T2p Quantenmechanik - Fakultät für Physik

LMU Fakultät für Physik
T2p Quantenmechanik
Dr. Michael Haack
zuletzt erstellt am 5. Februar 2014
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
1.1. Die Quantenmechanik im Alltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Der Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Das Doppelspaltexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Die
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
Schrödingergleichung
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schrödingergleichung und statistische Interpretation
Schrödingergleichung plausibel gemacht . . . . . . .
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unschärferelation Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung . . . . . .
1
1
2
4
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6
6
8
9
10
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3. 1-dimensionale Anwendung
3.1. Unendlicher Potentialtopf . . . . . . . . . . . .
3.2. Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . .
3.3. Das freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Das Delta Potential . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Gebundene Zustände und Streuzustände
3.4.2. Deltafunktionspotential . . . . . . . . .
3.5. Endlicher Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . .
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16
18
22
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28
32
4. Der Formalismus der Quantenmechanik
4.1. Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Observable . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Hermitesche Operatoren . . . . . .
4.2.2. Determinierte Zustände . . . . . .
4.3. Eigenfunktionen hermitescher Operatoren
4.3.1. Diskretes Spektrum . . . . . . . .
4.3.2. Kontinuierliches Spektrum . . . . .
4.4. Statistische Interpretation . . . . . . . . .
4.5. Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Ehrenfesttheorem . . . . . . . . . . . . . .
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51
52
6. Das Wasserstoffatom
6.1. Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
59
7. Identische Teilchen
61
8. Bell’sche Ungleichung
63
9. Anhang
66
5. Der
5.1.
5.2.
5.3.
Drehimpuls in der Quantenmechanik
Drehimpulseigenwerte . . . . . . . . .
Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . .
Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Formale Beschreibung . . . . .
5.4. Addition von Drehimpulsen . . . . . .
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Seite
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
1. Einführung
1.1. Die Quantenmechanik im Alltag
a. Transistor (im Computer etc.)
b. Laser (im DVD-Player, Scanner, Drucker etc.)
c. Kernspintomographie (Eiweißverteilung im Körper wird anhand des Spins der Atomkerne in Magnetfeldern ermittelt)
d. Atomuhr (GPS funktioniert nur dank hoher Zeitmessgenauigkeit)
e. Verständnis der Festkörperphysik und der Chemie:
• Warum gibt es Leiter, Halbleiter und Nichtleiter?
Nebenbemerkung zur Bandstruktur:
erster wichtiger Bestandteil zum Verständnis von Festkörperphysik:
Abbildung 1.1: Energiebänder
zweiter wichtiger Bestandteil:
Pauli-Prinzip: Elektronen können nicht alle diesselbe Energie haben
Abbildung 1.2: Pauli-Prinzip
• Materialeigenschaften
• Periodensystem
• Stabilität der Materie
f. für das Verständnis der Struktur des Universums
Seite 1
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
1.2. Der Welle-Teilchen-Dualismus
In der klassischen Physik gibt es eine klare Trennung zwischen Teilchen und Wellen.
• Mechanik: Teilchen der Masse m: m · ~r¨ = F~
• Elektrodynamik: Maxwellgleichung im Vakuum
⇒ Wellengleichung:
2
∂2 ~
~ =0= ∂ B
~ − c2 ∆B,
~
E − c2 ∆E
2
∂t
∂t2
mit ∆ =
3
X
∂2
∂x2i
i=1
(1.1)
Eine einfache Lösung sind ebene elektromagnetische Wellen:
~ = Re[E~0 · ei(~k·~r−ωt) ],
E
mit
(1.2)
~k: Wellenvektor (Wellenlänge λ = 2π )
|~k|
ω
)
ω: Kreisfrequenz (Frequenz ν =
2π
Dispersionsrelation:
ω = |~k| · c
(1.3)
Energiedichte:
u=
1
0 |E~0 |2
2
(1.4)
Historische Experimente, die Probleme mit dem klassischen Weltbild aufgezeigt haben, sind:
• Strahlung eines schwarzen Körpers:
Abbildung 1.3: Schwarzkörperstrahlung
[Quelle: Wikipedia]
Planck, 1900: Energiedichte der Strahlung ist quantisiert, also nicht kontinuierlich.
Seite 2
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
• photoelektrischer Effekt:
Abbildung 1.4: Versuchsaufbau zum photoelektrischen Effekt
[Quelle: Wikipedia]
Elektronen werden herausgelöst, wenn die Frequenz des Lichts großgenug ist, unabhängig von der
Intensität des Lichts.
Einstein, 1905: Licht hat Teilcheneigenschaften, Photonen haben Energie und Impuls
E =h·ν
(1.5)
X
X
E 2 = p2 c2 + m2X
c4 ⇒ Impuls p =
p=
E
hν
h
=
=
c
c
λ
h
λ
(1.7)
• Comptoneffekt (1923):
Abbildung 1.5: Comptoneffekt
Seite 3
(1.6)
[Quelle: Wikipedia]
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Das Photon überträgt einen Teil seines Impulses auf das Elektron. Wegen λ = hp (1.7) folgt daraus,
dass λ0 > λ. Dem klassischen Verständnis nach müsste das gestreute Licht dieselbe Wellenlänge
haben.
• Atomspektren
• Wärmekapazität bei niedrigen Temperaturen
1.3. Das Doppelspaltexperiment
a) mit Kugeln:
Abbildung 1.6: Doppelspalt mit Kugeln
Ergebnis:
(i) P12 (X) = P1 (X) + P2 (X)
(ii) Kugeln treffen als Einheiten auf, Wahrscheinlichkeitsverteilung baut sich langsam auf
b) mit Wasser- oder Lichtwellen:
Abbildung 1.7: Doppelspalt mit Wellen
Ergebnis:
Seite 4
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(i) Interferenz findet statt.
I1 (X)
I2 (X)
I12 (X)
= |A1 (X)|2
= |A2 (X)|2
= |A1 (X) + A2 (X)|2 p
= I1 (X) + I2 (X) + 2 · I1 (X)I2 (X) · cos δ(X)
(nur 1. Spalt offen)
(nur 2. Spalt offen)
(beide Spalte offen)
δ(X): Phasenverschiebung
(ii) Die Verteilung ist sofort sichtbar.
c) mit Elektronen. Ergebnis:
(i) Elektronen kommen einzeln und lokalisiert an (wie Kugeln).
(ii) nach Auftreffen sehr vieler Elektronen bildet sich eine Intensitätsverteilung wie bei Wellen.
(iii) Bei Beobachtung, welchen Spalt das Elektron nimmt (Beobachtung beispielsweise durch eine
Lichtquelle), verschwindet das Interferenzmuster und es bildet sich eine Verteilung auf dem
Schirm wie bei Kugeln, Abbildung 1.6
Interpretation
• Ψ(~r, t) (komplexwertige) Wellenfunktion des Elektrons
• |Ψ(~r, t)|2 dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in Volumen dV bei ~r zu finden
• man kann also sagen
Ψ(~r, t) :
|Ψ(~r, t)|2 :
Wahrscheinlichkeitsamplitude
Wahrscheinlichkeitsdichte
⇒ Muster durch Interferenz von Ψ
Bemerkung:
(i) Experiment wurde auch durchgeführt mit
• Neutronen
• C60 -Fullerenmolekülen
• C30 H12 F30 N2 O4 -Molekülen
• Photonen
(ii) Wellenphänomene relevant, wenn Abmessungen der Apparatur (z.B. Spaltbreite) mit Wellenlänge
vergleichbar sind.
deBroglie, 1923 : Materiewellen λ = hp
λ=
h
2π~
=
p
p
λ= 2π
k
=⇒
vektoriell:
p = ~k
p~ = ~~k
E = ~ω = hν
mit ~ =
z.B.:
h
2π
= 1.05 · 10−34 Js (“Planck’sches Wirkungsquantum”)
−10
• Elektron, das von 100V beschleunigt wird: v = 5.9 · 106 m
m = 0.12nm
s , λ = 1.2 · 10
−34
• 20g Kugel mit v = 15 m
m
s : λ = 2.2 · 10
Seite 5
(1.8)
(1.9)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
2. Die Schrödingergleichung
2.1. Wahrscheinlichkeiten
Beispiel (aus Griffiths):
Raum mit 14 Personen:
• 1 Person mit 14 Jahren
• 1 Person mit 15 Jahren
• 3 Personen mit 16 Jahren
• 2 Personen mit 22 Jahren
• 2 Personen mit 24 Jahren
• 5 Personen mit 25 Jahren
N (j): Anzahl der Personen, die j Jahre alt sind
(1) Gesamtzahl der Personen im Raum:
N=
∞
X
N (j) = 14
(2.1)
j=0
(2) Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Wahl eine Person mit Alter j zu wählen:
P(j) =

∞
X

N (j)
N
(2.2)

