .
l = 0 beschreibt einen isotrope Mode, da Y00 = 1/ 4π = const. Für l = 1
erhalten wir, wegen
P1 (cos ϑ) = cos ϑ
eine Mode, die einen Knoten am Äquator (ϑ = π/2) besitzt und entgegengesetzte
Polarität in der nördlichen und südlichen Halbkugel.
• Für ein fixes l gibt es abzählbar unendlich viele Lösungen für j l (x) = 0,
und damit unendliche viele Frequenzen ωln
• zu festen l, n sind die Eigenfrequenzen ωln 2l + 1-fach entartet.
2.10.11
Allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung des Kugelresonators lautet:
u(t, r, θ, ϕ) =
∞ X
∞ X
l
X
Anlm cos(ωl,n t + αl,n )
l=0 n=1 m=−l
×jl (kl,n r)Ylm (θ, ϕ).
Die Entwicklungskoeffizienten Anlm und αl,n erhalten wir aus den Anfangsbedingungen. Die diskreten Werte der Eigenfrequenzen ωl,n = vkl.m ergeben sich aus
den Randbedingungen. Jede der Eigenfrequenzen ωl,n ist 2l + 1-fach entartet, eine
KAPITEL 2. WELLEN
117
Konsequenz der Symmetrie der Drehgruppe. Für l = 0 erhalten wir für festes k
eine Kugelwelle für den Ortsanteil
sin kr
kr
1
=
eikr − e−ikr .
i kr
j0 (kr)Y00 (θ, ϕ) ∝
2.11
Wellenausbreitung
2.11.1
Der Dopplereffekt
Bewegen sich Quelle oder Beobachter relativ zum Medium, so unterscheiden sich
die ausgestrahlten und die gemessenen Frequenzen. Diesen Effekt bezeichnet man
als Dopplerverschiebung.
Exp.: I / 71: Dopplereffekt, akustisch
Der Effekt kann bei einem vorbeifahrenden Zug (vor allem einem pfeifenden)
beobachtet werden. Man kann ihn aber auch mit einem bewegten Lautsprecher
hörbar machen. Mit Radarwellen wird er zur Geschwindigkeitsmessungen verwendet.
Für die Herleitung betrachten wir zunächst die Periode T , die ein ruhender Beobachter misst, wenn eine Welle der Wellenlänge λ und Phasengeschwindigkeit
vp bei ihm eintrifft:
λ
T = .
vp
Für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit vB auf die Quelle zu
bewegt, beträgt die Geschwindigkeit der Welle scheinbar vp + vB . Damit wird die
Periode verkürzt auf
λ
.
TB =
vp + vB
vB stellt hier die Geschwindigkeitskomponente des Beobachters in Richtung auf
die Quelle dar; tangentiale Komponenten zählen nicht. Die Wellenlänge wird bestimmt durch die Frequenz, mit der die Wellen erzeugt werden, und die Phasengeschwindigkeit
vp
λ = vP TQ =
.
νQ
Damit ist
νB =
1
vp + vB
= νQ
.
TB
vp
Offenbar ist die Frequenz, die der Beobachter misst, gegenüber der ausgestrahlten Frequenz höher um das Verhältnis der Geschwindigkeit des Beobachters gegenüber der Schallgeschwindigkeit:
vB
νB = νQ 1 ±
.
vp
KAPITEL 2. WELLEN
118
Abbildung 2.108: Dopplereffekt bei bewegter Quelle
Das + Zeichen bezieht sich auf den Fall, wo der Beobachter sich in Richtung auf
die Quelle zu bewegt, das - Zeichen auf den entgegengesetzten Fall.
Bewegt sich statt dem Beobachter die Quelle, so wird in Bewegungsrichtung der
Abstand zwischen den Wellenflächen kleiner, auf der anderen Seite größer. Die
einzelnen Kreiswellen markieren, wie weit sich die Welle in den letzten n Perioden
ausgebreitet haben. Wir nehmen an, dass ein ruhender Beobachter sich in Bewegungsrichtung (rechts im Bild) befindet. Die Wellenlänge, die er sieht, verringert
sich um vQ TQ :
λ = λ0 − vQ TQ .
Mit λ0 = vp /νQ wird
νB =
vp
vp
νQ
vp
=
=
=
v .
λ
λ0 − vQ TQ
vp /νQ − vQ /νQ
1 − vQp
Für den Fall, dass die Quelle sich vom Beobachter entfernt, muss das - Zeichen
durch ein + ersetzt werden. Offenbar unterscheiden sich somit die beiden Fälle
wo sich Beobachter, resp. Quelle bewegen. Der Unterschied ist allerdings gering,
so lange die Geschwindigkeit klein ist im Vergleich zur Phasengeschwindigkeit im
betreffenden Medium. Bewegen sich beide, so kann man die beiden Ausdrücke
kombinieren:
1 + vvBp
vp + vB
νB = νQ
.
vQ = νQ
vp − vQ
1 − vp
2.11.2
Überschallgeschwindigkeit
Die Wellenlänge
λ = λ0 − vQ TQ = vp TQ − vQ TQ = (vp − vQ )TQ
kann offenbar auch Null werden, wenn die Geschwindigkeit der Quelle gleich der
Phasengeschwindigkeit der Welle wird. Dies entspricht dem Fall dass die Quelle
sich mit der emittierten Welle mitbewegt. Für den Fall einer Schallwelle entspricht
dies einer Bewegung der Quelle mit Schallgeschwindigkeit.
Bewegt sich die Quelle schneller als mit Schallgeschwindigkeit, so bilden die Wellen einen Kegel, der als Mach’scher Kegel bezeichnet wird. Wir können dessen
Öffnungswinkel berechnen, indem wir berücksichtigen, dass alle Kugelwellen den
KAPITEL 2. WELLEN
119
Kugelwelle
Mach’scher Kegel
Abbildung 2.109: Dopplereffekt für bewegte Quelle beim Erreichen und
Überschreiten der Schallgeschwindigkeit.
Kegel berühren. Befindet sich die Quelle zur Zeit t = 0 bei A und zur Zeit t bei
B, hat sie die Strecke
AQ = vQ t
zurückgelegt, während die Schallwelle die Strecke
AB = vp t
zurückgelegt hat. Somit ist der halbe Öffnungswinkel gegeben als
sin α =
vp
1
vp t
=
.
