§7. Primzahlen

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 7. Primzahlen
Jede ganze Zahl a besitzt die sog. unechten Teiler ±1 und ±a . Davon verschiedene Teiler
von a heißen echte Teiler von a .
(7.1) DEF: a) Eine natürliche Zahl p ∈
N heißt Primzahl oder prim, wenn gilt:
P1 ) p ≥ 2
P2 ) 1 und p sind die einzigen positiven Teiler von p .
b) IP bezeichne die Menge aller Primzahlen .
c) p heißt Primteiler einer ganzen Zahl a , wenn p ∈ IP und p | a gilt.
d) Eine natürliche Zahl, die einen echten Teiler besitzt, heißt eine zusammengesetzte Zahl.
Beispiele: {2, 3, 5, 7, 11, 13} ⊆ IP
1 6∈ IP ,
4 6∈ IP ,
6 6∈ IP ,
− 2 6∈ IP ,
− 3 6∈ IP ,
− 13 6∈ IP
!
(7.2) BEM: a) 1 ist keine Primzahl !!!
b) Eine natürliche Zahl p ≥ 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt
für alle t ∈
N
mit t | p folgt t = 1 oder t = p .
c) Eine natürliche Zahl n ≥ 2 ist genau dann keine Primzahl, wenn n einen echten positiven
Teiler besitzt, d.h. wenn es ein
t∈
N
mit 1 < t < n und t | n
gibt. In dem Falle ist dann auch der zu t komplementäre Teiler s von n ein echter Teiler von
n . Also
n∈
N, n ≥ 2 :
n 6∈ IP
⇐⇒
es gibt s, t ∈
N
mit 1 < s, t < n und n = s · t .
d) Bezeichnet M die Menge der zusammengesetzten natürlichen Zahlen, so gilt
N
= {1} ∪ IP ∪ M .
e) 2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen Primzahlen sind ungerade.
f) Für n ∈
N gilt :
n prim
(7.3) SATZ: Für a ∈
Z und p ∈ IP gilt:
a) ggT(a, p) ∈ {1, p}
b) ggT(a, p) = p
c) ggT(a, p) = 1
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
p|a
p 6 | a.
τ (n) = | T + (n) | = 2 .
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(7.4) SATZ: Eine Kennzeichnung von Primzahlen (Euklid)
Für eine natürliche Zahl p ≥ 2 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) p ist eine Primzahl
b) Für alle a, b ∈
Z gilt:
p | (a · b)
=⇒
(p | a oder p | b) .
Dieses Ergebnis lässt sich mit Hilfe vollständiger Induktion auf Produkte mit mehr als zwei
Faktoren verallgemeinern:
(7.5) SATZ: a) Teilt eine Primzahl ein Produkt von ganzen Zahlen, so teilt sie mindestens
einen der Faktoren.
b) Teilt eine Primzahl eine Potenz einer ganzen Zahl, so teilt sie auch die Basiszahl.
BEM: Formelmäßig bedeutet (7.5):
a) Sind a1 , a2 , . . . , an (n ∈
p | a1 · a2 · . . . · an
b) Für Zahlen p ∈ IP , a ∈
Z)
=⇒
ganze Zahlen und ist p eine Primzahl, so gilt:
es gibt ein k ∈ {1, 2, 3, . . . , n} mit p | ak .
Z, n∈N
gilt:
p | an
=⇒
p|a.
(7.6) SATZ: Jede natürliche Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primteiler .
(7.7) FOLGERUNG: Zwei ganze Zahlen a und b sind genau dann teilerfremd, wenn sie
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen.
Über die Verteilung der Primzahlen
(7.8) SATZ: (Euklid)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(7.9) DEF: Ein Zahlenpaar (p, p + 2) , bei dem sowohl p als auch p + 2 Primzahlen sind,
heißt ein Primzahlzwilling .
Beispiele: für Primzahlzwillinge: (3, 5) , (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) , (29, 31) ,
(q, q + 2) mit q = 242 206 083 · 238 880 − 1 (q hat 11 713 Dezimalziffern) .
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UNGELÖSTES PROBLEM: Bis heute ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nur endlich viele.
(7.10) SATZ: Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so sind die n aufeinanderfolgenden Zahlen
(n + 1)! + 2 , (n + 1)! + 3 , (n + 1)! + 4 , . . . , (n + 1)! + n , (n + 1)! + (n + 1)
alle zusammengesetzt. Dabei bezeichnet n! (lies: n–Fakultät) das Produkt der natürlichen
Zahlen von 1 bis n , d.h. n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n .
BEM: (7.10) bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen beliebig groß werden kann.
(7.11) SATZ: Zu jeder Primzahl p ≥ 5 gibt es eine Zahl k ∈
N mit
p = 6 · k − 1 oder p = 6 · k + 1 .
(7.12) BEM: a) Eine Primzahl p ≥ 5 liegt also auf dem Zahlenstrahl der natürlichen
Zahlen entweder unmittelbar vor oder hinter einem Vielfachen von 6 .
b) Umgekehrt muss aber eine Zahl der Form 6 · k − 1 oder 6 · k + 1 keine Primzahl sein. So
ist z.B. für k = 6 die Zahl 6 · 6 − 1 = 35 keine Primzahl, und für k = 4 ist 6 · 4 + 1 = 25
keine Primzahl.
(7.13) BEM: Die folgende Tabelle enthält Angaben über die Anzahl der Primzahlen bis zu
einer bestimmten Grenze:
m
Anzahl der Primzahlen ≤ m
10
100
1000
104
105
4
25
168
1 229
9 592
106
78 498
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Wie kann man testen, ob eine Zahl prim ist?
(7.15) SATZ: Für eine natürliche Zahl n ≥ 4 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) n ist eine Primzahl
√
b) n besitzt keinen Teiler t mit 2 ≤ t ≤ ⌊ n⌋
√
c) n besitzt keinen Primteiler p mit p ≤ ⌊ n⌋ .
Aus diesem Satz ergibt sich ein Primzahltest für eine natürliche Zahl n ≥ 4 :
(7.16) Primzahltest
√
Teste der Reihe nach, ob eine der Primzahlen ≤ ⌊ n⌋ die Zahl n ≥ 4 teilt. Wenn nein, ist
n eine Primzahl, wenn ja, ist ein echter Teiler von n gefunden, und n ist nicht prim.
√
Um den Primzahltest (7.16) ausführen zu können, müssen alle Primzahlen ≤ ⌊ n⌋ bekannt
sein. Ein Verfahren, Primzahllisten aufzustellen, ist
(7.17) Das Sieb des Eratosthenes
Sei n ≥ 3 eine natürliche Zahl. Gehe folgendermaßen vor:
Streiche in der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen von 3 bis n alle echten Vielfachen von
3 , dann alle echten Vielfachen der nächsten ungestrichenen Zahl usw.
√
Brich das Verfahren ab, wenn die nächste ungestrichene Zahl > ⌊ n⌋ ist.
Es bleiben alle ungeraden Primzahlen ≤ n übrig. Fügt man noch die einzige gerade Primzahl
2 hinzu, so erhält man alle Primzahlen ≤ n .