P(j) = 1

(2.3)
j=0
(3) Wahrscheinlichstes Allter: j mit maximalem P(j), d.h. j = 25
(4) Medianwert des Alter (gleich viele Personen älter wie jünger): j = 23
(5) mittleres Alter oder Durchschnittswert der Alters:
hji =
∞
X
jP(j) = 21
(2.4)
j=0
(6) Mittelwert einer Funktion f (j) (z.B. f (j) = j 2 ):
hf (j)i =
∞
X
f (j)P(j)
(2.5)
j=0
Bemerkung:
(i) Niemand in der Stichprobe muss Medianwert oder Durchschnittswert wirklich haben
(ii) in der Quantenmechanik heißt der Durchschnittswert auch Erwartungswert
(iii) im Allgemeinen:
hj 2 i =
6 hji2
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(2.6)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Betrachte:
Abbildung 2.1: Histogramme mit gleichem Median, Mittelwert, wahrscheinlichstem Wert, Gesamtzahl
Beide Histogramme in Abbildung 2.1 stimmen überein in: Median, Mittelwert, wahrscheinlichster Wert,
Gesamtzahl.
Maß für Breite der Verteilung? Definiere ∆j = j − hji.
∞
X
h∆ji =
(j − hji)P(j) =
j=0
∞
X
jP(j) −
j=0
|
∞
X
hjiP(j) = hji − hji = 0
(2.7)
j=0
{z
=hji
}
|
=hji
{z
P
}
P(j)
| {z }
=1
Betrachte daher
σ 2 ≡ h(∆j)2 i
Varianz
(2.8)
s. Übung,
(2.9)
mit σ: Standardabweichung
Es gilt:
σ 2 = hj 2 i − hji2
(d.h. hj 2 i ≥ hji2 )
kontinuierliche Zufallsvariablen: ρ(λ): Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen λ (z.B. λ = x oder
λ = p)
Dann:
(i)
Z
Pab =
b
dλρ(λ)
Wahrscheinlichkeit, dass λ zwischen a und b liegt
(2.10)
a
(ii)
Z
∞
dλρ(λ) = 1
(2.11)
−∞
(iii)
Z
∞
hλi =
dλλρ(λ)
(2.12)
dλf (λ)ρ(λ)
(2.13)
−∞
(iv)
Z
∞
hf (λ)i =
−∞
Seite 7
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(v)
σ 2 = h(∆λ)2 i = hλ2 i − hλi2
(2.14)
2.2. Schrödingergleichung und statistische Interpretation
i~
∂
~2 ∂ 2
Ψ(x, t) + V (x, t)Ψ(x, t)
Ψ(x, t) = −
∂t
2m ∂x2
(2.15)
(zeitunabhängige) Schrödingergleichung (in 1 Dimension)), V : Potential
• |Ψ(x, t)|2 = ρ(x, t): Wahrscheinlichkeitsdichte für Position x (zur Zeit t)
Rb
• a dx|Ψ(x, t)|2 : Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen a und b zu finden
Abbildung 2.2: Teilchen wahrscheinlich in der Nähe von A und unwahrscheinlich in der Nähe von B
• vor einer Messung hat Teilchen keinen bestimmten Ort 2.2
• Misst man Teilchen, z.b bei C, “kollabiert” die Wellenfunktion
Abbildung 2.3: Wellenfunktion kollabiert; Teilchen bei C
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Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
⇒ Direkt nachfolgende Messung ergibt wieder C, s. Abb. 2.3.
R∞
D.h. hxi = −∞ dx x |Ψ(x, t)|2 ist Mittelwert von wiederholten Messungen an einem Ensemble von
identisch präparierten Teilchen, nicht der Mittelwert von wiederholten Messungen am selben Teilchen
• Normierung:
Z
∞
!
dx|Ψ(x, t)|2 = 1
(2.16)
−∞
für alle t
R∞
R∞
(i) Falls −∞ dx|Ψ(x, t = 0)|2 = 1, dann gilt −∞ dx|Ψ(x, t)|2 = 1 für alle t, wenn Ψ eine Lösung
der Schrödingergleichung ist (s. Übung).
R∞
(ii) Lösungen Ψ(x, t) mit −∞ dx|Ψ|2 < ∞ heißen “quadratintegrabel”. Sie sind “normierbar” und
entsprechen physikalisch realisierbaren Zuständen.
[Ψ(x, t) Lösung der Schrödingergleichung ⇒ AΨ(x, t) ebenfalls Lösung mit Konstanten A ∈ C.
Wähle A so, dass die Normierungsbedingung (s.o.) erfüllt ist. Dies legt nur Betrag von A fest,
Phase ist unphysikalisch und daher beliebig, siehe später.]
2.3. Schrödingergleichung plausibel gemacht
Benutze
1) Energie-Impuls-Relation (für kräftefreies Teilchen): E =
p2
2m
2) De-Broglie-Relationen: E = ~ω, p = ~k
1) & 2) ⇒ ~ω =
~2 k 2
2m
(2.17)
Suche Gleichung, deren Lösung ebene Wellen sind, z.B.
Ψ = Ψ0 ei(kx−ωt) ,
Betrachte
∂t Ψ =
Ψ0 ∈ C konstant
(2.18)
∂
Ψ = −iωΨ0 ei(kx−ωt) = −iωΨ
∂t
(2.19)
∂x2 Ψ = −k 2 Ψ
(2.20)
Einsetzen in (2.17):
~ω =
2 2
~2
1
~
! ~ k
∂t Ψ =
=
(− ∂x2 Ψ)
−iΨ
2m
2m Ψ
~2 2
∂ Ψ
2m x
(2.22)
~2 2
∂ Ψ(x, t) + V (x, t)Ψ(x, t)
2m x
(2.23)
⇒ i~∂t Ψ = −
Mit Potential V (in Analogie zu E =
p2
2m
(2.21)
+ V ).
i~∂t Ψ(x, t) = −
zeitabhängige Schrödingergleichung
Seite 9
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Bemerkung:
i.
i~
∂
Ψ = ĤΨ
∂t
mit Hamiltonoperator
Ĥ = −
ii. in 3 Dimensionen:
~2 2
∂ + V (x, t)
2m x
~2
i~∂t Ψ(~r, t) = ĤΨ(~r, t) = −
∆ + V (~r, t) Ψ(~r, t)
2m
(2.24)
(2.25)
(2.26)
2.4. Impuls
Z
∞
∂
dx x
|Ψ(x, t)|2
∂t
−∞
Z ∞
∂
i~
∂Ψ ∂Ψ∗
dx x
(s. Übungen) =
Ψ∗
−
Ψ
2m −∞
∂x
∂x
∂x
Z ∞
∗
i~
∂Ψ
∂Ψ
(partielle Integration) = −
dx (Ψ∗
−
Ψ)
2m −∞
∂x
∂x
Z
i~ ∞
∂Ψ
(part. Int. d. 2. Terms) = −
dx Ψ∗
m −∞
∂x
√
√
Randterme verschwinden, wenn x Ψ → 0 und x ∂x Ψ → 0 für |x| → ∞
Z ∞
dhxi
∂Ψ
⇒m
= −i~
dx Ψ∗
dt
∂x
−∞
dhxi
=
dt
(2.27)
In der Quantenmechanik gilt p = mẋ immer noch für Erwartungswerte (Beispiel für Ehrenfesttheorem, s. später), d.h.
dhxi
hpi = m
(2.28)
dt
Somit
Z ∞
hxi =
dx Ψ∗ x Ψ
(2.29)
−∞
Z
∞
dx Ψ∗
hpi =
−∞
~ ∂
i ∂x
Ψ
(2.30)
Allgemein gilt (später mehr dazu): Messgrößen werden durch Operatoren Q̂ repräsentiert (Differentialoperator beziehungsweise Multiplikationsoperator), die auf Wellenfunktionen wirken.
Es gilt:
Z
∞
dx Ψ∗ Q̂ Ψ
hQi =
−∞
Beispiel: Messgrößentabelle
Messgröße
x
Operator
x·
px
~ ∂
i ∂x
Q(x, p)
∂
Q̂(x, ~i ∂x
)
T =
p2
2m
~ = ~r × p~
L
2
2
h ∂
− 2m
∂x2
~
~r × ~i ∇
Seite 10
(2.31)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
2.5. Unschärferelation Teil 1
Vergleiche folgende Wellen:
Abbildung 2.4: hat relativ wohldefinierte Wellenlänge, aber ist sehr ausgebreitet
Abbildung 2.5: hat nicht gut definierte Wellenlänge, aber ist gut lokalisiert
Beispiel:
Wir nehmen für das Wellenpaket zum Zeitpunkt t = 0 die folgende Form an (wobei ein a-abhängiger
Normierungsfaktor unterdrückt wurde):
a
2
Ψ(x, t = 0) ∼ e− 2 x
a
+ik0 x
,
a, k0 ∈ R .
(2.32)
2
Der Realteil und der Absolutwert (|Ψ| =∼ e− 2 x ) sind für zwei verschiedene Werte von a und für k0 = 1
in Bild 2.6 gezeigt. Offenbar ist der Ort im 1. Fall präziser bestimmt als im 2. Fall.
Abbildung 2.6: Realteil (rot, oszillierend) und Betrag (blau, einhüllend) des Wellenpaketes (2.32) für
k0 = 1 und a = 0.1 (links) bzw. a = 0.01 (rechts).
Die Wellenpakete sind Überlagerungen von Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen (was nach de
Broglie unterschiedlichen Impulsen entspricht gemäß p = ~k = 2π~
λ ). Konkret gilt die Fourierentwicklung
Z ∞
1
Ψ(x, t = 0) = √
dk Φ(k)eikx ,
(2.33)
2π −∞
Seite 11
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Abbildung 2.7: Φ(k) für k0 = 1 und a = 0.1 (links) bzw. a = 0.01 (rechts).
mit der Fouriertransformierten
1
Φ(k) = √
2π
Z
∞
dx Ψ(x, t = 0)e−ikx ∼ e−
(k−k0 )2
2a
.
(2.34)
−∞
Sie ist wieder für die beiden Fälle in Bild 2.7 dargestellt (ebenfalls unnormiert). Offenbar ist der Impuls
im 2. Fall präziser bestimmt, als im 1. Fall (im Gegensatz zur Position).
Heisenberg’sche Unschärferelation (bzw. Unbestimmtheitsrelation)
σx σp ≥
~
2
(2.35)
2.6. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung
i~
∂Ψ
~2 2
=−
∂ Ψ+VΨ
∂t
2m x
(2.36)
Häufig: V = V (x) zeitunabhängig
Dann: Lösung durch “Separation der Variablen”
Ansatz: Ψ(x, t) = ψ(x) · ϕ(t)
Bemerkung: sehr spezielle Lösungen
Aber: man kann die allgemeinste Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung aus diesen separierbaren Lösungen konstruieren.
Einsetzen des Produktansatzes in die Schrödingergleichung ergibt:
i~ψ
1
· ψϕ
⇒
dϕ
−~2 d2 ψ
=−
ϕ+V ψ ϕ
dt
2m dx2
1 dϕ(t)
~2 1 d2 ψ(x)
i~
=−
+ V (x)
ϕ(t) dt
2m ψ(x) dx2
|
{z
}
|
{z
}
hängt nur von t ab
hängt nur von x ab
⇒ beide Seiten konstant = E
Seite 12
(2.37)
(2.38)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(i)
dϕ
iE
=− ϕ
dt
~
(2.39)
(ii)
−
~2 d2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
(2.40)
zeitunabhängige Schrödingergleichung
bzw.
Ĥψ = Eϕ
Bemerkung:
(i) Gleichung (2.39) hat Lösung ϕ(t) = e−
iE
~ t
(ii) Gleichung (2.40) hat nicht für beliebige Werte von E normierbare Lösungen
Einschub:
vgl. Eigenwertgleichung für Matrizen:
0 1
~v = λ~v
1 0
Normierung
z}|{
1
√
2
λ1 = +1 ⇒ ~v1 =
λ2 = −1 ⇒ ~v2 =
1
√
2
|{z}
1
1
1
−1
(2.41)
Normierung
(iii) E reell, da Eigenwerte des Hamiltonoperators reell sind (siehe später)
Warum sind separierbare Lösungen interessant?
1. Sie sind stationäre Zustände
|Ψ(x, t)|2 = Ψ∗ Ψ
E reell
=
ψ∗ e
iE
~ t
ψe−
iE
~ t
= |ψ(x)|2
Wahrscheinlichkeitsdichte zeitunabhängig, ebenso alle Erwartungswerte.
Z ∞
Z ∞
~ ∂
hQ(x, p)i =
dx Ψ∗ Q̂(x,
)Ψ =
dx ψ ∗ Q̂ψ
i ∂x
−∞
−∞
(2.42)
(2.43)
Insbesondere hxi zeitunabhängig
⇒ hpi = m
2. Sie haben wohldefinierte Energie
Z ∞
hHi =
dx ψ ∗ Ĥψ
Ĥψ=Eψ
−∞
=
Z
dhxi
=0
dt
∞
E
dx ψ ∗ ψ = E
−∞
(2.44)
Z
∞
dx |Ψ|2 = E
(2.45)
−∞
Außerdem:
Ĥ 2 ψ = Ĥ(Ĥψ) = Ĥ(Eψ) = E Ĥψ = E 2 ψ
Z ∞
Z ∞
hH 2 i =
dx ψ ∗ Ĥ 2 ψ = E 2
dx |ψ|2 = E 2
⇒
−∞
2
σH
=
−∞
2
hH 2 i − hHi2 = E − E 2 = 0
Seite 13
(2.46)
(2.47)
(2.48)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
3. allgemeine Lösung der Schrödingergleichung ist Linearkombination von separierbaren Lösungen, z.B.
falls Menge der separierbaren Lösungen
= {Ψm (x, t) = ψn (x)e−i
En t
~
, n ∈ N}
(2.49)
Jede Linearkombination ist ebenfalls Lösung der Schrödingergleichung, d.h.
Ψ(x, t) =
∞
X
t
cn ψn (x)e−iEn ~
(2.50)
n=1
Behauptung: Jede normierbare Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung ist von der Form (2.50)
(ohne Beweis, Beispiel später).
{cn ∈ C, n ∈ N} müssen durch Anfangsbedingungen Ψ(x, t = 0) bestimmt werden.
! P∞
D.h. Ψ(x, 0) = n=1 cn ψn (x).
Bemerkung:
(i) Linearkombinationen von separierbaren Lösungen sind nicht stationär
iE1 t
iE2 t
[Z.B. Ψ(x, t) = c1 ψ1 (x)e− ~ + c2 ψ2 (x)e− ~ mit c1 , c2 ∈ R
|Ψ2 | = ... = c21 ψ12 + c22 ψ22 + c1 c2 ψ1 ψ2 · 2 cos((E1 − E2 ) ~t )
t-abhängig, falls E1 6= E2 ]
2
(ii) E ≥ Minimum von V (x), damit Ψ normierbar ist [Denn: ddxψ2 = 2m
~2 (V (x) − E)ψ
Annahme: E < Vmin ⇒ V (x) − E > 0 ⇒ ψ 00 und ψ haben immer selbes Vorzeichen
⇒ ψ ist nicht normierbar]
Abbildung 2.8: ψ ist nicht normierbar
(iii) ψ, ψ 0 stetig (für beschränktes Potential)
[ψ 00 = 2m
~2 (V (x) − E)ψ
Falls rechte Seite bei x = x0 unstetig ist ⇒ ψ 00 bei x = x0 unstetig
⇒ ψ 0 bei x = x0 stetig
⇒ ψ bei x = x0 stetig]
Beispiel:
Seite 14
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Abbildung 2.9: Die Stammfunktion einer unstetigen Funktion ist stetig.
Seite 15
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
3. 1-dimensionale Anwendung
3.1. Unendlicher Potentialtopf
Der unendliche Potentialtopf ist ein Modell für stark gebundene Leitungselektronen eines Metalls (die
Bindung ist proportional zur Austrittsarbeit: Bindung ∼ Austrittsarbeit)
0
0≤x≤a
V (x) =
(3.1)
∞
sonst
Abbildung 3.1: unendlicher Potentialtopf
0 ≤ x ≤ a:
−
~2 d2 ψ
2mE
= Eψ(x) ⇔ ψ 00 (x) = − 2 ψ
2
2m dx
~
(3.2)
sonst ψ(x) ≡ 0.
Stetigkeit ⇒ Randbedingungen: ψ(0) = 0 und ψ(a) = 0 (vgl. Grenzwert V → ∞ des endlichen Potentialtopfes, s. später).
Allgemeine Lösung von Gleichung (3.2):
r
2mE
k 2 ~2
ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) mit k =
⇒
E
=
(3.3)
~2
2m
ψ(0) = 0 ⇒ B = 0 ⇒ ψ(x) = A sin(kx)
nπ
!
ψ(a) = A sin(ka) = 0 ⇒ kn =
n = 1, 2, 3, ...
a
n = 0 ist nicht erlaubt, da sonst ψ ≡ 0 ist.
n < 0 gibt nichts Neues, da sin(−θ) = − sin(θ).
Somit: Erlaubte Energien:
~2 kn2
n2 π 2 ~2
En =
=
2m
2ma2
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Normierte Lösung:
r
ψn (x) =
2
nπ
sin( x)
a
a
Seite 16
(3.7)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
ψ1 : “Grundzustand”
ψn , n > 1: “angeregte Zustände”
Abbildung 3.2: ψ(x) und ρ(x) im unendlichen Potentialtopf
Bemerkung:
(i) Energie ist quantisiert, d.h. es sind nur diskrete Werte möglich
(ii) tiefster Energiewert E1 =
π 2 ~2
2ma2
> 0 (“Nullpunktsenergie”)
2
p
i = 2mhHi,
[Beachte: Für ψn gilt: hpi = 0, hp2 i = 2mEn denn hp2 i = 2mh 2m
hpi=0
d.h. wäre E1 = 0 ⇒ hp2 i = 0 ⇒ σp = 0
σx ≤a
⇒ σx σp = 0 < ~2
⇒ Widerspruch zu Heisenberg’scher Unschärferelation.]
(iii) Jeder Energiewert kommt nur 1 mal vor (keine Entartung der Energiewerte, vgl. Übung)
(iv) ψn abwechselnd gerade und ungerade bezüglich x =
a
2
(vgl. Übung)
(v) Zustände mit höherer Energie haben mehr und mehr Knoten, d.h. Nulldurchgänge
Ra
∗
(vi) ψn paarweise orthonormal bzw. 0 dx ψm
(x)ψn (x) = δmn
mit “Kronecker-Delta”
0
m 6= n
δmn =
1
m=n
(3.8)
(vii) ψn vollständig, d.h. jede quadratintegrable Funktion f (x) mit f (0) = 0 = f (a) lässt sich als Linearkombination schreiben:
r ∞
∞
nπ X
2X
f (x) =
cn ψn (x) =
cn sin
x
(3.9)
a n=1
a
n=1
Folgt aus dem Satz über die Fourierzerlegung.
Koeffizienten:
Z a
cn =
dx
0
Seite 17
ψn∗ (x)f (x)
(3.10)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
"Z
a
dx
ψn∗ (x)f (x)
=
0
∞
X
Z
cm
dx
ψn∗ (x)ψm (x)
=
0
m=1
∞
X
a
#
cm δnm = cn
(3.11)
m=1
|x|→∞
Eigenschaft (i) gilt immer falls V (x) → ∞, dann hat man nur lokalisierte (d.h. gebundene), normierbare Zustände
(iv) gilt, falls V symmetrisch um x = a2
(ii), (v), (vi), (vii) sind sehr allgemein
q
2 ~π 2
−i n2ma
2 t
stationäre Zustände Ψm (x, t) = a2 sin( nπ
a x)e
Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung:
r
∞
nπ X
n2 ~π 2
2
Ψ(x, t) =
cn
sin
x e−i 2ma2 t
a
a
n=1
mit
(3.12)
r Z a
nπ 2
dx sin
cn =
x Ψ(x, 0)
a 0
a
(3.13)
Interpretation der cn ?
hHi =
=
R∞
−∞
P
R∞
dx Ψ∗ ĤΨ =
m,n
e
i(Em −En )t
~
−∞
c∗m cn
P
P
iEm t
iEn t
dx ( m cm ψm e− ~ )∗ · Ĥ( n cn ψn e− ~ )
R∞
−∞
∗
Ĥψn
dx ψm
| {z }
En ψn
R∞
−∞
=
∗
dx ψm
ψn =δmn
=
P
n
P
m,n
e
i(Em −En )t
~
(3.14)
c∗m cn En δmn
|cn |2 En
⇒ |cn |2 : Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung der Energie den Wert En ergibt.
Bemerkung:
P∞
n=1
|cn |2 = 1
3.2. Harmonischer Oszillator
Klassisch: F = −kx = m ·
d2 x
dt2
⇒ x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)
mit ω =
q
k
m
Potential: V = 21 kx2 ⇒ F = −V 0 = −kx
Wichtiges Beispiel, weil fast jedes Potential in der Nähe eines Minimums annähernd parabelförmig ist.
Taylor-Entwicklung um Minimum bei x = x0 :
V (x)
=
V (x0 )
| {z }
+
irrelevante Konstante
≈
1 00
2 V (x0 )(x
V 0 (x0 )
| {z }
(x − x0 ) + 21 V 00 (x0 )(x − x0 )2 + O((x − x0 )3 )
(3.15)
=0, da x0 Minimum
2
− x0 )
⇒ harmonische Oszillation um x = x0 mit k = V 00 (x0 )
da x0 Minimum
>
0
Bemerkung:
(i) Annahme über das Potential: V 00 (x0 ) 6= 0
(ii) Gleichung (3.15) ist nur für kleine Schwingungen eine gute Näherung, da O((x − x0 )3 )-Terme vernachlässigt werden
Seite 18
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Löse nun:
−
~2 00 1
ψ + mω 2 x2 ψ = Eψ
2m
2
(3.16)
Lösungsmethoden:
(i) Potenzreihenansatz
(ii) Algebraische Methode
Hier in der Vorlesung wird nur (ii) behandelt.
1
(p̂2 + (mωx̂)2 )
1. Schritt: Faktorisiere Ĥ = 2m
Für Zahlen gilt
u2 + v 2 = (iu + v)(−iu + v)
(3.17)
1
(∓ip̂ + mωx̂)
2~mω
(3.18)
Versuche
â± ≡ √
Damit
â− â+
=
1
2~mω (ip̂
=
1
2~mω
=
1
2~mω
+ mωx̂)(−ip̂ + mωx̂)
p̂2 + (mωx̂)2 − imω(x̂p̂ − p̂x̂)
i
p̂2 + (mωx̂)2 − 2~
[x̂, p̂]
(3.19)
Kommutator:
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â
gibt an, wie sehr  und B̂ nicht kommutieren.
[x̂, p̂] = ?
Anwendung auf Testfunktion f (x):
~ d
~ d
~
df
df
[x̂, p̂]f (x) = x
f−
(xf ) =
x
−x
− f = ~if (x)
i dx
i dx
i
dx
dx
⇒ [x̂, p̂] = i~
Damit:
“kanonische Vertauschungsrelation”
(3.20)
(3.21)
(3.22)
â− â+ =
1
1
1
Ĥ + bzw. Ĥ = ~ω(â− â+ − )
~ω
2
2
(3.23)
â+ â− =
1
1
1
Ĥ − bzw. Ĥ = ~ω(â+ â− + )
~ω
2
2
(3.24)
Analog:
Nebenbemerkung: [â− , â+ ] = 1
Entscheidende Beobachtung:
Ĥψ = Eψ ⇒ Ĥ(â+ ψ) = (E + ~ω)(â+ ψ) und Ĥ(â− ψ) = (E − ~ω)(â− ψ)


