MSG-Hausaufgaben Serie 2 - Mathematik und ihre Didaktik

MSG-Hausaufgaben Serie 2
Abgabe: 07.10.2015
Lucas Mann
Aufgabe 1. Unter Benutzung des im Kurs besprochenen Satzes über Eulerkreise1 , beweise folgende Folgerung:
Satz. Ein Graph G besitzt einen Eulerweg (im Gegensatz zum Eulerkreis müssen beim Eulerweg
nicht Start- und Endpunkt gleich sein; sie dürfen aber!) genau dann, wenn G zusammenhängend
ist und höchstens zwei Knoten mit ungeradem Grad enthält.
Aufgabe 2. Hier sind zwei „Anwendungen“ der bisher gelernten Graphentheorie:
a) Die Stadtverwaltung von Königsberg hat beschlossen, eine zusätzliche Brücke über den Fluss
zu bauen. Zur Erinnerung, hier ist der Stadtplan von Königsberg mitsamt seinen Brücken2 :
Finde drei verschiedene Positionen für die neue Brücke derart, dass dadurch ein Eulerweg ermöglicht wird. Kannst du die Position der Brücke so wählen, dass sogar ein Eulerkreis (also mit
gleichen Start- und Endpunkt) entsteht?
b) In der kleinen Provinz Klein Graphowitz gibt es 15 verschiedene Städte, von denen je zwei durch
eine Straße verbunden sind. Es ist Winter und ein Räumungsunternehmen möchte den Schnee
von allen Straßen fegen, indem es sie mit einem Schneeauto langfährt. Ist dies möglich, ohne
eine Straße mehrfach (und daher unnötig) zu befahren?
Wie lautet die Antwort auf die gleiche Frage in Groß Graphowitz, welches 30 verschiedene Städte enthält? Kannst du das auf n Städte verallgemeinern?
Aufgabe 3. Gegeben seien die folgenden Behauptungen über Graphen:
a) Wenn ein Graph mit 6 Knoten einen Eulerkreis enthält, dann hat er eine gerade Anzahl von
Kanten.
b) Wenn ein Graph einen Eulerweg, aber keinen Eulerkreis enthält, dann sind der Anfangs- und
der Endpunkt dieses Eulerwegs eindeutig bestimmt (bis auf Vertauschung).
1 Der Satz besagt: Ein Graph G hat einen Eulerkreis, also einen Weg mit gleichen Anfangs- und Endpunkt, der jede
Kante genau einmal benutzt, genau dann, wenn G zusammenhängend ist und jeder Knoten in G einen geraden
Grad hat.
2 Quelle: Wikipedia (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/Konigsberg_bridges.png).
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c) Ein zusammenhängender Graph mit 5 Knoten enthält mindestens 4 Kanten.
d) Jeder Graph, der keinen Kreis3 enthält, hat einen Knoten mit Grad 1.
Überlege dir zu jeder Behauptung, ob sie wahr oder falsch ist und versuche deine Vermutungen
zu beweisen.
Zusatz
Aufgabe 4. Max knobelt gern und überlegt dabei laut: „Wie finde ich bloß alle dreistelligen natürlichen Zahlen, die 12mal so groß sind wie ihre Quersumme?“ Julia erwidert spontan: „Das ist doch
ganz einfach. Schau, du musst nur . . . “
Führe Julias Satz fort, indem du Max’ Frage beantwortest.
Aufgabe 5. Kann man das Ziffernblatt einer Uhr mit zwei geraden Linien so in drei Teile zerlegen,
dass die Summe der Zahlen in jedem Teil gleich groß ist?
3 Ein Kreis in einem Graph ist ein Weg mit gleichem Start- und Endpunkt, der keine Kante doppelt benutzt.
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