Ungleichungen ffir geometrische und arithmetische

MATHEMATICS
Proceedings A 91 (4), December 19, 1988
Ungleichungen ffir geometrische und arithmetische Mittelwerte
by Horst Alzer
M o r s b a c h e r Str. 10, 5 2 2 0 W a l d b r 6 l ,
West Germany
Communicated by Prof. R. Tijdeman at the meeting of April 25, 1988
ZUSAMMENFASSUNG
Wir bezeichnen mit Gn und A n (bzw. Gn und An) das ungewichtete geometrische und arithmetische Mittel der Zahlen x l . . . . . xn (bzw. 1 - x l ..... 1 - x n ) , xi~- [0, 1/2], i = 1..... n. Das Ziel
dieser Note ist es, die beiden Differenzen
A n / A n - G n / G n und ( A n - A n ) - (G n - Gn)
bestm6glich nach oben und nach unten abzusch~itzen. Wir werden die G~iltigkeit der Ungleichungen
(*)
O < - A n / A n - G n / G n <- (n - 1)/(n + 1)
und
O<-(An-An)-(Gn-Gn)<-2
(l-n)/n- 1/n
fiir alle xi e [0, 1/2], i = 1. . . . . n, nachweisen und zeigen, dab sich die angegebenen Schranken nicht
versch~irfen lassen. Bei der linken Seite von (*) handelt es sich um die bekannte Ungleichung yon
Ky Fan.
1. E1NLEITUNG
lSlber die beriihmte Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel sind in der Vergangenheit viele Artikel geschrieben worden,
in denen sowohl neue Beweise als auch interessante Verallgemeinerungen und
Versch~irfungen vorgestellt wurden; siehe [4], [8], [13].
In dem im Jahre 1961 erschienenen Buch "Inequalities" von E.F. Beckenbach und R. Bellman [4, p. 5] ist das folgende - - von Ky Fan entdeckte - 365
bemerkenswerte Gegenstfick zur Ungleichung zwischen dem geometrischen und
dern arithmetischen Mittel erstmalig verfffentlicht worden:
Wenn mit G n und A n (bzw. G n und A n ) d a s geometrische und das arithmetische Mittel der reellen Zahlen xl ..... x, (bzw. 1 - x l ..... 1 - x , ) bezeichnet
wird, i.e.
G.=
(I x ] / ' u n d
A . = 1-'- ~ xi,
i=1
n
i=1
1
(bzw. Gn= fl ( 1 - x i ) '/n und A n = - i=1
n
~ (1-xi)),
i=1
dann gilt ffir alle xi ~ [0, 1/2], i = 1..... n:
(1.1)
t~
G,/Gn_A,~/A,,
t
wobei das Gleichheitszeichen in (1.1) genau dann gilt, wenn xl . . . . .
x..
Die Ungleichung von Ky Fan ist in den letzten Jahren zum Gegenstand
zahtreicher Untersuchungen geworden; neue Ergebnisse hierzu findet man in
[1-31, [5-7t, [9-121, [14-181.
Besonders beachtenswert ist eine Arbeit yon W.-L. Wang und P.-F. Wang
[18], in der unter anderem gezeigt wird, wie sich die Ungleichung
(1.2)
G,<_A~, x i > 0 , i=1 ..... n,
aus (1.1) herleiten lfiBt.
Wenn wir die Ungleichung von Fan in der Form
0 <_A . / A n - Gn/Gn
schreiben, dann liegt es nahe, nach einer oberen Schranke ffir die Differenz
A , , / A ' n - G,,/G n zu fragen. Im n~ichsten Abschnitt werden wir eine (yon den
Variablen x 1..... Xn unabhfingige) Zahlenfolge (an) angeben, so dab ffir alle
reellen Zahlen x i ~ [0, 1/2], i= 1..... n, gilt:
(1.3)
O<-An/A n - Gn/Gn <-an.