=
vQ t
vQ
Ma
Abbildung 2.110: Sichtbarmachung des Durchbrechens der “Schallmauer”.
Die Zahl M a, das Verhältnis der Geschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit, wird
als Mach’sche Zahl bezeichnet. Dies kann man z.B. in der Wellenwanne sichtbar
machen. Bei Flugzeugen wird der Mach’sche Kegel als Überschallknall hörbar,
z.T. aber auch sichtbar. In diesem Beispiel kann man den Mach’schen Kegel
sehen, da die Druckänderung zu einer Kondensation von Wasserdampf führt.
2.11.3
Dopplereffekt elektromagnetischer Wellen
Auch bei elektromagnetischen Wellen findet man einen Dopplereffekt. Bewegt
sich die Quelle in Richtung auf den Beobachter zu, so erscheinen die Wellenlängen
KAPITEL 2. WELLEN
120
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Redshift_blueshift.svg
7.1.11 5:16
Abbildung 2.111: Dopplereffekt für elektromagnetische Wellen.
verkürzt. Weil die kurzwelligen Teile des sichtbaren Spektrums blau sind, spricht
man von einer Blauverschiebung. Bewegt sich die Quelle von uns weg, so wird die
Wellenlänge vergrößert - man spricht von ‘Rotverschiebung’.
Dieser Effekt wird einerseits verwendet, um die Geschwindigkeit von Fahrzeugen
mit Hilfe von reflektierten Radarstrahlen zu bestimmen. In der Astronomie misst
man damit die Geschwindigkeit von Sternen und Galaxien. So hat man über die
periodische Rot-/Blau Verschiebung von Sternen viele extraterrestrische Planeten
entdeckt: deren Bewegung um ihren Mutterstern führt dazu, dass dieser sich
periodisch auf die Erde zu-, resp. davon weg bewegt.
Page 1 of 1
Abbildung 2.112: Dopplereffekt auf Grund der Rotation einer Galaxis.
Die Rotverschiebung erlaubt auch die Messung der Rotation einer Galaxis, indem
man sie an unterschiedlichen Punkten misst. Misst man die mittlere Rotverschiebung einer Galaxis, so stellt man fest, dass sich fast alle Galaxien von der Erde
entfernen, mit einer Geschwindigkeit, welche proportional ist zur Entfernung von
der Erde. Somit dehnt sich das Universum aus.
Da sich elektromagnetische Wellen nicht in einem Medium ausbreiten, spielt es
keine Rolle, ob sich die Quelle auf den Betrachter zubewegt oder der Betrachter
auf die Quelle zu. Nur die Relativbewegung ist relevant. Im Allgemeinen können
sich auch Quellen nicht schneller als das Licht bewegen.
Eine Ausnahme ist die Cerenkov-Strahlung: sie entsteht dann, wenn sich ein massives Teilchen mit einer Geschwindigkeit nahe der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
durch ein Medium bewegt, in dem die Lichtgeschwindigkeit geringer ist als die
Teilchengeschwindigkeit.
KAPITEL 2. WELLEN
121
Abbildung 2.113: Cerenkov-Strahlung.
2.11.4
Energietransport
Schwingende Systeme enthalten Energie. Die Energie, die von einer Schallwelle
oder einer seismischen Welle transportiert wird, hatten wir bereits im Abschnitt
2.9.9 diskutiert.
Abbildung 2.114: Energie aus einer akustischen Welle zerstört ein Glas.
Diese Tatsache kann man z.B. verifizieren, indem man mit Hilfe einer Schallwelle
Energie auf ein Glas überträgt und dieses dadurch zerstört. In diesem Fall ist die
Energie in der Form von Druckschwankungen gespeichert:
1 ∆p20
.
I=
2 Z
Die akustische Welle überträgt diese Energie auf die Eigenschwingungen des
Glases, sofern die Schallfrequenz eine Resonanzfrequenz des Glases trifft. Energieübertragung ist immer eine notwendige Voraussetzung für die Übertragung von
Information, sowohl bei Schallwellen, wie auch bei elektromagnetischen Wellen.
Das gleiche gilt für elektromagnetische Wellen: Die Energiedichte des Sonnenlichts
oberhalb der Erdatmosphäre beträgt 1367 W/m2 . Bei einem Erdradius von 6371
km ergibt dies eine integrierte Leistung von 1.74 · 1017 W. Diese Energie ist in den
elektrischen und magnetischen Feldern der Welle gespeichert: die Energiedichte ist
gegeben durch die Summe über die elektrische und die magnetische Energiedichte,
1 ~ ~
~
~
w=
E·D+H ·B .
2
KAPITEL 2. WELLEN
122
Trifft die Welle auf eine Ladung, so kann sie daran Arbeit verrichten:
dA
~ + q~v × B
~ .
= ~v · F~ = ~v · q E
dt
Hier stellt ~v die Geschwindigkeit des geladenen Teilchens dar. Da der zweite Term
in der Klammer senkrecht steht auf der Geschwindigkeit, lässt er die Energie des
Teilchens invariant und braucht nicht weiter berücksichtigt zu werden. Es bleibt
dA
~
= q ~v · E.
dt
Hier stellt q~v offenbar einen Strom dar.
Wir gehen nun über zum kontinuierlichen Fall und ersetzen q~v durch die Stromdichte ~j. Wir können die Stromdichte durch die Felder ausdrücken, indem wir die
Maxwell Gleichung
~ ×H
~ − ∂D
~
~j = ∇
∂t
benutzen, und erhalten
ZZZ
dA
~
=
d3 r ~j · E
dt
ZZZ
∂
3
~ ×H
~ − D
~ .
~ ∇
=
d r ·E
∂t
Wir benutzen die allgemeine Beziehung
~· ∇
~ ×H
~ =H
~ · ∇
~ ×E
~ −∇
~ · E
~ ×H
~
E
aus der Vektoranalysis und erhalten
ZZZ
dA
~ · ∇
~ ×E
~
=
d3 r · H
dt
~ · E
~ ×H
~ −E
~ · ∂ D.
~
−∇
∂t
Gemäß den Maxwell Gleichungen ist
~
~ ×E
~ = − ∂B .
∇
∂t
Somit stellt der erste Term die Änderung der Energiedichte des magnetischen Feldes dar, der letzte Term entsprechend für das elektrische Feld. Die Energiebilanz
enthält jetzt also einerseits die Änderung der mechanischen Energie, andererseits
die Änderung der lokalen Feldenergie.
