T2p Quantenmechanik

LMU Fakultät für Physik
T2p Quantenmechanik
Dr. Michael Haack
zuletzt erstellt am 28. Oktober 2013
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
1.1. Die Quantenmechanik im Alltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Der Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Das Doppelspaltexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
4
2. Die Schrödingergleichung
2.1. Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Schrödingergleichung und statistische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
3. 1-dimensionale Anwendung
10
4. Der Formalismus der Quantenmechanik
10
5. Der Drehimpuls in der Quantenmechanik
10
6. Das Wasserstoffatom
10
7. Die Störungsrechnung
10
8. Identische Teilchen
10
9. “Philosophischer Epilog”
10
Vorlesungsskript T2p Quantenmechanik
1. Einführung
1.1. Die Quantenmechanik im Alltag
a. Transistor (im Computer etc.)
b. Laser (im DVD-Player, Scanner, Drucker etc.)
c. Kernspintomographie (Eiweißverteilung im Körper wird anhand des Spins der Atomkerne in Magnetfeldern ermittelt)
d. Atomuhr (GPS funktioniert nur dank hoher Zeitmessgenauigkeit)
e. Verständnis der Festkörperphysik und der Chemie:
• Warum gibt es Leiter, Halbleiter und Nichtleiter?
Nebenbemerkung zur Bandstruktur:
erster wichtiger Bestandteil zum Verständnis von Festkörperphysik:
Abbildung 1.1: Energiebänder
zweiter wichtiger Bestandteil:
Pauli-Prinzip: Elektronen können nicht alle diesselbe Energie haben
Abbildung 1.2: Pauli-Prinzip
• Materialeigenschaften
• Periodensystem
• Stabilität der Materie
f. für das Verständnis der Struktur des Universums
1
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1.2. Der Welle-Teilchen-Dualismus
In der klassischen Physik gibt es eine klare Trennung zwischen Teilchen und Wellen.
• Mechanik: Teilchen der Masse m: m · ~r¨ = F~
• Elektrodynamik: Maxwellgleichung im Vakuum
) Wellengleichung:
@2 ~
E
@t2
2
~ =0= @ B
~
c2 E
@t2
~
c2 B,
mit
=
3
X
@2
@x2i
i=1
(1.1)
Eine einfache Lösung sind ebene elektromagnetische Wellen:
~ = Re[E~0 · ei(~k·~r
E
mit
!t)
(1.2)
],
2⇡
)
|~k|
!
!: Kreisfrequenz (Frequenz ⌫ =
)
2⇡
~k: Wellenvektor (Wellenlänge
Dispersionsrelation:
Energiedichte:
=
! = |~k| · c
u=
(1.3)
1
✏0 |E~0 |2
2
(1.4)
Historische Experimente, die Probleme mit dem klassischen Weltbild aufgezeigt haben, sind:
• Strahlung eines schwarzen Körpers:
Abbildung 1.3: Schwarzkörperstrahlung
[Quelle: Wikipedia]
Planck, 1900: Energiedichte der Strahlung ist quantisiert, also nicht kontinuierlich.
2
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• photoelektrischer Effekt:
Abbildung 1.4: Versuchsaufbau zum photoelektrischen Effekt
[Quelle: Wikipedia]
Elektronen werden herausgelöst, wenn die Frequenz des Lichts großgenug ist, unabhängig von der
Intensität des Lichts.
Einstein, 1905: Licht hat Teilcheneigenschaften, Photonen haben Energie und Impuls
E =h·⌫
(1.5)
E
h⌫
h
X
⇠
X
X
E 2 = p2 c 2 + ⇠
m2⇠
c4 ) Impuls p =
=
=
c
c
(1.6)
p=
h
(1.7)
• Comptoneffekt (1923):
Abbildung 1.5: Comptoneffekt
3
[Quelle: Wikipedia]
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Das Photon überträgt einen Teil seines Impulses auf das Elektron. Wegen = hp (1.7) folgt daraus,
dass 0 > . Dem klassischen Verständnis nach müsste das gestreute Licht dieselbe Wellenlänge
haben.
