Welle

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Physik II
im Studiengang Elektrotechnik
- Wellen -
Prof. Dr. Ulrich Hahn
SS 2008
Eigenschaften von Wellen
Kette gekoppelter Oszillatoren:
Auslenkung eines Oszillators Nachbarn folgen mit
zeitlicher Verzögerung
Anregungszentrum
zeitlich variable Auslenkung eines
Mediums an definiertem Ort
räumliche Ausbreitung Auslenkungsprofil wandert durch das
Medium mit bestimmter Geschwindigkeit
Energietransport
Medium:
ohne Materietransport
räumliche Anordnung gekoppelter Oszillatoren
Kopplungsstärke Ausbreitungsgeschwindigkeit
Oszillatoren nicht nicht separierbar: kontinuierliche Medien
Wellen
2
Beispiele von Wellen
Mechanik:
Festkörper
Seil, Feder
Platte
3 dim. Körper
Flüssigkeiten
Gase
Elektrodynamik: Vakuum, Nichtleiter
Leiter
Atome, Kerne:
Wellen
Oberflächenwellen
Druckwellen
Oberflächenwellen
Druckwellen
Druckwellen
elektromagnetische
Wellen
Strom-, Spannungs-,
Ladungswellen
Ladungsverteilung im Raum
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
3
was beeinflußt die Wellenausbreitung?
Welle:
zeitlicher Verlauf
Anregungszentrum
Geometrie
räumliche Verteilung
Medium
Anregungszentrum - Medium
ebene Wellen
Zylinderwellen
Kugelwellen
Richtungen von Auslenkung & Ausbreitung
Transversalwellen
Longitudinalwellen
Mischformen
Dämpfung im Medium
Dispersion im Medium
Wellen
Auslenkung ⊥ Ausbreitung
Auslenkung // Ausbreitung
Deformation der räumlichen Verteilung
4
Ausbreitung eindimensionaler Wellen
keine Dämpfung, keine Dispersion
zeitlicher Verlauf der Auslenkung eines Punktes xi im Medium:
phasenverschoben zum Anregungszentrum x0 nacheilend
s (t , xi ) = s (t − ∆t , x0 )
räumlicher Verlauf der Auslenkung zu verschiedenen Zeiten tj:
s (t j , x ) = s (t0 , x − ∆x)
verschoben in Ausbreitungsrichtung
s
x1
x
t1
t
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Ausbreitung eindimensionaler Wellen
Welle Ausbreitung eines räumlichen Auslenkungsmusters
Muster zum Zeitpunkt t = 0: s ( x, t = 0) := f ( x)
t > 0: s ( x, t ) := f ( x − c ⋅ t )
Welle
in x-Richtung: c > 0
gegen x-Richtg: c < 0
c: Phasengeschwindigkeit
alle Auslenkungszustände f(x) breiten sich im Medium mit c aus
ein Punkt von f(x) beschreibt auch die Wellenausbreitung
Wellenfront
alle Punkte im Medium: gleiche Bewegung wie Anregungszentrum
jeder Punkt: Anregungszentrum für weitere Ausbreitung
Anregungszentrum x = 0:
x > 0:
Wellen
s ( x = 0, t ) := g (t )
Schwingung
s ( x, t ) := g (t − x / c)
6
harmonische Wellen
Anregungszentrum schwingt harmonisch: g (t ) = sˆ ⋅ cos ωt
ω
x*)
Oszillator am Ort x*: t t – x*/c
c
s(x,t) periodisch am Ort x* für die Zeitintervalle ωT = 2π
ω
Welle auf dem Medium zum Zeitpunkt t*: s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos(− x + ωt*)
c
ω
s(x,t) periodisch zur Zeit t* für die Ortsintervalle λ = 2π
c
s ( x*, t ) = sˆ ⋅ cos(ωt −
λ : Wellenlä
Wellenlänge
2π/λ := k : Wellenzahl
⇒ s ( x, t*) = sˆ ⋅ cos k ( x − c ⋅ t*)
andere Zeiten t*:
t = 0 : s ( x,0) := f ( x) = sˆ ⋅ cos kx
x x – c t*
Ausbreitung harmonischer Wellen: s ( x, t ) = sˆ ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x)
andere Wellen: Fourieranalyse
Wellen
7
Ausbreitungsgeschwindigkeit
∆s
transversale Seilwelle:
Wellenprofil Kreissegment
ϑ=
∆s
r
r
Fl
r
ϑ
r
Fr
r
r
r r
ϑ
rücktreibende Kraft: FRück = Fl + Fr = 2 | F | sin
2
Kreisbogen stabil ⇔ rücktreibende Kraft = Zentripetalkraft
r
c²
ϑ
m∆s = 2 | F | sin
r
2
σ
c=
ρ
σ: Seilspannung F/Seilquerschnittsfläche
Kopplung der Oszillatoren
ρ: Dichte des Seilmaterials
Trägheit der Oszillatoren
istnur
nurabhängig
abhängigvon
vonKenngrößen
Kenngrößendes
desMediums
Mediums
ccist
Wellen
8
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Ausbreitung von Wellen im Medium Wellengleichung
∂s ( x, t )
∂s ( x, t )
= c²
∂t ²
∂x ²
Mechanik:
Elektrodynamik:
Kräfte
Felder
Ausbreitungsgeschwindigkeiten unterschiedlicher Medien:
Longitudinalwellen (Gas)
c =
Longitudinalw. (Flüss.)