Im letzten Teil dieser Note wollen wir die Frage beantworten, ob es zu den
Ungleichungen (1.3) ein additives Gegenstiick gibt. Wir werden eine (ebenfalls
yon x I . . . . . x n unabh/ingige) Zahlenfolge (bn) angeben, so daB die Doppelungleichung
(1.4)
O<(An-A'n)-(Gn-Gn)<b.
ffir alle x i ~ [0, 1/2], i = 1 , . . . , n, gfiltig ist.
Dariiber hinaus zeigen wir, dab die in (1.3) und (1.4) angegebenen Schranken
nicht versch~irft werden k6nnen.
Insbesondere besagt (1.4):
(1.5)
366
Gn-Gn<_A.-An;
die beiden Differenzen G n - G ~ und A n - A ; lassen sich also ebenso miteinander vergleichen wie die Quotienten G,~/G~, und A n / A ~ .
Die in diesem Abschnitt eingefiihrten Bezeichnungen behalten wit im
Folgenden bei.
2. EINE OBERE SCHRANKE FI3R An/A n
Wir beginnen mit dem Beweis von
SATZ 1.
(2.1)
Fiir alle reellen Zahlen xi ~ [0, 1/2], i = 1..... n, (n >__2), gilt:
t~
t
An/An_Gn/Gn+(n-
1)/(n + 1).
Das Gleichheitszeichen steht in (2.1) dann und nut dann, wenn genau einer der
Werte Xl ..... x, gleich 0 ist und alle anderen Werte gleich 1/2 sind.
BEWEIS. Wir definieren:
f : [0, 1/2In---' R
f ( x 1. . . . . Xn)=
~ Xi/
i=1
~
(1-Xi)-
i~l
InI ( X i / ( l - x i ) )
l/n
i=1
Die Funktion f i s t auf einer k o m p a k t e n Menge definiert und dort stetig; sie
besitzt daher M i n i m u m und Maximum. Unser Ziel ist es, das absolute Maxim u m yon f zu berechnen.
Wenn f im Punkte a = (a I..... an) mit 0 < a i < 1 / 2 , i = 1 . . . . . n, einen Extremwert annimmt, dann gilt:
V f ( a l . . . . , an) = 0
und folglich wird die quadratische Gleichung
P ( x ) =x(1 - x) - ( A n ) Z G n / G n = 0
yon den Werten al ..... an gel6st.
Einerseits gilt
P(O) = - ( A n ) 2 G n / G n < 0
und andererseits folgt nach (1.1):
P(1/2) = 1/4 - (A'n)ZGn/G~,
> 1/4 - A ' n A n
= 1/4 - (1 - A n ) A n
>--0.
Wenn P ( 1 / 2 ) = 0, dann gilt A n = 1/2, also a~ . . . . .
an = 1/2; dies widerspricht
der Voraussetzung, dab a ein innerer P u n k t der Menge [0, 1/2] nist.
Folglich erhalten wir
/>(1/2)>0.
367
Also besitzt P im Intervall (0, 1/2) genau eine Nullstelle und somit gilt
a l = ... = a n.
Auf Grund der Absch~itzung
f ( a l . . . . . a I) = 0 < ( n - 1)/(n + 1)=f(0, 1/2 ..... 1/2)
folgt, dab die Funktion f ihr absolutes M a x i m u m nicht im Innern annimmt.
Nun nehmen wir an, f habe im Randpunkt a = ( a l . . . . . an) ein absolutes
Maximum. Wir unterscheiden zwei F/ille:
Keine Komponente von a ist gleich 0.
Dann sind l K o m p o n e n t e n von a gleich
f ( 1 / 2 . . . . . 1/2) = 0 folgt 1 <_l<_n - 1.
Ohne Einschr/inkung sei
1. Fall:
ak+~ . . . . .
an=l/2,
1/2
und
auf
Grund
von
k=n-l,
dann erhalten wir fiir
g : [0, 1 / 2 ] k ~
k
g(xl . . . . . Xk) = [ 2 x i + l / 2 l / [
i=1
k
~, ( 1 - x i ) + l / 2 ] i=1
k
1-[ ( x i / ( t - x i ) )
~/n
i=1
die ffir alle (xl, ..., Xk) ~ [0, 1/2] k gfiltige Abschgtzung
(2.2)
g(xl . . . . , Xk) <- g(al . . . . . ak).