KAPITEL 2. WELLEN
2.11.5
123
Lokale Energieflussdichte
Aufgrund der oben dargelegten Überlegung zur Energiebilanz würden wir erwarten, dass zusätzlich auch Energie durch die Bewegung der elektromagnetischen
Welle aus dem betrachteten Volumen entfernt werden
kann.
Dies wird durch den
~
~
~
mittleren Term beschrieben. Dieser Term ∇ · E × H ist die Divergenz eines
Vektorfeldes. Er hat somit die korrekte mathematische Form, um den Transport
~ ×H
~
von elektromagnetischer Feldenergie zu beschreiben. Das Kreuzprodukt E
stellt die Energieflussdichte dar. Diese Beziehung wurde erstmals von Poynting
hergeleitet. Man bezeichnet deshalb den Vektor
~=E
~ ×H
~
S
als den Poyntingvektor. Dieser besitzt offenbar die Einheit
W
VA
= 2,
mm
m
d.h. die Einheit einer Energiedichte. Seine Richtung gibt die Ausbreitungsrichtung
der Energie an.
Dass dieser Term den Energiefluss beschreibt, wird noch etwas deutlicher, wenn
wir ihn mit Hilfe des Satzes von Gauß umformen: das Volumenintegral einer
Divergenz ist gleich dem Oberflächenintegral des entsprechenden Vektorfeldes,
also dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche:
ZZ
ZZZ
3 ~
~
~
d2 r ~n · S.
d r∇·S =
~ =
[S]
O
V
Dieser Term fasst somit den Energiefluss durch die Oberfläche des betrachteten
Volumens zusammen.
Aufgrund der Energieerhaltung muss die mechanische Leistung an der bewegten
Ladung gleich der Abnahme pro Zeiteinheit der elektromagnetischen Feldenergie
sein:
ZZZ
i
1 ∂ h~ ~
dA
~ ·D
~
= −
d3 r
· H ·B+E
dt
2 ∂t
ZZ
~
−
d2 r ~n · S.
O
Da das Volumen in dieser Bilanzgleichung beliebig ist, können wir sie auch in differenzieller Form schreiben. Für den Fall, dass die geleistete Arbeit verschwindet,
gilt dann
∂w ~ ~
+ ∇ · S = 0.
∂t
An jedem Punkt des Raumes muss die Änderung der Feldenergie dem Zufluss an
Energie entsprechen. Dies stellt eine lokale Form der Energieerhaltung dar und
geht somit weiter als die globale Energieerhaltung: Energie muss nicht nur im
Gesamtsystem erhalten bleiben, sondern an jedem einzelnen Punkt des Raumes.
Für die Herleitung dieser Gleichung haben wir lediglich die Maxwell Gleichungen
verwendet. Das bedeutet, dass die Maxwell Gleichungen lokale Energieerhaltung
implizieren.
KAPITEL 2. WELLEN
2.11.6
124
Impulsdichte
Abbildung 2.115: Kraft einer elektromagnetischen Welle auf eine Ladung q.
In ähnlicher Weise kann man sich auch plausibel machen, dass eine elektromagnetische Welle Impuls transportiert. Trifft eine solche Welle auf eine Ladung q,
so wirkt darauf eine Kraft
~
F~el = q E.
Dadurch beschleunigt das Teilchen und erhält eine Geschwindigkeit ~v in Richtung
des E-Feldes. Nach einer Zeit t ist somit seine Geschwindigkeit
~v =
q ~
tE,
m
falls es vorher in Ruhe war. Aufgrund der Bewegung wirkt darauf jetzt eine
Lorenz-Kraft
2
~ × B.
~
~ = q tE
F~mag = q~v × B
m
Elektromagnetische Strahlung kann somit auch Impuls auf Materie übertragen.
Die Impulsdichte ist
~ ×B
~ = 0 µ0 E
~ ×H
~ = 1 S.
~
p~F eld = D
c2
Die resultierende Kraft ist für typische Lichtintensitäten und makroskopische
Körper verschwindend gering. Verwendet man jedoch einen intensiven Laser und
kleine Teilchen, so reicht die resultierende Kraft, um die Teilchen mechanisch zu
bewegen. Dies verwendet man in den sogenannten Laserpinzetten.
Abbildung 2.116: Laserpinzette. Links ist das Prinzip dargestellt, auf der rechten
Seite als Beispiel einer Anwendung die mechanische Prüfung von Zellen.
KAPITEL 2. WELLEN
125
Abb. 2.116 zeigt auf der linken Seite das Prinzip: Ein Laserstrahl wird in das
festzuhaltende Teilchen fokussiert. Die Ablenkung des Laserlichtes auf Grund der
Brechung am Teilchen führt zu einer Impulsänderung des Lichtes, welche durch
eine entsprechende Impulsänderung des Teilchens kompensiert werden muss. Dieser Impulsübertrag entspricht einer Kraft, welche das Teilchen in den Fokus des
Laserstrahls treibt.
2.11.7
Wellengruppen
Ebene Welle
Informationsübertragung : Wellengruppen
Abbildung 2.117: Ebene Welle und Wellengruppen.
Harmonische Wellen
y = y0 cos(ωt − kx + ϕ)
sind räumlich und zeitlich unendlich ausgedehnt. Damit ist auch die Energiedichte
der Welle überall gleich. Reale Wellen sind jedoch immer endlich, und wenn mit
Hilfe von Wellen z.B. Information übertragen wird, müssen sie moduliert werden:
man bildet Pulse oder begrenzte Wellenzüge. Man kann diese als Überlagerung
von mehreren harmonischen Wellen darstellen.
0
5
Abbildung 2.118: Überlagerung von 2 Wellenzügen.
Als einfaches Modell addieren wir zunächst zwei Wellen mit gleicher Amplitude,
vergleichbarer Frequenz und vergleichbarem Wellenvektor:
y = cos(ω1 t − k1 x) + cos(ω2 t − k2 x).
