Mehr über Primzahlen

KAPITEL 2
Mehr über Primzahlen
1. Spezielle Primzahlen I: Fermat und Mersenne Primzahlen
Definition 2.1. Eine Primzahl der Form 2n −1 mit n ∈ N nennt man Mersenne Primzahl. Eine Primzahl der Form 2n + 1 mit n ∈ N nennt man Fermat
Primzahl.
Lemma 2.2. Es sei N ∈ N.
a) Ist N n −1 eine Primzahl, so ist n ∈ P. Insbesondere ist jede Mersenne
Primzahl der Form 2p − 1 mit p ∈ P.
b) Ist N n + 1 eine Primzahl, so ist n eine Zweierpotenz. Insbesondere ist
k
jede Fermat Primzahl der Form 22 + 1 mit k ∈ N0 .
Satz 2.3. Es sei p ∈ P. Jeder Primteiler von 2p − 1 ist größer als p.
Korollar 2.4. Es gibt unenedlich viele Primzahlen.
n
Satz 2.5 (Goldbach). Die Fermat Zahlen Fn = 22 + 1, n ∈ N0 sind alle
paarweise teilerfremnd.
Korollar 2.6. Es gibt unendlich viele Primzahlen
Bemerkung: Tatsächlich gilt: Ist ggT(a, b) = 1, so gibt es unendlich viele
Primzahlen der Form ak + b, k ∈ N (Satz von Dirichlet (1837) ohne Beweis).
Satz 2.7.
a) Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 4k +3, k ∈ N.
b) Es gibt unenedlich viele Primzahlen der Form 4k + 1, k ∈ N.
Lemma 2.8 (kleiner Satz von Fermat). Für a ∈ N und p ∈ P gilt ap ≡ a
mod p. Ist ggT(a, p) = 1, so gilt ap−1 ≡ 1 mod p.
Lemma 2.9. Ist p ∈ P, p ≥ 3, dann hat die Gleichung x2 ≡ −1 mod p genau
dann eine Lösung in Z, wenn p von der Form 4k + 1, k ∈ N ist.
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2. Spezielle Primzahlen II: Fibonacciprimzahlen
Definition 2.10 (Fibonaccizahlen). Die durch die Rekursion f0 = 0, f1 = f2 =
1, fn+2 = fn + fn+1 definierten Zahlen heißen Fibonaccizahlen.
Lemma 2.11. Es seien f1 , f2 , . . . die Fibonaccizahlen. Für alle n, r, s, k, m ∈ N
gilt:
a) Für
Q=
b)
c)
d)
e)
1 1
1 0
gilt
n
Q =
fn+1 fn
fn
0
fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n (Satz von Cassini)
ggT (fn , fn+1 ) = 1
fr+s = fr−1 fs + fr fs+1
fm teilt fkm .
Satz 2.12. Für die Fibonaccizahlen gilt:
ggT(fn , fm ) = fggT(n,m) .
Satz 2.13. Ist die Fibonaccizahl fn eine Primzahl, so ist n = 4 oder n ∈ P.
Korollar 2.14. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
3. Verteilung von Primzahlen I: Ein Satz von Tschebyscheff
Lemma
(Legendre). Die Zahl n! enthält den Primfaktor p genau
2.15
n
m∈N pm mal. Hierbei bezeichnet [x] die größte ganze Zahl, welche kleinergleich x ist. Bemerkung: Es gilt
ln(n)
ln(p) n n
=
pm
pm
m=1
m∈N
Lemma 2.16. Für den Binomialkoeffizienten
m n
:=
m!
n!(m−n)!
gilt
a)
2n
4n
≤
≤ 22n
2n
n
b) Jedes p ∈ P mit n < p ≤ 2n teilt 2n
n .
c) Für den Exponenten
wp ∈ N0 von p ∈ P in der Primfaktorenzerlegung
2n
von n gilt wp ≤ ln(2n)
ln(p) .
Satz 2.17 (Primzahlsatz (schwache Version von Tschebyscheff 1851)). Es gibt
Konstanten C1 , C2 ∈ R+ , so dass für alle x ∈ R mit x ≥ 2 gilt
x
x
C1
≤ π(x) ≤ C2
lnx
lnx
Wir zeigen dies für C1 =
ln(2)
3
und C2 = 8 ln(2).
Korollar: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Bemerkung: Der eigentliche Primzahlsatz besagt
π(x)
lim x = 1
x→∞
log(x)
Das werden wir aber in dieser Vorlesung weder beweisen noch nutzen.
4. Verteilung von Primzahlen II: Eulers Abschätzung und
Bertrands Postulat
Satz 2.18 (Euler). Für jedes x ≥ 2 gilt für die Summe aller Primzahlen p < x
1
1
≥
ln(ln x)
p
ln 4
p∈P;p≤x
Insbesondere divergiert die Reihe p∈P p1 .
Korollar: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz 2.19 (Bertrandsches Postulat). Zu jedem n ∈ N ist mindestens eine der
Zahlen {n + 1, . . . , 2n} eine Primzahl.
Lemma 2.20. Für alle x ≥ 2 gilt p≤x p < 4x−1 .
Lemma 2.21. Es sei p1 , p2 , . . . die Folge der Primzahlen. Ist
2n
wk
w1 w2
p1 p 2 · · · · · p k =
n
mit w1 , . . . , wk ∈ N0 , dann gilt:
i
a) pw
i ≤
√2n für i = 1, . . . , k.
b) Aus 2n < pi ≤ 2n folgt wi ≤ 1.
c) Aus 23 n < pi ≤ n folgt wi = 0.
Korollar: Es gibt unendlich viele Primzahlen.