Angewandte Stochastik - Mathematik, TU Dortmund

WS 2016/2017
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Woerner
M. Sc. V. Schulmann
Angewandte Stochastik
Blatt 1
Abgabe der Hausaufgaben:
Donnerstag, 27.10.2015, 14.00 Uhr, im zugehörigen Briefkasten Ihrer
Übungsgruppe.
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Temperaturmessungen an einem Prozessor bei verschiedenen Belastungen ergaben
die Meßreihe (in Grad Celsius):
48, 22, 41, 45, 65, 54, 140, 57, 54, 43, 52, 39
a) Bestimmen Sie den Mittelwert, das 20%-getrimmte Mittel des Datensatzes
und die mittlere absolute Abweichung von dem empfohlenen Wert 40◦ C.
b) Bestimmen Sie den Range, das Minimum, das Maximum, den Median und
die Quartile der Meßreihe sowie den Interquantilsabstand.
c) Zusätzliche Messungen ergaben die Werte 150◦ C und 213◦ C. Welche Kenngröße würden Sie empfehlen um den mittleren Wert“ der neuen Messreihe
”
zu beschreiben? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Für die Zahlen x1 , . . . , xn > 0 (n ∈ N) definiert man das harmonische Mittel x̄H
bzw. das geometrische Mittel x̄G durch
n
x̄H := Pn
1
i=1 xi
bzw. x̄G :=
√
n
x 1 · . . . · xn .
Ferner sei x̄ das arithmetische Mittel dieser Zahlen.
Gegeben seien die Stichproben X = (x1 , . . . , xn ) und Y = (y1 , . . . , yn ) (n ∈ N). Bestimmen Sie z̄, das Minimum und das Maximum einer Stichprobe Z = (z1 , . . . , zn )
in Abhängigkeit von den Ihnen bekannten Kenngrößen von X und Y , falls
a) zi = a(xi + yi ) + b, wobei i = 1, . . . , n, a, b ∈ R.
√
b) zi = log( n xi yi ), wobei i = 1, . . . , n.
c) Beweisen Sie die Ungleichungskette
x̄H ≤ x̄G ≤ x̄
Aufgabe 3
(5 Punkte)
Es seien die Werte x1 , . . . , xn (n ∈ N) einer Messreihe gegeben, welche in k Gruppen
k
P
x11 , x12 , . . . , x1n1 ; x21 , x22 , . . . , x2n2 ; xk1 , xk2 , . . . , xknk mit
ni = n unterteilt sind.
i=1
Es sei nun für i ∈ {1, . . . , k}
ni
1 X
x̄i :=
xij
ni j=1
das arithmetische Mittel der i-ten Teilreihe sowie
s2i
ni
1 X
:=
(xij − x̄i )2
ni j=1
die entsprechende empirische Varianz.
Zeigen Sie, dass die empirische Varianz s2 der Gesamtreihe
2
s =
k
X
ni
i=1
n
s2i
+
k
X
ni
i=1
n
(x̄i − x̄)2
gilt, wobei x̄ das arithmetische Mittel der Gesamtreihe bezeichnet. Interpretieren
Sie dieses Resultat.
Aufgabe 4
(5 Punkte)
a) Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion mit dem Aufruf
function [xm, xmed, xmin, xmax, xq25, xq75, xgeo,...
xham] = kennwerte(x)
und den folgenden Ein- sowie Ausgabedaten:
% Eingabe-Parameter:
%
%
x
: n reelle Zahlen (Zeilenvektor)
%
%
% Ausgabe-Parameter: (zu den Zahlen x)
%
%
xm
: arithmetisches Mittel
%
xmed
: Median
%
xmin
: Minimum
%
xmax
: Maximum
%
xq25
: 25%-Quantil
%
xq75
: 75%-Quantil
%
xgeo
: geometrisches Mittel
%
xham
: harmonisches Mittel
Neben der Ausgabe der genannten Kennwerte für die Zahlen x, gebe Ihr
Programm eine Fehlermeldung aus, sollte eine Berechnung bestimmter Kennwerte wegen der Eingabe des Anwenders nicht möglich sein. In diesem Fall
setzen Sie die betreffenden Ausgabewerte auf Null, um einen Durchlauf Ihres
Programms weiterhin zu ermöglichen.
b) Im Datensatz sheep.tsv, den Sie auf der Homepage finden, sind
jährlichen Schafspopulationen in England und Wales in den
Jahren 1867-1939 abgebildet. Die Daten sind dem
Datamar”
ket“(https://datamarket.com/data/list/?q=provider:tsdl)
entnommen.
Lesen Sie die Datei in MATLAB ein und nutzen Sie schließlich Ihr Programm
kennwerte.m um den Datensatz zu analysieren.
Die neuen Übungsblätter sowie weitere Information zur Veranstaltung
finden sich auf unserer Homepage:
www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2016Winter/AngStoch