Zahlen und Maße: Zahlenmengen

Zahlen und Maße: Zahlenmengen
MAT HE
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Die Menge N = {1, 2, 3, . . .} nennt man natürliche Zahlen. Wollen wir außerdem die
Null dabei haben, dann schreiben wir N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}. Wenn wir zwei natürliche
Zahlen addieren, erhalten wir als Ergebnis wieder eine natürliche Zahl, ebenso ist das
Produkt zweier natürlicher Zahlen wieder eine natürliche Zahl. So ist zum Beispiel
5 + 8 = 13 und 5 · 8 = 40. Man sagt deshalb „Die Menge der natürlichen Zahlen
ist abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation“. Versuchen wir
allerdings mit den selben Zahlen eine Subtraktion durchzuführen, also 5 − 8, so hat
diese Berechnung keine Lösung in den natürlichen Zahlen.
Deshalb erweitern wir das Zahlensystem zu den sogenannten ganzen Zahlen Z =
{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Damit hat die obige Rechnung jetzt eine Lösung:
5 − 8 = −3. Die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition,
der Multiplikation und der Subtraktion. Allerdings können wir nicht alle Divisionen
durchführen; das Ergebnis der Division 5 : 8 ist sicher keine ganze Zahl.
Wiederum erweitern wir also das Zahlensystem zu den sogenannten rationalen
Zahlen Q = { pq | p, q ∈ Z, q 6= 0}, das ist grob gesprochen die Menge aller Zahlen,
die als Brüche dargestellt werden können. Damit ist das Ergebnis der Rechnung
5 : 8 definiert als die rationale Zahl 58 , oder in Dezimaldarstellung 0,625. Die rationalen Zahlen sind also abgeschlossen bezüglich der Addition, der Multiplikation,
der Subtraktion und der Division. Allerdings haben wir damit noch immer nicht alle
möglichen Zahlen gefunden. Die Wurzel aus 2 lässt sich zum Beispiel nicht als Bruch
darstellen, sie ist eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl.
Die Menge aller unendlichen, nicht periodischen Dezimalzahlen nennen wir irrationale
Zahlen und bezeichnen sie mit I. Beispiele für irrationale Zahlen sind etwa
√
2 = 1,414213562373095 . . . oder π = 3,141592653589793 . . . Vorsicht:
Nicht jede
√
Zahl, die als Wurzel geschrieben wird, ist automatisch irrational: 25 ist beispielsweise eine natürliche Zahl, nämlich 5.
Die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammengenommen (vereinigt) ergeben die reellen Zahlen R, in Mengenschreibweise Q ∪ I = R.
Die folgende Grafik zeigt gut, wie die einzelnen Zahlenmengen zusammenhängen:
In Mengenschreibweise gilt
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
das heißt, jede natürliche Zahl ist gleichzeitig eine ganze, jede ganze ist gleichzeitig
eine rationale u. s. w.
Aufgaben
1. Setze in der Tabelle die Symbole „∈“ („ist Element von“) und „ ∈“
/ „(ist kein
Element von)“ ein!
N
Z
Q
I
R
3
4
8
√4
5
16
0,75
(−2)2
√
2. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründe!
a) Zwischen zwei ganzen Zahlen liegen mindestens zehn rationale Zahlen.
b) Es gibt Brüche, die in der Dezimalschreibweise nicht enden.
c) Jede natürliche Zahl besitzt einen Vorgänger.
d) Jede ganze Zahl besitzt einen Nachfolger.
e) Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch darstellen.
f) Jede reelle Zahl lässt sich als Bruch darstellen.
3. Welche der folgenden Zahlen sind rational,
q welche irrational? Begründe!
√
√
√
9
7
81
10
100
1,4
4
9
4. Begründe, warum die Wurzel aus einer negativen Zahl in der Menge der reellen
Zahlen nicht gezogen werden kann!
Zahlen und Maße: Gleitkommadarstellung und Einheiten
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Mit Hilfe der Gleitkommadarstellung lässt sich auch bequem mit sehr großen/kleinen
Zahlen rechnen:
4 · 109
8 · 106
1
Kürzen
=
64
26 8
· 103 =
1
· 103 = 0,5 · 103 = 500
2
Solche großen und kleinen Zahlen treten meist in Verbindung mit Einheiten auf. Deshalb wiederholen wir die Umrechnungsregeln für Längen-, Flächen-, Raum-, Massenund Zeiteinheiten:
Aufgaben
Verwende zur Berechnung die Gleitkommadarstellung!