Ĥ(â+ ψ) = ~ω(â+ â− + 21 )(â+ ψ) = ~ω(â+ â− â+ + 21 â+ )ψ




1


=
~ωâ
(
â
â
+
)ψ
=
â
(
Ĥ
+
~ω)ψ
+
− +
+
2


| {z }


â− â+ − 21 + 12




Ĥψ=Eψ


= â+ (E + ~ω)ψ = (E + ~ω)(â+ ψ)






 Ĥ(â ψ) = ~ω(â â − 1 )(â ψ)

−
− +
−


2




= ...


= (E − ~ω)(â− ψ)
Seite 19
(3.25)
(3.26)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Daher:
â+
â−
â±
: Aufsteigeoperator
: Absteigeoperator
: Leiteroperatoren
(3.27)
Jetzt: Wendet man â− auf ψ mit Ĥψ = Eψ oft genug an, kommt man zu einem Zustand mit Energie
< 0. Dies würde einen Widerspruch zu E ≥ Vmin = 0 darstellen, wenn alle Zustände, die man durch
Anwendung von â− bekommt, normierbar wären.
Erklärung: â− ψ0 muss nicht normierbar sein (wobei ψ0 der letzte Zustand mit nichtnegativer Energie ist,
den man durch sukzessive Anwendung von â− ψ0 bekommt). D.h. â− ψ0 hat entweder unendliche Norm
oder es ist null.
Tatsächlich: â− ψ0 = 0 (s.u.).
Also:
â− ψ0 =
d
√ 1
(~ dx
2mω~
+ mωx)ψ0 = 0
dψ0
dx
= − mω
~ xψ0
R 0
R
mω
⇒ dψ
dx x
ψ0 = − ~
⇒
(3.28)
2
⇒ ln ψ0 = − mω
2~ x + const
mω
⇒ ψ0 = A e− 2~ x
2
⇒ Normierung: ψ0 (x) =
mω 14
π~
mω
e− 2~ x
2
Energie von ψ0 ?
Ĥψ0 = ~ω(â+ â− + 21 )ψ0 =
⇒ E0 =
~ω
2 ψ0
(3.29)
1
~ω
2
ψn (x) = An (â+ )n ψ0 (x),
1
En = ~ω( + n)
2
(3.30)
Normierung: An = √1n!
Konkret (s. Abb. 3.3 für die niedrigsten angeregten Zustände):
ψn (x) =
mω 14
π~
ξ2
1
√
Hn (ξ)e− 2
2n n!
r
mit ξ =
mω
x
~
Hn (ξ): Hermite’sche Polynome
H0 (ξ) = 1, H1 (ξ) = 2ξ, H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2, H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ, ...
Eigenschaften:
(i) Abwechselnd gerade und ungerade, d.h. Hn (−ξ) = (−1)n Hn (ξ) (überträgt sich auf ψn )
(ii) Hn (0) 6= 0 für n gerade
Seite 20
(3.31)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Abbildung 3.3: Die niedrigsten Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators.
Noch zu zeigen: â− ψ0 hat endliche Norm.
Zunächst gilt für beliebige Funktionen f (x), g(x) mit f ∗ (x) · g(x)
Z
∞
dx f ∗ (â± g) =
−∞
Z
|x|→∞
→
0
∞
dx (â∓ f )∗ g
(3.32)
−∞
d.h.
â∓ hermite’sch konjugiert zu â±

R∞
1
d
+ mωx)g
dx f ∗ (â± g) = √2~mω
dx f ∗ (∓~ dx
−∞
−∞


∗
R∞
P.I.
1
d

√
= 2m~ω −∞ dx (±~ dx + mωx)f g


R∞
= −∞ dx (â∓ f )∗ g
(3.33)
 R∞





Damit:
Z
∞
dx (â− ψ0 )∗ (â− ψ0 ) =
−∞
Z
(3.34)
∞
1
1
dx ψ0∗ ( â+ â− ψ0 ) =
E0 − < ∞ ,
{z
}
|
~ω
2
−∞
(3.35)
1
1
~ω Ĥ− 2
wobei ψ0 als normiert angenommen wurde.
Bemerkung:
(i)
â+ â− ψn = nψn
1
â+ â− ψn = ~ω
Ĥ − 12 ψn = nψn
(3.36)
â− â+ ψn = (n + 1)ψn
(ii) ψm orthonormiert, d.h.
R∞
dx ψn∗ ψm = δnm
 R∞