Mit Hilfe der trigonometrischen Formel
cos α + cos β = 2 cos
α+β
α−β
cos
2
2
KAPITEL 2. WELLEN
126
schreiben wir dies als
ω1 + ω2
k1 + k2
y = 2 cos
t−
x
2
2
ω1 − ω2
k1 − k2
· cos
t−
x
2
2
= 2 cos(ωt − kx) cos(∆ωt − ∆kx),
wobei
ω=
ω1 + ω2
2
k=
(2.11.1)
k1 + k2
2
und
ω1 − ω2
k1 − k2
∆k =
.
2
2
Der erste Faktor in Gl. (2.11.1) stellt eine laufende Welle dar, wobei Frequenz
und Wellenvektor dem Durchschnittswert der beiden Teilwellen entsprechen. Der
zweite Faktor stellt eine Einhüllende, d.h. eine Modulation dar, dessen Frequenz
und Wellenvektor durch die Differenz der beiden Teilwellen gegeben sind.
Die Energiedichte ist proportional zum Quadrat der Amplitude; sie verschwindet
deshalb dort, wo die Einhüllende einen Nulldurchgang aufweist. Der Energietransport erfolgt mit der Geschwindigkeit der Einhüllenden, nicht mit der Phasengeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit der Einhüllenden wird als Gruppengeschwindigkeit bezeichnet. Sie beträgt offenbar
∆ω =
vG =
dω
∆ω
=
.
∆k
dk
Die infinitesimale Schreibweise ist vor allem für eine Wellengruppe aus einer kontinuierlichen Verteilung von Wellen sinnvoll.
2.11.8
Dispersion
vG
vP
Abbildung 2.119: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit bei einer Wellengruppe.
Die Gruppengeschwindigkeit stellt die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Wellengruppe dar, resp. deren Einhüllenden. Mit der Gruppengeschwindigkeit werden
KAPITEL 2. WELLEN
127
Energie und Information transportiert. Wir können die Gruppengeschwindigkeit
auch anders ausdrücken:
vG =
dω
d
d
=
(vP k) = vP + k vP .
dk
dk
dk
Die Gruppengeschwindigkeit weicht somit dann von der Phasengeschwindigkeit
ab, wenn diese vom Wellenvektor abhängt. Alternativ können wir dies auch als
Funktion der Wellenlänge schreiben. Mit
dk = d
2π
2π
= − 2 dλ
λ
λ
erhalten wir
2π λ2 dvP
dvP
= vP − λ
.
(2.11.2)
λ 2π dλ
dλ
Der Effekt, dass die Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge, resp. dem Wellenvektor abhängt, wird als Dispersion bezeichnet. Ein Beispiel für Dispersion
haben wir im Fall der linearen Kette kennengelernt, wo die Frequenz proportional zum Sinus des Wellenvektors ist,
r C ka sin .
ω=2
m
2
vG = vP −
Aus dieser Dispersionsrelation folgt, dass nur für kleine Wellenvektoren die Frequenz proportional zur Wellenzahl und damit die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ähnlich groß sind. Wenn hingegen ka = π, d.h. k = π/a, dann
dω
→ 0,
dk
verschwindet die Gruppengeschwindigkeit, d.h. es wird keine Energie mehr übertragen.
Man unterscheidet zwischen ‘normaler Dispersion’ und ‘anormaler Dispersion’, je
nachdem, ob die Phasengeschwindigkeit mit der Wellenlänge zu- oder abnimmt:
Normale Dispersion
Anomale Dispersion
keine Dispersion
dvP
dλ
dvP
dk
¿0
¡0
=0
¡0
¿0
=0
Bei normaler Dispersion ist gemäß Gleichung (2.11.2) die Gruppengeschwindigkeit kleiner als die Phasengeschwindigkeit, bei anomaler Dispersion größer und
bei verschwindender Dispersion gleich.
Ein zweites Beispiel hatten wir beim Hohlleiter für elektromagnetische Wellen diskutiert: Dort ging die Gruppengeschwindigkeit für kleine Wellenvektoren gegen 0,
während die Phasengeschwindigkeit größer war als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit
c.
KAPITEL 2. WELLEN
2.12
Wärmeleitung und Diffusion
2.12.1
Phänomenologie
128
Zum Abschluss des Kapitels “Wellen” betrachten wir die Ausbreitung von Wärme
und Stoffen. Wie wir sehen werden ist dies keine Welle, sondern ihre Ausbreitung
erfolgt qualitativ anders. Wir behandeln es trotzdem in diesem Kapitel weil die
mathematischen Hilfsmittel fast die gleichen sind und auch die Bewegungsgleichungen fast identisch, mit einem kleinen Unterschied.
Wärme ist ungeordnete Molekülbewegung: die Moleküle bewegen sich translatorisch wie auch rotatorisch und enthalten deshalb Energie. Diese Energie wird als
Wärmeenergie gemessen und kann auch zwischen Molekülen oder über längere
Distanzen übertragen werden. Die Gesetze dieser Übertragung gelten auch für
viele andere Vorgänge.
Abbildung 2.120: Wärmeleitung.
Wärmeenergie kann durch Strahlung, Leitung oder Strömung (Konvektion) transportiert werden. Wärmestrahlung ist elektromagnetischer Natur wie das Licht. Sie
ermöglicht die Abgabe von Wärme auch ins Vakuum. Diese Abgabe ist nur von
der Temperatur des strahlenden Körpers abhängig, aber für die Energiebilanz ist
auch die Rückstrahlung der Umgebung wichtig.
Wärmeströmung setzt makroskopische Bewegungen in der Flüssigkeit oder dem
Gas voraus, deren Wärmeinhalt so an andere Stellen transportiert wird. Wärmeleitung erfolgt nur in Materie, ist aber nicht mit deren makroskopischer Bewegung
verbunden, sondern nur mit Energieübertragung durch Stöße.
Wärmetransport tritt dann auf, wenn die Temperatur nicht homogen ist. Er ist
so gerichtet, dass er zu einer Verringerung des Temperaturgefälles führt. Dabei werden wir zwischen stationären und nichtstationären Problemen unterscheiden. Stationäre Probleme werden durch inhomogene Randbedingungen charakterisiert, nichtstationäre durch eine inhomogene Anfangsbedingung. Inhomogene Randbedingungen können durch Wärmequellen wie z. B. Heizdrähte erzeugt
werden. Negative Wärmequellen oder Senken sind Stellen, wo Wärme in andere
Energieformen überführt wird, z. B. in chemische Energie, Verdampfungs- oder
Schmelzenergie. Zwischen Quellen und Senken kann sich dann eine stationäre
Temperaturverteilung einstellen.