• Atomspektren
• Wärmekapazität bei niedrigen Temperaturen
1.3. Das Doppelspaltexperiment
a) mit Kugeln:
Abbildung 1.6: Doppelspalt mit Kugeln
Ergebnis:
(i) P12 (X) = P1 (X) + P2 (X)
(ii) Kugeln treffen als Einheiten auf, Wahrscheinlichkeitsverteilung baut sich langsam auf
b) mit Wasser- oder Lichtwellen:
Abbildung 1.7: Doppelspalt mit Wellen
Ergebnis:
4
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(i) Interferenz findet statt.
I1 (X)
I2 (X)
I12 (X)
(nur 1. Spalt offen)
(nur 2. Spalt offen)
(beide Spalte offen)
= |A1 (X)|2
= |A2 (X)|2
= |A1 (X) + A2 (X)|2 p
= I1 (X) + I2 (X) + 2 · I1 (X)I2 (X) · cos (X)
(X): Phasenverschiebung
(ii) Die Verteilung ist sofort sichtbar.
c) mit Elektronen. Ergebnis:
(i) Elektronen kommen einzeln und lokalisiert an (wie Kugeln).
(ii) nach Auftreffen sehr vieler Elektronen bildet sich eine Intensitätsverteilung wie bei Wellen.
(iii) Bei Beobachtung, welchen Spalt das Elektron nimmt (Beobachtung beispielsweise durch eine
Lichtquelle), verschwindet das Intereferenzmuster und es bildet sich eine Verteilung auf dem
Schirm wie bei Kugeln.
Interpretation
•
(~r, t) (komplexwertige) Wellenfunktion des Elektrons
• | (~r, t)|2 dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in Volumen dV bei ~r zu finden
• man kann also sagen
(~r, t) :
| (~r, t)|2 :
Wahrscheinlichkeitsamplitude
Wahrscheinlichkeitsdichte
) Muster durch Interferenz von
Bemerkung:
(i) Experiment wurde auch durchgeführt mit
• Neutronen
• C60 -Fullerenmolekülen
• C30 H12 F30 N2 O4 -Molekülen
• Photonen
(ii) Wellenphänomene relevant, wenn Abmessungen der Apparatur (z.B. Spaltbreite) mit Wellenlänge
vergleichbar sind.
deBroglie, 1923 : Materiewellen = hp
=
h
2⇡~
=
p
p
= 2⇡
=)k
(1.8)
p = ~k
p~ = ~~k
vektoriell:
(1.9)
E = ~! = h⌫
mit ~ =
z.B.:
h
2⇡
= 1.05 · 10
34
Js (“Planck’sches Wirkungsquantum”)
• Elektron, das von 100V beschleunigt wird: v = 5.9 · 106 m
s ,
• 20g Kugel mit v =
15 m
s
:
= 2.2 · 10
34
m
5
= 1.2 · 10
10
m = 0.12nm
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2. Die Schrödingergleichung
2.1. Wahrscheinlichkeiten
Beispiel (aus Griffiths):
Raum mit 14 Personen:
• 1 Person mit 14 Jahren
• 1 Person mit 15 Jahren
• 3 Personen mit 16 Jahren
• 2 Personen mit 22 Jahren
• 2 Personen mit 24 Jahren
• 5 Personen mit 25 Jahren
N (j): Anzahl der Personen, die j Jahre alt sind
(1) Gesamtzahl der Personen im Raum:
N=
1
X
(2.1)
N (j) = 14
j=0
(2) Wahrscheinlichkeit, bei zufälliger Wahl eine Person mit Alter j zu wählen:
P(j) =
2
4
1
X
N (j)
N
P(j) = 1
j=0
(2.2)
3
5
(2.3)
(3) Wahrscheinlichstes Allter: j mit maximalem P(j), d.h. j = 25
(4) Medianwert des Alter (gleich viele Personen älter wie jünger): j = 23
(5) mittleres Alter oder Durchschnittswert der Alters:
hji =
1
X
jP(j) = 21
(2.4)
j=0
(6) Mittelwert einer Funktion f (j) (z.B. f (j) = j 2 ):
hf (j)i =
1
X
f (j)P(j)
(2.5)
j=0
Bemerkung:
(i) Niemand in der Stichprobe muss Medianwert oder Durchschnittswert wirklich haben
(ii) in der Quantenmechanik heißt der Durchschnittswert auch Erwartungswert
(iii) im Allgemeinen:
hj 2 i =
6 hji2
6
(2.6)
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Betrachte:
Abbildung 2.1: Histogramme mit gleichem Median, Mittelwert, wahrscheinlichstem Wert, Gesamtzahl
Beide Histogramme in Abbildung 2.1 stimmen überein in: Median, Mittelwert, wahrscheinlichster Wert,
Gesamtzahl.