Wegen a i E (0, 1/2), i = 1..... k, folgt
V g ( a l , . . . , ak) = 0
und somit genfigen die Zahlen a 1..... at der quadratischen Gleichung
Q(x) = x(1 - x) - (Gk/G'k)e/"[1/2 + (1/2 -- A k ) k / n ] 2 = O.
Es gilt
Q(0) < 0
und nach (1.1) folgt
Q(1/2) = 1/4 - (Gk/G'k)k/n[1/2 + ( 1 / 2 -- A k ) k / n ] z
>_ 1 / 4 - ( A t / ( I - A ~ ) ) k / n [ 1 / 2 + ( 1 / 2 - A k ) k / n ] 2
_>0,
wobei in der letzten Ungleichung das Gleichheitszeichen genau dann steht,
wenn Ak = 1/2.
Also gilt Q(1/2) = 0 genau dann, wenn a I . . . . .
a k = 1/2; dies wiederspricht
der Voraussetzung a i e (0, 1/2), i = 1..... k. Somit gilt: Q(1/2) > 0; folglich verschwindet Q im Intervall (0, 1/2) genau einmal und wit erhalten
(2.3)
368
a 1. . . . .
a k.
Wir bezeichnen mit g die ffir x ~ [0, 1/2] definierte Funktion
g(x) = g(x, .... x)
= (2kx+ n - k ) / ( - 2 k x + n + k ) - (x/(1 - x ) ) kin.
Eine kleine Rechnung ergibt ffir 0 < x < 1/2:
d
dx g(x)< 0.
Also folgt nach (2.3):
g(al) = g(al . . . . . ak) < g ( 0 . . . . . 0) = g(0);
dies steht im Widerspruch zur Ungleichung (2.2).
I Komponenten von a sind gleich 0 (l> 1).
A u f Grund yon f ( 0 , . . . , 0 ) = 0 folgt: 1 < l < n - 1 .
Ohne Einschr/inkung sei
2. Fall:
ak+ 1 . . . . .
an=O,
k=n-l.
Wir definieren:
h : [0, 1/2]k-~ ~
h(xl . . . . . x k ) =
k
k
~ xi/[
~
(1-xi)+n-k],
i=t
i=l
dann gilt ffir alle (xl, . . . , X k ) ~ [0, 1/2] k die Absch/itzung:
h(xl . . . . . Xk) < h(al . . . . . ak).
Da
k
hxj(x I . . . . . x k ) = n [ ~ ( 1 - x i ) + n - k ] - 2 > O ,
l<_j<_k,
i=l
nimmt h das absolute Maximum genau im Punkte (1/2 ..... 1/2) an. Also gilt
a 1. . . . .
a k = 1/2
und wir erhalten
f ( a l . . . . . an) = (n - l ) / ( n + l) <_(n - 1)/(n + 1) = f ( 0 , 1/2 ..... 1/2),
wobei in der letzten Ungleichung das Gleichheitszeichen nur im Falle l = 1 steht.
Folglich nimmt die F u n k t i o n f i h r Maximum im Punkte a dann und nur dann
an, wenn genau eine Komponente von a verschwindet und alle anderen
Komponenten gleich 1/2 sind.
Damit ist Satz 1 vollst/indig bewiesen.
D
3. U N G L E I C H U N G E N
FlaIR ( A n - A ~ )
- (G n - Gn)
In den nachfolgenden Zeilen zeigen wir, wie sich die Differenz ( A n - A ~ ) - (Gn - Gn) bestm6glich nach oben und nach unten absch/itzen lfigt. Mit Hilfe
369
der zum Beweis von Satz 1 verwendeten Methode verifizieren wir das folgende
Gegenstfick zur Doppelungleichung (1.3):
SATZ
2.
(3.1)
Ffir alle reellen Zahlen
,<
xi G
,<
,
Gn-Gn-An-An-Gn-Gn+
[0, 1/21, i = 1..... n, (n _>2), gilt:
2(l-n)/n
- 1/n.