R∞
dx ψn∗ (â+ â− )ψm = m −∞ dx ψn∗ ψm
−∞


R∞
R∞
∗
∗
= −∞ dx (â+ â− ψn ) ψm = n −∞ dx ψn ψm
−∞
Seite 21
(3.37)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(iii) ψn vollständig,
R ∞ d.h. für jede quadratintegrable Funktion f (x) mit f
mit cn = −∞ dx ψn∗ (x)f (x)
|cn |2 : Wahrscheinlichkeit, bei Energiemessung En zu messen.
|x|→∞
→
0 gilt f (x) =
P∞
n=0 cn ψn (x)
(iv) (a) Höhere Energie → mehr Knoten
(b) keine Entartung
(c) Aufenthaltswahrscheinlichkeit ungleich Null für E < V ! (klassisch verboten)
3.3. Das freie Teilchen
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung nimmt eine sehr einfache Form an:
2
2
~ d ψ
− 2m
dx2 = Eψ
⇔
d2 ψ
dx2
√
= −k 2 ψ,
k≡
(3.38)
2mE
~
>0
Lösung:
ψ(x) = A eikx + B e−ikx
(3.39)
keine Randbedingungen
⇒ keine Einschränkungen an mögliche Werte für E (außer E > 0)
Multiplikation mit e−
⇒
iEt
~
Ψ(x, t) = A
rechtslaufende Welle
linkslaufende Welle
z }| {
~k
eik(x− 2m t)
}|
{
z
~k
−ik(x+ 2m
)t
e
+B
(3.40)
Allgemein: f (x ± vt) mit beliebiger Funktion f beschreibt links- bzw. rechtslaufende Welle mit Geschwindigkeit v > 0
2
Z.B. f (z) = e−z
t = 0 : f (x ± v · 0) = f (x)
t>0:
Seite 22
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Einheitliche Beschreibung durch
√
2
Ψk (x, t) = A e
i(kx− ~k
2m t)
mit k = ±
2mE
wobei
~
k > 0 ⇒ rechtslaufend
k < 0 ⇒ linkslaufend
(3.41)
Dies sind die stationären Lösungen des freien Teilchen.
2 Probleme:
(i) Ψk sind nicht normierbar
Z
∞
dx
Ψ∗k Ψk
2
Z
∞
dx = ∞
= |A|
(3.42)
−∞
−∞
d.h. ein freies Teilchen kann sich nicht in einem stationären Zustand befinden, bzw. es hat keine
wohldefinierte Energie
(ii)
~|k|
=
=
2m
vQM
r
E
2m
(3.43)
klassisch gilt: E = 21 mv 2
q
⇒ vklass = 2E
m = 2vQM 6= vQM
Aber: allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung immer noch Linearkombination der
separierbaren Lösungen:
Z ∞
~k2
1
(3.44)
dk φ(k) ei(kx− 2m t)
Ψ(x, t) = √
2π −∞
nach Satz über Fourierzerlegung mit
1
φ(k) = √
2π
Z
∞
dx Ψ(x, 0) e−ikx
(3.45)
−∞
φ(k): Fouriertransformierte von Ψ(x, 0).
Linearkombinationen der Ψk können (für geeignete Wahl der Koeffizientenfunktion φ(k)) aufgrund von
Interferenzen normierbar sein. Sie heißen “Wellenpakete”.
Beispiel:
Ψ(x, 0) =
A
0
x ∈ [−a, a]
sonst
Seite 23
(3.46)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Normierung: A =
√1
2a
Frage: Ψ(x, t)?
φ(k)
=
√1
2π
Ra
dx
−a
eiλ =cos λ+i sin λ
=
√1
2a
e−ikx =
−ikx a
√1 e
2 aπ −ik −a
=
√1
k πa
eika −e−ika
2i
(3.47)
√1 sin ka
πa k
Damit
1
√
π 2a
Integral kann nur numerisch gelöst werden:
Z
∞
Ψ(x, t) =
dk
−∞
sin ka i(kx− ~k2 t)
2m
e
k
Grenzfälle:
i) a sehr klein
sin ka ≈ ka für ka << 1
p
⇒ φ(k) ≈ πa
Seite 24
(3.48)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
ii) a sehr groß
Dies ist ein weiteres Beispiel für Heisenbergs Unschärferelation.
Zurück zur Geschwindigkeit:
grobe Erklärung: Betrachte typisches Wellenpaket, z.B. ReΨ(x, t) (ImΨ ähnlich) für feste Zeit
Einhüllende |Ψ(x, t)|, denn Ψ(x, t) = |Ψ(x, t)| eiarg(Ψ(x,t)) = |Ψ| cos arg(Ψ) + i|Ψ| sin arg(Ψ)
vp : Phasengeschwindigkeit
vg : Gruppengeschwindigkeit
i. A.: vp 6= vg , klassische Geschwindigkeit entspricht vg
Frage: Was ist die Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpaketes
Z ∞
~k 2
1
i(kx−ωt)
dk φ(k) e
für uns ω =
?
Ψ= √
2m
2π −∞
(3.49)
Annahme: φ(k) nur in enger Umgebung von k = k0 ungleich Null (damit vp , vg des Wellenpaketes wohldefiniert sind).
Seite 25
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Z.B.
Wir brauchen ω(k) nur in der Nähe von k = k0 zu kennen.
dω
(k0 )(k − k0 ) + ...
ω(k) ≈ ω(k0 ) +
| {z } |dk{z }
≡ω0
(3.50)
≡ω00
Variablentransformation k = k0 + s
Z ∞
0
1
⇒ Ψ(x, t) ≈ √
ds φ(k0 + s) ei((k0 +s)x−(ω0 +ω0 s)t)
2π −∞
R∞
t = 0 : Ψ(x, 0) = √12π −∞ ds φ(k0 + s) ei(k0 +s)x
Z ∞
0
i(−ω0 t+k0 ω00 t) √1
t 6= 0 : Ψ(x, t) ≈ e
ds φ(k0 + s) ei(k0 +s)(x−ω0 t)
2π −∞
{z
}
|
(3.52)
Ψ(x−ω00 t,0)
|Ψ(x, t)|2 ≈ |Ψ(x − ω00 t, 0)|2
⇒
(3.51)
Aufenthaltswahrscheinlichkeit bewegt sich mit Geschwindigkeit
vg =
dω
(k0 )
dk
(3.53)
vp =
ω k k=k0
(3.54)
Phasengeschwindigkeit
Für uns:
ω=
~k 2
ω ~k0
⇒ vp = =
,
2m
k k=k0
2m
aber vg =
dω
~k0
(k0 ) =
dk
m
(3.55)
d.h. vklass = vg = 2vp .
Bemerkung:
(i) konsistent mit de Broglie vklass =
~k
m
⇔ mvklass = pklass = ~k
(ii) streng genommen hat jede Komponente des Wellenpaketes seine eigene Phasengeschwindigkeit, d.h.
~k
vp = 2m
hängt von k ab ⇒ Wellenpaket zerfließt mit der Zeit
Seite 26
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(iii) Vergleich mit elektromagnetischen Wellen (im Vakuum)
ω
ω = ck ⇒ vg = dω
dk = c = k = vp
2 2
k
(iv) zu allen Energiewerten E = ~2m
> 0 gibt es zwei Lösungen: linkslaufende und rechtslaufende Wellen
⇒ 2-fache Entartung der separierbaren Lösungen (möglich, da Lösungen nicht normierbar sind)
2
~
ψ 00 (x) = Eψ die Lösung
(v) für E < 0 hat die Schrödingergleichung − 2m
√
ψ = A eκx + B e−κx mit κ = −2mE
> 0.
~
Dies ist nicht normierbar und auch alle Linearkombinationen sind nicht normierbar → physikalisch
irrelevant
3.4. Das Delta Potential
3.4.1. Gebundene Zustände und Streuzustände
Quantenmechanik: normierbare Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung mit diskretem Index oder nicht normierbare mit kontinuierlichem Index.
Vergleiche mit klassischer Mechanik mit zeitunabhängigem V = V (x): zwei unterschiedliche Bewegungsformen
(a) “gebundener Zustand” (entspricht den normierbaren Lösungen)
Seite 27
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(b) “Streuzustände” (entspricht Situation, die in der Quantenmechanik auf nicht normierbare Lösungen
führt)
(c) klassisch: gebundener Zustand
quantenmechanisch: Streuzustand, da das Teilchen in den Bereich x < x0 “tunneln” kann (s.u.)
D.h. Quantenmechanik:
E < [V (−∞) und V (+∞)] ⇒ gebundener Zustand
E > [V (−∞) oder V (+∞)] ⇒ Streuzustand
Beispiele:
(i) unendlicher Potentialtopf und harmonischer Oszillator: nur gebundene Zustände
(ii) freies Teilchen: nur Streuzustände
(iii) i.A. beide Arten
3.4.2. Deltafunktionspotential
“Dirac’sche Deltafunktion”
δ(x) =
0
∞
x 6= 0
x=0
Z
∞
dx δ(x) = 1
so dass
−∞
d.h.
Seite 28
(3.56)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Verallgemeinerte Funktion bzw. Distribution
f (x)δ(x − a) = f (a)δ(x − a)
Damit:
∞
Z
Z
∞
dx f (x)δ(x − a) = f (a)
−∞
Beachte
Z
(3.57)
dx δ(x − a) = f (a)
(3.58)
−∞
∞
Z
a+
dx δ(x − a) = 1,
dx δ(x − a) =
−∞
>0
(3.59)
a−
Betrachte nun Potential V (x) = −αδ(x),
α > 0.
Schrödingergleichung, die gelöst werden muss:
−
~2 d2 ψ
− αδ(x)ψ = Eψ
2m dx2
(3.60)
Hat sowohl gebundene Zustände (E < 0) als auch Streuzustände (E > 0).
(1) Gebundene Zustände (E < 0)
x<0
⇒
V (x) = 0
⇒
d2 ψ
2mE
= − 2 ψ = κ2 ψ
dx2
~
√
mit κ ≡
−2mE
>0
~
(3.61)
Allgemeine Lösung:
ψ(x) =
−κx
|A e{z }
divergiert für x→−∞
Seite 29
+B eκx
(3.62)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
x>0
ψ(x) = B eκx
⇒
für Normierbarkeit: A = 0
⇒
ψ(x) = F e−κx +
⇒
V (x) = 0
(x < 0)
G
eκx}
| {z
(3.63)
divergiert für x→+∞
Normierbarkeit:
ψ(x) = F e−κx
⇒
G=0
(x > 0)
(3.64)
Randbedingungen bei x = 0 führen zu Beziehungen zwischen B und F und Bedingung an κ.
(i) ψ stetig bei x = 0
⇒ B = F , somit
B eκx
B e−κx
ψ(x) =
Normierung:
Z ∞
Z
dx |ψ(x)|2 = 2 |B|2
−∞
(x ≤ 0)
(x ≥ 0)
∞
dx e−2κx = 2 |B|2
0
(3.65)
∞
|B|2 !
1 −2κx =
e
≡1
−2κ
κ
0
⇒B=
√
κ
(3.66)
(ii) Üblicherweise
dψ
dx
stetig wo V (x) endlich. Hier?
2
~
− 2m
R
dx
−
d2 ψ(x)
dx2
+
Z
R
dx V (x)ψ(x) =
−
−
|
dx Eψ(x)
{z
}
→0
→0
⇒∆
dψ
dx
= lim→0
dψ dx +
− dψ
dx =
−
2m
~2
lim→0
R
−
dx V (x)ψ(x)
=
V =−αδ(x)
− 2mα
~2 ψ(0)
(3.67)
Hier:
dψ dx x>0:
dψ dx x<0:
!
−
− 2κ 2 = −
2
2
→0
3
Damit:
3
3
3
= −κ 2 e−κ → −κ 2
+
(3.68)
3
= κ 2 e−κ → κ 2
→0
2mα √
mα
κ⇒κ= 2
~2
~
(3.69)
2
κ
D.h. E = − ~2m
= − mα
2~2 .
Insgesamt: Genau 1 gebundener Zustand (für jeden Wert von α > 0)
√
ψ(x) =
mα − mα|x|
e ~2 ,
~
Seite 30
E=−
mα2
2~2
(3.70)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(2) Streuzustände:
x<0:
√
d2 ψ
dx2
= −k 2 ψ,
k=
2mE
~
⇒ ψ(x) = A eikx + B e−ikx
(3.71)
Analog für x > 0 : ψ(x) = F eikx + G e−ikx
(i) Stetigkeit bei x = 0
⇒ F +G=A+B
(3.72)
(ii)
∆
dψ
dx
!
2mα
= ik(F − G − A + B) = − 2mα
~2 ψ(0) = − ~2 (A + B)
(3.73)
⇔ F − G = A(1 + 2iβ) − B(1 − 2iβ)
mit β ≡
mα
~2 k .
Zur Interpretation:
z.B. x < 0 : Ψ(x, t) =
E
i(kx− ~ t)
}
|A e {z
rechtslaufende Welle
E
−i(kx+ ~ t)
+ B
}
| e {z
linkslaufende Welle
x > 0 analog.
Streuung von links (rechts): G = 0 (A = 0)
Damit (Streuung von links):
A: Amplitude der einlaufenden Welle
B: Amplitude der reflektierten Welle
F : Amplitude der transmittierten Welle
Löse (3.72) und (3.73) auf für G = 0
B=
iβ
A,
1 − iβ
Seite 31
F =
1
A
1 − iβ
(3.74)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Wahrscheinlichkeit, dass ein einlaufendes Teilchen reflektiert wird?
R≡
|Jr |
|Je |
“Reflexionskoeffizient”
mit Je : einlaufender Wahrscheinlichkeitsstrom, Jr : reflektierter Wahrscheinlichkeitsstrom.
i~ ∂Ψ∗
∂Ψ
J(x) =
Ψ − Ψ∗
2m ∂x
∂x
(3.75)
(3.76)
t
Ψe = A eikx−iE ~
(3.77)
t
Ψr = B e−ikx−iE ~
⇒
R=
|Je | =
~k
2
m |A|
|Jr | =
~k
2
m |B|
β2
|B|2
=
|A|2
1 + β2
β≡ ~mα
2k
=
(3.78)
1
1+
2~2 E
mα2
,
(3.79)
√
benutzt wurde.
wobei k = 2mE
~
Wahrscheinlichkeit für Transmission:
T ≡
|Jt |
|Je |
“Transmissionskoeffizient”
Jt : transmittierter Wahrscheinlichkeitsstrom
2
Hier: |Jt | = ~k
m |F |
|F |2
1
1
⇒T =
=
=1−R=
mα2
|A|2
1 + β2
1 + 2~
2E
(3.80)
(3.81)
Bemerkungen:
(i) T =
|F |2
|A|2
nur wenn Potential vor und nach dem Hindernis den gleichen Wert annimmt (vgl.
Übg.)
(ii) Je höher E, desto größer T
(iii) R, T gelten näherungsweise, da man eigentlich normierbare Wellenpakete betrachten müsste
(die einen Bereich von E umfassen)
(iv) α > 0: Potentialbarriere
(a) kein gebundener Zustand
(b) R, T unverändert (hängen nur von α2 ab) ⇒ T 6= 0. Dies ist ein Beispiel für den “Tunneleffekt”
3.5. Endlicher Potentialtopf
(
V (x) =
−V0
−a ≤ x ≤ +a, a ∈ R+
0
|x| > a
wobei V0 > 0:
Seite 32
(3.82)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(1) Gebundene Zustände (−V0 < E < 0)
x < −a :
⇒ ψ(x) =
2
2
~ d ψ
− 2m
dx2 = Eψ ⇔
−κx
A
| e{z }
d2 ψ
dx2
= κ2 ψ
√
mit κ =
+B eκx ⇒ ψ(x) = B eκx
−2mE
~
>0
(x < −a)
(3.83)
divergiert für x→−∞
d2 ψ
~2 d 2 ψ
−a<x<a:
−
− V0 ψ = Eψ ⇔
= −l2 ψ
2
2m dx
dx2
Beachte E + V0 > 0, da E > −V0 (= Vmin ).
p
mit l ≡
ψ(x) = C sin lx + D cos lx (−a < x < a)
2m(E + V0 )
>0
~
(3.84)
(3.85)
x > a: analog zu x < −a ⇒ ψ(x) = F e−κx (x > a).
Randbedingungen: ψ(x) und ψ 0 (x) stetig bei x = ±a.
Vereinfachung: Lösungen entweder gerade oder ungerade, da V (x) symmetrisch (s. Übg. 1 (c), Blatt
2). Es reicht, die Randbedingung bei x = +a zu betrachten. Hier nur gerade Lösungen (ungerade s.
Übung).

x < −a
 F eκx
D cos lx −a < x < a
ψ(x) =
(3.86)

F e−κx x > a
(i) Stetigkeit von ψ(x) bei x = a
⇒ F e−κa = D cos la
(3.87)
⇒ −κF e−κa = −lD sin la
(3.88)
(ii) Stetigkeit von ψ 0 (x) bei x = a
Teile (3.88) durch (3.87):
κ = l tan la
(3.89)
Bedingung an erlaubte Energiewerte,
da κ, l von E abhängen.
√
Mit Notation z ≡ la und z0 ≡ ~a 2mV0 (Maß für die “Größe” des Topfes)
r
z0
tan z = ( )2 − 1
z
h
Herleitung:
p
√
2m(E + V0 )
−2mE
l=
,
κ=
~
~
κ2 + l2 =
2mV0
~2
⇒ κ2 =
2mV0
~2
− l2 =
z02
a2
−
(3.91)
z2
a2
p
⇒ κ2 a2 = z02 − z 2 ⇒ κa = z02 − z 2
√ 2 2
i
p
z0 −z
⇒ tan z = κl = κa
=
= ( zz0 )2 − 1
la
z
Seite 33
(3.90)
(3.92)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
“Löse” (3.90) graphisch:
Wellenfunktionen (siehe (3.86)):
⇒ endlich viele gebundene Zustände (weitere ungerade Zustände siehe Übung).
Zwei Grenzfälle:
(a) Breiter, tiefer Potentialtopf (d.h. z0 >> 1). Viele Schnittpunkte etwas unterhalb von zn = nπ
2 , n
ungerade
p
a 2m(En + V0 )
nπ
n 2 π 2 ~2
⇒
≈ ln a =
⇒ En + V0 ≈
(3.93)
2
~
2m(2a)2
En + V0 : Energie über dem Boden des Potentialtopfes ⇒ ähnliche Werte wie unendlicher Potentialtopf mit Breite 2a
(b) Schmaler, flacher Potentialtopf:
z0 < π2 : Nur ein gebundener Zustand; existiert aber für beliebig schmalen und flachen Potentialtopf
(2) Streuzustände (E > 0).
Von links einlaufende Welle:

A eikx + B e−ikx



C eilx + D e−ilx
ψ(x) =



F eikx
Seite 34
(x < −a)
(−a < x < a)
(x > a)
(3.94)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
√
√
2m(E+V0 )
mit k = 2mE
,
l
=
.
~
~
4 Randbedingungen: Stetigkeit von ψ(x) und
dψ
dx bei x = ±a
p
−1
2m(E +
(längere Rechnung) ⇒ T = 1 + 4E(E+V0 ) sin2 ( 2a
~
|F |2
für Transmissionskoeffizienten T = |A|2
V02
V0 ))
Bemerkung:
(i) T = 1 (d.h. volle Transparenz) für
⇒ En + V0 =
n2 π 2 ~ 2
2m(2a)2
2a
~
p
2m(E + V0 ) = nπ
λ
⇔ n πl = 2a ⇔ n deBroglie
=
2a
2
(d.h. Energien des unendlichen Potentialtopfes), vgl. Ramsauer-Effekt
(ii) Für andere Energien wird ein Teil der Welle reflektiert trotz E > 0 (in Kontrast zur klassischen
Physik!)
(iii) keine Bedingungen an mögliche Werte von E > 0, d.h. das Energiespektrum hat einen diskreten
Anteil und einen kontinuierlichen:
(iv) Vollständigkeit: allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Z ∞
X
−iEn t
Ψ(x, t) =
cn
ψn (x)
e ~ +
dk φ(k)
ψk (x)
| {z }
| {z }
−∞
n
diskrete Lösungen
kontinuierliche Lösungen
(v) Potentialbarriere, d.h.
Seite 35
e
−iEk t
~
(3.95)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Von links einlaufende Welle mit 0 < E < V0 .