1. Schreibe in der Form ±a · 10k , wobei 1 ≤ a < 10 gilt:
a) 0,0436 · 107
b) (0,53 · 106 ) · (1,5 : 10−3 )
c) 1023,40
2. Der mittlere Bahnradius der Erde auf der Umlaufbahn um die Sonne beträgt
ca. 150 · 106 km. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa c = 300 000 km/s.
Wie lange braucht das Licht durchschnittlich von der Sonne bis zur Erde?
3. Das erste iPhone hatte eine eingebaute Kamera mit einer Auflösung
von 1600 × 1200 Pixel, welche als 2 Megapixel-Kamera bezeichnet
wurde.
Handelt es sich bei dieser Bildauflösung um genau 2 Megapixel? Falls
nicht, wie viele Pixel Unterschied besteht?
4. Im folgenden Zeitungsartikel wird eine wissenschaftliche Prognose für den
Lichtverbrauch pro Person im Jahr 2030 abgegeben. Er wird den Forschern zu·108 Lumenstunden betragen. In Festkommadarstellung sind
folge etwa
das
Lumenstunden.
Im Artikel wird auch erklärt, wie man sich die Lichternergie von einer Lumenstunde anschaulich vorstellen kann. Berechne damit, wie lange eine einzige
Kerze brennen müsste, um die Lichtenergie zu erzeugen, die ein Engländer im
Jahr 1700 konsumiert hat. Gib das Ergebnis in Tagen an und runde es auf 2
Nachkommastellen.
Warum energiesparende LED-Lampen den Stromverbrauch steigen lassen werden
29. August 2010, 15:44
US-Forscher betrachten das Thema aus historischer Perspektive und zählten unseren Verbrauch an
Lumenstunden
Albuquerque - LED-Lampen werden keine Kraftwerke überflüssig machen: US-Forscher erteilen dergleichen Erwartungen an die effiziente Form der Lichterzeugung eine Abfuhr. Viel eher wird der breite
Einsatz von Leuchtdioden den Energieverbrauch für Beleuchtung so stark ansteigen lassen, dass alle
Vorteile des Wirkungsgrades wettgemacht werden. Das wird zumindest dann der Fall sein, wenn der
Strompreis nicht steigt, warnen die Experten der Sandia National Laboratories im "Journal of Physics
D: Applied Physics".
Zu diesem scheinbar paradoxen Ergebnis kamen die Forscher, indem sie das Thema Energieverbrauch
aus historischer Perspektive betrachteten und dabei einen seit langem anhaltenden und erstaunlich
konstanten Trend feststellten: Je besser die künstliche Beleuchtung, desto stärker wird sie auch verwendet. Im Jahr 1700 konsumierte jeder Engländer 580 Lumenstunden pro Jahr, wobei eine Lumenstunde etwa dem Licht einer Kerze in einer Stunde entspricht. Heute liegt der Jahresverbrauch bei
46 Millionen Lumenstunden pro Person. "Jede effizientere und somit billigere Beleuchtung hat in der
Vergangenheit den Energieverbrauch für Licht steigen lassen. Sehr wahrscheinlich wird das auch in
Zukunft so bleiben", fasst Studienleiter Jeff Tsao die Ergebnisse zusammen.
Prognostizierter Anstieg
Die Ausgaben für Beleuchtung betragen seit jeher fast unverändert 0,72 Prozent des BIP, rechnet
Tsao vor. "Lichtverbrauch, Beleuchtungskosten und Wohlstand eines Landes sind eng miteinander
verknüpft." Und ein Mehr an Beleuchtung wäre jederzeit denkbar: Beleuchtete Innenräume erreichen
heute erst ein Zehntel der Helligkeit eines bewölkten Tages, zudem bleiben heute viele Freiräume
Nachts nur aufgrund der Energiekosten dunkel. Spielt Geld keine Rolle, wird die Nacht noch mehr
zum Tag. Einen großen Beitrag werden dabei Entwicklungs- und Schwellenländer leisten.
Für den anstehenden Wechsel auf LED-Lampen sagen die Forscher voraus, dass der Lichtverbrauch
binnen 20 Jahren um das Zehnfache steigen wird - was zu doppeltem Energieverbrauch führen würde.