Das Gleichheitszeichen gilt in der linken Ungleichung von (3.1) genau dann,
wenn x~ . . . . . Xn und in der rechten Ungleichung dann und nur dann, wenn
genau einer der Werte x 1, ..., xn gleich 0 ist und alle anderen Werte gleich 1/2
sind.
BEWEIS.
Wir werden das absolute Minimum und M a x i m u m der Funktion
f : [0, 1 / 2 ] n o R
i=I
berechnen.
Wenn f i m Punkte a = ( a
annimmt, dann folgt:
i~l
1. . . . . a n )
n
i=1
mit 0 < a i < 1/2, i = 1..... n, ein Extremum
V f ( a l . . . . , a n ) = O.
Eine kleine Rechnung zeigt, dab dann die Werte a 1..... a n der quadratischen
Gleichung
P ( x ) = x G ;, + (1 - x ) G n -
2x( 1 - x) = 0
genfigen.
Weiter gilt:
P(O) = Gn > 0
und
P(1/2) = 1/2(G;, +
Gn-
1)~ 1/2(A,~
+A n -
1) =0.
Falls P ( 1 / 2 ) = 0 , dann folgt A n = G n und somit al . . . . .
a n . Wenn P ( 1 / 2 ) < 0 ,
so hat P im Intervall (0, 1/2) genau eine Nullstelle und folglich muB auch in
diesem Falle gelten:
(I 1 =
. ..
=
an•
A u f Grund von
f ( a l . . . . . a l ) = 1 < 2(1 - n)/n + ( n - 1 ) / n
= f ( 0 , 1/2 ..... 1/2)
besitzt f im Innern von [0, 1/2] n kein Maximum. I m Innern nimmt f h6chstens
in den Punkten (al .... ,a~), 0 < a l < 1/2, das Minimum an.
I m Folgenden nehmen wir an, f besitze in dem R a n d p u n k t a = ( a l , . . . , a , )
einen absoluten Extremwert.
370
Wir unterscheiden zwei F~ille:
1. Fall." Keine K o m p o n e n t e von a ist gleich 0.
D a n n folgt, daB l K o m p o n e n t e n v o n a gleich 1/2 sind; wit setzen 1 < l_< n - 1
voraus.
O h n e Einschr~inkung sei
ak+ 1 . . . . .
an= 1/2,
k=n-l;
dann folgt, dab die F u n k t i o n
g : [0, 1/2]k---' [R
g(xl ..... X k ) = 2 - l / n [
k
k
[I ( l - - x i ) l / n -
I-I x]/n] + l / n + -
i=l
2
i=l
k
~, xi
El
i=l
im P u n k t e ~ = (al . . . . . ak) ein absolutes E x t r e m u m a n n i m m t . A u f G r u n d yon
a i e (0, 1/2), i = 1. . . . . k, erhalten wir
V g ( a l , . . . , ak) = O.
Somit 16sen die Zahlen a~ ..... ak die quadratische Gleichung
Q(x) = x(G'k) k/n+ (1 - x)(Gk) k / n - 21 +t/nX(1 - X) = O.
Es gilt
Q(O) = (Gk) k/~ > 0
sowie
Q(1/2) = 1/2[(G~) k/n+ (Gk) k / n - 2 t/"]
< 1/2[(A~) k/n+ (Ak) k / n - 2 TM]
,
< 1/212 -k/n + 2 - k / , _ 2t/n]
=0.
Falls Q ( 1 / 2 ) = 0 , d a n n wfirde G k = A k = l / 2
und somit a I . . . . .
ak=l/2
folgen, was der Voraussetzung ai e (0, 1/2), i = 1,..., k, widerspricht. Also gilt
Q ( 1 / 2 ) < 0 , so dab Q in (0, 1/2) genau einmal verschwindet und wit
a l = ... = a k
erhalten.
Bezeichnen wir mit ~ die im Intervall [0, 1/2] definierte F u n k t i o n
~(x) = g(x . . . . . x) = 2 -//~ [(1 - x) k/n _ xk/n ] + l/n + 2 k x / n ,
dann folgt
d
dxx ~ ( x ) < O ffir O < x < 1/2
371
und somit
g ( 1 / 2 . . . . . 1/2) < g(al . . . . . ak) = g(al ..... as) < g(0 .... ,0);
d.h., g n i m m t in ~ = ( a t . . . . . a k ) = ( a l , . . . , a l ) weder ein absolutes M i n i m u m
n o c h M a x i m u m an.