A eikx + B e−ikx



C eκx + D e−κx
ψ(x) =



F eikx
(x < 0)
(0 < x < d)
(3.96)
(x > d)
√
√
2m(V0 −E)
mit k = 2mE
,
κ
=
.
~
~
4 Randbedingungen: längere Rechnung unter Annahme e−κd << 1
|2
E E
−2κd
⇒ T = |F
|A|2 ≈ 16(1 − V0 ) V0 e
D.h.
“Tunneleffekt”: Tunnelwahrscheinlichkeit hängt exponentiell von Breite d der Barriere und Energieabstand V0 − E ab.
Vergleiche z.B. α-Zerfall von Atomkernen
Weiteres Beispiel: Kernfusion.
Seite 36
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
4. Der Formalismus der Quantenmechanik
4.1. Hilbertraum
Definition eines Vektorraumes: siehe Handzettel (s. Anhang, Kapiel 9).
Für endlich dimensionale Vektorräume
 

b1
a1
 b2 
 a2 
 
 
(i) “Inneres Produkt” (oder “Skalarprodukt”) zweier Vektoren |αi ↔ ~a =  .  , |βi ↔ ~b =  . 
 .. 
 .. 

an
hα|βi = a∗1 b1 + a∗2 b2 + ... + a∗N bN ∈ C
bn
(4.1)
Eigenschaften: hβ|αi = hα|βi∗ , hα|αi ∈ R, hα|αi ≥ 0 und hα|αi = 0 ⇔ |αi = |0i.
hα|(b|βi + c|γi) = bhα|βi + chα|γi
||α|| =
p
(4.2)
hα|αi heißt die “Norm” oder Länge von |αi.
(ii) Lineare Transformationen T auf Vektoren werden durch Matrizen dargestellt.

 
t11 ... t1N
a1
 ..
  .. 
.
.
~
.
.
|βi = T |αi ↔ b = T~a =  .
.
.  . 
tN 1
...
tN N
(4.3)
aN
Linear: T (a|αi + b|βi) = aT |αi + bT |βi.
In der Quantenmechanik: DienMenge aller quadratintegrablen
Funktionen auf einem gegebenen
o
Rb
Intervall [a, b], d.h. L2 (a, b) = f (x)| a dx |f |2 < ∞ ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum
(f (x) ↔ |f i) mit Skalarprodukt
Z
hf |gi ≡
b
dx f ∗ (x)g(x)
(4.4)
a
Es handelt sich um einen Hilbertraum (d.h. ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt, vollständig: Jede Cauchyfolge konvergiert). Die Wellenfunktionen leben in diesem Hilbertraum.
Bemerkung:
(i) Dirac-Notation:
hf |: “Bra-Vektor”
|gi: “Ket-Vektor”
vom englischen “bra(c)ket”.
hf |
hf | ist Abbildung von L2 (a, b) → C, |gi 7→ hf |gi.
Skalarprodukt entspricht Anwendung von hf | auf |gi.
Die Abbildungen von L2 (a, b) nach C bilden auch einen Vektorraum, den “dualen Vektorraum”.
Für endlich dimensionalen Vektorraum:
 
 T ∗
a1
a1
 .. 
 .. 
|αi =  .  ⇒ hα| =  .  = (a∗1 , ..., a∗N )
(4.5)
aN
aN
Skalarprodukt:

hα|βi = a∗1 b1 + ... + a∗N bN

b1
 
= (a∗1 , ..., a∗N )  ... 
bN
Skalarprodukt entspricht Matrizenmultiplikation.
Seite 37
(4.6)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(ii) Eine Menge von Funktionen {fn |n ∈ N} heißt
(a) orthonormiert, wenn hfn |fm i = δnm
Funktion f (x) gilt
(b) vollständig,
P∞ wenn für jede quadratintegrable
P∞
f (x) = n=1 cn fn (x) bzw. |f i = n=1 cn |fn i
Wenn {fn } sowohl (a) als auch (b) erfüllen, gilt cn = hfn |f i.
In dem Fall: {|fn i} ist eine orthonormierte Basis des Hilbertraumes der quadratintegrablen Funktion
und {cn } sind die Komponenten von |f i bezüglich dieser Basis.
4.2. Observable
4.2.1. Hermitesche Operatoren
d
Observablen Q(x, p) entsprechen in der Quantenmechanik lineare Operatoren Q̂(x̂, ~i dx
), die auf Wellenfunktionen wirken.
Linear:R Q̂(af (x) + bg(x)) = aQ̂f + bQ̂g
∞
hQi = −∞ dx Ψ∗ Q̂Ψ = hΨ|Q̂Ψi
Ergebnis einer Messung ist reell.
!
⇒ hQi = hQi∗
!
⇒ hΨ|Q̂Ψi = hΨ|Q̂Ψi∗ = hQ̂Ψ|Ψi
⇒ hh|Q̂hi = hQ̂h|hi für alle h(x) ∈ L2 (−∞, ∞)
⇔ hf |Q̂gi = hQ̂f |gi für alle f (x), g(x) ∈ L2 (−∞, ∞) (s. Übungen).
Im allgemeinen hf |Ôgi = hÔ† f |gi mit Ô† zu Ô hermitesch konjugierter Operator (vgl. harmonischer
Oszillator: (â± )† = (â∓ ))
D.h. Q Observable ⇒ Q̂† = Q̂
⇔ Observablen entsprechen hermiteschen Operatoren
(4.7)
Beispiel: Impulsoperator.
hf |p̂gi =
R∞
−∞
dg
dx f ∗ ~i dx
∞
~ ∗ f g
i
−∞
| {z }
=
+
=0,da f,g∈L2 (−∞,∞),d.h. f,g
|x|→∞
→
R∞
−∞
df ∗
) g
dx ( ~i dx
(4.8)
0
= hp̂f |gi
4.2.2. Determinierte Zustände
Frage: Gibt es für eine Observable Q Zustände, sodass jede Messung von Q das selbe Ergebnis (z.B. q)
liefert? Falls ja, nenne sie “determinierte Zustände” der Observablen Q.
Fordere
!
0 = σ2
= h(Q − hQi)2 i
hQi=q
=
hΨ| (Q̂ − q)2 Ψi
| {z }
(4.9)
(Q̂−q)(Q̂−q)Ψ
Q̂−q hermitesch, da q∈R
=
!
h(Q̂ − q)Ψ|(Q̂ − q)Ψi
!
⇒ (Q̂ − q)Ψ = 0 ⇔ Q̂Ψ = qΨ
⇒ Determinierte Zustände sind Eigenfunktionen von Q̂
Bemerkung:
Seite 38
(4.10)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(i) Menge aller Eigenwerte: “Spektrum” des Operators Q̂
(ii) haben zwei oder mehr linear unabhängige Eigenfunktionen denselben Eigenwert ⇒ Spektrum ist
“entartet”
(iii) Beispiel: stationäre Zustände sind determinierte Zustände der Energie und Eigenfunktionen des
Hamiltonoperators ĤΨ = EΨ
4.3. Eigenfunktionen hermitescher Operatoren
Unterscheide Fälle
(1) Spektrum diskret
⇒ Eigenfunktionen im Hilbertraum, d.h. physikalisch realisierbare Zustände
(2) Spektrum ist kontinuierlich
⇒ Eigenfunktionen nicht im Hilbertraum, aber Linearkombinationen können (nicht determinierte)
Zustände sein
(3) diskretes und kontinuierliches Teilspektrum.
4.3.1. Diskretes Spektrum
sind reell. i
hSatz 1: Eigenwerte zu normierbaren Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators
hf |f i6=0
∗
∗
Q̂f = qf ⇒ hf |Q̂f i = qhf |f i. Außerdem hf |Q̂f i = hQ̂f |f i = hf |Q̂f i = q hf |f i ⇒ q = q ∗
Satz
2: Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal.
h
Q̂f = qf und Q̂g = q̃g, q 6= q̃
hf |Q̂gi
| {z }
Q̂ hermitesch
=
q̃hf |gi
hQ̂f |gi
| {z }
Satz 1
q ∗ hf |gi = qhf |gi
i
⇒ hf |gi = 0
Bemerkung: Auch entartete Zustände können immer als ortogonal angenommen werden (Orthogonalisierung mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen Verfahrens)
Für endlich dimensionale Vektorräume: Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix (d.h. M = (M T )∗ )
sind vollständig (jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von ihnen ausdrücken). Für unendlichdimensionale Vektorräume nicht automatisch.
In QM: Observablen sind per Definition nur die hermiteschen Operatoren, deren Eigenfunktionen vollständig sind.
4.3.2. Kontinuierliches Spektrum
Wir betrachten nur 2 Beispiele:
(i) Impulsoperator: fp (x): Eigenfunktion, p: Eigenwert. D.h.
p̂fp (x) =
~ d
!
fp (x) = pfp (x)
i dx
(4.11)
ipx
Lösung: fp (x) = A e ~ , A, p ∈ C nicht quadratintegrabel
Aber: Für p ∈ R hat man quadratintegrable Linearkombinationen und eine abgeänderte Art von
Orthonormalität:
R∞
R
i(p−p0 )x
∗
2 ∞
~
dx
f
=
|A|
dx
e
0 (x)fp (x)
p
−∞
−∞
1
δ(x)= 2π
R∞
−∞
=
1
δ(cx)= |c|
δ(x)
=
Seite 39
dk eikx
0
|A|2 2πδ( p−p
~ )
|A|2 2π~δ(p − p0 )
(4.12)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
ipx
1
1
, d.h. fp (x) = √2π~
e ~
Wähle A = √2π~
Damit hfp0 |fp i = δ(p − p0 )
“Dirac-Orthonormalität”.
R∞
Vollständigkeit: Jede quadratintegrable Funktion f (x) hat Darstellung: f (x) = −∞ dp c(p)fp (x) =
R∞
ipx
√1
dp c(p)e ~ mit c(p) = hfp |f i (die Fouriertransformierte von f (x)).
2π~ −∞
Z
hfp |f i =
∞
dp0 c(p0 )hfp |fp0 i =
−∞
Z
∞
dp0 c(p0 )δ(p − p0 ) = c(p)
(4.13)
−∞
n ipx
o
e ~ |p ∈ R selbst nicht quadratintegrabel sind, spricht man von einer “Pseudobasis”, vgl.
P∞
Fourierentwicklung für reelle Funktionen f (x) = n=−∞ αn einπx .
{einπx |n ∈ Z} selbst nicht reell ⇒ Bedingung: α−n = αn∗ .
Bedingung hier: c(p) muss quadratintegrabel sein.
Da
(ii) Ortsoperator
gy (x): Eigenfunktion, y: Eigenwert; d.h.
!
x̂gy (x) ≡ xgy (x) = ygy (x)
Tatsächlich gy (x) = A δ(x − y),
Dann:
A∈C
(a) Dirac-Orthonormiertheit:
Z ∞
Z
dx gy∗0 (x)gy (x) = |A|2
−∞
(4.14)
∞
dx δ(x − y 0 )δ(x − y) = |A|2 δ(y − y 0 )
(4.15)
−∞
Wähle A = 1 ⇒ hgy0 |gy i = δ(y − y 0 )
R∞
R∞
(b) Vollständigkeit: f (x) = −∞ dy c(y)gy (x) = −∞ dy c(y)δ(x − y) = c(x) mit c(y) = f (y)
Bemerkungen:
(i) Verschiedene (Pseudo-)Basen erlauben verschiedene Darstellungen eines Vektors, z.B.
R∞
Ψ(x, t) = −∞ dy Ψ(y, t)δ(x − y)
R∞
ipx
1
e ~
= −∞ dp Φ(p, t) √2π~
P∞
= n=1 cn (t)
fn (x)
| {z }
(4.16)
Eigenfunktionen zur Observablen Q (hier mit diskretem Spektrum)
(ii) Wellenfunktion Ψ(x, t) hat Doppelrolle: Vektor und Komponenten bezüglich Basis von x̂-Eigenfunktionen
(iii) Φ(p, t) heißt “Impulsraum-Wellenfunktion” oder “Wellenfunktion in Impulsdarstellung”
(iv)
hQi = hΨ|Q̂Ψi
R∞
∂
)Ψ
= −∞ dx Ψ∗ Q̂(x̂, ~i ∂x
s. Übg
R∞
∂
, p̂)Φ
= −∞ dp Φ∗ Q̂(− ~i ∂p
R∞
P∞
∂
Qnm = −∞ dx fn∗ (x)Q̂(x̂, ~i ∂x
= n,m=1 Qnm c∗n cm ,
)fm (x)
Seite 40
(4.17)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
4.4. Statistische Interpretation
(i) Misst man eine Observable Q(x, p) an einem Teilchen im Zustand Ψ(x, t), so ist das Ergebnis einer
der Eigenwerte des hermiteschen Operators Q̂.
(ii) (a) Diskretes Spektrum
P∞
P∞
Falls Ψ(x, t) = n=1 cn (t)fn (x) (bzw. |Ψi = n=1 cn |fn i) mit orthonormierten Eigenfunktionen fn (x) von Q̂ (zu Eigenwerten qn )
⇒ Wahrscheinlichkeit, qn zu messen: |cn |2 mit cn = hfn |Ψi
(Anschaulich: cn gibt an, “wieviel fn in Ψ enthalten ist”.)
(b) Falls Spektrum entartet ist, z.B. q1 = ... = qN ≡ q, Wahrscheinlichkeit q zu messen:
|c1 |2 + ... + |cN |2
(4.18)
R
(c) Kontinuierliches Spektrum: Falls Ψ(x, t) = dz c(z, t)fz (x) mit Dirac-orthonormierten Eigenfunktionen fz (x) (zu Eigenwerten q(z))
⇒ Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis im (infinitesimal kleinen) Bereich [q(z), q(z +dz)] zu messen:
|c(z)|2 dz
(4.19)
mit c(z) = hfz |Ψi
(iii) Bei einer Messung mit Ergebnis q kollabiert die Wellenfunktion zu einem Zustand |Ψq i, der der
Projektion von |Ψi auf den Eigenraum zum Eigenwert q entspricht.
(a) Diskret, nicht entartet
|Ψq i =
|fq i
|{z}
(4.20)
Eigenfunktion zum Eigenwert q
(b) Diskret, entartet, q1 = ... = qN ≡ q
|Ψq i =
c1 |f1 i + ... + cN |fN i
||c1 |f1 i + ... + cN |fN i||
(4.21)
Anschaulich:
(c) kontinuierlich: q = q(z0 ) mit Meßgenauigkeit in z: δ
R z0 +δ
⇒ |Ψq i =
z −δ
||
R z00 +δ
z0 −δ
dz c(z,t)fz (x)
dz c(z,t)fz (x)||
Konsistenzchecks:
P∞
(i) hQi = n=1 qn |cn |2
hQi = hΨ|Q̂Ψi