KAPITEL 2. WELLEN
2.12.2
129
Wärmeleitung
Besteht eine inhomogene Temperaturverteilung, so führt die Wärmeleitung zu
einem Ausgleich der Temperatur. Dabei wird Wärmeenergie aus dem Bereich
höherer Temperatur in den Bereich tieferer Temperatur übertragen.
Die Übertragung von Wärme kann quantifiziert werden durch die Wärmestromdichte ~j. Sie beschreibt die Menge an Wärmeenergie, die pro Zeiteinheit durch
ein Flächenelement dA fließt und hat demnach die Einheit
W
[~j] = 2 .
m
Betrag und Richtung der Wärmestromdichte ~j sind dabei durch den Gradienten
der Temperatur gegeben,
~
~j = −λ∇T.
(2.12.1)
Die Wärmeleitfähigkeit λ ist eine temperaturabhängige Stoffkonstante und hat
die Einheit
W
.
[λ] =
K·m
Stoff
Silber
Kupfer
Quarzglas
Luft
Wasser
T [◦ C]
0
50
50
0
0
λ [W/(m·K)]
420
390
1.4
0.024
0.54
Tabelle 2.6: Wärmeleitfähigkeit verschiedener Stoffe.
Allgemein sind Metalle gute Wärmeleiter, wobei der Wärmeleitkoeffizient stark
mit der elektrischen Leitfähigkeit korreliert. Elektrische Isolatoren wie z.B. Glas
leiten um mehrere Größenordnungen schlechter, und Gase nochmals deutlich
schlechter.
l
!$
!"
#
Abbildung 2.121: Wärme wird über einen Stab zwischen 2 Wärmereservoiren
übertragen.
Wir betrachten als einfaches Beispiel die Wärmeleitung entlang eines Stabes mit
Querschnitt A und Länge `. In diesem Fall ist die Wärmeleistung
P = jA = Aλ
T1 − T2
,
`
KAPITEL 2. WELLEN
130
also proportional zum Querschnitt des Stabes und zur Temperaturdifferenz, sowie
indirekt proportional zur Länge.
Temperatur
Wärmestrom
Ort
Abbildung 2.122: Abhängigkeit des Wärmestroms von der Temperaturverteilung.
Der Wärmestrom zeigt dabei immer in Richtung der sinkenden Temperatur und
nimmt mit zunehmender Steilheit der Temperaturverteilung zu.
2.12.3
Wärmeleitungsgleichung
Da Energie eine Erhaltungsgröße ist, gilt für die Übertragung von Energie eine Kontinuitätsgleichung. Wärme ist im Allgemeinen keine Erhaltungsgröße, da
sie in andere Energieformen umgewandelt, resp. daraus erzeugt werden kann.
Wir beschränken uns hier jedoch auf Systeme, in denen keine solchen Umwandlungsprozesse stattfinden, so dass wir auch für die Wärmeenergie eine Kontinuitätsgleichung aufstellen können: strömt mehr Energie in ein Volumenelement
hinein als hinaus, so ändert sich die darin enthaltene Wärmeenergie und damit
seine Temperatur:
~ · ~j dV = − ∂Q .
∇
∂t
Hier stellt dQ die im Volumenelement dV enthaltene Wärmeenergie dar. Mit Hilfe
der Wärmekapazität
dQ
= ρc dV
c=
dT
können wir dies schreiben als
~ · ~j = − ∂Q 1 ∂T = −ρc ∂T .
∇
∂T dV ∂t
∂t
Mit Hilfe von Gleichung (2.12.1) für die Wärmestromdichte erhalten wir daraus
die allgemeine Wärmeleitungsgleichung
∂T
λ~ ~
= ∇
· ∇T = Dw ∆T.
∂t
ρc
Hier bezeichnet
Dw =
den Wärmeleitungskoeffizienten.
λ
ρc
(2.12.2)
131
Temperatur
KAPITEL 2. WELLEN
Ort
Abbildung 2.123: Abhängigkeit der Temperaturänderung von der Temperaturverteilung.
Die Wärmeleitungsgleichung (2.12.2) sagt, dass die Temperaturänderung proportional zur Krümmung der Temperaturverteilung ist. Die Temperatur steigt
somit in Bereichen mit positiver Krümmung und sinkt in Bereichen negativer
Krümmung. Dies entspricht den Erwartungen aus der Kontinuitätsbedingung: in
Bereichen positiver Krümmung fließt mehr Wärme hinein als hinaus und umgekehrt in Bereichen negativer Krümmung. Dies führt dazu, dass die Krümmungen
reduziert werden. Im stationären Fall wird die Temperaturverteilung bei einem
eindimensionalen System linear.
Die Wärmeleitungsgleichung sieht formal ähnlich aus wie eine Wellengleichung.
Im Gegensatz dazu steht jedoch auf der linken Seite die erste statt der zweiten Ableitung nach der Zeit. Dieser Unterschied führen zu einem völlig anderen
Verhalten:
• Sowohl im Ortsraum wie im Zeitraum ist die Ausbreitung einer Störung
nicht oszillatorisch, sondern monoton.
• Bei der Wärmeleitung gibt es keine Ausbreitungsfront oder Ausbreitungsgeschwindigkeit.
• Bei der Wärmeleitung hat die Zeit eine Richtung: Alle Systeme bewegen
sich in Richtung auf einen Gleichgewichtszustand, in dem die Temperatur
möglichst gleichförmig verteilt ist.
2.12.4
Wärmeleitung in 1D
Ein effektiv eindimensionales System erhält man auch bei der Diskussion des
Wärmetransfers durch eine Wand. Dabei reduziert sich die Wärmeleitungsgleichung
zu
λ ∂ 2T
∂T
=
.
(2.12.3)
∂t
ρc ∂x2
Die stationäre Lösung,
∂T
λ ∂ 2T
=0=
,
∂t
ρc ∂x2
erhält man z.B. durch zweimalige Integration:
Tst (x, t) = A + Bx.
KAPITEL 2. WELLEN
132
Abbildung 2.124: Wärmeleitung durch Mauer als 1D Problem.
Die beiden Konstanten bestimmen wir aus den Randbedingungen:
A = Tst (0, t) = T1
und
Tst (L, t) = T2 = T1 + BL
→
B=
T2 − T1
.