c =
Longitudinalw. (Stab)
c =
elektromagnet. Welle
c =
c =
Wellen
elektromagnet. Welle
(2-Draht)
κ⋅P
ρ
K
ρ
E
ρ
1
µ ⋅ε
P: mittlerer Druck
κ: Adiabatenexponent
1
C /l⋅L /l
C/l: Kapazitätsbelag
L/l: Induktivitätsbelag
K: Kompressionsmodul
ρ: Dichte
E: Elastizitätsmodul
ρ: Dichte
µ: Permeabilität
ε: Permittivität
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Energietransport
Welle breitet sich im Medium aus:
t =0
s
Zone mit Epot ≠ 0 wandert
Energietransport
t=τ
x
| ℓ |
Energiestrom:
dE
c
P=
= EWelle
dt
l
kontinuierliche räumliche Medien: jeder Punkt Energiedichte w
EWelle = wWelleVWelle
⇒ P = wWelle ⋅ c ⋅ AMedium
P = IWelle ⋅ AMedium
Intensitä
Intensität
harmonische Seilwelle:
EOsz
Wellen
mOsz
=
ω² sˆ²
2
Energiestromdichte [W/m²]
1
I = ω² sˆ² ρσ
2
10
Wellenwiderstand
elektromagnetische Wellen
im 2-Draht:
Energie eines Schwingkreises: E = 1 LSK iˆ² = 1 CSK uˆ ²
2
2
Energiestrom:
1 ˆ 11
Wellenwiderstand
1 L ˆ
L
⇒ P = Z ⋅i ² =
⋅ uˆ ²
P=
⋅ i ² mit
:= Z der Leitung
2
2Z
2 C
C
elektromagnetische Wellen im Raum:
Z
1 µ r µ 0 rˆ
I=
|H |²
2 εr ε0
Seilwelle:
Wellen
L≙m
1/Z
1 r r r r
w = ( E • D + H • B)
2
1 ε r ε 0 rˆ
I=
|E|²
2 µrµ0
ZVakuum = 377 Ω
1 ˆ 1
⇒ Li ² =ˆ mvˆ ²
2
2
⇒ iˆ² =ˆ vˆ ²
1
⇒I =
ρσ ⋅ vˆ ²
2
Z Seil = ρσ = ρc
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Reflexion von Wellen
was passiert am Ende des Mediums?
„loses“ Ende:
Reflexion
Grenzoszillator kann ungehindert schwingen
Profil der reflektierten Welle bleibt
Grenzoszillator: keine Kopplung an Grenze
„festes“ Ende: Grenzoszillator kann nicht schwingen
Profil der reflektierten Welle wird
invertiert
Grenzoszillator: starre Kopplung an Grenze
Wellen
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Reflexion von Wellen
was passiert der Grenze zwischen 2 Medien?
Transmission
c1 > c2:
Reflexion
Kopplung im Medium 1 stärker als im Medium 2
loses Ende
Reflexion ohne Inversion
c1 < c2:
Kopplung im Medium 2 stärker als im Medium 1
festes Ende
Reflexion mit Inversion
sprunghafte Änderung von c:
kontinuierliche Änderung von c:
Wellen
Transmission & Reflexion
Transmission
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Energieaufteilung an der Grenze
Energiesatz:
Eein = Erefl . + Etransm.
⇒ I ein = I refl . + I transm.
einlaufende und reflektierte Welle: Medium 1
transmittierte Welle:
Medium 2
c1, Z1
c2 , Z 2
elektromagnetische Welle auf Zweidraht:
1
1
1
2
2
2
⇒ Z1 ⋅ iˆein
= Z1 ⋅ iˆrefl
+ Z 2 ⋅ iˆtrans
2
2
2
iˆein + iˆrefl = iˆtrans
Kirchhoffsche Regel an der Grenze:
Reflexionsgrad
Wellen
I refl
Z − Z2
R :=
=( 1
)²
I ein
Z1 + Z 2
I trans
2 Z1
=(
)²
Transmissionsgrad T :=
I ein
Z1 + Z 2
FresnelFresnelFormeln
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Energieaufteilung an der Grenze
Grenzfälle:
Medium 1: loses Ende
≙ c2 = 0 => Z2 = 0
⇒ iˆrefl = iˆein
Medium 1: festes Ende
≙ c2 → ∞, Z2 → ∞
⇒ iˆrefl = −iˆein
Medium 1: Abschluß mit Z1
„Wellensumpf“
Wellensumpf“
Wellen
≙ Z2 = Z1
⇒ iˆrefl = 0
Abschluß von HF-Kabeln
15
Transversalwellen
Wellen
16
Longitudinalwellen
Wellen
17
Wasserwellen
Wellen
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