P
P

= h( n0 cn0 fn0 )|(Q̂ n cn fn )i



Q̂fn =qn fn P
∗

0
=
n,n0 cn0 cn qn hfn |fn i

| {z }

δnn0
P
= n qn |cn |2

Seite 41









(4.22)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(ii)
P∞
n=1
!
|cn |2 = 1 [analog, benutze hΨ|Ψi = 1]
(iii) Wahrscheinlichkeit bei Ortsmessung, Ergebnis im (infinitesimal kleinen) Bereich [y, y+dy] zu messen
ist: |Ψ(y, t)|2 dy
Z
∞
c(y) = hgy (x)|Ψi =
dx δ(x − y)Ψ(x, t) = Ψ(y, t)
(4.23)
−∞
Außerdem
c(p) = hfp |Ψi = √
1
2π~
∞
Z
dx e−
ipx
~
Ψ(x, t) = Φ(p, t)
(4.24)
−∞
Wahrscheinlichkeit für Impulsmessung im (infinitesimal kleinen) Intervall [p, p + dp]: |Φ(p, t)|2 dp
4.5. Unschärferelation
Wir suchen nach eine Verallgemeinerung von
σx σp ≥
~
2
(4.25)
Seien Â, B̂ Observablen.
2
σA
= hΨ|(Â − hAi)2 Ψi
= h(Â − hAi)Ψ|(Â − hAi)Ψi
|
{z
}
(4.26)
hf |
= hf |f i
2
Ebenso σB
= hg|gi mit |gi ≡ |(B̂ − hBi)Ψ.
Schwarz’sche Ungleichung:
Z
v
! Z
!
Z b
b
u
b
u
∗
dx |f |2
dx |g|2
dx f (x)g(x) ≤ t
a
a
a
(4.27)
2 2
σA
σB = hf |f ihg|gi ≥ |hf |gi|2
(4.28)
Allgemein gilt für z ∈ C:
1
(z − z ∗ ))2
|z|2 = (Rez)2 + (Imz)2 ≥ (Imz)2 = ( 2i
z=hf |gi
⇒
(4.29)
1
2 2
σA
σB ≥ ( 2i
(hf |gi − hg|f i))2
Aber
hf |gi = h(Â − hAi)Ψ|(B̂ − hBi)Ψi
= hΨ|(Â − hAi)(B̂ − hBi)Ψi
= hΨ|(ÂB̂ − ÂhBi − hAiB̂ + hAihBi)Ψi
(4.30)
= hÂB̂i − hAihBi − hAihBi + hAihBi
= hÂB̂i − hAihBi
Ebenso:
hg|f i = hB̂ Âi − hBihAi
(4.31)
⇒ hf |gi − hg|f i = hÂB̂i − hB̂ Âi
(4.32)
= h[Â, B̂]i
Seite 42
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Somit:
2 2
σA
σB ≥ (
1
h[Â, B̂]i)2
2i
verallgemeinerte Unschärferelation
(4.33)
Beispiel: Â = x̂, B̂ = p̂
~ 2
2
[x̂, p̂] = i~ ⇒ σx2 σp2 ≥
⇒ σx σp ≥
(4.34)
~
2
Bemerkungen:
(i) Unschärferelation keine zusätzliche Annahme; folgt aus der besprochenen statistischen Interpretation der QM.
(ii) Unschärferelation für jedes Paar von Observablen, deren Operatoren nicht kommutieren (“inkompatible Observablen”). Diese haben keinen vollständigen Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen.


Annahme: Q̂1 fn = λn fn , Q̂2 fn = µn fn




fn vollständig




P
 ⇒
für beliebige f ∈ L2 gilt f =
cn fn 




P

[Q̂1 , Q̂2 ]f = (Q̂1 Q̂2 − Q̂2 Q̂1 ) cn fn 




(4.35)
P
P


= Q̂1 cn µn fn − Q̂2 cn λn fn




P
P


= cn µn λn fn − cn λn µn fn






=0




f beliebig
⇒
[Q̂1 , Q̂2 ] ≡ 0
(iii) kompatible Operatoren erlauben vollständigen Satz von gleichzeitigen Eigenfunktionen
(iv) Unschärferelation für Zeit und Energie ∆t∆E ≥ ~2 .
Beachte: anderer Status als ∆x∆p ≥ ~2 , da Zeit keine Observable wie x ist, sondern ein externer
Parameter.
Interpretation: Misst man die Energie eines Quantensystems in einem Experiment der Dauer ∆t ⇒
Unsicherheit ∆E im Ergebnis
Bsp.: Unbestimmtheit der Masse von instabilen Teilchen
4.6. Ehrenfesttheorem
d
d
∂Ψ
∂ Q̂
∂Ψ
hQi = hΨ|Q̂Ψi = h
|Q̂Ψi + hΨ|
Ψi + hΨ|Q̂
i
dt
dt
∂t
∂t
∂t
Seite 43
(4.36)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Mit Schrödingergleichung i~ ∂Ψ
∂t = ĤΨ folgt
d
1
1
∂Q
hQi = − hĤΨ|Q̂Ψi + hΨ|Q̂ĤΨi + h
i
dt
i~
i~
∂t
(4.37)
Ĥ hermitesch ⇒ hĤΨ|Q̂Ψi = hΨ|Ĥ Q̂Ψi
(4.38)
d
i
∂Q
hQi = h[Ĥ, Q̂]i + h
i
dt
~
∂t
(4.39)
Damit:
dhpi
0
Bsp.: m dhxi
dt = hpi,
dt = −hV i (für Ĥ =
für die Erwartungswerte (s. Übungen).
p̂2
2m
+ V (x̂)), d.h. klassische Bewegungsgleichungen gelten
Seite 44
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
5. Der Drehimpuls in der Quantenmechanik
Übergang zu 3 Dimensionen. Schrödingergleichung:
i~
∂
~2
Ψ(~r, t) = ĤΨ(~r, t) = −
∆Ψ + V Ψ
∂t
2m
∆≡
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
“Laplaceoperator”
(5.1)
(5.2)
Normierungsbedingung:
Z
d3 r |Ψ|2 = 1
(5.3)
R3
V zeitunabhängig ⇒ vollständiger Satz von stationären Zuständen
Ψn (~r, t) = ψn (~r) e−
iEn t
~
mit
−
~2
∆ψn + V ψn = En ψn
2m
(5.4)
Kanonische Kommutatorrelationen:
[x̂j , p̂k ] = i~δjk
(5.5)
[x̂j , x̂k ] = 0 = [p̂j , p̂k ]
⇒ Unschärferelation
σ x σ px ≥
~
~
~
, σy σpy ≥ , σz σpz ≥
2
2
2
(5.6)
aber keine Einschränkung an σx σpy etc.
In 3 Dimensionen spielt in der Quantenmechanik wie in der klassischen Mechanik der Drehimpuls eine
große Rolle.
Klassisch: Erhaltungsgröße für Zentralkräfte
~ = ~r × p~
L
(5.7)
⇒ Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz , Lz = xpy − ypx
(5.8)
Quantenmechanik:
~ˆ = ~rˆ × p~ˆ = −i~~rˆ × ∇
~
L
(5.9)
∂
∂
⇒ L̂z = −i~(x ∂y
− y ∂x
), ...
Zusammenhang mit Drehungen (z.B. um z-Achse):
∆ϕ<<1
x0
= x cos ∆ϕ − y sin ∆ϕ
y0
= x sin ∆ϕ + y cos ∆ϕ ≈ y + x∆ϕ
z0
=z
Seite 45
≈
x − y∆ϕ
(5.10)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Änderung der Wellenfunktion:
Ψ(x0 , y 0 , z 0 ) ≈ Ψ(x − y∆ϕ, y + x∆ϕ, z)
− y ∂Ψ(x,y,z)
)∆ϕ
≈ Ψ(x, y, z) + (x ∂Ψ(x,y,z)
∂y
∂x
= Ψ(x, y, z) +
(5.11)
i∆ϕ
~ L̂z Ψ(x, y, z)
D.h. L̂z ist erzeugender Operator für infinitesimale Drehung um z-Achse, L̂x , L̂y analog.
Räumliche Drehungen sind nicht kommutativ, z.B.
⇒ L̂x , L̂y , L̂z vertauschen nicht.
Dies kann man auch durch eine konkrete Rechnung zeigen. Z.B.
h
i
L̂x , L̂y
= [ŷ p̂z − ẑ p̂y , ẑ p̂x − x̂p̂z ]
(5.12)
= [ŷ p̂z , ẑ p̂x ] − [ŷ p̂z , x̂p̂z ] − [ẑ p̂y , ẑ p̂x ] + [ẑ p̂y , x̂p̂z ]
i
h
i
i h
i
h
h
Nun benutze kanonische Vertauschungsrelationen und ÂB̂, Ĉ = Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂ bzw. Â, B̂ Ĉ =
h
i h
i
B̂ Â, Ĉ + Â, B̂ Ĉ.
Damit:
h
i
L̂x , L̂y
= ŷ [p̂z , ẑ] p̂x + x̂ [ẑ, p̂z ] p̂y
| {z }
| {z }
−i~
i~
(5.13)
= i~(x̂p̂ − ŷ p̂ )
y
x
= i~L̂z
Insgesamt:
h
i
h
i
L̂x , L̂y = i~L̂z , L̂y , L̂z = i~L̂x
h
i
h
i
L̂z , L̂x = i~L̂y , kompakt: L̂j , L̂k = i~ijk L̂l
(5.14)
“Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls”
L̂x , L̂y , L̂z inkompatibel, haben keinen gemeinsamen vollständigen Satz von Eigenfunktionen.
Allerdings (s. Übung):
h
i h
i h
i
L̂2 , L̂x = L̂2 , L̂y = L̂2 , L̂z = 0
Seite 46
(5.15)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
mit L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z
⇒ L̂2 und L̂z haben simultane Eigenzustände.
5.1. Drehimpulseigenwerte
“Leiteroperatorverfahren” (vgl.: harmonischer Oszillator)
L̂± = L̂x ± iL̂y
Damit:
h
i h
i
h
i
L̂z , L̂± = L̂z , L̂x ± i L̂z , L̂y
(5.16)
= i~L̂y ± i(−i~Lx )
= ±~(L̂x ± iL̂y )
h
i
D.h. L̂z , L̂± = ±~L̂±
h
i
Außerdem: L̂2 , L̂± = 0
Nun: f (normierbare) Eigenfunktion von L̂2 und L̂z (d.h. L̂2 f = λf, L̂z f = µf )
⇒ L̂± f ebenfalls Eigenfunktionen.
L̂2 (L̂± f )
= L̂± (L̂2 f ) = L̂± (λf ) = λ(L̂± f ) ⇒ selber Eigenwert
L̂z (L̂± f )
= (L̂z L̂± − L̂± L̂z ) f + L̂± L̂z f
|
{z
}
[L̂z ,L̂± ]=±~L̂±
= ±~L̂± f + L̂± (µf ) = (µ ± ~)(L̂± f )
(5.17)
L̂+ : “Aufsteigeoperator”, L̂− : “Absteigeoperator”
D.h. man hat eine Leiter von (normierbaren) Eigenzuständen. Diese muß oben und unten abbrechen,
denn:
hL̂2 i = hL̂2x i + hL̂2y i + hL̂2z i
(5.18)
und
hL̂2x i = hf |L̂2x f i = hL̂x f |L̂x f i ≥ 0
hL̂2 i = hf | L̂2 f i
|{z}
fallshf |f i=1
=
(L̂y analog)
λ = hL̂2x i + hL̂2y i + µ2 ≥ µ2 .
(5.19)
(5.20)
=λf
D.h. es gibt eine oberste Sprosse f(oben) für die L̂+ f(oben) nicht normierbar ist. Man kann zeigen (s.
Aufgabe 1, Blatt 11), dass hL̂+ f |L̂+ f i endlich ist, falls hf |f i endlich ist ⇒ L̂+ f(oben) = 0 mit
L̂z f(oben) = ~lf(oben) , L̂2 f(oben) = λf(oben)
(5.21)
L̂z f(unten) = ~¯lf(unten) , L̂2 f(unten) = λf(unten)
(5.22)
Ebenso L̂− f(unten) = 0 mit
Außerdem:
L̂± L̂∓
= (L̂x ± iL̂y )(L̂x ∓ iL̂y ) = L̂2x + L̂2y ∓ i (L̂x L̂y − L̂y L̂x )
|
{z
}
[L̂x ,L̂y ]=i~L̂z
= L̂2 − L̂2z ± ~L̂z
⇒ L̂2
= L̂± L̂∓ + L̂2z ∓ ~L̂z
Seite 47
(5.23)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Damit:
λf(oben) = L̂2 f(oben)
= (L̂− L̂+ + L̂2z + ~L̂z )f(oben)
= (0 + ~2 l2 + ~2 l)f(oben)
= ~2 l(l + 1)f(oben)
(5.24)
⇒ λ = ~2 l(l + 1)
Analog
f(unten) = L̂2 f(unten)
= (L̂+ L̂− + L̂2z − ~L̂z )f(unten)
= ~2 ¯l(¯l − 1)f(unten)
(5.25)
⇒ λ = ~2 ¯l(¯l − 1)
D.h. ¯l = l + 1 oder ¯l = −l. Aber ¯l < l ⇒ ¯l = −l.
L̂z hat für festes l die Eigenwerte m~, wobei
m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l
|
{z
}
N Schritte
⇒ l = −l + N ⇒ l =
(5.26)
N
2
D.h. l kann nur ganzzahlige oder halbzahlige Werte annehmen.
Insgesamt:
L̂2 flm = ~2 l(l + 1)flm
L̂z flm = ~mflm
(5.27)
mit l = 0, 12 , 1, 23 , ...; m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l
Insbesondere: für ein gegebenes l, 2l + 1 verschiedene Werte für m (d.h. für L̂z und analog für L̂x und
L̂y ).
Anschaulich:
x−, y-Komponenten unbestimmt für Eigenzustände von L̂z .
Seite 48
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
5.2. Eigenfunktionen
Einfacher in Kugelkoordinaten:
Damit
∂
∂
∂
= −i~(x ∂y
− y ∂x
) = ... = −i~ ∂ϕ
h
i
∂
∂
∂2
= ... = −~2 sin1 ϑ ∂ϑ
(sin ϑ ∂ϑ
) + sin1ϑ2 ∂ϕ
2
L̂z
L̂2
(5.28)
∂
∂
[Nebenbemerkung: Vergleiche L̂z ↔ −i~ ∂ϕ
mit p̂z ↔ −i~ ∂z
.
ϕ ∈ [0, 2π] beschränkt ⇒ zugehöriger Impuls L̂z nimmt diskrete Werte an (vgl. Teilchen im Potentialtopf).]
Suche also Lösung zu
~ ∂ m
i ∂ϕ fl
−~2
h
= ~mflm
m
∂fl
∂
1
sin ϑ ∂ϑ (sin ϑ ∂ϑ
)+
2 m
1 ∂ fl
sin ϑ2 ∂ϕ2
i
= ~2 l(l + 1)flm
(5.29)
Ergebnis: “Kugelflächenfunktionen”
s
flm = Ylm (ϑ, ϕ) ≡
mit
Plm (x) = (1 − x2 )
|m|
2
und
Pl (x) ≡
(
(2l + 1) (l − |m|)! imϕ m
e
Pl (cos ϑ)
4π (l + |m|)!
d |m|
) Pl (x)
dx
“zugeordneten Legendrefunktionen”
1 d l 2
( ) (x − 1)l
2l l! dx
“Legendre Polynome”
(5.30)
(5.31)
(5.32)
Bemerkung:
(i) Bsp.:
1
Y00
1 2
= ( 4π
)
Y10
3 2
= ( 4π
) cos ϑ
Y1±1
1
=
3 12
( 8π
)
(ii) l: “Bahndrehimpulsquantenzahl”
m: “magnetische Quantenzahl”
Seite 49
sin ϑe±iϕ
(5.33)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
(iii) Ylm existieren nur für ganzzahlige l! Was ist mit halbzahligen Werten für l?
⇒ Spin
5.3. Spin
Vergleiche mit der klassischen Mechanik eines starren Körpers.
~ =R
~ × p~, von Bewegung des Schwerpunktes
(i) Bahndrehimpuls: L
~ = Θω
(ii) Eigendrehimpuls: S
~ (Θ: Trägheitstensor, ω
~ : Winkelgeschwindigkeit), von Bewegung um den
Schwerpunkt
(Allerdings: in der klassischen Mechanik ist der Eigendrehimpuls Summe der Bahndrehimpulse der Bestandteile des starren Körpers.)
In der Quantenmechanik haben alle Elementarteilchen einen intrinsischen Eigendrehimpuls, den “Spin”.
Dieser ist eine Eigenschaft wie die Masse oder Ladung, unabhängig vom Bewegungszustand. ⇒ Er ist
nicht beschreibbar durch eine Funktion von ~r (d.h. durch eine Wellenfunktion).
Beispiele:
• Spin 0: Higgs-Teilchen
• Spin 21 : Elektronen, Quarks, Protonen, Neutronen
• Spin 1: Photonen
• Spin 23 : ∆-Teilchen
• Spin 2: Graviton
Experimentelle Hinweise auf den Spin:
Vorbemerkungen:
• sich drehendes elektrisch geladenes Teilchen mit Eigendrehimpuls ~s → magnetischer Dipol
• magnetisches Dipolmoment µ
~ = γ~s, γ: gyromagnetisches Verhältnis
• klassisch (Elektrodynamik): γ =
• Spin: γ =
q
m!
q
2m ,
q: Ladung, m: Masse
(Spin ist nur quantenmechanisch verständlich)
~ V = −~
~ = −γ~s · B
~
• Potentielle Energie im Magnetfeld B:
µ·B
(i) Stern-Gerlach-Experiment (1922)
Bz = B0 + αz
, B0 , α konstant
⇒ Fz = −∂z V = +γαsz
(5.34)
(ii) Einstein-de Haas-Effekt (1915): Eisenzylinder dreht sich bei Magnetisierung (d.h. Ausrichtung der
magnetischen Momente der Elektronen)
Seite 50
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
5.3.1. Formale Beschreibung
[Ŝx , Ŝy ] = i~Ŝz , [Ŝy , Ŝz ] = i~Ŝx , [Ŝz , Ŝx ] = i~Ŝy
Ŝ 2 |s, mi = ~2 s(s + 1)|s, mi
Ŝ±
|{z}
Ŝz |s, mi = ~m|s, mi
p
|s, mi = ~ s(s + 1) − m(m ± 1)|s, (m ± 1)i
(5.35)
Ŝx ±iŜy
s = 0, 12 , 1, ...;
m = −s, −s + 1, ..., s − 1, s
Spin 21 :
Zwei Eigenzustände:
• Spin-up: | 12 , 12 i = | ↑i = χ+ =
• Spin-down:
| 12 , − 12 i
1
0
= | ↓i = χ− =
0
1
Allgemeiner Zustand wird durch “Spinor” beschrieben.
a
χ=
= aχ+ + bχ−
b
(5.36)
Spinoperatoren sind 2 × 2-Matrizen.
Ŝ 2 χ+ = 43 ~2 χ+ und Ŝ 2 χ− = 34 ~2 χ−
1 0
⇒ Ŝ 2 = 34 ~2
0 1
(5.37)
Ŝz χ+ = ~2 χ+ und Ŝz χ− = − ~2 χ−
0
~ 1
⇒ Ŝz = 2
0 −1
(5.38)
Ŝ+ χ− = ~χ+ , Ŝ−
χ+ = ~χ− , Ŝ+ χ+ = 0= Ŝ− χ−
0 1
0 0
⇒ Ŝ+ = ~
und Ŝ− = ~
0 0
1 0
0
1
1
~
1
~ 0 −i
⇒ Ŝx = 2 (Ŝ+ + Ŝ− ) = 2
und Ŝy = 2i (Ŝ+ − Ŝ− ) = 2
1 0
i 0
~ˆ = ~ ~σ mit σx = 0 1 , σy = 0 −i , σz = 1 0
S
“Paulimatrizen”
1 0
i 0
0 −1
2
a
1
0
χ=
=a
+b
b
0
1
Messung von Sz :
|a|2 : Wahrscheinlichkeit, Sz = + ~2 zu messen
|b|2 : Wahrscheinlichkeit, Sz = − ~2 zu messen
D.h. |a|2 + |b|2 = 1
Messung Sx ?
Eigenwerte: ± ~2
Seite 51
(5.39)
(5.40)
(5.41)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Eigenspinoren:
0 1
β ! ~ α
α
= ±2
= ~2
1 0
α
β
β
⇔ β = ±α
1
(x)
1
√
⇒ χ+ = 2
zum Eigenwert + ~2
1
1
(x)
zum Eigenwert − ~2
χ− = √12
−1
a
(x)
(x)
χ=
= c+ χ+ + c− χ−
b
a
(x)
= √12 (a + b)
c+ = hχ+ |χi = √12 (1, 1)
b
(x)
c− = hχ− |χi = √12 (a − b)
(x)
(x)
a−b
√
√
⇒ χ = a+b
χ
+
χ−
+
2
2
~
2
(5.42)
(5.43)
⇒
1
~
2
2 |a + b| : Wahrscheinlichkeit, Sx = + 2 zu messen,
1
~
2
2 |a − b| : Wahrscheinlichkeit, Sx = − 2 zu messen.
5.4. Addition von Drehimpulsen
Zunächst zwei Spin 12 Teilchen (z.B. Elektron und Proton im Grundzustand des Wasserstoffatoms, d.h.
l = 0, s. später)
Vier Basis-Spinzustände: | ↑i1 | ↑i2 , | ↑i1 | ↓i2 , | ↓i1 | ↑i2 , | ↓i1 | ↓i2
Frage: Gesamtdrehimpuls des Bindungszustands?
~ˆ(2)
~ˆ(1) + S
~ˆ = S
S
(1)
(5.44)
(2)
= (Ŝz + Ŝz )χ1 χ2
Ŝz χ1 χ2
(1)
(2)
= (Ŝz χ1 )χ2 + χ1 (Ŝz χ2 )
(5.45)
= (~m1 χ1 )χ2 + χ1 (~m2 χ2 )
= ~(m1 + m2 )χ1 χ2
⇒
| ↑i1 | ↑i2 : m = 1
| ↑i1 | ↓i2 : m = 0
(5.46)
| ↓i1 | ↑i2 : m = 0
| ↓i1 | ↓i2 : m = −1
d.h. die z-Komponenten addieren sich. m sollte in Schritten von 1 von −s bis s gehen.
Extrazustand mit m = 0?
(1)
(2)
Wende Ŝ− = Ŝ− + Ŝ− auf | ↑i1 | ↑i2 an.
Ŝ− | ↑i1 | ↑i2
(1)
(2)
= (Ŝ− | ↑i1 )| ↑i2 + | ↑i1 (Ŝ− | ↑i2 )
(5.47)
= ~| ↓i1 | ↑i2 + | ↑i1 (~| ↓i2 )
= ~(| ↓i1 | ↑i2 + | ↑i1 | ↓i2 )
⇒ Zustände mit s = 1
|s, mi = |1, 1i
|1, 0i
= | ↑i1 | ↑i2
=
√1 (|
2
↑i1 | ↓i2 + | ↓i1 | ↑i2 )
|1, −1i = | ↓i1 | ↓i2
Seite 52







