Beziehungen am Widerstand - mmm.ethz.ch

Metrologie
Wissenschaft und Technik des Messens
Kontakt mit dem Autor
© Copyright
ETH Zürich, Schweiz
Institut für Werkzeugmaschinen und Fertigung
Mitarbeit
d0000221; rev00
Modul
Beziehungen am Widerstand
Karl H. Ruhm
Inhalt
Einleitung
1
Lineare Widerstandsbeziehungen
2
Nichtlineare Widerstandsbeziehungen
3
Inverser Widerstand
4
Stromdichte im Widerstand
1
1
3
3
3
Schlüsselwörter
Widerstand, inverser Widerstand, Strom, Stromdichte, Potenzialdifferenz, Übertragungsverhalten, Übertragungskennlinie
Kurzbeschreibung
Es ist immer interessant, allgemeine Beziehungen aufzustellen und diese dann konsequent auf verschiedene konkrete Fälle anzuwenden. Der Bereich Widerstand ist hierfür ein geeignetes Beispiel, denn es gibt nicht
nur elektrische Widerstände. Es werden die Regeln um den Widerstand zusammengestellt und mit den Methoden der Signal- und Systemtheorie verknüpft.
Einleitung
Widerstandsphänomene beschreiben wir durch Widerstandsbeziehungen. Sie sind normalerweise nichtlinear, in einfachen Fällen jedoch linear. Die Regeln verknüpfen Potenzialgefälle und Ströme als Eingangs- beziehungsweise Ausgangsgrößen. Dabei treten Widerstand und inverser Widerstand als Parameter auf. Diese Parameter selbst hängen von den individuellen geometrischen und stofflichen Eigenschaften der Objekte
Widerstand und von den Eigenschaften des strömenden Mediums ab. Während man Durchflussgesetze völlig allgemein formulieren kann, ist dies für die Parameter nicht möglich.
1
Lineare Widerstandsbeziehungen
Wir betrachten hier die linearen Zusammenhänge am Widerstand, wobei wir auch zeitlich variable Größen
zulassen wollen, um anzudeuten, dass wir sowohl den Prozess Widerstand als auch den Parameter Widerstand für zeit- beziehungsweise frequenzunabhängig halten. In der Elektrotechnik spricht man vom OhmGesetz.
Die Widerstandsbeziehung, die die Signal- und Systemtheorie Übertragungsgleichung des linearen Widerstandes nennt, tritt in zwei Formen auf:
Definition: Potenzialdifferenz über einem Widerstand
Potenzialdifferenz(t) = Widerstand × Strom(t) [{Potenzial}]
Diese Beziehung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten 1. Kirchhoff-Regel (Knoten-Regel) (Zusatz → Modul "Verallgemeinerte Kirchhoff-Regeln").
Definition: Strom durch einen Widerstand
Strom(t) =
1
Potenzialdifferenz(t) [{Menge} s −1]
Widerstand
Diese Beziehung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten 2. Kirchhoff-Regel (Maschen-Regel) (Zusatz →
Modul "Verallgemeinerte Kirchhoff-Regeln").
Es existieren also zwei Modellgleichungen, die in inverser Beziehung zueinander stehen. Nach der Systemtheorie haben wir es mit zwei Proportionalsystemen zu tun.
2
Die zugehörigen Parameter (Übertragungswerte) sind Widerstand beziehungsweise inverser Widerstand.
Definition: Parameter Widerstand
Widerstand =
Potenzialdifferenz(t)
Strom(t)
⎡ ⎧ Potenzialdifferenz ⎫ ⎤
⎬⎥
⎢⎨
Strom
⎭⎦
⎣⎩
beziehungsweise
Definition: Parameter inverser Widerstand
Inverser Widerstand =
Strom
Potenzialdifferenz
⎡⎧
Strom
⎫⎤
⎢ ⎨ Potentialdifferenz ⎬⎥
⎩
⎭⎦
⎣
Diese allgemeinen Beziehungen gelten für lineare, örtlich konzentriert gedachte Widerstände.
Potenzialdifferenz(t)
Strom(t)
B0997
höheres
Potenzial(t)
tieferes
Potenzial(t)
Potenzial
konzentriert
gedachter
Resistor
höheres
Potenzial
tieferes
Potenzial
Länge
Aber wieso existieren zwei Formen des Widerstandsbeziehungen? Die mathematische Formulierung einer
Naturerscheinung gibt nie die Richtung von Ursache und Wirkung an. Welche Prozessvariable Eingangsgrößen beziehungsweise Ausgangsgrößen sind, hängt von den konkreten Fragestellungen beziehungsweise
von der Funktion des Widerstandes im Prozess ab. Tatsächlich sind beide Formen, Modell und inverses Modell, geeignete Beschreibungen physikalischer Vorgänge.
