¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik

SS 2005
Blatt 6
Prof.W. Strauss, F. Schmid
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Unabhänigkeit
Aufgabe 36. Betrachten Sie den Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum der aus neun Zahlen
besteht (Ω = {1, . . . , 9}). Welche der folgenden Ereignisse sind unabhängig?
A1 = {2, 5, 7}, A2 = {2, 4, 9}, A3 = {1, 4, 7}
Aufgabe 37. Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Zeigen Sie für A, B, C ∈ A,
dass
{A, B, C} ist unabhänig ⇒ {A ∪ B, C} ist unabhängig
gilt.
Aufgabe 38. Eine homogene Münze werde n-mal geworfen (n ≥ 2). Betrachtet werden dabei
die Ereignisse
A1 : höchstens einmal erscheint ZAHL,
A2 : ZAHL und KOPF fallen jeweils mindestens einmal.
a Sind A1 und A2 für n = 3 stochastisch unabhängig?
b Sind A1 und A2 für n = 2 stochastisch unabhängig?
c Sind A1 und A2 für n > 3 stochastisch unabhängig?
bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 39.Formel von der totalen Wahrscheinlichkei Sie sind Kandidat in einer FernsehShow und haben die Chance ein Auto zu gewinnen. Versteckt hinter drei Toren befinden sich
zwei Stoffziegen und das Auto. Sie müssen sich für eines der Tore entscheiden und erhalten
den Preis, der sich dahinter verbirgt. Im ersten Schritt deuten Sie also auf eines der Tore. Der
Spielleiter weiss hinter welchem Tor sich was befindet. Er öffnet nun eines der beiden anderen
Tore, dabei entscheidet er sich bewusst für ein Tor mit einer Ziege dahinter. Anschliessend fragt
er Sie, ob Sie nicht doch lieber das andere verschlossene Tor wählen möchten. Sie haben also
drei Möglichkeiten:
A: Sie bleiben bei Ihrer im ersten Schritt getroffenen Wahl,
B: Sie geben Ihre im ersten Schritt getroffene Wahl auf und entscheiden sich für das andere
Tor,
C: Sie werfen eine Münze und entscheiden sich so für eines der beiden geschlossenen Tore.
Da Sie in der VL immer aufgepasst haben kennen Sie die “Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit” (Satz 4.2 a) und deshalb entscheiden Sie sich für welche Möglichkeit?
Aufgabe 40.Formel von Bayes In einer Schraubenfabrik wird ai Prozent der gesamten Produktion von der Maschine Mi hergestellt (i = 1, 2, 3; a1 + a2 + a3 = 100). Aus Erfahrung
weiss man, dass bi Prozent der von Mi gefertigten Schrauben Ausschuss sind. Aus der Gesamtproduktion wird eine Schraube entnommen und als fehlerhaft erkannt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit pi dafür, dass die Schraube von Mi gefertigt wurde? Man setzte folgende
Zahlenwerte ein: a1 = 25, a2 = 35, a3 = 40, b1 = 5, b2 = 4, b3 = 2.
Aufgabe 41. Formel von Bayes Wir betrachten einen Aidstest mit folgenden Eigenschaften.
Haben Sie Aids, dann ist der Test mit 99 prozentiger Wahrscheinlichkeit positiv. Haben Sie
kein Aids, dann ist der Test mit 95 prozentiger Wahrscheinlichkeit negativ. Sie unterziehen sich
einem Test und das Ergebniss ist positiv. Wie groß ist in etwas die Wahrscheinlichkeit, dass Sie
tatsächlich erkrankt sind, wenn eine von 10.000 Personen Aids hat?
Aufgabe 42 Produktraum
Sei r ∈ N, p ∈ (0, 1). Wir definieren durch f(r,p;k) die Wahrscheinlichkeit, dass bei r + k
Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p > 0 genau k Misserfolge dem r-ten
Erfolg vorangehen. (k ∈ N)
Sei vorerst n = r + k fest. Wir betrachten das Ergeiniss A des Produktraumes [0, 1]n
A = {(w1 , . . . , wn ) ∈ [0, 1]n ; |{i ∈ {1, . . . , n} : wi = 1}| = r und wn = 1}
Bestimmen Sie |A| und P (w) für alle w ∈ A. Was ist nun f (r, p; k)? Zeigen Sie, dass f (r, p; k)
eine Zählichte ist, d.h.
∞
X
f (r, p; k) = 1.
k=0
Aufgabe 43. Schriftlich Herr K ist 36-mal mit der U-Bahn schwarzgefahren ohne erwischt
zu werden. Wie wahrscheinlich ist es, dass er auch beim 37-mal nicht erwischt wird?
Hinweis zur Modellierung:
Urnenmodell: n Urnen mit jeweils n Kugeln
Urne U1 : 1 weiße Kugel (n − 1) schwarze Kugeln
Urne U2 : 2 weiße Kugel (n − 2) schwarze Kugeln
···
Urne Un : n weiße Kugel 0 schwarze Kugeln
Schwarzfahren ist wie ziehen einer Kugel mit Zurücklegen aus einer dieser Urnen. Wir wissen
aber nicht aus welcher Urne (Wie häufig kontrolliert wird). Deswegen benützen wir die Gleichverteilungshypothese P (Ui ) = n1 für alle i. Geben allgemein die Wahrscheinlichkeit beim 37-mal
immer noch nicht erwischt zu werden für festes aber beliebiges n an. Am Ende interessiert uns
37
der Grenzwert für n → ∞. Das Ergebnis ist 38
. (weniger als 10 Zeilen)
Aufgabe 44. Schriftlich Zwei Spieler A, B beginnen ein Tunier. Das Ausgangskapital von A
und B betrage a bzw. b Geldeinheiten (a, b ∈ N). Der jeweilige Einsatz bei einem Spiel betrage
eine Geldeinheit. Kein Spiel kan abgewiesen werden, d.h. es wird gespielt bis einer der Spieler
sein gesamtes Kapital verloren hat (“ ruiniert ist”). Wir setzen voraus, dass A mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) jedes einzelne Spiel gewinnt.
a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit un , dass B ruiniert wird, wenn A momentan über ein
Kapital von n Einheiten verfügt (n ∈ {1, 2, . . . , a + b}).
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A bzw. B im Tunier ruiniert wird? Tritt mit positiver Wahrscheinlichkeit der Fall auf, dass weder A noch B ruiniert werden?
c) Wie verhält sich die Ruinwahrscheinlichkeit für A bei unbegrenzt wachsendem Ausgangskapital von B?
Hinwei zu a) : Man versuche zunächst, (un+1 − un ) in (un − un−1 ) und p auszudrücken.
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