Triplettzustände
(5.48)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Der orthogonale Zustand mit m = 0 hat keinen Spin (s = 0).
1
|0, 0i = √ (| ↑i1 | ↓i2 − | ↓i1 | ↑i2 )
2
(5.49)
Veranschaulichung der möglichen z-Komponenten mit Multiplizität:
Allgemein: Kombination von Spin s1 und s2 gibt alle Werte s = (s1 + s2 ), (s1 + s2 − 1), ..., |s1 − s2 |
Bemerkung:
(i) Analog für Kombinationen von Spin s mit Bahndrehimpuls l.
ˆ ~ˆ ~ˆ
In dem Fall: J~ = L
+ S, “Gesamtdrehimpuls”
Beispiel: l = 1, s = 21
(ii) Welche Linearkombination der Basiszustände zu welchem j-Wert gehört wird durch “Clebsch-GordanKoeffizienten” bestimmt.
Seite 53
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6. Das Wasserstoffatom
Elektron bewegt sich im elektrostatischen Potential des Kerns (1 Proton); Wellenfunktion erfüllt (unabh.
vom Spin) die Schrödingergleichung
h
i
∂
~2
i~ ∂t
Ψ(~r, t) = − 2M
∆ + V (~r) Ψ
(6.1)
q2
zeitunabhängig
V = − 4π
r
0
M : Elektronenmasse, q: Elementarladung
Suche vollständigen Satz stationärer Zustände
Ψn (~r, t) = ψn (~r) e−
iEn t
~
(6.2)
mit ψn (~r) Lösung von
~2
Ĥψ = −
∆ + V ψ = Eψ
2M
(6.3)
Beachte: Wir suchen nach gebundenen Zuständen mit E < 0 ⇒ Spektrum diskret, n ∈ N
Wir wissen aus Aufg. 3, Blatt 10: für V (~r) = V (r):
[Ĥ, L̂x ] = [Ĥ, L̂y ] = [Ĥ, L̂z ] = [Ĥ, L̂2 ] = 0
Somit gibt es einen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen zu Ĥ, L̂z , L̂2
Eigenfunktionen zu L̂2 und L̂z :
ψ = R(r)Ylm (ϑ, ϕ)
(Winkelanteil unabhängig von V (r))
Also: Bestimme R(r) so, dass ψ auch Eigenfunktion zu Ĥ ist (d.h. R(r) hängt von V (r) ab).
In Kugelkoordinaten gilt:
1
1 ∂
∂
1
∂2
1 ∂ 2 ∂
)+ 2
(sin ϑ ) +
∆ = 2 (r
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin ϑ2 ∂ϕ2
|
{z
}
(6.4)
(6.5)
(6.6)
=−~−2 L̂2
D.h. Ĥψ = Eψ
⇔
h
i
∂
∂
−~2 ∂r
(r2 ∂r
) + L̂2 ψ + V (r)ψ = Eψ
2 d 2 dR
m
1
2
m
m
⇒
2M r 2 −~ dr (r dr ) + ~ l(l + 1)R Yl + V RYl = ERYl
|{z}
1
2M r 2
(6.7)
ψ=R(r)Ylm (ϑ,ϕ)
Teilen durch Ylm führt auf Radialgleichung:
~2 l(l + 1)
~2 1 d 2 dR
−
(r
)+ V +
R = ER
2M r2 dr
dr
2M r2
(6.8)
Vereinfachung durch u(r) ≡ rR
kleine Rechnung
⇒
~2 d2 u
~2 l(l + 1)
−
+ V +
u = Eu
2M dr2
2M r2
(6.9)
Formal wie 1-dim Schrödingergleichung mit dem effektiven Potential
Veff = V +
~2 l(l + 1)
2M r2
(vergleiche mit Keplerproblem in der klassischen Mechanik)
Seite 54
(6.10)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Definition:
√
⇒
2
κ≡
−2M E
~
1 d2 u
κ2 dr 2
h
= 1−
2
κ
bzw. E = − ~2M
M q2
1
2π0 ~2 κ (κr)
+
l(l+1)
(κr)2
i
(6.11)
u
2
Mq
ρ ≡ κr, ρ0 ≡ 2π
2
0~ κ
h
i
2
u
⇒ ddρu2 = 1 − ρρ0 + l(l+1)
2
ρ
(6.12)
Untersuche zunächst asymptotisches Verhalten.
ρ→∞:
ρ→0 :
(für l>0)
d2 u
≈u
dρ2
⇒ u(ρ) = A e−ρ + |B {z
e+ρ} ⇒ u(ρ) ∼ A e−ρ
(6.13)
divergent
d2 u
l(l + 1)
≈
u ⇒ u(ρ) = Cρl+1 + Dρ−ρ ⇒ u(ρ) ∼ Cρl+1
2
| {z }
dρ
ρ2
(6.14)
divergent
Mache Ansatz: u(ρ) = ρl+1 e−ρ v(ρ).
Einsetzen in (6.9) liefert nach einer (kleinen) Rechnung:
⇒ρ
dv
d2 v
+ 2(l + 1 − ρ)
+ (ρ0 − 2(l + 1))v = 0
dρ2
dρ
(6.15)
Koeffizienten der Differentialgleichung sind Polynome in ρ ⇒ Potenzreihenansatz.
v(ρ) =
∞
X
cj ρj
(6.16)
j=0
Einsetzen von (6.16) in (6.15), (kleine) Rechnung
⇒
∞
X
[(j + 1)(j + 2(l + 1))cj+1 − (2(j + l + 1) − ρ0 )cj ] ρj = 0
(6.17)
j=0
Soll für beliebiges ρ gelten ⇒ jeder Summand muss verschwinden.
⇒ cj+1 =
2(j + l + 1) − ρ0
cj
(j + 1)(j + 2l + 2)
(6.18)
Die Rekursionsformel für Koeffizienten wäre viel komplizierter, wenn man den Potenzreihenansatz direkt
für u(ρ) macht.
Frage: Muss die Potenzreihe (6.16) abbrechen? (D.h. cj ≡ 0 für j > jmax ?)
Annahme: Nein, dann gilt für j >> l, ρ0
2
(6.19)
cj+1 ≈ cj
j
Vergleiche mit:
∞
X
2j j
c̃j+1
2j+1 j!
2
2
2ρ
e =
=
=
≈
(6.20)
ρ ⇒
j
j>>1
j!
c̃
(j
+
1)!
2
j
+
1
j
j
j=0 |{z}
≡c̃j
D.h. für große Werte von ρ (wo Summanden mit großem j dominieren) wächst v(ρ) wie e2ρ
⇒ u(ρ) ∼ ρl+1 eρ .
ρ>>1
(6.21)
Dies wäre nicht normierbar.
Somit: Potenzreihe (6.16) muss abbrechen.
⇒ cjmax +1 = 0
⇒2
(jmax + l + 1)
|
{z
}
≡n,“Hauptquantenzahl”
⇒ ρ0 = 2n
Seite 55
!
= ρ0
(6.22)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Aber:
E=−
"
M
⇒ En = −
2~2
q2
4π0
2 #
~2 κ2
M q4
=− 2 2 2 2
2M
8π 0 ~ ρ0
1
,
n2
n = 1, 2, 3, ...
(6.23)
“Bohrsche Formel”
(6.24)
Bemerkung:
(i) En hängt nicht von l, ml , s, ms ab
2 2
q
M
(ii) E1 = − 2~
= −13, 6eV Bindungsenergie des Grundzustandes
2
4π0
M q2
1
1
−10
m, “Bohrscher Radius”
(iii) κ = 4π
2
n ≡ an mit a = 0.529 · 10
0~
(iv)
ψnlm (~r) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ)
Rnl (r) = 1r ρl+1 e−ρ v(ρ)
mit ρ =
r
an
(6.25)
und v Polynom von Grad
jmax = n − l − 1 ⇒ Für festes n, mögliche l-Werte: l = 0, 1, ..., n − 1
(v) Entartung der Energieniveaus En
d(n) = 2
n−1
X
(2l + 1)
| {z }
= 2n2
(6.26)
l=0 Anzahl möglicher m-Werte für festes l
wobei der Faktor 2 von den beiden möglichen Spinzuständen des Elektrons kommt.
(vi) Spektrum
Ausgangsenergie
Eγ =
EA
Endenergie
−
EE
⇒ Frequenz Eγ = hν
⇒ Wellenlänge λ =
c
ν
Seite 56
= −13.6eV ( n12 −
A
1
)
n2E
(6.27)
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Seite 57
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Seite 58
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6.1. Feinstruktur
Korrekturen zum Hamiltonoperator Ĥ0 =
p̂2
2M
−
q2 1
4π0 r ,
d.h. Ĥ = Ĥ0 + Ĥr + ĤSB .
(i) Relativistische Korrektur:
Ĥr = −
p̂4
8M 3 c2
kinetische Energie eines freien Teilchens:
p
p2
T = 2M
→
T = p2 c2 + M 2 c4 − M c2
relativistisch
q
p 2
2
⇒ T = Mc
1 + Mc − 1
(6.28)
mit p =
Taylorentwicklung:
qM v
2
1− vc2
p2
=
√
2M
1+x≈1+ 12 x− 18 x2 +...
−
p4
8M 3 c2
+ ...
(6.29)
(ii) Spin-Bahn-Kopplung
HSB =
q2
8π0
1
M 2 c2 r3
~ ·L
~
S
(6.30)
(Herleitung über Dirac-Gleichung, relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung)
Zusammen:
En,j =
−13.6eV
n2
α2
n
1+ 2
n
j+
1
2
−
3
4
,
α=
1
q2
≈
4π0 ~c
137
“Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante”
(6.31)
j: Gesamtdrehimpuls des Elektrons
Abbildung 6.1: Aus: Griffiths “Quantenmechanik”
Berechnung der Korrekturen durch Störungsrechnung:
Ĥ = Ĥ0 +
λĤ 0
|{z}
, λ << 1
∆Ĥ,kleine Störung
Seite 59
(6.32)
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(0)
(1)
(2)
⇒ ψn (λ) = ψn + λψn + λ2 ψn + ...
(0)
(0)
(1)
En (λ) = En + λEn(1) +λ2 En2 + ... ≈ En + ∆En
| {z }
(6.33)
(1)
∆En
Es gilt:
dĤ
dEn (λ)
=< ψn (λ)|
ψn (λ) >
dλ
dλ
(6.34)
[
Ĥ|ψn (λ)i = En (λ)|ψn (λ)i
⇒
dĤ
dλ |ψn i
d
+ Ĥ dλ
|ψn i =
En
dλ |ψn i
d
+ En dλ
|ψn i
(6.35)
Multipliziere mit hψn | und benutze hψn |ψn i = 1 und
hψn |Ĥ
d
ψn i
dλ
Ĥ
hĤψn |
=
Hermitesch
d
d
ψn i = En hψn | ψn i
dλ
dλ
(6.36)
]
Benutze (6.34) für λ = 0:
dEn dλ λ=0
(1)
(0)
(0)
= En = hψn |Ĥ 0 ψn i
(6.37)
⇒
∆En(0)
=
hψn(0) |∆Ĥψn(0) i
Seite 60
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
7. Identische Teilchen
Zunächst 2 Teilchen: Ψ(~r1 , ~r2 , t) erfüllt: i~ ∂Ψ
∂t = ĤΨ mit
Ĥ = −
~2
2m1
∆1
|{z}
Ableitungen bzgl. ~
r1
−
~2
2m2
∆2
|{z}
+V (~r1 , ~r2 , t)
(7.1)
Ableitungen bzgl. ~
r2
Annahme: Teilchen befindet sich im Zustand Ψa (~r, t), Teilchen 2 in Ψb (~r, t) (a, b: stehen kollektiv für
Quantenzahlen, die Ψ eindeutig festlegen, z.B.: n, l, ml für Elektron im Wasserstoffatom). Dann Ψ(~r1 , ~r2 , t) =
Ψa (~r1 , t)Ψb (~r2 , t)
Aber: Identische Teilchen (d.h. Teilchen, die dieselben intrinsischen, also bewegungsunabhängigen Eigenschaften wie Masse, Ladung und Spin haben, z.B. 2 Elektronen) im selben Raumbereich sind in der
Quantenmechanik vollkommen ununterscheidbar.
Möglichkeiten, Teilchen zu unterscheiden:
(i) haben verschiedene Eigenschaften (Masse, Ladung, Spin): entfällt bei identischen Teilchen
(ii) Verfolgen der Bahn: in der Quantenmechanik nicht möglich, wenn die Teilchen sich im selben Raumbereich aufhalten, d.h. wenn ihre Wellenfunktionen überlappen
Beispiel: zwei Elektronen
⇒ unmöglich, zu sagen, welches Elektron gemessen wurde
Vorschrift der Quantenmechanik:
(1) Führe sozusagen aus buchhalterischen Gründen eine willkürliche Nummerierung der Teilchen durch
(2) Bilde Wellenfunktion, die unabhängig ist von der Art der Nummerierung (d.h. invariant unter Vertauschung der beiden Teilchen)
⇒ ΨS (~r1 , ~r2 ) =
√1 (Ψa (~
r1 )Ψb (~r2 )+Ψa (~r2 )Ψb (~r1 ))
2
oder ΨA (~r1 , ~r2 ) =
√1 (Ψa (~
r1 )Ψb (~r2 )−Ψa (~r2 )Ψb (~r1 ))
2
2 Arten von identischen Teilchen:
(i) Bosonen: symmetrische Wellenfunktion (Teilchen mit ganzzahligem Spin, z.B. Photonen, Higgsteilchen)
(ii) Fermionen: antisymmetrische Wellenfunktion (halbzahliger Spin, z.B. Elektronen, Protonen, Neutronen)
Folgerung:
Zwei identische Fermionen, die sich im selben Raumvolumen aufhalten, können nicht denselben
Zustand einnehmen (also nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen). - “Pauli-Prinzip”
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Denn
1
Ψa = Ψb ⇒ ΨA (~r1 , ~r2 ) = √ (Ψa (~r1 )Ψa (~r2 ) − Ψa (~r2 )Ψa (~r1 )) ≡ 0
2
(7.2)
Natürlich können Elektronen, die sich nicht im selben Raumbereich aufhalten, z.B. in zwei weit voneinander entfernten Wasserstoffatomen, denselben Zustand einnehmen, z.B. den Grundzustand des Wasserstoffatoms.
Das Pauli-Prinzip ist wesentlich zum Verständnis des Periodensystems. Zur Beschreibung der Elemente
vernachlässigt man in erster Näherung die Abstoßung der Elektronen untereinander. Dann besetzen
die Elektronen näherungsweise Einteilchen-Wasserstoffzustände (charakterisiert durch die Quantenzahlen
n, l, ml , ms ). Ohne Pauli-Prinzip: Alle Elektronen im Grundzustand (n, l, ml ) = (1, 0, 0). Wegen des PauliPrinzips müssen die Elektronen sich jedoch in einer ihrer Quantenzahlen unterscheiden, man spricht
davon, dass sie sich in den unterschiedlichen Energieschalen verteilen müssen:
• K-Schale: n = 1 ⇒ l = 0, ml = 0, aber 2 verschiedene Spineinstellungen, somit 2 Elemente, H, He
• L-Schale: n = 2 ⇒ l = 0, ml = 0 oder l = 1, ml = 0, ±1, jeweils 2 Spineinstellungen, somit 8
Elemente: Li, Be, B, C, N, O, F, Ne
usw.
Seite 62
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8. Bell’sche Ungleichung
π0
|{z}
Pion; Spin: 0
e+
|{z}
→
Positron; Spin:
+
1
2
e−
|{z}
Elektron; Spin:
(8.1)
1
2
Drehimpulserhaltung (π 0 in Ruhe) ⇒ Spinzustand von e+ , e− : s = 0, d.h. √12 (| ↑i− | ↓i+ − | ↓i− | ↑i+ ).
e− und e+ haben keinen wohldefinierten Spin. Erst, wenn man den Spin von e− misst und in 50% der
Fälle | ↑i− (bzw. | ↓i− ) bekommt, kollabiert die Wellenfunktion und instantan ist der Spin des Positrons
zu | ↓i+ (bzw. | ↑i+ ) festgelegt.
Frage: Kann es sein, dass das Ergebnis der Messung durch eine verborgene Variable λ vorherbestimmt
ist?
Bell: Inkompatibel mit der Quantenmechanik, falls die Theorie lokal sein soll.
Einheitsvektoren ~a, ~b: Richtungen, in denen Spinpolarisation gemessen wird. (+1: spin-up, -1: spindown)
Führe Messung für zahlreiche π 0 -Zerfälle durch, Ergebnis z.B.:
Elektron
+1
+1
-1
Positron
-1
+1
+1
Produkt
-1
+1
-1
Bezeichne den Mittelwert des Produktes mit P (~a, ~b) ⇒ P (~a, ~a) = −1, P (~a, −~a) = 1
Vorhersage der Quantenmechanik für beliebige Orientierungen (ohne Beweis):
P (~a, ~b) = −~a · ~b
(8.2)
Inkompatibel mit jeder lokalen Theorie verborgener Variablen!
Annahmen:
(i) Variable λ (die von einem π 0 -Zerfall zum anderen variiert) charakterisiert Spin-Zustand des ElektronPositron-Paares vollständig, d.h. das Ergebnis der Spinmessung ist bereits vor der Messung determiniert und wird bestimmt durch den Wert von λ (Realismus)
(ii) Elektronenmessung unabhängig von Orientierung ~b des Positrondetektors (Lokalität).
⇒ Es gibt Funktionen A(~a, λ), B(~b, λ), die den Ausgang der Elektron- und Positronmessung festlegen.
Es gilt:
(a) A(~a, λ) = ±1, B(~b, λ) = ±1
(b) A(~a, λ) = −B(~a, λ)
Seite 63
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R
ρ(λ): Wahrscheinlichkeitsdichte für verborgene Variable, d.h. ρ(λ) ≥ 0 und dλρ(λ) = 1.
Z
Z
(b)
~
~
P (~a, b) = dλρ(λ)A(~a, λ)B(b, λ) = − dλρ(λ)A(~a, λ)A(~b, λ)
(8.3)
Sei ~c ein beliebiger anderer Einheitsvektor.
P (~a, ~b) − P (~a, ~c)
h
i
R
= − dλρ(λ) A(~a, λ)A(~b, λ) − A(~a, λ)A(~c, λ)
2 (a)
(A(~b,λ))
=
≡ +1
h
i
R
− dλρ(λ) 1 − A(~b, λ)A(~c, λ) A(~a, λ)A(~b, λ)


