Grundlagen der Verifikation
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Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Grundlagen der Verifikation
Aufgabenblatt 2
Übungsaufgabe 1
Auf dem Weg zum Vollständigkeitssatz der natürlichen Deduktion wurde in der Vorlesung das
folgende Ergebnis formuliert:
Lemma. Sei F eine Formel in den Variablen p1 , . . . , pn . Für jede Variablenbelegung v : {p1 , . . . , pn } →
{0, 1} definieren wir
(
pi
, falls v(pi ) = 1;
p̃i =
¬pi , falls v(pi ) = 0.
Dann gilt p̃1 , . . . , p̃n ` F , falls F unter der Belegung v wahr ist, und p̃1 , . . . , p̃n ` ¬F , falls F
unter Belegung v falsch ist.
Der Beweis dieses Lemmas erfolgte mit Induktion nach der Struktur von F , wobei die Fälle F =
Variable, F = ¬G und F = G ∧ H bereits in der Vorlesung behandelt wurden. Vervollständigen
Sie den Beweis, indem Sie die Fälle F = G ∨ H und F = G → H untersuchen.
Hausaufgabe 1
Im Folgenden seien F und G aussagenlogische Formeln und Γ sei eine Menge von Formeln.
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Es ist nicht möglich, zugleich Γ ` F und Γ ` ¬F per Deduktion zu beweisen.
(b) Die Sequenz Γ ` F ∨ G ist genau dann beweisbar, wenn eine der Sequenzen Γ ` F oder
Γ ` G beweisbar ist.!
Hausaufgabe 2
Beweisen Sie: Die natürliche Deduktion bleibt vollständig, wenn man die Regel
¬¬φ
(¬¬e) durch
φ
φ ∨ ¬φ
(LEM)
ersetzt.
Hausaufgabe 3
Wie kann man die Aussage φ1 , . . . , φn 6|= φ nur mit natürlicher Deduktion (also ohne Verwendung einer Wahrheitstabelle oder anderer semantischer Techniken) beweisen?