L
Somit ist die Temperaturverteilung linear,
Tst (x, t) = T1 +
T2 − T1
x.
L
Bei der Wärmeleitung wird eine thermische Leistung
P = kA(T1 − T2 )
zwischen den beiden Enden übertragen. Die Temperaturdifferenz ist die treibende
Kraft, P stellt den Wärmestrom dar. Die Proportionalitätskonstante kA stellt somit einen Leitwert dar, den Wärmeleitwert. Sein Kehrwert ist der Wärmewiderstand
1/kA. Er kann wie ein elektrischer Widerstand behandelt werden. So addieren sich
Wärmewiderstände von hintereinander geschalteten Hindernissen.
2.12.5
Zeitabhängigkeit
Die allgemeine Lösung der Gleichung erhält man durch Trennung der Variablen:
T (x, t) = X(x)Y (t).
Einsetzen in die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung (2.12.3) ergibt
X
λ ∂ 2X
∂Y
= Y
.
∂t
ρc ∂x2
Wir dividieren durch λXY /ρc :
ρc ∂Y
1 ∂ 2X
=
= −α2 ,
λY ∂t
X ∂x2
mit −α2 als Separationskonstante. Für die Zeitabhängigkeit lautet die Gleichung
damit
∂Y
λ
= −α2 Y
∂t
ρc
KAPITEL 2. WELLEN
133
und die Lösung
Y (t) = Y (0)e−tα
2 λ/ρ
c
.
Die rechte Seite ist identisch zur Wellengleichung und kann somit über den Ansatz
X(x) = B cos(αx) + C sin(αx)
gelöst werden.
Wir wählen Randbedingungen T (0, t) = 0 = T (L, t). Daraus folgt, dass B = 0
und α = nπ/L mit n ganzzahlig. Somit wird die allgemeine Lösung
∞
X
T (x, t) =
cn sin
nπx n=1
L
e−t/τn .
Die Zeitkonstante für die einzelnen Moden ist
τn =
ρc
ρc L2
=
,
λα2
λn2 π 2
d.h. die Zerfallsrate einer Mode wächst ∝ n2 .
Jede dieser Moden entspricht einem Punkt mit Koordinate n im reziproken Raum,
und jede Mode zerfällt unabhängig von den anderen. Wir können deshalb die
Wärmeleitungsgleichung lösen, indem wir die anfängliche Temperaturverteilung
Fourier-transformieren, im reziproken Raum mit e−t/τn multiplizieren und zurück
transformieren. Die Lösung lautet somit
∞
X
T (x, t) =
Dn sin
nπx n=1
mit
2
Dn =
L
Z
L
T (x, 0) sin
0
L
e−t/τn
nπx L
dx.
Temperatur
Als einfaches Beispiel betrachten wir die homogene Wärmeleitungsgleichung auf
einem unendlich langen Stab, L → ∞ und einer Anfangsbedingung T (x, 0) =
δ(0).
Ort
Abbildung 2.125: Lösung der Wärmeleitungsgleichung in 1D für T (x; t = 0) =
δ(0).
KAPITEL 2. WELLEN
134
Dann entspricht die Temperaturverteilung zu jedem späteren Zeitpunkt einer
Gauß-Funktion
r
Q
ρc −(x2 ρc /4λt)
T (x, t) = √
e
ρc π4t λ
mit Breite
s
dhbhh (t) = 2 t ln(2)
λ
.
ρc
Hier bezeichnet Q die zum Zeitpunkt t = 0 eingetragene Wärmemenge.
Obwohl bei der Wärmeleitung keine Wellenfront definiert werden kann, ist es
doch sinnvoll, eine Diffusionslänge zu definieren. Man verwendet dafür
s
p
λ
`D = 2 Dw t = 2 t .
ρc
Die Distanz wächst somit nicht linear mit der Zeit, wie bei Massenpunkten und
Wellen, sondern mit der Wurzel daraus.
2.12.6
Wärmeleitung in 2D
Der Ortsteil der Wärmeleitungsgleichung ist identisch zur Wellengleichung,
∆T = −α2 .
Somit kennen wir die relevanten Lösungsfunktionen bereits aus der Diskussion
der Wellengleichung. In 2 Dimensionen können wir bei kreisförmigen Randbedingungen somit die Besselfunktionen verwenden, um die Lösung darzustellen.
Der stationäre Fall der Wärmeleitungsgleichung
∆T = 0
wird als Laplace-Gleichung bezeichnet. Die Lösungen sind die harmonischen Funktionen.
y
y
x
x
Abbildung 2.126: Stationäre Temperaturverteilung auf einem Ring.
Abb. 2.126 zeigt als Beispiel die stationäre Temperaturverteilung auf einem Ring
für die Randbedingungen T (r = 2) = 0 und T (r = 4) = 4 sin(5ϕ).
KAPITEL 2. WELLEN
2.12.7
135
Wärmeleitung in 3D
Auch in drei Dimensionen können wir für die Lösung der Wärmeleitungsgleichung
∂T
= Dw ∆T
∂t
auf die Diskussion der Wellengleichung zurückgreifen. Bei einem Separationsansatz
T (~r, t) = R(~r) Q(t)
wird die Wärmeleitungsgleichung zu
Dw
1 ∂Q
=
∆R = −a
Q ∂t
R
mit a als Separationskonstante. Der Zeitanteil hat somit die Lösung
Q(t) = Q(0)e−at
und für den Raumanteil erhalten wir die Helmholtz-Gleichung (2.10.1), die wir
bereits im Abschnitt 2.10 (Hohlraumresonatoren) diskutiert haben. Hier hat sie
die Form
a
∆R(~r) +
R(~r) = 0.
Dw
Wir diskutieren hier deshalb keine spezifischen Lösungen, sondern stellen noch
einige qualitative Überlegungen zur Wärmeleitung an.
Wenn z. B. ein würfelförmiger Bereich der Kantenlänge d um T kälter ist als seine
Umgebung, herrscht an seinen Rändern ein T -Gefälle von der Größenordnung
T /d, das einen Wärmestrom
P = Aλ
T
≈ λT d
d
hervorruft. Dieser gleicht das Energiedefizit E ≈ d3 ρc T in der Zeit
τ≈
E
ρc
≈ d2
P
λ
aus. Diese Zeitkonstante bezeichnet man als thermische Relaxationszeit. Sie skaliert somit mit der Oberfläche des Würfels.