Maß für Breite der Verteilung? Definiere j = j hji.
h ji =
1
X
j=0
(j
hji)P(j) =
(d.h. hj 2 i
2
2
hji2 )
j=0
|
Betrachte daher
mit : Standardabweichung
Es gilt:
1
X
{z
=hji
j=0
}
⌘ h( j)2 i
= hj 2 i
1
X
jP(j)
|
hjiP(j) = hji
=hji
{z
P
}
P(j)
| {z }
=1
Varianz
(2.8)
s. Übung,
(2.9)
hji2
kontinuierliche Zufallsvariablen: ⇢( ): Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen
= p)
Dann:
(i)
Pab =
(ii)
Z
(2.7)
hji = 0
(z.B.
= x oder
b
d ⇢( )
Wahrscheinlichkeit, dass
zwischen a und b liegt
(2.10)
a
Z
1
d ⇢( ) = 1
(2.11)
1
(iii)
h i=
Z
hf ( )i =
Z
(iv)
7
1
⇢( )
(2.12)
d f ( )⇢( )
(2.13)
d
1
1
1
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(v)
2
= h(
)2 i = h
2
i
h i2
(2.14)
2.2. Schrödingergleichung und statistische Interpretation
i~
@
(x, t) =
@t
~2 @ 2
(x, t) + V (x, t) (x, t)
2m @x2
(2.15)
(zeitunabhängige) Schrödingergleichung (in 1 Dimension)), V : Potential
• | (x, t)|2 = ⇢(x, t): Wahrscheinlichkeitsdichte für Position x (zur Zeit t)
Rb
• a dx| (x, t)|2 : Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen a und b zu finden
Abbildung 2.2: Teilchen wahrscheinlich in der Nähe von A und unwahrscheinlich in der Nähe von B
• vor einer Messung hat Teilchen keinen bestimmten Ort 2.2
• Misst man Teilchen, z.b bei C, “kollabiert” die Wellenfunktion
Abbildung 2.3: Wellenfunktion kollabiert; Teilchen bei C
8
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) Direkt nachfolgende Messung ergibt wieder C, s. Abb. 2.3.
R1
D.h. hxi =
dx x | (x, t)|2 ist Mittelwert von wiederholten Messungen an einem Ensemble von
1
identisch präparierten Teilchen, nicht der Mittelwert von wiederholten Messungen am selben Teilchen
• Normierung:
Z
1
!
dx| (x, t)|2 = 1
(2.16)
1
für alle t
R1
R1
(i) Falls 1 dx| (x, t = 0)|2 = 1, dann gilt 1 dx| (x, t)|2 = 1 für alle t, wenn eine Lösung
der Schrödingergleichung ist (s. Übung).
R1
(ii) Lösungen (x, t) mit 1 dx| |2 < 1 heißen “quadratintegrabel”. Sie sind “normierbar” und
entsprechen physikalisch realisierbaren Zuständen.
[ (x, t) Lösung der Schrödingergleichung ) A (x, t) ebenfalls Lösung mit Konstanten A 2 C.
Wähle A so, dass die Normierungsbedingung (s.o.) erfüllt ist. Dies legt nur Betrag von A fest,
Phase ist unphysikalisch und daher beliebig, siehe später.]
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3. 1-dimensionale Anwendung
4. Der Formalismus der Quantenmechanik
5. Der Drehimpuls in der Quantenmechanik
6. Das Wasserstoffatom
7. Die Störungsrechnung
8. Identische Teilchen
9. “Philosophischer Epilog”
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