Sie berücksichtigen im Modell die globale Wirtschaftsleistung, den Energiepreis und die Effizienz der
Lampen. Für LED gingen sie von einem dreimal besseren Wirkungsgrad gegenüber fluoreszierender
Beleuchtung aus, für die Stromkosten ein gleiches Niveau wie heute. Laut ihrem Modell sinkt die
gesamte für Lichterzeugung benötigte Energie erst, wenn der Strompreis verdreifacht wird. "Falls dies
eines Tages etwa wegen einer CO2-Steuer der Fall ist, kann die hohe Effizienz der LED-Technologie
dabei helfen, den Verlust menschlicher Produktivität auszugleichen, den es sonst wegen weniger Beleuchtung geben würde", so Tsao. (pte/red)
http://derstandard.at/1282273767527/Paradox-Warum-energiesparende-LED-Lampen-den-Stromverbrauch-steigen-lassen-werden
Zahlen und Maße: Prozentrechnung
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Wir erinnern uns an die Grundlagen der Prozentrechnung. Der Begriff „Prozent“
stammt aus dem Lateinischen (per centum „für Hundert“) und bedeutet „Hundertstel“. Es gilt also beispielsweise
1% =
1
= 0,01;
100
52
= 0,52;
100
100
100 % =
= 1 oder
100
120
= 1,2.
120 % =
100
Allgemein kann man also sagen
p
.
p% =
100
Die wichtigste Formel zur Prozentrechnung kennen wir bereits: Für den (Prozent-)
Anteil A (auch Prozentwert genannt), den Grundwert G und den Prozentsatz p gilt
52 % =
A=
p
· G oder, anders geschrieben A : G = p : 100.
100
Das bedeutet, A = p % von G.
Kommen zu einem Grundwert G 17 % hinzu (wenn zum Beispiel der Preis einer
Ware um 17 % steigt), so müssen wir ihn mit 1,17 multiplizieren, also A = 1,17 · G.
Ziehen wir von einem Grundwert G 17 % ab (etwa, weil auf eine Ware Rabatt gewährt wird), so multiplizieren wir mit 0,83, also A = 0,83 · G.
Diskutiert in der Gruppe die oben beschriebene Vorgangsweise und begründet sie!
Aufgaben
1. Finde aus dem Bereich Einkauf/Verkauf einen passenden Text zur Gleichung
x + 0,2x = 300.
2. Die Grafik zeigt die Elektrizitätsproduktion der Schweiz im Jahr 2004. Gib an,
welche der folgenden Aussagen richtig/falsch sind und begründe!
a) Die Elektrizitätsproduktion durch Wasserkraft beträgt über 50 % der gesamten Produktionsmenge.
b)
2
5
der Elektrizitätsproduktion wird mit Hilfe von Atomkraftwerken gewonnen.
c) Über die Hälfte der Elektrizitätsproduktion wird mit Hilfe von Atomkraftwerken gewonnen.
d) Mit Hilfe der Wasserkraft werden jährlich über 35 Mrd. kWh Energie
gewonnen.
e) Mit Hilfe der Kernkraft werden jährlich über 30 Mrd. kWh Energie gewonnen.
3. Im Jahr 2005 wurden 16,5 % des Bruttoinlandsprodukts (BIP) in Österreich
von der Tourismus- und Freizeitwirtschaft erbracht. Dies waren 40,53 Milliarden e.
Wie findet man die Höhe des BIP 2005?
4. Der Preis einer Ware ist mit 250 e exkl. 20 % Mehrwertsteuer angeschrieben.
Durch ein Sonderangebot wird die Ware um 20 % günstiger verkauft. Hans
denkt sich, dass er demnach die Ware um 250 e mitnehmen kann, weil sich
seiner Meinung nach der Rabatt und die Mehrwertsteuer aufheben. An der
Kassa werden aber 240 e berechnet.
a) Wie hat der Verkäufer an der Kassa gerechnet?
b) Welchen Fehler hat Hans bei seiner Überlegung gemacht?
c) Macht es einen Unterschied, ob der Rabatt zuerst abgezogen und dann
die MWSt. dazugerechnet wird, oder umgekehrt?
Begründe deine Aussagen!
Zahlen und Maße: Runden und Schätzen MAT HE
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Aufgaben
1. Kreuze das richtige Schätzergebnis an und begründe!
5 005 005 : 1,98 ≈ 0,025 Mio.
0,25 Mio.
2,5 Mio.
25 Mio.
2. Die Abbildung zeigt Algen auf einer Fläche von 1 mm2 in vergrößerter Darstellung. Schätze ab, wie viele Algen sich auf 1 cm2 befinden! Begründe!
Hinweis: Teile die Grafik in 9 gleich große Felder und rechne die Algenanzahl
in einem Feld auf die Gesamtanzahl hoch.
3. Wie hoch ist die durchschnittliche Lebenserwartung von Menschen ungefähr?
Kreuze an und begründe!
60 Stunden
60 000 Stunden
4. Vervollständige die Tabelle:
600 Stunden
600 000 Stunden
6 000 Stunden
6 000 000 Stunden