Für die Berechnung der stationären Temperaturverteilung
1 ∂T
= 0 = ∆T
Dw ∂t
müssen wir exakt die gleiche Gleichung (die Laplace-Gleichung) lösen, wie z.B.
in der Elektrostatik. Auch bei der Wärmeleitung kann das Problem Quellen oder
Senken enthalten. Quellen sind z.B. Heizungen, ein Beispiel für eine Senke ist
verdunstendes Wasser. Existieren Quellen, so wird die Laplace-Gleichung zu
∆T = −
η(~r)
.
λ
KAPITEL 2. WELLEN
136
Hier bezeichnet η(~r) die Wärmequelldichte, d.h. die Wärmeerzeugung pro Volumen, welche lokal einen Beitrag
Ṫη =
1
η
ρc
zur Temperaturänderung liefert. Ist die Wärmequelle eine Punktquelle, so nimmt
die stationäre Temperatur in der Umgebung mit
T ∝
1
r
ab, exakt wie die elektrische Feldstärke in der Umgebung einer Punktladung. Bei
einem langen geraden Heizrohr ist die Temperaturverteilung in der Umgebung
T ∝ ln r,
analog zur Feldstärke in der Umgebung eines geladenen Drahtes.
Der Laplace-Operator berechnet die Krümmung einer Fläche. Somit ist die Randbedingung (die Quelle) eine Randbedingung für die Krümmung der Fläche. Im
Quellen-freien Bereich muss die Krümmung verschwinden. Die Lösung entspricht
deshalb im Allgemeinen einer Sattelfläche, wo sich positive und negative Krümmungen
kompensieren.
2.12.8
Diffusion
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/12/Diffusion.svg
14.12.10 13:02
Abbildung 2.127: Ausgleich der Konzentrationsunterschiede durch Diffusion.
Die Diffusion ist sehr eng verwandt mit der Wärmeleitung. In diesem Fall betrachten wir eine inhomogene Konzentration. Die zufällige Bewegung der Teilchen
führt dazu, dass die Zahl der Teilchen, die aus einem Volumenelement dV heraus
diffundieren, proportional ist zur Konzentration der Teilchen in diesem Volumenelement. Ist die Konzentration des benachbarten Volumenelementes niedriger, so
fließt netto ein Strom entgegen der Konzentration,
~
j~n = −D∇n.
Hier stellt n die Teilchenzahldichte und ~jn den zugehörigen Teilchenstrom dar.
Diese Gleichung wird als 1. Fick’sches Gesetz bezeichnet. Ist die Teilchenzahl eine
Erhaltungsgröße, so gilt die Kontinuitätsgleichung
~ · ~jn .
ṅ = −∇
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KAPITEL 2. WELLEN
137
Wir kombinieren diese beiden Gleichungen und erhalten die allgemeine Diffusionsgleichung
~ · ∇n
~ = D∆n.
ṅ = D∇
Dies wird auch als 2. Fick’sches Gesetz bezeichnet und entspricht der allgemeinen Wärmeleitungsgleichung. Die Lösungen der Diffusionsgleichung sind deshalb
identisch zu den Lösungen der Wärmeleitungsgleichung.
KAPITEL 2. WELLEN
2.13
138
Krummlinige Koordinaten
Krummlinige Koordinaten sind zum Beispiel Polarkoordinaten ( 2D ), Zylinderkoordinaten ( 3D ) oder Kugelkoordinaten ( 3D ).
Wir betrachten drei oder zwei Dimensionen und die Koordinaten u1 , u2 , u3 mit
~r = ~r(u1 , u2 , u3 ) ∈ R3
Lokal erhalten wir ein Dreibein aus den Vektoren
∂~r
a~j =
∂qi
(2.13.1)
(2.13.2)
Diese seien bei den hier betrachteten Parametrisierungen orthogonal.
a~i ⊥a~j
(2.13.3)
gi = |~
ai | ( Zur Normierung )
(2.13.4)
1
a~i ( Einheitsvektor )
gi
(2.13.5)
Dann sei
Und somit sind
e~i =
ein Orthonormalsystem.
Beispiele:
r cos ϕ
• 1) Polarkoordinaten mit ~r =
r sin ϕ
∂~r
cos ϕ
=
a~r =
sin ϕ
∂r
∂~r
− sin ϕ
a~ϕ =
=r
cos ϕ
∂ϕ
cos ϕ
gr = |a~r | = 1 ⇒ e~r = a~r =
sin ϕ
a~ϕ
− sin ϕ
gϕ = |a~ϕ | = 1 ⇒ e~ϕ =
=
cos ϕ
r
(2.13.6)
(2.13.7)
(2.13.8)
(2.13.9)
Überprüfung auf Orthogonalität:
e~r e~ϕ = − sin ϕ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ = 0


r cos ϕ
• 2) Zylinderkoordinaten mit ~r =  r sin ϕ 
z
Analog wie in 1) +
 
0

e~z = 0 = a~z ⇒ gz = 1
1
(2.13.10)
(2.13.11)
KAPITEL 2. WELLEN
139


r cos ϕ sin θ
• 3) Kugelkoordinaten mit ~r =  r sin ϕ sin θ 
r cos θ


cos ϕ sin θ
a~r = cos ϕ sin θ ⇒ gr = 1 = e~r
cos θ


−r sin ϕ sin θ
a~ϕ =  r cos ϕ sin θ  ⇒ gϕ = r sin θ = evarphi
~
0


r cos ϕ cos θ
a~θ =  r sin ϕ cos θ  ⇒ gθ = r = e~θ
−r sin θ
(2.13.12)
(2.13.13)
(2.13.14)
Bemerkung:
Volumenelement: dV = dxdydz ⇒ dV = g1 g2 g3 du1 du2 du3 , weil die Kantenlänge
in ui -Richtung gegen ist durch gi dui .