• Im ersten Fall schickt man einen Strom (Ursache, Eingangsgröße) durch einen gegebenen Widerstand. Es
bildet sich eine Potenzialdifferenz (Wirkung, Ausgangsgröße) über diesem Widerstand aus. Diese wird
hoch werden, wenn man einen großen Strom hindurchschickt.
Potenzialdifferenz(t)
Widerstand
B0512
Strom(t)
Resistor-Prozess
• Im zweiten Fall hält man über einem Widerstand eine Potenzialdifferenz (Ursache, Eingangsgröße) aufrecht. Es entsteht ein Strom (Wirkung, Ausgangsgröße) durch diesen Widerstand. Er wird bei hoher Potenzialdifferenz groß sein.
inverser
Widerstand
Strom(t)
B1050
Potenzialdifferenz(t)
Resistor-Prozess
tanα = gα =
= Widerstand
α
Strom
=
tanβ = g β =
1
Widerstand
β
Strom
Potenzialdifferenz
B1057
Potenzialdifferenz
Zu den beiden Systemvarianten gehören auch zwei lineare Übertragungskennlinien.
3
2
Nichtlineare Widerstandsbeziehungen
Leider sind die meisten Widerstandsprozesse nichtlinear und können nur selten in geschlossener Form angeschrieben werden. Zur approximativen Beschreibung ihres Übertragungsverhaltens werden häufig Potenzfunktionen zu Hilfe genommen, deren Parameter in einem Identifikationsprozess (Kalibrierprozess) bestimmt werden (Ergänzung → Beispiel: "Widerstandssensor"). Hier gilt dann allgemein:
Definition: Potenzialdifferenz über einem Widerstand
Potenzialdifferenz(t) = f(Widerstand, Strom(t)) [{Potenzial}]
beziehungsweise
Definition: Strom durch einen Widerstand
Strom(t) = f(Widerstand , Potenzialdifferenz(t)) [{Menge} s −1]
Die genauen Formulierungen der Beziehungen sind dann für konkrete Prozesse sehr individuell.
3
Inverser Widerstand
In einer der beiden Übertragungsgleichungen tritt der inverse Widerstand als Parameter auf.
Definition: Inverser Widerstand
inverser Widerstand =
1
Widerstand
{
}
⎡ Widerstand−1 ⎤
⎢⎣
⎥⎦
Der inverse Widerstand hat in einigen Bereichen einen eigenen Namen erhalten: Leitfähigkeit (Leitwert; conductivity).
4
Stromdichte im Widerstand
Oft möchte man sich bei der Beschreibung von Vorgängen in Prozessen von der Geometrie eines Widerstandes unabhängig machen. Betrachten wir den Strom, der an einer bestimmten Stelle durch die dort existierende Widerstandsfläche A fließt. Die geometrische Form und Erstreckung des Widerstandes kann ja beliebig sein, von sehr langen Widerständen (Kapillare, Draht; Verhältnis Durchmesser zu Länge klein) bis zu
extrem kurzen Widerständen (sehr dünne Membran; Verhältnis Durchmesser zu Länge groß).
höheres
tieferes
Potenzial(t)
Potenzial(t)
Kapillare
B0998
Resistoren
Membran
Strom(t)
Wir beziehen nun die lokalen Ströme auf definierbare, lokale Widerstandsquerschnitte und machen uns dadurch von den jeweiligen geometrischen Eigenschaften unabhängig. Die entstehenden bezogenen Größen
sind Dichten (Zusatz → Modul "Dichte"), konkret Stromdichten mit den Einheiten der Menge pro Zeit und pro
Fläche.
Definition: Stromdichte
Stromdichte =
Strom
Widerstandsfläche
[{Menge} s−1 m−2 ]
Die Stromdichte längs eines örtlich ausgedehnten Widerstandes mit variierendem Widerstandsquerschnitt ist
dann konstant. Dies ist eine spezielle Form des Kontinuitätssatzes.
Zusammenfassendes Beispiel: Die angeführten Widerstandsbeziehungen können auf Widerstandsnetze
systematisch angewendet werden (Ergänzung → Modul "Netze konzentrierter Widerstände").
4
örtlich verteilter Widerstand
Potenzialdifferenz(t)
B1051
Strom(t)
Potenzial
Verlust
Länge
Widerstandsfläche
Geschwindigkeit, Stromdichte
Strom
Länge
Zitieren
Beziehen Sie sich auf dieses Dokument durch folgenden Zitiermodus:
Ruhm, K. H.; Beziehungen am Widerstand
Internet-Portal "Wissenschaft und Technik des Messens"; Dokument: http://www.mmm.ethz.ch/dok01/d0000221.pdf
Andere Versionen
Es existiert eine englische Version dieses Dokuments: → d0000XXX
Änderungen
Rev. Datum
Änderung
00
Erstausgabe
05.12.2008