=±1
≥0
z
}|
{
z}|{
R


= − dλ ρ(λ) 1 − A(~b, λ)A(~c, λ) A(~a, λ)A(~b, λ)
|
{z
}
(8.4)
±1
|
{z
≥0
}
h
i
R
≥ − dλρ(λ) 1 − A(~b, λ)A(~c, λ)
h
i
R
und P (~a, ~b) − P (~a, ~c) ≤ dλρ(λ) 1 − A(~b, λ)A(~c, λ)
⇒ P (~a, ~b) − P (~a, ~c)
(8.5)
Insgesamt:
|P (~a, ~b) − P (~a, ~c)| ≤
⇒
Z
h
i Z
h
i
dλρ(λ) 1 − A(~b, λ)A(~c, λ) = dλρ(λ) 1 + A(~b, λ)B(~c, λ)
|P (~a, ~b) − P (~a, ~c)| ≤ 1 + P (~b, ~c)
“Bell’sche Ungleichung”
(8.6)
(8.7)
Diese muss in jeder realistischen und lokalen Theorie erfüllt sein. Sie widerspricht (8.2), d.h. P (~a, ~b) = −~a·~b
Beispiel: ~a, ~b, ~c alle in einer Ebene
Quantenmechanik: P (~a, ~b) = 0; P (~a, ~c) = P (~b, ~c) = −0.707.
Aber: 0.707 ≤ 1 − 0.707 = 0.293.
Das Exeriment bestätigt jedoch die Vorhersagen der Quantenmechanik.
Schlussfolgerung: Eine realistische und lokale Theorie, die mit den (experimentell bestätigten) Vorhersagen der Quantenmechanik übereinstimmt, ist unmöglich.
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9. Anhang
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