Beispiel Kugelkoordinaten:
dV = r2 sin θdrdϕdθ
= r2 drdϕdθd(cos θ)
2.13.1
(2.13.15)
(2.13.16)
Gradient
~ hat die Eigenschaft:
Der Gradient ∇f
df = ∂x f dx + ∂y f dy + ∂z f dz
~ d~r
= ∇f
Wir wollen nun den Koeffizienten berechnen
~
~ e~i
∇f
= ∇f
(2.13.17)
(2.13.18)
(2.13.19)
ui
Dazu betrachten wir
d~r =
∂~r
dui = gi e~i dui
∂ui
(2.13.20)
Und erhalten
∂f
~
df = ∇f e~i gi dui =
dui
∂ui
~
∇f
=
ui
1 ∂f
gi ∂ui
(2.13.21)
(2.13.22)
KAPITEL 2. WELLEN
140
Beispiel Kugelkoordinaten:
~
∇f
= ∂r f
r
1
~
∇f
=
∂ϕ f
sin θ
ϕ
1
~
∇f
= ∂θ f
r
θ
(2.13.23)
(2.13.24)
(2.13.25)
(2.13.26)
2.13.2
Laplace-Operator
Allgemein wird der Laplace-Operator ∆ berechnet, indem die Divergenz des
Gradientenfeldes bestimmt wird. Dies ist aber auf Grund der doppelten Ableitung und der Veränderlichkeit der Einheitsvektoren ~ei recht aufwendig.
Daher möchten wir einen kürzeren Weg nutzen:
Z
Z
f (∂x2 h + ∂y2 h + ∂z2 h)dxdydz
f ∆h dh =
(2.13.27)
V
V
Hier wird nun zunächst nur der X-Term betrachtet:
Z o(y,z)
Z
dx f ∂x2 h dx
dxdy
X − Term =
u(y,z)
V
Z
o(y,z)
f ∂x h|u(y,z)
=
dydz
Z
∂x f ∂x h dV
=−
Z
−
Z
o(y,z)
dx ∂x f ∂x
dydz
u(y,z)
(2.13.28)
V
wobei wir annehmen, dass f überall auf dem Rand von V verschwindet. Analoges
gilt für den y− und z−Term. Schlussendlich erhalten wir:
Z
Z
~ ∇h
~ dV
∇f
(2.13.29)
f ∆h dV = −
V
V
Bemerkung:
Der Laplace Operator ist hermetisch:
Z
Z
f ∆h dV = ( ∆f )h dV
V
(2.13.30)
V
Daher ist der Laplace-Operator negativ semidefinit ⇒ reelle Eigenwerte!
Z
Z
~ |2 dV ≤ 0
f ∆f dV = −
|∇f
(2.13.31)
V
V
KAPITEL 2. WELLEN
141
Für uns gut: Kenntnis des Gradienten liefert die Kenntnis des Laplaceoperators.
Z
Z
~ ∇h
~ dV
f ∆h dV = −
∇f
V
V
Z X
3 1 ∂f 1 ∂h
=−
g1 g2 g3 dq1 dq2 dq3
gi ∂qi gi ∂qi
V i=1
3 Z
X
g1 g2 g3
=−
∂qi f ∂qi h dq1 dq2 dq3
2
g
V
i
i=1
(2.13.32)
Jetzt lassen wir die partielle Integration zurücklaufen:
Z
f ∆h dV =
V
3 Z
X
i=1
V
dV
|{z}
(f ∂qi (
g1 g2 g3 dq1 dq2 dq3
g1 g2 g3
1
∂qi h))
2
gi
g1 g2 g3
(2.13.33)
Also gilt für den Laplaceoperator in krummlinig-orthogonalen Koordinaten:
3
X
g1 g2 g3
1
1
∂qi ( 2 )∂qi
∆q =
( 2 ∂qi2 +
gi
g1 g2 g3
gi
i=1
(2.13.34)
Beispiel:
1) Zylinderkoordinaten: gr = 1 = gz , gϕ = r
∆Zyl =∂z2 +
1
1
1
1
(∂z r) ∂z + ∂r2 + (∂r r) ∂r + 2 ∂ϕ2 + (∂ϕ r)
r | {z }
r | {z }
r
r | {z }
0
1
1
1
=∂z2 + ∂r2 + ∂r + 2 ∂ϕ2
r
r
0
(2.13.35)
2) Kugelkoordinaten: gr = 1, gϕ = r sin θ, gθ = r
∆Kugel =∂r2 +
1
1
1
r2 sin θ
2
2
∂
(r
sin
θ)
∂
+
∂
+
∂
(
) ∂ϕ
r
r
ϕ
r2 sin θ | {z }
r2 sin θ2 ϕ r2 sin θ | r2{zsin θ }
0
|
{z 2r sin θ }
2
r
1
r2 sin θ
1 2
+ 2 ∂θ + 2
∂θ (
)∂θ
r
r sin θ
r2
1
1
1
∂ϕ2 + 2
= 2 ∂r (r2 ∂r ) + 2
∂θ (sin θ∂θ )
2
r
r sin θ
r sin θ
2.13.3
(2.13.36)
Divergenz
Die Divergenz misst, wie viel Fluss netto aus einem infinitesimalem Volumen
herausführt.
KAPITEL 2. WELLEN
kartesisch:
142


Ax
~ = Ay 
Vektorfeld: A
Az
x − Term =
Ax (x + dx)dydz − Ax (x)dydz
= ∂x Ax
dxdydz
(2.13.37)
Analoges gilt für y−, z−Terme, so erhält man:
~A
~ = ∂x Ax + ∂y Ay + ∂z Az
∇
(2.13.38)
In krummlinig-orthogonalen Koordinaten ändern sich lediglich die Flächen- und
Volumenelemente:
Aq1 (q1 + dq1 )g2 (q1 + dq1 )g3 (q1 + dq1 )dq2 dq3 − Aq1 (q1 )g2 (q1 )g3 (q1 )dq2 dq3
g1 g2 g3 dq1 dq2 dq3
1
=
∂q Aq g2 g3
(2.13.39)
g1 g2 g3 1 1
q1 − Term =
Analoges gilt für die q2 −, q3 −Terme, so erhält man:
~A
~=
∇
3
g1 g2 g3
1 X
∂qi Aqi (
)
g1 g2 g3 i=1
gi
(2.13.40)
Beispiel:
Zylinderkoordinaten:
~A
~ = 1 (∂r (r Ar ) + ∂z (r Az ) + ∂ϕ (( r ) Aϕ )
∇
r
r
AR
1
=∂r (Ar ) +
+ ∂z Az + ∂ϕ (Aϕ )
r
r
Dies soll hier erstmal genügen.
(2.13.41)