Somit: W e n n f i n dem R a n d p u n k t a = ( a l , ...,an) mit O<ai<_ 1/2, i = I . . . . . n,
einen absoluten Extremwert besitzt, d a n n handelt es sich dabei u m ein Minim u m u n d e s gilt as . . . . .
a n = 1/2.
2. Fall: l K o m p o n e n t e n von a sind gleich 0 (1_> 1).
O h n e Einschr~inkung sei
ak+ 1 . . . . .
an=O,
k=n-l.
Wir definieren:
h : [0, 1/2ff--*fR
h(x 1..... Xk): I~I (1--xi)l/n+ £
i=I
~ Xi.
n i=1
D a n n folgt f/Jr 1 <_j<_k:
1
hxj(X 1. . . . . Xk) = ~
[ -- (I --Xj) - l(G'k)k/n + 2] > 0.
Also n i m m t die F u n k t i o n h genau in (0 ..... 0) bzw. (1/2 . . . . . t / 2 ) ihr absolutes
M i n i m u m bzw. M a x i m u m an.
W e n n f in a = (al, ..., an) mit ak+l . . . . .
an = 0 das absolute M i n i m u m annimmt, d a n n erhalten wir fiir alle (x~ ..... x~) ~ [0, 1/2] n die Abschfitzungen
f (xl, .. . , Xn) >-f (al . . . . . ak, 0 . . . . . O)
= h(a 1. . . . . ak)
>_h(O . . . . . O)
=1;
und wenn f ( a l ..... a n ) = 1, d a n n gilt a 1 . . . . .
an=O.
Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen, so folgt: f n i m m t das
absolute M i n i m u m genau in den P u n k t e n (al .... ,al) mit 0_<a I < 1/2 an.
a n = 0 das absolute MaxiW e n n f im P u n k t e a = (al, ..., an) mit ak+ 1 . . . . .
m u m a n n i m m t , d a n n folgt k>_ 1 und wit erhalten ffir alle (x I . . . . . xn) ~ [0, 1/2]n:
f (xl, ... , xn) <<-f (al . . . . , a k, 0 . . . . , O)
=
h(a 1. . . . . ak)
_< h(1/2, ..., 1/2)
= 2 - k/n + k / n .
372
Auf Grund von
2-g/n+k/n<2(l-n)/n+(n-1)/n,
l_<k<n-
wobei das Gleichheitszeichen nur im Falle k = n-
1,
1 steht, erhalten wir:
f(Xl ..... Xn) < 2(1 - n)/n + (n -- 1)/n = f ( 0 , 1 / 2 . . . . . 1 / 2 ) .
Also nimmt f das Maximum
im Punkte
a = (al, ..., an) d a n n u n d n u r d a n n a n ,
w e n n g e n a u e i n e r d e r Z a h l e n a l . . . . . an g l e i c h 0 ist u n d alle a n d e r e n
gleich 1/2 sind.
Zahlen
[]
BEMERKUNG. Die Ungleichung von Ky Fan l~iBt sich leicht aus den beiden
Absch/itzungen (1.2) und (1.5) herleiten:
Fiir alle xi ~ [0, 1/2], i = 1.... , n, folgt aus
G n - Gn>-A'n - A n > - O und 1 / G n - 1~An
die Ungleichung
( G n - Gn)/Gn>-(A 'n- An)/An o d e r G n / G ' n - A n / A n ,
u n d d a s G l e i c h h e i t s z e i c h e n gilt g e n a u d a n n , w e n n xl . . . . .
xn.
Herrn Professor Dr. R. Tijdeman und dem Gutachter dieser Arbeit m6chte ich
fiir w e r t v o l l e E r g / i n z u n g e n u n d V e r b e s s e r u n g s v o r s c h l ~ i g e s e h r h e r z l i c h d a n k e n .
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